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8/9/2019 vaciado de tanques.pdf

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VACIADO DE TANQUES

•

.

ING. CARLOS ROJAS SERN


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PROBLEMASuponga que el agua sale de un depósito por un orcircular de área Ak en su fondo. Cuando el agua sal

el orificio, la fricción y la contracción de la corrientedel orificio reducen el volumen de agua que saledepósito.. Determine la ecuación diferencial paaltura h del agua en el instante t para el depósito qmuestra a continuación. El radio del orificio es de 2y g= 32

ING. CARLOS ROJAS SERNA UNI-FIM


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Solución

El volumen del agua en el tanque en el instante t es V w = AhCon esa ecuación podemos plantear una diferencial entre la altura y el tiempo en el quevolumen de agua en el recipiente:

Hemos conseguido una ecuación diferencial en base a los parámetros definidos planteadgeneralmente. Sin embargo, hay, a modo de condiciones iniciales unos valores que se pudeterminar para solucionar particularmente esta ecuación



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• Usando

• sustituyendo estos valores para las condiciones establecidas:



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• Hallar el tiempo en vaciar el cono de Radio “R” en labase con 3 agujeros de area “a” como se muestra enla figura



6/33ING. CARLOS ROJAS SERNA UNI-FIM


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Finalmente hallamos el tiempo total=Tt=t1+t2+t3



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Problema:

Se tiene un recipiente recto cuya sección transversal es como semielse de

semiejes a y b (a>b). Su altura en H. tendido en posición l recipiente en posició

horizontal y base rectangular hacia arriba ) , se le llena de agua. Si en esa posició

en el fondo presenta un orificio de salida de sección transversal A, calcule el

tiempo de vaciado, sabiendo que su coeficiente de gasto es c.



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Sean V(t) y h(t) el volumen y la altura de agua en el

recipiente

Por Torricelli: dV = -cA dt ……………..(1)

Además: dV = -A(h)dh = -2xHdh ……………..(2)

Pero (x;h )E elipse que tiene ecuación. + = 1

Entonces x =

En (2): dV = -2 dh = cA dt



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→ - t = + k ………(3)

Para t = 0 → h= b, en (3): k = -

En (3): t = -

Para h = 0 → -



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PROBLEMA 3. Una esfera con radio R está llena de agua. Se hados agujeros de área A en sus puntos más alto y más bajo para qentre el aire y salga el agua. Usando c=0.6, encontrar los valoresT1 y T2 en segundos, necesarios para que salga la mitad y la totalidel agua, respectivamente.



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Solución:Datos: V(t) = volumen del agua en un instante t

h(t) = altura del nivel de agua en un instante tSabemos: (para vaciado de tanques)

Condiciones iniciales: t=0 h=2R

Para que salga la mitad del agua (T 1), hacemos h = R

Para que salga la totalidad del agua (T 2), hacemos h = 0



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Problemas resueltos de Ecuaciones Diferenciales

1.Un deposito que tiene la forma de un cilindro circular recto de 4m de diámetro termina en un coinvertido, siendo la altura de dicho cono 6m. Estando lleno todo el reservorio(cilindro y cono), el agtravés de un orificio circular de 2cm de radio ubicado en la parte inferior(vértice del cono). Determaltura del cilindro circular recto para que el tiempo de descarga de este sea igual al del cono inverticomo coeficiente de gasto c=0,6).

Φ=4m solución para el cilindro:

A1.dh=-ca 2g(h1+6) dt

dh (ᴨ4) / h1+6 dh= -c 2g ᴨ (0,02)(0,02)dt

t1 h1 H 8 h1+6 = - 2g 0,0004ct + K

cond. Iniciales t=0;h1=H; K=8 H+6 .

r 8 h1+6 - 8 H+6 = - 0,0004c 2g t

dh 6m para ,t=t1; h=0 .

t2 h2 t1=(8 6 - 8 H+6 )/(-0,0004c 2g ) ………(1)

r=2cm


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Solución para el cono: = 3; → =

Del problema nos piden la altura H

r^2dh=-c 2ℎ2 0,0004dt para que t2=t1.()^

ℎ = 0,0004 2 ℎ2 dt ∗

∗, =8

−, [ − +]

(ℎ2)^ = - 9* 0,0004c 2 1Cond. Iniciales t=0;h2=6;k1=

∗ H = 2,64m ….(respuesta)

t = ∗ ( − )∗,

Para t=t2; h2=0;

t2 =∗

∗, …………(2)


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3. Dos químicos, A y B, reaccionan para formar otro químico C. se encuentra que la tasa a la cual C se

las cantidades instantáneas de los químicos A y B presentes. La formación requiere de 2lb de A por ca

10lb de A y 20lb de B están presentes inicialmente, y si 6lb de C se forman en 20 min, encontrar la ca

químico C en cualquier tiempo.

Solución:

ℎ. , 23 3 ,

. , 20 . Por tanto:

= K 10 2

3 20

3 siendoK(const)

Esta ecuación puede escribirse = 15 60 Hay dos condiciones. Puesto que el químico C inicialmente no esta presente , tenemos x=0 en t=0. ta

t=1/3. = 15 60 . x=o en t=0; x=6en t=1/3


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Solucion

(15 )(60 ) = 145

115

160 =

145 (

60 15 )

Así podemos mostrar que−− =

Puesto que x=0 en t=0. encontramos c=4, Así−− = 4

Puesto que x=6 en t=1/3. tenemos

= Asi:60 15 = 4 = 4

32

= [− ]−


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5.-un deposito que tiene la forma de un cilindro que termine en un casquete hemisférico de diámetr

lleno de agua que sale a través de un orificio de A metros cuadrados ubicado en la base del recipient

del reservorio es de es de 1,5D, y el coeficiente de gasto es c, calcular el tiempo que se requiere para

SOLUCION:

sea D=2R la altura será 3R. Dividiremos el problema en dos partes:

Tiempo que se demora en vaciarse la parte que corresponde al cilindro(e

hasta H=R), Y:

tiempo que se tomara en vaciarse el casquete hemisférica( es decir desd

2R Para el cilindro: Tenemos: = 2ℎ. ……… …… …… … . . (1)pero = ℎ ℎ. ℎ = … . : = En(1) :ℎ = 2. ℎ. → =

R

→ 2 ℎ = … ………… ………… ………… ……… 2Para t=0 h=3R. En(2):2 3 = → 2 : 2 ℎ = 2 3 ……… …… …. . 3 Tiempo que se demora en vaciarse la parte que corresponde al cilind

2 ℎ = 2 3 → 1 =

3 1 . ()


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Para el casquete hemisférico. Tenemos : = 2 4Pero = = , = = (2 )

→ = 2 . 1 2 = 2 . → 2 = →

− =

5

Para t=0, y=R. En (5) : = − =

En (5), quede:

20 615 =

2

1415

6

tiempo que de demora en vaciarse la parte que corresponde al casquete (es decir desde H=y=R

es : t2=? Para y=0.

En(6): 2 = → 2 = . El tiempo de vaciado total es : t=t1+t2 , es decir:

= 2

2 3 1

1415 2


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PROBLEMA 11) Un tanque cilíndrico de 1.22 m de alto descansa sobre su base circulde 0.915m de radio. Al mediodía, cuando el tanque está lleno de agua, se destapa u

orificio de radio de 1.27 cm en el fondo y se vacía el tanque. Hállense las horas en la

cuales el tanque estaba a la mitad, a la cuarta parte y al vacío.

SOLUCIÓN:

Sean V(t) y h(t) el volumen deagua en el recipiente y la altura

del nivel del agua por encima del

orificio, en un instante t después

de comenzado el proceso.

NOTA: t = 0 (va significar el mediodía)

Por la ley de Torricelli sabemos que:

dV = cB 2ℎ . . .(1)Nuestro problema se reduce a expresar dv como dV = - A(h)dh….(2)Donde V(h) y A(h) significan volumen de agua en el recipiente y el área de superfic

libre del agua cuando se encuentra a una altura h por encima del orificio.

Luego A(h) = = (0.915). En (2): dV = - (0.915)dhComo no entra agua, tenemos en (1):

- (0.915)dh = 0.6B 2ℎ


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Pero: B = = (1.27/100). En (3):- (0.915)dh = 0.6 ( . )

2 ℎ = -.(.)

(.) . . .(Pero g = 9.8 m/, y efectuando en (4), tenemos:ℎ−/ = - 0.000255 dt ℎ = c – 0.000255t . . .Cuando h = 1.22 t = 0. En (5): c = 1.1, Luego queda:

t = .− . . . .(El tanque está a la mitad: h =

. = 0.61 cuando

t =.− .. = 1.255 seg.

Es decir estará a la mitad, alrededor de las 12h + 20min + 55seg ≈ 12h 21min.El tanque está a la cuarta parte: h =

. = 0.305 cuando

t = .− .. = 2.156 seg.O sea alrededor de las 12h 36min.

El tanque está vacío: h = 0 cuando t =.

. = 4.314 seg, alrededorde las 13h 12 min.

)


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PROBLEMA 12) Un tanque rectangular de base y altura H tiene dos agujeros deárea A, uno en el fondo y otro en una cara lateral a la mitad de la altura H. Si el

tanque está inicialmente lleno de agua y con un coeficiente de gasto c. Durante

cuanto tiempo saldrá agua por el agujero lateral.

SOLUCIÓN:Por Torricelli, como hay dos agujeros:

dV = cA 2ℎ + cA 2 ℎ . . .(1)Por otro lado: dV = -A(h)dh . . .(2)

Pero A(h) = . En (2):dV = - dh . . .(3)Ahora (3) en (1):

-dh = cA 2( ℎ ℎ /2)dt- + −/ = cA 2- + −/−(−/) dh = cA 2-

ℎ/

(ℎ /2)/ = cA 2 + k

(ℎ /2)/ℎ/ = cA 2 + k . . . .(4)


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C.I: t = 0 h = H. En (4):

K = (

)// =

− /

En (4):

(ℎ /2)/ℎ/ = cA 2 +

− / . . .(5)

Nos piden t = ? Para h = H/2

En (5):

// = cA 2 -

− /

cA

2= -

/ + −

/ = −

/

t =− .

/ =

− .


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17)Dos depósitos pequeños, con orificios eidénticos en el fondo se vacían al mismotiempo. Uno de ellos es un cilindro con el ejevertical y el otro, un cono con el vértice haciaabajo. Si tienen bases iguales y la altura delcilindro es H. ¿ Cuál es la altura del cono ?

Considerar el mismo coeficiente de descargapara ambos.

• SOLUCION : Para el cilindro:

Sean V(t) y h(t) el volumen de agua en elrecipiente y la altura del nivel del agua porencima del orificio, en un instante t, después

de empezado el proceso.Sea R=radio de la base de ambos ( cilindro ycono )


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Como ℎ = … 3 , .En (2) : = ℎLuego en (1): ℎ = 2ℎ →

=

2 ℎ = 2 ó Para t=0 -> h=H .

Luego = 2 , :

2 ℎ = 2 2

El tiempo de vaciado t1 es : ( t1 =? Parah=0)

0 = 2 1 2 → 2

1= 2 → 1 = 2

2

Para el cono : Teniendo presente que el de la base R es el al igual que c y B,

En este caso ℎ1 = … 1Por semejanza de triángulos :

= 1ℎ1 → = 1 ℎ1 .En (1):

ℎ1 = 1ℎ1

Luego = ℎ1 ℎ1

Por Torricelli: Por dato: El tiempo de vaciado es el mism


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Por Torricelli:

= 1ℎ1 ℎ = 2ℎ1

→ ℎ1ℎ1 = 21

→

2

5ℎ1

=

2

1

Para = 0 → ℎ1 = 1 ; = 1

El tiempo de vaciado t2 es ( t2 = ? cuandoh1=0)

0 = 2

(1/)2 251

→ 2

1

2 = 251

→ 2 = 25 21 1

→ 2

= 25 2 = 1 …

Por dato: El tiempo de vaciado es el mismLuego t1=t2

Entonces de ∶2 2 =

25 2

1 → 1 =

→ = 125

→ 1 = 25


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Un tanque rectangular de área

de base 1m2 y altura 4m tienedos agujeros idénticos de área

1cm2: uno en el fondo y el otro

en una cara lateral a la mitad de

la altura H. Si el tanque está

inicialmente lleno de agua y

tomando 0.6 como coeficientede gasto, calcular durante cuanto

tiempo saldrá agua por el

agujero.

PROBLEMA 2


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SoluciónPor la ley de Torricelli sabemos que:

Entonces el caudal con el que el líquido sale por el agujero 1 es:

y el caudal con el que el líquido sale por el agujero 2 es:

El caudal total con el que el líquido sale del tanque es:


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Esta ecuación solamente es utilizable mientras salga agua por ambo

agujeros, entonces se integra hasta que ya no pueda salir agua por e

agujero 1 (h=H/2):

Igualando (α) y (β) se obtiene:


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Cuando ya no puede salir agua por el agujero 1:

Para esta ecuación se tiene de condición inicial t = t1 cuando h = H/2


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3. Dos químicos, A y B, reaccionan para formar otro químico C. se encuentra que la tasa a la cual C se

las cantidades instantáneas de los químicos A y B presentes. La formación requiere de 2lb de A por ca

10lb de A y 20lb de B están presentes inicialmente, y si 6lb de C se forman en 20 min, encontrar la ca

químico C en cualquier tiempo.

Solución:

ℎ. , 23

3 ,

. , 20 . Por tanto:

= K 10 2

3 20

3 siendoK(const)

Esta ecuación puede escribirse = 15 60 Hay dos condiciones. Puesto que el químico C inicialmente no esta presente , tenemos x=0 en t=0. ta

t=1/3. = 15 60 . x=o en t=0; x=6en t=1/3


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Solucion

(15 )(60 ) = 145

115

160 =

145 (

60 15 )

Así podemos mostrar que−− =

Puesto que x=0 en t=0. encontramos c=4, Así−

− = 4

Puesto que x=6 en t=1/3. tenemos

= Asi:60 15 = 4 = 4

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= [− ]−

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