valores extremos y puntos de silla
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H.Montoya.Ch
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
CALCULO MULTIVARIADO Y ALGEBRA LINEAL
LABORATORIO
VALORES EXTREMOS Y PUNTOS DE SILLA
OBJETIVOSAplicar técnicas apropiadas y herramientas tecnológicas para la comprobacion de resultados teóricos. Usar visualización,razonamiento espacial y modelación geométrica en la solución de problemas de valores extremos.
VALORES EXTREMOSElaborar la gráfica, calcular los puntos críticos,clasificarlos en máximos,mínimos o puntos silla, elaborar gráfica en una vecindad del punto crítico para corroborar resultados teóricos
para la función = ( )f ,x y + + − − x3
3y3
3x2 y2 6
> with(plots):> plot3d(x^3/3+y^3/3+x^2-y^2,x=-4..4,y=-4..4,title=`Gráfica de
f(x,y)`);
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> f:=(x,y)->x^3/3+y^3/3+x^2-y^2-6;
:= f → ( ),x y + + − − 13
x3 13
y3 x2 y2 6
> a:=diff(f(x,y),x)=0:> b:=diff(f(x,y),y)=0:> solve({a,b},{x,y});
, , ,{ }, = x 0 = y 0 { }, = x 0 = y 2 { }, = y 0 = x -2 { }, = y 2 = x -2De acuerdo al resultado anterior la función tiene 4 puntos críticos. El siguiente esquema calcula las derivadas de segundo orden de la función,evalúa el discriminante ó Hessiano de la función.Analíselos y clasifique los valores extremos locales.
> c:=diff(f(x,y),x$2):
> d:=diff(f(x,y),y$2):> e:=diff(f(x,y),x,y): > eval(c,{x=0,y=0});
2> eval(c,{x=0,y=2});
2> eval(c,{x=-2,y=0});
-2> eval(c,{x=-2,y=2});
-2
> Hessiano:=c*d-e^2:
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> eval(Hessiano,{x=0,y=0});
-4> eval(Hessiano,{x=0,y=2});
4> eval(Hessiano,{x=-2,y=0});
4> eval(Hessiano,{x=-2,y=2});
-4A continuación observemos la gráfica de la función en una vecindad del punto (0,0).> plot3d(x^3/3+y^3/3+x^2-y^2-6,x=-0.1..0.1,y=-0.1..0.1,title=`Grá
fica de f(x,y) en una vecindad de (0,0),f(0,0) punto silla `);
Ejercicio 1
Clasifique los valores extremos para la función = ( )f ,x y + + − + x3
3y3
3x2 y2 8 , para cada
punto crítico elabore una gráfica de la función en una vecindad apropiada para corroborar resultados teóricos.
> f:=(x,y)->x^3/3+y^3/3+x^2-y^2+8;
:= f → ( ),x y + + − + 13
x3 13
y3 x2 y2 8
> a:=diff(f(x,y),x)=0:> b:=diff(f(x,y),y)=0:> solve({a,b},{x,y});
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, , ,{ }, = y 0 = x 0 { }, = y 0 = x -2 { }, = x 0 = y 2 { }, = x -2 = y 2De acuerdo al resultado anterior la función tiene 4 puntos críticos. El siguiente esquema calcula las derivadas de segundo orden de la función,evalúa el discriminante ó Hessiano de la función.Analíselos y clasifique los valores extremos locales.
> c:=diff(f(x,y),x$2):
> d:=diff(f(x,y),y$2):> e:=diff(f(x,y),x,y): > eval(c,{x=0,y=0});
2> eval(c,{x=0,y=2});
2> eval(c,{x=-2,y=0});
-2> eval(c,{x=-2,y=2});
-2
> Hessiano:=c*d-e^2:> eval(Hessiano,{x=0,y=0});
-4> eval(Hessiano,{x=0,y=2});
4> eval(Hessiano,{x=-2,y=0});
4> eval(Hessiano,{x=-2,y=2});
-4A continuación observemos la gráfica de la función en una vecindad del punto (0,0).> plot3d(x^3/3+y^3/3+x^2-y^2+6,x=-0.1..0.1,y=-0.1..0.1,title=`G
ráfica de f(x,y) en una vecindad de (0,0),f(0,0) punto silla `);
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>
Ejercicio 2Elaborar la gráfica, calcular los puntos críticos; clasificarlos en máximos, mínimos o puntos silla, elaborar gráfica en una vecindad de cada punto crítico para corroborar resultados teóricos, para la función
22
)3(),( 22 yxeyxyxf −−+=
> f:=(x,y)->(x^2+3*y^2)*exp(-x^2-y^2);
:= f → ( ),x y ( ) + x2 3 y2 e( )− − x2 y2
> a:=diff(f(x,y),x)=0:> b:=diff(f(x,y),y)=0:> solve({a,b},{x,y});
, , , ,{ }, = y 0 = x 0 { }, = y 1 = x 0 { }, = y -1 = x 0 { }, = y 0 = x 1 { }, = y 0 = x -1De acuerdo al resultado anterior la función tiene 5 puntos críticos. El siguiente esquema calcula las derivadas de segundo orden de la función,evalúa el discriminante ó Hessiano de la función.Analíselos y clasifique los valores extremos locales.
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> c:=diff(f(x,y),x$2):
> d:=diff(f(x,y),y$2):> e:=diff(f(x,y),x,y): > eval(c,{x=0,y=0});
2> eval(c,{x=0,y=1});
−4 e( )-1
> eval(c,{x=0,y=-1});
−4 e( )-1
> eval(c,{x=1,y=0});
−4 e( )-1
> eval(c,{x=-1,y=0});
−4 e( )-1
> Hessiano:=c*d-e^2:> eval(Hessiano,{x=0,y=0});
12> eval(Hessiano,{x=0,y=1});
48 ( )e( )-1 2
> eval(Hessiano,{x=0,y=-1});
48 ( )e( )-1 2
> eval(Hessiano,{x=1,y=0});
−16 ( )e( )-1 2
> eval(Hessiano,{x=-1,y=0});
−16 ( )e( )-1 2
A continuación observemos la gráfica de la función en una vecindad del punto (0,0).> plot3d((x^2+3*y^2)*exp(-x^2-y^2),x=0.9..1.1,y=-0.1..0.1,title
=`Gráfica de f(x,y) en una vecindad de (1,0),f(1,0) punto silla `);
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> plot3d((x^2+3*y^2)*exp(-x^2-y^2),x=-1.1..-0.9,y=-0.1..0.1,title=`Gráfica de f(x,y) en una vecindad de (-1,0),f(-1,0) punto silla `);
>
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-2.165364533>
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