uvod u matemati^ku logikuenastava.matf.bg.ac.rs/~ikodinovic/uml_2020_21.pdfuvod u matemati^ku logiku...

$: UVOD U MATEMATI^KU LOGIKUenastava.matf.bg.ac.rs/~ikodinovic/UML_2020_21.pdfUVOD U MATEMATI^KU LOGIKU Neboj{a Ikodinovi} Bele{ke, 2020/21 I SPITNA PITAWA 2020/21 1.Logi~ki veznici (str$
UVOD U MATEMATI^KU LOGIKU

Neboj{a Ikodinovi}

� Bele{ke, 2020/21 �

ISPITNA PITAWA 2020/21

1. Logi~ki veznici (str. 2); Iskazne formule (3); Istinitosna

vrednost iskazne formule (5)

2. Tautologije i zadovoqive formule (str. 7); Ekvivalentne for-

mule (9)

3. Princip matemati~ke indukcije (str. 12); Induktivno zadati

nizovi (16)

4. Formalne gramatike (str. 19); Formalne teorije (23)

5. Iskazni ra~un Ł (str. 25)

6. Prirodna dedukcija u iskaznoj logici (str. 32)

7. Predikatske formule (str. 38); Pravila prirodne dedukcije

za kvantifikatore (41)

8. Aksiome ekstenzionalnosti, praznog skupa, para, izdvajawa,

partitivnog skupa i unije (str. 50)

9. Bulove operacije. Dekartov proizvod (str. 57)

10. Relacije. Funkcije (str. 63)

11. Aksiome zamene, regularnosti, beskona~nosti (str. 78)

12. Ure|ewe i aritmeti~ke operacije skupa N (str. 80)

13. Kona~ni skupovi. Osnovni kombinatorni principi (str. 88)

14. Beskona~ni skupovi. Kantor-Bern{tajnova teorema (str. 92)

15. Prebrojivi i neprebrojivi skupovi (str. 95)

16. Strukture i wihov vokabular (str. 99)

17. Razli~ite interpretacije vokabulara. Teorije. Grupe; Bulove

algebre; Ure|ewa (str. 104)

18. Semanti~ka i sintaksna posledica (str. 108); Jednakosna

logika (112); Teorema potpunosti (113)

19. Aksioma izbora (str. 116)

2 UML

1. Iskazna algebra

H Logi~ki veznici

PRIMER 1. O~igledno je da re~enice:

1. Zemqa se okre}e oko Sunca ili se Zemqa ne okre}e oko Sunca.

2. Broj 1, 41 jeste re{ewe jedna~ine x2 = 2 ili 1, 41 nije re{ewe

jedna~ine x2 = 2.

imaju istu strukturu �· · · ili ne · · · �, i da ih upravo zbog toga smatramota~nim bez obzira na to da li je iskaz koji se nalazi na mestu ta~kica

ta~an ili neta~an. Odavde se jasno vidi zna~aj veznika ili i ne u

strukturi navedenih re~enica. Naravno, jo{ mnogo analognih primera

moèmo sastaviti. Analizirajmo daqe i slede}a dva zakqu~ivawa.

Ako nekome kaèmo Ako si ti u pravu, onda sam ja lud.

i dodamo Ja nisam lud.

sagovornik }e znati da smo rekli Ti nisi u pravu.

Znamo da vaì Ako je ~etvorougao ABCD kvadrat, onda je ABCD pravougaonik.

i ako uo~imo da êtvorougao ABCD nije pravougaonik.

zakqu~ujemo da êtvorougao ABCD nije kvadrat.

Ova dva zakqu~ivawa, iako se odnose na potpuno razli~ite situacije,

su{tinski se ne razlikuju.

PRETPOSTAVKE: Ako · · · , onda ∗ ∗ ∗.Ne ∗ ∗ ∗.

ZAKQUÂK: Ne · · · .Iovogaputa, ispravnostnavedenih zakqu~ivawaopravdavamoveznicima

�Ako · · · , onda ∗ ∗ ∗� i �Ne ∗ ∗ ∗� ne obaziru}i se mnogo na smisao

re~enica koje stoje umesto · · · i ∗ ∗ ∗.

U iskaznoj logici centralno mesto zauzimaju tzv. logi~ki

veznici: i, ili, ne, ako . . . , onda . . . , ako i samo ako. Pomo}u

wih gradimo sloène iskaze polaze}i od nekih jednostavnih ~iji

smisao nas ne zanima, ve} je jedino va`no da li su oni ta~ni ili

neta~ni. Istinitost sloènijih iskaza odre|ujemo na osnovu tzv.

istinitosnih tablica pridruènih veznicima. Ovo na~elo, koje

je u osnovi definicije iskaznih veznika, poznato je kao princip

istinitosne funkcionalnosti: postoji funkcija koja istinos-

nim vrednostima prostijih iskaza, kao argumentima, pripisuje,

dodequje, ta~no jednu istinosnu vrednost sloènog iskaza, kao

vrednost:

¬0 11 0

∧ 0 10 0 01 0 1

∨ 0 10 0 11 1 1

⇒ 0 10 1 11 0 1

⇔ 0 10 1 01 0 1

UML 3

U tablicama su navedene standardne oznake za veznike:

negacija: ¬ � ne (unarni veznik),

konjunkcija1: ∧ � i (binarni veznik), 1 Savremeni pravopis traì, u neskladu

sa vukovskim na~elima, da se konjunkcija

ne pi{e sa w nego sa nj, kao i konjunktiv,

konjunktivitis i injekcija.disjunkcija: ∨ � ili (binarni veznik),

implikacija: ⇒ � ako . . . , onda . . . (binarni veznik),

ekvivalencija: ⇔ � ako i samo ako (akko) (binarni veznik).

Ako neke jednostavne iskaze ozna~imo slovima p, q, r, ondaje (p ∧ q) ⇒ r primer sloènog iskaza (koji ~itamo ako p i q,onda r). Drugi primer sloènog iskaza je p ∨ ¬p sa kojim smo

se sreli u prethodnom primeru. Neformalno, slova p, q i r se

mogu zami{qati kao neki jednostavni iskazi, ~iji nam smisao tih

iskaza nije vaàn ve} samo to da li su ta~ni ili neta~ni. Sloène

iskaze shvatamo kao algebarske izraze prilago|ene tzv. iskaznoj

algebri ({0, 1},∨,∧,¬,⇒,⇔, 0, 1). Ove algebarske izraze nazi-

vamo iskaznim formulama i defini{emo ih kao i bilo koju drugu

vrstu izraza tzv. induktivnim definicijama2. 2 Induktivnim definicijama se odre|u-

ju matemati~ki objekti sagra|eni poste-

peno po~ev{i od najjednostavnijih, os-

novnih, baznih objekata, a sloèniji ob-

jekti se grade nekim utvr|enim pravili-

ma primenqivimna ve} sagra|ene, jednos-

tavnije objekte.

H Iskazne formule (odn. logi~ki izrazi)

Najpre preciziramo koje simbole koristimo pri gra|ewu iskaz-

nih formula. Iskazne formule gradimo od:

� iskaznih slova (iliiskaznihpromenqivih) a, b, c, . . . , p, q, r, . . . ,p1, q1, . . ., pri ~emu pretpostavqamo da ih ima neograni~eno

mnogo,

� logi~kih konstanti > i ⊥,

� logi~kih veznika ¬, ∧, ∨,⇒,⇔,

upotrebom zagrada na uobi~ajeni na~in.

Logi~ku konstantu> zami{qamo kao oznaku nekog iskaza koji

je ta~an, a ⊥ kao oznaku iskaza koji je neta~an.

Induktivna definicija iskaznih formula:

� Iskazna slova i logi~ke konstante su iskazne formule. Nazi-

vamo ih i atomskim iskaznim formulama.

� ako je α iskazna formula, onda je i ¬α iskazna formula;

� ako su α i β iskazne formule, onda su i (α∧ β), (α∨ β), (α⇒ β),

(α⇔ β) iskazne formule.

Navedenom (induktivnom) definicijom najpre su uvedene naj-

jednostavnije iskazne formule: svako iskazno slovo i svaka lo-

gi~ka konstanta predstavqa jednu iskaznu formulu. Zatim je

4 UML

precizirano kako se formiraju sloènije iskazne formule: po-

laze}i od najjednostavnijih iskaznih formula, pomo}u navedenih

pravila gradimo nove formule, koje daqe koristimo za izgradwu

jo{ sloènijih formula. Podrazumeva se da se iskazne formule

mogu graditi samo na ovaj na~in.

Pretpostavqamoda supoznate uobi~ajene konvencije o brisawu

zagrada, pa ih ovde ne}emo sve navoditi. Isti~emo samo dogovor

o prioritetu logi~kih veznika: ¬ je veznik najve}eg prioriteta,

za wim slede ∨ i ∧ koji su podjednakog prioriteta, a za wima⇒i⇔, tako|e jednakog prioriteta.

Postepena izgradwa svake iskazne formule slikovito se pri-

kazuje tzv. drvetom formule.

PRIMER 2. Nacrtajmo drvo formule (p ∨ q) ∧ (¬(¬p⇒ ⊥) ∨ r):

(p ∨ q) ∧ (¬(¬p⇒ ⊥) ∨ r)

p ∨ q

p q

¬(¬p⇒ ⊥) ∨ r

¬(¬p⇒ ⊥)

¬p⇒ ⊥

¬p

p

⊥

r

Drvo jasno pokazuje induktivne korake izgradwe formule. Naravno,

da bismo pojednostavili zapis, izostavqamo zagrade kada god to ne

dovodi do zabune.

Potformule neke formule su weni delovi koji su i sami for-

mule, pri ~emu se smatra da je i svaka formula potformula

same sebe. Potformule neke iskazne formule su iskazne formule

sagra|ene prilikom induktivnog gra|ewa neke iskazne formule.

Potformule neke iskazne formule su prirodno ure|ene u jednu

strukturu koja je kao drvo � ra~va se samo na jednu stranu. Mesta

jednog drveta gde stoje potformule zovu se ~vorovima. Svaki

~vor ima nula ili jednog neposrednog prethodnika, a neposred-

nih naslednika moè da ima nula, jedan, ili vi{e. Kada ~vor

nema prethodnika zove se koren, a kada nema naslednika zove se

list. Koren }e biti samo jedan, i od wega do svakog drugog ~vora

u drvetu mo}i }e da se stigne prelaze}i sa ~vora na ~vor koji mu

je neposredan naslednik; tj. svi drugi ~vorovi, ako ih ima, bi}e

naslednici korena. U korenu drveta neke formule nalazi se

sama formula, dok su listovi zapravo

atomske formule.Svakoj formuli ϕ pridruùjemo jedinstveno drvo D(ϕ). Ovo

pridruìvawe precizno uvodimo induktivnom definicijom:

� ako je α atomska formula (tj. iskazno slovo ili logi~ka kon-

UML 5

stanta), onda D(α) sadrì samo jedan ~vor u kome se nalazi

α;

� ako je D(α) drvo formule α, onda je D(¬α) drvo oblika:

¬α

D(α)

� ako je D(α) drvo formule α i D(β) drvo formule β, onda je

D(α ∗ β), ∗ ∈ {∧,∨,⇒,⇔}, drvo oblika:α ∗ β

D(α) D(β)

Svaki ~vor drveta formule, koji nije list, odre|uje jedan lo-

gi~ki veznik. Glavni veznik formule jeste logi~ki veznik koji je

posledwi uveden prilikom wenog gra|ewa. Npr. izraz (a + b) · (a − b) nazivamo

proizvodom, jer je · 'glavna' operacija.Sli~no tome, formulu p ∨ q ⇒ p ∧q nazivamo 'implikacijom', jer je ⇒glavni veznik. Primetimo da je for-

mula p ∨ (q ⇒ p ∧ q) 'disjunkcija', a daje (p ∨ q⇒ p) ∧ q 'konjunkcija'.

H Istinitosna vrednost iskazne formule. Bulov prostor

Drvo formule moèmo posmatramo i kao tzv. logi~ko kolo, pri

~emu u ~vorovima koji nisu listovi isti~emo samo odgovaraju}i

logi~ki veznik. Logi~ka kola igraju osnovnu ulogu u konstruk-

ciji digitalnih ra~unara. Listove drveta formule posmatramo

kao ulaze logi~kog kola, dok ostali ~vorovi drveta predstavqaju

prolaze5 u kojima se realizuju logi~ke operacije ∧,∨,¬. Koren

5

drveta predstavqa izlaz logi~kog kola. Ulazi i izlazi se mogu

nalaziti u dva stawa, ozna~ena sa 0 i 1. Za date vrednosti ulaza

logi~ko kolo daje izlaz koji je u skladu sa logi~kom funkcijom

koju predstavqa.

PRIMER 3. Na slikama ispod, drvo formule ¬(p ∧ q) ∧ (¬r ∧ s) pre-ra|eno je u odgovaraju}e logi~ko kolo.

Iskazna slova p, q, r, s odre|uju ulaze, dok izlaz odre|uje polazna

formula koju moèmo ozna~iti α(p, q, r, s) da bismo istakli da wena

istinitosna vrednost zavisi od istinitosnih vrednosti slova p, q, r,s. Npr. ako je p = 1, q = 0, r = 0, s = 1, onda je

α(1, 0, 0, 1) = ¬(1∧ 0) ∧ (¬0∧ 1) = · · · = 1.

Svaka iskazna formula odre|uje (logi~ku) funkciju koja istinitosnim

vrednostima iskaznih slova (ulaza, argumenata) dodequje ta~no jednu

istinitosnu vrednost posmatrane formule.

6 UML

Ako su iskaznim slovima dodelimo konkretne istinitosne

vrednosti iz {0, 1}, onda se moè izra~unati i istinitosna vred-nost bilo koje iskazne formule. Dodeqivawe istinitosnih vred- Uop{te, ako je algebarski izraz sastavl-

jen od promenqivih i konstanti i op-

eracija koje se pojavquju u nekoj konkret-

noj algebarskoj strukturi, onda se vred-

nost tog izraza moè izra~unati kada

se promenqivama dodele konkretne vred-

nosti iz domena te strukture. Sve ovo

vaì i za iskazne formule, tj. algebarske

izraze koji odgovaraju iskaznoj algebri.

nosti (0 ili 1) iskaznim slovima naziva se valuacija iskaznih

slova. Podrazumeva se da je istinitostna vrednost formule ⊥jednaka 0, a istinitostna vrednost formule > jednaka 1.

PRIMER 4. Istinitosnu vrednost formule (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p), za

p = 1, q = 0, ra~unamo koriste}i slede}i saèti zapis:

(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)

1 0 0 10 1

0

ili jednostavnije

(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)

1 0 0 0 0 1 1

Ispod iskaznih slova zapisujemo istinitosne vrednosti odre|ene va-

luacijom, a ispod logi~kih veznika vrednosti odre|ene odgovaraju}om

tablicom.

Za n iskaznih slova, postoji ukupno 2n razli~itih valuacija.

Odre|ivawe istinitosnih vrednosti neke formule za sve mogu}e

valuacije wenih iskaznih slova prikazujemo u obliku tablice

poznate pod nazivom istinitosna tablica.

PRIMER 5. Istinitosnu tablicu iskazne formule moèmo formi-

rati i u slede}em jednostavnijem obliku.

p q0 00 11 01 1

p q r0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1

p q r s0 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 11 0 0 01 0 0 11 0 1 01 0 1 11 1 0 01 1 0 11 1 1 01 1 1 1

(p ⇒ q) ∧ (¬ q ∨ ¬ p)

0 1 0 1 1 0 1 1 00 1 1 1 0 1 1 1 01 0 0 0 1 0 1 0 11 1 1 0 0 1 0 0 1

Iz prakti~nih razloga, sve valuacije za n sikaznih slova uglavnom

nabrajamo na slede}i sistemati~an na~in: Ispod svod svakog pojavqi-

vawa prvog slova navodimo 2n−1 puta vrednost 0, pa 2n−1 puta vrednost

1; zatim ispod svakog pojavqivawa drugog slova prvo navodimo 2n−2

puta 0, pa zatim 2n−2 puta 1, pa 2n−2 puta ponovo 0, i najzad u jo{ 2n−2

puta 1, i tako daqe, do n-tog slova ispod koga naizmeni~no upisujemo 0i 1.

Skup svih valuacijaniskaznih slovanaziva se in-dimenzionalniBulov prostor i predstavqa se n-dimenzionalnom kockom.

UML 7

H Tautologije i zadovoqive formule

Definicija 1. Iskazna formula α je:

� zadovoqiva akopostoji valuacija iskaznih slova za koju je vred-

nost formule α jednaka 1;

� tautologija ako je za svaku valuaciju iskaznih slova vrednost

formule α jednaka 1. Da je α tautologija ozna~avamo sa |= α.

PRIMER 6. Formula p ∧ ¬(q⇒ r) je zadovoqiva.

p ∧ ¬ (q ⇒ r)0 0 0 0 1 00 0 0 0 1 10 0 1 1 0 00 0 0 1 1 11 0 0 0 1 01 0 0 0 1 11 1 1 1 0 01 0 0 1 1 1

Iz tablice vidimo da je data formula ta~na za valuaciju p = 1, q = 1,r = 0.

Formule p ∧ (p ⇒ q) ⇒ q i (p ⇒ q) ∧ ¬q ⇒ ¬p su tautologije (a

samim tim i zadovoqive):

p ∧ (p ⇒ q) ⇒ q0 0 0 1 0 1 00 0 0 1 1 1 11 0 1 0 0 1 01 1 1 1 1 1 1

(p ⇒ q) ∧ ¬ q ⇒ ¬ p0 1 0 1 1 0 1 1 00 1 1 0 0 1 1 1 01 0 0 0 1 0 1 0 11 1 1 0 0 1 1 0 1

O zna~aju tautologija, pre svega pri opisivawu zakona mi{qewa, bi}e

re~i kasnije. Za sada, isti~emo samo da se tautologija modus ponens

p ∧ (p⇒ q)⇒ q prepoznaje u slede}em svakodnevnom zakqu~ivawu:

p p⇒ qq

(MP)

1. Aca ìvi u Beogradu.

2. Ako Aca ìvi u Beogradu, onda Aca ìvi u Srbiji.

Dakle, Aca ìvi u Srbiji.

8 UML

Tako|e, i tautologiju modus tolens (p ⇒ q) ∧ ¬q ⇒ ¬p svakodnevno

koristimo prilikom zakqu~ivawa:

p⇒ q ¬q¬p

(MT)

1. Ako Aca ìvi u Beogradu, onda Aca ìvi u Srbiji.

2. Aca ne ìvi u Srbiji.

Dakle, Aca ne ìvi u Beogradu.

Slobodno govore}i, tautologije su (matemati~ki ) izrazi kojima se

opisuju osnovni {abloni mi{qewa.

U nastavku navodimo spisak nekih va`nih tautologija (~ita-

ocima prepu{tamo proveru da su ove formule zaista tautologije).

Navedene formule se lak{e pamte, ako se uo~i da logi~ke op-

eracije moèmo opisati i na slede}i na~in ukoliko 0 i 1 shva-

timo kao brojeve. Naime, za x, y ∈ {0, 1}, vaì x∨ y = max{x, y},x ∧ y = min{x, y}, (pri ~emu se oslawamo na uobi~ajeni poredak0 < 1), kao i da je ¬x = 1− x (�−� je znak za oduzimawe). Tako|e,

vaqa primetiti da implikacija x ⇒ y ima vrednost 1 ako i samoako je x 6 y.

SPISAK VA@NIH TAUTOLOGIJA:

Svojstva implikacije:

|= p⇒ p|= ⊥ ⇒ p |= p⇒ >|= (p⇒ q)⇒ ((q⇒ r)⇒ (p⇒ r)) tranzitivnost implikacije

|= (p⇒ q) ∨ (q⇒ p) linearnost implikacije

Svojstva konjunkcije:

|= p ∧ q⇒ p |= p ∧ q⇒ q|= (r ⇒ p)⇒ ((r ⇒ q)⇒ (r ⇒ p ∧ q)) formula p ∧ q je najve}e dowe ograni~ewe za p i q

Svojstva disjunkcije:

|= p⇒ p ∨ q |= q⇒ p ∨ q|= (p⇒ r)⇒ ((q⇒ r)⇒ (p ∨ q⇒ r)) formula p ∨ q je najmawe gorwe ograni~ewe za p i q

Svojstva konjunkcije i disjunkcije:

|= p ∧ p⇔ p |= p ∨ p⇔ p zakoni idempotentnosti

|= p ∧ (p ∨ q)⇔ p |= p ∨ (p ∧ q)⇔ p zakoni apsorpcije

|= p ∧ q⇔ q ∧ p |= p ∨ q⇔ q ∨ p zakoni komutativnosti

|= p ∧ (q ∧ r)⇔ (p ∧ q) ∧ r |= p ∨ (q ∨ r)⇔ (p ∨ q) ∨ r zakoni asocijativnosti

|= p ∧ (q ∨ r)⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) zakoni distributivnosti ∧ prema ∨|= p ∨ (q ∧ r)⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) zakoni distributivnosti ∨ prema ∧

Svojstva negacije:

|= p ∧ ¬p⇒ q ex f also quodibet � iz la`ne pretpostavke sledi sve ({to èli{)|= (p⇒ q)⇒ ((p⇒ ¬q)⇒ ¬p) reduction ad absurdum � svo|ewe na protivre~nost

|= ¬(p ∧ q)⇔ (¬p ∨ ¬q) De Morganov zakon

|= ¬(p ∨ q)⇔ (¬p ∧ ¬q) De Morganov zakon

|= (p⇒ q)⇔ (¬q⇒ ¬p) zakon kontrapozicije

|= p⇔ ¬¬p zakon dvojne negacije

|= p ∨ ¬p zakon iskqu~ewa tre}eg

Iskazna slova se zovu jo{ i iskazne promenqive. Promenqiva

UML 9

uop{te u matematici je simbol vezan za supstituciju, tj. zamenu,

bez izuzetka, svih javqawa tog simbola istim jezi~kim izrazom.

Rezultat supstitucije se zove supstituciona instanca, ili prosto

instanca. Umesto promenqivih u nekoj iskaznoj formuli mogu da

se supstitui{u proizvoqne iskazne formule, i dobijene instance

su onda opet iskazne formule. Koristimo slede}e oznake:

� [p/ϕ] ozna~ava istovremenu zamenu slova p formulom ϕ;

� α[p/ϕ] ozna~ava rezultat zamene slova p formulom ϕ u nekoj

formuli α.

PRIMER 7. Ako je α formula ¬(p⇒ q)⇒ p ∧ ¬q, onda je:

� α[p/p ∨ r] formula ¬(p ∨ r ⇒ q)⇒ (p ∨ r) ∧ ¬q;

� α[q/r ⇒ ¬s∧ t] formula ¬(p⇒ (r ⇒ ¬s∧ t))⇒ p∧¬(r ⇒ ¬s∧ t);

� α[s/p⇒ ¬r] formula α, tj. ¬(p⇒ q)⇒ p ∧ ¬q, jer se s ne pojavqujeu α.

Primetimo da je formula α, tj. ¬(p ⇒ q) ⇒ p ∧ ¬q tautologija.

¬ (p ⇒ q) ⇒ p ∧ ¬ q0 0 1 0 1 0 0 1 00 0 1 1 1 0 0 0 11 1 0 0 1 1 1 1 00 1 1 1 1 1 0 0 1

Da li su formule α[p/p ∨ r], α[q/r ⇒ ¬s ∧ t] i α[s/p ⇒ ¬r] tako|etautologije?

Posebno isti~emo jednu o~iglednu ~iwenicu: svaka instanca

tautologije je tako|e tautologija.

Teorema 1. Ako je α tautologija, onda je i α[p/ϕ] tako|e tau-

tologija, za bilo koju formulu ϕ.

PRIMER 8. Znamo da su formule

p ∧ (p⇒ q)⇒ q i (p⇒ q) ∧ ¬q⇒ ¬p

tautologije. Primenom prethodne teoreme zakqu~ujemo da su i wihove

instance

ϕ ∧ (ϕ⇒ ψ)⇒ ψ i (ϕ⇒ ψ) ∧ ¬ψ⇒ ¬ϕ,

tako|e tautologije, za bilo koje formule ϕ i ψ.

H Ekvivalentne formule

Mnoge od tautologija navedenih u prethodnom spisku jesu ek-

vivalencije neke dve formule.

Definicija 2. Formule α i β su ekvivalentne, u oznaci α ≡ β,

ako α i β imaju iste istinitosne vrednosti za svaku valuaciju, tj.

ako je je |= α⇔ β.

10 UML

Primetimo da je α ≡ β samo drugi zapis ~iwenice |= α⇔ β.

Dve ekvivalentne formule uvek imaju iste istinitosne vred-

nosti, pa je jasno da svako pojavqivawe jedne u tih formula,

u nekoj formuli, moèmo zameniti drugom, woj ekvivalentnom

formulom. Ovo zapaàwe je poznato kao teorema o zameni ekvi-

valenata9. Da bismo je preciznije formulisali uvodimo slede}e 9 Zamena ekvivalenata je u osnovi tzv. eki-

valentnih transformacija bilo kakvih

algebarskih izraza. Na primer, znamo

da je x2 − y2 = (x − y)(x + y), tj.

da su izrazi x2 − y2 i (x − y)(x + y)ekvivalentni (imaju iste vrednosti za

sve vrednosti promenqivih x i y), paako pojavqivawe izraza x2 − y2 u nekom

sloènom izrazu zamenimo izrazom (x−y)(x + y), dobijamo izraz ekvivalenatanpolaznom sloènom izrazu, i obratno

oznake:

� [θ/ϕ] ozna~ava zamenu svih pojavqivawa formule θ formulom

ϕ;

� α[θ/ϕ] ozna~ava formulu dobijenu zamenom svih pojavqivawa

potformule θ u formuli α formulom ϕ.

Teorema 2. [Teorema o zameni ekvivalenata] Ako je θ ≡ ϕ, onda je

α ≡ α[θ/ϕ], za bilo koju formulu α.

Tvr|ewe o zameni ekvivalenata je zasnovano na istinosnoj

funkcionalnosti. Po istinosnoj funkcionalnosti, svejedno je

za izra~unavawe istinosne vrednosti sa kojom smo od dveju ekvi-

valentnih iskaznih formula imali posla. Va`na je samo isti-

nosna vrednost, a ona se kod ekvivalentnih iskaznih formula ne

razlikuje.10 Tvr|ewe o zameni ekvivalenata nam kaè da se ek- 10 Tvr|ewe o zameni ekvivalenata se pre-

cizno dokazuje matemati~kom indukci-

jom, koja prati induktivnu definiciju

iskaznih formula (o ~emu }e kasnije biti

re~i). Ovde se radi o indukciji po

sloènosti formule α. Matemati~kom

indukcijom se ina~e dokazuju sli~na

tvr|ewa koja ne{to tvrde o svim formu-

lama.

vivalentne formule, mada nisu jednake, pona{aju isto ako nas

zanima samo istinosna vrednost. Po{to uvek imaju istu isti-

nosnu vrednost, one na isti na~in uti~u na istinosnu vrednost

konteksta.

Primenu tvr|ewa o zameni ekvivalenata prate i slede}a o~i-

gledna svojstva.

Teorema 3. Neka su α, β, γ proizvoqne iskazne formule.

(R) α ≡ α, tj. |= α⇔ α;

(S) ako je α ≡ β, onda je i β ≡ α (iz |= α⇔ β sledi |= β⇔ α);

(T) ako je α ≡ β i β ≡ γ, onda je i α ≡ γ (iz |= α⇔ β i |= β⇔ γ,

sledi |= α⇔ γ).

Izdvajamo neke osnovne parove ekvivalentnih formula. Za

bilo koje formule α, β, γ vaì:

A∨ α ∨ (β ∨ γ) ≡ (α ∨ β) ∨ γ A∧ α ∧ (β ∧ γ) ≡ (α ∧ β) ∧ γ

K∨ α ∨ β ≡ β ∨ α K∧ α ∧ β ≡ β ∧ α

D∨∧ α ∨ (β ∧ γ) ≡ (α ∨ β) ∧ (α ∨ γ) D∧∨ α ∧ (β ∨ γ) ≡ (α ∧ β) ∨ (α ∧ γ)

C∨ α ∨ ¬α ≡ > C∧ α ∧ ¬α ≡ ⊥N∨ α ∨⊥ ≡ α N∧ α ∧> ≡ α

UML 11

PRIMER 9. Primenom navedenih ekvivalencija, dokaza}emo da je for-

mula (p ∨ q) ∨ (¬p ∧ ¬q) tautologija:

(p ∨ q) ∨ (¬p ∧ ¬q) ≡ ((p ∨ q) ∨ ¬p) ∧ ((p ∨ q) ∨ ¬q)d [D∨∧]

≡ ((q ∨ p) ∨ ¬p) ∧ (p ∨ (q ∨ ¬q)) [A∨, K∨]

≡ (q ∨ (p ∨ ¬p)) ∧ (p ∨>) [A∨, C∨]

≡ (q ∨>) ∧> [C∨, o~igledno α ∨> ≡ >]

≡ >∧> [ o~igledno >∨> ≡ >]

≡ >

Sli~no se mo`e pokazati da iskazna formula (p ∨ q) ∧ (¬p ∧ ¬q) nije(p ∨ q) ∧ (¬p ∧ ¬q) ≡ · · · ≡ ⊥zadovoqiva.

12 UML

2. Matemati~ka indukcija

H Princip matemati~ke indukcije

Jedno od najzna~ajnijh proizvoda qudske misli ~ini totalitet

svih prirodnih brojeva 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... Brojawe je jedna

od najzna~ajnijih ve{tina koju je ~ovek stekao zahvaquju}i svom

~istom mi{qewu, a ne fizi~kom radu. Kada aritmetiku nazivam samo jednim

delom logike, time ve} iskazujem da po-

jam broja smatram sasvim nezavisnim

od predstava ili intuicija prostora

i vremena, da ga, naprotiv smatram

neposrednim proizvodom ~istih zakona

mi{qewa.

Dedekind (1831�1916), Was sind und

was sollen die Zahlen, 1888.

Brojawe je bazi~ni pojam aritmetike. Predmet aritmetike

nisu brojevi ve} brojawe. Brojawe je su{tinski povezano sa pra-

davnim na~inom bele`ewa rezultata brojawa koji se`e do samih

za~etaka qudske civilizacije. Re~ je o tzv. recka-sistemu: za-

pisi rezultata brojawa nastaju tako {to polaze}i od 0 (po~etnog

rezultata koji prethodi brojawu) uzastopno dopisujemo (jednu po

jednu) crticu: 0, 0′, 0′′, 0′′′, 0′′′′, . . . ili

0, 0, 0, 0, 0, . . .

Unastavku, koristimo ovaj drugi zapis. Da bismo pojednostavili

~itawe, koristi}emo i arapske cifre, da kra}e zapi{emo brojeve:

0, 1 = 0, 2 = 0, 3 = 0, 4 = 0, . . .

Klu~ni korak brojawa jeste 'dodavawe nove crtice na teku}i

rezultat brojawa'. Na taj na~in kreiramo sledbenika svakog

broja. Nema nikakvog ograni~ewa: svaki broj ima svog sled-

benika.

Sabirawe je operacija koja se prirodno nadovezuje na brojawe:

zbir m + n dobijamo kada po~ev od broja m izbrojimo jo{ nbrojeva. Drugim re~ima, zbir m + n je n-ti sledbenik broja m. 2+3=5

Sabirawe se precizno opisuje dvema jednakostima:

m + 0 = m [Kada se broju m doda 0 rezultat je m.]m + n = m + n [Ako je m + n = k, onda je m + n = k.]

Navedene jednakosti opisuju kako se (bilo komizabranom) brojumdodaju prirodni brojevi, tj. defini{u funkciju kojom se prirod-

nom broju x dodequje jedinstven prirodan broj m + x, tu funkcijukra}e ozna~avamo x 7→ m + x. Sabirawe je brojawe po~ev od nekog

zadatog broja. Npr. zbir 2 + 3 (tj. 0 + 0) je tre}i sledbenik broja2:

0 + 0 = 0 + 0

= 0 + 0

= 0 + 0

= 0

UML 13

Koriste}i navedene jednakosti izvodimo op{ta svojstva sabi-

rawa. Na primer, moèmo li dokazati jednakost 0 + n = n, zabilo koji prirodan broj n? Jednostavno je proveriti jednakost ubilo kom konkretnom slu~aju:

0 + 0 = 0 je posledica jednakosti m + 0 = m koja je ta~na za bilo koji broj m;

0 + 0 = 0 + 0 = 0, jer je u prethodnom koraku pokazano 0 + 0 = 0;

0 + 0 = 0 + 0 = 0, jer je u prethodnom koraku pokazano 0 + 0 = 0;

0 + 0 = 0 + 0 = 0, jer je u prethodnom koraku pokazano 0 + 0 = 0;...

Uop{te, treba primetiti da, osim za prvu jednakost 0 + 0 = 0,pri dokazivawu svake jednakosti koristimo jednakost koja joj

prethodi. Kada za neko n dokaèmo da je 0 + n = n, onda jednos-tavno izvodimo i slede}u jednakost

0 + n = 0 + n = n.

Prethodna zapaàwa isti~u su{tinu tzv. principa matemati~ke

indukcije. S(0), S(0)⇒ S(1), S(1)⇒ S(2), S(2)⇒ S(3), . . .S(0), S(1), S(2), S(3), . . .

Principmatemati~ke indukcije: Neka jeSoznaka za neko svojstvo

prirodnih brojeva, i S(n) oznaka da broj n ima svojstvo S. Iz

slede}a dva uslova: Induktivni korak zapravo predstavqa

dokaz da operacija sledbenik ~uva uo~eno

svojstvo.BI (Baza indukcije)

0 ima svojstvo S, tj. S(0);

IK (Induktivni korak)

za svako n, ako n ima svojstvo S, onda i n ima svojstvo S, tj.

S(n)⇒ S(n);

zakqu~ujemo da svaki prirodni broj ima svojstvo S.

Teorema 4. Za svaki prirodan broj n, 0 + n = n.

DOKAZ. Sabirawe je definisano dvema jednakostima:

(Rec1) m + 0 = m(Rec2) m + n = m + n

Jednakost0 + n = nposmatramokaoS(n)izprincipamatemati~ke

indukcije.

(BI) Da li vaì S(0), tj. 0 + 0 = 0? Ova jednakost direktno slediiz (Rec1).

(IK) Da li, za proizvoqno n vaì S(n)⇒ S(n)? Drugim re~ima,

da li iz pretpostavke da je 0 + n = n moèmo izvesti jednakost

0 + n = n?

14 UML

Uvodimo tzv. induktivnu pretpostavku: Neka je n prirodan

broj takav da je 0 + n = n. Primenom ove pretpostavke i (Rec2)

dolazimo do èqene jednakosti:

0 + n = 0 + n prema (Rec2)

= n prema induktivnoj pretpostavci

Dakle, prema principumatemati~ke indukcije, za svaki priro-

dan broj n ta~na je jednakost 0 + n = n.

Teorema 5. Za sve prirodne brojeve m, n, k vaè jednakosti:

(1) m + n = m + n;

(2) m + n = n + m;

(3) m + (n + k) = (m + n) + k

DOKAZ. (1) Indukcijom po n:(BI) m + 0 = m [prema (Rec1)]

= m + 0 [prema (Rec1)]

= m + 0 [prema (Rec2)](IP) m + n = m + n

m + n = m + n [prema (Rec2)]

= m + n [prema IP]

= m + n [prema (Rec2)](2) Indukcijom po n:(BI) Iz m + 0 = m i 0 + m = m sledi da je m + 0 = 0 + m.

(IP) m + n = n + mm + n = m + n [prema (Rec2)]

= n + m [prema IP]

= n + m [prema (Rec2)]

= n + m [prema (1)](3) Indukcijom po k:(BI) Jednostavno se dokazuje jednakost (m + n) + 0 = m + (n + 0).

(IP) (m + n) + k = m + (n + k)

(m + n) + k = (m + n) + k [prema (Rec2)]

= m + (n + k) [prema IP]

= m + n + k [prema (Rec2)]

= m + (n + k) [prema (Rec2)]

ûveni francuski matemati~ar Anri

Poenkare (1854�1912) svoju kwigu La

Science l’Hypothese po~iwe dokazima

osnovnih svojstava sabirawa i isti~e:

Navedeni dokazi aritmeti~kih tvr|ewa

ilustruju matemati~ko rezonovawe parexcellence, i moramo ga bliè prou~iti.

Zbog asocijativnosti sabirawa, m + (n + k) = (m + n) + k,kratko pi{emo m + n + k ostavqaju}i mogu}nost da se po potrebidodaju zagrade koje obuhvataju prvi i drugi sabirak, ili zagrade

koje obuhvataju drugi i tre}i sabirak.

Na sli~an na~in, kao sabirawe, uvodimo i mnoèwe, pre-

ciziraju}i poznatu 'intuitivnu' jednakost: m · n = m + · · ·+ m︸︷︷︸n puta

.

UML 15

Mnoèwe opisujemo slede}im dvema jednakostima:

m · 0 = 0m · n = (m · n) + m

Prema znanom dogovoru da je mnoèwe prioritetnije od sabi-

rawa, umesto (m · n) + m, kra}e pi{emo m · n + m.

Teorema 6. Za sve prirodne brojeve m, n, k vaè jednakosti:

(1) k · (m + n) = k ·m + k · n

(2) (k ·m) · n = k · (m · n)

(3) m · n = m · n + n

(4) m · n = n ·m

DOKAZ. (1) Indukcijom po n:(BI) Iz k · (m + 0) = k ·m i k ·m + k · 0 = k ·m + 0 = k ·m sledi

da je k · (m + 0) = k ·m + k · 0.(IP) k · (m + n) = k ·m + k · n

k · (m + n) = k ·m + n= k · (m + n) + k= (k ·m + k · n) + k [prema IP]

= k ·m + (k · n + k)

= k ·m + k · n(3) Indukcijom po n:(BI) Jednostavno se uo~ava da je jednakost m · 0 = m · 0 + 0 ta~na.(IP) m · n = m · n + n

m · n = m · n + m= (m · n + n) + m [prema IP]

= m · n + (n + m)

= m · n + (n + m)

= m · n + (m + n)

= (m · n + m) + n= m · n + n

Jednakosti (2) i (4) ostavqamo za ve`bu.

Na~in na koji smo uveli sabirawe i mnoèwe nazivamo in-

duktivnim, odn. rekurzivnim ili rekurentnim definicijama. Re~ rekurzija poti~e od latinske re~i

recurrere koja zna~i vratiti se od [ recur-rence = koji se vra}a]. Dedekind je u svomradu iz 1888. koristio termin definisan

indukcijom, dok jeHilbert (1904) upotre-

bio re~ rekurrent(e), a kasnije (1923) i

re~ Rekursion.

Induktivnim definicijama uvodimo veoma bogatu klasu arit-

meti~kih operacija. U nastavku, prelazimo na ozna~awe koje je

obi~ajeno u literaturi, i umesto n pi{emo n + 1. (Primetite daje n + 1 = n + 0 = n + 0 = n.)Stepenovawe:18 18 mn = m · . . . ·m︸︷︷︸

n puta

∣∣∣∣∣ m0 = 1mn+1 = mn · n

16 UML

Faktorijel:19 19 m! = 1 · 2 · . . . ·m∣∣∣∣∣ 0! = 1(m + 1)! = m! · (m + 1)

Binomni koeficijenti ( ·2):∣∣∣∣∣ (02) = 1

(m+12 ) = (m

2 ) + m

H Induktivno (rekurzivno) zadati nizovi

Princip matemati~ke indukcije smo koristili kao metod da

dokaèmo niz tvrdwewa S(0), S(1), S(2), S(3), . . . tako {to:(BI) dokaèmo S(0);

(IK) dokaèmo S(n + 1) koriste}i pretpostavku S(n), za svako n.Istovetnuideju koristimodainduktivno (rekurzivno) defini{emo

niz (brojeva, ili nekih drugih objekata) S0, S1, S2, S3, . . . tako{to:

(BI) defini{emo S0;

(IK) defini{emo Sn+1 koriste}i vrednost Sn, za svako n.

Osobine induktivno zadatih nizova veoma ~esto dokazujemo

primenom principa matemati~ke indukcije, {to }emo ~initi

dosta puta u ovoj kwizi. U nastavku navodimo nekoliko tipi~nih

primera.

PRIMER 10. Nije te{ko uo~iti pravilo koje odre|uje niz brojeva:

b0 = 1007, b1 = 10017, b2 = 100117, . . . , bn = 100 11 · · · 1︸︷︷︸n puta

7, . . .

Ipak nije sasvim �ocigledno da je svaki ~lan ovog niza deqiv sa 53.Direktno, deqewem se uveravamo da to vaì za prvih nekoliko ~lanova

1007 : 53 = 19, 10017 : 53 = 189, 100117 : 53 = 1889, 1001117 : 53 = 18889, . . .

Da bismo pokazali da su i svi ostali ~lanovi niza deqivi sa 53, naj-jednostavnije je uo~iti kako se svaki ~lan niza, po~ev od drugog, dobija

iz prethodnog, tj. opisati vezu izme|u bn i bn+1:

bn+1 = (bn − 6) · 10 + 7 = 10bn − 53.

Oslawaju}i se na induktivnu definiciju niza∣∣∣∣∣ b0 = 1007bn+1 = 10bn − 53

tvr|ewe da 53 | bn (53 deli bn), za svako n dokazujemo matemati~kom

indukcijom.

(BI) 53 | 1007, jer je 1007 : 53 = 19;(IP) Pretpostavimo da 53 | bn.

Iz jednakosti bn+1 = 10bn − 53 i (induktivne) pretpostavke 53 | bn

sledi da 53 | bn+1.

UML 17

PRIMER 11. Jednakost 1 + 2 + · · · + n =n · (n + 1)

2, za bilo koje

n > 1, bila je poznata i starogr~kim matemati~arima. Pitagorejci

(sledbenici Pitagore) su zbirove prvih n prirodnih prirodnih bro-

jeva nazivali trougaonim brojevima.

Na osnovu slike iznad jednostavno

uo~avamo jednakosti:

Tn + (n + 1) + Tn = (n + 1)2, tj.

Tn = 1 + 2 + · · ·+ n =n(n + 1)

2.

Ako Tn ozna~ava n-ti trougaoni broj, posmatrawem prethodne slike,

jasno se uo~ava:

� prvi trougaoni broj je 1, tj. T1 = 1

� kadanan-ti trougaonibroj dodamon + 1dobijamo (n + 1)-i trougaoni

broj, tj. Tn+1 = Tn + n + 1.

Niz trougaonih brojeva se rekurzivno defini{e slede}im jednakos- Za rekurentno zadate nizove, ~esto je

veoma korisno odrediti jednakost kojom

se odre|uju ~lanove niza u zavisnosti

samo od pozicija na kojima nalaze; nar-

avno, n-ti ~lanniza se nalazinapozicijin.

tima: ∣∣∣∣∣ T1 = 1Tn+1 = Tn + n + 1

Ostavqamo za ve`budokazmatemati~komindukcijomda jeTn =n · (n + 1)

2,

za svako n > 1.

PRIMER 12. U ravni je konstruisano n pravih tako da nikoje dve nisu

paralelne, niti se neke tri seku u jednoj ta~ki. Na koliko oblasti je

podeqena ravan konstruisanim pravama?

Neka je An broj oblasti na koje n konstruisanih pravih dele ravan.

Nije te{ko uo~iti da je: A0 = 1, A1 = 2, A2 = 4, A3 = 7, . . .

Izvodimo nekoliko op{tih zakqu~aka:

� Ako je nacrtano n pravih, nova prava (kon-

struisana tako da budu ispuweni uslovi

zadatka) se~e datih n pravih u n ta~aka.

� Nova prava je ovim ta~kama podeqena na

n + 1 delova i svaki od tih delova se nalaziu jednoj od oblasti na koje n pravih dele

ravan.

� Svaka od tih n + 1 oblasti novom pravom

je podeqena na dve oblasti.

18 UML

Dakle, ako je nacrtano n pravih, crtawem nove prave broj oblasti se

pove}ava za n + 1: An+1 = An + (n + 1).

An = An−1 + n

= An−2 + (n− 1) + n...

= A1 + 2 + · · ·+ (n− 1) + n

= A0 + 1 + 2 + · · ·+ (n− 1) + n

= 1 + 1 + 2 + · · ·+ (n− 1) + n

= 1 +n(n + 1)

2=

n2 + n + 22

UML 19

3. Formalne gramatike.

Formalne teorijeHFormalne gramatike - osnovni pojmovi i primeri

Princip induktivnog (rekurzivnog) definisawa (i dokazivawa)

~uveni ameri~ki lingvista Noam ômski je prepoznao i kao uni-

verzalni princip na kome po~ivaju govorni jezici. Ispostavqa

se da je princip rekurzije temeqni princip i jezi~ke strukture.

Ova ~iwenica leì u osnovi razvoja ve{ta~kih (formalnih)

jezika me|u kojima se posebno zna~ajno mesto zauzimaju program-

ski jezici. U nastavku izdvajamo osnovne ideje.

Polazi{te u razvoju bilo kog formalnog jezika predstavqa

izbor alfabeta. Uop{teno, pod alfabetom Σ podrazumevamo

bilo koji neprazan kona~an skup ~ije elemente nazivamo sim-

bolima. Svaki alfabet koristimo da bismo napisali neki tekst. Ra~unari rade sa tekstovima koje

moèmo posmatrati kao nizove simbola

nad nekim zadatim alfabetom (koji ~ine

svi znaci koji se mogu otkucati na tas-

taturi). Programi su tekstovi nad al-

fabetom tastature, ulazi i izlazi su

tako|e neki tekstovi nad istim alfa-

betom, pri ~emu program transformi{e

ulazni tekst u izlazni.

Navodimo nekoliko poznatih alfabeta:

� ΣU = {1} � unarni alfabet, koji sadrì samo jedan simbol;

� Σ2 = {0, 1} � binarni alfabet, veoma vaàn za ra~unarstvo;

� Σlat = {a, b, c, . . . , z} � mala slova latinica;

� Σkeyboard = {A, a, B, b, . . . , Z, z,t,>,<, (, ), . . . , !} je alfabet svihsimbola tastature, pri ~emu t ozna~ava blanko znak;

Ako je Σ alfabet, za m > 2, Σm je skup svih kona~nih nizova Σ02 = {ε}, Σ1

2 = {0, 1},Σ2

2 = {00, 01, 10, 11},...

Σ∗2 = {ε, 0, 1, 00, 01, 10, 11, 000, 001, . . .}Σ+

2 = {0, 1, 00, 01, 10, 11, 000, 001, . . .}

duìne m. Kona~an niz a1, . . . , am duìne m, nazivamo i

� re~ nad Σ duìne m i tada pi{emo a1 · · · am (izostavqamo za-

pete), ili

� ure|ena m-torka i tada pi{emo (a1, · · · , am).

Skup Σ1, tj. skup svih re~i nad Σ duìne 1, identifikujemosa skupom Σ. Skup Σ0 je jedno~lani skup ~iji }emo element

ozna~avati sa ε i pri tome }emo smatrati da je i ε re~ nad Σi to prazna re~. Skup svih re~i nad alfabetom Σ ozna~avamo

Σ∗. Ako w ∈ Σ∗, tada jedinstveni m takav da w ∈ Σm nazivamo

duìnom re~i w i pi{emo |w| = m. Primetimo da ako alfabet

Σ sadrì k simbola, onda skup Σm sadrì km re~i.

Razvojra~una sa re~ima danas zauzima zna~ajnomesto u algebri,

logici, geometriji, ra~unarstvu. Osnovu svih tih ra~una ~ine

pravila za transformaciju re~i.

Svaki par re~i u iw, nad nekim alfabetomΣ, odre|uje pravilokoje se ozna~ava u→ w (ili [u/w]). Svako pravilo ~ine dve re~i:

20 UML

re~ sa leve strane nazivamo prethodnikom, a re~ sa desne strane

sledbenikom. Pravilo u → w moèmo primeniti na svaku re~

v koja kao podre~ sadrì u, tj. na re~ v koja je oblika v1uv2, za

neke (mo`da prazne) re~i v1 i v2. Primena pravila podrazumeva

da podre~ u zamenimo re~ju w; pi{emo:

v1uv2 → v1wv2.

Kada je zadat neki kona~an skup pravila, kaèmo da se iz v izvodire~ v′, ako postoji kona~an niz re~i

v = v0 → v1 → v2 → · · · → v′

takav da je svaka re~, po~ev{i od druge, dobijena primenom nekog

od pravila na re~ koja joj prethodi. Dozvoqena su i pravila

slede}eg oblika:

� u→ ε, tj. brisawe podre~i u;

� ε→ v, tj. umetawe re~i v na bilo kom mestu.

PRIMER 13. Za alfabet Σ = {a, b} posmatramo dva pravila ab → aai ba→ bb. Evo jednog izvo|ewa re~i aaa iz aba: U svakoj re~i, podre~ ab moèmo za-

meniti sa aa, a podre~ ba moèmo za-

meniti sa bb.aba→ abb→ aab→ aaa

Moè li se, primenom datih pravila, iz aaabb izvesti aaaaa? Moè li

se iz aaabb izvesti bbbbb?

PRIMER 14. Tzv. L-sistemi (Lindermajerov sistemi) zasnovani su

na formalnim gramatikama kojima se opisuje morfologija i rast or-

ganizama. Svaki L-sistem odre|en je spiskom pravila koja sa leve

strane sadrè samo jedan simbol. Osnovna karakteristika L-sistemajeste na~in generisawa re~i: jedna re~ se bira za po~etku (i ponekada

se naziva aksiomom), a zatim se u svakom koraku generi{e nova re~

tako {to se na prethodnu re~ istovremeno primene sva mogu}a pravila.

Ukratko prikazujemo nekoliko poznatih L-sistema.1) Lindermajerov izvorni L-sistem za modelovawe rasta algi:

alfabet: A, Baksioma: Apravila: A→ AB, B→ A

n = 0: An = 1: ABn = 2: ABAn = 3: ABAABn = 4: ABAABABAn = 5: ABAABABAABAAB

UML 21

n = 6: ABAABABAABAABABAABABAn = 7: ABAABABAABAABABAABABAABAABABAABAAB

Polaze}i od A, generi{emo niz re~i: u svakoj dobijenoj re~i redom

slovo A mewamo sa AB, a slovo B slovom A. Re~i ovog niza nazi-

vamoFibona~ijevim re~ima. Primetimo da du`ina ovih re~i odre|uje

~uveni Fibona~ijev niz: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, . . .2) Naraedni L-sistem odre|uje tzv. Kantorov fraktalni skup realne

prave.

alfabet: A, Baksioma: Apravila: A→ ABA, B→ BBB

n = 0: An = 1: ABAn = 2: ABABBBABAn = 3: ABABBBABABBBBBBBBBABABBBABA...

Ako A zna~i 'crtaj', a B zna~i 'presko~i', dobijamo slede}u sliku:

3) Opi{imo i L-sistem koji generi{e Kohovu krivu:alfabet: F, +, −aksioma: Fpravila: F → F + F− F− F + F

n = 0: Fn = 1: F + F− F− F + Fn = 2: F + F − F − F + F + F + F − F − F + F − F + F −F− F + F− F + F− F− F + F + F + F− F− F + Fn = 3: F + F − F − F + F + F + F − F − F + F − F + F −F− F + F− F + F− F− F + F + F + F− F− F + F + F +

F− F− F + F + F + F− F− F + F− F + F− F− F + F−F + F− F− F + F + F + F− F− F + F− F + F− F− F +

F + F + F− F− F + F− F + F− F− F + F− F + F− F−F + F + F + F− F− F + F− F + F− F− F + F + F + F−F− F + F− F + F− F− F + F− F + F− F− F + F + F +

F− F− F + F + F + F− F− F + F + F + F− F− F + F−F + F− F− F + F− F + F− F− F + F + F + F− F− F + F

Ako uvedemo slede}a zna~ewa simbola alfabeta:

F zna~i 'crtaj pravo',

+ zna~i 'skreni levo za 90◦',− zna~i 'skreni desno za 90◦'

dobijene re~i opisuju prikazane Kohove krive.

Definicija 3. Formalna gramatika je odre|enapravilimanad al-

fabetima ~iji su simboli razdvojeni na tzv. promenqive i termi-

22 UML

nale; pri ~emu je jedna promenqiva izdvojena kao polazni simbol.

Jezik odre|en formalnom gramatikom jeste skup svih re~i nad al-

fabetom terminala koje se mogu izvesti iz polaznog simbola.

Navodimo nekoliko primera formalnih gramatika.

PRIMER 15. 1) Palindrom je re~ koja se jednako ~ita i sleva nadesno i

zdesna nalevo. Palindromi nad {0, 1} su: 0, 010, 010010, itd. Naravno,i prazna re~ je palindrom. Skup P svih palindroma (ukqu~uju}i i

praznu re~) nad {0, 1} induktivno defini{emo na slede}i na~in:

� ε, 0 i 1 su palindromi (ε, 0, 1 ∈ P); Podse}amo, ε je prazna re~.

� ako je w palindrom, onda su to i 0w0 i 1w1 (ako w ∈ P, onda0w0, 1w1 ∈ P).

Ovoj induktivnoj definiciji, u potpunosti odgovaraju slede}a pravila

nad alfabetom {P, 0, 1}, gde je P promenqiva, a 0 i 1 terminali:

P→ ε P→ 0 P→ 1 P→ 0P0 P→ 1P1

Polaze}i od simbola P moèmo izvesti bilo koji palindrom. Izvedi-

mo, na primer 0010100:P → 0P0 [primenom P→ 0P0]

→ 00P00 [primenom P→ 0P0]

→ 001P100 [primenom P→ 1P1]

→ 0010100 [primenom P→ 0]2) Posmatrajmo slede}a pravila nad alfabetom {I, +,−, x, y, z, (, )},

gde je I promenqiva, a ostali simboli su terminali: Spisak navedenih pravila prati slede}u

induktivnu definiciju skupa I svih

izraza navedenog oblika:

� promenqive x, y, z, i simboli 0 i 1 suizrazi (x, y, z, 0, 1 ∈ I);

� ako je α izraz, onda je i −α izraz (tj.

ako α ∈ I, onda i −α ∈ I);

� ako su α i β izrazi, onda je (α + β)izraz (tj. ako α, β ∈ I, onda i (α +β) ∈ I).

I → x I → y I → z I → 0 I → 1 I → −I I → (I + I)

Budu}i da sva pravila sa leve strane imaju isti simbol I, sve zajedno ihkra}e zapisujemo na slede}i na~in:

(∗) I → x | y | z | 0 | 1 | −I | (I + I).

Nije te{ko uo~iti da iz simbola I moèmo izvesti bilo koji izraz

u kome se pojavquju promenqive x, y ili z, konstante 0 ili 1, znakza sabirawe, i znak za suprotni broj, uz uobi~ajenu upotrebu zagrada.

Izvedimo, na primer izraz −(1 + x):

I → −I [primenom I → −I]→ −(I + I) [primenom I → (I + I)]→ −(1 + I) [primenom I → 1]

→ −(1 + x) [primenom I → x]3)Nadalfabetom {F,⇒,¬,>,⊥, p, q, r, (, )}posmatramo slede}aprav-

ila:

F → > F → ⊥ F → p F → q F → r F → ¬F F → (F ⇒ F)

Nije te{ko uo~iti da iz simbola F moèmo izvesti bilo koja iskazna

formula sa slovima p, q ili r, logi~kim konstantama > i ⊥, i u kojoj

UML 23

se od veznika pojavquju samo negacija i implikacija. Izvedimo, na

primer formulu ¬(q⇒ p):

F → ¬F [primenom F → ¬F]

→ ¬(F ⇒ F) [primenom F → (F ⇒ F)]

→ ¬(q⇒ F) [primenom F → q]

→ ¬(q⇒ r) [primenom F → r]êsto se promenqive ozna~avaju nekom karakteristi~nom skra}eni-

com (ili ~tiavom re~ju) umesto jednim slovom. Na primer, umesto Fpogodnije je pisati skra}enicu For. Uz ovo zna~avawe, pravila

For→ > | ⊥ | p | q | r | ¬For | (For⇒ For)

odslikavaju induktivnu definiciju skupa For iskaznih formula nave-denog oblika.

4)27 Navodimo gramatiku koja generi{e jedan fragment Engleske gra- 27 Gramatika je preuzeta sa takmi~wa

NACLO - North American Computa-tional Linguistics Olympiad

matike. Primetimo da alfabet ove gramatike ~ine ~itave re~i zajedno

sa razmakom.

(1) Sentence→ NounPhrase Verb NounPhrase

(2) NounPhrase→ Noun

(3) NounPhrase→ Adjective NounPhrase

(4) Noun→ people (5) Verb→ love(6) Adjective→ good (7) Adjective→ charming(8) Adjective→ happy (9) Adjective→ bad(10) Adjective→ obnoxious (11) Adjective→ unhappy[ta ozna~avaju navedena pravila? Na primer, pravilo (1) opisuje

kako sastavqamo Sentence: najpre navodimo NounPhrase, zatim razmak,

pa Verb, jo{ jedan razmak i najzad NounPhrase. Pravila (2) i (3) opisuju

dve mogu}nosti da se sastavi NounPhrase: to moè biti samo Noun,

ili se sastavqa tako {to se na Adjective nadoveè razmak i neka druga

NounPhrase. Pravila (4�11) predstavqaju re~nik, koji sadrì jednu

imenicu Noun (4), jedan glagol Verb (5) i {est prideva Adjectives (6�11).

Izvedimo re~enicu:

happy people love charming bad people

Sentence → NounPhrase Verb NounPhrase

→ Adjective NounPhrase Verb NounPhrase

→ Adjective Noun Verb NounPhrase

→ Adjective Noun Verb Adjective NounPhrase

→ Adjective Noun Verb Adjective Adjective NounPhrase

→ Adjective Noun Verb Adjective Adjective Noun

→...

→ happy people love bad charming people

HFormalne teorije

Prethodna razmatrawa nas dovode do centralnog koncepta ove

lekcije. Formalnu teoriju ~ine:

� alfabet Σ (skup simbola, koji ne mora biti kona~an);

24 UML

� skup formula For ⊆ Σ∗ (koji je uglavnom odre|en nekom gra-

matikom);

� skupom aksioma Ax ⊆ For (iz skupa svih formula izdvajamo

neke formule koje }emo smatrati aksiomama);

� skupom pravila izvo|ewa P oblika:

(P) :α1 · · · αn

α,

gde α1, . . . , αn, α ozna~avaju neke formule iz For; formuleα1, . . . , αn nazivaju se premise (pretpostavke), a formula α

zakqu~ak pravila.

Prilikom zadavawanekeformalne teorijeF, navodimo sva ~etiri

skupa koja odre|uju tu teoriju i pi{emo F = (Σ, For, Ax,P).

Definicija 4. Kona~annizformula ϕ1, . . . , ϕk je izvo|ewe (dokaz)

uformalnoj teoriji ako svakaformula ϕi, i = 1, n, ispuwava jedanod uslova:

1. ϕi je aksioma, ili

2. ϕi semo`edobitiiznekihodprethodnihformulaniza ϕ1, . . . , ϕi−1

primenom nekog od pravila izvo|ewa iz P.

Formula ϕ je teorema formalne teorije F, u oznaci `F ϕ ako

postoji izvo|ewe u toj teoriji ~iji je posledwi ~lan formula ϕ.

Ako je iz konteksta jasno o kojoj formalnoj teoriji je re~,

umesto `F ϕ kra}e pi{emo ` ϕ. Uop{teno govore}i, formalne

sisteme posmatramo kao ma{ine za proizvodwu teorema.

PRIMER 16. Formalna teorija F odre|ena je na slede}i na~in:

� alfabet: {|, +, =};

� formule su sve re~i oblika x + y = z, gde su x, y, z re~i zapisane

samo simbolom |;

� jedina aksioma je | + |=||;

� pravila izvo|ewa su:

(R1)x + y = z

x|+ y = z| (R2)x + y = zy + x = z

Doka`imo `F ||+ ||| = |||||:1. |+ | = || aksioma

2. ||+ | = ||| primenom pravila (R1) na formulu 1.

3. |||+ | = |||| primenom pravila (R1) na formulu 2.

4. |+ ||| = |||| primenom pravila (R2) na formulu 3.

5. ||+ ||| = ||||| primenom pravila (R1) na formulu 4.

UML 25

H Iskazni ra~un ŁPosebnoizdvajamoformalnu teoriju poznatu kao (Luka{ijevi~ev)

iskazni ra~un Ł:

� alfabet ~ine logi~ki veznici⇒,¬, zagrade (, ) i iskazna slova

p, q, r, . . . , pn, qn, rn, . . .;

� formule su sve iskazne formule izgra|ene na uobi~ejni na~in

(u kojima se pojavquju samo simboli uvdeneog afabeta);

� aksiome su slede}eg oblika:

A1 α⇒ (β⇒ α)

A2 (α⇒ (β⇒ γ))⇒ ((α⇒ β)⇒ (α⇒ γ))

A3 (¬β⇒ ¬α)⇒ (α⇒ β)

gde su α, β, γ proizvoqne formule;

� jedino pravilo izvo|ewa je modus ponens:

α α⇒ β

β(MP)

gde su α, β proizvoqne formule.

Lema 1. `Ł α⇒ α, za bilo koju formulu α.

DOKAZ.

1. (α⇒ ((α⇒ α)⇒ α))⇒ ((α⇒ (α⇒ α))⇒ (α⇒ α)) aksioma A2

2. α⇒ ((α⇒ α)⇒ α) aksioma A1

3. (α⇒ (α⇒ α))⇒ (α⇒ α) MP(1, 2)

4. α⇒ (α⇒ α) aksioma A1

5. α⇒ α MP(3, 4)Navedeni niz formula je izvo|ewe formule α⇒ α u ra~unu Ł.

Prirodno se name}e problem �opisati sve teoreme ra~una Ł�.Ispostavqa se da je iskazna formula ϕ (nad alfabetom ra~una Ł)teorema, tj. `Ł ϕ akko je ϕ tautologija. Poznato je da se iskazni

veznici ∨, ∧,⇔ mogu izraziti pomo}u⇒ i ¬: Skup {⇒,¬} je potpun sistem veznika.

α ∨ β ≡ ¬α⇒ β

α ∧ β ≡ ¬α ∨ ¬β

α⇔ β ≡ (α⇒ β) ∧ (β⇒ α)

Samim tim, ra~un Ł je 'ma{ina' za proizvodwu tautologija.

Teorema 7. [Teorema saglasnosti] Ako je `Ł ϕ, onda je ϕ tau-

tologija.

DOKAZ. Dovoqno je dokazati:

� Aksiome A1, A2 i A3 jesu tautologije;

26 UML

� Pravilo izvo|ewa (MP) ~uva tautologije, tj. ako su α i α⇒ β

tautologije, onda je i β tautologija.

Pokaza}emo samo ovo drugo. Ako su α i α⇒ β, ne moè posto-

jati valuacija za koju bi formula β bila neta~na. Ukoliko bi za

neku valuaciju β bilo neta~no, za tu valuaciju bi α bilo ta~no

(jer je α tautologija), pa bi implikacija α⇒ β bila neta~na {to

je nemogu}e, jer je α⇒ β tautologija.

Vaì i obrat prethodne teoreme: u formalnoj teorijiŁmogu se

izvesti samo tautologije. Da bismo to dokazali uvodimo koncept

izvo|ewa iz hipoteza i dokazujemo jedno veoma va`no tvr|ewe.

Definicija 5. Neka je F = (Σ, For, Ax,P) formalna teorija i

Γ ⊆ For. Kona~an niz formula ϕ1, . . . , ϕk je izvo|ewe iz hipoteza

Γ u formalnoj teoriji F ako svaka formula ϕi, i = 1, n, ispuwavajedan od uslova:

1. ϕi je aksioma, ili

2. ϕi je hipoteza (tj. formula iz Γ), ili

3. ϕi semoèdobitiiznekihodprethodnihformulaniza ϕ1, . . . , ϕi−1

primenom nekog od pravila izvo|ewa iz P.

Formula ϕ je posledica hipoteza Γ, u oznaci Γ `F ϕ akopostoji

izvo|ewe iz Γ ~iji je posledwi ~lan formula ϕ.

Lema 2. 1) Ako je Γ `Ł ϕ, onda Γ, θ `Ł ϕ, za bilo koju formulu θ.

2) Ako je Γ `Ł θ i θ `Ł ϕ, onda Γ `Ł ϕ.

DOKAZ. Tvr|ewe 1) je o~igledno. 2) Nadovezivawem izvo|ewa

Γ `Ł θ i izvo|ewa θ `Ł ϕ, dobijamo izvo|ewe Γ `Ł ϕ.

Teorema 8. [Stav dedukcije] Ako je Γ neki skup formula i neka su

α, β proizvoqne formule.

Γ, α `Ł β akko Γ `Ł α⇒ β

DOKAZ. (←) Dokazujemo prvo jednostavniji deo, da iz Γ `Ł α⇒ β

sledi Γ, α `Ł β.

Pretpostavimo da Γ `Ł α ⇒ β. Neka je ϕ1, . . . , ϕm izvo|ewe

formule α ⇒ β iz Γ (pri ~emu je, naravno, ϕm formula α ⇒ β).

Tada je slede}i niz formula izvo|ewe formule β iz Γ, α:

1. ϕ1...

m. α⇒ β

(m + 1). α hipoteza

(m + 2). β MP(m + 1, m)

UML 27

(→) Pretpostavimo Γ, α `Ł β. Treba da dokaèmo da Γ `Ł α⇒ β. Vode}a zamisao u dokazu ovog dela jeste

kako izvo|ewe Γ, α `Ł β preraditi u

izvo|ewe Γ `Ł α ⇒ β. Tu preradu odre-|ujemo indukcijom po duìni izvo|ewa

Γ, α `Ł β.

Dokaz sprovodimo indukcijom po duìni izvo|ewa formule β

iz hipoteza Γ, α.

(BI) Pretpostavimo da se izvo|ewa formule β iz hipoteza Γ, α

sastoji iz samo jedne formule. Tada ta jedina formula u izvo|ewu

mora biti upravo formula β. Samim tim β je aksioma ili je β

hipoteza, tj. β ∈ Γ ∪ {α}. Dakle, mogu} je jedan od slede}a tri

slu~aja:

� β je aksioma � tada je slede}i niz formula izvo|ewe formule

α⇒ β iz Γ:1. β aksioma

2. β⇒ (α⇒ β) aksioma A1

3. α⇒ β MP(1, 2)

� β pripada Γ � sli~no kao u prethodnom slu~aju dobijamo izvo-

|ewe formule α⇒ β iz Γ:1. β hipoteza

2. β⇒ (α⇒ β) aksioma A1

3. α⇒ β MP(1, 2)

� β je zapravo formula α � onda, prema prethodnoj lemi`Ł α⇒ α,

a samim tim i Γ `Ł α⇒ α.

(IP) Pretpostavimo da za svako k < n, ako postoji izvo|ewe

formule β duìne k iz Γ, α, onda postoji izvo|ewe formule α⇒ β

iz Γ.Neka je ϕ1, . . . , ϕn izvo|ewe duìne n formule β iz Γ, α; dakle

ϕn je formula β. Tada, prema prethodnoj definiciji: (1◦) β je

aksioma, ili (2◦) β pripada Γ, ili (3◦) β je formula α, ili

(4◦) β je dobijena primenom (MP) neke formule ϕi i ϕj, za neke

i, j < n, pri ~emu je formula ϕj zapravo ϕi ⇒ β.

U slu~ajevima (1◦), (2◦), (3◦) zakqu~ujemo kao u bazi indukcije.

Preostaje da razmotrimo slu~aj (4◦). Tada izvo|ewe ima slede}ioblik:1. ϕ1

...

i. ϕi...

j. ϕi ⇒ β...

n. β MP(i, j)Prvih i formula predstavqaju izvo|ewe za ϕi iz Γ, α, dok prvih

j formula ~ine izvo|ewe za ϕi ⇒ β iz Γ, α. Prema induktivnoj

hipotezi (i, j < n) postoje izvo|ewa i za α⇒ ϕi i za α⇒ (ϕi ⇒ β)

28 UML

iz skupa hipoteza Γ:ψ1, . . . , ψ`, pri ~emu je ψ` formula α⇒ ϕi

θ1, . . . , θk, pri ~emu je θk formula α ⇒ (ϕi ⇒ β). Slede}i niz

formula ~ini izvo|ewe formule α⇒ β iz Γ:1. ψ1

...

`. α⇒ ϕi

(` + 1). θ1...

(` + k). α⇒ (ϕi ⇒ β)

(` + k + 1). (α⇒ (ϕi ⇒ β))⇒ ((α⇒ ϕi)⇒ (α⇒ β)) aksioma A2

(` + k + 2). (α⇒ ϕi)⇒ (α⇒ β) MP(` + k, ` + k + 1)

(` + k + 3). α⇒ β MP(`, ` + k + 2)Dakle, za svako izvo|ewe formule β iz Γ, α, postoji izvo|ewe for-

mule α⇒ β iz Γ.

Lema 3. U iskaznom ra~unu Ł dokazati: Koristiti stav dedukcije kada god je to

pogodno.(i) α⇒ β, β⇒ γ `Ł α⇒ γ

(ii) `Ł α⇒ β⇒ ((β⇒ γ)⇒ (α⇒ γ))

(iii) α,¬α `Ł β

(iv) `Ł ¬¬α⇒ α

(v) ` α⇒ ¬¬α

(vi) `Ł (α⇒ β)⇒ (¬β⇒ ¬α)

(vii) α⇒ β,¬α⇒ β `Ł β

(viii) α, β `Ł α⇒ β

(ix) α,¬β `Ł ¬(α⇒ β)

(x) ¬α, β `Ł α⇒ β

(xi) ¬α,¬β `Ł α⇒ β

DOKAZ.

(i) Dovoqno je dokazati α ⇒ β, β ⇒ γ, α `Ł γ (prema stavu

dedukcije):

1. α⇒ β hipoteza

2. α hipoteza

3. β MP(1, 2)

4. β⇒ γ hipoteza

5. γ MP(3, 4)Upravo dokazano tvr|ewe dozvoqava da u izvo|ewima koristimo

pravilo:

α⇒ β β⇒ γ

α⇒ γ(T)

koje obele`amo (T) i nazivamo tranzitivnost implikacije.

(iii)Dokazujemo da 'iz protivre~nih tvrdwimo`emo izvesti bilokoji zakqu~ak':

UML 29

1. ¬α hipoteza

2. α hipoteza

3. ¬α⇒ (¬β⇒ ¬α) A1

4. ¬β⇒ ¬α MP(2, 3)

5. (¬β⇒ ¬α)⇒ (α⇒ β) A3

6. α⇒ β MP(4, 5)

7. β MP(1, 6)Primetimo da prema stavu dedukcije: va`i i `Ł ¬α⇒ (α⇒ β).

(iv) Doka`imo ¬¬α `Ł α

1. ¬¬α hipoteza

2. ¬¬α⇒ (¬α⇒ ¬¬¬α) posledica tvr|ewa (iii) i stava dedukcije3. ¬α⇒ ¬¬¬α MP(1, 2)

4. (¬α⇒ ¬¬¬α)⇒ (¬¬α⇒ α) A3

5. (¬β⇒ ¬α)⇒ (α⇒ β) A3

6. ¬¬α⇒ α MP(4, 5)

7. α MP(1, 6)(vi) Dokazujemo α⇒ β `Ł ¬β⇒ ¬α


2. (¬¬α⇒ ¬¬β)⇒ (¬β⇒ ¬α) A3

3. ¬¬α⇒ α prema (iv)

4. ¬¬α⇒ β prema (i); T(3, 1)

5. β⇒ ¬¬β prema (v)

6. ¬¬α⇒ ¬¬β prema (i); T(4, 5)

7. ¬β⇒ ¬α MP(6, 2)(vii) Dokazujemo α⇒ β,¬α⇒ β `Ł β


2. ¬α⇒ β hipoteza

3. ¬β⇒ ¬α prema (vi)4. ¬β⇒ β prema (i); T(3, 2)

5. ¬β⇒ (β⇒ ¬(β⇒ β)) prema (iii) i stavu dedukcije (dva puta)6. ¬β⇒ (β⇒ ¬(β⇒ β))⇒ ((¬β⇒ β)⇒ (¬β⇒ ¬(β⇒ β))) A2

7. (¬β⇒ β)⇒ (¬β⇒ ¬(β⇒ β)) MP(5, 6)

8. ¬β⇒ ¬(β⇒ β) MP(4, 7)

9. (¬β⇒ ¬(β⇒ β))⇒ ((β⇒ β)⇒ β) A3

10. (β⇒ β)⇒ β MP(8, 9)

11. β⇒ β Lema 1

12. β MP(11, 10)(viii)1. α hipoteza

2. β hipoteza

3. β⇒ (α⇒ β) A1

4. α⇒ β MP(2, 3)

5. β MP(1, 4)

30 UML

(ix)

1. α hipoteza

2. ¬β hipoteza

3. α⇒ ((α⇒ β)⇒ β) iz α, α⇒ β `Ł β i stavu dedukcije

4. (α⇒ β)⇒ β MP(1, 3)

4. ¬β⇒ ¬(α⇒ β) prema (vi)5. ¬(α⇒ β) MP(2, 5)

(x)-(xi) Prema (iii) vaì ¬α `Ł α ⇒ β, pa samim tim vaì i

¬α, β `Ł α⇒ β i ¬α,¬β `Ł α⇒ β.

Posebno isti~emo tvr|ewa (viii)-(xi) prethodne leme.

(viii) α, β ` α⇒ β

(ix) α, ¬β ` ¬(α⇒ β)

(x) ¬α, β ` α⇒ β

(xi) ¬α, ¬β ` α⇒ β

α β α⇒ β

1 1 11 0 00 1 10 0 1

Ako je v neka valuacija iskaznih slova i ϕ proizvoqna for-

mula, neka je v(ϕ) istinitosna vrednost formule ϕ pri valuaciji

v i

ϕv =

{ϕ, ako je v(ϕ) = 1,¬ϕ, ako je v(ϕ) = 0.

Uz ove oznake, tvr|ewa (viii)-(xi) saèto iskazujemo u slede}oj

posledici.

Posledica 1. Ako je v valuacija, α, β iskazne formule, onda

αv, βv `Ł (α⇒ β)v.

Posledica 2. Neka je ϕ neka formula u kojoj se pojavquju samo

(ne nu`no sva) slova p1, . . . , pk. Tada za svaku valuaciju v vaì:

pv1, . . . , pv

k `Ł ϕv.

DOKAZ. Indukcijom po sloènosti formule.

(BI) Tvr|ewe o~igledno vaì ako je ϕ iskazno slovo.

(IP)Pretpostavimo da tvr|ewe vaì za sve formule koje su mawe

sloènosti od ϕ.

Neka je ϕ oblika ¬α. Prema (IP): pv1, . . . , pv

k `Ł αv. Razliku-

jemo dva slu~aja.

1. slu~aj: Ako je v(α) = 0, onda je αv = ¬α i v(ϕ) = 1, pa jeϕv = ϕ = ¬α, i tvr|ewe je dokazano.

2. slu~aj: Ako je v(α) = 1, onda je αv = α i v(ϕ) = 0, pa je

ϕv = ¬ϕ. Iz pv1, . . . , pv

k `Ł α dobijamo pv1, . . . , pv

k `Ł ¬¬α, odnosno

pv1, . . . , pv

k `Ł ¬ϕ (tj. pv1, . . . , pv

k ` ϕv)

Neka je ϕ oblika α ⇒ β. Prema induktivnoj pretpostavci je

pv1, . . . , pv

k `Ł αv i pv1, . . . , pv

k `Ł βv. Kada primenimo posledicu 1

dobijamo pv1, . . . , pv

k `Ł (α⇒ β)v, tj. pv1, . . . , pv

k `Ł ϕv.

Teorema 9. [Teorema potpunosti] Ako je ϕ tautologija, onda `Ł ϕ.

UML 31

DOKAZ. Neka su p1, . . . , pk slova koja se pojavquju u ϕ. Za bilo

koju valuaciju v slova p1, . . . , pk va`i ϕv = ϕ, kao i (posledica

2) pv1, . . . , pv

k ` ϕ.

Neka je w proizvoqna valuacija. Tada

pw1 , . . . , pw

k−1, pk ` ϕ i pw1 , . . . , pw

k−1,¬pk ` ϕ,

odnosno Tvr|ewe (vii) prethodne leme opravdavaupotrebu pravila

α⇒ β ¬α⇒ β

β

pw1 , . . . , pw

k−1 ` pk ⇒ ϕ i pw1 , . . . , pw

k−1 ` ¬pk ⇒ ϕ,

odakle sledi pw1 , . . . , pw

k−1 ` ϕ. Nastavqaju}i ovaj postupak, do-

bijamo pw1 , . . . , pw

k−2 ` ϕ itd., do ` ϕ.

32 UML

H Prirodna dedukcija u iskaznoj logici

U iskaznom ra~unu Ł glavnu ulogu u generisawu izvo|ewa imaju:

� pravilo modus ponensα α⇒ β

β, koje odre|uje kako u izvo|e-

wima da koristimo implikacije, tj. formule ~iji je glavni

znak⇒ i

� stav dedukcije � Γ, α ` β akko Γ ` α ⇒ β; Stav dedukcije

utvr|uje kako da dokazujemo implikacije: da bismo dokazali

Γ ` α⇒ β, dovoqno je dokazati Γ, α ` β.

Ova zapaàwa veoma su bliska idejama na kojima je zasnovan jedan

od najpoznatijih formalnih teorija koje karakteri{u iskaznu

logiku � prirodna dedukcija32. Skup aksioma ovog formalnog 32 Ra~un prirodne dedukcije uveo je,

1935. godine, Gerhard Gencen s namerom

da prirodnije opi{e uobi~ajeno za-

kqu~ivawe matemati~ara

sistema je prazan dok su pravila izvo|ewa data slede}im shemama

(u smislu da α, β i γ mogu biti proizvoqne formule):

α β

α ∧ β(∧U)

Uvo|ewe konjunkcije (∧U): iz pretpostavki α, β (direktno) zakqu~ujemo

α∧ β. Moèmo razmi{qati i ovako: da bismo dokazali α∧ β potrebno

je da dokaèmo svaki konjunkt pojedina~no, i α i β. Drugim re~ima

dokaz za α ∧ β dobijamo spajawem dokaza za α i dokaza za β.α ∧ β

α(∧L

E)

α ∧ β

β(∧D

E )

Eliminacija konjunkcije: iz pretpostavke α ∧ β zakqu~ujemo α (odn. β)

primenom pravila (∧LE) (odn. (∧D

E )).

PRIMER 17. Dokaìmo sekvent (p ∧ q) ∧ s, r ∧ t ` t ∧ q. Navedeni dokaz moèmo prikazati i na

slede}i na~in.

r ∧ tt∧D

E

(p ∧ q) ∧ sp ∧ q

∧LE

q∧D

E

t ∧ q∧U

1. (p ∧ q) ∧ s pretpostavka

2. r ∧ t pretpostavka

3. p ∧ q ∧LE, 1 [formula p ∧ q je dobijena primenom pravila ∧L

E na 1.]

4. q ∧DE , 3

5. t ∧DE , 2

6. t ∧ q ∧U, 5, 4

Uvodna razmatrawa najavquju pravila uvo|ewa i eliminacije

implikacije.

α⇒ β α

β(⇒E)

Eliminacija implikacije (odn. modus ponens) (⇒E) opisuje kako se u dokazima

koriste tvrdwe formulisane u obliku imlikacije.

α...

β

α⇒ β(⇒U)

Uvo|ewe implikacije (⇒U): da bismo dokazali implikaciju α ⇒ β treba

uvesti dodatnu (privremenu) pretpostavku α i dokazati β, pri ~emu je u tom

dokazu dozvoqeno koristiti α, sve ostale pretpostavke ime|uzakqu~ke koje smo

ve} izveli. Dokaz formule β nakon uvo|ewa dodatne pretpostavke α isti~emo

vertikalnom crtom i nazivamo poddokazom. Neposredno ispod zavr{etka

vertikalne linije navodimo zakqu~ak α ⇒ β, oznaku pravila (⇒U) i brojeve

kojima su numerisani koraci poddokaza.

UML 33

PRIMER 18. Dokaìmo p⇒ q, p⇒ r ` p⇒ q ∧ r1. p⇒ q pretpostavka

2. p⇒ r pretpostavka

3. p dodatna pretpostavka

4. q ⇒E, 1, 3

5. r ⇒E, 2, 3

6. q ∧ r ∧U, 4, 5

7. p⇒ q ∧ r ⇒U, 3-6

... Kada èlimo da dokaèmo α⇒ β:

j. α uvodimo dodatnu pretpostavku α...

... i nastojimo da dokaèmo β.

k. β Kada uspemo,

k + 1. α⇒ β ⇒U, j-k izvodimo èqeni zakqu~ak.

α ¬α

⊥ (¬E)Eliminacija negacije (¬E): iz pretpostavki α,¬α izvodimo kontradik-

ciju.

α...

⊥¬α

(¬U)

Uvo|ewe negacije (¬U): ako iz α dokaèmo kontradikciju, onda za-

kqu~ujemo ¬α.

⊥α

(⊥E)Pravilo (⊥E): iz kontradikcije moè se zakqu~iti bilo {ta, tj. moè

se izvesti bilo koja formula.

¬¬α

α(¬¬E)

Pravilo (¬¬E): pravilo (¬¬E) nam dozvoqava da obri{emo dva znaka

negacije.

α

α ∨ β(∨L

U)β

α ∨ β(∨D

U)

Uvo|ewe disjunkcije: iz α (ako smo dokazali α) izvodimo zakqu~ak α ∨β), za bilo koju formulu β, primenom pravila (∨L

U); na isti na~in, iz

β izvodimo zakqu~ak α ∨ β, za bilo koju formulu α, primenom pravila

(∨DU).

α ∨ β

α...

γ

β...

γ

γ(∨E)

Eliminacija disjunkcije (∨E) opisuje na koji na~in u dokazima ko-

ristimo formule oblika α ∨ β? Zamislimo da èlimo da dokaèmo γ

pretpostavqaju}i α ∨ β. Budu}i da ne znamo koja je od formula α, β

ta~na (a jedna mora biti), moramo sprovesti dva odvojena dokaza:

- Najpre, pretpostavqamo da je α ta~no i dokazujemo γ.

- Zatim, pretpostavqamo da je β ta~no i dokazujemo γ.

Na osnovu ova dva dokaza i pretpostavke α ∨ β zakqu~ujemo γ, jer dva

poddokaza pokrivaju obe mogu}nosti.

Ekvivalencija dva iskaza α ⇔ β jeste zapravo konjunkcija dve

obratne implikacije (α ⇒ β) ∧ (β ⇒ α), pa se pravila uvo|ewa

i eliminacije ekvivalencije sama name}u.

α⇒ β β⇒ α

α⇔ β(⇔U)

α⇔ β

α⇒ β(⇔LD

E )α⇔ β

β⇒ α(⇔DL

E )

Navedena pravila karakteri{u dokazivost tzv. sekvenata

ϕ1, . . . , ϕk ` ψ

(tj. dokazivost da iz pretpostavki ϕ1, . . . , ϕk sledi ψ). Sekvente

dokazujemo tako{toformiramoniz koji ~inepretpostavke ϕ1, . . . , ϕk

34 UML

i (me|u)zakqu~ci dobijeni primenom pravila dedukcije na ve}

navedene formule. Postupak zavr{avamo kada dobijemo èqeni

zakqu~ak ψ, a formirani niz nazivamo dokazom formule ψ iz

pretpostavki ϕ1, . . . , ϕk, odn. dokazom odgovaraju}eg sekventa.

PRIMER 19. Dokazati ` (p⇒ q) ∨ (p⇒ r)⇒ (p⇒ q ∨ r).1. (p⇒ q) ∨ (p⇒ r) dodatna pretpostavka

2. p⇒ q dodatna pretpostavka


4. q ⇒E, 2, 3

5. q ∨ r ∨LU, 4

6. p⇒ (q ∨ r) ⇒U, 3-5

7. p⇒ r dodatna pretpostavka


9. r ⇒E, 7, 8

10. q ∨ r ∨DU, 9

11. p⇒ (q ∨ r) ⇒U, 7-10

12. p⇒ (q ∨ r) ∨E, 1, 2-6, 7-11

13. (p⇒ q) ∨ (p⇒ r)⇒ (p⇒ q ∨ r) ⇒U, 1-12

Teorema 10. Γ `Ł ϕ akko Γ ` ϕ (je dokaziv sekvent primenom

pravila prirodne dedukcije).

Specijalno, formula ϕ je teorema u ra~unu prirodne dedkucije,

ako je dokaziv sekvent ` ϕ (sa praznim skupom pretpostavki).

Iz prethodne teoreme i teoreme potpunosti zakqu~ujemo da se

pravilima prirodne dedukcije mogu dokazati sve tautologije, i

samo tautologije.

Da bismo pojednostavili dokazivawe sekvanata, spisak prav-

ilapro{irujemo jo{nekimizvedenimpravilima, ~ija se upotreba,

naravno, jednostavno moè eliminisati iz svakog dokaza.

α⇒ β ¬β

¬α(MT)

Pravilo modus tolens (MT) moè biti veoma korisno pri

upotrebi tvrdwi u obliku implikacije.

1. α⇒ β pretpostavka

2. ¬β pretpostavka

3. α dodatna pret.

4. β ⇒E, 1, 3

5. ⊥ ¬E, 2, 4

6. ¬α ¬U, 3-5

α

¬¬α(¬¬U)

Pravilo (¬¬U) dozvoqava da se ispred svake formule dopi{u

dva znaka negacije.

UML 35

1. α pretpostavka

2. ¬α dodatna pret.

3. ⊥ ¬E, 1, 2

4. ¬¬α ¬U, 2-3

PRIMER 20. Primenu izvedenih pravila jednostavno mo`emo elim-

inisati iz svakog dokaza. To ilustrujemo dokazom sekventa p⇒ ¬q, q `¬p.1. p⇒ ¬q pretpostavka

2. q pretpostavka

3. ¬¬q ¬¬U, 2

4. ¬p MT, 1, 3Bez pravila¬¬U iMT dati sekvent bismo dokazali na slede}i na~in.

1. p⇒ ¬q pretpostavka

2. q pretpostavka

3. ¬q dodatna pretpostavka

4. ⊥ ¬E, 2, 3

5. ¬¬q ¬U, 3-4


7. ¬q ⇒E, 1, 6

8. ⊥ ¬E, 2, 7

9. ¬p ¬U, 6-8

Disjunktivni silogizmiα ∨ β ¬α

β(DS)

α ∨ β ¬β

α(DS)

Oba pravila ozna~avamo na isti na~in

jer }e uvek biti o~igledno koje od ova

dva pravila koristimo.

1. α ∨ β pretpostavka

2. ¬α pretpostavka

3. α dodatna pretpostavka

4. ⊥ ¬E, 2, 3

5. β ⊥E, 4

6. β dodatna pretpostavka

7. β ∨E, 1, 3-5, 6

Analogno se dokazuje i sekvent α ∨ β,¬β ` α, za bilo koje

formule α, β.

Tranzitivnost implikacije Zakoni kontrapozicijeα⇒ β β⇒ γ

α⇒ γ(T)

α⇒ β

¬β⇒ ¬α(K)

¬α⇒ ¬β

β⇒ α(K)

1. α⇒ β pretpostavka 1. α⇒ β pretpostavka

2. β⇒ γ pretpostavka 2. ¬β dodatna pret.

3. α dodatna pret. 3. ¬α MT, 1, 24. β ⇒E, 1, 3 4. ¬β⇒ ¬α ⇒U, 2-3

5. γ ⇒E, 2, 4

6. α⇒ γ ⇒U, 3-5

36 UML

Zakon iskqu~ewa tre}eg

( tertium non datur)

α ∨ ¬α(TND)

Prema zakonu iskqu~ewa tre}eg, u dokaz-

ima mo`emo koristiti kao pretpostavku

α ∨ ¬α, za bilo koju formulu α.

1. ¬(α ∨ ¬α) dodatna pretpostavka

2. α dodatna pretpostavka

3. α ∨ ¬α ∨LU, 2

4. ⊥ ¬E, 1, 3

5. ¬α ¬U, 2-4

6. α ∨ ¬α ∨DU, 5

7. ⊥ ¬E, 1, 6

8. ¬¬(α ∨ ¬α) ¬U, 1-7

9. α ∨ ¬α ¬¬E, 8

De Morganovi zakoni

¬α ∨ ¬β

¬(α ∧ β)(DM)

¬α ∧ ¬β

¬(α ∨ β)(DM)

¬(α ∨ β)

¬α ∧ ¬β(DM)

¬(α ∧ β)

¬α ∨ ¬β(DM)

Svako od ova ~etiri pravila nazva}emo De Morganovim za-

konom, jer prilikom primene ne}e biti zabune.

1. ¬α ∨ ¬β pretpostavka 1. ¬α ∧ ¬β pretpostavka

2. α ∧ β dodatna pret. 2. ¬α ∧LE, 1

3. α ∧LE, 2 3. ¬β ∧D

E , 1

4. ¬¬α ¬¬U, 4. α ∨ β dodatna pret.

5. ¬β DS, 1, 4 5. β DS, 2, 46. β ∧D

E , 2 6. ⊥ ¬E, 3, 5

7. ⊥ ¬E, 5, 6 7. ¬(α ∨ β) ¬U, 2-6

8. ¬(α ∧ β) ¬U, 2-7

1. ¬(α ∨ β) pretpostavka 1. ¬(α ∧ β) pretpostavka

2. α dodatna pret. 2. α dodatna pret.

3. α ∨ β ∨LU, 2 3. β dodatna pret.

4. ⊥ ¬E, 1, 3 4. α ∧ β ∧U, 2, 3

5. ¬α ¬U, 2-4 5. ⊥ ¬E, 1, 4

6. β dodatna pret. 6. ¬β ¬U, 3-5

7. α ∨ β ∨DU, 6 7. ¬α ∨ ¬β ∨D

U, 6

8. ⊥ ¬E, 1, 7

9. ¬β ¬U, 6-8 8. ¬α dodatna pret.

10. ¬α ∧ ¬β ∧U, 5, 9 9. ¬α ∨ ¬β ∨LU, 8

10. α ∨ ¬α TND11. ¬α ∨ ¬β ∨E, 10, 2-7, 8-9

UML 37

3. îstapredikatska logika

Neformalno govore}i, iskazna logika se bavi strukturomre~enica

uzimaju}i u obzir samo na~in na koji su neki jednostavni iskazi

povezani logi~kim veznicima, dok je zna~ewe tih polaznih iskaza

potpuno neva`no. Tako, iskazna logika nije dovoqno izraàjna

da bi se u woj razmotralo slede}e ~uveno zakqu~ivawe:

Svaki ~ovek je smrtan.

Sokrat je ~ovek.

Dakle, Sokrat je smrtan.

Predikatska logika omogu}ava da razmatramo i smisao po-

laznih iskaza. Pre nego {to detaqno opi{emo pomenutu logiku,

navodimo jedan primer u kome }emo objasniti neke polazne ideje

u razvoju predikatske logike.

PRIMER 21. Prirodni jezici nisu pogodni za precizno izraàvawe

smisla iskaza. Da li re~enica Svaki momak voli jednu devojku zna~i

(1)Postoji jedna devojka koju voli svaki momak ili (2) Za svakog momka

se moè prona}i jedna devojka koju on voli?

Potreba da se elimini{u dvosmislenosti prirodnog jezika dovela

je, izme|u ostalog, do uvo|ewa tzv. formalnih jezika ~ije se re~enice

formiraju prema unapred utvr|enim pravilima. Re~enice (1) i (2)

formalno }emo izraziti koriste}i:

� logi~ke veznike (∨, ∧, ¬,⇒,⇔),

� kvantifikatore ∀ � svaki i ∃ � neki,

� promenqive x, y, z, x1, y1, z1, x2, . . . (kojima }emo ozna~avati �proiz-

voqno�, �neodre|eno� qudsko bi}e) i

� pomo}ne znake: zarez i zagrade.

Pored toga, potrebno je da nekim simbolima ozna~imo i osobine biti

momak ibitidevojka, kaoiodnos voleti. Izjavu �x je momak� ozna~avamoM(x), �x je devojka� ozna~avamo D(x), dok V(x, y) zna~i �x voli y�.

Re~enicama (1) i (2) redom odgovaraju slede}e formule:

∃x(D(x) ∧ ∀y(M(y)⇒ V(y, x))) i ∀x(M(x)⇒ ∃y(D(y) ∧V(x, y))),

Navodimo formalizacije jo{ nekoliko re~enica prirodnog jezika.

� Svako voli nekoga � ∀x∃yV(x, y)

� Neko voli svakoga � ∃x∀yV(x, y)

� Neko ne voli nikoga � ∃x∀y¬V(x, y)

38 UML

H Predikatske formule

Jezikpredkatske logike razvijen je u jednomodnajva`nijih logi~kih

dela � u kwiìci Begriffsschrift (Pojmovno pismo) od stotinak

stranica koje je napisao Gotlob Frege i objavio 1879. godine34. 34 Fregea je, po sopstvenom priznawu,

vodila Lajbnicova ideja o univerzalnom

jeziku, lingua charactera, ~iji je us-

peh leào u razboritom izboru simbola.

Fregeov jezik je ve{ta~ki jezik odred-

jen preciznim gramati~kim pravilima,

odnosno sintaksom. Slobodno se moè

smatrati da je Begriffsschrift prete~a

svih programskih jezika.

Ovo delo je imalo podnaslov

formalni jezik za ~isto mi{qewe, po uzoru na jezik aritmetike.

Uop{teno govore}i, jezik predikatske logike se odnosi na:

� izvesne objekte o kojima èlimo da govorimo, kao i

� {ta èlimo o wima da govorimo � koja svojstva (osobine) ob-

jekata su nam va`na, i koje veze me|u objektima posmatramo;

svojstva i veze nazivamo predikatima.

Univerzum (univerzum govora) ~ine svi objekti o kojima govo-

rimo. (U prethodnom primeru, univerzum ~ine svi qudi.) Pro-

menqive x, y, z, x1, . . . koristimo da ozna~imo proizvoqne, neo-

dre|ene objekte univerzuma. Pojedine, konkretne, odre|ene objek-

te univerzuma naziva}emo konstantama. (Svaka konkretna osoba

predstavqa neku konstantu univerzuma koji ~ine qudi.)

Pri formirawu predikatskih formula koristimo i unapred

izabrane simbole za osobine objekata i veze me|u wima. Ove sim-

bole nazivamo predikatskim simbolima. Podrazumeva se i da je

svakom predikatskom simbolu pridruèna tzv. duìna, tj. broj

objekata na koje se odnosi. (U prethodnom primeru, predikatski

simboli su M, D, V, pri ~emu su wihove duìne redom 1, 1, 2.)

Naravno, broj i vrsta predikata mogu biti i druga~iji u zavis-

nosti od situacije koju opisujemo. Predikatske simbole duìne

1 naziva}emo unarnim, a predikatske simbole duìne 2 nazivamobinarnim.

Simbole konstanti i predikatske simbole sa pridruènim

duìnama nazivamo nelogi~kim simbolima i biramo ih u skladu

sa kontekstom. U svim slu~ajevima koristimo tzv. logi~ke sim-

bole:

� beskona~an skup promenqivih x, y, z, x1, y1, z1, . . .;

� logi~ke veznike: ∧, ∨, ¬,⇒ i⇔;

� logi~ke konstante: ⊥, >;

� kvantifikatore: ∀ (univerzalni) i ∃ (egzistencijalni);

� pomo}ne znake, tj. uobi~ajeni simboli za zarez i zagrade.

Ovako izabran alfabet odre|uje tzv. ~ist predikatski jezik.

UML 39

Atomske (elementarne)formule gradimotako{topredikatskim

simbolom poveèmo odgovaraju}i broj simbola koji se odnose na

objekte univerzuma (konstante i/ili promenqive).

PRIMER 22. Koriste}i predikatske simbole iz prethodnog primera,

M, D, V i dve konstante Mika i Ana, zapi{imo neke atomske formule:

M(x), M(y), M(Mika), D(x), D(Ana), V(x, Ana), V(x, x1), . . .

Polaze}i od atomskih formula, upotrebom veznika (¬, ∧, ∨,⇒,⇔), na uobi~ajeni na~in, i kvantifikatora (∀, ∃) formiramopredikatske formule. Kvantifikatore koristimo tako {to is-

pred ve} formirane predikatske formule, postavqamo jedan od

kvantifikatora zajedno sa nekom promenqivom.

Definicija 6. Predikatske formule gradimo slede}im pravili-

ma:

� logi~ke konstante ⊥ i >, kao i sve atomske formule jesu for-

mule;

� ako je α formula, onda je i ¬α formula;

� ako su α, β formule i ∗ ∈ {∨,∧,⇒,⇔}, onda je i (α ∗ β) for-

mula;

� ako je α formula i x promenqiva, onda su ∀xα i ∃xα formule.

Kada kvantifikator sa nekom promenqivom postavimo ispred

formule, tada sva pojavqivawa te promenqive u pomenutoj for-

muli postaju vezana i kaèmo da su pod dejstvom postavqenog

kvantifikatora. Ukoliko neko pojavqivawe promenqive u for-

muli nije pod dejstvom nijednog kvantifikatora, kaèmo da je

slobodno.

PRIMER 23. Odredimo vezana i slobodna pojavqivawa promenqivih

u formuli ∃x(V(x, y) ⇒ M(x) ∨ D(y)) ∧ ¬∀yV(y, y). Strelice na

narednoj slici pokazuju na slobodna pojavqivawa promenqivih.

Pojavqivawa ostalih promenqivih su vezana.

Promenqiva je slobodna u nekoj formuli ako ima slobodno po-

javqivawe u toj formuli. Kadaèlimo da istaknemo da su sve slo-

bodne promenqive formule α neke (ne nu`no sve) od promenqivih

x1, . . . , xn, onda pi{emo α(x1, . . . , xn).

PRIMER 24. Ako sa α ozna~imo formulu

∃x(V(x, y)⇒ M(x) ∨ D(y)) ∧ ¬∀yV(y, y)

40 UML

(iz prethodnog primera), onda bismo je, radi isticawa slobodnih pro-

menqivih, mogli ozna~iti α(y), ali i α(y, z), α(y, x1, . . . , xn) i sli~no

� va`no je samo da se promenqiva y pojavi na spisku promenqivih u

zagradi.

Svakaformula sa slobodnimpromenqivama na izabranom uni-

verzumu defini{e jednu istinitosnu funkciju ~iji su argumenti

objekti univerzuma (a vrednosti su 0 ili 1). Pored istinitosnih Svaka iskazna formula odre|uje istini-

tosnu funkciju ~iji su argumenti istini-

tosne vrednosti.tablica koje odre|uju logi~ke veznike, koristimo i slede}a prav-

ila za kvantifikatore:

� Ako su slobodnim promenqivama formule ∀xα dodeqeni neki

objekti univerzuma, onda je ∀xα ta~na za te vrednosti promen-

qivih, ako je za svaki (bilo koji) objekat univerzuma dodeqen

promenqivoj x formula α ta~na;

� Ako su slobodnim promenqivama formule ∃xα dodeqeni neki

objekti univerzuma, onda je ∃xα ta~na za te vrednosti promen-

qivih, ako je za neki (bar jedan) objekat univerzuma dodeqen

promenqivoj x formula α ta~na;

PRIMER 25. Posmatrajmo:

� univerzum koji sadrì pet objekata a, b, c, d i e i

� tri svojstva ovih objekata, P, Q i R, pri ~emu svojstvo P imaju samo

objekti a i b, svojstvo Q imaju samo d i e, a svojstvo R samo b, c i d.Ove ~iwenice moèmo zapisati, P = {a, b}, Q = {d, e}, R = {b, c, d}i prikazati slikom dole levo, i tabelom dole desno.

iskaz 0/1 iskaz 0/1 iskaz 0/1P(a) 1 Q(a) 0 R(a) 0P(b) 1 Q(b) 0 R(b) 1P(c) 0 Q(c) 0 R(c) 1P(d) 0 Q(d) 1 R(d) 1P(e) 0 Q(e) 1 R(e) 0

Polaze}i od atomskih formula P(x), Q(x), R(x), gradimo sloènije

formule, ~ija istinitosna vrednost zavisi od x; npr.

x (P(x) ∨Q(x)) ∧ ¬R(x) P(x) ∧Q(x) ¬R(x)⇒ P(x) ∨Q(x)

a 1 0 1b 0 0 1c 0 0 1d 0 0 1e 1 0 1

Iz prethodne tabele zakqu~ujemo da su ta~ne slede}e formule bez slo-

bodnih promenqivih:

� ∃x(P(x) ∨Q(x)) ∧ ¬R(x)

UML 41

� ¬∃x(P(x) ∧Q(x))

� ∀x(¬R(x)⇒ P(x) ∨Q(x)) . . .

Istinitosna vrednost formule P(x)∨Q(y)⇒ ¬P(y)∨Q(x) zavisi

od vrednosti dve promenqive x i y; npr.

x y P(x) ∨Q(y)⇒ ¬P(y) ∨Q(x)

a b 0c a 1

· · ·

PRIMER 26. Neka

� univerzum ~ine tri objekta a, b i c;

� jedan binarni predikat R zadat slikom dole levo, odn. tabelom dole

desno.

B a b ca 0 1 0b 0 1 1c 1 1 0

Ispitajmo istinitosne vrednosti formula ∀y B(x, y) i ∀y B(y, x), za

razne vrednosti slobodne promenqive x. Naravno, za izabrano x treba

za sve vrednosti promenqive y ispitati istintosne vrednosti formulaB(x, y), odn. B(y, x).

x y B(x, y) ∀y B(x, y) B(y, x) ∀y B(y, x)

a 0 0a b 1 0 0 0

c 0 1a 0 1

b b 1 0 1 1c 1 1a 1 0

c b 1 0 1 0c 0 0

Zakqu~ujemoda su ta~nei slede}eformulebez slobodnihpromenqivih:

� ¬∃x∀y R(x, y) (ne postoji ta~ka iz koje polaze strelica ka svim

ta~kama univerzuma);

� ∃x∀y R(y, x) (postoji ta~ka u koju dolaze strelice iz svih ta~aka

univerzuma)

H Pravila dedukcije za kvantifikatore

Pored pravila dedukcije za iskaznu logiku koja, naravno primen-

jujemo i na predikatske formule, koristimo i pravila za kvan-

tifikatore.

42 UML

Va`no mesto u pravilima dedukcije koja se odnose na kvan-

tifikatore zauzima tzv. supstitucija slobodnih promenqivih

simbolima konstanti ili nekim drugim promenqivama.

Ako je α neka formula, x promenqiva i c simbol konstante,

onda sa α[x/c] ozna~avamo formulu dobijenu zamenom svih slo-

bodnih pojavqivawa promenqive x simbolom konstantom c. Nar-avno, ako x nije slobodno u α, onda je formula α[x/c] istovetna

formuli α.

Prilikom zamene slobodne promenqive nekom drugom promen-

qivom moramo biti obazriviji. Naime, kada u α svako slo-

bodno pojavqivawe promenqive x zamewujemo promenqivom y,nijedno pojavqivawe promenqive y nakon zamene x sa y, ne sme dapostane vezano. U narednom primeru, ilustrujemo razloge ovog

ograni~ewa.

PRIMER 27. Ako se oslonimo na interpretaciju iz primera 21, onda

se formula

α(y) : ∀x V(x, y) � svaka osoba voli osobu y

bitno ne razlikuje od formule

α(y)[y/z] : ∀x V(x, z) � svaka osoba voli osobu z;

u oba slu~aja istinitost dobijenih formula zavisi od vrednosti koje

dodelimo promewlivoj y, odn. z. Isto va`i ako y zamenimo bilo Nema mnogo razlike da li kvadratnu

funkciju opi{emo jednako{}u f (y) = y2

ili f (z) = z2.kojom drugom promenqivom, osim promenqivom x, jer bi to izazvalo

drasti~nu promenu zna~ewa:

α(y)[y/x] : ∀x V(x, x) � svaka osoba voli sebe.

Va`no. Ka`emo da je promenqiva x slobodna za y u formuli

α ako nijedno pojavqivawe promenqive y nastalo zamenom x sa

y ne postaje vezano, a sa α[x/y] ozna~avamo formulu dobijenu

nakon opisane zamene. U nastavku, kada god napi{emo α[x/y]

podrazumeva}emo da je promenqiva x slobodna za y u formuli

α. Kada je jasno da je u formuli α promenqiva x zamewena Primetimo da je x uvek slobodno za x i daje formula α[x/x] istovetna formuli α.Primetimoi da ukoliko se promenqiva xne pojavquje slobodno u formuli α, tadaje formula α[x/y] identi~na formuli α.

promenqivom y, umesto α[x/y] kra}e pi{emo α(y).

Pravila ∀xE i ∃xU

Pre nego {to navedemo naslovqena pravila, motivisa}emo ih

nekim intuitivnim argumentima. Neka je P unarni predikatski

simbol. Ako zamislimo da su nizom c1, c2, c3, . . . nabrojani svi

objekti univerzuma, tada formula ∀xP(x) �tvrdi�:

(1) P(c1) ∧ P(c2) ∧ P(c3) ∧ · · · ,

UML 43

a ∃xP(x) �tvrdi�:

(2) P(c1) ∨ P(c2) ∨ P(c3) ∨ · · · .

Ova zapaàwa nas navode da pravila dedukcije o kvantifika-

torima poveèmo sa odgovaraju}im pravilima za konjunkciju i

disjunkciju.

Pravilo �(∧E)�

P(c1) ∧ P(c2) ∧ P(c3) ∧ · · ·P(ci)

(∧E)

tesno je povezano sa slede}im razmi{qawem: ako je ta~no ∀xα,

tada }e biti ta~na i formula dobijena kada se u α promenqiva xzameni bilo kojim objektom.

∀xα

α[x/v](∀E)

Iz ∀xα zakqu~ujemo α[x/v], pri ~emu je v simbol konstante ili

promenqiva za koju je x slobodno u α.

Budu}i da na raspolagawu imamo negrani~eno mnogo promen-

qivih, za svaku formulu α moèmo prona}i promenqivu v tako

da nakon zamene x sa v u α, nijedno pojavqivawe promenqive v ne

postaje vezano.

PRIMER 28.

∀x(Covek(x)⇒ Smrtan(x)), Covek(Sokrat) ` Smrtan(Sokrat)

1. ∀x(Covek(x)⇒ Smrtan(x)) pretpostavka

2. Covek(Sokrat) pretpostavka

3. Covek(Sokrat)⇒ Smrtan(Sokrat) ∀xE, 1 [x/Sokrat]

4. Smrtan(Sokrat) ⇒E, 3, 2

Pravilo �(∨U)�

R(ci)

R(c1) ∨ R(c2) ∨ R(c3) ∨ · · · (∨U)

tesno je povezano sa slede}im razmi{qawem: ako je ta~no α[x/v]

za neki objekat v, onda je ta~na i formula ∃xα.

α[x/v]

∃xα(∃U)

Iz α[x/v], za neki simbol konstante ili promenqivu v, za-

kqu~ujemo ∃xα.

PRIMER 29.

∀x(Covek(x)⇒ Smrtan(x)), Covek(Sokrat) ` ∃xSmrtan(x)

1. ∀x(Covek(x)⇒ Smrtan(x)) pretpostavka

2. Covek(Sokrat) pretpostavka

3. Covek(Sokrat)⇒ Smrtan(Sokrat) ∀xE, 1 [x/Sokrat]

4. Smrtan(Sokrat) ⇒E, 3, 2

5. ∃xSmrtan(x) ∃xU, 4

44 UML

Pravila ∀xU i ∃xE

Uvo|ewe univerzalnog i eliminacija egzistencijalnog kvan-

tifikatora su donekle komplikovanija pravila.

Neformalno, kada treba da dokaèmotvrdwuoblika∀xα, dokaz

zapo~iwemo re~ima �neka je x proizvoqan objekat ...�, pri ~emu

vodimo ra~una da je jedino {to znamo o x-u to da pripada odgo-

varaju}em univerzumu; ukoliko se desi da je oznaka x ve} rezer-

visana, onda uzimamo neku drugu, sveù promenqivu v i kaèmo

�neka je v proizvoqan objekat ...� Sli~no tome, kada znamo da

je ta~no ∃xα, onda }emo odgovaraju}i element ozna~iti nekim

�sveìm� slovom koje nije ve} rezervisano.

U oba pravila se pojavquju poddokazi snabdeveni tzv. sveòm

promenqivom koja se u formulama van poddokaza ne pojavquje

slobodno.

v...

α[x/v]

∀xα(∀xU)

Ako se kori{}ewem sveè promenqive moè dokazati

α[x/v], onda se moè zakqu~iti ∀xα.

Kqu~na ~iwenica za prethodno pravilo jeste da je v sveà

promenqiva, tj. da se ne pojavquje nigde van odgovaraju}eg pod-

dokaza, pa po{to ni{ta ne pretpostavqamo o v, svaki objekat

}e �pro}i� na wegovom mestu. Slede}a {ema ilustruje upotrebu

pravila (∀xU).... Kada èlimo da dokaèmo ∀xα,

j. v uvodimo sveù promenqivu v misle}i na �neka je vproizvoqan objekat univerzuma�.

...... Iz svega ostalog nastojimo da dokaèmo α[x/v].

k. α[x/v] Kada uspemo,

k + 1. ∀xα (∀xU), j-k izvodimo èqeni zakqu~ak.

PRIMER 30. Dokaìmo sekvent

∀x(A(x)⇒ B(x)), ∀x(B(x)⇒ C(x)) ` ∀x(A(x)⇒ C(x)).

1. ∀x(A(x)⇒ B(x)) pretpostavka

2. ∀x(B(x)⇒ C(x)) pretpostavka

3. v uvodimo sveù promenqivu

4. A(v)⇒ B(v) ∀xE, 1

5. B(v)⇒ C(v) ∀xE, 2

6. A(v)⇒ C(v) tranzitivnost implikacije, 4, 5

7. ∀x(A(x)⇒ C(x)) ∀xU, 3-6

ZADATAK 1. Dokazati sekvente:

(1) ` ∀x(A(x)⇒ A(x))

(2) ∀x(A(x)⇒ B(x)), ∀x(B(x)⇒ A(x)) ` ∀x(A(x)⇔ B(x))

UML 45

(3) ` ∀x(A(x)⇔ A(x))

(4) ∀x(A(x)⇔ B(x)) ` ∀x(B(x)⇔ A(x))

(5) ∀x(A(x)⇔ B(x)), ∀x(B(x)⇔ C(x)) ` ∀x(A(x)⇔ C(x))

PRIMER 31. Dokaìmo sekvent ∀x¬P(x) ` ∀x(P(x)⇒ Q(x)).

1. ∀x¬P(x) pretpostavka


3. P(v) dodatna pretpostvka

4. ¬P(v) ∀xE, 1

5. ⊥ ¬E, 3, 4

6. Q(v) ⊥E, 5

7. P(v)⇒ Q(v) ⇒U, 3-6

8. ∀x(P(x)⇒ Q(x)) ∀xU, 2-7

ZADATAK 2. Dokazati ∀x¬P(x), ∀x¬Q(x) ` ∀x(P(x)⇔ Q(x)).

Uvedimo najzad pravilo (∃xE). Grubo re~eno: ako znamo da je

∃xα ta~no, onda je α ta~no za bar jednu �vrednost� x, pa bi trebaloobaviti zakqu~ivawe po slu~ajevima za sve mogu}e vrednosti,

{to postièmo koriste}i sveù promenqivu v kao �generi~ku�

vrednost koja reprezentuje sve mogu}e vrednosti.

∃xα

v α[x/v]...

γ

γ(∃xE)

Ako iz α[x/v] dokaèmo formulu γ u kojoj se ne po-

javquje v, onda γ mora biti ta~no bez obzira na �vred-

nost� v. I ovoga puta, od su{tinske va`nosti je da

se v ne pojavquje slobodno nigde van odgovaraju}eg

poddokaza, pa samim tim ni u γ.

Slede}a {ema ilustruje kori{}ewe pravila (∃xE).

...

i. ∃xα... Kada èlimo da iskoristimo ∃xα,

j. v α[x/v] dod. pret. uvodimo oznaku v za objekat koji zadovoqava α....

... Iz α[x/v] i svega ostalog nastojimo da dokaèmo γ u kome

se v ne pojavquje slobodno.

k. γ Kada uspemo,

k + 1. γ (∃xE), i, j-k izvodimo èqeni zakqu~ak.

PRIMER 32. Dokaìmo sekvent:

∃x(D(x) ∧ ∀y(M(y)⇒ V(y, x))), M(Mile) ` ∃zV(Mile, z)

Neformalno

Da bismo {to jasnije obrazloìli navedeni sekvent, osloni}emo se

na interpretaciju navedenu u primeru 21. Iz pretpostavke da postoji

devojka koju voli svaki momak i pretpostavke da je Mile momak, jasno je

da postoji devojka koju Mile voli, jer to potvr|uje upravo devojka koju

svi vole, pa i Mile.

46 UML

Formalno

1. ∃x(D(x) ∧ ∀y(M(y)⇒ V(y, x))) pretpostavka

2. M(Mile) pretpostavka

3. c D(c) ∧ ∀y(M(y)⇒ V(y, c)) dodatna pretpostavka

4. ∀y(M(y)⇒ V(y, c)) ∧DE , 3

5. M(Mile)⇒ V(Mile, c) ∀xE, 4

6. V(Mile, c) ⇒E, 5, 2

7. ∃zV(Mile, z) ∃zU, 6

8. ∃zV(Mile, z) ∃xE, 1, 3-7

PRIMER 33. Neka je B binarni predikatski simbol. Doka`imo

sekvent ∀xB(x, x) ` ∀x∃yB(x, y).

1. ∀xB(x, x) pretpostavka


3. B(v, v) ∀xE, 1

4. ∃yB(v, y) ∃yU, 3 (B(v, v) je istovetna formuli B(v, y)[v/y])

5. ∀x∃yB(x, y) ∀xU, 2-4

U naredna dva primera posebnu pa`wu posve}ujemo nefor-

malnim dokazima. U matematici je uobi~ajeno da se dokazi

navode u neformalnom obliku, {to }emo i mi ~initi u nared-

nim poglavqima. Naravno, u neformalnim dokazima uglavnom

ne navodimo pravila dedukcije koja koristimo, ali ih svakako

imamo na umu, jer na osnovu wih i sastavqamo neformalni dokaz.

PRIMER 34. Neka univerzum ~ine sve ta~ke neke ravni. Da bismo

opisali raspored me|u ta~kama koristi}emo ternarni (du`ine tri)

predikatski simbol O: O(x, y, z) zna~i �ta~ka y je izme|u ta~aka x i z�.Dokazati da iz �o~igledne istine�

∀x∀y∀z(O(x, y, z)⇒ O(z, y, x) ∧ ¬O(y, z, x))

(Ako je y izme|u x i z, onda je y izme|u z i x i nije z izme|u y i x.)sledi ∀x∀y∀z(O(x, y, z)⇒ ¬O(z, x, y)).

Neformalno

Pretpostavimoda je∀x∀y∀z(O(x, y, z)⇒ O(z, y, x)∧¬O(y, z, x)) · · · (∗).

Neka su a, b, c proizvoqne ta~ke.Da bismo dokazali implikaciju O(a, b, c)⇒ ¬O(c, a, b),

pretpostavimo da je O(a, b, c). (Treba dokazati ¬O(c, a, b).)

Pretpostavimo (suprotno), da je O(c, a, b).

Iz (∗) i O(c, a, b) sledi O(b, a, c) i ¬O(a, b, c)

(Na (∗) smo primenili [x/c], [y/b], [z/a].)

O(a, b, c) i ¬O(a, b, c) daju kontradikciju.

Dakle, ¬O(c, a, b).

Dakle, O(a, b, c)⇒ ¬O(c, a, b).

Dakle, ∀x∀y∀z(O(x, y, z)⇒ ¬O(z, x, y)).

UML 47

Formalno

1. ∀x∀y∀z(O(x, y, z)⇒ O(z, y, x) ∧ ¬O(y, z, x)) pretpostavka

2. a, b, c3. O(a, b, c) dodatna pretpostavka

4. O(c, a, b) dodatna pretpostavka

5. O(c, a, b)⇒ O(b, a, c) ∧ ¬O(a, b, c) ∀xyzE, 1

6. O(b, a, c) ∧ ¬O(a, b, c) ⇒E, 5, 4

7. ¬O(a, b, c) ∧DE , 6

8. ⊥ ¬E, 3, 7

9. ¬O(c, a, b) ¬U, 4-8

10. O(a, b, c)⇒ ¬O(c, a, b) ⇒U, 3-9

11. ∀x∀y∀z(O(x, y, z)⇒ ¬O(z, x, y)) (∀xyzU), 2-10

Formula α je teorema predikatske logike ako je dokaziv sekvent

` α. Navodimo nekoliko va`nih teorema predikatske logike.

Dva susedna kvantifikatora iste vrste mogu zameniti mesta

` ∀x∀yα⇔ ∀y∀xα ` ∃x∃yα⇔ ∃y∃xα

` ∃x∀yα⇒ ∀y∃xα

De Morganovi zakoni za kvantifikatore

` ¬∃xα⇔ ∀x¬α ` ¬∀xα⇔ ∃x¬α

�∀ prolazi kroz ∧, a ∃ kroz ∨�` ∀x(α ∧ β)⇔ ∀xα ∧ ∀xβ ` ∃x(α ∨ β)⇔ ∃xα ∨ ∃xβ

` ∀xα ∨ ∀xβ⇒ ∀x(α ∨ β) ` ∃x(α ∧ β)⇒ ∃xα ∧ ∃xβ

Ako x nema slobodno pojavqivawe u β!

` ∀x(α ∨ β)⇔ ∀xα ∨ β ` ∃x(α ∧ β)⇔ ∃xα ∧ β

Doka`imo De Morganov zakon ` ¬∃xα ⇔ ∀x¬α. Navodimo

samo dokaze sekvenata ¬∃xα ` ∀x¬α i ∀x¬α ` ¬∃xα.De Morganovi zakon ` ¬∃xα⇔ ∀x¬α

1. ¬∃xα pretpostavka 1. ∀x¬α pretpostavka

2. v 2. ∃xα dodatna pret.

3. α[v/x] dodatna pret. 3. v α[v/x] dodatna pret.

4. ∃xα ∃xU, 3 4. ¬α[v/x] ∀xE, 1

5. ⊥ ¬E, 4, 1 5. ⊥ ¬E, 4, 3

6. ¬α[v/x] ¬U, 3-5 6. ⊥ ∃xE, 2, 3-5

7. ∀x¬α ∀xU, 2-6 7. ¬∃xα ¬U, 2-6

ZADATAK 3. Dokazati sekvente:

(a) ` ∀x∀yα⇔ ∀y∀xα

(b) ` ∃x∃yα⇔ ∃y∃xα

48 UML

(v) ` ∃x∀yα⇒ ∀y∃xα

De Morganov zakon ` ¬∀xα ⇔ ∃x¬α jednostavno izvodimo iz

prethodnog. Dokaz navodimo u obliku ekvivalencijskog lanca:

¬∀xα⇔ ¬∀x¬¬α⇔ ¬¬∃x¬α⇔ ∃x¬α

ZADATAK 4. U obliku ekvivalencijskog lanca navesti dokaze

sekvenata ` ∃xα⇔ ¬∀x¬α i ` ∀xα⇔ ¬∃x¬α.

Da bismo dokazali da �∀ prolazi kroz ∧� dokaza}emo sekvente

∀x(α ∧ β) ` ∀xα ∧ ∀xβ i ∀xα ∧ ∀xβ ` ∀x(α ∧ β).

Dokaz za ∀x(α ∧ β) ` ∀xα ∧ ∀xβ

1. ∀x(α ∧ β) pretpostavka

2 x Doka`imo najpre ∀xα.

3. α ∧ β ∀xE, 1

4. α ∧LE, 3

5. ∀xα ∀xU, 2-4

6. x Doka`imo daqe ∀xβ.

7. α ∧ β ∀xE, 1

8. β ∧DE , 7

9. ∀xβ ∀xU, 6-8

10. ∀xα ∧ ∀xβ ∧U, 5, 9

Dokaz za ∀xα ∧ ∀xβ ` ∀x(α ∧ β)

1. ∀xα ∧ ∀xβ pretpostavka

2. ∀xα ∧LE, 1

3. ∀xβ ∧DE , 1

4. x5. α ∀xE, 2

6. β ∀xE, 3

7. α ∧ β ∧U, 5, 6

8. ∀x(α ∧ β) ∀xU, 4-7

Dokaz da �∃ prolazi kroz ∨� navodimo u obliku ekvivalenci-

jskog lanca.

∃x(α ∨ β) ⇔ ¬¬∃x(α ∨ β)

⇔ ¬∀x¬(α ∨ β)

⇔ ¬∀x(¬α ∧ ¬β)

⇔ ¬(∀x¬α ∧ ∀x¬β)

⇔ ¬∀x¬α ∨ ¬∀x¬β

⇔ ∃x¬¬α ∨ ∃x¬¬β

⇔ ∃xα ∨ ∃xβ

Podpretpostavkomda x nema slobodnopojavqivawe u β, dokaza}emo

∃x(α ∧ β) ` ∃xα ∧ β i ∃xα ∧ β ` ∃x(α ∧ β).

Dokaz za ∃x(α ∧ β) ` ∃xα ∧ β, kada x nije slobodno u β.

1. ∃x(α ∧ β) pretpostavka

2 v α[v/x] ∧ β dodatna pret. (β[v/x] je istovetno formuli β)

3. α[v/x] ∧LE, 2

4. β ∧DE , 3

5. ∃xα ∃xU, 3

6. ∃xα ∧ β ∧U, 5, 4

7. ∃xα ∧ β ∃xE, 1, 2-6

UML 49

Dokaz za ∃xα ∧ β ` ∃x(α ∧ β), kada x nije slobodno u β.

1. ∃xα ∧ β pretpostavka

2. ∃xα ∧LE, 1

3. β ∧DE , 1

4 v α[v/x] dodatna pret.

5. α[v/x] ∧ β ∧U, 4, 3

6. ∃x(α ∧ β) ∧DE , 5 (β[v/x] je istovetno formuli β)

7. ∃x(α ∧ β) ∃xE, 2, 4-6

ZADATAK 5. U obliku ekvivalencijskog lanca navesti dokaze

sekvenata:

(1) ` ∀x(α ⇒ β) ⇔ (∃xα ⇒ β), pod pretpostavkom da se xne pojavquje slobodno u formuli β.

(2) ` ∀x(α ⇒ β) ⇔ (α ⇒ ∀xβ), pod pretpostavkom da se xne pojavquje slobodno u formuli α.

50 UML

4. ZF teorija skupova - I deoPojam skupa je jedan od najva`nijih pojmova savremene matem-

atike. Pravila gra|ewa skupova i osnovna svojstva preciziramo

aksiomama univerzuma ~iji su objekti skupovi. Velike zasluge u

razvoju tih aksioma imali su Cermelo38 iFrenkel39, pa se spisak 38 Ernest Cermelo (1871-1953)

(Ernst Zermelo)39 Abraham Frenkel (1891-1965)

(Abraham Fraenkel)

aksioma koji u nastavku izlaèmo zove i Cermelo-Frenkelova

teorija skupova i ozna~ava ZF.Univerzum skupovaopisujemokoriste}idvabinarnapredikata

∈ (pripadawe) i = (jednakost). Promenqive }emo ozna~avati

malim i velikim slovima latinice sa ili bez indeksa. Umesto

∈ (·, ·) i = (·, ·) koristi}emo tzv. infiksnu notaciju · ∈ · i · = ·.Za negacije atomskih formula koristimo kra}e oznake: umesto

¬x ∈ y i ¬x = y redom pi{emo x 6∈ y i x 6= y.Osnovna, unapred pretpostavqena, svojstva univerzuma nazi-

vamo aksiomama teorije skupova. Sve deduktivne posledice koje

izvodimo iz aksioma nazivamo teoremama teorije skupova. Pri

dokazivawu teorema koristimo pravila dedukcije i primewujemo

ih na aksiome i teoreme koje smo ve} dokazali. Iako su aksiome i

teoreme zapravo formule izabranog predikatskog jezika, mi }emo

ih formulisati i na govornom (srpskom) jeziku, jer to zna~ajno

olak{ava razumevawe onoga {to se wima tvrdi. Ipak, formu-

lacije }e pratiti i odgovaraju}e formule, osim u slu~ajevima

kada su one veoma komplikovane i te{ko ~itqive. Dokaze teo-

rema uglavnom }emo navoditi u neformalnom obliku, pri ~emu

}emo za one jednostavnije (u prvim odeqcima ove glave) navoditi

i formalne varijante.

H Aksiome ekstenzionalnosti, praznog skupa, para,

izdvajawa, partitivnog skupa i unije

Aksioma ekstenzionalnosti

Prva aksioma koju navodimo opisuje vezu izme|u ∈ i =.

AKSIOMA EKSTENZIONALNOSTI

Dva skupa su jednaka akko i samo ako imaju iste elemente.

∀a∀b(a = b⇔ ∀x(x ∈ a⇔ x ∈ b))

Najpre dokazujemo neke o~ekivane osobine jednakosti.

Teorema 11. (1) Za svaki skup a vaì a = a.(2) Za sve skupove a i b, iz a = b sledi b = a.(3) Za sve skupove a, b, c, iz a = b i b = c sledi a = c.

DOKAZ . (1) Neka je a proizvoqan skup. Jednostavno se moè

dokazati formula ∀x(x ∈ a ⇔ x ∈ a) (videti poddokaz 5-9

UML 51

dokaza navedenog u narednoj napomeni), iz koje prema aksiomi

ekstenzionalnosti dobijamo a = a.Navedeni dokaz je neformalna varijanta formalnog dokaza sekventa

∀a∀b(a = b⇔ ∀x(x ∈ a⇔ x ∈ b)) ` ∀a (a = a):

1. ∀a∀b(a = b⇔ ∀x(x ∈ a⇔ x ∈ b)) aksioma ekstenzionalnosti (Ax1)2. a (@elimo da dokaèmo ∀a(a = a).)

3. a = a⇔ ∀x(x ∈ a⇔ x ∈ a) ∀aE∀bE, 1

4. ∀x(x ∈ a⇔ x ∈ a)⇒ a = a ⇔DLE , 3

5. x (@elimo da dokaèmo ∀x(x ∈ a⇔ x ∈ a).)

6. x ∈ a7. x ∈ a⇒ x ∈ a ⇒U, 6

8. x ∈ a⇔ x ∈ a ⇔U, 7

9. ∀x(x ∈ a⇔ x ∈ a) ∀xU, 5-8

10. a = a ⇒E, 4, 9

11. ∀a(a = a) ∀aU, 2, 10

(2) Neka su a i b proizvoqni skupovi. Iz a = b, prema aksiomiekstenzionalnosti sledi ∀x(x ∈ a ⇔ x ∈ b), odakle se jednos-

tavno moè izvesti ∀x(x ∈ b ⇔ x ∈ a). Iz posledwe formule,

prema navedenoj aksiomi, dobijamo b = a.(3) Neka su a, b i c proizvoqni skupovi. Pretpostavimo da

vaì a = b i b = c. Prema aksiomi ekstenzionalnosti imamo

∀x(x ∈ a ⇔ x ∈ b) i ∀x(x ∈ b ⇔ x ∈ c), odakle izvodimo

∀x(x ∈ a ⇔ x ∈ c). Najzad, iz posledwe formule, primenom

aksiome ekstenzionalnosti, dobijamo a = c.

Napomena 1. Formalni dokazi sekvenata koji se pomiwu u dokazima

tvrdwi (2) i (3) prethodne leme:

(2) ∀x(x ∈ a⇔ x ∈ b) ` ∀x(x ∈ b⇔ x ∈ a)

(3) ∀x(x ∈ a⇔ x ∈ b), ∀x(x ∈ b⇔ x ∈ c) ` ∀x(x ∈ a⇔ x ∈ c)

potpuno su analogni dokazima sekvenata iz zadatka 1.1 pod (4) i (5).

Inkluzija

Neformalno, ukoliko su svi elementi skupa a ujedno i elementi

skupa b, kaèmo da je a podskup od b, odn. b je nadskup od a,i pi{emo a ⊆ b, odn. b ⊇ a. Odnos me|u skupovima ozna~en

simbolom ⊆ naziva se inkluzija. Tako|e, kaèmo da je a strogi

podskup od b (b je strogi nadskup od a) ako je a ⊆ b (b ⊇ a) i a 6= b,i pi{emo a ⊂ b (b ⊃ a).

Definicija 7. Formula a ⊆ b (kao i b ⊇ a) je skra}eni zapis

formule ∀x(x ∈ a ⇒ x ∈ b). Formula a ⊂ b je skra}eni zapis

formule a ⊆ b ∧ a 6= b.

Teorema 12. (1) Za svaki skup a vaì a ⊆ a.(2) Za sve skupove a i b, iz a ⊆ b i b ⊆ a sledi a = b.(3) Za sve skupove a, b, c, iz a ⊆ b i b ⊆ c sledi a ⊆ c.

52 UML

DOKAZ. Slede}e sekvente nije te{ko dokazati (dokazi su potpuno

analogni dokazima sekvenata iz primera 1.30 i zadatka 1.1 pod (1)

i (2)):

(1) ∀x(x ∈ a⇒ x ∈ a)

(2) ∀x(x ∈ a⇒ x ∈ b), ∀x(x ∈ b⇒ x ∈ a) ` ∀x(x ∈ a⇔ x ∈ b)

(3) ∀x(x ∈ a⇒ x ∈ b), ∀x(x ∈ b⇒ x ∈ c) ` ∀x(x ∈ a⇒ x ∈ c)

odakle neposredno (uz primenu aksiome ekstenzionalnosti za

tvr|ewe (2)) slede tvr|ewa navedena u lemi.

Aksioma praznog skupa

AKSIOMA PRAZNOG SKUPA

Postoji skup koji nema elemenata.

∃y∀x(x 6∈ y)

Skup ~ije postojawe tvrdi aksioma praznog skupa mora, prema

aksiomi ekstenzionalnosti, biti jedinstven. Zaista, ozna~imo

sa y1 i y2 skupove za koje va`i

∀x(¬x ∈ y1) i ∀x(¬x ∈ y2).

Iz ove dve formule jednostavno izvodimo ∀x(x ∈ y1 ⇔ x ∈ y2),

odakle, koriste}i aksiomu ekstenzionalnosti, zakqu~ujemo da je

y1 = y2.

Navodimo i formalni dokaz sekventa

∀x(¬x ∈ y1), ∀x(¬x ∈ y2) ` ∀x(x ∈ y1 ⇔ x ∈ y2).

1. ∀x(¬x ∈ y1)

2. ∀x(¬x ∈ y2)

3. x4. x ∈ y1

5. ¬x ∈ y1 ∀xE, 1

6. ⊥ ¬E, 4, 5

7. x ∈ y2 ⊥E, 6

8. x ∈ y1 ⇒ x ∈ y2 ⇒U, 4-7

9. x ∈ y2

10. ¬x ∈ y2 ∀xE, 2

11. ⊥ ¬E, 9, 10

12. x ∈ y1 ⊥E, 11

13. x ∈ y2 ⇒ x ∈ y1 ⇒U, 9-12

14. x ∈ y1 ⇔ x ∈ y2 ⇔U, 8, 13

15. ∀x(x ∈ y1 ⇔ x ∈ y2) ∀xU, 3-14

Primetimo da je ovo izvo|ewe potpuno analogno izvo|ewu sekventa iz

zadatka 1.2.Jedinstveni skup koji nema elemenata ozna~avamo sa ∅ i nazi-

vamo ga praznim skupom. Dakle, ∀x (x 6∈ ∅). U nastavku, oznaku

∅ koristimo kao simbol konstante univerzuma skupova.

UML 53

Postojawe i jedinstvenost praznog skupa tvrdi slede}a for-

mula, koja je, kao {to smo pokazali posledica uvedenih aksioma:

∃y ∀x(x 6∈ y)︸︷︷︸ϕ(y)

∧∀y1∀y2(∀x(x 6∈ y1)︸︷︷︸ϕ[y1/y]

∧∀x(x 6∈ y2)︸︷︷︸ϕ[y2/y]

⇒ y1 = y2).

Uop{te, formule oblika

(∗) ∃yϕ(y) ∧ ∀y1∀y2(ϕ[y1/y] ∧ ϕ[y2/y]⇒ y1 = y2),

koje kra}e ozna~avamo ∃!yϕ(y), tvrde da postoji jedinstveni ob-

jekat y koji zadovoqava izvesnu formulu ϕ.

Teorema 13. Za svaki skup a vaì ∅ ⊆ a.

DOKAZ. Treba dokazati formulu ∀x(x ∈ ∅⇒ x ∈ a).

1. ∀x(¬x ∈ ∅)

2. x3. x ∈ ∅4. ¬x ∈ ∅ ∀xE, 1

5. ⊥ ¬E, 3, 4

6. x ∈ a ⊥E, 5

7. x ∈ ∅⇒ x ∈ a ⇒U, 3-6

8. ∀x(x ∈ ∅⇒ x ∈ a) ∀xU, 2-7

Aksiome para, izdvajawa, unije i partitivnog skupa

Sve naslovqene aksiome, koje navodimo u ovom odeqku, jesu

oblika

(α∗) ∀a1 · · · ∀an∃y∀x(x ∈ y⇔ α(x, a1, . . . , an)),

gde }e α(x, a1, . . . , an) biti neka formula specijalnog oblika, u

kojoj se y ne pojavquje slobodno i svaka promenqiva koja se slo-

bodno pojavquje u ovoj formuli jeste neka (ne nu`no i svaka) od

promenqivih x, a1, . . . , an. Intuitivno, navedeni oblik razumemo

na slede}i na~in: ako su a1, . . . , an proizvoqni skupovi, tada pos-

toji skup y koji sadrì samo one x za koje se moè utvrditi veza

α(x, a1, . . . , an). Za svaku formulu α, skup y ~ije postojawe tvrdi

formula (α∗) mora biti jedinstven prema aksiomi ekstenzional-

nosti. Zaista, ako za proizvoqno izabrane a1, . . . , an, sa y1 i y2

ozna~imo skupove takve da je

∀x(x ∈ y1 ⇔ α(x, a1, . . . , an)) i ∀x(x ∈ y2 ⇔ α(x, a1, . . . , an)),

onda se jednostavno moè izvesti ∀x(x ∈ y1 ⇔ x ∈ y2), a zbog

aksiome ekstenzionalnosti i y1 = y2.

Postavqa se pitawe, moèmo li za svako α, formulu (α∗) pri-

hvatiti kao aksiomu. Odgovor je negativan, kao {to pokazuje

~uveni Raselov paradoks.

54 UML

Raselovparadoks. Neka je α(x, a1, . . . , an)formula x 6∈ x. Ozna~imoovu formulu sa ρ(x). Tada (ρ∗) postaje: ∃y∀x(x ∈ y ⇔ x 6∈ x).

Me|utim, iz ove formule jednostavno izvodimo kontradikciju:

1. ∃y∀x(x ∈ y⇔ x 6∈ x)

2. v ∀x(x ∈ v⇔ x 6∈ x)

3. v ∈ v⇔ v 6∈ v ∀xE, 2...

i. ⊥i + 1. ⊥ ∃xE, 1, 2-iKontradikcija je svakakone{to{tone smemodozvoliti. Dakle,

{ema (α∗) je neprihvatqiva u op{tem slu~aju. Smemo je koristiti

samo za formule α(x, a1, . . . , an) specijalnog oblika:

� x = a1 ∨ x = a2,

� x ∈ a∧ ϕ(x, a, a1, . . . , an), za bilokojuformulu ϕ(x, a, a1, . . . , an),

� ∀t(t ∈ x ⇒ t ∈ a),

� ∃t(t ∈ a ∧ x ∈ t).

AKSIOMA PARA ∀a1∀a2∃y∀x(x ∈ y⇔ x = a1 ∨ x = a2)

Aksioma para tvrdi da za svaka dva skupa a1 i a2 postoji skup y~iji su jedini elementi a1 i a2. Ve} smo istakli da se moè izvesti

∀a1∀a2∃!y∀x(x ∈ y ⇔ x = a1 ∨ x = a2). Jedinstveni skup koji

sadrì a1 i a2 kao jedine elemente ozna~avamo {a1, a2}. Speci-

jalno, za proizvoqan a1, skup {a1, a1} ozna~avamo {a1} i nazivamoga singltonom (ili jedno~lanim skupom). Uvedene oznake koris-

titimo pri zapisivawu formula, pri ~emu imamo na umu da ove

oznake moèmo eleminisati pomo}u slede}ih ekvivalencija:

x ∈ {a1, a2} ⇔ x ∈ a1∨ x = a2 i x ∈ {a1} ⇔ x ∈ a1∨ x = a1 ⇔ x = a1.

AKSIOMA IZDVAJAWA ∀a∀a1 · · · ∀an∃y∀x(x ∈ y⇔ x ∈ a ∧ ϕ(x, a, a1, . . . , an))

Da bismo jednostavnije objasnili zna~ewe aksiome izdvajawa,

posmatra}emo wen specijalan slu~aj

∀a∃y∀x(x ∈ y⇔ x ∈ a ∧ ϕ(x, a)).

Ovim oblikom aksiome se tvrdi da za svaki skup a i bilo koju

formulu ϕ(x, a) moèmo formirati skup (izdvojiti podskup od

a) koji }e sadràvati samo one elemente x iz a za koje se moè

utvrditi ϕ(x, a). Po{to takav skupmorabiti jedinstven, uvodimo

posebnu oznaku za wega {x | x ∈ a∧ ϕ(x, a)} ili {x ∈ a | ϕ(x, a)}.Primetimo da je {x | x ∈ a ∧ ϕ(x, a)} ⊆ a. Isti~emo i slede}u

ekvivalenciju:

t ∈ {x | x ∈ a ∧ ϕ(x, a)} ⇔ t ∈ a ∧ ϕ(t, a).

UML 55

AKSIOMA PARTITIVNOG SKUPA ∀a∃y∀x(x ∈ y⇔ ∀t(t ∈ x ⇒ t ∈ a))

Podse}amo da je x ⊆ a skra}ewe za ∀t(t ∈ x ⇒ t ∈ a), pa

aksiomu partitivnog skupa moèmo zapisati i u slede}em obliku:

∀a∃y∀x(x ∈ y ⇔ x ⊆ a). Dakle, ova aksioma tvrdi da za svaki

skup a postoji skup koji sadrì sve podskupove skupa a i drugih

elemenata nema. Taj jedinstveni skup ozna~avamoP(a) i nazivamo

partitivni skup od a. Posebno isti~emo ekvivalenciju koju }emokoristiti pri radu sa partitivnim skupovima:

x ∈ P(a)⇔ x ⊆ a.

AKSIOMA UNIJE ∀a∃y∀x(x ∈ y⇔ ∃t(t ∈ a ∧ x ∈ t))

Aksiomom unije se tvrdi da za svaki skup a postoji skup koji

sadrì sve elemente elemenata skupa a i drugih elemenata nema.

Taj jedinstveni skup ozna~avamo⋃

a ili⋃

t∈at i nazivamo unijom

skupa a.x ∈

⋃a⇔ ∃t(t ∈ a ∧ x ∈ t)

Korisno je imati na umu slede}e:

� na primer, ako {a, b, c} ∈ X, ondaa, b, c ∈ ⋃X;

� na primer, ako a, b, c ∈ X, onda

{a, b, c} ∈ P(X).

PRIMER 35. Polaze}i od praznog skupa ∅, navodimo neke od skupova

koje moèmo izgraditi primenom navedenih aksioma.

Koriste}i aksiomu para dobijamo skupove:

{∅}, {{∅}}, {{{∅}}}, {∅, {∅}}, {∅, {{∅}}}, {{∅}, {{∅}}} itd.

Koriste}i aksiomu partitivnog skupa:

P(∅) = {∅}, P({∅}) = {∅, {∅}}, P({∅, {∅}}) = {∅, {∅}, {{∅}}, {∅, {∅}}} itd.

Koriste}i aksiomu izdvajawa, na primer, iz skupaP({∅, {∅}}) for-mulom ∅ ∈ x ∨ {∅} ∈ x moèmo �izdvojiti� skup

{x | x ∈ P({∅, {∅}})∧ (∅ ∈ x∨{∅} ∈ x)} = {{∅}, {{∅}}, {∅, {∅}}}.

Primenomaksiome unijemoèmoformirati, naprimer, skup {∅, {∅}, {{∅}}}.Zaista, formirajmo singlton {∅} i par {{∅}, {{∅}}}, a zatim od ovih

skupova novi par {{∅}, {{∅}, {{∅}}}}. Tada je⋃{{∅}, {{∅}, {{∅}}}} = {∅, {∅}, {{∅}}}.

Slobodnije re~eno, ako su skupovi zadati navo|ewem elemenata unutar

viti~astih zagrada, onda⋃

a dobijamo brisawem viti~atih zagrada koje

se odnose na elemente skupa a (i izbacivawem praznog skupa ukoliko je

on element od a):

ako je a = {{∅}, {{∅}, {{∅}}}}, onda je⋃

a = {6 {∅ 6 }, 6 { {∅}, {{∅}} 6 } }

56 UML

Do sada smo navedene aksiome koristili da bismo dokazali

postojawe izvesnih skupova. U nastavku }emo dokazati ne{to

druga~iji rezultat: da ne postoji skup koji sadrì sve skupove.

Teorema 14. Ne postoji skup koji sadrì sve skupove.

DOKAZ. Potrebno je da iz navedenih aksioma izvedemo formulu

¬∃y∀x(x ∈ y). Umesto formalnog izvo|ewa, navodimo samo os-

novne korake dokaza.

Pretpostavimo suprotno onome {to treba dokazati, tj. da

postoji skup svih skupova, ∃y∀x(x ∈ y). Ozna~imo sa v takav

skup, ∀x(x ∈ v). (Nije te{ko pokazati da ovakav skup v mora

biti jedinstven.) Prema aksiomi izdvajawa moèmo formirati

skup u = {x | x ∈ v ∧ x 6∈ x}. Iz ∀x(x ∈ u ⇔ x ∈ v ∧ x 6∈ x),

izvodimo

(∗) u ∈ u⇔ u ∈ v ∧ u 6∈ u.

Prema zakonu iskqu~ewa tre}eg, u ∈ u ili u 6∈ u.Ako u ∈ u, koriste}i implikaciju u ∈ u⇒ u ∈ v ∧ u 6∈ u, do-

bijenu iz (∗), izvodimo u ∈ v ∧ u 6∈ u, tj. u 6∈ u. Kontradikcija.Neka u 6∈ u. Iz ∀x(x ∈ v) zakqu~ujemo da u ∈ v (v sadrì

sve skupove, pa samim tim sadrì i u), pa imamo u ∈ v ∧ u 6∈ u.Koriste}i implikaciju u ∈ v ∧ u 6∈ u ⇒ u ∈ u, dobijenu iz (∗),izvodimo u ∈ u. Kontradikcija.

Izvedene kontradikcije obaraju polaznu pretpostavku da pos-

toji skup svih skupova. Dakle, ¬∃y∀x(x ∈ y).

Posledica 1. Za svaki skup postoji skup koji mu ne pripada.

DOKAZ. Tvr|ewe sledi iz prethodne teoreme i De Morganovih

zakona za kvantifikatore: ¬∃y∀x(x ∈ y)⇔ ∀y∃x(x 6∈ y).

Za bilo koji skup a, unija⋃

a sadrì samo one elemente koji

pripadaju bar jednom elementu iz a. Ako je a neprazan skup, ondaiz jednog elementa skupa a moèmo izdvojiti samo one elemente

koji pripadaju svim elementima iz a:

(∗) x ∈⋂

a ⇔ ∀t(t ∈ a⇒ x ∈ t).

Ovako odre|en skup⋂

a je jedinstven i nazivamo ga presekom skupaa. Umesto

⋂a ponekada se pi{e i

⋂t∈a

t. Va`no je imati na umu da je

definisan samo presek nepraznih skupova. Presek praznog skupa

nije definisan, jer bi se u tom slu~aju ekvivalencijom (∗) tvrdiloda je

⋂∅ zapravo skup svih skupova (jednostavno je dokazati for-

mulu ∀t(t ∈ ∅⇒ x ∈ t)).

UML 57

H Bulove operacije. Dekartov proizvod

Ve} smo naglasili da }emo kao promenqive koristiti i velika

slova latinice, {to je u matemati~koj literaturi uobi~ajeno, pa

}emo u nastavku sve ~e{}e tako postupati. Koriste}i navedene

aksiome, uvodimo tzv. Bulove (skupovne) operacije.

Presek skupova A i B jeste skup A ∩ B koji sadrì samo one

elemente koji pripadaju i skupu A i skupu B, i drugih elemenataosim ovih nema.

Formalno, iz uvedenih aksioma se dokazuje:

∀A∀B∃!Y∀x(x ∈ Y ⇒ x ∈ A ∧ x ∈ B︸︷︷︸x∈A∧α(x,A,B)

).

Presek skupova A i B ozna~avamo A ∩ B:

A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}

Skupovi A i B su disjunktni ako je A ∩ B = ∅.

Razlika skupova A i B jeste skup koji sadrì samo one elemente

koji pripadaju skupu A, a ne pripadaju skupu B, i drugih elemenataosim ovih nema.

Iz uvedenih aksioma se dokazuje:

∀A∀B∃!Y∀x(x ∈ Y ⇒ x ∈ A ∧ x 6∈ B)

Razliku skupova A i B ozna~avamo A \ B:

A \ B = {x | x ∈ A ∧ x 6∈ B}

Specijalno, ako je B ⊆ A, razliku A \ B nazivamo komplemen-

tom skupa B u odnosu na A. Kada je u nekom kontekstu jasno u

odnosu na koji skup A se odre|uju komplementi, onda umesto A \ Bpi{emo B{.Unija skupova A i B jeste skup A∪ B koji sadrì samo one ele-

mente koji pripadaju skupu A ili skupu B (bar jednom od skupova

A, B), i drugih elemenata osim ovih nema.

Formalno, unija dva skupa se uvodi na slede}i na~in: A∪ B =⋃{A, B}. Za bilo koje x imamo:

x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈⋃{A, B}

⇔ ∃t(t ∈ {A, B} ∧ x ∈ t)

⇔ ∃t((t = A ∨ t = B) ∧ x ∈ t)

⇔ ∃t((t = A ∧ x ∈ t) ∨ (t = B ∧ x ∈ t))

⇔ ∃t(t = A ∧ x ∈ t) ∨ ∃t(t = B ∧ x ∈ t)

⇔ x ∈ A ∨ x ∈ B,

Navedenim ekvivalencijskim lancem opravdan je uobi~ajeni za-

pis A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}.

58 UML

Napomena 2. U prethodnom ekvivalencijskom lancu koristili smo ek-

vivalenciju ∃t(t = A ∧ x ∈ t) ⇔ x ∈ A koju nije te{ko dokazati.

Navodimo skra}eni dokaz implikacije ∃t(t = A ∧ x ∈ t)⇒ x ∈ A.1. ∃t(t = A ∧ x ∈ t) pretpostavka

2. t t = A ∧ x ∈ t3. t = A ∧L

E, 2

4. x ∈ t ∧DE , 2

5. t = A⇔ ∀u(u ∈ t⇔ u ∈ A) aksioma

· · · i. x ∈ t⇔ x ∈ A iz 3 i 5 primenom⇔LDE ,⇒E, ∀uE

i + 1. x ∈ A iz 4 i i primenom⇔LDE ,⇒E

i + 2. x ∈ A ∃xE, 1, 2-i + 1Obratnu implikaciju x ∈ A⇒ ∃t(t = A∧ x ∈ t) je jo{lak{e dokazati.

1. x ∈ A· · · i. A = Ai + 1. A = A ∧ x ∈ A [Ova formula je zapravo (t = A ∧ x ∈ t)[A/t]] ∧U, 1, ii + 2. ∃t(t = A ∧ x ∈ t) ∃tU, i + 1

Teorema 15. Za proizvoqne skupove A, B, C va`i:

1. A ∩ A = A 2. A ∪ A = A3. A ∩ B = B ∩ A 4. A ∪ B = B ∪ A5. A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C 6. A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C7. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) 8. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

9. A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C) 10. A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C)

DOKAZ. Sve navedene jednakosti jednostavno dokazujemo formi-

rawem ekvivalencijskih lanaca u kojima koristimo odgovaraju}e

teoreme predikatske logike. Navodimo samo nekoliko dokaza, a

ostale prepu{tamo ~itaocima.

Jednakost (1) A ∩ A = A potvr|uje lanac

x ∈ A ∩ A⇔ x ∈ A ∧ x ∈ A⇔ x ∈ A,

u kome je druga ekvivalenicija poznata teorema iskazne logike

α ∧ α⇔ α.

Jednakost (8) A∪ (B∩C) = (A∪ B)∩ (A∪C) potvr|uje lanac

x ∈ A ∪ (B ∩ C) ⇔ x ∈ A ∨ x ∈ B ∩ C ⇔ x ∈ A ∨ (x ∈ B ∧ x ∈ C)

⇔ (x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ (x ∈ A ∨ x ∈ C)

[` α ∨ (β ∧ γ)⇔ (α ∨ β) ∧ (α ∨ β)]

⇔ x ∈ A ∪ B ∧ x ∈ A ∪ C

⇔ x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).

UML 59

Jednakost (10) A \ (B∪C) = (A \ B)∩ (A \C) potvr|uje lanac

x ∈ A \ (B ∪ C) ⇔ x ∈ A ∧ ¬x ∈ B ∪ C ⇔ x ∈ A ∧ ¬(x ∈ B ∨ x ∈ C)

⇔ x ∈ A ∧ (¬x ∈ B ∧ ¬x ∈ C)

[` ¬(α ∨ β)⇔ ¬α ∧ ¬β]

⇔ (x ∈ A ∧ ¬x ∈ B) ∧ (x ∈ A ∧ ¬x ∈ C)

[` α ∧ (β ∧ γ)⇔ (α ∧ β) ∧ (α ∧ γ)]

⇔ x ∈ A \ B ∧ x ∈ A \ C

⇔ x ∈ (A \ B) ∩ (A \ C).


1. A ∩ B ⊆ A, A ∩ B ⊆ B, 2. A ⊆ A ∪ B, B ⊆ A ∪ B,3. Ako je C ⊆ A i C ⊆ B, onda je C ⊆ A ∩ B,4. Ako je A ⊆ C i B ⊆ C, onda je A ∪ B ⊆ C,5. Ako je B ⊆ C, onda je A \ C ⊆ A \ B.

DOKAZ. Tvrdwe (1) i (2) direktno slede iz definicija inkluzije,

preseka i unije, i slede}ih teorema predikatske logike:

(1) x ∈ A ∧ x ∈ B⇒ x ∈ A, x ∈ A ∧ x ∈ B⇒ x ∈ B,(2) x ∈ A⇒ x ∈ A ∨ x ∈ B, x ∈ B⇒ x ∈ A ∨ x ∈ B.(3) Iz C ⊆ A i C ⊆ B, tj. ∀x(x ∈ C ⇒ x ∈ A) i ∀x(x ∈C ⇒ x ∈ B), zakqu~ujemo ∀x(x ∈ C ⇒ x ∈ A ∧ x ∈ B), tj.

∀x(x ∈ C ⇒ x ∈ A ∩ B), pa je C ⊆ A ∩ B.(4) Iz A ⊆ C i B ⊆ C, tj. ∀x(x ∈ A ⇒ x ∈ C) i ∀x(x ∈B ⇒ x ∈ C), zakqu~ujemo ∀x(x ∈ A ∨ x ∈ B ⇒ x ∈ C), tj.

∀x(x ∈ A ∪ B⇒ x ∈ C), pa je A ∪ B ⊆ C.(5) Iz B ⊆ C, tj. ∀x(x ∈ B ⇒ x ∈ C), prema zakonu kontrapozi-

cije imamo ∀x(x 6∈ C ⇒ x 6∈ B), a odatle i ∀x(x ∈ A ∧ x 6∈ C ⇒x ∈ A ∧ x 6∈ B), pa je A \ C ⊆ A \ B.

Posledica 2. Ako je B ⊆ A i C ⊆ A, onda je:

(1) (B ∩ C){ = B{ ∪ C{ i (B ∪ C){ = B{ ∩ C{,(2) iz B ⊆ C sledi C{ ⊆ B{.

PRIMER 36. Doka`imo da je P(A ∩ B) = P(A) ∩ P(B).

Treba dokazati ekvivalenciju:

X ∈ P(A ∩ B)⇔ X ∈ P(A) ∧ X ∈ P(B),

odnosno, prema definicije partitivnog skupa,

X ⊆ A ∩ B⇔ X ⊆ A ∧ X ⊆ B.

Implikaciju X ⊆ A ∩ B ⇒ X ⊆ A ∧ X ⊆ B, dokazujemo uz pomo}

leme 16 (1) i leme 12 (3): ako je X ⊆ A ∩ B, onda, zbog A ∩ B ⊆ A

60 UML

i A ∩ B ⊆ B, mora biti i X ⊆ A i X ⊆ B. Obratna implikacija,

X ⊆ A ∧ X ⊆ B⇒ X ⊆ A ∩ B, jeste zapravo tvrdwa teoreme 16 (3).Ispitajmo da li upravo dokazana jednakost vaì ukoliko presek

zamenimo unijom. Implikaciju X ⊆ A ∨ X ⊆ B ⇒ X ⊆ A ∪ B nije

te{ko dokazati: ako je X ⊆ A, onda, zbog A ⊆ A ∪ B, dobijamo X ⊆A ∪ B, a ako je X ⊆ B, onda, zbog B ⊆ A ∪ B, opet dobijamo X ⊆ A ∪ B.Dakle, za bilo koje skupove vaì A i B vaì P(A) ∪ P(B) ⊆ P(A ∪ B).

Me|utim, ako je X ⊆ A∪ B, skup X ne mora biti podskup nijednog od

skupova A, B. Naprimer, ako je A = {0, 1}, B = {1, 2} iX = {0, 2}, bi}eX ⊆ A∪ B, aliX 6⊆ A iX 6⊆ B. Druga~ije zapisano, X ∈ P(A∪ B), X 6∈P(A) i X 6∈ P(B). Primetimo da smo navedenim izborom skupova A, B,X zapravo dokazali prvu formulu slede}eg ekvivalencijskog lanca:

∃A∃B∃X(X ∈ P(A ∪ B) ∧ X 6∈ P(A) ∧ X 6∈ P(B))

⇔ ∃A∃B∃X¬(¬X ∈ P(A ∪ B) ∨ (X ∈ P(A) ∨ X ∈ P(B))

⇔ ∃A∃B¬∀X(X ∈ P(A ∪ B)⇒ (X ∈ P(A) ∨ X ∈ P(B))

⇔ ∃A∃B¬(P(A ∪ B) ⊆ P(A) ∪ P(B))

⇔ ¬∀A∀B(P(A ∪ B) ⊆ P(A) ∪ P(B))

Ure|en par skupova a i b, u oznaci (a, b), zami{qamo kao celinu

koju ~ine a i b navedeni odre|enim redosledom � jasno se zna koji

objekat je prvi (levi) ~lan celine, a koji je drugi (desni) ~lan

celine. Kqu~na osobina ure|enih parova jeste da iz (a, b) = (c, d)

sledi a = c i b = d.

Definicija 8. Ure|en par skupova a i b je skup {{a}, {a, b}}, tj.(a, b)

def= {{a}, {a, b}}, pri ~emu je a prva koordinata i b druga

koordinata.

Primetimo da ure|en par (a, b) nije isto {to i par {a, b}.Dokaìmo da za ovako uvedene ure|ene parove vaì navedena os-

obina.

Teorema 17. Neka su a, b, c i d bilo koji skupovi. Tada:

(a, b) = (c, d)⇔ a = c ∧ b = d.

DOKAZ. Posebno dokazujemo svaku implikaciju.

(⇐) Ako je a = c i b = d, onda je {a} = {c} i {a, b} = {c, d}, paje i {{a}, {a, b}} = {{c}, {c, d}}, tj. (a, b) = (c, d).

(⇒) Neka je (a, b) = (c, d), tj. {{a}, {a, b}} = {{c}, {c, d}}.Znamo da su dva skupa jednaka ako imaju iste elemente, pa iz pret-

postavqene jednakosti zakqu~ujemo da vaè jednakosti navedene u

svakom od slede}a dva slu~aja. Dokaza}emo da u oba slu~aja mora

biti a = c ∧ b = d.

UML 61

1. slu~aj: {a} = {c}, {a, b} = {c, d}. Iz {a} = {c} sledi da je

a = c, a odatle i {a, b} = {c, d}, pa je i b = d.2. slu~aj: {a} = {c, d}, {a, b} = {c}. Iz {a} = {c, d} sledia = c = d, a iz {a, b} = {c} da je a = b = c. Samim tim, svakako

vaì a = c i b = d.

Dekartov proizvod skupova A i B jeste skup ure|enih parova

~ije prve koordinate pripadaju skupu A, a druge skupu B. Da bismoopravdali postojawe jednog ovakvog skupa, najpre }emo odrediti

skup u kome se (izme|u ostalog) nalaze svi ure|eni parovi nave-

denog oblika, a zatim }emo iz tog skupa izdvojiti samo èqene

ure|ene parove.

Ako a ∈ A i b ∈ B, tada a, b ∈ A ∪ B,odakle sledi {a}, {a, b} ⊆ A ∪ B,tj. {a}, {a, b} ∈ P(A ∪ B).

Daqe imamo {{a}, {a, b}} ⊆ P(A ∪ B),

odnosno (a, b) = {{a}, {a, b}} ∈ P(P(A ∪ B)).Naravno, skup P(P(A ∪ B)) sadrì i svakakve druge skupove

(koji nisu ure|eni parovi, kao i ure|ene parove ~ije koordinate

ne ispuwavaju postavqeni uslov), ali primenom aksiome izdva-

jawa moèmo formirati najavqeni Dekartov proizvod koji }emo

ozna~avati A× B:

A× B = {x | x ∈ P(P(A∪B))∧∃a∃b(a ∈ A∧ b ∈ B∧ x = (a, b))}.

U literaturi vrlo ~esto se Dekartov proizvod A× B zadaje kao

skup {(a, b) | a ∈ A ∧ b ∈ B}, {to je opravdano jer znamo da su

svi elementi skupa A × B ure|eni parovi i to upravo oni ~ija

prva koordinata dolazi iz A, a druga iz B. Kada èlimo da

dokaèmo da izvesni ure|eni par (x, y) pripada A× B, dovoqnoje da dokaèmo x ∈ A i y ∈ B.

(x, y) ∈ A× B⇔ x ∈ A ∧ y ∈ B

PRIMER 37. Dekartov proizvod skupova A = {0, 1, 2} i B = {0, 1}jeste skup A× B = {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), (2, 0), (2, 1)}. Primetimoda jeB×A = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1), (1, 2)}, kaoida je A× B 6=B× A.

Moèmo formirati i slede}e Dekartove proizvode:

A× A = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 0), (2, 1), (2, 2)},B× B = {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)}.

Budu}i da prazan skup nema elemente, ne moèmo formirati

ure|ene parove ~ija jedna koordinata dolazi iz praznog skupa.

Odavde sledi da za svaki skup A vaè jednakosti

A×∅ = ∅ = ∅× A.

62 UML

Lema 4. Za sve skupove A, B, C va`e jednakosti:

(1) A× (B ∪ C) = (A× B) ∪ (A× C),

(2) A× (B ∩ C) = (A× B) ∩ (A× C),

(3) A× (B \ C) = (A× B) \ (A× C).

DOKAZ. (1) Dokaz navodimo u obliku slede}eg ekvivalencijskog

lanca:

(x, y) ∈ A× (B ∪ C) ⇔ x ∈ A ∧ y ∈ B ∪ C

⇔ x ∈ A ∧ (y ∈ B ∨ y ∈ C)

⇔ (x ∈ A ∧ y ∈ B) ∨ (x ∈ A ∧ y ∈ C)

⇔ (x, y) ∈ A× B ∨ (x, y) ∈ A× C

⇔ (x, y) ∈ (A× B) ∪ (A× C)

Za proizvoqne a, b, c, ure|eni par ((a, b), c) kra}e ozna~avamo

(a, b, c) i nazivamo ure|enom trojkom, i a, b, c redom nazivamo pr-

vom, drugom, tre}om koordinatom ure|ene trojke (a, b, c). Slede}i

ekvivalencijski lanac dokazuje osnovnu osobinu ure|enih trojki:

(a, b, c) = (a1, b1, c1) ⇔ (a, b) = (a1, b1) ∧ c = c1

⇔ a = a1 ∧ b = b1 ∧ c = c1.

Skup svih ure|enih trojki ~ija prva koordinata pripada skupu

A, druga skupu B, i tre}a skupu C jeste skup (A× B)× C, koji sekra}e ozna~ava A× B× C. Sli~no kao za Dekartove proizvode

dva skupa, pi{emo

A× B× C = {(a, b, c) | a ∈ A ∧ b ∈ B ∧ c ∈ C}.

Potpuno analogno uvodimo ure|ene ~etvorke, petorke itd:

(a, b, c, d)def= ((a, b, c), d), (a, b, c, d, e) def

= ((a, b, c, d), e), . . . ,

i Dekartove proizvode vi{e od tri skupa:

A× B×C×D = {(a, b, c, d) | a ∈ A∧ b ∈ B∧ c ∈ C∧ d ∈ D}, . . .

Ako je A bilo koji skup, Dekartove proizvode A× A, A× A×A, A× A× A itd. nazivamo Dekartovim stepenima i kra}e ih

ozna~avamo A2, A3, A4 itd.

� Skupovi (A× B)×C i A× (B×C) nisu jednaki, pa zato u

zapisu A× B× C ne izostavqamo zagrade zbog asocijativnosti,

ve} po dogovoru. Prema op{tem dogovoru o izostavqawu zagrada

u ozna~avawu Dekartovog proizvoda podrazumeva se da je A1 ×A2 × A3 × A4 × · · · × An kra}i zapis za

(· · · (((A1 × A2)× A3)× A4)× · · · )× An,

a ne da se zagrade mogu postavqati proizvoqno.

UML 63

H Relacije. Funkcije

Da bismo pojednostavili zapisivawe formula, usvajamo slede}e

dogovore: za bilo koju formulu α

� (∀x ∈ X) α ozna~ava ∀x(x ∈ X ⇒ α);

� (∃x ∈ X) α ozna~ava ∃x(x ∈ X ∧ α);

� (∃!x ∈ X) α ozna~ava ∃!x(x ∈ X ∧ α).

Nije te{ko dokazati slede}u ekvivalenciju

(∃!x ∈ X) α⇔ (∃x ∈ X) α∧ (∀x1 ∈ X)(∀x1 ∈ X)(α(x1/x)∧ α(x2/x)⇒ x1 = x2).

Sli~ne dogovore primewujemo u obi~nom tekstu:

�za svaki x ∈ X� zna~i �za svaki x koji pripada X�;

�za postoji x ∈ X� zna~i �za postoji x koji pripada X�;

�skup X ⊆ A� zna~i �skup X koji je podskup skupa A�.

Definicija 9. Svaki podskup odX×Y naziva se binarna relacija

izme|u X i Y. Specijalno, podskup od X × X naziva se binarna

relacija skupa X.

Dakle, P(A× B) je skup svih relacija izme|u A i B.

PRIMER 38. Ako je A = {0, 1, 2}iB = {0, 1}, onda jeR = {(0, 0), (1, 1), (2, 0), (2, 1)}binarna relacija izme|u A i B. U jednostavnim slu~ajevima, kao {to

je ovaj, pogodno je relaciju R prikazati grafi~ki kao {to u~iweno na

narednim slikama.

Navodimo jo{ nekoliko relacija iz A u B: P = {(1, 2)}, Q =

{(0, 0), (0, 1)}, S = {(0, 1), (1, 1), (2, 1)} itd. Primetimo i da su ∅ i

A× B tako|e dve binarne relacije izme|u A i B; ∅ nazivamo praznom

relacijom, a A× B punom relacijom.

PRIMER 39. Neka je R neka relacija skupa A, R ⊆ A × A. Da

bismo grafi~ki prikazali R ne moramo dva puta �crtati� skup A.Na primer, relaciju R = {(0, 0), (0, 2), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (3, 2)} skupaA = {0, 1, 2, 3, 4} grafi~kimo`emoprikazati kao na narednim slikama,pri ~emu je o~igledno kako je slika desno nastala.

64 UML

Relacija ∆A = {(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)} ⊆ A × A je vaàn

primer relacije skupa A � naziva se dijagonala skupa A.

Definicija 10. Dijagonala skupa X je skup

∆X = {(x, y) | (x, y) ∈ X× X ∧ x = y} = {(x, x) | x ∈ X}.

Napomena 3. Nije te{ko aksiomama opravdati postojawe skupa

∆X. Iz skupa X × X izdvajamo (oslawaju}i se, naravno, na ak-

siomu izdvajawa) ure|ene parove ~ije su koordinate iste.

∆X = {z ∈ X× X | (∃x ∈ X) z = (x, x)}

Svaki skup R ~iji su elementi ure|eni parovi jeste zapravo

binarna relacija skupa⋃⋃

R. Zaista, koordinate bilo kog para(a, b) iz R pripadaju skupu

⋃⋃R: ako (a, b) = {{a}, {a, b}} ∈ R,

onda {a}, {a, b} ∈ ⋃R, pa a, b ∈ ⋃⋃

R. Dakle, svaki skup Rure|enih parova moèmo smatrati binarnom relacijom: R ⊆(⋃⋃

R)× (⋃⋃

R). Skup svih prvih koordinata ure|enih parova

iz R naziva se domen relacije R i obeleàva se dom(R), a skup

svih drugih koordinata naziva se kodomen relacije R i obeleàva

codom(R) ili ran(R).

dom(R) = {a ∈⋃⋃

R | ∃b (b ∈⋃⋃

R ∧ (a, b) ∈ R)}

ran(R) = {b ∈⋃⋃

R | ∃a (a ∈⋃⋃

R ∧ (a, b) ∈ R)}

Definicija 11. Relacija F izme|u skupova X i Y, F ⊆ X × Yje funkcija iz X u Y, u oznaci F : X → Y, ako za svako x iz

X postoji jedinstveno y iz Y tako da (x, y) ∈ F, {to moèmo

izraziti i slede}im uslovima:

(F1) dom(F) = X, tj. za svako x ∈ X postoji y ∈ Y tako da

(x, y) ∈ F,

(F2) za svako x ∈ X i sve y1, y2 ∈ Y, iz (x, y1) ∈ F i (x, y2) ∈ Fsledi y1 = y2.

UML 65

PRIMER 40. Na narednim slikama predstavqeno je nekoliko relacija

izme|u skupova A = {0, 1, 2, 3} i B = {a, b, c, d}.Relacije P, Q i R nisu funkcije iz A u B. Relacija P ne ispuwava

uslov (F2), prema kome element domena ne mo`e biti po~etak vi{e od

jedne strelice: (0, b) ∈ P, (0, c) ∈ P i b 6= c. Relacija Q ne ispuwava

uslov (F1), prema kome svaki element domena mora biti po~etak neke

strelice: element 1 nije prva koordinata nijednog ure|enog para iz Q.

Relacija R ne zadovoqava ni uslov (F1) ni (F2).

Relacije F, G i H, prikazane na slikama ispod jesu funkcije iz A u

B.

Ove funkcionalne relacije kra}e opisujemo slede}im �tabelama�:

F =

(0 1 2 3b c a b

), G =

(0 1 2 3c d a b

), H =

(0 1 2 3b b b b

).

Isti~emo da je zapis F : X → Y skra}ewe za formulu

(∀x ∈ X)(∃!y ∈ Y)(x, y) ∈ F,

odnosno za konjunkciju slede}e dve formule:

(F1) (∀x ∈ X)(∃y ∈ Y)(x, y) ∈ F,

(F2) (∀x ∈ X)(∀y1 ∈ Y)(∀y2 ∈ Y)((x, y1) ∈ F ∧ (x, y2) ∈ F ⇒ y1 = y2).

Ako F : X → Y, onda umesto (x, y) ∈ F pi{emo F(x) = yili x F7→ y. Elementi skupa X nazivaju se originali ili argu-

menti funkcije F. Za svaki x iz X, element y iz Y takav da je

F(x) = y nazivamo F-slikom argumenta x, pri ~emu }emo prefiksF izostavqati kada je iz konteksta jasno o kojoj funkciji F je re~.

Za x iz X, zapis F(x) mo`emo koristiti i samostalno kao oznaku

odgovaraju}eg elementa iz Y � oznaku F-slike elementa x.

Kompozicija relacija. Kompozicija funkcija

Definicija 12. Neka je R ⊆ X × Y i Q ⊆ Y × Z. Relacija

Q ◦ R ⊆ X× Z data sa

Q ◦ R = {(x, z) ∈ X× Z | ∃y ∈ Y((x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ Q)}

66 UML

naziva se kompozicija relacija R i Q.

Napomena 4. Aksiomom izdvajawa jednostavno se moè opravdati

postojawe skupa koji je kompozicija relacija R ⊆ X × Y i Q ⊆Y× Z:

Q ◦R = {u ∈ X×Y | (∃x ∈ X)(∃y ∈ Y)(∃z ∈ Z)(u = (x, z)∧ (x, y) ∈ R∧ (y, z) ∈ Q)}.

PRIMER 41. Na slici dole levo prikazane su dve relacije P ⊆ A× Bi Q ⊆ B× C. Odredimo kompoziciju Q ◦ P.

Oslawaju}i se na date grafove relacija uo~avamo da (x, z) pripada

relaciji Q ◦ P ako postoji strelica iz x u neki element skupa Y i

strelica iz tog istog elementa u z, tj. ako su x i z povezani dvema

nadovezanim strelicama (kraj jedne strelice poklapa se sa po~etkom

druge strelice).

Teorema 18. Neka je R ⊆ X×Y, Q ⊆ Y× Z i P ⊆ Z×U. Tada je:

(1) R ◦ ∆X = R = ∆Y ◦ R,(2) P ◦ (Q ◦ R) = (P ◦Q) ◦ R

DOKAZ. (1) O~igledno su R ◦ ∆X i ∆Y ◦ R podskupovi od X × Y.Dokaze èqenih jednakosti navodimo u obliku slede}ih ekviva-

lencijskih lanaca:

(x, y) ∈ R ◦ ∆X ⇔ (∃t ∈ X)((x, t) ∈ ∆X ∧ (t, y) ∈ R)

⇔ (∃t ∈ X)(x = t ∧ (t, y) ∈ R)

⇔ (x, y) ∈ R

(x, y) ∈ ∆Y ◦ R ⇔ (∃t ∈ Y)((x, t) ∈ R ∧ (t, y) ∈ ∆Y)

⇔ (∃t ∈ Y)((x, t) ∈ R ∧ t = y)

⇔ (x, y) ∈ R

Opravdaweposledwih ekvivalencija u navedenimlancima sasvim

je analogno onom koje je navedeno u napomeni 2 na strani 58.

(2) Neka je R ⊆ X × Y, Q ⊆ Y× Z i P ⊆ Z×U. Tada je Q ◦ R ⊆X × Z, pa je P ◦ (Q ◦ R) ⊆ X ×U. Tako|e, P ◦ Q ⊆ Y ◦U, pa je

(P ◦Q) ◦ R ⊆ X×U. Ostaje jo{ da za svaki ure|eni par (x, u) iz

X ×U dokaèmo ekvivalenciju (x, u) ∈ P ◦ (Q ◦ R) ⇔ (x, u) ∈

UML 67

(P ◦Q) ◦ R:

(x, u) ∈ P ◦ (Q ◦ R) ⇔ (∃z ∈ Z)((x, z) ∈ Q ◦ R ∧ (z, u) ∈ P)

⇔ (∃z ∈ Z)((x, z) ∈ Q ◦ R ∧ (z, u) ∈ P)

⇔ (∃z ∈ Z)((∃y ∈ Y)((x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ Q) ∧ (z, u) ∈ P)

⇔ (∃z ∈ Z)(∃y ∈ Y)((x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ Q ∧ (z, u) ∈ P)

⇔ (∃y ∈ Y)(∃z ∈ Z)((x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ Q ∧ (z, u) ∈ P)

⇔ (∃y ∈ Y)((x, y) ∈ R ∧ ∃z(z ∈ Z ∧ (y, z) ∈ Q ∧ (z, u) ∈ P))

⇔ (∃y ∈ Y)((x, y) ∈ R ∧ (y, u) ∈ P ◦Q)

⇔ (x, u) ∈ (P ◦Q) ◦ R

Napomena 5. Kada se promenqiva v ne pojavquje slobodno u for-

muli α, tada je

` ∃v(α ∧ β)⇔ α ∧ ∃vβ,

{to smo koristili u dokazu tvr|ewa (4). Pored toga, koristili

smo i

` ∃v1∃v2ϕ⇔ ∃v2∃v3ϕ,

kao i asocijativnost konjunkcije.

ZADATAK 6. Neka je R, R1 ⊆ X×Y i Q, Q1 ⊆ Y× Z.(1) Ako je R ⊆ R1, onda je Q ◦ R ⊆ Q ◦ R1.

(2) Ako je Q ⊆ Q1, onda je Q ◦ R ⊆ Q1 ◦ R.

Kompozicija dve funkcije, tako|e je funkcija.

Teorema 19. Neka je F : X → Y i G : Y → Z. Tada G ◦ F : X → Z.

DOKAZ. Jasno je da mora biti G ◦ F ⊆ X × Z. Proverimo uslove(F1) i (F2).

(F1) Neka je x ∈ X proizvoqno izabran element. Budu}i da

F : X → Y, postoji element y ∈ Y takav da je (x, y) ∈ F. Daqe,po{to G : Y → Z, postoji element z ∈ Z takav da je (y, z) ∈ G.Odavde, sledi da (x, z) ∈ G ◦ F.(F2) Neka su x ∈ X, z1, z2 ∈ Z proizvoqno izabrani elementi,

takvi da je (x, z1) ∈ G ◦ F i (x, z2) ∈ G ◦ F.Iz (x, z1) ∈ G ◦ F sledi da postoji y1 ∈ Y takav da (x, y1) ∈ F

i (y1, z1) ∈ G.Iz (x, z2) ∈ G ◦ F sledi da postoji y2 ∈ Y takav da (x, y2) ∈ F

i (y2, z2) ∈ G.Po{to F : X → Y, iz (x, y1) ∈ F i (x, y2) ∈ F, zakqu~ujemo

da y1 = y2. Najzad, po{to G : Y → Z, iz y1 = y2, (y1, z1) ∈ G i

(y2, z2) ∈ G, zakqu~ujemo da z1 = z2.

68 UML

Ako F : X → Y i G : Y → Z, tada za x iz X, element (G ◦ F)(x),

tj. G ◦ F-sliku elementa x ozna~avamo i sa G(F(x)).

Inverzna relacija. 1-1 funkcija, na-funkcija, bijekcija

Definicija 13. Neka je R ⊆ X×Y. Relacija R−1 ⊆ Y×X data sa

R−1 = {(y, x) | (x, y) ∈ R} naziva se inverzna relacija relacijeR.

Napomena 6. Nije te{ko aksiomama opravdati postojawe skupa

koji je inverzna relacija neke date delacije R ⊆ X×Y:

R−1 = {z ∈ Y× X | (∃x ∈ X)(∃y ∈ Y)(z = (y, x) ∧ (x, y) ∈ R)}.

PRIMER 42. Neka je A = {0, 1, 2} i B = {0, 1}.Ako je R ⊆ A× B i R = {(0, 0), (1, 0), (2, 0), (2, 1)}, onda je R−1 ⊆

B× A i R−1 = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 2)}. Grafi~ki prikaz relacije

R−1 dobijamo promenom smera svih strelica relacije R.

PRIMER 43. Inverzna relacija funkcije ne mora biti funkcija. In-

verzna relacija funkcije F : A→ B (prikazane na narednoj slici levo),

F−1 ⊆ B× A, nije funkcija iz B u A.

Inverzna relacija funkcije G : A → B (slika dole levo), G−1 ⊆B× A, jeste funkcija iz B u A.

Ako F : X → Y, relacija F−1 ⊆ Y× X je funkcija iz Y u X ako

va`i:

(∀y ∈ Y)(∃!x ∈ X)(y, x) ∈ F−1, tj. (∀y ∈ Y)(∃!x ∈ X)(x, y) ∈ F.

UML 69

Posledwa formula zapravo predstavqa uslov koji mora da zado-

voqifunkcija F dabiwoj inverznarelacija tako|e bilafunkcija.Taj uslov ekvivalentan je konjunkciji slede}a dva uslova:

(S) (∀y ∈ Y)(∃x ∈ X)(x, y) ∈ F, tj. za svako y iz Y postoji x iz X takav da (x, y) ∈ F (svaki y iz Yjeste slika nekog elementa iz X);

(I) (∀y ∈ Y)(∀x1 ∈ X)(∀x2 ∈ X)((x1, y) ∈ F ∧ (x2, y) ∈ F ⇒ x1 = x2), tj. ako x1 i x2 iz X imaju

iste slike, onda su oni jednaki.

Uslov (I) mo`emo formulisati i u slede}em obliku:

(I) (∀x1 ∈ X)(∀x2 ∈ X)(F(x1) = F(x2)⇒ x1 = x2),

odnosno, oslawaju}i se na zakon kontrapozicije,

(I) (∀x1 ∈ X)(∀x2 ∈ X)(x1 6= x2 ⇒ F(x1) 6= F(x2)).

Uglavnom }emo koristiti jednu od ove posledwe dve formulacije.

Definicija 14. Neka F : X → Y.

1. F je na-funkcija ili surjekcija, u oznaci F : X na→ Y, akozadovoqava uslov (S).

2. F je 1-1 funkcija ili injekcija, u oznaci F : X 1−1→ Y, akozadovoqava uslov (I).

3. F je bijekcija ili obostrano-jednozna~na korespodencija, u oz-

naci F : X1−1−→na Y, ako F : X 1−1→ Y i F : X na→ Y.

Ako F : X na→ Y, ka`emo da je F funkcija iz skupa X na skup Y.ZADATAK 7. Neka f : X → Y i g : Y → Z.

(1) Ako f : X 1−1→ Y i g : Y 1−1→ Z, onda g ◦ f : X 1−1→ Z.(2) Ako f : X na→ Y i g : Y na→ Z, onda g ◦ f : X na→ Z.

(3) Ako f : X1−1−→na Y i g : Y

1−1−→na Z, onda g ◦ f : X1−1−→na Z.

Na osnovu prethodnih razmatrawa izvodimo slede}u zna~ajnu

posledicu.

Posledica 3. Neka F : X → Y.

1. Inverzna relacija funkcije F je funkcija akko je F bijekcija.

2. Ako je F bijekcija, onda je i F−1 bijekcija.

Napomena 7. Ako F : X → Y, za y iz Y smemo koristiti zapis

F−1(y) samo ako znamo da je F bijekcija, jer samo tada to ima

smisla.

VA@NI PRIMERI FUNKCIJA

Funkcije zauzimaju veoma zna~ajno mesto u svim matemati~kim

oblastima {to donekle potvr|uje veliki broj sinonima koji se

70 UML

koriste: preslikavawa, transformacije, operatori itd. U nas-

tavku }emo izdvojiti neke najva`nije primere funkcija.

Restrikcije

Ako f : X → Y, tada je za svaki neprazan podskup A od X(∅ 6= A ⊆ X), skup f ∩ (A×Y) funkcija iz A u Y. Ova funkcijase obeleàva f |A i naziva restrikcija funkcije f na (podskup

domena) A. Dakle, f | A : A→ Y. Za x ∈ A vaì f |A (x) = f (x),

dok za x ∈ X \ A, zapis f |A (x) nema smisla.

PRIMER 44. Neka f : {0, 1, 2, 3} → {a, b, c}:

f =

(0 1 2 3b c a b

).

Tada je f |{0,1,2}=

(0 1 2b c a

), f |{1,3}=

(1 3c b

), itd.

Lema 5. Ako f : X → Y i ∅ 6= B ⊆ A ⊆ X, onda je ( f |A) |B= f |B.

DOKAZ. Iz f |A= f ∩ (A× X) i ( f |A) |B= f |A ∩(B× X) sledi

da je

( f |A) |B= f |A ∩(B× X) = f ∩ (A× X) ∩ (B× X).

Kako je B ⊆ A, zakqu~ujemo da je B× X ⊆ A× X, tj. (A× X) ∩(B× X) = B× X. Dakle, ( f |A) |B= f ∩ (B× X) = f |B.

Identi~ko preslikavawe

O~igledno je ∆X jedna funcija iz X u X, ∆X : X → X. Ova

funkcija je veoma zastupqena u matematici i u literaturi se

sre}e dosta wenih oznaka idX, IX, IdX, 1X itd, pri ~emu se indeks

X izostavqa kada je jasno na koji skup X se odnosi. Mi }emo

koristiti oznaku idX : X → X. Primetimo da je idX(x) = x,za svako x ∈ X. O~igledno, funkcija idX je bijekcija. Posebno

isti~emo slede}e svojstvo.

Teorema 20. Ako f : X → Y i g : Y → X i vaì g ◦ f = idX i

f ◦ g = idY, onda su f i g bijekcije, jedna drugoj inverzne.

Projekcije

Za bilo koje skupove A i B, funkcije πA : A × B → A,πA(x, y) = x i πB : A× B → B, πB(x, y) = y, nazivaju se projek-cije. Projekcije su uvek na funkcije.

Binarne operacije

Ako je S neki skup, svakafunkcija iz S× S u S naziva se binarnaoperacija skupa S.

UML 71

PRIMER 45. Binarnu operaciju ∗ : {0, 1, 2} × {0, 1, 2} → {0, 1, 2}skupa {0, 1, 2} datu sa

∗ =

((0, 0) (0, 1) (0, 2) (1, 0) (1, 1) (1, 2) (2, 0) (2, 1) (2, 2)

0 0 1 1 2 0 0 2 1

)predstavqamo i tzv. Kejlijevom tablicom.

∗ 0 1 20 0 0 21 1 2 02 0 2 0

Uobi~ajeno je da se umesto ∗(x, y) pi{e x ∗ y. Kada god je zadata neka

binarna operacija na skupu,

• ra~unamo vrednosti izraza: na primer, (0 ∗ 1) ∗ ((2 ∗ 2) ∗ 1) = 0 ∗ (0 ∗1) = 0 ∗ 0 = 0;

• re{avamo jedna~ine: na primer, re{ewa jedna~ine x ∗ 1 = 2 su 1 i 2(x = 1 ili x = 2);

• tragamo za zakonima koje zadovoqava data operacija: na prime, za

svaki x ∈ {0, 1, 2} vaì: (x ∗ x) ∗ x = ((x ∗ x) ∗ x) ∗ x.

Uobi~ajeno je da se binarne operacije ozna~avaju raznim speci-

jalnim simbolima +, ·, ∗, ?, ⊕ itd, kao i da se koristi tzv. in-

fiksna notacija � oznaku operacije navodimo izme|u argumenata

(za razliku od prefiksne notacije gde se oznaka operacije navodi

ispred argumenata).

Definicija 15. Operacija ∗ : S× S→ S je:

� komutativna ako za sve x, y ∈ S vaì x ∗ y = y ∗ x;

� asocijativna ako za sve x, y, z ∈ S vaì x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z.

Grobo govore}i, komutativnost neke operacije zna~i da bilo

koja dva argumenta smeju da zamene mesta, a da se rezultat ne

promeni. Asocijativnost dozvoqavaizostavqawe zagrada: umesto

x ∗ (y ∗ z) i (x ∗ y) ∗ z pi{emo x ∗ y ∗ z, jer je svejedno kako su za-grade postavqene. Naravno, zapis x ∗ y ∗ z je nedopustiv ukolikooperacija ∗ nije asocijativna.

PRIMER 46. Operacija ∗ : {0, 1, 2} × {0, 1, 2} → {0, 1, 2} definisanau prethodnom primeru nije komutativna, jer je, na primer, 0 ∗ 1 = 0 i

1 ∗ 0 = 1. Nije ni asocijativna, jer je, na primer, 1 ∗ (1 ∗ 2) = 1 ∗ 0 = 1i (1 ∗ 1) ∗ 2 = 2 ∗ 2 = 0.

Operacija ? : {0, 1, 2} × {0, 1, 2} → {0, 1, 2} data Kejlijevom tabli-

com:

? 0 1 20 0 1 11 1 2 22 1 2 2

72 UML

jeste komutativna ({to se jednostavno uo~ava, jer je tablica simetri~na

u odnosu na glavnu dijagonalu), ali nije asocijativna: 0 ? (1 ? 2) =

0 ? 2 = 1 i (0 ? 1) ? 2 = 1 ? 2 = 2.

PRIMER 47. Narednim tablicama uvodimo dve va`ne binarne op-

eracije skupa {0, 1}:

+2 0 10 0 11 1 0

· 0 10 0 01 0 1

Operacija +2 se naziva sabirawe po modulu 2, a · mnoèwe (po mod-

ulu 2). Obe operacije su komutatvne i obe su asocijativne. U aso-

cijativnost se jednostavno moèmo uveriti direktnom proverom svih

mogu}ih slu~ajeva. Na primer, asocijativnost operacije +2 potvr|uju

rezultati prikazani u narednoj tabeli:

x y z y +2 z x +2 (y +2 z) x +2 y (x +2 y) +2 z0 0 0 0 0 0 00 0 1 1 1 0 10 1 0 1 1 1 10 1 1 0 0 1 01 0 0 0 1 1 11 0 1 1 0 1 01 1 0 1 0 0 01 1 1 0 1 0 1

PRIMER 48. Ako je S bilo koji skup, na skupuP(S) prirodno je posma-

trati operacije preseka, unije i razlike, jer za sve X, Y ∈ P(S), skupovi

X∩Y, X∪Y i X \Y tako|e pripadajuP(S). Zato uniju, presek i razliku

moèmo posmatrati i kao operacije (bilo kog) partitivnog skupa P(S),

i pisati ∪,∩, \ : P(S)× P(S) → P(S). Sli~no tome, i komplement u

odnosu na skup S jeste funkcija iz P(S) u sebe { : P(S)→ P(S).

Skup svih funkcija iz A u B, u oznaci BA dobijamo izdvajawem

iz skupa P(A× B) onih relacija izme|u A i B koje su funkcije.

PRIMER 49. Ako je S bilo koji skup, kompozicija dve funkcije iz SS

tako|e je funkcija iz SS, pa samim tim kompozicija predstavqa jednu

binarnu relaciju skupa SS, tj. ◦ : SS × SS → SS.

Specijalno, za S = {0, 1}, skup SS sadrì slede}e elemente:

idS =

(0 10 1

)f =

(0 10 0

)g =

(0 11 0

)h =

(0 11 1

),

UML 73

a operaciji kompozicije odgovara slede}a Kejlijeva tablica:

◦ idS f g hidS idS f g h

f f f f fg g h idS fh h h h h

Za bilo koji skup S, operacija ◦ na SS je asocijativna, {to direktno

sledi iz teoreme 18 (3). Da kompozicija, u op{tem slu~aju, nije komu-

tativna, jednostavno uo~avamo iz prethodne tablice ( f ◦ g 6= g ◦ f ).

Karakteristi~ne funkcije

Ako je S bilo koji skup, funkcije iz S u dvo~lani skup {0, 1}predstavqaju svojevrsne reprezentacije podskupova od S. Naime,bilo koji podskup A ⊆ S reprezentuje wegova karakteristi~na

funkcija χA : S→ {0, 1},

χA(x) =

{1, x ∈ A,0, x 6∈ A.

Ako 1 shvatimo kao �da� i 0 kao �ne�, onda vrednost χA(x) pred-

stavqa odgovor na pitawe da li x pripada A.

PRIMER 50. Ako je S = {0, 1, 2, 3, 4}, onda je:

χ{0,2,4} =

(0 1 2 3 41 0 1 0 1

), χ∅ =

(0 1 2 3 40 0 0 0 0

)itd.

Svaka funkcija f : S → {0, 1} odre|uje jedan podskup skupa

S ~ija je karakteristi~na funkcija upravo f ; re~ je o podskupu

{x ∈ S | f (x) = 1}.Kako za svaki A ⊆ S vaì (∀x ∈ S)(x ∈ A ⇔ χA(x) = 1),

zakqu~ujemo da su podskupovi A1, A2 ⊆ S jednaki ako i samo ako

(∀x ∈ S)(χA1(x) = χA2(x)). Ovo zapaàwe moè biti veoma ko-

risno prilikom dokazivawa skupovnih identiteta, {to je ilus-

trovano u slede}em primeru.

PRIMER 51. Simetri~na razlika skupova A i B jeste skup A4B =

(A \ B) ∪ (B \ A). Dokaìmo da za bilo koja tri skupa A, B, C vaì

A4(B4C) = (A4B)4C.Neka je S = A ∪ B ∪ C. Nije te{ko uo~iti da za bilo koje X, Y ⊆ S,

i sve x ∈ S vaì χX4Y(x) = χX(x) +2 χY(x). Kako je A, B, C ⊆ S i +2

74 UML

asocijativna operacija imamo da za sve x ∈ S vaì:

χA4(B4C)(x) = χA(x) +2 χB4C(x)

= χA(x) +2 (χB(x) +2 χC(x))

= (χA(x) +2 χB(x)) +2 χC(x)

= χA4B(x) +2 χC(x)

= χ(A4B)4C(x),

odakle sledi èqena jednakost.

Funkcije iz praznog i u prazan skup

O~igledno je da ne postoje funkcije iz (bilo kog) nepraznog

skupa u prazan skup. Zaista, ako je f ⊆ X × ∅, iz X × ∅ = ∅zakqu~ujemo da je i f = ∅, a jednostavnomoèmo pokazati¬(∀x ∈X)(∃!y ∈ ∅) (x, y) ∈ ∅. Da li postoje funkcije iz praznog skupa

u neki neprazan skup? Ako je X bilo koji skup, tada je ∅×X = ∅,

i jedini podskup od ∅× X jeste prazan skup. Kako je ∅ ⊆ ∅× X,

pitamo se da li ∅ moèmo smatrati funkcijom iz ∅ u X. Odgovor

je potvrdan ukoliko moèmo da dokaèmo

(∗) (∀x ∈ ∅)(∃!y ∈ X) (x, y) ∈ ∅ tj. ∀x(x ∈ ∅⇒ (∃!y ∈ X) (x, y) ∈ ∅).

Iz ∀x (x 6∈ ∅) sledi da se (∗) moè dokazati, tj. ∅ jeste, i

to jedina, funkcija iz ∅ u X. [tavi{e, ∅ : ∅ 1−1→ X, {to se

jednostavno moè dokazati kori{}ewem istih argumenata kao

ranije. Me|utim, ako je X 6= ∅, onda �prazna funkcija� ∅ nije

na funkcija, jer se za (bilo koji) element y iz X ne moè prona}i

element x u ∅ (jer prazan skup uop{te nema elemenata) takav da

(x, y) ∈ ∅. Ali, ako je X = ∅, onda trivijalno sledi da je �prazna

funkcija� i na funkcija, tj. ∅ : ∅1−1−→na ∅.

Direktne i indirektne slike

Neka f : X → Y. Direktna slika skupa A ⊆ X jeste podskup

od Y koji sadrì samo one elemente koji su f -slike elemenata izA. Taj skup ozna~avamo f [A] i znamo da postoji prema aksiomi

izdvajawa:

f [A] = {y ∈ Y | (∃a ∈ A) f (a) = y} ⊆ Y.

Budu}i da su svi elementi skupa f [A] oblika f (a), a ∈ A, pi{emoi f [A] = { f (a) | a ∈ A}. Indirektna slika skupa B ⊆ Y jeste

podskup od X koji sadrì samo one elemente iz X ~ije f -slikepripadaju skupu B. Ovaj skup ozna~avamo f−1[B]. Dakle,

f−1[B] = {x ∈ X | f (x) ∈ B} ⊆ X.

Primetite da upotreba oznake f−1 u navedenom kontekstu nema

nikakve veze sa pojmom inverzne funkcije.

UML 75

PRIMER 52. Neka f : {0, 1, 2} → {a, b, c}:

f =

(0 1 2b a a

).

Odredimo direktne slike svih podskupova domena:

f [∅] = ∅, f [{0}] = {b}, f [{1}] = {a}, f [{2}] = {a},f [{0, 1}] = {a, b}, f [{1, 2}] = {a}, f [{0, 2}] = {a, b}, f [{0, 1, 2}] =

{a, b}. Odredimo i indirektne slike svih podskupova kodomena:f−1[∅] = ∅, f−1[{a}] = {1, 2}, f−1[{b}] = {0}, f−1[{c}] = ∅,f−1[{a, b}] = {0, 1, 2}, f−1[{a, c}] = {1, 2}, f−1[{b, c}] = {0},f−1[{a, b, c}] = {0, 1, 2}.Posebno nagla{avamo da se, na primer, f−1[{a}] bitno razlikuje od

zapisa f−1(a), koji u ovom slu~aju nema smisla jer f nije bijekcija.

Teorema 21. Neka f : X → Y. Tada za proizvoqne skupove

A, A1, A2 ⊆ X i B, B1, B2 ⊆ Y vaì:

(1) A ⊆ f−1[ f [A]]; (2) f [ f−1[B]] ⊆ B;(3) A1 ⊆ A2 ⇒ f [A1] ⊆ f [A2]; (4) B1 ⊆ B2 ⇒ f−1[B1] ⊆ f−1[B2];

(5) f [A1 ∩ A2] ⊆ f [A1] ∩ f [A2]; (6) f−1[B1 ∩ B2] = f−1[B1] ∩ f−1[B2];

(7) f [A1 ∪ A2] = f [A1] ∪ f [A2]; (8) f−1[B1 ∪ B2] = f−1[B1] ∪ f−1[B2].

DOKAZ. (1) Ako x ∈ A, onda je o~igledno f (x) ∈ f [A]. Kako je

f (x) ∈ f [A] ekvivalentno sa x ∈ f−1[ f [A]], neposredno izvodimo

èqeni zakqu~ak.

(2)Ako y ∈ f [ f−1[B]], onda je y = f (x), za neko x ∈ f−1[B]. Kako je

x ∈ f−1[B] ekvivalentno sa f (x) ∈ B, zakqu~ujemo y = f (x) ∈ B.(3) Neka je A1 ⊆ A2. Pretpostavimo da y ∈ f [A1]. Tada je

y = f (x), za neko x ∈ A1. Budu}i da je A1 ⊆ A2, iz y = f (x) i

x ∈ A1 ⊆ A2 zakqu~ujemo da y ∈ f [A2].

(4) Neka je B1 ⊆ B2. Pretpostavimo da x ∈ f−1[B1], odn. f (x) ∈B1. Iz f (x) ∈ B1 ⊆ B2, zakqu~ujemo da x ∈ f−1[B2].

(5) Ova inkluzija direktno sledi iz (3). Kako je A1 ∩ A2 ⊆ A1 i

A1 ∩ A2 ⊆ A2, prema (3) sledi f [A1 ∩ A2] ⊆ f [A1] i f [A1 ∩ A2] ⊆f [A2], a odavde i f [A1 ∩ A2] ⊆ f [A1] ∩ f [A2].

(6) Inkluziju f−1[B1 ∩ B2] ⊆ f−1[B1] ∩ f−1[B2] direktno dobi-

jamo iz (4). Dokaìmo da je i f−1[B1 ∩ B2] ⊇ f−1[B1] ∩ f−1[B2].

Ako x ∈ f−1[B1] ∩ f−1[B2], onda x ∈ f−1[B1] i x ∈ f−1[B2], odn.

f (x) ∈ B1 i f (x) ∈ B2. Dakle, f (x) ∈ B1 ∩ B2, {to je ekviva-

lentno sa x ∈ f−1[B1 ∩ B2].

(7) Nave{}emo formalan dokaz navedene jednakosti, jer verujemo

76 UML

da }e on jasnije ista}i su{tinu dokaza.

y ∈ f [A1 ∪ A2] ⇔ ∃x(x ∈ A1 ∪ A2 ∧ y = f (x))

⇔ ∃x((x ∈ A1 ∨ x ∈ A2) ∧ y = f (x))

⇔ ∃x((x ∈ A1 ∧ y = f (x)) ∨ (x ∈ A2 ∧ y = f (x))

⇔ ∃x(x ∈ A1 ∧ y = f (x)) ∨ ∃x(x ∈ A2 ∧ y = f (x))

⇔ y ∈ f [A1] ∨ y ∈ f [A2]

⇔ y ∈ f [A1] ∪ f [A2]

(8) Jednakost dokazuje slede}i ekvivalencijski lanac:

x ∈ f−1[B1 ∪ B2] ⇔ f (x) ∈ B1 ∪ B2

⇔ f (x) ∈ B1 ∨ f (x) ∈ B2

⇔ x ∈ f−1[B1] ∨ x ∈ f−1[B2]

⇔ x ∈ f−1[B1] ∪ f−1[B2].

NEKOLIKO ZAPA@AWA (?)

U narednoj lemi navodimo jednu korisnu reformulaciju uslova

(F1) i (F2).

Lema 6. Neka je F ⊆ X×Y (i F−1 ⊆ Y×X odgovaraju}a inverzna

relacija). F : X → Y akko ∆X ⊆ F−1 ◦ F i F ◦ F−1 ⊆ ∆Y.

DOKAZ. (⇒) Pretpostavimo da F : X → Y. Treba dokazati: (1)

∆X ⊆ F−1 ◦ F i (2) F ◦ F−1 ⊆ ∆Y.

(1) Primetimo najpre da je F−1 ◦ F ⊆ X× X. Da bismo dokazali

(1), biramo proizvoqno x iz X, i nastojimo da doka`emo (x, x) ∈F−1 ◦ F. Po{to je F funkcija, prema uslovu (F1), za svako x ∈ Xpostoji y ∈ Y takav da (x, y) ∈ F. Tada je (y, x) ∈ F−1, odakle

sledi da (x, x) ∈ F−1 ◦ F.(2) Primetimo da je F ◦ F−1 ⊆ Y×Y. Neka su y1 i y2 proizvoqni

elementi iz Y takvi da (y1, y2) ∈ F ◦ F−1. Treba dokazati da je

y1 = y2.

Iz (y1, y2) ∈ F ◦ F−1 sledi da postoji x ∈ X takav da (y1, x) ∈F−1 i (x, y2) ∈ F. Tada je i (x, y1) ∈ F. Iz uslova (F2) za-

kqu~ujemo da mora biti y1 = y2.

(⇐) Pretpostavimo da je ∆X ⊆ F−1 ◦ F i F ◦ F−1 ⊆ ∆Y. Treba

pokazati uslove (F1) i (F2).

(F1) Neka je x proizvoqan element iz X. Kako je ∆X ⊆ F−1 ◦ F,zakqu~ujemo da (x, x) ∈ F−1 ◦ F, odakle sledi da postoji y iz Ytakav da (x, y) ∈ F i (y, x) ∈ F−1.

(F2) Neka su x ∈ X i y1, y2 ∈ Y proizvoqni takvi da (x, y1) ∈ Fi (x, y2) ∈ F. Iz (x, y1) ∈ F sledi da (y1, x) ∈ F−1, pa (y1, y2) ∈F ◦ F−1. Kako je F ◦ F−1 ⊆ ∆Y, zakqu~ujemo da (y1, y2) ∈ ∆Y, tj.

y1 = y2.

UML 77

Napomena 8. Iz dokaza prethodne leme vidimo da uslovu (F1)odgovara inkluzija ∆X ⊆ F−1 ◦ F, a uslovu (F2) inkluzija F ◦F−1 ⊆ ∆Y. Ovo moèmo veoma jednostavno i formalno izvesti:

∆X ⊆ F−1 ◦ F ⇔ (∀x ∈ X) (x, x) ∈ F−1 ◦ F

⇔ (∀x ∈ X)(∃y ∈ Y) ((x, y) ∈ F ∧ (y, x) ∈ F−1)

⇔ (∀x ∈ X)(∃y ∈ Y) ((x, y) ∈ F ∧ (x, y) ∈ F)

⇔ (∀x ∈ X)(∃y ∈ Y) (x, y) ∈ F (F1)

F ◦ F−1 ⊆ ∆Y ⇔ (∀y1 ∈ Y)(∀y2 ∈ Y)((y1, y2) ∈ F ◦ F−1 ⇒ (y1, y2) ∈ ∆Y)

⇔ (∀y1 ∈ Y)(∀y2 ∈ Y)((∃x ∈ X)(

(y1, x) ∈ F−1 ∧ (x, y2) ∈ F)⇒ y1 = y2)

⇔ (∀y1 ∈ Y)(∀y2 ∈ Y)((∃x ∈ X) ((x, y1) ∈ F ∧ (x, y2) ∈ F)⇒ y1 = y2)

⇔ (∀y1 ∈ Y)(∀y2 ∈ Y)(∀x ∈ X)((x, y1) ∈ F ∧ (x, y2) ∈ F ⇒ y1 = y2) (F2)

Uposledwoj ekvivalenciji drugog lanca iskoristili smo slede}u

~iwenicu (videti zadatak 1.5): ako se x ne pojavquje slobodno u

formuli β, onda je formula (∃xα ⇒ β) ⇔ ∀x(α ⇒ β) teorema

predikatske logike.

Lema 7. Neka F : X → Y.

1. F : X 1−1→ Y akko ∆X = F−1 ◦ F.

2. F : X na→ Y akko ∆Y = F ◦ F−1.

DOKAZ. Ako F : X → Y, onda prema lemi 6 vaì ∆X ⊆ F−1 ◦ F i

F ◦ F−1 ⊆ ∆Y.

(1) (⇒) Neka F : X 1−1→ Y. Treba dokazati da je ∆X ⊇ F−1 ◦ F.Primetimo da je F−1 ◦ F ⊆ X × X. Pretpostavimo da (x1, x2) ∈F−1 ◦ F. Tada postoji y iz Y takav da (x1, y) ∈ F i (y, x2) ∈ F−1,

tj. (x2, y) ∈ F. Kako je F 1-1 funkcija, zakqu~ujemo da je x1 = x2,

odnosno (x1, x2) ∈ ∆X.

(⇐) Neka je ∆X = F−1 ◦ F. Da bismo dokazali da je F 1-1

funkcija, pretpostavimo da (x1, y) ∈ F i (x2, y) ∈ F. Tada imamo(x1, y) ∈ F i (y, x2) ∈ F−1, pa (x1, x2) ∈ F−1 ◦ F = ∆X, odakle

izvodimo èqeni zakqu~ak: x1 = x2.

(2) (⇒) Neka F : X na→ Y. Treba dokazati da je F ◦ F−1 ⊇ ∆Y,

tj. da za bilo koji y iz Y vaì (y, y) ∈ F ◦ F−1. Neka je yiz Y proizvoqan. Kako je F na funkcija, postoji x iz X takav

da (x, y) ∈ F, a samim tim je i (y, x) ∈ F−1, odakle sledi da

(y, y) ∈ F ◦ F−1.

(⇐) Neka je F ◦ F−1 ⊇ ∆Y. Tada za bilo koji y iz Y vaì

(y, y) ∈ F ◦ F−1, {to zna~i da postoji x iz X da je (y, x) ∈ F−1

i (x, y) ∈ F. Dakle, F : X na→ Y.

Posledica 4. F : X1−1−→na Y akko ∆X = F−1 ◦ F i ∆Y = F ◦ F−1.

78 UML

5. ZF teorija - II deoH Aksiome zamene, regularnosti, beskona~nosti

Aksioma zamene

Vaàn metod definisawa funkcija omogu}ava nam nova aksioma

�aksioma zamene. Pre nego {to je navedemo, opisa}emo situacije

u kojima je koristimo. Pretpostavimo da smo, za neku formulu

ϕ(x, y), dokazali ∀x∃!yϕ(x, y). Ako je A bilo koji skup, tada

mora da vaì i ∀x ∈ A∃!yϕ(x, y), {to zna~i da za svaki x iz

A postoji jedinstven y za koji je ϕ(x, y). Sve ovo ukazuje na

mogu}nost da se formulom ϕ defini{e jedna funkcija sa domenom

A. Me|utim, da bi na ovaj na~in bila definisana funkcija,

neophodno je da znamo u kom skupu se nalaze te jedinstvene �slike�

elemenata iz A. Aksioma zamene nas osloba|a svake brige po

ovom pitawu, jer tvrdi da za svaku formulu ϕ(x, y) za koju se

moè utvrditi ∀x∃!yϕ(x, y) i svaki skup A postoji skup koji

sadrì samo one skupove y za koje ∃x ∈ Aϕ(x, y).

AKSIOMA ZAMENE

∀x∃!yϕ(x, y)⇒ ∀A∃B∀y(y ∈ B⇔ ∃x(x ∈ A ∧ ϕ(x, y)))

Aksioma regularnosti

Aksiomom regularnosti se tvrdi da svaki neprazan skup sadrì

element sa kojim nema zajedni~kih elemenata.

AKSIOMA REGULARNOSTI

∀X(X 6= ∅⇒ ∃x(x ∈ X ∧ x ∩ X = ∅))

Teorema 22. (1) Ne postoji skup x takav da x ∈ x.(2) Ne postoje skupovi x i y takvi da x ∈ y ∈ x.

DOKAZ. (1) Ako bi postojao skup x takav da x ∈ x, onda skup {x}ne bi sadrào element sa kojim nema zajedni~kih elemenata, jer

x ∈ x ∩ {x}, {to je suprotno aksiomi regularnosti.(2) Pretpostavimo da postoje skupovi x i y takvi da je x ∈ y ∈ x,tj. x ∈ y i y ∈ x. Tada, suprotno aksiomi regularnosti, skup

{x, y} ne sadrì element sa kojim nema zajedni~kih elemenata:

x ∩ {x, y} 6= ∅, jer y ∈ x ∩ {x, y}, i y ∩ {x, y} 6= ∅, jer x ∈y ∩ {x, y}.

Teorema 23. Za bilo koje skupove x i y, iz x∪ {x} = y∪ {y} sledix = y.

DOKAZ . Neka je x ∪ {x} = y ∪ {y}. Pretpostavimo suprotno

onome {to treba dokazati da je x 6= y. Kako x ∈ y ∪ {y} i x 6= y,

UML 79

zakqu~ujemo da x ∈ y. Sli~no tome, iz y ∈ x ∪ {x} i x 6= y sledi

y ∈ x. Me|utim, nije mogu}e da x ∈ y i y ∈ x, prema prethodnojteoremi (2). Dakle, x = y.

Skup x ∪ {x} nazivamo sledbenikom skupa x i obeleàvamo ga

x′. Polaze }i od praznog skupa, sledbenikom generi{emo nove

skupove koje iz razumqivih razloga moèmo identifikovati sa

prirodnim brojevima:

0 = ∅ 1 = 0′ = ∅ ∪ {∅} = {0}2 = 1′ = 1∪ {1} = {0} ∪ {1} = {0, 1}3 = 2′ = 2∪ {2} = {0, 1} ∪ {2} = {0, 1, 2}4 = 3′ = 3∪ {3} = {0, 1, 2} ∪ {3} = {0, 1, 2, 3}· · ·

Intuitivno je jasno da generisawe novih skupova na opisani

na~in neograni~eno moèmo produàvati � za svaki dobijeni

skup, postupak moèmo nastaviti uvo|ewem wegovog sledbenika.

Naredna aksioma zapravo tvrdi da postoji skup u kome }e se na}i

svi skupovi koji se mogu dobiti na opisani na~in. Budu}i da je

opisani postupak veoma blizak brojawu, naredna aksioma }e biti

kqu~na za uvo|ewe skupa prirodnih brojeva.

Aksioma beskona~nosti. Skup prirodnih brojeva Prema aksiomi zamene, za svaki skup

A postoji skup B koji sadrì sve sled-

benike elemenata iz A, pa se prirodno

defini{e funkcija ′ : A → B, koja je

zapravo 1-1 funkcija prema prethodnoj

teoremi ({to je posledica aksiome regu-

larnosti). Skup B moèmo ozna~iti i sa

[A]′, gde je [A]′ = {a′ | a ∈ A}. Aksiomabeskona~nosti zapravo tvrdi da postoji

bar jedan skup I koji sadrì 0 i vaì

[I]′ ⊆ I.

AKSIOMA BESKONA^NOSTI

Postoji skup koji sadrì 0 i sledbenika svakog svog elementa.

∃I(0 ∈ I ∧ ∀x(x ∈ I ⇒ x ∪ {x} ∈ I))

Svaki skup koji sadrì 0 i sledbenika svakog svog elementa

nazivamoinduktivnim skupom. Aksiomombeskona~nosti se tvrdi

da postoji bar jedan induktivan skup. Ne moèmo tvrditi da pos-

toji jedinstven induktivan skup, ali koliko god da ih ima svi

sadrè kao podskup jedan isti induktivan skup, tzv. najmawi

induktivan skup.

Ako je I neki induktivan skup, ozna~imo sa I(I) skup svih

induktivnih podskupova od I:

I(I) = {X | X ⊆ I ∧ �X je induktivan�}= {X | X ⊆ I ∧ 0 ∈ X ∧ ∀x(x ∈ X ⇒ x′ ∈ X)}.

Neka je ωdef=⋂I(I). Dokaza}emo da je ω induktivan skup i to

najmawi u slede}em smislu: ako je S induktivan i S ⊆ ω, onda je

S = ω, odnosnonepostoji strogipodskupodω koji je induktivan,

{to }emo u nastavku pokazati.

Teorema 24. (1) ω je induktivan skup.

(2) Ako je S ⊆ ω i vaì:

80 UML

(BI) 0 ∈ S,

(IK) ako x ∈ S, onda x′ ∈ S,

onda je S = ω

DOKAZ. (1) Budu}i da 0 ∈ X, za svaki X ∈ I(I), sledi da 0 ∈⋂I(I) = ω.

Ostaje jo{ da se pokaè da ω sadrì sledbenika svakog svog

elementa. Neka je x ∈ ω proizvoqan. Iz x ∈ ω =⋂I(I), sledi

da x ∈ X, za svaki X ∈ I(I). Kako je svaki X ∈ I(I) induktivan,svaki sadrì i x′. Dakle, x ∈ ⋂ I(I) = ω.

(2) Neka je S ⊆ ω takav da vaè uslovi (BI) i (IK) � zna~i S je

induktivan podskup od ω. Kako je ω ⊆ I, skup S je i induktivan

podskup od I, tj. S ∈ I(I), pa je⋂I(I) ⊆ S, tj. ω ⊆ S, odakle

sledi da je S = ω.

Ostaje jo{ da pokaèmo da za bilo koji (drugi) induktivan

skup I1 vaì ω ⊆ I1, ili ekvivalentno ω ∩ I1 = ω. O~igledno je

ω ∩ I1 ⊆ ω. Jednostavno je uveriti se da skup ω ∩ I1 zadovoqava

uslove (BI) i (IK), pa prema prethodnoj teoremi (2) mora vaìti

ω ∩ I1 = ω. Odavde neposredno zakqu~ujemo i da je ω =⋂I(I1).

Skup ω zauzima veoma zna~ajno mesto u matematici � skup ω

nazivamo skupomprirodnihbrojevaiobeleàvamo gaiN. Budu}i

da je ova druga oznaka mnogo uobi~ajenija, uglavnom }emo wu

koristiti u nastavku. Znamo da N sadrì 0, 1, 2, 3, 4, itd. i da

funkcija sledbenik ′ : N→N ima slede}e osobine:

� za svako n ∈N, n′ 6= 0 (sledbenik nije na funkcija);

� za sve m, n ∈ N, iz m′ = n′ sledi m = n (sledbenik jeste 1-1

funkcija).

H Ure|ewe i aritmeti~ke operacije skupa N

Osnovno svojstvo skupa prirodnih brojeva izraèno je osobi-

nom (2) teoreme 24 � principom matemati~ke indukcije. Neko- Princip matemati~ke indukcije koris-

timo za dokazivawe formula oblika

(∀n ∈ N) ϕ(n). Dokaz izvodimo tako

{to formiramo skup S = {n ∈ N |ϕ(n)} i nastojimo da dokaèmo:(BI) bazu indukcije, tj. da 0 ∈ S i

(IK) induktivni korak, tj. da iz n ∈ Ssledi n′ ∈ S. Po{to u induktivnom

koraku treba dokazati implikaciju,

pretpostavqamo n ∈ S, {to se nazivainduktivna pretpostavka i nastojimo

da dokaèmo n′ ∈ S.

liko na~ina primene ovog principa ilustrujemo dokazivawem

slede}ih va`nih tvr|ewa.

Teorema 25. (1) Za sve prirodne brojevem, n vaìm ∈ n⇒ m ⊆ n.(2) Za sve prirodne brojeve m, n vaì m ∈ n⇔ m ⊂ n.(3) Za sve prirodne brojeve m, n vaì m ∈ n ∨m = n ∨ n ∈ m.

DOKAZ. (?) (1) Da bismo dokazali

(∀n ∈N)(∀m ∈N)(m ∈ n⇒ m ⊆ n),

formiramo skup

S = {n ∈N | (∀m ∈N)(m ∈ n⇒ m ⊆ n)}

UML 81

i dokazujemo da je S = N, primenom principa matemati~ke in-

dukcije. Dokaz primenom principa matemati~ke

indukcije moèmo skratiti tako {to ne

formiramo skup S ve} dokazujemo for-

mule:

(BI) ϕ(n/0)

(IK) (∀n ∈N)(ϕ(n)⇒ ϕ(n/n′)).

(BI) Dokaìmo da 0 ∈ S, tj. (∀m ∈N)(m ∈ 0⇒ m ⊆ 0). Kako je

0 = ∅ i znamo da za svako m vaì m 6∈ 0, onda se iz pretpostavkem ∈ 0 izvodi bilo {ta (⊥E), pa i m ⊆ 0. Dakle, 0 ∈ S.(IK) Pretpostavimo da n ∈ S, tj.

(IP) (∀m ∈N)(m ∈ n⇒ m ⊆ n).

Treba da dokaèmo n′ ∈ S, tj. (∀m ∈ N)(m ∈ n′ ⇒ m ⊆ n′).Iz m ∈ n′ = n ∪ {n} sledi da m ∈ n ili m = n. U slu~aju da je

m ∈ n, prema (IP) zakqu~ujemo m ⊆ n, pa je m ⊆ n ∪ {n} = n′. Uslu~aju m = n, neposredno zakqu~ujemo da m = n ⊆ n′.

Dakle, S = N.

(2) I u ovom slu~aju koristimo princip matemati~ke indukcije,

ali }emo postupitu malo druga~ije u odnosu na dokaz tvr|ewa (1). Ukoliko treba dokazati formulu oblika

(Φ) (∀m ∈N)(∀n ∈N)ϕ(m, n),

zbog ekvivalentnosti ove formule sa

(∀n ∈N)(∀m ∈N)ϕ(m, n), moèmo pos-tupiti dvojako:

1) Za proizvoqno izabran m ∈N, for-

miramo skup Sm = {n ∈ N | ϕ(m, n)}i indukcijom dokazujemo Sm = N. Kada

uspemo, zakqu~ujemo (∀m ∈N) Sm = N.

2) Za proizvoqno izabran n ∈ N, for-

miramo skup Sn = {m ∈ N | ϕ(m, n)}i indukcijom dokazujemo Sn = N. Kada

uspemo, zakqu~ujemo (∀n ∈N) Sn = N.

U svakom od navedenih slu~ajeva

neposredno sledi (Φ). U prvom slu~aju

(Φ) dokazujemo indukcijom po n pri fik-

siranomm, a u drugom slu~ajuindukcijom

po m pri fiksiranom n.

Neka je m proizvoqan prirodan broj i

Sm = {n ∈N | m ∈ n⇔ m ⊂ n}.

Dokaza}emo da je Sm = N.

(BI) Znamo dam 6∈ 0 im 6⊂ 0 (prazan skup nema prave podskupove),odakle jednostavno izvodimo m ∈ 0⇔ m ⊂ 0. Dakle, 0 ∈ Sm.

(IK) Pretpostavimo da n ∈ Sm, tj. (IP) m ∈ n⇔ m ⊂ n.Dokaìmo m ∈ n′ ⇔ m ⊂ n′.Ako m ∈ n′ = n ∪ {n}, onda m ∈ n ili m = n. U slu~aju da

m ∈ n, prema (IP) sledi m ⊂ n, a time i m ⊂ n′, jer je n ⊂ n′. Uslu~aju da je m = n, onda je o~igledno m ⊂ n′.

Neka je m ⊂ n′ = n ∪ {n}. Dokaìmo najpre da n 6∈ m. Ako bi

bilo n ∈ m, imali bismo {n} ⊆ m i, prema (1), n ⊆ m, odakle

sledi n′ = n ∪ {n} ⊆ m ⊂ n′, {to je nemogu}e. Dakle, n 6∈ m, pa

iz m ⊂ n ∪ {n}, sledi m ⊆ n, tj. m ⊂ n ili m = n. U slu~aju da

je m ⊂ n, prema (IP) zakqu~ujemo da m ∈ n, a samim tim i m ∈ n′.U slu~aju da je m = n, direktno dobijamo m = n ∈ n′.

Dakle, Sm = N za svaki prirodan broj m, odakle sledi èqeno

tvr|ewe.

(3) Neka je S = {m ∈N | (∀n ∈N)(m ∈ n ∨m = n ∨ n ∈ m)}. Ukoliko treba dokazati formulu oblika

(Φ) (∀m ∈N)(∀n ∈N)ϕ(m, n),

zbog ekvivalentnosti ove formule sa

(∀n ∈ N)(∀m ∈ N)ϕ(m, n), moèmo

formirati skup:

1) S = {n ∈N | (∀m ∈N)ϕ(m, n)} ili2) S = {m ∈N | (∀n ∈N)ϕ(m, n)}i dokazati S = N. Ako S defini{emo

na prvi (odn. drugi) na~in, kaè se da

formulu Φ dokazujemo indukcijom po m(odn. indukcijom po n). Na koji na~in

}emo postupiti uglavnom se opredequ-

jemo prema formuli ϕ(m, n).

(BI) Dokaìmo (∀n ∈N)(0 ∈ n ∨ 0 = n ∨ n ∈ 0).

O~igledno je da za bilo koje n ∈ N vaì n = 0 ili n 6= 0. Uslu~aju da je n = 0, direktno izvodimo 0 ∈ n ∨ 0 = n ∨ n ∈ 0.Ukoliko je n 6= 0, tada je ∅ = 0 ⊂ n, pa prema tvr|ewu (2)

zakqu~ujemo 0 ∈ n, a time i 0 ∈ n ∨ 0 = n ∨ n ∈ 0. Dakle, 0 ∈ S.(IK) Pretpostavimo da m ∈ S, tj. (IP) (∀n ∈ N)(m ∈ n ∨m =

n ∨ n ∈ m).

Da bismo dokazali

(∗) (∀n ∈N)(m′ ∈ n ∨m′ = n ∨ n ∈ m′),

82 UML

izaberimo proizvoqan n ∈ N. Tada prema (IP) vaì m ∈ n ∨m = n ∨ n ∈ m. Razlikujemo tri slu~aja.

1. slu~aj: m ∈ n. Tada je, prema (2), m ⊂ n, pa je m′ = m ∪ {m} ⊆n. Ukoliko je m′ ⊂ n, onda, ponovo prema (2), vaì m′ ∈ n,pa samim tim vaì (∗). Formula (∗) svakako vaì i ukoliko je

m′ = n.2. slu~aj: m = n. Tvr|ewe (∗) vaì jer n ∈ n′ = m′.3. slu~aj: n ∈ m. Neposredno dobijamo n ∈ m′, pa vaì (∗).

Prethodna teorema pokazuje da pripadawe (∈), odnosno strogainkluzija (⊂) na uobi~ajeni na~in ure|uje skup prirodnih bro-

jeva: Skup koji sadrì elemente svih svojih

elemenata naziva se tranzitivan skup.

Drugim re~ima T je trazitivan ako vaì

(∀x ∈ T)∀t(t ∈ x ⇒ t ∈ T). Ova for-

mula je ekvivalentna formuli ∀x(x ∈T ⇒ x ⊆ T), odnosno (∀x ∈ T) x ⊆ Tili

⋃T ⊆ T. Prema prethodnoj teoremi

(1), svaki prirodan broj je tranzitivan.

O~igledno je i N tranzitivan skup.

0 ∈ 1 ∈ 2 ∈ 3 ∈ 4 ∈ 5 · · · , odnosno 0 ⊂ 1 ⊂ 2 ⊂ 3 ⊂ 4 ⊂ 5 · · ·

Zaista, znamo da:

� za svaki prirodan broj n vaì n 6∈ n (ovo je posledica aksiome

regularnosti � teorema 22 (1), ali se moè izvesti i bez ove

aksiome, kao posledica prethodne teoreme (2));

� za sve prirodne brojeve k, m, n, ako k ∈ m i m ∈ n, onda k ∈ n(ovo je direktna posledica prethodne teoreme (2)).

Dakle, binarna relacija {(m, n) ∈ N×N | m ∈ n} jeste strogoure|ewe skupa prirodnih brojeva i obeleàva se <. Relaciju 6,tzv. ure|ewe skupa N uvodimo na slede}i na~in:

m 6 n def⇔ m < n ∨m = n.

Posledica 5. Za sve prirodne brojeve m, n vaì

(1) m 6 n⇔ m ⊆ n;(2) m 6 n ∨ n 6 m; (poredak 6 je linearan)

(3) m < n⇔ m′ 6 n;(4) m < n′ ⇔ m 6 n;(5) m < n⇔ m′ < n′ (funkcija sledbenik je monotona).

DOKAZ. (1) Prema prethodnoj teoremi (2) imao da je:

m 6 n ⇔ m < n ∨m = n ⇔ m ⊂ n ∧m = n ⇔ m ⊆ n.

(2) Direktno iz tvr|ewa (3) prethodne teoreme.

(3) Ako je m < n, tj. m ∈ n, onda je {m} ⊆ n i, prema teoremi 25

(1), m ⊆ n, pa je m′ = m ∪ {m} ⊆ n, tj. m′ 6 n.Iz m′ 6 n sledi m′ < n ili m′ = n, i u oba slu~aja, budu}i da

je m < m′, zakqu~ujemo m < n.(4) i (5) Dokaze ostavqamo za ve`bu.

Uvezi sa ure|ewemprirodnihbrojeva je i slede}e veoma zna~ajno

tvr|ewe.

UML 83

Teorema 26. [Princip potpune indukcije] Neka je S ⊆ N. Ako

vaì

(∀n ∈N)((∀k < n) k ∈ S⇒ n ∈ S),

onda je S = N.

DOKAZ. Formulu (∀k < n) k ∈ S moèmo zapisati i na slede}i

na~in: (∀k ∈ n) k ∈ S.Primetimo najpre da vaì

(BI) (∀k < 0) k ∈ S.

Ova formula je zapravo skra}ewe za ∀k (k ∈ 0 ⇒ k ∈ S), {to se

jednostavno dokazuje, jer znamo da za svako k vaì k 6∈ 0.Nije te{ko uo~iti, a ni formalno dokazati, da je formula

(∀k < n) k ∈ S⇒ n ∈ S

ekvivalentna formuli

(IK) (∀k < n) k ∈ S⇒ (∀k < n′) k ∈ S.

Iz (BI) i (IK), prema principu matemati~ke indukcije, sledi

(∀n ∈N)(∀k < n) k ∈ S.

Najzad, iz posledwe formule i pretpostavke S ⊆ N zakqu~ujemo

S = N.

Teorema 27. Svakineprazan podskup skupa prirodnih brojeva ima

najmawi element.

DOKAZ . Neka je X podskup od N koji nema najmawi element.

Dokaza}emo da X mora biti prazan, tj. da je N \ X = N. Ovu

jednakost dokazujemo primenom principa potpune indukcije.

Neka je n prirodan broj takav da je (∀k < n) k ∈ N \ X. Ako

bi broj n pripadao X, onda bi on bio najmawi element skupa

X, jer svaki k mawi od n pripada N \ X. Dakle, n ∈ N \ X.

Prema principu potpune indukcije zakqu~ujemo da jeN \X = N,

odnosno X = ∅.

Napomena 9. Princip potpune indukcije zapravo tvrdi da za

svaki S ⊆N vaì:

(∀n ∈N)((∀k < n) k ∈ S⇒ n ∈ S)⇒ (∀n ∈N) n ∈ S.

Naravno, za svaki S ⊆N vaì

(∀n ∈N)((∀k < n) k ∈ S{ ⇒ n ∈ S{)⇒ (∀n ∈N) n ∈ S{,

odn. primenom zakona kontrapozicije:

¬(∀n ∈N) n ∈ S{ ⇒ ¬(∀n ∈N)((∀k < n) k ∈ S{ ⇒ n ∈ S{).

84 UML

Posledwa formula se jednostavno trasformi{e u ekvivalentnu

formulu

(∃n ∈N) n ∈ S︸︷︷︸S je neprazan

⇒ (∃n ∈N)((∀k < n) k 6∈ S ∧ n ∈ S)︸︷︷︸S ima najmawi element

,

kojom se tvrdi da svaki neprazan podskup od N ima najmawi

element.

Definicija 16. Ure|ewe 6 nekog skupa X je dobro ako svaki

neprazan podskup od X ima najmawi element u odnosu na 6.

Dakle, skup prirodnih brojeva je dobro ure|en skup.

Teorema rekurzije. Osnovne aritmeti~ke operacije

Teorema rekurzije omogu}ava da defini{emo funkcije ~iji je

domen N, na na~in koji potpuno odgovara �prirodi� skupa N.

Teorema 28. [Princip rekurzije] Neka je X neki skup, g ∈ X i

f (0) = gf ◦ ′(n) = h ◦ f (n)

h : X → X. Tada postoji jedinstvena funkcija f : N → X takva

da je

(Rec)

∣∣∣∣∣ f (0) = g,f (n′) = h( f (n)), n ∈N.

DOKAZ. (?) Egzistencija.

Skup F ⊆ N× X nazva}emo (g, h)-skupom ako su zadovoqeni

slede}i uslovi:

1) (0, g) ∈ F i

2) za sve n ∈N i x ∈ X, ako (n, x) ∈ F, onda i (n′, h(x)) ∈ F.

O~igledno je N× X jedan (g, h)-skup, pa je neprazna kolekcija

F svih (g, h)-skupova. Neka je f =⋂F. Tada je f ⊆ N × X.

Dokaza}emo da je f zapravo traèna funkcija. Dokaz ove ~iwe- Podse}amo na pojam funkcije: skup f jefunkcija iz A u B, u oznaci f : A → B,ako je f ⊆ A× B i za svako a ∈ A postoji

jedinstveno b ∈ B tako da je (a, b) ∈ f .Ako f : A→ B, umesto (a, b) ∈ f pi{emof (a) = b.

nice je duga~ak samo zato {to }emo nekoliko puta proveravati

uslove 1) i 2), tj. dokazivati da je neki skup zaista (g, h)-skup.

Da bismo olak{ali ~itawe, ove provere su navedene sitnijim

slovima i izdvojene iz ostatka dokaza.

Dokaìmo najpre da je f =⋂F jedan (g, h)-skup.

1) Za svako F ∈ F vaì (0, g) ∈ F, odakle sledi da (0, g) ∈ ⋂F = f .2) Pretpostavimo da (n, x) ∈ f =

⋂F. Tada za svako F ∈ F, (n, x) ∈ F,

pa i (n′, h(x)) ∈ F (jer F (g, h)-skup). Dakle, (n′, h(x)) ∈ ⋂F = f .

Daqe, dokazujemo da je f funkcija iz N u X, odn. da za svako

k ∈N postoji jedinstveno y ∈ X tako da (k, y) ∈ f .(BI) Dokazujemo bazu indukcije (k = 0). Kako je f jedan (g, h)-

skup, znamo da (0, g) ∈ f . Pretpostavimo da postoji jo{ jedno

g1 ∈ X takvo da (0, g1) ∈ f i g 6= g1. Neka je f1 = f \ {(0, g1)}.Dokaìmo da je f1 jedan (g, h)-skup.

UML 85

1) (0, g) ∈ f1, jer je iz f izba~en samo element (0, g1) i g1 6= g.2) Pretpostavimo da za neke n ∈N i x ∈ X, (n, x) ∈ f1. Budu}i da tada

(n, x) ∈ f imamo i da (n′, h(x)) ∈ f . Kako je (n′, h(x)) 6= (0, g1), jer je

0 6= n′, sledi da (n′, h(x)) ∈ f1.

Dakle, f ′ ∈ F, pa je f =⋂F $ f1, {to je kontradikcija.

(IK) Dokazujemo induktivni korak.

IP Pretpostavimo da za k ∈N postoji ta~no jedan y ∈ X takav

da je (k, y) ∈ f .Po{to je f jedan (g, h)-skup, imamo da (k′, h(y)) ∈ f . Pret-

postavimo da postoji i y1 ∈ X takav da (k′, y1) ∈ f i y1 6= h(y).

Neka je f1 = f \ {(k′, y1)}. Dokaìmo da je f1 jedan (g, h)-skup.1) (0, g) ∈ f ′, jer je iz f izba~en samo element (k′, y1) koji je sigurno

razli~it od (0, g), budu}i da je 0 6= k′.2) Pretpostavimo da za n ∈ N i x ∈ X, (n, x) ∈ f1. Iz (n, x) ∈ fsledi (n′, h(x)) ∈ f . Dokaìmo da je (n′, h(x)) 6= (k′, y1). Nejednakost je

o~igledno ta~na ako je n′ 6= k′. Ako je n′ = k′, onda je i n = k, pa je x = y(jer je y jedini element iz X takav da (k, y) ∈ f ). Prema izboru elementay1 imamo da je y1 6= h(y) = h(x), odakle sledi (n′, h(x)) 6= (k′, y1).

Dakle, f =⋂F $ f ′, {to je kontradikcija.

Dokaz matemati~kom indukcijom je zavr{en; dokazali smo da je

f funkcija iz N u X. Ova funkcija zadovoqava jednakosti (Rec),

jer je f (g, h)-skup:

Iz uslova 1) proizlazi f (0) = g;

Prema uslovu 2), iz f (n) = x sledi da je f (n′) = h(x), tj.

f (n′) = h( f (n)).

Jedinstvenost.

Pretpostavimo da funkcije f1, f2 : N → X zadovoqavaju jed-

nakosti (Rec). Dokaza}emo da su one jednake, tj. da za svako n ∈N

vaì f1(n) = f2(n). Dokaz izvodimo matemati~kom indukcijom.

(BI) f1(0) = g = f2(0)

(IK) Pretpostavimo da za neko n ∈ N vaì f1(n) = f2(n). Tada

je f1(n′) = h( f1(n)) = h( f2(n)) = f2(n′).

Skup prirodnih brojevaN je su{tinski odre|en svojim (po~et-

nim) elementom 0 i funkcijom (sledbenik) ′ : N → N. Teorema

rekurzije tvrdi da za bilo koji skup X, izabrani element a ∈ Xi funkciju h : X → X, jednakosti (Rec) odre|uju jedinstvenu

funkciju f : N→ X.

f (0) = af (n′) = h( f (n)), tj. f ◦ ′ (n) = h ◦ f (n)

Ukoliko je X neki skup, svaka funkcija izN u X naziva se i niz

u skupu X. Nizovi su veoma va`ni u svim oblastima matematike,

86 UML

pa se usvajaju razni dogovori o oznakama. Argument funkcije

(niza) f : N → X ~esto se zapisuje kao indeks slova kojim je

funkcija ozna~ena: umesto f (n) pi{e se fn. U skladu sa tim,

umesto � f : N → X � pi{e se �( fn)n∈N�. Pored toga, sledbenik

elementa n ∈ N, umesto n′ ozna~ava se n + 1. Uz ove dogovore,

teorema rekurzije tvrdi da za izabrane a ∈ X i h : X → X,

postoji jedinstveni niz ( fn)n∈N odre|en jednakostima:

(Rec)

{f0 = a,fn+1 = h( fn), n ∈N.

Za niz odre|en jednakostima (Rec) kaèmo da je rekurzivno (reku-

rentno, induktivno) definisan.

Iz prethodne teoreme izvodimo i slede}u varijantu principa

rekurzije.

Teorema 29. [Princip rekurzije � II] Neka g : S → X i h : S×X → X. Tada postoji jedinstvena funkcija f : S×N→ X takva

da za svako s ∈ S:

(Rec)

∣∣∣∣∣ f (s, 0) = g(s),f (s, n′) = h(s, f (s, n)), n ∈N.

DOKAZ. Druga varijanta principa rekurzije blisko je povezana

sa prvom. Zaista, ako g : S → X i h : S× X → X, tada za svako

Prva varijanta se moè smatrati speci-

jalnim slu~ajem druge ako izaberemo da Sbude singlton. Neka je S = {0}. Funkci-jom g : {0} → X zapravo biramo jedan

element iz X; neka je g(0) = g. Funkcijuh : {0} × X → X moèmo poistovetiti

sa prirodno definisanom funkcijom iz

X u X: x 7→ h(0, x), x ∈ X.

s ∈ S:

� funkcija g 'bira' jedan element iz X � bira g(s) koji }emo

ozna~iti gs, i

� h odre|uje funkciju hs : X → X, hs(x)def= h(s, x), x ∈ X.

Premaprvoj varijanti principa rekurzije, za svako s ∈ S, postojijedinstvena funkcija fs : N→ X takva da:∣∣∣∣∣ fs(0) = gs,

fs(n′) = hs( fs(n)), n ∈N.

Sve funkcije fs, s ∈ S, odre|uju ('podizawem indeksa u argument')

jedinstvenu funkciju f : S×N → X, f (s, n)def= fs(n) koja zado-

voqava uslove (Rec).

Osnovne ra~unske operacije uvodimoprimenomdruge varijante

teoreme rekurzije, uzimaju}i da je S = X = N.

Sabirawe. Neka je h : N ×N → N funkcija definisana sa

h(x, y) = y′. Prema drugoj varijanti principa rekurzije, pos- h je kompozicija sledbenika ′ : N → N

i druge projekcije π2 : N ×N → N,

π2(x, y) = y: h = ′ ◦ π2.toji jedinstvena funkcija + : N ×N → N koja zadovoqava

jednakosti: idN : N → N je identi~ka funkcija,

idN(n) = n.

UML 87

∣∣∣∣∣ +(m, 0) = idN(m),+(m, n′)) = h(m, +(m, n)),

odnosno

∣∣∣∣∣ +(m, 0) = m,+(m, n′) = s(+(m, n)).

Ako umesto +(m, n) pi{emo m + n, prethodne jednakosti postaju:

(Rec+)

∣∣∣∣∣ m + 0 = m,m + n′ = (m + n)′.

Nije te{ko uo~iti da je n′ = n + 1, za svaki prirodan broj n.Mnoèwe. Pomo}u konstantne funkcije 0 : N→ N, 0(n) = 0, isabirawa + : N×N → N, uvodimo mnoèwe · : N×N → N

slede}im jednakostima:

(Rec·)∣∣∣∣∣ ·(m, 0) = 0(m),·(m, n′) = +(m, ·(m, n)),

odnosno

∣∣∣∣∣ m · 0 = 0,m · n′ = m + (m · n).

Stepenovawe exp : N+ ×N → N, pri ~emu je N+ = N \ {0}i umesto exp(m, n) pi{emo mn, defini{emo slede}im jednakos-

tima: ∣∣∣∣∣ m0 = 1,mn+1 = m ·mn.

Sva poznata svojstva ovih operacija i wihove veze sa ure|ewem

dokazujemo matemati~kom indukcijom.

Teorema 30. Za bilo koje prirodne brojeve k, m, n vaì:

(1) m + n = n + m (sabirawe je komutativno);

(2) k + (m + n) = (k + m) + n (sabirawe je asocijativno);

(3) m · 1 = m (neutral za mnoèwe je 1);(4) m · n = n ·m (mnoèwe je komutativno);

(5) k · (m · n) = (k ·m) · n (mnoèwe je asocijativno);

(6) k · (m + n) = k ·m + k · n (levi zakon distributivnosti);

(7) 1m = 1;(8) m1 = m, pod uslovom m 6= 0;(9) km+n = km · kn, pod uslovom k 6= 0;(10) (k ·m)n = kn ·mn, pod uslovom k, m 6= 0;(11) (km)n = km·n, pod uslovom k 6= 0.

Teorema 31. Za sve k, m, n ∈N vaì:

(1) k < m⇔ k + n < m + n(2) k = m⇔ k + n = m + n(3) m + n = 0⇔ m = n = 0(4) 0 < n ∧ k < m⇒ k · n < m · n(5) 0 < n ∧ k · n = m · n⇒ k = m(6) 0 < n ∧ k · n < m · n⇒ k < m(7) m · n = 0⇔ m = 0∨ n = 0(8) m · n = 1⇔ m = 1∧ n = 1

88 UML

H Kona~ni skupovi. Osnovni kombinatorni principi

Teorema 32. [Dirihleov princip] Za svaka dva prirodna broja mi n, ako je m > n, onda ne postoji 1-1 funkcija iz m u n.

DOKAZ. Dokaz izvodimo indukcijom po n.(BI) Ako je m > 0, tada uop{te ne postoji funkcija iz m u 0(m 6= ∅ i 0 = ∅), pa tvr|ewe trivijalno vaì.

(IK) (IP) Neka je n prirodan broj takav da za bilo koje m > nne postoji 1-1 funkcija iz m u n. Dokaza}emo da tada za svako

m > n′, tako|e ne postoji 1-1 funkcija iz m u n′.Pretpostavimo suprotno: neka je m > n′ i f : m 1−1→ n′. Odavde

sledi da n (n ∈ n′) mora biti f -slika nekog elementa iz m, jer

bi u suprotnom postojala 1-1 funkcija iz m u n, {to nije mogu}e.Tako|e, iz m > n′, sledi da postoji prirodan broj k takav da je

m = k′; f : k ∪ {k} 1−1→ n ∪ {n}. Kako je k′ > n′, prema posledici5 (5) imamo da je k > n , pa ne postoji 1-1 funkcija iz k u n.Razlikujemo dva slu~aja: f (k) = n i f (k) 6= n.

1. slu~aj: f (k) = n. Tada f |k: k 1−1→ n, {to je nemogu}e prema (IP).2. slu~aj: f (k) 6= n. Tada je f (`) = n, za neko ` ∈ k, tj. ` < k.Defini{imo funkciju h : k′ → n′ na slede}i na~in:

h(x) =

f (x), x ∈ k ∧ x 6= `

f (k), x = `,n, x = k.

Nije te{ko uo~iti da h : k′ 1−1→ n′ i da je h(k) = n. Me|utim, tada

h |k: k 1−1→ n, {to nije mogu}e prema (IP).

Posledica 6. Neka su m i n proizvoqni prirodni brojevi.

(1) Postoji 1-1 funkcija iz m u n ako i samo ako je m 6 n.(2) Postoji bijekcija izme|u m i n ako i samo ako je m = n.

Kao {to je dobro poznato, prirodnim brojevima izraàvamo

�broj� (�koli~inu�) elemenata kona~nih skupova.

Definicija 17. Skup X je kona~an ako postoji bijekcija izme|u

X i nekog prirodnog broja n, i u tom slu~aju pi{emo |X| = n.

Prema posledici 6 (2), za svaki kona~an skup X postoji jedin-

stven prirodan broj n takav da je |X| = n i tada kaèmo da je nbroj elemenata skupa X, odn. kardinalnost skupa X jednaka je n.O~igledno je |n| = n za bilo koji prirodan broj n.

Teorema 33. Neka su X i Y neki kona~ni skupovi. Tada vaì:

(1) |X| = 0⇔ X = ∅;

(2) |X| = |Y| ako i samo ako postoji bijekcija izme|u X i Y.(3) |X| 6 |Y| ako samo ako postoji 1-1 funkcija iz X u Y.

UML 89

DOKAZ. (1) Tvr|ewe direktno sledi iz razmatrawa o funkcijama

iz praznog i u prazan skup sa strane 74.

(2) Budu}i da su X iY kona~ni skupovi, postoje prirodni brojevi

m i n i bijekcije f : X1−1−→na m i g : Y

1−1−→na n.(⇒) Pretpostavimo da je m = n. Treba da defini{emo bijek-

ciju izme|u X i Y. Na narednoj slici, znakom ∼ iznad strelice

ozna~avamo da je odgovaraju}a funkcija bijekcija.

Funkcija h : X → Y, data sa h(x) = g−1 ◦ f (x), jeste bijekcija.

(⇐) Neka je h : X1−1−→na Y neka bijekcija izme|u X i Y. Tada se,

analogno prethodnom slu~aju, defini{e bijekcija izme|u m i n,{to prema posledici 6 (2) zna~i da je m = n, tj. |X| = |Y|.

(3) Dokaz ostavqamo za ve`bu.

Teorema 34. Neka je n bilo koji prirodan broj.

(1) Svaki podskup a od n je kona~an i vaì |a| 6 n.(2) Za svaki a ⊂ n ne postoji bijekcija izme|u n i a.(3) Za svaku funkciju f iz n u n vaì: f : n 1−1→ n akko f : n na→ n.

DOKAZ. (1) (BI) Jedini podskup od 0, tj. od ∅, jeste ∅ pa tvr|ewe

o~igledno vaì.

(IP) Neka je n prirodan broj za koji vaì tvr|ewe.

Pretpostavimoda je a ⊆ n′ = n∪{n}. Razlikujemo dva slu~aja.1. slu~aj: n 6∈ a. Tada je a ⊆ n, pa prema (IP) skup a je kona~an i|a| 6 n < n′.2. slu~aj: n ∈ a. Tada je a1 = a \ {n} ⊆ n, pa iz (IP) sledi da je

a1 kona~an skup i |a1| 6 n. Neka je |a1| = m, za neko m 6 n, i

f : a11−1−→na m. Defini{imo funkciju h : a→ m′:

h(x) =

{f (x), x ∈ a1,m, x = n.

Nije te{ko uo~iti da je h bijekcija, pa je |a| = m′ 6 n′.(2) (BI) Ne postoje pravi podskupovi od 0, pa tvr|ewe trivijalnovaì.

(IP) Neka je n prirodan broj za koji vaì tvr|ewe.

Pretpostavimo da je a ⊂ n′ = n ∪ {n} i f : a1−1−→na n′. Razliku-

jemo dva slu~aja.

90 UML

1. slu~aj: n 6∈ a. Tada je a ⊆ n, a1 = a \ { f−1(n)} ⊂ a ⊆ n i

f |a1 : a11−1−→na n, {to je nemogu}e prema (IP).

2. slu~aj: n ∈ a. Razlikujemo dva podslu~aja.

2.1. slu~aj: f (n) = n. Tada je a1 = a \ {n} ⊂ n i f |a1 : a11−1−→na n,

pa ponovo dolazimo do kontradikcije sa (IP).2.2. slu~aj: f (n) 6= n. Tada f (n) = k, za neko k ∈ n. Tako|e,

postoji ` ∈ n takav da je f (`) = n. Neka je h : a → n funkcija

definisana sa

h(x) =

f (x), x ∈ a \ {`, n},

n, x = n,k, x = `.

Jednostavno se uo~ava da h : a1−1−→na n′ i da je h(n) = n, pa se ponovo

izvodi kontradikcija kao u prethodnom slu~aju.

(3) Ako je n = 0 tvr|ewe trivijalno vaì. Pretpostavimo zato

da je n 6= 0.(⇒) Neka f : n 1−1→ n. O~igledno je f [n] ⊆ n. Ne moè biti

f [n] ⊂ n, jer bi tada bilo f : n1−1−→na f [n], {to je nemogu}e prema

tvr|ewu (2). Dakle, f [n] = n, tj. f je na funkcija.(⇐) Pretpostavimo f : n na→ n. Tada je za svako k ∈ n, skupf−1[{k}] neprazan podskup od n, pa ima (jedinstven) najmawi el-ement, koji }emo ozna~iti min f−1[{k}]. Lako se proverava da

je funkcija g : n → n, g(k) = min f−1[{k}], k ∈ n, zapravo 1-

1 funkcija: ako je k1 6= k2, onda je f−1[{k1}] ∩ f−1[{k2}] = ∅,

pa mora biti min f−1[{k1}] 6= min f−1[{k2}], tj. g(k1) 6= g(k2).

Samim tim, prema delu dokaza (⇒), funkcija g mora biti i na

funkcija, odnosno g : n1−1−→na n. Primetimo da je f ◦ g = idn, tj.

f (g(k)) = k, za svako k ∈ n.Na osnovu izvedenih zakqu~aka, dokazujemo da je f 1-1 funkcija.

Neka je f (k1) = f (k2). Tada postoje jedinstveni `1 i `2 takvi da

je g(`1) = k1 i g(`2) = k2. Iz f (g(`1)) = f (g(`2)), sledi da je

`1 = `2, pa mora biti i k1 = k2.

Posledica 7. Neka je X kona~an skup.

(1) Svaki podskup A od X je kona~an i vaì |A| 6 |X|.(2) Za svaki A ⊂ X ne postoji bijekcija izme|u X i A.

(3) Za svaku funkciju f iz X u X vaì: f : X 1−1→ X akko f : X na→ X.

DOKAZ. Sva tvr|ewa su jednostavne posledice prethodne teoreme.

Ukratko }emo opisati samo dokaz tvr|ewa (1). Ostala dva ostav-

qamo za ve`bu.

(1) Neka je n prirodan broj i f : X1−1−→na n. Tada je f [A] ⊆ n, pa je

f [A] kona~an skup i | f [A]| 6 n = |X|. Odavde izvodimo èqeni

UML 91

zakqu~ak, jer su skupovi f [A] i A iste kardinalnosti (funkcija

f odre|uje jednu bijekciju izme|u A i f [A]).

Teorema 35. Neka su X i Y proizvoqni kona~ni skupovi.

(1) [Princip zbira] Ako je X ∩Y = ∅, onda je |X ∪Y| = |X|+ |Y|.(2) [Princip proizvoda] X×Y = |X| · |Y|.

DOKAZ . Navedena tvr|ewa moèmo formulisati i na slede}i

na~in: za svaka dva prirodna broja m i n, i svaka dva skupa

X i Y,(1) ako je |X| = m, |Y| = n i X ∩Y = ∅, onda je |X ∪Y| = m + n;(2) ako je |X| = m i |Y| = n, onda je |X×Y| = m · n.

Na osnovu ovih reformulacija tvr|ewa uo~avamo da dokaze

moèmo sprovesti i indukcijom po n (pri fiksiranom m).

Neka je m proizvoqan prirodan broj.

(1) (BI) Neka je |X| = m, |Y| = 0 i X ∩ Y = ∅. Iz |Y| = 0 sledi

da je Y = ∅ (teorema 33 (1)), pa je X ∪ Y = X i |X ∪ Y| = |X| =

m = m + 0.(IP) Neka je n prirodan broj takav da za sve skupove X i Y, iz

|X| = m, |Y| = n i X ∩Y = ∅ sledi |X ∪Y| = m + n.Pretpostavimo da je |X| = m, |Y| = n′ i X ∩ Y = ∅. Tada

postoji bijekcija f : Y → n′. Neka je Y1 = Y \ { f−1(n)}.Koriste}i bijekciju f neposredno moèmo definisati bijekcijuizme|u Y1 i n, odakle sledi da je |Y1| = n. Kako je X ∩ Y1 = ∅,

prema (IP) zakqu~ujemo da postoji bijekcija g : X ∪Y11−1−→na m + n.

Defini{imo, najzad, funkciju h : X ∪Y → (m + n)′:

h(x) =

{g(x), x ∈ X ∪Y1,

m + n, x = f−1(n).

O~igledno je h bijekcija, a kako je (m + n)′ = m + n′, tvr|ewe jedokazano.

(2) (BI) Neka je |X| = m, |Y| = 0. Iz |Y| = 0 sledi da je Y = ∅,

pa je X×Y = ∅ i |X×Y| = 0 = m · 0.(IP) Neka je n prirodan broj takav da za sve skupove X i Y, iz

|X| = m i |Y| = n sledi |X×Y| = m · n.Pretpostavimo da je |X| = m i |Y| = n′. Tada postoji bijekcija

f : Y → n′. Neka je y = f−1(n) i Y1 = Y \ {y}. Kako je |Y1| = n,prema (IP) zakqu~ujemo da je |X × Y1| = m · n. Jednostavno je

uo~iti da je |X × {y}| = |X| = m (na primer, h : X × {y}1−1−→na X,

h(x, y) = x, x ∈ X). Kako je Y = {y} ∪ Y1 (i y 6∈ Y1), to je

X × Y = (X × {y}) ∪ (X × Y1) i (X × {y}) ∩ (X × Y1) = ∅, pa

prema (1) dobijamo

|X×Y| = |X× {y}|+ |X×Y1| = m + m · n = m · n′.

92 UML

Posledica 8. (1) Ako su X i Y kona~ni skupovi, onda je

|X ∪Y|+ |X ∩Y| = |X|+ |Y|.

(2) Unija dva kona~na skupa je kona~an skup.

(3) Dekartov proizvod dva kona~na skupa je kona~an skup.

H Beskona~ni skupovi. Kantor-Bern{tajnova teorema

Nisu svi skupovi kona~ni. Na primer, da skup N nije kona~an

moèmo se uveriti na vi{e na~ina. Navodimo samo dva.

� Skup N+ = N \ {0} je pravi podskup od N i postoji bijekcija

izme|u N i N+; na primer, funkcija f : N→ N+, f (n) = n′,n ∈N, jeste bijekcija. Prema posledici 7 (2), skup N ne moè

biti kona~an.

� Funkcija sledbenik ′ : N → N je 1-1 funkcija, ali nije na

funkcija (0 nije sledbenik nijednog prirodnog broja), pa premaposledici 7 (3) zakqu~ujemo da N nije kona~an.

Definicija 18. Skup je beskona~an ako nije kona~an.

Upore|ivawebeskona~nih skupovapo �broju� elemenata defini{emo

po uzoru na tvrdwe (2) i (3) teoreme 33, koje se odnose na kona~ne

skupove.

Definicija 19. (1) Skupovi A i B su iste kardinalnosti (imaju

isti broj elemenata), u oznaci |A| = |B| ako postoji bijekcija

izme|u A i B.(2) Kardinalnost skupa A je mawa od ili jednaka kardinalnosti

skupa B, u oznaci |A| 6 |B| ako postoji 1-1 funkcija iz A u B.


(1) |A| = |A|;(2) ako je |A| = |B|, onda je |B| = |A|;(3) ako je |A| = |B| i |B| = |C|, onda je |A| = |C|.

DOKAZ. (1) idA : A1−1−→na A.

(2) Ako f : A1−1−→na B, onda f−1 : B

1−1−→na A.

(3) Ako f : A1−1−→na B i g : B

1−1−→na C, onda g ◦ f : A1−1−→na C.


(1) |A| 6 |A|;(2) ako je |A| 6 |B| i |B| 6 |C|, onda je |A| 6 |C|.

DOKAZ. Tvr|ewe (1) direktno sledi iz prethodne teoreme. Tvrd-

jewe (2) vaì jer iz f : A 1−1→ B i g : B 1−1→ C sledi g ◦ f : A 1−1→C.

UML 93

Teorema 38. [Kantor-Bern{tajnova teorema] Neka su A i B bilo

koji skupovi. Ako je |A| 6 |B| i |B| 6 |A|, onda je |A| = |B|.

Najpre dokazujemo jednu korisnu lemu.

Lema 8. Neka je A bilo koji skup i F : P(A) → P(A) funkcija

koja zadovoqava slede}i uslov:

(∗) (∀X, Y ∈ P(A)) X ⊆ Y ⇒ F(X) ⊆ F(Y).

Tada postoji E ⊆ A takav da je F(E) = E.

DOKAZ . Neka je E = {X | X ⊆ A ∧ X ⊆ F(X)} i E =⋃E.

Dokaza}emo da je E fiksna ta~ka funkcije F, tj. F(E) = E.Primetimo najpre da vaì:

E =⋃

X∈EX ⊆

⋃X∈E

F(X)(!)⊆F(

⋃X∈E

X) = F(E).

Inkluzija ozna~ena znakom uzvika vaì jer za svako X ∈ E, X ⊆⋃X i F(X) ⊆ F(

⋃X), prema (∗). Iz uslova (∗) dobijamo i da je

F(E) ⊆ F(F(E)), odakle sledi da F(E) ∈ E, pa je F(E) ⊆ ⋃E = E.Dakle, F(E) = E.

DOKAZ. [Kantor-Bern{tajnova teorema] Neka f : A 1−1→ B i g :

B 1−1→ A. O~igledno je da se pomo}u funkcije f moè definisatibijekcija izme|u skupova A i f [A], a pomo}u funkcije g bijekcijame|u skupovima B i g[B]. Me|utim, mogu}e je da skupovi f [A] i

g[B] budu pravi podskupovi, redom od B i A.

Naravno, sli~no zapaàwe vaì i za podskupove od A, odn.B: ako je X ⊆ A, onda je f odre|uje jednu bijekciju izme|u X i

f [X], a ako je Y ⊆ B, onda g odre|uje bijekciju izme|u Y i g[Y].

Kqu~no pitawe je da li postoji podskup E ⊆ A takav da g odre|ujebijekciju izme|u B \ f [E] i A \ E, tj. da vaì

g[B \ f [E]] = A \ E, odn. E = A \ g[B \ f [E]].

94 UML

Drugim re~ima, treba ispitati da li postoji fiksna ta~ka

funkcije F : P(A) → P(A), F(X) = A \ g[B \ f [X]], X ∈ P(A).

Prema prethodnoj lemi, dovoqno je proveriti da li vaì uslov

(∗). Za bilo koje X1, X2 ⊆ A vaì:

X1 ⊆ X2 ⇒ f [X1] ⊆ F[X2]

⇒ B \ f [X1] ⊇ B \ F[X2]

⇒ g[B \ f [X1]] ⊇ g[B \ F[X2]]

⇒ A \ g[B \ f [X1]] ⊆ A \ g[B \ F[X2]]

⇔ F(X1) ⊆ F(X2).

Dakle, prema pomenutoj lemi, postoji skup E takav da je F(E) = E,tj. g[B \ f [E]] = A \ E. Primetimo da za svako x ∈ A \ E, postojijedinstveni (jer je g 1-1 funkcija) element iz B ~ija je g-slikajednaka x; taj jedinstveni element iz B ozna~i}emo sa g−1(x).

Sada nije te{ko definisati èqenu bijekciju. Neka je h : A→ Bfunkcija data sa:

h(x) =

{f (x), x ∈ E,

g−1(x), x ∈ A \ E

Dokaz da je h bijekcija ostavqamo za ve`bu.

Upore|ivawe beskona~nih skupova po kardinalnosti (po broju

elemenata) ima smisla, jer se ispostavqa da postoje razne �vrste

beskona~nosti� i da od svakog beskona~nog skupa postoji neki

�beskona~niji�, tj. ve}e kardinalnosti.

Definicija 20. Kadrinalnost skupa A je mawa od kardinalnosti

skupa B, u oznaci |A| < |B|, ako je |A| 6 |B| i |A| 6= |B|.

Teorema 39. Za svaki skup A, |A| < |P(A)|.

DOKAZ. Nije te{ko uo~iti da je |A| 6 |P(A)|. Zaista, funkcijaf : A→ P(A), f (x) = {x}, x ∈ A, jeste 1-1 funkcija.Ostaje jo{ da pokaèmo da ne postoji bijekcija izme|u A i

P(A). Pretpostavimo suprotno, da h : A1−1−→na P(A). Defini{imo

skup

K = {x ∈ A | x 6∈ h(x)}.

O~igledno K ∈ P(A), pa po{to je h na funkcija, postoji k ∈ Atakav da je h(k) = K. Da li k pripada ili ne pripada skupu K?1. mogu}nost: k ∈ K. Iz h(k) = K sledi k ∈ h(k), {to prema

definiciji skupa K, zna~i da k 6∈ K. Kontradikcija.1. mogu}nost: k 6∈ K. Iz h(k) = K sledi k 6∈ h(k), {to prema

definiciji skupa K, zna~i da k ∈ K. Kontradikcija.Iz dobijenih kontradikcija zakqu~ujemo da ne postoji bijek-

cija izme|u A i P(A).

UML 95

Napomena 10. Dokaz posledwe teoreme je star preko sto godina.

Va`na neposredna posledica ovog tvr|ewa je da ne postoji skup

svih skupova. Ako bi postojao takav skup V, tada bismo imali

da je P(V) ⊆ V (jer je svaki podskup od V istovremeno i element

V) pa i |P(V)| 6 |V|. Tako|e, svi jedno~lani skupovi ne obrazujuskup, jer ako bi K bio skup svih jedno~lanih skupova, tada bi

za svaki skup x bilo x ∈ {x} ∈ K, tj. x ∈ ∪K, pa bi skup ∪Ksadràvao sve skupove. Interesantno je, tako|e, razmotriti kakve

posledice ima nejednakost |x| < |P(x)|, ukoliko je x beskona~an

skup.

Upore|ivawe skupova brojeva po kardinalnosti je glavni �kri-

vac� nastanka teorije skupova jer se wenim prvim rezultatima

smatraju Kantorove teoreme |N| = |Q| i |N| < |R|. Slobodnijere~eno, posledwa nejednakost nam govori da postoji neka vrsta

beskona~nosti vi{eg reda, tj. da i od beskona~nih skupova ima

strogo �brojnijih�, budu}i da je skupN beskona~an. [tavi{e, ko-

riste}i dokazanu nejednakost |x| < |P(x)|, moèmo konstruisatibeskona~an, strogo rastu}i po kardinalnosti, niz beskona~nih

skupova.

|N| < |P(N)| < |P(P(N))| < · · · < |P(· · ·P(P︸︷︷︸n

(N)) · · · )| < · · ·

H Prebrojivi i neprebrojivi skupovi

Definicija 21. Skup X je prebrojiv ako je |X| = |N|.

Da je X prebrojiv ozna~ava se i |X| = ℵ0.

Teorema 40. Svaki podskup prebrojivog skupa je kona~an ili pre-

brojiv.

DOKAZ. Dokaza}emo da je svaki beskona~an podskup od N prebro-

jiv. Iz toga jednostavno zakqu~ujemo da navedeno tvr|ewe vaì.

Neka je A beskona~an podskup od N. Budu}i da je |A| 6 |N|(funkcija f : A → N, f (a) = a, a ∈ A, jeste 1-1 funkcija),

prema Kantor-Bern{tajnovoj teoremi treba jo{ pokazati da je

|N| 6 |A|.Defini{imo najpre jedan niz podskupova od A. Primenom

teoreme rekurzije defini{emo E : N→ P(A):{E0 = ∅,En+1 = En ∪ {min(A \ En)}.

Jednostavno se dokazuju slede}e ~iwenice:

� za svako n ∈N, En je kona~an podskup od A, pa je i A \ En 6= ∅;

96 UML

� E je strogo rastu}i (u odnosu na inkluziju) niz, tj. za sve

m, n ∈N, iz m < n sledi Em ⊂ En;

� za svako n ∈N i svako m > n, min(A \ En) ∈ Em.

Neka je h : N → A, h(n) = min(A \ En). Doka`imo da je h 1-1

funkcija. Pretpostavimo da je n1 6= n2. Bez gubqewa op{tosti

mo`emo uzeti da je n1 < n2. Iz h(n1) = min(A \ En1) ∈ En2 ,

zakqu~ujemo da mora biti h(n1) 6= h(n2).

Definicija 22. Skup je najvi{e prebrojiv ako je kona~an ili pre-

brojiv. Beskona~an skup je neprebrojiv ako nije najvi{e prebro-

jiv.

Iz prethodne teoreme sledi da je svaki podskup prebrojivog

skupa najvi{e prebrojiv.

Teorema 41. Skup A je najvi{e prebrojiv akko je |A| 6 |N|.

Teorema 42. Ako postoji funkcija iz N na skup A, f : Nna→ A,

onda je A najvi{e prebrojiv.

DOKAZ. Neka f : Nna→ A. Tada je za svako a ∈ A, skup

f−1[{a}] = {n ∈N | f (n) = a}

neprazan podskup od N, pa samim tim ima najmawi element. Neka

je g : A → N funkcija definisana sa: g(a) = min f−1[{a}],a ∈ A. Funkcija g je 1-1 funkcija, jer ako je a1 6= a2, onda je

f−1[{a1}] ∩ f−1[{a2}] = ∅, pa mora biti g(a1) 6= g(a2). Dakle,

|A| 6 |N|.

U nastavku }emo dokazati neke ~iwenice u vezi sa prebro-

jivim skupovima koje se ~esto koriste (podrazumevaju) u mnogim

matemati~kim oblastima.

Teorema 43. (1) Skup N ×N je prebrojiv. Uop{te, Dekartov

proizvod dva prebrojiva skupa je prebrojiv.

(2) Za svako n > 3, skup Nn je prebrojiv.

(3) Prebrojiva unija prebrojivih skupova je prebrojiv skup.

(4) Skup kona~nih nizova prebrojivog skupa je prebrojiv.

(5) Skup kona~nih podskupova prebrojivog skupa je prebrojiv.

DOKAZ. (1) Nije te{ko pokazati da su funkcije:

� f : N→N×N, f (n) = (n, 0),

� g : N×N→N, g(m, n) = 2m · 3n,

1-1 funkcije, pa je |N×N| = |N|, prema Kantor-Bern{tajnovojteoremi.

UML 97

(2) Jednostavno se dokazuje indukcijom.

(3) Prebrojiva familijom prebrojivih skupova jeste zapravo niz

skupova (An)n∈N, od kojih je svaki prebrojiv, |An| = |N|, zasvako n ∈ N. Treba dokazati da je skup A =

⋃n∈N An tako|e

prebrojiv.

Za svako n ∈ N, skup An je prebrojiv, pa postoji bijekcija

fn : N1−1−→na An. Defini{imo funkciju f : N×N→ A na slede}i

na~in:

f (m, n) = fm(n), (m, n) ∈N×N.

Funkcija f je na funkcija: za svako a ∈ A =⋃

n∈N An, postoji

m ∈N takav da a ∈ Am. Kako je fm bijekcija izme|uN i Am, daqe

sledi da postoji n ∈ N takav da je fm(n) = a, pa je f (m, n) = a.Prema teoremi 42 zakqu~ujemo da je A najvi{e prebrojiv skup,

odnosno prebrojiv, jer o~igledno nije kona~an.

(4) Tvr|ewe direktno sledi iz (2) i (3):⋃

n∈N Nn je prebrojiv.

(5)Svakomkona~nomnizunaprirodanna~inpriduùjemokona~an

skup (~iji su elementi ~lanovi niza): Npr:

(1, 2) 7→ {1, 2}(1, 2, 1, 1) 7→ {1, 2}(0, 0, 0) 7→ {0} . . .(x1, . . . , xk) 7→ {x1, . . . , xk}

pri ~emu, praznom nizu pridruùjemo prazan skup. Na ovaj na~in,

definisana je funkcija iz skupa svih kona~nih nizova prirodnih

brojeva na skup svih kona~nih podskupova prirodnih brojeva.

Prema (4) i Teoremi 42 izvodimo èqeni zakqu~ak.

98 UML

6. Operacijsko-relacijske strukturePojam matemati~ke strukture zauzima centralno mesto u savre-

menoj matematici. Uop{teno govore}i, matemati~ku strukturu Iako se ideja strukture, u izvesnom

smislu, sre}e i u radovima Lajbnica,

veruje se da je [reder 1895. godine prvi

put definisao pojam apstraktne struk-

ture.

~ini neki skup, takozvani domen, nosa~ ili univerzum strukture,

zajedno sa nekim drugim skupovima (funkcijama, relacijama, . . . )

unapred odre|enog tipa koji su na izvestan na~in povezani sa

domenom.

Definicija 23. Neka je S proizvoqan neprazan skup i n > 1.(1) Svaka funkcija iz Sn u S, naziva se n-arna operacija skupa

S. Posebno, funkcije iz S u S nazivamo unarnim operacijama; Sn = S× · · · × S︸︷︷︸n puta

je skup svih ure|enih

n-torki elemenata iz S.funkcije iz S× S u S nazivamo binarnim operacijama.

(2) Svaki podskup od Sn, naziva se n-arna relacija skupa S.Posebno, podskupove od S nazivamo unarnim relacijama; pod-

skupove od S× S nazivamo binarnim relacijama. Ako je R ⊆ Sn

i a1, . . . , an ∈ S, umesto (a1, . . . , an) ∈ R pi{emo R(a1, . . . , an)

i ~itamo �elementi a1, . . . , an su u relaciji R�. Svaku n-arnurelaciju mo`emo posmatrati kao funkciju iz Sn u dvo~lani skup

{0, 1} isnitosnih vrednosti (0 za 'neta~no', 1 za 'ta~no'), i samimtim iskaze

'R(a1, . . . , an) je ta~no' i 'R(a1, . . . , an) je neta~no'

zapisati kao jednakosti

R(a1, . . . , an) = 1 i R(a1, . . . , an) = 0.

PRIMER 53. Binarnu operaciju ∗ : {0, 1, 2} × {0, 1, 2} → {0, 1, 2}skupa {0, 1, 2} datu sa

∗ =

((0, 0) (0, 1) (0, 2) (1, 0) (1, 1) (1, 2) (2, 0) (2, 1) (2, 2)

0 0 1 1 2 0 0 2 1

)

predstavqamo i tzv. Kejlijevom tablicom.

∗ 0 1 20 0 0 21 1 2 02 0 2 0

Uobi~ajeno je da se umesto ∗(x, y) pi{e x ∗ y.Binarne relacije tako|e mo`emo zadati tablicama. Relaciju ρ ⊆

{0, 1, 2} × {0, 1, 2},

ρ = {(0, 0), (0, 1), (1, 2), (2, 0)}

UML 99

moèmo posmatrati i kao funkciju ρ : {0, 1, 2} × {0, 1, 2} → {0, 1} izadati je u obliku tablice:

ρ 0 1 20 1 1 01 0 0 12 1 0 0

Uobi~ajeno je da se binarne operacije ozna~avaju raznim speci-

jalnim simbolima +, ·, ∗, ?, ⊕ itd, kao i da se koristi tzv.

infiksna notacija � oznaku operacije navodimo izme|u argume-

nata (za razliku od prefiksne notacije gde se oznaka operacije

navodi ispred argumenata). Sli~no tome, za binarne relacije

tako|e koristimo infiksnu notaciju � oznaku relacije koris-

timoizme|u koordinata para koji ta relacija sadrì. Naprimer,

za ∗ : S× S→ S i ρ ⊆ S× S i proizvoqne a, b ∈ S:

� umesto ∗(a, b) pi{emo a ∗ b; isti~emo da a ∗ b odre|uje jedan

element skupa S � rezultat primene operacije ∗ na argumente ai b;

� umesto (a, b) ∈ ρ, tj. ρ(a, b) pi{emo a ρ b; isti~emo da aρbpredstavqa iskaz koji moè biti ta~an ili neta~an.

H Strukture i wihov vokabular

Operacisjko-relacijske strukture

Operacijsko-relacijsku strukturu ~ini skup zajedno sa nekim

svojimoperacijama, relacijamai elementima (konstantama). Ovak- Pojam n-arne operacije moèmo

uop{titi i u slu~aju kada je n = 0.Za bilo koji skup S, skup Sn moèmo

posmatrati kao skup svih n-to~lanihnizova elemenata iz S; shodno tome, skupS0 moèmo posmatrati kao skup svih

nizova duìne 0. Budu}i da postoji

samo jedan niz duìne 0, skup S0 je

jedno~lan, pa neku funkciju iz S0 u Sodre|uje izbor samo jednog elementa iz

S (u koji preslikavamo jedini element

skupa S0). Zato elemente (konstante) iz Sposmatramo i kao 0-arne operacije skupaS.

ve strukture zadajemo tako {to navedemo, u obliku niza, sve ono

{to je ~ini.

PRIMER 54. Standardnu strukturu prirodnih brojeva ~ini skup pri-

rodnih brojevaN, zajedno sa relacijom ure|ewa6, unarnom operacijom

sledbenik ′ : N→N, (binarnim operacijama) sabiarwem i mnoèwem

+, · : N×N→N, i konstantom 0: (N,6, ′, +, ·, 0).

Strukture ~esto ozna~avamo masnim slovima A, B, C, . . . , popotrebi sa indeksima, pri ~emu uglavnom koristimo slova kojima

su ozna~eni domeni (nosa~i) tih struktura, A, B, C, . . . , sa odgo-varaju}im indeksima. Na primer, pi{emo N = (N,6, ′, +, ·, 0).

Kardinalnost strukture je kardinalnostwegovog domena: kaèmo

da je neka struktura kona~na (prebrojiva, neprebrojiva) ako jewen

domen kona~an (prebrojiv, neprebrojiv). Na primer, N je primer

prebrojive strukture.

100 UML

Vokabular strukture

Simboli kojima ozna~avamo relacije, operacije i konstante

neke strukture nazivamo vokabularom te strukture. Vokabular Na primer, vokabular strukture N ~ine

simboli: 6, ′, +, ·, 0zajedno sa logi~kim simbolima ~ine alfabet tzv. jezika prvog

reda koji koristimo za opisivawe strukture:

LOGI^KI SIMBOLI VOKABULAR STRUKTURE

promenqive: simboli konstanti;

x, y, z, x1, y1, z1, . . . simboli operacija, pri ~emu je za svaki

simbol odre|ena wegova duìna;

znak jednakosti: = simboli relacija, pri ~emu je za svaki

logi~ke konstante: ⊥, > simbol odre|ena wegova duìna.

logi~ki veznici: (unarni) ¬,(binarni) ∧, ∨,⇒,⇔kvantifikatori: ∀, ∃pomo}ni znaci: leva i desna zagrada, zapeta

Logi~ki simboli su nepromenqivi deo jezika prvog reda, dok

simbole vokabulara odre|uje tip struktura koje posmatramo.

Izrazi

Izraze gradimo induktivno, na uobi~ajen na~in, koriste}i

promenqive, simbole konstanti, simbole operacija i pomo}ne

znake:

� Promenqive i simboli konstanti su izrazi;

� Ako je F simbol operacije duìne n i ako su t1, . . . , tn izrazi,

onda je F(t1, . . . , tn) izraz. Specijalno, ako je F simbol binarne op-

eracije, i t1, t2 izrazi, onda je umesto

F(t1, t2) uglavnom pi{emo t1Ft2.Ako je t neki izraz, saV(t) ozna~i}emo skup onih promenqivihkoje u~estvuju u gra|ewu izraza t. Naravno, za svaki izraz t, skupV(t) je kona~an: Primeri izraza nad vokabularom struk-

ture N: 0, (x + 0)′, (0′ · (x + 0′)) itd.

� V(v) = {v}, za promenqivu v; V(c) = ∅, za simbol konstante

c;

� V(F(t1, . . . , tn)) = V(t1) ∪ · · · ∪ V(tn), za simbol operacije Fduìne n i izraze t1, . . . , tn.

Atomske formule. Formule

Logi~ke konstante smatramo atomskim formulama. Sloènije

atomske formule dobijamo povezivawem dva izraza znakom jed-

nakosti, odn. povezivawem odgovaraju}eg broja izraza simbolom

relacije. Primeri atomskih formula nad vokab-

ularom strukture N: 0 = 0, 0 6 0′,(x · 0) 6 (x + 0), x + y = y + x itd.

� Logi~ke konstante ⊥ i > su atomske formule;

� Ako si t1 i t2 izrazi, onda je t1 = t2 atomska formula;

UML 101

� Ako je R simbol relacije duìne n i ako su t1, . . . , tn izrazi,

onda je R(t1, . . . , tn) atomska formula.

Formule defini{emo induktivno, polaze}i od atomskih for-

mula i povezuju}i ih logi~kim veznicima, odn. postavqawem

kvantifikatora sa promenqivom. Primeri formula nad vokabularom

strukture N: 0 = x, 0 = 0 ∧ ¬0′ 6 0,0′ 6 x ⇒ x 6 (x · x), ¬∃x(x + 0′) = 0,∀x∀y(x + y = y + x) itd.

� Atomske formule su formule;

� Ako je α formula, onda je ¬α tako|e formula;

� Ako su α i β formule i ∗ ∈ {∨,∧,⇒,⇔}, onda je (α ∗ β)

formula;

� Ako je α formula, v neka promenqiva, onda su ∀vα i ∃vα for-

mule.

Slobodna i vezana pojavqivawa promenqivih

Pojavqivawe promenqive u formuli moè biti slobodno ili

vezano. Svako pojavqivawe promenqive koje nije pod dejstvom

kvantifikatora naziva se slobodnim, a ona pojavqivawa koja

jesu pod dejstvom kvantifikatora nazivaju se vezanim.

Sve promenqive koje imaju slobodna pojavqivawa u nekoj for-

muli nazivaju se slobodne promenqive te formule. Skup svih

slobodnih promenqivih formule α ozna~avamo Fr(α) i precizno

defini{emo indukcijom po sloènosti formule:

� Fr(⊥) = Fr(>) = ∅;

� Fr(t1 = t2) = V(t1) ∪V(t2);

� Fr(R(t1, . . . , tn)) = V(t1) ∪ · · · ∪V(tn);

� Fr(¬α) = Fr(α);

� Fr(α ∗ β) = Fr(α) ∪ Fr(β), ∗ ∈ {∨,∧,⇒,⇔};

� Fr(∀xα) = Fr(∃xα) = Fr(α) \ {x}.

Za svaku formulu α, skup Fr(α) je kona~an.

Vrednost izraza

Izrazima, nad vokabularomneke struktureS, defini{u se novefunkcije, zapravo operacije nad S, na sasvim prirodan na~in.

Ako je V(t) ⊆ {x1, . . . , xn}, onda izraz t ozna~avamo t(x1, . . . , xn)

kada èlimo da istaknemo su sve promenqive koje u~estvuju u

gra|ewu izraza t neke od promenqivih x1, . . . , xn. Dodequju}i

promenqivama x1, . . . , xn redom neke vrednosti a1, . . . , an iz S,dobijamo jedinstvenu vrednost t(a1, . . . , an) ∈ S:

Sn 3 (a1, . . . , an) 7→ t(a1, . . . , an) ∈ S;

102 UML

na ovaj na~in je definisana jedna funkcija (zapravo n-arna op-eracija) iz Sn u S. Najjednostavnije funkcije definisane izraz-ima jesu projekcije i konstante funkcije (tj. funkcije odre|ene

najjednostavnijim izrazima):

(x1, . . . , xn) 7→ xi, (1 6 i 6 n) i (x1, . . . , xn) 7→ c.

Sloènije funkcije odre|uju neki izrazi t1, . . . , tm, takvi da je

V(t1), . . . , V(tm) ⊆ {x1, . . . , xn} ineki simboloperacije F duìnem:

(x1, . . . , xn) 7→ F(t1, . . . , tm).

Funkcije definisane izrazima moèmo opisati i na slede}i

na~in: polaze}i od projekcija i konstantnih funkcija,

(x1, . . . , xn) 7→ xi, (1 6 i 6 n) i (x1, . . . , xn) 7→ c,

sloènije funkcije generi{emo tzv. supstitucijama � postav-

qawem ve} definisanih funkcija kao argumenata nekog simbola

operacije.

PRIMER 55. Navodimo nekoliko funkcija definisanih izrazima nad Koristimo uobi~ajene konvencije o

brisawu zagrada.vokabularom strukture N:

t1(x) = 0 � konstantna funkcija (jednog argumenta);

t2(x, y) = 0′ � konstantna funkcija (dva argumenta);t3(x1, x2, x3) = x2 � projekcija (na drugu koordinatu);

t4(x, y) = x′ · (y + 0′)t5(x1, x2, x3) = x′1 · (x2 + 0′)itd. Izra~unajmo vrednosti izraza t5 za neke valuacije promenqivih:

t5(2, 1, 4) = 2′ · (1 + 0′) = 6t5(3, 3, 3) = 3′ · (3 + 0′) = 16t5(7, 13, 31) = 7′ · (13 + 0′) = 112itd.

Ta~nost formule

Ako je Fr(α) ⊆ {x1, . . . , xn}, onda formulu α ozna~avamo i sa

α(x1, x2, . . . , xn) kadaèlimo da istaknemo ~iwenicu da su sve slo-

bodne promenqive formule α neke od promenqivih x1, x2, . . . , xn.

Dodequju}ipromenqivama x1, . . . , xn redomneke vrednosti a1, . . . , an

iz M, dobijamo jedinstvenu istinitosnu vrednost α(a1, . . . , an):

Sn 3 (a1, . . . , an) 7→ α(a1, . . . , an) ∈ {0, 1};

na ovaj na~in je definisana jedna funkcija iz Sn u {0, 1}, tj.jedna n-arna relacija skupa S. Polaze}i od osnovih relacija kojeodre|uju atomske formule, sloènije relacije gradimo koriste}i

iskazne veznike i kvantifikatore zajedno sa promenqivama:

UML 103

� ako je α(x1, . . . , xn) formula oblika ¬θ(x1, . . . , xn), onda je za

a1, . . . , an ∈ S,

α(a1, . . . , an) = ¬θ(a1, . . . , an);

� ako je α(x1, . . . , xn)formulaoblika θ1(x1, . . . , xn) ∗ θ2(x1, . . . , xn),

∗ ∈ {∧,∨,⇒,⇔}, onda je za a1, . . . , an ∈ S,

α(a1, . . . , an) = θ1(a1, . . . , an) ∗ θ2(a1, . . . , an);

� ako je α(x1, . . . , xn) formula oblika ∀xθ(x, x1, . . . , xn), onda je

za a1, . . . , an ∈ S,

α(a1, . . . , an) = mina∈S

θ(a, a1, . . . , an);

� ako je α(x1, . . . , xn) formula oblika ∃xθ(x, x1, . . . , xn), onda je

za a1, . . . , an ∈ S,

α(a1, . . . , an) = maxa∈S

θ(a, a1, . . . , an).

PRIMER 56. Navodimo nekoliko relacija definisanih izrazima nad Koristimo uobi~ajene konvencije o

brisawu zagrada.vokabularom strukture N:

� α1(x) je formula 0′′ 6 xnpr. α1(0) je neta~no (α1(0) = 0), a α1(4) je ta~no (α1(4) = 1) itd.

� α2(x, y) je formula x′ = ynpr. α2(3, 2) je neta~no (α2(3, 2) = 0), a α2(2, 3) je ta~no (α2(2, 3) = 1)itd.

� α3(x1, x2) je formula x1 6 x′2 ⇒ x′1 6 x2

npr. α2(2, 1) je neta~no, α2(2, 5) je ta~no, α2(5, 2) je ta~no, itd.

� α4(x1, x2) je formula x′1 6 x2 ⇒ x1 6 x′2npr. α4(0, 0), α4(0, 1), α4(1, 0), α4(0, 2), α4(2, 0) su ta~ni iskazi;

� α5(x, y) je formula ∃z (x + z = y)

npr. α5(3, 0) je neta~no, α5(0, 3) je ta~no, itd.

� α6(x) je formula ∀y (x · y = x)

npr. α5(0) je ta~no, α5(1) je neta~no, itd.

ZADATAK 8. Na vokabularu strukture N date su formule:

� α(x, y) je ¬x = 0∧ ¬y = 0∧ ∃z (x · z = y)

� β(x) je 0′′ 6 x ∧ ∃y∃z (x = y · z⇒ y = 1∨ y = 1)

� γ(x, y) je ∃z(x + (z + z) = y ∨ y + (z + z) = x).

104 UML

Odredi, ako postoje, jednu valuaciju promenqivih za koju je for-

mula ta~na, i jednu valuaciju promenqivih za koju je formula

neta~na.

Ta~nost re~enice

Formula σ je re~enica ako nema slobodnih promenqivih, tj.

ako je Fr(α) = ∅. Na (ne)istinitost re~enice u nekoj strukturi

ne uti~u valuacije promenqivih. Da je re~enica σ ta~na u nekoj

strukturi S, zapisujemo S |= σ i kaèmo da je struktura S model

re~eniceσ. Akore~enicaσ nije ta~na uS pi{emoS 6|= σ ikaèmo

da je S kontramodel re~enice σ. Primetimo da ako S 6|= σ, onda

S |= ¬σ.

PRIMER 57. (N,6, ′, +, ·, 0) |= ∀x∀y∀z(x · (y + z) = (x · y) + (x · z))

(N,6, ′, +, ·, 0) |= ∀x∀y(x + y = 0⇒ x = 0∧ y = 0)

(N,6, ′, +, ·, 0) |= ∀x(¬x = 0⇒ ∃y(x = y′))(N,6, ′, +, ·, 0) |= ∃y∀x(x · y = x)

(N,6, ′, +, ·, 0) |= ¬∃x(x · x = 0′′)(N,6, ′, +, ·, 0) |= ∃x(x · x = 0′′′′)itd.

ZADATAK 9. Koje od slede}ih re~enica su ta~ne u (N,6, ′, +, ·, 0)?

1. ∀x∀y∀z(x · y = x · z⇒ y = z)

2. ∃x (x · x = x′′)

3. ∀x∀y∃z(x = y ∨ x + z = y ∨ y + z = x)

H Razli~ite interpretacije vokabulara. Teorije.

Grupe; Bulove algebre; Ure|ewa

Najjednostavnija klasifikacija (operacijsko-relacijskih) stru-

ktura vr{iseprema vokabularu, tj. premabroju i duìnirelacija

ioperacija, kaoibroju konstantikoje u~estvuju uwihovoj defini-

ciji. Za strukture koje imaju isti vokabular kaèmo da su istog

tipa.

PRIMER 58. Posmatrajmo strukturu (N+, +, ·, ↑, 1) koju ~ine:

� skup N+ = {1, 2, 3, 4, . . .},

� binarne operacije: sabirawe (+), mnoèwe (·), stepenovawe (↑), pri~emu }emo umesto m ↑ n kra}e pisati mn, i

� konstanta 1.

Osnovne zakonitostikoje vaè uovoj strukturinazivamo sredwo{kolskim

identitetima: HSI � High School Identities

UML 105

(HSI)

∀x∀y(x + y = y + x)

∀x∀y∀z(x + (y + z) = (x + y) + z)

∀x(x · 1 = x)

∀x∀y(x · y = y · x)

∀x∀y∀z(x · (y · z) = (x · y) · z)

∀x∀y∀z(x · (y + z) = x · y + x · z)

∀x(x1 = x)

∀x(1x = 1)

∀x∀y∀z(xy+z = xy · xz)

∀x∀y∀z((x · y)z = xz · yz)

∀x∀y∀z((xy)z = xy·z)

Posmatrajmo jo{ jednu strukturu nad istim vokabularom. Strukturu

({0, 1}, +, ·, ↑, 1) nad domenom {0, 1} odre|uju tri binarne operacije

(definisane narednim tablicama) i konstanta 1:

+ 0 10 0 11 1 1

· 0 10 0 01 0 1

↑ 0 10 1 01 1 1

Nije te{ko uo~iti da operacije + i · zapravo predstavqaju redom

konjunkciju i disjunkciju nad {0, 1}, a da x ↑ y, tj. xy zapravo odgovara

iskaznoj formuli y ⇒ x. Jednostavno je proverovati da u strukturi

({0, 1}, +, ·, ↑, 1) va`e sve HSI zakonitosti. Podse}amo na slede}e parove ek-

vivalentnih iskaznih formula:

x ∨ y ≡ y ∨ xx ∨ (y ∨ z) ≡ (x ∨ y) ∨ zx ∧ 1 ≡ xx ∧ y ≡ y ∧ xx ∧ (y ∧ z) ≡ (x ∧ y) ∧ zx ∧ (y ∨ z) ≡ (x ∧ y) ∨ (x ∧ z)1⇒ x ≡ xx ⇒ 1 ≡ 1y ∨ z⇒ x ≡ (y⇒ x) ∧ (z⇒ x)z⇒ x ∧ y ≡ (z⇒ x) ∧ (z⇒ y)z⇒ (y⇒ x) ≡ z ∧ y⇒ x

PRIMER 59. 1. Posmatrajmo strukturu

({1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12},⊕,, 12)

koja karakteri{e tzv. aritmetiku ~asovnika:

⊕ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 121 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2345 9678 391011 1012

Popuwavawe tabele prepu{tamo ~itaocima. Nije te{ko proveriti da

je ⊕ asocijativna operacija,

(A) ∀x∀y∀z (x⊕ (y⊕ z) = (x⊕ y)⊕ z),

106 UML

da je 12 neutralni element za ⊕,

(N) ∀x (x⊕ 12 = x),

i da svaki element ima 'dopunu' do neutralnog, tj. inverzni odre|en

tabelom:

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12x 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 12

,

pri ~emu je

(I) ∀x (x⊕ (x) = 12).

2. Navedimo jo{ jednu strukturu istog tipa. Za bilo koji skup X,

• kompozicija dve bijekcije f : X1−1−→na X i g : X

1−1−→na X tako|e jedna bijekcija f ◦ g : X → X,

• identi~ko preslikavawe je bijekcija, idX : X1−1−→na X, i

• za svaku bijekciju f : X1−1−→na X postoji inverzna bijekcija f−1 : X

1−1−→na X.

Ako sa SX ozna~imo skup svih bijekcija (permutacija) skupa X, onda

je kompozicija ◦ odre|uje jednu binarnu operaciju skupa SX , inverz−1

odre|uje jednu unarnu operaciju na SX i idX je jedan element (skupa) SX .

U strukturi (SX , ◦,−1, idX) ta~ne su slede}e re~enice:

(A) ∀ f∀g∀h ( f ◦ (g ◦ h) = ( f ◦ g) ◦ h)

(N) ∀ f ( f ◦ idX = f )

(I) ∀ f ( f ◦ f−1 = idX)

3. Najzad, neka je S bilo koji skup. Na skupu P(S) posmatrajmo

tzv. simetri~nu razliku: X4Y = (X \ Y) ∪ (Y \ X) i neka je I unarnaoperacija na P(S) definisana sa I(A) = A. U strukturi (P(S),4, I, ∅)

ta~ne su slede}e re~enice:

(A) ∀X∀Y∀Z (X4(Y4Z) = (X4Y)4Z)

(N) ∀X (X4∅ = X)

(I) ∀X (X4I(X) = ∅)

U prethodnim primerima ilustrovan je veoma va`an na~in

uvo|ewa operacijsko-relacijskih struktura. Me|u strukturama

istog tipa (tj. strukturama koje imaju isti tip vokabulara) izdva-

jamo one koje zadovoqavaju neke izdvojene osobine � tzv. teorije.

Definicija 24. Teorija nekog vokabulara jeste bilo koji skup

re~enica tog vokabulara.

Navodimo neke va`ne primere teorija.

Teorija grupa. Vokabular grupa ~ini simbol jedne binarne op-

eracije, simbol jedne unarne operacije i simbol jedne konstante;

~esto se u op{tem slu~aju koriste slede}i simboli: ∗, −1, e.Teoriju grupa ~ine slede}e re~enice:

UML 107

(A) ∀x∀y∀z (x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z)

(N) ∀x (x ∗ e = x)

(I) ∀x (x ∗ x−1 = e)

Grupa je svaka struktura (G, ∗,−1, e) koja zadovoqava navedene

aksiome. U prethodnom primeru navedeno je nekoliko primera

grupa.

Teorija Bulovih algebri. Vokabular ~ine simboli dve binarne

operacije g i f, simbol jedne unarne operacije c i dva sim-

bola konstante 0 i 1. Teorija Bulovih algebri sadrì slede}e

re~enice:

Ag ∀x∀y∀z(xg (yg z) = (xg y)g z) Af ∀x∀y∀z(xf (yf z) = (xf y)f z)

Kg ∀x∀y(xg y = yg x) Kf ∀x∀y(xf y = yf x)

Dgf ∀x∀y∀z(xg (yf z) = (xg y)f (xg z)) Dfg ∀x∀y∀z(xf (yg z) = (xf y)g (xf z))

Cg ∀x(xg xc = 1) Cf ∀x(xf xc = 0)

Ng ∀x(xg 0 = x) Nf ∀x(xf 1 = x)

Bulova algebra je svaka struktura (B,g,f,′ , 0, 1) u kojoj su

ta~ne navedene re~enice.

PRIMER 60. Ako je S bilo koji skup, (P(S),∪,∩, {, ∅, S) jeste Bulova

algebra, jer za sve X, Y, Z ∈ P(S) vaì:

A∪ X ∪ (Y ∪ Z) = (X ∪Y) ∪ Z A∩ X ∩ (Y ∩ Z) = (X ∩Y) ∩ ZK∪ X ∪Y = Y ∪ X K∩ X ∩Y = Y ∩ XD∪∩ X ∪ (Y ∩ Z) = (X ∪Y) ∩ (X ∪ Z) D∩∪ X ∩ (Y ∪ Z) = (X ∩Y) ∪ (X ∩ Z)

N∪ X ∪∅ = X N∩ X ∩ S = XC∪ X ∪ X{ = S C∩ X ∩ X{ = ∅Algebra ({0, 1},∨,∧,¬, 0, 1), sa uobi~ajenim logi~kim veznicima,

tako|e je jedna Bulova algebra, jer za sve p, q, r ∈ {0, 1} vaì:

A∨ p ∨ (q ∨ r) = (p ∨ q) ∨ r A∧ p ∧ (q ∧ r) = (p ∧ q) ∧ rK∨ p ∨ q = q ∨ p K∧ p ∧ q = q ∧ pD∨∧ p ∨ (q ∧ r) = (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) D∧∨ p ∧ (q ∨ r) = (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)N∨ p ∨ 0 = p N∧ p ∧ 1 = pC∨ p ∨ ¬p = 1 C∧ p ∧ ¬p = 0Zanimqiv primer Bulove algebre dobijamo razmatraju}i skup Dn

svih prirodnih delilaca nekog prirodnog broja n koji je proizvod

razli~itih prostih brojeva (dakle, n nije deqiv kvadratom nekog pros-

tog broja). Nije te{ko pokazati, koriste}i elementarna svojstva naj-

maweg zajedni~kog sadràoca i najve}eg zajedni~kog delioca, da je

Dn = (Dn, nzs, nzd, n/, 1, n) jedna Bulova algebra (komplement ele-

menta x ∈ Dn je n/x), tj. da za bilo koje x, y, z vaè slede}e jednakosti:

108 UML

Ag nzs(x, nzs(y, z)) = nzs(nzs(x, y), z) Af nzd(x, nzd(y, z)) = nzd(nzd(x, y), z)

Kg nzs(x, y) = nzs(y, x) Kf nzd(x, y) = nzd(y, x)

Dgf nzs(x, nzd(y, z)) = nzd(nzs(x, y), nzs(x, z)) Dfg nzd(x, nzs(y, z)) = nzs(nzd(x, y), nzd(x, z))

Cg nzs(

x,nx

)= n Cf nzd

(x,

nx

)= 1

Ng nzs(x, 1) = x Nf nzd(x, n) = x

Teorija ure|ewa. Vokabular ~ini simbol jedne binarne relacije

6. Teoriju ure|ewa ~ine slede}e re~enice:

(R) ∀x (x 6 x)

(AS) ∀x∀y (x 6 y ∧ y 6 x ⇒ x = y)

(T) ∀x∀y∀z (x 6 y ∧ y 6 z⇒ x 6 z)

Ure|ewe je struktura (P,6) koja zadovoqava navedene aksiome.

Primeri ure|ewa su (N,6) i (P(S),⊆), za bilo koji skup S.Teorija linearnih ure|ewa. Vokabular ~ini simbol jedne bina-

rne relacije6. Teoriju linearnih ure|ewa~ine slede}e re~enice:

(R) ∀x (x 6 x)

(AS) ∀x∀y (x 6 y ∧ y 6 x ⇒ x = y)

(T) ∀x∀y∀z (x 6 y ∧ y 6 z⇒ x 6 z)

(L) ∀x∀y (x 6 y ∨ y 6 x)

Ure|ewe je struktura (P,6) koja zadovoqava navedene aksiome.

Struktura (N,6) je primer linearnog ure|ewa, dok (P(S),⊆),

kada je |S| > 2, nije linearno ure|ewe.

H Semanti~ka i sintaksna posledica

Definicija 25. Ako je Γ neka teorija (skup re~enica). Re~enica

α je semanti~ka posledica teorije Γ, u oznaci Γ |= α, ako za svaku

strukturu S,

iz S |= γ, za svako γ ∈ Γ, sledi da S |= α.

Umesto ∅ |= α pi{emo |= α.

Ako je |= α, tj. α je ta~no u svim strukturama odgovaraju}eg

vokabulara, ka`emo da je α vaqana re~enica.

Posebno isti~emo da znak |= koristimo dvojako:

� kao oznaku odnosa izme|u strukture i re~enice; S |= α zna~i

da je α ta~no u strukturi S;

� kao oznaku odnosa izme|u skupa re~enica i jedne re~enice; Γ |=α zna~i da je α semanti~ka posledica skupa formula Γ.

UML 109

PRIMER 61. Setimo se da je grupa svaka struktura G = (G, ∗,−1, e)koja zadovoqava re~enice teorije grupa. Neka ΓGR ozna~ava teoriju

grupa. Posmatrajmo tvr|ewe

U svakoj grupi vaì desni zakon kancelacije (skra}ivawa).

Desni zakon kancelacije, na jeziku teorije grupa, moèmo izraziti

slede}om re~enicom ∀x∀y∀z(x ∗ z = y ∗ z⇒ x = y), koju }emo ozna~itisa σ. Uz ove oznake, ΓGR |= σ kaè isto {to i navedeno tvr|ewe.

Uobi~ajen dokaz te~e ovako.

Neka je (G, ∗,−1, e) proizvoqna grupa (model za ΓGR).

1. Izaberimo proizvoqne elemente x, y, z iz G, takve da je x ∗ z = y ∗ z.

Tada je

2. (x ∗ z) ∗ z−1 = (y ∗ z) ∗ z−1,

3. x ∗ (z ∗ z−1) = y ∗ (z ∗ z−1), [iz prethodnog prema zakonu asocijativnosti]

4. x ∗ e = y ∗ e, [iz prethodnog jer je z ∗ z−1 = e]

5. x = y, [iz prethodnog jer je x ∗ e = x i y ∗ e = y]

6. ∀x∀y∀z(x ∗ z = y ∗ z⇒ x = y). [jer su x, y, z proizvoqni elementi]

Pojam sintaksne posledice pruà veoma dobar uvid u to kako

sprovodimo dokaze u matematici. Osvrnimo se malo detaqnije na

dokaz dat u primeru 61 da desni zakon kancelacije vaì u svakoj

grupi. Iako smo tokom dokaza zami{qali da radimo sa nekom

konkretnom (proizvoqno izabranom) grupom, nijednog trenutka

nismo imali potrebu da preciziramo o kojoj je zaista grupi re~,

ve} smo iskqu~ivo koristili zakonitosti koje grupa zadovoqava

po definiciji, kao i dobro poznata svojstva jednakosti i op-

eracija (funkcija). Drugim re~ima, zna~ajne su samo aksiome

teorije grupa, dok je semantika u ovom slu~aju samo psiholo{ka

podr{ka za onoga ko sprovodi dokaz.

Spisak pravila prirodne dedukcije koja koristimo za izvo|e-

we u iskaznoj logici, pro{rujemo pravilima za kvantifikatore,

koja smo koristili u ~istoj predikatskoj logici (strana 41), pri

~emu u slu~aju vokabulara prvog reda imamo bogatiji skup izraza,

i pravilima za jednakosti.

VA@NO! Formula α[x/t] ozna~ava formulu koja je dobija is-

tovremenom zamenom svih slobodnih pojavqivawa promenqive xu formuli α izrazom t, pri ~emu se nijedna promenqiva izraza tnije vezana.

Formula α je sintaksna posledica skupa formula Γ, ako se

sekvent Γ ` α moè dobiti primenom pravila iskazne logike

(strana 32) i slede}ih pravila za kvantifikatora i jednakosti,

kona~an broj puta:∀xα

α[x/t](∀xE)

α[x/t]∃xα

(∃xU)

110 UML

v...

α[x/v]

∀xα(∀xU)

∃xα

v α[x/v]...

γ

γ(∃xE)

VA@NO! U poddokazima pravila (∀xU) i (∃xE), pojavquje se

tzv. sveà promenqiva v koja se u formulama van poddokaza ne

pojavquje slobodno.

t = t(=U) α[x/t] t = u

α[x/u](=E)

Lema 9. 1. ` ∀x1∀x2(x1 = x2 ⇒ x2 = x1)

2. ` ∀x1∀x2∀x3(x1 = x2 ∧ x2 = x3 ⇒ x1 = x3)

DOKAZ.

Izvo|ewe sekventa ` ∀x1∀x2(x1 = x2 ⇒ x2 = x1)

1. x1, x2 Uvodimo sveè promenqive da bismo dokazali ∀x1∀x2 · · · ;2. x1 = x2 dodatna pretpostavka;

Neka je α(x) formula x = x1;

3. x1 = x1 (=U); jednakost x1 = x1 je zapravo formula α[x/x1];

4. x2 = x1 (=E), 2, 3; jednakost x2 = x1 je zapravo formula α[x/x2];

5. x1 = x2 ⇒ x2 = x1 (⇒U), 2-4;

6. ∀x1∀x2(x1 = x2 ⇒ x2 = x1) ∀x1U, ∀x2U 1-5

Izvo|ewe sekventa ∀x1∀x2∀x3(x1 = x2 ∧ x2 = x3 ⇒ x1 = x3)

1. x1, x2, x3 Uvodimo sveè promenqive;

2. x1 = x2 ∧ x2 = x3 dodatna pretpostavka;

Neka je α(x) formula x1 = x;3. x1 = x2 (∧L

E); jednakost x1 = x2 je formula α[x/x2];

4. x2 = x3 (∧DE );

5. x1 = x3 (=E), 3, 4; jednakost x1 = x3 je formula α[x/x3];

6. x1 = x2 ∧ x2 = x3 ⇒ x1 = x3 (⇒U), 2-5;

7. ∀x1∀x2∀x3(x1 = x2 ∧ x2 = x3 ⇒ x1 = x3) ∀x1U, ∀x2U, ∀x3U 1-6

Izvedena pravila mogu znatno da olak{aju dokazivawe sekve-

nata. U narednoj lemi dajemo nekoliko izvedenih pravila koja se

odnose na jednakosti.

Lema 10.

t1 = t2

t2 = t1(=S)

t1 = t2 t2 = t3

t1 = t3(=T)

t1 = t2

t[x/t1] = t[x/t2](=sup)

DOKAZ. Navodimo samo dokaz pravila (=sup). Naravno, t[x/t1] je

izraz dobijenistovremenom zamenomsvihpojavqivawapromenqive

x u t izrazom t1.

UML 111

Neka je α(y) formula t[x/t1] = t[x/y].

1. t1 = t2 pretpostavka;

2. t[x/t1] = t[x/t1] (=U); jednakost t[x/t1] = t[x/t1] je formula α[y/t1];

3. t[x/t1] = t[x/t2] (=E), 1, 2; jednakost t[x/t1] = t[x/t2] je zapravo formula α[y/t2].

PRIMER 62. Neka je f unarni operacijski simbol i neka je:� Inj f formula ∀x∀y( f (x) = f (y)⇒ x = y) (koja zna~i: f je 1-1 funkcija);

� Sur f formula ∀y∃x( f (x) = y) (koja zna~i: f je na funkcija);

� Bij f formula Inj f ∧ Sur f (koja zna~i: f je bijekcija);

� Inv f formula ∀x( f ( f (x)) = x) (koja zna~i: f je involucija).Dokaìmo Inv f ` Bij f .

1. ∀x( f ( f (x)) = x) pretpostavka;

2. ( f ( f (y)) = y) iz 1 prema (∀E), odnosno ( f (x) = y)[x/ f (y)];

3. ∃x( f (x) = y) iz 2 prema (∃U);

4. ∀y∃x( f (x) = y) iz 3 prema (∀U); dokazali smo Sur f ;

5. x, y uvodimo sveè promenqive;

6. f (x) = f (y) dodatna pretpostavka;

7. f ( f (x)) = f ( f (y)) iz 6 primenom (=c);

8. f ( f (x)) = x iz 1 prema (∀E);

9. x = f ( f (x)) iz 1 prema (∀E);

10. f ( f (y)) = y iz 1 prema (∀E);

11. x = y iz 9, 7, 10 prema 2× (=T);

12. f (x) = f (y)⇒ x = y iz 6-11 prema (⇒U);

13. ∀x∀y( f (x) = f (y)⇒ x = y) ∀xU, ∀yU; dokazali smo Inj f

14. Bij f iz 4, 13 prema (∧U)

Dato izvo|ewe u potpunosti odgovara uobi~ajenom dokazu da involu-

cija mora biti bijekcija. U nastavku navodimo uobi~ajeni neformalni

dokaz.

Pretpostavimo da je f involutivna funkcija. Dokaza}emo da je bi-

jekcija. Potrebno je dokazati da je 1-1 i na-funkcija (∧U).

f je 1-1 funkcija? Neka su x i y proizvoqni (∀U). Pretpostavimo da je

f (x) = f (y), i dokaìmo da je x = y (⇒U). Ovo je posledica slede}e

tri jednakosti (2× =E):

(i) f ( f (x)) = x,(ii) f ( f (y)) = y,(iii) f ( f (x)) = f ( f (y)).

Jednakosti (i) i (ii) vaè jer je f involucija (∃E), (ax). Jednakost (iii)je posledica pretpostavke f (x) = f (y) (=c).

f je na-funkcija? Ako je y proizvoqno, dokaza}emo da postoji x tako

da je f (x) = y (∀U). Neka je x = f (y) (∃U). Po{to je f involucija,

dobijamo da je f ( f (y)) = y, (∃E), (ax).

PRIMER 63. Pretpostavimo da vokabular sadrì jedan binarni op-

eracijski znak, koji }emo ozna~avati dvema vertikalnim crtama | |(izme|u kojih dolaze argumenti), i dva ternarna znaka koje }emoozna~avati

112 UML

sa ∠ i 4 (i koji o~ekuju tri argumenta sa desne strane). Neka je Tcong

teorija ~ije su aksiome univerzalna zatvorewa slede}ih formula: Univerzalno zatvorewe for-

mule α(x1, . . . , xk) jeste re~enica

∀x1 . . . ∀xkα(x1, . . . , xk).γ1 |xy| = |yx|,

γ2 ∠xyz = ∠zyx,

γ3 4xyz = 4uvw⇒ |xy| = |uv| ∧ |yz| = |vw| ∧ |zx| = |wu|,

γ4 4xyz = 4uvw⇒ ∠xyz = ∠uvw∧∠yzx = ∠vwu∧∠zxy = ∠wuv,

γ5 |xy| = |uv| ∧∠xyz = ∠uvw ∧ |yz| = |vw| ⇒ 4xyz = 4uvw.

Dokaza}emo

Tcong ` |ab| = |ac| ⇒ ∠abc = ∠acb.

Prema pravilu (⇒U), dokazivawe èqenog sekventa svodimo na

Tcong, |ab| = |ac| ` ∠abc = ∠acb.

Dakle, skup pretpostavki Γ sadrì γ1, γ2, γ3, γ4, γ5 i |ab| = |ac|.1. |ab| = |ac| pretpostavka, tj. (ax)

2. |ac| = |ab| iz 1 prema (=S)

3. |ab| = |ba| aktivirawem γ1 pravilom (∀E) pri [x/a], [y/b]

4. |ba| = |ab| iz 3 prema (=S)

5. |ba| = |ac| iz 4, 1 prema (=T)

6. |ac| = |ca| aktivirawem γ1 pravilom (∀E) pri [x/a], [y/c]

7. |ba| = |ca| iz 5, 6 prema (=T)

8. ∠bac = ∠cab aktivirawem γ2 pravilom (∀E) pri [x/b], [y/a], [z/c]

9. |ba| = |ca| ∧∠bac = ∠cab ∧ |ac| = |ab| iz 7, 8, 2 primenom (∧U) dva puta

10. |ba| = |ca| ∧∠bac = ∠cab ∧ |ac| = |ab| ⇒ 4bac = 4cabaktivirawem γ5 pravilom (∀E) pri [x/b], [y/a], [z/c], [u/c], [v/a], [z/b]

11. 4bac = 4cab iz 9, 10 prema (⇒E)

12. 4cab = 4bac iz 11 prema (=S)

13. 4cab = 4bac⇒ ∠cab = ∠bac ∧∠abc = ∠acb ∧∠bca = ∠cba,aktivirawem γ4 pravilom (∀E) pri [x/c], [y/a], [z/b], [u/b], [v/a], [w/c]

14. ∠cab = ∠bac ∧∠abc = ∠acb ∧∠bca = ∠cba iz 12, 13 prema (⇒E)

15. ∠abc = ∠acb iz 14 prema (∧lE) i (∧d

E).

Jednakosna logika

Zna~ajnu vrstu teorija predstavqaju one kojima se uvode va`ne

algebarske strukture, kao grupe na primer. Re~ je o teorijama nad

vokabularom koji ne sadrì relacijske simbole i ~ije su aksiome

univerzalna zatvorewa atomskih formula oblika t1 = t2, gde Univerzalno zatvorewe for-

mule α(x1, . . . , xk) jeste re~enica

∀x1 . . . ∀xkα(x1, . . . , xk).su t1 i t2 neki izrazi odgovaraju}eg jezika. Ovakve re~enice se

nazivaju algebarskim zakonima, pa se shodno tome teorije koje

sadrè samo algebarske zakone nazivaju algebarskim teorijama.

Algebarski zakoni ~esto se navode bez navo|ewa univerzalnih

UML 113

kvantifikatora (koji se, naravno, implicitno podrazumevaju).

Dokaz da je neki algebarski zakon sintaksna posledica algebarske

teorije Γ sprovodimo koriste}i pravila tzv. jednakosne logike:

t = t(=R)

t1 = t2

t2 = t1(=S)

t1 = t2 t2 = t3

t1 = t3(=T)

t1 = t2

t[x/t1] = t[x/t2](=sup).

Kaèmoda je algebarski zakonu = vposledica algebarske teorijeΓ, u oznaci Γ `J u = v, ako postoji kona~an niz jednakosti

u1 = v1, . . . , un = vn, u = v (koji se zavr{ava jednako{}u u = v)takav da svaka jednakost u nizu ili pripada Γ ili se moè dobiti

primenom nekog od pravila jednakosne logike, direktno (prema

pravilu (=R)) ili na jednakosti koje joj prethode u nizu. Nije

te{ko dokazati da se moè koristiti i slede}e izvedeno pravilo: Indeks DD moèmo shvatiti kao

skra}enicu za �dobra definisanost�.u1 = v1 u2 = v2 · · · un = vn

F(u1, . . . , un) = F(v1, . . . , vn)(=DD),

gde je F neki n-arni operacijski znak.

PRIMER 64. Dokaìmo da je

x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z, x ∗ e = x, x ∗ x−1 = e `J (x ∗ y) ∗ y−1 = x.

Primetimoda univerzalna zatvorewa jednakosti x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z,x ∗ e = x, x ∗ x−1 = e predstavqaju teoriju grupa TGR.

1. x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z pretpostavka (aksioma)

2. (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z) iz 1 prema (=S)

3. (x ∗ y) ∗ y−1 = x ∗ (y ∗ y−1) iz 2 prema (=sup), [z/y−1]

4. x ∗ x−1 = e pretpostavka (aksioma)

5. y ∗ y−1 = e iz 4 prema (=sup), [x/y]

6. x = x pretpostavka (aksioma)

7. x ∗ (y ∗ y−1) = x ∗ e iz 6, 5 prema (=DD)

8. x ∗ e = x pretpostavka (aksioma)

9. x ∗ (y ∗ y−1) = x iz 7, 8 prema (=T)

Primetimo da sve ove korake podrazumevamo (ukqu~uju}i i odgo-

varaju}a obja{wewa) i kada navodimo isti dokaz u najsaètijem obliku:

(x ∗ y) ∗ y−1 = x ∗ (y ∗ y−1) = x ∗ e = x.

Nije te{ko uo~iti da se navedeni (�jednakosni�) dokaz jednostavno

moè preraditi u dokaz sekventa TGR ` ∀x∀y((x ∗ y) ∗ y−1 = x).

Teorema potpunosti

Udosada{wim razmatrawima nije bilo te{ko uo~iti da relacija

semati~ke posledice (|=) i relacija sintaksne posledice (`) pose-duju niz zajedni~kih osobina, bez obzira na to {to su definisane

na potpuno razli~ite na~ine. Naredna teorema, koju navodimo

bez dokaza, zauzima veoma va`no mesto u matemati~koj logici i

ima veoma va`ne posledice.

114 UML

Teorema 44. [Teorema potpunosti] Γ ` α akko Γ |= α

Specijalno, ako je α formula ⊥, onda: Γ ` ⊥ akko Γ |= ⊥,odnosno:

(?) Γ 6` ⊥ akko Γ 6|= ⊥.

Ako Γ 6` ⊥, kaèmo da je Γ neprotivre~an skup formula. Prime-

timo i da Γ |= ⊥ zna~i da Γ nema model, tj. ne postoji struktura

u kojoj su ta~ne sve formule iz Γ; samim tim, Γ 6|= ⊥ zna~i da Γima model, tj. postoji struktura u kojoj su ta~ne sve formule iz Γ.U skladu sa ovim zapaàwima, tvr|ewe (?) moèmo formulisati

i na slede}i na~in:

(?) Γ je neprotivre~an skup formula akko Γ ima model.

U narednom primeru ilustrujemo uobi~ajenu primenu teoreme

potpunosti.

PRIMER 65. Primenom navedene teoreme jednostavno se dokazuje da

odre|ena formula nije posledica nekog skupa pretpostavki. To }emo

ilustrovati jednim primerom. Posmatrajmo teoriju grupa TGR i do-

kaìmo da se zakon komutativnosti, tj. formula ∀x∀y(x ∗ y = y ∗ x)

ne moè izvesti iz TGR. Da bismo dokazali da TGR 6` ∀x∀y(x ∗ y = y ∗x), dovoqno je dokazati da TGR 6|= ∀x∀y(x ∗ y = y ∗ x), za{ta je dovoqno

da konstrui{emo grupu ~ija binarna operacija nije komutativna. Ko je

bar malo upoznat sa teorijom grupa, odmah }e se setiti primera takve

grupe. Jedna odwih je grupa (S3, ◦,−1, σ1), gde je S3 skup svih permutacija

(bijekcija) skupa {1, 2, 3} ~iju su elementi:

σ1 =

(1 2 31 2 3

), τ1 =

(1 2 31 3 2

), τ2 =

(1 2 32 1 3

),

σ2 =

(1 2 32 3 1

), σ3 =

(1 2 33 1 2

), τ3 =

(1 2 33 2 1

).

Da grupa nije komutativna pokazuju jednakosti:

τ3 ◦ τ2 =

(1 2 32 3 1

)= σ2, τ2 ◦ τ3 =

(1 2 33 1 2

)= σ3.

Analogno se pokazuje da se ~uveni peti postulat (tj. aksioma par-

alelnosti) ne moè dokazati iz ostalih aksioma euklidske geometrije.

Odeqak zavr{avamo napomenom koja se odnosi na HSI-algebrepomenute u Primeru 58. Tarski je krajem 60-ih godina pro{log

(HSI)

∀x∀y(x + y = y + x)∀x∀y∀z(x + (y + z) = (x + y) + z)∀x(x · 1 = x)∀x∀y(x · y = y · x)∀x∀y∀z(x · (y · z) = (x · y) · z)∀x∀y∀z(x · (y + z) = x · y + x · z)∀x(x1 = x)∀x(1x = 1)∀x∀y∀z(xy+z = xy · xz)∀x∀y∀z((x · y)z = xz · yz)∀x∀y∀z((xy)z = xy·z)

veka postavio problem koji je danas poznat kao Tarskijev sred-

wo{kolski problem: Da li se iz HSI teorije moè izvesti svakiidentitet koji je ta~an u (N+, +, ·, ↑, 1)? Vilki je 1980. godine

dao negativan odgovor tako {to je pokazao da je identitet

UML 115

((1 + x)y + (1 + x + x2)y)x ·

((1 + x3)x + (1 + x2 + x4)x)y

=((1 + x)x + (1 + x + x2)x)y ·

((1 + x3)y + (1 + x2 + x4)y)x

ta~an u (N+, +, ·, ↑, 1), ali nije posledica HSI teorije. Tarski-jev problem i Vilkijevo re{ewe pokrenuli su razne, jo{ uvek

aktuelne pravce istra`ivawa HSI algebri.

116 UML

7. Aksioma izbora

ZFC je teorijeZFpro{irenaAksiomomizbora (Axiom of choice),

kra}e (AC). ZFC = ZF + AC

AKSIOMA IZBORA

Ako je A skup ~iji su svi elementi neprazni, onda postoji (tzv.

izborna) funkcija f : A→ ∪A takva da za sve X ∈ A, f (X) ∈ X.

Jednostavna posledica Aksiome izbora jeste slede}e tvr|ewe:

(AC∗) za svaki skup A postoji funkcija f : P(A) \ {∅} → A,takva da za sve X, ∅ 6= X ⊆ A, vaì f (X) ∈ X.

Nije te{ko uo~iti da iz (AC∗) sledi Aksioma izbora. Zaista,neka je A proizvoqan skup ~iji su elementi neprazni skupovi.

Neka je A = ∪A. Tada, prema (AC∗) postoji funkcija f : P(A) \{∅} → A, takva da za sve X, ∅ 6= X ⊆ A, vaì f (X) ∈ X. Kako

je A ⊆ P(A) \ {∅}, direktno sledi da je f � A izborna funkcija

za A.

Lema 11. Ako g : X na→ Y, onda je |Y| ≤ |X|.

DOKAZ. Treba na}i funkciju h : Y 1−1→ X. Za svako y ∈ Y neka je

Gy = g−1[{y}]. Budu}i da je g na-funkcija, sledi da je Gy 6= ∅ za

svako y ∈ Y. Neka je G = {Gy | y ∈ Y} i f izborna funkcija za G,tj. f : G → ∪G i f (Gy) ∈ Gy. Funkciju h : Y → X defini{emo

na slede}i na~in: h(y) = f (Gy), y ∈ Y. Jednostavno zakqu~ujemoda je h 1-1 funkcija: ako su y1 i y2 dva razli~ita elementa iz Y,onda su Gy1 i Gy2 disjunktni, pa je h(y1) 6= h(y2).

Primetimo da je lema 42 specijalan slu~aj prethodne leme.

Me|utim, za razliku od prethodnog dokaza u kojem se koristi

(AC), lema 42 je dokazana zahvaquju}i dobrom ure|ewu ≤ skupa

N. Analogan dokaz, bez pozivawa na (AC), moè se sprovesti za

bilo koji skup Y koji je dobro ure|en nekom relacijom.

Definicija 26. Ure|ewe � nekog skupa X je dobro ako svaki

neprazan podskup od X ima najmawi element u odnosu na �.

Lema 12. [bez (AC)] Neke je � dobro ure|ewe skupa Y. Tada za

svaki skup X, ako postoji f : X na→ Y, onda je |Y| ≤ |X|.

Prirodno je postaviti pitawe da li se svaki skupYmoè dobro

urediti, odn. da li sa na svakom skupu Y moè definisati neka

binarna relacija koja je dobro ure|ewe.

Teorema 45. [Cermelova lema (WO)] Svaki skup se moè dobro

urediti.

UML 117

Cermelova lemao~iglednovaì zanajvi{eprebrojive (kona~ne

i prebrojive) skupove, i to moèmo pokazati bez Aksiome izb-

ora. Me|utim, da bismo dobro uredili neki neprebrojiv skup,

neophodno je pozivawe na Aksiomu izbora.

Nije te{ko uo~iti da je Aksioma izbora posledica Cermelove

leme. Zapravo, Cermelova lema je ekvivalentna Aksiomi izbora.

(WO)⇒ (AC) îwenica da je ≤ dobro ure|ewe skupa Y zna~i da

svaki neprazan podskup ima najmawi element, pa postojifunkcija

min : P(Y) \ {∅} → Y takva da za sve X, ∅ 6= X ⊆ Y,min(X) ∈ Xi min(X) ≤ x, za svako x ∈ X.

Aksioma izbora ima jo{ dosta ekvivalentnih formulacija.

Jedna od najpoznatijih je svakako Cornova lema.

Definicija 27. Neka je (P,≤) ure|ewe (tj. ≤ je relacija poretka

na skupu P).(1) Skup L ⊆ P je lanac ako su svaka dva elementa iz L uporediva

u odnosu na ≤, tj. za sve x, y ∈ L vaì x ≤ y ili y ≤ x.(2) Skup X ⊆ P je odozgo ograni~en ako postoji element a ∈ P

takav da za sve x ∈ X vaì x ≤ a.(3) Element a ∈ P je maksimalan ako ne postoji element x ∈ P

takav da je a ≤ x i a 6= x.

Teorema 46. [Cornova lema (ZL)] Neka je (P,≤) ure|ewe. Ako je

svaki lanac u P odozgo ograni~en, onda u (P,≤) postoji maksi-

malan element.

Ispostavqa se da je i ovo tvr|ewe ekvivalentno Aksiomi izb-

ora. Tu ~iwenicu }emo detaqno dokazati pre svega da bismo

ilustrovali primenu Cornove leme. Aksioma izbora se u drugim

oblastima matematike naj~e{}e koristi u formi Cornove leme.

(ZL)⇒ (AC) (?) Neka je A proizvoqan neprebrojiv skup.

Neka je F skup svih funkcija izbora f takvih da je dom( f ) ⊆P(A) \ {∅} i f (x) ∈ x, za sve x ∈ dom( f ). Skup F je neprazan, jer

za svaki kona~an podskup odP(A) \ {∅} postoji funkcija izbora.Defini{imo na skupu F relaciju � na slede}i na~in:

f � g def⇔ dom( f ) ⊆ dom(g) ∧ ∀x ∈ dom( f ) ( f (x) = g(x)).

Nije te{ko proveriti da je � ure|ewe skupa D. Dokaìmo da

je svaki lanac L, ure|ewa (D,�), ograni~en odozgo.

Neka je L lanac u (D,�) i L =⋃

`∈L dom(`). O~igledno

je L ⊆ P(A) \ {∅}. Za svako x ∈ L, postoji ` ∈ L takva da

x ∈ dom(`). [tavi{e, ako x ∈ dom(`1) i x ∈ dom(`2), za neke

`1, `2 ∈ L, tada mora biti `1(x) = `2(x), jer je L lanac pa vaì

`1 � `2 ili `2 � `1, a samim tim:

1. dom(`1) ⊆ dom(`2) i `1(t) = `2(t), za sve t ∈ dom(`1), ili

118 UML

2. dom(`2) ⊆ dom(`1) i `1(t) = `2(t), za sve t ∈ dom(`2).

Drugim re~ima, za svako x ∈ L postoji jedinstveni element y ∈ Atakav da je `(x) = y, za svako ` ∈ L ~iji domen sadr`i x. Neka jeh : L → A odgovaraju}a funkcija: ako za x ∈ L izaberemo neko

(bilo koje) ` ∈ L takvo da x ∈ dom(`), onda je h(x) = `(x) ∈ x.Prema tome, h ∈ D. O~igledno, za svako ` ∈ L va`i ` � h, jer jedom(`) ⊆ L = dom(h) i h(x) = `(x), za sve x ∈ dom(`).

Dokazali smo da svaki lanac u (D,�) ima gorwe ograni~ewe.

PremaCornovoj lemi, postoji maksimalan element u (D,�): neka

je to funkcija F. Tada je dom(F) ⊆ P(A) \ {∅} i F(x) ∈ x, zasvako x ∈ dom(F). Ako bi bilo dom(F) ⊂ P(A), postojao bi

x0 ∈ P(A) \ {∅} takav da x0 6∈ dom(F). Budu}i da je x0 6= ∅, neka

je t proizvoqan element iz x0. Tada je funkcija F+ : dom(F) ∪{x0} → A definisana sa:

F+(x) =

{F(x), x ∈ dom(F),

t, x = x0,

tako|e funkcija izbora, tj. F+ ∈ D, {to je nemogu}e jer je F � F+,

a F je maksimalan element. Dakle, dom(F) = P(A) \ {∅}.

uvod u matemati^ku logikuenastava.matf.bg.ac.rs/~ikodinovic/uml_2020_21.pdfuvod u matemati^ku logiku...

Documents