vde con carga puntual en el centro

Mauricio Centeno Silva TAREA 1

Obtener los momentos y reacciones de la viga hiperestática doblementeempotrada con una carga puntual en el centro.

Para poder analizar el elemento estructural es necesario descomponer la vigahiperestática a las vigas simples necesarias.

1

!!!!!!!!! Para calcular �A

Por equilibrio externoXMA = 0

�P�l2

�+ (l)RB = 0

RB =12P

XFy = 0

RA � P +RB = 0RA =

12P

Variación de esfuerzos 0 � x < l2

PFx = 0

PFy = 0

PMz = 0

N (x) = 0 12P � V = 0 � 1

2Px+M = 0

V (x) = 12P M (x) = 1

2Px

V (0) = 12P M (0) = 0

V�l2

�= 1

2P M�l2

�= Pl

4

2

l2 � x < l

PFx = 0

PFy = 0

PMz = 0

N (x) = 0 12P � P � V = 0 � P

2 x+ P�x� l

2

�+M = 0

V (x) = � 12P M (x) = 1

2Pl�12Px

V�l2

�= � 1

2P M�l2

�= 1

4Pl

V (l) = � 12P M (l) = 0

Diagramas de cortante y momento.

3

Por carga unitaria.


�1 + (l)R0B = 0R0B =

1l

XFy = 0

�R0A +R0B = 0R0A = R

0B =

1l

Variación de esfuerzos

PFx = 0

PFy = 0

PMz = 0

n (x) = 0 �R0A � v = 0 � 1 +R0Ax+m = 0

v (x) = �R0A = � 1l m (x) = 1�R0Ax = 1� 1

l x

v (0) = � 1l m (0) = 1

v (l) = � 1l m (l) = 0


4

Para el giro en A.

�A =R l0N(x)n(x)

EA dx+R l0k V (x)v(x)GA dx+

R l0M(x)n(x)

EI dx

Despreciando el cortante.

�A =R l0M(x)n(x)

EI dx

�A =1EI

R l2

0

��12Px

� �1� x

l

��dx+ 1

EI

R ll2

�( 12Pl �

12Px)

�1� x

l

��dx

= 124P

l2

EI +148P

l2

EI

=) �A =116P

l2

EI

)=)Como es simetrica la viga para el giro en B: �B = �A = 116P

l2

EI

!!!!!!!!! Para calcular �0A

Por equilibrio externo

XMA = 0

�M1 + (l)R00B = 0

R00B =1lM1

XFy = 0

�R00A +R00B = 0R00A = R

00B =

1lM1

5


PFx = 0

PFy = 0

PMz = 0

N (x) = 0 � 1lM1 + V = 0 �M1 +R

00Ax+M = 0

V (x) = � 1lM1 M (x) = �M1

l x+M1

V (0) = � 1lM1 M (0) =M1

V (l) = � 1lM1 M (l) = 0


6

Por carga unitaria.


�1 + (l)R000B = 0R000B =

1l

XFy = 0

�R000A +R000B = 0R000A = R

000B =

1l


PFx = 0

PFy = 0

PMz = 0

n (x) = 0 �R000A � v = 0 � 1 +R000Ax+m = 0

v (x) = �R000A = � 1l m (x) = 1�R000Ax = 1� 1

l x

v (0) = � 1l m (0) = 1

v (l) = � 1l m (l) = 0

7


Para el giro en A.

�0A =R l0N(x)n(x)


R l0M(x)n(x)

EI dx


�0A =R l0M(x)n(x)

EI dx

�0A =1EI

R l0

��M1

l x+M1

� �1� x

l

��dx = 1

3lEIM1

=) �0A =13lEIM1

)=)Como es simetrica la viga para el giro en B: �0B = �0A = 13lEIM1

!!!!!!!!! Para calcular �00A

8

Por equilibrio externoXMB = 0

M2 � (l)RivA = 0RivA =

1lM2

XFy = 0

RivA �RivB = 0RivA = R

ivB =

1lM2


PFx = 0

PFy = 0

PMz = 0

N (x) = 0 1lM2 � V = 0 � 1

lM2x+M = 0

V (x) = 1lM2 M (x) = 1

lM2x

V (0) = 1lM2 M (0) = 0

V (l) = 1lM2 M (l) =M2


9

Por carga unitaria.


�1 + (l)RvB = 0RvB =

1l

XFy = 0

�RvA +RvB = 0�RvA = RvB = 1

l


PFx = 0

PFy = 0

PMz = 0

n (x) = 0 �RvA � v = 0 � 1 +RvAx+m = 0

v (x) = �RvA = � 1l m (x) = 1�RvAx = 1� 1

l x

v (0) = � 1l m (0) = 1

v (l) = � 1l m (l) = 0

10


Para el giro en A.

�00A =R l0N(x)n(x)


R l0M(x)n(x)

EI dx


�00A =R l0M(x)n(x)

EI dx

�00A =1EI

R l0

��1lM2x

� �1� x

l

��dx = 1

6lEIM2

=) �00A =16lEIM2

)=)Como es simetrica la viga para el giro en B: �00B = �00A = 16lEIM2

Conociendo todos los giros entonces:

�A = �0A + �

00A � �A + �0A + �00A = 0

=)�B = �

0B + �

00B � �B + �00B + �00B = 0

� 116P

l2

EI +13lEIM1 +

16lEIM2 = 0

� 116P

l2

EI +16lEIM1 +

13lEIM2 = 0

=)M1 =18Pl

=)M2 =18Pl

11

Para calcular R1 y R2

XMA = 0

Pl8 � P

�l2

�� 1

8Pl + lR2 = 0R2 =

12P

XFy = 0

R1 � P + 12P = 0

R1 =12P

Por lo tanto ya conociendo las reacciones de la viga real, obtenemos la varia-ciones de ésta.

PFx = 0

PFy = 0

PMz = 0

N (x) = 0 12P � V = 0 � 1

2Px+18Pl +M = 0

V (x) = 12P M (x) = 1

2Px�18Pl

V (0) = 12P M (0) = � 1

8Pl

V�l2

�= 1

2P M�l2

�= 1

8Pl

12

PFx = 0

PFy = 0

PMz = 0

N (x) = 0 12P � P � V = 0

18Pl �

P2 x+ P

�x� l

2

�+M = 0

V (x) = � 12P M (x) = 3

8Pl �12Px

V (0) = � 12P M

�l2

�= 1

8Pl

V�l2

�= � 1

2P M (l) = � 18Pl

Diagramas de cortante y momento de la viga real.

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vde con carga puntual en el centro

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