var modeli (doktorske studije)

Profesor Zorica Mladenovic 5/17/2012

Ekonomski fakultet Beograd, 2012. 1

VEKTORSKI AUTOREGRESIONI MODELI VAR MODELI

Zorica Mladenovi

Literatura

Kljune referenceEnders (2004), Applied Econometric Time Series, Wiley. Hamilton (1994), Time Series Analysis, Princeton University Press. Lutkepohl (2005), New Introduction to Multiple Time Series Analysis , Springer.Juselius (2006), The Cointegrated VAR Model, Oxford University Press.

Pomona referencaMladenovi i Nojkovi (2012), Primenjena analiza vremenskih serija, EF, Beograd.



Neophodni termini analizeNeophodni termini analize

Vremenska serija Stacionarnost

Beli um

Autoregresioni modeli (AR) i modeli pokretnih proseka (MA)Linearni proces

Operator docnje LVektorska vremenska serija

UvodUvod

Cilj ekonometrijske analize: ocena strukturnih odnosa u ekonomiji

Strukturni odnosi se uobiajeno modeliraju prema: Sistemu simultanih jednaina VAR modelu

Postoje dva tipa VAR modela:Standardni (klasini) VAR modelStrukturni VAR model

Podela odgovara distinkciji na redukovanu i strukturnu formu sistema simultanih jednaina.



Polazna forma VAR modelaPolazna forma VAR modela(standardni model)(standardni model)

( ) =

=

ostalo,0 matrica onakovarijaci ,nn,ts,

'sataE

nn parametara matricep,...,2,1

modela greska slucajna1,n um, beli vektorskita 1,n serija, vremenska vektorskatY

Ovo je VAR model reda p, a dimenzije n.

taptYp...2tY21tY1tY ++++=

Polazna forma VAR modelaPolazna forma VAR modela: : osnovno ograniosnovno ogranienjeenje

Optereenost modela parametrima esto je neophodno uvesti odreene pretpostavke o parametrima modela:

p21 ,...,,,



PPoeoetaktak

Sims(1980) Macroeconomics and Reality Econometrica, 48Uoptenje jednodimenzione analize na vektorsku vremensku seriju

...

dohodak V stopa, kamatna novca, ponuda

2211

t

tptpttt

t

t

t

t

tt

aYYYcYVXZ

Y

XZ

+++++=

=

===

===

t

taaEaE tt 0

)'(0)(

i su matrice)1(

333231

232221

131211

1

=

Jedna od jednaina sistema

tptp

ptp

ptp

tttt

aVXZ

VXZcZ

1)(

13)(

12)(

11

113)1(

112)1(

111)1(

1 ...

+++

+++++=

Svaka jednaina ima isti broj parametara

Strukturni Strukturni VAR(1VAR(1))

t 10 12 t 11 t 1 12 t 1 yt

t 20 21 t 21 t 1 22 t 1 xt

y b b x y xx b b y y x

= + + + = + + +

Sluajne greke modela (strukturni okovi) yt i xt su procesi beli um sa standardnim devijacijama redom y and x i korelacijom 0.

Promenljive y i x su endogene. ok yt utie na y direktno a na x indirektno. Model ima 10 parametara za ocenjivanje.

Neka je dat strukturni VAR dimenzije 2: Yt=(yt, xt), reda 1:



Od strukturnog do standardnog Od strukturnog do standardnog VARVAR modelamodela

Strukturni VAR model nije u redukovanoj formi. Podseanje: u redukovanoj formi y i x su funkcije iskljuivo od

prethodnih vrednosti y i x. Da bi se iz strukturne dobila redukovana forma VAR model

zapisujemo u matrinom obliku:

10 112 11 12

20 121 21 22

0 1 1

11

t t yt

t t xt

t t t

y b ybx b xb

BY Y

= + +

= + +

Od strukturnog do standardnog Od strukturnog do standardnog VARVAR modela IImodela II

Mnoenje sa B-1 omoguava dobijanje standardnog VAR(1)modela:

Doli smo do redukovane forme koja je spremna za ocenjivanje.

0 1 11 1 1

0 1 1

0 1 1

t t t

t t t

t t t

BY Y

Y B B Y BY Y a

= + += + += + +



Teme:Teme:

1. Uslov stabilnosti VAR modela

2. Ocene parametara modela

3. Odreivanje reda VAR modela

4. Uzronost

5. Funkcija impulsnog odziva

6. Dekompozicija varijanse greke predvianja

7. Strukturni VAR model

TemTemaa::




4. Uzronost






Uslov stabilnosti sistemaUslov stabilnosti sistemaUslov stacionarnosti Uslov stacionarnosti YYtt

=

=

+=

+=

+=

ji0ji1]L....LL

ij L)L(

acY)L(acY)L...LLI(

acY...YYY

ijp)p(ij2)2(ij)1(ij

tt

ttp

p2

21

tptp2t21t1t

ij[

je (L) odElement docnjeoperatoru po polinom matricninxn je

VAR(p) za je stabilan ako su svih pxn korena (reenja) donje jednaine strogo vei od jedan po modulu:

tY

c)...I(

.0x...xxI

1p21n

pp

221n

=

=

Uslov stabilnosti IIUslov stabilnosti II

( )( )

( ) =

++++++=

++++=

++++=++==

++==

++=

+=

1t

0iit

i10

t1

1t1

211nt

2110211n

210112112

1011

t1t1t

t1t1t

aYc...IYt

aaYcI

aaYccaYcY,2taYcY,1t

aYcYacYY

M

lanovi kompletno su odreeni sa tYY ,...,1 .,...,1,0 taaY



Uslov stabilnosti IIIUslov stabilnosti III

( ) =

+

++++++=

+=+=

j

iit

ijt

jjnt

ttt

aYcIY

acYY jt

011

111

211

11

...

1 je Neka

Ako su karakteristine vrednosti matrice po modulu strogo manje od 1, tada je niz absolutno sumirajui. To znai da beskonana suma konvergira ka:

Dodatno, element konvergira ka nuli dovoljno brzo, to znai da se moe ignorisati.

1

,...,,i i 101 =

= 0ii1

+ jY jtj ,111

( ) .j,I...I 11nj1211n ++++

Uslov stabilnosti IVUslov stabilnosti IV

( )( )

( ) ,...3,2,1t,c...I,aYac...IY

acYY

211n

0iit

i1t

0iit

i1

I

211nt

t1t1t

11n

=+++=+=

++++=

+=

=

=

444 3444 21

Ako su karakteristine vrednosti matrice po modulu strogo manje od 1, proces iskazan kroz VAR(1) model je precizno definisan kao stohastiki.

Zakljuak: uslov stabilnosti Karakteristine vrednosti matrice po modulu su strogo manje od 1.

1

1



U tom sluaju postoji odgovarajua vektorska reprezentacija pokretnih sredina beskonanog reda

Ovo je fundamentalna reprezentacija za analizu reakcije vremenske serije na uticaj sluajnog oka.

)(MA

{ {

...]LLI[)L(

a)L(...aaaY

221n

t2t21t1tt211

+++=

+=++++=

Uslov stabilnosti VUslov stabilnosti V

Uslov stabilnosti VIUslov stabilnosti VI

Matrina algebra: svih n karakteristinih vrednosti kvadratne matrice su strogo manje od jedan ako i samo ako je ispunjen uslov:

1

444 3444 21

44 344 21

jedan. od manja strogosu modulu po jednacine, resenja Inverzna

jedan. od vecastrogomodulu posu ,,..., jednacine, Resenja

:znaci To svako za

,,...,gg

1n

xx

1n

1n

n1

n1

x

1g,0gI

noAlternativ

0xI

1x0xI

==

=



Zapisujemo model u formi odstupanja od srednje vrednostitptp2t21t1t a)Y(...)Y()Y(Y ++++=

Grupiemo lanove kao:

( )npnp

'

tt1tt

1np

t

t

npnpn

n

n

p1p21

1np1pt

1t

t

t

0......00......00...0

H,,0

t,HuuE,uF

0

0a

u

0I...00

00...I000...0I

...

F

Y

YY

+

=

=

=+=

=

=

=

ostalo

MMMMM

M

STABILAN PROCES:SVE KARAKTERISTINE VREDNOSTI MATRICE F SU MANJE OD JEDAN PO MODULU

Uslov stabilnosti Uslov stabilnosti VAR(pVAR(p)) VAR(1)VAR(1)

Uslov stabilnosti: primer 1Uslov stabilnosti: primer 1

( ) stabilan. je proces dati 1 od vecastrogomodulu po resenja svasu Kako

4858.153x,1525.22x,21x02x03.0x4.010.5x-1

:nulom sa amoizjednacav tedeterminanVrednost x3.01x2.00x3.0x1.01x1.0

00x5.01x

3.02.003.01.01.0

005.0

100010001

odtu determinan racunamo :istabilnost uslov oProveravam

ta1tY3.02.003.01.01.0

005.0ctY

:1 reda a 3, dimenzije VARdat je Neka

====

=

+

+=



Primer 1: grafiki prikaz

-4

-2

0

2

4

50 100 150 200 250 300

X

-4

-2

0

2

4

50 100 150 200 250 300

Y

-4

-2

0

2

4

50 100 150 200 250 300

Z

Uslov stabilnosti: primer 2Uslov stabilnosti: primer 2

stabilan. je model :jedan od vecastrogomodulu posu resenja triSva.545.5226.4255.3:3x i 2x od Moduo ,1i

i26.455.33x,i26.455.32x,3.11x03x025.02x21.0x1

:nulom sa amoizjednacav tedeterminanVrednost

2x

025.000

x5.04.01.05.0

1001

odtu determinan racunamo :istabilnost uslov oProveravam

ta2tY025.000

1tY5.04.01.05.0

ctY

:2 reda a 2, dimenzije VARdat je Neka

=+=

=+===

+

+

+

+=



Primer 2: grafiki prikaz

-2

0

2

4

6

8

10

50 100 150 200 250 300

X

-4

-2

0

2

4

6

50 100 150 200 250 300

Y

Primer 3: nestabilan VARoba reenja: jedan

-200

0

200

400

600

800

50 100 150 200 250 300

X

-4

0

4

8

12

16

20

24

50 100 150 200 250 300

Y

( ) .12x1x02x10x11.001

1001

det

:nulom sa amoizjednacavtu Determinanta1tY11.0

01ctY

====

+

+=



TemTemaa::




4. Uzronost




Ocena parametara Ocena parametara VARVAR modelamodelaMetod obinih najmanjih kvadrata Metod obinih najmanjih kvadrata

Metod maksimalne verodostojnostiMetod maksimalne verodostojnosti

( )[ ]

[ ]

[ ] [ ] [ ]1T

1t'

tXtXT

1t'

tXtY

ta1)1np

tX1n

tY

1)1np'ptY...1tY1tXtYnTY,...,1Y,0Y,...,1-pYpT

?nn,

)1npn,p21c,0:Nt,ataptYp...2tY21tY1ctY

)1npn

=

=

=

++

=

+

=

++

+=

+

++

+

+=

+

'A :ocenaONK

(A'

:formi nojkondenzovau VAR( vektor :je Neka

clanova od svaki za : vrednosti Poznato

matrica onaKovarijaci( ... A' :nagiba parametara Matrica

,ONK kvadrata,najmanjih obicnih metoda Primena

(



( )( )

[ ] [ ]

( ) ( )( ) ( )

=

=

+=

+

+=

+

+=

+=

=

+=

==

++++

=

T

1tt

1t

1

T

1ttt

1tt

1

1p1ttT

1t

ttt

'

pt1ttp21

ptp2t21t11p1tt

1p1ttT

1t

,,...,,c

1p1,011T,T

a'a21log

2T)2log(

2Tn

XY'XY21log

2T)2log(

2Tn

parametri;Y,...,YYflogparametril

aX'AY

Y...Y1X,c'A

,Y...YYcN:Y,...,YY

parametri;Y,...,YYf

parametri;Y,...,YYY,...,YYfp1

pi

pi

A'A'

:jnosti verodostofunkcije Log. :formi nojkondenzovau VAR

...

:uzorka jnosti verodostoFunkcija:MMV (uslovni), jnosti verodostomaksimalne Metod

48476

Odnos dva metoda: ocene su identine

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

0'aX)(tr'aX)'(tr

X)'('atrX)'('a

:Napomena

X)'('a2X)'()('Xa'a

X)'(a'X)'(a

XX'X'Y'XX'X'Y

XY'XY

XXXY

ttt

1t

tt

1

tt

1t

tt

1t

t t tt

1tt

1tt

1t

T

1ttt

1tt

T

1ttttt

1tttt

T

1ttt

1tt

1T

1t'

ttT

1t'

tt

=

=

=

=

=

++=

=++=

=++=

=

=

=

=

=

=

AAAA

AAAA

nulijednak iskalar jeelement poslednji AAAAAA

AAAA

A'AAA'AA

A'A'

: vrednostminimizira koja Ocena :MMV

A :ONK



( ) ( )

A.A zarednost najmanju v ima izraz Gornji definitna. pozitivno takodjeje 1-matrica definitna pozitivno je Kako

t ttX)'AA(1)AA(t'Xta1t'amin

T

1ttX'AtY

1'tX'AtYmin

=

+

=

=

Ocena kovarijacione matrice izvedena za dato A

=

=

=

===

+=

T

1t

T

1ttttt1

T

1tt

1t

1

'aaT1

0'aa21

'

2T0)

,(

a'a21log

2T)2log(

2Tn),(

pi

A

izraz. gornji amaksimizir kojamatricu definitnu pozitivno simetricnu naci :Cilj

A

l

l

Ocena kovarijacione matrice

T

.ji,n,...,1j,i,aaT1

Ti

.n,...,1i,aT1

...

...

'aaT1

T

1tjtitij

T

1t2

itii

T

1t

nn

n222

n11211

tt

uzorka obimompodeljen jednacine dve svake iz reziduala proizvodaZbir

:dijagonale glavne van matrice onekovarijaci Elementi

uzorka obimom podeljena jednacine iz kvadrata suma Rezidualna

:dijagonali glavnoj na matrice onekovarijaci Elementi2

2

2

2

==

==

==

=

=

=

MO



TemTemaa::




4. Uzronost




Odreivanje reda VAR modelaOdreivanje reda VAR modela

1. Testiranje znaajnosti parametara

Test kolinika verodostojnosti Direktna provera znaajnosti pojedinih parametara

2. Informacioni kriterijumi



TestTest kolinika verodostojnosti kolinika verodostojnosti Maksimum funkcije verodostojnosti za dobijene ocene

[ ]( ) 1log

2T12log

2Tn

2Tn1

log2T)2log(

2Tn)A,(

2Tn

nTItr21

T1tr21

T

1tt'ata

1tr

21T

1tta

1t'atr2

1T

1tta

1t'a2

1

T

1tta

1t'a2

11log

2T)2log(

2Tn)A,(

++pi=+pi=

==

=

=

=

=

=

==

=

+pi=

l

l

0p od veceje 1p)1p(VAR:1H)0p(VAR:0H

Postavljamo sledee hipoteze

( )

( ) 11log2T12log

2Tn

1* ,1,1A

: 1p reda VAR se ocenjuje :1H hipoteza istinita je Ako

10log2T12log

2Tn

0* ,0,0A

: op reda VAR se ocenjuje :0H hipoteza istinita je Ako

++pi=

++pi=

l

l

{ })0p1p(2n aogranicenj brojm2m:LR

1log0logT10log11logT

)*01*(2)1H pod verod.(f.)0H pod verod.(f.log2LR

:jnosti verodostokolicnikaTest

=

=

=

== ll

modelu. VAR celomu ukupno

jednacini svakoju ukupnoupromenljivsvaku na aogranicenj :jednacini svakoj U

)pp(n)pp(n

pp

012

01

01

TestTest kolinika verodostojnosti II kolinika verodostojnosti II



{ }( ){ }( ){ }

hipoteza. nulta odbacuje put prvi po se kojoju fazom zavrsava se Testiranje 3.

itd. docnje, 3:1H docnje, 2:0H docnje, 4:1H docnje, 3:0H :primer Na

unazad lnosekvencija sprovodi se Testiranje .21p vrednostiapriorne od se Polazi 1.

:TESTIRANJA ALGORITAM1np1k

1log0logkTLR

1log0logjednacini svakoju parametara brojTLR : Simsa jaModifikaci

1log0logTLR

:jnosti verodostokolicnikaTest

+=

=

=

=

TestTest kolinika verodostojnosti IIIkolinika verodostojnosti III

TestTest kolinika verodostojnosti: primer kolinika verodostojnosti: primer VAR realnog deviznog kursa i realnog novca m3VAR realnog deviznog kursa i realnog novca m3Period: 2002:1Period: 2002:1--2007:12 (72 podatka)2007:12 (72 podatka)

H0: VAR(1) H1:VAR(2)

Napomene: 1. Efektivni uzorak korien za ocenu VAR(2), pa zato i VAR(1) je 70.2. Kako VAR(2) model ima ukupno 4 parametra vie za ocenjivanje od

VAR(1) modela, to je broj stepeni slobode u primeni testa 4. Rezultat: Uz nivo znaajnosti od 10% prihvata se znaajnostdruge docnje u VAR modelu i opravdanost VAR(2) specifikacije.

1 2

810*8677522.4 810*3193651.4

37.8)810*3193651.4log()810*8677522.4log(*7024LR =

==

78.7)10.0(24 49.9)05.0(24 ==



Test znaajnosti pojedinih parametara

U sluaju kada je VAR model stabilan, a sluajna komponenta vektorski proces beli um sa viedimenzionom normalnom raspodelom metodom ONK dobijaju se nepristrasne i konzistentne ocene parametara koje su normalno raspodeljene.

Mogue je primeniti standardnu teoriju statistikog zakljuivanja.

Moemo koristiti standardnu t i F statistiku.

InformaInformacioni kriterijumi u cioni kriterijumi u VARVAR modelu modelu Kao i kod jednodimenzionog AR modela, i kod viedimenzionog VAR modela, funkcija informacionog kriterijuma (IC) se koristi za izbor optimalnog broja docnji. Optimalan broj docnji jeste ona vrednost p kojom se minimizira funkcija IC(p)

Akaikeov, varcov i Hana-Kvinov Primena ima smisla jedino ako su reziduali VAR modela neautokorelisani sa aproksimativno normalnom raspodelom.

( )( )

( )( )T

np2nTlnln2lnHQC

T

np2nTlnlnSC

T

sistema parametara brojukupan

np2n2lnAIC

+

+=

+

+=

+

+=

48476

var modeli (doktorske studije)

Documents