variacion de funciones

Calculo Diferencial e Integral

Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez

UNIDAD IV. VARIACIÓN DE FUNCION

4.2. Funciones crecientes y decrecientes y su relación con el signo de la derivada Una función f(x) es creciente, o aumenta su valor a lo largo del eje X si

su derivada es positiva, en caso de que su derivada sea negativa es

decreciente, y la función no crece ni decrece cuando su derivada es

igual a cero.

Por ejemplo en la siguiente gráfica: Sea f(x) una función continua con

ecuación y=f(x), definida en un intervalo [a, b].

¿En que posiciónes del eje X la función se considera creciente,

decreciente y ninguna de las dos?

Sea f(x) una función continua en un intervalo cerrado [a, b]

en el intervalo (a, b) abierto.

Si f’(x)>0 para toda x en [a, b], entonces la función f es creciente

en [a, b].

Si f’(x)<0 para toda x en [a,b], entonces la función f es

decreciente en [a,b].

4.2. Funciones crecientes y decrecientes y su relación con el signo de la derivada

VARIACIÓN DE FUNCIONES

4.2. Funciones crecientes y decrecientes y su relación con el signo

es creciente, o aumenta su valor a lo largo del eje X si

es positiva, en caso de que su derivada sea negativa es

decreciente, y la función no crece ni decrece cuando su derivada es

na función continua con

¿En que posiciónes del eje X la función se considera creciente,

[a, b] y derivable

, entonces la función f es creciente

, entonces la función f es


1



EJEMPLO 1. Determine los intervalos abiertos donde la función

3 22( )

3f x x x= − es creciente o decreciente.

Solución: Nótese que f es derivable en todos los reales, asi que para

determinar los puntos críticos derivamos e igualamos a cero.

Como no hay puntos donde la derivada de la función no exista

podemos concluir que los puntos críticos son: x = 0 y cuando x = 1.

De tal modo que f es creciente el los intervalos de (-

decreciente en el intervalo (0,1)


. Determine los intervalos abiertos donde la función

Solución: Nótese que f es derivable en todos los reales, asi que para

determinar los puntos críticos derivamos e igualamos a cero.

untos donde la derivada de la función no exista

podemos concluir que los puntos críticos son: x = 0 y cuando x = 1.

-∞, 0) y (1, ∞) y


2




EJEMPLO 2. Aplicación del criterio de la primera derivada.

Determinar los extremos relativos para la función

En el intervalo de (0, 2π).

Solución: La función f(x) es continua en el

determinar los puntos críticos de f en dicho intervalo hacemos f’(x)

igual a cero.

1( ) ( )

2f x x sen x= −

1'( ) cos( ) 0

2f x x= − =

1cos( ) 0

2

1cos( )

2

5,

3 3

x

x

xπ π

− =

=

=

Los intervalos identificados se resumen en la siguente tabla:

Como podrá notarse la función presenta en x =

y en x = 5π/3 un máximo relativo.

A continuación se muestra la gráfica de la función que se ha utilizado

en este ejemplo:


3

. Aplicación del criterio de la primera derivada.

Determinar los extremos relativos para la función 1

( ) ( )2

f x x sen x= −

Solución: La función f(x) es continua en el intervalo de (0, 2π). Para

determinar los puntos críticos de f en dicho intervalo hacemos f’(x)

Los intervalos identificados se resumen en la siguente tabla:

Como podrá notarse la función presenta en x = π/3 un mínimo relativo,

A continuación se muestra la gráfica de la función que se ha utilizado

Calculo Diferencial e Integral 4.2. Funciones crecientes y decrecientes y su relación con el signo de la derivada

Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez 4

A continuación se muestra una lista de ejercicios propuestos.



REFERENCIAS Y FUENTES DE INFORMACIÓN: Cortesía:

Cálculo: una variable Escrito por George Brinton Thomas http://books.google.com.mx/books?id=AD1S4y6jumgC&lpg=PA263&dq=funciones%20crecientes%20y%20decrecientes%2C%20signo%20derivada&pg=PA263#v=onepage&q=funciones%20crecientes%20y%20decrecientes,%20signo%20derivada&f=false

Cálculo: conceptos y contextos Escrito por James Stewart http://books.google.com.mx/books?id=6X6XSKkr8nYC&lpg=PA280&dq=funciones%20crecientes%20y%20decrecientes%2C%20signo%20derivada&pg=PA280#v=onepage&q=funciones%20crecientes%20y%20decrecientes,%20signo%20derivada&f=false

Matemáticas para administración y economía Escrito por Ernest F. Haeussler,Richard S. Paul http://books.google.com.mx/books?id=pj3cB8QGMgoC&lpg=PA533&dq=funciones%20crecientes%20y%20decrecientes%2C%20signo%20derivada&pg=PA532#v=onepage&q=funciones%20crecientes%20y%20decrecientes,%20signo%20derivada&f=false

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