uporabna matematika v logistiki - ic geoss...uporabna matematika v logistiki za višješolsko...
TRANSCRIPT
UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE
1
UML
2
VERJETNOSTNI RAČUN
Diskretne porazdelitve
• Binomna (Bernoulli-jev dogodek)
• Poisson-ova (zakon redkih dogodkov, potek dogodkov)
3
UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE
Binomna porazdelitev
• Bernoulli-jev dogodek – samo dva izhoda - verjetnost dogodka se ne menja in je p - verjetnost q=1-p - neodvisni dogodki (naključno vzorčenje) - število poskusov (velikost vzorca), n
p
A Ā
(1-p)=q
VZOREC n - elementov
• število N (elementi množice) teži v neskončnost
4
UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE
• funkcija verjetnosti binomnske porazdelitve B (n, p):
,...n,xqpxn
P(x) xnx 10,)( =⋅⋅
= − za parametri: n, p
• Pričakovana vrednost (aritmetična sredina): pnxE ⋅== )(µ
• varianca: qpn ⋅⋅=2σ
• koeficient asimetrije:
• koeficient zaobljenosti:
( )qpn
q-pM⋅⋅
== 3 33
σα
qpnqpM
⋅⋅⋅⋅−
+==613
44 4 σ
α
- porazdelitev je vedno asimetrična če ne velja p=q=0,5
5
UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE
• Vpliv parametrov n in p na obliko binomne porazdelitve:
76543210
0,30
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
X
Prob
abili
ty
Binomial; n=10; p=0,2
1086420
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
X
Prob
abili
ty
Binomial; n=10; p=0,5
11109876543
0,30
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
X
Prob
abili
ty
Binomial; n=10; p=0,8
543210
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
X
Prob
abili
ty
Binomial; n=5; p=0,2
76543210
0,30
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
X
Prob
abili
ty
Binomial; n=10; p=0,2
121086420
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
X
Prob
abili
ty
Distribution PlotBinomial; n=20; p=0,2
6
UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE
• ‘Galtonova’ deska – binomnski eksperiment – Kroglico spuščamo skozi žebljičke, ki so zloženi v pravilno trikotno rešetko – Pri padcu na žebelj, kroglica lahko zavije na levo ali desno (Bernouli-jev dogodekj) – deska je pravilna, kar pomeni, da so verjetnosti dogodka enako verjetni p=0.5 – n – število vrst postavljenih žebljičkov
7
UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE
– primer ‘Galtonove’ deske z n=4 vrste žebljičkov:
- neodvisna spremenljivka ima v našem primeru vrednosti: 0 - za 1 kombinacijo 1 - za 4 kombinacije 2 – za 6 kombinacij 3 – za 4 kombinacije 4 – za 1 kombinacijo
- splošno:
8
Velja: p + q = 1
UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE
BINOMSKA PORAZDELITEV
PRIČAKOVANA VREDNOST
STANDARDNI ODKLON
KOEFICIENT ASIMETRIČNOSTI
KOEFICIENT ZAOBLJENOSTI
( )E X n p= ⋅
npqσ =
3q p
npq−
α =
41 63 pq
npq−
α = +
Če je p = q = 0.5, binomska je porazdelitev simetrična
9
UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE
• Primer 1. Binomska porazdelitev: Pri vsakem odvzetem vzorcu vode je verjetnost 10%, da je kontaminiran z odpadno snovjo.
Predpostavimo da se vzorci jemljejo neodvisno glede na prisotnost odpadnih snovi. Izračunajte:
a) Verjetnost, da bo v vzetih 18 vzorcev točno 2 vzorca kontaminirana?
284,0)2(
9,01,02
18)2(
181,0
162
==
⋅⋅
==
==
xP
xP
np
Verjetnost, da sta točno 2 kontaminirana vzorca
10
UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE
• Primer 1. Binomska porazdelitev: b) Verjetnost, da bodo od vzetih 18 vzorcih, vsaj 4 kontaminirani?
0,1 ; 18( 3) ( 0) ( 1) ( 2) ( 3)( 4) 1 [ ( 3)] 0,098
p nP x P x P x P x P xP x P x
= =≤ = = + = + = + =≥ = − ≤ =
11
UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE
- grafični prikaz (binomna porazdelitev):
76543210
76543210
0,30
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
X
Prob
abili
ty
20 6
0,284
Binomial; n=18; p=0,1
a)
76543210
76543210
0,30
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
X
Prob
abili
ty40
0,0982
Binomial; n=18; p=0,1
b)
12
UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE
13
UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE
BINOMSKA PORAZDELITEV B (n, p) – EXCEL (Izračun verjetnosti)
14
UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE
BINOMSKA PORAZDELITEV B (n, p) – EXCEL (KUMULATIVA)
• Primer 2. Uporaba binomske porazdelitve: Delo enega avtomatskega stroja kontrolira se z vzorčenjem po 15 izdelkov. V vsakem vzorcu se ugotavlja število neustreznih izdelkov. Pri kontroli smo vzeli 200 vzorcev, dobljeni rezultati vzorčenja so podani v tabeli. Potrebno je ugotoviti ustrezno porazdelitev po kateri se obnašajo podatki in verjetnost dogodka z največ 2 neustrezna izdelka v vzorcu.
x 0 1 2 3 4 5 6 fi 77 81 31 7 2 1 1
6543210
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
xi
Freq
uenc
y
Histogram of xi
- govorimo o Binomni porazdelitvi (n končno število):
061,0;15;915,0 ====nxpnx
9876543210
9876543210
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
X
Prob
abili
ty
2
0,941
4
Binomial; n=15; p=0,061
941,0)2();2(
)1()0()2(
939.0061,015
)( )15(
=≤=+
=+==≤
⋅⋅
= −
xPxP
xPxPxPx
xP xx
15
UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE
xn ∑P(x)x px q(n-x) P(x)
0 1 1 0,389031 0,389031 0,389031
1 15 0,061 0,414303 0,379087 0,768118
2 105 0,003721 0,441217 0,172386 0,940504
3 455 0,000227 0,46988 0,048528 0,989032
4 1365 1,38E-05 0,500405 0,009457 0,998489
5 3003 8,45E-07 0,532913 0,001352 0,999841
6 5005 5,15E-08 0,567532 0,000146 0,999987
7 6435 3,14E-09 0,6044 1,22E-05 0,999999
8 6435 1,92E-10 0,643664 7,94E-07 1
9 5005 1,17E-11 0,685478 4,01E-08 1
10 3003 7,13E-13 0,730009 1,56E-09 1
11 1365 4,35E-14 0,777432 4,62E-11 1
12 455 2,65E-15 0,827936 1E-12 1
13 105 1,62E-16 0,881721 1,5E-14 1
14 15 9,88E-18 0,939 1,39E-16 1
15 1 6,02E-19 1 6,02E-19 1
- tabela verjetnosti za Primer 2.
16
UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE
17
UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE
18
UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE
V računalniškem centru za obdelavo podatkov imajo 8 serverjev. Verjetnost delovanja vsakega serverja je 0,92. Obdelava podatkov je možna, v kolikor deluje minimalno 7 serverjev. Kolikšna je verjetnost:
a) da bodo podatki obdelani, b) da ne delujejo trije (3) serverji.
• Primer 3. Uporaba binomske porazdelitve:
Rešitev: a) Verjetnost, da bodo podatki obdelani – mora vsaj 7 serverjev delovati
19
UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE
20
UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE
21
UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE
Verjetnost, da je izdelek v skladišču nedelujoč je 0,01. Iz skladišča se prevzema 100 izdelkov. Kolikšna je verjetnost:
a) da bo točno pet (5) izdelkov nedelujočih, b) število nedelujočih izdelkov ni večje kot 2.
• Primer 4. Uporaba binomske porazdelitve:
Rešitev: a) Verjetnost, da bo točno pet (5) izdelkov nedelujočih
22
UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE
• Primer 4. Uporaba binomske porazdelitve:
Rešitev: b) Verjetnost, da število nedelujočih izdelkov ni večje kot 2
23
UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE
POISSONOVA PORAZDELITEV
Uporablja se za opis redkih dogodkov (dogodki, ki imajo velik vzorec in majhno verjetnost)
če je p ≤ 0.1, in n ≥ 50, takrat binomne verjetnosti lahko izračunamo aproksimativno s pomočjo izraza:
kjer je λ ≈ np , e = 2.71828... To porazdelitev imenujemo kot Poissonova porazdelitev. In je
mejni primer binomne porazdelitve.
( ) , 0 , 0,1, 2,...!
xep x xx
−λ ⋅λ= λ =
24
UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE
POISSONOVA PORAZDELITEV
PRIČAKOVANA VREDNOST
STANDARDNI ODKLON
KOEFICIENT ASIMETRIČNOSTI
KOEFICIENT ZAOBLJENOSTI
Če se v konkretnem primeru ne more določiti verjetnost “a priori”, potem se eksperimentiranjem lahko določi aritmetična sredina empirijske frekvenčne porazdelitve podatkov.
σ = λ
31
α =λ
413α = +λ
xmXE ≅=== λµ)(
25
UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE
26
UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE
Primer 5. Uporaba Poisson-ove porazdelitve:
Verjetnost, da je izdelan proizvod nedelujoč je 0,003. Izračunajte verjetnost, da bo med 1000 proizvedenimi izdelki:
a) štirje (4) proizvodi so nedelujoči, b) vsaj eden (1) proizvod je nedelujoč, c) število nedelujočih proizvodov ni večje kot 2.
Slučajna spremenljivka x je porazdeljena po binomni porazdelitvi
X: B (1000, 0,003)
Ad a) štirje (4) proizvodi so nedelujoči,
Rešitev:
27
UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE
Primer 5. Uporaba Poisson-ove porazdelitve:
Ad a) štirje (4) proizvodi so nedelujoči, Rešitev:
28
UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE
Primer 5. Uporaba Poisson-ove porazdelitve:
Ad a) štirje (4) proizvodi so nedelujoči, Rešitev:
Ad b) vsaj eden (1) proizvod je nedelujoč,
Ad c) število nedelujočih proizvodov ni večje kot 2
29
UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE
Primer 5. Uporaba Poisson-ove porazdelitve:
Rešitev: Ad c) število nedelujočih proizvodov ni večje kot 2
30
UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE
Primer 5. Uporaba Poisson-ove porazdelitve:
Na opazovanem cestnem odseku se v enem letu zgodijo povprečno tri prometne nesreče. Izračunajte verjetnost, da se bo v naslednjem letu zgodilo: a) pet prometnih nesreč, b) največ tri nesreče, c) le ena prometna nesreča.
31
UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE
Primer 6. Uporaba Poisson-ove porazdelitve: Primer: V primeru tanke bakrene žice, predpostavljamo da število razpok
sledi zakonu Poisson-ove porazdelitve s pričakovanjem 2.3 mikrorazpoke po milimetru. Potrebno je določiti:
a) verjetnost,da se zgodijo ravno 2 mikrorazpoke po (enem) 1 milimetru žice.
- spremenljivka x – št. mikrorazpok po 1 mm žice
32)( ,xmxE =≅=
3,2
!3,2 −⋅= ex
P(x)x
265,0!23,22 3,2
2
=⋅== −e)P(x
0,30
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
X
Prob
abili
ty
2
0,265
0 8
Distribution PlotPoisson; Mean=2,3
32
UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE
b) Verjetnost, da se pojavi vsaj ena mikrorazpoka v 2 mm žice.
- spremenljivka x – število mikrorazpok na 2mm žice
64322)( ,,xE =⋅=
6,4
!6,4 −⋅= ex
P(x)x
9899,0)0(11 ==−=≥ xP)P(x
0101,0!06,40 6,4
0
=⋅== −e)P(x
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
X
Prob
abili
ty
10
0,9899
Distribution PlotPoisson; Mean=4,6
33
UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE
34
UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE
Ob λ= konst, za redke odpovedi velja Poissonova porazdelitev, pa se uporablja izraz:
kjer je:
P(r)i – verjetnost, da je i “r” ali manj zahtev (ali odpovedi) za i-ti rezervni (nadomestni) del, N – število tehničnih sistemov/sklopov (za katere se določajo n/d), ni – število i-tih sestavov/sklopov, za katere računamo potrebno število nadomestnih delov, v vsakem tehničnem sistemu, λi – pogostnost odpovedi i-tega sestava/sklopa, t – čas delovanja tehničnega sistema, za katere računamo število potrebnih nadomestnih delov ri – količina (število) nadomestnih delov za i-ti sestav/klop, Pz – zahtevana verjetnost po oskrbi iz zaloge za posamezni nadomestni del.
Definiramo pojem POVPRAŠEVANJE: p (ali µ) = N * ni * λi * t
Uporaba Poisson-ove porazdelitve: OSKRBA (nabava/oskrba skladišča)
Tabela - Poissonova porazdelitev.pdf
35 Povpraševanje
Pz
Odčitamo r – število potrebnih nadomestnih delov NOMOGRAM
UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE
36
UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE
P O V P R A Š E V A N J E
3.0 4 4 4 5 5 6 8 8 10
2.5 3 3 4 4 5 5 7 7 9
2.0 3 3 3 3 4 6 6 6 8
1.8 2 3 3 3 4 4 6 6 7
1.6 2 2 3 3 3 4 5 6 7
1.4 2 2 2 3 3 4 5 5 6
1.2 2 2 2 2 3 3 4 5 6
0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 0,99 0.995 0,999
Zahtevana zanesljivost
Uporaba tabele za izračun potrebnih nadomestnih delov za nabavo/zalogo
37
UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE
Če je povpraševanje: p = N*ni*λi*t > 20 velja naslednji izraz za izračun količine nadomestnih delov:
r = p + Uβ . (p)1/2
Primer 2:
Tabela - Poissonova porazdelitev.pdf
38
UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE
V tehničnem sistemu je agregat (blok, modul), ki ima po podatkih proizvajalca MTBF = 30000 ur.
a) Koliko kosov teh agregatov je potrebno imeti v rezervi enega tehničnega sistema, ki deluje 24/7, da bi se zahteva za njegovo zamenjavo izpolnila s 99% verjetnostjo, v času enega leta?
b) Koliko kosov teh agregatov je potrebno imeti v rezervi za 55 tehničnih sistemov, ki delujejo s koeficientom uporabe Kupor = 0.6, da bi se zahteva za njihovo zamenjavo izpolnila s 95% verjetnostjo, v času treh let?
• Primer 7. Uporaba Poissonove porazdelitve:
Rešitev: Ad a)
39
UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE
2.korak
V nomogramu povlečemo vertikalno črto na izračunanem povpraševanju, do presečišča z zahtevano verjetnostjo Pz (to je do krivulje za 0,99).
3.korak
Odčitamo za kateri r je izpolnjen pogoj (odčitek je med 1 in 2; okoli 1,6)
Zaokrožimo r na prvo večji celo števiko (r = 2)
Odgovor pod a): Na zalogi je potrebno imeti 2 kosa agregata za dobo enega leta.
40
UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE
Rešitev: Ad b)
2.korak
Če je povpraševanje: p = N*ni*λi*t > 20 velja naslednji izraz za izračun količine nadomestnih delov:
r = p + Uβ . (p)1/2
Odgovor pod b): Na zalogi je potrebno imeti 38 kosov agregatov za dobo treh let.
Tabela - Poissonova porazdelitev.pdf
Zvezne porazdelitve
• Normalna porazdelitev • Standardizirana normalna porazdelitev
41
UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE
Normalna porazdelitev • prvi jo je definiral Abraham de Moivre • uporabil jo je Gauss (Gauss-ova razpodelitev) • najpogosteje uporabljena porazdelitev– celo 33% procesov v naravi
sledi zakonu normalne razpodelitve • funkcija gostote verjetnosti f(x) – zveznost • nastanek normalne porazdelitve - binomni izrek (razvijanje binomov v
vrsto, A. de Moivre)
2
21
0
21)(
i 50pogoju ob
)( )(
)(...)()()(
−
−
−
=
−
⋅⋅
=⇒
∞→==
⋅
=→⋅⋅
=+
=+⋅⋅+⋅+=+
∑
σµ
πσ
x
xnxn
x
xxnn
n
exfP(x)
n,qp
qpxn
xPbaxn
ba
babababa
binomna porazdelitev
funkcija gostote verjetnosti normalne porazdelitve
42
UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE
• funkcija gostote verjetnosti normalne porazdelitve f(x):
∞≤≤∞⋅⋅
=
−
−
xexfx
- za 2
21
21)( σ
µ
πσ
• Pričakovana vrednost: E(x)= μ
parametri: μ i σ2(x)
• varianca: σ2(x) • koeficient asimetrije: α3= 0 - simetrična razdelitev • koeficient zaobljenosti: α4= 3 (α’4= 0) – normalno zaobljena • lastnosti funkcije gostote verjetnosti f(x):
1.
2.
3.
xxf vsakiza 0)( ≥
∫∞
∞−=1)( dxxf
∫ ≤≤=2
121 )()(
x
xxxxPdxxf
43
UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE
• poveza funkcije gostote verjetnosti f(x) in funkcije porazdelitve F(x) normalne porazdelitve:
∫=2
1
)()(x
xdxxfxF
44
UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE
• Verjetnosti pod normalno porazdelitvijo N{μ, σ2}:
• Vpliv parametarov μ in σ2 na obliko normalne porazdelitve:
45
UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE
Standardizirana normalna porazdelitev N{0,1} • standardizirana normalna porazdelitev s parametri μ=0 i n σ2=1 • Vse normalne porazdelitve lahko transformiramo (z-transformacija) na
standardizirano (enotno) normalno porazdelitev • Katerakoli vrednost x se lahko zapiše kot μ ± k·σ
σµ−
=x
z• transformacija:
46
UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE
• funkcija gostote verjetnosti standardizirane normalne porazdelitve f(z):
1;0;21)( 2
221
==⋅=−
σµπ
z
ezf
• Z uporabo stand. normalne porazdelitve standardiziramo odstopanja preko parametra z:
1. |z|=1 → P(z)=0,6827 2. |z|=1,96 → P(z)=0,9500 3. |z|=2,0 → P(z)=0,9545 4. |z|=3 → P(z)=0,9973
• področje ±3σ ki se uporablja v konstrukcijah imenujemo toleranca • danes procesi v području ±3σ niso več dovolj dobri, pa se prehaja
na sistem ±6σ • področje ±6σ zajema verjetnost dogodkov s 99,9999998 %
47
UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE
• ostale verjetnosti normalne porazdelitve:
48
UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE
STANDARIZIRANI ZAPIS
Za standardizirano oblika zapisa velja:
0=z
1=zδ
Standardizirana oblika zapisa je oblika linearne transformacije zapisa in prikazuje odstopanje zapisa od povprečja izražena v standardnim odklonih.
δδ
⋅+=⇒−
= iii
i zxxxxz
0)(1
=−
=
−
==∑∑∑
N
xx
N
xx
Nz
zi
i
i δδ
11)(1)( 22
2
2
2
222 ==
−=
−
==−
= ∑∑∑∑ δδδ
δδN
xxN
xx
Nz
Nzz i
i
iiz
49
50
UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE
Število točk na izpitu, ki ga je opravljalo 250 studentov, ima normalnu razpodelitev s srednjo vrednostjo 8,0 in standardnim odklonom 2,5.
Če je potrebno 8,6 točk, da se izpit opravi pozitivno, koliko odstotkov studentov ni opravilo izpit?
Če je izpit je opravljalo 250 studentov, koliko studentov ga ni opravilo s pozitivno oceno?
1. Izračunajte vrednost z 2. Določite površino levo od z in jo izrazite v % 3. Izračunatjte število študentov iz dobljenega %
Primer 8: Normalna porazdelitev – izračun verjetnosti (ploščine)
51
UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE
Določitev površine za z < 0,24
z
0,24 0 x
8,6 8
μ = 8 σ = 2,5
μ = 0 σ = 1
P(x < 8,6) P(z < 0,24)
52
UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE
Površina za z < 0,24)
0,5948
z
0,24 0,00
P(x < 8,6) ) = P(z < 0,24) = 0,5948
Z ,00 ....
0,0 0,5000 .... 0,5080
0,5398 ....
0,2 0,5793 .... 0,5948
0,3 0,6179 ....
,04
0,1 0,5478
Tabela standardizirane normalne razpodelitve
59,48% študentov ima manj kot 8,6 točk 149 (250 x 0,5948) ima manj od 8,6 točk
53
UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE
53
Površina t.i. verjetnost Katera je verjetnost, da ima student točno 8,6 točk? P(x = 8,6) = P(z = 0,24) = 0
54
UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE
Spremenljivka x je normalno porazdeljena s srednjo vrednostjo 8,0 in standardnim odklonom 2,5.
Določite P(x > 8,6)
x
8,6
8,0
55
UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE
P(x > 8,6) = P(z > 0,24) = 1,0 – P(z ≤ 0,24) = 1,0 – 0,5948 = 0,4052
Z
0,24 0
Z
0,24
0,5948
0
1,000 1,0 – 0,5948 = 0,4052
40,52% študentov ima več kot 8,6 točk 101 (250 x 0,4052) študentov ima več kot 8,6 točk
56
UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE
56
P(8 < x < 8,6)
= P(0 < z < 0,24)
02,5
88σ
μxz =−
=−
=
Izračunajte vrednost z :
Varijabla x je normalno porazdeljena s srednjo vrednostjo 8,0 in standardnim odklonom 2,5.
Določite P(8,0 < x < 8,6)
z 0,24 0
x 8,6 8
57
UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE
Določitev vrednosti P(0 < z < 0,24)
P(8 < X < 8.6) = P(0 < z < 0,24) = = P(z < 0,24) – P(z ≤ 0) = = 0,5948 – 0,500 = 0,0948
z
0,24
0,0948
0,00
0,5000
Z ,00 ....
0,0 0,5000 .... 0,5080
0,5398 ....
0,2 0,5793 .... 0,5948
0,3 0,6179 ....
,04
0,1 0,5478
Tabela standardizirane normalne razpodelitve
58
UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE
Primer 9: Normalna porazdelitev – izračun verjetnosti (ploščine)
Predpostavimo, da ima f(x) normalno porazdelitev z 𝜇𝜇 =3 in 𝜎𝜎 = 0,5. Izračunajmo verjetnost, da se x nahaja v območju med 2 in 3,5. Določite verjetnosti za normalno porazdelitev.
59
UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE
60
UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE
Tabela 1: Površine izpod standardizirane normalne porazdelitve
61
UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE
Tabela 1: Površine izpod standardizirane normalne porazdelitve
62
UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE
Rešitev: Ad a)
63
UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE
64
UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE
Rešitev: Ad a)
65
UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE
Rešitev: Ad a)
Rešitev: Ad b)
66
UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE
67
UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE
Rešitev: Ad c)
68
UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE
Rešitev: Ad c)
69
UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE
Dolgoročno tehtanje hlebcev kruha je dalo podatke, da poteka proces peke hlebcev kruha po normalni porazdelitvi in da je povprečna teža hlebca kruha 150 dag in standardni odklon 0,9 dag. Ker so podatki zbrani na osnovi vsakodnevnega tehtanja hlebcev v času več let, se lahko smatra, da izračunane vrednosti veljajo za populacijo. A. Zanima nas, kašen odstotek hlebcev kruha bo predvidoma imel težo manjšo od
148 dag.
Primer 10: Normalna porazdelitev – izračun teže hlebca kruha (kontrola proizvoda)
70
UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE
B. Zanima nas, kašen odstotek hlebcev kruha bo imel predvidoma težo med 149 dag in 152 dag.
71
UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE
Rešitev B:
72
UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE
C. Želimo, da bi le 5% hlebcev kruha imelo težo manjšo od 149 dag. Kolikšen bi moral biti 𝜇𝜇, da bi bilo to izpolnjeno?
Rešitev C:
Izračun novega 𝝁𝝁, glede na zahtevani x in ploščino (manj kot 5%)
73
UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE
Rešitev C:
Iz priložene tabele vidimo, da je za 5% ploščine Z = 1,6449.
74
UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE
Rešitev C:
.
75
UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE
Rešitev C:
76
Primer 11. Uporaba normalne porazdelitve:
V podjetju “ALFA” je narejena tabela po zaposlenem glede na delovno dobo in plačo. Primerjajte zaposlene po dohodku in delovni dobi grafično !
UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE
77
UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE
Primer 12. Uporaba normalne porazdelitve: Primer: Predpostavimo da se vrednost toka (v mA) v vodniku obnaša po zakonu normalne porazdelitve s pričakovanjem μ=10 mA in varianco σ2=4 mA2. Kolikšna je verjetnost, da bo tok večji od 13 mA?
17,515,012,510,07,55,0
17,515,012,510,07,55,0
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
X
Den
sity
1310
Normal; Mean=10; StDev=2
06681,0)5,1(1)5,1()13(
5,12
)1013()(
=≤−=>=>
=⇒−
=−
=
zPzPxP
zxz σµ
3210-1-2-3
3210-1-2-3
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
z
Den
sity
1,5
0,0668
0
Normal; Mean=0; StDev=1
78
UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE
79
UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE
Primer 13. Uporaba normalne porazdelitve:
Verjetnost, da je izdelan proizvod nedelujoč je 0,05. Izračunajte verjetnost, da bo med 500 slučajno izbranimi proizvedenimi proizvodi med 5 in 15 nedelujočih!
Rešitev:
Proizvodi oz. slučajna spremenljivka x se spreminja po binomni porazdelitvi 𝑋𝑋:𝐵𝐵(500; 0,05) s parametri:
𝑛𝑛 = 500, 𝑝𝑝 = 𝑃𝑃 𝐴𝐴 = 0,05, 𝑞𝑞 = 𝑃𝑃 �̅�𝐴 = 0,95
𝑃𝑃 5 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 15 = � 500𝑘𝑘 ∙ 0,05𝑘𝑘
15
𝑘𝑘=5
∙ 𝑞𝑞500−𝑘𝑘
= 5005 ∙ 0,055 ∙ 0,95495 + 500
6 ∙ 0,056 ∙ 0,95494 + ⋯ . + 50015 ∙ 0,0515 ∙ 0,95485
= 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎
80
UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE
Primer 13. Uporaba normalne porazdelitve:
Ker je 𝑛𝑛 ∙ 𝑝𝑝 = 25 > 10 lahko binomno porazdelitev aproksimiramo z uporabo normalne porazdelitve s parametri
𝑃𝑃 5 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 15 = 𝑃𝑃5 − 𝑛𝑛 ∙ 𝑝𝑝𝑛𝑛 ∙ 𝑝𝑝 ∙ 𝑞𝑞 ≤
𝑥𝑥 − 𝑛𝑛 ∙ 𝑝𝑝𝑛𝑛 ∙ 𝑝𝑝 ∙ 𝑞𝑞 ≤
15 − 𝑛𝑛 ∙ 𝑝𝑝𝑛𝑛 ∙ 𝑝𝑝 ∙ 𝑞𝑞
= 𝑃𝑃5 − 25
500 ∙ 0,05 ∙ 0,95≤𝑥𝑥 − 𝑛𝑛 ∙ 𝑝𝑝𝑛𝑛 ∙ 𝑝𝑝 ∙ 𝑞𝑞 ≤
15 − 25500 ∙ 0,05 ∙ 0,95
= 𝑃𝑃(−4,1
≤ 𝑍𝑍 ≤ −2,05)
𝑃𝑃 −4,1 ≤ 𝑍𝑍 ≤ −2,05 = 𝑃𝑃 2,05 ≤ 𝑍𝑍 ≤ 4,1 = 1 − 0,9798 = 0,0202
81
UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE
82
Primer 14.
Rešitev:
UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE
83
Primer 14.
UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE
84
UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE