v andric pripremni zadaci za takmicenja
DESCRIPTION
matematika - zadaciTRANSCRIPT
t
w-
L
PRIPREMI\I ZADACI
ZA MATEMAIIEKA TAKMIEMMzp, v(nNIKE osNovl\m Srole
(sa re5erfima)
)r'
nnuSrvo MATEMATICIn I sR SRBIJE
MATf,RIJALI ZA MLADE NAETETT,TETIEARE, SV. 18
VOJISLAV ANDRIC
I
BEOGRAD, 198?.
DRUSrvo MArEMATreenq. sR SRBIJE
Urednik: dr Madimir Jankovid
,l
Recenzenti: dr Arif Zolit,
" '{ riufgmir Proti6
Slike: Vojiqlqv A4dri6Izrajlo Sazdanovid
TiraZ: 5.000 primeraka
Stampa: Stamparija >Bakar< - Bor
PREDGOVOR
Podetkon pro5le godine Bepublidka konisija za nlade natenatidare iz osnovnih SkolarDrustva natenati.dara Srbi-je izdala je Zbirku priprennib zadataka za natenatidka taknidenja u 1986,godini.Nanera je bila da se nladin natenatiEarina i njihovin nastavnicj-na olakia priprena za taknidenjaralii ukaZe na neke oblastiritleje i netode.Zbirka jeliako bez reSenjarveoma dobro prihva6ena i dini se da je svoju misiju real.izovala u potPunosti.
Ohrabreni utiskon koji je ostavila navedena Zbi -rkardlanovi Republidke komisije opred.elili su se d-a ove godine odu korak dalje i pred vana je ZBmKA FRIPREMNIII ZADATAKA
zA IiATEMATTdKA TAKMlCng,rl U r98?. GODINI. Zbirka se sastojiiz tri dela od kojih svaki ina svoje specifi6nosti i poseban
znadaj"U prvon delu Zbirka pripremnih zadataka iz 1986.godi-ne kompletlrana ie reSeniina(nestinilno u obliku odgovora, anajve6in delom u obliku detaljnog raznatranja)tako da u ovontrenutku predstavlia veoma korj-stan materijal.Drugi deo pre-zentira pripremre zadatke za natenatidka takmi-denja u L9B7 .godini 1 ps6 pro5logodiSnja zbirka bakode nena reSenja, dinese Ze1e1o da podstakne stvaraladkorsanostalno i orj-ginalncreiavanje problena i izbegne reprodukcija i udenje reienja,Ko-ncepcija ovog dela je neSto druga6ija nego proSle godine,jersu za svalri razred Cate seno po dve tenerali zato tre6e po -5;1av1-je(raz11 zadaci)za svaki razred sailrii Iitav niz zadataka do kojin sno CoEli postupnim prolaskon kroz skoro sve ta-kniierske obfas'ri.liajzad tre6i deo Zbirke iine :aCaci(i reiesja)sa proilogodiinjih naternatidkih takraidenja u SR Srbiji ,Ito ;e oiiglcCno veona dobra orijentacrja u pripreni udeni.kaza ovogoCiin;j i ciklus takrniienja.
Sve u svemu Zbirka sadrZi preko ]lO re6enih i blizu7OO nere6enih zad^ataka,Sto ie veona pristoJan nateriJal koJitreba znalaEki iskoristiti.S obziron da progtan natenatidkihtaknideuja podrazuneva da se u6enicina stariiih razreda nogu
zadavati sadrZaji progranirani za nlade razrederpreporuduje-roo(narodito udenicina vIrvII i VIII razreda)da Zbirku proude
5to je nogu6e konpletnije"fime 6e se podsetiti na poJedina -dnerali znadajne partiJe i svoja saznanJa i netode usalE5itLdo jednog vi5eg nivoa.
Nad.ano se da je ovo sano podetak uspostavlJanja ko-ntinuiteta priprenaih naterijala i da 6eoo u narednln godina
na iaati jo5 sadriaaije i kvaLitetnije Zbirke priprennih za-d.ataka.Svina onina koJi su za to zaiateresovaBirobra6ano ae
i nolino d.a korisnin sugestijanarprinedbaoa i oarodito pred-loziuardoprinrisu da unapreativanjen izdava6ke delataosti uEDe
rene ka nladin natenatidarinarunapredino celokupan rad sa taIentovanin udenicina.
SADRZA,J
ZBIRI{A RESENIfl PRIPRXMNTR ZADATAIL{
zA MATEMAIICKA TAKMTCEIWI 1986.
IV RAZRED
1. Zad.aci numeracije i prebrojavanja ..2. Bnojanje i. razne5tanje figura . "....3. De6ifrovanje ra6unskih operacija ...4" Kvadrat i pravougaonik "
t. l4agiEni kvadrati .. . .. .V RAZRED
1. Skupovi tadaka2. Deljivost brojeval. logiEko konbinatorni zadaci
VI RAZRED
1. Prosti brojevi ......2. Dirihleov princi.p,..l!rougao i Eetvorougao ..VII RAZRED ......1. Pitagorina teorena ....2. ltlno6ougao i krug]. IracionaLni broJevi "..VIII R.AZRED
1. Pol-inoni ....2. Proporcionalnost i slidnost!. JednaEine ...
[sdacj. RoFenja
Baograd.,
decenbra 1986.
Republi6ka konieiJa za
nLade natenatiEare izoenovaib Ekola
1
1
I
v4
5
7
?
I9
11
1112
14
L7
17
182A
2L
2L
2425
29)qta3Lz)tt,5t,,6,8zq
79414'4848
5054qq
55
5962
t lA
II ZBIRKA TEIIREMNIS ZADATAKA ZA
IVIATEi{ATICKA IAKI{IOENJA 198?.
rV RAZRED ............ ... i .......l. Kocka i kradar ...... ........r2. Re5avanje problengki-h zadataka .....J. Raznl uad.aci ...... ........t..v RAZ,RED ......1. RazLonci.... ...........2. Si,netrija ... ...;.. ....... r,. .j. Razn! zad.aci ...........orr..'.,..,..
'I
VI RAZ,RED
l-. Racionalni broJevi .,.. . :.........'.2. GeonetriJski dokaz .... .......l. Razdi- zadaci .i.; j. . i c c o t...........
VII RAZRED
1. hoceuti .. .. .... ... ....2. Osnove konbinatorike ..1. RaznL zad.aci ....... . . ..vrII RAZRSD ...... .."......1. tr\rnkcije2. Nejednakosti ......]. Razni zadaoi oiorrr.....i.....
IrI ZBIRKA RESENIH ZADATAIO SA TAKMIOENJA
I4I,ADIH MAIEMAIICART U 1986. GODTNI.
L; Bkolgko takmidenje ......2. Op6tinale lrkFi6enJe ..!. MeduopEtineko taknidenje r........f,:4. RepubliEko takrd6enje .
7O
?e
?575
76
78
80808l-
8t85
858788
91
9L
92gt
6969
99102
106110
Ll4r20L26177'
DRUBTVO MAIEMATIEARA SR SRBIJE
VOJISIJAV ANDRIE
ZBIRTA
RESENIE rNriNSI'f{IH ZADATAKA ZA MAEEMATIETA TAK}lIdgU.ru'
1986. GODINE
BEOGRaD, 1987.
;A
t-irIll
[.
rV RAZRED
1. ZANACI NUMERACI.IE I PREMOJAYANJA
'rd. fofito c-ifara Jc, upotrebl-Jcno za numetacidu trrrJige
koJa ina J45 straaica ?
Y Z" nuncraciju Jcdne knJigc upotreeblJeno Je 51] o1-fara. Kol-iko ta }orJiga ina strauica ?
r-{ Rrao. su,iepisanl broJevi L274567891O1112I}1419...
'Koja "dc"a
se nalazL na 1986. nestu ?
4. Koliko eednica ec upotrebi sa nuneraciJu lojige od
888 strani.ca ?
5. Koliko trocifncnih broJeva sc zanrBava aifrorn 4 ?
U. 146tlko dctvorocifrcnih broJcva podinJc ctlrom 9 ?
?. Koliko pctocifrcnih broJeva Lna zbir iifara Jednak
broJu I ?
8. Tz Beograd.a lc u SaleJcvo noZe stt6i autonobiLon
korl66enJen 5 razliditih putnih ptavacara iz SaraJeva sc uSplit stlie posredstvom, raina puta.Na koliko aadina auto-nobiLieta mohc lz Beograda eti6i u Split'ako pri ton putuJe
preko Saraieva ?
9. Koliko gc dvoci.frcnih broJcva noZc napisati Eko gu
nu obg olfrc ncparnc ?
t,4
2
10. U trocifrenon broju cifra stotina je parnarcifra de
setica deljiva sa 4ra cifra jedinica je neparna. Koliko lma
takvih trocifrenih bro.jeva ?
1l-. Date su cifre I)zrt14. Koliko se troci.frenih broJe-va moZe napisati- pomo6u dartih cifararako se cifre ponavljajuj- holiko aico se cifre ne mogu ponavljati ? Koliko detvoroci-freni-h brojeva se moZe formirati pod istim uslovima ?
12. Koliko se detvorocifrenihra koliko petocifrenitr brojeva noZe napisati pomo6u cj-fara Orl ,6 ?
13. Koliko Sestocifrenih brojeva pod,inje ej.fron 7ra za-vr5ava se cifrom 2 ?
14. Koliko se u Jugoslaviji moZe najviSe registrovatibicikli,ako registracija bicikla sadrZi dva slova(ista'i'li razlidita) i jed.an detvorocifreni prirodan broJ ?
1!. Koliko razliditih delilaca ina broJ I2O ?
2. BROJANJE I RAZWJSTA}IJE FIGURA
1. Na jednoj nravoj uodeno je pet tadaka. Koliko d,uZi
je od.recieno sa tih pet tadaka ?
2. Na pravoj a dato je petra na pravoj b tri tadke.Ko-liko duZi je odredeno d.atim sistemom tadaka ?
3. Dato je 5 tadaka takvih da ma koje tri od. njih nisuna istoJ pravoj. Koliko pravih prolazi kroz date tadke ?
'4. Na planeti X-I-OO postoji ta6no 1OO svemirskih stanicara sve su nedusobno povezane redovnim raketnim linijana..Koliko raketnih linija ina na toj planeti ?
!. Ko1iko dijagonala ima osmougao ?
6. Rasporedi 10 tadaka na pet pravih tako da na svakoJpravoJ budu po 4 tadke. Re6enje obrazloZi crteZon .
',..,
"rdF
,
f, [rougao ina tri ugla.Koliko uglova.ostaje ako rna -kazama odsebeno jedan ugao ?
8. Koliko duiira koliko trouglova ina na slededin slikana:
1. 412x+5x7x9
9. Kvadrat stranLcc 4 cn podeljen
Je na kvadratne centimetre(kao na slici)Koliko duZirkvadrata i pravougaonika sa
drii dobijena sli-ka ?
10, Koliko sc kvadrata moZq uoditiaa Sabovskoj tabll ?
'11. U sobi koja Lsra oblik kvadratatreba rasporeditt 16 stolica'tako da se pored svakog zidanade po 5 etoLica. ReEeaJc obrazloZi crteion.
7. DA$IX'ROVANJX RACUMKIII OPERAOIJA , .
U narednin zad.acima unesto sinbola x treba napisa-ti odgovaraJu6e cifrertako d.a navedene operacije budu tadno
izvrEene:
x1xlO x5#
xx8x:x2-62xro(
5. 67.* = xxls
,. xZV.s* 2ox2'' :oocl
;.*
2. -LZx45678x
:CX
x7to(x:(
I
h 6.
T4
U nared.nim zadacina unesto slova treba napisati od.gova-raju6e cifre tako da svalcon slovu od6ovara jedna i sarno jednacifral jednakiru slovina odgovaraju jedno.kera nejednakim slovi-na nejednake eifre:
B. ABB+ .-_
.U.B-BBA-
,
!. Stranica kvadrata Jc 6 cm.Kol.iko pravougaonika irna
povrEinu jednaku povrEllri kvadrata3KoJi od tih pnavougaonika
ina najnanJira koji najve6i obim ?
lO. Kvadrat i pravougaonik inaju Jednake povlEine.Stra-nica kvadrata Jc dva puta vc6a od Si.rinc pravougaonika.Koli-ki su obini i por,'xiine kvadeata i pravougaonikarako je duZl-na pravougaonika 20 cn ?
11, Ako 6e stranica kvadrata pove6a za 1 cnronda se po-vrdina kvadrata pove6a za I? cn?.Koliki je obin kvadrata ?
12. Ako stranicq datog kvadrata produZimo jednu za l- cna drugu za 2 cmrnovodobijeai pravougaonik ima povrginu za 20
cn2 ve6u od povrEine kvadrata.Koliki je obin pravougaonika ?
lJ. Ako straaicu Jednog kvadrata proiluZimo za ] enra drugu snanJimo ua 2 cmrdobiJa se pravougaonik dija je povr;inajcdnaka povrEini kvadrata,Ko ina ve6i obim ?
14. Kada jcdnu stranicu kvadrata uve6amo 7 putara druguuve6ano dva puta dobija sc pravougaonik 6ija Je porr5ina jc-d.naka 96 amz, Za koliko je obin pravougaonika ve6i od. obina
'kvadrata ?
15. Data su dva kvadrata.Razllka njihovih stranica iznosi- 11 cnra razlika njihovih povrij.na je 6ll- cnz. Izradunatizbir obina ova dva kvadrata .
D. IvlAeICNf, KVADRATI
l. Sastavitl nagidan kvadlat diji su elenenti broJevl:!12rt14r5t6r7,8,9.Ko1iki Jc karakteristidan zbir toga magi -6nog lrvadnata ?
2. Konstrui6i maeidnc kvadrate 6iji au cLcmenti:a.) 2 rv 14 r5r6r7rBr9r10 b) r 17 15 r? t9 r].'l rrT rLS rLT
?, A
+ABAllc
BCts
g. A 10.+BA_BBA
ABC
1)oP !'oP
POPPOP
POTOP
4. (VADiTAT I PRAVOUGAONIK
1. Obin jed"nog pravougaonika je 46 cnra duZina nu je za
5 cn ve6a od 6irine. Odrediti povr5inu pravougaonika .
2. U pravougaonik duZine 8 cn i Sirine 5 cn upisan jedrugi pravougaonikrtako da su mu stranice od datog pravougao-nika udalJene za po 1 co.Izradunaj obin i povriiau upisanogapravougaonlka.
]. lravougaonik dijc su duZine stranica prirodni broJe-vi ina povrSj.nu jednaku poluobimu.Kolike su njegove stranice?
4, Dimenzije stranica pravougaonika su dva uzastopnaprirodna brojara njegova povrEina 3e +2 cm2.Koliki je obj.ntog pravougaonika3
5. DuZina stranice kvadrata je 18 cnra stranica pravou-gaonika jednake povr6ine jc 12 cm.Xo ima ve6i obln ?
6. Stranice pravougaonika su 9 cm i 4 cmra kvadrat inajednaku povr5inu.Ko ina i za koliko ve6i obim ?
7" Obim pxavougaonika je !O cnra stranice nu se razlikuju za 9 cn. Izradunati obin i povriinu tog pravougaonika .
g. Obim pravougaonika Jc 14 cnra stranicc su lou priro -dni broJevi.Koliko pravougaonika ina ovu osobinu I koJi pravougaonik ima najve6u povrgiau ?
/i;i{;-
c) 6Jrg.9rlor11r12rrrr14 d') 1Or2Ortor4or50160170180190
ry._-6
]. Ako svairom el-enentu nagidnog kvadrata dodano istibroj dobijeni l;vadrat je ma6i6ni. Dokaii jednim primeron .,
4. DokaZi- primeroma da ako svaki elemenat magidnog kva-darata pomnoiino i,stin brojemrdobijeni kvadrat je magidni .
5. Zbi.r i razli.ka dva magidna kvadrata je takode mapli -dan kvadrat. DokaZi ove osobine'sa po jednim prinerom i
5. Koriste6i osobine naved.ene u prethod.nim zad.acima ko-nstruisati nekoliko magidnih kvadrata .l
7. Konstrui5i magidan kvadrat -tako d.a mu je karakteri -
stidan zbir jednak: a) 18 b) 70 c) 19 d) 21 .8. Poouniti
prazna polja u sled.ecr.m nagrcnr-m Kva
d.batima .
9. Dati su brojevi z L12rJ14r)rQr7 rB19,1Or11r12rlt rI4 tL5 rL6. Dopuni slede-6i magidni kvadrat (axa) ,
lO. Dati su parni broJevi: 2141618110,
. 12114116, L8,2O 122,2+ .26,28 JO J2 .KonstruiSi nagidan kvadrat EiJi su
elenenti dati brojevi. Koliki jc karakteristidan zbir ?
11. Koriste6i osobinc nagidnih kvadrata(zadaei lr4r!)sa-mostalno konstruiSi nekoliko nagidnih kvadrata (axa) .
12. KonstruiSi magidna kvadratc dimcnzije (4x4) ako nji-hov karakteristidan zbir ina vrednost. a) ,+ b) 42 c) ?O .
mmffi
&t
I2
8 t,? 2
4 11
V RAZRED
1. SKUPOVT IAOAKA
L. U ravni je d.ato 8 tadaka,od kojih su detiri koli -nearne(pripadaju pravoJ p) i detiri nekolinearne.Koliko na-jvi5e duZi i pravih od.redpju date tadkc ?
2, Dato je 6 nckonplanarnih tadaka. Odreditl kolikoje ravni odredeno datin tadkana.
3. Na koliko dclova dele ravan / paralelnih pravih ?
4. Za pravc kaZemo da su konkurentnc ako prolazc krozjed.nu tadku.Na koliko delova d.elc ravan 1986 konkurentnihpravih ?
5, Povlade6i 4 prave podeli krug na najve6i mogu6ibroJ delova ?
6. Na koliko ogranidenih i koliko neogranidenih obla-sti dele ravan 5 pravih ako se svake dve od nJih medusobnopresecaju ?
/. Odrediti Eta eve noZe biti presek dva trougla kojipripadaju istoj rarmJ.. ReEenJe ilustruj crteZon .
8. KoJe sve figure mogu nagtati kao presek jednog trougla i kvadrata u istoj ravni. Re5enjc prikaZi erteZon .
!. Kakav ekup tadaka moZe biti pnesck dva kvadrata koji leZe u istoj ravni? Sve sludajeve prikaZi crt6Zom .x Pogledati i zadatke za N razted iz druge temc
'A
tl1lil"ffit' I
10. Da li je unija dva konveksna skupa tadaka takocie konveksan skup tadaka ? Navedi i nacrtaj kontrapriner .
11. Sta uoZe biti raz]-ika dva konveksna sin_rpa tadaka ?
12. U koliko se najvi5e tadaka mosu se6i razlidite pra_ve,ako ih ina: a) 2 b) , il 5 d) loo ?
1J. Koliko trouglovara koliko detvorouglova odreduju 11konplanarnihrali nekolinearnih tadaka? ObrazloZi re5enje .
14. U unutraSnjoj oblasti trougla ABC data je tadka E ,lbave ASIBSI'CS seku stranice trougla u tadkana DrE 1 F.Odre-di koliko se(na tako dobijenoJ fi.guri)noie uoditi nekonveksnih mnogouglova. Napi5i sve takve nnogouglove .
1.5, Na prevoj p date su redom trq[i{s ArBrCrD.Odred.i.ti:a) (Agn3D)\(Ac\aB) b) (ac\BD)^(Ac\3c)n(Ac\A3).
2. DAI,JMST SR.OJEVL
L. Ivica je kupio nekoliko olovki po Z? dinara i neko-Liko eveski po 12 dinara.!:rod.avac mu je za to naplatio LZt4dinara. Ihko je Ivica od.nah znao da je prodavac pogreEio ?
2. neEifruj nnoZenJe: :rr:or .45 = t?xL5x .
l. Koliko ina prinodnih broJcva koji nisu deljivi sa !i sq 7 i koji su nanJl od 1OOO ?
4. Dokazati d.a je broJ [email protected] (broj ima t-986 nu-la) ael;iv sa 16.
5. Odrcditi cifre x i. y tako d.a broj l986:ry bude deljivisa8isa9.
6, Dokaii da broJ diJe su sve cifre detvorke nije de -lJiv sa 6 . Re6enje obrazloZi .
7. Proizvod tri uzastopna prirodna broJa je Tj6.KoLt}il-je nJihov zbilr ?
Itl{rr.
9
8. Koliko razliditih delilaca ukLjuduju6i Jed.inicu isamog eebc inaJu broJcvir il ,O b).120 c) goll ?
9. Foetodi 1i p:rirod.an broJ diji je p:roizvod cifa?aJed.aak !28 ? Odgovor obnazloil .
LO. Dokazati da Je zbir p:rvl.h IOOO prirodni.h brojevadeljiv sa 14, . '
LL. lroizvod dva d.vocifrena broJa zapisan je sano po -no6u detvorki. O koJln broJevima Je red ?
L2. Odrediti sve trocifrene prirodne brojeve koJi ina-Ju zbir cifara jedaak 1O i deljivi eu sa 1I .
1]. Odrediti naJnanji prirodan broj koji je deJ.jiv safra pri deJ.jenju sa ZrJr4rJ i 6 daje ostatak 1 .
L4. Odrediti aajnanJi prirodan broJ kojt pri d"eljenJuea 2 d.aJe ostatak lrpri d.eljenju ea I ostatak 2,... pri dc-lJeaJu ta I ostatak 7 .
LJ. Tzralunal kol-iki Je naJmanJl prirod.an broj kojipooaoZcn sa 578 daJc kvadrat nckog prirodnog broJa .
3. TOGIOKO KOI'IBINATQRNI ZADACI
1. Deda iuiile 6e L9B8 godine prosLaviti svoj 2O.node -ndanra njegov eia Pera !O. Odrediti datum ded.a liilovog rode-nJa . Reienje obrazloZi .
2. Ne sgladiStu sc nalaze ekserl upakovani u aand.ukeod. 16rL/ t +O kC. Kako Je nagacloner ne raetutaJu6i niJedanod sandutra kupcu isporudio tadno lOO kg eksera ?
3. Dva putnika koJl se kre6u brzinon od 6 kn/h putuJu{edaD dnugon u susret iz Valjeva prema loznict(i obrauto).Igtonrcncao !a rroga prvog od nJih krcne i nuva koJa se kre6cbrzinon od. 25 ko/h i din d.odc do drugog putnika vra6a sc pr-von i td.Koliko 6e rastgJanje pre6i,nuva do trenutka susrrtlputaikarako Je restoJanJe Valjevo-loznica Jednako ?2 ts ?
d
10
!
I
I
. 4. U kutiji se nalazi lO crvenihr2O. belihrlO zelenih i40 plavih kuglica.Koliko oajmanje kuglica treba izvu6i d.a bibi.U- sigurni da sno izvukli najnanje ! kuglica iste boje ?
5. detiri madke za 4 dana ulove 4 mi5a.Za koLiko d.ana
6e 1OO roadaka utoviti lOO niSeva ?
6. Nedarrno je u 'rSportu" objavljen naslov: Iledu Eesto-ricom prvih trojica jUniorarPrvih 6est nesta zauzeli su:1. Arsi6 2. qq.!i,, l. Vtadi6 !. Gogi6 5. Dedi6 6. Doki6.i{ave-di prezime bax jednog juniora .
/. Gubari su napali Sunu i svakim d.anon je bilo dva puta viSe zaraZenog drve6a nego prethod.nog.Za A d."rr. ceta Sunaje bila zara|ena.Za koliko d#a Je bilo zaraZeno pola Eurne ?
B. Za koliko je zbir prvih 1986 parnih brojeva ve6i od"
zbira prvih 1986 neparnih brojeva ?
9. Kako 6ete sano pono6u kanti od. 4 i 9 litara nasutisa desme u lonac tadno 6 litara vode ?
10. Pe3q6ica Peri6 koju rd,ine otac(go kg)rnajka(65 ke) ,sin(50 kg) i t<6erka( +o kg) treba d.a gc troEnim damcen prebaci preko reke.Kako in je to uspelorako se zna d.a je naksima-lna nosivost danca lOO kg ?
lL. KoLiko nam najmanjc tegova treba da bi na terazija-ma nogli izneriti sve ceLobioijne teZine od 1 kg do L7 kg.Ko-lika je teZina svakog od tih tegova ? ObrazloZi reBenje .
12. U jednoj kovnici novca bilo je 4OO zlatnih Eipki.Odsvake Sipke se izlije 1O d.ukata i preostan e zkata toliko dada se od. preostatka od 2O ;ipEi EoZe izliti jedna nova BipkaEoliko je ulmpno d.ukata izliveno iz datih 4OO Sipki ?
11. fioliko pradedova fuoaJu zajed.no svi tvoji pradedovi?
14. Koliki Je proizvod 1986 sedroica je teEko.iz:radunati.Zato izradunal i obrazloZi koJa je posLednja cifra proizvoda.
11
VT RAZRED
1. PROSTI ROJAVI.:
l. Dokazati da jc broJ 2 jedini paran prost broJ.2. Svi parni prirodni brojcvi vc6i od. Q su sLoZenl brojevi.Dokazati.
J. Dokazatt da je ekup sloZenih brojeva,beskonadan .4. Svi pnoeti broJevi vc6i od. 2 su neparai brojevi.Do-.kazati .5. Dokazati da svi nepanni prirodni broJevi nisu pro _
sti. l
6. Bnojcvi 2 L 5 su Jedini par uzastopnih proetih pri_rodnih broJcva. Dokazati
7. Odrediti sve proste broJcvc prtakvc da Jc i broJp+l takode prost .
B. Ako je p prost bnojronda Je p+? eloZcn broJ.DokaZi.9. Odredt svc'proste brojevc prtakic da Js broj p2 + T
takdde prost.
, 10. Dokaii da ako Jc p prost broJrorida su broJcvt pV+I?i p'-+1/ sloZeni brojcvi
11. Ako je p prost brojrtad.a j" p1986* p7987 sloicn.Do-kazati .
iI
T2
12. Ako je p prost broj ve6i od 2,tad"a je n1980 + l98Zsloien broj. Dokazati .
1]. Odrediti sve proste brojeve prtakve da je i broj7P+p, tekode prost broj .
14. PostoJi 1i prost broj prtakav da su Jp+l i 5p+l takoite prosti broJevi ?
15. Ako su p i 7p-1 prosti brojevironda Je /p+1 sloZenprirodan broj. lokazati.
16. Dokazati da postoji lL uzastopnih sloZenih broJeva.
L7. Dokazati da ostatak pri deljenju prostog broJa salO nije sloZen brpj .
18. Skup prostih brojeva je beskona6an skup. Dokazati.19. Svi prosti broJevi ve6i od dva imaju obl"ik 4k-1
ili 4k+1 (k je prinodan broJ). Dokazati.
20. Dokazati da svi prosti brojcvi vc6i od I inaju ob-lik,5k-1 ili 6k+1 (f je nrirod.an broj). DokaZi da obrnuto tvrdenJe ne vaZi .
21. Odrediti prost broj prtakav da su p+2 i p+4 takoCteprosti brojevi .
22. PostoJi lirprost broJ prtakav da su i p+J_O i p+14takode prosti brojevi, ?
2]. Odrediti prost broj prako se zna da je p2+14 prostpri-rodan broj .
24. Ako su p i Bpz-t prosti brojevironda je gp+l sloZenprirodan brojr Dokazati .
2. DIRTHI,EOV ININCT?
1. U razredu je lO udcnika. Jasna Je na kontrolnoj veZbi napravila 1] gre6kira ostali nanJe. Dokazati da u tom razredu postoJe bar ] udenika sa istim b:eoJem greEki .
lib\]li[
dnak broJ poznanika .
L'
2. Beograd danas ina preko L 52O OOO stanovnikarod ko-jih svaki na glavi ina ne viBe od rOO OOO vlasi kose.Dokaza-ti da u Beog?adu bar 6 ljudi ina isti broj vlasi kose .
l. lnedpoetavlJa se da na tlu Zenlje danas Zivi ne3toviSe od ! milijardi ljudi od kof,ih je ne vi6e od Lfi starijeod 100 godina. Dokazati da postoje bar dva doveka koji su rodeni istog sekundaristoga daearistoga danari_ste godine .
4. I{a prvenstvu Skole u rukonetu udestvuje I eklparpridenu svaka ekipa sa svakom igra po jednu utaknicu.Dokaii dau svakom trenutku taknidenJa postoje bar dve ekipe sa jedna-kin brojem do tada odigranih utakmica .
l. U kutiji se nalazi LO c:evenihr2O plavihrlo zeLenihi 4O Zuti.h kugLica.Ku6lice izvladimo u mraku.Koliko kuglicanajmanje noramo izvu6i. da bi sno bili sigurni da Je medu njl.ma: a) bar 4 kugLe iste boje b) po jedna kuglica svake bo-je c) ne nanJe od 6 plavih icuglica ?
6. Dokazati da sc ncitu L2 prirodnih brojeva mogu prona6i dva dija je razlika deljiva sa 11 .
7. Dato jc 1Q86 proizvoUn5.h prirodnih brbjeva.Dokaza-ti se izmedu njih mogu izabrati dva diJa je razlika d.el-jivaea 1985 .
8. U kvadrat stranice 5 cm na p:roizvoljan nadin razme-Stene su !2 tadke. Dokazati da postoji kvadlat povrEine 1cn2unutar koga se nalaze bar tri date tadke .
9. Str,antce i dijagonale konveksnog Sestougla oboJcnesu Jednon od dve boje: plavom ili crvenom. Dokazati d-a se noZe uoditi bar jedan trougao diJe su stranice iste bojc .
1O. Dato je 7 duZi od kojih je svaka ve6a od I cm i na-nja od 10 crn, Dokazati da rnedu njina postoje tri duZi od Fp-.jih se noZc sastaviti trougao .
11,..Jcdnon takmidenJu priEustvuje S5 udenika.Dokait der,nedu ajin.a postoje bar dvojica koji nedu prlsutnLna inqg,u-,!l
, iif,ir
*Tlltr,^-
14
\A
-
,. TBOUGAO I CAtvoB,ouGAO
. . ,1. 8p:ljaEnji ugao kod rirha C jed.nakokrakog trougla je_daak, ie loSo.rzradunati. ugao iznedu vigine i simetrale ugrakoje poJ.aze j.z tenena,A .
2.,U g1.eu*lu AIJCrugao kod. temena C ;e 4Oo.Sj.uretraleunutrgSnjeg i spoljaEnJeg ugla kod tenena C u preseku sa pra-von AB od.reduju jedna.kokraki trougao COE. Oareaiti ugfove t"ougJ.a AtsC .
]. Dat je trou$ao ABCrdiJi Je ortocentar g. Odrediti koliki je ugao ACBrako je AB = CH .
4. U ;ednakokrakorn trouglu ugao pri rrrhu F= lOgo.Doka-zati da $e simetrala ,ugla 4 dva puta ve6a od visine koja polazi iz temena C .
5; Dati ugao od !4o pod.eli.ti na tri Jednaka dela .6. U trouglu ABCrdui BD je vieinara BM je sinetrala ug_
la.Uf,3eqgl.r. BiqC d"uZ UK Je visina.Ugae I,!BD Je 2Oor" g Blf=5O6.odrediti uglove trougla ABC .
7. U trougLu A3C ugao o{=Z5o.Odrediti oetale ugloverakoJ6rpozndto d"a prava,AD deli trougao na dva Jed.n*okraka tro -ugla .
8. TeZiSna duZ i visina iz tenena A u trouglu ABC deleugao o( na tri jednaka dela.Koliki su ugl.ovi trougla AgC ?
9. U piavougfon trouglu ABCrtadka D Je sredi5te hipote_ag2e AB. Prava p koJa prolazi kroz D i nornaLna Je na CDreededuiu katetu Ac u tadkL Era pr.od.uzetak kra6e katete BC u tadkt1i.A1o'' Je i.i sred.iSte iduZi SF d.okazati d.a Je OMJ.AB .
10. Ako je u trouglu ABC razlika uglova d - 6 = gOorta_da su odsedol simetnala unutraBnjeg i spolja5nJeg,ugLa kod. ten6na Crod tenena C do preeeka sinetralarll i N sa pravon AB.podudarni . Dokazati .
T5
Ll, Dat 5e jednakostraaidnl trougao A3C.,Na pravcina AB,BC i CA iza 8rC i A date su ta[ke I,l;{{rP tako d.a:Je"Bl&eN=AP .Dokazati da Je i trougao MN?.takode jednakostraniEarir;.--
12, Neka su ArBrCrD kolinearne tadke takve d.a je AC=CD,
a CD=DB i neka su E i E ta6ke sa iete'strane prave ABrtakveda su trouglovi ADI i BDE Jed.nakostrani6ni.Dokazati dd Je trougao CEF takode jednakostranidni .
1}. Date su red.oro tadke ArB i C iste pr*o" p"i''sa istestrane date prave date gu tadke D i E takve d.a su trouglovi:ABD i BCE jednakostranidni. Ako je M srediSte duZi AE i N ered"iEte duZi CDrd.okazatl da je trougao BMN Jednakostranidan .
14. U paraleJ.ogranu ABCD stranica AB dva puta Jg qe6aod stranice 3C.Ako Je M srediSte stranice AB dokazati da sutada duIi CM i DM norrnalne .
15. U paraLelogrsmu ABCD tadka M je sred.i5te duZi AB,a tadka N erediEte duZi CD. Dokazati da prave CM i AN diJago-nalu BD dele na tri jed.naka dela .
L6, Ako su dijagonale detvorougla jednake nedu sobom i, polove seronda je ta detvorougao pravougaonik. DokaZi .
L?. Dokazati da je svaki paralelograrn upisaa u krugupravougaonib .
18. U pravougaoniku ABCD norroala iz tenena n n" atSago-nalu AC deli diJagonaLu A.C u odnosu }:l.Odrediti ugao {zqedud.ijagonala tog pravougaonika.
19. U detvorougao je upisan krugra dijagouale detvorou-gla se seku u centru kruga. Dokazati d.a j€ dati detvorougaoronb.
20. feroena osnovice jed4akokrakog tnougla i preeect si-netrala ugJ.ova na osnovioi s+ kracina predstavlJaJu tenena Jednakokrakog trapezarkoji ima tri podudarne straDice.:DokaZi .
21. Dokezati da eu sredi3ta etnanlca i podnoiJe bilO ,Lo
je visiae u trouglurtemena Jedaakokrakog trapeza .
ti 16
:
22. Konstruisati trougao AB0 ako su d.ati elementi:a) stranice b=5 cnr c=4cn i vieina h* =3cmrb) stranioe b=4 cn, c=Gcn i teZiEna iuE t"=5s6,c) stranica a=4 cr
d) s*anica a=5 J i ;3il:: #i l;=ill"* l"il:;n:e) straaica a=5 cnrteii5na dui t"=4ln i visina"h s=3cm,f) etraai.ca a=5 cnrugao 6=6O0 L teZi5na duZ tc=[r5cn'8) stranica a=5 cmrugao /l= 41o i visina hb=+.i .
23. Konstruisati trougao ABC ako su poznati slede6ielenenti:a) stranice b=5 cnrc=4 cn i teZi$na d.ui t"=! cn ,b) straai,ca c=5 cnrugao d= 60o i teZi6aa*duZ t"=Jr! gn,c) teii6ne duZi t.=3 cmrt.=4 crn.i t"=5 cn.
24. Konstruieati trougao ABCrako su d.ata temena A i Bi ortocentar H .
25. Konstruisati trougao ABCrako Je d,ata tadka A i Bra-ve p i q na kojina leZe visine bb i hc. /
26. Data je prapa p i tadke M i N. Konstruisati trougaoABC tako da temena a i B budu na pravoj pra tadke l,r i N pred.-stavlJaJu podnoZja visina ha i hb,
27. Konsttisati pnavougli trougao ABCrako su dati sr.e -de6i elernenti:a) kateta a=4 cn i teZi6na duZ tO=! 96,b) lrateta a=4 cno i teZiHna dui ti=1 cqr'c) ugao o(=3go i zbir keteta a+b = Z cn.
28. Iionstruisati jednakostranidni t:rougao ABC ako je poznat zbir strani.ce i visine a+b = Zr5 cm.
29. Konstruisati trapez ako su date stranices g=/ cr!'b=, cnra kraci su c=4 cm i d=F cn .
]o' Konstruisati rrvad.rat ABCDralro je data razlika diJa-gonale i stranice: d-a = 1r2 crn.
L7
TII RAZRED
1. PITAGORINA TEOREMA
L. Odrediti povrdinu trougLa dije eu etranicei a=15 en
b=14 cn i c=15 cn.
2, Jedna kateta pravouglog trogla Je a = I cnra hipo -tenuza je za 1 cn ve6a od. druge katete.Odrediti obin i povr-Einu kruga opisanog oko tog trougla .
,O lzradunati obin i povrEinu trouglarako je stranicac=6 cn]a uglovi o(=5Oo i ft-?5o.
4. Katete pravouglog trougla su JOcn i 4Ocm.Ta6ka M na
lazi se u unutra5nJoj oblasti trougla i od kateta Je udalie-na po 5cn. Izradunati udaljenoet tadke M od. hipotenuze .
6.)U pr"vouglon trouglu(sa pravin ugloo kod tenena O)
duZine teii3uib duii su t.rt6rt". Dokazatl iednakostltf,+tf,=rr3.
6. Izradunati obim i povr5inu pravougl.og trougla diJahipotenuza Je 20cnra Jedan oEtar ugao Jednak detvrtiai pra -vog ugla .
/. leiiSna duZ t.=1Ogn zaklapa sa kateton A0,ugao od'
foo.od.rediti kolikt deo kruga opisanog oko pravouglog tlou-gla(u procentina)zauziua pravougli trougao .
/.4ii l:b
ffi-18
B. Oko jednakokrakog trougla dija Je osnovica 49 cn, ahak 40 cn opisan Je krug.odred.iti odnos obir'a i povriinerkruga i trougla .
g, OluJa prelomi Etablo stablo visine 16n i pri tone. rrrh drveta dodirne zenlJu Bo daleko od. stabla.Na kojoj visi-ni se prelonilo stabLo ?
ro, N636gr1e konstruisane iz temena B i D pravougaonikana dijagonqlq A0rd.ele d-iJagonaru ac na tri jednaka ir.ela. Akoje duZina Jedne stranice pravougaonika 10y'5 kolika Je duZi-ua druge stranice pravougaonika ?
, 11. ako su 1caci trapeza nedusobno normalnird.orrazati dar je zbir kvadrata osnovica jednak zbiru kvad.eata d.ijagonala .i 12. Vrt ina oblik pravougaonika sa temenima ArBrCrD. Uj 't"tu Je desna koJa Je od tenena A udaljena 14 mred. tenena B
udaljena 4 n i od. tenena C udaljena 12 n.Koliko je desna ud.aUena od tenena D ?
ll. Dokazsti da Je zbir kvadrata dijagoneJ.a paralerograma Jednak dvostrukon zbiru kvadTata osnovi.ca paralel.ograma .
14. U ;ednakokrakorn trapezu srednja liniJa je sra dija_gonala je d.va puta duZa od. srednje rini;e. od.rediti povr5inutog trapeza u funkciji od e
1!. Osnovice trapeza su a = 25 cs, i b = f5 cnra leak cje 8 cn- od.red.iti kxak d. i povr5inu tog trapezarako je poznato da je zbir uglova na ve6oj osnovici prav ugao .
-
2. I'INOGOUGAO I IGUG
1. SpolJaEnJi ugao pravil4og rnnogougla je ! puta ,,nanJiod unutrainjeg.Koliko dijagouaLa ina taj mnogougao ?
2. Zbtn unutrainjih uglova nrnogougla je 61200.Odreditikollko tal nnogougao ima atranicara koliko dijagonala .
1g
' ]. UnutraHnji ugao praviJ.nog rnnogougla ve6i je od odgo-varaju6eg spolJaEnJeg ugla za tolikor.za koliko ie 've6i i od
eopstvene petiue. Odrediti koliko pravih prolazi kroz tenenatog Pgavil,'og unogougla .
4. Pravilni nrrogougao ima L89 dijagonala.KoLiki je zbirunutra6nJih uglova tog nnogougla ?
5. Zbi.:T broJa diJagonala i broja stranica pravilnog nno
gougla ;e I\V. KoLiki ie centra3.ni ugao tog mnogougla ?
6. Izradrihati obim i porrrlinu pravilnog oonougla ako Je
poluprednik buga opisanog oko osmougla R=lO cm .
f. Odrediti odnos obina i povrEiae praviLnog d'vanaest-o-
ugl-a !. kruga koji Je oko nJega. opisanrako Je stranica dvanae-
etougJ.a a = 50 cn .
8. Sestougao diJe su sve stranice jednake i inaju duZi-nu arina tri nesusedna unutra5nja ugLa prava.Iznadunati povr-51nu tog EestougLa u funkciji od a .
9. Dat Je pravilni Eestougao diJa ie stranica a.Nad stranicana"lestougla konetruisani su kvadratira zatin su slobo -
" dna teneaa kvgdtata spoiena tako d.a se dobije dvanaestougao .Dokazati da je d.obijeni dvanaestougao pravilanra zatin i.zra -dunati obin i povr6inu novodobijenog dvanaestougla .
lid. U pravouglon trouglu katete su a=6 cn i b=8 o&rod"re-
d.iti odnos obina i povr6ina kruga upisanog i opisanog oko trougla.
It. Oko Jednakokrakog trapeza dije su osnovice a=L6 cn ib=12 cnra visina jednaka ered.njoj J.inijiropisan je bug.Za ko
Iiko Je povrEina }cuga ve6a od porrr5ind trapeza ?
12. U lcug poluprednika R=lO on upiean je Jednat{okrakitrougao diji. Je ugao pri vrhu(kod te!0ena A)dednak 4So,Oaredi-
ti powSinu kruinog odseEka odredenog osnovicon tsc i lukon ko
ji odgovara' stranici BC'
t20
Lr. V krug Je upisan Jednakostraaidal. trouggo ABC.Neka
Ja !t proizvolJna ta6ka luka BC(koJen ae pripada tadka A).Do-kazati da je BM + CM - AM .
14. U krug je upisan detvorougao .ABCD.Ugao C.A,D Je /Oo,a ugao ABD je 4Oo. Dokazatl d.a Je AC - CD .
15. Na potulrugu opisanon nad d.uii AB uzete su p oizvolJne tadke O i D" fetive AD i rc seku se u tadki Era tetiveAC i m u tadki F.Dokazati d.a je duZ EF aornalaa na AB .
16. Konstruisati trougao ABC ako Je a*BCo5 cnrvisina h"jednaka 3 cn i ugao BAO = d = 59o.
,. IRACIONAIfiI SRO,tgyI
1. Dokazati <ta Je y'E iracionalan broJ .2. Da li a.,17 raeionalan i1i iracionalau broJ ? Do-
kazati .
). Dokati da su broJevt {V + t f 6 - I iraoionatni .
4. KoJi oct broJeva Cl| l2 , (17 )t , (6 )4 , (6 )5su iracionaLni ?
l. Dokazati da je skup racibnalDih broJeva zatvoren uodnosu na operacije +r-r.r: .
6. Dati su racionalan broJ 5 i iracionalaa broJ € .DoFazati d.a su: y{e ,5-'lV ,{V -g,a(V ,jlV ,lT , 5 iracio-nalni brojevi .
7. Da Ii je skup iracioualnih broJeva zatvoreD u odnosu na operaciJe + r -, ., : ? Nsy6{i prinere i kontrapri -m€f€ r
8. Dokazati d.a Je (.l-/, )(r+6 ) nacioqalan b:roJ .9. Da ti Je broj fr -'17 racionalan ? DokaZi .
lo. Dokazati da Je broJ (9 * ilr(il5 - 2) iracioaatan.
I
2L
VIII BAZBED
1. POLINOMI
1. Dokazati da je za svaku vrednoet prirodnog brojap'+ltn derJivo sa 6 .
2. Ako Je n prirodan broJ ve6i od lrond.a Je n\+ uvek
elolea broJ, Dokazatl .
t. Neka Je p prost broJ ve6i od 2. Dokazati d.a se brojp uvek moZe prikazatl, kao razlika kvadrata dva uzastopaa prirodna broJa .
4. Ako su x I y proizvolJnl celi broJevirdokali da Je
Lzraz *2y2 * 2x2 * tv? + 6 uvek sloZen prirod'an broj .
!. Dokazati da Je za svaku rnednost prirodnog broJa nLzraz o5'- a"tJtv sa !O '
6. Dokazati da ne poetoii polinon drugog stepeaa sa ce
lobroJnin koefLcijentina za hodi ie P(7)=1985 i P(tl)=1995 .
7. Dat Je polinon P(x)*2x7+V*2** . Dokazati da Je na-jve6i zajed.niEki deliLac za P(1)rP(2)rP(})r... broJ 6.
8. Za koje vrednogtl. n iz skupa prirodnih broJeva Je
polinon s1'+i6a delJtv ea 16 ?
9. Dokazati d.a Je (x-1)(f-11*n-2+...+x+1) o ao-l ,,n,'
i
,22
LO. Izraz 8n+2Ln-1 deljiv Je sa / za gvako n ia skupaprirodnih broJeva .. 11. Dokazati da se vred.nost izraza Zloo-t zan:Bava sa
dve nuLe .
12. Pe|116n P(x) = ax2+brrc ima celobroJnu vrednostza svako celobrojno x.Dokazati da je 4a+2b+c takode ceo broj.
11, Data je funkciJa f(x) = *t*1*2-4. Od.rediti vre -dnost funkcije za x=99998 .
14. ReEiti po x slede6e jednadine:
") *2-4=*4 = o ;l c'j',i""., = oc) xl-4x = o e) (x*zi2-g-= o-
") *2-6**8 = o tj *2-t**u = os) x'-t*x2+iJx = o ;i
"u.g"=-r.L^ 7r. Odrediti broJeve xrytrz... tako da je:
a) x2*(y-t)2 - o '";j ;r.;e;;:-u:"'c) xt*yt+Gx-ry+10 = o d) x2*y2*2,2= Zx+4y+62_:.4e) 4x'*qy'+!6zz+r=4x+6y+gz f) x4*y4 = Z*2*gvz-tZ
16. Odrediti celobroJpe vrednosti brojeva xryrz takoda su zadovolJene slede€e Jed.nakosti:a) zx+xy = Z
d xy+}y-5x-LJ . j") *2 = f+Zy+tZg) *2*y2 = 1
a) x2a2 - 71d) :qf-fx+2y = gf ) x2+5:ry+ 6y2 = t+h) xt+yz-2x-4y+lg = g
L?. Dokazati 6a jednadina *2a2 = 1986 nena celobro _Jaih redeaJa .
18. Odrediti prost broj p i prirod.an broj n tako davaZe jednakosti:a) 5p + L.- n2 ,
") r2-tr- = p-a
b)rp+L=n7a)n4+4=F
1!.,Jedna kateta pravougJ.og trougla Je a*12 cm.od.re _diti sve,pravougLe trouglove koji imaJu i d.rugu katetu i bi_potenu iz skupa celih broJeva .
2'
20. Re5iti sistem jed.nadina: x2'2y+7=o, y2-2r+1=O .
21. Odrediti prirod.ne brojeve t i y za koJe Je ispunJelL tL
na jednakost x--y'=I?5 .
22. Dokazati da jednadina *2*4y2 = 1986 nena re3eaja uskupu ceLih broJeva
2j, Dokazati d.a kvadrat evakog ceLog broja pri delje -nJu sa I daje ostatak O ili I .
24. Da li jednadio, t2*y2,1986 ina re5enja u skupu ce
lih brojeva ? ObrazloZi odgovo! .
25, Ako je x+y = I 1 x2+y2 = L ond.a Je taEno Jedan od
broJevq x i y jednak nuli . Dokazati .26. Izradunatr az+b2rako 6e a+b=24 i a.b=145 .
2?. Koliko je xlrrako Je x+y=ea ! x2+y2=25o 2
28. Ako je x+y = o i x2+y2= Zrdokazati da je #+y4 =2.
29. Odrediti sve cele brojeve 4 zla koJe je i kolidnik(a2+t):(a-1) takode ceo broj .
'70. Ako Je * * * ceo broJ,onda Je Lceo broJ. Dokazati . "2
, lz takode
Jl. Ako Je " * * = 2 izradunati x2 .. l, *' * t*,4tx +-4.
]2. Ne izraEunavaJu6i rnednost korena odrediti 5ta Je
ve6e: fti ui ft +(l,1. L]ro eu a i b pozitivni realni broJevi tada $e uvek
a2+b?'y22ab i + >.{fi . Kad.a vaZi iednakost ?
,4. V svakon pravouglom trouglu 6ida Je hipotenuza c ipormiina P ispunjena Je nejednakost c >z 2{F . DdEdzati .
t5. Lko su alb,c pozitivni reaLni brojevi tada vaZe ne
jednakosti:a) a2*b2*"2y' ab+bc+ca
Dokazati .b) (a+b)(b+c)(c+a)y' Sabc .
24
2. PRO?ORCIONATNOSI I SIIdSOST
1. Dat je trougao ABC. Neka sinetrala ugla ACB = f, se_de stranicu AB u tadki M. Dokazati d.a je AM:BM = AC:BC .
, 2. Siqletrala uFIa na osnovici Jednakoleakog trougla deJ-i naspranni krak na od.sedke od. 6 cm i 9 cm. 0dred.iti pornr5iuu tog trougla
,"' 7. Da li postoji trougao diJe su visine b"=7 cnrh'=6cni h"*9 cm. ReEenJe detalJno obnazloZi .
1," 4. Osnovica BC jednakokrakog trougla ABC Jednaka Je polovini baka-visina koja odgovara kraku je duz BN. Dokazi d.ajs AN = 7.cN .
\/ 5. Dat je trougao ABC i teZiBna linija AD.Konstruisanesu simetrale rrglova ADB i ADCrkoJe seku strane AB i AC u ta-dkama It i N . Dokazati d.a je duZ IrlN paralelna sa BC .
,'6. Hipoteuuzina visina deli hipotenuzu pravouglog tro_ugla na odsedke p-9 cn i q=tO cn.Od.red.iti povrBinu buga upisanog u taj pravougli trougao .
7. U iednal<okrakon trouglu oenovica Je 4g cura krak Je40 cn. odrediti za koliko je povrEina }cuga opisanog oko trougla ve6a od povr5ine kruga upisanog u tnougao .
B. l{eka Je dat jednairokraki t:rou6ao Eija je osnovica ajednaka odgovaraju6oj visini.rzradunati polupreEaik lieuga opisanog olio trougla u funkcidi od. a .
9, U Jednakokrakom trouglu ugao na osnovici je Z2o.lkoje osnovica a i lcak brd.okazati d"a Je "2 = O2-uO -
10. Dat je krug k i izvan nJega tadka M.Kroz tadku I,i konstruisane su sedice p i q kruga knkoje leug selar u taEkarnaArBrCrD . Dokazati da je iUA.IlB = IIC.MD .
2'
11. Sedica s prolazi kroz tadku M i sede krug u ta6ka-rna A i B. fan6enta t prolazi kroz !"dpo I,4 i d.odiruje krug utadki C. Dokazati da je l{A }'18 = 1,1C2 .'
12. lz taEke M van hrga k konstruioane su tangenta UC
i sedica lvlASrtako d.a nedueobno grad.e ugao od 45o.Ako Je du -iina tangentne d.uEi MC = lOfA cnra rastojaaje IvlA = LO cn ko-tiki je polunrednik datog lruga ?
lJ. Neka Je AB prednik jed.nog krugarB0 njegova tange -ntara CDA sedica.Odrediti oclnos CD:DArako je 3C jednako polupredniku datog kruga .
14. nat je pravougli trapez ABCD kod koga se dijagona-1,e AC i BD seku pod" pravin ugLom . Dokazati da je A8.CD=AD2,(pravi uglovi su kod temena A i D) .
^ 15' u trougao dija je osnoviea a = L2 cmra povrF;ina 36
cnt upisan je kved.rat MNFQ tako d.a su tadke M i N na osnovi-ci trouglar& P na stranici AC i Q na stranici AB.Od.rediti povriinu upisanog kvadrata .
3. J.EJJNACINE
1. Grupa dedaka i devojdica sakupila je 17O dinara zakupovinu poklona bolesnon drugu.Devojd,ice su davale po 2O, a
dedaci po VO dinara.Koliko je bilo devojdicara koliko deda -r-^ t
2. Iznos od 7] dinara napla6en je nov6anicana od 2 d.ina1.a i 5 dinara. Odrediti broj Jednih i broj drugih novdani-Ca.
J. Itlqi,s li se 124 kLikera podeliti na I devojdice i 9dedaka tako da svaka devoJdica dobiJe jednak broj klikera isvakL dedak dobi.je jednak broJ klikera ?
4. Odrediti prirodne broJeve x i y tako d.a zad.ovolJa-vaju sLede6e jednakosti:il3x+5y=aec) ztx + ,9y = 1986
u) 2x + 59y = 2ood.) 6x2 - aryz = 44+444r+l+t+4q .
5. Prena ietodnJadkoJ baJcl nHilJadu 1 Jed.na no6o devojka Sshg3szada Je iz no6i u ao6 pridala caru po , ili po petprida. Za koliko je no6i naJbrZe mogla d.a isprida J.OOI pri_du ? Kel{i1o najvi5e no6i je Seherezad.a mogla da pri6a datih1OO1 pri6u ?
g. U prod.avnici dadke zadruge grafitaa olovka staje pola dinararhemijska olovka I dinarra naliv pero ! dinara.Koliko treba kupiti koJih arikalarako se za tadno loo dinara mo-ra kupiti tadno lOO s16y1o1 z
7. Reiiti po x slede6e Jednadine:I
I
III
I
Ii1
I
1
llil
s) lx-21 +lx-l1 + t2x-81 = 9 h) lxl + lx+Jl = fx+l1 +lx+218. Odrediti skup reSenJa slede6ih Jed.nadina:
a) -z b) J. =Ll=L,
t. Odredtti skupove tadaka u xry ravni 6iJe koord.inatezadovoljavaju slede6e jednakosti:
a) fax-+l = oc) lzxl * x = 6e) lx+rl + fx-l.l = 2x
a) y = llJ+:sc) f x + yl = !e) lx-21 = ly-11
u) lA-ral = Jx-L2a) fxl + t1+21 = gf) llx+rl - l2xll = lx+tl
\E;
b)d)f)
yl + y = f xl+ xxl+ lyl = V
lxl -lrll = 1
LO. Vlada 6e 2Oaj godine imati onoliko godina koliko iznosi zbir cifara godine njegoyog rodenja.Koliko god.ina 6e oninati 1.986. godlne ?
11. Ba5-Celitr se borl protiv zmaja koji ima lgg/ glava.Jednim udarcenr mada tsa5-delik moZe od.se6i zrnaju 21416 ili gg1ava.ltedutinrtada znaJu J.zraste 8r16rO ili 2 nove glave.Mo-Ze 1i Ba5-Celik naizmenidnim ud.arcina nadarp:ri demu ima po -tpunu slobodu izbora koliko 6e glava odse6l(2r4r6 ili g) svakim udarcenrodse6i znaju sve gl.ave ? Odgovor obrazloZiti .
RE6TNJ^A,
li
I
i
I
I
i
I
lI
Ili
llliil
ii
IV 8AZR5D
1. ZADACI NUMERACTJE I TREBROJAVAN.TA
1. Za nuneraciju jednocifrenih i dvocifrenih stranicaupotrebi se 9.1 + )O,2 = 189 cifara.Za nunoeraciju troclfre -nih stranica upotrebi se JoE (Z+> - 99).7 - Z]8 cifara.lrenatone ulnrpno je upotreblJeno L89 + 7rA = 927 cifara.
2. Za nuneiactJu trocifrenih strani.ca upotrebl_jeno Je\Lt - (9.f * 90.a) - j24 c5,tterpa Je broJ trocifrenih stranica V24 : 1 - lo8ra ukupan broJ etranica Je IO8 + 99 o 2O?.
V. Kako je 1986 - (9.f * 9o.2) - L79?rto je u nizu na-pisano I797.t - 599 trocifrenih broJeva.Itako je 599-tI trocifreni broJ 598rto je poelednJa oifra ognica.
4. lJ svakoJ stotini se upotrebi 20 sed.nica.U oemoJ sto. tini joE ILOO sedmica i u devetoJ l9.Dakle ukupan broJ upotrebljenih sedrnica je 2O.8 + lOO + 19 - 279.
,. Pcsr:ratrarno broJ ..4 . ZnaEi da ispred 4 dolazi bi-1o koji dvocifreni brojrpa je reienje 90.
6. lieka je traZeni broJ 9... ,Eto znadi da na praznanesta nogu do6i svi trocifreni. brojevi podev od OOO do 999 .Takvlh brojerva je tadno IOOO.
?. Ukupno 1!ra to su: IoO11rlOIOlrlO11Or11OO1rLlolo,llLoo, 1cco2, :too2 o, 1o2oo, L2oOO, 2OOO]_, 2OO1O, 2 OLOO r 21OOO r r OOOO,
8. Bro;l puteva Je 5.3 - L5 (slika 1) ,
sI.2sll.19. fel<vih dvocifrenih brojeva ina 5.5 * PF (slika 2).
i
i
II
I
lii
!r'il
7O
10. Tak+ih troeifrenih brojeva ima 4.5.5 = €:O (s1.3),
slika l
11. An: se cifre ponavljaju inramo 4.4.4 = 64 trocifrdna i 4.4.4.4 = 2J6 Eetvorocifrenih brojeva.Ukoliko se clfrene mogu ponavljati oada se noZe fornirati 4.7,2 = 24 troci -frena i 4.3.2.1 = 24 €etvorocifrena broja.
L2. Iairvih detvorocifrenih brojeva ima 2.1,1,V = 54 tdok petocifrenih brojeva ina 2.1.7.3.1 = L62.
L5. Cifrora 7 podinjera cifrono 2 se zavrEava L.LO.Lo10.1-O.1 = LO OOO Eestocifrenih brojeva,
14. Od dva slova moZe se nadiniti 7O,tO = 9OO konbi -nacijara detvorocifrenih brojeva ima g0OOrpa je ukup,an brojregistracija !OO.9OOO = I lOO 0OO.
L5. Kako je I2O = 2.2,2.tr.5,to je ukupan bro;j deLila-ca broJa 12O jednak 4,2'2 = 16 (.elika 4).
@w sLi.ka 4
2. BROJTIN{S I ItriZi'iils[ANJE FIGIIRA
L. Neka su date tadke ArBrCrDrE.Tad.a se noZe uo[ititaEno 10 duZi (ABTACTADTAETBCTBDTBSTCDTCX i Dn).
2. Na pravoj a ima 10 duZirna pravoj b I d.uii, a JoE5.1 = L5 duZi je o<ire'leno kombinacijom tadaka sa prave a i bpa je ukupan broJ duZi 1O + 3 "t 15 = 28.
,. Iz ta6ke A polazi lriz ta6ke B 4riz taEke C j, iztalke D 2 L iz tadke E I duZrpa je ukupan broJ duZ,i 1).
tt
4. Iz svake stanice polazi !g liniJarpa je ukupan broJsvemirskih linija pp.lOOrpri demu Je svaka linija radunata 2puta.ltema tome linija irna 99.10O:2 = 4950.
,. Iz svakog tenena polazi / d.ijagonalarSto znadj- uku-pno /o$;P = 28 dijagonal-a.
6. Reienje je dato na sLici 5.
?. Tada se dobija detvorougao,pa je broJ uglova 4.
8. DuZi 6emo brojati na prava-mara trouglove u konbinaciji. slika Ia) 24 duZi i 12 trouglovab) 18 duZi i 16 trouglova c) 27 duZi i 12 trouglovaa) 24 duZi i 16 trouglova
g. K..radrat sadrZi lO oravih i na svakoJ po 5 tadaka, ato znadi 10 duZirSto znadi da je duZi l0O.Kvadrata ina 16+9r-4+l = ,Ora pravougaonika je tadno 70.
Ne lrahovskoj tabli ima 64+49+V6+25+I6+9+4+1 = 204
lL. Re6enje problema dato je naslici 6"
slika 6
,. txsili'RovANJn RAcUrTSiirIj or.'tfiACr&\
10.kvadrata.'I
!
,
,itiI
i
1. rt12-I + 5'c?89 = 611L0
,. 52V'?4 - ,3 7a2
9. 67.7L = 7V7
7. 6+6?+614*7479.9+89+BB9=987
2. I?-145 - o7B9 = 5556
4. 1q84 : 12 = 62
6. 97'II = to67
8.899+99=998 :
10. IO1.1O1 = L02OI ../:!ii. *.; .( '
"{ t..
I
i
4. KYADRAT T TRAVOUGAONIT
1., DuZina Je l4r5irlna ! onra povr6ina 5e 126 cn2.
2. Str"anioe upieanog pravougaonika su 6 cn i 4 cnrpaje obin 20 cora povrEina 24 cmz.
,. Ako stranice oznadino aa a i b onda Je a+b = 8b .DobiJeaa jcdnakost vazi samo 28 6. = b = 2 cu.
4. Stranlce plavougaonlka su 6 L ? cnra nJegov obimJe 26 on.
5. PovrEina kvadrata ie 7124 "r2r. druga stranica pravougaonika le V24zL2 = 2? cm.Obin kvadrata le 72 cnra pravougaoaik ina obfun 78 cn.
5. PovrEi.na prevougaonika i kvadrata Je ,6 cn2.Stra-nica kvadrata Je zna6i. 6 cnrpa Je ve6i obin pravougaonika i.to za 2 cn(obin kvadrata Je 24 cnra obin pravougaonika 26).
?. Stranice pravougaonika su L7 L A cnra ponrEina JeL15 cs2.
8. Mogu6i Dravougaonici su: (6rl); (j,2);(+,7).radve6u povriinu- 12cn2 ima posled.nji pravougaonik.
g. Povr6ina kvadrata i p_ravougaoni.ka ;e 36 cn2.Mogu-6i pravougaoaici su: (3611);(rera) i(Lzr11i(9,4).NaJve6i dd.nod njih ina prvi pravougaonik(/4 cn)ra naJnanJi poelednJi ion iznoei 26 er.
lO. Ako Je straaica kvadrata dva puta ve6a od. Sirinepravougaonikaronda je ona zbog Jed.aakosti povr6ina d.va putananja od duZine pravougaoalka I iznoEi lO on.Irena tone po-vrEine su lOO cnzrobin kvadlata Je 40 cnra pravougaoaik inaobtn tO cn.
11. Kada stranicu kvadrata uve-6ano za 1 cnronda ae nJegova pavt6iaauveda ze dva podudarna pravougaonikaI kvadrat stranlce 1 cn(pogledal eli-ku ?).Kako Je povr{ina kvadrata I cn2
m'
t,
)to.dva preostala pxavougaonika inaiu povr6inu 16 cn-rpa sva-ki od njih ina povr5inu 8 cm'.Kako je Jedna stranica 1 cnttoJe polazui kvad.rat inao stranicu 8:1'= 8 cto.
L2. DobiJeni pravougaonici (slika 8) ina$u porn6ine :l.x - :rr 2.x - 2r. i L'2 = 2.Znadl da Je 1x + 2 = 2orodnosno
lx = 18'pa Je traZena stranica x = 6 cn.
slika B slika 9
LV. Kao Eto se sa slike 9 vidi'da bi povr5ine kvadra-ta i dobiJenog pravougaonika bile Jednake lnora i poln5ina do
bijenog pnavougaonika (x'2) biti iednaka povr6ini pravougao-
nlka ()rx-2).Znadi 2x = 7(x'2) tft Zx = 7x - 61pa ie x=6 cn.
L4. Ako jednu stranicu uve6ano 2ra drugu"S puta povr-61na se uve6a 6 puta.Kako ona sada iznosi 96 cn-tto je poLa-
zna povrEi.na bila 9626 = 16 cn2ra stranica kvadrata de 4 cn.Obin pravougaonika Je 40 cnra kvadrata 16 cn.
L5. Sa sllke LO oEigledno Je da
ll.x + ll.x + 11.11 - 671.odavde se do
bija da je 22.x - 55O' a r . 2J cm.Zna
Ei da je stranica manjeg kvadrata 2!cto
a straaica va6eg 15 cm.Zbi-c njihovibobina je 4(2r+r5) - 2zl4 cm.
slika 10
5. MAGICNI KVADRATI
l. ReSenje je dato na slici lJ.ta karakteristiEan zbir Je jednak tre6i-ni zbira svih brojeva i iznosi 19.
slike 7 elika Itr
,4
2. $vaki elemenat u nagidnon kvadratu iz prvog zad.atka;a) uve6a3 za Lb) ponnoii sa 2 i urnanJi za Ic) uve6al za !d) ponnoZi sa 10
l. Prinari iz plethodnog zadatka a) i c).4. hl.ner d) iz zadatka 2.
J. AzctL prinere c) i a) iz zad.atka 2.
7. Sva&i elemenat u nagidnon kvadratu iz prvog zad.atkala) uve6al za 1
c) uve6al za Ib) uve6al 2 putad) uvedal za 2
8. Re6enJe dato na slici 12
ffimffi slika 12
g. Re{enJe Je dato na slici l}.10. Svaki el.enenat u nagidnon kvadratu iz zad.atka 9. uv6
6ati dva puta.
1t. Svaki elemeaat u nagidnom kvadratu iz zad.atka !:a) prepisatib) uve6ati za 2
a) uve6ati za 9.
i
i
hlt r,,,
t, L2 , 6
10 8 L5 I7 9 2 l6
4 E 14 11
slika 17
,,
V RAZRND
l. sKuPovr !Aca.KA'
I. Neka su "A'rBrCrDrtadke na pravoJ pra l{rI[rPrR taEkevan prave p"Ia6ke ArBrCrD(slika 14)odreduju 6 duZi i I pravu.lladke M'l{P,R odreduJu 6 duii i 6 Pravib.Ko -mbinacijom tadaka ArBrCrD i MrNrPrn
clobija se JoE 16 = 4'4 duii i istotoliko pravih.Prena tone ukupan broJduZi je '28ra pravib $e 2i.'
2. Datih 6 taEaka odreduJe 15 pravih(duZi).Svake dve
tadke(duz) sa jednoB od preostale Eetiri tadke odreduju je-dnu ravan.Znadi da se na ovai nadin noZe konstruisati 1)'4=60 ravni.Medutlnrpri ton je svaka ravan ra6unata tri puta t
ba je stvarni broJ ravni 60z7 - 2Q.
Na 8 deLova(nacrtal sliku i prebroJ).
5. Sajve6i mogu6i broJ de-lova je llra re6eaJe Jeprikazano na slici 15.
6. ReEenje Je dato na sli-ci J.6rpri denu se noieizbrojati 6 ograni6enihi 10 aeograniEenih oblasti.
7. Prazaa skuprtadkarduZ ttrougao, detvorougao, Pc-tougao, Eestougao.
oP
,6
8. Kao u prethodaon zadatku i jo$ sednougao.
9. Kao u prethodnom zadatku i JoE osnougao.
LO. Unija dva konveksna skupa tadaka qoie biti konve -ksanrali. i nekonveksan skup(slika L7a i LZb).
11. Razllka dva konveksna skupa noZe biti koave-ksan skup(Ir\ TO)rali 1 ne-konveksan skup(!r\ [2)
L2, a) 1 b)t
AFBslika 18
Lr. a) sano tadka B
b)
glika 17
c) 1@ 99t2 = 4950
Ir. Nekonveksni maogouglovieu r ASFBCATAFSBCA TABSDCA
ABDSCA,ABCSS,A ,ABCESA , za-tin ASBCATABSCA TABCgA...(vidi sliku 18).
b) prazan skup
rl
2. DEI^TTVOST BROJWA
1. Bnojevi 27 L 72 su delJivl sa ,rpa i ukupna cena ,koJa iznosi 27.x + 72,1 = L2r4 nora biti deljiva sa ,rgto una6en sludaJu odigledno nije.
2. Ig:ol ,?.L5. nora biti d.eLjj.v sa 5 i 9.Ako B€ Zar:!-Sava O onda Je to broJ Jl2LJOra ako Je posl-ednja cif:ra 5rta-da Je tnaEeai broJ t76l5r. Prvi broj ne zadovoljava usLove.
5. hojevi- koji su deljivi sa l i sa / deljivi su sa
,5 i takvih do 1OOO ina 28.hena toloe onih koji nisu deJ.jivisa5ilina999-29=)1I..
4. Dati broJ Je deljiv sa $rjer nu Je zbi-r cifara 8.Sdruge strane delJiv je i sa 4rjer se zavr5ava na 08.
,. BroJ 198600 pri deljenju sa 8,9 = 72 daje ostatak
,7
Jednak 24,pa Je traieni broJ 198600-24+72 - 198648.
6. BroJ 444...444 ina tnocifrepl. zavr5tetak 444rkoginije deljiv sa Srpa ceo broj uije del_Jiv sa g.
7. lrol ,16 je deUi sa 6 i jednak Je 6.!Grpa su traZeni uzastpnl brojevL 6r? i 8ra nJihov zbi:e je 21.
8. a) ,6 - 22._j2 a broJ detilaca Je (2+1)(2+J-) = 9.b) l-20 = Z7,r:5 ina (7+r)(1+t)(1+t) = 16 d.etlracac) 5C)r| - 27,12.7 ina 4,t.2 = e+ aetioca.
9. Eako Je 528 * 6,8.L1 i kpko 11 ne noZe biti cifratakav p:rirodaa bloJ ae postoji.
10. Zblr prvih 1@O prirod.nih broJeva Je 1OO1.lOOO:2qilt [email protected] Je 1OO1 - ?,LL.L7 to Je oa deljiv sa L4V.
Ll. hoizvod dva d.vocifreaa broJa ve6i je od. lOO i nanji je od. lOOOOrpa u obzii. d.olaze 444 1 4444.Irako Je broJ1144 = V.4'7? = L2.t7 to Je Jedno re3enJe.4444 = 4.1l.lOl tkako Je lOl proet broJrto Je broJ 4444 nenogu6e prikazati uobliku proizvod.a dva dvoci-f:reaa broJa.
" L2 Neka Je traZenl broJ ffi. [ada Je x+]+z=l.O i x-X+z deljivo sa llrito znaEi da noZe biti O ili ll.DrugL slu -6aj otpadarDa je odigledno 7a2=!=Jo IraZeni brojevi eu o6i-gledao 59O r45L 1752 r25t rLr4.
L5. Neka Je traZeni broJ x,Iada Je x-l deJ-jivo aa Zr,41516 5to znadi da je x-L= 2.1.2.5.k = 6Ok.Dakle x = 6Ok+1.Najmanji broj obLika 6Ok+L koJi je detjiv sa I je !OJ..
14. Ako bi traZenon broju x dodali l.rond.a bi odigJ.e -dno x+l bilo deljivo i sa 2 i sa rr4rSt6r?r8.Dak1e x+L = 2.,.2.5.7.2.k = SAOkrodnosno x = 84Ok - L.Nadnaaji takav btoJje 8r9.
Lr. Kako je t?a = z.rV.?,to le 7?8,2.V,? = 2274?2 ^to je (2'9.?)2.rrena tone najnanji takav broi Je 42.
38
,. tocleKo-KoMBINATORNI ZADACI
1. Deda MiJ.e je roden 29.februara 1908. godine.
2, Broj sanduka od 1/ kg nora biti paran i nanji od. 6,Eto znadi 0r2 ili 4.Za O i 2 nenano re5enjara uz 4 sandukaod lfkg dolaze joE 2 od po l6kg.
,. nva putnita 6e se sresti posle 6 Easova hod.a. Za tovrene nuva 6e pre6i 6'25 - f5O ke.
4. 21. kuglica obezbeduJe bar 5 iste boJe,
5. detirl maEke za I dan ulove 1 niEa.l@ nadaka za Idan ulovi 2! ni3eva,a l-OO nadaka za 4 dana uLovi lOO niSeva.
6. Eoki6rjer da Je on senlorrnaslov bl gJ.asio:Mediu pe-toricon prvih tri junio:ra.
l. Za I dana.
8. Za 1986rJer Je svaki parai ve6i od svog prethodnikaaeparnog broJa za 1"
9. Iz kante od 9 J. odliJeno 4 1 i u lonac preepeno ta-Eno 5 I vode.Zatin napunino opet kantu od 9 I i dva puta od-lijeno kantu od 4 lrostane nam sano Jed.an litar.Srespeno ga
u lonac u kone se sada nal-azi 5 litara vode.
19. Prvo 6e prevezu deca,a jedno od nJih \rrati daroac kojin se preveze naJka.Zatin dete vlati 6anac i opet so deeaprevezu na drugu obalu i ponove poetupak.
I1, lri tega od I kgr} kS i 9ke.
12, Od 4OO 6ipki izlije se 4OOO dukata i 20 novib EipkiOd 20 Sipki izlije se 2OO dukata i jedna nova Bipka.Oal noveSipke se napravi jo5 1O dukata.Ukupno Je dobijeno 42lO d.uka-ta.
15. Svako ina 4 pradede.Svaki od noJa 4 pradede ioao Jepo 4 pradederpa Je ukupan broj l-6.
14. ProLzvod 4 sednj.ce zavr3ava se na ]..?roizvod 1984
sednice zavriava se na J.ra proizvod 1986 na 9.
I
I
i
bl ',
,9
VI R,IZRED
],. IBOSTI SROJEVI
l. Svi parni broJevi ve6i od. 2 deljivi su Lr2 i saninsobonrpa ne nogxr biti prosti.Prena tome 2 je jedini paran iprost broJ.
2. ObrazloZenJe oadrZano u zad.atku l.,. Kako paruLh broJeva irna beskonadno nnogora svi sen
dvojke su eloieni to i eloZenih brojeva ina beekonadao mnogo
4. Ako bi neki. od. aJih bio pu"*roo bi bio i sloZea.
5. hoJevi 9rL5rZLr?5r... su aeparnirali nisu proeti.5. Ostali parovi uzastopnib prostih prirodnib broJeva
ne postoJerjer bi. jedan od nJih nolrao obavezao biti paran, ato znadi i sloZen.
7. Ako Je p=2ronda Je p+9 = ?tga Je p=2 re6enJe.Ako puzina vrednosti ve6e od 2ronda Je oa neparanra p+5 je u tonsludaJu paranr$to zna6i I sloZen broJrpa je 2 Jedino reienJe
8. Ako Je p=2 onda Je p+f=gra to Je stoEen broJ.U eLudaju kada de p)}rp Je neparan brojrpa Je pr| paran broJr5toznadi opet sloZen br.oJ.
9. za p=2, p2*9 : ll Eto je reEenle zadatka.Ako je pve6e od 2 ond.a je p I pt neparnorpa je pc+! paran broj.d.aklei sloZen.Jedino reSenje zadatka je p=2.
10. Ako Je p.2ronda le p2*r?=aLra p3+L?=a5 pa Je tvrtunJe-ta6no.Ako le pVl,onda je pzL D7 neparnora broJevi p2+L?i pV+L? su parni i sloZenirpa Je tvrdenJe d.okazano za sv€ pr
11. ho; n19ae + nr9a7 je uvek paran i uvek sroZen.
-^^-L2. Ako je g2TVronda 5e n19ao neparan broJrpa Je bnodp1986*r9g7 paran i sloZen.ovin Je tvrdenJe d.okazano.
$fllt-40
Lr. Ako Je p=2rond.a le rg*pi - 72+2t = L?ta to Je prostbroJ.Ako la pVVrtada je ]paeparno I p' t.kod" neparaorpa nji-hov zbir nora biti paranrdakle i eloZen broj.Prena tone Jediaore3enje problena je p-2.
14. Za p-zrtp+L-7 t 5p+1=11. zadovol.Javaju zahtev.MeCtu -tin ako je p)lronda Je ]p+l paxan i 5p+t palan broJrpa je p=ejedino reSenje.
L5. Jedini broJ p koji zadovoljava usLov le p=z(?p-L=Lta to je prost broJ)rJer za p)r)rbroJ 7p-1 uzina paxne vredno -sl1.Kako je tada 7p+1 = J.lrto je tvrdeaje zadatka dokazano.
16. Neka Je x = 1.2.t.4.5,6.?.8.9.10.lL.12.hoJevi x+2,x+Jrx+4rx+ 5 rx+6rx+l rx+8rx+9rx+lorx+Ilrx+I2 su uzastopni i slo-ieni,jer su delJivi redon sa 2rJ1415t6,718,9tLOrlLrL2.
I?. Ako Je p=2 onda Je kolidnik Ora ostatak prost brojg = 2 .Ako Je g7t\,orida Je p neparan broJ pa ostaci nogu biti:Lrt rS r'7 19 rLL )Lr rL5,I? tI9'2Lrzt r25 t27'29.rJ sludaju da eu ostacigrLrrzlr2r,2l p bL inao oblik 3Ok+9,VQk+L5r3Ok+2Lr3Ok+21']Ok +
2?ra to su odigledno sve sloZeni brojevirjer su deljivi sa I ,odnosno 5.Ovim jo tvrdenJe dokazano.
18, Pretpostavino da su pl) pZ7 ... )pO svi prostJ. bro-jevirtJ. da je skup prosti-h blojeva konadan.Uodino broi definisan relaciion: p = pl.p2 ....pk + 1.boj p nije deljiv ni sa
p1rg2r... niti sa Jednin prostim broJenrjer uvek daje ostatakjednak L.Prena tome i p je prostrpa na6a pretpostavka ne vaZi.
L9. Svi prirodni brojevi se BoBu rrapisati u obLiku 4k-14kr4k+1 ili 4k+2.Kako su 4k i 4k+2 deljivi sa 2'proste broJevetreba traziti u obliku.4k-1 i1i 4k+1.
20. Slidno prethodnon zadatku svi prirodni brojevi ina-ju Jed.an od obl.ika: 6k-lr5kr6k+1r6k+2'5k+]'6k+4.Kako su broje-vi 5k,6k+2 i 6k+4 deljivi 8a 2ra brojevi oblika 6k+l delJivisa ],to prosti brojevi nogu biti sano cblika 6k-1. ili 6k+1.
Obrnuto tvrdenJe ne vaZi jer postoje brojevi oblika6k-L(rr16rr...) i 6k+1(25r49 r55,...)koJi su slozeni.
41
2L. Ako Je p=2 ond.a su p+2 i p+4 s1oZeai.Ako je p = 1ouda Je ptA = tra p+4 = |.Ako Je p>]roada Je p Jed.nog od oblika: 6k-l iLi 5k+L.Ako Je p=6k-lrtada Je p+4=6k+j=j(2k+L)"a.to Je sloZen broJ.Sli6no za p=6k+1rp+2=6k+lrpa Je odigled.nqp.] jedino reEenje zadatka"
22. PostoJi: to je p=l.Dokazati da drugib nena.
2rr Ako Je p=2rp2+14=l8ra to Je eloien broj.Za p=Jrd.oblJano p2+L4=2j.Za p) 5,p=6&-1 1li p=5k+l.Tad.a ;e-p2+ri =i;;2+12k+1+X-4 sloZen bnod(deLjiv Ea 1)rpa le p=7 Jedino re5enJeproblena' t.
I24, Ako gu p i af-r prosti broJevi onda Je p=r(doka -
zati!).Ako de p*7 onda je gp+l . ZJrato je sloZen broJ, 5toJe i trebalo dokazati.
2. DIRIIT.NOV PRINCIP
l. U6enike delino u 14 kategoriJa:oae koji su napla-vili 1rrl2rl1r... ,2r1ro greEki.Odigled.no je da bar u Jed"aoJkategoriJi postoJe 1 uEeaikarger kada bi u svakoj kategoriJibilo 2 ili naaje udeni.karonda bi ukupan broj udenika bio na-nji od 28rEto Je nenogu6erJe:r je broj udenika JO.
2. Sve Beogradane podelino u 7OO OOI kategoriju: onekoji inaju tOO OO0r299 999,...rj,Vr:.-rO vlasi kose.Kako se d.e
lJenJen 1 52OOOO sa 100 OOI dobtje kolidnik 5 i oetatak,tc Jeodigledno da bar u jednoj kategoriji post oji 6 l.Judi.
,. 4 9rO OOO OO0 ljudi koJi su ntadi od tOO godina ,.treba pod.eliti aa staroBne kategorije: 1 sr2 sr...rpri 6emuposlednja kategorija ina lOO.J6535.24.r5OO sekund.i.Iako sopokazuje da u bar jednoj kategoriji postoje dva elenenta.
..
4. Sve ekipe delino u / kategorija: one koje su igrrIe l rSrJn4r712rA utakmicu(ilL 6rr14rrr2r1rO utakmica).|[adr usvakoj kategoriji postoje bar dve ekiperjer ji a:? = l(f);
42
i
5. a) 17 kuslica(4'4 + 1)b) 91 larglicac) 86 kuglica
6, Datih 12 prirodnih broJeva rasporediltto u 11 katego-riJa: u prvoj su brojevi deljivi sa llru dmgoj brojevi koJL
pri deljenju sa os daju ostatak lr...tu ied'anaestoj su brojevi koji pri deljenJu sa 11 daju ostatak lO.Kako inano 12 brojevara J-l kategorijarbar u Jednoj se nalaze dva broJa.UoEene
brojeve a =llx+r i b =11y+r(uoraJu inati jednake ostatke prid.eljenju sa ll)oduzneqo: a-b = ll-(x-y).Razlika je odigtr"edno
deljiva sa llr6to je i trebalo pokazati.
?. Dokaz analogan dokazu iz zadatka 6.
8. Ako kvadrat podelino na kvadratne ceatinetre dobi -dano 25 JediniEnib kvadrata.Kako Je J2z2J = 2(2) to aigurnopoetoJi kvadrat unutar koga se nalaze bar ] tadke.
9. Iz svakog tetena Festouglapolazl t duiitod kodih su bar 1 isteboJe(slika lg).Neka su to d11li AC'AD
i AI koJe su crveae'Ako Je CD crvenad.okaz Je okon6anrpa zato predpostavino d.a Je 0D plave.Ako Je DE ctvena toada Je trougao ADE crvenrzato pned-postavino da Je t DE pl'ave duZ. Sada
se poonatra duZ CE:ako Je ona crveDa
trouSao AOE Je crvenlako Je ona pla-va ond.a Je trougao CDE plav.Sl-idno se dokazuje i obrnuta si-tuacija(kada su neke tri duZi plave).
lo. Neka eu date duEi d1 rd2r...tdrz d1-<d2<...<d,.Ukoli-ko ne postoJi trougao onda ier dl+d2<d7'd2+dr<d4'dt+d4-< d5
d4+d5<d6rd5+d6<at7.ako ie dl=dr=l .cnrtada te llvz cn'd4) 7
d,5Vi cnrd5l.8 cn i d'?>1, cn Eto je aeroogu6erjer sve duiisi naaie od 1o cn. Prena tone trougao uvek postoji.
l
A
slika 19
4t
1L. Predpostavino da postoJi udenik koji ne poznageba5 nikoga.Tada preostall udenici nogu inati lr2rl, .., ,5Vpoznanika.Kako j-nano ]5 udenikara 14'kategorije u jednoJ odkatego:riJa se nalaze bar dva udenikar5to znadi da imaju po -dJednak broj poznanika.Ako pak takav udenlk ne postoJir onda
Je broj kategorija opet ]4,jer je najmanji nogu6i broj poznanika lra naJve6i 34 i zakfjudivanJe tede kao i u I sludaju.
7. TROUGAO I cETVCROUGAO
L. Ugao iznedu sinetral.e i visine je 90.
2. Neka je CD sinetrala spoljaEnjegra CE sirnetralaunutra5ajeg ugla kod temena C.Tad.a je ugao ACE = 4Oo;2=2Oo .Kako se sinetrala spolJa6njeg i unutraEnjeg ugla trougla se-ku pod ugJ.on od goorto Je trougao CDE Jednakokrakolravouglipa Je ugao ADC=45o.Iad.a Je ugao CAE = lllora ugao ABC=25o.
,. Neka ie A, podnoZje visine iz teuena Ara C, podnoZje vj-sine iz temena C.fada su trouglooi MtB i HA'C poduda-rni(AB-cH, * urr= + CAIE=goo, * Arln= * rccr-rao uetovi sanornalnim kracirna).Iz podudarnosti je AAr=CAlrpa Je trougaoAA.C jednekokrakopravougli.Zna6i ugao ACA' =-gACB = 45o.
4. Sa D obeleZimo podnoZje visine iz Crsa E podnoZJesinetrale ugla kod temana A.Neka seAX i CD seku u tadki O i neka je tadka F srediEte duZi At(slika 20).Tad.a je * DCE = 196;2 = 54o,a ugloviCAB i ABC su po 56o.Ugao CAE = l8o,pa je * Atc = l-800-1080-160 = 54o.Trougao COE je jednakobakrpa eu duZi CO=EO.Kako je F srediFte duZi AE
i D srediEte duZi AB to Je FD srednja linija trougla A3E.Za-kljudujeno da Je lD fl BE,dakle FD ll CE.Tada 5e )cr'= $ D = !4o.Dakle i FO=DO,pa Je FOTOE=DO+OC'i1i trE=CD.Kako je AE= zX'ErtO
Je i AE= 2'CD.
slika 20
44
I
I
l
,. Iskoristiti prethodni zadatak.
6. Kako je I l4Ka pravra + Bl{K=5oorto .;e * MBK=4oora toJe polovina ugla B koJi iznosi 8oo. + UED=2Oo,pa Je + DBc ta-kode 2oo.Iz trougla BCD dobiJa se * - l.8oo-9oo-2oo*/oo. ZnaEL
da je i L=]Oo.
?. Razlikujeno dva sludaJa(slike 21a i 21b)!a) *A-25o, lB=25o, {c-aoo u) fA=Z5or4B=75o,4c=?oo.
eLika 2I
8. Neka eu D i E podnoEJa visi-ne i teZiEne liniJe iz tenena A i neka
Je EF uornaluo na AC(sIika 22).trougLovi ABD,ADE i AEF su podudarni(dokaZi! )Iz podudaruosti zakljuduJeno da je duZ
!!=pg=f,f=s.Kako je E podnoZJe teEiEne 3duZirto je 3E=E0-2x.llrougao CEF je pravougli i CE Je dva puta ve6e od EF' Pa
zakJ.Judujeno da Je JrE=5oo i i c-roo.Kako de * DAc=6oordobi-jano da je 2 iY -6oo,a ff-Toorpa Je *A*}Y= gOor *gSOo.
9. Ako je tsA=d ronda je *DcAtakoded rpa Je < CDB*Zo( , JF mM=
9oo-2o(.Kako je FDI cD i FcrAc,to je *CFM* * DCE=d.Zakljudu -jeno da je i * 3CM=d,pa Je jCMo
24.I2 trougLa SMD odigledao ie* M.so=teoo- 2"( -(9oo-2d )=9oo .
Dakle SMISD ili MCIAB.
10. Ako je c( -B-lOoronda Je p = c(-goo.Kako jed+r3+8-=lSOorto Jco(+ o( - 9Oo+F- lBOo;pa je c\+ V/2-7V5o.[ad" Je *ANC=45o.Kako se slnetral.e unutrainJegi spoldaEnjeg ugLa seku pod. pra - U
45
vlrn uglon trougao Cl{N Je pravougllrsa } N=45or5to znaEi i d.a
Je jodnakokrako-pravouglirpa Je CM -. CN.
11. Dokaz sled.i iz pod.ud.arnoeti trouglova AMpTBMI{rCIlp.
l,2. Dokaz sledi iz pod.udauoeti trouglova CDFTDEFT&E.
Lr. Iz podudarnosti ABE i 3CD eleduJe BM=BN.Kako su itrougLovi AMB i BND pod.ud.arni to Je *ISU= * DBff.Sada je po-trebno i-zraduaati * UBl[= * ABN- * lsM= * lrCr- { DBN=6Ooroda-k1e je odigledno trougao BMN JednakostraniEaa.
1.4. Ako Je *DAB*2? ronda Je {ABC=IBOo-2?.Kako eu d.o
bijeni trouglovi AltD i BMC jednakokraki(DA=AM=MB=Bo)rto su iugLovi *AMD=9Oo-?f * BMC=Y.Zbir ova dva ugLa Je loorpa Je+ ct{D=9Oo, odnosno cMJ. DM.
L5. Neka su E i F preeeEne ta,6ke d.iJagonal.e BD i pra -vih AN I CMra S presek diJagonala.lada Je tadka E teZi6te zatrougao ACDra F teZiSte tlougla ABC.ZakLJu6uJeno da Je DE:ES
= 2:l i Btr':FS=2:1.Kako je DS=BSrto Je DE=EF=BF.
16. Kako Je AS=SB to Je * SAB= i SnE., tz poduda:enosti.trouglova ABC i ABD sJ.eduje da Je * A= * A.Ua glidan nadinse noZe dokazati da je*A=*D =*C Eto je dovolJno za d.o-kaz da je detvorougao-pravougaonik.
L7. Iskoristiti dinjenicu da Je aBOD paralelogran i iskoristiti prethodni zadatak.
18. Neka je presek dijagonala pravougaonika ta6ka S, apod.noZje nornale iz tenena B na dijagonalu AC tadka M.OiigJ.edno Je AS=SCra kako je AM:MC=}:lrto je odigledao MC=$M.U pravouglon trouglu Bl{,SrBS=2SM,pa je*XSStt = 600.
19. Ako su M'N,P,Q dodirne ta6ke kruga i stranica de -tvorougla iz podudarnosti trouglova se dobija da se dijagonale polove(aAt{,SSaCPS i AMBSSADPS)i seku pod pravin uglon.Tada je traZeni detvorougao odigledno ronb.
2,O, Neka simetrale ugl.ova na osnovici seku naaplannCkrakove u ta6kana D i E.Iz pod,udarnosti trouglova ABD t ABE
DEslika 22
slika 2]
46
zaklududeno da ie AE=BD.fz podudarnosti trouglova ADE i 3DE
d.obija se d.a su + AxD i Jr BDE jednaki.Kako Je + IIFtr= * EBA=
{ BEDrto Je trougao DBE iednakokrakrpa ie BD*DE=EA' .
21. O6igledno je srednJa linijaAfclll BrDrpa Je ArDBtCt trapez.Trou -sfooi lrun i AIBE su podudarni(4oka -zatit)rpa je ArB*BtCr*AtD.Dakle tra -pez de jednakokrak(slika 25).
22. Za d"ate konstruktivne zada- A
tke da6emo eano kljudne ideJe:s) Najpre konstruiEj. pono6ne pravou -gJ.e trouglove BA'A i CA'A.
l) hoauZi teZignu duZ CC, za JoF Jednu dutrinu i konstrui6ipono6ni paralelogran SCADrili od'nah konstruiEi pono6ni trou-Bao ACC, (koristiti oznake sa slike 25).c) Konstrui6i pomo6ni trougao 3C8.
d) Konstrui5i pono6ni trougao BAt[.e) KonstruiSi pono6ni trougao A'A14.f) KonstruiEi pono6ai trougao BA'A.g) Konstrui6i pono6ni trougao BCBI. a
2j. a) seZignu auZ ML produZiza duZinu t" i Potom koastruiEi pono
6ni trougao ABD.
b) Postupiti kao pod. a): AB=q'AD=2ta i +AIE=l8oo-d.c) [eZi5nu duZ &t produZi ua Alts tako da se dobiJe ta6ka D'
pa zatin bonstruiSi pono6ni trougao ElD.
24. Iz tadaka A i B konstruleati nonoale aa prave BH i
ctBslika 2l
AE.
25. Iz tadke A konstruisati Prave
26. Kako Je * lt'tg- 'lr$tn=9oo,to ta6ke ArMrNrB pri.padaJu jednon
krugu(slika z?)diJi je prednik aB'Ka
ko ceatat kruga pripada sinetrali te A
tive M$rto ae centar nalazi u Preae-ku sinetrale i date prave P.
bJp i clq.g
s
slika 27
47
2?. a) KonstruiEi pono6ai pravougli trougao SCBt'
b) Kako Je c- 2tc'to je praktidno datg a I c.c) Katetu AC produZiti preko t€nena C za duZ CB=a'Analizi -rati doblJenu sliku i konstruisati pono6ni trougao ABD'
28. Vieinu C'C produiiti preko temena C do tadke D tprl denu je CD=a.KonstruiEi pono6ni trougao AC'D'
29. Konstruieati pomo6ni trougao diJe ou stranice: o
d i a-b.
VQ. Na dijagonali AC odrediti tadku Ertako d'a je d'uZ
CE=a.fad.a je AE=d.-ara nogu6e Je konstrisati pono6ni trougao
ABE.
VTI RAZBED
1. PTTAGORINA TEOREMA
1. Visina hO=12 cnra povrEina trougla 3e g4 cn2.2. Kako Je 52 , *2 = (x+1)2 = x2+2x+lrt o ie 2x = 24,pa Je nepoznata kateta x=12 cera hipotenuza x+1=1] cn.polu-prednik kruga opisanog oko trougla Je R=6r5 cn.V. Konstrui.Eeno visinu BB,.
I(a.ko je * 4=600rto Je *ABB,=roo ,a * B'8c-45orpa J€ a BB,c jednako-krako pravougli.Iz AAB8,visina BB,jedna&a i21{V, a d.uZ B,C- 5{j.tu|A'Q=7 + 1{l,a duz w* t{j{Z = 5,/d.Obin trougla Je )g{j +JG ,a povrEina je (9ft* Z?):2. srika 28
49
7. Neka je A.' srediSte katete SC.Kako je aAAIC pravo-ugli i ima iA,AC=r6o,to Je ArCj cq i AC=5{t cn.Kaieta BC =tO cm,a hipotenuza ae'(tZS = 5'tl .Procentualni odnos porneEi-na trougLa i lruga oko njega opisanog ie Z5E r t75T,/4 .
8" Ako Je S centar buga opisanog oko trouglara D po1.
dnoZje osnovicine visine rLz AASD dobijanc relaciju; AD2+SD2
= As2 ili n2 = z+2+(h-R)2. Ibko je n2=+o2..z42=s+.isrto {e visina h=8.4=r2 cnrpa na6a relacija postaJs na=576+(r?-R)a.Re-Savanjem dobijeae Jedbadine dobiJa se R= 25cn.
9" Neka se steblo prelouilo na visini x.Tada Je duEi-na prelomlJenog dela 16-xrpa je (fO-x)2 = *2*B2.R"Eavanje Jednadine dovodi nas do rezultata:drvo se prelonilo na visiu,i
4. Ihko ;e mf=5 cu i MBl=g
:t':: iu Mt=25,a Br*t5 cB.Dui-AB c
Je 5o cn.I"io "" izradunavaJu duEi AA
AM = ,F I 8M = ,/iEA. -J; ;;;;I t"* inaju d.uZilu I i y.Tad.a jex-+y'=650 i (50-x)c+yz=t25o.Re6a _vanjen dobiJenih relacija odre(tujeno r=19 cnra zatin i y=12 cn. slika 29
(a2+b2i..'ri u. "B'._"?
u . r:.:ir; ="?i7: ;2" =r;rfi
. ri "
6. Dopunino li dati AABCpodudarni.n t:rouglon d.obijano je _dnakokra&i. 4ABD sa *A=+5o.n"d.a JeAADE je4rrakokra\o-pravougli i AE =DE= 1g{f.povr6ina AABC jednaka .ie2o.loJtz4-5o(Tcnz.
6 n od zemlJe.
10. Neka su E i I'podnoZJanormala iz B i D na dijagonalu AC
i neka Je $ presek dijagonala(slika )I).Tada je sE=gF i AE:ES*2:1. 1
Kako je AS teZisna duZ aABD to JeE teZiEte toc trouela.Neka .ie AB=
ea..q,c=rffi i co='ffi.r.-ko je AED pravouglirto je AO2 =
L2. Neka taEka S oznalavapoloZaj desne i neka su M,N'P po-dnoZja nornala iz S na AB,BCTCD .Tada je(vid.i sliku 12):pS2=op2+SP2
=1.M2+cttt2= (1+2-srf )* ( rz2-su2 )=t9e*1++-(sn2+sw2 ) =r+o-+2=:i24=182. sad aje jasno da je DS = 18 n.
AE2 + tra ilr z@= L/g(4a2+2oo) + 4/9G.2+zoo).Re6avanJen d.o-bijene jednadine odreduJeno da Je a=10 cmrpa je AB = 26 qr.
11" Ako ee produZeci krakova trapeza A3CD seku u ta6kis,onda je* lsa=goo"Tada 5e a2=aB2=.e,s2+as2 i u2=coLosz+cs2.odigledno 1e^a2+b2=As2+3S2+cs2+DS2=As2+cs2+Rs2+Ds2=af*a!, 1"";e af=lc2=1,s2+cs2 i a!=ro2=rs2+Ds2.
tJ
elika ,1
5/+'
lt
sltka 12slika ]O
W,f,"
l;
,o
Lr. Neka suaib osnovicerd, id.rdiJagonaLe ihvi-sina paralelograna(sfika rr).Tada jea?-(a**)2*t,2 i ai=("-*)2*,2. . a?*i?r^zaa.al<- a' +2a*+xz +hz *a -Zax+xz +hz =Zaa +i(x2+rr2) = 2a2+2u2=2(a.2*b2),5er ge odi -2.2 -2glecl'no X +n =O .
14. Ako osnovicu AB jednako -krakog trapeza ABCD produZino preko
I
tenena B za duZ CDronda je AAEC JedaakostranidnirJer je duEAE=a+b=ACra -)< sAc- -)<A!D= * Atc(sftta ,4).visina trougla Jei visina trapeza i. iznosi a{T/Zrpa Je povrEina trapeza je -dnaka s-tl=, /2.
slika ,4 slika ,5L5. IGko je zbir uglova na ve6oJ osnovici prav ugao ,
to se kraci trapeza seku pod^pravin^uglonrpa je ABCE pravou-gli.Znadi da Je CE2=a2=(a-U)2-c2=LO242=7Orpa Je d=5 cn.Visinu trapeza(i afCn)izradunavano iz povrEine ABCE'jer je oditolO.h = 8.6 = 48rpa Je b* 4r8 cn(elika rr). Povr6ina trapeaaje 2O.4,8 = 96 cuz.
2. MNOGOUGAO I KRUG
1. Kako su spolja5nJi i unutra$nJi ugao nnogougla suplenentni to Je x+!x = lOr - lSOorpa Je spo1JaEnJi ugao tognnogougla l8o.Kako je spolJagnji ugao jed.aak centralaom(dokazati)to onogougao ina n = ]6O:18 = 20 straaica.boj dijagonala je tada 170.
slika 14
xaslika ,,
IB
5L
2. Kako Je (n-2)I8oo=el2oorto ie r.-2=1.4ra 1=J6.M:rogo
ugao ina 16.7V:2 = 594 dija8onale.
1. Ugao je ve6i od sopstvene petine za 4/5 sops^bverie
vrednodtirpa je i od svog spoljaSnjeg ugla ve6i za 4/5 so -pstvene vred.nosti.Ako je uautra6nji ugao 5xrsPoljaBnii je xpa je 6x = l8Oora 1*3Oo.Radi se o l2-tougLu.Kroz svako tene
prolazi 11 pravih(2 stranice i ! dijagonala)rpa Je tenenima
d.vanaestougla odredeno ukupno Lr.'I2:2 = 66 pravih.
4. Kako Je n(n-}):2 = 189'to ie n(n-)) = 2'9'V'7.Da-kte n(n-l) = 21.L8'pa je n*2l.Zbir unutra3niih uglova mnogo
ugla Je S = 19'lBOo = V42Oo.
5. Zbir broja stranica i broja d'ijagonala n - touglajednak Je ukupnon broju pravih kroz n tadakara to je n(n-l): 2.Prema tone n(n-l) = rA6 = 6'51 = 6'7'L? = 18'17rpa Je njednako lS.Centralni ugao ie ]600:18 = 2Oo.
6. Neka je ABCDEDGH dati osno -ugaorsa centron S.Kako je osaougao pra
vilan to je * AsB= * BSC=45o,Pa je za--to *Asc=9oo(srika 16).Iz AASC, duZ AC
jednaka je lo{-,a MS=5JE =AM=CM . Kako
ie BM=BS-lilS to je BM=1O-51?,pa je strair". o"toogra i,a2=Af*3v2=5o*1oo-1oo{t+!O=2oo-1oo{2 ,a AB = 101f2-ff-. Izradu slika 16
navaju6i obim i povrEinu dobija se daj* o-= 8.AB = ao{ffi,^ P = 4'AC'BS:2 = 2 ro/f'ro=zoo6 .
?. Posmatraniem dva susednarkarakteristi6na trougla,sliEno prethodnon zadatku'dobija se a=rJ2-{1 odakle se raci-
onalisanjen dobija r=OolZ+!!-.Obin mnogougla je ?2O,a obi'n
kruga opisanog oko niega ;e l2oJuJ2+tfl.Povr5ina naogougla
je 6'60'60Q*tt7)r2 = 1o8oo(2+Vt),a povrEina kruga opisanog
oko dvanaestougla ie 1600(2+,17 )li "t'.8. Najpre ie potrebno konstruisati traZeni Sestougao
(vidi stiku ,?).Kao 5to se vidi Sestougao se sastoji iz trl
I
52
Jednakokrako-pravougJ-a trougla i Je-dnog jednakostranidnog trougla.Stra-nice pravouglih trouglova jednake eudatoJ duEi arpa su stranice jednako-strani.duog trougla po
"{7.Povr Sina
Eestougla je P = r.a2/e*(a,lT )2.6t+Daklep-a2(r+,17)/a.
lO" Eipotenuza datog trouglaJe c=LO cno,Povr5ina trougla Jedaakaie L/2t(a+b+c)=1216"1ika rB).Kako Jepovr5ina trougLa 6.8:2=24=12rrto Jer=2 cn.Poluplednilr kruga opieanog dotrougLa Je R=e/Z=J cn.Orr:Ooo4li: lOJi
=ar5 .Pu:Po. d . 25fr.- 4225.
11. Visina trapeza je l4cn(vid,i sliku V9)$ tadka S je centar kruga opisanog oko trapeza.Ako Je SE=x,onala Js SF=I4-xrpa ;e n2-(t+-x)2*3=
"2*82.R.5.vanjen dobijene Jednadine
odredtujeno x=5 cnra tada je B=IO cn.Povr5ina kruga je 1OO3[ cnzra pom5i-na trapeza je^l!5cnzrpa krug ina pribliZno 118 cnz ve6u povr5inu od tra-peza.
L2. Kako je + BOC centralni a+ BACrto Je { nOO=9oo,pa Je aBoC Jednakokrako-pravougli(elika 40).Iz dobijenog trougla BC= lO{t ae.Povrglnatraienog kruinog odsedka jednaka Je
1
L
t,
i
,,
razlici povr3ine 6etvrtine kru6a i povr5ine iednakobako -pravouglog trougl"a SOCrpa Je p = 253h" - JO emz. c
slika 57
9" Dobijeni dvaaaeetougao Je pravil.anrjer su mu svestraaice jedaake d.atoj duZi a i svi uglovi po 900+600=1500.Nacrtaj sliku i uodi da se povr.Eina dvanaestougla noZe ra -zLoZitL na 12 jed.nakostranid,nih trouglova i 6 kvadrata stteanice a.fzradunavanjen se d,obija p * ,^2(Z*{7) .
slike 18
L7. Neka je D tadks duii Al{
takva da je MD=MB (slika 41). Kako
Je *lun= *AcB*6oo(kao periferi -jeki nad tetivom AA)to Je aBMD je-d.nakostrani6ni i BD=BM.Trougao ABD
podudaran je 8MC:AB=3C, *los=t2oo= * BMC i. BD=BM.Iz podudarnostL zaklJudujeno da je AD=CM.hena toneAM=AD+DM=CM+BM.
L4. Kako Je f CAD=/oorto je i f Cm*Toorkao perife-rijski ugao nad iston tetivon CD.Kako ie *AgC=fLOo to Je
+ ADC=?Oo kao periferijski nad iston tetivon AC(sa supro-tne strane od B).U aAcD * c.e'o= f CDA,pa Je i CD = CA.
Lr. Poenatramo aABE ( eliha42).Kako Je*Ala prav,to je AD visina koJa odgovara stranici BF.SliIno * BCA je prav(kao periferijskirraal prednifom AB)rPa Je 3C visiaakoja odgovara stranici AF.Kako se
AD i 3C seku u tadki X,ona je ortocentar 4ABFrpa je tre6a visina FE
nornaLna na odgovaraju6oj stranicitrouglara to je AB'
L5. Nad duZi 3C konstruiEe se jednakostranidni tro-ugao BCDra zatin se oko njega opiEe krug.Neka je p ll 3C prava koja je oa 3C udaljena za h.=jern.U tadkana u koJina pra
va p sede krug dobijamo texoena A i Alrjer zadatak ina 2 reSenja. Dokazatji. izloZenu konstrukciju ?!
slika 42
54
,. TRACIoNAINI SROJEIII
1.. hedpostavino suprotnortj. aa Jeff racionalan broJi da se nole prikazati kao koliEnik dva ceLa i uzaJanno prosta broja p i q.Kako ie ,[7 = g/qrto je 2q2= p2,pa Je p slgurno paran broJ i p=2k.Tada a" 2q2 = 4k2rpa Jt s2 = 2k2, Etoznadi i da Je q paran broJ.Sl,eduje da su i p i q delJivi sa2r5to je suprotno pretpostavei da su uzaJanno prosti. Prenatome 2 nije racionalanrve6 iraeionalan broj,
2. Iskoristiti prethodni zadatak,
3. PredpostavLmo da je € + I = rr6de Je r neki raci-onal.an broJ,Sada Je r-L = tft.fato Je skup racionalnib broJeva zatvoren u odnosu na oduzinanjerto Je i r-1 racionalan ine noEe biti dealna& rE koJi je iracionalan.Prena tone€ +lnije racionalanrve6 iracionalan broj.
4. SnoJevi (7)2=l i (ll3)4=g su raeionalni. heostalibrojevi (3)7*tB t CGlS=gti gu iracionalni,jer kad.a bi biIi racionalni onda bi i r/; -a/ya/g blo racional-an,Eto niJenogu6e.
5. Ako su p/q i r/s racionalni broJevi onda su i nJi-hov zbin (ps+qr.),/qsrrazlika (pe-qr)/qsrproizvod prlqs i ko-lidnik pslqr takode racionalni.
6. Iskoristiti dinjeni.cu iz prethodnog zadatka i ide-ju iz zadatka broJ 1.
f, Nije.Zbir .dva iracionalaa noZe biti racionahn r Ielidno vaZi i za razlikurproizvod. i kolidnik.Erineri:r/! i-ifsu iracionalni brojevi. hoJevirE + (-{D=o ,E -ff =o,kao tbrojevir/Z'€ - 2 L {V t6= f su racionalni.
8. (1-'D)(1+vt) = L-' = -2,a to je racionalan broJ.
9. Ako Ae '[V -{J = r(r je racionalan broj)ronda Je 12jed.nako ? -a[n + ,.Dakle Gr = G2-to)/e.rako Je y'?i iracionalanra G2-to)/2 racionalan broj to je nemogu6e.
lO. Racionali5i dati b:r.oJ i dokaEi i:racionalnost.
it,1i
i
ll
'1,
55
VIII RAZRXD
I. POI,INOMI
1. Kako Je n'+11n = o7-n + 12n dovoljno je dokazati da
;e a'-n . (n-1)n(n+1) deliivo sa 6.
2. rn4+4 = n4+4n2+4-4r2 = 1 62*2 ) 2- ( er )
2 = (r2 -2n* z) (n2+2n+2 )
=((n-1)2+l) ((n+f)2+f).Kako je svaki od.dobijenih faktora ve
6i od I dati broj je uvek sloZen.
7. A}r.o je p prost broj ve6i od 2 onda je on neparan inoZe se pri-kazati u obliku p = 2k+1 = (t+t)2-t2.
4. x2 y2 * 2x2 + 7y2 + 6 = 72 1x,2 * e7 +v (y2 + 2) = (y2 *2) (*2 * 7) . Kako
je svaki od dobijenih fa}*ora ve6i od 1 nJihov proizvod. nona
biti sloZen broj.
5. n5-n=n(nA-r)=o(rr2-r)(42+1)=n(n-L) (n+1) (n2+1).Proi -zvod trl uzastopna prirodaa broJa n-lrn i n+l uvek je deljivea 6,DokaZino jo5 deljivost sa 5.Ako Je n=!k-I'tk'5k+1 onda
su.brojevi o*1r3 i n-l delJivi sa l.Ako Je n=5k12 onda je faktor n'-+1. = 25k-l20k+4+1 i deljiv je sa l.
5. Neka je P(x)=ax2+bx+c.Tada Je P(7)=49a+fb+c,a P(15)
= Z25a+Ljb+6.Kako je P(15)-P(7)=r9S6-1985=1=U6a-8b i kako 8deli desnura ne deli levu stranu jednakosti takav polinom ne
postoji.
/. Po 1 i non P (x ) = 2x;V aVx? *x= 2x2 + 2*7 **2 **= 2*2 (x+ t ) +x ( x+ t )= x+l(2ir2+x)=x(x+l)(2x+1) delJiv je sa 6 za svako celo x(d.o-kazati).Kako je NZD nanji ili jednak od najnanjeg 61ana, toje NzD = P(1) = 5.
8. Za sve parne prirodne brojeverjer ako_je n=2k ,ondaie nV+16n = 8kV+?2k = 8k(k2+9)ra kako su k i k2+9 razli6iteparnosti jedan od nJih je uvek paranrPa ie dati izraz deljivsa 8.2=15 za svako k.
F-!t
14. U svin zadacinazvod dva i1i viEe broievaailaca Jednak O:
a) (x-2)2.0 xr=xr.2
9. Odigledno se Pri
""*xt-l* " . .**2** -*n-l-*n-211 elenenti poniEtavaju.
lo. 8n-1 . (e-f)(go-l*...+1) = ?M deLJivo Je Ea ?.Kako
Je i 21n deljivo sa ? to ie i 8n+21n-1 delJivo sa /.11. Kako je Zloo-r = (?a)25=t = Q+-D095*792*...+1)=
iV2-t)(22*t).M = 48.5o.M - IoO.24.M = L0o'Nrto se dati broizavr6ava sa dve aule.
L2. Ako Je x celobrojno i P(x) je celobroino.Za x=2 d-o
bijano P(2)=6126+crpa Je i ova vrednost celobroJna.
Lr. f(x) = *7*5*24 = x7o2*4*2to =*2(t4)+a(x-l')(I+L)= 1x-r ) (x2++x++)=(x-1 ) (x +2)2 .za x=99998 'f
( x)-9999?' looooo2 =
= gggg?ooooooooo - 9g99?'Lolo.
mnoZenju (x-t)(xn-1+"o-2* +x+1)*
-...-r-l dobiJa *o-1r;"r se osta-
koristi se dinjeniea da Je proi -jednak nuli ako je bar iedan od di
b) x(rx+f )2=O xr=Qrx"=xr=-l/1
97
L6. Kod ovib zad.ataka treba izvr5iti faktorizaciJu ileve i deene strane Jednadine'i raznotriti sve nogu6e konbi-nae5-Je-sludajeve :
a) 1(2+y)=71 n = {(r,5),(-t,-9),(?r-1),(-?,-r)}b) (xr)(x+y)=L', R = t(?,6) ,(?,-5) r(-?,5),(-2r-6)lc) (x+7)(y-5)=V, R - t(-zra),(o,s)r(-4r2)r(-514)ld) rq-):r+2y-e=(x+2)(y-7)=2, R * {(-1r5)r(or4)r(-t,t),(+,e{") xz-(y*t)z=(x+y+l)(ra-1)=11,R= {(514), (e,-o)r(-er+), ( e, o)lr) (x+2v) (x+ry)=14'R = lGaS,V),-(-e, 5), (t?,-5)' (4o, -1, ). . .le) n = t(r,o),(-l-,0;,(o,r),(0,-t)ln) (x-r)2+ (y-a)z=t, R - t(t,r),(1,1), (zrz)r(o,2)l .
L7 . F'ako Je t2 a2 = (*a) (x+y ) -1. 1 986=2. 997=j. 662=6. Jlti kako au x-!r i x+y iste paraosti(dakle oba paraa i1i oba aepar.na) zakl.judujeno d.a jednaEina nema :re5enja u skupu celihbrojeva.
18. a) Ib*o je 5p=(n-1)(n+1) razlikujeno slede6e Elu-daJeve:(n-l-)e tr,5,p,5pl i(n+1)€ { 5p,p15,rl .ReEavanjen svihsludajeva dobiJarno dva re6enja (nrp)€ {9ari'lr(+rr)} .b) Slidno prethod.non sludaju 1p=(n-f)(nc+n+I).Skup rnogu6no -sri Je: (n-r)e {r,l,p,lpl i (nz+n+l)e {lp,n,},1} ."*n reEe-nja R(nrp) Je prazaarto jest jednadina nena reSenJa.c) U ovon sludaJu p=n2-7n+2 =(n-1)(n-2) i postoJi sano jednoreEsnje (n,p)=(3,a).d) Iskoristiti zadatak l.DobiJa se reEenJe (arp)=(tr5).
L9. Kako Je c2-b2=1+4.(c-u)(c+b) i kako u obzir dola-ze sano rastavi iste parnostirrazlikujeuo slede6e eludaJeve:(c-u)e {a,+,e ,e} i (c+b)e l?2,v6,2+,ra} .smp uredeaih pa -rova (b,c) e I35,t?), (16,2o) ,(9,t5),(5,t5) | .
2a. Sabiranjem jednaiina dobiJa se (x-t)2+(y-l)2=O.Jedino re5enje dobijene jeduaEine Je x=y=f.hoveravanjen utvr-ctujeno tadaost re5enja.
*4T4=(*-y)(x+y)(x2+yz)=tzl i kalo avi faiste parnosti i kako je x-y4,x+y4*2*y2 "" -sludajeve : (x-yrx+xr*2*y2)e l(trr rrS) r(tr?je nernogu6ra drugi daje re5enje x=4ry.r.
c) x(x-2)(x+2)=O x1-orx2=2r*V=-2c) (x+2-r)(x+2+r)=O x'=1,1r=-!
") r2-6**8.x2-6x+9-1-(i-ll21r .(x-2)(x-r+)=o xr=Z$r=4r) x!-:x+Q-*2'rt-2*-a-(x'z)(x-r)=o xr=2$2=7
6) x'-tax?+iJx - t(*2-5*-?**7il = x}-i;1*-i1=o,xr=0rxa=5 ixz'7uJ *a-ro"2 + g=x4 -x2 -9r2 * g= (*2 -9) ( *2-r ),xr.*7 rx 2=
;5, x, = I 1 x4= -1",
L5. U narednin zadacina koristi se dinjeni-ca da je su-kvadrata jednaka nuli ako i sano ako je svaki od eLemena-
sune Jednak nuLi:x=oiy-I-o.n-{(o,r)}(*-z)2*t2=o. n - {(e,o)}(x+r)2+(y-ri2=0. n = {{-l,rl}(x-r)2"(y-z)2*(u-il2- o, R = {{r,2,7;}(a*-t)2*(ly*1)2+(42*1)2= o, s -l3/z,t/l,t/ Dl(*?-r)2*(y2-4)2-o, R - t(1,2),(1,-2),(-1,2),(-r,-e;f .
taa)b)c)d)e)f)
21. Kako jeIrtori noraju bitizlikujeno s1ede6e.e5)] .rrvi sludaj
58
22. o6tgledao Je x paran broJ.Neka je x=2k.Tada 3e x2=
4k2rpa 3e x2+4y2=4t2++y2=1986.Kako je leva strana del.jiva saAra desna nije to jednadina nena ceLobroJnih reSenJa.
27. Ako je n=lk onda je o2=9k2rp" je ostatak pri de1Je
nju sa I jed.nak O.Ako Je 4=!k+lrtada Je n2=9k216k+Lrpa osta-tak pri deljenJu sa ] iznosi l.
24. Nena.Ako je r=;ift i y*lu,ond.^ ;. i*y2*9k2+9n2-1986pa jednadiaa nena reEenJarjer Je leva straaa delJiva sa pr a
desna nije.Ostali sludajevl takode ne dolaze u obzir Jer oe-tatak pri deuenju 1986 sa , Je nulara na koia druga konbi -nacija x i y pri deljenJu sa t dale bi ostatak 1 iLi 2.
25. Ako je x+y-1 i x2*y2=l.xvad.riranjen prve jednako -sti dobijano x2+2ry+y2=lrpa Je xy=o.oaavde je Jasno da Jed.aa
od broJeva x ili y nora biti uula.
26, Kako Je a+b=24rto je(a+b)2=242=575="2n2ub*b2.Tu 6L
njenice da je ab=141 i 2ab-285 eleduJe ^2*62=576-286=290.
2?. Ako Je x+y=p2rsnd.a je *2*2ry*y2=484.Kako ;e x2*y2*2JO rto de 2xy=484 -25O=27).Da1;e x2+y2 -2ry=25O-Zr4=L6. Odavde
zakL$udujeno da je (x-y)2=16,tJ. x-y=+ ili x-y=Jr.
28. Ako Je x+y=g onda je ,2*2q,*y2=O.Kako p f*y2=2 ,to Je 21ry=-2rodnosno w=-1 i x2y2-1.1ada je t4*y4=1t2*y2)a 'zr2y2=4-2=2.
29. Kolldni-k + - 4# = "*r * ;fo Je ceo P"oi ,ako Je a-1 sadrZano u broJu 2. Dakl.e(a-l) € t tr2r-I,-2I oda-kle je ae tz,rror-fl .
70. Ako ie *+ ceo broj onda ie i (x + |)2="2*a*f t"koCte ceo brojrpa oduzinanjen 2 dobijano opet ceo broJ.
,!1.. Ako je I+* = 2 onda je(nnoEenjen sa x / O) r.2+L-2xili x2-2x+1.(x-1)2='ii odnosno,x-l.Tad.a Je *o - + = l+L = 2.
x]2. Neka 5e l=fll I B-{? *J7 .r"d^a ie a2=11' i r.2= 2 +
+zG + v - 5+2{6.reko Js A2{i-J.L-5=6 i s2.5=2,16 to ;e(12-5)2
t9
- V67 z+-(a6)?-(n2-5)2.oatte 1.2-5y B2-5,p" Je e2 >82 odaklezbog dinJenice da Je A)O i B)0,zakJ.juEujeno da je A)B,odno-
"oo y'fi >,lV *E .
!1. TtaZene aeJednakoeti slede neposredno iz poznatihnejednakostiz (a-v)2>z o i (,l? -{6 )2>o.ted.nakost vaZi sano uelu6aJu kada Je a=b.
]4. Kako Je c2=a2+b2 V z^b=+n nkorenovaajen aeJed.nako-sti koju sno dobiU.rd.olazino do rezultat,a cy'2t[i. Jed.nakostvaZi ako je a=b.
V5. Ako eu arbrc pozitivai realni broJevi tada vaZe nej ednakosti, a2 *b2 >, zab rb2 + c2 >.2bc i c2+a2 >7 zac.sabiraal en d o
biJenib nejedaakoeti dobijano traZeau neJednakost.Sli6ao a+b7 2 fi6, b+c ) 2{& i c+a77 2y'Erltc.oZen;en
ovih nejednakosti dobiJa se traZena ueJednakost.
2. PROPORCIONAI,NOST I SITCNOSI
. 1. Neka Je prava p koja peo-lazi troz B i paralelna je sa AC.fadka D jo presek prave p i simetrale$ACB.Trouglovi AMC i BMD su sli -doi( { AcM= } MDB-kao uglovi sa pa-ralelnin kracina i * lllc= * DMB-kao
unakrsni). Iz slidnosti zaklju6uJenoda je AM:M3=AC:BD.Kako je ABCD Je -d.nakoleaki(f AcM= + McB= + IDB=V2)to je BD=BCrpa je AM:MB=AC:BC. slika 4l
2. Ako Je AD sinetrala ugla BAC onda Je BD:CD=AB:AC =
6:9.Kako je AC=BC=l! cnrto je AS:19=e:$rodnosno AB=10 cm.Vi-sina jednakokrakog trougla ABc je cc'='(ffi, = roErpa po -vr.Lna AABC j.znosi. ro.ro,/t:2 =5or/f cn2.
1. Povr5lna trougla P = aha= bh'= ph".Odavde je odigledno P = ]a = 6b - 9c.Iz dobijenih relalcila izradunavano
i'
lr-
1
III\
60
a -P/5J -P/6 L c =p/9.Kakci Je b+c = p,/6+p/9 = vp/LB+2p/L8= 5P/L8<6P/L8=P/5=a,odnosno b+c( artakav trougao ne posto_Jr.
4. Neka je D podnoZJe visine iz tenena A i neka duZAC ina duZinu Ax.llada je BC=2x i CD=x.Kako je AACD.\e.BCN :J C zaJednidki i * col,= * nwc=9go,to Je AC:BC=CD:CN.Sredi_vanjen dobijene relaciJe inano 4x:2r=x:Csrodnosno CN=V2.Kako je A0=4xrto je AC=SCNrpa je AN:CN=/:1.
5. Kako Je DM simetral6 {ADB to je AD:DB=AM:}IB.S1iEno je ND sinetrala+ADCrpa Je AD:CD=AN:CN.DuZi BD i CD sujednake(jer je AD teZi5na d.uZ)rpa je AD:BD=AD:CD Eto znadida je i AM:MB = AN:N0rodakle je zbog llalesove teoreme MNIIS
6. Neka je D podnoiJe hipote_nuzine vlsine i neka je AD=prED=q.Vi-sinu CD oznadino ga h.lada su trouglovi ACD 1 BCD s1i6ni(dokaZi?!)ra kori-ste6i sllEnost dobijamo: AD:CD=CD:BD,ili q:h*h:p.Dakle bz=pq=9.t6,Eto zna-6i da Je [=J.4=12 cn.Ostale stranicea .,:.Bc lako raEunano:a=20rb=l5rc=25cn.PolupreEnik kruga upisanog rr AABC radunqno postupkon opisanin u VII-2.1O.vrBina upisanog kruga Je 25Ju- cn2.
7. Ako krug upisaa u d.ati je-daakobati a.A.BC dodi.ruje strani.ce utadkana DrE i Fronda je aACDcvaCSErzato 5to in je * AcD zajednidki i +CD"A.
= * CES=IOo.Iz slidnosti je AC:AD-CS:SE ili 4O:24*h.r:r.Kako Je l=J2 dobi-ja ee Jednadina 40r=A4(tA*),odakteje 64r=24.12 ill r-l2cn.U zadatku VIfl.8.izraEunat Je poJ.upreEnik kruga opieanog oko ABC: R=25.Po-Pr, = 625
62
ugll i kako Je nJegova hipotenuza BC=lOrFrto Je R=!{2 cn.
L7. Na osnovu zad.atka 1I. BC2=R2=CD.CA.fz-aABC koriste6i Pitagorinu teorenu dobijano AC2=AB2+BC2=4R2*R2=5R2,
pa je AC=Ril9. nane co*n2:Rfi = R/{5rAn=ac-cD=RG - R/{E .Sleduje da je AD:CD = (tl5 - L/E)J/{i = 42a .
6t
5o Dobijano jednadiau 3x + 9Y = l24.Jednadina neoa
celobroJaih reSenJatier je leva strana deljiva sa ,ra desna
nije.4. O re5avanju narednih zadataka koristino slede6u
teorenu: Ako je (xorxo) Jedno celobrojno re5enie iedna6inear+by = cronda su nva celobrojna reBenja d-ate jednadine de-firoisaaa relacijana x = xo+bt r trr = Yo-at (t€Z).a) xo-1,yo.17 ; r - 1+5t' I = ]!1-.7t (tez)b) xoo46ryo-2 i x * 46+r9t, y = 2-2t (tea)c) Ova Jednadina aema reienja jer je leva strana deLjiva Ia desna nije.d.) Slidao:leva strana deljiva ea Vra desna niJerpa jednadina nena celobroinih re5enja.
5. Neka je x broJ'no6i u kojina je Seherezada pridala po 7$ ! broj no6i u kojina je priEala po 5 prida. lEada
je 1x + 5l = 10o1. Jedno celobrojno re5enje ae xo-5V7tyo=L,pa je opEtere5enJex=,t2-5t r x = L +Jt'pri denu sux iy ogranideni: O-( x-<7Vi i O( y( 2OO.Tz dobijenih neied.nako-.sti zakljuiujeno da je O-(t( 65'pa jednadina ina 67 razli -ditih reEenia,ti.Beherezada je pride nogla ispridati na naiviEe 6? aadina.NaibrZe se to no6lo uraditi kada ie y naJve-
6era x nainarie;dakle(y=199 i x=2)za 2ol- d.an.Beherezada jeza pridaaje nogla utroFiti najviEe 737 darra(x=Jj2ry-L).
6. Neka su xry i z brojevi grafitnih'henijskih olo-vaka i naliv pera koii su kupljeni.[ada ie x+y+z = 1OO ralije L L./2x+y+Jv = lOO.Ako od prve jedna6ine oduzneno drugu,r
dobijano: UZx - 42 = O ili x = Sz.Zanenom u prvu dobija se
y = lOO-9z.Kako je x+y+z=loort,o x+z=9z(1oOrpa je z-(LL.Zsadi d.a jednadina ina 12 re6enja(vid.i tabelu)
L4. Ako produZino osnovicu AB
preko tenena A za duiinu CD dobiJanotadku E.Dobijeni BDE ie pravougaoni
Jer Je ACIIDII BD.Pravougli trougloviADE i ABD su sLiEnl(zaEto ?!).Iz elidnosti dobijano EA:AD-AD:ABr odnoano
An2*AB.AE.AB.CD.
L5. trouglovi ABC i PQC su sli-dni(dokazatL ?!).Iz sliEnoetl zakljuduJeno da je AB:FQ=CD:CE.DuZ AB=12 'a CD izraduaavano iz povrline ABC iiznosi 2P/a.=72:.L2=6 cn.Ako stranicukvadrata ozaadino sa :ronda dobiJeaarelaciJa poetaJe: l-2:r=6:(6-x) odno- A
"as ga=f2-12x ili l8x=72.KonaEao do-
bijanox=4cto.
!,sLika 49
slika 50
,. ,IEDNAcINS
1. Neka je x bloJ dedakara y broJ devoJdica'llada ielox+zb*L?o ili 7x+2y=I?,a odigledno je x15 i y( 9'Kako Je
2y paranra l/ neparan broJ to }x nora biti aeparaa brojt5touo"li u. Je i x noparan.Dakle xetrrl'll'Za uodene nredno -sti xry uzina vrednosti iz skupa { Zr+'f| ,pa zadatak j-rLa 5
regenJa: (1,?), (7 r4),(5'I).2. Zx+Jy - 5V (t46).Sli6no pretbodnon zadatku pqi-
rodan broJ y nora biti Eeparan'pa 'ie ye |t}r>l'za aavedene
vred.noeti yrbroJ r uzina vrednosti: xe{f4r9r4} .
cl/ N P
/
o 1 2 , + 5 6 7 8 9 10 L1x=82 o I 16 24 72 40 48 56 d+ 72 80 88y=loo-gz 100 91 82 7t 64 55 46 v7 28 tg 10 I
6+
7. U narednin zadacioa treba s\raku Jednadinu posna -trati u odredeaon Lntervalu i proveravati d.a li dobijeno 16-6enJe zadovolJava jednadinu(i interval) :a) Jednadiae l2x-t+l = 6 pognatr+mo u intervalu x(2 i r)72 idobijano:-2r+4*6 s,e xl2rodnosno 2x-4=6 za x/Z.BeEenJa datejednadine err rlc-1r1t=5 .
b) x( 4: lx+L2=7r-L2rx=4,x7.4t Vx'L2=1x-12 ,
c) x<O: -2x+x=6 , x=-6rlO: 2x+x=5 1 z=2
it) x(-2: ":cs-2*8r -2x=LOr x =-5-24:(O: -1+x-2=8n R=9x>/O: r+x+z = 81 2r=6 t t = 7
e) x(,-1: -e-1'*+1=2r, 4r=O r R = F
R=fiR ={x: "}4} .
n = {-e,a}"
, = {->,2\ .
-L(x(l: x+L-x+L=2xr2x=2rB= I o .x/L x+1+x-1 = 2t t 2z=22, n ={r: t>f, .
t) -1-9t l-x-J+"*.1 = 't-lr *+}="x-l , R = I-l(r(-1: lrrl+arl * tt-lr -7x-)=-x-L, R = 0
r
-1(x(O: 'lx+r+zxl
= x+lr -!xn=*+L, x=-1 , n-=i-fl.O ( r(5: lx+V-Zxl = :r+1r l":r=x+l r x=1 r R ={ 1l .x)27! lx+j-Zxl =I*1r r-V=z+I, R-Fa-= {-r,r} .
s)B=ltrtt/zl . h) n = {x: r.(-5v t>.ol .8. Oslobadaajen od koreaa dobijaju se jedna6ine:
lx-71 =218=[r,f]lzx*Sl = 11 r B = {-erl}lx-21 -lx+l| =11 , a={-Z,e}.
S. traZeni skupovi tadaka prikazanl eu sLede6in f,ornuIana(grafidki prikaz dat Je na slici 51):
fO x(Oa) y = lrl + 1,= I
L2x *7rO
!)r)Ory)O: X=x i x<Ory)O: f ='O i:(Ory( O : O.y = O'x (sve ta6ke kvadraata) Ir)Ory(O: r!=O.
a)b)c)
6'
slika 11
lxl + lyl * 3
lx-al = ly-rl
za x|,OrylrOza x(Ory)0za x(OrX( O
za xlOry(, O
za xlt?ry).1 i r( 2rX( 1
za xl2ry)l i x22ry(, 1
J*- = L zazlpt x-y =-1 za a.<!lf x+7 =-1 za r4-T{**y=L zax>-rr(y*=L zar(y1"-r =-t za a.>yf r+y = 1 za x.>a1**y =-1 za x(1r
10. Seka Je Vtada roden ffi [email protected] vla-d.a 6e iqati zOO]-iffi god.inara to Je Jedpako l+!+x+y.Dobi-jano Jedaadiau: 20ol-(t9OO+fqr+y) - lOrx+y.posle sre6ivanJajedaadina fglaei: 11x+2y = gt.&ako su x i y cifre to su oninaaJi od lO.Ihko Je 2y( lsrzaklJudujeno d.a Je 1tx) 93-LA=?5pa je x27|.Odigledao x ne noie biti parnorJer bi tada 1Lx +2y bilo perao.S druge strane x nlJe 9 Jer b-i tada llx) !l ,pa je x=/.lago izradunavano t*(93-??):2 - 8. ylada Je rodea1978.Sod.ine i ZOO!.godine 6e isati 1+9+7+8 = Z@r-Ig?8 god.ill8o
11. Odigledno Je da ge svakin udarcen naEa broJ gla-va zoada snaBJude ili pove6ava za paran broJrrako Je kod. ra5eg znaJa 1987 glavarBa3-delik nikakvon konbinacijon ud.ara-ca ne6e odse6i znaJn Eve glave.llo ee notre po$azati i Jedna-dinonr (a-A)x+(+-r6)y+(o-o)z+(8-2)t = 198?.eako degna stra-aa Jednabino nije deljiva ea 2ra leva Jestc to data Jed.nadina lena ceJ.obroJnih re5enJa.
DRUSTTO MATEIITATIEA&A SR SRBI.IS
VGTISIJAV ANDRIEIIEIIEKO IIJE
SnANISIJAY IAZARSVId
ZB IR TAPRIIREMNIII ZA}ATAKA ZA MATEMAtsICKA fAKI'IcNUA
1987. GODINE
fx+y[ = e{'*t=z 2s;7+y)2Q(n+Y =-2 za r+Y(O
(ot=vl'*+y = t1-"-=r\*- = Ift = x-1
{v *o*lf) t).o,y)rA: lx-yl
x(,OrXlO: l-*lfl
=l
-f,
r(,Ory(O:fy.*l *I
x)OrI(O: l:r+yl - 1.
BEOGRAD, 1gg7.
69
rV NAZBED
1. K@KA I KIIADAR
1. Koliko so kvadrata EoZc izbroJati na stranatsa rrna
dareke kocker ?
2. Zblr duZina svih iviqa kocke Je 2Ol cn.Izra6unatiporrr5inu i zapreninu kocke.
l. [ri kocke ivice e=1, cn elo-ieae su kao ns glicl l.Izraduaati po -lpSiuu i zapreminu ovako dobiJenog te-Ia.
4. Kada ge ivica kocke uve6a za
I cnrponn5iaa kocke se pove6a za V66rcl#
Izra6unal po\d5inu 1 zapreninu kocke.
9. Kol-iko kocki ivice 4 cn troba etaviti jednu pored'
drugerda bi se dobio kvadal povr'Eine 752 cn' ?
5. Bazen oblika lvadrarstranica a=lo ntb=2O nrc*t Dt
aapuajen de 2/7 vodon.Izradunaj koliko je litara vode u ba-zenu i koJu porr5inu baaens voda ne kvasi.
7. &ada se kvadar 6iJa Je $edaa ivica 24 cm r podeli!a, 4 jednaka dela dobiJaJu se 4 kocke.troliko takvih kvadaa'a
ina i kolike su in PovrEiae ?
8. Koli-ko se dasaka duZine 4 nr5irine , dn i deblji-n€ 5 cnrnoie'natovariti na kanion nosivosti ] trako 1 nJ da
ske ina nasu 85O kg ?
slika L
F'
tpIli!
!i:il:.'i:itt,::i
i
I
i'l',;
lili'll
Ii
70
9. Kvadar je eastavlJen od 12 Jednakih kocki dija Jeivica 5 cn.Kolika je povriina tog kvadra ?
1O. Kocka ivice 5 cn oboJena je cnrenon boJonra zatinje isedena na kockice ivice I cn.Koliko kockLca ina trirko-liko d.ve obojene strane? Koliko kockica nije uop6te oboJeaocrvenoln bojon ?
lI. Kvadar 6iJe su ivice 2 ar4 n L 8 nrina zapreninujednaku zapremini kocke.Ko ina ve6u po\rf,ginu:kocka iLi kva-d.ar ?
12. Zaprenina kvadra je 616 cn]ra dgZine straaica kyad.!a su prirodni brojevi"Kolika je povr5ina kvadra ?
11. Ako ee zapremina koche uve6a 8 putarkoliko je pu-ta uvecana njeaa ivica ?
14. Gronada u obl.iku kocke ivice 1 km ieedena $e !akockice ivise 1 dn.Koekicana je popl.odana staza Sirine 1 n.Za koliko bi dqaa takvu stazu pre6ao biciklista koJi svakogd.ana vozi I dasova i svakog dasa plelazi po 4O kn ?
15. Kocke ivica l- cmr2 carJ cn i 4 crnrrazrezane 6u nakubne centinetre i od njih Je eastavljeaa kvadratna pJ.oda .Kolika je povrSina te plode ?
2. RESAVANJE PBOBTEI{SKIE ZADATAKA
l. Ako zani5lJeni- broj uve6ano I puta i novodobiJeni.broj uve6ano za Srdobijano broj SO.KoJi je broJ zani5ljen ?
2, Otac je stariJi od sina za 24 godine.troliko god.i-na ina einrako Je pre 5 godina bio 4 puta nladi od oca ?
]. lbjka ina ]5,a k6erka 9 godina.Kroz kol-ilo godLna
6e naJka biti , puta starija od k6e:r'ke ?
4. Sad.a Jc otac ? puta stariJi od sinara troz tO go-dina 6e biti sano 3 puta stariji.Koliko god.irea ina sin ?
7L
5. he J.O godina najka je bila 4 puta stalija od siaaa lcoz 10 god.ina 6e biti sano 2 puta starija.Koliko 6e godi-na inati ein i najka 2@0. god.ine ?
6. IeteLe su vrane.Spazile Eu grane.Po tri vran.e - grana viEe.Po dve nraoe - rrrana vi5e.Koltko vrana ? Koltko grana ?
7. Razlika dva broJa Je tLrkolidnik 4ra ostatak 6.Ko-ji broJevi su u pitanJu ?
8. Na gomili Je bio izvestaa broJ oraba.l{rarko Je uzeotre6inu oraha i joB I orah.ll:Llaa Je uzeo tre6iau preoetalihoraba i JoE 1 orahra SoJan takode tre6iau ostatka i joF Je -daa orah.Koliko je oraha bilorako je BoJan ostavio 5 or.aba?
9. Darko i Goran su, na pijaci kupili 5 lubenica Jednake teZine i jedaake cene.Darko je platio lra Goran 2 lubeni-ce.llad.a in se prikljuEi MiSko i sva trojica zajedno pojed.u !lubenicarpri. denu je svakl pojeo istu kolidiau.MiEko ostaviza svoj deo 5 dinara i ode.Kako 6e Darko i Goran d.a nedn so-bon podele taj novac ?
10. U jednoj poeudi i.na dva puta viSe nl.eka aego u drugoj.Ako se iz svake od. tlh posud.a odl.ije po 20 litara nleka,oada 6e u prvoJ posudi biti , puta vi6e nleka aego u drugoJ.Koliko Je na podetkr:. bilo nleka u svakoj od posud.a ?
11. Ako bi Caca dala l{aci lO dinararobe bi inale jedaake sune novca.Ukoliko bi Maca dala Caci 20 di.Darartada bi Ca
ca j.naLa tri puta vi5e novca od Mace.Koliko novca sada inaJuMaca i Caca ?
L?-. Zbi-r dva broja je lr48.Ako se jedaa od nJih umanJiza 6lra drugi uve6a za 89 dobiJaJu se jednaki brojevi.Odred.ite brojeve.
L]. Proizvod dva broJa Je L92.Ako jedan od njih uve6a-no za 4 dobija se kao proizvod 240.0 kojin brojevina Je red?
T"
14. Grupa izletnika ugovori voinJu autobuson tako d.a
evaki od aJih plati po 60 dinara.Medutinr! izletuika otkaZetako da gu oetali norali pLatiti po 8O dinara.KoLiJro je iz-letnika poElo aa izlet ?
15. Kollko kllograna paeulJa po ceni od L9O d.in. treba poneEati sa 10 kg paeulJa po ceni od. 14O d.inaxarda bi se
d.obiJena ne5avina prodavala po ceni od l.?O dinar.a ?
15, U boJleru ge nalazi 40 litata vode 6iJa Je tenperatura 4oo.tro1ito litara vode tenperatule l4o treba dolitid.a d.obiJeno neBavinu tenperature ,Oo ?
17. Grupa uEeuLka odludi d.a kupi loptu.Ako bi svakiuEenik dao po 10 dinara nedoetaJalo bi in ]O dinara.U sludaju da svak! da po 12 diaara preostalo bi in 14 dinara.Koli-ko koEta lopta ?
18. Jedan posao bL rO rad.nika obavilo za 28 daaa.Akobi se posle lO daaa uklJudilo JoE nekoliko radnika dati po-sao bi se zarrriio 6 dana ranije.Koliko radnika Je nakaadqoukljudeno u posao ?
1!. Majka deli Jabuke svoJoJ 4""i.Ako svakone da po
5 Jabuka preteloru JoJ 3 Jabutela ako svakotne da po 5 JabukanedostaJu dve Jabuke.Koliko ina d^ecera koliko Jabuka ?
20. g dvorlStu pasu koko5ke L Jagaajcirpri 6enu uoEa
vano ukupno l-OO nogu i 36 glava.Koliko ina koko5akara koli-ko jaganJaca ?
,. RAZNI ZADACI
rJ
L. Koliko ina detvorocifleaih broJeva diji je proi-zvod cifara jednak 4 ?
2. Koriste6i Eetiri dvojke,znakove raduaskih opera-ciJa i zagrade sastaviti brojevni izraz 6iJa de vrednost 7.
7t
t. ?'bir dva broJa ie 147.Ako ve6en od njih izbriBenocifru Jedi.aica d.obijeno drugl broj.O kojin broievina Je reE.
4. Izradunati zbir prvih 1OO neparnih prirodaih bro -jeva.
!. U broju 2?5t+867 izbrisati tri cifre tako da preo -statak bude: a) najve6i b) naJnanji nogu6i broj .
6. za koliko se razlikuju najnanii Eestosif,reni i naJ
ve6i petocifreni bloj ?
f. KoJon cLfron ge zavrSava proizvod prvih 1987 aepa-
rnih prirodnih broJeva ?
g. Sta je ve6e: zbir iLi proizvod brojeva O'L'zrrr4 ?
9. Koliko se dobiJe kada se 4 d.esetice ponnoZe sa se-dan desetica ?
L0. OdreditL sve prirodne brojeve koJi pri d.eljenju sa
? daju koliEuLk jednak ostatku.
11. U magacinu je bilo 6 ne6a bra6na teZine 22r27r26t
28129 i 11 kg.Dva kupca kupila su 5 \rre6a.Jedan od njih ku -pio je 4 puta vi5e braEna od drugoga.Koja vre6a je ostala ae
frodata ?
L2. U jedaon rnesecu tri 6etnrtka su bila parnog datuna
Koji dan u sednici je bio 29. dana u mesecu ?
LV" Za izvesnu sunu novca noZe se kupiti 15 n platna 'Ako platno pojevtini za 2@ dinararonda se za istu sunu no -vca noZe kupiti joE I n platna.Kolika ie cena platna ?
14. Ako se na Jedan tas terazj.ja stavi ciglara na dtu-gi tae stavi 4,/5 cigle i 4/, ke vaga 6e biti u rarmoteZi.Ko-liko je teEka cigla ?
15. Novdanicu od 5@ dinara razmeniti u novdaaice 6ijaje vredDoEt 20 i !O dinarartako da bude 16 novEanica. Koliko6e biti novdanica od 2ora koliko od 50 dinara ?
16. Dyaaaegt hlebova treba pod.eliti na 12 licattako da
75
svaki dovek dobije po 2 hlebarevaka iena pola hleba i svakod.ete po detv:rtinu hleba.KoLiko u to$ gnrpt ina nuika:raca,iena i dece ?
l?. Vlada i Nada su pre 1O godina inali(zajedno) LOgodiaa.Koliko godina 6e (zajedno) inati Vlada I Sada za d.e-set godi.na ?
18. Pravougaonik dije eu stranice I cn i , cn pode -ljen je na kvadratne ceatioetre.Koliko ee na dobijeaoj sli-ci. noZe uoditi duZirkvadr"ata i prayougaonika ?
19. Inate sano dva suda :od 4 i 7 Litara.Kako korie-te6i sano ova dva suda ea derene naEuti ta6no 6 litara vode?
20. Dat Je pravougaoaik 6iJe su stranice 4 cn :i. 9cn.Razrezati dati pravougaoaik na dva dela iz kojih se noie sastaviti kvadrat .
21. Kocka stranice 1 n ead.nii 1OOO litara vode.Koli-ko litara vode eadrZi kocka upola manJe str.anice ?
V RANED
1. RAZIOMCI
1. Sta je ve6e, S ui
2, Upored.i razlonke 1996 iL987
fre19871988
]. Poredaj po velidini razlonke, 19 ,19L2 , 191919 .87 8787 878?8?4. Sta Je ve6e: ffi ili ffi ?
. 5. Odreditl raztonak s ineniocen lnkoji Je ve6i od fi nanji od t .
5. Da li postoJi prost broJ p takav d"a Je ispuaJenanejednatost: br*r? ?
7. od'r'editi sve razlonke sa Jed.nocifuenin ineniocinaod kojih Je evaki ve6i od ?/9ra nauJi ad g/9 .
8. Odrediti razlooak Jednak razlonku 5/9 taleo da je:a) zbir b:cojioca i inenioca jednak 126b) razlika inenioca i brojioca jednaka &c) proizvod broJioca i inenioca Jednak 4O5 .
9. @rediti nesvodljiv razlonak tako da nu Je proi _zvod^ broJioca i inenica Jedaak 55o i d-a ina konadan decina-Ian zapia.
10. Da li su svi razlonci diJi je brojilac paran broJa inenilsc prost brojrneevodljivi ?
;unai1fu: ***
(f Pogledati zadatke iz teme RAOIONAINI SROJEVI(VI razred)
?6
Ll. Razlonat 169 predstaviti kao zbir tri razlo -mka sa jednocif:reoit 140 lneniocina .
12. Koristq6i jednakost nt"*) = + -;fu tr". -+ 99hb6' '
13. Dokazati jedaako"t r 1!' " fi * ,1' r.986.19871986
'L14. Jedan dovek noZe da popije bure piva za 21 d.an.
Alirako nu njegova Zena ponaZe onda 6e to bure piva popitizs L4 dana"Za koliko d.aaa bi sana Zena popila pivo iz togbureta ?
15. Bazen se jednon slavinon moZe napuniti za 5 sa-tira dlugom za 8 sati.hrn bazen se noZe isprazniti Jednonodvodnon cevL za 4 sata.Ako se istorreneno otvore obe sla-vine i odvodna cevrkoji. deo bazena 6e se napuniti za 2 sa-ta?(1
2. SII'TETRIJA
1. Konstruisati jednakokraki trougao ABC( A0=BC ),ako su data tenena A i Bra tre6e tene leZi ua datoj pravojPr
2. Na stranici AB proizvoljnog trougla ABC odred.i-ti taEku M koJa je podjednako udaljena od stranica ACiBC.
7. Dat je proizvoljan trougao ABC.Od.rediti tadku M
koja je podjednako udaljena od stranica AC i S i Jed.nako
udaljenaodtenenaAiB.4. U ravni su date proizvoljne prave arb i c.Odre-
diti taEku A na pravoj a i taEku B na pravoj brtako da one
budu sinetridne u odnosu Da plavrr c o
77
5. Dat jo oEtar ugao aOb i na njegovon kralcu Oa tadkaA. Konstrisati krug koji prolazi lrcoz tadke O i Ara centar S
je na kraku Ob.
6. Kg.oz d.atu tadku A izvaa unutra6nJe obLaeti datog
oStrog ugl.arkoastruisati pravu p koja sa lracina gradi Jedna
ke uglove .
7. ladka A je n unutra3njojra tadka B u epolja6nJoJ
oblasti konveksnog ugla.oilrediti tadku M jednako udaljenu od
Icakova datog uglarpri denu Je AM = BM .
g. Data je taEke A i duZ BC. Konstruisati krug ako Je
d.ata duZ S njegova tetivara tadka A je tadka na krugu.
!. Konetruieati bug polupredniha 2 cn koji sadrii da
tetadkeAiB.lO. Konstruisati bug koji dod:iruJe krake datog ugla i
to jedan lnak u datoi taEki 4..
11. Konstruisati bug k koji prolazL ]coz datu ta6kq A
i datu pravu p dodiruje u datoJ taEki B "
1-2. Odred.iti taEku D koia Je po<lJedaako ud'aliena od. d'a
tih tadaka A I Bra od ta6ke C ie ud.aljena 4 cn.
1!. Koastruisati bug diii ceatar LeZi aa d'atoj pravoJ
pra datu pravn t dodiruje u datoJ tadki A.
14. Data Je simetrala e date duZi AB i tadka C u istoJlsyai.Koriste6i se gano ravuin lenjirou konstrui3i tadhr Cl
sinetridnu Ba C u odnosu na datu plavll Bo
1!, Dat Je kvadrat ABCD i tadka M vaa nJega.Konstruisa
ti pravu p koja prolazi kroz alatu tadklr M i nornaLna jc na
dijagonali AOrkoriste6i se pri ton gano ravnin lenJiron.
16. u istoJ ravni date su prava p i tadkE a i B(sa Je-drre stlane prave p).@r€d'iti tadku M prave prtako da je zbirduZi AM + BM naJnauJi nogu6 .
1?. Dat Je o6tar ugao aob i u njegovoj unutra5nioJ ob-
lasti tadka C.Na laaku Oa odrediti tadku Ara na krakn 0b ta-
78
dku B tako d.a Je obin trougla ABC bude naJnanJi nogu6,
18. Konetruigati trug koJi prolazi boz d.ate tadke Ai B i d.odiruje pravu p (pll AB).
19. Konstluieati krug koJi tlodiruje d.atu pravu p r ad.ati krug tr(Orjco) dod.iruJe u d.atoJ ta6ki A.
20. U ravni su d.ate tadke ArBrOrD koJe ne pripad.aJuistoJ pravoj.Konstruisati toug koJi je podJednako ud.aLJenddatih tadaka.
3. RAZ!{I ZADACI
1. KoJe od g1ed.e6ih figura ee nogura koJe ne Eogunacrtati jednin potezon ?"xr 'b)*'d
frd) Ml. U parlru se aalazi jezero ea tri ostrva ArBrC i g
nostova(sllka J).!loie li ee po6i iz nekog nesta u parkurobi6i ceo parkra da se pri ton preko svakog nosta preite ta6nojedau put.
1. fri devojdlce AnarBiljanai Verica sa!*ile su u d.iep svaka pojedan prednet:gunicurolovku ili prs-ten.Sta je koja od njih salrila akoje sano jedna od sLede6ih izJava ta-dna: Ana Je sahila gunicu , El.lJananiJe salri.la gunicurVerica niJe sa -lrila prsten ?
4. Od tri olovke(ozaadino ih slika 7sa ArB i C)jeaaa Je crvenardruga be-3.ara tre6a plava.Koje boje je koja olovka ako je sano jed.na
ffi
79
od slede6ih izjava tadna: A Je crvena;rB nije crvenara O nlJeplava r '
J. ZbLr dva prirodna broja je 288ra nJihov najve6i zajedni6ki delilac ia 75.O koJin broJer4ina Je re6 ?
6. Postoji Li prirodan broJ kod koga je p:r.oizvod ci-fara jed-nat 785 ?
7. Odrediti. oajuaaJi prirodan broJ kod koga je proi -zvod cif,ara 4rr 6OO.Da Ii postoji naJvedi takav broJ ?
8. Prazna polja u broju Lzr..., popuni tako d.a dobiJe-ni Sestocifreni broJ bude ateLjiv sa 7rB i 9'
9. Odrediti najnanji prirodan broj koiim treba ponno-
Ziti broj 3OO da bi se dobio kub nekdg prirodnog broja.
LO. KoJe sve figuro'se mogu dobiti kao presek skupa ta6aka Jednog o5trog ugla i iednog trolrgla ?
L1. KoJi ugao Je Jeilnak tre6inl. svog uporednog ugLa ?
12. Razllka uporednih uglova JFdaaka je polovini oEtrog
ugla" Dokazati da je ugao konpJ.enentaD sa o5tlin ugJ.on iednakEetvrtini oEtrog ugla.
13. Koliko ina detvorocifrenih, brojeva koJi poEiaju ci-fron 2rzanniavaju Ee cifron 4 i d.eljivi su sa 9 ?
14. Koji se od brojeva 90 i LOO noZe na vi5e na6ina prikazati. kao proizvod prirodnih broieva ?
15. Koji prirodni broJevi funa{re tadno tri deLioca ?
16. Iznedtu cifara broja 98?65412L rasporedi einboleR+rr
tako da dobijeni zbir bude 99.
17. Dokazati da poetoJi ? uzaEtopnih sloiEnih prirodnihbrojeva.
18. KoJi je broj sledeCi u uizul 2rtr4r6t9tL4r22'... ?
19. Da li Je"nornalnoatpravihf rei.acija ekvivalencije?
2O, Ako Je f(x-7)=2x-1 izraduaatl: f(O)'f(1)'f(r) .
80
VI R.{,ZR8D
1. SACIONALI{I BROJXVI
l
1. Koliko racionalnih broJeva se ineniocen 5 je ve6eod -1ra nanje od 1 ?
a. Sta Je ve6e, W iri ffi ?
7. Kerko Je nogu6e od konopca duZine 2/7 metna odrezati L/2 Eetra bez upotrebe netra ?
4. Od.red.iti dva broJa diJi je zbir -L/5 ,a kolidnikU,.
5. Racionalan broj -+/7 ie nastao slcea6ivanjeu racionalnog broja diJi brojilac i inenilac inaJu zbir 885.Izra-dunal prvobitni racionalan broj .
6. Odrediti skup svih onih racionalnib brojeva diJije ineailac jednocifreu broj i koji su ve6i od -4/9ra nanjiod.2/7 .
?. za kole vrednosti celog broJa x Je i + takoctexceo broJ.
8, Ako je x racionalan broJr5ta je ve6e x iti I I!, KazalJke na dasovniku pokazuju 9 sati. Posle ko -
liko vrenena 6e se one prvi put poklopiti ?
lO. Brzina kojon se biciklista penje uz brdo je 10 knna satra brzina spu5tanja je 15 knlh.Kolika Je duZina uspo-narako Je rnene spuEtanJa za LO ninuta manje od vfenena pe-njanJa uz brdo ?
81
. 11. Iz punog balona distog alkohola odlije se L/4 idoli$e,'voda.Zatin ponovo iz baloaa odliJeno I,/7 i d'o1l'Jeno
vodu.0g,Eg,treuutao ina viSe u balonu: alkoboLa ili vode ?
l'!1f,' Pet dedaka treba da podele 9oo dinara tako d.a prva dvojica dobiju 2/1 od. onoga 6to dobiju ostala tri deEaka.
Koliko je. dobio gvaki od njihtako su prva dvojica svoju su-nu podqllli u raznerL 2zJra druga trojica u razneri 22724 ?
trj. Kada Laza potrolL L/4 Evoga nQvca rVoJa L/J svoga
novca i Vlada L/2 evoga novca ostanu in iednake sune.Kolikoje novca inao svako od njibrako ie taza potroBio 1O dinaravr-se oo. YoJe t
14. U Skoli je bilo 24O d.evojdica i dedaka.Ako polo-viau udenika Bkole dine 7/5 devoilica i V/? dedaka , kolikoJe bilo d.edakara koLiko devojdica ? 1
L5. U tri cisterne bi.lo Je ukupno 780 litara soka. U
sluEaju da iz prve odlij emo L/[rLz aiuge L/5 i iz trede 7/?Ju sve tri pisterne bi6e Jednake kolidine soka.Koliko je eo-
ka u svakoi od cisterni ? \z
../ . 2O GDOMENRIJSKI DOTAZ
1. Oetiri prtave arbrerd iste navai seku se u JednoJtaEkL i obrazuJu osan uglova sa razliEitin unutraBnJin oblaEtiua.Ato uglove ozaadino broJevina lt2rV r4tr t6rTrB dokaza-ti da je *t + *4 + *? <18Oo.
2. Ugao pri vrhu Jednakohakog trougla de l6o.Doka-zati da Jedna od sinetrala uglova delt dati trougao na dvajedaakobaka trougla
l. U pravouglon trouglu ABC na hipotenuzi AB uodenc
Eu tadke M i. N tako da je AM=AC i BN=BC.Dokazati da de ugao
2> Pogledati zadatke iz tene RAZLOMCI (za V razred)
82
IvcN jednak 45o .4. Ako Je teZlsna tluZ trougla Jednaka potovini odgova
raJu6e stranioe trougao Je pravoogli. Dokazati .
5. U pravouglon trouglu ABc ta6ka D je podnoiJe hipo-tenuzine visinera tadhe I i F eu srediSta kateta AC i BC.Do-
kazati da taEke O'D'E i F pripadaju iedaon lougu.
6. U proizvoljnon trouglu AnC ta8ka E je ortocentar .Dokazati da je + AcB - + ABH + { BAE .
?. U ravni su date ;etiri razlidite taEke ArBrc'D ta-kne da je ABJCD i ACIED.NacrtaJ sliku i dokaZi d.a Je tad.a
i a0J-3c. r
8. U trouglu AB0 sinetrala * BAc sede stranicu BC uta6ki D.Na EtraDici Ao'data ie tadka E takva da Je *cof ie-dnak + BAC. Dokazati d.a je BD = DE.
9. Kod paralelograna ABCD aa lra6oi diiagoaali BD da-te su tadke I,I i N tako da Je D!{ = SN.Dokazati da je detvoro-ugao 6iJa su tenena tadke ArNrC i M paraleloglan.
10. Date su proizvoljne prave p i S koje se selnr u ta-dki C.Na simetralaua ugl-ova pOq i SCp d.ate su tadke ll i N tako d.a je MNll p.DuZ tttN s'e6e pravu q u taEki D.Dokazati d'a ietadka D srediSte duZi M$.
lL. U unutra6njoj oblasti trougla ABC data je proizvo-Ljna ta6ka M. Dokazati:i a) *Apt32 '{AcB b) AM+M8<Ac+3C "
12. feiiSna duZ trougla nanJa Je od poluobina trougla.Dokazati .
11. teZiina duZ trougla nanJa je od poluzbira stranicakoje polaze iz istog tenena.Dokazati.
14. U jednakokrakon trouglu ABOrosnovica BC produZena
je preko tenena C d.o tadke D.Dokazati da ie }ABC > +ADC .
15. Neka Je S centar kruga upisanog u trougao ABC. Ako
je o{>p> 6- onda ie AS<BS!<CS . Dokazati.
e1
v" RAZNI ZADACI .
I" Koliko re6enja ina Jednadina: lx-)l +14 = 5 ?
2, ReEiti nejedaadiau: lx+21 < L .t. Ako je r racional"an broJoBta ie ve6e: lr + 2l nfi.
lr-al e
4. U jednoJ Skoli ina 8OO udenika"Dokazati d.a bar tniudenika Ekole j"stsga dana 61ave rodendan"
5. U SR Srbijirprena posled-ajen popisu u 5 t+12 nase -lda Zivi 6 789 125 l-Judi. Dokazati da postoJe bar dva uasetr{a
sa jedaakin brojen stanovnika .
6. Sta Je vqfs: proizvod. bLlo kojih / negativaih ce -Lib brojeva i11 zbir prvih 6 prirodnih broJeva ?
?. Da Lt Je ta6no tvrdenje: Ako Je lal = lbl onda Je
ia=b38. Dokazati da Je 19871986+1 deljivo sa 10.
9. sta ge ve6e: (-1986)1987 ili (-19g?)19e6 ?
LO. Proizvod Eetiri ceLa broja ie 3O24.O kojim brojevina je red ?
11. Postoji li ceo broj diji Jd proizVbd cifara 650 ?
Postoji l-i ceo broJ 6idi je zbir sifara 55O ?
12. Ko}iko trouglova odreduju 1O nekolinearnih tadaka?
Lt. I{a koliko nadina se nogu 4 udenika raznestiti na 4stolice ? Sta se deSava ako Lnano 5 stolica ?
14. Konstrisati trougao AIC ako su date visine h.=]cntbo.2r5 cm i ugao kod tcuana A iznosf. 600.
]-5. Konetrul.sati trougao ABC 6tji Je obtn LOcn i koJli"ua uglove: #lAc=6oo i {ABc=45o .
1,6. Konstrul-Ei pravougli trougaorako Je njegova hlpo -tenuza ! cnra katete se razliksju za I cn.
84
17. KoaetruiEi jednakolcaki trougao ako Je viEina ko-Ja odgovara osnovicl 4 cnra visina koJa odgovara Xralru 5 em .
18. KonstruiEi trapez 6ije su osno?ice 6 cu i 4 cn, a
diJagonale7cnL8cn.L9. Date su taEke MrNrP i duE QR=4 en.Konstrui5i de -
tvorougao ABCDrako su MrNrP srediSta strani.ca AB'BC i CDra DA
jednake i paralelna sa QR .
20. have a i b ne getu se u rarmi crteZa.KoastruiEa-ti pravu o koJa prolazi leoz datu taEku M i preset pravih a ib.
2L. Kroz tadktr S unutar kvadrata ABCD konstrisane suprave a i brtako da je elb.Ako prava a sede stranice kvad.ra-ta u taEkana M i l{ra prava b u ta6kana P i Q d.okazati dasrduii MIt i PQ nedueobno Jed.nake.
22. Dat Je pravougaoulk ABCD(AB>CD).seka de ta6ka 3,sl.oetridna 6a B u odnoau na didagonalu A0 i aeka prava A.B, sede straaieu CD u tadki E.Dokazati da Je AE - CE.
2t. U ronbq A.BCD ugao kod teneaa I ge 60o.Neka Je ta-dka !! na ABra N tadka duii S i neka je MB+BI{ - .A.B.DokaZi daje A M$D jednakobat .
24. U paralelogranu AB0Drtadke AlrBlr0lrDt su sredi -ita gtraaica ABTBCTCD i DA.hrave DA, i 8Ct seku pravu ABru tadkana M i S. Dokazati da Je MH = 2/5 A\.
25. U pravougaoaiku IECD ta6ka K je pod.noije nornaleiz tenena 3 na dijagonaLu AC.Ako Je !t srediBte duZi AK,II sre-d.iEte stranice CDrond.a Je * BMN = 9Oo. Dokazati.
26. Dat Je pravougaonik ABCD i unutar njega proizvo -lJna tadka M.DokazatL d.a postoJi 6etvorougao 6i;e su diJagonaLe nornalae i Jednake duZioa AB i BC i diJe su stranice jednake duZina AM'BN{'CM'DM .(3
(t UdenicLna VI razreda preporudujeno da proude iIROCENII iz VII razred.a.
VII RAZRED
1. IR@EIVII
1. tedaa ktriiga ie za 6@ skupUa od^ druge.Za kol-i-ko procenata Je druga fodtea JevtintJa od prve ?
2. Meso je ovib dana ponovo poekupelo za 25%.Za ko-liko procenata treba ananJiti ceau uesu da bi opet blLa kao
pre ?
V. Autobug Je poEab iz PeckerZivopisae varo5ice ne-
d.aleto od Valjevargde se svake godine odriava letnJa Bkola
nladih natenatidararaa 15 ninuta zaka5njenJa.Zato Je pove -6ao predvidenu brzinu za 2A6 sve dok niJe nadolcnadio zaka -SnjenJe.Za koje vrene Je autobus nadoknadio zakaEnjenje ?
' 4. Bazen u PetnicirizletiStu Valjevaca gd.e se svake
god.iae reaLizuju priprene nladib natenatidara SR Srbije za'
Savezno takniEenJerpuai se vodon pono6u ied4e slavine.Ukoliko se slavina deLiniEno zatvorirprotok vode boz nju se sna
nJi za z*fr.Za koliko procenata se pove6a vrene potrebno za
punjenje bazena ?
,. Radna organizaciJa oKru5iku iz ValjevarJedan od
polaovitel Ja nateuatiEkih aktirmoeti nlad.ih matenatidara SR
SrbiJeninala. Je u prva detili neseca preba6aj proizvoduie u
visiui od IO#.U naredaa Eetiri nesecarzbog godi5njih odmora
nastao Je podbadal proizvodaie za LJ%.Koliki nora biti pre-
ba6al proizvodnje u posledaJa detiri neseca da bi se do baja godine reali.zovao godiEnii plan proizvodnje ?
6. U radnoJ organizaci trViskozan u loznicirkoia sva
ke goillne daJe zaaEajan doprinos alrtivnostina nl-adih matena
tiEara SR SrbiJervredaoEt proizvodaie je u 1985.godini poeapoglavlje
86
sla za 2V%ra u 1985. godini za t& u od.nosu na prethod.nu.Ko-lika Je vrednost proizvodnje bila u l984.godinirako de 1986"godiae izaosj.la 7O2 nilijarde dinara ?
7. MeFana $armeladarproizvod nPod.gorket iz Osedine ,koju svakog leta obilato troEe nladi natenatiEari u PeckoJ 1
saatrii 6l# suve naterije.Koliko litara 6iste vod.e treba doLiti u 12O kg narneladerda bi ona sadrZala 48S suve nateriJe ?
8. SveZe Stjive koje otkupLjuje ZenlJoradnidka zadruga u PeckoJ-najve6i snabdeva6 letnje Skol_e nladih natenati -dararsadrie 84?6 vode.fo{+o se suvib 6J.jiva noZe d.obi.ti su6enjen 315 tona sveZibrako suve Eljive sadrte eano |,8?6 vode ?
9. It[ekara u Lajkovcu evake godiae udesnicina letaJeSkole pokloni 1@O Jogurtarod koJih se 46 odEteti u transpo-rtu"Koliko procenata se neupotrebirako udesnici popiju taEno9]1 joeurt ?
10. Mleko u prahurproizvod. PIK-a llb koJe porneneno koriste udesnici Letnje Ekol-e sadrZi 801 suve natetijera prilikon razbl-aiivanJa taj procenat se enaaJuje ta L2?6.KoLiko nleka u prahu treba uzeti d.a bi se razblaEivanJen <lobl.Lo 20 li-tara nleka ?
11. Obtn gradevinskih radova poye6ad ge za [email protected] Eo-liko treba pove6ati broj radnikarako a€ i produttivnost pove6a1a za 2M ?
L2. Ceaa ulaznice za bioskop je l.8O d.inara.Kada je cena ulaznica snanjeaa broj posetilaca se pove6ao za J@ra gr!bod za 2516. KoLtka Je nova. cena ulaznice ?
Lr. Sokovi "Srbijanke" iz Vatjevarkoje svake godine uvelikin kolidinana konzuniraju nladi natenatidari u PeckoJ ,pojevtine za |4fi.KoLiko sokova se noZe sada kupiti za noyackojin se ranije noglo kupiti sano 21t sokova ?
14. Ree su5enja vlaZnost Zita Je bLLa ZV%ra sad.a iznosL LZ%,Za koliko proceuata se suSenjen snanjila teiina ZLta?
87
L5. U magacinu je bilo 1OO kg.Jagoda koje sadrZe 9L9$
yqds.Posle izvesnog vrelrena koltdina vode ae snanjila na W&olika Je teZi"na Jagoda aada ?
15. Za koLiko procenata se pove6a pgvrgiaa }rradrata,ako se ajegov obin pove6ao za 4Vl ?
L7. 6ta se de6ava sa zapreninon lcvadrareko nu se d.u-Zina pove6a za [email protected] poveia za ZO%ra visiaa snanji ta -Er,o za 5O16 Z
18. Konad bronze teiak 7r5 kg sadrii 721 bakra. Kada
se ovaj konad. stopi ea drugin dobije se LO kg broaze koJa sa
drLj. ?@ balca.Koliko je procenata bakra bilo u d.rugon kona-du bronze ?
z. osNoys KoMBrNAToRrm (4
1. Koliko se detvorocifrenib broJeva noZe napisati.kori66enJen eifana Lrtrr{r?;ako se: a) oifre nog111 ponavljatib) cif,re ne sogu poaavlJati ?
2. Koliko ina 6etvorocifrenih broJeva dija Je prlracifra paran broJrdruga cifra prost broJrtre6a cifra neparan,a detrreta sloien broJ ?
7. Koliko ina desetocifrenih brojeva 6ije eu cifre:a)sanoIi2tb) sve nogu6e cifre Or1r2 rVr4r5n6r?r9n9 ?
t$. I(oliko ina trocifrenih brojeva dije su sve cifreneparne ako se: a) cifre nogu ponavliati b) cifre ne pona -vljaju ?
5. Na koliko ee razliEitih nadina noZe saEtaviti qd.
sek koji sadrii ? uienika ?
6. Na koliko nadiaa nogu za olrugli sto sesti 6 de-vojdica i 6 de6akartako d.a nikoje dve osobe isto6 poLa ne se
4) PoBIedaJ zadatke prebrojavanja(strana 1-2)
88
de Jedna do druge ?
7. u sobi ina 6 svetilJki.Na koliko nadina nozemo os-vetliti sobu(svaka svetiljka noZerali ne nora svetHti) ?
8. U gradu se nal.azi / senafora sa tri sigaal.ne boJe:crvenarzuta i zeLena.Na koliko raznih nadina u svakon trenu -tku mogu biti rasporedena svetla tra aenaforina ?
9. Sportska prognoza sadrZi L7 parova.hogpoza rezu _rtata se vr5i pono6u cifara l12ro.Koriko najnaaje kor.ona tre-ba popuniti da bi bili signrni aa iheto svih 1} pogod.aka ?
10. Na polici se nalazi lO knjiga od kojib su 5 matenatidkog sadrZaJara 5 iz beletrietike,Na koLiko nadina se nogurasporediti knjigerako prvib pet nesta zazj:lle, beletristilra ?
11. Iz tadke M koastruisaao je g polupravih.Koliko naJviSe uglova odreduju date poJ_uprave ?
L2. U rarmi je dato 9 nekolinearnih ta6aka.KoLiko duZitrouglovardetvorouglova i lrugova od:reduju date tadke ?
Lt. U odelenJu VIf-} nalazi se 2J uEenika.Na koliko nadina se noie izabrati odeljenska zajed.nica od. I udenika ?
14. Dat Je skup A = ftrzrVr+] .rotito ukupno podskupo_va ina dati skup ?
L5. Na Sabovekon turniru igra se po sistenu svako. gasvakin i odigra'ukupuo L20 partiJa.Koliko SahiEta je udestvo-valo na ton turniru ?
,. RAZNI ZADACI
r. Dokazati da Je z{V5 - t{G * 5ilG - zZ,IT ={l .2. Dokazati d.a de (A{5 - ,e6 + J) racionaLan broJ.1. Decinalni broJeve ]-rZAZez... L A,77r? ?... p:rika_
zati u zapisu p./q .
4. rrokazati d.a Je #iiracioaalan broJ.
5. Svaki od prisutntb deEaka ina oaoliko klikera koliko i.na ukupno dedaka.Koliko deEaka je prisutao ako je izbro-Jaao da onL svi zajedno inaja 529 klikere ?
6. Dat Je jednakoetranidni trougao ABC i na ojegovinstre-icana AB'BC i CA tadke UrN i p teko da Je AM:M8=BN;NC =CP:Pl,=2:L.Odredtti odaos obina i ponr5ina AABC i AMUp.
?. Dat Je Jedaakokraki trapez diJi je krak 10 cnrugaona osnovicL ?5ora jed,na osaovica dva puta ve6a od. druge.Kolika Je povr5ina trapeza ?
8. Oko }ruga polupreEnika 2 cn opisan Je Jednakolrakitrapez povr5iae 2O cma. Odeediti obin i stranice trapeza.
9. Vieina jed.nakobakog trapeza jednaka Je hra pornEina trapeza 6e nz.eod koJin ugl.on se seku dijagoaal-e trapeza?
10. Data Je duZ AB i lqug diJi je pre6nik AB.Neka je C
proizvolJna tadka u ravni kruga.Dokazatl da ako je C unutrq-SnJa ta6ka kruga tada je +ACB tupra ako se C nalazi izvanbuEa tada je * LCB ogtar.
l'1. Nad stranicama AB i 3C trougla ABCrkao nad predni-ci.na koastruisani su krugovi kI i k2 koji se setrnr u tadki M.Dokazati da su ArM i C kolinearne tadke.
12. Dat je krug t(Or:r) i tadka Artako d.a je oA=2r.Izradunati duZinu licuinog luka koji se vidi iz tadke A.
LV. U pravougaoniku A3CD tadka M Je srediEte d"uii ABraE je presek dijagoaale AC i duZi DM.Odrediti ) CED pod uslo-vonABlB0=€:1.
14. Tri Eoveka tleba da podele 21 posudu sa med.on(/ puaihrT polovidnih i / prazni6).Kako to d.a urad.e tako d"a svakiod nJih dobije Jednaku kolidinu neda i jednak broj posuda ?
1!. Ako na livadi pasu 64 lraverone popasu livaduza30dana.Na istoj livadi bi 35 }rava noglo pasti 60 d.ana. gs11jo
89
go
krava popase llvadu za rS dana?Koliko daaa bi paslo 5O krava?
16. Na putu od mesta A do negta B autonobilieta se h'e-6e brzinon od 40 kn"/bra u povratku brzinon od OO kn/b. KolikaJe srednja brzina ?
I?. Nloie li porrr5iaa trougla biti ve6a od IOO enfako euvisine trougla nanje od 1 cn ?
18. MoZe li povrSina trougl.a biti nanJa od. I enzrar.o suvi.sine trougla ve6e od. 2 cm ?
re. Dokazati da dt6ioJ t1??!.rl??1.11?l9.ute86 a"r5iosa lo'Da Li tvrdenJe vaZi i za tl9a7+2L987+V1987++L9a? c
20. Dokazati d.a Je broJ r2t4r6?B9LO1l....99roOtOt stoZenbroJ.Da li je on potpun kvadrat ?
21. Kada se Jed.na lvica kocke pove6a za lcnrd.ruga sna -nJi 2a 1 cnra tre6a ostane aeprotnenjena zaprenina kocke sna -nji ee za L2 "r].
Kolika Je povr5ina te kocke ?
22, Dijagonale Etrana kvadra eu l5rvEi L {fr cn.od,re-diti diJagonalu lvadra,
VTII RAZRED
1. FUNKCI,'S
1. Ako de f(x)=x odrediti f(f(f(f(1982)))) .2. Odrediti funkciju f(x) ako Je f(x+3)=2x-5.l. KoU.ko je e(f947) ako je g(2x)=,-r+x .4. Od.rediti f(2)+s(t) ako Je f(x)+g(x)=rx+t i r(x) -
s(x)=x-1
!. Izradunati f(O) ako Je 1f(x)+f(rx) = x+4 .6. Ako Je f(x)+lf(-x) = 6x+L2 odrediti f(r) .l. Ako je za svako reaLno x (rlo) f(x)+2f,(Vx)- jz ,
izraEunati f(L) i f(2) .
8. Data Je funkcija f(x)=21-1.96rediti realne broje-ve x i y tako Aa je f(f(x))=O i f(f(y))=y.
9. Data je funkcija 'f(x)=x+2.Odred.iti funkciju g(x),tako da je f(g(x))=3x .
LO" Od.rediti e(x) ako Je f(x)=x+Z i f(e(t(x)))=!x-1 .11. Data Je .funkcija f(xry)=(16+5ry-Z).Odrediti f(7r5)
t(a-J,b+2) i t(r(x,y)) .
12. Ako je f(xry)=(2x+7yr4xa) odred.iti f(1rA)rf(6rO)t(f(1,r)) i r(r(x,y)).
1r. nata je funkciJa f(x)[email protected] funkciju g(x),ako je f(2+g().;; = Jx-L
^ 14. od.red.iti f(x) ako Je za 6(x)=7x+2rg,(x2+x.e(x)) =lxz+6x+5 .
91
929'
2. SHTEDNATOSII
1. Bta ge yc6c: a) ev@ ttt t2@
il aoato, LLL,oraoz
") ,r1l ili 1?14 ?
?. A.ko Je x)O on/r@-Je : + *.r r. Dokazati .
V. ako je O(x.(a(I onda je " * + )a + L.Doka-
zatL. x' a
4. Dokazati ne jed.nakost: q , f# .2"5o Sta ;e ve6e: {-iffi$S ili 19sZ ?
6. rokazati da Je lE . *,FEE' < 2{W .
?. Dokazati nejed.nakost, .* *A * ... ++ > 10 .11 12 z VrOo
8. Ako Je x realan broJ onda Je ;ft; -< Va. Dokazati. Kad.a vaZi. jednakost ?
9, Ako Je *2*y2-( 2 onda de i I x+yt < 2. Dokazati.
10. Dokezati da je za svako real.no r ispunJeua aeJe-daakogt: (x-r)(x-z)(x-l)(x-4) + 1,oOO1'> O .
11. Ako J9 x.reaLan broj onda za svako x vaii aeJe -dnakogtr' 7(r+x2+*) ) (L*x+x212 .
tr2. ..Neka su a i b katetelc bipotenuzarh hipotenuzinavisinarr poluprednik upisanog krugarR poluprednik opisanogIcruga i P povr5ina pravouglog trougJ.a.Dokazati s1ed.e6e neJednakoeti:
a) "7
* 671 svc) c) 2{Fe) s4a+b4c@
b) a + b(c + bd) R + n2t[fr
Ir. Ako su arbrcrd stranice detvorougla ond.a vaZi nejednakoEt! P r( Va(aO + cd) . Kada vaii Jednakost ?
,. RAZNI ZADACI
l. FuakciJa f(x) = ax2+bx+c za svako celobrojno x,uzina rrrednosti iz skupa celih broJeva.Dokazati d.a su tadabroJevi 2ara+b i c takode celi broJevi.
2., Dokazati Jed.nakostE *{7 *{F
E *r[7 +rF- +f5- + 4
= 2-L.1. DokazatidaJe 1fu'**. roort*;17=Eh.4. Dokazati d.a je izraz l/4( llr-vl +x+y-Zzl+lx-yl+
x+y+22) jednak naJve6en od broJeva xry i z .5. Odredlti skup taEaka u koordinatnoj ravni za ko-
ie Je lr+yl(26. Koliko celobroJnib tadaka se nalazi unutar obla-
sti lxl + | rl ( L987 ?
7. Milan Je krlplo dve vrate olovki 6ija Je cena 18
i 19 dinara i platio ukupno 255 dinara.Koliko je koJih olo-vaka kupi.o ?
8. Dva druga leenu notorciklon iz Val.jeva prena Be-ograd.u.Prvi je polovinu puta vozio brzinon 40 b/h, a drugupolovinu brzinon 50 !q,/h.Drugi notorbiciklista je pola vre-mena putovao brzinon od 4O kn/hra drugu poJ.ovinu brzinon od
60 h/h. Ko je od njib prvi stigao u Beopad ?
9. Otac je inao dva sinartako cla kada se zbiru nji-hovih godina d.od,e prolzvod dobije se l4.Koliko godina inajunjegovi sinovi ?
10: iledan Eovek Je uenJao ze6eve za koko6ke.Za svaka
drr? zeca dobio de I kokoEke.Svaka koko5ka je snela onolikojaja kollko iznogi. tre6ina broja koko5ki.dovek je p:eodao jaJa tato da Je za svakib 9 jaja uzeo onoli-ko dinara kolikokokoika snese jaja.Koliko je bilo koko5akara kol.iko zedeva
94
ako je dovek zaradio 72OOO dinara ?
11. Odrediti prirodne bsoJeve n i n ako je ispunJenaslede6a Jed.nakost, no * .t*1 * to*2 * tt*7 * to*A = 1984 .
L2. Dokazeti ita je a'+L = (a+t)(a2-a+1) i zatin doka
zanL identitet iskoristi da dokaZe5 da Je 8n+1 sloZea broJ u
slu6aju da je u pr5"rodan broJ.
LV. Da 1i je broj 21986*1 prost ili sloZen ?
14. Odrediti ce1obrojna riEeada Jednadina:a) t2*q+y2=1b) 2x2+2ry+Y?-2c) *2* v2 + (x+Y)2' 2
d.) x2+ zry - 7t2 = tL5. Ako su arbrcrd pozitivni realni brojevi i ako ie
a4*b4*"4*d.4 = tlabcdronda je a=b=c=d . Dokazati .
16. U skupu celih brojeva re6iti jednadineta) *2 - y2 - r98?b) t2 * Y2 = L987.
L?. hoj 111...111 Je deljiv ea 41, Koliko jedinicasadrZi d.ati broi ?
18. Dat Je troj 1-On-1 . ?a koje n je d:iii broj d.elJivsa 7o9 't
L9. Dokazeti da Je 193r.1986.1987.1988 + I broJ koJipredstavlja potpun kvadrat .
20. Neka su D i E podnoZJa visina ila i hb u proizvo-LJuon trouglu ABC. Dokazati da Je AC:BC = CD:CE .
2L. U lcugu sa ccntron u taEki O upisan je detvoro -ugao ABCD,tako da;ie #AoC = 4+BCA.Ako je ta6ka E prese *daa ta6ka dijagonala AC i m onda Je BC2= BD'BE"Dokazati.
22. Dat je paralelogram ABCD.Prava p odseca od AEtiAB jedau tre6inura od stranice AD Jednu detrntiaurra6unaJu6iod tadke A.U kon od.nosu prava p deli dijagonalu AC ?
9'
2r, I'rica kocke je a=8 cn.Izrqdunati povrEinu f.ikakoji nastaje ako kocku preeedeno sinetrijskom ravni prosto-rne dijagonale .
24. Dijagonale strana kvadta su l5r{48L i V5++.fo-lika je povr6ina datoga kvadra ?
25. Neka Je t(x + *) = *2* L, + L98? .odrediti f(1)f(a)ir(x).
- x x'
26. Cetiri ivice otvorene posud"e u obliku kocke su
nc,anute prena horizontalnoj ravni pod. uglon od 7Oo . Kolikonajvi6e te6nosti sroZe stati u posudu(u ton poloZaju) ako jeduZina ivice kocke a ,. 6 ';n 'l
27. Od IOO novdi6a jedan je laZan i zato je lak5i u
odnosu na ostale.Koliko najmanje nerenja na terazijama bez
tegova noratuo izvrFiti da bisno odredili koji je novdi6 la-Z,an ?
28. ako Je *'* L, = 1/4 koliko Je x + l ?
x
' 29. Od.rediti sve trocifrene prirodne brojeve koji su
delJivi sa /rdije su cifre razlidite i diii je zbir cifalad.elJiv sa 7.
Vo. Bta 5e va6e ?
a) ,'o7 LLL 2454
b) 1984.L986'L9se'199o ili Lg8?4 "
\
DRUgTVO MATEMATIEATA SR SRBIJ3
REPUBLICKA KOI{ISITA
ZA MI,ADE MATEMATIdARE IZ OSNOVNIE SKOId,
ZBIRKA RISENIH ZADAIAKA
sA TAKMT0ENJA rlIADrH TqATEMATToARA tz osNovNrH Sror,l
sR SRBIJE U 1986. GODINI
RTJDAKTCR
voJrsrAv lmon16
BEOGRAD, 1987.
99
Sxor,sxo rAKMreENrEvtr#,fffttKE rs. rr re86.
I. Koliko ima detvorocifrenih brojeva 6iji je zbir ci-fara jednak 3?
2. Vrednost izraza a-b+c=I986. Ako se svaki od brojevaa,bre umanji za 986, kolika Ce biti vrednost datog j_zraza zaa-b+c?
3. Ne vrleCi mnoZenje utvrditi poslednje dve cifre pro-izvoda prvih deset prirodnih brojeva.' 4. Janko i Marko reEe da kupe jednu zbirku zadataka. Jan-
ku nedostaje 16 dinara, a Marku 4 dinara za tu zbirku. Zbogtoga odluEe da zblrku kupe zajedniEki. MedJutim, ni tada ni-su imali dovoljno novca, jer su im nedostajdla 2 dinara. Ko-Iiko ko3ta zbirka zadataka?
5. Nacrtati tri duZi koje imaju zajednidko srediSte, a1ine-pripadaju lstim pravin. Koliko je najviSe pravih odredje-no k::ajnjirn tadkama tlh duZt?
V RAZRED
I. U jednom razredu bilo je 35 uEenika od kojih su 20
dlanovi matematidke, a 1l dlanovi rukometne Bekcije. Kolikose matematibara bavi i rukometom, ako se zna da t0 udenika ni-je nl u matenatiEkoj ni u rukometnoj sekciji?
too
2. Izvodjall sletske veZbe do5lt su na slet postrojeni uEetiri jednake kolcne. po zavr5etku ve7be lzvodjadl su se pre-strojill u 6 jednakih kolona. Ko1iko je bilo izvodjada sletskevezbe, ako se zna da je njihov broj vedi od gO, a manjl oil 902
3. Prillkorn nnoZenja dva broja uEenik je umesto cifre 4
na nestu jedinica jednog od Einil"aca napisao cifru t. Zato jeumesto proizvoda 1190 dobio proizvod f085. Koje brojeve je u-Eenik trebao da pomnoZi?
4. Jedan ugao je veCi od svog komplementnog ugla isto to-liko za koliko je veCi od svoje petine. Koliki je taj ugao?
5. Sta sve moZe biti presek dva o5tra ugla? Nacrtati svemogude figure (sludajeve).
. VI RAZRED
1. proizvod tri uza.stgpna parna prirodna broja je 26gg.Odrediti te brojeve.
2. Proizvod dva broja je 1350, a njihov najveCi zajedni-dki delllac je 15. Odrediti o kojirn brojevima je reE.
1Ct
3. Hipotenuza pravouglog trougla I teiilna duZ t kojajoj odgovara grade ugao od 600.. IzraEunati oblrn 1 povr5inutrougla u funkciji od tetiEne duZl t.
4. Tri podudarna kruga polupreEnika r=30 cm medjusobnose dodiruju. Odrqdlti povrSinu ddla ravni lzmedju tih krugova.
5. U krug poluprednika r=10 cm upisan je jednakokrakltrougao ABC Eijl- je ugao pri vrhu a=30o. IzraErnati povr5lnut,og trougla.
VIIT RAZRED
I. Razlika kvadrata bilo koja dva neparna broja je de-ljiva sa 8. Dokazati
2. Sta je vece. 21986 ili o:33r;
3. Oko jednakokrakog trapeza Elje su osnovice a=I5 cm ib=12 cm, a visina jednalca srednjoj liniji trepeza opisan jekrug. Odrediti koliko procenata povrgine kruga.zauz.ima trapez?
4. Odrediti sve parove brqjeva t L g za koje je ispunjensieaecr qsrov: t2-6r+.192-t)2+g =0.
5. Kvadar ima zapreminu 336..*3, " dlrnenzlje su mu trluzastopna prirodna broja. Odrediti povrElnu tog kvadra.
3.
od r3?o
4.
SLmetrale unutra5njih uglova a i B seku se pod uglomDokazati da je taj trougao pravouglj..
Sta ie .,ece l$Nf iri ffie5. Dat je proizvoljan konveksan ugao o i proizvoljna pra-
va p koja je normalna na srmetrali ugla o. Dokazati da prava pna kracima ugla o odseca jednake duZi.
VII RAZRED
l. Ako se brojiJ.ac razlonka poveda za 4.O*, a imenllacpoveda za 252, za koliko I se poveCa vrednost razlomka?
2. 961 kg SeCera upakovan je u.vredLce tako da 1rna ono-liko vredica koliko kilograma SeCera staje u svaku vreCicu.Odredlti u koLiko vreClca je upakovan Ee6er?
l_02
opsTrNSKo raxuilnrErn rz MATEMATTKE, l.rrr 1986. coD.
rV RAZRED
1. Ko"liko clfara se upotrebi za ispisivanje svih prirod_nih brojeva vecih od 50 i manjlh od r50? Koriko se sedmicapri tom ispisivanju upotrebl?
2. Ml$a i Zikica su pre nedelju dana imaLi jednake sumenovca. Do danas je uisa zaradio j.oB f9g5 dinara, a Zikica jepotroEio 1380 dinara. Sada laiEi lma tri puta vise novca odZikice. Kollko novca trenutno ima svaki od njlh?
3. Branka je mnoZeCi dva broja dobila proizvod 19g6. Ka_da je jedan od binilaca uveCala za 4, a drugi ostavila nepro_menjen, dobila je proizvod 3310. Koje brojeve je mnoZila Branka?
4. Kvadrat I pravougaonrk su dati sledeci.m uslovlma: zbirstranica pravougaonika je 13 cm, anjihova razlika je 5 cm. povrEinakvadrata jednaka je povr5ini pra_vougaonika. Odredltl ko od njih i_ma veCi obln i za koll_ko?
5. Koliko duZl i koliko tro_uglova sej moZe uoEitl na datojs 11c1.
LO?
V RAZRED
i
l. U Eetvorocifrenom broju * I I * umesto zvezdlia sta-vitl odgovarajude clfre tako da dobijeni brqj bude deljlv sa36. Odrediti sva moquCa re5enja.
2. Zblr ugla a i njemu uporednlh ugrlova je gfZ.o. Odredi_ti ugao a i njemu uporedni ugao.
3. Odrediti sve vrednostl prirodnog broja z tako da jeispunjena nejednakost, t .#= i.
4. Svlh 10 cifara su elementi nekih od skupova A,BrC. Od_rediti skupove ArB,C ako su ispunjeni sledeCi uslovi:I) .anB'1C=t ^C= 10,-] 2) anC= 10,2,31 3) In6= {0,3,9}4l A\B={4,5J 5) B\l='{r,2,'t}. rl
5. Oko okruglog stola treba rasporeditl_ trodlane porodice(muZ, lena, dete); tako da budu ispr:njenl ,'sledeCi uslovi:il,) Na krajevima lstog preEnika (dliametralno suprotno) sede
ii.i dva mula, ili dve Zene, i]i dva deteta.2) tlanovi svEke porodice sede jedan do drugog (na gri sused-
na mesta)
3) Dve osobe l-stog pola (dve muEke, ili dve Zenske osobe) nemogu sedeti jedna do druge.
Nacrtati traZenl raspored sa najmanjJ_m brojem osoba.
VI RAZRXD
1. U jednom razredu bllo je 32 udenika. Na testu iz mate-mateike fvan je potpuno taEno uradio svih 9. datih zadataka. Do-kazati da u tom odelenju postoje bar 4 uEenlka kojl su re5illisti broj zadataka.
)
r.-
(2.)atco se broj 1000 podeli nekim brojem ostatak je g. A-ko se 900 podeli istln b.r6jem onda Je ostatak 1. KoJtm brojemsmo dellli brojeve f000 i 900?
3. Razlomak ffi nrit az.tl kao zblr tri razLomka sa jed-nocifrenim imenioclma. negenje obrazloZl.
4. KonstruisatJ. trougao ABC ako su dati sledeCi elemen-ti: stranica CB=a=6 cm, ugao s=4BAC =75o I vislna CD=hc= cn.
5. Dat je jednakokraki trougao ABC (AB=AC). Na pravoj BC
izabrana je taEka D, tako da je C izmedju B i D. Dokazati da
)e AABD > uADB.
VTf RAZRED
I. Za 25 klikera plaCeno je onoliko dinara, koliko kli-kera se moZe kupiti za 10000 dinara. Kollka je cena jednogk1i-kera?
2. Na krugu poluprednikd r uoEen je luk dija je duiinajednaka polovini poluprednika (L=r/2). U funkciji od r. izradu-natoj povrEirru odgovarajuCeg kruZnog iseEka.
3. Stranica pravilnog mnogougla je tO cm. KoLlki je obimtog pravilnog mnogougla, ako se zna da on ima 252 dijagonale?
4. DuZina polupreEnika kruga upisanog u romb jednaka jedetvrtinl dutihe veCe dijagonale ronba. Dokazati da visine rom-ba koje prolaze kroz krajnje tadke danje dijagonale dele veCudijagonalu na tri jednaka de1a.
105
VIII RAZRED
1. Data je funkclja f,(c)=o2-r. Odreditl f(f(a+r11.2. nko ie a2+b2-2(bc+cd.+da-c'-o'r=o' onda ie a=b=c=d..
Dokazati.
3. Dat je trougao ABC t,I)a je osnovlca AB=24 cm i visinaCD=I6 cm. Prave n.n i p su paralelne sa .48 i dele visinu CC'
trougla ABC \a Eetiri jednaka dela. Odrediti povriine tako do-bijenih delova trougla.
4. Oko lopte polupreEnika r opisan je'valjak (baze valj-ka dodiruju loptu, a omotaE valjka i lopta se dodlruju po je-dnom krugu). Dokazati da je razmera povr5ina ovih tela jednaka
razmeri njihovlh zapremina.
5. Data su tri podudarna kruga polupreEnika n=6 cn takoda se ma koja dva medjusobno dodiruju. U prostor iznedju da-tih krugova upisan je krug koji dodiruje sva tri kruga. Oko
datth krugova opisan je krug koji dodiruje sva tri. data kru-gar Odrediti povr5inu kruZnog prstena koga 6lne opisan i upi-san krug.
5. KateteKrug upisan u
taEkama M, N 7
a) Dokazati da je AM=AP i BN=BM.
b) Izra6unati poluprednik kruga upisanog u trougao.
c) Dokazati da je rastojanje i.zmedju centra upisanog krugacentra opisanog kruga jednako /5 cm.
pravouglog trougla ABC s! AC=6 cn i BC=8 cm.trougao dodiruje stranLce t.rougla AB, BC i C/ u
D
Ldl
MEDJUOPSTINSKO TAKMIEENJE TZ MATEMATIKE 22.III 1986. GOD.
IV FAZRED
I. De5lfruj sledeCe mnoZenje * * 4.2 3 *tako Sto Ceg umesto zvezdica sta- * * 2 4
vlti odgovarajude cifre tako dannoZenje bucle potpuno tadno.
V RAZF,ED
l. Pravougaonu plodu dlje su ai*.n"fi.2310 cn i 3630 cm
treba razrezati na najveCe mogude rnedjusobno jednake kvadrate.Odrediti stranicu tog kvadrata i koliko ima tih kvadratnih plo-Ea?
2. Zbj-r tri broja je 60. Ako se .uporedi polovina prvog,tredina drugog i petina tredeg onda su svi ti brojevi medjuso-bno jednaki. O kojim brojevima je reE?
3. Koje godine je rodjen deda Mile ako su poznati sledeClpodaci: Deda Mile;e rodjen u ovom veku. Ako u godini njegovogrodjenja zamenimo mesta oLfrl, jedinic€l I ciffi desetica dobijase godina u ikojoj Ce deda Mile napuniti 81. godinu Zivota.
4. Date su paralqlne prave a i b. Na pravoj a date su ta-dke 1, B, C, D, E, a na pra\roj b ta6ke M, N| P i S. Koliko du-Zi i koliko trouglova odiedjuju date tadke.
5. Data je prava p i taEka ,4 kbja je od prave p udaljena3 cm. Konstrulgi krug k koji prolazi ktoz ta6ku /; dodirujepravu p i ima polupreEnik r=2 cm,
VI RAZRED
,"i. Zbir tri broja je 1455. Ako uporedimo treCinu prvog,petinu drugog i sedminu treCeg broja dobijaju se jednaki bro-jevl. O kojlm brbjevLma Je reE?
2. Bola je dugovao Mirl neku su.mu novca. VraCanje dugaje -izvr5eno na slededi nadin: Prvo je vradena I,/4 duga, zatim4/9 ostatka i jo5 640 dinara. Posle toga BoZa je dugovao Miri1oE 3/20 duga. Kolike novca je BoZa dugovao Miri?
3. Odrediti sve proste brojeve p, takve da je i brojp2+t3 takodje prost broj. Dokazati da ne postoji v1-Ee re5enja.
4. Dat je trougao ABC. Prave b i c su simetrale Fpoljas-njih uglova trougla kod temena..8 I C. Iz tadke I konstruis4nesu prave plb i qIc. Prave p i q seku pravu odredjenu tadka-ma BC u taEkama M i /ll. Dokazati da je iluZ MIV jednaka obimutrougla /8C.
1***l****I****
2- zorLca je pranirala da u toku sledecih nekoliko danasvakog dana uradi po 15 zadataka. MedjutJ_m, ona je svakog da_na radila po 3 zadatka vi5e tako da ioi i. ostafl a" n""i"U-nia tri dana svakog dana re5ava ..*o no 4 zadatka. XofiXo i"zadataka planirala da uradi Zorica?
3. DuZina duri AB je za 2 cm veCa od duZine duZi Cr. A_ko se dui CD uveCa trJ. puta, a dul AB uve6a za l0 cm, dobijuse jednake duIi. Ko1ika je duZina duZi lB i d,uZ! CD?
4. Ako jednu stranicu kvadrata produZimo za 2 cm, a dru_gu za 5 cm, tada se dobije pravougaoni.k dlja je povrEina za45cm2 veda od povrEine kvadrata. Kollka je povrgina kvddrata?
5. Poznato je da je: 3.3-3=66.(6:6)+(6-6).6=6
Postupa.judi na sliEan na6in, tj. stavljajudi izmedju cifaraznakove 1t -t ., : 1 potreban broj zagrada napisati broj 3 po_moCu 3 trojke,4 detvorke,5.petl_ca,6 Bestica,7 sedmica, g
osmica i 9 devetki.
1095. Dijagonala /C paraleJ_ograma .48C, jednaka je tg cm. A-
ko je /ir sredigte stranlce AB. a M tadka u kojoj duZ DiV prese-ca dijagonaLu AC, odrediti duZinu duZL AM.
VIT RAZRED
l. poznato je da je y'? iracionalani brojevi 5+n L 5/Z takodje iracionalni
2. Odrediti sve prj.rodne brojeve n
deljiv sa 81.
3. U pravouglom trouglu Eija hipotenuza ima dulinu c, je-dan ugao jednak je Eetvrtini plavoq ugla. Izradr:nati povr5inutog pravouglog trougla u funkciji. od c.
4,. Date su dutl rR 1 r (R.> r). Konstruisati krug Eija jepovr3lna jednaka povr5lni kruZnog prstena 6iji su polupredni-cl- date duZt F l- ". Konstrukciju obavezno obrazlo!itj_.
5. Osnovne ivice kvadra su 3.cm i 4 cm, a prostorna di-jagonala kvadra nagnuta je prema ravni osnove pod uglom od 5Oo.fzradunaj povr5inu i zapreminu datog kvadra.
VTII RAZBEP
I. Odrediti sve trocifrene prirodne brojeve koji su t2puta veCl od zbira svojih cifara.
2. Neka2TI7
" 'a,=-T'"*f i "-l-c c-vrednost realnog broja o.
3. Odrediti sve prirodne .brojeve z takve da je izrazro2n -L--7_ ceo broj.
4. Osnovice trapeza su a=25 crn i b=I5 cm, a krak e=g cm.Odreditl oblrn I povrEinu tog trape2a. ako Je poznatg da je zbirunutraSnjih uglova trapeza na.veCoj osnovici prav ugao..
5. U pravilnu Eetvolostranu piramidu Elja je osnorma ivi-ca a=I2 cm i vLsina f/=5 cm uplsana je kocka ABCDEFGH (temena
A, B, C,D pripadaju osnovi piramlde' a temena E, F, G' H PtL-padaju bodnim.ivlcama pj.ramide). DokazatL da je odnos zapremi-na piramide L kocke jednak 9:2.broj. Dokazati da su
brojevi.
tako da je Lzraz L}n-I
je o pozitlvan realan broj veCi od t i neka je
a) fzradunatib) fzraEr:nati
2. Ma€ka i po, za dva i po dana pojede tni i po mi5a.Koliko nileva 6e pojesti loo naEaka za rrS dana?
3. Neka su a, b, e (az b> cj stnanice Bd, CA i AB tr:ouIBC. Prava p panalelna sa Bd pnol.azi knoz centar. upisanog knuga i sstranice 18 i AC u taEkana D i E . Iznaduriati obin trougla IDB ufunkciji od a, b, c.
"/"-31l ,{ oat je pnavougaonik ABCD (AB> cg). liad stranicana lBi 84 kao osnovicama korrstruisani su jednakostraniEni trougr.ovi rBti BCM tako da je tr izvan, a ft u pnavougaoniku. Dokazati da je duZtrll jednaka dijagonali. pnavougaonika.
u].
3. Nad duZi 18 kao osnovicon konstruisani su jednakost:ra-
ni6ni tnougao ABD i jednokoknako-pravougl'l trougao z{ad . Tadka I Je
podnoZJe nonmale iz tadke C na dul l|8, a ta6ka lf je podnoZje non-
maie iz ta6ke 6 na duZ lD. fzradunati ugao CEM.
. 4. Stnanice tr.ougla ABC 6u A8 = 14 cm' BC = 13 cmr i CA
15 cn.
a) IzraEunati povr5inu tnougla ABC.
b) Odrediti povn5inu knuga koji dodinuje stnanice AC i BC,
a centan rnu se nalazi na stnanici r1B.
5. Osnova piramide je nornb stnanLce 12 cm. Bo6ne etranice
pinamide su nagnute pnena osnovi pod ugtom od 45o. Izna6unati zapre-
mLnu puanroe, aKo 3e povnEina omota6a pirarnide 36o crn2.
ZADACI ZA RTPUBLICKO TAKMICENJB tZ MATEMATIKE ZA UCENIKEOSNOVNIH SKOLA
VI RAZRED
1. Ako Je n prinodan br:oj onda Jepnir:odan broj. Dokazati.
lon + 35---TS- tal<odJe
5. Kvadrat je podeljen na 9 jednakih kvadnata.od njih upisan je bilo koji od bnojeva 1, Z ili 3. Da lida u svakoj vnsti, svakoj koloni i svakoj dijagonali buduzbinovi ?
U svaki
je rnogu6e
nazliditi
1.
rodjendanski
a dedaci po
ako je gnupa
, VIIIRAZRED
Gnupa dedaka i devoj€ica sakupila je 17o dinara za
poklon svom dr"ugu. Devoj6ice su davale po 2o dinarat
3o dinana. Koliko je bilo devojdica' a koliko de6aka'
irnala neparan broj 6Lanova?
r"-Retiti jednadinu lc+rl +\,/ ,'-2s + I = 2s .2.
VII RAZRED
1. Odrediti Eetvonocifneni broj6etvorocifreni broj napisan istirn cifr.ana,
2. Odrediti sve proste bnojeve p
takodje prost broj.
koji pomnoien sa 9 dajeali u obrnuton redosledu.
3. Stranice p:ravouglog trougla imaju za merne brojeve
pninodne bnojeve, a Jedna kateta je 6 cn. 0dnediti odnos u koJem
podnoZje hipotenuzine visine deli hipotenuzu.
4. U tnapezr ABCD (AB tl eD), dijagonala 8D je nonnalna
na osnovLcama. Dijagonala AC polovi ugao kod ternena C ' a dijagonatu
tsD seEe u tddki O. fzna6unati povrBinu tr:aPeza ako je J9O = 4cm i
DO=2cn.
+3takve da je i broj p 3
. 5. Kocka ADCDAIBLCLDI pneseEcna je aa navni koJa sadnll
terAe d i eredlsta lvlea ID t ,ICI.. a) Dokaratir da Je rpnea,elna :flguna paFalelogran.b) fznalunati povnllnu pneeednc flgune.
BESES,iTA
knjige je<inaka AB=AD+BD=I6+2 r
Marko je imao 14 dinara.
115
to knjiga koBta 18 dinara, a
RESENJA ZADATAKA SA SKOLSKOG TAKMIEENJA
rV RAZRED
I. Kako Eetvorocifren broj ima Eetiri cifre u obzir do-Iaze sl-edeCe kombinacije: 3+0+0+0,2+1+0+0 i l+1+1+0. TraZenibrojevi su: 3000, 200I, 2010, 2I00, I002, 1020, 1200, 101.1,
II0l, Ill0, pa itr j-ma ukupno 10.
2. Ako umanjenik a i umanjilac b umanjimo sa 9d6 razlikaostaje nepromenjena, a kako je i c urnanjen za 986 to Ce se
vrednost lzraza a-b+c--1986 umanjiti za 986 i imaCe vrednost1986-986 = I000.
3. Posmatrajmo proizvod I'2.3'4'5'6 '7'8'9 '10. Kako je2.5=r0 i kako proizvod sadrZi broj 10, to je njegova vrednostjednaka: I.3.4.6-7-8- 9.100, pa su poslednje dve cifre Cve
4. Zadatak re5avamo Pomodu
duii. Janku za knjigu nedostaje16 dinara (prva duZ) ' a Marku 4
dinara (druga duZ). Janku i Mar-
ku (zajedno) nedostaje 2 dinara (treCa duZ). Kako ie BC=4' a
CD=2, to je BD=2, Pa je Janko imao samo 2 dinara' Kako je cena
5. o6igfedno najviSe pravih jeodredjeno kada su date duZi nekoli-nearne, a date duZi imaju nekoline-arne krajeve. Tada 6 krajnjih taEa-ka odredjuju ukupno (6.5):2 = 30:2=15pravih.
V RAZRED
1. Odigledno je radom sekcija obuhvaCeno 35-10=25 u6enika.Neka se r udenika bavi imatematikom i rukometom.Tada'se matematikorn bavi2O-r, a samo rukometorn1I-r udenika. Kako je brojaktivnih u6enika 25, todobijamo jednadinu:2O-t+o+LL-e=25. Odavde je3I-a=25 , a r=3L-25=6.
2. Broj uEesnlka sleta je deljiv sa 4, ali je deljiv i sa6. Kako je najmanji zajednidki sadrZalac za 4 i 6 jednak J.2 tobroj u6esnika mora bi-ti deljiv i sa 12. Jedlni'broj koji je de-ljiv sa 12, a nalazi se izrnedju 80 i 90 je 7.L2=84.
3. GreBka u mnoZenju iznosi lf90-1085=f05 i jednaka je tro-strukoj vrednosti drugog Einioca (kod koga nije pogre3na .cifra
o _-16 . O-./-qo M o-4-oo--jl- o-2 -o-J--aACDB
4c)4frK
f)
cL)
,/
/e)
It5
jedinica). Prema come taj Einilac irna vrednost I05:3=35. PrviEinilac je tada I I90 : 35=34.
II regenje: Kako je f190=2.5.7.I7, a 1085=5,7.31, to oba brojaimaju zajednidki dintlac 35, a drugi 6inilac je 34 odnosno 31,5to u potpunosti odgovara uslovima zadatka.
4. Iz datih uslova lako zakljudujemo da je komplementniugao petina datog ugla. Kako je 90:6=15r to je dalli ugao 5.15=
=75o, a njegov komplementni ugao l.I5=150.
5. Presek dva oBtra ugla moZe btti: a) prazan skup, b) ta-Eka, c) poluprava, d) duZ, e) ugao, f) trougao, g) Eetvorougao.
VI RAZRED
1. Kako ie 2588=2.2.2.?.?.2t2:).7 =2.2.2.8.5.7 = 12.14.L6 t
to su trazeni brojevi 12, 14 i 16.
2. Kako je f350=I5.15.6, to su moEuCe sledeCe komblnacije:a=15, b=15.6=90; a=15.2=30, b=r5. 3=45.
If re5enje: Neka su traZeni brojevL a L b. Poznato je da jeab=D(a,b)S(a,b). Odavde je r350=15.S, a S=90. Delioci broja 90
koji su deljivi sa 15 su: 15, 30, 45, 60, 75, 90. Uslove zadatfca
odigledno ispunjavaju samo 15 i 90, odnosno 30 i 45.
lL?
3. Ako se simetralq unutragnjih ug-lova a i B seku pod uglom od I35o, ondaje odigledno e/2+g/2+r35o=180o, pa je o-davde o/2+B/2=180o-r35o=45o. zakljuEuje-mo da je cr+B=2.45o=90o. Tada je Y=90o,pa je trougao ABC pravougli.
{. odisredno j" +;3+= t -rels, " +;€*= t -r-ek.. r r I .- r 1984 _1985KaKo Je TtgS'rgE6 to le I -Ttg5. t - r3-g-6i pa le I T9T-5.I9E-G'.
5. Neka je a= 480A L nekaje p.no={A}, pns={B} t p^A=
=tc]. Iada su trouglov! ABo L
BCO podudarni: (USU) 4 A0B= x'C)B=
=d/2, OB=OB ! 4AB0 =4CBO =90o. IzpodudarnostizaktjuEujemo da su iostali elementi podudarni, pa jeLA=TCt Bto 'je i trebalo dokazati. O
VII RAZRED
r. Neka je dati razlomak f;O 7ol. Kada brojilac cuveCamo
za 40* imade vrednost lr4c. UveCavanjem imenioca za 25* dobtjase imenilac L,25b. vrednost novog razlornka je +y*, pa je no-
vi lazlornak jednak Lrlzt, odnosno vrednost razlomka se uveCala
"^ 4,2r.
2. Neka je broj vreCica n. U svakoj vreiici ima n kg SeCe-
ra. Dakle ukupna koliEina SeCera ie n.n=n2=961. Dakle n=-r'T67LLL n=/96T. Kako broj vreClca ne moZe biti negatlvan u obzlr do-lazi samo n=3I.
3. Kako je hipotenuzina tettgna duZ jednaka polovlnl hlpo-
tenuze, to je hipoten\za c=2t. Tro-ugao BCD je jednakokraki i ima uqaokod D jednak 600, Sto znadi da je ijednakostranidni, pa je kateta a=t.rz Pitagorine teoreme 62=s2-a2=4g2-22==3r2. odavde je b=t{3,. obim dacogtrougl"a )e o=t+t/3+2t--3t+tr'3-t (3+y'3) .Povrlina trougla je P-ab z2=t. tfjz2=)_=t- . /3/2.
119
proizvod (k+n+l)(k-m) deljiv sa 2. BrojevL k+n i k-n su uvekiste parnostJ., pa je jedan od brojeva k+n.+l i i_rn paran, adrugi neparan, Eto obezbedjuje da njlhov proi?vod bude deljivsa 2. Ovim je dokaz zavrlen.
2. xako ie 21986=t25133r=5433r to i" 2r986-6433r r 6333r.
4. Neka su centri datih krugovaA, B, C. Trougao ABC fe jednakostrani-6ni jer su mu sve stranice po 60 cm.
PovrBina trilZene figure jeCnaka jerazlici povr5ine trougla ! ABC L zbl.-ra povr5ina 3 kruina ise6ka. Kako suti isedci po<ludarni i imaju central-ni ugao od 600, to je zbir njihovihpovr3ina jednak povrSini polovine bi-1o kojeg od datih krugova. TraZena po-
3. Neka je Etr' vislna trapeza ko-ja prolazi kroz centar opisanog kruga.Kako je E.l'jednako srednjoj liniji toje EF=14 cm. Neka je EO=e, a FO=LA-r.Tada je iz trouglova AEO i .PDO na os-novu Pitagorj-ne teoreme 82+t2-R2==(r4-c)2+62. od"vde dobijamo: 64+o2=
=r96-28e+r2+36 t1i 64=232-28a. sredida je c= (232-64'):28=168:28=6,cm. Tada
ie R2=82+r2--82+62=too, a R=10 cm. po-vrBina kruga je 100n=314 ,I57 cm2, a po-r/rgina trapeza je (16+f2).1.4:2=I96 cm2.
to"trapez zauzima 62r392 povr5ine kruga.
D/G F \-.c
u 'oo-'I
I\,
e r-----7
Kako je 196:314 ,L57=O,6239
vriina p -601-,5 -+=e00,'3-4s0r= 45o(2t3-n)
5. Ugao EoC je 600 jer jeA
cm
dva puta veCi od periferijskogBAC, pa je trougao 806' jednako-stranidni BO=OC=BC=LQ cm. Visi-na. A D=AO+1D=10+5 /3. povrginatrousla je P=I0 (10+5r'3):2 ==5 (r.0+5r'3) = 25 (.2+v3', .
4. lz s2-6r+1y2-t)2+g=0 dobija se (o-3)'*(r'-r)2=0. zbirkvadrata je nula ako su oba broja jednaka nuli. Dakle r-3=0 iy2-t=0. Zna6t da je c=3, a y=I ili y=-1, pa su resenja parovi(3,r) i (3, -r).
5. Neka su dlmenzije tocn(n+I, (n+2) jednako 335 to jeodakle je n=6 , n+I=1 i n+2=8.+8. 6)=2 (42+55+48)= 292 cm2 .
lcvadrata n, n+!n (n+I') ln+2)=2.2.Povr3ina kvadra
L n+2. Kako je2.2.3.7 = 8.6.7
)e P=Z (6.7+7.8+
VITI RAZRED
]. Neka su dati neparni brojevl 2k+L i 2z+1. Tada je(2k+l I 2* (2^*t12= 12k+t+2^+r) (2k+I-2m-Ll=(2k+2n+2) e (2k-2n)=2(kin+L,).2odigledno je data razr.ika kvadrata deljiva sa 4. Dokazimo da je
NaporFna: Prvi zadatak se moZe jednostavnlje reBiti bez prime-ne razllke kv.adrata. (2k+I)2- (2**tl2=ak2+4k+I-4m2-An-L = 4& (k+1).-
-An(n+Ir. Kako su n i n+I i k i k+t uzastopni prirodni brojevlnjihovi proizvodi su deljivi sa 2, pa je ceo izraz deljiv sa4. 2=8 .
RESENJE ZADATAKA SA OPSTTNSKOG TAKMICENJA
N PAZRED
r. OEigledno je da treba ispisati brojeve 5L,52, ...,L48. I4g. Od ispisanih brojeva 49 su dvocifreni, a trocifrenihbrojeva lma 50. ZnaEi da je upot.rebljeno 2.49+3.50 =248 cifara.Pri ispisivanju u svakoj desetici se upotrebi po jedna sedmlca(5'1,67, ..., L37, L471, a u sedmoj rlesetici jo3 f0 sedmica(?0,7I, ...,78,79), pa je ukupan broj sedmica I0+I0=20.
2. Zadatak reEavamo meto-dom duZi (treba priznati i dru-ga tadna i obrazloZena re5enja).l4i5a i Zicia su imali jednake sume novca (duZ i{8). Zikica jepotroiio 1380 dinara (dfi, BCl, a I'ti5'a je zaradio joE 1986 di-nara (duZ BD). Sada MiSa ima tri puta vi5e novca od Zikice,5to znadi da je duX AD +-r! puta veda od duli AC. a. dva puta ve-Ca od duZi dD. Kako je CD=l380+f986=3366, to je AC=3366:2=1683.ZnaEl Zikica ima 1683, a MiEa 3.1683=5049 dinara.
:--:--:"-:e!e 3 rarso
o------o- 1360o Zrrrca
3. Proizvod 1986 predstavi.Cemo po-vr5inom jednog pravougaonika. Ka-da jednu stranicu poveCamo za 4,novi proizvod je 3310, 5to znadida se povrSina uveCal"a za 3310--1985=1324. Kako je jedna strani-
4 to je druga 1324:4=331, a to je jedan od traZenih Einil.a-Drugi Elnilac je 1986:331=6.
4. Rko je zbir stranic.i pra-vougaonika 13, a razlika 5, ondaje manja stranica pravougaonika(1.3-5):2, t). 4 cm. Tada je veCa
L21
13-4=9 cm. Povr5ina pravougaonlka je P=4.9=36 crn2, . to je ipovr5lna kvadrata. Stranica kvadrata je 5 cm (jer je 6.6=36 cn2)a obim kvadrata je 24 cm. Obim pravougaonlka je 2(9+4',=2.L3=26cm. Pravougaonik lma za 2 cm veCi obLm od obima kvadrata.
5. Na duXi AB rl<:le se uoEitL 6
tadaka. Tih 6 tadaka odredjuje5+4+3 + 2+I=15 duZt. I na duZl dD i-mamo 15 duZi. Iz taEke 0 polazi 6
duZi (pravih) i na svakoj je po 3
zna6i ukupno 18 duZi. Ukupan brojduZi je odigledno 15+15+18=48. Sva-
Aka od duZi na duZi 48 je osnovicajednog trougla, pa takvih trouglova ima t5. SItEno je J. sa du-Zi CD, pa je ukupan broj trouglova jednak 15+f5=30.
V RAZRED
l. Da bi trazeni broj * I I * bl_o deljiv sa 36 mora bitideljiv sa 4 i sa 9. Zbog.deljivosti sa 9 zbir cifara mora bitideljiv sa 9 pa u obzlr dolaze. zbirovi'9 i I8, 5to znadi da jez6'ir nepoznatih cifara ? ili"t6 . zaog deljivosti-". i a.ro"rr-reni zavrEetak mora biti deljiv sa 4 pa u obzir dolaze *Il2 i*116. Dak1e red je o brojevima 5rl2 i I116.
2. ZbLr ugla o i njernu uporednihuglova je 3120. Dopuna ugla od 3I2odo punog ugla je ugao jednak uglu o,kao unakrsnom ug1u. Dakle q=360o-3120=
=48o, a njemu uporedni ugao je t80o-48o=
=I 32o.
3. Kako j" l=$ i r"ro j" i=$ t" i" #.#s$ na )e
1985 I 1324
caca.
4 jedan od brojeva 5, 6, 7 ,
4.
8,9 i1i ne{5,5,7,8,9}.Najpre nacrtamo Venov dljagramskupova A, B , C. Zatim upisatidate podatke. O6igledno je dapreostale cifre 6 1 8 pripadajuskupu C, pa je: l, = (0r3t4,5r91B = {O ,I ,2 ,3 ,7 ,9} C = {0,2 ,3,6 ,81 .
o-alXobo''5
H------o-----Oa-bbb
&L
5. Najpre zakljuEujemo da brojosoba za. stolom'mora blti deljiv sa3.(jer je red o trodlanj.m porodlca-ma). Dalje broj osoba za stolom mo-ra biti paran (jer nasuprot svakeosobe sedi osoba ist-e vrste). Naj-manji broj koji zadovoljava ove us-love je 5, ali je tada nemogude za-dovoljLt.i tredi us1ov. Najmanji brojosoba koji zadovoljava sve uslove zadatka je 12 (4 porodice),a raspored sedenja dat je na slici (M_miZ, Z_Zena, Drn_muZkodete , DZ,->,ensko dete ) .
VT RAZRED
l. Odigledno inlamo l0 grupa udenika: one koji su redifisvih 9 zadataka, one koji su re5ili g zadataka, ..., one kojisu re6ili samo I zadatak i one koji su re5.ili 0 zadataka (ni_su reSili ni jedan. zadatak). U .jednoj od I0 uodenih grupa mo_ra biti bar 4 utenika. Za5to? Zato gto u sludaju da u svakojgrupi irna manje od 4 udenika (3, 2, I, Q) r:kupan broj udenikaje manji ili tadno jednak 3.10=30, Sto je nemoguCe, jer u ode_lenj u ima 32 udenika. ( Dirihleov princip: 32 : 1 0=3 (2 ) ) .
2. Ako r000 pri deljenju sa traZenim brojem daje .ostatak8, to znadi da je 1000-8=992 deljivo sa tim brojem. Slidno i900-f=899 mora biti deljivo istim brojem. Kako je992=2.2-2.2.2.3I i kako je broj g99 neparan, to g99 mora bitideljivo sa 31. Zaista 899=3t..29., pa ie traZeni zajednidki de_Iilac broj 3I.
If resenje: Neka je d fraZeni zajednidki delilac. Tada je992=a,d t 899=b.d. Kako je 992-899=93=(a_b)a.i kako93=3.3I to d moZe biri 3 ili 3I. Broj 3 ne dolazi uni 899 ni 992 nisu deljivi sa 3, pa je a=31.
.3. Kako je 140=4.5.7 to su trazeni imenioci 4,5 i 7.r- 28I _ f _p ,.: _ 35a+28b+2Oc,= TCo- a -B' 7 =- iab--. OdiqJ.edno 3Sa+28L+20..=28I.
!23
bio neparan -28r). Ako je 4 neparan, tada se zbir 35a+zoc za_vr5ava cifrom 5, pa se 2gb zavriava cifrom (2gl_..5=..6)6. O_davde zakljudujemo da je b=2. Dakl_e 35a+56+2Oc=2gI, odnosno35a+20e=225. OEig1edno a<7 ()er ako bi a>7 onda je 35a >245),pa je a=l i1i a=3 iIi a=5. Ako je a=t i1i a=5 dobijamo 35+2Oc==225 ili I75+20c=225, odnosno 2Oc=I90 iIi 20c=50 Eto je nemogu_
3"" *1;:;;.
ro5+2Qc=225' odnosno 20c=r2o ili c=6' Ko-
4. Analiza: Visina CD deli tro_ugao AtsC na dva pravougla troug1a ACDi BCD. (.r trouglu ACD poznat narn jex DAC=75o i kateta naspram tog ug-Ia CD=4 cm. U trouglu BCD poznatanam je hipotenuza BC=6 cm i, katetaCD=A cm, A
Konstrukcija: Na proizvoljnoj pravoj p izaberemo proizvoljnutaEku D i kroz nju konstrui5emo pravu q normalnu na p. Na pra_voj q odredj.mo ta6ku C tako da je DC=4 cm. Kako je CB=6 cm_, .tadki c konstruibemo krug k(c, 6). presek kruga k i prave p jetadka 8. Xroz ta6ku C'konstruisemo pravu .r. tako d.a je xrcD=g0o-75o=t5o. U preseku pravih p i i, dobija se teme,4.Dokaz: Po konstrukciji duZi CD i CB jednake su 4 odnosno 6 cm.ugao xCAB= xCAD=904- rACD=90o_t5o=75o, pa dobijeni trougaoABC zaista ima date efemente.
Diskusija: Zadatak ima 4 podudarna re5enja zavisno od presekakruga k sa pravom p i zavisno od poloZaja duZL CD.
5. UEr36 t)ACBA
je spolja5nji ugao trougla tC, i jednak jezbiru uglova Cilj i ADC. Zna6ida je x,.1CB > 4 ADC. Kako je
'' :t 11 Ci= r.4o-c'= a ABD ! kako jex .4r(.r= x AL)B to je a.ABD ) zADts .
leobzir ler
Dak-
Kako
su brojevi 28b i 20c parni broj d mora 5iti neparan (da bi zbj.r
, VIT RAZRXD
l. Neka je cena jednog klikera c dinara. Tada je za 25kLlkera pladeno 25.c dinara. Za 10000 dinara se moZe kupit.i10000:a kLikera. Xako je 25.c=l0000:c to je 25.r2=10000, pac2=10000: 25=400. znadl c=20 dinara.
L25
, . VIII RAZRED
l. Kako je f (xr=e2'-l to je f (a+tl=iont,l2-t=o2+2a.1r-!=a2+2a.Tada je f (f (a+t))=f k2+z,t)=(a2+2a)r-L=(or*ro*t\ (a2+za_t) iIif (f (a+tl ) =a4 +4a3+4a2 -t .
2. rz -a2+b2-2 (be+cd..+da-.2-d2)=0 dobijamo da je o2+b2-2b.-
-2c^d.-2da+c2+e2 +d.2 +d2=0. Grupisanjem Elanova dobrjl "" o2-2od.*d.2 *+b2 -2L o+ o2 +o2 -2o d.+d2 =o i ri (a-d) i * (o -. )t *," - or, =o. rir, *.r.ur.-ta tri broja jednak je nuli ako i samo ako je svaki od njLh je_dnak nuli pa mora biti c-d=0 ! b-c=0 i c-d=0 . zboq tranzitivno-sti.relacije "=" dobija se a=d i b=e i e=d, t1. b=e-d.=a.
3. DuZ ,'d je srednja lintjatrougla ABC, pa je FG=I2 cm. DuZ,g je srednja J.inlja trapeza ,AB.GF
pa je ,8=(24+12):2=I8 cm. DuZ M/t
je srednja linija trouqla tr'Gd,pa je Mil=5 cm. povr5ine dobi.jerrihdelova su. P(ABED)=84 cm2 t p(DEGF)=
=50 crn2, p(FCNM')=36 cm2 i p(MNC,)=
=12 cm2.
4. povr5ina lopte 7r=4rio2, u "^pr"mtha je Vl=4/3trr3. os-
nova valjka ima takodje poluprednik r", a visi-na ,?=2r. povr5inaval-ika je l' r=2pay=2nr2 +zrt,. 2r=6ny,2 a zapremina V,,=n12. 2y.=2trt"3.Odavcle )e P, z n r= At r,2 . 6n 12 =2: 3 i Iz,, V u=4 / 3r 13 . Ztr ,.i= 4 / 3 : Z-2 z 3.Ovim je dokaz zavr$en jer )e pI:.p7)=vItVu=223.
5. Neka su I , B, C centri da-tih krugova, a r i r?'polupreEniciupisanog odnosno opisanog kruga,sa zajednidkim centrom O. Ta6ka O
je centar (teZiSte) t'rougla,4BC.Ao=2/3.h=2.r3.6/3 = 4{3 cm. r,=4/1_G,a R=4/i+5. povrEina traienog kru-Znog prstena je P= r) (n2-r2)==r ( (4/3+6) 2- (q/l-s)2)=n (q/3+6+4/3-6) .
. (4{1+6-4/3+6 ) =r. B. /3. r2-96. n. /3 "^2
.
je
2. O6lgledno da datom luku odsovara nekj- ugao d. TadaL =;=':"
;#, a odavde je c =$. novrxina odsovarajuces
Znog ise6ka je p=nr,2 o , = nn2 goo/tr -t'2
3600 3rrP - -4"
je
kru-
r1
i
l
ir
3. Neka je broj stranica pravllnog mnogouqla z. Tada jebroj njegovlh dijaqona],a n(n-3):2=252, pa je n(n_3)=2.252==2.2.2.7.9. KonaEno nln-3) =2:3:2:_1.?:J=Zl.2l, pa ]e n=24. O_bim je 0=24. L0=240 cm.
4. Neka je 0 presek dljagonalarornba i neka je M taEka u kojojkrug dodj,ruje stranicu lB. Kako jetrougao IOM pravougli i kako je 0M=' '=z'=L/4.AC to je )M=t=t/2.OAr pa jeugao AOM 600, a ugao 0.4M=30o. Tozna6i da Su uglovi ronba BAD ! BCDpo 600, a to opet znadi da su tro- A
uglovi ABD ! BCD jednakostraniEni.Vlsine DE ! BF romba presecaju veCu dijagonalu.u tadkama p i e.Kako su DE L BF i visine jednakostranidnih trouqlova ABD i ECD,to je AP=?-.0P=2.OQ=aC odnosno Ap=pQ=eC.
B5. DuZi A.M i Ap odnosno BM i B,t sutangentne duii iz jedne tadke nadati krug i kao takve su. jednake(moZe i podudarnost). Kako je hipo_tenuza A E= I 0=.4 t! +B t/t=A p + tj I,l = 6 _ r +g_ z.
dobijamo da je 2r.=14-I0=4, a samot'=2 cm. Kako je , .t=.Ei to je tS=5cm, a -qM=A5-Al.r=AS-Ap=S- (6-2 )=5_4=fcm. Iz pitaoorine teoreme lako iz_radunavamo rastojanje 5 6="f;Tfr7== /T+a-/S.
L26
RE.<ENJA ZADATAKA sA MEDJUopSrrNsroe TAKMTCENJA
IV RAZRED
t. Cifra jedinice u diniocu 23* odiqledno je 6 (jer jesamo l.a=4 i 6.4=24, ali cifra I ne dolazi u obzir, jer bi ta_da proj.zrrod t*4.1 bio tr:ocifr:en). U Einiocu **4 ci.fra deseticaje tada 0 ili 5 (jer je 6.4=24 iti 6.54=324), Ako je cifra cle_seti.ca 0, onda je *04.2=l*08 i *04.3=I*12, pa dobiiamo sIe<1eiusituaciju: *04.236 = **24
1*12
I *0g*I****
Oiig.ledno u sabirku l*0g nepoznata cifra mora bj-ti parna (zboqmnoienja sa 2) i sabrana sa I i prenosom mcra se zavriavati na1.. Znadi da je nepoznata cifra 0. Tada je u Einiocu *04 nepoz_nata cifra 5, p.t je konadno traienl proizvod 504.236=I1g944. U6i-ni'ocll a*4 cif ra deset-ica ne moZe biti 5, jer bJ- tada u sabir-ku l*08 nepoznata clfra moral_a biti neparna, dakle 9, Sto je r.re_'mosuce' jer bi tada rl0blfi proi-zvod 954.236 koji ne zadovoljavaus-lorze zadatka, jer je druga cifra u proizvodu (225144) 2 a mora_Ia bi biti r.
2. Da je zadatke re5aval,a po prvob.itnorn planu Zorica bi utoku poslednja 3' dana regila 3. l5=45 zadataka. Medjutim,.onaje poslednla 3 dana re6jla samo p.reostalih 3.4=12 zadataka.Zna_-i da je razliku od 45-12=33 zadatka reBila u prethodnim danima.Xako je svakog dana ,'prebacivala normu,, za 3 zadar_ka to je re_Savan je tr:a jalo 33: 3=11 dana. Dakle r_rkupan broj dana u kojimaie zorica resavata zadatke je lt+3=t4, a or"";;";,;.J,"]uaut._ka je 14. l5=2I0 iIi rr. l8+3.4=198+t2=210.
LZ?
Napornena: Zadatak se moze reglti 1 na drugi naEin _ rnerodorn pr.a-voli'Jaonika, iednadinom, ... Treba prlznat'I svako korekrno rese-nje.
3. Sa slike je oEigledno da ? O, ,
,kada duZ CD uveCarno tri puta. on- I
da smo je uvecali ,.-;;.-;;;.-"duline, a dato uvedanje iznosi2+L0=L2 cm. prena tome duZina du-2i CD je 12:2=6 cm, a dui lB ima duZinu 6+2=9.*, Zaisra je3.6=8+I0=t8 cn.
4. Kada stranice kvadrata uveCamg za 2 odnosno 5 .cm, onclase dobije pravougaonik, koji semc:Ze razloZiti na ctaci Kv€rdraE 1
III
5tr 12
,z
5. Jedno ocl nroguCih re5enja je sledeCe:J+3-3=3; (4+4+1):4=3; (5.5-5-5):5=3; 6:5+6:6+6:6=3r.('l +'7 t'i +1 ) 2,. -7 :'/=3 i (B+8+B) : 8+8. g-g. g=3; (9+9+9+9 ) : 9-9: 9+9_9=3.
RAZRED
I. Kako je najvedi zajedniEki cleli1ac za 2J!0 i 3630 broj2'3'5'i1-330 to su dinrenzije --railene kvaoraErrc pl,Jce 330 cmx330crn. Kako je 2310:330=? i 3630:330=lr, ro je ukup.rn broj ploda
2. Nexa. je polovina prvog broja 3edrraka lrekurn broju :u..,I,a_da je prvi broj dva puta veCl i izrrosi 2r. Slj-6rro treCirra dru_g,g b'oja je r' pa 3e cirugl broj tri puta veci 1 iz'osi 3r. pe-c1r:a treceg DroJ a Je r-:tkouje i t p) .tL t.r"-,<ii L,r ij pet put"r veCli iznOSr 5r, Xa,tio je 2;r r3;ri.!.I;=o0, to -jr_, I0;=6i.), a samo .l=6, pa1e p::v-L h!:o) L), tlruq_i 18, a trecl.i 3r).
tri nrqnja pravougaonika dile sustranice': 2 i r,2 i 5,5 1 {" po-vrsine uoEenih pr.avougaulr:j<d su2x, LO L 5r, a nJihov zbir Jc i5)crn-. Odigleono je 2c+5r=45-ILr=.JS.Dakle 7c=35, a a;-35:7=5 crn, Lra.F_ j_e
scranica kvadrara je 5 crrr, a po-2vrsl,Jra 25 cm -
1:
Svaka duZ prave 4 je osnovica jednog trougla 6tje je tre_teme na pravoj b i obrnuto, pa je ukupan broj trouglova4+6.5=40+30-70.
5. Neka je tadka O cen-tar traZenog kruga. Kako je0/t=2 cm, to je ta6ka O nakrugu k (A,2r. S druce str.anet.razeni krug dodir.uje i datupravu p r pd S€ tadka 6, moranalazltl na pravoj koja jeparalelna sa p i od nje u<la-Ijena 2 crn. KonaEno tadka O jepresek Ova dva uOdena skupa ta-Eaka. Zadatak ima dva reBenja.
VI RAZRED
l. Neka je treCina prvog broja jerlnaka r. Tada je prvibroj 3;r:. Slidno petina drugog broja je c, pa je drugi broj 5c.Kako je sedmina tredeg broja takodje jc, to je treii broj jeci_nak 7c. Zbir traienih brojeva je 3c+5:r+7c=I5r=1455, pa je sa_rno c=1455:15=97, a traZeni brojevi sU 3jc=291, 5c=4g5 i koltadno7 x=67 9
2. Xada je vratio l/rl duqa BoZa jeduga. Kada je vratio 4,/9 ostatka, vratloduga. Kaks )e r/4+r/3=7/12=35/60 i kako
729
Cenih 640 dinara iznosi 16,/60 duga (jer je ved l'radeno 35/60,a treba da se vrati joB 9/60). odavde je o6igledno l/60 duga
640:16=40 dinara, a ceo dug 60.40=2400 dinara.
3. Neka )e p=2. Tada je p2+t3=4+r3=17. Kako je 17 prostbroj to )e p=2 jedno reienje zadatka. Neka je p l 3. Tada je p
neparan broj, pa j" L p2 takodje neparan broj, a p2+13 ie u tom
sludaju paran (kao zblr dva neparna), 5to zna6i da je i sloZen.ovim smo dokazaLl da je p=l jedino reEenje problema.
4. Neka je s prava odre-djena tadkama I i C i neka jerpns=lMltpnb=lD!,q n s = [il) i q n c = [t]. Tro-uglovi ABD L MBD su podudarnL(za5to?), a lz podudarnostiJe AB=I,IB. Slidno i trougloviACE i NCE su podudarni (zaS-
to?) pa )e L AC=CN. zaklju- M
6ujemo da je AB+BC+CA=MB+tse+CN
BEo je jednako duZi M/t/ i 5toje i trebalo dokazati.
5. O6igledno je taEka M teziStetrougla ABD,jerJeN sredigte 1r, a
0 srediSte BD (fer se dijagonalepolove). Kako je A0=I/2.AC=g cm,
Lo )e AI"1=2/3.A0=6 cm.
VTI RAZRED
1. Neka je 5+/2 racionalan broj r. Tada je t2=r-5. Kakoje razlika dva racionalna broja (r I 5) takodje racl-onalanbroj, a € ie iracionalan. pretpostavka nije tadna, pa ie 5+{2iracionalan broj. Slidno, neka )e 5/Z racionalan broj s. Tadaje /2=s:5. Kako je kolidnik dva racionalna broja s i 5 takodjgr:acionalan, a /2 ie ir:acionalan to je opet netaEna pretpostavka,t). 5/Z ie iracionalan broj.
3. Ako je deda Mile r:odjen )9cD godinc:inrati 8l qodinu, ZnaEi da ie TI6Z-T-OZF_-8I,
on Ce \9ba godlneil-j- Ta-d6=8r. 06i-
je b=9. O6igledno jea 1990. godine Ce i-
ciuZi, a na pravoj
jer je joi 20 <tu-pravoj c i pravoj
gledno darz=0, pa jemati tadno
, r'-r . t\d
b 4- 322=6
cifra , rnora blti veCa od g, pa<.ieda Mil-e roci jen 1909. crocline ,81 goCinu.
pravoj Q moZe se uoditi 4.5:2=10
Ukupan broj duZi jednak je t0+6+4.g=35,Zi odredjeno medjusobnirn spajanjem taEaka nab.
dugovao |.,1iri joB 3rz4
7e joE 4/9 3/4=r/3)e 3/20=9/60, to vra-
---a-- -
2. Kako je I0n=100...00.0, gde rrula ima ta6no n, to jer0n-l=999...g99 gde deverki ima-radno n. oEiqledno je da broj999...999 deljiv sa 9, jei je 999...999:9=tIt...rII (jeclinlcaima tadno n). Da bi III...l1l bio deljiv sa 9 mora zbir cifarabiti. deljiv sa 9. Kako je zbir cifara broja ltt...llr (n jedi_nica) jednak n, to n mora bitl ctreljivo sa 9, tj.net9, 18,2'1 , ... l.
3. Neka je trougao ABC d,at!, trougao (AB=c i ugao BAC=22r5o)AA
Konstrui6emo trougao lC, s.imetri_
/t\ dan darom u odnosu na AC. Tada je
/ I \ AD=c, a usao BAD=45,o. N"ku j" as
/ I \ visina koja odsovara srranici ,48.
/ I _\. Trougao ADL )e jednakokrako pra_
/ -_1_- \ vousli, pa je A!.t=c, a AE=DE=cr'Z/2.L-- | \ povr5ina trougta ABD je .2Ay4, uD c B povrBina trougla nac je o2/Z/g.
1t1
. 2. Kako ie ,2 ++=+ to ie c2+2 * }..= t' *it'=? n. j.g&r5.r+i=i $er negativna vrednost ne dolazi u obzir zbog c)I).
SliEno '2-2 ** = ," -*r' --! e. :" " - * =;, (oper nesarivna
vrednost ne dolazi u obzir jer je zbog c> f, r>j)..1513Kako je
"*;=f, a x-;=; to se sabiranjem gornjih jed-
nakosti dobija zr =52 + j = 4, a samo x=2.
3. oEigledno je lo2r'-r=(ton)2-1=1ion-i) (rou+r)., a 34=gt.Dalje, traZeni Lzraz je ceo broj samo kada je uodeni proizvoddeljiv sa 81. Kako je toz-r=ssgg...gg9 i kako je t0u+1==f00...001, to je prvi broj uvek detjiv sa 9, a drugi nikada,pa je dalje razmatranje identibno kao u 2. zadatku za VI:r yaz-red.
4. Krake AD ! BC trapezaproduiimo do preseka, a prese-Enu taEku obeleZimo sa E.,IzTalesove teoreme )e ABzCD=
=AL':DE, tj. 25.15=(8+rc) 3r, pa
le 25rc=120+15r, a ::=12 cm. Ka-ko je zbir uglova na osnoviciprav, to je ugao ,4AB takodjeprav, pa su trouglovi ASB i,l'L'pravoug]-i. Iz pitagorine teoreme je t'l-'=9 cnr i BI=15 cm, paje BC=BE-CE=6 cn. Obim trapeza je 54 cm, a povrgina jednaka ra-zlici povrSina trouglova ABL' i C'DE, pa .le F=I50-54=96 cm2.
5. Kada datu piramidu sa upisanom kockom presedemo saravni koja prolazi kroz visinu piramide i paralelna je je<1noj
od osnovnih ivica pirarnide kao presek de se dobitt karakteri-sti6an trougao. Neka je stranica uobenog kvadrata (ustvari stra-nj-ca kocke) jednaka rc. Tada je zboq Talesove teorel'.€ ispunjena
tl . Kako je povrdina kruZnog prstena p=n(n2_r,2) to^ je i po_traZenog kruga jednaka r (,a2-12). Ako je,poluprednik.tra_kruga r, onrJa je nr2=n (n2-r2) cdnosno "z="rz-n|-,; ,"';"kateta pravouglog trougl.a u kore je hig:terruza .rr, a jednix keitei:a r-
vrSinaZenog
cl r uga
5. Di j.agonala osnoVe j ednal:aje 5 cm = v'7i2. Kako je trouqao
je l,J=10, a t;p=.=5r'-3 cn. i,ovrij.nakvadra )e t'=124*rOll) cm2, a zap-r:c'.in.I r=uOrJ 6;;1.
VIII }IAZRTD
'I. Neka je traZeni trocifrenrbroi
I 00:+I 02, +c= 12 ( a +l: +c ) = ). 2 a- t2b + I2e . Taclaleva strana jedrrakosti dcljive sa ll,je broj b=0 (jer je r cifra manja i tiII (8a-e)=0, pa je ..=g r, odnosno ..=g ir08=12 (I+O+8).
II
I-. Iuolt'/
iFV. r'aaa je o6iglednoje 8Bc-iIc=2b. Kako je
to lrror.r br r::- I clesna , pajeCnixa 9) - Tddd Jc;z=)., pa ;e crai.i:n-:_ itroj
\.ru
Jednakostaano 72-L2xje odigledaoYL' 4V - 64
=6rrpa Je 18x - ?Ara s=lg 66.Zapreniaa piranid,ev = V7.L22. G - 288 .rr r^ zapreniaa tocte Je
"r]. D.i.l" v:v, = 2gg:6rr - )t2
MN:QS = H[:!R ilt l2:r = 6:(6-r) , odakle d.obi_
Ltt
PJSENJA ZADATAKA sA REPUBUCKoG TAKMICE}.UA
VI RAZRED
L. Za n.1, (1ot+35): rt5 = 45:45 = I. Ako je n>.2, onda
Je bnoj lon+35' 1oo...oo35 i o6igledno je deljiv sa 5 (jer mu je pos-
lednja cifra 5) i sa 9 (jer je zbin njegovih cifana 1+3+5:9). To zna-
6i da je i broj lon+ 35 deljiv,sa 45, pa j.e kolldnik (1on+35):45 uvek
pninodan br:oj.
':2. Ma6ka i po za dva i po dana poJede t:ri i po miEa. To
zna6i da 3 nadke za 5 dana poJedu 4.3,5 = 14 niSeva, a jedna rnadka za
jedan dan pojede 14/15 mi!a. Jedna ma6ka za 45 dana pojede 45.14/15:
3.1t+:42 mi5a, a loo na6aka za 45 dana 6e pojesti 1oo.42=42oo miSeva.
3. Neka je o centan kruga
upisanog u trougao lBC. Tada su B0
i co sinetrale uglova. Dakle uglovi
@o i DBo su jednaki. Xako je i
.4CBo = 4D0B (kao uglovi sa pa-
ral-elnin knacima), to je trougao
BOD jednokokrak, pa )e D0= BD.lla
s1ican naein je i oE = CE. obirn trougla ADE
+tA - AD+D)+OE+EA = AD+DB+CE+EA = Ail+AC = c +
jednak je AD+DE+
b.
9(3+3+3) i noZa
raznih vrednosti2 dijagonale), toov pr incip), gto
zbinovi.
t+. Trouglovi ABc i BLM su podudanni(AB=BL i BM=BC; 1 ABC = 9OO =
4tua = 4LBl,+ gABM = 6o0+3o0)fz podudarnosti je o6igledno hiptenuzaAC = Lt.!.
5. Kvadnat ina tr^i vrste, tni kol-one idve dijagonale. Zbin po svakoj od njihrnoZe biti najrnanje 3(I+l+l), a najviEe
uzirnati 7 naznih vnednosti (3,4,5,6r7,8,9). Kako 7
treba nasponediti na g nesta (3 kolone+3 vnste +
6e se bar na dva mesta zbir,ovi podudaniti (Dirihle_znadi da na svirn rnestima ne mogu biti razliditi
3. Trougao ACE je p!,avo-
ugli, pa se oko njega moZe opisati
knug 6iji je centar u snedi5tu
hipotenuze td. Slidno je i sa
tr"ouglon .dCl,4. Dakle oko 6etvo- ,
rougla AECI.! no|.e se opisati krug.
Tada je 4cEH= 4cAM(.kao peri.-
fenijski nad tetivon CM ). Kako je
4cAt4 = 6oo-4so = l.Eo, to je i
ICE\I = J.So.
4. lleka je D podnoZje
visine iz ternena C i neka je
CD=c, AD=V, BD =1tl-V . Prirnenorn
Pitagorine tcoreme na trouglove
ACD i BCD dobija se:c2.=rs2- y2=r32-(r,+-y )2. ouli"je 225- y2= f69-I96 +28y- y2 , paje zey = 252, a= 9 cn. Sada je a2=225-81=144:Povr5jna trougla je P = 14.12:2 = 94 cn2.
S druge stnane P = (15r +13 r.):2:8r{, gde je
tra;1enog kruga. Dobija se 2Br = 168r pa je r,= 6
traZenog kruga je p1 = 36 %. o^2.
L35
a sama visina c= 12 cm
r" poluprednik
cm, a povr5ina
VII RAZRED
' 1. Neka je tnaZeni detvonocifreni b.oj jednak TEdD.Taaaje 9'TE.D = D.Fi. odigredno da cifre l i D monaju biti.azr.i6ite od o.Kako je 9(1ooo,4+1ooB+IoC+D)= loooD+lood+IoB+A, to je i goool+ goo8++9oC+9D : loooD+fooC+I'B+A 4 9999. Zbog A >z \19ooo € 9ooo,4 _z 9999,odakle je oligledno l:1. Slidno 9ooo.<IoooD4g99-o, pa je r:9. Zamenomu jednadinu riobija se gooo+-ooor+got+g1: gooo+100c+ro8+r, ornosno ggog: roc-8o ili 89s: c-8. Kako je c-s st, to 898 moZe biti s.:mo o, t),B= 0, a tada je C:g. TnaZeni broi je lo83 (9.io89 " ggol).
2. I,lcka je p=Z. Tac.i ju p3*3p = 23+32 = s+9 : 17, pa jejedno reienje nadeg problenra p:2. nko )e p r_3, onda jep nepanan broj,a tada su i p3 i gP takodje neprrrii brojevi. ujihov zbir je paran,pa ne noi:e biti prost broj, Dakle jedino rc5enje je p=2.
Pa le
5. Onotad
36o:2r+ =
piranride i.l = 4 ah:2:2. IZh = Z\h:36o cm
15 cm. Kako je h= H {2, to je I/: Is/ V1 .
S1i-no je i visina romba h 1 jedna.ka.. ,/:I5 v2. Zapremina piranidc jednaka je
pa je lr = 9oo cr3.
VIII RAZRED
I. Ako je devojdica bilo c, a dedaka y onda je odigledno2oE + 3oV ='L7o, odnosno 2x'+ 3y: 17. Kako su a i y pnir:odni bnoje_
.vi to.je. c 8, a U 5. Kako je 2c panno to je 3y neparan bnoj, paje i y nepanan, tj. ae{t,z,s} . Tada ie xe{t, a,1} . Kako je gnupa
imala neparan broj lica to je odigredno biro 4 devoj6ice i 3 dedaka(sludajevi 1+7 i 5+I otpadaju).
2. Kako ie ,2-2, +l = (g -1)2 to je data jednadina
ekvivalentna jednadiniI.c + 1l + [c - fl .2c. Ako je ez.-ljednadina ima obLik -ic-l-5+1 = -2u= Zr, pa je o:0, Sto odiglednonije r.e5enje, jen se ne nalazi u zadaton intenvalu.
Ukoliko je -1 <c <1 jednadina dobija oblik a+1_c+l =l = ls,pa je a= I jedno re5enje.
Ako je oz1 jedna6ina dobija oblik c+l+s_L = 2o: 2c, pajednadina postaje identitet, tj. neEenje su svi bnojevi intervara
Prema tome. neEenja jedna6ine su svi nealni brojevi o >,1.
3. l,leka je tnazena hipotenuza r, a nepoznata kateta y.Tada je t2-y2 .36 ili (d-y) (x+y) = 35. Kako su c i y prinodnibrojevi to su mogu6i slede6i sluEajevi: a-g_-l, a+y=g6. a_V=Z ,c+y:18i a-y=3, :c+u= 12, u-y = \,,+V = g, e-V= 6r t+y = 6.Kako zbir i razLika dva prirodna broja inaju istu parnost to p!.va,tre6a i detvrta kornbinacija ne dolaze u obzir,. Nenogu6a je i posrednjikombinacija jen zbin dvaprinodna broja mora biti ve6i oC njihoverazlike. ReSavanjen druge kombinacijedobija se c= 1o, A= B. Iz sli|nostitnouglova lBC, ACD i BCD
dobija sei AB:BC=BC:BD i AB:AC=AC:AD
rt?
1o:8 = 8: BD i lo:6 = 6:ID.
Radunanjem se dpblja BD = 32/5 i 4D: 18/5, pa Je AD:BD = 9:16
Odavde jer* 2 V3, pa Je
6:2:6V3.3.18\6.
" 4. Kako je ABll CD, to Je zbog Teleeove
teoreme AB:CD 2 B0:D0 = t+22 = 2:L.c
Ugao DCA = 48CA t 4DCA = ,IBAC(ke
uglovl s paralelnin knacima). O6itd
je IBCA =,,,BAC2 pa je tnougao I8(
Jednokokraki, tj.AB=BC= 2t . Tada
je CD= u. Kako Je trougao BCD
pr.avougli i BC:.2x i CDsr, to je
4BCD=600,aBD=6=a G.povnsinatr"apeza P=ru W+Z V5l
5. Neka je ll snediSte ivice
i1..".";1,"::::il.I; ; :i;l; rz P'- o'l
dobijamo CM=XAI , a iz podudanno- Isti trouglova AALM i .CTN,MAU=CK. t
Dakle itdf{l je panalelognam i to A
nornb, jen je MC=CN=NAl=Ara=a. t[i/2.Povn$ina romba jedrtaka je poluproizvodu dijagonala, pa jgp,Af . MK : 2 = aVi. atfD : z = a2 {F / Z o^2.