Universita degli Studi di Roma Tre

Dipartimento di Ingegneria

LAUREA MAGISTRALE IN INGEGNERIA CIVILE PER LA PROTEZIONE DAI RISCHI NATURALI

RELAZIONE DI FINE TIROCINIO Utilizzo del Software agli elementi finiti Midas GTS NX per la

modellazione 3D di un tunnel Tirocinante: Federico Capata Matr. 445152

Tutor: Prof. Alessandro Graziani

Anno Accademico 2017-2018

Sommario

1 Introduzione .............................................................................................................................................. 1

2 Metodo agli elementi finiti ....................................................................................................................... 1

2.1 Metodi variazionali e formulazione debole……………………………………………………….......2 2.2 Elementi di calcolo delle variazioni…………………………………………………………………....2 2.3 Formulazione debole e formulazione variazionale di problemi ellittici…………………………….4 2.4 Condizioni al contorno…………………………………………………………………………….........6 2.5 Metodo di Galerkin……………………………………………………………………………………...6 2.6 Metodo di Ritz-Rayleigh…………………………………………………………………………….….6 2.7 Considerazioni generali sul metodo FEM…………………………………………………………....7 2.8 Costruzione della procedura numerica……………………………………………………………….7

3 Il software Midas GTS NX ......................................................................................................................11

3.1 Sequenza di lavoro…………………………………………………………………………...………11 3.2 Modellazione Geometrica……………………………………………………………………………11 3.3 Generazione delle Mesh……………………………………………………………………………..12 3.4 Condizioni di analisi…………………………………………………………………………………..13 3.5 Post-processing e valutazione dei risultati…………………………………………………………13 3.6 Modelli costitutivi implementati……………………………………………………………………...13

4 Esempio applicativo: Modellazione 3D di un Tunnel ..........................................................................14

4.1 Creazione modello geometrico……………………………………………………………...………14 4.2 Definizione Mesh……………………………………………………………………………….…….19 4.3 Stage Analysis……………………………………………………………………………….…….....22 4.4 Risultati………………………………………………………………………………………………..25

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1 Introduzione: Nell’ambito dello sviluppo della tesi è stato necessario utilizzare un software di calcolo che potesse simulare il comportamento degli elementi terreno, di quelli strutturali e la loro interazione fra di essi. In particolare si è cercato di valutare quali potessero essere gli effetti in termini di deformazioni, sollecitazioni, tensioni a seguito dello scavo di una galleria. Si è focalizzata, anche, l’attenzione sulla definizione delle caratteristiche dei materiali ,come ad esempio il modello costitutivo dei terreni, per cercare di ottenere risultati il più possibile coerenti in sezioni di cui si dispone di dati di monitoraggio completi. Tali comportamenti per la loro complessità possono essere trattati solo con l’ausilio di softwares agli elementi finiti. In questo caso particolare verrà utilizzato MIDAS GTS NX per poter modellare il terreno e le varie fasi di scavo e sostegno della galleria. 2 Metodo agli elementi finiti: La caratteristica principale del metodo agli elementi finiti è la discretizzazione di un mezzo continuo di partenza in un mezzo discreto (mesh) tramite primitive (elementi finiti) di forma semplice (ad esempio, triangoli e quadrilateri per domini 2D, esaedri e tetraedri per domini 3D). La soluzione del problema viene espressa, su ciascun elemento di forma elementare, dalla combinazione lineare di funzioni di base o di forma (shape functions). Tali funzioni sono delle approssimazioni della realtà e la soluzione ottenibile dalla risoluzione del Sistema non è la soluzione esatta in ogni punto bensì la soluzione che fornisce il minor errore su tutto il campo. Ad esempio per una funzione polinomiale la soluzione complessiva del problema dipende dal grado del polinomio e conseguentemente dal numero di coefficienti necessari: maggiore sarà il numero di coefficienti che definiscono ogni elemento, maggiore sarà l’accuratezza della soluzione. Nel metodo agli elementi finiti FEM (Finite Element Method), il continuo è suddiviso in un certo numero di elementi e la variabile fondamentale è lo spostamento di un numero finito di punti nodali. Il metodo è adatto a modellare oltre che geometrie complesse, materiali disomogenei con leggi costitutive complesse. Un problema non lineare (tipicamente un problema elasto-plastico) è ricondotto ad una serie di problemi lineari; ad esempio si possono applicare in modo incrementale i carichi e modificare, ad ogni incremento, la matrice di rigidezza degli elementi. Il metodo agli elementi finiti è una tecnica avanzata di risoluzione di equazioni differenziali parziali che consiste nel discretizzare queste equazioni nelle loro dimensioni spaziali. La nascita del metodo, negli anni ’50 dello scorso secolo, ha avuto un considerevole sviluppo in parallelo allo sviluppo degli elaboratori elettronici. Trattandosi di una tecnica algoritmica applicabile a qualsiasi mezzo che si possa modellare in maniera continua, i campi in cui sono state sviluppate soluzioni FEM sono vari. La discretizzazione viene effettuata localmente su piccole regioni di forma arbitraria (Elementi Finiti) dotati di caratteristiche significative pari a quelle dell’insieme nel quale si esegue l’integrazione. Gli elementi finiti, nel mezzo continuo, sono interconnessi tra loro nei nodi del sistema. Siccome in corrispondenza di ciascun nodo è possibile scrivere una o più equazioni che governano il problema in esame, risolvere il sistema di equazioni ai nodi equivale a definire il comportamento dei sottospazi rappresentati dagli elementi. In altri termini, la matrice algebrica globale riflette la sovrapposizione delle azioni e degli effetti delle azioni nelle aree discrete considerate “concentrate” ai nodi. La

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soluzione del sistema numerico associato alla matrice permette di definire il campo di variazione delle incognite dell’intero spazio considerato, sia per i punti nodali sia per tutti quelli interni ai singoli elementi. Ricavate dal sistema globale le grandezze ai nodi, si passa allo sviluppo dei risultati all’interno dei singoli campi costituiti dagli elementi. Le relazioni che legano le condizioni ai nodi con quanto accade all’interno delle aree discrete sono le funzioni di forma. 2.1 Metodi Variazionali e formulazione debole: Per poter parlare del metodo agli elementi finiti bisogna prima analizzare la teoria e i modelli matematici che ci sono dietro. Bisogna innanzitutto introdurre il concetto di METODI VARIAZIONALI. Questi metodi consentono di trasformare il modello matematico in una forma particolarmente adatta per i metodi numerici. In altre parole essi trasformano la risoluzione delle eq. differenziali e delle condizioni al contorno, in un problema di ottimo. Quando ho un problema in formulazione classica, normalmente cerco una funzione che messa nell’eq. differenziale la soddisfi nel dominio e soddisfi le condizioni al contorno. Quando invece adotto una formulazione variazionale, la funzione ‘u’, che definiamo come la nostra incognita, deve ottimizzare una certa grandezza che prende il nome di FUNZIONALE. In definitiva i metodi variazionali trasformano la soluzione di quell problema in una soluzione che renda massimo o minimo, quindi ottimo, un certo funzionale. La funzione che ottimizza il funzionale sarà proprio quella che soddisfa il modello matematico di partenza. Un funzionale non è altro che un’ applicazione che trasforma funzioni in numeri. Il dominio dove pesca il funzionale è un insieme di funzioni, il codominio è un in insieme di numeri reali.

2.2 Elementi di calcolo delle variazioni Sia Ω ⊂ Ρν un insieme aperto (campo). In Ω definiamo il seguente spazio di funzioni, così definito:

Tale spazio è uno spazio vettoriale sul campo dei reali, nel quale possiamo definire il seguente prodotto scalare fra due suoi elementi:

Con Ω = Ω ∪ dΩ indicheremo la chiusura di Ω, ossia l’unione con la sua frontiera. Una applicazione J , che ad ogni funzione u appartenente ad un assegnato spazio A, associa un numero reale J[u], si chiama funzionale. In simboli:

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Andiamo ora a definire il concetto di variazione di un funzionale. In sostanza vogliamo calcolare la variazione che subisce il funzionale quando si passa da una funzione u ad un’altra funzione u+Δu ossia J [u+Δu] −J [u]. Per motivi che in seguito saranno chiari, conviene scrivere Δu = εv dove ε è uno scalare e v una funzione. Supponendo come abbiamo detto che il funzionale J sia definito in A, non è affatto detto che se u,v ∈ A allora u + εv ∈ A (questo avviene solo se A è uno spazio vettoriale). Per essere allora sicuri che u + εv ∈ A, introduciamo un insieme M (che si può dimostrare essere uno spazio vettoriale) così definito:

Se esiste il seguente limite:

chiameremo tale limite la variazione prima di J nel punto u in direzione v e la indicheremo con la notazione dJ[u; v]. Analogamente a quanto avviene per le funzioni, si può dimostrare che, se in u0 il funzionale J ha un massimo o minimo relativo e se in u0 ammette variazione prima, allora:

Nel caso di funzioni ordinarie, sussiste la proprietà che la derivata lungo una assegnata direzione è data dal prodotto scalare del suo gradiente per il versore in quella direzione. Anche per i funzionali sussiste una proprietà analoga. Si può infatti dimostrare che, sotto determinate condizioni, dJ [u; v] che altro non è che la derivata di J nella direzione u, può essere scritto come dJ [u; v]= (G,v) dove G è una funzione (dipendente da u). Per quanto detto è naturale definire tale funzione il gradiente di J e scrivere:

Ora, se in u0 il funzionale J ha un massimo o minimo relative si ha:

Tale equazione prende il nome di equazione di Eulero associata al funzionale J[u] . Quando, ad una equazione alle derivate parziali si associa un equivalente problema variazionale, in sostanza si definisce il funzionale in modo che l’equazione di Eulero ad esso associata sia l’equazione alle derivate parziali di partenza. Si può anche dimostrare che nel caso in cui la nostra funzione che sta dentro al funzionale non dipende esplicitamente da x, l’eq. del 2° ordine che viene fuori può essere già integrate una volta, tirando fuori una costante.

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2.3 Formulazione debole e formulazione variazionale di problemi ellittici Bisogna innanzitutto ricordare che cosa si intende per problemi ellittici, si farà una differenza fra equazioni del 2° ordine e sistemi del primo ordine in due variabili. Nel primo caso si ha che un problema è ellittico se gli autovalori risultano essere o tutti maggiori di zero o tutti minori di zero. Nel secondo caso invece, la classificazione viene realizzata individuando se tutti gli autovalori sono numeri complessi, positive o negativi. In entrambi casi il problema ellittico descrive dei processi stazionari. Sia Ω ⊂ Rn un campo limitato dotato di una frontiera dΩ = Sd ∪ Sn costituita da due parti. Consideriamo il seguente problema ellittico:

ossia determinare una funzione

Che in Ω verifichi l’equazione in prima riga del problema, e che sulla sua frontier verifichi le condizioni imposte a riga due e tre, rispettivamente di tipo Dirichlet e di tipo Neumann (n è la normale esterna). Il problema è sufficientemente generale da determinare molti problemi di interesse applicativo. A titolo di esempio, scegliendo p(x) = 1, q(x) = 0, f (x) = 0 otteniamo una equazione di Laplace, con p(x) = 1, q(x) = 0, una equazione di Poisson. Anche sulle condizioni al contorno assumendo ad esempio SD = ∅ ⇒ dΩ = SN , otteniamo condizioni solo di tipo Neumann, oppure assumendo SN = ∅ ⇒ dΩ = SD solo di tipo Dirichlet. Per introdurre il concetto di soluzione debole del problema trasformiamo questo problema differenziale in un problema integrale. Moltiplichiamo allora entrambi i membri della prima equazione del problema per una arbitraria funzione v(x) e integriamo sul campo Ω ottenendo:

Applicando le formule di Green-Gauss possiamo scrivere (con la convenzione di sommatoria per cui due indici ripetuti vanno sommati):

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Cosicchè diventa:

Lasciando v del tutto arbitraria non si andrebbe molto oltre la (27). Facendo invece appartenere sia u che v ad opportuni spazi l’equazione sopra può essere ulteriormente trasformata. Siano allora:

Facendo muovere u e v in tali spazi, segue che:

In virtù delle definizioni e della condizione di Neumann nel problema sulla frontiera SN. Se dunque una funzione u soddisfa il problema allora soddisferà anche l’equazione integrale:

dove si è posto per brevità:

.

Una funzione u ∈ A e che soddisfa l’equazione si dice soluzione debole del problema generale che abbiamo visto all’inizio, mentre l’equazione abbreviate si dice formulazione debole del problema iniziale. Evidentemente ogni soluzione classica del problema è anche una soluzione debole, ma in generale non è vero il viceversa. Si può però dimostrare che per tutti i problem standard tipo equazione di Laplace, Poisson, e via dicendo, definiti in domini ragionevoli, soluzioni deboli e classiche coincidono. Vi sono però alcuni problem di interesse fisico che impostati classicamente sono mal posti, mentre la formulazione debole è ben posta e dunque è l’unica possibile. Vediamo ora sotto quali condizioni si può passare da una formulazione debole ad una formulazione di tipo variazionale. Supponiamo allora che siano verificate le condizioni:

Definendo allora il seguente funzionale:

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si può dimostrare che la sua variazione prima è data da:

La formulazione variazionale offre il vantaggio di risolvere il problema trasformandolo in un problema di ottimizzazione consistente nella ricerca di una funzione che massimizza o minimizza (oppure rende stazionario) un certo funzionale. 2.4 Condizioni al contorno Le condizioni al contorno possono essere suddivise in due gruppi: - Condizione di Dirichlet: condizione imposta sulla funzione (ordine 0). - Condizione di Neumann: condizione imposta sulla derivata prima della funzione rispetto alla normale uscente al contorno (ordine 1). 2.5 Metodo di Galerkin Il metodo degli elementi finiti fa parte della classe del Metodo di Galerkin, il cui punto di partenza è la cosiddetta formulazione debole di un problema differenziale. Questa formulazione, basata sul concetto di derivata in senso distribuzionale,presenta il grande pregio di richiedere alla soluzione caratteristiche di regolarità realistiche per (quasi) tutti i problemi ingegneristici ed è pertanto uno strumento descrittivo molto utile. I metodi di tipo Galerkin sono basati sull’idea di approssimare la soluzione del problema scritto in forma debole mediante combinazione lineare di equazioni (detti anche gradi di libertà), che diventano le incognite del problema algebrico ottenuto dalla discretizzazione. Gli elementi finiti si distinguono per la scelta di funzioni di base polinomiali a pezzi. Altri metodi di tipo Galerkin come i metodi spettrali usano funzioni di base diverse. 2.6 Metodo di Ritz-Rayleigh Tale metodo si applica a quei problemi che ammettono una formulazione variazionale, ossia problemi in cui si cerca una funzione u che minimizzi (o massimizzi o renda stazionario) un certo funzionale J [u] in un definito spazio A. D’ora in poi, senza specificare massimo, minimo o punto stazionario, diremo semplicemente punto estremale intendendo un punto che annulla la variazione prima del funzionale. Sia ora noto il funzionale J [u]. Sia poi φ0 ∈ A una arbitraria funzione assegnata e siano φ 1, φ 2, …. φn , N funzioni linearmente indipendenti appartenenti a M. Allora la funzione:

appartiene ad A ∀(c1, c2,c3,….cn ) ∈ Rn . Al variare comunque di φ 1, φ 2, …. φn , N) ∈ Rn la funzione un spazzerà un insieme AN ⊂ A. Il metodo di Rayleigh-Ritz consiste nell’approssimare la ricerca dell’estremale di J in A, nella ricerca dell’estremale di J in AN . Tanto meglio lo spazio AN, spazzato dalla un, approssima bene A, tanto più preciso è il risultato fornito da tale metodo. Ovviamente trovare un estremale di J in AN, equivale a trovare i punti estremali della seguente funzione delle N variabili (c1, c2,c3,….cn ) ∈ Rn:

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ossia risolvere il sistema di N equazioni in N incognite:

Trovati i coefficienti cr che soddisfano l’equazione sopra, trovo un(x) che è la funzione approssimante la soluzione esatta del problema variazionale. In molti casi di interesse applicativo, data la struttura quadratica dei funzionali, il sistema è lineare e quindi facilmente risolvibile dal punto di vista computazionale. 2.7 Considerazioni generali sul metodo FEM Il metodo agli elementi finiti si basa, dal punto di vista teorico, sulla formulazione debole di un dato problema differenziale, mentre, dal punto di vista computazionale, su una duplice approssimazione. La prima è relativa al dominio Ω dove è definito il problema differenziale. Tale dominio viene approssimato nella sua geometria da un ricoprimento Ωh fatto da tanti elementi finiti (triangoli ad es. ma anche altre forme, con h = massimo diametro dei vari elementi). All’aumentare del numero degli elementi e alla corrispondente diminuzione delle loro dimensioni (h → 0), il dominio Ω viene sempre meglio approssimato dal dominio Ωh definito dall’unione dei vari elementi finiti. Il dominio Ωh viene anche denominato mesh. La seconda approssimazione riguarda la soluzione della formulazione debole del problema, che viene ottenuta mediante la costruzione di un approssimante appartenente ad un insieme ad un numero finito di dimensioni ed applicando infine il metodo di Galerkin. 2.8 Costruzione della procedura numerica Supponiamo di avere la seguente formulazione debole di un dato problema:

L’equazione va risolta nei seguenti spazi infinito dimensionali:

Il metodo agli elementi finiti trasforma la precedente formulazione debole in una formulazione "debole approssimata" da risolvere in spazi ad un numero finito di dimensioni. In sostanza ci riconduciamo ad una formulazione del tipo:

dove MN è un opportuno spazio vettoriale di funzioni di dimensione N associate alla mesh Ωh e uN

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una funzione approssimante appartenente allo spazio:

La funzione approssimante viene così costruita:

dove φ0(x) ∈ An e φj(x)j=1,2….,N è una base di funzioni dello spazio vettoriale MN (in pratica si tratta di piecewise). Per ricavare le cj è sufficiente imporre che sia soddisfatta per ognuna delle φj (x) affinchè valga per tutte le v ∈ MN . Otteniamo così il sistema di N equazioni lineari indipendenti nelle N incognite cjj=1,2…..,N :

Supponiamo ad es. che il dominio Ω sia quello sotto rappresentato:

Consideriamo ora una partizione del dominio Ω in m triangoli Ti (due o più triangoli possono avere in comune solo lati o vertici) cosicchè il dominio approssimato sarà dato da:

L’unica restrizione da porre è che nessun vertice di un triangolo appartenga al lato di un altro triangolo (vertici esclusi):

Situazione non ammissibile

Situazione ammissibile

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Il dominio Ωh sarà allora del tipo:

che sovrapposto a Ω ne mette in evidenza l’approssimazione geometrica:

A questo punto possiamo definire lo spazio vettoriale MN come l’insieme delle funzioni continue in Ωh, lineari a tratti e nulle su dΩh. Sia ora N il numero di nodi "interni" (non di frontiera) della triangolazione, nodi che denoteremo con xjj=1,2,…..,N. Definiamo allora una famiglia di funzioni φj(x)j=1,2….,N nel seguente modo: 1) ogni φj(x) è associata al nodo xj e in tale nodo vale 1. 2)vale zero in ogni altro nodo 3) è lineare La 1) e la 2) si riassumono nella φj(x) = di j =simbolo di Kroneker. Tali condizioni definiscono univocamente le φj(x). Due possibili rappresentazioni spaziali sono mostrate nella figura seguente:

La linea verticale rossa cade ovviamente sul nodo xj . Si tratta quindi di piecewise lineari (polinomi di grado 1) che sono diverse da zero solo in un intorno del nodo. Sono possibili ovviamente altre scelte sia relativamente alla forma degli elementi della mesh sia

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all’ordine delle piecewise che possono anche essere polinomi di ordine superiore al primo. L’insieme delle piecewise φj(x)j=1,2….,N costituisce una base dello spazio vettoriale MN. La matrice Ki j = K[φj , φi] associata a tali piecewise è ovviamente una matrice sparsa (molti zeri con qualche "raro" elemento diverso da zero) in quanto essendo K[φj , φi] un integrale associato al prodotto di due piecewise (o meglio alle loro derivate) è diverso da zero solo se i nodi xj e xi sono "sufficientemente vicini" in modo da non rendere identicamente nullo il prodotto delle piecewise. Due funzioni piecewise associate ad es. alle zone colorate nella figura seguente danno ovviamente contributo nullo.

Lavorando con matrici sparse, si devono adottare opportuni algoritmi che ottimizzino i tempi di calcolo riarrangiando opportunamente le matrici per "raggruppare" gli elementi diversi da zero e lavorare con meno numeri. Infine, senza entrare troppo nei dettagli, per rappresentare la funzione φ0(x) che verifica le condizioni alla Dirichlet si costruiscono delle piecewise lineari associate ai nodi della frontiera ShD ⊆ dΩh, piecewise che assumono su tali nodi i valori prescritti dalla condizione di Dirichlet .Sui nodi (se ci sono) appartenenti a dΩh − ShD in cui sono assegnate eventuali condizioni alla Neumann, essendo queste "inglobate" nella formulazione debole (condizioni naturali), le piecewise assumono su tali nodi valori indeterminate ck

(neumann)(k=1,2,..P) che si aggiungono alle incognite cj (j = 1,2,….,N ). In tal caso ci sono ovviamente altre P piecewise di frontiera a coefficienti indeterminate che aumentano la dimensione di MN da N a N + P. La φ0(x) viene quindi rappresentata come combinazione lineare di tali piecewise di frontiera, con coefficienti della combinazione non tutti noti se vi sono anche condizioni alla Neumann.

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3 Il software MIDAS GTS NX Il software Midas GTS è un sistema ad elementi finiti in grado di trattare problemi geotecnici in tridimensionale o bidimensionale. Essendo un programma dedicato alla geotecnica, permette di adottare numerosi modelli costitutivi relativi a terreni e rocce. Le analisi in campo geotecnico possono essere svolte con approcci statici, dinamici, tempodipendenti ecc. Inoltre Midas GTS offre la possibilità di simulare le fasi esecutive di varie opere geotecniche ed in particolar modo la realizzazione di gallerie. Le analisi principali che il software permette di eseguire sono: - L’analisi meccanica dei terreni; - Analisi tensionali 3D nelle varie fasi di costruzione; - L’analisi dell’interazione tra terreno e struttura; - L’analisi degli scavi; - L’analisi della stabilità dei pendii; - Analisi dinamiche e sismiche; - L’analisi dei moti di filtrazione transienti e stazionari; - L’analisi dei consolidamenti e cedimenti.

In questo capitolo sono stati analizzati gli aspetti e le funzioni principali del software.

3.1 Sequenza di lavoro La sequenza di lavoro del software Midas GTS si articola in cinque fasi elencate di seguito: - Modellazione geometrica. - Generazione della mesh. - Condizioni di analisi. - Post-processing e valutazione dei risultati. 3.2 Modellazione Geometrica La generazione del modello geometrico è la base per la realizzazione di un’analisi agli elementi finiti in MIDAS. Basandosi sui dati geometrici, la generazione delle mesh e degli altri step del processo di modellizzazione potranno aver luogo. Il modello geometrico può essere direttamente creato in MIDAS usando le sue funzioni di modellizzazione. Oltre a questa modalità vi è anche la possibilità di importare file per esempio con altri programmi CAD. Dal momento che MIDAS GTS fornisce avanzate caratteristiche per la modellazione geometrica, modelli geotecnici complessi possono essere realizzati più efficacemente rispetto ad altri software di analisi geotecnica. La stratigrafia e la posizione nello spazio della falda possono essere definite note le coordinate dei punti. Inoltre è possibile definire elementi strutturali geotecnici o metodologie esecutive complesse tramite modelli preesistenti (ad esempio, comuni tecniche di scavo sequenziale di gallerie).

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3.3 Generazione delle Mesh La mesh è generata sul modello geometrico creato precedentemente. Possono essere adoperati elementi mono, bi o tridimensionale. Gli elementi piani disponibili sono triangoli a tre o sei nodi e quadrilateri a 4 o 8 nodi. Tridimensionalmente possono essere utilizzati elementi tetraedrici o esaedrici. Generalmente, l’uso degli elementi esaedrici o quadrangolari permette di raggiungere una maggiore accuratezza. Comunque, per un modello complesso, è ragionevole usare elementi tetraedrici o triangolari prodotti dalla funzione di Auto-Mesh fornita dal software. La generazione della mesh può essere eseguita in tre modi diversi: - Auto-Mesh. - Mapped-mesh. - Protrude-mesh. I fattori da considerare nella disposizione dei nodi nella struttura geotecnica includono il modello geometrico della struttura, i materiali, le sezioni di interesse e le condizioni di carico. La disposizione dei nodi deve seguire la seguente linea generale: - Punti in cui sono richieste i risultati dell’analisi. - Punti o confini dove la rigidezza cambia. - Punti di applicazione dei carichi. - Punti o confini dove cambiano i materiali. - Punti o confini in cui esiste concentrazione di tensione (ad esempio sulle aperture). - Confini del modello. - Punti in cui cambia la configurazione strutturale cambia. Per gli elementi monodimensionali (ad esempio elementi trave), i risultati numerici non sono affetti dalle dimensioni dell’elemento stesso. Nel caso di elementi bidimensionali o tridimensionali, la dimensione e la forma influenza notevolmente i risultati. La densità della mesh può essere controllata manualmente (fissando una divisione di elementi monodimensionali o aree con maggiore definizione) o tramite strumenti automatici. Le regioni con infittimento della mesh possono essere distinte come segue: - Regioni con discontinuità geometriche. - Regioni con significativi cambi di applicazione dei carichi. - Regioni di cambio di rigidezza o di materiali diversi. - Regioni con confini irregolari. - Regioni con concentrazione di tensioni. - Regioni dove sono richiesti risultati maggiormente definiti.

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3.4 Condizioni di analisi I carichi e le condizioni al contorno possono essere applicate oltre che ai nodi e sugli elementi, direttamente sulle forme geometriche, venendo incontro a problemi di forme notevolmente complesse. Le condizioni di carico possono essere suddivise come segue: - Carichi distribuiti uniformi o di forma con funzione definita, su elementi e nodi. - Pressioni distribuite uniformi o di forma con funzione definita, su forme geometriche. - Forze concentrate. - Deformazioni impresse. - Gradienti termici. - Carico gravitativo sull’intera struttura. - Definizione di accelero grammi sismici per analisi dinamiche. Possono essere definite condizioni al contorno di vari tipo: deformazioni nulle in una o più direzioni, rotazioni impedite, elementi liberi. Il modello può essere completato con elementi “speciali” quali interfacce e vincoli elastici vario tipo comprese semplificazioni di problemi geotecnici forniti dal programma. Le analisi principali che il programma offre sono: -Analisi statiche lineari e non -Analisi Dinamiche -Analisi agli autovalori -Analisi di consolidazione -Analisi di filtrazione accoppiata e non -Construction Stages GTS inoltre massimizza la capacità di visualizzazione dei carichi e delle condizioni al contorno in una maniera pratica, in modo da ridurre la possibilità che l’untente inserisca dei dati errati. 3.5 Post-processing e valutazione dei risultati I risultati ottenuti vengono elaborati e forniti sia graficamente, tramite modelli idealizzati, sia per mezzo di diagrammi e tabelle. L’estrapolazione dei dati può avvenire tramite definizione del campo da analizzare e della grandezza d’interesse. Graficamente è possibile ottenere sezioni, viste generali o filmati evidenziando superfici o solidi di con pari magnitudo della grandezza visualizzata. Per elementi mono e bidimensionali è possibile ottenere i diagrammi di sollecitazione utili nell’analisi strutturale e progettuale degli elementi. L’analisi di filtrazione è completata tramite varie visualizzazioni di moto del fluido attraverso nodi o elementi piani o solidi. Oltre a questo, tutte le tabelle fornite in GTS permettono all’utente di visualizzare i risultati immediatamente e sono anche compatibili con Microsoft Excel. 3.6 Modelli costitutivi implementati Il software Midas GTS NX include 14 modelli di materiali geotecnici e la possibilità di definizione da parte dell’utente. La scelta del modello costitutivo riveste particolare importanza nell’ottenimento di

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una soluzione realistica. La notevole difficoltà presente nella definizione del tipo di modello è dovuta all’infinita variabilità di terreni e ammassi rocciosi; un modello costitutivo adatto ad un particolare problema può risultare totalmente inappropriato per problemi simili ma con condizioni diverse. I modelli costitutivi offerti dal software sono: - Modello lineare-elastico - Criterio di Tresca - Criterio di Von Mises - Criterio di Mohr-Coulomb - Criterio di Drucker-Prager - Criterio di Hoek-Brown - Criterio di Duncan-Chang - Modello di Jardine - Modello “Strain Softening” - Modello Cam-Clay - Modello Cam-Clay modificato - Modello per ammassi rocciosi

4 Esempio applicativo: Modellazione 3D di un Tunnel 4.1 Creazione modello geometrico Innanzitutto bisogna fare alcune considerazioni riguardo il Dominio di calcolo. In questo particolare caso per non introdurre ulteriori complessità nel modello si è considerato un Dominio semplificato che consiste in un piano campagna perfettamente orizzontale che non presenta stratigrafia. Inoltre in questa prima fase la presenza di falda non è stata considerata. Come Dominio è stato scelto un solido nel quale “immergere” il tunnel, che ha dimensioni, rispetto all’asse della galleria, di almeno 20 diametri in senso trasversale, mentre longitudinalmente(asse tunnel) anche qui circa 10-15 diametri. Anche al disotto della galleria è stata scelta una distanza di almeno 2 diametri. Tutte queste grandezze sono state opportunamente calibrate in modo che la loro influenza sia il più possibile vicina alla realtà. Infatti per esempio se il terreno al di sotto del tunnel ha più di 2 diametri di dimensione, questo può provocare dei sollevamenti sull’arco rovescio troppo elevati. Anche longitudinalmente se non avessi almeno 20 diametri risentirei troppo delle condizioni di vincolo. Per iniziare la modellazione bisogna per prima cosa definire con quale unità di misura lavoriamo e che asse di riferimento utilizzare. Cominciamo con l’introdurre la barra dei comandi che permette di disegnare la geometria.

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I comandi che sono evidenziati nel riquadro rosso sopra, sono tutti quelli necessari per definire una geometria bidimensionale. Infatti quello che è stato fatto, è realizzare un rettangolo 2D e la sezione del tunnel, disegnando prima la calotta (dividendo a metà un cerchio) e poi i piedritti, che verranno poi successivamente estrusi per creare così dei solidi sui cui realizzare le mesh. E’ utile anche sapere che il software prevede un comando per la definizione di sezioni non troppo complesse come si può vedere nell’immagine seguente:

Ciò permette di realizzare diversi tipi di tunnel a seconda della geometria. Definizione dominio e sezione del tunnel 2D:

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Una volta fatto ciò il passo successivo è quello di estrudere questi elementi per realizzare il solido “Dominio” e quello “galleria”, attraverso il comando “Extrude”.

Con questa istruzione basta selezionare l’oggetto bidimensionale che si vuole estrudere, la direzione, la lunghezza e infine spuntare la casella “make solid” per generare dei solidi.

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Una volta generati i solidi quello che bisogna fare è suddividere il solido tunnel in più “fette”, che simuleranno poi le varie fasi di scavo, e che faciliteranno l’estrazione di mesh da assegnare alla sezione equivalente di “Spritz + Centine”. Per fare ciò si utilizza un rettangolo che copiato e ripetuto, tramite il comando “Translate”,per tutta la lunghezza del tunnel, viene poi utilizzato come strumento per tagliare il solido tramite il comando “Solid”:

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Comando Divide Solid:

Si ottiene infine un solido correttamente suddiviso in varie parti che costituiranno poi le successive fasi di scavo:

Prima di passare alla definizione delle mesh è molto importante utilizzare un comando per generare automaticamente le facce condivise dai vari elementi solidi, questa funzione facilita le operazioni di sovrapposizione degli oggetti ed esegue automaticamente una delle seguenti operazioni: - Imprint: nel caso di solidi a contatto - Boolean: nel caso di solidi che si trovano completamente o parzialmente all’interno di altri solidi In pratica dopo questa operazione i solidi vengono collegati in modo che se viene disattivato il tunnel il Dominio rimane “bucato”.

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4.2 Definizione Mesh Il passo successivo è quello della definizione dei materiali e delle proprietà, per poi poter creare le mesh che inglobano queste caratteristiche. Per poter generare le Mesh bisogna prima definire i materiali, per far ciò ci viene in aiuto l’istruzione “Define Material” che si trova nella barra di comando relativa alla creazione delle mesh. Questo permette di generare diverse tipologie di materiali: Isotropo , Ortotropo, 2D Equivalente, Interfacce etc. Nel nostro caso è necessario definire le caratteristiche del terreno e quelle della sezione equivalente (Spritz+Centine). Per quando riguarda il terreno, dopo una attenta caratterizzazione ed analisi delle unità presenti nella formazione in questione, è stato possibile ricavare dei parametri idonei alla modellazione. Invece, nel caso della sezione equivalente, tramite una semplice proporzione, si sono omogeneizzate le centine accoppiate al calcestruzzo, e quindi, si è ottenuto un modulo elastico equivalente.

Come accennato in precedenza, i modelli costitutivi disponibili sono molti, in questo particolare caso si è utilizzato un modello elasto-plastico mohr coloumb per il terreno, mentre per quanto riguarda il cls, si è utilizzato un modello strutturale perfettamente elastico. Ovviamente il software permette di inserire ulteriori parametri come per esempio il modulo di poisson, il peso, le permeabilità e addirittura caratteristiche dipendenti dal tempo per descrivere comportamenti reologici.

Ora bisogna definire le proprietà e quindi la tipologia di Oggetto che andremo a valutare. Ne esistono vari tipi: 1D, 2D, 3D etc. In questo caso per la definizione di elementi solidi si utilizza la proprietà 3D , mentre per la definizione di elementi quali possono essere le Shell si utilizza una proprietà bidimensionale. Per realizzare il Sistema di sostegno provvisorio del tunnel si è scelto quindi di adottare la metodologia del calcolo di una sezione equivalente da assegnare a un elemento 2D quale

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può essere un elemento Shell. Ovviamente questa è una ipotesi che viene fatta per cercare di rendere il modello più verosimile possibile. Ci sono tuttavia altre tecniche che possono essere adottate, come per esempio quella di inserire elementi 1D monodimensionali di tipo “BEAM” da connettere successivamente con elementi Shell, nel nostro esempio si è preferita la prima metodologia poichè dopo varie prove sembrava quella sulla quale era più semplice leggere I risultati delle analisi.

All’elemento Shell si assegna poi uno spessore uniforme equivalente pari a quello dello Spritz, circa 25 cm. Definite le caratteristiche dei vari elementi si procede con la generazione delle Mesh. Questo è un passaggio molto delicato, poichè dalla taratura dei nodi e degli elementi, che poi insieme costituiscono gli elementi finiti, dipendono i risultati. Si parte dagli elementi più piccoli,che quindi hanno bisogno di una “meshatura” più raffinata, per poi passare all’intero dominio che si adatterà automaticamente alle mesh già generate. Innanzitutto il comando “Generate Mesh” ha tre metodi per la realizzazione degli elementi: Size, Dimension, Automatic. Nella presente si è scelto il comando Size, con il quale si decide la lunghezza del lato dell’elemento (tetraedro,esaedro,etc…) , in questo caso si è scelta la lunghezza di 1m dato che il diametro della galleria è intorno ai 15m. Le mesh vengono generate automaticamente, ed è possibile realizzarle in due modi diversi, o semplici tetraedri, oppure come l’unione di vari elementi, e quindi ibridi, che possono essere cubi e esaedri. Valuteremo solo il caso dei tetraedri. Un’ ulteriore informazione utile, è sapere come sono le funzioni di forma. Le funzioni di forma scelte hanno una legge lineare quindi approssimabili da equazioni lineari, per poter avere funzioni quadratiche, e quindi polinomi di grado maggiore, occorre andare ad inserire ulteriori nodi sui lati che sono stati generati, questo tuttavia è sconsigliabile a meno di specifiche necessità di analisi.

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Una volta realizzate le mesh per la definizione del rivestimento provvisorio tramite shell, si ricorre ad un altro comando utile, che è l’ “Extract”. Questo comando permette di estrarre elementi di diverse tipologie, da pacchetti di mesh che sono stati precedentemente generati. Infatti grazie a questa istruzione è stato possibile realizzare quelle che sono le Shell in modo semplice ed efficace. Si seleziona quindi tutta la geometria di interesse e si sceglie la tipologia di elemento da estrarre, successivamente con il comando “UNSELECT” si deselezionano tutte le parti, tranne le facce più esterne.

Una volta lanciata l’istruzione il risultato sarà nient’altro che un nuovo SET di mesh che verrà utilizzato per l’analisi del rivestimento provvisorio.

Ovviamente le dimensioni delle mesh estratte saranno le stesse di quelle da cui sono state ricavate. Ci manca ora solamente la “meshatura” del Dominio. Si è ipotizzato di scegliere una lunghezza di 5 metri per la dimensione principale dei singoli tetraedri, in modo che le parti che distano più di due-tre diametri dalla galleria, abbiano una mesh tale che permetta un’analisi non troppo gravosa dal punto di vista computazionale. In questo caso gli elementi si adatteranno automaticamente alle facce adiacenti, anche grazie alla spunta “Match adjacent faces”.

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Abbiamo terminato in questo modo la modellazione del nostro tunnel. Ovviamente queste sono solo alcune delle potenzialità che il programma offre, infatti in questo esempio non sono stati realizzati quelli che possono essere gli altri elementi strutturali quali arco rovescio o murette, non sono stati implementati altri carichi diversi da quelli del peso proprio, non è stata inserita la falda e una serie di altre approssimazioni che vengono meglio trattate nella tesi. 4.3 Stage Analysis Prima di passare alla vera e propria definizione dell’analisi bisogna definire i carichi e le condizioni al contorno. Per quanto riguarda i vincoli del modello, il software permette facilmente di realizzarli in maniera automatica tramite il comando “Constraints”. Considerando quindi tutti i sets delle mesh esso genera dei vincoli che nel caso particolare consistono nel bloccare gli spostamenti nella direzione X per quanto riguarda il lato sx e il lato dx,vengono successivamente poi bloccati gli spostamenti y longitudinali fronte/retro e vengono infine imposti dei vincoli al di sotto del dominio sia nella direzione x che y. Viene quindi realizzata questa sorta di scatola con pareti rigide dove viene lasciato libero di deformarsi solo ciò che c’è all’interno.

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Il passo finale prima di andare a definire i vari “Stages” e quindi le varie fasi di costruzione, è quello di definire il carico che consiste in questo caso nel solo peso proprio.

Passiamo ora alla vera forza di questo MIDAS GTS NX, che oltre ad accellerare I tempi di modellazione, generazione mesh, calcolo etc. riesce tramite l’istruzione STAGE WIZARD a idealizzare le varie fasi di costruzione in maniera semplice e veloce.

L’analisi che è stata condotta è di tipo static non lineare. Il comando qui di sopra si presenta in questo modo:

Nel lato sinistro possiamo trovare tutte le mesh, le condizioni al contorno e i carichi che abbiamo precedentemente creato, nel lato destro possono essere assegnate le regole per “l’accensione” e lo “spegnimento” di queste. Trascinando semplicemente un gruppo di mesh da sinistra verso destra si può scegliere se

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aggiungerle o meno alle varie fasi che vengono segnate con il prefisso S. Si può scegliere anche la fase da cui farle partire. Quello che si fa è quindi andare poi ad assegnare queste regole, lo stato di attivazione o meno delle varie Mesh può essere visualizzato nel riquadro sottostante. Qui in primis, nell “I.S.- Initial Stage” , vengono attivate tutte le mesh, le condizioni al contorno e carichi, che sono permanenti. Con la lettera “R” si indica l’azione di “Remove” e quindi di spegnimento dell’elemento, come si può vedere lo “Scavo Iniziale”, che corrisponde alle varie “fette” generate in precedenza, viene rimosso a partire dall’ S1, nella fase successiva invece cominciano ad essere attivate le Shell che costituiscono il rivestimento provvisorio. Tutte queste fasi possono essere visualizzate tramite il comando “Simulate Stages” che offre un anteprima di ciò che è stato precedentemente definito.

Il passo finale è quello di definizione dell’analisi. Vi sono ovviamente numerose possibilità, per esempio analisi statiche, dinamiche, agli autovalori, di consolidazione, di filtrazione accoppiata e non etc. Quella che nel nostro caso è stata utilizzata è quella definite “CONSTRUCTION STAGE” e cioè un’ analisi statica non lineare che simula le varie fasi di costruzione e che come risultato ci darà deformazioni e sollecitazioni nei vari elementi. Piccola parentesi dev’essere fatta su dei piccoli accorgimenti che devono essere tenuti a mente in questa fase. Bisogna spuntare nella finestra dove viene definita l’analisi relativa alla prima fase, la casella “Clear Displacement” , questo poichè bisogna far partire l’analisi da una condizione di equilibrio dove non ci sono degli spostamenti. In pratica il “Clear Displacement” elimina le deformazioni che si hanno in fase iniziale dovute al peso proprio, cosa che nella realtà infatti sono già avvenute. Un’altro accorgimento è relativo ai criteri di convergenza. I criteri di convergenza disponibili sono di 3 tipologie: -Displacement -Load -Work La convergenza del sistema può essere espresso in termini di energia, cedimenti o forze per controllare i processi. Se il criterio di convergenza è soddisfatto ad uno step, il processo procede allo step successivo. L’iterazione è dovuta al fatto che la matrice di rigidezza K diventa non lineare. L’approccio base di

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quest’analisi si sviluppa determinando la condizione di equilibrio della struttura soggetta a carichi esterni. Questo metodo viene anche chiamato metodo di Newton-Raphson. In particolare bisogna stare attenti alla scelta di questi criteri sia per non inficiare in modo negativo i tempi di calcolo, ma soprattutto per evitare di avere dei risultati troppo approssimati.

4.4 Risultati Definita l’analisi, il modello viene fatto girare, se tutte le iterazioni arrivano a convergenza e non entrano in loop, possiamo andare a visualizzare i risultati. Gli Output vengono visualizzati fase per fase, ad ogni fase corrispondono un certo numero di incrementi necessari per arrivare a convergenza. In questa relazione andremo a valutare solamente le deformazioni e le sollecitazioni che si hanno dopo che è stato scavato metà tunnel e realizzato il relativo rivestimento provvisorio. Andando quindi nella finestra “Results” selezioniamo lo stage 40 e clicchiamo su “TZ Translation” che corrispondono alle deformazioni verticali. Questo comando è di grande utilità per visualizzare quelli che sono i cedimenti del terreno a seguito dello scavo, e l’influenza del cosiddetto effetto fronte.

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Dopo aver definito un piano di taglio, possiamo valutare in modo corretto quali sono le deformazioni, anche servendosi dell’ “Auto Range” per avere degli isovalori sufficientemente comprensibili.

Di interesse sono anche le sollecitazioni di sforzo normale e momento sul rivestimento provvisorio. Per poter avere una facile lettura delle sollecitazioni, si consiglia di creare un UCS apposito con l’asse X parallelo all’asse del tunnel, e gli altri due assi non complanari con gli elementi delle Shell. Per far ciò, bisogna selezionare le “Shell Element Forces” e, con l’UCS che abbiamo appena definito, “MEMBRANE FORCE YY” corrisponderà allo sforzo N, mentre “BENDING MOMENT YY” corrisponderà al momento flettente intorno ad X.

Sforzo Normale nel rivestimento provvisorio

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Momento Flettente nel rivestimento provvisorio

Per poter estrarre dagli elementi Shell dei diagrammi di sollecitazione nel piano, ci viene in aiuto il “Cutting Plane” che tramite la definizione di un piano passante per due punti o per tre, estrare il diagramma.

Diagramma Sforzo Normale

Diagramma Momento Flettente

Per avere conferma riguardo il segno delle sollecitazioni e il comportamento globale del modello è utile visualizzare anche una deformata relativa al rivestimento provvisorio.

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Deformata generica rivestimento provvisorio, in nero la condizione non deformata.

Deformata globale rivestimento provvisorio(esagerata,fattore di scala 2)

I comportamenti delle varie sollecitazioni sono congruenti a meno di piccole incertezze dovute al criterio di convergenza non troppo raffinato.

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