vectores espol

5/23/2018 Vectores ESPOL

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12/02/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 1

Representacin Grficade un Vector

direccin: obviomagnitud: longitud

La localizacin es irrelevante

Estos sonidnticos


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Representacin de un vector enCoordenadas Rectangulares

Cualquier vector A que se encuentre en el planox-yes posible representarlo por medio de suscomponentes rectangulares Axy Ay

A

Ax

Ay

Ax

= A cos

Ay = A sen

2 2

x yA A A A

1tan tan

y y

x x

A A

A A

x yA A A

2 2 2

x yA A A! !4

3

7

x

y

x y

CuidadoA

A

A A A



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Representacin de un vector enCoordenadas Polares

Algunas veces es ms conveniente representar un punto en el planopor sus coordenadas polares, (r, ) donde res la distancia desde elorigen hasta el punto de coordenadas (x,y) y es el ngulo entre r yun eje fijo, medido contrario a las manecillas del reloj.

r

(x,y)

x

y

o

tany

x

2 2r x y

1

tan

y

x

12/02/2009 FLORENCIO PINELA - ESPOL 3


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La direccin de un vector en 2-D

x

y

-

Sea = 130

Sen 130 = 0,766

Cos 130 = -0,643

= - 230

Sen(-230 )= 0,766

Cos(-230 )=-0,643 Positivo en sentido antihorario

Negativo en sentido horario



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Ejemplo: Encuentre el vector en coordenadas polaressi sus coordenadas en el plano x-y son (-2, -5)

-2

-5

Cuidado cuando usetan = y/x !

' 1 5

tan 68,22

o

Lnea de accin delvector!

180 68,2o or

2 2( 2) ( 5) 29r: 29; 248,2or



6/62

El Mtodo Grfico para la Suma de Vectores

Los vectores se unenextremo con origen,

conservando sumagnitud y direccin.

El vector resultanteparte del origen delprimero al extremo

del ltimo

A

B

A+B

C

A+B+C

D

RR = A + B +C + D

R A B C D

Florencio Pinela

12/02/20096FLORENCIO PINELA - ESPOL
http://faraday.physics.utoronto.ca/PVB/Harrison/Flash/Vectors/Add3Vectors.htmlhttp://faraday.physics.utoronto.ca/PVB/Harrison/Flash/Vectors/Add3Vectors.html


7/62

LA SUMA DE VECTORES ES CONMUTATIVA(ejemplo de cinco vectores)



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EL VECTOR NEGATIVOLA MAGNITUD O MODULO DE UN VECTOR ES

SIEMPRE UNA CANTIDAD POSITIVA.

Un vector es negativo cuandoapunta en direccin contraria a unodefinido como positivo.

A -A B -B C

-C

Cuando un vector NO est referido a unsistema de coordenadas.



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RESTA DE VECTORES

RESTARLE UN VECTOR A OTRO VECTOR ESEQUIVALENTE A SUMARLE SU VECTOR NEGATIVO

A B = A + (- B)

A B

A-B A-B

Polgono

Del extremo de B alextremo de A

Unamos los vectores por su origen



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Pregunta de concepto

Para los vectores a, b y c, indicados en la

figura. Cul de las siguientes alternativas escorrecta?

3)c b a

1)a c b

2)a b c

4) Todas son correctas

a

b

c



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LA LEY DEL COSENO

Sean los vectores a y b

a

b

a

b

Sea el menor ngulo formado entre los vectoresunidos por su origen

Sea el ngulo formado entre los vectores unidosextremo con origen



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Sea P el vector resultante de la diferenciaentre los vector ay b, y sea R la resultante

de la suma entre ay b.

a

bP

R

R2 = a2 + b2 + 2ab Cos

P2 = a2 + b2 - 2ab CosRecuerde que la magnitud del vector a b es iguala la magnitud del vector b a

P = a - bR = a + b



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Vectores Unitarios:

Un Vector Unitario es un vector

que tiene magnitud 1 y no tieneunidades

Es usado para especificar unadireccin

Un vector unitario uapunta en ladireccin de U

A menudo denotado con unsombrero: u =

Ejemplos tiles son los vectoresunitarios cartesianos [ i, j, k]

apuntando en las direcciones

de los ejesx, yy z

U

x

y

z

i

j

k


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LOS VECTORES UNITARIOS i, j y k

U

uU

Un vector unitario es la relacin entre el vectory su magnitud

x

y

z

i

j

k

x y zA A A A

x y zA A i A j A k



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Suma de Vectores usandocomponentes:

Considere C= A + B.

(a) C = (Axi+ Ayj) + (Bxi + Byj) = (Ax+ Bx)i+ (Ay+ By)j

(b) C = (Cxi+ Cyj)

Comparando las componentes de (a) y (b):

Cx= Ax+ Bx

Cy= Ay+ By

C

BxA

ByB

Ax

Ay


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A = Ax i + Ayj + Az k

Cualquier vector puede ser expresado entrmino de vectores unitarios.

Se pueden sumar, restar y multiplicar

Sean los vectores A= 2i 4j + 6k y B= 4i + 2j 3k

A B

A B

2A B



17/62

A

B

C

Exprese los vectores de la figura en funcin de vectores unitarios



18/62

A

B

C

Para los vectores de la figura realice la siguiente operacin:

A + B 2C


18


19/62

Las componentes ortogonales del vector Aen tres dimensiones (3D).

x

y

z

Axi

A

Ayj

Azk

x y zA A i A j A k

2 2 2

x y zA A A A



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Exprese el vector indicado en la figura enfuncin de sus componentes rectangulares

i, j k.

10

4

8

x

y

z

10 i

- 8 j

4 k

A

Cul sera la magnituddel vector A?



21/62

Determine la magnitud de los vectores A, B y C

5

6

8

A B

C



22/62

ax

z

b

6

4

5

y

UTILIZANDO LA LEY DEL COSENO DETERMINE ELVALOR DEL NGULO FORMADO ENTRE LOS

VECTORES a Y b DE LA FIGURA

12/02/2009 22FLORENCIO PINELA - ESPOL


23/62

Para el paraleleppedo de la figura, determine el nguloformado entre los vectores ay b.

a) 45,0

b) 48,2

c) 50,2

d) 53,8

e) 55,2

a x

z

b

6

4

5

y



24/62

LA LEY DEL SENO

a

b

c


Sen Sen Sen

a b c

a b c

Sen Sen Sen


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Utilice la ley del seno para determinar los valoresde las tensiones de cada una de las cuerdas.

20

40

100 N

T1T2

T3



26/62

20

40

100 N

T1

T2

T3

70

40

70

3 22

40100

70 40 70

o

o o o

T T senT N

sen sen sen

3 1 100T T N

T1

T2

T3=100 N

3 1

70 70o o

T T

sen sen



27/62

El Mtodo Analtico para

la Suma de Vectores

El mtodo geomtrico de suma de vectores NO es elprocedimiento recomendado en situaciones donde se requiere altaprecisin o en problemas tridimensionales.

En esta seccin se describe un mtodo para sumar vectores quehacen uso de las proyecciones de un vectora lo largo de los ejes deun sistema de coordenadas rectangular.

A estas proyecciones se las llama componentes del vector.Cualquier vector se puede describir completamente por suscomponentes.



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SUMA DE VECTORES: COMPONENTES ORTOGONALES

AB

C



29/62

A

Ax

Ay

Bx

By

Cx

Cy

R

B C

Rx

Ry

x x x xR A B C

y y y yR A B C



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Ry

Rx

R

Rx = Ax + Bx + Cx (suma vectorial)

Ry = Ay + By + Cy (suma vectorial)

Magnitud del vector R

2 2

x yR R R

Lnea de accin delvector R

1tan y

x

R

R

DETERMINACIN DE LA MAGNITUD Y DIRECCINDEL VECTOR R



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Determine el vector que al sumarse a losvectores ay b den una resultante nula.

a) i 10j + 3kb) 2i 5j + 6kc) 5j + 6k

d) 10j 3ke) 10j + 3k

5

37

ab

x

y

z



32/62

A

Ax

Ay

Az

xACosA

yACosA

zACosA

VECTOR EN 3-D Y LOS COSENOS DIRECTORES

x

y

z



33/62

NOTAS IMPORTANTES SOBRE LADIRECCIN DE UN VECTOR

Si el vector se encuentra en el plano (2-D), ladireccin del vector ser indicada a travs del valor

del ngulo que forma el vector con el eje positivo delas x.

Si el vector se encuentra en el espacio (3-D), la

direccin del vector ser indicada por los ngulosque forma el vector con cada una de las direccionespositivas de los ejes de coordenadas.



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RELACIN ENTRE LOS COSENOS DIRECTORES

A

ACos x

A

ACos

y

A

ACos z

2222

zyx AAAA

2222222 CosACosACosAA

)( 22222 CosCosCosAA

1222 CosCosCos

2222 )()()( ACosACosACosA

Con esta expresin, si conocemos dos de lostres ngulos podemos hallar el tercero.

Teorema dePitgoras en

3-D



35/62

10

4

8

x

y

z

10 i

- 8 j

4 k

ACul es la direccindel vector A?



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El vector mostrado en la figura tiene unamagnitud de 20 unidades. El ngulo queforma el vector con el eje yes:

a) 30,0

b) 60,0

c) 72,5

d) 41,1

e) 35,2

8

6

y

z

x



37/62

Para los vectores del grfico determine elngulo formado entre los vectores ay b

a) 55b) 62

c) 72d) 82e) 90

5

37

ab

x

y

z



38/62

EL PRODUCTO ESCALAR DE VECTORESSean A y B dos vectores y sea el menor ngulo formado

entre los vectores unidos por su origen

A

B

A B = A B Cos

De acuerdo a la definicin, A B es un nmeroque puede ser positivo, negativo o cero, tododepende del valor del ngulo entre losvectores.



39/62

A

B = 0

A

B < 0

A B > 0

A

B

B

A

A

B



40/62

A

B BA A

B

Dados los vectores A y B. En cul de los siguientes casosel valor de AB tiene el mayor valor

1

2 3



41/62

EL PRODUCTO ESCALAR EN COORDENADAS CARTESIANAS

SEAN LOS VECTORES: A = Ax i + Ayj + Az k y B = Bx i + Byj + Bz k

A B = (Ax i + Ayj + Az k) (Bx i + Byj + Bz k)

A B = (Ax i) (Bx i + Byj + Bz k) + Ayj (Bx i + Byj + Bz k) + Az k (Bx i + Byj + Bz k)

El producto escalar entre vectores respectivamenteperpendiculares es igual a cero

A B = Ax i (Bx i) + Ayj (Byj) + Az k (Bz k)

A B = Ax Bx + Ay By + Az Bz



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A = Ax i + Ayj + Az k y B = Bx i + Byj + Bz k

A B = Ax Bx + Ay By + Az Bz

TENGA CUIDADO CON LOS SIGNOS DE LASCOMPONENTES DE LOS VECTORES!

A

B = B

AEL PRODUCTO ESCALAR ES

CONMUTATIVO

A B = Suma de los productos de sus respectivas componentes



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INTERPRETACIN GEOMTRICA DEL PRODUCTO ESCALAR

A

B Acos es la proyeccin del vector Asobre el vector B, esto es AB

El rea del rectngulo que tienepor lados A Cos y B, es AB Cos

AB Cos es por definicin el resultado demultiplicar escalarmente dos vectores demagnitudes A y B que forman un ngulo .

A B =ABB = BAA = AB Cos = Ax Bx + Ay By + Az Bz



44/62

Dado el siguiente grfico:

P

QS

Entonces: SP = SQ

a) Verdad

b) Falso

c) Faltan los ngulos de los vectores



45/62

Para que los vectores: a = 6 i 3j + 6 ky b = i 2j + 3 k sean ortogonales,

debe tomar el valor de

a) 4b) 4c) 6d) 6e) 8



46/62

Sean lo vectores: a = 5i - 2j + 3k yb = 2i + 5j + 6k. La proyeccin delvector a sobre el vector b es.

a) 4.6b) 3.2c) 2.8d) 2.2

e) 1.2



47/62

A

B

C

Para los vectores de la figura evale la siguiente

operacin 2A B12/02/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 47


48/62

Conociendo que |A| = 10 u y |B| = 1 5 u ,el ngulo formado entre los vectores

Ay B esa) 90,0

b) 86,4c) 80,4d) 76,4e) 70,4

x

y

z

5a

b


EL PRODUCTO CRUZ DE VECTORES


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EL PRODUCTO CRUZ DE VECTORESSean A y B dos vectores y sea el menorngulo formado entrelos vectores unidos por su origen.

A

B

Se define el producto A x B como otro vector, llamemos C aeste vector. Por definicin C es un vector perpendicular alplano formado por los vectores Ay By su direccin est de

acuerdo a la regla de la mano derecha, la magnitud delvector C es por definicin:

C C AB Sen

C A x B


L l d l d h l


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La regla de la mano derecha y ladireccin del vector C

Cruce el vector A con elvector B barriendo elmenor ngulo. El pulgar

extendido le da ladireccin del vector C



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A

B

C

B

A

-C

A x B = C

B x A = - C

A x B = - B x A

El producto vectorialno es conmutativo!!!

DIRECCIN DEL VECTOR C


INTERPRETACIN GEOMTRICA DEL


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INTERPRETACIN GEOMTRICA DELPRODUCTO VECTORIAL

A

B

A Sen

C = AB Sen => rea del paralelogramo formadopor los vectores A y B

A x B = C = AB sen


P l i t t C A B


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Para la operacin entre vectores C = AxBindique si cada enunciado es correcto o no

1. (A x B) x C = 0 V F

2. C (A x B) = C2 V F

3. La proyeccin del vector A sobre V Fel vector C es cero

4. La proyeccin del vector C sobre V F

el vector B es diferente de cero5. La magnitud del vector C V F

corresponde al rea del paralelogramo formado de A y B

12/02/200953


54/62

EL PRODUCTO VECTORIAL EN COORDENADAS CARTESIANAS

SEAN LOS VECTORES: A = Ax i + Ayj + Az k y B = Bx i + Byj + Bz k

A x B = (Ax i + Ayj + Az k) x (Bx i + Byj + Bz k)

A x B = (Ax i) x (Bx i + Byj + Bz k) + (Ayj) x (Bx i + Byj + Bz k) + (Az k) x (Bx i + Byj + Bz k)

El producto cruz de vectores que tienen la misma direccin vale cero!!

A x B = (Ax i) x (Byj + Bz k) + Ayj x (Bx i + Bz k) + Az k x (Bx i + Byj)

A x B = AxBy i xj + AxBz i x k + AyBxj x i + AyBzj x k + AzBx k x i + AzBy k xj



55/62

A x B = AxBy i xj + AxBz i x k + AyBxj x i + AyBzj x k + AzBx k x i + AzBy k xj

i

jk

i xj = k

j x k = i

k x i =j

i x k = -j

j x i = -k

A x B = AxBy k + AxBz (-j) + AyBx (-k) + AyBz i + AzBxj + AzBy (-i)

A x B = (AyBz AzBy)i + (AzBx AxBz)j + (AxBy AyBx)k

i

j

k -j

-k

Agrupemos los trminos i, j y k



56/62

A x B = (AyBz AzBy)i + (AzBx AxBz)j + (AxBy AyBx)k

A x B =

i j k

Ax Ay Az

Bx By Bz

=Ay AzBy Bz i -

Ax AzBx Bz j + Bx By

Ax Ayk

( )( ( ) )

yx z

x z z xy z z y

C

x y y x

CC

A B A BA B A BC kA B A B ji



57/62

Sean los vectores A = 3 i j + 2 k y B = -2 i 2j 4 k, elvector unitarioperpendicular al plano formado por los

vectores A y B es

kjib192

8

192

8

192

8)

kjia128

8

128

80)

kjie

384

8

384

8

384

8)

kjic186

8

186

11

186

1)

kjie384

8

384

16

384

8)



58/62

Cul de las siguientes alternativas representa unvector perpendicular al plano sombreado de lafigura?.

a) 24i + 20j + 30kb) 5i + 6j + 8k

c) 12i 10j + 15kd) 12i 10j 15ke) 24i + 20j+ 15k 4

5

6

x

y

z


DETERMINE EL VALOR DEL REA DEL PLANO


59/62

DETERMINE EL VALOR DEL REA DEL PLANOSOMBREADO DE LA FIGURA

4

5

6

x

y

z

A

B


Dos vectores A y B vienen expresados por:


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Dos vectores A y B vienen expresados por:A = 3i + 4j + k ; B = 4i - 5j + 8k. Es verdad que AyB:

a) Son paralelos y apuntan en la misma direccin.b) Son paralelos y apuntan en direcciones contrarias.c) Forman un ngulo de 45 entre s.

d) Son perpendiculares.e) Todas las alternativas anteriores son falsas.



61/62

Sean las rectas AB y AC las que se cruzan en el punto A decoordenadas (4,-5,6), y los puntos B y C de coordenadas(2,3,5) y (5,4,2) respectivamente. Cul de las siguientesalternativas representara un vector perpendicular al planoformado por las rectas?.

a) 23 i 9j 26 kb) 9 i 14j + 8 kc) 9 i 23j + 26 kd) 23 i 9j + 26 ke) 9 i + 14j 8 k


Sean las rectas AB y AC las que se cruzan en el punto A de


62/62

Sean las rectas AB y AC las que se cruzan en el punto A decoordenadas (4,-5,6), y los puntos B y C de coordenadas (2,3,5) y(5,4,2) respectivamente. Determine un vector que sea

perpendicular al plano formado por las rectas?.

A

B

C

vectores espol

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