valor inicial y final

5/23/2018 Valor Inicial y Final

1/9

UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE

CIRCUITOS ELECTRICOS II

ING.KATYA TORRES

Nombre: Jessica Beln Loma Umaginga

Curso: cuarto Electromecnica

Fecha: 02 de junio del 2014

Tema: Teoremas del valor inicial y final

Teoremas del valor inicial

TEOREMA DEL VALOR INICIAL:

El teorema del valor inicial, plantea que si conocemos la transformada de Laplace de una

funcin, podemos hallar el valor inicial de dicha funcin si a la funcin transformada le

multiplicamos por un factorsy hacemos tender a infinito precisamente la variable s:

Demostracin

Si partimos de la transformada de una derivada, podemos escribir:

en esta ltima ecuacin hacemos que s tienda a infinito y separamos la integral en dos partes:

el factor exponencial de la ltima integral se hace cero cuando evaluamos el lmite, por lo

tanto, la integral se hace cero. En el lado izquierdo de la ecuacin, podemos extraer f (0-):

TEOREMA DEL VALOR FINAL:


2/9



ING.KATYA TORRES

Si se conoce la transformada de Laplace de una funcinf (t), el valor final de dicha funcin

puede obtenerse multiplicandoF(s)por sy hacer que :

Demostracin

Consideremos la transformada de Laplace de la derivada de una funcin:

se hace ahora que la variablestienda a cero:

manipulamos convenientemente el trmino integral de la anterior ecuacin:

y reemplazamos:

El teorema del valor final, plantea que si conocemos la transformada de Laplace de una

funcin, podemos hallar el valor final de dicha funcin, si a la funcin transformada le

multiplicamos por un factor sy hacemos tender a cero precisamente la variable s. Cabe anotarque este teorema tiene restricciones:


3/9



ING.KATYA TORRES

Slo es til para transformadas cuyos polos se encuentren en el semiplano izquierdodel plano s. (la nica excepcin es el polo simple s=0)

Tantof (t)como su derivada, deben tener una funcin transformada.EJERCICIOS:

Aplique el teorema del valor inicial:

()

() ()

()

()

() Aplique el teorema del valor final:

() ( )

( )()()

() () ( )

( )()()

() ( )

( )()()

() ( )( )()()

() APLICACIN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE A LOS CIRCUITOS ELCTRICOS

La transformada est asociada a cada parmetro componente elctrica:

EL PARMETRO RESISTIVO


4/9



ING.KATYA TORRES

La transformada de Laplace en un circuito meramente resistivo, no tiene efecto sino en las

funciones de voltaje y corriente:

cuya transformada es:

Estos resultado se pueden observar en la figura:

Observe la figura, y detalle que para una inductancia L en Henrys, que posee una corrienteinicial de i (0+)A en la direccin de la corriente i (t), se transforma en el dominio de scomouna impedancia sLen ohmios, en serie con una fuente de voltaje cuyo valor enses Li (t)y queva en la direccin de la corriente I(s).

La ecuacin que describe el comportamiento del inductor en el dominio del tiempo es:

cuya respectiva transformada es:

PARMETRO CAPACITIVO

La figura que se observa en esta seccin, muestra una capacitancia de Cfarads en el dominio

del tiempo; en el dominio de s, sta se transforma en una impedancia y una fuente de voltajeen serie oponindose a la corriente i (t), cuyos valores se observan tambin en dicha figura:


5/9



ING.KATYA TORRES

En el dominio del tiempo se tiene:

transformamos esta ecuacin, y obtenemos:

FUENTES

En cuanto a fuentes, la transformada depende de la funcin que caracterice a dicha fuente,

para ver la transformadas comunes de funciones oprima aqu. Otra herramienta que debemos

aprender, es el intercambio de fuentes:

En la primera figura, se cumple:

despejamos I(s):


6/9



ING.KATYA TORRES

Resultado que nos conduce a la segunda figura. Estas transformaciones son bidireccionales, es

decir, si tenemos una fuente de corriente en paralelo con una impedancia se convertirn en

una fuente de voltaje en serie con la impedancia, y viceversa.

CIRCUITO RLC SERIE CON CONDICIONES INICIALES

Considere el circuito de la figura, donde la corriente inicial del inductor es amperes, y

el voltaje inicial en el condensador es volts, con la polaridad indicada:

Si aplicamos LVK, obtenemos la ecuacin integro-diferencial:

le aplicamos transformada de Laplace, y se obtiene:

arreglamos esta ecuacin, de tal forma que se pueda ver de forma mas clara:

El primer factor de esta ecuacin corresponde a la funcin del sistema, mientras que el

segundo factor corresponde a la funcin de excitacin. De acuerdo a lo anterior, el primer

factor puede ser expresado de la siguiente forma:

Y dada la relacin entre admitancia e impedancia:


7/9



ING.KATYA TORRES

podemos deducir que:

ahora, dejamos todo en una sola fraccin:

Si detallamos la ltima ecuacin escrita, y la relacionamos con la ecuacin donde est

despejada I(s), veremos que los ceros de Z(s)son los que en ltimas determinan el

comportamiento del circuito. Lo anterior, escrito en una ecuacin sera:

Despus de tener en cuenta todas estas consideraciones, lo nico que resta es encontrar larespuesta en el dominio del tiempo; sin embargo, no se puede generalizar una respuesta

debido a que dependiendo de las funciones de excitacin y de las condiciones iniciales, larespuesta en el tiempo cambia. Lo que haremos entonces es plantear la ecuacin de

transformada inversa de Laplace:

CIRCUITO RLC PARALELO CON CONDICIONES INICIALES

La fuente de corriente i (t)de la figura, es la que excita el circuito. El inductor lleva una

corriente inicial . En la misma direccin de . El voltaje inicial del condensador

es con la polaridad opuesta al sentido de la corriente .


8/9



ING.KATYA TORRES

Por LCK:

Hallamos el equivalente de cada una de estas corrientes, para el caso del resistor en siemens:

para el inductor:

y para el condensador:

Reemplazamos estas tres expresiones en la primera ecuacin:

Aplicamos transformada de Laplace, y el resultado es:

arreglamos esta ecuacin, de tal forma que se pueda ver de forma mas clara:


9/9



ING.KATYA TORRES

El primer factor de esta ecuacin corresponde a la funcin del sistema, mientras que elsegundo factor corresponde a la funcin de excitacin. De acuerdo a lo anterior, el primer

factor es una impedancia que puede ser expresada de la siguiente forma:

una admitancia cuyo valor es:

los polos deZ(s)o los ceros de Y(s), determinan el comportamiento transitorio de la funcinrespuesta V(s). La funcin respuesta en el dominio del tiempo es:

REFERENCIAS BIBLIOGRFICAShttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001603/lecciones/cap10

/cap10lec6/cap10lec6ded8.htm

Analisis Matematico IV , Espinoza Ramos.

http://www.herrera.unt.edu.ar/controldeprocesos/Tema_1/Problema_2/Pro

blema_2.htm
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001603/lecciones/cap10/cap10lec6/cap10lec6ded8.htmhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001603/lecciones/cap10/cap10lec6/cap10lec6ded8.htmhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001603/lecciones/cap10/cap10lec6/cap10lec6ded8.htmhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001603/lecciones/cap10/cap10lec6/cap10lec6ded8.htm

valor inicial y final

Documents