uts kalk3 20152016 gasal solusi

8/19/2019 Uts Kalk3 20152016 Gasal Solusi

1/4

KUNCI JAWABAN UTS KALKULUS-3

Petunjuk:

1. Tulis nama, NIM, kelas pada lembar jawaban anda

2. Kerjakan hanya 4 soal saja yang anggap mudah.

3. Tulis langkah yang diperlukan saja. Tidak usah menjelaskan langkah yang tidak diperlukan.

1. (Integral fungsi bernilai vektor) Tentukan nilai dari r × s dt dan

s× r dt

jika diberikan r = 2t i + 3 j + t2 k dan s = t i + 3t j + (t − 2) kSolusi.

r

×s =

i j k2t 3 t2

t 3t t− 2

= 3t−

6

−3t3 i−

2t2

−4t

−t3 j + 6t2 −

3t k

akan diperoleh r × sdt =

3t− 6− 3t3

dt i−

2t2 − 4t − t3

dtj +

6t2 − 3t

dt k

sehingga

r × sdt =

3t2

2 − 6t − 3t

4

4

i−

2t3

3 − 2t2 − t

4

4

j +

2t3 − 3t

2

2

k

selanjutnya s × r dt = −

r × s dt =

−3t

2

2 + 6t +

3t4

4

i +

2t3

3 − 2t2 − t

4

4

j −

2t3 − 3t

2

2

k

2. (Limit fungsi peubah banyak) Jika diberikan

(a) lim(x,y)→(1,1)2xy

x2 + 2y2, hitung nilai limitnya.

(b) lim(x,y)→(0,0)2xy

x2 + 2y2, buktikan limitnya tidak ada

Solusi. (a) Oleh karena f (x, y) terdefinisi pada titik (1, 1) maka

lim(x,y)→(1,1)

2xy

x2 + 2y2 =

2

3

(b) Jika limit didekati melalui sumbu-x, artinya y = 0 diperoleh

lim(x,0)→(0,0)

2xy

x2 + 2y2 =

0

x2 = 0

Jika limit didekati melalui kurva y = x, akan diperoleh

lim(x,x)→(0,0)

2xy

x2 + 2y2 = 2x2

x2 + 2x2 = 2

3

Oleh karena limit untuk 2 cara pendekatan berbeda maka nilai limitnya tidak ada.

1


2/4

3. (Turunan parsial) Tentukan f xx, f yy , f xy, f yz jika diberikan

(a) f (x,y ,z) = xkylzm

(b) f (x,y ,z) = x cos(y + 2z)Solusi. (a) Pertama, hitung f x kemudian langsung hitung f xx, f xy sehingga

f x = kx

k

−1

y

l

z

m

→ f xx = k (k − 1) xk

−2

y

l

z

m

→ f xy = kl xk

−1

y

l

−1

z

m

Selanjutnya, hitung f y kemudian hitung f yy , f yz

f y = l xkyl−1zm → f yy = l (l − 1) xkyl−2zm → f yz = lm xkyl−1zm−1

(b) Hitung f x kemudian langsung hitung f xx, f xy sehingga

f x = cos (y + 2z) → f xx = 0 → f xy = − sin(y + 2z)

Selanjutnya, hitung f y kemudian hitung f yy , f yz

f y = −x sin(y + 2z) → f yy = −x cos(y + 2z) → f yz = −2x cos(y + 2z)

4. (Aturan rantai) Jika diberikan

(a) w = xy + yz + zx dengan x = r cos θ, y = r sin θ, z = rθ. Tentukan ∂w

∂r dan

∂w

∂θ pada titik

r = 2, θ = π/2

(b) u = xety dengan x = a2b, y = b2c, t = c2a. Tentukan ∂u

∂a dan

∂u

∂b pada titik a = −1, b =

2, c = 1Solusi. (a) Untuk nilai r, θ yang diberikan akan diperoleh

x = r cos θ = 0 → xr = cos θ = 0 → xθ = −r sin θ = −2

dan y = r sin θ = 2 → yr = sin θ = 1 → yθ = r cos θ = 0

dan z = rθ = π → zr = θ =

π

2 → zθ = r = 2

sehingga

wr = wxxr + wyyr + wzzr = (y + z) (0) + (x + z) (1) + (x + y)

π

2

= π + π = 2π

dan

wθ = wxxθ + wyyθ + wzzθ = (y + z) (−2 ) + (x + z)(0)+ (x + y) (2) = (−4 − 2π) + 4 = −2π

(b) Untuk nilai a,b, c yang diketahui, diperoleh bahwa

x = a2b = 2 → xa = 2ab = −4 → xb = a2 = 1

dan y = b2c = 4 → ya = 0 → yb = 2bc = 4

dan t = c2a = −1 → ta = c2 = 1 → tb = 0

2


3/4

sehingga diperoleh

ua = uxxa + uyya + utta =

ety

(−4) +

txety

(0)+

yxety

(1) = −4e−4 + 0 + 8e−4 = 4e−4

dan

ub = uxxb + uyyb + uttb = ety (1) + txety (4) + yxety (0) = e−4 − 8e−4 + 0 =

−7e−4

5. (Turunan berarah) Tentukan turunan berarah jika diberikan

(a) f (x, y) = x2e−y pada titik (−2, 0) yang searah dengan (2,−3)(b) f (x,y ,z) = x2y + x

√ 1 + z pada titik (1, 2, 3) pada arah v = 2i + j − 2k

Solusi. (a) Untuk titik (−2, 0) akan diperoleh

∇f =

2xe−y

−x2e−y

=

−4−4

Vektor normal dari (2,−3) adalah u =

1√ 13

2−3

sehingga diperoleh turunan berarah f (x, y) terhadap arah u

Duf = ∇f · u = 1

3

61

14

·

21−2

= 1

3

12 + 1 − 1

2

=

25

6

(b) Untuk titik (1, 2, 3) diperoleh

∇f =

2xy +√

1 + zx2x

2√ 1+z

=

61

14

Vektor normal dari v = 2i + 1 j − 2k adalah

u = 1

3

21−2

sehingga turunan berarah f (x,y ,z) pada arah v adalah

Duf = ∇f · u = 1

3

61

14

·

21−2

= 1

3

12 + 1 − 1

2

=

25

6

6. (Maksimum minimum) Tentukan seluruh titik ekstrim yang mungkin dimiliki jika diberikanf (x, y) = x2 + xy + y2 + ySolusi. Turunkan terhadap x menghasilkan

f x = 2x + y = 0 → y = −2x

3


4/4

Turunkan terhadap y menghasilkan

f y = 2y + x + 1 = 0 → 2 (−2x) + x + 1 = 0 → x = 1

3 → y = −2

3

sehingga diperoleh titik ekstrim tunggal, yaitu x = 1/3, y = −2/3

4

uts kalk3 20152016 gasal solusi

Documents