UNIVERZITET U NIŠU

PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET

DEPARTMAN ZA MATEMATIKU

MASTER RAD

Lokalno solidne topologije na Risovim prostorima i primene

Mentor: Student: Prof.dr Dragan Đorđević Katarina Stojković Broj indeksa 143

Niš, 2018.

Zahvaljujem se mentor profesoru dr. Draganu Đorđeviću na svim savetima, sugestijama i pruženoj pomoći tokom izrade ovog rada. Takođe, zahvaljujem se članovima komisije, svim ostalim profesorima sa kojima sam sarađivala tokom osnovnih i master akademskih studija, kao i svim kolegama i koleginicama sa kojima je studiranje bilo lepo iskustvo. Najveću zahvalnost dugujem porodici na podršci i razumevanju tokom školovanja i života.

Sadržaj

Uvod………………………………………………………………………………………. 1 Glava 1….………………………………………………………………………………….. 2 1.1.Osnovni pojmovi vektorskog prostora…………………………………………………. 2 1.2.Opšti pojmovi topoloških prostora.................................................................................. 4 1.3.Neprekidnost na topološkim prostorima……………………………………………….. 6 1.4.Klasifikacija topoloških prostora…………………………………………….………… 7 1.5.Konvergincija u topološkim prostorima……………………………………………… 8 Glava 2………………………………………………………………………….…………. 10 2.1.Osobine Risovih prostora……………………………………………………………… 10 2.2.Razdvojeni vektori………………………………………………………………...…... 20 2.3.Solidni podskupovi Risovih prostora……………………………………………….…. 22 2.4.Ideali,trake i Risovi potprostori……………………………………………….…….…. 27 2.5.Razdvojeni komplementi………………………………………..………………….….. 32 Glava 3…………………………………………………………………………………….. 35 3.1.Linearne topologije na Risovim prostorima………….…………………………………35 3.2.Osnovne teoreme o lokalno solidnim topologijama……………………………..……. 42 3.3 Lokalno konveksno-solidne topologije….....…………………………………...……... 45 3.4.Topološko komplementiranje lokalno solidnih Risovih prostora……….….…………. 52 Glava 4…………………………………………………………………………….………. 56 4.1.Opšta ravnoteža….…………………………………………………………….………. 56 4.2.Funkcija preference i funkcija korisnosti………………………………………….….. 58 4.3.Ekonomija razmene……………………………………………………………….…... 63 4.4.Efikasnost, cene, Prva i Druga teorema blagostanja…………………………………... 66

Literatura…………………………………………………………………….……………. 68

Biografija………………………………………………………………………………….. 69

1

Uvod

U ovom radu razmatraćemo lokalno solidne topologije na Risovim prostorima, sa primenama u ekonomiji. Prva glava predstavlja pogled na uopštene pojmove iz oblasti topologije i realnog vektorskog prostora dok će se u drugoj glavi razmatrati osnovni pojmovi Risovih prostora. Definisaće se Birkofov identitet, rezultat koji predstavlja osnovu Teorije Risovih prostora. U trećoj glavi razmatraće se linearne topologije i konveksno-solidne topologije, kao i topološko komplementiranje lokalno solidnih Risovih prostora. Rad završavamo primenama lokalno solidnih topologija na Risovim prostorima u ekonomiji.

2

Glava 1

1.1. Osnovni pojmovi vektorskog prostora

Polazni pojam u definisanju pojma vektorskog prostora je pojam polja F=( F,+,∙ ) kao algebarske strukture. Napomenimo da neutralni element za sabiranje označavamo sa 0𝐹𝐹 i neutralni element za množenje označavamo sa 1𝐹𝐹. Elemente polja F nazivamo skalarima.

Definicija 1.1.1. Neka je V neprazan skup čije elemente zovemo vektorima i neka je F=(F,+,∙ ) polje skalara. Algebarska struktura

V = (V, + , ∙ ) naziva se vektorski prostor V nad poljem F ako za binarnu operaciju sabiranja vektora + : 𝑉𝑉2 → 𝑉𝑉 i spoljnu operaciju množenja skalara i vektora : ∙ 𝐹𝐹 × 𝑉𝑉 → 𝑉𝑉 važe sledeće aksiome : (𝑉𝑉1) 𝛼𝛼 + (𝛽𝛽 + 𝛾𝛾) = (𝛼𝛼 + 𝛽𝛽) + 𝛾𝛾 , za svako 𝛼𝛼, 𝛽𝛽, 𝛾𝛾 ∈ V; (𝑉𝑉2) postoji 0𝐹𝐹 ∈ 𝐅𝐅 sa svojstvom 𝛼𝛼 + 0𝐹𝐹 = 0𝐹𝐹 + 𝛼𝛼 , za svako 𝛼𝛼 ∈ V; (𝑉𝑉3) za svaki 𝛼𝛼 ∈ 𝑉𝑉 postoji −𝛼𝛼 ∈ 𝑉𝑉 tako da je 𝛼𝛼 + (−𝛼𝛼) = −𝛼𝛼 + 𝛼𝛼 = 0; (𝑉𝑉4) 𝛼𝛼 + 𝛽𝛽 = 𝛽𝛽 + 𝛼𝛼 , za svako 𝛼𝛼, 𝛽𝛽 ∈ 𝑉𝑉; (𝑉𝑉5) 𝛼𝛼(𝛽𝛽𝛾𝛾) = (𝛼𝛼𝛽𝛽)𝛾𝛾, za svako 𝛼𝛼, 𝛽𝛽, 𝛾𝛾 ∈ 𝑉𝑉; (𝑉𝑉6) postoji 1𝐹𝐹 ∈ 𝐅𝐅 sa svojstvom 1𝐹𝐹 ∙ 𝛼𝛼 = 𝛼𝛼 ∙ 1𝐹𝐹 , za svako 𝛼𝛼 ∈ 𝑉𝑉; (𝑉𝑉7) za svaki 𝛼𝛼 ∈ 𝑉𝑉 , 𝛼𝛼 ≠ 0 , postoji 𝛼𝛼−1 ∈ 𝑉𝑉 tako da je 𝛼𝛼𝛼𝛼−1 = 𝛼𝛼−1𝛼𝛼 = 1; (𝑉𝑉8) 𝛼𝛼𝛽𝛽 = 𝛽𝛽𝛼𝛼 , za svako 𝛼𝛼, 𝛽𝛽 ∈ 𝑉𝑉; (𝑉𝑉9) 𝛼𝛼(𝛽𝛽 + 𝛾𝛾) = 𝛼𝛼𝛽𝛽 + 𝛼𝛼𝛾𝛾 , za svako 𝛼𝛼, 𝛽𝛽, 𝛾𝛾 ∈ V. Drugim rečima, vektorski prostor V možemo odrediti uređenim parom (V, F) tako da važi : (i) V neprazan skup (njegove elemente zovemo vektorima). (ii) F je polje (njegove elemente zovemo skalarima). (iii) U skupu V je definisana binarna operacija + : 𝑉𝑉2 → 𝑉𝑉, koju nazivamo sabiranje vektora, takva da važi aksioma (𝑉𝑉1). (iv) Defnisana je spoljna operacija ∙ ∶ 𝐹𝐹 × 𝑉𝑉 → 𝑉𝑉, koju zovemo množenje vektora skalarom (tj. elementom) polja F za koju važe aksiome (𝑉𝑉2), (𝑉𝑉5). Napomena 1.1.1. Uobičajeno je da skalare označavamo malim slovima grčkog alfabeta 𝛼𝛼, 𝛽𝛽, 𝛾𝛾,… i da vektore označavamo malim slovima abecede: a ,b ,c, d, e, f, … Treba napomenuti da se pod 𝛼𝛼 + 𝛽𝛽 podrazumeva 𝛼𝛼 +𝐹𝐹 𝛽𝛽, kao i da je 𝛼𝛼𝛽𝛽, zapravo 𝛼𝛼 ∙𝐹𝐹 𝛽𝛽 . U daljim razmatranjima ćemo nulu polja 0𝐹𝐹 označavati sa 0, a jedinicu polja 1𝐹𝐹 sa 1, respektivno. Napomena 1.1.2. Neka je V vektorski prostor nad poljem skalara F. Ako je F =R, tada vektorski prostor nazivamo realnim vektorskim prostorom. Definicija 1.1.2. Neka je V vektorski prostor nad poljem skalara F. Skup vektora {𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2, … , 𝑥𝑥𝑛𝑛} ⊆ V jeste generatorski skup za vektorski prostor V ako važi:

𝐿𝐿({𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2, … , 𝑥𝑥𝑛𝑛}) = V.

3

. Definicija 1.1.3. Neka je V vektorski prostor nad poljem skalara F. Skup vektora B = {𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2, … , 𝑥𝑥𝑛𝑛}, pri čemu je {𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2, … , 𝑥𝑥𝑛𝑛} ⊆ V, jeste bazni skup (baza) za vektorski prostor V ako važi: 1) Skup {𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2, … , 𝑥𝑥𝑛𝑛} jeste generatortski, tj. 𝐿𝐿({𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2, … , 𝑥𝑥𝑛𝑛}) = V, 2) Skup {𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2, … , 𝑥𝑥𝑛𝑛} jeste linearno nezavisan skup vektora u V. Definicija 1.1.4. Vektorski prostor V nad poljem F realnih ili kompleksnih skalara (F = R ili F = C) naziva se unitarni ili pred-Hilbertov prostor ako za skalarni ili unutrašnji proizvod ( , ) : V 2 → F važe aksiome: (S1) (x + y, z) = (x, z) + (y, z), za svako x, y ,z ∈ V; (S2) (𝛼𝛼 ∙ x, y) = 𝛼𝛼 (x, y), za svako 𝛼𝛼 ∈ F i x, y ∈ V; (S3) (x, y) = (𝑦𝑦, 𝑥𝑥)�������, za svako x, y ∈ V; (S4) (x, x) ≥ 0, za svako x ∈ V; (S5) (x, x) = 0 ⇔ x = 0, za svako x ∈ V. Na osnovu (S3), primetimo da i u slučaju kompleksnog unitarnog prostora vrednosti (x, x), za x ∈ V, jesu realni brojevi i dotano na osnovu (S4), jesu nenegativni realni brojevi. Definicija 1.1.5. Norma (intezitet) vektora x, iz unitarnog prostora V, je nenegativan broj:

‖𝑥𝑥‖ = �(𝑥𝑥, 𝑥𝑥). Za tako određenu normu kažemo da je norma indukovana skalarnim proizvodom. Definicija 1.1.6. Vektorski prostor V nad poljem skalara F naziva se normiran vektorski prostor ako za normu ‖∙‖ ∶ 𝑉𝑉 → 𝐑𝐑 važe aksiome: (N1) ‖𝑥𝑥‖ ≥ 0, za svako x ∈ V; (N2) ‖𝑥𝑥‖= 0 ⇔ x = 0, za svako x ∈ V; (N3) ‖𝛼𝛼 ∙ 𝑥𝑥‖= |𝛼𝛼| ∙ ‖𝑥𝑥‖, za svako 𝛼𝛼 ∈ F i x ∈ V; (N4) ‖𝑥𝑥 + 𝑦𝑦‖ ≤ ‖𝑥𝑥‖ + ‖𝑦𝑦‖, za svako x, y ∈ V. Definicija 1.1.7. Neka je vektorski prostor V normiran normom ‖∙‖, tada se funkcija 𝑑𝑑: 𝑉𝑉2 → 𝐑𝐑 :

d = d (x, y) =‖𝑥𝑥 − 𝑦𝑦‖, naziva metrika na V. Definicja 1.1.8. Metrički prostor je par (X, d) skupa X i nenegativne funkcije (metrika ) na skupu 𝑋𝑋 × 𝑋𝑋, sa sledećim osobinama: (M1) d (x, y) = 0 ⇔ x = y, za svako x, 𝑦𝑦 ∈ X; (M2) d (x, y) = d (y, x) , za svako x, 𝑦𝑦 ∈ X ,(simetričnost); (M3) d (x, y) ≤ 𝑑𝑑(𝑥𝑥, 𝑧𝑧) + 𝑑𝑑(𝑧𝑧, 𝑦𝑦) , za svako x, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧 ∈ X (nejednakost trougla). Neka je zadat vektorski prostor X sa normom ‖∙‖. Tada se baza sa okolinom u nuli može definisati preko norme. Definicija 1.1.9. Na normiranom prostoru definišemo otvorenu kuglu oko nule sa poluprečnikom r:

4

K(0; 𝑟𝑟) = { 𝑥𝑥 ∈ 𝑋𝑋 | takvih da je ‖𝑥𝑥‖ ≤ 𝑟𝑟}.

Definicija 1.1.10. Definišemo otvorena kuglu poluprečnika r, sa centrom u x, kao podskup:

B(𝑥𝑥, 𝑟𝑟) = 𝑑𝑑{𝑦𝑦 ∈ 𝑋𝑋 | 𝑑𝑑(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) < 𝑟𝑟}.

Stoga je baza otvorena kugla 𝐵𝐵 = {K(0; 𝑠𝑠) ⊆ X , pri čemu je 𝑠𝑠 ∈ 𝐑𝐑+}. Napomena 1.1.3. Ako se skup svih otvorenih kugli metričkog prostora uzme za predbazu, dobija se tzv. metrička topologija. U odnosu na nju, zatvorene kugle (u definiciji otvorene kugle se znak <, zameni sa ≤) postaju zatvoreni skupovi. 1.2. Opšti pojmovi topoloških prostora Daljom analizom se dolazi do pojmova okoline tačke i konvergencije. Njihova najopštija formulacija se daje u topološkim prostorima. Stoga je topologija, disciplina koja ih prou -čava, postala jedna od osnovnih oblasti matematike: direktno se nastavlja na teoriju sku-pova, a ugrađena je u većinu drugih matematičkih teorija. Danas je već sasvim jasno da je upoznavanje sa elementima topologije nezaobilazno u teorijskoj fizici. Definicija 1.2.1. Neka je X neprazan skup. Familija O podskupova skupa X koja ima svojstva: (O1) ∅ , X ∈O ; (O2) A, B ∈O ⇒ A ∩ 𝐵𝐵 ∈O ; (O3) {𝐴𝐴𝑖𝑖 ∶ 𝑖𝑖 ∈ 𝐼𝐼} ⊂ O ⇒ ⋃ 𝐴𝐴𝑖𝑖 𝑖𝑖∈𝐼𝐼 ∈ O , naziva se topologija na skupu X, dok se za uređenu dvojku (X,O) kaže da je topološki prostor. Definicija 1.2.2. Elementi topologije O nazivaju se otvorenim skupovima, dok se komplementi otvorenih skupova nazivaju zatvorenim skupovima. Svojstvo (O2) se može induktivno proširiti na konačno mnogo otvorenih skupova. Definicija 1.2.3. Topološki prostor (X,O) je diskretan ako je O = P(X), a antidiskretan ako je O = {∅, 𝑋𝑋}. Sve topologije na istom skupu uređene su parcijalnim uređenjem ⊂, i u smislu te relacije, antidiskretna topologija je najmanja, diskretna topologija najveća topologija na datom skupu. Definicija 1.2.4. Pokrivač skupa X je skup podskupova u X, takav da njihova unija daje ceo skup X, i naziva se otvorenim ako se sastoji iz otvorenih podskupova.

5

Na istom skupu se mogu zadati različite topologije, što znači da struktura topološkog prostora nije određena samim skupom X, već se posebno uvodi, u zavisnosti od osobina koje prostor treba da ima. Uspostavljanje topolške strukture eksplicitnim nabrajanjem svih otvorenih skupova je moguće samo u krajnje jednostavnim primerima. Umesto toga, koristi se predbaza. Definicija 1.2.5. Predbaza je svaki podskup skupa 𝜏𝜏 iz koga se dozvoljenim operacijama (proizvoljne unije preseka konačno mnogo podskupova) može dobiti svaki neprazan otvoreni skup, i time rekonstruisati 𝜏𝜏. Svaki pokrivač skupa X je predbaza neke topologije. Definicija 1.2.6. Topologija 𝜏𝜏 je finija od topologije 𝜏𝜏′ na istom skupu ako je 𝜏𝜏′ ⊂ 𝜏𝜏. Lema 1.2.1. Neka je (X, O) topološki prostor. Tada familija C svih zatvorenih skupova zadovoljava sledeće uslove: (C1) Prazan skup i skup X su zatvoreni; (C2) Unija dva (pa i konačno mnogo) zatvorenih skupova je zatvoren skup; (C3) Presek proizvoljne familije zatvorenih skupova je zatvoren skup. Otvoreni skupovi su osnova za određivanje pojma okoline, što konačno omogućuje razvijanje ideje bliskih tačaka u Rn. Definicjija 1.2.7. Okolina Ox tačke x je svaki podskup skupa X koji sadrži otvoren skup kome pripada x. Definicija 1.2.8. Kvaziokolina tačke x je okolina te tačke iz koje je izuzeta sama tačka x. Definicija 1.2.9. Neka je (X, τ) topološki prostor. Tada za kolekciju B ⊂ τ, kažemo da je baza topologije, ako za svaki skup U ∈ τ, i svaki element x ∈ U, postoji skup B ∈B, tako da važi:

x ∈B ⊆ U. Definicija 1.2.10. Neka je (X, τ) topološki prostor i x ∈ X proizvoljan fiksiran element prostora X. Tada, za kolekciju B x ⊂ τ kažemo da je lokalna baza topologije u x, ako za svaki skup U ∈ τ, i svaki element x ∈ U, postoji skup B ∈B x, tako da važi:

x ∈ B ⊆ U.

Defnicija 1.2.11. Neka je (X,𝜏𝜏) topološki prostor i E ⊆ X. Topologija 𝜏𝜏𝐸𝐸 skupa E indukovana inkluzijom i: E → X, zove se relativna topologija na E, a par (E, 𝜏𝜏𝐸𝐸) je potprostor prostora (X, 𝜏𝜏). Dakle, τE = {𝑖𝑖−1 (V ) | V ∈ 𝜏𝜏 } = {E ∩ V | V ∈ 𝜏𝜏 } i i : E → X je neprekidno preslikavanje, a 𝜏𝜏𝐸𝐸 je najgrublja topologija skupa E za koju je i neprekidno.

6

1.3. Neprekidnost na topološkim prostorima Neprekidnost preslikavanja topoloških prostora je osnovni pojam koji ima značajnu ulogu pri rešavanju problema ekvivalentnosti topoloških prostora i dobijanja novih prostora. Neprekidnost preslikavanja topoloških prostora može se definisati na dva načina: lokalno u tačkama domena i globalno na čitavom domenu preslikavanja. Definicija 1.3.1. Funkcija f: R → R kažemo da je neprekidna u tački 𝑥𝑥0 ∈ R, ako za svako 𝜀𝜀 > 0, postoji 𝛿𝛿 > 0, tako da za svako x ∈ 𝐑𝐑 za koje je |x − 𝑥𝑥0 | < 𝛿𝛿, važi:

| f (x) – f (𝑥𝑥0 )| < 𝜀𝜀. Ako je zadovoljen ovaj uslov, kažemo da je funkcija f neprekidna u tački 𝑥𝑥0. Ako je f neprekidna u svim tačkama skupa D ⊆ R, onda jednostavno kažemo da je f neprekidna na D. Naravno, od interesa bi bilo definisati ovaj pojam i u proizvoljnom topološkom prostoru, tj. i kada nemamo ”apsolutnu vrednost” niti ”oduzimanje”. Sledećom (ekvivalentnom) definicijom, takođe dobijamo pojam neprekidnosti funkcije ali nešto opštije. Definicija 1.3.2. Funkcija f: R → R je neprekidna u tački 𝑥𝑥0 ∈ 𝐑𝐑 , ako za svaki interval (f (𝑥𝑥0) − 𝜀𝜀 , f (𝑥𝑥0) + 𝜀𝜀 ), pri čemu je 𝜀𝜀 > 0, postoji 𝛿𝛿 > 0 takav da je

f (x) ∈ (f (𝑥𝑥0) − 𝜀𝜀, f (𝑥𝑥0) + 𝜀𝜀), kad god je je x ∈ ( 𝑥𝑥0− 𝛿𝛿 , 𝑥𝑥0 + 𝛿𝛿).

Neka je f : (X,𝜏𝜏) → (X′,𝜏𝜏′) preslikavanje topološkog prostora (X,𝜏𝜏) u prostor (X′,𝜏𝜏′). Definicija 1.3.3. Preslikavanje f je neprekidno u tački x ∈ X ako, za svaku otvorenu okolinu V tačke f (x) ∈ X′ u prostoru (X′,𝜏𝜏′), postoji otvorena okolina U tačke x u prostoru (X 𝜏𝜏), tako da je f (U) ⊆ V. Teorema 1.3.1. Neka je f: (X, 𝜏𝜏) → (X′,𝜏𝜏′) preslikavanje topološkog prostora (X, 𝜏𝜏) u prostor (X′,𝜏𝜏′). Tada preslikavanje f je neprekidno ako i samo ako je f -1(V) otvoren skup u X, za svaki otvoren skup V u X′. Definicija 1.3.4. Neprekidno preslikavanje f: (X, 𝜏𝜏) → (X′,𝜏𝜏′) zove se faktorsko preslikavanje ako je skup f -1 (V) ⊆ X otvoren (zatvoren) ako i samo ako je skup V ⊆ X′ otvoren (zatvoren). Definicija 1.3.5. Preslikavanje f: (X,𝜏𝜏) → (X′,𝜏𝜏′) je otvoreno (zatvoreno) ako je slika svakog otvorenog (zatvorenog) skupa, takođe, otvoreni (zatvoreni) skup. Definicija 1.3.6. Neprekidno preslikavanje f: (X,𝜏𝜏) → (X′,𝜏𝜏′) prostora X na prostor X′, koje je “1 – 1” i čije je inverzno preslikavanje f -1 neprekidno, zove se homeomorfzam ili topološko preslikavanje. Definicija 1.3.7. Dva prostora (X,𝜏𝜏) i (X′,𝜏𝜏′) su homeomorfna ako postoji homeomorfizam prostora (X,𝜏𝜏) na prostor (X′,𝜏𝜏′).

7

Ako su dva prostora homeomorfna, piše se (X,𝜏𝜏) ≈ (X′,𝜏𝜏′), ili kraće X ≈ X′. Napomena 1.3.1. Relacija homeomorfnosti u klasi svih topoloških prostora je jedna relacija ekvivalencije. Zato sledi da se klasa svih topoloških prostora razlaže na kolekciju klasa ekvivalencije za relaciju ≈. Definicija 1.3.8. Ako dva prostora pripadaju jednoj istoj klasi ekvivalencije za relaciju ≈ , reći će se da su ti prostori topolški ekvivalentni ili da imaju isti topološki tip. Definicija 1.4.9. Svako svojstvo prostora koje imaju svi njemu ekvivalentni prostori zove se topolško svojstvo ili topološka invarijantna. Napomena 1.4.2. Dva homeomorfna topološka prostora se u topološkom smislu, ne mogu razlikovati. Pošto homeomorfizam uspostavlja uzajamno jednoznačnu korespondenciju između tačaka dva prostora i između otvorenih skupova tih prostora, svako svojstvo prostora definisano pomoću otvorenih skupova je topološko svojstvo. Zato se topologija često definiše kao nauka koja proučava topološka svojstva ili topološke invarijante topoloških prostora. Navedimo neke topološke invarijante: Svojstvo da prostor ima prebrojivu bazu okolina ili da ima prebrojivu topološku bazu su dve topološke invarijante; Postoje i numeričke topološke invarijante kao dimenzija prostora; Povezanost, kompaktnost, separabilnost topoloških prostora su takođe topološke invarijante. 1.4. Klasifikacije topoloških prostora Teorija topoloških prostora razvijala se kao i druge grane apstraktne matematike na sledeći način: primećujući sličnosti i ponavljanja gotovo istih argumenata u raznim situacijama, čime je usledilo popštavanje zajedničkih ideja i pojmova i stvaranje teorije koja sadrži polazne primere kao specijalne slučajeve. Defnicija 1.4.1. Za topološki prostor X kaže se da je T0 – prostor, i piše se 𝑋𝑋 ∈ T0 , ako za svake dve različite tačke važi da bar jedna od ovih tačaka ima okolinu koja ne sadrži drugu tačku. Defnicija 1.4.2. Za topološki prostor X kaže se da je T1 – prostor, i piše se X ∈ T1 , ako za svake dve različite tačke ovog prostora postoje okoline ovih tačaka takve da one ne sadrže drugu tačku. Defnicija 1.4.3. Za topološki prostor X kaže se da je T2 - prostor ili Hausdorfov prostor, i piše se 𝑋𝑋 ∈ T2, ako za svake dve različite tačke ovog prostora postoje disjunktne okoline. Definicija 1.4.4. Za topološki prostor X kaže se da je T4 - prostor ili normalan prostor, i piše se X ∈ T4, ako za svaka dva zatvorena i disjunktna skupa iz X postoje disjunktne okoline ovih skupova.

8

1.5. Konvergencija u topološkim prostorima Definicija 1.5.1. Neka je (X, τ) topološki prostor. Za niz (𝑥𝑥𝑛𝑛 )𝑛𝑛∈ ℕ iz X kažemo da konvergira ka x u X, i pišemo(𝑥𝑥𝑛𝑛 )𝑛𝑛∈ ℕ → x, ako za svaku okolinu U tačke x postoji 𝑛𝑛0= 𝑛𝑛0 (U) ∈ 𝐍𝐍, tako da za sve prirodne brojeve n ≥ 𝑛𝑛0 važi 𝑥𝑥𝑛𝑛 ∈ U. Tada kažemo da okolina tačke U sadrži skoro sve članove niza(𝑥𝑥𝑛𝑛 )𝑛𝑛∈ ℕ . Proširimo sada pojam niza, a zatim će nam trebati neki novi pojmovi. Definicija 1.5.2. Neka je dat skup X ≠ ∅ i relacija “≤ " tako da za svaka tri elementa x, y, z ∈ X važi: 1) x ≤ x (refleksivnost);

2) x ≤ y ⋀ y ≤ x ⇒ x = y (antisimetričnost); 3) x ≤ y ⋀ y ≤ z ⇒ x ≤ z (tranzitivnost).

Tada za uređeni par (X,≤) kažemo da je parcijalno (delimično) uređen skup. Definicja 1.5.3. Ako su svaka dva elementa parcijalno uređenog skupa (𝑋𝑋, ≤)

uporediva, tada za njega kažemo da je linearno (kompletno) uređen skup (lanac). Definicija 1.5.4. Neka je (D,≤) parcijalno uređen skup. Za (D, ≤) kažemo da je usmeren udesno (mreža) ako za svaka dva elementa 𝛼𝛼, 𝛽𝛽 skupa D, postoji element 𝛾𝛾 takođe iz D, tako da važi:

𝛾𝛾 ≥ 𝛼𝛼 ⋀ 𝛾𝛾 ≥ 𝛽𝛽. Definicija 1.5.5. Neka je (X, τ) topološki prostor i (D, ≤) usmeren skup. Tada svako preslikavanje 𝜑𝜑 : D → X zovemo uopšteni niz (mreža). Stavljajući 𝜑𝜑 (𝛼𝛼) = 𝑥𝑥𝛼𝛼 ∈ 𝑋𝑋 , uopšteni niz označavamo sa (𝑥𝑥𝛼𝛼)𝛼𝛼 ∈ D. Definicija 1.5.6. Kaže se da niz (𝑥𝑥𝛼𝛼)𝛼𝛼∈ D konvergira ka x ∈ X, i piše se (𝑥𝑥𝛼𝛼)𝛼𝛼∈ D → 𝑥𝑥, ako za svaku okolinu 𝑈𝑈, pri čemu je 𝑥𝑥 ∈ 𝑈𝑈, postoji 𝛼𝛼0 ∈ D, tako da za svako 𝛽𝛽 ∈ D, važi:

𝛽𝛽 ≥ 𝛼𝛼0 ⇒ 𝑥𝑥𝛽𝛽 ∈ 𝑈𝑈.

Teorema 1.5.1. U Hausdorfovim prostorima uopšteni niz može da konvergira najviše jednoj tački. Dokaz: Pretpostavimo suprotno, da uopšteni niz iz Hausdorfovog prostora (𝑥𝑥𝛼𝛼)𝛼𝛼∈ D ∈ X konvergira ka tačkama x, y ∈ X, i x ≠y. Dokažimo da je to nemoguće. Kako je X Hausdorfov prostor i x ≠y to postoje okoline U, 𝑥𝑥 ∈ U i V, y ∈ V takve da važi U ∩V = ∅. Međutim, iz pretpostavki da (𝑥𝑥𝛼𝛼)𝛼𝛼∈ D→x i (𝑥𝑥𝛼𝛼)𝛼𝛼∈ D→ y sledi: (1) (𝑥𝑥𝛼𝛼)𝛼𝛼∈ D → 𝑥𝑥 onda postoji 𝛼𝛼1 = 𝛼𝛼1(𝑈𝑈) ∈ 𝐷𝐷, za svako 𝛼𝛼 ∈ 𝐷𝐷 pri čemu je 𝛼𝛼 ≥ 𝛼𝛼1, onda je 𝑥𝑥𝛼𝛼 ∈ 𝐷𝐷 , (2) (𝑥𝑥𝛼𝛼)𝛼𝛼∈ D → 𝑦𝑦 onda postoji 𝛼𝛼2 = 𝛼𝛼2(𝑉𝑉) ∈ 𝐷𝐷, za svako 𝛼𝛼 ∈ 𝐷𝐷 pri čemu je 𝛼𝛼 ≥ 𝛼𝛼2, onda je 𝑥𝑥𝛼𝛼 ∈ 𝐷𝐷.

9

Skup D je usmeren udesno, pa za 𝛼𝛼1, 𝛼𝛼2 ∈ D postoji 𝛼𝛼0 ∈ D tako da važi 𝛼𝛼0 ≥ 𝛼𝛼1 i 𝛼𝛼0 ≥ 𝛼𝛼2 . Odavde, i iz (1) i (2) sledi 𝑥𝑥𝛼𝛼0 ∈ 𝑈𝑈 ∩V, što je u suprotnosti sa izborom okolina 𝑈𝑈 i V (𝑈𝑈 ∩ V = ∅). Teorema 1.5.2. Neka su X i Y topološki prostori i f: X → Y preslikavanje. Tada f je neprekidno u x ∈ X ako i samo ako za svaki niz (𝑥𝑥𝛼𝛼)𝛼𝛼∈ 𝐷𝐷 → 𝑥𝑥 važi:

(f (𝑥𝑥𝛼𝛼))𝛼𝛼∈ 𝐷𝐷 → 𝑓𝑓 (𝑥𝑥). Dokaz: (⇒): Neka je preslikavanje f neprekidno i (𝑥𝑥𝛼𝛼)𝛼𝛼∈ 𝐷𝐷 ∈ 𝑋𝑋 proizvoljan uopšteni niz. Iz neprekidnosti funkcije f u tački x ∈ 𝑋𝑋 sledi da za proizvoljnu okolinu V , f (x) ∈ 𝑉𝑉 postoji okolina U, x ∈ 𝑈𝑈 takva da je f (U) ⊆ V. Za tu okolinu U, iz konvergencije uopštenog niza (𝑥𝑥𝛼𝛼)𝛼𝛼∈ D → 𝑥𝑥 zaključujemo da postoji 𝛼𝛼0 = 𝛼𝛼0(𝑈𝑈) ∈ 𝐷𝐷 , tako da za svako 𝛼𝛼 ∈ 𝐷𝐷, pri čemu je 𝛼𝛼 ≥ 𝛼𝛼0(𝑈𝑈), važi 𝑥𝑥𝛼𝛼 ∈ 𝑈𝑈. Međutim, tada je i f (𝑥𝑥𝛼𝛼) ∈ 𝑓𝑓(𝑈𝑈) ⊆ 𝑉𝑉. Drugim rečima, za proizvoljnu okolinu V, f (x) ∈ 𝑉𝑉, postoji element 𝛼𝛼0 = 𝛼𝛼0(𝑉𝑉) ∈ 𝐷𝐷, tako da za svako 𝛼𝛼 ≥ 𝛼𝛼0(𝑉𝑉), važi 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝛼𝛼) ∈ 𝑉𝑉, tj . (f (𝑥𝑥𝛼𝛼))𝛼𝛼∈ D → 𝑓𝑓(𝑥𝑥), što je i trebalo dokazati. ( ⇐): Neka važi desna strana ekvivalencije. Pretpostavimo suprotno, da f nije neprekidna u x ∈ X. Tada postoji okolina V, f (x) ∈ V, takva da za svaku okolinu U, x ∈ U nije ispunjeno f (U) ⊆ V. Neka je ℬ𝑥𝑥 lokalna baza u x. Tada je (ℬ𝑥𝑥,≤ ) usmeren skup i, na osnovu prethodnog, važi da za svaki skup B lokalne baze ℬ𝑥𝑥 , i za svaku tačku tog skupa xB , važi :

f (𝑥𝑥𝐵𝐵) ∈ f (B)\ 𝑉𝑉.

Posmatrajmo sada uopšeni niz (𝑥𝑥𝐵𝐵)𝐵𝐵∈ℬ𝑥𝑥 . Kako važi da niz (𝑥𝑥𝐵𝐵)𝐵𝐵∈𝐵𝐵𝑥𝑥 konvergira ka x, tada po pretpostavci mora biti da niz (𝑓𝑓 (𝑥𝑥𝐵𝐵)𝐵𝐵∈𝐵𝐵𝑥𝑥) konvergira ka tački f (x). Međutim, za odabranu okolinu V, pri čemu je f (x) iz V, važi f (𝑥𝑥𝐵𝐵) ∉ 𝑉𝑉, odakle sledi da (𝑓𝑓 (𝑥𝑥𝐵𝐵)𝐵𝐵∈𝐵𝐵𝑥𝑥) ne konvergira ka f (x), što je u kontradikciji sa ranije dokazanim. Do kontradikcije nas je dovela pretpostavka da funkcija f nije neprekidna u x ∈ X. Dakle, funkcija f je neprekidna u x ∈ 𝑋𝑋 .

10

GLAVA 2

Risovi prostori

2.1. Osobine Risovih prostora

U matematičkim modelima ekonomije koriste se realni parcijalno uređeni vektorski prostori. Uređeni realni vektorski prostori, sa određenim dodatnim osobinama, jesu Risovi1 prostori. Imamo u vidu samo realne vektorske prostore, te ovu činjenicu nećemo posebno naglašavati.

Definicija 2.1.1. Neka je X vektorski prostor. Parcijalno uređenje na X, ≤, biće kompatibilno sa algebarskom strukturom prostora X, ako važe sledeća svojstva:

(1) Za svaka tri elementa x, y, z ∈ X važi: 𝑥𝑥 ≥ 𝑦𝑦 ⇒ 𝑥𝑥 + 𝑧𝑧 ≥ 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧;

(2) Za svaka dva elementa x, y ∈ X, i svako λ ∈ R, λ ≥ 0 važi : x ≥ y ⇒ λx ≥ λy.

Tada je (X, ≤) uređen vektorski prostor.

Možemo izvesti neke očigledne zaključke:

Ako je x, y ∈ X i x ≤ y, onda je ravnopravna oznaka y ≥ x.

Ako je x ≤ y i x ≠ y, onda je x < y, ili, ekvivalentno y > x.

Elemenat x ∈ X je pozitivan, ako je x ≥ 0. Skup svih pozitivnih elemenata u (X, ≤) označen je sa 𝑋𝑋+.

Ako je x ≥ 0, onda je x + (−x) ≥ −x, odnosno 0 ≥ −x. Slično, ako je x ≤ y, onda je – x ≥ − y.

Definicija 2.1.2. Neka je X vektorski prostor, i neka je K ⊂ X. Skup K je konveksan konus, ako važi:

(1) K + K ⊂ K;

(2) Za svako λ ∈ R, λ ≥ 0, je λK ⊂ K;

(3) K ∩ (−K) = {0}.

Jednostavno je dokazati sledeći rezultat.

1 Frigyes Riesz (1880-1956), mađarski matematičar

11

Teorema 2.1.1. Neka je (X, ≤) uređen vektorski prostor, i neka je 𝑋𝑋+skup svih pozitivnih elemenata u X. Tada je 𝑋𝑋+ konveksan konus.

U vektorskom prostoru sa konusom definiše se na prirodan način parcijalno uređenje.

Teorema 2.1.2. Neka je K konveksan konus uređenog vektorskog prostora (X, ≤). Definišemo relaciju ≤ na X na sledeći način:

x ≤ y ako i samo ako y − x ∈ K.

Tada je ≤ parcijalno uređenje na X, a K je skup pozitivnih elemenata u odnosu na uređenje ≤ .

Posmatrajmo neka važna svojstva uređenog vektorskog prostora (X, ≤) i skupa A koji je podskup u X.

Elemenat m ∈ X je gornja granica skupa A, ako za svako a ∈ A važi a ≤ m.

Elemenat u ∈ X je supremum skupa A, ako je u najmanja gornja granica skupa A, odnosno ako u je gornja granica skupa A, i ako je b gornja granica skupa A tada je u ≤ b.

Analogno, n ∈ X je donja granica skupa A, ako za svako a ∈ A važi n ≤ a.

Elemenat v ∈ X je infimum skupa A, kako je v najveća donja granica skupa A, odnosno ako je v donja granica skupa A, i ako je c donja granica skupa A onda je c ≤ v.

Supremum skupa A se označava sa sup A, a infimum skupa A je označen sa inf A.

Ako je A proizvoljan skup uređenog vektorskog prostora (X, ≤), onda ne moraju postojati donje ili gornje granice skupa A. U slučaju da postoje donje i gornje granice skupa A, ne sledi da obavezno postoje inf A ili sup A.

Definicija 2.1.3. Neka je (X, ≤) uređen vektorski prostor. Ako za svaki konačan podskup A skupa X postoji sup A ∈ X, tada je X Risov prostor, ili vektorska rešetka.

Teorema 2.1.3. Neka je (X, ≤) uređen vektorski prostor. X je Risov prostor, ako i samo ako za svaka dva elementa x, y ∈ X postoji sup{x, y} ∈ X.

Sada dokazujemo teoremu o dualnosti postojanja supremuma i infimuma u uređenom vektorskom prostoru.

Teorema 2.1.4. Neka je (X, ≤) uređen vektorski prostor. X je Risov prostor, ako i samo ako za svaka dva vektora x, y ∈ X postoji inf {𝑥𝑥, 𝑦𝑦} ∈ X.

12

Dokaz: Neka je X Risov prostor, i neka je 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ X. Prema pretpostavci, postoji 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠{−𝑥𝑥, −𝑦𝑦 } = 𝑧𝑧.

Neka je w = −z. Kako je −x, −y ≤ z, sledi da je x, y ≥ −z = w. Dakle, w je donja granica skupa {x, y}.

Neka je u bilo koja donja granica skupa {x, y}. Tada je u ≤ x, y, te je –u ≥ −x, −y. Sledi da je −u gornja granica skupa {−x,−y}.

Sa druge strane z je najmanja gornja granica skupa {−x,−y}, te je z ≤ −u, odnosno u ≤ w. Dokazali smo da je w najveća donja granica skupa {x, y}, odnosno w = inf {x, y}∈ X.

Drugi deo dokaza sledi analogno.

Koriste se i jednostavnije oznake supremuma i infimuma skupova u Risovim

prostorima.

Neka je x, y,𝑥𝑥1, . . . , 𝑥𝑥𝑛𝑛∈ X i neka je K ⊂ X. Tada je:

x ∨ 𝑦𝑦 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠{x, y} i ⋁ 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖=1 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 {𝑥𝑥1, . . . , 𝑥𝑥𝑛𝑛},

x ∧ 𝑦𝑦 = 𝑖𝑖𝑛𝑛𝑓𝑓{x, y} i ⋀ 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖=1 = 𝑖𝑖𝑛𝑛𝑓𝑓{𝑥𝑥1, . . . , 𝑥𝑥𝑛𝑛}.

Ako postoji supremum skupa K u X, onda je:

sup K = ⋁ 𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 ∈ 𝑋𝑋.

Analogno, ako postoji infimum skupa K u X, onda je :

inf K =⋀ 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 ∈ 𝑋𝑋.

U skladu sa novim oznakama, formulišemo jednostavan rezultat.

Teorema 2.1.5. Ako je X Risov prostor, tada za svako x, y ∈ X važi

𝑥𝑥 ∧ 𝑦𝑦 = −�(−𝑥𝑥) ∨ (−𝑦𝑦)� 𝑖𝑖 𝑥𝑥 ∨ 𝑦𝑦 = −�(−𝑥𝑥) ∧ (−𝑦𝑦)� .

Definicija 2.1.4. Neka je X Risov prostor, i neka je 𝑥𝑥 ∈ 𝑋𝑋. Tada:

-pozitivan deo elementa 𝑥𝑥 jeste 𝑥𝑥+ = 𝑥𝑥 ∨ 0,

-negativan deo elementa 𝑥𝑥 jeste 𝑥𝑥− = −𝑥𝑥 ∨ 0,

-apsolutna vrednost elementa 𝑥𝑥 jeste |𝑥𝑥| = 𝑥𝑥 ∨ (−𝑥𝑥).

13

Smatramo ⋁ i ⋀ operacije višeg prioriteta od operacije + i – u Risovim prostorima.

Dakle,

𝑥𝑥 + y ∧ z = x + ( y ∧ z ),

𝑥𝑥 −𝑦𝑦 ∨ z = x − ( 𝑦𝑦 ∨ z ), za svako 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧 ∈ 𝑋𝑋.

Operacije ⋀ i ⋁ su ravnopravne sa operacijom množenja vektora skalarom, te pišemo precizno

(𝜆𝜆𝑥𝑥) ∧ 𝑦𝑦 i 𝑥𝑥 ∨ (𝜆𝜆𝑦𝑦), za 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ 𝑋𝑋 , λ ∈ 𝐑𝐑.

Teorema 2.1.6. (Fundamentalni identiteti) Neka je X Risov prostor, i neka je 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧 ∈ 𝑋𝑋 i λ ∈ 𝐑𝐑. Tada je:

(1) x + y ∨ z = (x + y) ∨ (x + z), (2) x – y ∧ z = (x−y) ∨ (x−z) i x − y ∨ z = (x − y) ∧ (x − z);

(3) x ∨ y = (x − y)+ + y = (y − x)+ + x;

(4) λ(x ∨ y) = (λx) ∨ (λy) i λ(x ∧ y) = (λx) ∧ (λy) , λ ≥ 0;

(5) |λx| = |λ||x|;

(6) x ∨ y = 12 (x + y + |x − y|) i x ∧ y = 1

2 (x + y − |x − y|);

(7) x + y = x ∨ y + x ∧ y;

(8) x = x+ − x− i x+ ∧ x− = 0;

(9) |x| = x+ + x−;

(10) |x| = 0 ako i samo ako x = 0;

(11) |x − y| = x ∨ y − x ∧ y;

(12) |x + y| ∨ |x − y| = |x| + |y|;

(13) |x| ∨ |y| = 12 (|x + y| + |x − y|);

(14) |x| ∧ |y| = 12 ||x + y| − |x − y||.

14

Dokaz: 1)Neka je t = y ∨ z. Tada je y ≤ t i z ≤ t, te je x + y ≤ x + t i x + z ≤ x + t. Sledi da je x + t gornja granica za x + y i x + z. Pretpostavimo da je s proizvoljna gornja granica za x + y i x + z, odnosno neka je x + y ≤ s i x + z ≤ s. Tada je y ≤ s − x i z ≤ s − x.Tada je t = y ∨ z ≤ s − x, odnosno x + t ≤ s.

Dakle, x + t je najmanja gornja granica za x + y i x + z, odnosno: x + t = (x + y) ∨ (x + z).

2) Drugi deo ovog tvrdenja se dokazuje analogno.

3) Na osnovu same definicije pozitivnog dela nekog elementa važi:

(x − y)+ + y = (x − y) ∨ 0 + y = (x − y + y) ∨ (0 + y) = x ∨ y.

4) Ako je λ = 0, onda je ovo tvrđenje trivijalno. S toga, predpostavimo da je 𝜆𝜆 > 0. Na osnovu x ≤ x ∨ y i y ≤ x ∨ y, sledi da je λx ≤ λ(x ∨ y) i λy ≤ λ(x ∨ y).

Dakle, λ(x ∨ y) je gornja granica za λx i λy, te je (λx) ∨ ( λy) ≤ λ(x ∨ y).

Sada neka je t gornja granica za λx i λy , odnosno za λx ≤ 𝑡𝑡 i λy ≤ 𝑡𝑡.

Tada je 𝑥𝑥 ≤ 𝑡𝑡 𝜆𝜆⁄ i 𝑦𝑦 ≤ 𝑡𝑡 𝜆𝜆⁄ , odakle sledi da je (x ⋁ y) ≤ 𝑡𝑡 𝜆𝜆⁄ . Proizilazi i da je λ(x ∨ y) najmanja gornja granica za λx i λy .

(5) Pretpostavimo da je λ ≥ 0. Tada, po definiciji apsolutne vrednosti vektora, kao i prema upravo dokazanom tvrđenju (4), važi:

|λx| = (λx) ∨ (−λx) = λ(x ∨ (−x)) = |λ||x|.

Neka je sada λ < 0. Tada je −λ = |λ|, i važi:

|λx| = (λx) ∨ (−λx) = −λ((−x) ∨ x) = |λ||x|.

(6) Koristimo definiciju apsolutne vrednosti vektora, kao i tvrđenje (4):

12

(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + |𝑥𝑥 − 𝑦𝑦|) =12

�𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦) ∨ (𝑦𝑦 − 𝑥𝑥)� =12

�(2𝑥𝑥) ∨ (2𝑦𝑦)� = 𝑥𝑥 ∨ 𝑦𝑦.

Slično, koristimo tvrđenje (2):

12

(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 − |𝑥𝑥 − 𝑦𝑦|) = 12

�𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦) ∨ (𝑦𝑦 − 𝑥𝑥)� = 12

�(2𝑥𝑥) ∧ (2𝑦𝑦)� = 𝑥𝑥 ∧ 𝑦𝑦.

(7) Ovo tvrđenje sledi direktno sabiranjem dobijenih jednakosti u tvrđenju (6).

(8) Neka je y = 0 u (7), a zatim iskoristimo odnos supremuma i infimuma:

x = x ∨ 0 + x ∧ 0 = x ∨ 0−�(−𝑥𝑥) ∨ 0� = 𝑥𝑥+ − 𝑥𝑥−.

15

Takođe,

x+∧ x−= (x+ − x−+ x−) ∧ x−= (x+ − x−) ∧ 0 + x−= x ∧ 0 + x− = −((−x) ∨ 0) + x−= −x−+ x−= 0.

(9) Na osnovu definicije apsolutne vrednosti, kao i tvrđenja (4) i (8), proizilazi:

|x| = x ∨ (−x) = �(2𝑥𝑥) ∨ 0� − 𝑥𝑥 = 2(𝑥𝑥 ∨ 0) − (𝑥𝑥+ − 𝑥𝑥−) = 2 𝑥𝑥+ − (𝑥𝑥+ − 𝑥𝑥−)= 𝑥𝑥+ + 𝑥𝑥−.

(10) Ako je x = 0, onda je |x| = x ∨ 0 = 0. Ako je |x| = 0, onda je x+ + x− = 0.

Kako je x+, x− ∈ X + i X + je konveksan konus:

Iz x+ = −x− sledi x+ = x− = 0, te je i x = x+ − x− = 0.

(11) Koristeći dokazana tvrđenja proizilazi da važi:

|x − y| = �(𝑥𝑥 – 𝑦𝑦) ∨ (𝑦𝑦 − 𝑥𝑥)�

=x + y − (x + y)

= (2x) ∨ (2y) − (x ∨ y + x ∧ y)

=2(x ∨ y) − (x ∨ y + x ∧ y)

= (x ∨ y) − (x ∧ y).

(12) Nakon svega dokazanog, sledi:

|x + y| ∨ |x − y| = ((x + y) ∨ (−x − y)) ∨ ((x − y) ∨ (y − x))

= ((x + y) ∨ (x−y)) ∨ ((−x−y) ∨ (y−x))

= ( x + (y ∨ (−y)) ∨ (− x + ((−y) ∨ y))

= (x + |y|) ∨ (−x + |y|) = (x ∨ (−x)) + |y|

= |x| + |y|.

(13) Kako bi dokazali ovo tvrđenje, koristimo tvrđenje (6).

(14) Koristimo redom tvrđenja (11), (7), (12), (7):

�|𝑥𝑥 + 𝑦𝑦| − |𝑥𝑥 − 𝑦𝑦|� = |𝑥𝑥 + 𝑦𝑦| ∨ |𝑥𝑥 − 𝑦𝑦| − |𝑥𝑥 + 𝑦𝑦| ∧ |𝑥𝑥 − 𝑦𝑦| =|𝑥𝑥 + 𝑦𝑦| ∨ |𝑥𝑥 − 𝑦𝑦| − (|𝑥𝑥 + 𝑦𝑦| + |𝑥𝑥 − 𝑦𝑦| − |𝑥𝑥 + 𝑦𝑦| ∨ |𝑥𝑥 − 𝑦𝑦|) =2(|𝑥𝑥 + 𝑦𝑦| ∨ |𝑥𝑥 − 𝑦𝑦|) − (|𝑥𝑥 + 𝑦𝑦| + |𝑥𝑥 − 𝑦𝑦|)

16

=2(|𝑥𝑥| + |𝑦𝑦|) − 2(|𝑥𝑥| ∨ |𝑦𝑦|) =2(|𝑥𝑥| ∧ |𝑦𝑦|).

Teorema 2.1.7. Neka je X Risov proctor, A ⊂ X i x ∈ X.

(1) Ako postoji sup A, onda postoji i sup (x + A), pri čemu važi jednakost: x + sup A = sup (x + A).

(2) Ako postoji inf A, onda postoji i inf (x + A), pri čemu važi:

x + inf A = inf (x + A).

(3) Ako postoje sup A i inf A, onda važe sledće formule:

x − sup A = inf (x –A),

x − inf A = sup (x − A),

λ · sup A = sup (λA),

λ · inf A = inf (λA), ako je λ ≥ 0.

Koristeći dobijene rezultate, dobijamo uzajamnu distributivnost supremuma i infimuma.

Teorema 2.1.8. Neka je X Risov prostor, A ⊂ X i x ∈ X.

(1) Ako postoji sup A, onda postoji i sup{x ∧ a : a ∈ A}, pri čemu važi:

x ∧ sup A = sup{x ∧ a : a ∈ A}.

(2) Ako postoji inf A, onda postoji i inf {x ∨ a : a ∈ A}, pri čemu važi:

x ∨ inf A = inf {x ∨ a : a ∈ A}.

(3) Specijalno, ako je A = {a1, . . . , an}, onda važe formule:

x ∧ (⋁ 𝑎𝑎𝑖𝑖)𝑛𝑛𝑖𝑖=1 =⋁ (𝑥𝑥 ∧ 𝑎𝑎𝑖𝑖)𝑛𝑛

𝑖𝑖=1 , i x ˅ (⋀ 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖=1 )=⋀ (𝑥𝑥 ˅ 𝑎𝑎𝑖𝑖

𝑛𝑛𝑖𝑖=1 ).

Dokaz: Neka je x ∈ X i s = sup A.

Tada je za svako a ∈ A ispunjeno:

x ∧ a ≤ x, x ∧ a ≤ a ≤ s.

Dakle, x ∧ a ≤ x ∧ s za svako a ∈ A, odnosno x ˄ s je gornja granica skupa

{𝑥𝑥 ∧ 𝑎𝑎 ∶ 𝑎𝑎 ∈ 𝐴𝐴}.

17

Neka je t ∈ X proizvoljna gornja granica skupa {x ∧ a : a ∈ A}. Tada je x ∧ a ≤ t za svako a ∈ A. Iskoristimo dokazanu jednakost:

x + a − x ∨ a = x ∧ a.

Dakle, x + a − x ∨ a ≤ t za svako a ∈ A.

Sledi da je a ≤ t + x ∨ a −x ≤ t + x ∨ s − x za svako a ∈ A.

Sledi da je t + x ∨ s − x gornja granica skupa A, te je

s ≤ t + x ∨ s − x.

Još jednom iskoristimo formulu : x ∧ s = x + s − x ∨ s, odakle sledi x ∧ s ≤ t.

Proizilazi da je x ∧ s najmanja gornja granica skupa {x ∧ a : a ∈ A}, odnosno

sup{x ∧ a : a ∈ A} = x ∧ sup A.

Preostala tvrđenja dokazuju se analogno.

Dokazujemo važnu Birkofovu2 teoremu.

Teorema 2.1.9. (Birkofov identitet) Neka je X Risov prostor, i neka je x, y, z ∈ X. Tada važ i:

|x ∨ z − y ∨ z| + |x ∧ z − y ∧ z| = |x − y|.

Dokaz : Koristimo redom sledeće nejednakosti iz Teoreme 2.1.6, (11), distributivnost, (7) i (11) :

|x ∨ z − y ∨ z| + |x ∧ z − y ∧ z|=

= �(𝑥𝑥 ∨ 𝑧𝑧) ∨ (𝑦𝑦 ∨ 𝑧𝑧) − (𝑥𝑥 ∨ 𝑧𝑧) ∧ (𝑦𝑦 ∨ 𝑧𝑧)� + ((𝑥𝑥 ∧ 𝑧𝑧) ∨ (𝑦𝑦 ∧ 𝑧𝑧) − (𝑥𝑥 ∧ 𝑧𝑧) ∧ (𝑦𝑦 ∧ 𝑧𝑧))

=�𝑧𝑧 ∨ (𝑥𝑥 ∨ 𝑦𝑦) − 𝑧𝑧 ∨ (𝑥𝑥 ∧ 𝑦𝑦)� + �𝑧𝑧 ∧ (𝑥𝑥 ∨ 𝑦𝑦) − 𝑧𝑧 ∧ (𝑥𝑥 ∧ 𝑦𝑦)�

=�𝑧𝑧 ∨ (𝑥𝑥 ∨ 𝑦𝑦) + 𝑧𝑧 ∧ (𝑥𝑥 ∨ 𝑦𝑦)� − �𝑧𝑧 ∨ (𝑥𝑥 ∧ 𝑦𝑦) + 𝑧𝑧 ∧ (𝑥𝑥 ∧ 𝑦𝑦)�

=(𝑧𝑧 + 𝑥𝑥 ∨ 𝑦𝑦) − �𝑧𝑧 + (𝑥𝑥 ∧ 𝑦𝑦)�

= 𝑥𝑥 ∨ 𝑦𝑦 − 𝑥𝑥 ∧ 𝑦𝑦

= |𝑥𝑥 − 𝑦𝑦|.

Koristeći prethodne rezultate u mogućnosti smo da formulišemo i dokažemo važne nejednakosti na Risovim prostorima.

18

Teorema 2.1.10. Neka je X Risov prostor i neka je x ,y, z, 𝑥𝑥1,...𝑥𝑥𝑛𝑛 ∈ 𝑋𝑋. Tada važi:

(1) 𝑥𝑥 ≤ 𝑦𝑦 ⇒ (𝑥𝑥+ ≤ 𝑦𝑦+ 𝑖𝑖 𝑦𝑦− ≤ 𝑥𝑥−);

(2) ||𝑥𝑥| − |𝑦𝑦| | ≤ |𝑥𝑥 + 𝑦𝑦| ≤ |𝑥𝑥| + |𝑦𝑦| (nejednakost trougla);

(3)|𝑥𝑥 ∨ 𝑧𝑧 − 𝑦𝑦 ∨ 𝑧𝑧| ≤ |𝑥𝑥 − 𝑦𝑦| i |𝑥𝑥 ∧ 𝑧𝑧 − 𝑦𝑦 ∧ 𝑧𝑧| ≤ |𝑥𝑥 − 𝑦𝑦| (ova nejednakost je inače poznata kao Birkofova nejednakost );

(4) x,𝑥𝑥1, . . . , xn ∈ 𝑋𝑋+⇒ x ∧ (𝑥𝑥1 + · · · + xn ) ≤ x ∧ x1+· · ·+ x ∧ xn .

Ako za svako i ≠ j važi x ∧ xi ∧ xj = 0, onda prethodna nejednakost postaje jednakost:

(4) n(𝑥𝑥1+∧ …∧ 𝑥𝑥𝑛𝑛

+)= n(𝑥𝑥1 ∧ · · · ∧ xn)+ ≤ (𝑥𝑥1+… + xn)+.

Dokaz: (1) Neka je x ≤ y. Tada je x ≤ y ≤ y ∨ 0 = y+. Kako je i 0 ≤ y+, sledi da je x+

= x ∨ 0 ≤ y+. Iz −y ≤ −x sledi, analogno y+ ≤ x.

(2) Očigledno važi : 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 ≤ |𝑥𝑥| + |𝑦𝑦|, kao i −(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦) = −𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 ≤ |𝑥𝑥| + |𝑦𝑦|. Stoga je :

|𝑥𝑥 + 𝑦𝑦| = (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦) ∨ (−(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)) ≤ |𝑥𝑥| + |𝑦𝑦|. Kako bi pokazali drugu nejednakost, primetimo da važi |x| = |(x + y) −y| ≤ |x + y| + |y|, Odakle sledi nejednakost:

|𝑥𝑥| − |𝑦𝑦| ≤ |𝑥𝑥 + 𝑦𝑦|. Analogno dokazujemo nejednakost :

|𝑦𝑦| − |𝑥𝑥| ≤ |𝑥𝑥 + 𝑦𝑦|, te je :

||𝑥𝑥| − |𝑦𝑦| |=(|𝑥𝑥| − |𝑦𝑦|) ∨ (|𝑦𝑦| − |𝑥𝑥|) ≤ |𝑥𝑥 + 𝑦𝑦|. (3) Neposredno slede iz Birkofovog identiteta.

(4) Neka je x, 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2 ∈ 𝑋𝑋+.

Jednostavnosti radi, neka je y = x ∧ (𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2).

Tada je y ≤ 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2, odakle sledi da je y − 𝑥𝑥1 ≤ 𝑥𝑥2.

Takođe je y − 𝑥𝑥1 ≤ y ≤ x, te je y − 𝑥𝑥1 ≤ x ∧ 𝑥𝑥2. Sledi da je y − x ∧ 𝑥𝑥2 ≤ 𝑥𝑥1. Koristeći nejednakost y − x ∧ 𝑥𝑥2 ≤ y ≤ x dobijamo:

y − x ∧ 𝑥𝑥2 ≤ x ∧ 𝑥𝑥1 i y ≤ x ∧ 𝑥𝑥1+ x ∧ x2.

Ako je x ∧ 𝑥𝑥1 ∧ 𝑥𝑥2 = (x ∧ 𝑥𝑥1) ∧ (x ∧ 𝑥𝑥2) = 0, onda na osnovu

19

x ∧ (𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ) ≤ x ∧ 𝑥𝑥1 + x ∧ 𝑥𝑥2 = (x ∧ 𝑥𝑥1) ∨ (x ∧ 𝑥𝑥2) + (x ∧ 𝑥𝑥1∧ 𝑥𝑥2)

= (x ∧ 𝑥𝑥1) ∨ (x ∧ 𝑥𝑥2)

= x ∧ (𝑥𝑥1∨ 𝑥𝑥2) ≤ x ∧ (𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2),

sledi da važi:

x ∧ (𝑥𝑥1∧ 𝑥𝑥2) = x ∧ 𝑥𝑥1 + x ∧ 𝑥𝑥2.

Primetimo da smo iskoristili činjenicu:

𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = 𝑥𝑥1 ∨ 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥1 ∧ 𝑥𝑥2 ≥ 𝑥𝑥1 ∨ 𝑥𝑥2 ako je x1 ≥ 0 i 𝑥𝑥2 ≥ 0.

Opšti slučaj dokazuje se indukcijom po n.

(5) Na osnovu nejednakosti:

n(𝑥𝑥1 ∧…∧ xn) ≤ 𝑥𝑥1 + …+ xn ⇒ n(𝑥𝑥1 ∧…∧ xn) ≤ (𝑥𝑥1 + …+ xn)+.

Primetimo da važi:

n(𝑥𝑥1+∧ · · · ∧ 𝑥𝑥𝑛𝑛

+ ) = 𝑛𝑛[(𝑥𝑥1 ∨ 0) ∧ … ∧ (𝑥𝑥𝑛𝑛 ∨ 0)]

= 𝑛𝑛[(𝑥𝑥1 ∧ 𝑥𝑥2 ∧ … ∧ 𝑥𝑥𝑛𝑛 ) ∨ 0]

= 𝑛𝑛(𝑥𝑥1 ∧ 𝑥𝑥2 ∧ … ∧ 𝑥𝑥𝑛𝑛)+.

Time je dokaz završen.

2Garrett Birkhoff (1911–1996), američki matematičar

20

2.2. Razdvojeni vektori

Pojmu ortogonalnosti vektora u Risovim prostorima odgovara razdvojenost vektora.

Definicija 2.2.1. Neka je X Risov prostor, i neka je x, y ∈ X. Vektori x i y su uzajmno razdvojeni ili ortogonalni, u oznaci x ⊥ y, ako je |x| ∧ |y| = 0.

Ako je A, B ⊂ X, onda su A i B uzajamno razdvojeni, u oznaci A ⊥ B, ako za svako a ∈ A i svako b ∈ B važi a ⊥ b.

Vektor x ∈ X je razdvojen u odnosu na C u oznaci x ⊥ C, ako za svako c ∈ C važi x ⊥ c, pri čemu je C ⊂ X.

Teorema 2.2.1. Neka je X Risov prostor i x, y, z ∈ X i λ, µ ∈ R i A ⊂ X. Važe sledeća tvrđenja:

(1) Ako je x ⊥ y i x ⊥ z, onda je x ⊥ (λy + µz);

(2) x ⊥ y ako i samo ako je |x + y| = |x − y|;

(3) Ako je x ⊥ y, onda je |𝑥𝑥 + 𝑦𝑦| = |𝑥𝑥 − 𝑦𝑦| = |𝑥𝑥| + |𝑦𝑦| = �|𝑥𝑥| − |𝑦𝑦|� = |𝑥𝑥|˅|𝑦𝑦|.

(4) Ako se skup A sastoji od uzajamno razdojenih nenula vektora, tada je skup A linearno nezavisan.

Dokaz: (1) Pretpostavimo da je x ⊥ y i x ⊥ z. Tada je :

0≤ |𝑥𝑥| ⋀|𝜆𝜆𝑦𝑦 + µ𝑧𝑧| ≤ |𝑥𝑥| ⋀(|𝜆𝜆𝑦𝑦| + |µ𝑧𝑧|)

=|𝑥𝑥| ⋀ (|𝜆𝜆||𝑦𝑦| + |𝜇𝜇||𝑧𝑧|) ≤ |𝑥𝑥 | ⋀ (|𝜆𝜆||𝑦𝑦|) + |𝑥𝑥| ⋀ (|𝜇𝜇||𝑧𝑧|)

≤ (1 + |𝜆𝜆|)|𝑥𝑥| (1 + |𝜆𝜆|)|𝑦𝑦| + (1 + |𝜇𝜇|)|𝑧𝑧|

= (1 + |𝜆𝜆|)(|𝑥𝑥| ⋀ |𝑦𝑦|) + (1 + |𝜇𝜇|)(|𝑥𝑥| ⋀ |𝑧𝑧|)

=(1 + |𝜆𝜆|)0 + (1 + |𝜇𝜇|)0 = 0.

Stoga je |𝑥𝑥| ⋀ |𝜆𝜆𝑦𝑦 + µ𝑧𝑧| = 0, odnosno x ⊥ (λy + µz)

(2) Primetimo da smo ranije dokazali identitet: |𝑥𝑥| ⋀ |𝑦𝑦| = 12

|𝑥𝑥 + 𝑦𝑦| − |𝑥𝑥 − 𝑦𝑦|.

Na osnovu ovog identiteta odmah sledi da je: x ⊥ y ⇔ |𝑥𝑥| ⋀ |𝑦𝑦| = 0 ⇔ |𝑥𝑥 + 𝑦𝑦| = |𝑥𝑥 − 𝑦𝑦|.

(3) Pretpostavimo da je ispunjeno x ⊥ y. Tada je∶ |𝑥𝑥| − |𝑦𝑦|= |𝑥𝑥| + |𝑦𝑦|. Primenimo isti zaključak na vektore |𝑥𝑥| i |𝑦𝑦| :

21

�|𝑥𝑥| − |𝑦𝑦|� = �|𝑥𝑥 + 𝑦𝑦|� = |𝑥𝑥| + |𝑦𝑦|=|𝑥𝑥| ∨ |𝑦𝑦| + |𝑥𝑥| ∧ |𝑦𝑦| = |𝑥𝑥| ∨ |𝑦𝑦|.

Sada je :

|𝑥𝑥 + 𝑦𝑦| = |𝑥𝑥 − 𝑦𝑦| = |𝑥𝑥 + 𝑦𝑦| ∨ |𝑥𝑥 − 𝑦𝑦| = |𝑥𝑥| + |𝑦𝑦|.

(4) Pretpostavim da su 𝑥𝑥1 . . , 𝑥𝑥𝑛𝑛 ∈ A uzajamno razdvojeni vektori, i neka je 𝛼𝛼1𝑥𝑥1+…+ 𝛼𝛼𝑛𝑛xn = 0 za neke skalare, 𝛼𝛼1 . . . , αn ∈ R. Koristimo sada prethodnu činjenicu da za razdvojene vektore nejednakost trougla u stvari jeste jednakost, te je

0 = | 𝛼𝛼1𝑥𝑥1+…+ 𝛼𝛼𝑛𝑛𝑥𝑥𝑛𝑛| = |𝛼𝛼1𝑥𝑥1 | +…+ |𝛼𝛼𝑛𝑛𝑥𝑥𝑛𝑛| = |𝛼𝛼1|𝑥𝑥1| +…+ |𝛼𝛼𝑛𝑛||𝑥𝑥𝑛𝑛|.

Odavde sledi da je |𝛼𝛼𝑖𝑖||xi| = 0 za svako i = 1, . . . , n. Kako je |xi|> 0 za svako i, sledi da je α 𝛼𝛼𝑖𝑖= 0 za svako i. Dakle, vektori 𝑥𝑥1 . . , 𝑥𝑥𝑛𝑛 su linearno nezavisni.

U istraživanjima u vezi Risovih prostora fundamentalnu ulogu ima Risova osobina o dekompoziciji.

Teorema 2.2.2. (Risova teorema o dekompoziciji) Neka je X Risov prostor, i x, 𝑦𝑦1, . . , 𝑦𝑦𝑛𝑛∈ X, tako da je |x| ≤ |𝑦𝑦1+ · · · + 𝑦𝑦𝑛𝑛|. Tada postoje elementi 𝑥𝑥1, . . . , 𝑥𝑥𝑛𝑛∈ X, tako da je |xi| ≤ |yi| za svako i, kao i x = 𝑥𝑥1 + · · · + 𝑥𝑥𝑛𝑛.

Osim toga, ako je x pozitivan vektor, onda se može podesiti da su i vektori 𝑥𝑥1 . . , 𝑥𝑥𝑛𝑛 takođe pozitivni.

Dokaz: Dokazaćemo tvrđenje za n = 2, a ostatak sledi indukcijom po n.

Neka je x,𝑦𝑦1, 𝑦𝑦2 ∈ 𝑋𝑋 i |𝑥𝑥| ≤ |𝑦𝑦1 + 𝑦𝑦2|. Neka je 𝑥𝑥1 = �𝑥𝑥 ∨ (−|𝑦𝑦1|)� ∧ |𝑦𝑦1|. Na osnovu nejednakosti – |𝑦𝑦1| ≤ 𝑥𝑥 ∨ (−|𝑦𝑦1|) i − |𝑦𝑦1| ≤ |𝑦𝑦1|, sledi da je −|𝑦𝑦1| ≤ 𝑥𝑥1, odnosno −𝑥𝑥1 ≤ |𝑦𝑦1|. Sa druge strane, iz x1 ≤ |𝑦𝑦1| sledi |𝑥𝑥1| = (−𝑥𝑥1) ∨ 𝑥𝑥1 ≤ |𝑦𝑦1|. (Ako bi dodatno bilo x ≥ 0, onda bi važilo x ∨ (−|𝑦𝑦1|) = x, te je x ≥ x1 = x ∧ |𝑦𝑦1| ≥ 0.) Neka je 𝑥𝑥2 = x−𝑥𝑥1. (Još jednom, ako je x ≥ 0, onda je 0 ≤ 𝑥𝑥2 ≤ x). Tada je:

𝑥𝑥2 = x – (𝑥𝑥 ∨ (−|𝑦𝑦1|)) ∧ |𝑦𝑦1| = (0 ∧ (𝑥𝑥 + |𝑦𝑦1|)) ∨ (x −|𝑦𝑦1|).

Kako je |x| ≤ |𝑦𝑦1| + |𝑦𝑦2|, sledi da je: |−𝑦𝑦1| − |𝑦𝑦2| ≤ x ≤ |𝑦𝑦1| + |𝑦𝑦2|. Stoga je:

−|y2| = (−|𝑦𝑦2|) ∧ 0 ≤ (x + |𝑦𝑦1|) ∧ 0 ≤ 𝑥𝑥2

= (0 ∧ (𝑥𝑥 + |𝑦𝑦1|)) ∨ (x − |𝑦𝑦1|) ≤ 0 ∨ (x − |𝑦𝑦1|) ≤ |𝑦𝑦2|.

22

2.3 Solidni podskupovi Risovih prostora

Definicija 2.3.1. Neka je X Risov prostor, i neka je S ⊂ X. Skup S je solidan, ako važi implikacija:

(𝑥𝑥 ∈ 𝑋𝑋 i 𝑦𝑦 ∈ 𝑆𝑆 i |𝑥𝑥| ≤ |𝑦𝑦| ⇒ 𝑥𝑥 ∈ 𝑆𝑆).

Skup S je balansiran, ako za svako λ ∈ [0, 1] i svako x ∈ S važi λx ∈ S. Ako je S solidan skup u Risovom prostoru X, onda je S balansiran skup.

Na osnovu očigledne nejednakosti |x| ≤ |x|, ako je S solidan skup, onda trivijalno važi ekvivalencija: x ∈ S ako i samo ako |x| ∈ S.

Definicija 2.3.2. Neka je X Risov prostor i neka je A ⊂ X. Solidna obvojnica skupa A u X jeste skup:

Sol(A) = {y ∈ X, tako da postoji element x skupa A, tako da je |y| ≤ |x|}.

Sledeće tvrđenje opisuje najmanji solidan skup koji sadržii proizvoljan podskup Risovog prostora.

Teorema 2.3.1. Neka je X Risov prostor i neka je A ⊂ X. Tada je Sol(A) najmanji solidan skup koji sadrzi skup A.

Dokaz: Sol(A) je trivijalno solidan skup u X. Neka je S bilo koji solidan skup u X, za koji važi A ⊂ S. Neka je y ∈ Sol(A). Tada postoji x ∈ A ⊂ S, tako da je |y| ≤ |x|. Skup S je solidan, te je y ∈ S. Dakle, Sol(A) ⊂ S.

Definicija 2.3.3. Neka je X Risov prostor i A ⊂ X. Konveksna obvojnica skupa A u X jeste skup:

Co(A) = {x ∈ X, tako da postoje elementi 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2 , … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 ∈ 𝐴𝐴 , i postoje realni brojevi za koje je 𝜆𝜆1, 𝜆𝜆2 , … , 𝜆𝜆𝑛𝑛 ∈ [0,1) i ∑ 𝜆𝜆𝑖𝑖

𝑛𝑛𝑖𝑖=1 = 1, tako da je x=∑ 𝜆𝜆𝑖𝑖

𝑛𝑛𝑖𝑖=1 𝑥𝑥𝑖𝑖 } .

Dokazujemo važan rezultat o konveksnoj obvojnici solidnog skupa.

Teorema 2.3.2. (Namioka) Neka je X Risov prostor, i neka je S solidan podskup od X. Tada je konveksna obvojnica od S, odnosno skup Co(S) takođe solidan u X.

Dokaz: Neka je S solidan podskup od X, i neka je x ∈ 𝐶𝐶𝐶𝐶(𝑆𝑆) i neka je y ∈ X sa svojstvom |y| ≤ |x|. Tada, postoje vektori 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2 , … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 ∈ 𝑆𝑆 i skalari 𝜆𝜆1, 𝜆𝜆2 , … , 𝜆𝜆𝑛𝑛 ∈ [0,1),sa svojstvom ∑ 𝜆𝜆𝑖𝑖

𝑛𝑛𝑖𝑖=1 = 1, tako da je x=∑ 𝜆𝜆𝑖𝑖

𝑛𝑛𝑖𝑖=1 𝑥𝑥𝑖𝑖 .

Bez gubljenja opštosti neka je 𝜆𝜆𝑖𝑖 ≥ 0, za svako 𝑖𝑖 = 1, … 𝑛𝑛.

23

Kako je |y| ≤ |x| =|∑ 𝜆𝜆𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖=1 𝑥𝑥𝑖𝑖| , na osnovu Risove dekompozicije, sledi da postoje vektori

𝑦𝑦1, 𝑦𝑦2 … , 𝑦𝑦𝑛𝑛 ∈ 𝑋𝑋 tako da je: |𝑦𝑦𝑖𝑖| ≤ |𝜆𝜆𝑖𝑖𝑥𝑥𝑖𝑖| = 𝜆𝜆𝑖𝑖|𝑥𝑥𝑖𝑖|, za svako 𝑖𝑖 = 1, … 𝑛𝑛, i 𝑦𝑦 = |∑ 𝑦𝑦𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖=1 |.

Neka je 𝑧𝑧𝑖𝑖 = 1𝜆𝜆𝑖𝑖

𝑦𝑦𝑖𝑖. Na osnovu |𝑧𝑧𝑖𝑖| ≤ |𝑥𝑥𝑖𝑖|, sledi ja je 𝑧𝑧𝑖𝑖 ∈ 𝑆𝑆, za svako 𝑖𝑖 = 1, … 𝑛𝑛.

S toga je, 𝑦𝑦 = ∑ 𝑦𝑦𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖=1 = ∑ 𝜆𝜆𝑖𝑖

𝑛𝑛𝑖𝑖=1 𝑧𝑧𝑖𝑖 ∈ 𝐶𝐶𝐶𝐶(𝑆𝑆), odnosno 𝐶𝐶𝐶𝐶(𝑆𝑆) je solidan skup.

Razmatraćemo pojam uređajne konvergencije mreža na Risovim prostorima.

Neka je X Risov prostor, i neka je (𝑥𝑥𝛼𝛼)𝛼𝛼∈Ʌ rastuća mreža.

Drugim rečima, ako je α, β ∈ Λ i α ≤ β, tada je 𝑥𝑥𝛼𝛼 ≤ 𝑥𝑥𝛽𝛽. Pri tome vodimo računa da smo istim simbolom ≤ označili uređenje u indeksnom skupu Ʌ i u Risovom prostoru X. Mreža je (𝑥𝑥𝛼𝛼)𝛼𝛼∈Ʌ opadajuća, ako iz α ≤ β sledi 𝑥𝑥𝛼𝛼 ≥ 𝑥𝑥𝛽𝛽 .

Ako je (𝑥𝑥𝛼𝛼)𝛼𝛼∈Ʌ rastuća mreža u Risovom prostoru, i ako postoji x = sup{𝑥𝑥𝛼𝛼: α ∈ Λ}, onda je oznaka 𝑥𝑥𝛼𝛼↑ x.

Ako je (𝑥𝑥𝛼𝛼)𝛼𝛼∈Ʌ opadajuća mreža u Risovom prostoru, i ako postoji x = inf{𝑥𝑥𝛼𝛼: α ∈ Λ}, onda je oznaka 𝑥𝑥𝛼𝛼↓ x.

Definišemo konvergenciju mreže u odnosu na uređenje (uređajnu konvergenciju) u Risovom prostoru.

Definicija 2.3.4. Neka je X Risov prostor, neka je x ∈ X i neka je (𝑥𝑥𝛼𝛼)𝛼𝛼∈Ʌ mreža u

X. Mreža (𝑥𝑥𝛼𝛼)𝛼𝛼∈Ʌ konvergira ka x u odnosu na uređenje (uređajno konvergira), u oznaci 𝑜𝑜→ x,

ako postoji mreža (𝑦𝑦𝛼𝛼)∝∈Ʌ , tako da je 𝑦𝑦𝛼𝛼↓ 0 i |x − a| ≤ 𝑦𝑦𝛼𝛼 , za svako α ∈ Λ. U tom slučaju je x uređajna granica (𝑥𝑥𝛼𝛼)𝛼𝛼∈Ʌ.

Napominjemo da, u prethodnoj definiciji zahtevamo isti usmeren skup Λ za mreže(𝑥𝑥𝛼𝛼)𝛼𝛼∈Ʌ i (𝑦𝑦𝛼𝛼)𝛼𝛼∈Ʌ.

Dokazujemo da je uređajna granica mreže jedinstveno određena.

Teorema 2.3.3. Neka je X Risov prostor. Ako mreža (𝑥𝑥𝛼𝛼)𝛼𝛼∈Ʌ uređajno konvergira onda postoji tačno jedna uređajna granica ove mreže.

Dokaz: Pretpostavimo da je 𝑥𝑥𝛼𝛼𝑜𝑜→ 𝑥𝑥 i 𝑥𝑥𝛼𝛼

𝑜𝑜→ 𝑦𝑦 .Tada postoje mreže (𝑠𝑠𝛼𝛼) i (𝑣𝑣𝛼𝛼) sa

svojstvom 𝑠𝑠𝛼𝛼 ↓ 0 𝑖𝑖 𝑣𝑣𝛼𝛼 ↓ 0 , kao i |𝑥𝑥𝛼𝛼 − 𝑥𝑥| ≤ 𝑠𝑠𝛼𝛼 i |𝑥𝑥𝛼𝛼 − 𝑦𝑦| ≤ 𝑣𝑣𝛼𝛼 , za svako 𝛼𝛼. Tako da za svako 𝛼𝛼 važi:

|𝑥𝑥 − 𝑦𝑦| ≤ |𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝛼𝛼| + |𝑥𝑥𝛼𝛼 − 𝑦𝑦| ≤ 𝑠𝑠𝛼𝛼 + 𝑣𝑣𝛼𝛼 .

Kako je (𝑠𝑠𝛼𝛼 + 𝑣𝑣𝛼𝛼) ↓ 0 , sledi da je |𝑥𝑥 − 𝑦𝑦| = 0 , te je 𝑥𝑥 = 𝑦𝑦.

24

Dokazujemo osnovna svojstva uređajne konvergencije u Risovim prostorima.

Teorema 2.3.4. Neka je X Risov prostor i neka za mreže (𝑥𝑥𝛼𝛼)𝛼𝛼∈Ʌ i (𝑦𝑦𝛽𝛽)𝛽𝛽∈𝛥𝛥 važi da

𝑥𝑥𝛼𝛼𝑜𝑜→ 𝑥𝑥 i 𝑦𝑦𝛽𝛽

𝑜𝑜→ 𝑦𝑦. Tada važe sledeća tvrđenja:

(1) |𝑥𝑥𝛼𝛼|𝑜𝑜→ |𝑥𝑥|;

(2) 𝜆𝜆𝑥𝑥𝛼𝛼 + 𝜇𝜇𝑦𝑦𝛽𝛽 𝑜𝑜→ 𝜆𝜆𝑥𝑥 + 𝜇𝜇𝑦𝑦;

(3) 𝑥𝑥𝛼𝛼+ 𝑜𝑜

→ 𝑥𝑥+ 𝑖𝑖 𝑥𝑥𝛼𝛼 −

𝑜𝑜→ 𝑥𝑥−;

(4) 𝑥𝑥𝛼𝛼⋁ 𝑦𝑦𝛽𝛽𝑜𝑜→ 𝑥𝑥 ⋁ 𝑦𝑦 𝑖𝑖 𝑥𝑥𝛼𝛼 ⋀ 𝑦𝑦𝛽𝛽

𝑜𝑜→ 𝑥𝑥 ⋀ 𝑦𝑦.

Napominjemo da u tvrđenjima (2) i (3) ove teoreme kao indeksni skup koristimo Ʌ× 𝛥𝛥. Podsetimo se da ovaj skup jeste usmeren u odnosu na uređenje:

(𝛼𝛼1, 𝛽𝛽1) ≤ (𝛼𝛼2, 𝛽𝛽2) ⇔ (𝛼𝛼1 ≤ 𝛼𝛼2 𝑖𝑖 𝛽𝛽1 ≤ 𝛽𝛽2).

Dokaz : Postoje mreže (𝑥𝑥∝)∝∈Ʌ i (𝑦𝑦𝛽𝛽)𝛽𝛽∈𝛥𝛥 tako da važi :

|𝑥𝑥𝛼𝛼 − 𝑥𝑥| ≤ 𝑥𝑥𝛼𝛼 ↓ 0 i �𝑦𝑦𝛽𝛽 − 𝑦𝑦� ≤ 𝑣𝑣𝛽𝛽 ↓ 0

(1) Na osnovu nejednakosti trougla važi:

�|𝑥𝑥𝛼𝛼| − |𝑥𝑥|� ≤ |𝑥𝑥𝛼𝛼 − 𝑥𝑥| ≤ 𝑥𝑥𝛼𝛼 ↓ 0. Prema tome, |𝑥𝑥𝛼𝛼|𝑜𝑜→ |𝑥𝑥|.

(2) Važi: �𝜆𝜆𝑥𝑥𝛼𝛼 + 𝜇𝜇𝑦𝑦𝛽𝛽 − 𝜆𝜆𝑥𝑥 − 𝜇𝜇𝑦𝑦� ≤ |𝜆𝜆||𝑥𝑥𝛼𝛼 − 𝑥𝑥| + |𝜇𝜇|�𝑦𝑦𝛽𝛽 − 𝑦𝑦� ≤ |𝜆𝜆|𝑥𝑥𝛼𝛼 + |𝜇𝜇|𝑣𝑣𝛽𝛽 .

Nije teško proveriti da važi (|𝜆𝜆|𝑠𝑠𝛼𝛼 + |𝜇𝜇|𝑣𝑣𝛽𝛽) ↓ 0, odakle sledi da je �𝜆𝜆𝑥𝑥𝛼𝛼 + 𝜇𝜇𝑦𝑦𝛽𝛽�𝑜𝑜→ 𝜆𝜆𝑥𝑥 + 𝜇𝜇𝑦𝑦.

(3) Iz 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥+ − 𝑥𝑥− i |𝑥𝑥| = 𝑥𝑥+ + 𝑥𝑥−, sledi da je 𝑥𝑥+ = 1

2(|𝑥𝑥| + 𝑥𝑥) i 𝑥𝑥− = 1

2(|𝑥𝑥| − 𝑥𝑥).

Na osnovu tvrđenja (1) i (2) sledi:

𝑥𝑥𝛼𝛼+ =

12

(|𝑥𝑥𝛼𝛼| + 𝑥𝑥𝛼𝛼) 𝑜𝑜→

12

( |𝑥𝑥| + 𝑥𝑥) = 𝑥𝑥+.

Drugi deo tvrđenja se dokazuje analogno.

(4) Podsetimo se sledećih identiteta:

x ∨ 𝑦𝑦 = 12

(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + |𝑥𝑥 − 𝑦𝑦|) i 𝑥𝑥 ∧ 𝑦𝑦 = 12

(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 − |𝑥𝑥 − 𝑦𝑦|). Na osnovu dokazanih tvrđenja (1) i (2) sledi:

𝑥𝑥∝ ∨ y = 12

�𝑥𝑥𝛼𝛼 + 𝑦𝑦𝛽𝛽 + �𝑥𝑥𝛼𝛼 − 𝑦𝑦𝛽𝛽�� 𝑜𝑜→ 1

2(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + |𝑥𝑥 − 𝑦𝑦|) = 𝑥𝑥 ∨ 𝑦𝑦 .

Drugo se tvrđenje dokazuje analogno.

25

Teorema 2.3.5. Neka je X Risov prostor, i neka je (𝑥𝑥𝛼𝛼)𝛼𝛼∈Ʌ mreža u X. Tada važe tvrđenja:

(1) Ako 𝑥𝑥𝛼𝛼 ↑ 0 ili 𝑥𝑥𝛼𝛼 ↓ 0, onda 𝑥𝑥𝛼𝛼𝑜𝑜→ 0;

(2) Ako 𝑥𝑥𝛼𝛼 ↑ x ili 𝑥𝑥𝛼𝛼 ↓ x, onda 𝑥𝑥𝛼𝛼𝑜𝑜→ x;

(3) Neka postoji 𝛼𝛼1∈ Λ tako da je za svako α ≥ 𝛼𝛼1 ispunjeno 𝑥𝑥𝛼𝛼 ≤ z, onda je x ≤ z;

(4) Ako je 𝑥𝑥𝛼𝛼𝑜𝑜→ x, onda je x ≤ 𝑧𝑧;

(5) Ako je 𝑥𝑥𝛼𝛼 ↑ i 𝑥𝑥𝛼𝛼𝑜𝑜 → x, onda 𝑥𝑥∝ ↑ x.

Dokaz:

(1) Pretpostavimo da je 𝑥𝑥𝛼𝛼 ↑ 0, onda je trivijalno |𝑥𝑥𝛼𝛼 − 0| ≤ −𝑥𝑥𝛼𝛼 ↑ 0, odakle sledi 𝑥𝑥𝛼𝛼 𝑜𝑜→ 0.

Drugi deo tvrđenja je analogan.

(2) Pretpostavimo da je 𝑥𝑥𝛼𝛼 ↑ x. Pretpostavimo da je 𝑥𝑥𝛼𝛼 = 𝑥𝑥𝛼𝛼 − 𝑥𝑥. Tada je 𝑦𝑦𝛼𝛼𝑜𝑜→ 0 , odakle

sledi 𝑥𝑥𝛼𝛼 𝑜𝑜→ x. Drugo tvrđenje sledi analogno.

(3) Pretpostavimo da je za svako α ≥ 𝛼𝛼1 ispunjen uslov 𝑥𝑥𝛼𝛼 ≤ z, kao i 𝑥𝑥𝛼𝛼 𝑜𝑜→ x. Neka je x > z

i pri tome α ≥ 𝛼𝛼1. Tada je x − z > 0 i z −𝑥𝑥𝛼𝛼 ≥ 0.

S toga je x −𝑥𝑥𝛼𝛼 = x − z + z −𝑥𝑥𝛼𝛼 ≥ x − z.

Postoji mreža (𝑠𝑠𝛼𝛼)𝛼𝛼 tako da je |x −𝑥𝑥𝛼𝛼| = x − 𝑥𝑥𝛼𝛼 ≤ u ↓ 0.

Tada sledi da je (x − z) ≤ 𝑠𝑠𝛼𝛼 ↓ 0, te je x = z.

Sledi da nije moguće x > z, te mora biti x ≤ 𝑧𝑧.

(4) Neka je 𝑥𝑥𝛼𝛼↑ i 𝑥𝑥𝛼𝛼𝑜𝑜→ x. Pretpostavimo da je x < 𝑥𝑥1 za neko 𝛼𝛼1 ∈ Λ. Tada za svako α ≥ 𝛼𝛼1

važi 𝑥𝑥𝛼𝛼> x. Prema (3), ne može biti 𝑥𝑥𝛼𝛼 𝑜𝑜→ x. Stoga je i 𝑥𝑥𝛼𝛼 ≤ x za svako α ∈ Λ. Dakle, x je

gornja granica skupa {𝑥𝑥𝛼𝛼 : α ∈ Λ}. Pretpostavimo da je z bilo koja druga granica skupa {𝑥𝑥𝛼𝛼 : α ∈ Λ}. Tada je i 𝑥𝑥𝛼𝛼 ≤ z za svako α ∈ Λ. Prema (3), mora biti x ≤ z odnosno x je najmanja gornja granica skupa {𝑥𝑥𝛼𝛼 : α ∈ Λ}. Dakle, 𝑥𝑥𝛼𝛼 ↑ x.

Neka je X Risov prostor i neka je M ⊂ X. Skup M je uređajno zatvoren, ako M sadrži uređajne granice svih svojih uređajno konvergentih mreža. Drugim rečima, M je uređajno zatvoren, ako za svaku mrežu (𝑥𝑥𝛼𝛼)𝛼𝛼∈Ʌ u M sa svojstvom 𝑥𝑥𝛼𝛼 → x, važi x ∈ M.

Ako je (Λ, ≤) ≡ (N, ≤), odnosno usmereni skup je skup prirodnih brojeva sa prirodnim uređenjem, onda dobijamo slabiju vrstu uređajne konvergencije. Neka je (xn)n niz u Risovom

26

prostoru X. Niz (xn)n uređajno konvergira ka x ∈ X, ako postoji niz (yn)n tako da je yn ↓ 0 i

|xn − x| ≤ yn za svako n ∈ N. Oznaka je xn 𝑜𝑜→ x.

Skup M je σ-zatvoren u X, ako M sadrži uređajne granice svih svojih uređajno konvergentnih nizova. Drugim rečima, M je σ-uređajno zatvoren, ako za svaki niz (xn)n u M sa svojstvom

xn 𝑜𝑜→ x, važi x ∈ M.

Skup N je specijalno usmeren skup. Stoga svaki uređajno zatvoren skup mora biti i uređajno σ-zatvoren. Obrnuto tvrđenje, u opštem slučaju, ne važi.

Jednostavno je opisati uređajnu zatvorenost solidnih skupova.

Teorema 2.3.6. Neka je X Risov prostor, i neka je S solidan skup u X. Sledeća tvrđenja su ekvivalentna:

(1) S je uređajno zatvoren;

(2) Za svaku mrežu (𝑥𝑥𝛼𝛼)𝛼𝛼∈Ʌ u S, ako je 0 ≤ 𝑥𝑥𝛼𝛼↑ x, onda x ∈ S.

Dokaz: (1) ⇒ (2) Dokaz očegledno sledi iz uređajne zatvorenosti skupa S.

(2) ⇒ (1) Predpostavimo da važi svostvo (2), i neka je (𝑥𝑥𝛼𝛼)𝛼𝛼∈Ʌ proizvoljna mreža u S sa

svojstvom 𝑥𝑥𝛼𝛼𝑜𝑜→ 𝑥𝑥. Postoji mreža (𝑦𝑦𝛼𝛼)𝛼𝛼∈Ʌ sa svojstvom 𝑦𝑦𝛼𝛼 ↓ 0 i |𝑥𝑥𝛼𝛼 − 𝑥𝑥| ≤ 𝑦𝑦𝛼𝛼 , za svako 𝛼𝛼.

Primetimo da je: 0 ≤ (|𝑥𝑥| − 𝑦𝑦𝛼𝛼)+. Iz 𝑦𝑦𝛼𝛼 ↓ 0 sledi (|𝑥𝑥| − 𝑦𝑦𝛼𝛼) ↑ |𝑥𝑥|, te je i (|𝑥𝑥| − 𝑦𝑦𝛼𝛼)+ ↑ |𝑥𝑥|

Na osnovu 𝑦𝑦𝛼𝛼 ↓ 0 sledi y ≥ 0, te je |y| = y.

Sada je ||x| −𝑥𝑥𝛼𝛼|| ≤ ||𝑥𝑥| − |𝑥𝑥𝛼𝛼| |≤ |x −𝑥𝑥𝛼𝛼| ≤ |𝑦𝑦𝛼𝛼|, te je |x| −𝑦𝑦𝛼𝛼 = |x| −|𝑦𝑦𝛼𝛼| ≤ |𝑥𝑥𝛼𝛼|.

Sledi da je (|x| −𝑦𝑦𝛼𝛼)+ ≤ |𝑦𝑦𝛼𝛼|.

Kako je 𝑥𝑥𝛼𝛼∈ S, i skup S je solidan, sledi da je (|x| −𝑦𝑦𝛼𝛼)+ ∈ S za svako α. Na osnovu (|x| −𝑦𝑦𝛼𝛼) ↑ |x| i osobine (2) sledi da je |x| ∈ S. Još jednom, x ≤ |x| i S je solidan skup, te je x ∈ S. Na taj način je dokazano da je S uređajno zatvoren skup.

27

2.4. Ideali, trake i Risovi potprostori

Razmatramo specijalne vektorske potprostore Risovih prostora.

Definicija 2.4.1. Neka je X Risov prostor, i neka je Y vektorski potprostor od X.

Ako je Y solidan, onda je Y ideal u X.

Ako je Y ideal u X, i ako je Y uređajno σ-zatvoren, onda je 𝜎𝜎-ideal u X.

Ako je Y ideal u X, i ako je Y uređajno zatvoren, onda je Y traka u X.

Dokazujemo nekoliko jednostavnih tvrđenja.

Teorema 2.4.1. Ako je X Risov prostor i ako su M, N ideali u X, onda je M + N ideal u X.

Dokaz: M i N su vektorski potprostori od X, te je trivijalno M + N vektorski potprostor od X i neka je x ∈ X i y ∈ M + N, tako da je x ≤ |y|. Tada je y = u + v, pri čemu je u ∈ M i v ∈ N. Sledi da je x ≤ |u + v|. Na osnovu Risove teoreme o dekompoziciji, postoje vektori 𝑠𝑠1 ∈ M i 𝑣𝑣1 ∈ N, tako da je 𝑥𝑥 = 𝑠𝑠1 +𝑣𝑣1, |𝑠𝑠1| ≤ |u| i |𝑣𝑣1| ≤ v. Skupovi 𝑀𝑀 i 𝑁𝑁 su solidni te važi : 𝑠𝑠1 ∈ M i 𝑣𝑣1 ∈ N. Dakle, x = 𝑠𝑠1 + 𝑣𝑣1 ∈ M + N. Proizilazi da je M + N solidan skup, te je M + N ideal u X.

Teorema 2.4.2. Neka je M ideal u Risovom prostoru. Tada je:

(1) M je traka, ako i samo ako: iz 0 ≤ x ↑ x i x ∈ M za svako 𝛼𝛼 ∈ Λ, sledi x ∈ M;

(2) M je σ-ideal, ako i samo ako: iz 0 ≤ xn ↑ x i xn ∈ M za svako n ∈ N, sledi x ∈ M.

Dokaz: (1) Neka je M ideal u X. Važi sledeći lanac ekvivalencija: M je traka, ako i samo ako M je uređajno zatvoren, ako i smo ako M sadrži supremume svih rastućih mreža u M.

(2) Analogno sa (1).

Neka je M podskup Risovog prostora X. Presek svih ideala u X, koji sadrže skup M jeste:

Ideal (M)=⋂ 𝑌𝑌 𝑌𝑌 𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑗𝑗𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑢𝑢 𝑥𝑥𝑀𝑀⊂𝑌𝑌

.

Teorema 2.4.3. Ideal(M) je najmanji ideal koji sadrži M.

Dokaz: Ideal(M) je očigledno vektorski potprostor od X, jer je definisan kao presek vektorskih prostora. Takođe, Ideal(M) je solidan skup, jer je definisan kao presek solidnih skupova. Sledi da je Ideal(M) ideal u X. Ideal(M) je ideal generisan skupom M.

28

Definicija 2.4.2. Element e ∈ X je uređajna jedinica (stroga jedinica) ako je e > 0 i Ideal(e) = X.

Ekvivalento, e >0 je uređajna jedinica u X, ako za svako x ∈ X postoji λ > 0 tako da je

|x| ≤ λe (ili, takođe ekvivalentno, x ≤ λe).

Teorema 2.4.4. Ako je M ⊂ X, onda je

Idea (M )= �𝑥𝑥 ∈ 𝑋𝑋 | za 𝑥𝑥1,𝑥𝑥2, … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 ∈ 𝑀𝑀, postoji 𝜆𝜆 ≥ 0, tako da je |𝑥𝑥| ≤ 𝜆𝜆 ∑ |𝑥𝑥𝑖𝑖|𝑛𝑛𝑖𝑖=1 �.

Dokaz: Označimo sa N skup na desnoj strani:

N=�𝑥𝑥 ∈ 𝑋𝑋 | za 𝑥𝑥1 ,𝑥𝑥2, … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 ∈ 𝑀𝑀 , postoji 𝜆𝜆 ≥ 0, tako da je |𝑥𝑥| ≤ 𝜆𝜆 ∑ |𝑥𝑥𝑖𝑖|𝑛𝑛𝑖𝑖=1 �.

Očigledno je M ⊂ N (n = 1, 𝑥𝑥1 = 𝑥𝑥 ∈ 𝑀𝑀).

Neka je x, y ∈ 𝑁𝑁, 𝛼𝛼, 𝛽𝛽 ∈ 𝐑𝐑 .Tada postoje 𝑥𝑥1 ,𝑥𝑥2, … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 ∈ 𝑀𝑀 i λ ≥ 0, tako da je

|𝑥𝑥| ≤ 𝜆𝜆 ∑ |𝑥𝑥𝑖𝑖|𝑛𝑛𝑖𝑖=1 . Takođe, postoje 𝑦𝑦1 , 𝑦𝑦2, … , 𝑦𝑦𝑚𝑚 ∈ 𝑀𝑀 i λ ≥ 0, tako da je|𝑦𝑦| ≤ 𝜇𝜇 ∑ |𝑦𝑦𝑖𝑖|.𝑚𝑚

𝑖𝑖=1

Neka je 𝛾𝛾 = 𝑚𝑚𝑎𝑎𝑥𝑥{𝜆𝜆|𝛼𝛼| + 𝜇𝜇|𝛽𝛽|}.

Tada je |𝛼𝛼𝑥𝑥 + 𝛽𝛽𝑦𝑦| ≤ 𝛾𝛾(|𝑥𝑥1| + ⋯ + |𝑥𝑥𝑛𝑛| + |𝑦𝑦1| + ⋯ + |𝑦𝑦𝑚𝑚|).

Time je dokazano da je 𝛼𝛼𝑥𝑥 + 𝛽𝛽𝑦𝑦 ∈ 𝑁𝑁. Dakle, N je vektorski potprostor od X.

Neka je z ∈ 𝑋𝑋 sa svojstvom |𝑧𝑧| ≤ 𝑥𝑥. Tada je trivijalno |𝑧𝑧| ≤ 𝜆𝜆 ∑ |𝑥𝑥𝑖𝑖|𝑛𝑛𝑖𝑖=1 .

Ovim je dokazano da je N solidan skup. Dokazali smo da je N ideal koji sadrži skup M, te je Ideal(M) ⊂ N.

U cilju dokazivanja obrnute inkluzije, pretpostavimo da je Y proizvoljan ideal u X sa svojstvom M ⊂ Y. Neka je 𝑥𝑥 ∈ 𝑁𝑁. Kao u prethodnom delu važi |𝑥𝑥| ≤ 𝜆𝜆 ∑ |𝑥𝑥𝑖𝑖|𝑛𝑛

𝑖𝑖=1 , pri čemu je 𝑥𝑥1,𝑥𝑥2, … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 ∈ 𝑀𝑀 i λ ≥ 0. Kako je Y vektorski prostor,sledi da je 𝜆𝜆𝑥𝑥1 ,𝜆𝜆𝑥𝑥2, … , 𝜆𝜆𝑥𝑥𝑛𝑛 ∈ 𝑌𝑌. 𝑌𝑌 je solidan skup, te je x ∈ 𝑌𝑌. Dokazali smo da je N ⊂ Y. Proizilazi da je N sadržan u svakom idealu Y sa svojstvom M ⊂ Y. S toga je 𝑁𝑁 ⊂ 𝐼𝐼𝑑𝑑𝐼𝐼𝑎𝑎𝐼𝐼(𝑀𝑀).

Posledica 2.4.1. Ako je x ∈ 𝑋𝑋, 𝐶𝐶𝑛𝑛𝑑𝑑𝑎𝑎 𝑗𝑗𝐼𝐼 ∶

Ideal (x)={𝑦𝑦 ∈ 𝑋𝑋 | postoji 𝜆𝜆 ≥ 0, tako da je |𝑦𝑦| ≤ 𝜆𝜆|𝑥𝑥|}

Definicija 2.4.3. Neka je X Risov prostor, i neka je Y vektorski potprostor od X. Y je Risov potporostor, ako je Y Risov prostor sam za sebe. Ekvivalentno, Y je Risov potprostor od X ako i samo ako za svako x, y ∈ Y važi x ∨ y ∈ Y, pri čemu je x ∨ y uzet kao supremum u X.

Dokazaćemo nekoliko jednostavnijih tvrđenja.

29

Teorema 2.4.5. Neka je Y vektorski potprostor Risovog prostora X. Y je Risov potprostor od X ako i samo ako za svako x ∈ Y važi x+ ∈ Y.

Dokaz: Pretpostavimo da je Y Risov potprostor od X. Neka je x ∈ Y je x+ = x ∨ 0 ∈ Y. Obratno, predpostavimo da za svako z ∈ Y važi z+ ∈ Y. Neka je x, y ∈ Y. Tada je (Teorema 2.1.6 (3)) x ∨ y = (x − y)+ + y. Po pretpostavci, (x − y)+

∈ Y. Takođe, Y je vektorski prostor, te je (x−y)+ + y ∈ Y. Time je dokazano x ∨ y ∈ Y, odakle sledi da je Y Risov potprostor.

Teorema 2.4.6. Ako je Y ideal u Risovom prostoru X, tada je Y Risov potprostor od X.

Dokaz: Y je solidan skup, te podsećamo na ekvivalenciju x ∈ Y ako isamo ako |x| ∈ Y. Ako je x ∈ Y, onda na osnovu 0 ≤ x+ ≤ |x| sledi x+ ∈ Y. Iz Teoreme 2.4.5 proizilazi da je Y Risov potprostor.

Obrnuto tvđenje ne važi u opštem slučaju, što pokazuje sledeći primer.

Primer 2.4.1. Posmatrajmo Risov prostor R2, pri čemu je uređenje koordinatno definisano. Dakle, (x, y) ≤ (u, v) ako i samo ako x ≤ u i y ≤ v.

Neka je Y = {(x, x) : x ∈ R}. Tada je Y Risov potprostor od R2 ali nije ideal u R2.

Nije teško dokazati sledeći rezultat.

Teorema 2.4.7. Neka je Y Risov potprostor Risovog prostora X. Sledeće tvrđenja su ekvivalentna:

(1) Y je ideal u X; (2) Za svako 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ 𝑋𝑋 takvi da 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝑦𝑦 𝑖𝑖 𝑦𝑦 ∈ 𝑌𝑌 ⇒ 𝑥𝑥 ∈ 𝑌𝑌.

Definicija 2.4.4. Neka je X Risov prostor, i neka je Y Risov potprostor od X. Utapanje Y⊂ X čuva proizvoljne supremume i infimume, ako za svaki podskup M ⊂ Y važi:

(1) Ako postoji y = sup M u Y, onda postoji i x = sup M u X, pri čemu je x = y;

(2) Ako postoji y = inf M u Y, onda postoji i x = inf M u X, pri čemu je x = y.

Analogno se definiše utapanje koje čuva supremume i infimume prebrojivih skupova.

Iz činjenice da je Y Risov podprostor sledi da utapanje Y ⊂ X čuva konačne supremume i infimume. Stoga prethodna definicija ima netrivijalnu primenu samo ako je M beskonačan skup.

30

Definicija 2.4.5. Neka je Y Risov potprostor Risovog prostora X.

(1) Y je regularan, ako utapanje Y ⊂ X čuva proizvoljne supremume i infimume;

(2) Y je σ-regularan, ako utapanje Y ⊂ X čuva supremume i infimume prebrojivih skupova;

(3) Y je majorirajući, ako za svako x ∈ X postoji y ∈ Y tako da je x ≤ y.

Teorema 2.4.8. Neka je X Risov prostor, i neka je Y Risov potprostor od X. Sledeća tvrđenja su ekvivalentna:

(1) Y je regularan Risov potprostor od X; (2) Ako je (𝑥𝑥𝛼𝛼)𝛼𝛼∈Ʌ u Y zadovoljava 𝑥𝑥𝛼𝛼 ↓ 0 u Y, onda je 𝑥𝑥𝛼𝛼 ↓ 0 i u X;

(3) Ako je (𝑥𝑥𝛼𝛼)𝛼𝛼∈Ʌ u Y zadovoljava 𝑥𝑥𝛼𝛼0→ 0 u Y, onda 𝑥𝑥𝛼𝛼

0→ 0 u Y i u X.

Dokaz : (1) ⇒ (2) : Neka je mreža (𝑥𝑥𝛼𝛼)𝛼𝛼∈Ʌu Y koja zadovoljava 𝑦𝑦𝛼𝛼 ↓ 0 u Y. Sledi da je (𝑥𝑥𝛼𝛼)𝛼𝛼∈Ʌ opadajuća mreža u Y, a samim tim i u X. Takođe, 0 =inf {𝑥𝑥𝛼𝛼 ∶ 𝛼𝛼 ∈ Ʌ} u Y. Kako je Y regularan, sledi da je 0 = inf {𝑥𝑥𝛼𝛼 ∶ 𝛼𝛼 ∈ Ʌ} u X, te je 𝑥𝑥𝛼𝛼 ↓ 0 u X.

(2) ⇒ (3) Pretpostavimo da mreža (𝑥𝑥𝛼𝛼)𝛼𝛼∈Ʌ u Y zadovoljava 𝑥𝑥𝛼𝛼0→ 0 𝑠𝑠 𝑌𝑌 . Tada postoji mreža

(𝑦𝑦𝛼𝛼)𝛼𝛼∈Ʌ u Y, tako da je |x − 𝑥𝑥𝛼𝛼|≤ 𝑦𝑦𝛼𝛼↓ 0 u Y. Prema pretpostavci (2), sledi da je 𝑦𝑦𝛼𝛼 ↓ 0 u Y u

X , te je 𝑥𝑥𝛼𝛼0→ 0 u X.

(3) ⇒ (1) Neka je M ⊂ Y i x = sup M u Y. Dokazaćemo da postoji mreža (𝑥𝑥𝛼𝛼)𝛼𝛼∈Ʌ u Y, sa

svojstvom 𝑥𝑥𝛼𝛼0→ 0 u Y. Ako je x ∈ M, onda se trivijalno može uzeti 𝑥𝑥𝛼𝛼= x, pri čemu je

𝛼𝛼 = x ∈ Y i Y je indeksni skup.

Pretpostavimo da x ∉ M. Neka je x1 ∈ M. Tada je x1 < x. Na osnovu osobina supremuma, postoji x2 ∈ M tako da je x1 < x2 < x. Ako takvo x2 ne bi postojalo, onda bi bilo x1 = sup M, što je po pretpostavci nemoguće. Na ovaj način konstruišemo prebrojiv niz (xn)n u Y sa

očiglednim svojstvom 𝑥𝑥𝛼𝛼0→ 𝑥𝑥 u Y. Prema pretpostavci (3) 𝑥𝑥𝛼𝛼

0→ 𝑥𝑥 u X, sledi da je x = sup M

u X.

Kao posledicu prethodne teoreme, formulišemo sledeći rezultat.

Posledica 2.4.2. Neka je X Risov prostor. Ako je Y ideal u X, onda je Y regularan Risov potprostor od X.

Razmatramo osobinu uređajne gustine.

31

Definicija 2.4.6. Neka je X Risov prostor, i neka je Y Risov potprostor od X. Tada:

(1) Y je uređajno gust u X ako za svako x ∈ X sa svojstvom x > 0, postoji y ∈ Y, tako da je

0 < y ≤ x;

(2) Y je super-uređajno gust u X, ako za svako x ∈ X sa svojstvom x > 0 postoji niz (yn)n u Y tako da 0 ≤ yn ↑ x u X.

Napomena 2.4.1. Svaki super-uređajno gust potprostor je i uređajno gust.

Teorema 2.4.9. Neka je X Risov prostor, i neka je Y Risov potprostor od X. Ako je Y uređajno gust u X, onda je Y regularan.

Dokaz: Pretpostavimo da je Y uređajno gust u X. Neka je (𝑦𝑦𝛼𝛼)𝛼𝛼 mreža koja zadovoljava uslov 𝑦𝑦𝛼𝛼 ↓ 0 u Y. Ako 𝑦𝑦𝛼𝛼↓ 0 ne važi u X, onda postoji x ∈ X, x > 0, tako da je 0 < x ≤ y za svako α. Kako je Y uređajno gust u X, sledi da postoji y ∈ Y sa svojstvom 0 < y ≤ x. Stoga za svako α važi 0 < y ≤ y u Y . Poslednje tvrđenje je u suprotnosti sa pretpostavkom 𝑦𝑦𝛼𝛼↓ 0 u Y. Prema Teoremi 2.4.8 sledi da je Y regularan Risov potprostor.

32

2.5. Razdvojeni komplementi

Podsetimo da u unitarnom prostoru na osnovu skalarnog proizvoda definišemo ortogonalnost vekotra, a zatim i ortogonalne komplemente skupova. U Risovim prostorima umesto ortogonalnosti vektora razmatramo razdvojene vektore. Na taj način dolazimo do pojma razdvojenih komplemenata.

Definicija 2.5.1. Neka je X Risov prostor i neka je M ⊂ X. Razdvojeni komplement skupa M u X jeste skup:

M d = {x ∈ X: za svako y ∈ M, važi x ⊥ y}.

Induktivno, (M d)d = M dd.

Teorema 2.5.1. Neka su M, N podskupovi Risovog prostora X. Tada važi:

(1) M d je traka u X; (2) M ∩ M d = {0}, M ⊂ M dd; (3) Ako je M ⊂ N, onda je N d ⊂ M d.

Dokaz: (1) Neka je x, y ∈ M d, α, β ∈ R, i neka je z ∈ M proizvoljan. Tada je z ⊥ x i z ⊥ y, odakle sledi z ⊥ (αx + βy).

Stoga je αx + βy ∈ M d, odnosno M d je vektorski potprostor od X.

Neka je (𝑥𝑥𝛼𝛼)𝛼𝛼∈Ʌ mreža u M d sa svojstvom 𝑥𝑥𝛼𝛼𝑜𝑜→ 𝑥𝑥.

Za proizvoljno 𝛼𝛼, neka je (𝑥𝑥𝛼𝛼)𝛼𝛼∈Ʌmreža u M d sa svojstvom 𝑥𝑥𝛼𝛼 𝑜𝑜→ x. Za proizvoljno z ∈M

važi x ⊥ z, odnosno |x| ∧ |z| = 0. Na osnovu osobina uređajne konvergencije, sledi da je ispunjeno

|x| ∧ |z| 𝑜𝑜→ |x| ∧ |z| = 0.

Proizilazi da je x ∈ M d, odnosno M je uređajno zatvoren.

Neka je x ∈ M d, w ∈ X i z ∈ M, tako da je |w| ≤ |x|. Tada je

(1) 0 ≤ |w| ∧ |z| ≤ |x| ∧ |z| = 0. Sledi da je w ∈ M d, odnosno M d je solidan skup. Time smo dokazali da je M d traka.

(2) Pretpostavimo da je x ∈ M ∩ M d. Tada je |x| = |x| ∧ |x| = 0, odakle sledi x = 0. Dakle, M ∩ M d = {0}. Po definiciji skupova M d i M dd sledi M ⊂ M dd. (3) Očigledno.

33

Teorema 2.5.2. Neka je X Risov prostor. Tada važi:

(1) Ako je Y ideal u X, tada je Y uređajno gust u Y dd.

(2) Neka je Y ideal u X. Y je uređajno gust u X ako i samo ako je Y d = {0}.

Dokaz: (1) Neka je Y ideal u X. Pretpostavimo da Y nije uređajno gust u Y dd. Tada postoji neko x ∈ Y dd, x > 0, tako da ni za jedno y ∈ Y ne važi 0 < y ≤ x. Neka je z ∈ Y proizvoljno, odakle sledi i |z| ∈ Y. Tada je 0 ≤ |z| ∧ x ≤ |z|. Kako je Y solidan skup, mora biti |z| ∧ x ∈ Y. Kako ne može biti 0< |z| ∧ x ≤ x, mora biti |z| ∧ x = 0, odnosno z ⊥ x. Sledi da je x ∈ Y d. Dakle, x ∈ Y d ∩ Y dd, te je x = 0.

(2) Ako je Y d = {0}, onda je Y dd = X, te je Y uređajno gust u X. Sa druge strane, neka je Y uređajno gust u X. Ako postoji x sa svojstvom 0 < x ∈ Y d, onda postoji neko y ∈ Y tako da je 0 < y ≤ x. Y d je solidan, te je y ∈ Y ∩ Y d = {0}, što nije moguće. Sledi Y d = {0}. Ako su M, N potprostori u X, tako da je M ∩ N = {0}, tada je M + N = M ⊕ N. Ako su pri tom M i N ideali u Risovom prostoru X, važi da je M ⊕ N takođe ideal u X.

Teorema 2.5.3. Ako je Y ideal u Risovom prostoru X, tada je ideal Y ⊕ Y d uređajno gust u X.

Dokaz: Neka je x ∈ (Y ⊕ Y d)d. Tada je x ∈ Y d ∩ Y dd, te je x = 0. Prema Teoremi 2.5.2 sledi da je Y ⊕ Y d uređajno gust u X.

Definicija 2.5.2. Risov prostor X je arhimedski, ako važi sledeći uslov:

za svaka dva elementa x, y ∈ 𝑋𝑋+, i za svako n ∈ N, važi n·x ≤ y ⇒ x = 0.

Primer 2.5.1. Neka je u vektorskom prostoru R2 uvedeno leksikografsko uređenje. Drugim rečima,

(𝑥𝑥1, 𝑦𝑦1) ≥ (𝑥𝑥2,𝑦𝑦2) ⇔ (𝑥𝑥1>𝑥𝑥2 ili (𝑥𝑥1= 𝑥𝑥2 i 𝑦𝑦1 ≥ 𝑦𝑦2 )) .

Prostor R2 sa ovim uređenjem označen je sa Lex. Prostor Lex je kompletno uređen Risov prostor. Konus pozitivnih elemenata je:

Lex+ = {(0, y): y ≥ 0}⋃{(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) ∶ 𝑥𝑥 > 0, 𝑦𝑦 ∈ 𝐑𝐑 }.

Neka je x > 0 i y ∈ R, y≠ 0. Tada za svako n ∈ N važi n (0, y) = (0, ny) < (x, y), a ipak

(0, y) ≠ (0, 0). Sledi da prostor Lex nije arhimedski.

Napomena 2.5.1. Neka je X arhimedski Risov prostor. Ako je Y Risov potprostor od X, onda je Y arhimedski prostor. Ako je Y arhimedski Risov prostor, onda je X×Y arhimedski Risov prostor. Neka je X Risov prostor, x ∈ 𝑋𝑋+, i neka je Y potprostor od X. Definišemo skup Yx = {y ∈ Y : 0 ≤ y ≤ x}. Na osnovu 0 ∈ Yx, sledi da je Yx neprazan.

34

Teorema 2.5.4. Neka je X arhimedski Risov prostor, i neka je Y Risov potprostor od X. Sledeća tvrđenja su ekvivalentna:

(1) Y je uređajno gust u X;

(2) Za svako x ∈ 𝑋𝑋+ važi x = sup Yx;

(3) Za svako x ∈ 𝑋𝑋+postoji mreža (𝑦𝑦𝛼𝛼)𝛼𝛼∈Ʌ u Y sa svojstvom 0 ≤ 𝑦𝑦𝛼𝛼 ↑ x u X.

Teorema 2.5.5. Neka je X Risov prostor. Sledeća tvrđenja su ekvivalentna:

(1) X je arhimedski prostor;

(2) Ako je (𝜆𝜆𝛼𝛼)𝛼𝛼 ograničena mreža u R sa svojstvom λ𝑜𝑜→0 u R, tada za svako x ∈ X važi

λ x 𝑜𝑜→0;

(3) Ako je (𝜆𝜆𝑛𝑛)𝑛𝑛 niz u R, sa svojstvom 𝜆𝜆𝑛𝑛 → 0 u R, tada za svako x ∈ X važi 𝜆𝜆𝑛𝑛x 𝑜𝑜→ 0 u X;

(4) Ako je Y traka u X, onda je Y = Y dd;

(5) Ako je ∅ ≠ M ⊂ 𝑋𝑋+ i N = {x ∈ X | za svaki element y ∈ M je 0 ≤ x ≤ y},

tada je inf {y − x : y ∈ M , x ∈ N} = 0.

35

Glava 3

3.1. Linearne topologije na vektorskim prostorima

U ovom poglavlju ukratko ćemo diskutovati o osnovnim linearnim topologijama potrebnim za dalje proučavanje.Podrazumeva se da ćemo nadalje govoriti o realnim vektorskim prostorima.

Definicija 3.1.1. Pod linearnom topologijom τ nad vektorskim prostorom 𝐸𝐸, (𝐸𝐸, 𝜏𝜏), podrazumevamo topologiju τ na skupu 𝐸𝐸, koja formira dve funkcije za koje važi :

(1) (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) ↦ 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 , koja slika 𝐸𝐸 × 𝐸𝐸 ↦ 𝐸𝐸;

(2) (𝜆𝜆, 𝑥𝑥) ↦ 𝜆𝜆𝑥𝑥 , koja slika 𝐑𝐑 × 𝐸𝐸 ↦ 𝐸𝐸, koje su obe neprekidne.

Definicija 3.1.2. Topološki vektorski prostor (𝐸𝐸, 𝜏𝜏) je vektorski prostor opremljen topologijom τ. Svaka linearna topologija τ nad vektorskim prostorom ima bazu 𝓝𝓝. Važe sledeća svojstva:

1) Svaki skup 𝑉𝑉 ∈ 𝓝𝓝 je uravnotežen skup, tj. za svako 𝑠𝑠 ∈ 𝑉𝑉 i svako 𝜆𝜆 ∈ 𝐑𝐑 , |𝜆𝜆| ≤ 1 važi : λ∙ 𝑠𝑠 ∈ 𝑉𝑉.

2) Svaki skup 𝑉𝑉 ∈ 𝓝𝓝 je apsorbcioni skup tj. Za svako 𝑠𝑠 ∈ 𝐸𝐸 postoji 𝜆𝜆 > 0 tako da važi : λ∙ 𝑠𝑠 ∈ 𝑉𝑉.

3) Za svako 𝑉𝑉 ∈ 𝓝𝓝, postoji 𝑊𝑊 ∈ 𝓝𝓝 tako da važi : 𝑊𝑊 + 𝑊𝑊 ⊆ V.

U nastavku biće definisane lokalo konveksne topologije. Podsetimo se najpre definicije konveksnog skupa. Podskup 𝐴𝐴 ⊆ 𝐸𝐸 je konveksan ukoliko za svako 𝑠𝑠, 𝑣𝑣 ∈ 𝐴𝐴 i svako 𝜆𝜆 ,pri čemu je 0 ≤ 𝜆𝜆 ≤ 1 ,važi :

𝜆𝜆 ∙ 𝑠𝑠 + (1 − 𝜆𝜆) ∙ 𝑣𝑣 ∈ 𝐴𝐴

Definicija 3.1.3. Lokalno konveksna topologija na vektorskom prostoru je lokalna topologija koja ima bazu u nuli, koja se sastoji od konveksnih skupova.

Definicija 3.1.4. Polunorma 𝜌𝜌 na vektorskom prostoru E, je funkcija ρ: 𝐸𝐸 → 𝐑𝐑 za koju važi :

(1) ρ(𝑠𝑠) ≥ 0, za svako 𝑠𝑠 ∈ 𝐸𝐸;

(2) 𝜌𝜌(𝑠𝑠 + 𝑣𝑣) ≤ 𝜌𝜌(𝑠𝑠) + 𝜌𝜌(𝑣𝑣), za svako 𝑠𝑠, 𝑣𝑣 ∈ 𝐸𝐸;

(3) ρ(𝜆𝜆 ∙ 𝑠𝑠) = |𝜆𝜆|𝜌𝜌(𝑠𝑠), za svako 𝜆𝜆 ∈ 𝐑𝐑 i 𝑠𝑠 ∈ 𝐸𝐸.

Polunorma ρ je norma na vektorskom prostoru ako je 𝜌𝜌(𝑠𝑠) = 0 ako i samo ako je 𝑠𝑠 = 0 .

36

Ukoliko je ρ polunorma na nepraznom vektorskom prostoru E, onda je za svako ε > 0 skup {𝑠𝑠 ∈ 𝐸𝐸 ∶ 𝜌𝜌(𝑠𝑠) ≤ ε} tj. ε - zatvorena kugla sa centrom u nuli, je konveksan podskup od E.

Svaka familija {𝜌𝜌𝛼𝛼}𝛼𝛼𝑥𝑥𝛼𝛼 polunormi na vektorskom prostoru definiše lokalno konveksnu topologiju na prostoru E, uzimajući za okoline u nuli konačne preseke zatvorenih kugli polunormi 𝜌𝜌𝛼𝛼. Drugim rečima, podskup V ⊆ E je okolina u nuli za ovu topologiju, ukoliko postoji neko ε > 0 i konačan broj indeksa takvih da :

�𝑠𝑠 ∈ 𝐸𝐸: 𝜌𝜌𝛼𝛼𝑚𝑚(𝑠𝑠) < ε , za svako 𝑚𝑚 = 1,2, … 𝑛𝑛� ⊆ 𝑉𝑉

Ova linearna topologija zove se lokalno konveksna topologija generisana familijom polunormi {𝜌𝜌𝛼𝛼}𝛼𝛼𝑥𝑥𝛼𝛼.

Svaka lokalno konevksna topologija generisana je familijom polunormi.

Teorema 3.1.1. Linearna topologija τ na vektorskom prostoru E je lokalno konveksna ako i samo ako postoji familija {ρα}αϵΛ polunormi na E koja generiše topologiju 𝜏𝜏.

Napomena 3.1.1. Podskup A u topološkom vektorskom prostoru (𝐸𝐸, 𝜏𝜏) zove se topološki ograničen ili jednostavnije τ-ograničen ako za svaku 𝜏𝜏-okolinu u nuli 𝑉𝑉, postoji 𝜆𝜆 > 0, tako da je 𝜆𝜆𝐴𝐴 ⊆ 𝑉𝑉.

Primetimo da je podskup A lokalno konveksanog prostora (𝐸𝐸, 𝜏𝜏) čija je topologija τ generisana familijom polunormi {𝜌𝜌𝛼𝛼}𝛼𝛼𝑥𝑥𝛼𝛼, je τ-ograničen podskup skupa R, za svako 𝛼𝛼.

Označimo sa E’ kolekciju svih τ-linearnih funkcionela na E. To je dualni topološki prostor vektorskog prostora (𝐸𝐸, 𝜏𝜏). Zapravo E’ je vektorski prostor algebarsko dualnog vektoskog prostora E’ svih liearnih funkcionela na E.

Definicija 3.1.5. Lokalno konveksnu topologiju na vektorskom prostoru (𝐸𝐸, 𝜏𝜏) generisanu familijom polunormi �𝜌𝜌𝑓𝑓 ∶ 𝑓𝑓 ∈ E’� , pri čemu važi:

ρ(𝑠𝑠) = |𝑓𝑓(𝑠𝑠)|, za svaki element 𝑠𝑠 ∈ 𝐸𝐸, nazivamo slabom topologijom i označavamo je sa σ(𝐸𝐸, E’).Ona je najmanja lokalna konveksna topologija na E, gde je funkcija 𝑓𝑓 ∈ E’ neprekidna. funkcija.

Definicija 3.1.6. Topološki prostor (𝐸𝐸, 𝜏𝜏) je Hausdorfov ako za svako 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ 𝐸𝐸, pri čemiu je 𝑥𝑥 ≠ 𝑦𝑦, postoje 𝑈𝑈, 𝑉𝑉 - otvoreni skupovi, takvi da važi:

𝑥𝑥 ∈ 𝑈𝑈, 𝑦𝑦 ∈ 𝑉𝑉 𝑖𝑖 𝑈𝑈 ∩ 𝑉𝑉 = ∅.

Definicija 3.1.7. Topološki prostor (𝐸𝐸, 𝜏𝜏) je lokalno kompletan ako svaka tačka u E ima kompaktnu okolinu.

37

Definicija 3.1.8. Topološki prostor je σ-kompaktan ako može da se predstavi kao unija prebrojivo mnogo kompaktnih skupova.

Definicija 3.1.9. Topologija σ(𝐸𝐸, 𝐸𝐸’) naziva se i topologija sa mrežnom

konvergencijom u tački na skupu E pri čemu mreža {𝑠𝑠𝛼𝛼} u E zadovoljava uslov 𝑠𝑠𝛼𝛼σ(𝐸𝐸,𝐸𝐸’)�⎯⎯⎯� 𝑠𝑠

ako i samo ako 𝑓𝑓(𝑠𝑠𝛼𝛼) → 𝑓𝑓(𝑠𝑠) u R , za svako 𝑓𝑓 ∈ 𝐸𝐸’.

Analogno, topologija σ(𝐸𝐸’, 𝐸𝐸) je lokalno konveksna topologija generisana familijom polunormi

{𝜌𝜌𝛼𝛼: 𝐴𝐴 ∈ ß } ,

pri čemu :

𝜌𝜌𝛼𝛼(𝑓𝑓) = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠{ |𝑓𝑓(𝑠𝑠)|, 𝑠𝑠 ∈ 𝐴𝐴}.

Neka je ß je kolekcija svih σ(𝐸𝐸, 𝐸𝐸’)-zatvorenih podskupova na E.

Jača topologija ß(𝐸𝐸’, 𝐸𝐸) je topologija ravnomerne konvergencije na σ(𝐸𝐸, 𝐸𝐸’) zatvorenim podskupovima u E. Topologija ß(𝐸𝐸’, 𝐸𝐸) definiše se analogno. Topologija 𝜏𝜏(𝐸𝐸, 𝐸𝐸’) je lokalno konveksna topologija uniformne konvergencije na konveksnom, balansiranom i σ(𝐸𝐸’, 𝐸𝐸)-kompaktnom podskupu skupa 𝐸𝐸’.

Ako je prostor (𝐸𝐸, 𝜏𝜏) je Hausdorfov, onda važi:

τ ⊂ τ (𝐸𝐸, 𝐸𝐸’)

Teorema 3.1.3. Za lokalno konveksan Hausdorfov prostor (𝐸𝐸, 𝜏𝜏) i podskup A ⊆ E važi:

1) Podskup A je τ-ograničen ako i samo ako je A σ(𝐸𝐸, 𝐸𝐸’) -ograničen. 2) Ako je A konveksan skup, onda je A τ-zatvoran ako i samo ako je A σ(𝐸𝐸, 𝐸𝐸’)-zatvoren.

Mreža {𝑠𝑠𝛼𝛼} se u topološkom prostoru naziva Košijeva mreža, ako za svaku τ-okolinu V u nuli postoji indeks 𝛼𝛼0 takav da 𝑠𝑠𝛼𝛼 − 𝑠𝑠𝛽𝛽 ∈ 𝑉𝑉, za sve indekse 𝛼𝛼, 𝛽𝛽 ≥ 𝛼𝛼0.

Karakteristika Košijeve mreže, koju ćemo navesti sada, veoma je korisna za diskusiju u daljim razmatranjima narednih poglavlja.

Lema 3.1.1. Mreža {𝑥𝑥𝛼𝛼} u topološkom vektorskom prostoru (E,τ) je τ-Košijeva mreža ako i samo ako zadovoljava sledeće:

Za svaki indeks α i svaku 𝜏𝜏 −okolinu V u nuli postoji indeks tako da za svaki indeks 𝛾𝛾, takav da je 𝛾𝛾 ≥ 𝛽𝛽 , važi 𝑥𝑥𝛾𝛾 − 𝑥𝑥𝛽𝛽

∈ V.

Zapravo, ukoliko mreža {𝑠𝑠𝛼𝛼} u topološkom vektorskom prostoru (𝐸𝐸, 𝜏𝜏) nije τ-Košijeva mreža,onda postoji τ-okolina U u nuli,i neopadajući niz {𝛼𝛼𝑛𝑛} indekasa, takvih da

38

𝑠𝑠𝛼𝛼𝑛𝑛+1 − 𝑠𝑠𝛼𝛼𝑛𝑛 ∉ 𝑈𝑈 , za svako 𝑛𝑛 ∈ 𝜨𝜨.

Dokaz : Neka je mreža {𝑥𝑥𝛼𝛼} u topološkom vektorskom prostoru prostoru (𝐸𝐸, 𝜏𝜏). Ukoliko je {𝑥𝑥𝛼𝛼} Košijeva mreža, onda važe gore navedene osobine. Pretpostavimo da {𝑥𝑥𝛼𝛼} zadovoljava gore navedene osobine i neka je V τ–okolina u nuli , takva da važi 𝑊𝑊 + 𝑊𝑊 ⊆𝑉𝑉. Fiksiramo indeks 𝛼𝛼0 i izaberemo indeks 𝛽𝛽0 takav da je 𝛽𝛽0 ≥ 𝛼𝛼 i 𝛽𝛽 ≥ 𝛽𝛽0 , onda će važiti 𝑥𝑥𝛽𝛽 − 𝑥𝑥𝛽𝛽0 ∈ 𝑊𝑊. Dakle, ako je 𝛽𝛽, 𝛾𝛾 ≥ 𝛽𝛽0, onda 𝑥𝑥𝛽𝛽 − 𝑥𝑥𝛾𝛾 = �𝑥𝑥𝛽𝛽 − 𝑥𝑥𝛽𝛽0� + �𝑥𝑥𝛽𝛽0– 𝑥𝑥𝛾𝛾� ∈ 𝑊𝑊 +𝑊𝑊 ⊆ 𝑉𝑉. Ovo ukazuje na činjenicu da je {𝑥𝑥𝛼𝛼}, 𝜏𝜏 -Košijeva mreža.

Podskup A topološkog vektorskog prostora (𝐸𝐸, 𝜏𝜏) je τ-kompletan ako je svaka τ-Košijeva mreža u podskupu A τ-konvergentna ka nekom elementu iz A. Dakle, (𝐸𝐸, 𝜏𝜏) se naziva topološko kompletan prostor, ili jednostavnije τ-kompletan, ako je svaka Košijeva mreža iz E τ-konvergentna u E.

Funkcija 𝑓𝑓 ∶ 𝐴𝐴 → (𝐸𝐸1 , 𝜏𝜏1) koja slika A, podskup topološkog vektorskog prostora (𝐸𝐸, 𝜏𝜏), u drugi topološki prostor (𝐸𝐸1 , 𝜏𝜏1) , je ravnomerno neprekidna, ako za za svaku 𝜏𝜏1-okolinu V nule prostora 𝐸𝐸1, postoji τ-okolina 𝑊𝑊 u nuli u E tako da 𝑓𝑓(𝑠𝑠) − 𝑓𝑓(𝑣𝑣) ∈ 𝑉𝑉, kad god 𝑠𝑠, 𝑣𝑣 ∈ 𝐴𝐴 zadovoljavaju uslov 𝑠𝑠 − 𝑣𝑣 ∈ 𝑊𝑊.

Teorema 3.1.4. Neka je 𝑓𝑓 ∶ 𝐴𝐴 → (𝐸𝐸1 , 𝜏𝜏1),ravnomerno neprekidna funkcija, pri čemu je A ⊆(𝐸𝐸, 𝜏𝜏). Ako je (𝐸𝐸1, 𝜏𝜏1) Hausdorfov 𝜏𝜏1 -kompletan topološki vektorski prostor, onda postoji jedinstveno ravnomerno neprekidno proširenje funkcije 𝑓𝑓 na zatvorenje 𝐴𝐴 � skupa A.

Dokaz : Neka je 𝑠𝑠 ∈ 𝐴𝐴 i izaberimo mrežu {𝑠𝑠𝛼𝛼} ⊆ 𝐴𝐴 takvu da je 𝑠𝑠𝛼𝛼𝜏𝜏

→ 𝑠𝑠 u 𝐸𝐸1. Iz ravnomerne neprekidnosti funkcije 𝑓𝑓, sledi da je mreža {𝑓𝑓(𝑠𝑠𝛼𝛼)} 𝜏𝜏1-Košijeva. Postoji

𝑣𝑣 ∈ 𝐸𝐸1 pri čemu je 𝑓𝑓(𝑠𝑠𝛼𝛼)𝜏𝜏1→ 𝑣𝑣 ∈ 𝐸𝐸1.

Sada predpostavimo da druga mreža {𝑥𝑥𝜆𝜆} ⊆ 𝐴𝐴 , zadovoljava 𝑥𝑥𝜆𝜆𝜏𝜏

→ 𝑠𝑠.

Neka je 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝜆𝜆)𝜏𝜏1→ 𝑥𝑥 u 𝐸𝐸1. Koristeći ravnomernu neprekidnost funkcije f, uzimamo da je 𝑥𝑥 =

𝑣𝑣. Za svako 𝑠𝑠 ∈ 𝐴𝐴 postoji jedinstvena 𝑓𝑓(𝑠𝑠)������ ∈ 𝐸𝐸1 takva da :

kad god je {𝑠𝑠𝛼𝛼} ⊆ 𝐴𝐴 pri čemu 𝑠𝑠𝛼𝛼𝜏𝜏

→ 𝑠𝑠 u 𝐸𝐸1, onda važi 𝑓𝑓(𝑠𝑠𝛼𝛼)𝜏𝜏1→ 𝑓𝑓(̅𝑠𝑠).

Zapravo, 𝑓𝑓 ̅: 𝐴𝐴 → 𝐸𝐸1 je ekstenzija funkcije f. Mi tvrdimo da je 𝑓𝑓 ̅ravnomerno neprekidna. Kako bi dokazali ovo, neka je V 𝜏𝜏1 -zatvorena okolina u nuli skupa 𝐸𝐸1. Onda izaberimo τ-otvorenu okolinu 𝑊𝑊 u nuli tako da važi :

𝑠𝑠, 𝑣𝑣 ∈ 𝑊𝑊 tako da važi 𝑠𝑠 − 𝑣𝑣 ∈ 𝑊𝑊 ⇒ 𝑓𝑓(𝑠𝑠) − 𝑓𝑓(𝑣𝑣) ∈ 𝑉𝑉. Sada neka 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ 𝐴𝐴 zadovoljavaju uslov 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 ∈ 𝑊𝑊. Izaberimo dve mreže {𝑥𝑥𝛼𝛼} i {𝑦𝑦𝜆𝜆} iz A

takve da 𝑥𝑥𝛼𝛼𝜏𝜏

→ 𝑥𝑥 i 𝑦𝑦𝜆𝜆𝜏𝜏

→ 𝑦𝑦. Jasno je da 𝑥𝑥𝛼𝛼 − 𝑦𝑦𝜆𝜆 𝜏𝜏

→ 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 ∈ 𝑊𝑊 u E. Šta više, postoje indeksi 𝛼𝛼0 i 𝜆𝜆0 , takvi da je 𝛼𝛼 ≥ 𝛼𝛼0 i 𝜆𝜆 ≥ 𝜆𝜆0, koji zadovoljavaju uslov 𝑥𝑥𝛼𝛼 − 𝑦𝑦𝜆𝜆 ∈ 𝑊𝑊.

39

Sledi da za svako 𝛼𝛼 ≥ 𝛼𝛼0 , 𝜆𝜆 ≥ 𝜆𝜆0 je 𝑓𝑓( 𝑥𝑥𝛼𝛼) − 𝑓𝑓( 𝑦𝑦𝜆𝜆) ∈ 𝑉𝑉.

Podskup A vektorskog topološkog prostora (𝐸𝐸, 𝜏𝜏) je totalno ograničen ako za svaku τ-okolinu V u nuli postoji konačan skup {𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2, … , 𝑥𝑥𝑛𝑛} u A takvih da važi: A ⊆ ⋃ (𝑥𝑥𝑖𝑖 + 𝑉𝑉)𝑛𝑛

𝑖𝑖=1 .

Takođe,važi da su podskupovi totalno ograničenih skupova, takođe totalno ograničeni. Sledeći rezultat o totalno ograničenim skupovima je dobro poznat i imaće široku primenu u daljim razmatranjima.

Teorema 3.1.5. Neka je (𝐸𝐸, 𝜏𝜏) Hausdorfov topološki vektorski prostor, i neka je A podskup u E. A je τ-kompaktan ako i samo ako je A totalno ograničen i τ-kompaktan.

Definicija 3.1.10. Dva topološka vektorska prostora (𝐸𝐸, 𝜏𝜏) i (𝐸𝐸1 , 𝜏𝜏1) su izomorfna ako postoji „1-1“ i „na“ operator T : E→𝐸𝐸1, koji je istovremeno obostrano neprekidan.

Teorema 3.1.6. Za svaki topološki Hausdorfov vektorski topološki prostor (𝐸𝐸, 𝜏𝜏) , postoji jedinstven Hausdorfov topološki vektorski prostor �𝐸𝐸,� �̂�𝜏� za koji važi :

1) Topološki vektorski prostor �𝐸𝐸,� �̂�𝜏� je �̂�𝜏–kompletan;

2) Postoji vektorski podprostor 𝐸𝐸1 prostora 𝐸𝐸,� koji je algebarski izomorfan prostoru E;

3) Topologja �̂�𝜏 indukuje topologiju τ na E;

4) Vektorski potprostor E je �̂�𝜏 – gust u 𝐸𝐸�.

Naime, kad god je 𝓝𝓝 baza u nuli za topologiju τ, onda kolekcija �̂�𝜏-zatvorenja okoline V {𝑉𝑉� , 𝑉𝑉 ∈ 𝒩𝒩} u 𝐸𝐸� , je baza u nuli za topologiju �̂�𝜏.

Hauzdorfov vektorski prostor �𝐸𝐸,� �̂�𝜏� ima poseban naziv.

Definicija 3.1.11. Ako je (𝐸𝐸, 𝜏𝜏) Hausdorfov topološki vektorski prostor,onda jedinstven Hausdorfov topološki vektorski prostor�𝐸𝐸,� �̂�𝜏� ,opisan u Teoremi 3.8, zove se topološko kompletiranje prostora (𝐸𝐸, 𝜏𝜏).

Podsetimo se da se ,za svako preslikavanje 𝑓𝑓 topološkog prostora (𝑋𝑋, 𝜏𝜏) u skup Y, najfinija topologija 𝜏𝜏𝑓𝑓 na Y, za koju je f neprekidna, naziva količnička topologija određena sa 𝑓𝑓, gde 𝜏𝜏𝑓𝑓 = {𝐴𝐴 ⊆ 𝑌𝑌 ∶ 𝑓𝑓−1(𝐴𝐴) ∈ 𝜏𝜏}.

Ako je (𝐸𝐸, 𝜏𝜏) topološki vektorski prostor, F vektorski prostor i 𝑓𝑓: 𝐸𝐸 → 𝐹𝐹 je linearno preslikavanje “na”,onda je količnička topologija 𝜏𝜏𝑓𝑓 na F , linearna topologija.

40

Teorema 3.1.7. Neka je 𝑓𝑓: (𝐸𝐸, 𝜏𝜏) → 𝐹𝐹 operator koji slika vektorski topološki prostor (𝐸𝐸, 𝜏𝜏) u vektorski prostor F. Tada važi :

1) Količnička topologija 𝜏𝜏𝑓𝑓 na F je linearna topologija i operator 𝑓𝑓: (𝐸𝐸, 𝜏𝜏) → �𝐹𝐹, 𝜏𝜏𝑓𝑓� je otvoreno preslikavanje.

2) Za svaku bazu 𝓝𝓝 u nuli prostora E, kolekcija {𝑓𝑓(𝑉𝑉) ∶ 𝑉𝑉 ∈ 𝒩𝒩} je baza za 𝜏𝜏𝑓𝑓-okolinu u nuli, u prostoru F.

Posmatrajmo kao poseban slučaj topološki vektorski prostor (𝐸𝐸, 𝜏𝜏) i vektorski podprostor A prostora E. Posmatrajmo količničko preslikavanje Q : E→𝐸𝐸 𝐴𝐴⁄ definisano sa :

Q(𝑠𝑠) = �̇�𝑠 = 𝑠𝑠 + 𝐴𝐴 , za svako 𝑠𝑠 ∈ 𝐸𝐸 .

Operator Q je operator “na”, i količnička topologija 𝜏𝜏𝑄𝑄 je linearna topologija na količničkom prostoru 𝐸𝐸 𝐴𝐴⁄ .

Teorema 3.1.8. Za svaki vektorski topološki prostor A topološkog prostora (𝐸𝐸, 𝜏𝜏), količnička topologija 𝜏𝜏 𝐴𝐴⁄ na količničkom prostoru 𝐸𝐸 𝐴𝐴⁄ zadovoljava sledeća svojstva :

1) Količničko preslikavanje Q:(𝐸𝐸, 𝜏𝜏)→(𝐸𝐸 𝐴𝐴⁄ , 𝜏𝜏 𝐴𝐴⁄ ) je neprekidno i otvoreno preslikavanje. 2) Za svaku bazu 𝓝𝓝 za τ-okolinu u nuli u E, skup {𝑄𝑄(𝑉𝑉): 𝑉𝑉 ∈ 𝒩𝒩} je baza 𝜏𝜏 𝐴𝐴⁄ -okoline u nuli za (𝐸𝐸 𝐴𝐴⁄ ).

3) (𝐸𝐸 𝐴𝐴⁄ , 𝜏𝜏 𝐴𝐴⁄ ) je Hausdorfov prostor ako i samo ako je A τ-zatvoren.

Konačno, pre nego završimo ovo poglavlje, navešćemo još neke bitne rezultate za dalje razmatranje. Naime, za neprazan skup 𝑋𝑋, 𝑋𝑋 ≠ 0, realan vektorski prostor 𝐑𝐑𝑿𝑿, razapet svojom topologijom je zapravo lokalno konveksan vektorski prostor ili Hausdorfov lokalno konveksan solidan Risov prostor. Topologija na 𝐑𝐑𝑿𝑿 generisana je familijom polunormi {𝜌𝜌𝑥𝑥 : 𝑥𝑥 ∈ 𝑋𝑋} , gde za svako 𝑓𝑓 ∈ 𝐑𝐑𝑿𝑿 važi 𝜌𝜌𝑥𝑥 (𝑓𝑓) = |𝑓𝑓(𝑥𝑥)|.

Za neprazan skup A, za realne funkcije definisane na X, pri čemu je A ⊆ X, slaba topologija σ(𝐴𝐴, 𝑋𝑋) na A, je Hausdorfova topologija na A indukovana topologijom prostora 𝐑𝐑𝑿𝑿.

Primetimo da mreža {𝑓𝑓𝛼𝛼} ⊆ 𝐴𝐴, zadovoljava 𝑓𝑓𝛼𝛼𝜎𝜎(𝛼𝛼,𝑥𝑥)�⎯⎯⎯� 𝑓𝑓 ako i samo ako 𝑓𝑓𝛼𝛼(𝑥𝑥) → 𝑓𝑓(𝑥𝑥) u R,

za svako 𝑥𝑥 ∈ 𝑋𝑋.

Ako je A vektorski podprostor u 𝐑𝐑𝑿𝑿, onda je 𝜎𝜎(𝐴𝐴, 𝑋𝑋) je Hausdorfova lokalno konveksna topologija na A.

Ako je E vektorski prostor, označimo sa 𝐸𝐸∗ vektorski prostor svih linearnih funkcija na E. To je algebarski dualni prostor prostora E. On je vektorski podprostor prostora 𝐑𝐑𝑬𝑬.Ovo povlači da slaba topologija 𝜎𝜎(𝐸𝐸′, 𝐸𝐸), nije ništa drugo do restrikcije topologije sa 𝐑𝐑𝑬𝑬 na 𝐸𝐸′.

41

Podrazumevajući da je E vektorski potprostor 𝐑𝐑𝑬𝑬′ , vidimo da je slaba topologija 𝜎𝜎(𝐸𝐸, 𝐸𝐸′) na E zapravo restrikcija topologije sa 𝐑𝐑𝑬𝑬′na E.

Definicija 3.1.12. Za podskup A vektorskog topološkog prostora (𝐸𝐸, 𝜏𝜏) pol podskupa A definišemo:

𝐴𝐴° = {𝜙𝜙 ∈ 𝐸𝐸, | 𝜙𝜙|(𝑠𝑠)| ≤ 1 , za svako 𝑠𝑠 ∈ 𝐴𝐴}

𝐴𝐴° je 𝜎𝜎(𝐸𝐸′, 𝐸𝐸)-zatvoren skup. Ako je V τ-okolina u nuli, onda je 𝑉𝑉° zatvoren u 𝐑𝐑𝑬𝑬. Ako mreža {𝜙𝜙𝛼𝛼} ⊆ 𝑉𝑉° zadovoljava 𝜙𝜙𝛼𝛼 → 𝜙𝜙 u 𝐑𝐑𝑬𝑬 , onda 𝜙𝜙 ∈ 𝐸𝐸∗ i 𝜙𝜙|(𝑠𝑠)| ≤ 1 ,za svako 𝑠𝑠 ∈ 𝑉𝑉, kad god je 𝜙𝜙 ∈ 𝐸𝐸,, 𝜙𝜙 je ograničen u 𝐑𝐑𝑬𝑬 i 𝑉𝑉° je kompaktan podskup u 𝐑𝐑𝑬𝑬.

Teorema 3.1.10. (Teorema Araoglu- Burbaki) Za svaku τ-okolinu V u nuli, za jedan proizvoljan toploški vektorski prostor (𝐸𝐸, 𝜏𝜏) njegov pol 𝑉𝑉°je σ(𝐸𝐸′, 𝐸𝐸) -kompaktan podskup u 𝐸𝐸′.

Za podskup B u topološkom dualnom prostoru 𝐸𝐸′, pol je definisan na sledeći način

𝐵𝐵° = {𝑠𝑠 ∈ 𝐸𝐸, tako da 𝜙𝜙|(𝑠𝑠)| ≤ 1 , za svako 𝜙𝜙 ∈ 𝐵𝐵}.

𝐵𝐵° je takođe σ(𝐸𝐸, 𝐸𝐸′)-zatvoren.

Sa (𝐴𝐴°)° biće obeležen pol za 𝐴𝐴°, A ⊆ E i nazivaćemo ga bipol.

Teorema 3.1.11. (Bipolarna teorema) Za svaki podskup A topološkog vektorskog prostora (𝐸𝐸, 𝜏𝜏) ,bipol (𝐴𝐴°)° je uravnotežen konveksan σ(𝐸𝐸, 𝐸𝐸 ,)-zatvoren rub podskupa A.

Ako je (𝐸𝐸, 𝜏𝜏) Hauzdorfov konačno konveksan prostor i A uravnotežen, konveksan τ-zatvoren podskup u E, onda je 𝐴𝐴 = (𝐴𝐴°)°.

Teorema 3.1.13. (Banah-Štajnhausova teorema) Neka je E proizvoljan Banahov prostor. Onda podskup A u 𝐸𝐸′je ograničen normom ako i samo ako je A, σ(𝐸𝐸′, 𝐸𝐸)-ograničen.

Podsetimo se da je podskup A topološkog prostora (𝑋𝑋, 𝜏𝜏) relativno 𝜏𝜏 −kompaktan ako je τ-zatvorenje skupa A,τ-kompaktno.

Teorema 3.1.14. Podskup A Banahovog prostora E je relativno σ(𝐸𝐸, 𝐸𝐸′)–kompaktan ako i samo ako svaki niz u A ima podniz koji σ(𝐸𝐸, 𝐸𝐸′)- konvergira ka nekom elementu u E.

42

3.2. Osnovne teoreme o lokalno solidnim topologijama

Ovo poglavlje počećemo definicijom samih lokalno solidnih prostora, imajući u vidu da je podskup S , Risovog prostora L, solidan ako važi : |𝑠𝑠| ≤ |𝑣𝑣| i 𝑣𝑣 ∈ 𝑆𝑆 onda povlači da je 𝑠𝑠 ∈ 𝑆𝑆.

Definicija 3.2.1. Linearna topologija 𝜏𝜏 (koja ne mora nužno biti Hausdorfova) na Risovom prostoru L je lokalno solidna ako topologija τ ima bazu u nuli koja je sastoji od solidnih skupova.

Teorema 3.2.1.(Teorema Rober-Namioka) Ako je 𝜏𝜏 linearna topologija na Risovom prostoru L, sledeća tvrđenja su ekvivalentna:

1) (𝐿𝐿, 𝜏𝜏) je lokalno solidan Risov prostor.

2) Preslikavanje (𝑠𝑠, 𝑣𝑣) → 𝑠𝑠 ⋁ 𝑣𝑣 iz (𝐿𝐿, 𝜏𝜏) ⨉(𝐿𝐿, 𝜏𝜏) → (𝐿𝐿, 𝜏𝜏) je ravnomerno neprekidno.

3) Preslikavanje (𝑠𝑠, 𝑣𝑣) → 𝑠𝑠 ⋀ 𝑣𝑣 iz (𝐿𝐿, 𝜏𝜏) ⨉(𝐿𝐿, 𝜏𝜏) → (𝐿𝐿, 𝜏𝜏) je ravnomerno neprekidno.

4) Preslikavanje 𝑠𝑠 → |𝑠𝑠| iz (𝐿𝐿, 𝜏𝜏)→(𝐿𝐿, 𝜏𝜏) je ravnomerno neprekidno.

5) Preslikavanje 𝑠𝑠 → 𝑠𝑠− iz (𝐿𝐿, 𝜏𝜏)→(𝐿𝐿, 𝜏𝜏) je ravnomerno neprekidno.

6) Preslikavanje 𝑠𝑠 → 𝑠𝑠+ iz (𝐿𝐿, 𝜏𝜏)→(𝐿𝐿, 𝜏𝜏) je ravnomerno neprekidno.

Dokaz :

1)⇒ 2) iz sledeće nejednakosti |𝑠𝑠 ⋁ 𝑣𝑣 − 𝑓𝑓 ⋁ 𝑔𝑔| ≤ |𝑠𝑠 − 𝑓𝑓| + |𝑣𝑣 − 𝑔𝑔|.

2)⇒3) iz sledeće jednakosti 𝑠𝑠 ⋀ 𝑣𝑣 = −[(−𝑠𝑠) ⋁(−𝑣𝑣)].

3)⇒4) iz sledeće jednakosti |𝑠𝑠| = −[𝑠𝑠 ⋀(−𝑠𝑠)].

4)⇒5)iz sledećeg identiteta 𝑠𝑠− = 12

(|𝑠𝑠| − 𝑠𝑠).

5)⇒6)iz sledećeg identiteta 𝑠𝑠+ = (−𝑠𝑠)−.

6)⇒1)

Neka je U τ-okolina u nuli. Izaberimo τ-okolinu V u nuli takvu da važi U + 𝑉𝑉 ⊆ 𝑈𝑈. Iz ravnomerne neprekidnosti funkcije 𝑠𝑠 → 𝑠𝑠+, sledi da postoji τ-okolina 𝑊𝑊 u nuli takva da 𝑠𝑠 − 𝑣𝑣 ∈ 𝑊𝑊 povlači da 𝑠𝑠+ − 𝑣𝑣+ ∈ 𝑉𝑉. Zapravo, ako je 𝑠𝑠 ∈ 𝑊𝑊 onda su i 𝑠𝑠+, 𝑠𝑠− ∈ 𝑉𝑉.

43

Zatim, izaberimo τ-okolinu 𝑊𝑊1 u nuli za koju je 𝑊𝑊1 + 𝑊𝑊1 ⊆ 𝑊𝑊, a potom izaberimo još jednu τ-okolinu 𝑊𝑊2 u nuli takvu da 𝑠𝑠 − 𝑣𝑣 ∈ 𝑊𝑊2 obezbeđuje da 𝑠𝑠+ − 𝑣𝑣+ ∈ 𝑊𝑊1. Tvrdimo da rub sol(𝑊𝑊2) ⊆ 𝑈𝑈. Ako je |𝑠𝑠| ≤ |𝑣𝑣| pri čemu je 𝑣𝑣 ∈ 𝑊𝑊2, onda 𝑣𝑣+, 𝑣𝑣− ∈ 𝑊𝑊1. Takođe važi :

|𝑣𝑣| = 𝑣𝑣+ + 𝑣𝑣− ∈ 𝑊𝑊.

Iz |𝑣𝑣| = 𝑠𝑠+ − (𝑠𝑠+ − |𝑣𝑣|) ∈ 𝑊𝑊 uzimamo da je 𝑠𝑠+ = (𝑠𝑠+)+ − (𝑠𝑠+ − | 𝑣𝑣|)+ ∈ V.

Slično, 𝑠𝑠− ∈ 𝑉𝑉 i 𝑠𝑠 = 𝑠𝑠+ − 𝑠𝑠− ∈ 𝑉𝑉 + 𝑉𝑉 ⊆ 𝑈𝑈. Dakle zaključujemo ga je τ-lokalno solidna topologija čime smo završili dokaz.

Treba napomenuti da, neprekidnost funkcije 𝑠𝑠 → 𝑠𝑠+ ne osigurava da je τ-linearna topologija istovremeno i lokalno solidna.

Nastavićemo dalje sa teoremama o lokalno solidnim Risovim prostorima.

Teorema 3.2.2. Ako je (𝐿𝐿, 𝜏𝜏) lokalno solidan Risov prostor onda:

(1) Ograničeni podskupovi iz L su τ-ograničeni;

(2) τ-zatvorenje bilo kog solidnog podskupa od L je takođe solidan podskup;

(3) τ-zatvorenje Risovog podprostora od L je takođe Risov podprostor ( takođe τ-zatvorenje ideala jeste ideal).

Dokaz : 1) Neka je [𝑠𝑠, 𝑣𝑣] interval u Risovom prostoru L, i neka je V solidna τ-okolina u nuli. Izaberimo λ > 0 tako da λ(|𝑠𝑠| + |𝑣𝑣|) ∈ 𝑉𝑉. Kad god je 𝑠𝑠 ≤ 𝑤𝑤 ≤ 𝑣𝑣 povlači |𝑤𝑤| ≤ |𝑠𝑠| + |𝑣𝑣| i V je solidan skup, mi obično λ[𝑠𝑠, 𝑣𝑣] ⊆ 𝑉𝑉, stoga je interval [𝑠𝑠, 𝑣𝑣] je τ-ograničen.

2) Pretpostavimo da je S solidan podskup u L i |𝑠𝑠| ≤ |𝑣𝑣| i 𝑣𝑣 ∈ 𝑆𝑆̅. Izaberimo mrežu {𝑣𝑣𝛼𝛼} ⊆

S tako da 𝑣𝑣𝛼𝛼𝜏𝜏

→ 𝑣𝑣 i definišemo 𝑠𝑠𝛼𝛼 = (𝑠𝑠 ⋀ 𝑠𝑠𝛼𝛼) ⋁(−|𝑣𝑣𝛼𝛼|) za svaki indeks 𝛼𝛼. Očito važi |𝑠𝑠𝛼𝛼| ≤|𝑣𝑣𝛼𝛼| za svako 𝛼𝛼. Jasno je da je {𝑠𝑠𝛼𝛼 } ⊆ S i na osnovu Teoreme 3.2.1. imamo da 𝑠𝑠𝛼𝛼

𝜏𝜏→ 𝑠𝑠.

Dakle, 𝑠𝑠 ∈ 𝑆𝑆̅ čime se zaključuje da je 𝑆𝑆̅ solidan skup. 3) Neka je K Risov potprostor prostora L. Očito je 𝐾𝐾� vektorski potprostor prostora L. Ako je

𝑠𝑠 ∈ 𝐾𝐾�,onda postoji mreža {𝑠𝑠𝛼𝛼} u K sa osobinom 𝑠𝑠𝛼𝛼𝜏𝜏

→ 𝑠𝑠. Na osnovu Teoreme 3.2.1 {𝑠𝑠𝛼𝛼+} ⊆

𝐾𝐾� zadovoljava 𝑠𝑠𝛼𝛼+ 𝜏𝜏

→ 𝑠𝑠+ i 𝑠𝑠+ ∈ 𝐾𝐾�. Na osnovu ovoga zaključujemo da je 𝐾𝐾� Risov potprostor prostora L.

Predpostavimo sada da {(𝐿𝐿𝛼𝛼, 𝜏𝜏𝛼𝛼): 𝛼𝛼 ∈ 𝐴𝐴} je familija lokalno solidnih Risovih prostora. Neka je L= ∏ 𝐿𝐿𝛼𝛼 Dekartov proizvod familije Risovih prostora {𝐿𝐿𝛼𝛼: 𝛼𝛼 ∈ 𝐴𝐴}. Onda ako je L Risov prostor razapet topologijom τ= ∏ 𝜏𝜏𝛼𝛼, lako je videti da on postaje solidan Risov prostor. Iz ovoga proizilazi sledeća teorema.

44

Teorema 3.2.3. Neka je (𝐿𝐿𝛼𝛼, 𝜏𝜏𝛼𝛼)𝛼𝛼∈𝛼𝛼 familija lokalno solidnih Risovih prostora i neka je L= ∏ 𝐿𝐿𝛼𝛼 i = ∏ 𝜏𝜏𝛼𝛼. Onda je (𝐿𝐿, 𝜏𝜏) lokalno solidan Risov prostor.

U sledećoj teoremi akcenat je stavljen na Hausdorfov lokalno solidan Risov prostor.

Teorema 3.2.4. Za Hausdorfov lokalno solidan Risov prostor (𝐿𝐿, 𝜏𝜏) važe sledeća svojstva :

1) Risov prostor L je arhimedski prostor;

2) 𝐿𝐿+ je τ-zatvoren;

3) Ako je 𝑠𝑠𝛼𝛼𝜏𝜏

→ 𝑠𝑠 i 𝑠𝑠𝛼𝛼 ↑ ,onda 𝑠𝑠𝛼𝛼 ↑ 𝑠𝑠 , u L. Analogno, ako 𝑠𝑠𝛼𝛼𝜏𝜏

→ 𝑠𝑠 i 𝑠𝑠𝛼𝛼 ↓ 𝑠𝑠 onda 𝑠𝑠𝛼𝛼 ↓ 𝑠𝑠 ,u L.

4) Svaka traka Risovog prostora L je τ-zatvorena.

5) Ako dve mreže, sa istim indeksnim skupom, {𝑠𝑠𝛼𝛼} i {𝑣𝑣𝛼𝛼} za koje važi da 𝑠𝑠𝛼𝛼 ↓ ≤ 𝑣𝑣𝛼𝛼 ↓ i

𝑣𝑣𝛼𝛼 − 𝑠𝑠𝛼𝛼𝜏𝜏

→ 0, onda 𝑠𝑠𝛼𝛼 ↓ 𝑠𝑠 ako i samo ako 𝑣𝑣𝛼𝛼 ↓ 𝑠𝑠 .

Dokaz : 1) Pretpostavimo da 0 ≤ 𝑛𝑛𝑠𝑠 ≤ 𝑣𝑣 važi sa svako 𝑛𝑛 i neke 𝑠𝑠, 𝑣𝑣 ∈ 𝐿𝐿+. Onda

0 ≤ 𝑠𝑠 ≤ 1𝑛𝑛

𝑣𝑣𝜏𝜏

→ 0 odakle je 𝑠𝑠 = 0 i

topologija τ je Hausdorfova lokalno slolidna topologija. Sledi da je L arhimedski.

2) Na osnovu Teoreme 3.2.1 sledi da je funkcija 𝑠𝑠 → 𝑠𝑠−iz (𝐿𝐿, 𝜏𝜏) u (𝐿𝐿, 𝜏𝜏) je neprekidna. Zaključak je odmah očigledan na osnovu identiteta 𝐿𝐿+ = {𝑠𝑠 ∈ 𝐿𝐿 , 𝑠𝑠− = 0}.

3) Fiksirajmo indeks 𝛼𝛼. Tada za svako 𝛽𝛽 ≥ 𝛼𝛼 imamo 0 ≤ 𝑠𝑠 ⋁ 𝑠𝑠𝛼𝛼 − 𝑠𝑠 ≤ 𝑠𝑠 ⋁ 𝑠𝑠𝛽𝛽 − 𝑠𝑠 ≤ �𝑠𝑠𝛽𝛽 − 𝑠𝑠�

𝛽𝛽≥𝛼𝛼�⎯� 0 i kada je

𝑠𝑠 ⋁ 𝑠𝑠𝛼𝛼 − 𝑠𝑠 = 0, onda je 𝑠𝑠𝛼𝛼 ≤ 𝑠𝑠 za svaki indeks α. Sada neka je 𝑠𝑠𝛼𝛼 ≤ 𝑣𝑣 za svaki indeks α i

neko 𝑣𝑣 ∈ 𝐿𝐿. Onda 0≤ 𝑣𝑣 − 𝑠𝑠𝛼𝛼𝜏𝜏

→ 𝑣𝑣 − 𝑠𝑠, mi uzimamo da je 𝑣𝑣 − 𝑠𝑠𝛼𝛼 ∈ 𝐿𝐿+, 𝑠𝑠 ≤ 𝑣𝑣. Ovo ukazuje na to da 𝑠𝑠𝛼𝛼 ↑ 𝑠𝑠 u L.

4) Primetimo da je za svaki neprazan podskup D skupa L, skup 𝐷𝐷𝑖𝑖 τ- zatvoren, pri čemu je

𝐷𝐷𝑖𝑖 = {𝑠𝑠 ∈ 𝐿𝐿: |𝑠𝑠| ⋀|𝑣𝑣| = 0 , za svako 𝑣𝑣 ∈ 𝐷𝐷}. Ako je 𝑠𝑠 ∈ 𝐷𝐷𝑖𝑖���� , onda 𝑠𝑠𝛼𝛼𝜏𝜏

→ 𝑠𝑠 za neku mrežu {𝑠𝑠𝛼𝛼} ⊆ 𝐷𝐷𝑖𝑖, i 0=|𝑣𝑣| ⋀|𝑠𝑠𝛼𝛼|

𝜏𝜏→ |𝑣𝑣| ⋀|𝑠𝑠| za svako 𝑣𝑣 ∈ 𝐷𝐷. Ako je

τ-Hausdorfova topologija |𝑣𝑣| ⋀|𝑠𝑠| = 0, za svako 𝑣𝑣 ∈ 𝐷𝐷 gde je 𝑠𝑠 ∈ 𝐷𝐷𝑖𝑖, i skup 𝐷𝐷𝑖𝑖 je τ-zatvoren.

5) Ako je 𝑠𝑠𝛼𝛼 ↓ 𝑠𝑠 i 𝑣𝑣𝛼𝛼 ≥ 𝑣𝑣 ≥ 𝑠𝑠 za svako 𝛼𝛼, onda 𝑣𝑣𝛼𝛼 − 𝑠𝑠𝛼𝛼 ≥ (𝑣𝑣 − 𝑠𝑠𝛼𝛼)+ ≥ 0, za svako 𝛼𝛼 i (𝑣𝑣 − 𝑠𝑠𝛼𝛼)+ 𝜏𝜏

→ 0. Ali, (𝑣𝑣 − 𝑠𝑠𝛼𝛼)+ ↑ (𝑣𝑣 − 𝑠𝑠)+ = 𝑣𝑣 − 𝑠𝑠, imajući u vidu osobinu pod 3) važi 𝑣𝑣 − 𝑠𝑠 = 0 i 𝑠𝑠 = 𝑣𝑣. Dakle, 𝑣𝑣𝛼𝛼 ↓ 𝑣𝑣.

45

Ako 𝑣𝑣𝛼𝛼 ↓ 𝑠𝑠 u L onda nejednakost, 0 ≤ 𝑠𝑠 − 𝑠𝑠 ˄ 𝑠𝑠𝛼𝛼 ≤ 𝑣𝑣𝛼𝛼 − 𝑠𝑠𝛼𝛼 povlači da 𝑠𝑠 − 𝑠𝑠 ˄ 𝑠𝑠𝛼𝛼𝜏𝜏

→ 0. Naime, kad god 𝑠𝑠 − 𝑠𝑠 ˄ 𝑠𝑠𝛼𝛼 ↑ 0, oslanjajući se natvrđenju pod 3) , važi da je 𝑠𝑠 − 𝑠𝑠 ˄ 𝑠𝑠𝛼𝛼 =0, za svako 𝛼𝛼 , ili 𝑠𝑠 ≤ 𝑠𝑠𝛼𝛼 , za svako 𝛼𝛼. Na osnovu ovoga, lako je uočiti da 𝑠𝑠𝛼𝛼 ↓ u, u L.

3.3. Lokalno konveksno - solidne topologije

Linearna topologija τ na Risovom prostoru koja je u isto vreme lokalno solidna i lokalno konveksna, naziva se lokalno konveksno-solidna topologija. Lokalno konveksno solidan Risov prostor (𝐿𝐿, 𝜏𝜏) je Risov prostor L, pri čemu je τ- lokalno-konveksno solidna topologija nad prostorom L. Podsetimo se, da svaki lokalno konveksan Risov prostor (𝐿𝐿, 𝜏𝜏) ima bazu u nuli, koja se sastoji od τ-zatvorenih, konveksnih i solidnih skupova.

Za polunormu 𝜌𝜌 na Risovom prostoru L, kaže se da je Risova polunorma ako za 𝑠𝑠, 𝑣𝑣 ∈ 𝐿𝐿 tako da |𝑠𝑠| ≤ |𝑣𝑣| povlači 𝜌𝜌|𝑠𝑠| ≤ 𝜌𝜌|𝑣𝑣| što je ekvivalentno činjenici da kad god za svako 𝑠𝑠 ∈ 𝐿𝐿 je 𝜌𝜌 (𝑠𝑠) = 𝜌𝜌(|𝑠𝑠|) i 0 ≤ 𝑠𝑠 ≤ 𝑣𝑣 u L, važi 𝜌𝜌 (𝑠𝑠) ≤ 𝜌𝜌 (𝑣𝑣).

Risova norma je Risova polunorma, koja je isto i norma. Risov prostor koji je kompletno normiran naziva se Banahova mreža.

Uočimo da je polunorma 𝜌𝜌 na Risovom prostoru L, Risova polunorma ako i samo ako je otvorena kugla 𝐵𝐵𝜌𝜌 = {𝑠𝑠 ∈ 𝐿𝐿 ∶ 𝜌𝜌(𝑠𝑠) < 1} solidan podskup u L. Zapravo, primetimo da ako je 𝜌𝜌 Risova polunorma, onda je skup 𝐵𝐵𝜌𝜌 solidan podskup u L. S druge strane, ako je 𝐵𝐵𝜌𝜌 solidan skup i |𝑠𝑠| ≤ |𝑣𝑣| u L, onda je i |[𝜌𝜌(𝑣𝑣) + 𝜀𝜀]−1𝑠𝑠| ≤ |[𝜌𝜌(𝑣𝑣) + 𝜀𝜀]−1𝑣𝑣|, za svako 𝜀𝜀 >0. Može se reći i da je polunorma 𝜌𝜌, Risova polunorma ako i samo ako je zatvorena kugla 𝑈𝑈𝜌𝜌 = {𝑠𝑠𝑢𝑢𝐿𝐿 ∶ 𝜌𝜌(𝑠𝑠) ≤ 1} solidan skup.

Treba biti jasno da kolekcija polunormi generiše lokalno-konveksno solidnu topologiju. Poenta je, da je zapravo svaka lokalno konveksna topologija na Risovom prostoru generisana familijom Risovih polunormi.

Teorema 3.3.1. Neka je L Risov prostor i 𝜏𝜏 linearna topologija na L.Sledeća tvrđenja su ekvivalentna:

1) 𝜏𝜏 je lokalno konveksna solidna topologija; 2) Postoji familija polunormi {𝜌𝜌𝛼𝛼}𝛼𝛼𝑥𝑥𝛼𝛼 koja generiše topologiju τ.

Dokaz: 1) ⇒ 2) Neka je 𝒩𝒩 baza u nuli za τ koja se satoji od τ-zatvorenih,konveksnih i solidnih skupova. Za svaki skup V ∈ 𝒩𝒩, neka je 𝜌𝜌 polunorma Minkovskog, generisana sa V. Onda je

46

𝜌𝜌𝑉𝑉(𝑠𝑠) = 𝑖𝑖𝑛𝑛𝑓𝑓{𝜆𝜆 > 0 ∶ 𝜆𝜆𝑠𝑠 ∈ 𝑉𝑉}

Zatim, je 𝜌𝜌𝑉𝑉 , τ-neprekidna polunorma, čija zatvorena kugla sadrži solidan skup V. Od ranije znamo da je svaka 𝜌𝜌 𝑉𝑉, Risova polunorma. Dakle, zaključak sledi odmah iz toga da familija {𝜌𝜌𝑉𝑉 ∶ 𝑉𝑉 ∈ 𝒩𝒩} generiše topologiju τ.

2)⇒1) je očigledno.

Predpostvimo sada da je L Risov prostor i 𝜌𝜌 je Risova polunorma na L. Ako je A ideal u L, označimo sa �̇�𝑠 =𝑄𝑄(𝑠𝑠) = 𝑠𝑠 + 𝐴𝐴, pri čemu je Q kanoničko preslikavanje prostora L u količnički prostor 𝐿𝐿 𝐴𝐴. ⁄ Takođe može se za svaki skup V ⊆ L, uvesti i oznaka

�̇�𝑉 = 𝑄𝑄(𝑉𝑉).

Dobro je poznato da funkcija �̇�𝜌 definisana na 𝐿𝐿 𝐴𝐴⁄ sa:

�̇�𝜌(�̇�𝑠) = 𝑖𝑖𝑛𝑛𝑓𝑓{𝜌𝜌(𝑣𝑣): 𝑣𝑣 ∈ 𝐿𝐿 𝑖𝑖 𝑣𝑣 ∈ �̇�𝑠} , �̇�𝑠 ∈ 𝐿𝐿 𝐴𝐴⁄ ,

polunorma (poznata i kao količnička polunorma 𝜌𝜌), što predstavlja zapravo Risovu polnormu. Ovo sledi odmah iz toga da je zapravo �̇�𝜌 otvorena kugla, solidan skup, koji se slika slupa 𝐵𝐵𝜌𝜌. Sledeći rezultat je sasvim jasan.

Teorema 3.3.2. Neka je (𝐿𝐿, 𝜏𝜏) lokalno konveksan Risov prostor čija topologija je generisana familijom Risovih seminormi {𝜌𝜌𝑖𝑖}𝑖𝑖∈𝐼𝐼 , i neka je A ideal u L. Tada je količnička topologija 𝜏𝜏 𝐴𝐴⁄ na 𝐿𝐿 𝐴𝐴⁄ , lokalno konveksan-solidna topologija generisana familijom Risovih seminormi {�̇�𝜌𝑖𝑖}𝑖𝑖∈𝐼𝐼 .

Definicija 3.3.2. Risova pseudonorma 𝜌𝜌 je realna funkcija definisana na Risovom prostoru L koja zadovoljava sledeća svojstva:

1)𝜌𝜌(𝑠𝑠) ≥ 0, za svako 𝑠𝑠 ∈ 𝐿𝐿; 2) 𝜌𝜌(𝑠𝑠 + 𝑣𝑣) ≤ 𝜌𝜌(𝑠𝑠) + 𝜌𝜌(𝑣𝑣),za svaka dva 𝑠𝑠, 𝑣𝑣 ∈ 𝐿𝐿; 3) 𝜌𝜌(𝜆𝜆𝑠𝑠) → 0 kad god λ→0, za svako 𝑠𝑠 ∈ 𝐿𝐿; 4) 𝜌𝜌(𝑠𝑠) ≤ 𝜌𝜌(𝑣𝑣), kad god je |𝑠𝑠| ≤ |𝑣𝑣| u L.

Primetimo da je svaka Risova polunorma 𝜌𝜌 istovremeno i Risova pseudonorma. Obrat ne važi.

Teorema 3.3.3. (Fremlinova teoreme) Linearna topologija na Risovom prostoru je lokalno solidna ako i samo ako je generisana familijom Risovih pseudonormi.

Dokaz: Ako je linearna topologija τ generisana familijom Risovih pseudonormi, onda je τ lokalno solidna topologija. Predpostavimo da je τ lokalno solidna topologija na Risovom prostoru L, i neka je V ograničena solidna τ-okolina u nuli. Kako bi završili teoremu dovoljno je pokazati da postoji τ-neprekidna Risova pseudonorma 𝜌𝜌 ∶ 𝐿𝐿 → [0, ∞) i da postoji 𝜀𝜀 > 0 takvo da 𝐵𝐵𝜌𝜌(𝜀𝜀)={𝑠𝑠 ∈ 𝐿𝐿 ∶ 𝜌𝜌(𝑠𝑠) < 𝜀𝜀} ⊆ 𝑉𝑉.

47

Naime, kako bi ovo dokazali, izabraćemo niz {𝑉𝑉𝑛𝑛} solidnih τ-okolina u nuli takav da je 𝑉𝑉𝑛𝑛+1 + 𝑉𝑉𝑛𝑛+1 + 𝑉𝑉𝑛𝑛+1 ⊆ 𝑉𝑉𝑛𝑛 , za svako 𝑛𝑛 i 𝑉𝑉1 ⊆ 𝑉𝑉.

Definišimo sada funkciju d: L→ [0, ∞) sa:

𝑑𝑑(𝑠𝑠) =

⎩⎪⎨

⎪⎧

1 𝑎𝑎𝑎𝑎𝐶𝐶 𝑠𝑠 ∉ 𝑉𝑉1

2−𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑎𝑎𝐶𝐶 𝑠𝑠𝑢𝑢 𝑉𝑉𝑛𝑛𝑉𝑉𝑛𝑛+1

�

0 𝑎𝑎𝑎𝑎𝐶𝐶 𝑠𝑠 ∈ � 𝑉𝑉𝑛𝑛

∞

𝑛𝑛=1

Obzirom da je okolina za 𝑉𝑉𝑛𝑛 solidna, sledi da kad god je|𝑣𝑣| ≤ |𝑠𝑠| onda važi 𝑑𝑑(𝑠𝑠) ≤ 𝑑𝑑(𝑣𝑣).

Sada, imajući u obzir značenje funkcije 𝜌𝜌 ∶ 𝐿𝐿 → [0, ∞) formulom

ρ(u) = 𝑖𝑖𝑛𝑛𝑓𝑓{∑ 𝑑𝑑(𝑠𝑠𝑖𝑖): 𝑠𝑠1𝑛𝑛𝑖𝑖=1 , … 𝑠𝑠𝑛𝑛 𝑢𝑢 𝐿𝐿 𝑖𝑖 ∑ 𝑠𝑠𝑖𝑖

𝑛𝑛𝑖𝑖=1 = 𝑠𝑠}.

Tvrdimo da je 𝜌𝜌 Risova pseudonorma i dokazujemo sledeća tvrđenja:

(1) 𝜌𝜌(𝑠𝑠) ≥ 0 za svako 𝑠𝑠 ∈ 𝐿𝐿 i 𝜌𝜌(0) = 0. Tvrđenje sledi odmah iz same definicije za 𝜌𝜌. (2) |𝑣𝑣| ≤ |𝑠𝑠| povlači da 𝜌𝜌(𝑣𝑣) ≤ 𝜌𝜌(𝑠𝑠). Kako bi pokazali da ovo zaista važi, pretpostavimo da |𝑣𝑣| ≤ |𝑠𝑠| i neka je 𝑠𝑠 = ∑ 𝑠𝑠𝑖𝑖

𝑛𝑛𝑖𝑖=1 . Koristeći teoremu o Risovoj dekompoziciji postoje

elementi 𝑣𝑣1, … , 𝑣𝑣𝑛𝑛 koji zadovoljavaju 𝑣𝑣 = ∑ 𝑣𝑣𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖=1 , i takođe važi |𝑣𝑣𝑖𝑖| ≤ |𝑠𝑠𝑖𝑖| za svako 𝑖𝑖. Ovo

povlači da: 𝜌𝜌(𝑣𝑣) ≤ ∑ 𝑑𝑑(𝑣𝑣𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖=1 ) ≤ ∑ 𝑑𝑑(𝑠𝑠𝑖𝑖

𝑛𝑛𝑖𝑖=1 ), odakle mi zapravo zaključujemo da 𝜌𝜌(𝑣𝑣) ≤

𝜌𝜌(𝑠𝑠). (3) 𝜌𝜌(𝑠𝑠 + 𝑣𝑣) ≤ 𝜌𝜌(𝑠𝑠) + 𝜌𝜌(𝑣𝑣), za svako 𝑠𝑠, 𝑣𝑣 ∈ 𝐿𝐿. (4) 𝜌𝜌 je τ-neprekidna Risova pseudonorma. Iz nejdenakosti 𝜌𝜌(𝑠𝑠) ≤ 𝑑𝑑(𝑠𝑠), za svako 𝑠𝑠 ∈ 𝐿𝐿 i činjenice da je 𝑑𝑑(𝑠𝑠) ≤ 2−𝑛𝑛, za svako 𝑠𝑠 ∈ 𝑉𝑉𝑛𝑛 , sledi da je 𝜌𝜌, τ-neprekidna u nuli. U suštini, lim𝜆𝜆→0

𝜌𝜌(𝜆𝜆𝑠𝑠) = 0, za svako 𝑠𝑠 ∈ 𝐿𝐿. Dakle, ovim se garantuje da je potrebno da je 𝜌𝜌, zapravo

τ -neprekidna Risova pseudonorma.

(5) 𝐵𝐵𝜌𝜌 �12� = �𝑠𝑠 ∈ 𝐿𝐿: 𝜌𝜌(𝑠𝑠) ≤ 1

2� ⊆ 𝑉𝑉1 ⊆ 𝑉𝑉. Dokaz ovog tvrđenja zasniva se na sledećem

odnosu: ∑ 𝑑𝑑(𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖=1 ) < 1

2𝑚𝑚 ⇒ ∑ 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖=1 ∈ 𝑉𝑉𝑚𝑚 .

(6) Kako bismo ovo dokazali, iskoristićemo metod indukcije za n. Neka je n = 1, imamo da je d (𝑠𝑠1) < 2−𝑚𝑚, i kako je 𝑠𝑠1𝑢𝑢 𝑉𝑉𝑚𝑚+1 ⊆ 𝑉𝑉𝑚𝑚 , dakle tvrđenje je tačno. Sada pretpostavimo da tvrđenje važi za n tj. Ako je {𝑠𝑠𝑖𝑖 ∶ 𝑖𝑖 ∈ 𝐼𝐼} kolekcija koja za n elemenata zadovoljava ∑ 𝑑𝑑(𝑠𝑠) < 2−𝑚𝑚

𝑖𝑖 ∈𝐼𝐼 za neko m ∈ ℕ, onda je ∑ 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑖𝑖∈𝐼𝐼 ∈ 𝑉𝑉𝑚𝑚. Pretpostavimo da ∑ 𝑑𝑑(𝑠𝑠𝑖𝑖

𝑛𝑛+1𝑖𝑖=1 ) < 1

2𝑚𝑚 , za neko m ∈ 𝐍𝐍.

48

Očigledno imamo da, 𝑑𝑑(𝑠𝑠𝑖𝑖) ≤ 12𝑚𝑚+1 i 𝑠𝑠𝑖𝑖 ∈ 𝑉𝑉𝑚𝑚+1 za svako 1≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑛𝑛 + 1. Sada ćemo

razmatrati sledeća dva slučaja: Slučaj 1. ∑ 𝑑𝑑(𝑠𝑠𝑖𝑖) ≤ 1

2𝑚𝑚+1𝑛𝑛+1𝑖𝑖=1 onda ∑ 𝑑𝑑(𝑠𝑠𝑖𝑖) ≤ 1

2𝑚𝑚+1 𝑛𝑛𝑖𝑖=1 , i prema indukcijskoj hipotezi

imamo da je ∑ 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖=1 ∈ 𝑉𝑉𝑚𝑚+1 .

Na osnovu ovoga sledi:

� 𝑠𝑠𝑖𝑖 =𝑛𝑛+1

𝑖𝑖=1

� 𝑠𝑠𝑖𝑖 +𝑛𝑛

𝑖𝑖=1

𝑠𝑠𝑛𝑛+1 ∈ 𝑉𝑉𝑚𝑚+1 + 𝑉𝑉𝑚𝑚+1 ⊆ 𝑉𝑉𝑚𝑚 .

Slučaj 2. ∑ 𝑑𝑑(𝑠𝑠𝑖𝑖) ≥ 1

2𝑚𝑚+1𝑛𝑛+1𝑖𝑖=1 . Ako je 1 ≤ 𝑎𝑎 ≤ 𝑚𝑚 + 1, za najveće moguće k za koje je

∑ 𝑑𝑑(𝑠𝑠𝑖𝑖) ≥ 12𝑚𝑚+1

𝑛𝑛+1𝑖𝑖=𝑘𝑘 . Iz 𝑑𝑑(𝑠𝑠𝑚𝑚+1) < 1

2𝑚𝑚+1 , vidimo da je k < 𝑚𝑚 + 1.

Predpostavimo prvo da je 𝑎𝑎 > 1. Iz ∑ 𝑑𝑑(𝑠𝑠𝑖𝑖) ≤ 12𝑚𝑚+1

𝑛𝑛+1𝑖𝑖=1 , imamo da je ∑ 𝑑𝑑(𝑠𝑠𝑖𝑖) ≤ 1

2𝑚𝑚+1𝑘𝑘−1𝑖𝑖=1 .

Na osnovu indukcijske hipoteze imamo ∑ 𝑠𝑠𝑖𝑖 ∈𝑘𝑘−1𝑖𝑖=1 𝑉𝑉𝑚𝑚+1. Takođe, izborom za k imamo

∑ 𝑑𝑑(𝑠𝑠𝑖𝑖) ≤ 12𝑚𝑚+1

𝑛𝑛+1𝑖𝑖=𝑘𝑘+1 , i na osnovu indukcijske hipoteze takođe iammo ∑ 𝑠𝑠𝑖𝑖 ∈𝑛𝑛+1

𝑖𝑖=𝑘𝑘+1 𝑉𝑉𝑚𝑚+1. Stoga ,

∑ 𝑠𝑠𝑖𝑖 =𝑛𝑛+1𝑖𝑖=1 ∑ 𝑠𝑠𝑖𝑖 +𝑘𝑘−1

𝑖𝑖=1 𝑠𝑠𝑘𝑘 + ∑ 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛+1𝑖𝑖=𝑘𝑘+1 ∈ 𝑉𝑉𝑚𝑚+1 + 𝑉𝑉𝑚𝑚+1 + 𝑉𝑉𝑚𝑚+1 ⊆ 𝑉𝑉𝑚𝑚.

Ako je k = 1, onda sledi : :∑ 𝑑𝑑(𝑠𝑠𝑖𝑖) ≤ 1

2𝑚𝑚+1𝑛𝑛+1𝑖𝑖=2 i ∑ 𝑠𝑠𝑖𝑖 ∈𝑛𝑛+1

𝑖𝑖=2 𝑉𝑉𝑚𝑚+1.

Ovo povlači činjenicu ∑ 𝑠𝑠𝑖𝑖 =𝑛𝑛+1𝑖𝑖=1 𝑠𝑠1 + ∑ 𝑠𝑠𝑖𝑖

𝑛𝑛+1𝑖𝑖=2 ∈ 𝑉𝑉𝑚𝑚+1 + 𝑉𝑉𝑚𝑚+1 ⊆ 𝑉𝑉𝑚𝑚 , čime smo dokazali

polazno tvrđenje. Risovi prostori imaju svojstvo da su njihovi topološki duali ograničeni u svojim dualima. Teorema 3.3.4. Ako je (𝐸𝐸, 𝜏𝜏) lokalno konveksno-solidan Risov prostor, onda je 𝐿𝐿′ ograničen u 𝐿𝐿~. Dokaz: Pretpostavimo da 0 ≤ 𝜙𝜙𝛼𝛼↑ϕ u 𝐿𝐿~ pri čemu je {𝜙𝜙𝛼𝛼} ⊆ 𝐿𝐿′. Onda je skup V={𝑠𝑠 ∈ 𝐿𝐿 ∶ |𝜙𝜙𝛼𝛼(𝑠𝑠) ≤ 1, za svako 𝛼𝛼|} ograničen, konveksan i τ-zatvoren podskup u L. Dakle, V je τ-okolina u nuli. Ali za svako u ∈ 𝑉𝑉, |𝜙𝜙𝛼𝛼(𝑠𝑠)| ≤ 1 i za svako 𝛼𝛼, povlači da je |ϕ(𝑠𝑠)| ≤ 1 , za svako 𝑠𝑠 ∈ 𝑉𝑉, za 𝜙𝜙𝛼𝛼↑ 𝜙𝜙. Takođe, 𝜙𝜙 ∈ 𝐿𝐿′, dok je 𝜙𝜙 je ograničen u τ-okolini u nuli. Time se dokazuje da je 𝐿𝐿′ je ograničen u 𝐿𝐿~. Dokaz: Posmatrajmo vektorski podprostor prostora 𝐿𝐿~

ℬ = {𝜙𝜙 ∈ 𝐿𝐿~: 𝜙𝜙 𝑗𝑗𝐼𝐼 𝜏𝜏 − neprekidna na intervalima u 𝐿𝐿}.

Pokazaćemo da se zapravo traka u prostoru 𝐿𝐿~poklapa sa ℬ,što ćemo učiniti kroz tri koraka.

Korak 1: Vektorski podprostor ℬ je traka u 𝐿𝐿~ i 𝐿𝐿, ⊆ ℬ. Očigledno vektorski podprostor 𝐿𝐿~ je 𝐿𝐿, ⊆ ℬ. Kako bismo videli da je ℬ ideal, pretpostavimo |𝜙𝜙| ≤ |𝜓𝜓| u sa osobinom 𝜓𝜓 ∈ℬ.

Sada predpostavimo da postoji mreža {𝑠𝑠𝛼𝛼} u L koja zadovoljava 𝑠𝑠𝛼𝛼𝜏𝜏

→ 0 i neka je 𝜀𝜀 > 0.

49

Za svako 𝛼𝛼 izaberimo 𝑣𝑣𝛼𝛼sa osobinom |𝑠𝑠𝛼𝛼| ≤ | 𝑣𝑣𝛼𝛼| da pri čemu je:

|𝜙𝜙(𝑠𝑠𝛼𝛼)| ≤ |𝜙𝜙(|𝑠𝑠𝛼𝛼|)| ≤ |𝜓𝜓( 𝑣𝑣𝛼𝛼)| + 𝜀𝜀.

Kad god je, |𝑣𝑣𝛼𝛼| ≤ | 𝑠𝑠𝛼𝛼| za svako 𝛼𝛼 i 𝑠𝑠𝛼𝛼𝜏𝜏

→ 0 , to sledi iz lokalne solidnosti za τ da , 𝑣𝑣𝛼𝛼𝜏𝜏

→

0 i 𝜓𝜓(𝑣𝑣𝛼𝛼)𝜏𝜏

→ 0. Iz gornje nejednakosti sledi da 𝐼𝐼𝑖𝑖𝑚𝑚𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝛼𝛼|𝜙𝜙(𝑠𝑠𝛼𝛼)| ≤ 𝜀𝜀, za svako 𝜀𝜀 > 0 što dalje povlači da 𝜙𝜙(𝑠𝑠𝛼𝛼) → 0. Kako je 𝜙𝜙 ∈ ℬ, onda je ℬ ideal. Nije teško pokazati da je ℬ zatvoren u 𝐿𝐿~, pa je očigledno da je traka.

Korak 2: Neka je 𝜙𝜙 ∈ (𝐿𝐿′)𝑖𝑖 . Ako je za neko 𝑠𝑠 > 0, 𝜙𝜙(𝑠𝑠) > 0 , onda je za svako 0< 𝜀𝜀 <𝜙𝜙(𝑠𝑠), konveksan skup 𝐶𝐶𝑥𝑥 = {𝑣𝑣 ∈ [0, 𝑠𝑠]: 𝜙𝜙(𝑣𝑣) ≤ 𝜀𝜀} je τ–gust na intervalu [0, 𝑠𝑠]. Ako 𝐶𝐶𝑥𝑥 nije τ-gust na interval [0, 𝑠𝑠], onda je lako pokazati da u ne pripada τ-zatvorenju 𝐶𝐶𝑥𝑥���� skupa 𝐶𝐶𝑥𝑥. Ali onda postoji neko 𝜓𝜓 ∈ 𝐿𝐿′ takvo da 𝜓𝜓(𝑠𝑠) > 1, i 𝜓𝜓(𝑠𝑠) ≤ 1 , za svako 𝑣𝑣 ∈ 𝐶𝐶𝜀𝜀. Zamenimo li ψ sa 𝜓𝜓+, možemo pretpostaviti da je ψ ≥ 0. Iz 𝜓𝜓 ⋀ 𝜙𝜙 = 0, može se zaključiti da postoji niz {𝑣𝑣𝑛𝑛} ⊆ [0, 𝑠𝑠], takav da 𝜙𝜙(𝑣𝑣𝑛𝑛) + 𝜓𝜓(𝑠𝑠 − 𝑣𝑣𝑛𝑛) → 0.

Zapravo je 𝑣𝑣𝑛𝑛 ∈ 𝐶𝐶𝜀𝜀 , za svako 𝑛𝑛 ≥ 𝑛𝑛0 i 𝜓𝜓(𝑠𝑠) = 𝜓𝜓(𝑣𝑣𝑛𝑛) + 𝜓𝜓(𝑠𝑠 − 𝑣𝑣𝑛𝑛) ≤ 1 + 𝜓𝜓(𝑠𝑠 − 𝑣𝑣𝑛𝑛), suprotnom da je 𝜓𝜓(𝑠𝑠) > 1. Ovim je pokazano da je 𝐶𝐶𝑥𝑥 τ- gust na interval [0, 𝑠𝑠].

Korak 3: Ako je ϕ ∈ ℬ ∩ (𝐿𝐿′)𝑖𝑖 onda je 𝜙𝜙 = 0 (i ako je ℬ=(𝐿𝐿′)𝑖𝑖𝑖𝑖 , onda je traka generisana sa 𝐿𝐿′ u 𝐿𝐿~).

Neka je 0 ≤ 𝜙𝜙 ∈ ℬ ∩ (𝐿𝐿′)𝑖𝑖 i pretpostavimo suprotno, da postoji neko 𝑠𝑠 > 0 sa osobinom

𝜙𝜙(𝑠𝑠) = 1. Neka je 𝜀𝜀 = 12 u Koraku 2, i odaberimo mrežu {𝑠𝑠𝛼𝛼} ⊆ 𝐶𝐶𝜀𝜀, tako da 𝑠𝑠𝛼𝛼

𝜏𝜏→ 𝑠𝑠.

Iz 𝜙𝜙 ∈ ℬ, mi uzimamo da je 𝜙𝜙( 𝑠𝑠𝛼𝛼) → 𝜙𝜙(𝑠𝑠) = 1. To je u kontradikciji sa 𝜙𝜙( 𝑠𝑠𝛼𝛼) ≤12

, za svako 𝛼𝛼.

Za bilo koji Risov prostor L, uočimo da za svako 𝜙𝜙 ∈ 𝐿𝐿~, funkcija 𝜌𝜌𝜙𝜙 : 𝐿𝐿 → 𝐑𝐑 definisana sa: 𝜌𝜌𝜙𝜙(𝑠𝑠) = |𝜙𝜙|(|𝑠𝑠|), je Risova polunorma na L. Svaki neprazan podskup A u 𝐿𝐿~, definiše lokalno konveksno-solidnu topologiju na L familijom Risovih polunormi �𝜌𝜌𝜙𝜙: 𝜙𝜙 ∈ 𝐴𝐴�. Ova topologija zove se apsolutno slaba topologija generisana podskupom A, na prostoru L.

Definicija 3.3.4. Neka je L Risov prostor i neka je A neprazan podskup u dualnom prostoru 𝐿𝐿~. Apsolutno slaba topologija |𝜎𝜎|(𝐿𝐿, 𝐴𝐴) generisana sa A na L je lokalno konveksno solidna topologija generisana kolekcijom Risovih polunormi �𝜌𝜌𝜙𝜙: 𝜙𝜙 ∈ 𝐴𝐴� , pri čemu je 𝜌𝜌𝜙𝜙(𝑠𝑠) = |𝜙𝜙|(|𝑠𝑠|).

Primetimo da je |𝜎𝜎|(𝐿𝐿, 𝐴𝐴) = |𝜎𝜎|(𝐿𝐿, 𝐿𝐿𝛼𝛼~), gde je 𝐿𝐿𝛼𝛼

~ ideal generisan podskupom A u 𝐿𝐿~. Zapravo uočimo prvo da je|𝜎𝜎|(𝐿𝐿, 𝐴𝐴) ⊆ |𝜎𝜎|(𝐿𝐿, 𝐿𝐿𝛼𝛼

~) trivijalno, i da za svako

50

Ψ∈ 𝐿𝐿𝛼𝛼~ postoji neki skup{𝜙𝜙1, 𝜙𝜙2, … , 𝜙𝜙𝑛𝑛} ⊆ 𝐴𝐴, i neko λ > 0 takvo da je |𝜓𝜓| ≤ 𝜆𝜆 ∑ |𝜙𝜙𝑖𝑖|𝑛𝑛

𝑖𝑖=1 , kako je 𝜌𝜌𝜓𝜓 ≤ 𝜆𝜆 ∑ �𝜌𝜌𝜙𝜙�𝑛𝑛

𝑖𝑖=1 , 𝜌𝜌𝜓𝜓 je |𝜎𝜎|(𝐿𝐿, 𝐴𝐴) −neprekidna Risova polunorma. Ovo ukazuje da je |𝜎𝜎|(𝐿𝐿, 𝐿𝐿𝛼𝛼

~) ⊆ |𝜎𝜎|(𝐿𝐿, 𝐴𝐴), pa samim tim važi i jednakost je |𝜎𝜎|(𝐿𝐿, 𝐴𝐴) = |𝜎𝜎|(𝐿𝐿, 𝐿𝐿𝛼𝛼~).

Takođe, primetimo da nejednakost |𝜓𝜓(𝑠𝑠)| ≤ |𝜓𝜓|(|𝑠𝑠|) ≤ 𝜆𝜆 ∑ 𝜌𝜌𝜙𝜙𝑖𝑖(𝑠𝑠) 𝑛𝑛

𝑖𝑖=1 povlači da svako 𝜓𝜓 ∈ 𝐿𝐿𝛼𝛼

~ , je takođe |𝜎𝜎|(𝐿𝐿, 𝐴𝐴) −neprekidna linearna funkcija na L.

Sledeća teorema ukazuje na to da se prostor 𝐿𝐿𝛼𝛼~ sastoji od |𝜎𝜎|(𝐿𝐿, 𝐴𝐴) −neprekidnih linearnih

funkcija na L.

Teorema 3.3.5. Neka je L Risov prostor, A neprazan podskup u 𝐿𝐿~ i 𝐿𝐿𝛼𝛼~ ideal

generisan podskupom A u 𝐿𝐿~ .Onda važi: �𝐿𝐿, |𝜎𝜎|(𝐿𝐿, 𝐴𝐴)�′

= 𝐿𝐿𝛼𝛼~ .

Dokaz: Kao što smo naveli gore svako ϕ ∈ 𝐿𝐿𝛼𝛼~ je |𝜎𝜎|(𝐿𝐿, 𝐴𝐴) − neprekidno, pa nam

ostaje samo da pokažemo da svako ϕ ∈ �𝐿𝐿, |𝜎𝜎|(𝐿𝐿, 𝐴𝐴)�′ pripada u 𝐿𝐿𝛼𝛼

~. Stoga pretpostavimo da neka linearna funkcija ϕ : 𝐿𝐿 → 𝐑𝐑 je �𝐿𝐿, |𝜎𝜎|(𝐿𝐿, 𝐴𝐴)�– neprekidna. Onda postoji 𝜓𝜓 ∈ 𝐿𝐿𝛼𝛼

~ , i λ > 0 tako da |𝜙𝜙(𝑠𝑠)| ≤ 𝜆𝜆𝜌𝜌𝜓𝜓(𝑠𝑠) za za svako 𝑠𝑠 ∈ 𝐿𝐿. Naime, 0≤ |𝜙𝜙|(𝑠𝑠) ≤ 𝜆𝜆𝜌𝜌𝜓𝜓(𝑠𝑠) = 𝜆𝜆|𝜓𝜓|(𝑠𝑠) za svako 𝑠𝑠 ∈ 𝐿𝐿+, kad god je |𝜙𝜙| ≤ 𝜆𝜆|𝜓𝜓|. Time je dokaz teoreme završen.

Definicija 3.3.5. Neka je lokalno konveksno-solidan prostor. Definišеmo apslutno slabu topologiju na L kao topologiju |𝜎𝜎|(𝐿𝐿, 𝐿𝐿′). Topologija |𝜎𝜎|(𝐿𝐿, 𝐿𝐿′) je lokalno konveksno-solidna topologija na L generisana familijom polunormi �𝜌𝜌𝜙𝜙: 𝜙𝜙 ∈ 𝐿𝐿′�.

Teorema 3.3.6. Ako je (𝐿𝐿, 𝜏𝜏) je lokalno konveksno-solidan Risov prostor i 𝜎𝜎(𝐿𝐿, 𝐿𝐿′) ⊆|𝜎𝜎|(𝐿𝐿, 𝐿𝐿′) ⊆ 𝜏𝜏. Topologija |𝜎𝜎|(𝐿𝐿, 𝐿𝐿′) je Hausdorfova ako i samo ako je τ -Hausdorfova topologija.

Teorema 3.3.7. Za Hausdorfov lokalno konveksno solidan Risov prostor, sledeća tvrđenja su ekvivalentna:

(1) 𝜎𝜎(𝐿𝐿, 𝐿𝐿′) = |𝜎𝜎|(𝐿𝐿, 𝐿𝐿′);

(2) Slaba topologija 𝜎𝜎(𝐿𝐿, 𝐿𝐿′) je lokalno solidna;

(3) Preslikavanje 𝑠𝑠 → |𝑠𝑠| je slabo neprekidno u nuli;

(4) Svaki interval u 𝐿𝐿′, leži u konačno dimenzionalnom vektorskom prostoru;

(5) Svaki ideal u 𝐿𝐿′ je konačne dimenzije.

Napomena: Ako je na Hausdorfovom lokalno konveksno-solidnom Risovom prostoru (L, τ), slaba topologija 𝜎𝜎(𝐿𝐿, 𝐿𝐿′) je lokalno solidna, onda je 𝐿𝐿′diskretan Risov prostor.

51

Teorema 3.3.8. (Teorema Peresini) Za normiran Risov prostor L sledeća tvrđenja su ekvivalentna:

(1) L je konačne dimenzije, onda je L Risov izometričan sa 𝐑𝐑𝒏𝒏.

(2) Slaba topologija 𝜎𝜎(𝐿𝐿, 𝐿𝐿′) je lokalno solidna topologija.

Dokaz: (1) ⇒ (2) očigledno.

(2) ⇒ (1) Dovoljno je pokazati da je 𝐿𝐿′ konačne dimenzije. Kako bismo ovo zaista pokazali, pretpostavimo da 𝐿𝐿′sadrži niz {𝜙𝜙𝑛𝑛} linearno nezavisnih linearnih funkcionela. Bez gubljenja opštosti, možemo pretpostaviti da svaki 𝜙𝜙𝑛𝑛ima normu. Kako je 𝐿𝐿′ kompletan u odnosu na normu, onda je i red ∑ 2−𝑛𝑛|𝜙𝜙𝑛𝑛|∞

𝑛𝑛=1 konvergentan u odnosu na normu u 𝐿𝐿′.

Označimo sa 𝜙𝜙 = ∑ 2−𝑛𝑛|𝜙𝜙𝑛𝑛|∞𝑛𝑛=1 , i primetimo da [0, 𝜙𝜙] označava jedan beskonačno

dimenzionalan vektorski prostor, što je suprotno sa već stečenim znanjem.

Naredni primer ukazuje da implikacija (2) ⇒ (1) u prethodnoj teoremi neće biti istinita, ukolliko se pretpostavka da je prostor L normiran Risov prostor, zameni sa pretpostavkom da je to lokalno konveksan prostor.

Primer: Neka je X skup koji nije konačan, i neka je L= 𝐑𝐑𝑿𝑿, i τ-Hausdorfova lokalno konveksno-solidna topologija konvergencije u tački. Drugim rečima, τ je generisana familijom Risovih polunormi, {𝜌𝜌𝑥𝑥: 𝑥𝑥 ∈ 𝑋𝑋 } polunormi i 𝜌𝜌𝑥𝑥(𝑠𝑠) = |𝑠𝑠(𝑥𝑥)|, za svako 𝑠𝑠 ∈ 𝐿𝐿. Ako je 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2, … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 konačan broj tačaka u X, i 𝜆𝜆1, 𝜆𝜆2, … , 𝜆𝜆𝑛𝑛 realni parametri, onda je linearan funkcionel 𝜙𝜙: 𝐿𝐿 → 𝐑𝐑, definisan sa 𝜙𝜙 (𝑓𝑓) = ∑ 𝜆𝜆𝑖𝑖

𝑛𝑛𝑖𝑖=1 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖), τ-neprekidan. Mi tvrdimo da

svaki 𝜙𝜙 ∈ 𝐿𝐿′ je gore navedenog oblika.

Kako bi ovo i pokazali, primetimo da ako je 𝜙𝜙 ∈ 𝐿𝐿′ ,onda postoji 𝜀𝜀 > 0 i konačan broj tačaka 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2, … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 ∈ 𝑋𝑋 takvih da, kad god |𝜙𝜙(𝑓𝑓)| ≤ 1, kad god je 𝑓𝑓 ∈ 𝐿𝐿 zadovoljava za svaki |𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖)| ≤ 𝜀𝜀, za svako 𝑖𝑖 = 1,2, … 𝑛𝑛. Neka je 𝜆𝜆𝑖𝑖 = ϕ�𝒳𝒳{𝑥𝑥𝑖𝑖}� i primetimo da za svako pozitivno k, funkcija 𝑔𝑔𝑘𝑘 = 𝑎𝑎�𝑓𝑓 − ∑ 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖)𝑛𝑛

𝑖𝑖=1 𝒳𝒳{𝑥𝑥𝑖𝑖}� zadovoljava 𝑔𝑔𝑘𝑘(𝑥𝑥𝑖𝑖) = 0 , za svako 𝑖𝑖 =1,2, … 𝑛𝑛.

Dakle, 𝑎𝑎[𝜙𝜙(𝑓𝑓) − ∑ 𝜆𝜆𝑖𝑖𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖)𝑛𝑛𝑖𝑖=1 ] ≤ 1, za svako 𝑎𝑎 ∈ 𝐍𝐍, i [𝜙𝜙(𝑓𝑓) = ∑ 𝜆𝜆𝑖𝑖𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖)𝑛𝑛

𝑖𝑖=1 ] , za svako f ∈ L .Sada je lako sagledati da je 𝜎𝜎(𝐿𝐿, 𝐿𝐿′) = |𝜎𝜎|(𝐿𝐿, 𝐿𝐿′) = 𝜏𝜏. Primetimo i da L nije konačne dimenzije.

52

3.4. Topološko komplementiranje lokalno solidnih Risovih prostora

Kao što smo se već upoznali da svaki Hausdorfov topološki vektorski prostor (𝐸𝐸, 𝜏𝜏) ima jedinstven topološki komplement (𝐸𝐸� , �̂�𝜏), u smislu da je kompletan, sadržeći (𝐸𝐸, 𝜏𝜏) kao vektorski i topološki �̂�𝜏-gust podprostor. U sledećoj teoremi, pokazaćemo da ako dodamo da je prostor Risov prostor i τ je lokalno solidna topologija, (𝐸𝐸� , �̂�𝜏) ima prirodno Risovu strukturu prostora koja indukuje originalnu Risovu strukturu prostora na 𝐸𝐸. Dakle, 𝐸𝐸 je Risov podprostor prostora 𝐸𝐸�.

Teorema 3.4.1. Neka je (𝐸𝐸, 𝜏𝜏) Hausdorfov lokalno solidan Risov prostor i neka je (𝐸𝐸� , 𝜏𝜏 �) topološki završetak. Onda je �̂�𝜏-zatvorenje prostora, 𝐿𝐿+ je konus prostora 𝐿𝐿�, i �𝐿𝐿� , �̂�𝜏� koji sadrži ovaj konus je Hausdorfov lokalno solidan Risov prostor koji sadrži 𝐿𝐿 , kao Risov podprostor.

Šta više, 𝜏𝜏 � –zatvorenje solidnog podprostora prostora 𝐿𝐿 je solidan podprostor od 𝐿𝐿�. Zapravo, ako je 𝓝𝓝 baza u nuli za (𝐿𝐿, 𝜏𝜏), koja se sastoji od solidnih skupova, onda je

{𝑉𝑉� : 𝑉𝑉 ∈ 𝒩𝒩} baza u nuli za �𝐿𝐿� , �̂�𝜏� koja se sastoji od solidnih skupova.

Teorema 3.4.2. (Kavai Aliprantis) Za Hausdorfov lokalno solidan Risov prostor (𝐸𝐸, 𝜏𝜏), sledeća tvrđenja su ekvivalentna:

(1) L je regularan Risov podprostor prostora 𝐿𝐿�.

(2) Svaka τ-Košijeva mreža {𝑠𝑠𝛼𝛼} ⊆ 𝐿𝐿+pri čemu 𝑠𝑠𝛼𝛼 → 0 u 𝐿𝐿, zadovoljava 𝑠𝑠𝛼𝛼𝜏𝜏

→ 0.

Dokaz: (1)⇒(2) Neka je {𝑠𝑠𝛼𝛼} ⊆ 𝐿𝐿+ τ-Košijeva mreža takva da 𝑠𝑠𝛼𝛼 → 0 u 𝐿𝐿. Izaberimo mrežu {𝑣𝑣𝛼𝛼} ⊆ 𝐿𝐿+ takvu da 0 ≤ 𝑠𝑠𝛼𝛼 ≤ 𝑣𝑣𝛼𝛼 ↓ 0, držeći se predpostavke,𝑣𝑣𝛼𝛼 ↓ 0 u

𝐿𝐿� . Kako je {𝑠𝑠𝛼𝛼} τ-Košijeva mreža u 𝐿𝐿, postoji neko 𝑠𝑠� ∈ 𝐿𝐿� takvo da je 𝑠𝑠𝛼𝛼𝜏𝜏 �→ 𝑠𝑠� . Ali za svako

fiksirano 𝛽𝛽 imamo: 0 ≤ 𝑠𝑠𝛼𝛼 ≤ 𝑣𝑣𝛼𝛼 ≤ 𝑣𝑣𝛽𝛽 za svako 𝛼𝛼 ≥ 𝛽𝛽, i prema tome 0 ≤ 𝑠𝑠� ≤ 𝑣𝑣𝛽𝛽 za svako

𝛽𝛽, 𝑠𝑠� = 0, i konvergira 𝑠𝑠𝛼𝛼𝜏𝜏

→ 0.

(2)⇒(1) Neka je 𝑠𝑠𝛼𝛼 ↓ 0 u 𝐿𝐿. Pretpostavimo da 0 ≤ 𝑣𝑣� ≤ 𝑠𝑠𝛼𝛼 u 𝐿𝐿� za svako 𝛼𝛼. Izaberimo

mrežu {𝑣𝑣𝜆𝜆} u 𝐿𝐿+sa osobinom 𝑣𝑣𝜆𝜆𝜏𝜏�

→ 𝑣𝑣� i primetimo da :

|𝑣𝑣𝜆𝜆 ⋀ 𝑠𝑠𝛼𝛼 − 𝑣𝑣�| = |𝑣𝑣𝜆𝜆 ⋀ 𝑠𝑠𝛼𝛼 − 𝑣𝑣� ⋀ 𝑠𝑠𝛼𝛼| ≤ |𝑣𝑣𝜆𝜆 − 𝑣𝑣�|, za svako 𝛼𝛼 i 𝜆𝜆.

Ovim je pokazano da 𝑣𝑣𝜆𝜆 ⋀ 𝑠𝑠𝛼𝛼𝜏𝜏 �→ 𝑣𝑣�. Važi i odnos 0 ≤ 𝑣𝑣𝜆𝜆 ⋀ 𝑠𝑠𝛼𝛼 ≤ 𝑠𝑠𝛼𝛼 ↓𝛼𝛼 0, u 𝐿𝐿, pa 𝑣𝑣𝜆𝜆 ⋀ 𝑠𝑠𝛼𝛼

𝜏𝜏 �→ 0 u 𝐿𝐿. Imajući u vidu pretpostavku, uzimamo 𝑣𝑣𝜆𝜆 ⋀ 𝑠𝑠𝛼𝛼

𝜏𝜏�→ 𝑣𝑣�.

53

Ovo povlači 𝑣𝑣� = 0 i 𝑠𝑠𝛼𝛼 ↓ 0 u 𝐿𝐿. Odatle je 𝐿𝐿 regularan Risov podprostor prostora 𝐿𝐿�. Podsetimo se se za podskup A, topološkog vektorskog prostora (𝐸𝐸, 𝜏𝜏) , kaže da je τ-kompletan kad god je svaka τ-Košijeva mreža u A τ-konvergentna ka nekom elementu u A.

Teorema 3.4.3. (Aliprantis-Duhu) Za Hausdorfov lokalno solidan Risov prostor (𝐸𝐸, 𝜏𝜏) sledeća tvrđenja su ekvivalentna:

(1) 𝐿𝐿 je ideal u 𝐿𝐿�;

(2) Svaki interval u 𝐿𝐿 je τ-kompletan.

U suštini, ako je 𝐿𝐿 je ideal u 𝐿𝐿�, onda za svako 0 ≤ 𝑠𝑠� ≤ 𝐿𝐿�, postoji mreža {𝑠𝑠𝛼𝛼} ⊆ 𝐿𝐿+, sa

osobinom 𝑠𝑠𝛼𝛼 ↑ 𝑠𝑠� i 𝑠𝑠𝛼𝛼𝜏𝜏 �→ 𝑠𝑠� .

Dokaz: (1)⇒(2) Ako je 0 ≤ 𝑠𝑠� ∈ 𝐿𝐿�, odaberimo mrežu {𝑠𝑠𝛼𝛼} ⊆ 𝐿𝐿+, sa osobinom 𝑠𝑠𝛼𝛼𝜏𝜏 �→ 𝑠𝑠� , i primetimo da kad je 𝐿𝐿 ideal u 𝐿𝐿�, imamo {𝑠𝑠𝛼𝛼 ⋀ 𝑠𝑠�} ⊆ 𝐿𝐿+.Uzimajući konačan supremum

mreže {𝑠𝑠𝛼𝛼 ⋀ 𝑠𝑠�}, uzimamo mrežu {𝑣𝑣𝜆𝜆} ⊆ 𝐿𝐿+, takvu da 𝑣𝑣𝜆𝜆 ↑ 𝑠𝑠� i 𝑣𝑣𝜆𝜆𝜏𝜏 �→ 𝑠𝑠� , i zapravo je 𝐿𝐿 gust u

𝐿𝐿� . Sada, kada je [𝑠𝑠, 𝑣𝑣] = 𝑠𝑠 + [0, 𝑠𝑠 − 𝑣𝑣], dovoljno je pokazati da za svako 𝑠𝑠 𝑢𝑢𝐿𝐿+ interval [0, 𝑠𝑠] je τ-kompletan. Kako bi ovo pokazali, neka je {𝑠𝑠𝛼𝛼} τ-Košijeva mreža na [0, 𝑠𝑠]. Onda

𝑠𝑠𝛼𝛼𝜏𝜏 �→ 𝑠𝑠 � u 𝐿𝐿. Ali onda, 0 ≤ 𝑠𝑠� ≤ 𝑠𝑠 takođe u L, i kad god je L ideal u 𝐿𝐿� ,onda je 𝑠𝑠� ∈ 𝐿𝐿.

Dakle, [0, 𝑠𝑠] je τ-kompletan.

(2)⇒(1) Pretpostavimo da je 0 ≤ 𝑠𝑠� ≤ 𝑠𝑠 ∈ 𝐿𝐿. Odaberimo mrežu {𝑠𝑠𝛼𝛼} ⊆ 𝐿𝐿+gde je 𝑠𝑠𝛼𝛼𝜏𝜏 �→ 𝑠𝑠� .

Možemo pretpostaviti da je 0 ≤ 𝑠𝑠𝛼𝛼 ≤ 𝑠𝑠,za svako 𝛼𝛼. Sa druge strane, mi možemo zameniti mrežu {𝑠𝑠𝛼𝛼} sa {𝑠𝑠𝛼𝛼 ⋀ 𝑠𝑠}. Sledi da je 𝑠𝑠� ∈ 𝐿𝐿 ,odakle možemo zaključiti da je 𝐿𝐿 ideal u 𝐿𝐿� .

Posmatrajući topološki vektorski prostor (𝐸𝐸, 𝜏𝜏) prirodno je zapitati se koji uslovi garantuju da svaka τ-Košijeva mreža u 𝐸𝐸 konvergiranom elementu u 𝐸𝐸. Ovo pitanje zapravo odgovara pitanju: „Kada je (𝐸𝐸, 𝜏𝜏) topološki kompletan ?“

Očigledno je da ako je prostor (𝐸𝐸, 𝜏𝜏) Hausdorfov prostor, ovo se pitanje može preformulisati sa: „ Kada je 𝐸𝐸 = 𝐸𝐸�? ". U narednoj diskusiji, dobićemo odgovor za lokalno solidan Risov prostor koji je Hausdorfov, ali najpre uvedimo definiciju.

Definicija 3.4.3. Za lokalno solidan Risov prostor kaže se da zadovoljava tvrđenje o monotonoj kompletnosti (MCP), ako svaka monotona τ-Košijeva mreža u 𝐿𝐿 je τ-konvergentana u 𝐿𝐿.

Primetimo da lokalno solidan Risov prostor (𝐿𝐿, 𝜏𝜏) zadovoljava MCP ako i samo ako svaka neopadajuća τ-Košijeva mreža u 𝐿𝐿+ je τ-konvergentana u 𝐿𝐿. Takođe, treba biti jasno da svaki topološki kompletan lokalno solidan Risov prostor zadovoljava MCP. Šta više, postoji Hauzdorfov lokalno solidan Risov prostor koji zadovoljava MCP, ili postoji

54

Hausdorfov lokalno solidan Risov prostor čiji intervali su topološki kompletni, a da pri tom sam Hausdorfov prostor nije topološki kompletan.

Primer 3.4.1. Primetimo da su intervali u 𝐿𝐿 τ-kompletni, ali prostor (𝐿𝐿, 𝜏𝜏) nije τ-kompletan.

Sledećom diskusijom predstavlja se generalna karakterizacija topološke kompletnost Hausdorfovog lokalno solidnog Risovog prostora.

Teorema 3.4.4. Za Hausdorfov lokalno solidan Risov prostor (𝐿𝐿, 𝜏𝜏) sledeća tvrđenja su ekvivalentna:

(1) (𝐿𝐿, 𝜏𝜏) je τ- kompletan i 𝐿𝐿 = 𝐿𝐿�;

(2) (𝐿𝐿, 𝜏𝜏) zadovoljava MCP i svaki segment u 𝐿𝐿 je τ- kompletan.

Dokaz: (1)⇒(2) Ovo je očigledno.

(2)⇒(1) Kada god je segment u 𝐿𝐿 τ- kompletan, 𝐿𝐿 je ideal prostora 𝐿𝐿� . Neka je 0 ≤ 𝑠𝑠� ∈ 𝐿𝐿.�

Onda postoji mreža {𝑠𝑠𝛼𝛼} ⊆ 𝐿𝐿+ takva da 0 ≤ 𝑠𝑠𝛼𝛼 ↑ 𝑠𝑠� i 𝑠𝑠𝛼𝛼𝜏𝜏

→ 𝑠𝑠� .

Ali mreža {𝑠𝑠𝛼𝛼} je τ-Košijeva i na osnovu hipoteze 𝑠𝑠𝛼𝛼𝜏𝜏

→ 𝑠𝑠, za neko 𝑠𝑠 ∈ 𝐿𝐿. Sledi da 𝑠𝑠� = 𝑠𝑠 i 𝐿𝐿 = 𝐿𝐿�. Ovim je pokazano da (𝐿𝐿, 𝜏𝜏) je τ- kompletan.

Sledeća teorema odnosi se na normirane Risove prostore.

Teorema 3.4.5.(Luksemburg-Alipranris) Neka je (𝐿𝐿, 𝜏𝜏) Hausdorfov lokalno solidan Risov prostor i neka je B projekcija prostora 𝐿𝐿. Onda �̂�𝜏 zatvorenje 𝐵𝐵� za B u 𝐿𝐿� je projekcija za 𝐿𝐿� . Šta više, imamo 𝐵𝐵𝑖𝑖���� = 𝐵𝐵�𝑖𝑖, gde 𝐵𝐵𝑖𝑖 je razdvojeni komplement za B u 𝐿𝐿 i 𝐵𝐵�𝑖𝑖 je razdvojeni komplement za 𝐵𝐵� u 𝐿𝐿� .

Dokaz: Na osnovu već pokazanog možemo da zaključimo da su oba 𝐵𝐵� i 𝐵𝐵𝑖𝑖���� ideali u

𝐿𝐿� . Sada, neka je 𝑠𝑠� ∈ 𝐿𝐿�. Onda postoji mreža {𝑠𝑠𝛼𝛼}u 𝐿𝐿 sa osobinom 𝑠𝑠𝛼𝛼𝜏𝜏�

→ 𝑠𝑠�.

Označimo sledeće, 𝑠𝑠𝛼𝛼 = 𝑣𝑣𝛼𝛼 + 𝑤𝑤𝛼𝛼, gde su {𝑠𝑠𝛼𝛼} ⊂ 𝐵𝐵 i {𝑤𝑤𝛼𝛼} ⊂ 𝐵𝐵𝑖𝑖, što jeste moguće kad je 𝐵𝐵 ⊗ 𝐵𝐵𝑖𝑖 = 𝐿𝐿. Sada �𝑠𝑠𝛼𝛼 − 𝑣𝑣𝛽𝛽� = �𝑣𝑣𝛼𝛼 − 𝑣𝑣𝛽𝛽� + |𝑤𝑤𝛼𝛼 − 𝑤𝑤𝛼𝛼|, sledi da su obe mreže {𝑣𝑣𝛼𝛼}, {𝑤𝑤𝛼𝛼}

τ-Košijeve u 𝐿𝐿. Dakle, postoje takvi da, 𝑣𝑣� ∈ 𝐵𝐵� i 𝑤𝑤� ∈ 𝐵𝐵𝑖𝑖���� takvo da 𝑣𝑣𝛼𝛼𝜏𝜏�

→ 𝑣𝑣� i 𝑤𝑤𝛼𝛼𝜏𝜏�

→ 𝑤𝑤� .

Onda je 𝑠𝑠� = 𝑣𝑣� + 𝑤𝑤� ∈ 𝐵𝐵� + 𝐵𝐵𝑖𝑖����, što je 𝐿𝐿 = 𝐵𝐵� + 𝐵𝐵𝑖𝑖����. Kako bi završili kompletno ovaj dokaz moramo pokazati i 𝐵𝐵� ∩ 𝐵𝐵𝑖𝑖���� = {0}. S toga, neka je 0 ≤ 𝑠𝑠� ∈ 𝐵𝐵� ∩ 𝐵𝐵𝑖𝑖���� i izaberimo dve mreže

su {𝑠𝑠𝛼𝛼} ⊂ 𝐵𝐵 i {𝑣𝑣𝛼𝛼} ⊂ 𝐵𝐵𝑖𝑖, gde je 𝑠𝑠𝛼𝛼𝜏𝜏�

→ 𝑠𝑠� i 𝑣𝑣𝛼𝛼𝜏𝜏�

→ 𝑠𝑠� . Ali onda sledi da 0 = |𝑠𝑠𝛼𝛼| ⋀|𝑣𝑣𝛼𝛼|𝜏𝜏�

→ 𝑠𝑠� i 𝑠𝑠�= 0. Dakle identitet 𝐵𝐵𝑖𝑖���� = 𝐵𝐵�𝑖𝑖 sledi odmah.

55

Teorema 3.4.6. (Aliprantis) Za Hausdorfov lokalno solidan Risov prostor (𝐿𝐿, 𝜏𝜏), takav da je 𝐿𝐿 ograničen važi :

(1) Ako 𝐿𝐿 ima projekcije, onda 𝐿𝐿� takođe ima projekcije. (2) Ako 𝐿𝐿 projekciono svojsvo, onda je 𝐿𝐿� kompletan u Dedekindovom smislu.

Dokaz: (1) Neka je B nenula traka u 𝐿𝐿� . Onda za 𝐿𝐿 u 𝐿𝐿� povlači da 𝐵𝐵 ∩ 𝐿𝐿 je nenula traka u 𝐿𝐿. Izaberimo nenula projekciju trake A u 𝐿𝐿, sa osobinom 𝐴𝐴 ⊆ 𝐵𝐵 ∩ 𝐿𝐿 ⊆ 𝐵𝐵. Znamo da �̅�𝐴 je projekciona traka za 𝐿𝐿� i važi da je �̅�𝐴 ⊆ 𝐵𝐵.

(2) Neka je 𝐵𝐵 traka u 𝐿𝐿� . Onda je 𝐵𝐵 ∩ 𝐿𝐿 projekcijska traka u 𝐿𝐿, što povlači da 𝐵𝐵 ∩ 𝐿𝐿�������� (⊆ 𝐵𝐵) je projekciona traka u 𝐿𝐿� . Sada, ako je 0 ≤ 𝑠𝑠� ∈ 𝐵𝐵, onda 0 ≤ 𝑠𝑠𝛼𝛼 ↑ 𝑠𝑠� u 𝐿𝐿� za neku mrežu {𝑠𝑠𝛼𝛼} ⊆ 𝐵𝐵 ∩ 𝐿𝐿.

Dakle, 𝑠𝑠� ∈ 𝐵𝐵 ∩ 𝐿𝐿������� i zapravo 𝐵𝐵 = 𝐵𝐵 ∩ 𝐿𝐿�������. Ovim je pokazano da �̅�𝐴 ima projekciono svojstvo. Sada se vidi da je Risov prostor 𝐿𝐿� je uniformno kompletan, pa 𝐿𝐿� mora biti kompletan u Dedekindovom smislu.

Ograničenost prostora 𝐿𝐿 u 𝐿𝐿� ne garantuje.

56

Glava 4

Primene u ekonomiji

4.1. Opšta ravnoteža

Nije baš lako razdvojiti značaj i uticaj Erou-Debro modela opšte ravnoteže od matematičke ekonomije same po sebi. U izuzetnim delima dva najstarija i najvažnija pitanja neoklasične ekonomije bila su efkasnost i održivost tržišta. Pokazano je da je analiziranje modela ostalo verno neoklasičnim metodloškim premisama individualne racionalnosti, čišćenju tržišta, racionalnim očekivanjima koristeći dve tehnike: konveksnost i teoremu o fksnoj tački, koje su veoma važna matematička sredstva u matematičkoj ekonomiji. Ovaj model je mnogo puta interpretiran, a to i ne treba da nas iznenadi, jer su ova dva naučnika obezbedila veoma značajnu inovativnu ekonomsku interpretaciju, što ih je i dovelodo Nobelove nagrade za ekonomiju. Analiza opšte ravnoteže govori o tome kako "ogroman broj pojedinaca i njihove naizgled nezavisne odluke", po rečima Eroua, usklađuju proizvodnju, balansiraju ponudu i tražnju, i dovode do efkasne alokacije roba na tržištu. Odgovor koji su ekonomisti pružili, počevši od Adama Smita i nastavljajući do Dževonsa i Valrasa se sastoji u tome da sistem cena igra važnu ulogu u uravnotežavanju. Činjenica da se svaki pojedinac u ekonomiji suočava sa istim cenama je ono što dovodi do informacija neophodnih za koordinaciju različitih odluka pojedinaca. Proces postizanja ravnoteže na jedinstvenom tržištu (npr. Zajednica država između kojih se trgovanje obavlja bez ograničenja i carina) je bez sumnje svima poznat. Cene igraju važnu ulogu u uravnotežavanju ponude i tražnje pa prema tome svi kupci koji žele da kupe proizvode ili usluge po trenutnoj ceni to mogu i da urade; isto važi i za prodavce - mogu da prodaju svoje proizvode i usluge po trenutnoj ceni, bez ikakvih viškova ili manjkova na obe strane. Uopštenjem ove delimične ravnoteže na jedinstvenom tržištu, dolazi se do opšte ravnoteže na tržištu. Ona oslikava ideju da će u velikoj meri biti objašnjeno funkcionisanje celog tržišta, kada se govori o ravnoteži uzimajući u obzir pojedinačnu robu u uslovima kada ponuda i tražnja na tržištu zavise od cena drugih dobara. Sa ovog stanovišta, koherentna teorija sistema cena i koordinacija ekonomske aktivnosti trebalo bi da razmotre istovremeno postizanje opšte ravnoteže na svim tržištima u ekonomiji.

Otuda i pitanja koja se nameću:

1) Da li takva ravnoteža postoji?

2) Ako ravnoteža postoji koje su njene karakteristike?

Tema koja je uvek aktuelna u analizi opšte ravnoteže, i uopšte u ekonomskoj teoriji, je ideja da konkurentski mehanizam cena dovodi do efkasnih rezultata, u tom smislu da rezultati iz drugih sistema kao što je npr. planska privreda nisu efkasni. Vilfredo Pareto (1909) i Abram Bergson (1938) formalizovali su pojam efkasnosti za ravnotežu na konkurentskom tržištu. Ovo ispitivanje je dovelo do Teorema blagostanja Eroua (1951), Debroa (1951), kao i njihovog zajedničkog modela Erou - Debro (1954). Ove teoreme tvrde da postoji

57

ekvivalencija između rezultata Pareto efkasnosti i ravnoteže u uslovima konkurentskih cena. Najveći trijumf Erou - Debro modela je to što su razvijeni uslovi pod kojima je moguće tvrditi da odgovarajući sistem cena uvek postoji tako, da kao nevidljiva ruka, usmerava različite i nezavisne agente da međusobno prave kompatibilne izbore. Ideja o opštoj ravnoteži se razvijala od vremena Adama Smita, preko pionirskog rada Valrasa (1874.), don Neimana (1937.), Valda (1932.), Hiksa (1939.) i Samilsona (1947.). Do kraja četrdesetih godina, defnicija ravnoteže, uključujući i vlasničke udele, bila je već dobro utemeljena. U modelu Erou - Debro detaljno su objašnjene mikroekonomske pretpostavke na nivou pojedinačih agenata, polazeći od njihovih preferencija ka određnoj robi koje su u modelu objašnjene pomoću relacije preferencije i krivih indiferentnosti. Strog i aksiomatski pristup koji je karakterističan za formulaciju opšte ravnoteže u Erou - Debro modelu imao je mnogo uticajana ekonomske teoretičare. Najvažnije matematičke tehnike, teorija konveksnosti (teoreme separacije hiperravni) i Brauerova teorema o fiksnoj tački (Kakutani), su među najvažnijim alatima koji se koriste u ekonomskoj matematici. Mekenzi (1954.), mesec dana pre Erou - Debro modela, objavio je delo u kojem je koristeći Kakutani teoremu dokazao opštu ravnotežu, iako se model zasnivao na osnovnim pretpostavkama o funkciji tražnje, više nego na preferencijama. Pedesetih godina XX veka počele su da se javljaju formulacije ravnoteže koje su predstavljale prikaz prve i druge teoreme blagostanja koje su i Erou i Debro istovremeno objavili 1951. godine. Posebno je značajan bio dokaz da je svaka ravnoteža Pareto optimalna. U početku će akcenat biti stavljen na čistu ekonomiju razmene. Ekonomija razmene je ekonomija bez proizvodnje. U njoj postoji konačan broj agenata (učesnika u razmeni) i konačan broj dobara (robe). Svakom agentu je dodeljena određena količina robe. Svaka roba na tržištu ima svoju cenu. Cilj je da se sazna da li postoje cene takve da svako pokušava da trguje sa svojim dobrima po tim cenama, da je ponuda jednaka tražnji, i takođe kako će rezultati izgledati - da li će biti efkasni u smislu dobre defnisanosti i kakvi će oni biti u zavisnosti od preferencija i poč etnog imetka (bogatstva).

58

4.2. Funkcije preference i funkcija korisnosti

Jedan od važnijih koncepata u oblasti ekonomije, jesu relacije preferencije, ili jednostavnije samo preference. Skup dostupnih alternativa korisniku jeste skup mogućnosti ili skup izbora.

Započećemo diskusiju uvođenjem definicije.

Definicija 4.2.1. Preferenca ≽ na skupu izbora X je binarana relacija na X, koja je

(1) Refeleksivna: x ≽ x, za svako x ∈ 𝑋𝑋; (2) Tranzitivana: x ≽ 𝑦𝑦 i x ≽ z važi x ≽ z, za svaka tri elementa 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 , 𝑧𝑧 ∈ 𝑋𝑋; (3) Totalna ili kompletna ako za svaka dva elementa 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ 𝑋𝑋 ili je 𝑥𝑥 ≽ 𝑦𝑦 ili je 𝑦𝑦 ≽ 𝑥𝑥.

Napomena: 4.2.1. Preferenca iz prethodne definicije naziva se i racionalna preferenca. Za svaka dva elementa za x, y ∈ X terminologija je sledeća:

x ≽ y: x nije lošije od y, ili y nije bolje (preferiranije) od x (ekvivalentna je i oznaka y ≼ x);

Ako je istovremeno x ≽ y i y ≽ x, tada kažemo da su x i y su uzajamno indiferentni, u oznaci x ∼ y;

Ako je x ≻ y: x ≽ y i nije y ≽ x, tada kažemo da je x strogo bolje (preferiranije) od y (ekvivalentna je i oznaka y ≺ x).

Za x ∈ X definišemo sledeće skupove:

Bs (x) = {y ∈ X : y ≻ x},

Bl (x) = {y ∈ X : y ≽ x},

Ws (x) = {y ∈ X : x ≻ y},

W l(x) = {y ∈ X : x ≽ y}.

U skupu Bs (x) su svi elementi koji su bolji od x; u skupu Bl (x) su svi elementi koji nisu lošiji od x; u skupu Ws (x) su svi elementi koji su lošji od x i u skupu Wl (x) su svi elementi koji nisu bolji od x.

Iz definicije preference proizilazi naredni rezultat.

Teorema: 4.2.1. Neka je≽ preferenca na X. Tada za svako x ∈ X važi:

(Bs (x))c = Wl (x) i (Ws (x))c = Bl (x).

59

Dokaz: Neka je x ∈ X. Pretpostavimo da je y ∈ Bs (x) ∩ Wl (x). Tada je y ≻ x i y ≼ x. Međutim y ≻ x implicira y ≽ x i nije y ≼ x. Prema tome, Bs (x) ∩ Wl (x) = ∅.

Neka je sada y ∈ X proizvoljan elemenat. Zbog kompletnosti relacije ≽ sledi da je y ≽ x ili y ≼ x. Ako je y ≼ x, onda je y ∈ Wl (x). Pretpostavimo da nije y ≼ x. Tada mora biti y ≽ x, te je onda y ≻ x. Sledi y ∈ Bs (x). Time smo dokazali X = Bs (x) ∪ Wl (x).

Konačno, sledi (Bs (x))c = Wl (x). Rezultat (Ws (x))c = Bl (x) dokazuje se analogno.

U daljim razmatranjima neophodno je da skup X ima određenu topološku sturkturu. Neka je τ topologija na X (familija otvorenih skupova na X), i neka je F odgovarajuća familija zatvorenih skupova na X.

Definicija 4.2.2. Neka je ≽ preferenca na topološkom prostoru X.

Preferenca ≽ je:

(1) odozgo poluneprekidna, ako je za svako x ∈ X skup Bl (x) zatvoren;

(2) odozdo poluneprekidna, ako je za svako x ∈ X skup Wl (x) zatvoren;

(3) neprekidna, ako je odozgo i odozdo poluneprekidna.

Koristimo činjenicu da je skup V u topološkom prostoru otvoren, ako i samo ako je Vc zatvoren.

Posledica 4.2.1. Neka je ≽ preferenca na topološkom prostoru X. Tada:

(1) ≽ je odozgo poluneprekidna, ako i samo ako je Ws (x) otvoren za svako x ∈ X;

(2) ≽ je odozdo poluneprekidna, ako i samo ako je Bs (x) otvoren za svako x ∈ X;

(3) ≽ je neprekidna, ako i samo ako su skupovi Ws (x) i Bs (x) otvoreni za svako x ∈ X.

Dokazujemo sledeće svojstvo o neprekidnosti preference.

Teorema 4.2.2. Neka je ≽ preferenca na topološkom prostoru X. Sledeća tvrđenja su ekvivalentna:

(1) Preferenca ≽ je neprekidna;

(2) Preferenca ≽ je zatvoren podskup topološkog prostora X × X;

(3) Ako vazi x ≻ y u X, tada postoje uzajamno disjunktne otvorene okoline Ux i Uy tačka x i y, tako da a ∈ Ux i b ∈ Uy implicira a ≻ b.

60

Dokaz: (1) ⇒ (3): Neka je x ≻ y. Razlikujemo dva slučaja (Slika 4.2.2.)

Slika 4.2.2.

(1.1) Pretpostavimo da postoji neko z sa svojstvom x ≻ z ≻ y. Tada je Ux = {a ∈ X: a ≻ z} i Uy = {b ∈ X: z ≻ b}. Proveravamo da Ux i Uy zadovoljavaju tražene uslove. Iz neprekidnosti ≽ sledi da su Ux i Uy otvoreni skupovi. Očigledno je x ∈ Ux i y ∈ Uy. Ako je a ∈ Ux i b ∈ Uy, onda je a ≻ z ≻ b, te je a ≻ b. Na osnovu poslednje implikacije sledi Ux ∩ Uy = ∅.

(1.2) Pretpostavimo da ne postoji z sa svojstvom x ≻ z ≻ y. Neka je Ux = {a ∈ X: a ≻ y} i Uy = {b ∈ X: x ≻ b}. Ux i Uy su tražene okoline. Još jednom, zbog neprekidnosti ≽, Ux i Uy su otvoreni skupovi, a takođe je očigledno x ∈ Ux i y ∈ Uy. Neka je a ∈ Ux i b ∈ Uy. Tada je a ≻ y i x ≻ b. Zbog potpunosti ≽, važi a ≽ b ili b ≽ a. Ako bi bilo b≽ a, onda je x≻ b≽ a ≻ y. Po pretpostavci (1.2), nije moguće da važi x ≻ b≻ y. Stoga je a ≽ b i nije b ≽ a, odnosno važi a ≻ b. Dokazali smo da iz a ∈ Ux i b ∈ Uy sledi a ≻ b. Stoga je Ux ∩ Uy = ∅.

(3) ⇒ (2): Neka je {(𝑥𝑥𝛼𝛼, 𝑦𝑦𝛼𝛼)}mreža u ≽ (≽ ⊂ X×X ), koja zadovoljava uslov(𝑥𝑥𝛼𝛼 , 𝑦𝑦𝛼𝛼)→ (x, y) u X × X. Ako važi y≻ x, onda postoje uzajamno disjunktne okoline Ux i Uy od x i y redom, tako da a ∈ Ux i b ∈ Uy implicira b ≻ a. Specijalno, za dovoljno veliko α mora važiti (𝑥𝑥𝛼𝛼 , 𝑦𝑦𝛼𝛼) ∈ Ux × Uy, te sledi 𝑦𝑦𝛼𝛼 ≻ 𝑥𝑥𝛼𝛼, što je nemoguće. Prema tome, važi x ≽ y, te (x, y) ∈ ≽. Proizilazi da je ≽ zatvoren podskup od X × X.

(2)⇒(1) Neka je {𝑦𝑦𝛼𝛼 } niz elemenata skupa Bl (x), takav da važi 𝑦𝑦𝛼𝛼→ z . Tada niz {( 𝑦𝑦𝛼𝛼,x )} od ≽ zadovoljava (𝑦𝑦𝛼𝛼, x) → (z, x) na X × X. Kako je ≽ zatvorena u X × X, sledi da je (z, x) ∈ ≽. Stoga važi z ≽ x, te je z ∈ Bl (x), odnosno Bl (x) je zatvoren skup. Analogno možemo pokazati da je Wl (x) zatvoren skup, odakle sledi neprekidnost relacije.

Neka je X realan vektorski prostor. Ako je X topološki vektorski prostor, onda je topologija τ na vektorskom prostoru X takva, da su operacije sabiranja vektora, kao i množenja vektora skalarom, neprekidne funkcije (iz X×X u X, i iz X×R u X).

61

Definicija 4.2.3. Neka je K konveksan podskup vektorskog prostora X, i neka je ≽ preferenca na K. Tada:

(1) ≽ je konveksna na K, ako je skup Bl (x) konveksan za svako x ∈ K;

(2) ≽ je strogo konveksna na K, ako je skup Bl (x) strogo konveksan za svako x ∈ K.

Definicija 4.2.4. Neka je (X, ≤) uređen vektorski prostor, i neka je ≽ preferenca na X. Tada je:

1) ≽ je monotona u odnosu na ≥, ako za svako 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ 𝑋𝑋, iz 𝑥𝑥 ≥ 𝑦𝑦 sledi x ≽ y;

2) ≽ je strogo monotona u odnosu na 𝑥𝑥 > 𝑦𝑦, ako za svako 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ 𝑋𝑋, iz x > y sledi x ≻ y.

Razmatraćemo maksimalne elemente u odnosu na preferencu.

Definicija 4.2.5. Neka je ≽ preferenca na nepraznom skupu K. Elemenat x ∈ K je maksimalan u odnosu na ≽, ako ne postoji y ∈ K tako da je y ≻ x.

Imajući u vidu da je ≽ kompletna relacija, sledi da je x ∈ K maksimalan element u odnosu na ≽, ako i samo ako je x ≽ y za svako y ∈ K. Maksimalan elemenat u odnosu na preferencu ne mora postojati. Ako maksimalan elemenat postoji, imajući u vidu da preferenca ne mora biti antisimetrična, ne može se izvesti opšti zaključak o jedinstvenosti maksimalnog elementa.

Teorema 4.2.5. Za relaciju preference ≽ na skupu X, i neprazan podskup A ⊆ X, svi maksimalni elementi skupa A su jednaki.

Dokaz: Neka je a maksimalni element za ≽ na skupu A. Ako je b ∈ 𝐴𝐴 još jedan maksimalni element, onda je a ≽ 𝑏𝑏 i b≽ a, pa važi a ~ b. To znači da se svi maksimalni elementi skupa A u odnosu na ≽ nalaze u istom indiferentnom skupu, dakle jednaki su.

Podsetimo da je relacija preference ≽ na topološkom prostoru X odozgo poluneprekidna ako je za svako 𝑥𝑥 ∈ 𝑋𝑋 skup {𝑦𝑦 ∈ 𝑋𝑋 ∶ 𝑦𝑦 ≽ 𝑥𝑥 } zatvoren skup. Sve odozgo poluneprekidne relacije preference na kompaktnom topološkom prostoru imaju maksimalni element.

Teorema 4.2.6. Skup svih maksimalnih elemenata odozgo poluneprekidne relacije preference na kompaktnom topološkom prostoru je neprazan i kompaktan.

Dokaz: Neka je ≽ odozgo poluneprekidna relacija preference na kompaktnom topološkom prostoru X. Neka je za svako 𝑥𝑥 ∈ 𝑋𝑋, 𝑃𝑃𝑥𝑥 = {𝑦𝑦 ∈ 𝑋𝑋: 𝑦𝑦 ≽ 𝑥𝑥}. Kako je ≽ odozgo poluneprekidna relacija preference, tada je 𝑃𝑃𝑥𝑥 (neprazan) skup, zatvoren i otuda je kompaktan. Primetimo da je skup maksimalnih elemenata relacije ≽ kompaktan skup ⋂ 𝑃𝑃𝑥𝑥𝑥𝑥∈𝑥𝑥 . Pokažimo da je ⋂ 𝑃𝑃𝑥𝑥 ≠𝑥𝑥∈𝑥𝑥 ∅ .

Neka su 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2, … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 ∈ 𝑋𝑋. Kako je ≽ binarna relacija, skup {𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2, … , 𝑥𝑥𝑛𝑛} je potpuno određen. Možemo pretpostaviti da je 𝑥𝑥1 ≽ 𝑥𝑥2 ≽, … , ≽ 𝑥𝑥𝑛𝑛 , odakle sledi:

62

𝑃𝑃𝑥𝑥1 ⊆ 𝑃𝑃𝑥𝑥2 ⊆ ⋯ ⊆ 𝑃𝑃𝑥𝑥𝑛𝑛 , kao i ⋂ 𝑃𝑃𝑥𝑥𝑖𝑖 = 𝑃𝑃𝑥𝑥1 ≠ ∅𝑛𝑛𝑖𝑖=1 .

Dakle, familija zatvorenih skupova {𝑃𝑃𝑥𝑥 ∶ 𝑥𝑥 ∈ 𝑋𝑋} ima osobinu ograničenog preseka. Kako je X kompaktan, skup je ⋂ 𝑃𝑃𝑥𝑥 ≠ ∅ ,𝑥𝑥∈𝑥𝑥 tj. neprazan je.

Naredna teorema nam govori kada relacija preference ima tačno jedan maksimalan element.

Teorema 4.2.7. Za odozgo poluneprekidnu, konveksnu relaciju preference ≽ na konveksnom, kompaktnom podskupu X topološkog vektorskog prostora važe sledeća svojstva:

1) Skup svih maksimalnih elemenata u odnosu na relaciju preference na je neprazan, konveksan i kompaktan.

2) Ako je strogo konveksna, onda ima tačno jedan maksimalni element na X.

Dokaz: 1) Na osnovu već pomenute teoreme, skup svih maksimalnih elemenata u odnosu na ≽ je neprazan i kompaktan. Da bi dokazali da je ovaj skup konveksan, neka su i a i b dva maksimalna elementa na u odnosu na ≽ i neka važi 0< 𝛼𝛼 < 1. Tada je 𝛼𝛼𝑎𝑎 +(1 − 𝛼𝛼)𝑏𝑏 ∈ 𝑋𝑋 na osnovu konveksnosti relacije ≽, sledi da je 𝛼𝛼𝑎𝑎 + (1 − 𝛼𝛼)𝑏𝑏 ≽ 𝑎𝑎. Sa druge strane, kako je a maksimalan element, imamo 𝑎𝑎 ≽ 𝛼𝛼𝑎𝑎 + (1 − 𝛼𝛼)𝑏𝑏 , odakle sledi da je 𝛼𝛼𝑎𝑎 +(1 − 𝛼𝛼)𝑏𝑏 takođe maksimalni element za relaciju ≽.

2) Pretpostavimo da je ≽ strogo konveksna. Ako su a i b dva maksimalna, različita elementa, tada je i 1

2𝑎𝑎 + 1

2𝑏𝑏 ∈ 𝑋𝑋 , i 1

2𝑎𝑎 + 1

2𝑏𝑏 ≻ 𝑎𝑎 sto je u kontradikciji sa činjenicom da je a

maksimalan element na X. To znači da ≽ ima tačno jedan maksimalan element na X.

Bilo koja funkcija u: X→ R, gde je skup R realnih brojeva, definiše relaciju preference na X na sledeći način:

x ≽ y ⇔ u (x) ≥ u (y)

U ovom slučaju, x ≻ y je naravno ekvivalentno sa u (x) > 𝑠𝑠(𝑦𝑦) .

Definicija 4.2.8. Za funkciju u: X→ R kažemo da je funkcija korisnosti koja predstavlja relaciju preference ≽ na skupu X ako važi:

x ≽ y ⇔ u (x) ≥ 𝑠𝑠(𝑦𝑦).

Funkcije korisnosti nisu jedinstveno određene. Na primer, ako funkcija predstavlja funkciju korisnosti, onda su takođe i funkcije 𝑠𝑠 + 𝑐𝑐, 𝑠𝑠3, 𝑠𝑠5, 𝐼𝐼𝑢𝑢 funkcije korisnosti.

Naredna teorema nam kaže da uopštena klasa relacija preferenci može biti predstavljena funkcijom korisnosti.

63

Teorema 4.2.8. Svaka neprekidna preferenca na topološkom prostoru sa prebrojivom bazom otvorenih skupova može biti predstavljena neprekidnom funkcijom korisnos ti.

4.3. Ekonomija razmene Jedan od osnovnih ekonomskih razloga povezanih sa bilo kojim tržistem je dualnost robne cene. G. Debreu je prvi izrazio u smislu dvojnog para ⟨𝑋𝑋, 𝑋𝑋′⟩. Vektorski prostor X je prostor robe i njegovi vektori su poznati kao robni vektori (ili, jednostavno kao roba), dok je 𝑋𝑋′ prostor cena i njegovi vektori se nazivaju cenama. Par ⟨𝑥𝑥, 𝑥𝑥 ,⟩ se tumači kao vrednost robe x po ceni 𝑥𝑥 ,. Najčešće se vektori cene označavaju slovima p, q,…. Uređen par ⟨𝑥𝑥, 𝑠𝑠⟩ pretstavljaće vrednost robe x po ceni p, ta vrednost označavaće se sa 𝑥𝑥 ∙ 𝑠𝑠. Sledi formalna defnicija ekonomije razmene.

Definicija 4.3.1. Ekonomija razmene je uređen par

𝜀𝜀 = �⟨𝑋𝑋, 𝑋𝑋′⟩ , (𝑋𝑋1, ≽1, 𝜔𝜔1), … , (𝑋𝑋𝑚𝑚, ≽𝑚𝑚, 𝜔𝜔𝑚𝑚)�. Pri čemu je: 1) Dvojnost robne cene je opisana dvostrukim parom ⟨𝑋𝑋, 𝑋𝑋′⟩, gde je X robin prostora 𝑋𝑋′ prostor cena; 2) Ekonomija ima m potrošača. Svaki potrošač i ima potrošački skup 𝑋𝑋𝑖𝑖 i početni kapital 𝜔𝜔𝑖𝑖 ∈ 𝑋𝑋𝑖𝑖; 3) Izbor svakog potrošača i opisan je preferencom ≽𝑖𝑖 na potrošačkom skupu 𝑋𝑋𝑖𝑖.

Vektor 𝜔𝜔 = ∑ 𝜔𝜔𝑖𝑖𝑚𝑚𝑖𝑖=1 je poznat kao ukupna vrednost.

Definišu se se Risovi parovi i parovi rešetaka. Definicija 4.3.2. Risov par ⟨𝐿𝐿, 𝐿𝐿′⟩ je dualni par gde je L Risov prostor i 𝐿𝐿′ je ideal u uređenom dualnom prostoru 𝐿𝐿~.

Slično, par rešetaka ⟨𝐿𝐿, 𝐿𝐿′⟩ je dualni par gde je L Risov prostor i 𝐿𝐿′ Risov potprostor uređenog dualnog prostora 𝐿𝐿~.

Ako 𝐿𝐿~ odvaja tačke u Risovom prostoru L, onda je ⟨𝐿𝐿, 𝐿𝐿~⟩ automatski Risov par.

Definicija 4.3.3. Risov par ⟨𝐿𝐿, 𝐿𝐿′⟩ je simetričan ako je L ideal u (𝐿𝐿)~, ili, ekvivalentno ako je ⟨𝐿𝐿′, 𝐿𝐿⟩ Risov par.

Ako je ⟨𝐿𝐿, 𝐿𝐿′⟩ par rešetke, onda je proizvoljan element 𝑥𝑥 ∈ 𝐿𝐿+ strogo pozitivan, u oznaci 𝑥𝑥 ≫0 , ako je ⟨𝑥𝑥, 𝑥𝑥 ,⟩ > 0 za svako 0 < 𝑥𝑥 , ∈ 𝐿𝐿′. Ako je L = Rl, onda je pozitivan vektor strogo pozitivan ako i samo ako je svaka komponenta od x strogo pozitivna. Konkretno, vektor 0 < 𝑥𝑥 , ∈ 𝐿𝐿′ je strogo pozitivan ako 0 < 𝑥𝑥 , ∈ 𝐿𝐿+ podrazumeva ⟨𝑥𝑥, 𝑥𝑥 ,⟩ > 0.

Na osnovu prethodnog možemo klasifkovati ekonomiju prema prostoru robe i cena.

64

Definicija 4.3.4. Ekonomija razmene se naziva: -Risova ekonomija, ako je njena robna-cenovna dualnost opisana Risovim parom ⟨𝐿𝐿, 𝐿𝐿′⟩ i potrošački skup je 𝐿𝐿+;

-Ekonomija rešetke, ako je njena robna-cenovna dualnost opisana parom rešetaka ⟨𝐿𝐿, 𝐿𝐿′⟩ i potrošački skup je L+;

-Risova robna ekonomija, ako je prostor robe Risov prostor;

-Risova ekonomija cene, ako je prostor cene Risov prostor;

- Konveksna ekonomija, ako su preference i potrošački skupovi konveksni; -Konačno dimenzionalna ekonomija, ako je to konveksna Risova ekonomija sa Risovim parom (Rl, Rl) i ukupna vrednost je strogo pozitivna. Uvešćemo sada oznaku svih raspodela A kao skup:

A={(𝑥𝑥1, 𝑥𝑥𝟐𝟐, … , 𝑥𝑥𝑚𝑚) ∈ 𝑿𝑿𝒎𝒎 ∶ 𝑥𝑥𝑖𝑖 ∈ 𝑋𝑋𝒊𝒊, za svako 𝑖𝑖 važi 𝜔𝜔 = ∑ 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑚𝑚𝑖𝑖=1 }

Očigledno je (𝜔𝜔1, 𝜔𝜔𝟐𝟐, … , 𝜔𝜔𝑚𝑚) ∈ A i A je uvek neprazan skup.

Dakle, raspodela predstavlja preraspodelu ukupnog doprinosa 𝜔𝜔 između m potrošača.

Započećemo našu diskusiju navodeći osnovne osobine raspodele.

Definicija 4.3.5. Za raspodelu (𝑥𝑥1, 𝑥𝑥𝟐𝟐, … , 𝑥𝑥𝑚𝑚) kažemo da je:

a) Individualno racionalna, ako važi 𝑥𝑥𝑖𝑖 ≽𝒊𝒊 𝜔𝜔𝑖𝑖 za svakog potrošača i;

b) Slabo Pareto optimalna, ako ne postoji nijedna druga raspodela (𝑦𝑦1, 𝑦𝑦𝟐𝟐, … , 𝑦𝑦𝑚𝑚) takva da je 𝑦𝑦𝑖𝑖 ≻𝒊𝒊 𝑥𝑥𝑖𝑖 za svako i;

c) Pareto optimalna, ako ne postoji raspodela (𝑦𝑦1, 𝑦𝑦𝟐𝟐, … , 𝑦𝑦𝑚𝑚) takva da je 𝑦𝑦𝑖𝑖 ≽𝒊𝒊 𝑥𝑥𝑖𝑖 za svakog potrošača i i za bar jednog potrošača je 𝑦𝑦𝑖𝑖 ≻𝒊𝒊 𝑥𝑥𝑖𝑖 . Skup individualno racionalnih raspodela obeležićemo sa 𝐴𝐴𝑟𝑟 , pri čemu je:

𝐴𝐴𝑟𝑟 = {(𝑥𝑥1, 𝑥𝑥𝟐𝟐, … , 𝑥𝑥𝑚𝑚) ∈ 𝐴𝐴: 𝑥𝑥𝑖𝑖 ≽𝒊𝒊 𝜔𝜔𝑖𝑖, za svako 𝑖𝑖 },

a slabo Pareto optimalnu raspodelu obeležićemo sa 𝐴𝐴𝜔𝜔𝜔𝜔 pri čemu je:

𝐴𝐴𝜔𝜔𝜔𝜔 = {(𝑥𝑥1, 𝑥𝑥𝟐𝟐, … , 𝑥𝑥𝑚𝑚) 𝐴𝐴: ne postoji (𝑦𝑦1, 𝑦𝑦𝟐𝟐, … , 𝑦𝑦𝑚𝑚) koji zadovoljava 𝑦𝑦𝑖𝑖 ≽𝒊𝒊 𝑥𝑥𝑖𝑖, za svako 𝑖𝑖 }.

Jasno, svaka Pareto optimalna raspodela je slabo Pareto optimalna. Obrnuto tvrđenje je tačno ukoliko su preference neprekidne i strogo monotone.

65

Teorema 4.3.5. U Risovoj robnoj ekonomiji, ako potrošači imaju neprekidne i strogo monotone preference, za neku linearnu topologiju, tada je svaka slabo optimalna raspodela Pareto optimalna. Diskutovaćemo kompaktnost skupova svih raspodela iz A. Primetimo da važi A ⊆ [0, 𝜔𝜔]𝑚𝑚. Iz jednakosti 𝜎𝜎(𝐿𝐿𝑚𝑚, (𝑋𝑋 ,)𝑚𝑚) = ∏ 𝜎𝜎(𝐿𝐿, 𝑋𝑋 ,),𝑚𝑚

𝑖𝑖=1 sledi da je A je 𝜎𝜎(𝐿𝐿𝑚𝑚, (𝑋𝑋 ,)𝑚𝑚) − zatvoren skup u 𝐿𝐿𝑚𝑚. Predpostavimo da Edžvortova kutija [0, 𝜔𝜔] je 𝜎𝜎(𝐿𝐿, 𝑋𝑋 ,) −kompaktna. Tada, ako je [0, 𝜔𝜔]𝑚𝑚 je 𝜎𝜎(𝐿𝐿𝑚𝑚, (𝑋𝑋 ,)𝑚𝑚) − kompaktan, i 𝜎𝜎(𝐿𝐿𝑚𝑚, (𝑋𝑋 ,)𝑚𝑚) − zatvoren podskup skupa A u [0, 𝜔𝜔]𝑚𝑚 je 𝜎𝜎(𝐿𝐿𝑚𝑚, (𝑋𝑋 ,)𝑚𝑚) − kompaktan. Predpostavimo da A je 𝜎𝜎(𝐿𝐿𝑚𝑚, (𝑋𝑋 ,)𝑚𝑚) − kompaktan podskup u 𝐿𝐿𝑚𝑚, i neka je mreža {𝑥𝑥𝛼𝛼} u [0, 𝜔𝜔]. Uzmimo da je 𝑦𝑦𝛼𝛼 = (𝑥𝑥𝛼𝛼 , 𝜔𝜔 − 𝑥𝑥𝛼𝛼 ,0 , 0 , … , 0) i primetimo da je mreža {𝑦𝑦𝛼𝛼} slabo kompa ktnog skupa A. Kako, {𝑦𝑦𝛼𝛼} ima 𝜎𝜎(𝐿𝐿𝑚𝑚, (𝑋𝑋 ,)𝑚𝑚) − konvergentan podskup u 𝐿𝐿𝑚𝑚, iz ovoga se može zaključiti da mreža {𝑥𝑥𝛼𝛼} takođe ima 𝜎𝜎(𝐿𝐿𝑚𝑚, (𝑋𝑋 ,)𝑚𝑚) −konvergentan podskup u [0, 𝜔𝜔]. Sledi da je Edžvortova kutija [0, 𝜔𝜔] 𝜎𝜎(𝐿𝐿, 𝑋𝑋 ,) − kompaktna. Teorema 4.3.6. U Risovoj robnoj ekonomij ako je Edžvortova kutija slabo ko-mpaktna i preference su slabo neprekidne, onda neprazni skupovi 𝑨𝑨𝒓𝒓 i 𝑨𝑨𝝎𝝎𝝎𝝎 su oba slabo kompaktna.

66

4.4. Efikasnost, cene i teoreme ekonomije blagostanja

Tek sada kada smo uveli ekonomiju razmene na Risovim prostorima, možemo diskutovati o efikasnosti raspodela cena. Kao što smo videli, Pareto efikasnost raspodele može biti okarakterisana u terminima cena. Naime, počećemo sa definicijom raspodele podržavajuće cene.

Definicija 4.4.1. Za raspodelu u ekonomiji razmene kaže se da je podržana cenom ukoliko postoji nenula cena p ∈ 𝑋𝑋′, takva da za svakog agenta i,

x ≽𝑖𝑖 𝑥𝑥𝑖𝑖 ⇒ 𝑠𝑠 ∙ 𝑥𝑥 ≥ 𝑠𝑠 ∙ 𝑥𝑥𝑖𝑖.

Drugim rečima, raspodela (𝑥𝑥1, 𝑥𝑥𝟐𝟐, … , 𝑥𝑥𝑚𝑚) je podržana cenom ukoliko postoji nenula cena p, takva da za svako i, cena p dostiže svoju minimalnu vrednost na skupu 𝑥𝑥𝑖𝑖 , u X. U Risovoj robnoj ekonomiji, sa monotonim preferencama, podržavajuće cene su pozitivne.

Lema: U Risovoj robnoj ekonomiji, ako bar jedan agent ima monotonu preferencu, onda je svaka podržavajuća cena pozitivna.

Neka bar jedan agent ima monotonu preferencu, neka je raspodela (𝑥𝑥1, 𝑥𝑥𝟐𝟐, … , 𝑥𝑥𝑚𝑚) podržana nenula cenom. Ukoliko 𝑥𝑥 ≥ 0,onda 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥1 ≽𝑖𝑖 𝑥𝑥1 , i za podržavajuću cenu p važiće 𝑠𝑠 ∙ (𝑥𝑥 + 𝑥𝑥1) ≥ 𝑠𝑠 ∙ 𝑥𝑥1. Ovim se ukazuje na to da je 𝑠𝑠 ∙ 𝑥𝑥 ≥ 0, što zapravo i znači 𝑠𝑠 ≥ 0.

Objektivnost ovog poglavlja je zapravo i verzija sledeće efikasnosti raspodele poznate kao prva i druga teorema ekonomije blagostanja. Uvodimo ih kao:

Prva teorema blagostanja: Svaka raspodela poržana cenom je Pareto efikasna.

Druga teorema balgostanja: Svaka Pareto efikasna raspodela može biti podržana cenom.

Prva teorema blagostanja: Predpostavimo da je skup agenata u ekonomiji razmene konus i da svaka preferenca je odozdo poluneprekidna za neku linearnu topologiju. Tada, svaka raspodela koja je podržana cenom i zadovoljava 𝑠𝑠 ∙ 𝜔𝜔 ≠ 0 je slabo Pareto efikasna.

Dokaz: Neka važi pretpostavka: Neka je (𝑥𝑥1, 𝑥𝑥𝟐𝟐, … , 𝑥𝑥𝑚𝑚) raspodela podržana cenom p, pri čemu važi 𝑠𝑠 ∙ 𝜔𝜔 ≠ 0 . Takođe, predpostavimo suprotno, da raspodela (𝑥𝑥1, 𝑥𝑥𝟐𝟐, … , 𝑥𝑥𝑚𝑚) nije slabo Pareto efikasna. Onda, postoji druga raspodela (𝑧𝑧1, 𝑧𝑧𝟐𝟐, … , 𝑧𝑧𝑚𝑚), takva da je 𝑧𝑧𝑖𝑖 ≻𝒊𝒊 𝑥𝑥𝑖𝑖 za svako i. Kako je p podržavajuća cena, važi 𝑠𝑠 ∙ 𝑧𝑧𝑖𝑖 ≥ 𝑠𝑠 ∙ 𝑥𝑥𝑖𝑖, za svako i, i

∑ 𝑠𝑠 ∙ 𝑧𝑧𝑖𝑖 = 𝑠𝑠 ∙ [∑ 𝑧𝑧𝑖𝑖

𝑚𝑚𝑖𝑖=1 ] = 𝑠𝑠 ∙ 𝜔𝜔 = 𝑠𝑠 ∙ ∑ 𝑥𝑥𝑖𝑖 = ∑ 𝑠𝑠 ∙𝑚𝑚

𝑖𝑖=1𝑚𝑚𝑖𝑖=1

𝑚𝑚𝑖𝑖=1 𝑥𝑥𝑖𝑖 .

Vidimo da je 𝑠𝑠 ∙ 𝑧𝑧𝑖𝑖 = 𝑠𝑠 ∙ 𝑥𝑥𝑖𝑖, za svako i. Primetimo da je skup X konus i da je lim𝛿𝛿↑1

𝛿𝛿𝑧𝑧𝑖𝑖 = 𝑧𝑧𝑖𝑖 istinito za svaku linearnu topologiju, što iz osobine odozdo poluneprekidnosti preference, sledi da postoji neko 0 < 𝜀𝜀 < 1 tako da je 1 − 𝜀𝜀 ≤ 𝛿𝛿 ≤ 1 + 𝜀𝜀 odakle sledi da je 𝛿𝛿𝑧𝑧𝑖𝑖 ≻𝒊𝒊 𝑥𝑥𝑖𝑖. Koristeći da je p podržavajuća, važiće:

67

𝛿𝛿𝜔𝜔 ∙ 𝑥𝑥𝑖𝑖 = 𝛿𝛿𝜔𝜔 ∙ 𝑧𝑧𝑖𝑖 = 𝑠𝑠 ∙ �𝛿𝛿𝑧𝑧𝑖𝑖� ≥ 𝑠𝑠 ∙ 𝑥𝑥𝑖𝑖 ili (𝛿𝛿 − 1)𝑠𝑠 ∙ 𝑥𝑥𝑖𝑖 ≥ 0, za svako 1 − 𝜀𝜀 ≤ 𝛿𝛿 ≤ 1 + 𝜀𝜀. Uzimajući da je 𝛿𝛿 = 1 ± 𝜀𝜀, vidimo da je: ±𝜀𝜀 𝑠𝑠 ∙ 𝑥𝑥𝑖𝑖 ≥ 0 ili 𝑠𝑠 ∙ 𝑥𝑥𝑖𝑖 = 0, za svako i. Odavde sledi da je 𝑠𝑠 ∙ 𝜔𝜔 = ∑ 𝑠𝑠 ∙ 𝑥𝑥𝑖𝑖 = 0𝑚𝑚

𝑖𝑖=1 , što je nemoguće. Dakle, zaključujemo da je raspodela (𝑥𝑥1, 𝑥𝑥𝟐𝟐, … , 𝑥𝑥𝑚𝑚) slabo Pareto efikasna. U konačno- dimenzionalnoj ekonomiji lako je dokazati drugu teoremu blagostanja. Druga teorema blagostanja: Pretpostavimo da je konačno-dimenzionalna ekonomija konveksna i: 1) Ukupna vrednost 𝜔𝜔 je poželjna za svakog agenta; 2) Jedan agent ima monotonu preferencu. Tada svaka slabo Pareto efikasna raspodela je podržana pozitivnom cenom p, koja zadovoljava 𝑠𝑠 ∙ 𝜔𝜔 > 0. Dokaz: Neka je (𝑥𝑥1, 𝑥𝑥𝟐𝟐, … , 𝑥𝑥𝑚𝑚) slaba Pareto efikasna raspodela u konačno-dimenzionalnoj ekonomiji sa konveksnim preferencama gde je ukupna vrednost 𝜔𝜔 poželjna za svakog agenta. Sada za svakog agenta i definišemo konveksan skup 𝐹𝐹𝑖𝑖 = {𝑥𝑥 ∈ 𝐑𝐑𝒍𝒍

+ ∶ 𝑥𝑥 ≽𝑖𝑖 𝑥𝑥𝑖𝑖}, i neka je

F = 𝐹𝐹1 + 𝐹𝐹2 + ⋯ + 𝐹𝐹𝑚𝑚−𝜔𝜔 .

Jasno je da je F konveksan skup i tvrdimo da je − 1𝑛𝑛

𝜔𝜔 nije element skupa F, za svako n.

Kako bi ovo pokazali, predpostavimo suprotno da je − 1𝑛𝑛

𝜔𝜔 ∈ 𝐹𝐹 za neko n. Onda za svako

i=1, 2, 3,…, m, postoji neko 𝑧𝑧𝑖𝑖 ∈ 𝐹𝐹𝑖𝑖 , takvo da je − 1𝑛𝑛

𝜔𝜔 = 𝑧𝑧1 + ⋯ + 𝑧𝑧𝑚𝑚−𝜔𝜔 . Ovo jednakost možemo i svesti na sledeći oblik:

(𝑧𝑧1 +1

𝑚𝑚𝑛𝑛𝜔𝜔) + (𝑧𝑧2 +

1𝑚𝑚𝑛𝑛

𝜔𝜔) + ⋯ + (𝑧𝑧𝑚𝑚 +1

𝑚𝑚𝑛𝑛𝜔𝜔) = 𝜔𝜔

Ukoliko označimo 𝑦𝑦𝑖𝑖 = (𝑧𝑧𝑖𝑖 + 1𝑚𝑚𝑛𝑛

𝜔𝜔) , 𝑖𝑖 = 1,2 … , 𝑚𝑚, onda je (𝑦𝑦1, 𝑦𝑦2, … , 𝑦𝑦𝑚𝑚) raspodela poželjna za svakog agenta, i ispunjeno je 𝑦𝑦𝑖𝑖 ≽𝑖𝑖 𝑧𝑧𝑖𝑖 ≽𝑖𝑖 𝑥𝑥𝑖𝑖, za svako 𝑖𝑖. Ovim je pokazano da (𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2, … , 𝑥𝑥𝑚𝑚) nije slabo Pareto efikasna, što je nemoguće. Dakle, − 1

𝑛𝑛𝜔𝜔 nije element skupa

F ni za jedno n. Sada, na osnovu teoreme o separaciji konačno dimenzionalnih prostora, sledi da za svako n ∈ N, postoji neka cena 𝑠𝑠𝑛𝑛 ∈ 𝐑𝐑𝐥𝐥 pri čemu je ‖𝑠𝑠𝑛𝑛‖ = 1 i za svako 𝑧𝑧 ∈ 𝐹𝐹 biće zadovoljena sledeća nejednakost:

−1𝑛𝑛

𝑠𝑠𝑛𝑛 ∙ 𝜔𝜔 ≤ 𝑠𝑠𝑛𝑛 ∙ 𝑧𝑧 . Dalje, neka je p tačka konvergencije niza {𝑠𝑠𝑛𝑛}. Dakle, p je nenula cena, sto zapravo sledi iz ‖𝑠𝑠𝑛𝑛‖ = 1, i očigledno je 𝑠𝑠 ∙ 𝑧𝑧 ≥ 0, za svako 𝑧𝑧 ∈ 𝐹𝐹. Na kraju, tvrdimo da cena p podržava raspodelu (𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2, … , 𝑥𝑥𝑚𝑚). Kako bismo ovo dokazali, pretpostavimo da 𝑥𝑥 ≽𝑖𝑖 𝑥𝑥𝑖𝑖 . Onda, iz 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑖𝑖 = 𝑥𝑥1 + ⋯ + 𝑥𝑥𝑖𝑖−1 + 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥𝑖𝑖+1 + ⋯ + 𝑥𝑥𝑚𝑚−𝜔𝜔 ∈ 𝐹𝐹, sledi da je 𝑠𝑠 ∙ (𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑖𝑖) = 𝑠𝑠 ∙ 𝑥𝑥 − 𝑠𝑠 ∙ 𝑥𝑥𝑖𝑖 ≥ 0 ili 𝑠𝑠 ∙ 𝑥𝑥 ≥ 𝑠𝑠 ∙ 𝑥𝑥𝑖𝑖 . Šta više, iz činjenice da je p strogo pozitivna cena i da je 𝜔𝜔 strogo pozitivna vrednost, onda je i 𝑠𝑠 ∙ 𝜔𝜔 > 0. Zaključujemo da cena p podržava raspodelu (𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2, … , 𝑥𝑥𝑚𝑚).

68

Literatura

[1] C. D. Aliprantis, O. Burkinshaw, Locally solid Riesz spaces with applications,

American Mathematical Society, Providence Ri, 2003.

[2] W. A. J. Luxemburg, A.C. Zaanen Riesz Spaces I, North-Holland, Amsterdam,1971.

[3] Dragan S. Djordjević Funkcionalna analiza u ekonomiji, autorizovana predavanja, Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet, Niš 2016.

[4] C.D. Aliprantis, E. Langford Order completion of Archimedean Riesz spaces and l-groups, Algebra Universalis, 1984.

[5] J. Quinn, Intermediate Riesz spaces, Paci_c J. Math. 1975.

[6] W. Maxey, The Dedekind completion of C(X) and its second dual, Ph.D. Dissertation, Purdue University, West Lafayette, Indiana, 1973.

[7] F. Riesz, Sur quelques notions fondamentals dans la theorie generale des operationsline-aires, Ann. of Math. 1940. (This work was publishedfirst in 1937 in Hungarian.)

[8] L. V. Kantorovich, Concerning the general theory of operations in partially ordered spaces, DAN SSSR, 1936.

[9] H. Nakano, Modulared Semi-Ordered Linear Spaces, Maruzen Co., Tokyo, 1950.

[10] C. D. Aliprantis and K. C. Border, A Hitchhikers Guide, 2nd Edition, Springer-Verlag, Heidelberg and New York, 1999.

69

Biografija

Katarina Stojković je rođena 23.07.1992. godine u Vranju.Osnovnu školu “Jovan Jovanović Zmaj”, u Vranju upisala je 1999. godine i završila kao nosilac diplome “Vuk Karadzić”. Gimnaziju “Bora Stanković”, prirodno-matematički smer, takođe u Vranju, upisala je 2007. godine i završila 2011.godine. Iste je upisala osnovne akademske studije matematike, na Departmanu za matematiku, Prirodno-matematičkog fakulteta u Nišu, koje je završila 2014. godine, i upisala master akademske studije, takođe na Departmanu za matematiku Prirodno-matematičkog fakulteta u Nišu, studijski program: verovatnoća, statistika i fnansijska matematika, koji je završila 2018. godine.