sistem koordinat polar
TRANSCRIPT
PEMBAHASAN
A. SISTEM KOORDINAT POLAR
Dua orang Perancis, yaitu Pierre de Fermat (1601-1665) dan Rene
Descrates (1596-1650), memperkenalkan apa yang kita sebut sistem kooordinat
Cartesius atau persegi panjang. Dasar pemikiran mereka ialah untuk merinci
setiap titik P di bidang dengan jalan memberikan dua bilangan (x,y), jarak berarah
dari sepasang sumbu yang tegak lurus dengan sesamanya. Gagasan in sampai
sekarang demikian umumnya sehingga kita menggunakannya hampir tanpa
berpikir. Namun ini adalah gagasan mendasar dalam geometri analitis dan
memungkinkan pengembangan kalkulus seperti yang kita capai hingga saat ini.
Pemberian jarak berarah dari sepasang sumbu yang tegak lurus bukanlah
satu-satunya jalan untuk merinci suatu titik. Cara lain untuk melakukan ini adalah
dengan memberikan apa yang disebut koordinat polar.
Koordinat polar dimulai dengan sebuah setengah garis tetap, disebut
sumbu polar, memancar dari sebuah titik tetap O, disebut polar atau titik asal
(lihat gambar 2). Sumbu polar dipilih horizontal dan mengarah ke kanan dan oleh
sebab itu sumbu ini dapat disamakan dengan sumbu x-positif pada sebuah
koordinat siku – siku. Sebarang titik P (selain polar) adalah perpotongan anatar
sebuah lingkaran tunggal yang berpusat di O dan sebuah sinar tunggal yang
memancar dari O. Jika r adalah jari-jari lingkaran dan Ѳ adalah salah satu sudut
antara sinar dan sumbu polar, maka (r,Ѳ) adalah sepasang koordinat polar untuk
P.
Kalkulus Lanjut
Dalam koordinat polar, r negatif menyatakan bahwa sinar yang
berlawanan dari sisi akhir Ѳ dan |r| satuan dari titik asal. Contoh-contoh dari
persamaan polar adalah r = 8 sin Ѳ dan r = 2
1−cosѲ . Persamaan polar dapat
dibuat dalam bentuk grafik persamaan polar dimana grafik persamaan polar
adalah himpunan titik-titik, masing-masing mempunyai paling sedikit sepasang
koordinat polar yang memenuhi persamaan polar tersebut.
Cara yang paling mendasar untuk mensketsakan grafik ialah menyusun
tabel nilai – nilai, plot titik – titik yang berpadanan, kemudian menghubungkan
titik-titik ini dengan kurva mulus.
Hubungan Koordinat Cartesius Kita andaikan bahwa sumbu polar berimpit
dengan sumbu x-positif sistem Cartesius. Maka koordinat polar (r,Ѳ) sebuah titik
P dan koordinat Cartesius (x,y) titik yang sama itu dihubungkan oleh persamaan
Polar ke Cartesius Cartesius ke Polar
x = r cosѲ r2 = x2 + y2
y = r sin Ѳ tanѲ = yx
Contoh :
Carilah koordinat Cartesius yang berpadanan dengan (4,π6
) dan koordinat polar
yang berpadanan dengan (-3,√3) !
Penyelesaian :
Jika (r,Ѳ) = (4,π6
) maka :
Kalkulus Lanjut
x = 4 cosπ6
= 4. √32
= 2√3
y = 4 sinπ6
= 4. 12 = 2
Jika (x,y) = (-3,√3) maka :
r2 = (−3)2 + (√3)2 = 12
tanѲ = √3−3
Satu nilai (r,Ѳ) adalah (2√3, 5 ᴨ/6). Lainnya adalah (-2√3, -ᴨ/6).
Persamaan Polar untuk Garis, Lingkaran, dan Konik Jika sebuah garis
melalui polar, persamaannya adalah θ=θ0. Apabila garis tidak melalui polar,
maka garis
tersebut berjarak misalnya d dari kutub (d>0). Andaikan θ0sudut antara sumbu
polar dan garis tegaklurus dari polar pada garis itu (Figure 9). Apabila P(r , θ)
sebuah titik pada garis, maka cos ( θ−θ0 )=dr
,atau
Apabila sebuah lingkaran dengan jari-jari a berpusat di polar, persamaannya
adalah r = a. Apabila pusatnya di (r0 , θ0), persamaannya agak rumit, kecuali kalau
Kalkulus Lanjut
Garis : r= dcos (θ−θ0)
kita pilih r0=a (Figure 10). Maka menurut hukum kosinus,
a2=r2+a2−2ra cos(θ−θ0) yang dapat disederhanakan menjadi
Suatu hal yang menarik jika θ0=0 dan θ0=π /2. Yang pertama menghasilkan
persamaan r=2a cosθ; yang kedua menghasilkan r=2 a cos (θ− π2) atau
r=2a sinθ. Persamaan terakhir hendaknya dibandingkan dengan contoh 1.
Akhirnya kalau sebuah konik (elips, parabol, atau hiperbol) diletakkan sedemikian
hingga fokusnya berada di polar, garis arahnya berjaark d satuan dari kutub
(Figure 11), maka dengan menggunakan definisi konik, yaitu |PF|=e∨PL∨¿ kita
akan memperoleh
r=e [ d−r cos (θ−θ0 ) ]
Atau, secara analitik setara
Ada lagi kasus yang menarik, yaitu untuk θ0=0 dan θ0=π /2. Perhatikan
bahwa apabila e=1 dan θ0=0 kita memperoleh persamaan dalam contoh 2.
Kalkulus Lanjut
Lingkaran : r=2 acos (θ−θ0 )
Konik :r= ed1+e cos (θ−θ0)
Contoh
Contoh 1: Tentukan persamaan elips mendatar dengan keeksentrikan ½,
berfokus di polar dan dengan garis arah tegak yang jaraknya 10 satuan di
sebelah kanan polar.
Penyelesaian
r=
12
.10
1+12
cosθ=
102+cos θ
Kalkulus Lanjut
Contoh 2: Tentukan jenis konik dan gambarkan grafik yang persamaannya
r= 72+4 sin θ
Penyelesaian kita tulis persamaan itu dalam bentuk baku sebagai berikut.
r=7
2+4 sin θ=
7 /21+2sinθ
=2( 7
4)
1+2sin θ
Yang kita kenal sebagai koordinat polar
menggambarkan sebuah hiperbol dengan e =
2, berfokus di polar dan dengan garis arah
yang mendatar, sejauh 7/4 satuan di atas
sumbu polar ( Figure 12).
Kalkulus Lanjut
B. GRAFIK PERSAMAAN POLAR
Persamaan polar yang ditinjau dalam sebelumnya menuju ke grafik-grafik
yang dikenal, terutama garis, lingkaran, dan konik. Sekarang kita mengalihkan
perhatian kita pada grafik-grafik yang lebik eksotis – kardioida, limason,
lemniskat, mawar, dan spiral. Persamaan-persamaan Cartesius padanannya agak
rumit. Beberapa kurva memiliki persamaan sederhana dalam suatu system; kurva-
kurva ini mmiliki persamaan sederhana dalam system yang kedua. Sifat simetri
dapat membantu kita memahami sebuah grafik. Berikut beberapa uji yang cukup
untuk kesimetrian dalam koordinat polar. Diagram-diagram akan membantu Anda
mengembangkan validitas mereka.
1. Grafik persamaan polar simetri terhadap sumbu-x (sumbu polar) jiak
penggantian (r,θ) atau oleh ( - r, - θ ) memnghasilkan persamaan yang
ekuivalen.
2. Grafik persamaan polar simetri terhadap sumbu-y (gariθ s = /2) jika
penggantian (r, θ) oleh (-r, -θ) atau oleh ( r, - θ ) menghasilkan persamaan
ekuivalen.
Kalkulus Lanjut
3. Grafik persamaan polar simetris terhadap titik asal (polar), jika pengganti ( r, θ
) oleh (- r, θ) atau oleh ( r, + θ ) menghasilkan persamaan yang ekuivalen.
Karena pernyataan ganda titik-titik di dalam koordinat polar, maka mungkin
terdapat simetri-simetri yang tidak teridentifikasi oleh ketiga tes ini.
Kardioida dan Limason kita tinjau persamaan yang berbentuk
r = a ± b cos θ r = a ± b sin θ
dengan a dan b positif. Grafik mereka dinamakan limason, dengan khusus untuk
a = b disebut sebagai kardioda.
CONTOH 1
Analisis persamaan r = 2 + 4 cos θ untuk simetri dan sketsakan grafiknya.
PENYELESAIAN Karena kosinus adalah fungsi genap (cos(-θ) = cos θ), grafik
simetris terhadap sumbu-x. Pengujian simetri yang lain gagal.
Kalkulus Lanjut
Lemniskat Grafik dari
r2 = ± a cos 2θ r2 = ± a sin 2θ
berupa kurva berbentuk-angka-delapan dinamakan lemniskat.
CONTOH 2
Analisis persamaan r2 = 8 cos 2θ untuk simetri dan sketsakan grafiknya
PENYELESAIAN Karena cos(-2θ) = cos 2θ dan
cos [2 ( - θ) ] = cos (2 - 2θ) = cos(-2θ) = cos 2θ
maka grafik simetris terhadap kedua sumbu. Jelas, garfik simetri jga terdapat titik
asal.
Kalkulus Lanjut
Mawar Persamaan polar yang berbentuk
r = a cos nθ r = a sin nθ
menyatakan kurva-kurva berbentuk bunga yang dinamakan mawar. Mawar
memiliki n daun jika n gasal dan 2n daun jika n genap.
CONTOH 3
Analisis r = 4 sin 2θ untuk simetri dan sketsakan grafiknya.
PENYLESAIAN Anda dapat memeriksa bahwa r = s sian 2θ memenuhi ketiga
pengujan simetri. Sebagai contoh, dia memenuhi Uji 1 karena
sin 2( - θ) = sin (2-2θ) = - sin 2θ
sehingga penggantian (r,θ) oleh (-r, - θ) menghsilkah persamaan ekuivalen.
Tabel nilai yang agak lengkap untuk 0 ≤ θ≤ /2, dan yang agak ringkas
untuk /2 ≤ θ≤ 2.
Anak panah pada menunjukkan arah gerak titik P(r,θ) apabila θ bertambah
besar mulai dari 0 hingga 2.
Spiral Grafik r = aθ disebut spiral Archimedes; grafik r = aebθ dinamakan spiral
logaritma (logarithmic spiral).
Kalkulus Lanjut
CONTOH 4
Sketsakan grafik r = θ untuk θ ≥ 0.
PENYELESAIAN Kita abaikan tabel nilai, tetapi perhatikan bahwa grafik
memotong sumbu polar di (0,0), (2, 2), (4, 4), … dan memotong
perpanjangan yang ke kiri di (, ), (3, 3), (5, 5), … .
Perpotongan Kurva dalam Koordinat Polar Dalam koordinat polar sebuah titik
P memiliki banyak koordinat polar, dan satu pasangan dapat memenuhi
persamaan polar satu kurva dan pasangan yang lain dapat memenuhi kurva yang
lain. Misalnya, lingkaran r = 4 cos θ memotong garis θ = /3 di dua titik, yaitu
polar dan (2, /3), tetapi hanya pasangan terakhir yang merupakan penyelesaian
bersama kedua persamaan tersebut. Ini terjadi karena koordinat polar yang
memenuhi persamaan garis adalah (0, /3) dan yang memenuhi persamaan
lingkaran adalah (0, /2 + n).
Kesimpulannya untuk memperoleh semua perpotongan dua kurva yang
persamaan polarnya diberikan, selesaikanlah persamaan-persamaan secara
Kalkulus Lanjut
imulutan; kemugian Gambarkan garfik dua persamaan tersebut secara seksama
untuk menemukan titik potong lain yang masih mungkin.
CONTOH 5
Carilah titik potong dua kardioida r = 1 + cos θ dan r = 1 – sin θ.
PENYELESAIAN Jika kita hilangkan r dari dua persamaan tersebut, kita peroleh
1 + cosθ = 1 – sinθ. Jadi cosθ = - sinθ, atau tanθ = -1. Kita simpulkan bahwa θ =
34 atau θ =
74, yang menghasilkan dua titik potong (1 -
12√2,
34) dan (1+
12√2,
74).
Namun grafik diatas memperlihatkan bahwa kita telah melewatkan titik potong
yang ketiga, yaitu polar. Alasan kita terlewat adalah bahwa r = 0 dalam persamaan
r = 1 + cos θketika θ = , tetapi r = 0 dalam persamaan r = 1 – sin θ ketika θ=¿2.
Kalkulus Lanjut
C. KALKULUS DALAM KOORDINAT POLAR
Luas dalam Koordinat Polar Untuk memulai,misalkan r=f (θ) menentukan
sebuah kurva di bidang,dengan f fungsi kontinu, tak-negatif untuk ∝≤ θ ≤ βdan
β−α ≤2 π. Kurva-kurva r=f (θ ) , θ=α ,dan θ=β membatasi daerah R (yang
diperlihatkan di bagian kiri dalam Gambar 2).yang luasnya A(R) ingin kita
temukan.
Gambar 2
Partisikan interval [∝ ,∝ ¿ menjadi n interval bagian menggunakan sarana
bilangan-bilangan α=θ0<θ1<θ2<…<θn=β ,dengan demikian mengiris daerah R
menjadi n daerah berbentuk kue yang lebih kecil,yaitu R1 , R2 , … , Rn, seperti
diperlihatkan dalam paruhan kanan Gambar 2. Jelas
A ( R )=A ( R1 )+A ( R2 )+…+ A ( Rn ) .
Kita aproksimasi luas irisan ke-I, A ( R1 ); kenyataannya
kita melakukannya dalam dua cara. Pada interval ke-I [
θi−1 ,θ i¿,misalkan f mencapai nilai minimumnya dan nilai
maksimumnya,masing-masing di ui dan v i ( Gambar 3).
Jadi,jika ∆ θ i=θi−θ i−1 ,
Gambar 3
Kalkulus Lanjut
Sehingga
Anggota pertama dan ketiga pertidaksamaan ini adalah jumlah Riemann
untuk integral yang sama: ∫α
β12[ f (θ )]2 dθ . Ketika norma pastisi kita biarkan
menuju nol,kita peroleh (dengan menggunakan Teorema Apit) rumus luas
Contoh soal :
1. Carilah luas satu daun dari mawar berdaun-empat r=4sin 2θ
Jawaban :
Disini kita hanya memperlihatkan daun di kuadran pertama ( Gambar 3)
Daun ini panjangnya 4 satuan dan lebarnya rata-rata 1,5 satuan,
memberikan estimasi 6 untuk luasnya. Luas eksak A diberikan oleh
Kalkulus Lanjut
A=12∫0
π2
16 sin22 θ dθ=8∫0
π2
1−cos4 θ2
dθ
¿4∫0
π2
dθ−¿∫0
π2
cos4 θ .4 dθ ¿
¿ [4θ]0π2−[sin 4 θ ]0
π2
¿2 π
Garis Singgung dalam Koordinat Polar Dalam koordinat Cartesius,
kemiringan m dari garis singgung pada suatu kurva diberikan oleh m = dy /dx .
Dengan cepat kita menolak dy /dϴ sebagai rumus kemiringan yang berpadanan
dalam koordinat polar. Lebih baik. Jika r = f (ϴ) menentukan kurva , kita tuliskan
y = r sin ϴ = f (ϴ) sin ϴ
x = r cos ϴ= f (ϴ) cos ϴ
jadi,
dydx
= limΔx→ 0
ΔyΔx
= limΔx→ 0
Δy / ΔϴΔx / Δϴ
= dy /dϴdx /dϴ
Yakni,
m = f (ϴ ) cosϴ+f ' (ϴ ) sinϴ
−f (ϴ ) sin ϴ+ f ' (ϴ )cos ϴ
Rumus yang baru saja diturunkan menjadi sederhana jika grafik r = fθ ()
melalui polar. Sebagai contoh, andaikan untuk sudut α, r = f (α) = 0 dan f’ (α) ≠ 0.
Maka ( di polar tersebut ) rumus kita untuk m adalah
m = f ' (α )sin α
f ' (α )cos α = tan α
Kalkulus Lanjut
Karena garis = α juga memiliki kemiringan tan α, kita simpulkan bahwa
garis ini menyinggung kurva di polar. Kita memutuskan fakta yang berguna
bahwa garis – garis singgung di titik polar dapat dicari dengan menyelesaikan
persamaan f (θ) = 0. Kita ilustrasikan ini berikutnya
Contoh Soal.
Perhatikan persamaan polar r = 4 sin 3θ.(a)Carilah kemiringan garis singgung di θ = п /6 dan θ = п /4.(b)Carilah garis singgung di titik polar.(c)Sketsakan grafik.(d)Carilah luas satu daun.
Penyelesaian
a. m = f (ϴ ) cosϴ+f ' (ϴ ) sinϴ
−f (ϴ ) sin ϴ+ f ' (ϴ )cos ϴ =
4 sin 3 ϴ cosϴ+12 cos3 ϴ sinϴ−4 sin 3 ϴ sin ϴ+12cos 3ϴ cosϴ
Di θ = п /6
m = 4 . 1 . √32
+12. 0 .12
−4 . 1 .12+12. 0 . √3
2
= -√3
Di θ = п /4
m = 4 . √2
2. √2
2−12. √2
2. √2
2
−4 . √22
. √22
−12 . √22
. √22
= 2−6−2−6
=12
Kalkulus Lanjut
b. Kita tetapkan r = 4 sin 3θ = 0 dan selesaikan. Ini menghasilkan θ = 0, θ = п /3, θ = 2 п/3, θ = , п θ = 4 п/3, dan θ = 5 п/3.c. Setelah memperhatikan bahwa
sin 3 ( п - θ ) = sin ( 3п - 3θ ) = sin 3п cos 3θ - cos 3п sin 3θ = sin 3θ
yang mengaplikasikan simetris terhadap sumbu-y, kita dapatkan suatu
tabel nilai dan mensketsakan grafik , sebagai berikut
θ R
0 0
п /12 2,8
п /6 4
п /4 2,8
п /3 0
5 п/12 -2,8
п /2 -4
θ= 2 π3
θ=π3
θ=4 π3
θ=5 π3
d. A = 12∫0
п /3
¿¿¿ dϴ = 8 ∫0
п /3
sin23 ϴ dϴ
Kalkulus Lanjut
= 4 ∫0
п /3
¿¿ = 4 ∫0
п /3
dϴ - 46
∫0
п /3
cos 6 ϴ .6 dϴ
= [4ϴ−23
sin 6ϴ ]0
п /3
= 4 п3
KESIMPULAN
Sebarang titik P (selain polar) adalah perpotongan anatar sebuah lingkaran
tunggal yang berpusat di O dan sebuah sinar tunggal yang memancar dari
O. Jika r adalah jari-jari lingkaran dan Ѳ adalah salah satu sudut antara
sinar dan sumbu polar, maka (r,Ѳ) adalah sepasang koordinat polar
untuk P.
Maka koordinat polar (r,Ѳ) sebuah titik P dan koordinat Cartesius (x,y)
titik yang sama itu dihubungkan oleh persamaan
Polar ke Cartesius Cartesius ke Polar
x = r cosѲ r2 = x2 + y2
y = r sin Ѳ tanѲ = yx
Grafik persamaan polar dibagi menjadi grafik kadiodida, limason,
lemniskat, mawar dan spiral.
Perpotongan kurva dalam koordinat polar diperoleh dengan menyelesaikan
persamaan polar secara simultan dan menggambarkan grafik dua
persamaan tersebut untuk kemungkinan titik potong yang lain.
Luas dalam koordinat polar, yaitu : A = 12
∫α
β
[ f (Ѳ)]2. dѲ
Garis singgung dalam koordinat polar dapat dicari melalui kemiringan
kurva polar tersebut.
Kalkulus Lanjut