vectores: física conceptual-espol

CANTIDADES ESCALARES Y VECTORIALES

Las cantidades físicas (ej: velocidad, masa, fuerza) presentan características operacionales diferentes, estas diferencias se reflejan al momento de realizar operaciones matemáticas con ellas.

Las cantidades conocidas como escalares obedecen las reglas aritméticas de la suma, resta, multiplicación y división.

Las cantidades conocidas como Vectores obedecen reglas diferentes, conocidas como Algebra de Vectores

08/10/20091FLORENCIO PINELA - ESPOL

CANTIDADES ESCALARES Y VECTORIALES

Se tienen las siguientes cantidades físicas:

Fuerza, aceleración, masa, peso, tensión.

¿Cuál de las siguientes operaciones son físicamente permitidas?.

FUERZA + ACELERACIÓN => NO ES PERMITIDO

(MASA) x (ACELERACIÓN) => SI ES ES PERMITIDO

PESO + TENSIÓN => SI ES PERMITIDO


FUERZA + MASA => NO ES PERMITIDO

08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 3

La mayoría de nosotros estamos

acostumbrados a la siguiente forma de

matemáticas:

6 + 8 = 14.

Todavía, somos extremadamente inquietos

sobre esta forma de matemáticas:

6 + 8 = 10

y

6 + 8 = 2

y

6 + 8 = 5

77

82

8368

5566

83

75 80

9091

7571

80

72

84

73

82

88

92

77

8888

7364

Una Cantidad Escalar: sólo requiere de una

magnitud y su unidad

Estos valores aislados de temperatura son un ejemplo de una cantidad escalar

(Usted tiene solo idea del valor de la temperatura en el punto escogido).

08/10/2009 4FLORENCIO PINELA - ESPOL

77

82

83

68

5566

83

75 80

9091

7571

80

72

84

73

57

88

92

77

5688

7364

Una Cantidad VectorialIt may be more interesting to know which way the wind is blowing...

Esto requeriría de una cantidad vectorial

(Usted conoce tanto de la rapidez como de la dirección)

Puede ser mas interesante conocer la dirección en que sopla el viento

08/10/2009 5FLORENCIO PINELA - ESPOL

Un reportero da una noticia e indica:

“Dos autos colisionan en una calle céntrica de la ciudad. Uno de los

conductores asegura que sólo viajaba a 40 km/h, mientras que el

otro insistía que no superaba el límite de 60 km/h”

• ¿Es suficiente la información para darnos cuenta de la “gravedad”

del choque?

a) SI b) NO

• ¿En cuál de los siguientes casos se produciría el mayor daño en

los vehículos durante la colisión?

a) Viajan en la misma dirección

b) Viajan en direcciones contrarias

c) Viajan en direcciones perpendiculares


¿Qué preguntaría el piloto a la torre de control, si de ésta le indican

que el viento sopla en el aeropuerto a 40 km/h?


Gráfico superior Gráfico inferiorEl viento se mueve a una velocidad de 40

km/h hacia la izquierda. Si el avión vuela

a una velocidad de 160 km/h con respecto

al aire. ¿Cuál es la velocidad del avión

con respecto a la tierra?

El viento se mueve a una velocidad de 40

km/h hacia la derecha. Si el avión vuela a

una velocidad de 240 km/h con respecto

al aire. ¿Cuál es la velocidad del avión

con respecto a la tierra?


Los vectores se suman considerando su magnitud y dirección

Representación Gráficade un Vector

dirección: obvio

magnitud: longitud

La localización es irrelevante

Estos son

idénticos


a

b

c

c

aCosSen

c

bSenCos

cSena cCosb

222 bac

22222 CoscSencc

221 CosSen

Repaso de Trigonometría básica

Para un triángulo rectángulo, el seno de uno de los

ángulos es igual al coseno de su complemento

El teorema de Pitágoras es válido

únicamente para triángulos rectángulos

opuestosen

hipotenusa

adyacentecos

hipotenusa

opuestotan

adyacente


Op

ues

to

adyacente

Representación de un vector en Coordenadas Rectangulares

Cualquier vector, A, que se encuentre en el plano x-yes posible representarlo por medio de sus componentes rectangulares: Ax y Ay

A

Ax

Ay

Ax = A cos

Ay = A sen

2 2

x yA A A

1tan tany y

x x

A A

A A

x yA A A

2 2 2

x yA A AForma matemática de expresar que el vector A

es igual a la suma de los vectores Ax y Ax

Magnitud

del vector A


x

y

La dirección de un vector en 2-D

x

y

-α

Sea = 130

Sen 130 = 0,766

Cos 130 = -0,643

α = - 230

Sen(-230 )= 0,766

Cos(-230 )=-0,643

• Positivo en “sentido” antihorario

• Negativo en “sentido” horario08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 13

Compruebe el signo

de las componentes!


la componente rectangular de un

vector que apunte a la derecha se

considera positiva. Hacia la izquierda

negativa.

la componente rectangular de un

vector que apunte hacia arriba se

considera positiva. Hacia abajo negativa.

..\..\..\..\Program Files\PhET\simulations\sims1dbf.html

Pregunta de Concepto:

Todos los vectores de la figura tienen la misma magnitud, cuál de

ellos tiene la mayor componente horizontal?

A B C


Pregunta de concepto:

Se nos dice que un vector, A, tiene como componentes rectangulares: Ax = 2, Ay = -4. Cuál de los siguientes vectores representaría mejor al vector A?

a b c


Pregunta de concepto:

Se nos dice que un vector, A, tiene como componentes rectangulares: Ax = 2, Ay = -4. ¿Cuál sería la magnitud del vector A?

a)

b)

c)

d) 6

20

12

22

-4


Pregunta de Actividad:

Para el vector indicado en la figura, cuya magnitud es de 20 unidades. ¿Cuál es el valor de su componente vertical?

150a) 20

b) 17,2

c) 10

d) 5



Se nos dice que un vector, A, tiene como componentes rectagulares: Ax = -2, Ay = -4. ¿Cuál sería la magnitud y dirección del vector A?

-2

-4

a) 20 30

b) 6 243,4

c) 6 63,4

d) 20 243,4


Algunas veces es más conveniente representar un punto en el plano por

sus coordenadas polares, (r, ) donde r es la distancia desde el origen

hasta el punto de coordenadas (x,y) y es el ángulo entre r y un eje

fijo, medido contrario a las manecillas del reloj.

r

(x,y)

x

y

o

tany

x

2 2r x y

1tany

x


Ejemplo: Encuentre el vector en coordenadas polares si sus coordenadas en el plano x-y son (-2, -5)

-2

-5

¡Cuidado cuando use

tan = y/x !

' 1 5tan 68, 2

2

o

¡Línea de acción del vector!

180 68,2o or

2 2( 2) ( 5) 29r

: 29; 248,2or


Se identifican dos procedimientos para sumar o restar vectores.

• El Método Gráfico (Polígono)

• Método Analítico (Descomposición vectorial)



Los casos más simples


Los casos simples de vectores

perpendiculares


casos más complicados en los cuales los vectores se

dirigen en direcciones diferentes en comparación con las

direcciones puramente verticales y horizontales.

A

C B

A + B = C

A

B

Observe que el vector resultante

(negro) tiene un valor máximo y

mínimo. ¿Cuándo ocurre esto?


Los vectores se unen extremo con origen, conservando su

magnitud y dirección. El vector resultante parte del origen del primero al extremo del último

Los vectores se unen extremo con origen,

conservando su magnitud y dirección. El vector resultante parte del origen del primero al extremo

del último

A

B

A+B

C

A+B+C

D

RR = A + B +C + D

R A B C D


C A B

C B A

A

A

A

B

B

B

C

C

C

No importa el orden en que se sumen, su resultante siempre será la misma !


LA SUMA DE VECTORES ES CONMUTATIVA

(ejemplo de tres vectores)



A+B+C=D

AB

C

Sean los vectores A, B, y C de la figura, ¿Cuál sería la magnitud y dirección del vector resultante de sumar A, B y C ?

Pregunta de actividad:

a)b) c)


Pregunta de concepto

Se tienen dos vectores de 10 y 15 unidades de magnitud. ¿Cuál sería el valor de la mínima y máxima magnitud de la suma de los dos vectores?

El valor mínimo sería de 5 unidades.

El valor máximo sería de 25 unidades

a) minimo: 5 maximo 15

b) Minimo: 0 maximo: 25

c) Minimo: 5 maximo: 25


Los cuatro vectores de la figura tienen sus extremos y origen sobre la superficie de una esfera de radio R, como se indica en la figura. ¿Cuál es la magnitud del vector resultante de la suma de los cuatro vectores?

a) R b) 2R c) 3R d) 4R e) 5R



Todos los vectores que forman el cuadrado mostrado en la figura tienen una magnitud de 10 unidades. La resultante de la suma de los cinco vectores es:

a) 10 b) 20 c) 10 d) 5 e) 52 2




Sea C = A + B. Si el módulo del vector A es de 25 u y el módulo del vector B es de 12 u. ¿Qué se puede decir respecto a los vectores A y B, sabiendo que el módulo de C es de 13 u

a) La dirección de A es contraria a la dirección de B

b) La dirección de A es la misma que la dirección de B

c) La dirección de A es perpendicular a la dirección de B

d) La dirección de A es paralela a la dirección de B.


EL VECTOR NEGATIVO

LA MAGNITUD O MODULO DE UN VECTOR ES SIEMPRE UNA CANTIDAD POSITIVA.

Un vector es negativo cuando apunta en dirección contraria a uno definido como positivo.

A -AB

-B

C

-C


RESTA DE VECTORESRESTARLE UN VECTOR A OTRO VECTOR ES EQUIVALENTE A SUMARLE SU VECTOR NEGATIVO

A – B = A + (- B)

AB

A-B A-B

Si los vectores se unen por su origen, la resultante de Se dirige desde el extremo de B hasta el extremo de A


Sean los vectores A y B que se muestran en la figura.

¿Cuál de las alternativas representa el vector B - A?

AB

a)b) c)



Sean los vectores A y B; el vector A tiene 10 unidades de magnitud. El vector A – B es perpendicular al vector A y tiene 15 unidadesde magnitud. La magnitud del vector B es

a) 18.0 b) 16.0 c) 13.0 d) 11.2 e) 8.0

A

A-BB




Para los vectores a, b y c, indicados en la figura. ¿Cuál de las siguientes alternativas es correcta?

3) c b a

1) a c b

2) a b c

4) Todas son correctas

a

b

c



Para los vectores a y b de la figura. ¿Cuál de las siguientes operaciones entre los vectores a y b tiene la mayor magnitud?

3) 2 2a b

1) 2a b

2) a b

a b

4) a b


• El método geométrico de suma de vectores NO es el

procedimiento recomendado en situaciones donde se requiere alta

precisión o en problemas tridimensionales.

En esta sección se describe un método para sumar vectores que

hacen uso de las proyecciones de un vector a lo largo de los ejes de

un sistema de coordenadas rectangular.

A estas proyecciones se las llama componentes del vector.

Cualquier vector se puede describir completamente por sus

componentes.


La dirección de un vector, por convención, siempre se mide con respecto al eje positivo de las “x”. Positivos en “sentido” antihorario


Componentes: magnitudes en las direcciones x y y, generalmente (x = derecha, y = arriba)

C

B

A

A = (4, 3)

B = (0, –2)

C = A + B = (4+0, 3–2) = (4, 1)

x

y

¿Cuál es el valor de A + B?


Pregunta de concepto:Vectores

Vector A = {0,2}

Vector B = {3,0}

Vector C = {1,-4}

What is the resultant vector, D, from adding A+B+C?

(a) {3,5,} (b) {4,-2} (c) {5,-2}



Pregunta de concepto:Vectores

Vector A = {0,2}

Vector B = {3,0}

Vector C = {1,-4}

What is the resultant vector, E, from adding A+B-C?

(a) {2,2} (b) {4,-2} (c) {2,6}


SUMA DE VECTORES: COMPONENTES ORTOGONALES

AB

C


A

Ax

Ay

Bx

By

Cx

Cy

R

B C

Rx

Ry

Rx = Ax + Bx + Cx

Ry = Ay + By + Cy08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 50

Ry

Rx

R

Rx = Ax + Bx + Cx (suma vectorial)

Ry = Ay + By + Cy (suma vectorial)

Magnitud del vector R 2 2

x yR R R

Línea de acción del

vector R

1tany

x

R

R

DETERMINACIÓN DE LA MAGNITUD Y DIRECCIÓN

DEL VECTOR R


DETERMINACIÓN DE LA MAGNITUD Y DIRECCIÓN DEL VECTOR RESULTANTE




Determine la magnitud y dirección del vector R, donde R = A + B + C + D

A = 40

B = 20

C = 30

D = 40

a) R = 22,4 = 163,4

b) R = 130 = - 63,4

c) R = 22,4 = - 63,4°

d) R = 30 = - 63,4°


A = 40

B = 20

C = 30

D = 40

10

20 R

2 210 20 22,4R

1 20tan 63,4

10

o



• Sean los vectores A, B y C. con sus componentes

rectangulares:

A: (2, -4) B: (4, 6) C: (-3, 2)

¿Cuál es la magnitud del vector resultante de la suma A + B + C?

a) 0 b) 7 c) 5 d) 20


A=40B=10

Ejemplo: Para los vectores indicados en la figura, determine la magnitud y dirección del vector R, donde R = A+B

3040


A=40

B=10

3040

40 cos 30o

40 sen 30o

-10 cos 40o

10 sen 40o

0 040cos30 10cos 40 27xR

0 040 30 10 40 26,4yR sen sen

2 227 26,4 37,7R1 026, 4

tan 44,727


A=40B=10

C =30

Para los vectores indicados en la figura, determine la magnitud y dirección del vector R, donde R = A+B-2C

30

40

40


A=40B=10

C =30

30

40

40

Expresemos todos los ángulos respecto al eje

positivo de las “x”

A = 30

B = 140

C = - 40


R = A+B-2C

A=40B=10

C =30

30

40

40

2x x x xR A B C

2y y y yR A B C

cos cos 2 cos

2

x A B C

y A B C

R A B C

R Asen Bsen Csen

40cos30 10cos140 2(30)cos ( 40 )

40 30 10 140 2(30) ( 40 )

o o o

x

o o o

y

R

R sen sen sen

19

65

x

y

R

R


19

65

x

y

R

R

' 1 65tan 73,7

19

o

180 73,7 106,3o o o

2 2( 19) (65) 67,7R

R


08/10/2009 11:46

FIN DE ESTA UNIDAD

LA PROXIMA CLASE:

• LECCION SOBRE “VECTORES”

Para los vectores mostrados en la figura. ¿Cuál de las siguientes alternativas es la correcta?

a) j + g - c = a + 2e

b) b + f - i = j + h - a

c) a + b + c = 2g

d) a + b + d + e = f + h + i

e) b + f + i = a + j + h

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vectores: física conceptual-espol

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