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Unternehmensinteraktion (20119)Ubung 9 – Hotellings Modell
Matthias Held
Welle I: 22. Januar, Welle II: 29. Januar
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Robert und Karl eroffnen entlang Monacos Kustenstraße je einenStore, um Ihre Shirts naher am Kunden anzubieten. Entlang die-ser Straße der Lange L = 100 wohnen die Kunden dicht besetztund gleichverteilt. Roberts Roberto Geissini Flaghsip Store befin-det sich lR = 20 Einheiten vom westlichen Ortsausgang (Ende derKustenstraße) entfernt, der KARL LAGERFELD Store liegt lK = 30Einheiten vom ostlichen Ende der Straße entfernt. Jeder Kunde ent-lang der Straße wird genau ein Shirt kaufen. Bei der jeweiligen Kauf-entscheidung fliessen der Kaufpreis und die Transporkosten ein. DieTransportkosten von Kunde x hangen linear von der zuruckgelegtenStrecke zwischen x und dem Handlerstandort ab, den Transportkos-tensatz schatzen Sie zu t = 0.10. Pro Shirt entstehen sowohl Robertals auch Karl Kosten von k = 5.
Matthias Held Unternehmensinteraktion (20119) 2
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Standortwahl / Produktdifferenzierung
• Siehe Hotelling (1929)
• Standortwahl: Suche den optimalen Standort in Abhangigkeitvom Standort der Konkurrenz und Verteilung der Kunden,Kunde x hat neben dem Preis p noch Transportkosten zumProduzenten in Hohe von t|x − l |
• Produktdifferenzierung: L ist Verteilung desKundengeschmacks, Kunde x erfahrt neben dem Preis p nochDisnutzen durch Abweichung von seinerZielproduktcharacteristik x in Hohe von t|x − l |
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Identifizierung des indifferenten Kunden
• Kunde x kann genau eine Einheit des Gutes bei Robert oderKarl kaufen
• Kauft er bei Anbieter i entstehen ihm dadurch Kosten
pi + t|x − li |
• Der Kunde wird bei dem Anbieter kaufen, der ihm diegeringsten Gesamtkosten verursacht
• Robert kann somit auf zwei Wege Kunden auf sich ziehen:• In Stufe 2: Durch die Verringerung des Preises• In Stufe 1: Durch Vergoßerung seines Einzugsbereiches
(Standortwahl)
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Identifizierung des indifferenten Kunden
• Wenn wir davon ausgehen, dass der indifferente Kunde xirgendwo zwischen Robert und Karl liegt, lR < x < (L− lK ),dann muss fur diesen gelten:
pR︸︷︷︸Preis
+ t(x − lR)︸ ︷︷ ︸Transportkosten︸ ︷︷ ︸
wenn Kauf bei Robert
= pK︸︷︷︸Preis
+ t((L− lK )− x)︸ ︷︷ ︸Transportkosten︸ ︷︷ ︸
wenn Kauf bei Karl
• Umstellen nach x liefert den indifferenten Kunden:
x =L− lK + lR
2︸ ︷︷ ︸Mitte der Standorte
+pK − pR
2t︸ ︷︷ ︸Verschiebung durch Preis
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Identifizierung des indifferenten Kunden
x =L− lK + lR
2︸ ︷︷ ︸Mitte der Standorte
+pK − pR
2t︸ ︷︷ ︸Verschiebung durch Preis
• pK − pR > 0: mehr Kunden aus der Mitte zu Robert
• Bei steigenden Transportkosten t hat die Preisdifferenz einenfallenden Einfluss auf die Position des indifferenten Kunden:Fur t →∞ liegt x genau zwischen Robert und Karl
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Identifizierung des indifferenten Kunden
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Identifizierung des indifferenten Kunden
x =L− lK + lR
2+
pK − pR2t
= 45 + 5(pK − pR)
• pR = 10 e, pK = 10 e:
→ x = 45
→ πR = x(pR − k) = 45× 5 e = 225 e
→ πK = (L− x)(pK − k) = 55× 5 e = 275 e
• pR = 10 e, pK = 16 e: ACHTUNG
→ x = L
→ πR = x(pR − k) = 100× 5 e = 500 e
→ πK = (L− x)(pK − k) = 0× 11 e = 0 e
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Identifizierung des indifferenten Kunden
x =L− lK + lR
2+
pK − pR2t
= 45 + 5(pK − pR)
• pR = 12 e, pK = 10 e:
→ x = 35
→ πR = x(pR − k) = 35× 7 e = 245 e
→ πK = (L− x)(pK − k) = 65× 5 e = 325 e
• pR = 12 e, pK = 16 e:
→ x = 65
→ πR = x(pR − k) = 65× 7 e = 455 e
→ πK = (L− x)(pK − k) = 35× 11 e = 385 e
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Preiswahl und Profit
• Wahlt Robert einen hinreichend kleinen Preis, wird er dengesamten Markt abdecken, x = L
• Grenzfall I: Robert bearbeitet den gesamten Markt bis zu KarlsStandort,x = L− lR , Karl bearbeitet nur sein Hinterland lK
• ’Normaler’ Markt: Robert bearbeitet sein Hinterland und einTeil der Distanz zwischen den beiden Anbietern, siehe oben
• Grenzfall II: Robert bearbeitet nur sein Hinterland, x = lR ,Karl bearbeitet den restlichen Markt, L− lR
• Wahlt Robert einen zu großen Preis, wird er nichts am Marktabsetzen
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Preiswahl und Absatz
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Preiswahl und Absatz
5 ≤ pR ≤ 15 : x =L− lK + lR
2+
pK − pR2t
= 95− 5pR
qR = x =
100 wenn pR < 5
95− 5pR wenn 5 ≤ pR ≤ 150 wenn pR > 15
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Preiswahl und Absatz
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Preiswahl und Profit
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Preiswettbewerb
• Befinden sich beide Wettbewerber an der gleichen Stelle,lR = L− lK , dann. . .
• . . . setzt ein brutaler Preiswettbewerb ein• . . . Wettbewerb halt an bis Preis=Grenzkosten
(Gleichgewicht?)• . . . Anbieter teilen sich die Nachfragen je zur Halfte
• Sind die Anbieter hinreichend raumlich voneinander getrennt,lR < L− lK , dann. . .
• . . . konnen beide die Preise anheben und Profite einfahren• . . . kann beim Grenzpreis nur noch das Hinterland bearbeitet
werden• . . . gibt es ein Preisgleichgewicht das beiden Profite ermoglicht
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Preiswettbewerb
• Gegeben der Standorte lR und lK sowie Karls Preiswahl pK istRoberts Profit
πR = qR(pR − k) = x(pR , pK , lR , lK )(pR − k)
=
(L− lK + lR
2+
pK − pR2t
)(pR − k)
• Robert maximiert seinen Profit: (FOC und Losung)
0!
=∂πR∂pR
=L− lK + lR
2+
pK − 2pR + k
2t
⇒ p∗R(pK ) =pK + k
2+
t(L− lK + lR)
2= 7 + 0.5pK
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Preiswettbewerb
• Karls Reaktionsfunktion ist analog dazu:
p∗K (pR) =pR + k
2+
t(L− lR + lK )
2= 8 + 0.5pR
• Beachten Sie die Symmetrie: Aus Karls Sicht ist Robert derKarl ©
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Preiswettbewerb
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Preiswettbewerb• Einsetzen der Reaktionsfunktionen liefert
pR = p∗R(p∗K (pR)) =
(pR+k
2 + t(L−lR+lK )2
)+ k
2+
t(L− lK + lR)
2
⇒ p∗R = k +t(3L− lK + lR)
3= 14.66 e
⇒ p∗K = k +t(3L− lR + lK )
3= 15.33 e
• Im Gleichgewicht gilt:
q∗R = x = 45 + 5(15.33− 14.66) = 48.33
π∗R = qR ∗ (pR − k) = 48.33(14.66− 5) = 467.22 e
π∗K = (L− q∗R)(pK − k) = 51.67(15.33− 5) = 533.88 e
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Exkursion: Der Umhullendensatz
• Sei x∗(a) die stetige Losung des stetigen Problems
maxx
f (x , a)
• Sei M(a) = f (x∗(a), a) die Maximalwertfunktion, dann gilt:
∂M(a)
∂a=∂f (x , a)
∂a
∣∣∣∣x=x∗(a)
• Andert man a, so hat dies keinen indirekten Einfluss auf dasOptimum, d.h. kein Einfluss via ∂f
∂x∗∂x∗
∂a
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Exkursion: Der Umhullendensatz
• Beweis:
∂M(a)
∂a=∂f (x , a)
∂a
∣∣∣∣x=x∗(a)
=∂f (x , a)
∂x
∣∣∣∣x=x∗(a)︸ ︷︷ ︸
=0
∂x∗(a)
∂a+∂f (x , a)
∂a
∣∣∣∣x=x∗(a)
=∂f (x , a)
∂a
∣∣∣∣x=x∗(a)
• An der Stelle x = x∗(a) besitzt f (x , a) gerade ein Maximum,somit ist die Ableitung der Funktion hier Null
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Standortwechsel
• Wie verandert sich Roberts Profit, wenn er seinen Standort lRum eine kleine Einheit in Richtung Karl verandert?
• Roberts Profit (funktional)
πR = (p∗R(lR)− k) qR (p∗R(lR), p∗K (lR), lR)
• Wir konnen hier den Umhullendensatz anwenden: RobertsReaktion p∗R ist gerade die optimale Antwort, die seinen ProfitπR maximiert!
• Dies gilt naturlich nicht fur p∗K (lR), dies ist Karls optimaleWahl, die πK maximiert
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Standortwechsel• Anwendung des Umhullendensatzes:
∂πR∂lR
=∂πR∂pR
pRlR
∣∣∣∣pR=p∗R(lR)︸ ︷︷ ︸
=0
+∂πR∂lR
∣∣∣∣pR=p∗R(lR)
= (p∗R(lR)− k)
∂qR∂pK
∂p∗K∂lR︸ ︷︷ ︸
SE
+∂qR∂lR︸︷︷︸NE
• NE Nachfrageeffekt: Vergroßerung des Einzugsgebietes, mehr
Kunden (positiv)• SE Strategischer Effekt: Wegen Annaherung senkt Karl die
Preise (Reaktion auf Roberts lR), Kunden gehen verloren(negativ)
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Standortwechsel
• Falls der Nachfrageeffekt der starkere ist, lohnt es sich naheran den Konkurrenten zu ziehen, im Extremfall ziehen beide indie Mitte
• Wenn der strategische Effekt dominiert, lohnt es sich weitervom Konkurrenten wegzuziehen, im Extremfall ziehen beidean den jeweiligen Rand
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Standortwechsel
• Die Komponenten:
qR =L− lK + lR
2+
p∗K − p∗R2t
⇒ ∂qR∂lR
=1
2
⇒ ∂qR∂pK
=1
2t
p∗K = k +t(3L− lR + lK )
3
⇒∂p∗K∂lR
= − t
3
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Standortwechsel
• Strategischer Effekt:
∂qR∂pK
∂p∗K∂lR
=1
2t
(− t
3
)= −1
6
• Nachfrageeffekt:
∂qR∂lR
=1
2
• NE+SE = 12 −
16 > 0: Es ist fur Roberts stets (!) sinnvoll,
seine Position naher an Karl zu verlagern, da derNachfrageeffekt dominiert
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Dynamik
• Es ist fur Roberts stets (!) sinnvoll, seine Position naher anKarl zu verlagern (bzw. sich zwischen Karl und den Großteilder Nachfrage zu setzen)
• Dasselbe gilt fur Karl
• Treffen sich in der Mitte
• In der Mitte findet der Preiskampf bis P=GK statt
• Wenn P=GK, starker Anreiz von der Mitte abzuweichen umPreise zu differenzieren
• Keine stabile Losung → Kein Gleichgewicht
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