univerzitet u beogradu maxinski fakultet

Univerzitet u BeograduMaxinski fakultet

Matlab i Simulinku automatskom upravǉaǌu

Radixa �. Jovanovi�

Beograd, 2016.

Dr Radixa �. Jovanovi�, dipl. in�. max., docentUniverzitet u Beogradu, Maxinski fakultet

Matlab i Simulink u automatskom upravǉaǌuI izdaǌe

Recenzenti:Prof. dr Zoran Ribar, Univerzitet u Beogradu, Maxinski fakultetProf. dr Zoran Buqevac, Univerzitet u Beogradu, Maxinski fakultet

Izdavaq:Maxinski fakultet Univerziteta u Beograduul. Kraǉice Marije 16, 11120, Beograd 35tel. (011) 3302-384faks (011) 3370-364

Za izdavaqa:Prof. dr Radivoje Mitrovi�, dekan

Glavni i odgovorni urednik :Prof. dr Milan Leqi�

Odobreno za xtampu odlukom dekana Maxinskog fakulteta u Beogradubr. 3/16 od 12.04.2016. godine

Dizajn korica:Mina Mihailovi�

Tira�:300 primeraka

Xtampa:PLANETA PRINT

ISBN 978-86-7083-896-3

Sva prava zadr�avaju izdavaq i autor.Zabraǌeno prextampavaǌe i umno�avaǌe.

Sadr�aj

I UVOD U MATLAB 1

1 Uvod u Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1 Radno okru�eǌe Matlaba 3

1.1.1 Komandni prozor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.2 Prozor s prethodnim naredbama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.3 Radni prostor Matlaba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.4 Prozor radnog direktorijuma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.5 Korisne naredbe za rad u komandnom prozoru . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.6 Editor m-datoteka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Promenǉive i tipovi podataka . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1 Promenǉive 7

2.1.1 Operator dodele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.2 Izrazi i operatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1.3 Podrazumevane promenǉive i rezervisane reqi . . . . . . . . . . . 10

2.2 Numeriqki tipovi podataka 11

2.2.1 Celobrojni tipovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.2 Brojevi u pokretnom zarezu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2.3 Kompleksni brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3 Logiqki tip podataka 13

2.4 Znakovni tip podatka 14

ii

3 Nizovi i operacije nad nizovima . . . . . . . . . . . . . . 15

3.1 Vrste nizova 15

3.2 Matrice i vektori 16

3.2.1 Pojam i vrste matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.2.2 Kreiraǌe vektora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2.3 Kreiraǌe matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2.4 Specijalne matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.2.5 Transponovana matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.2.6 Inverzna matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2.7 Determinanta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2.8 Operacije nad matricama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2.9 Matriqno mno�eǌe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2.10 Stepenovaǌe matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2.11 Pristup elementima vektora i matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2.12 Elementne operacije nad vektorima i matricama . . . . . . . . . 30

3.2.13 Funkcije za analizu nizova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2.14 Funkcija meshgrid() . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2.15 Vektori i matrice kao argumenti funkcija . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2.16 Promena tipa matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.3 Nizovi karaktera 39

3.3.1 Spajaǌe stringova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3.2 Kreiraǌe i podexavaǌe stringova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.3.3 Komparacija stringova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.3.4 Konverzija izme�u stringova i drugih tipova podataka . . . . 45

3.4 Nizovi �elija 45

4 Programiraǌe u Matlabu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.1 Algoritmi 49

4.2 Matlab skript 50

4.2.1 Dokumentovaǌe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.3 Ulaz i izlaz 52

4.3.1 Ulazne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.3.2 Izlazne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.3.3 Funkcija disp() . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.3.4 Funkcija fprintf() . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.4 Skript sa ulazom i izlazom 58

4.4.1 Snimaǌe podataka u datoteku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.4.2 Dodavaǌe podataka u datoteku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.4.3 Uqitavaǌe podataka iz datoteke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

iii

4.5 Funkcije 60

4.5.1 Kreiraǌe funkcijske datoteke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.5.2 Radni prostor funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.5.3 Lokalne promenǉive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.5.4 Globalne promenǉive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.5.5 Perzistentne promenǉive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.5.6 Podfunkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.5.7 Ugne�dene funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.5.8 Anonimne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.5.9 Primena pokazivaqa funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.5.10 Funkcije sa funkcijama kao argumentima . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5 Simboliqka matematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.1 Simboliqke promenǉive i izrazi 73

5.1.1 Rad sa simboliqkim izrazima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.1.2 Prikazivaǌe izraza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.1.3 Rexavaǌe algebarskih jednaqina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.1.4 Simboliqka matematiqka analiza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.2 Rexavaǌe diferencijalnih jednaqina 79

5.2.1 Rexavaǌe skalarne diferencijalne jednaqine . . . . . . . . . . . . 80

5.2.2 Rexavaǌe sistema diferencijalnih jednaqina . . . . . . . . . . . 81

5.2.3 Definisaǌe poqetnih i graniqnih uslova . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.2.4 Rexavaǌe nelinearnih diferencijalnih jednaqina . . . . . . . . 82

6 Operatori i kontrola toka programa . . . . . . . . . . 85

6.1 Relacioni operatori 85

6.2 Logiqki operatori 87

6.3 Uslovno granaǌe 89

6.3.1 If uslov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

6.3.2 Switch struktura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

6.4 Petǉe 92

6.4.1 For petǉa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

6.4.2 Vixestruke petǉe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6.4.3 Kombinacija vixestrukih for petǉi i if naredbi . . . . . . . . . 96

6.4.4 Petǉa while . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6.4.5 While petǉa sa ulaznom funkcijom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

6.4.6 Brojaq u while petǉi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

6.4.7 Provera grexke sa ulaznom funkcijom u while petǉi . . . . . . 99

6.4.8 Naredbe break i continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6.4.9 Izbegavaǌe petǉi, vektorizacija i prealokacija . . . . . . . . . 101

iv

7 2-D grafika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

7.1 Funkcija plot() 105

7.1.1 Grafik eksperimentalnih podataka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

7.1.2 Grafik funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

7.1.3 Argumenti funkcije plot() . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

7.1.4 Crtaǌe vixe grafika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

7.1.5 Vixe grafika u jednom grafiqkom prozoru . . . . . . . . . . . . . . 107

7.2 Formatiraǌe grafika 109

7.2.1 Naslov, natpisi, mre�a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

7.2.2 Linije, boje, markeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

7.2.3 Podgrafici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

7.2.4 Grafici sa logaritamskom podelom osa . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

7.2.5 Pristup parametrima grafika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

II NUMERIQKE METODE U MATLABU 115

8 Sistemi linearnih jednaqina . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

8.1 Osnovni pojmovi i broj rexeǌa 117

8.2 Rexavaǌe sistema linearnih jednaqina 119

8.2.1 Sistem jednaqina sa m = n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

8.2.2 Sistemi linearnih jednaqina: sluqaj m > n . . . . . . . . . . . . . 121

8.2.3 Sistemi linearnih jednaqina: sluqaj m < n . . . . . . . . . . . . . 122

8.3 Sopstvena vrednost i sopstveni vektor matrice 123

8.3.1 Sopstvene vrednosti i sopstvene matrice u Matlabu . . . . . . 125

9 Aproksimacija i interpolacija . . . . . . . . . . . . . . . 129

9.1 Opxti problem aproksimacije 129

9.2 Interpolacija 130

9.3 Interpolacija polinomima 131

9.4 Interpolacija polinomima po delovima 132

9.4.1 Linearni splajn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

9.4.2 Kubni splajn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

9.4.3 Funkcije za interpolaciju u Matlabu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

9.5 Metoda najmaǌih kvadrata 136

9.5.1 Linearni model najmaǌih kvadrata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

9.5.2 Metoda najmaǌih kvadrata u Matlabu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

v

10 Nelinearne algebarske jednaqine . . . . . . . . . . . . . 139

10.1 Nelinearna jednaqina jedne promenǉive 139

10.1.1 Rexavaǌe nelinearnih jednaqina u Matlabu . . . . . . . . . . . . . 140

10.1.2 Funkcija fzero() i jednaqina sa vixe korenova . . . . . . . . . . . 142

10.1.3 Taqke prekida i funkcija fzero() . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

10.1.4 Nule polinoma i funkcija roots() . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

10.2 Optimizacija funkcije jedne promenǉive 145

11 Numeriqko diferenciraǌe i integraǉeǌe . . . 147

11.1 Numeriqko diferenciraǌe 147

11.1.1 Aproksimacija prvog izvoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

11.1.2 Aproksimacija drugog izvoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

11.1.3 Matlab funkcije za numeriqko diferenciraǌe . . . . . . . . . . . 150

11.2 Numeriqko integraǉeǌe 153

11.2.1 Trapezno pravilo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

11.2.2 Matlab funkcija trapz() . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

11.2.3 Simpsonova metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

11.2.4 Matlab funkcije quad() i integral() . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

12 Numeriqko rexavaǌe obiqnih diferencijalnihjednaqina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

12.1 Pojam diferencijalne jednaqine 159

12.2 Koxijev problem 160

12.3 Jednokoraqne metode 161

12.3.1 Ojlerova metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

12.3.2 Poboǉxaǌe Ojlerove metode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

12.3.3 Metode Runge Kuta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

12.3.4 Lokalna grexka numeriqke metode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

12.3.5 Globalna grexka i stabilnost numeriqke metode . . . . . . . . . 168

12.4 Vixekoraqne metode 168

12.4.1 Adams-Baxfortova metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

12.4.2 Adams-Moltonova metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

12.5 Adaptivne metode 170

12.6 Metode u Matlabu za numeriqko rexavaǌe 171

12.7 Funkcija ode..() u Matlabu 172

vi

III UVOD U SIMULINK 179

13 Uvod u Simulink . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

13.1 Kako radi Simulink 182

13.2 Poqetak rada u Simulinku 183

13.2.1 Pokretaǌe Simulinka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

13.2.2 Kreiraǌe novog modela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

13.2.3 Otvaraǌe postoje�eg modela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

13.3 Osnovni elementi Simulink modela 183

13.3.1 Blokovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

13.3.2 Linije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

13.3.3 Kreiraǌe modela sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

13.3.4 Unoxeǌe blokova u model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

13.3.5 Modifikovaǌe blokova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

13.3.6 Povezivaǌe blokova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

13.3.7 Pokretaǌe simulacije i parametri simulacije . . . . . . . . . . 186

14 Osnovni blokovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

14.1 Bibilioteka ulaza 187

14.1.1 Constant blok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

14.1.2 Signal Generator blok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

14.1.3 Pulse Generator blok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

14.1.4 Step blok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

14.1.5 Ramp blok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

14.1.6 Sine wave blok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

14.1.7 Clock blok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

14.1.8 Ground blok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

14.2 Biblioteka izlaza 191

14.2.1 Display blok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

14.2.2 Scope blok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

14.2.3 Terminator blok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

14.2.4 Stop simulation blok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

14.2.5 To Workspace blok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

14.2.6 To File blok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

14.3 Biblioteka signala 193

14.3.1 Bus Creator i Bus Selector blok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

14.3.2 Mux i Demux blokovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

14.3.3 Switch blok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

14.3.4 Prikaz signala u modelu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

14.3.5 Gain blok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

vii

14.4 Matematiqka biblioteka 195

14.4.1 Sum, Add i Subtract blokovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

14.4.2 Math Function blok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

14.4.3 Trigonometric Function blok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

14.5 Biblioteka blokova kontinualnih sistema 197

14.5.1 Integrator blok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

14.6 Biblioteka blokova sa nelinearnostima 198

14.6.1 Saturation blok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

14.6.2 Dead Zone blok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

15 Simulacija dinamiqkih sistema . . . . . . . . . . . . . . 201

15.1 Simulacija sistema prvog reda 201

15.1.1 Kreiraǌe Simulink modela sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

15.1.2 Simulacija sistema za odskoqnu promenu ulaza . . . . . . . . . . 202

15.1.3 Simulacija sistema za promenu ulaza uobliku pulsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

15.1.4 Simulacija sistema za nagibnu promenu ulaza . . . . . . . . . . . 204

15.1.5 Simulacija sistema za nagibnu promenu ulaza sa zasi�eǌem 205

15.2 Simulacija sistema drugog reda 207

15.2.1 Kreiraǌe Simulink modela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

15.3 Simulacija iz komandnog prozora 209

15.4 Podsistemi 211

15.5 Algebarske petǉe 213

15.6 Numeriqki postupci u Simulinku 217

IV MATEMATIQKI MODELI DINAMIQKIH SISTEMA 219

16 Matematiqko modelovaǌe dinamiqkih sistema 221

16.1 Matematiqko modelovaǌe sistema 221

16.1.1 Primeri matematiqkog modelovaǌa sistema . . . . . . . . . . . . . 222

16.2 Matematiqki modeli UI sistema 231

16.3 Matematiqki modeli USI sistema 231

16.4 Linearni stacionarni dinamiqki sistemi 232

16.4.1 Linearni stacionarni dinamiqki UI sistemi . . . . . . . . . . . 232

16.4.2 Linearni stacionarni dinamiqki USI sistemi . . . . . . . . . . 233

16.4.3 Izbor veliqina staǌa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

16.5 Matematiqki modeli po odstupaǌima 237

viii

V LINEARNI SISTEMI 239

17 Laplasova transformacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

17.1 Definicija Laplasove transformacije 241

17.2 Inverzna Laplasova transformacija 241

17.3 Osobine Laplasove transformacije 242

17.4 Laplasova transformacija u Matlabu 242

17.5 Hevisajdov razvoj 243

17.5.1 Funkcije sa jednostrukim polovima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

17.5.2 Funkcije sa vixestrukim polovima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

17.6 Hevisajdov razvoj u Matlabu 245

18 Predstavǉaǌe linearnih sistema u Matlabu . 249

18.1 Prenosna funkcija i prenosna matrica 249

18.1.1 TF oblik prenosne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

18.1.2 Zero-Pole-Gain oblik prenosne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

18.1.3 TF i ZPK oblici prenosnih matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

18.1.4 Prenosna funkcija u Simulinku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

18.2 Model sistema u prostoru staǌa 257

18.2.1 Model sistema u prostoru staǌa u Simulinku . . . . . . . . . . . 258

18.3 Pretvaraǌa izme�u razliqitih modela 258

18.3.1 Pretvaraǌe u TF model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

18.3.2 Pretvaraǌe u ZPK model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

18.3.3 Realizacija u prostoru staǌa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

18.3.4 Dobijaǌe SS i TF modela iz Simulink modela . . . . . . . . . . . 264

18.3.5 Dobijaǌe parametara iz LTI objekata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

18.4 Blok dijagrami 267

18.4.1 Ekvivalentni blok dijagrami za osnovne sprege . . . . . . . . . . 268

18.4.2 Slo�ene sprege . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

19 Analiza linearnih sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

19.1 Tipiqne promene ulaznih veliqina 279

19.1.1 Znaqaj i vrste tipiqnih promena ulaznih veliqina . . . . . . . 279

19.1.2 Odskoqna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

19.1.3 Jediniqna impulsna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

19.1.4 Nagibna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

19.1.5 Eksponencijalna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

19.1.6 Sinusna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

ix

19.2 Odre�ivaǌe odziva UI sistema 284

19.2.1 Odre�ivaǌe odziva sistema primenomLaplasove transformacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

19.2.2 Odre�ivaǌe odziva primenom simboliqkog paketa . . . . . . . . 288

19.3 Odre�ivaǌe odziva i kretaǌa USI sistema 289

19.3.1 Kretaǌe i odziv u slobodnom radnom re�imu . . . . . . . . . . . . 290

19.3.2 Kretaǌe i odziv u prinudnom radnom re�imu . . . . . . . . . . . . 290

19.3.3 Primena Laplasove transformacije u odre�ivaǌu kretaǌa iodziva USI sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

19.3.4 Odre�ivaǌe kretaǌa i odziva USI sistema u Matlabu . . . 292

19.4 Numeriqka analiza linearnih sistema 294

19.4.1 Jediniqni odskoqni odziv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

19.4.2 Impulsni odziv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

19.4.3 Odre�ivaǌe odziva sistema na proizvoǉan ulaz . . . . . . . . . . 300

19.4.4 Odziv na poqetne uslove . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

19.5 Pokazateǉi prelazne funkcije 308

19.5.1 Pokazateǉi kvaliteta prelazne funkcijeu Matlabu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

PREDGOVOR

Kǌiga Matlab i Simulink u automatskom upravǉaǌu je koncipirana takoda obuhvata oblasti predvi�ene nastavnim planom i programom predmetaProgramiraǌe u automatskom upravǉaǌu, koji se sluxa na Osnovnim akadem-skim studijama na Maxinskom fakultetu u Beogradu. Me�utim, uzimaju�iu obzir aktuelnost i znaqaj upoznavaǌa sa nekim od softverskih alata zarazliqite vrste in�eǌerskih proraquna i analiza (a Matlab je jedan odnajzastupǉenijih, gotovo nezaobilazan), kǌiga je napisana tako da mogu daje koriste i studenti sa drugih fakulteta u qijim nastavnim planovima iprogramima je zastupǉeǌa ova problematika. U tom smislu, programskijezik Matlab (u daǉem tekstu Matlab) i ǌegov paket Simulink (u daǉem tek-stu Simulink) predstavǉeni su u prva tri dela kǌige. Qetvrti i petideo kǌige se odnose na primenu Matlaba i Simulinka u oblasti sistemaautomatskog upravǉaǌa, i dobrim delom predstavǉaju podrxku nastaviiz predmeta Osnove automatskog upravǉaǌa koji je obavezan predmet naosnovnim akademskim studijama na Maxinskom fakultetu u Beogradu. Ko-naqno, kǌiga mo�e da poslu�i kao osnova za budu�e napredno korix�eǌeMatlaba i Simulinka.

Kompozicija kǌige je organizovana u pet delova. Osnova programiraǌau Matlabu je izlo�ena u prvom delu. Prvo poglavǉe donosi uvod o Mat-labu kao mo�nom programskom jeziku, opis ǌegovog razvojnog okru�eǌa iosnovnih operacija. Promenǉive i osnovni tipovi podataka tema su dru-gog poglavǉa. U tre�em poglavǉu uvodi se koncept niza, koji predstavǉafundamentalni element u Matlabu, i detaǉno se obra�uju numeriqki ni-zovi (vektori i matrice), znakovni nizovi i nizovi �elija, kao i osnovneoperacije nad ǌima. Prvi deo se nastavǉa qetvrtim poglavǉem koje sebavi pisaǌem programa u Matlabu, poqev od jednostavnih skriptova ilogiqkih instrukcija do razliqitih tipova funkcija i funkcijskih da-toteka. U petom poglavǉu se razmatraju simboliqki paket Matlaba imetode za simboliqko rexavaǌe algebarskih i diferencijalnih jednaqina.Xesto poglavǉe je posve�eno relacionim i logiqkim operatorima i kon-troli toka programa. Pa�ǌa je u sedmom poglavǉu posve�ena i delu

xii

grafiqkih mogu�nosti Matlaba a koje se odnose na dvodimenzionalnu gra-fiku.

U drugom delu kǌige se izla�u osnovne numeriqke metode koje su sadr-�ane i implementirane u ugra�enim funkcijama Matlaba. Sistemi line-arnih jednaqina i problemi sopstvenih vrednosti matrica su tema osmogpoglavǉa. Deveto poglavǉe je posve�eno problemu aproksimacije funkcijejedne promenǉive, pri qemu znaqajno mesto zauzima i interpolacija alge-barskim polinomima i splajnovima, kao i metoda najmaǌih kvadrata kaojedna od metoda za aproksimaciju funkcija. U desetom poglavǉu se ilus-truju metode za rexavaǌe nelinearnih algebarskih jednaqina. Sadr�ajjedanestog poglavǉa qine osnove metoda numeriqkog diferenciraǌa i in-tegraǉeǌa, pri qemu je posebna pa�ǌa posve�ena metodama na kojima sezasnivaju ugra�ene funkcije Matlaba za numeriqko diferenciraǌe i in-tegraǉeǌe. U dvanaestom poglavǉu se razmatraju metode za rexavaǌeobiqnih diferencijalnih jednaqina i ǌihova implementacija u Matlabu.

Tre�i deo kǌige se odnosi na Simulink, gde se u trinaestom i qetr-naestom poglavǉu izla�u osnovni elementi Simulink modela i osnovniblokovi iz biblioteke blokova. Petnaesto poglavǉe je posve�eno pri-meni Simulinka u simulaciji dinamiqkih sistema, linearnih i neline-arnih. Qetvrti deo kǌige kroz xesnaesto poglavǉe donosi osnovne poj-move iz modelovaǌa dinamiqkih sistema, sa posebnim osvrtom na osobinei oblike modela linearnih stacionarnih dinamiqkih sistema. PrimenaLaplasove transformacije u odre�ivaǌu odziva linearnih stacionarnihsistema tretira se u petom delu kǌige, u sedamnaestom poglavǉu. Osamna-esto poglavǉe se detaǉno bavi predstavǉaǌem linearnih sistema u Mat-labu i ǌihovim razliqitim modelima. Analiza linearnih sistema, ana-litiqka i numeriqka, teme su devetnaestog poglavǉa.

Izlo�eni materijal je ilustrovan brojnim primerima. Tamo gde jeneophodno, dati su i rezultati izvrxavaǌa odre�enih naredbi, skriptova,a odre�eni broj primera, posebno u petom delu, ura�en je i analitiqkimputem.

Recenzentima na korisnim sugestijama, kao i svima onima koji su naneki naqin pomogli u toku pisaǌa ove kǌige, autor se najtoplije zahvaǉuje.

Beograd, mart 2016. godine Radixa. �. Jovanovi�

POGLAVǈE 2Promenǉive i tipovi podataka

2.1 Promenǉive

Koncept promenǉivih, qije se vrednosti meǌaju u toku izvrxavaǌa pro-grama, predstavǉa sastavni deo svih programskih jezika. Pojam promenǉi-ve u Matlabu (i u programskom jeziku uopxte) oznaqava apstraktan po-jam memorijske �elije raqunara ili skupa memorijskih �elija. Drugimreqima, promenǉive predstavǉaju u neku ruku imena (simboliqka) memo-rijskih lokacija, i svakako je programerima lakxe i prirodnije da radesa takvim, simboliqkim imenima, nego sa ǌihovim apsolutnim adresama.Definisaǌe promenǉive se u Matlabu vrxi naredbom dodele.

2.1.1 Operator dodeleU Matlabu se znak = naziva operatorom dodele. On ovde ima drugaqije

znaqeǌe od znaka jednakosti poznatog iz matematike. Kada se otkuca naprimer x = 5, to govori Matlabu da dodeli vrednost 5 promenǉivoj x.Prema tome, ovaj operator dodeǉuje vrednost promenǉivoj:

ImePromenljive = numeriqka vrednost ili izraz

Prethodna upotreba se ne razlikuje od one poznate iz matematike. Me-�utim, u Matlabu je mogu�e imati i ovakav oblik: x = x+2. Ova naredbagovori Matlabu da doda broj 2 trenutnoj vrednosti promenǉive x i zame-ǌuje trenutnu vrednost od x sa tom novom vrednox�u. Ukoliko originalnox ima vrednost 5, ǌegova nova vrednost �e biti 7. Ova primena operatora= je razliqita od ǌegove primene u matematici. Na primer, u matematicijednaqina x = x+ 2 nema smisla, jer ona implicira da je 0 = 2.

Na levoj strani operatora dodele mo�e biti jedna i samo jedna prome-nǉiva. Stoga se u Matlabu ne mo�e koristiti, na primer, ovako nexto: 6 =x, jer bi to znaqilo da numeriqkoj vrednosti treba da se dodeli sadr�aj

8 Promenǉive i tipovi podataka

neke memorijske lokacije. Naredna posledica ovog ograniqeǌa je da se uMatlabu ne mogu pisati izrazi kao:

>> x + 6 = 10

Odgovaraju�a jednaqina x + 6 = 10 je prihvatǉiva u algebri i ona imarexeǌe x = 4, ali Matlab ne mo�e da rexi ovaku jednaqinu bez dodatnihnaredbi (ove naredbe su dostupne u Simboliqkom paketu, i bi�e reqi otome u petom poglavǉu.

Jox jedno ograniqeǌe je da desna strana operatora dodele mora imativrednost koja se mo�e izraqunati. Na primer, ako promenǉivoj y nijedodeǉena vrednost, slede�i izraz �e generisati grexku u Matlabu:

>> x = 5 + y

Levo od operatora dodele mo�e biti ime samo jedne promenǉive. Desnomo�e biti broj ili izraz koji sadr�i brojeve i/ili promenǉive kojimasu prethodno dodeǉene numeriqke vrednosti. Kada se pritisne taster En-ter, numeriqka vrednost sa desne strane dodeǉuje se promenǉivoj, a Mat-lab u slede�a dva reda prikazuje promenǉivu i ǌoj dodeǉenu vrednost.Nove promenǉive se mogu definisati korix�eǌem prethodno definisanihpromenǉivih.

Ako se na kraj reda naredbe dodele upixe operator ; (taqka sa za-petom) i pritisne Enter, Matlab ne�e prikazati promenǉivu i ǌoj dode-ǉenu vrednost, ali �e joj vrednost ipak dodeliti i snimiti je u memoriju.Kada se otkuca ime postoje�e promenǉive i pritisne Enter, u slede�a dvareda prikaza�e se ime i vrednost te promenǉive.

U isti red mo�e se upisati nekoliko naredbi dodele. Razdvajaju sezapetama (posle zapete mo�e se otkucati vixe razmaka). Kada se pritisneEnter, vrednosti se dodeǉuju sleva udesno, a promenǉive i ǌima dodeǉenevrednosti prikazuju se u slede�im redovima. Ukoliko se umesto zapeteotkuca taqka sa zapetom, vrednost promenǉive ne�e biti prikazana.

Uopxteno, mo�e se re�i da promenǉivu karakterixe niz atributa (sli-ka 2.1) i o svakom od ǌih �e se ukratko nexto re�i, a tokom daǉeg izlagaǌamnogi od ovih atributa �e biti detaǉnije objaxǌeni.

ime adresa tip vrednost vidªivost traja©e

promenªiva

Slika 2.1: Atributi promenǉive

Imena promenǉivihIme promenǉive je niz znakova upotrebǉen kao ǌen identifikator u

programu. Xtavixe, imena se u programu ne upotrebǉavaju samo za pro-menǉive nego i za neke druge elemente (entitete) u programu (funkcije,formalne parametre). Imena promenǉivih, maksimalne du�ine do 63 znaka,

60 Programiraǌe u Matlabu

Ovo rezultuje da datoteka ,,testdat.dat” sada sadr�i slede�e podatke:

0.8147 0.1270 0.6324

0.9058 0.9134 0.0975

0.2785 0.9649 0.9572

0.5469 0.1576 0.4854

0.9575 0.9706 0.8003

4.4.3 Uqitavaǌe podataka iz datoteke

Uqitavaǌe podataka iz datoteke se posti�e korix�eǌem naredbe load.Kada se datoteka jednom kreira (kao u prethodno navedenom sluqaju), ǌensadr�aj se mo�e uqitati u neku matriqnu promenǉivu. Ukoliko je to da-toteka sa numeriqkim podacima, funkcija load() �e uqitati podatke iz da-toteke ,,ImeDatoteke.ext” (na primer, ekstenzija mo�e biti .dat) i kreiratimatricu sa istim imenom kao xto je ime datoteke. Na primer, ako se isko-risti datoteka ranije kreirana, ,,testdat.dat”, slede�im naredbama �e seuqitati podaci iz ǌe, i smestiti rezultat u matriqnu promenǉivu koja senaziva testdat:

>> clear

>> load testdat.dat

>> who

Your variables are:

testdat

>> testdat

testdat =

0.8147 0.1270 0.6324

0.9058 0.9134 0.0975

0.2785 0.9649 0.9572

0.5469 0.1576 0.4854

0.9575 0.9706 0.8003

Funkcija load() radi jedino ako postoji isti broj vrednosti u svakoj li-niji tako da podaci mogu biti smexteni u matricu, i naredba save jedinoupisuje podatke iz matrice u datoteku. Ukoliko to nije sluqaj, morajuse koristiti ulazno/izlazne naredbe ni�eg nivoa, koje nisu predmet ovihizlagaǌa.

4.5 Funkcije

Matlab poseduje bogatu biblioteku ugra�enih funkcija, i one se mogukoristiti u matematiqkim izrazima jednostavno – kucaǌem ǌihovih imenai vrednosti ǌihovih argumenata, kao xto su primeri sin(x), sqrt(x), itd.Najqex�e u raqunarskim programima postoji potreba da se izraqunavajuvrednosti funkcija koje nisu unapred definisane u Matlabu. Kada jeizraz funkcije jednostavan, i ako je potrebno izraqunati je samo jednom,ta funkcija mo�e biti deo programa. Me�utim, ukoliko je neku funkcijupotrebno izraqunavati mnogo puta, i pri tome i sa razliqitim vrednosti-

4.5 Funkcije 61

ma ǌenih argumenata, uobiqajeno je da se kreira tzv. korisniqki definisanafunkcija. Jednom kada se kreira i saquva, ona se kasnije mo�e koristitina isti naqin kao i ugra�ene funkcije Matlaba.

Dakle, korisniqki definisana funkcija predstavǉa program koji kre-ira korisnik, snima ga kao funkcijsku datoteku koja se potom koristikao xto se koriste i ugra�ene funkcije. Funkcija mo�e da predstavǉajedan matematiqki izraz, ili da sadr�i niz komplikovanih izraqunavaǌai izraza. U mnogim sluqajevima to je u stvari jedan potprogram unutarprograma. Glavna karakteristika funkcijske datoteke je da ona ima ulaz iizlaz. To znaqi da se izraqunavaǌa u funkcijskoj datoteci vrxe koriste�iulazne podatke, i rezultat izraqunavaǌa se prenosi izvan funkcije pomo�uǌenog izlaza. Ulaz i izlaz mogu biti jedna ili vixe promenǉivih, i svakaod ǌih mo�e biti skalar, vektor, ili niz bilo koje veliqine.

4.5.1 Kreiraǌe funkcijske datoteke

Funkcijske datoteke se kreiraju i edituju kao i skript datoteke u pro-zoru Editora, koji se otvara iz komadnog prozora. Izborom opcije New,potom Function, pojavǉuje se prostor datoteke. Editor sadr�i nekolikopodrazumevanih linija koje predstavǉaju strukturu funkcijske datoteke.Prva linija predstavǉa definicionu liniju funkcije, iza koje se nalaze ko-mentari koji opisuju funkciju. Nakon toga slede izraqunavaǌa, i posledǌalinija je end naredba, koja nije obavezna.

Definiciona linija funkcije

Prva izvrxna linija u funkcijskoj datoteci mora da bude definicionalinija funkcije. U suprotnom, datoteka se tretira kao skript. Defini-ciona linija funkcije:

� definixe datoteku kao funkcijsku datoteku,

� definixe ime funkcije,

� definixe broj i redosled ulaznih i izlaznih argumenata.

Opxti oblik definicione linije funkcije je:

function [izlazni argument] = ime funkcije (ulazni argumenti)

Req function otkucana malim slovima mora biti prva req u defini-cionoj liniji funkcije. Ime funkcije sledi nakon operatora dodele, znaka=. Pravila za ime funkcije su identiqna pravilima koja va�e za izborimena promenǉivih. Dobra praksa je izbegavaǌe imena ve� postoje�ih,ugra�enih funkcija, kao i imena promenǉivih definisanih od strane ko-risnika, ili podrazumevanih u Matlabu.


Ulazni i izlazni argumenti funkcije

Ulazni i izlazni argumenti se koriste za prenos podataka u funkciju iiz funkcije, sledstveno. Obiqno, funkcija ima najmaǌe jedan ulazni argu-ment, mada je mogu�e definisati i funkciju koja nema ulazne argumente.Ukoliko ih ima vixe, ulazni argumenti su razdvojeni zapetom. Program-ski kod koji izvrxava izraqunavaǌa u funkciji se pixe uz korix�eǌe up-ravo tih ulaznih argumenata, uz pretpostavku da su im dodeǉene numeriqkevrednosti. To znaqi da se matematiqki izrazi u funkcijama moraju pisatiu skladu sa dimenzijama ulaznih argumenata, koji mogu biti skalari, vek-tori ili matrice. Trenutne vrednosti argumenata se dodeǉuju prilikompoziva funkcije.

Funkcija mo�e imati jedan ili vixe izlaznih argumenata, ili nijedan.U sluqaju jednog izlaznog argumenta on se mo�e koristiti bez zagrade.

Da bi se funkcija mogla koristiti, u telu funkcije mora postojatinaredba koja dodeǉuje vrednosti izlaznim promenǉivim, tj. izlaznim ar-gumentima. Ako funkcija nema izlazni argument, operator dodele u de-finicionoj liniji mo�e se izostaviti. Na primer, funkcija bez izlaznogargumenta mo�e biti neka funkcija koja crta dijagrame, xtampa ili upi-suje podatke u datoteku itd.

Uobiqajeno je da se svi ulazi u funkcijsku datoteku, kao i izlazi izǌe, prenose preko ulaznih i izlaznih argumenata. Pored toga, me�utim,sve ulazno-izlazne karakteristike skript datoteke se mogu koristiti i ufunkcijskoj datoteci. To znaqi da �e se svaka promenǉiva kojoj je dodeǉenavrednost u telu funkcije prikazati na ekranu komandnog prozora ukolikose na kraju naredbe dodele ne nalazi znak ;. Tako�e, funkcija input() semo�e koristi za interaktivni unos podataka, a funkcije disp(), fprintf()i plot() se mogu koristiti za prikaz informacija na ekranu, snimaǌe udatoteku ili crtaǌe dijagrama, bax kao i u skript datotekama.

Na primer, neka je potrebno da se napixe funkcija koja raquna obimi povrxinu kruga za zadati polupreqnik. To se mo�e uraditi na slede�inaqin:

function [Obim, Povrsina] = krug_op(radijus)

% Funkcija vraca obim i povrshinu kruga.

% Ulazni argument: radijus (skalar)

% Izlazni argumenti: Obim i Povrsina (skalari)

Obim = 2*radijus*pi;

Povrsina = radijus^2*pi;

end

Dakle, funkcija ima jedan ulazni i dva izlazna parametra, i svi onipredstavǉaju skalare. Primer poziva funkcije bi bio:

>> [O,P] = krug_op(3)

O =

18.8496

P =

28.2743

4.5 Funkcije 63

Va�no je voditi raquna o tome da se funkcija pozove sa odgovaraju�imbrojem argumenata, i da su oni odgovaraju�eg tipa. Na primer, poziv

>> [O,P] = krug_op

Error using krug_op (line 6)

Not enough input arguments.

rezultuje grexkom, zbog izostavǉaǌa argumenta. Sa druge strane, ukolikose funkcija pozove na slede�i naqin:

>> krug_op(3)

ans =

18.8496

oqito je da je informacija o drugom izlaznom argumentu izgubǉena. Upozivu funkcije ne postoji promenǉiva u koju bi se rezultat smestio isaquvao.

Prethodni primer se mo�e modifikovati tako da funkcija raquna obimi povrxinu za niz ulaznih vrednosti, tj. za vektor ulaznih podataka, takoxto se u izrazu za izraqunavaǌe povrxine upotrebi elementni operatormno�eǌa.

function [Obim, Povrsina] = krug_opv(radijus)

% Funkcija vraca obim i povrshinu kruga.

% Ulazni argument: radijus (vektor)

% Izlazni argumenti: Obim i Povrsina (vektori)

Obim = 2*radijus*pi;

Povrsina = radijus.^2*pi;

end

Izvrxavaǌem naredbi:

>> x = 1:5;

>> [O,P] = krug_opv(x)

O =

6.2832 12.5664 18.8496 25.1327 31.4159

P =

3.1416 12.5664 28.2743 50.2655 78.5398

rezultat izraqunavaǌa funkcije su dva vektora, istih dimenzija kao iulazni vektor.

Zapa�aǌe 4.1. Kada se poziva neka funkcija, va�no je znati kakav oblikǌenog izlaza se oqekuje, tj. da li je u pitaǌu skalar, vektor ili matrica;naravno, va�no je znati i broj izlaznih veliqina.

H1 linija i komentari

H1 linija i tekst pomo�i su linije komentara (linije koje poqiǌu saznakom procenta), a koje slede nakon definicione linije funkcije. H1 li-nija je prva linija komentara i obiqno sadr�i ime i kratak opis funkcije.Kada korisnik u komandnom prozoru otkuca naredbu lookfor neka rech,Matlab tra�i req neka rech u H1 linijama svih funkcija, i ako je na�e,


prikazuje H1 liniju u kojoj je req na�ena.Linije teksta pomo�i su linije komentara koje slede nakon H1 linije.

Ove linije sadr�e objaxǌeǌe funkcije i bilo kakve instrukcije koje seodnose na ulazne i izlazne argumente funkcije. Linije komentara koje senalaze izme�u definicione linije funkcije i prve linije koja ne pred-stavǉa komentar se prikazuju kada korisnik otkuca u komandnom prozoruhelp ImeFunkcije. Ovo va�i i za ugra�ene i za korisniqki definisanefunkcije. Funkcijska datoteka mo�e da sadr�i dodatne linije komentarau telu funkcije, koje se tako�e ignorixu pri pozivu naredbe help.

4.5.2 Radni prostor funkcije

U prethodnom izlagaǌu pomenuta je ideja radnog prostora u kome se qu-vaju promenǉive kreirane u komandnom prostoru i skriptovima. Funkcijetako�e imaju svoj memorijski (radni) prostor. Radni prostor funkcijeje prostor u memoriji raqunara koji se rezervixe za promenǉive koje sekreiraju unutar te funkcije. Ovaj radni prostor nije deo radnog prostorakomandnog prozora. To znaqi da nekoj promenǉivoj u funkciji mo�e bitidodeǉeno ime, a da pri tome postoji promenǉiva sa istim imenom izvanposmatrane funkcije. Radni prostor funkcije se otvara svaki put kada sefunkcija koristi.

Zaxto postoje posebni radni prostori za svaku funkciju, a ne jedan, za-jedniqki? Iako mo�da deluje nelogiqno, postojaǌe posebnog radnog pros-tora je svrsishodno za velike projekte, koji se sastoje od velikog brojafunkcija. Na primer, ako je jedan programer odgovoran za pisaǌe funkcijefun_1, a drugi za pisaǌe funkcije fun_2, nijedan od ǌih ne mora da zna nitida vodi raquna o imenima promenǉivih koje koristi. Namera i jeste da onirade nezavisno i da ne utiqu jedan na drugog. Prema tome, posebni radniprostori xtite funkciju od spoǉaxǌeg uticaja. Iz spoǉaxǌosti radnogprostora neke funkcije uticaj na ono xto se u ǌoj dexava jedino imajuulazni argumenti funkcije. I obratno, radni prostor funkcije utiqe naspoǉaxǌost svojim izlaznim argumentima, kada se funkcija izvrxi.

4.5.3 Lokalne promenǉive

Podruqje va�nosti neke promenǉive je radni prostor u kome ona pos-toji. Sve promenǉive u funkcijskoj datoteci (ulazni i izlazni argumentii bilo koje promenǉive kojima se dodeǉuju vrednosti u funkcijskoj da-toteci) su lokalne promenǉive. To znaqi da su ove promenǉive definisanei prepoznaju se jedino unutar funkcije. Lokalne promenǉive postoje samodok se funkcija izvrxava: kada se funkcija zavrxi, one prestaju da postoje.Na primer, u slede�oj funkciji koja izraqunava sumu elemenata vektora,postoji lokalna promenǉiva k.

% suma_vect.m

function suma = suma_vect(vektor)

% suma_vect vraca sumu elemenata datog vektora

% Format: suma_vect(vektor)

POGLAVǈE 5Simboliqka matematika

Simboliqka matematika podrazumeva bavǉeǌe matematikom nad sim-bolima, a ne nad brojevima, kao na primer, a+a = 2a. Simboliqke matema-tiqke funkcije deo su Matlabovog Simboliqkog paketa, koji koristi pose-ban i nov proizvod MuPAD. Pre ǌegove pojave i ǌegovog razvijaǌa Mat-lab je kroz stotine razvijenih funkcija koristio Maple za podrxku sim-boliqkim izraqunavaǌima. Danas, funkcionalnost MuPAD jezika, zajednosa ukǉuqenim bibliotekama je znaqajno ispred prvobitnog simboliqkogmatematiqkog paketa. Imena i funkcionalnost mnogih funkcija dostup-nih u ovom paketu su identiqni funkcijama koje postoje u Matlabu, alije razlika upravo u tome xto funkcije u simboliqkom paketu rade sasimboliqkim objektima, za razliku od onih u Matlabu, koje rade sa nu-meriqkim vrednostima.

Osnovni element za simboliqke operacije je simboliqki objekt. Simbo-liqki objekti se sastoje od promenǉivih i brojeva koji kada se koriste umatematiqkim izrazima govore Matlabu da izvrxi operacije simboliqki.Ukoliko je potrebno simboliqki izrazi se mogu koristiti i u numeriqkimoperacijama.

5.1 Simboliqke promenǉive i izrazi

Simboliqki objekt mo�e biti promenǉiva (bez prethodno dodeǉene nu-meriqke vrednosti), broj, ili izraz sastavǉen od numeriqkih promenǉivihi brojeva. Za kreiraǌe simboliqkog objekta koristi se funkcija sym()

i/ili naredba syms. Ako je ulazni argument funkcije sym() string, rezul-tat je simboliqki broj ili promenǉiva. Za sluqaj da je ulazni argumentnumeriqki skalar ili matrica, rezultat je simboliqka prezentacija datihnumeriqkih vrednosti. Na primer, naredba x=sym(’x’) kreira simboliqkupromenǉivu pod imenom x i smexta rezultat u x. Naredba y=sym(’1/7’)

ili y=sym(1/7) kreira jedan simboliqki broj, qime se izbegava aproksi-

78 Simboliqka matematika

>> [X Y Z] = solve(4*x-2*y+z==7,'x+y+5*z==10','-2*x+3*y-z==2')

X =

124/41

Y =

121/41

Z =

33/41

5.1.4 Simboliqka matematiqka analiza

Diferenciraǌe

Funkcija diff() se koristi za simboliqko odre�ivaǌe izvoda funkcija.Iako ova funkcija ima isto ime kao funkcija koja se koristi za numeriqkoizraqunavaǌe konaqnih razlika, Matlab prepoznaje koju funkciju �e ko-ristiti u konkretnom sluqaju. Osnovna sintaksa funkcije je diff(F), priqemu se vra�a izvod izraza funkcije F u odnosu na podrazumevanu neza-visnu promenǉivu.

>> syms x f

>> f = x^3 + 2*x^2 - 4*x +3 ;

>> diff(f) % ili direktno diff(x^3+2*x^2-4*x+3)

ans =

3*x^2 + 4*x - 4

Ukoliko funkcija zavisi od vixe promenǉivih, onda funkcija raqunaparcijalni izvod reda n po izabranoj promenǉivoj var, i tada je sintaksapoziva oblika diff(F,var,n).

>> syms a x, f = sin(a*x^2);

>> dfdx = diff(f)

dfdx =

2*a*x*cos(a*x^2)

>> dfda = diff(f,a)

dfda =

x^2*cos(a*x^2)

>> d2fdx2 = diff(f,2)

d2fdx2 =

2*a*cos(a*x^2) - 4*a^2*x^2*sin(a*x^2)

Integraǉeǌe

Funkcija int() se pozivom oblika int(expr,var) koristi za odre�ivaǌeneodre�enog integrala simboliqkog izraza expr u odnosu na simboliqkupromenǉivu var. Funkcija pokuxava da na�e simboliqki izraz I takoda je diff(I,var)=expr. Parametar var je opcioni, i ako se ne navede,funkcija vra�a integral izraza expr u odnosu na podrazumevanu nezavisnupromenǉivu. Ukoliko integral ne postoji u zatvorenom obliku, ili Mat-


lab ne mo�e da ga izraquna iako on postoji, tada se naredba vra�a neizvr-xena (dakle, onako kako je uneta).

Na primer, neodre�eni integral funkcije f(x) = 3x2 − 1 mo�e se na�ina slede�i naqin:

>> syms x

>> int(3*x^2-1)

ans =

x^3 - x

Sa druge strane, odre�eni integral ove funkcije u granicama x = 2 dox = 4 mo�e se dobiti sa:

>> int(3*x^2-1,2,4)

ans =

54

Graniqne vrednosti

Graniqne vrednosti funkcije mogu se na�i funkcijom limit(), qija jeopxta sintaksa limit(expr,x,a), i kojom se raquna graniqna vrednostiizraza expr kada promenǉiva x te�i promenǉivoj a, tj. lim

x→aexpr. Para-

metar x se mo�e izostaviti, i onda se koristi podrazumevana promenǉiva.Na primer, graniqne vrednosti:

limx→2

x− 2

x2 − 4=

1

4, lim

h→0

cos(x+ h)− cos(x)

h= − sin(x)

se dobijaju na slede�i naqin:

>> syms h x

>> limit((x-2)/(x^2-4),2)

ans =

1/4

>> limit((cos(x+h)-cos(x))/h,h,0)

ans =

-sin(x)

Ukoliko se parametar a izostavi, graniqna vrednost se odre�uje kadapromenǉiva te�i nuli.

5.2 Rexavaǌe diferencijalnih jednaqina

Funkcija dsolve() se koristi za rexavaǌe obiqnih diferencijalnih jed-naqina. Razliqiti oblici poziva funkcije odre�eni su dimenzionalnox-�u problema koji se rexava, tj. u zavisnosti da li je u pitaǌu skalarnadiferencijalna jednaqina ili sistem jednaqina, kao i postojaǌem ili ne-postojaǌem poqetnih i graniqnih uslova. Funkcija dsolve() podrazumevada je unapred definisana nezavisna promenǉiva t a ne x, kao kod drugihsimboliqkih funkcija.


5.2.2 Rexavaǌe sistema diferencijalnih jednaqinaSistem diferencijalnih jednaqina mo�e se rexiti funkcijom dsolve(),

a odgovaraju�a sintaksa je:

dsolve(’eqn1’,’eqn2’,...)

Funkcija vra�a simboliqko rexeǌe sistema jednaqina definisanih sim-boliqkim izrazima eqn1, eqn2, itd. Na primer, sistem jednaqina:

x1 = 3x1 + 4x2,

x2 = −4x1 + 3x2

ima rexeǌe x1 = C2e3t cos 4t+ C1e

3t sin 4t, x2 = C1e3t cos 4t− C2e

3t sin 4t:

>> [x1,x2] = dsolve('Dx1 = 3*x1 + 4*x2','Dx2 = -4*x1 + 3*x2')

x1 =

C2*cos(4*t)*exp(3*t) + C1*sin(4*t)*exp(3*t)

x2 =

C1*cos(4*t)*exp(3*t) - C2*sin(4*t)*exp(3*t)

5.2.3 Definisaǌe poqetnih i graniqnih uslovaPoqetni i graniqni uslovi jednaqine se mogu uzeti u obzir pozivom

funkcije na slede�i naqin:

dsolve(eqn,cond1,cond2,...)

Ovako pozvana, funkcija vra�a simboliqko rexeǌe diferencijalne jed-naqine definisane simboliqkim izrazom eqn, a koje zadovoǉava uslovedefinisane u izrazima cond1, cond2 itd. Ukoliko je zavisna promenǉiva naprimer x, tada se uslovi definixu na slede�i naqin: x(a) = b, Dx(a) = c,D2x(a) = d i sliqno. Ovi uslovi odgovaraju vrednostima x(a), x(a), x(a),itd. Ukoliko je broj uslova maǌi od reda jednaqine, rexeǌe �e sadr�atii proizvoǉne konstante C1, C2 itd. Na primer, problem

x = sin(at), x(0) = b

ima rexeǌe x =1

a− 1

acos at+ b, koje se mo�e odrediti na slede�i naqin:

>> dsolve('Dx = sin(a*t)','x(0) = b')

ans =

b - cos(a*t)/a + 1/a

Dakle, u jednaqini i poqetni uslovi mogu biti simboliqke promenǉive.Osim poqetnih uslova, kao u prethodnom primeru, mogu biti definisani igraniqni uslovi, tj. vrednosti zavisnih promenǉivih u bilo kom vremen-skom trenutku t. Na primer,

x+ 4x = 0, x(0) = 1, x(π) = 1.

POGLAVǈE 6Operatori i kontrola toka programa

Programi razmatrani u prethodnim poglavǉima bili su strukturnojednostavni, jer su se naredbe izvrxavale jedna za drugom, onako kako supisane, bez ikakvog granaǌa i ponavǉaǌa. Me�utim, ve�ina programer-skih problema nije tako jednostavna. Qiǌenica je u stvari, da velikamo� programskih jezika dolazi iz ǌihove mogu�nosti da daju instrukcijeraqunaru da izvrxi isti zadatak vixe puta, sa ponavǉaǌem, ili da izvrxirazliqite zadatke ako se odre�eni parametri meǌaju ili su zadovoǉeniodre�eni uslovi. U vixim programskim jezicima ovo se posti�e uz pomo�naredbi za kontrolu toka programa. Naredbe za kontrolu toka programa semogu podeliti u dve osnovne grupe: naredbe za uslovno granaǌe, i naredbepetǉi. Uslovno granaǌe predstavǉa mogu�nost odluke da li se odre�enikod izvrxava ili ne, a u zavisnosti od vrednosti nekog izraza. Petǉe, ilidrugim reqima iteracije, predstavǉaju sposobnost da se izvrxi skup istihoperacija vixe puta, dok se specijalni zahtev ne zadovoǉi. U naredbamaodluqivaǌa, granaǌa, i uopxte u kontroli toka programa, jednu od va�nihuloga igraju logiqki i relacioni operatori, i o ǌima �e tako�e biti reqiu daǉem tekstu.

6.1 Relacioni operatori

Relacioni operatori (ili operatori pore�eǌa) su operatori odnosa iz-me�u dveju promenǉivih ili izraza, a kao rezultat daju logiqki tip po-datka. Oni dozvoǉavaju bilo koju varijantu operanada, xto znaqi dase mogu primeǌivati izme�u skalara, vektora i matrica, ali i izme�uskalara i matrice (vektora). Tako�e, relacioni operatori se mogu prime-ǌivati i na kompleksne brojeve, i u tom sluqaju se upore�uju samo ǌihovirealni delovi.

Dakle, rezultat pore�eǌa skalara primenom relacionih operatora jeili 0 (ako pore�eǌe nije taqno) ili 1 (ako je pore�eǌe taqno), i rezultat

6.3 Uslovno granaǌe 89

poruka o grexkama kod izraza kod kojih bi se u nekim okolnostima to moglopojaviti (na primer, deǉeǌe nulom).

Logiqki operatori se mogu koristiti sa svim numeriqkim tipovimapodataka, uzimaju�i u obzir da se sve numeriqke vrednosti razliqite odnule tretiraju kao logiqka vrednost true, a vrednost nula se tretira kaologiqka vrednost false.

6.3 Uslovno granaǌe

Uslovno granaǌe je najosnovniji element za kontrolu toka u bilo komprogramskom jeziku. On omogu�ava programu da donosi odluke i d odluqujeda li �e se izvrxiti ili ne�e niz naredbi, a na osnovu vrednosti nekogizraza. Kako se vrednost ovog izraza mo�e razlikovati sa razliqitimizvrxavaǌima programa, pomenuta karakteristika omogu�ava da programreaguje dinamiqki na razliqite podatke. U Matlabu se uslovno izvrxa-vaǌe programa posti�e kǉuqnim reqima if, else i elseif.

6.3.1 If uslovOblik jedne if naredbe je veoma jednostavan. Nakon kǉuqne reqi if

sledi jedan logiqki izraz, koji se drugaqije i naziva uslov if iskaza. Uko-liko uslov ima vrednost true (1), izvrxava se niz naredbi koje slede izaiskaza if, sve do iskaza end (grupa naredbi iz sintakse). U suprotnom, akoje logiqka vrednost izraza uslov false, program preskaqe grupu naredbiizme�u if i end, i izvrxavaǌe programa se nastavǉa prvom naredbom izakǉuqne reqi end.

if uslovgrupa naredbi

end

Izraz uslov nakon kǉuqne reqi if mo�e biti slo�en izraz koji se sastojiod relacionih i/ili logiqkih operatora. Xto se tiqe dimenzija, mo�ebiti skalar, vektor ili matrica.

Struktura if-else omogu�ava izvrxavaǌe jedne od dve mogu�e grupenaredbi, a u zavisnosti od istinitosne vrednosti uslova if iskaza i ǌenopxti oblik je (slika 6.1):

if uslovgrupa naredbi 1

else

grupa naredbi 2end

Ako izraz uslov nakon kǉuqne reqi if ima vrednost true, izvrxava se niznaredbi oznaqen sa grupa naredbi 1, koji se nalazi izme�u kǉuqnih reqiif i else, a zatim se preskaqu ostale naredbe do iskaza end. Ukoliko jevrednost izraza uslov false, program preskaqe naredbe do iskaza else, azatim izvrxava niz naredbi oznaqen sa grupa naredbi 2 izme�u else i end.

6.4 Petǉe 93

definixe kada petǉa poqiǌe. Nasuprot tome, kod while petǉe broj pro-laza nije poznat unapred i proces ponavǉaǌa petǉe se nastavǉa sve dok sespecificirani uslov ne zadovoǉi. Obe vrste petǉe mogu se prekinuti ubilo kom trenutku naredbom break.

6.4.1 For petǉaFor petǉa izvrxava naredbu ili niz naredbi unapred odre�eni broj

puta. Struktura for petǉe je jednostavna i ǌen opxti oblik je:

for indeks petlje = vrednostigrupa naredbi

end

Prva linija identifikuje petǉu i definixe promenǉivu indeks petlje,koja se naziva promenǉiva petǉe ili indeks petǉe, a predstavǉa broj qijase vrednost meǌa tokom prolaska kroz petǉu. Izraz vrednosti, koji mo�ebiti vektor ili matrica, predstavǉa skup vrednosti koje promenǉiva in-deks petlje uzima dok se petǉa izvrxava. Suxtinski, broj elemenata u vek-toru vrednosti (ili broj kolona, ukoliko je u pitaǌu matrica) odre�ujebroj prolazaka kroz petǉu. Naredba ili grupa naredbi koja sledi, oz-naqena sa grupa naredbi , naziva se telo petǉe, i ono se izvrxava pri svakomprolazu. Kǉuqna req end identifikuje kraj for petǉe. Petǉa se izvrxavajedanput za svaku vrednost promenǉive indeks petlje. U primeru:

for k = [1 3 7 2]

x = k^2;

fprintf(' %d', x)

end

fprintf('\n')

promenǉiva k predstavǉa indeks petǉe, a vektor[1 3 7 2

]predstavǉa

skup vrednosti. Tokom prvog prolaza kroz petǉu promenǉiva k ima vred-nost 1, xto je prva vrednost iz vektora vrednosti. U telu petǉe se raqunakvadrat promenǉive k i dodeǉuje promenǉivoj x, a potom se vrednostpromenǉive x xtampa na ekranu. Tokom slede�eg prolaza vrednost k semeǌa na vrednost 3, xto je druga vrednost u vektoru vrednosti, i izvr-xava se ponovo telo petǉe. Pri svakom prolasku kroz petǉu vrednostpromenǉive k se meǌa i dodeǉuju joj se slede�a vrednost iz promenǉivevrednosti. Izvrxavaǌem skripta dobija se:

1 9 49 4

U prethodnom primeru indeks petǉe je uzimao vrednosti iz vektora,izme�u qijih elemenata ne postoji nikakva uoqǉiva zavisnost. Me�utim,najqex�e je primena for petǉe u slede�em obliku (slika 6.3):

for k = m:s:n

grupa naredbi

end

Dakle, vektor vrednosti ovde predstavǉa vektor sa osobinom da je razlikaizme�u dva susedna elementa konstantna i jednaka s. Izraz m:s:n dodeǉuje

94 Operatori i kontrola toka programa

indeksu petǉe k poqetnu vrednost m koja se tokom svakog prolaza pove�avaza s, pa se veliqina s naziva korak petǉe. Petǉa se zavrxava kada vrednostindeksa k dostigne vrednost n. U tom sluqaju, program se ne vra�a vixena naredbu for, ve� nastavǉa sa izvrxavaǌem prve slede�e naredbe izakǉuqne reqi end. Na primer, ako je k = 1 : 3 : 10, bi�e 4 prolaza kroz petǉu,a vrednosti indeksa k u prolazima kroz petǉu su 1, 4, 7 i 10, sledstveno.

true

false

for (ulaz)

end

k = m

k > n

(izlaz)

grupa naredbi

k = k + s

Slika 6.3: Dijagram toka for petǉe

Korak petǉe k mo�e biti i negati-van. Tako, na primer, k = 20 : −5 : 10rezultuje sa 3 prolaza u kojima je k =20, 15, 10. Ukoliko nije zadat korak petǉe,podrazumeva se da je on jednak 1. Ako jem = n, petǉa �e se izvrxiti samo jednom.U sluqaju da je m > n i s > 0, ili pakm < n i s < 0, petǉa se ne�e izvrxitinijednom. Specijalno, ako su vrednostik, s i n takve da k ne mo�e biti jednakon, ukoliko je korak s pozitivan, posledǌiprolaz �e se izvrxiti kada k ima najve�uvrednost koja je maǌa od n. Na primer,k = 1 : 2 : 6 daje 3 prolaza u kojima jek = 1, 3, 5. Ako s ima negativnu vrednost,posledǌi prolaz �e se izvrxiti kada kima najmaǌu vrednost koja je ve�a od n.I treba napomenuti – svakoj naredbi for u programu mora biti dodeǉenaodgovaraju�a kǉuqna req end. Kada se petǉa zavrxi, indeks petǉe imaposledǌu dodeǉenu mu vrednost.

Matrica kao indeks petǉe

Indeks petǉe mo�e biti i matrica, za razliku od prethodnih primeragde je to bio vektor. Na primer, neka je data matrica A tipa m×n. Naredbe

for k = A

grupa naredbi

end

dodeǉuje indeksu k vektor A(:, i), gde i predstavǉa teku�i broj iteracijepetǉe, odnosno prolaza petǉe. U prvom prolazu, k je jednako A(:, 1), udrugom k = A(:, 2), u i-tom k = A(:, i) i sve do k = A(:, n). Dakle, brojprolaza je jednak broju kolona matrice A, a u svakom prolazu indeks kpredstavǉa odgovaraju�u kolonu matrice A. Jedan takav primer je:

>> A = [1 2 3; 4 5 6]

A =

1 2 3

4 5 6

>> for k = A, y = 2*k , endy =

2

8

POGLAVǈE 9Aproksimacija i interpolacija

9.1 Opxti problem aproksimacije

Neka je funkcija f : X −→ R, X ⊆ R funkcija realne promenǉive.Problem aproksimacije funkcije f(·) svodi se na odre�ivaǌe neke drugefunkcije

ϕ(x) = ϕ(x; a0, a1, . . . , am)

koja zavisi od m + 1 parametara a0, a1, . . . , am, tako da va�i ϕ(x) ≈ f(x).Funkcija ϕ(·) se naziva aproksimaciona funkcija. U praksi se problemaproksimacije mo�e javiti iz dva razloga. Prvi je xto analitiqki ob-lik funkcije f(·), iako je poznat, mo�e biti veoma komplikovan, pa jeizraqunavaǌe ǌenih vrednosti slo�eno. Sa druge strane, analitiqki ob-lik funkcije nije poznat, ve� su poznate samo vrednosti funkcije na nekomskupu taqaka. To je qest sluqaj u mnogim nauqnim i in�eǌerskim prime-nama, kada se podaci prikupǉaju u eksperimentima pri raznim mereǌimarazliqitih fiziqkih veliqina, na primer kod eksperimentalnih odre�i-vaǌa statiqkih karakteristika, kao xto je sluqaj kod krive sila-izdu�eǌeu postupku odre�ivaǌa krutosti opruge, i sliqno.

Jedan od osnovnih problema aproksimacije je kako odrediti, odnosnoizabrati funkciju aproksimacije. U principu, sve aproksimacione funk-cije se mogu podeliti na linearne i nelinearne. Opxti oblik linearneaproksimacione funkcije je

ϕ(x) = a0ϕ0(x) + a1ϕ1(x) + . . .+ amϕm(x), (9.1)

pri qemu sistem funkcija ϕk(·) zadovoǉava odre�ene osobine. Ovde se pojamlinearne funkcije odnosi na linearnost po parametrima ai, i = 0, 1, . . . ,m, adobra strana ovog oblika aproksimacije je xto se odre�ivaǌe parametarasvodi na sisteme linearnih jednaqina.

130 Aproksimacija i interpolacija

U specijalnom sluqaju, kada je ϕk(x) = xk, k = 0, 1, . . . ,m, tj.

ϕ(x) = a0 + a1x+ a2x2 + . . .+ amxm, (9.2)

req je o aproksimaciji algebarskim polinomima. Funkcije ϕk(·) mogu bititrigonometrijske funkcije, pa je u pitaǌu aproksimacija trigonometrij-skim polinomima, ili pak u delovima polinomijalne funkcije, a kao ne-linearne aproksimacione funkcije koriste se na primer eksponencijalne iracionalne funkcije. Kod pribli�nog predstavǉaǌa funkcija postoje dvarazliqita pristupa, odnosno kriterijuma, koji se postavǉaju aproksima-cionoj funkciji (slika 9.1):

� Interpolacija se karakterixe zahtevom da se vrednosti funkcija f(·)i ϕ(·) podudaraju na nekom konaqnom skupu podataka. U tim pozna-tim taqkama se mogu, ali i ne moraju poklapati vrednosti izvodafunkcija.

� Aproksimacijom se dobijaju funkcije koje aproksimiraju skup podata-ka uz minimizaciju nekog postavǉenog kriterijuma, i bez obaveznogzahteva da se vrednosti funkcija f(·) i ϕ(·) podudaraju u taqkama togskupa.

x

1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3

y

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

interpolacija

aproksimacija

diskretna taqka

Slika 9.1: Aproksimacija i interpolacija diskretnog skupa podataka

9.2 Interpolacija

Neka je funkcija f(·) data na segmentu [a, b] skupom parova (xk, yk), k =0, 1, . . . , n i gde je yk = f(xk). Ako je za aproksimaciju funkcije f(·) funkci-jom ϕ(·) kriterijum za izbor parametara a0, a1, . . . , an dat sistemom jed-naqina:

ϕ(xk; a0, a1, . . . , an) = f(xk), k = 0, 1, . . . , n (9.3)

134 Aproksimacija i interpolacija

9.4.3 Funkcije za interpolaciju u MatlabuInterpolacioni kubni splajn se mo�e odrediti korix�eǌem ugra�ene

funkcije Matlaba, spline(), qija je opxta sintaksa oblika:

yi = spline(x,y,xi)

gde su x i y vektori koji sadr�e taqke interpolacije, a yi vektor kojisadr�i rezultate interpolacije izraqunate u taqkama vektora xi. Po-drazumevani graniqni uslov je tzv. not-a-knot uslov. U sluqaju da vektor ysadr�i dve vrednosti vixe nego xto ima vektor x, tada se prva i posledǌavrednost u vektoru y koriste kao izvodi u krajǌim taqkama. Na taj naqinova opcija omogu�ava da se implementira i clamped-end uslov, tj. da sedobije potpuni splajn.

Ugra�ena funkcija interp1() omogu�ava da se implementira nekolikotipova u delovima jednodimenzijskih interpolacija. ǋena opxta sintaksaje:

yi = interp1(x,y,xi,method)

gde su x i y vektori koji sadr�e vrednosti koje se interpoliraju, yi jevektor koji sadr�i rezultate interpolacije dobijene u taqkama vektora xi

primenom metode definisane u parametru method. Dostupne metode su:

� ’nearest’: interpoliranoj taqki se dodeǉuje vrednost ǌoj najbli�etaqke. Prema tome, predstavǉa interpolaciju polinomom nultog reda.

� ’linear’: linearna interpolacija. Ova metoda koristi prave linijeza povezivaǌe taqaka.

� ’spline’: interpolacija u delovima kubnim splajnom. Ova metoda jeidentiqna funkciji spline().

� ’pchip’ i ’cubic’: u delovima kubna Ermitova interpolacija.

Ukoliko se argument method u pozivu funkcije izostavi, podrazumevanametoda je metoda linearne interpolacije.

Primer 9.1. Na osnovu proizvoǉno odabranih taqaka interpolirati funk-ciju f(x) = (x2 − 3x+ 5)e−5xsinx na intervalu [0, 1].

Rexeǌe: Primer rexeǌa dat je slede�om funkcijom, sa kra�im objaxǌe-ǌima i komentarima o pojedinim naredbama. Grafiqki prikaz rezultatadat je na slici 9.3.

function inter_primer

% Primer interpolacije funkcije

% y = f(x) = (x.^2 - 3*x + 5).*exp(-5*x).*sin(x);

% razlichitim metodama interpolacije

% generisanje chvorova interpolacije

x = 0:0.1:1;

y = (x.^2 - 3*x + 5).*exp(-5*x).*sin(x);

9.4 Interpolacija polinomima po delovima 135

% definisanje vektora u kojima ce se funkcija interpolirati

x1 = 0:.02:1;

% tachna vrednost funkcije y=f(x) za vrednosti xi

y0 = (x1.^2 - 3*x1 + 5).*exp(-5*x1).*sin(x1);

% interpolacija razlichitim metodama

y1 = interp1(x,y,x1); % linearna

y2 = interp1(x,y,x1,'pchip'); % u delovima kubna Ermitova

y3 = interp1(x,y,x1,'spline'); % u delovima kubnim splajnom

y4 = interp1(x,y,x1,'nearest'); % najblizhom tachkom

% grafichki prikaz rezultata

figure()

subplot(2,2,1)

plot(x1,y1,x1,y0,'--',x,y,'o')

ispis('linear')

subplot(2,2,2)

plot(x1,y2,x1,y0,'--',x,y,'o')

ispis('pchip')

subplot(2,2,3)

plot(x1,y3',x1,y0,'--',x,y,'o')

ispis('spline')

subplot(2,2,4)

plot(x1,y4',x1,y0,'--',x,y,'o')

ispis('nearest')

function ispis(metoda)

% Funkcija koja ispisuje naslove osa i legendu

% sa ulaznim parametrom koji predstavlja metodu interpolacije

title(sprintf('Metoda interpolacije: %s', metoda), 'Interpreter', ...'Latex')

xlabel('$x$','Interpreter','Latex')

ylabel('$y$','Interpreter','Latex')

legend(metoda,'funkcija'), grid

end

end

U Matlabu postoji funkcija interp2() koja vrxi dvodimenzionalnu in-terpolaciju, qija je sintaksa:

z1 = interp2(x0,y0,z0,x1,y1,method)

Ulazni argumenti x0, y0, z0 predstavǉaju diskretne taqke formirane funk-cijom meshgrid(). Argumenti x1, y1 predstavǉaju taqke koje se interpoli-raju, i one mogu da budu u bilo kom obliku – skalari, vektori, matrice,dakle, nije obavezna meshgrid forma. Izlazni argument funkcije z1 jerezultat interpolacije, oblika kao x1 ili y1. Parametar method mo�eimati vrednosti kao i u jednodimenzionalnom sluqaju. Xtavixe, mogu�aje i n−dimenzionalna interpolacija, funkcijom interpn(), ali to prevazi-lazi okvire ovog izlagaǌa.

POGLAVǈE 10Nelinearne algebarske jednaqine

10.1 Nelinearna jednaqina jedne promenǉive

U mnogim problemima u nauci i in�eǌerstvu neophodno je odreditirexeǌe neke nelinearne jednaqine oblika:

f(x) = 0. (10.1)

Grafiqki, rexeǌe ili koren jednaqine predstavǉa taqku preseka funkcijef(·) i x−ose. Prema tome, u zavisnosti od funkcije f(·), jednaqina (10.1)mo�e imati jedinstveno rexeǌe, vixe rexeǌa ili ne�e imati rexeǌe.Koren jednaqine se nekad mo�e odrediti analitiqki i onda je to taqnorexeǌe. Me�utim, u ve�ini situacija to nije mogu�e, pa se koreni jedna-qine moraju na�i primenom neke numeriqke procedure. Jedan takav primerje jednaqina oblika 1− x+ cosx = 0. Slika 10.1 prikazuje da ova jednaqinaima samo jedno rexeǌe, koje se mo�e aproksimirati sa �eǉenom taqnox�uuz pomo� neke numeriqke metode.

Zapa�aǌe 10.1. Treba obratiti pa�ǌu na terminologiju i upotrebu poj-mova rexeǌe, koren i nula. Koren predstavǉa rexeǌe jednaqine f(x) = 0, ato rexeǌe u stvari predstavǉa nulu funkcije f(·).

Numeriqke metode za rexavaǌe nelinearnih jednaqina se mogu podelitiu dve glavne kategorije: metode na zatvorenom intervalu i metode naotvorenom intervalu, ili kra�e – otvorene metode. Metode na zatvorenomintervalu zahtevaju da se identifikuje, tj. odredi, poqetni interval kojisadr�i koren jednaqine. Prema slici 10.2a, koja prikazuje osnovni prin-cip metoda na zatvorenom intervalu, to znaqi da treba odrediti interval[a, b] tako da je f(a)f(b) < 0. Poqetni interval se tada sistematski sma-ǌuje na podintervale u kojima se tako�e nalazi taj koren jednaqine, svedok se ne zadovoǉi �eǉena taqnost. Kako se taqno meǌa du�ina intervalau svakom koraku zavisi od metode koja se koristi. Oqito je da metode

140 Nelinearne algebarske jednaqine

x-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4

-2

0

2

4

6

f(x)=

1−x+cosx

pribli¼no rexe©e

Slika 10.1: Pribli�no rexeǌe jednaqine 1− x+ cosx = 0

na zatvorenom intervalu uvek konvergiraju rexeǌu, tj. korenu. Primeritakvih metoda su metoda bisekcije (metoda polovǉeǌa intervala) i regulafasi (metoda pogrexnog polo�aja).

Kod otvorenih metoda u toku iterativnog postupka ne postoji ograni-qeǌe da se aproksimacija mora nalaziti u unapred utvr�enom zatvorenomintervalu. Nasuprot prethodno opisanim metodama, otvorene metode zahte-vaju samo jednu vrednost promenǉive x za poqetak iteracije, tj. zahtevajupoqetnu procenu rexeǌa, blisku stvarnom korenu. Doduxe, neke otvorenemetode mogu tako�e da zahtevaju dve ili vixe taqaka, ali ne zahtevaju dase koren izoluje u zatvorenom intervalu. Nakon poqetne procene rexeǌa,taqnije aproksimacije, rexeǌa se generixu sukcesivno, posebnim metodama(slika 10.2b). Ove metode, uopxteno, ne garantuju konvergenciju sve dokpoqetna pretpostavka x0 nije dovoǉno bliska korenu jednaqine. Me�utim,qak i tada, numeriqki algoritam mo�e da divergira. Uprkos tome, pred-nost otvorenih metoda je u tome xto ako konvergiraju, one demonstrirajumnogo boǉu brzinu konvergencije u pore�eǌu sa metodama na zatvorenomintervalu. Neke od otvorenih metoda su metoda fiksne taqke, ǋutnovametoda, metoda seqice (ona zahteva dve taqke za poqetak iteracije) i inver-zna kvadratna interpolacija (zahteva tri poqetne taqke).

10.1.1 Rexavaǌe nelinearnih jednaqina u MatlabuMatlab poseduje samo dve funkcije za odre�ivaǌe korena jednaqine. To

su funkcija fzero(), koja se mo�e primeniti za bilo koju funkciju jednepromenǉive, i funkcija roots() za odre�ivaǌe nula polinoma. Funkcijafzero() koristi kombinaciju metoda bisekcije, seqice i inverzne kvadratneinterpolacije za nala�eǌe rexeǌa. Opxti oblik poziva funkcije je:

x = fzero(fun, x0)

Funkcija pokuxava da na�e nulu funkcije fun uzimaju�i x0 kao poqetnuaproksimaciju rexeǌa. Ukoliko je x0 skalar, procedura za tra�eǌe nule

POGLAVǈE 11

Numeriqko diferenciraǌe i integraǉeǌe

11.1 Numeriqko diferenciraǌe

U mnogim in�eǌerskim problemima zahteva se izraqunavaǌe izvoda,kao na primer odre�ivaǌe brzine na osnovu podataka o poziciji, odnosnopre�enom putu. Nekada je poznat analitiqki opis funkcije koja se dife-rencira, ali je analitiqko diferenciraǌe veoma komplikovano. U tomsluqaju, funkcija se diskretizuje i generixe odre�en broj taqaka koje sepotom koriste u nekoj numeriqkoj metodi za aproksimaciju izvoda funkcije.Sa druge strane, qesto su dostupni podaci upravo u obliku diskretnogskupa taqaka, kao rezultat eksperimentalnih mereǌa. U tom sluqaju, izvodse mo�e numeriqki aproksimirati na jedan od slede�a dva naqina. Jedannaqin je diferenciraǌem interpolacionih formula, kada se podaci aprok-simiraju pogodnom krivom, lakom za diferenciraǌe, a potom diferenciraanalitiqki izraz dobijene funkcije. Na primer, za sluqaj interpolacijenepoznate funkcije f(·) polinomom, aproksimaciona funkcija je oblika

ϕ(x) = Pn(x) = anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x+ a0, (11.1)

tako da je postupak diferenciraǌa jednostavan, tj. f (k)(x) ≈ ϕ(k)(x). Me�u-tim, treba napomenuti da ovakav postupak diferenciraǌa mo�e da budenestabilan i netaqan, jer mala odstupaǌa aproksimacione funkcije odstvarne, |f(x)− Pn(x)| ne znaqe obavezno i mala odstupaǌa ǌihovih izvoda|f ′

(x) − P′

n(x)|. Sa druge strane, dobra osobina je xto poznat, diskretanskup taqaka ne mora da bude ekvidistantan.

Drugi prilaz je primena konaqnih razlika u kojima se koriste podaciu okolini taqke od interesa za aproksimaciju izvoda, i o ovim metodama�e biti vixe reqi u nastavku.

152 Numeriqko diferenciraǌe i integraǉeǌe

Primer 11.1. Pokazati primenu funkcije diff() u pribli�nom odre�ivaǌuizvoda funkcije

f(x) = 0, 2 + 25x− 200x2 + 675x3 − 900x4 + 400x5.

i uporediti dobijene rezultate sa taqnim rexeǌem na intervalu x ∈ [0, 0, 8].

Rexeǌe: Predlog rexeǌa dat je u slede�em skriptu. Pore�eǌe analitiq-kog i pribli�nih rexeǌa dato je na slici 11.2, pri qemu je prikazan dija-gram koji odgovara grafiku figure(2) u skriptu. Iz prikazanog rezultatamo�e se uoqiti da se primenom konaqnih razlika unazad i unapred ne mo�edobiti vrednost izvoda u prvoj, odnosnoj posledǌoj taqki intervala, sled-stveno, a primenom centralnih razlika se ne mogu dobiti vrednosti izvodau krajǌim taqkama posmatranog intervala.

f = @(x) 0.2 + 25*x - 200*x.^2 + 675*x.^3 - 900*x.^4 + 400*x.^5;

x = 0:0.05:0.8; n = length(x);

y = f(x); % izrachunavanje funkcije u izabranim tachkama

xa = 0:0.01:0.8; % za crtanje analitichkog reshenja

% analitichko reshenje:

yda = 25 - 400*xa + 3*675*xa.^2 - 4*900*xa.^3 + 5*400*xa.^4;

d = diff(y)./diff(x);

% Aproksimacija izvoda: razlike unazad

subplot(3,1,1)

plot(x(2:n),d,'bo'), hold on, plot(xa,yda), grid

% Aproksimacija izvoda: razlike unapred

subplot(3,1,2)

plot(x(1:n-1),d,'rd'), hold on, plot(xa,yda), grid

% Aproksimacija izvoda: centralne razlike.

dc = (y(3:n) -y(1:n -2))./(x(3:n)-x(1:n-2));

subplot(3,1,3)

plot(x(2:n-1),dc,'k*'), hold on, plot(xa,yda), grid

% Na jednom dijagramu

figure(2)

plot(x(2:n),d,'bo', x(1:n-1),d,'rd', x(2:n-1),dc, 'k*')

hold on, grid on, plot(xa,yda)

legend('razlike unazad', 'razlike unapred', 'centralne razlike')

Funkcija polyder()

Funkcija polyder() omogu�ava da se analitiqki odredi izvod poli-nomske funkcije, odre�ene ǌenim koeficijentima. Pri tome, funkcijadozvoǉava tri oblika poziva:

� b=polyder(p) – vra�a vektor b koji sadr�i koeficijente izvodapolinoma definisanog vektorom p (po opadaju�em stepenu),

� b=polyder(p1,p2) – vra�a vektor b koji sadr�i koeficijente izvodaproizvoda polinoma p1 i p2,

� [n,d]=polyder(p1,p2) – vra�a vektore n i d koji sadr�e koeficijentebrojioca i imenioca izvoda koliqnika polinoma p1 i p2.


0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8-30

-20

-10

0

10

20

30

razlike unazad

razlike unapred

centralne razlike

x

f(x)

Slika 11.2: Pore�eǌe pribli�nih i taqnih izvoda funkcije iz primera 11.1.3

Na primer, izvod polinoma p(x) = 2x3 − 5x+ 3 je p′(x) = 6x2 − 5 je:

>> p = [2 0 -5 3]

>> polyder(p)

ans =

6 0 -5

U Matlabu se mo�e odrediti i gradijent skupa podataka koji predstav-ǉaju dvodimenzionalnu funkciju pomo�u funkcije gradient(). Jedan odoblika poziva funkcije je

[Fx,Fy] = gradient(F,dx,dy)

gde je F matrica, a Fx i Fy su vektori parcijalnih izvoda ∂F/∂x i ∂F/∂y,sledstveno. Vixe o funkciji se mo�e na�i naredbom help gradient.

11.2 Numeriqko integraǉeǌe

Veoma va�no mesto u mnogim in�eǌerskim problemima zauzima i nu-meriqko integraǉeǌe (na primer, izraqunavaǌe pre�enog puta na osnovuzavisnosti brzine kretaǌa od vremena). Osnovna ideja numeriqke inte-gracije je izraqunavaǌe integrala

I =

∫ b

a

f(x)dx (11.19)

korix�eǌem vrednosti funkcije f(·) na nekom konaqnom skupu taqaka. For-mule za pribli�no integraǉeǌe funkcija jedne promenǉive zovu se i kva-draturne formule, zbog interpretacije integrala kao povrxine ispod kri-ve, tj. ispod funkcije f(·).

Od mnogih metoda, u nastavku �e se ukratko izlo�iti dve, trapeznoi Simpsonovo pravilo, a na kojima se zasnivaju ugra�ene funkcije Mat-laba. Obe metode se dobijaju iz ǋutn-Kotesovih (Newton-Cotes) formula


gde integrand malo varira, a kra�i intervali u oblastima gde integrandpokazuje nagle promene. U analizi koja sledi, me�utim, pretpostavǉa seda su taqke ekvidistantne. Na svakom od podintervala [xi, xi+1] integralse aproksimira povrxinom trapeza. Sabiraǌem povrxina trapeza dolazise do pribli�ne vrednosti odre�enog integrala:

∫ b

a

f(x)dx ≈n∑

i=1

f(xi) + f(xi+1)

2(xi+1 − xi). (11.22)

Grexka opxteg trapeznog pravila je reda h2, tj. O(h2).

11.2.2 Matlab funkcija trapz()

U Matlabu je implementirana trapezna metoda pribli�ne integracijeu obliku funkcije trapz(). ǋena sintaksa je

I=trapz(x,y)

gde niz y sadr�i vrednosti funkcije izraqunate za taqke sadr�ane u nizux, a I je vrednost integrala. Ukoliko se �eli integral jedne funkcije,tada je y vektor, a za sluqaj vixe funkcija ǌihove vrednosti se morajudefinisati u obliku matrice Y . Tada �e funkcija izraqunati integralsvake od kolona matrice Y . Va�no je da se ne mo�e analitiqki definisatifunkcija kao integrand, ve� integrand mora biti diskretan skup podataka.

Primer 11.2. Odrediti integral∫ 1

−1

1

x+ 3dx primenom trapeznog pravila.

Rexeǌe: Da bi se primenilo trapezno pravilo, potrebno je generisatidiskretni skup taqaka i potom pozvati funkciju trapz(). Slede�i niznaredbi ilustruje rexeǌe:

>> x = -1:0.1:1;

>> y = 1./(x+3);

>> I = trapz(x,y)

I =

0.6933

Analitiqko rexeǌe je:∫ 1

−1

1

x+ 3dx = ln |x+ 3|

∣∣1−1

= ln 4− ln 2 = ln 2 = 0.6931.

To se mo�e proveriti i primenom simboliqkog raquna:

>> syms x

>> int(1/(x+3),-1,1)

ans =

log(2)

Podelom intervala integracije [−1, 1] na ve�i broj taqaka mo�e se dobitijox taqniji rezultat.

POGLAVǈE 12Numeriqko rexavaǌe obiqnih

diferencijalnih jednaqina

12.1 Pojam diferencijalne jednaqine

Za razliku od algebarskih jednaqina, u diferencijalnim jednaqinamanepoznata koja se odre�uje je realna (ili kompleksna) funkcija. U dife-rencijalnoj jednaqini figurixu nezavisna promenǉiva t, nepoznata funk-cija y(·) i neki ǌeni izvodi. Opxti oblik skalarne diferencijalne jedna-qine je:

ϕ(t, y, y, y, . . . , y(n)) = 0 (12.1)

Ukoliko je req o funkciji jedne realne promenǉive, kao u jednaqini (12.1),tada je u pitaǌu obiqna diferencijalna jednaqina. Osim obiqnih, postojei parcijalne diferencijalne jednaqine kod kojih nepoznata funkcija zavisiod vixe nezavisno promenǉivih, pa u diferencijalnoj jednaqini figuri-xu parcijalni izvodi. Nadaǉe, predmet razmatraǌa �e biti samo obiqnediferencijalne jednaqine. Sliqno algebarskim jednaqinama, postoje i sis-temi diferencijalnih jednaqina. Diferencijalne jednaqine se javǉaju kaomatematiqki modeli razliqitih pojava, procesa i sistema u prirodi itehnici, i o tome �e biti reqi nexto kasnije.

Najvixi izvod tra�ene funkcije koji se pojavǉuje u diferencijalnojjednaqini predstavǉa red diferencijalne jednaqine. Rexiti diferenci-jalnu jednaqinu znaqi odrediti nepoznatu funkciju y(·) koja se u ǌoj javǉa.Rexeǌe diferencijalne jednaqine na nekom intervalu J je preslikavaǌey(·) : J −→ R diferencijalno n puta, tako da je jednaqina (12.1) zadovoǉe-na za svako t ∈ J . Ako se pretpostavi da se jednaqina (12.1) mo�e rexitipo najve�em izvodu nepoznate funcije y(·), dobija se jednaqina

y(n) = φ(t, y, y, y, . . . , y(n−1)) = 0, (12.2)

12.3 Jednokoraqne metode 161

Zadavaǌem n uslova koje rexeǌe jednaqine (12.5) treba da zadovoǉava,iz opxteg rexeǌa se odre�uje tzv. partikularno rexeǌe. Jednaqina (12.5)zajedno sa uslovima zadatim u jednoj taqki, oznaqenoj sa x0, predstavǉaproblem koji se naziva problem poqetnih vrednosti ili Koxijev problem.

U ciǉu razumevaǌa metoda za numeriqko rexavaǌe Koxijevog problema,i zbog pogodnosti grafiqke interpretacije a bez gubitka u opxtosti, raz-matra se skalarna diferencijalna jednaqina prvog reda sa datim poqetnimuslovom:

x(t) = f(t, x), x(t0) = x0. (12.6)

Sve metode koje se ilustruju u nastavku va�e i u opxtem sluqaju vektorskogoblika prethodne jednaqine.

Prema tome, Koxijev problem se sastoji iz odre�ivaǌa onog rexeǌajednaqine (12.6) koje prolazi kroz datu taqku, tj. rexeǌa koje zadovoǉavauslov x(t0) = x0. U nastavku, usvaja se da va�i slede�a pretpostavka:

Pretpostavka 12.1. Sistem (12.6) ima jedinstveno rexeǌe na intervalu[a, b].

Numeriqko rexeǌe ovog problema generixe niz vrednosti nezavisnepromenǉive t0, t1, . . . , tn i odgovaraju�i niz vrednosti zavisne promenǉivex0, x1, . . . , xn, tako da svako xi aproksimira rexeǌe u taqki ti:

xi ≈ x(ti), ∀i = 0, 1, . . . , n.

Razlika hk, hk = tk − tk−1 predstavǉa korak diskretizacije, ili korak inte-gracije na k-tom segmentu [tk−1, tk] i on u opxtem sluqaju ne mora bitikonstantan, xto je naznaqeno indeksom k. Naravno, u sluqaju konstantnogkoraka integracije i podele intervala na kome se Koxijev problem rexavana n segmenata (podintervala), va�i slede�e:

t1 = t0 + h, t2 = t0 + 2h, . . . , tn = t0 + nh, gde je h =tn − t0

n.

Rexeǌe u taqki t0 je poznato iz datog poqetnog uslova. Ciǉ je na�i pri-bli�na rexeǌa u slede�im taqkama t1, t2, . . . , tn.

12.3 Jednokoraqne metode

Jednokoraqnim metodama se pribli�no rexeǌe u taqki xi+1 koje odgo-vara vrednosti ti+1 dobija ekstrapolacijom, a na osnovu vrednosti xi uprethodnoj taqki ti. Na koji naqin se ova nova vrednost dobija ekstrapo-lacijom zavisi od vrste numeriqke metode koja se koristi. Na slici 12.1 jeprikazana jednostavna jednokoraqna metoda, gde se vrednost nagiba ϕ(ti, xi)prave kroz taqku (ti, xi) koristi za odre�ivaǌe vrednosti xi+1, tj.:

xi+1 = xi + hϕ(ti, xi), i = 0, 1, . . . , n. (12.7)

162 Numeriqko rexavaǌe obiqnih diferencijalnih jednaqina

it +1it t

h

ix

hϕ

ix

hϕ+ix=+1ix

nagib=ϕx

taqno rexe©e

Slika 12.1: Jednokoraqna metoda.

Vrednost ϕ(ti, xi) se mo�e tu-maqiti kao pribli�ni prirax-taj po jediniqnom koraku igeometrijski predstavǉa nagibpostavǉene prave u taqki (ti, xi),a naziva se i funkcija pri-raxtaja. Poqevxi od unapredpoznatog poqetnog uslova x0,prethodna jednaqina se pri-meǌuje na svaki podinterval[ti, ti+1] za nala�eǌe pribli�nogrexeǌa u taqkama t1, t2, . . . , tn.Opxti oblik jednaqine (12.7)opisuje sve jednokoraqne metode,pri qemu se metode razlikuju u svom prilazu za odre�ivaǌe ϕ(ti, xi).Metode su dobile naziv po tome xto se za aproksimaciju xi+1 koristi samovrednost xi u prethodnoj taqki, odnosno, u jednom koraku se iz xi dobijaxi+1. Najjednostavnija jednokoraqna metoda je Ojlerova metoda, kojoj jeposve�en naredni odeǉak.

12.3.1 Ojlerova metodaOjlerova metoda obiqno daje najmaǌe taqne rezultate, ali ipak pru�a

dobru osnovu za razumevaǌe sofisticiranih metoda, te se stoga razmatrau nastavku. Kod ove metode se za vrednost funkcije ϕ(ti, xi) uzima vrednostfunkcije f(ti, xi), tj. uzima se nagib na poqetku intervala kao aproksi-macija sredǌeg nagiba na celom intervalu.

xi+1 = xi + hf(ti, xi), i = 0, 1, . . . , n. (12.8)

Prethodna jednaqina se mo�e dobiti na razliqite naqine, pa se u nastavkukroz pomenutu metodu ilustruje suxtina numeriqkog rexavaǌa diferenci-jalne jednaqine.

Geometrijski aspekt

Posmatra se grafik taqnog rexeǌa Koxijevog problema x(t). Poznatipoqetni uslov predstavǉa taqku koja se nalazi na taqnom rexeǌu, tako da je(t0, x0) prirodan i logiqan izbor za poqetnu taqku postupka aproksimacije.Da bi se dobilo pribli�no rexeǌe u taqki t1, izraqunava se nagib tan-gente u taqki (t0, x0) kao x0 = f(t0, x0), i tangenta predstavǉa pravu linijuqija je jednaqina

T0(t) = x0 + (t− t0)x0. (12.9)

Za pribli�no rexeǌe x1 u taqki t1 mo�e se iskoristiti vrednost tangenteT0 u toj taqki, tj.:

x1 = T0(t1) = x0 + (t1 − t0)x0 = x0 + hf(t0, x0). (12.10)

172 Numeriqko rexavaǌe obiqnih diferencijalnih jednaqina

ode23s. Ovaj jednokoraqni numeriqki postupak je zasnovan na modi-fikovanoj Rosenbrokovoj formuli drugog reda i nameǌen je za simulacijukrutih dinamiqkih sistema. U sluqaju grubǉih tolerancija ovaj postupakje efikasniji od ode15s postupka.

ode23tb. Predstavǉa implicitnu metodu Runge Kuta koja koristi kom-binaciju trapeznog pravila i diferencijalne formule drugog reda. Kaoi ode23s, ovaj postupak mo�e biti efikasniji u odnosu na ode15s postupakpri grubǉim tolerancijama.

12.7 Funkcija ode..() u MatlabuSintaksa poziva je ista za sve numeriqke metode, to jest rexavaqe. Nu-

meriqka metoda se mo�e pozvati iz komandne linije na slede�i naqin:

[t,x]= odesolver(odefun,tspan,x0)

[t,x]=odesolver(odefun,tspan,x0,options)

Parametar odefun predstavǉa ime funkcijske datoteke ili anonimnefunkcije koja se koristi za izraqunavaǌe desne strane diferencijalne jed-naqine (12.6) za date vrednosti nezavisne i zavisne promenǉive. Ukolikose koristi m-datoteka, definiciona linija funkcije obiqno ima oblik

function xdot = odefun(t,x)

i datoteka se snima pod imenom odefun.m. Izlazna veliqina xdot mora bitivektor iste dimenzije kao x. Mo�e se uoqiti da nezavisna promenǉiva tmora biti deo liste ulaznih argumenata, qak i ako se ona ne pojavǉujeeksplicitno u izrazu koji se koristi za izraqunavaǌe xdot. Promenǉivaodefun mo�e da sadr�i ime m-datoteke ili mo�e da bude pokazivaq gene-risan anonimnom funkcijom. Dvoelementni vektor tspan definixe inter-val integracije [t0 tf ], gde je t0 poqetni a tf krajǌi trenutak simulacije.Osim toga, to mo�e biti vektor vrednosti za koje se �eli rexeǌe. Vektorx0 predstavǉa vektor poqetnih uslova za zavisnu promenǉivu. Naravno,potrebno je onoliko poqetnih uslova koliko ima zavisnih promenǉivih.Parametar options predstavǉa jednu Matlab strukturu (koju kreira funk-cija odeset()), i ona omogu�ava da se utiqe na parametre izraqunavaǌa.Ovaj argument je opcionalan, i ukoliko se ne koristi, rexavaq �e koristipodrazumevane vrednosti, o kojima �e biti reqi nexto kasnije. Vektor tsadr�i vrednosti nezavisne promenǉive za koje se niz rexeǌa x izraqu-nava. Treba imati u vidu da, u podrazumevanom sluqaju, ove vrednosti nepredstavǉaju ekvidistantan skup vrednosti. Svaka kolona od x predstavǉarazliqitu zavisnu promenǉivu. Veliqina niza je length(t)× length(x0).

Primena funkcije bi�e ilustrovaana na primeru. Posmatra se najpreskalarna diferencijalna jednaqina

x(t) = −x(t)− 5e−t sin 5t, x(0) = 1

koju treba rexiti na intervalu 0 ≤ t ≤ 3. Kreira se anonimna funkcija

12.7 Funkcija ode..() u Matlabu 173

xdot = @(t,x) -x - 5*exp(-t)*sin(5*t);

i nizom slede�ih naredbi dobija se rexeǌe, prikazano na slici 12.6:

tspan=[0 3]; x0=1;

[t,x] = ode45(xdot,tspan,x0);

plot(t,x,'*-.')

grid on

xlabel('$t$','Interpreter','Latex')

ylabel('$x(t)$','Interpreter','Latex')

t0 1 2 3

-1

-0,5

0

0,5

1

x(t)

Slika 12.6: Rexeǌe skalarne diferencijalne jednaqine

Dakle, ulazni argumenti pri pozivu funkcije su pokazivaq na funkcijuxdot, dvoelementni vektor tspan koji definixe interval na kome se tra�irexeǌe, i poqetni uslov x0. Izlazni argumenti su vektori t i x. Vred-nosti vektora t su u opsegu [0, 3], i x(i) aproksimira rexeǌe u trenutku t(i).To znaqi da je t(1) = 0 i t(end) = 3, dok su taqke t(2 : end − 1) automatskiizabrane od strane rexavaqa u procesu adaptivnog rexavaǌa jednaqine.

Ako se �eli rexeǌe jednaqine u odre�enim vremenskim trenucima (a neu onima u kojima sama funkcija ode45() vra�a), tada vektor tspan trebada sadr�i �eǉene vrednosti. Slede�i niz naredbi prikazuje jedan takavprimer.

>> tspan_2 = 0:4; x0 = 1;

>> [t2,x2] = ode45(xdot,tspan_2,x0);

>> disp([t2,x2])

0 1.0000

1.0000 0.1043

2.0000 -0.1136

3.0000 -0.0378

4.0000 0.0075

Ovakav zahtev za rexeǌima u specifiqnim trenucima ima mali uticajna brzinu numeriqkog rexavaǌa. Va�no je da specificiraǌe ovih vred-nosti ne znaqi da rexavaq rexava diferencijalnu jednaqinu samo u timtrenucima. On i daǉe sam adaptivno odre�uje korake i vremenske trenutkeu procesu dobijaǌa rexeǌa koje �e da zadovoǉi tra�enu taqnost, a ovispecifirani trenuci su samo povratne vrednosti funkcije – funkcija ne

POGLAVǈE 13Uvod u Simulink

Ponaxaǌe dinamiqkih sistema opisano je diferencijalnim jednaqinamaili skupom diferencijalnih jednaqina koje su uopxteno nelinearne. Os-novni problem kod analize takvih sistema je nepostojaǌe opxte metodo-logije za rexavaǌe nelinearnih diferencijalnih jednaqina. Kao logiqnorexeǌe problema analize ponaxaǌa ovakvih sistema name�e se simulacijasistema na digitalnom raqunaru. Simulink predstavǉa grafiqki alatkoji koristi matematiqku osnovu Matlaba i obezbe�uje grafiqki koris-niqki interfejs koji koristi mnoxtvo elemenata koji se nazivaju blokoviza simulaciju dinamiqkih sistema. Grafiqki interfejs omogu�ava da seblokovi pozicioniraju, da se meǌa ǌihova veliqina, daju nazivi, specifi-ciraju parametri blokova, me�usobno povezuju i kombinuju u grupe blokovaili podsisteme, a u ciǉu opisivaǌa komplikovanih sistema za simulaciju.

Izrada simulacionog modela unutar Simulinka obavǉa se na jednos-tavan naqin korix�eǌem biblioteke gotovih grafiqkih blokova. Osimpostoje�ih blokova korisnik mo�e napisati i vlastite blokove koriste�ibilo Matlabove m-funkcije ili funkcije napisane u programskom jezikuC/C + + (takozvane S-funkcije). Simulacioni model u Simulinku se sas-toji od blokova i linija koje predstavǉaju signale a kojima se povezujupojedini blokovi, i time realizuju jednaqine koje opisuju sistem. Simu-lacija unutar Simulinka se mo�e podeliti u tri faze i to:

(1) prevo�eǌe modela,

(2) povezivaǌe modela i

(3) simulacija.

Prevo�eǌe modela. U ovoj fazi model se prevodi u izvrxni oblik,pri qemu se obavǉaju slede�e operacije:

� izraqunavaju se parametri blokova,

14.5 Biblioteka blokova kontinualnih sistema 197

14.4.3 Trigonometric Function blokTrigonometric Function blok (slika 14.27) na svoj ulazni signal prime-

ǌuje trigonometrijske funkcije, zatim inverzne trigonometrijske funkci-je, hiperboliqke funkcije i inverzne hiperboliqke funkcije. Nakon izbora�eǉene funkcije ǌeno ime se pojavǉuje na ikoni bloka.

14.5 Biblioteka blokova kontinualnih sistema

14.5.1 Integrator blokIntegrator blok (slika 14.28) se koristi za vremenski neprekidne sig-

nale i on na svom izlazu daje signal koji predstavǉa integral ulazne veli-qine. Ukoliko je xu(t) ulazna veliqina u Integrator blok, a xi(t) izlaznaveliqina iz ǌega, onda je jednaqina ǌegovog ponaxaǌa oblika:

xi(t) = xi(0) +

∫ t

t0

xu(t)dt. (14.1)

Integrator

s

1 ixux

Slika 14.28: Integratorblok

Simulink tretira Integrator blok kao jedandinamiqki sistem sa jednim staǌem, i to je ǌe-gov izlaz. Prema tome, ulazni signal u blok ustvari predstavǉa prvi izvod po vremenu ǌe-govog staǌa. Izabrani rexavaq izraqunavavrednost izlaza iz bloka u teku�em vremen-skom trenutku na osnovu trenutne vrednostiulaza i staǌa bloka u prethodnom vremen-skom trenutku. Da bi rexavaq znao vrednostpoqetnog staǌa bloka na samom poqetku simu-lacije, neophodno ju je definisati, i to se

qini pomo�u parametra Initial condition, qija je podrazumevana vrednost0.

Prozor za podexavaǌe parametara bloka, Function Block Parameters,omogu�ava da se definixe neka druga vrednost za poqetni uslov, ili pak,da se kreira ulazni port bloka za definisaǌe poqetne vrednosti. Tako�e,omogu�ava da se definixe gorǌa i doǌa granica integracije, da se kreirajedan ulazni port koji �e resetovati izlaz (staǌe) bloka na ǌegovu poqetnuvrednost u zavisnosti od promene ulaza, i da se kreira jedan opcioni izlazkoji �e omogu�iti da se koristi vrednost izlaza bloka za ǌegovo reseto-vaǌe ili pobu�ivaǌe. U zavisnosti od mogu�ih izbora, izgled Integratorbloka se meǌa, sa intuitivnim prikazom izabranih varijanti.

Primer 14.1. Kreirati Simulink model za numeriqko rexavaǌe diferenci-jalne jednaqine:

Xi(t) = −10Xi(t) +Xu(t),

za Xu(t) = 2 sin(4t) i Xi(0) = 1.

15.2 Simulacija sistema drugog reda 207

lacije je 100 s. Rezultati simulacije su prikazani na slici 15.7b.

15.2 Simulacija sistema drugog reda

Posmatra se jedan mehaniqki sistem sa masom m, oprugom i priguxiva-qem (slika 15.9), na koji deluje spoǉaxǌa sila F .

Y

oc

pc

m F

Slika 15.9: Mehaniqki masa-opruga-priguxivaq sistem

Na osnovu jednaqine dinamiqke ravnote�e sila, i usvajaju�i da je pozi-cija tela Y ǌegova izlazna veliqina, Xi = Y , a sila F ǌegova ulaznaveliqina, Xu = F , mo�e se dobiti matematiqki model sistema u obliku:

mXi(t) + cpXi(t) + coXi(t) = Xu(t), (15.5)

gde co predstavǉa krutost opruge, a cp koeficijent viskoznog treǌa. Ovajednaqina predstavǉa obiqnu linearnu diferencijalnu jednaqinu sa kon-stantnim koeficijentima drugog reda.

Zapa�aǌe 15.1. Matematiqki model mehaniqkog sistema sa slike 15.9 de-taǉnije se razmatra u xesnaestom poglavǉu.

15.2.1 Kreiraǌe Simulink modelaPre nego xto se bilo xta uradi u Simulinku, diferencijalna jednaqina

ponaxaǌa (15.5) �e se napisati u obliku koji je neophodan – rexi�e se ponajve�em izvodu izlazne veliqine. Kako je najve�i izvod izlazne veliqineXi ǌen drugi izvod, dobija se:

Xi(t) = −cpm

Xi(t)−comXi(t) +

1

mXu(t). (15.6)

Dakle, drugi izvod izlazne veliqine je jednak algebarskom zbiru nekihfunkcija, xto znaqi da �e u simulacionom modelu Xi(t) upravo biti izlaziz sabiraqa, u koji ulaze sve funkcije sa desne strane prethodne jedna-qine. Treba primetiti da se jednaqina rexava po Xi(t), a na desnoj stranisu tako�e nepoznate funkcije Xi(t) i Xi(t)). Postavǉa se pitaǌe, kako do-biti te funkcije sa desne strane? Odgovor je: na osnovu ,,poznavaǌa” Xi(t)i qiǌenice da se Xi(t) mo�e dobiti integracijom veliqine Xi(t), a Xi(t)

208 Simulacija dinamiqkih sistema

integracijom Xi(t). Dakle, pretpostavǉa se da je poznata veliqina Xi(t),xto se predstavǉa vertikalnom crtom u simulacionom modelu, i dodajuse dva integratora na red. Izlaz iz prvog integratora predstavǉa sig-nal Xi(t), a izlaz iz drugog integratora veliqinu Xi(t). Sada je poznatakompletna desna strana jednaqine (15.6), uz pretpostavku da je promenaulazne veliqine Xu(t) uvek poznata. Slede�i prethodno opisani postupak,dobija se Simulink model prikazan na slici 15.10. S obzirom na zajed-

StepIntegrator1

1

s

Integrator

1

sGain1

1/m

Gain3

co/m

Gain2

cp/m

Xi(t) ..

Xi(t) .

Xi(t)Xu(t)

Clock

t

To Workspace1

xi

To Workspace

Scope

Slika 15.10: Simulink model mehaniqkog sistema masa-opruga-priguxivaq

niqki qlan 1/m u svim sabircima na desnoj strani jednaqine (15.6), onase mo�e napisati i u obliku:

Xi(t) =1

m

(−cpXi(t)− coXi(t) +Xu(t)

). (15.7)

za koju se dobija Simulink model kao na slici 15.11. Da bi se pokrenulasimulacija, neophodno je definisati sve konstante. To se mo�e uraditina dva naqina:

• unoxeǌem konkretnih, brojqanih vrednosti u model, ili• pisaǌem posebnog skripta, u kome �e se definisati sve konstante, i

izvrxavaǌem tog skripta u radnom okru�eǌu Matlaba.Dakle, veliqine iz radnog okru�eǌa Matlaba su dostupne Simulinku,

i obratno. Prethodna qiǌenica ukazuje da izbor da se radi u opxtimbrojevima ima za posledicu da se dobija u neku ruku univerzalni model,koji se mo�e pokrenuti sa razliqitim skupovima parametara, a bez ikakvemodifikacije samog Simulink modela.

Primer 15.1. Napraviti simulacioni model i izvrxiti simulacije radamehaniqkog sistema za slede�e vrednosti parametara:

m = 1, c0 = 10, cp = {0, 2, 8}.

242 Laplasova transformacija

naqava se i definixe na slede�i naqin:

x(t) = L−1 {X(s)} , x(t) =1

2πj

∫ c+jω

c−jω

X(s)estds, (17.3)

gde je c realna konstanta izabrana tako da je ve�a od apscise apsolutnekonvergencije funkcije x(t), a qija je Laplasova transformacija X(s).

17.3 Osobine Laplasove transformacije

Neke od osobina Laplasove transformacije koje imaju primenu u prouqa-vaǌu sistema automatskog upravǉaǌa daju se u nastavku, a pod pretpostav-kom da postoje Laplasove transformacije svih funkcija koje u narednimizrazima figurixu.

• Laplasova transformacija je linearni operator:

L∓{ n∑

k=1

αkxk(t)

}=

n∑k=1

αkL∓ {xk(t)} .

• Ako je funkcija x(·) diferencijabilna k puta, onda va�i:

L∓{x(k)(t)

}= skX(s)−

k∑i=1

si−1x(k−i)(0), gde je x(k)(0) =dx(t)

dtk

∣∣∣∣t=0

.

• Ako je funkcija integrabilna, onda je

L{∫ t

0

x(t)dt

}=

1

sX(s).

• Laplasova transformacija funkcije sa kaxǌeǌem xTk= x(t− Tk) je

L{x(t− Tk)} = e−TksX(s).

17.4 Laplasova transformacija u Matlabu

Laplasova transformacija se mo�e odrediti korix�eǌem simboliqkogpaketa Matlaba i funkcije laplace() pozivom:

L=laplace(F )

gde je F simboliqki izraz koji predstavǉa funkciju x(t) u (17.1), a L pred-stavǉa ǌenu Laplasovu transformaciju. Podrazumevana nezavisna pro-menǉiva je t, a rezultat je funkcija simboliqke promenǉive s. Primenafunkcije laplace() ilustruje se u nastavku kroz nekoliko primera.

Primer 17.1. Odrediti Laplasove transformacije funkcija: f1(t) = 3t2,f2(t) = e−at i f3(t) = sin bt.

17.6 Hevisajdov razvoj u Matlabu 245

17.5.2 Funkcije sa vixestrukim polovimaU opxtem sluqaju funkcija X(s) ima jednostruke i vixestruke polove.

Pretpostavǉa se da X(s) ima jedan pol s = s∗i reda νi > 1 (vixestrukostiνi > 1), i da su svi ostali polovi od X(s) jednostruki (ν1 = ν2 = . . . = νi−1 =νi+1 = . . . = νn = 1). Tada Hevisajdov razvoj od X(s) ima slede�i oblik:

X(s) = R0+R1

s− s∗1+ . . .+

Ri−1

s− s∗i−1

+Ri+1

s− s∗i+1

+ . . .+Rn

s− s∗n+

Ri1

(s− si)∗+

Ri2

(s− s∗i )2+ . . .+

Riνi

(s− s∗i )νi.

(17.7)

I ovde va�i da u sluqaju R0 = 0 treba X(s) zameniti sa X−(s).Koeficijenti Rij funkcije X(s) koji odgovaraju polu s∗i vixestrukosti

νi odre�eni su sa:

Rij =1

(νi − j)!

dνi−j

dsνi−j

[(s− s∗i )

νiφ(s)

f(s)

]∣∣∣∣s=s∗i

. (17.8)

Zapa�aǌe 17.1. U sluqaju degenerativne funkcije X (s) po�eǉno je prvotu funkciju dovesti na ǌen nedegenerativni oblik skra�ivaǌem svih jed-nakih nula i polova, pa tek onda pristupiti Hevisajdovom razvoju nedege-nerativnog oblika. Na ovaj naqin se znaqajno pojednostavǉuju izraqunavaǌa.

17.6 Hevisajdov razvoj u Matlabu

Matlab poseduje funkciju za Hevisajdov razvoj funkcije X(s), to jestza ǌeno rastavǉaǌe na parcijalne qinioce. Posmatra se funkcija X(s),koja se mo�e prikazati na slede�i naqin:

X(s) =φ(s)

f(s)=

bmsm + bm−1sm−1 + · · ·+ b1s+ b0

ansn + an−1sn−1 + · · ·+ a1s+ a0, (17.9)

gde neki od koeficijenata bi i ai mogu biti jednaki nuli. U Matlabu vek-tori vrste num i den odre�uju koeficijente brojioca i imenioca funkcijeX(s), to jest:

num = [bm bm−1 . . . b1 b0], den = [an an−1 . . . a1 a0].

Funkcija

[r,p,k]= residue(num,den)

odre�uje vektor koeficijenata r, vektor polova p i direktni qlan razvojak u parcijalne razlomke koliqnika dva polinoma φ(s)/f(s). Funkcija X(s)tada postaje

X(s) =φ(s)

f(s)=

r(1)

s− p(1)+

r(2)

s− p(2)+ . . .+

r(n)

s− p(n)+ k. (17.10)

246 Laplasova transformacija

Upore�uju�i jednaqine (17.5) i (17.10) oqigledna je slede�a veza:

r(1) = R1, r(2) = R2, . . . , r(n) = Rn,

p(1) = s∗1, p(2) = s∗2, . . . , p(n) = s∗n,

k = R0.

Va�no je uoqiti da ako postoji pol p(j) koji je reda ν (tj. vixestrukostiν), tada razvoj u parcijalne razlomke ukǉuquje qlanove

r(j)

s− p(j)+

r(j + 1)

(s− p(j))2+ . . .+

r(j + ν − 1)

(s− p(j))ν.

Zapa�aǌe 17.2. U opxtem sluqaju, u Matlabu je mogu�e rastaviti u par-cijalne razlomke i racionalnu funkciju koja je koliqnik dva polinoma, gde jepolinom u brojiocu vixeg reda od polinoma u imeniocu. U tom sluqaju direk-tni qlan k je funkcija promenǉive s, to jest k = k(s). S obzirom na to dau sistemima automatskog upravǉaǌa diferencijalne jednaqine predstavǉa-ju matematiqke modele realnih, fiziqkih sistema, i nije mogu�e da stepenpolinoma brojioca bude ve�i od stepena polinoma imenioca, u nastavku sene�e tretirati takvi sluqajevi.

Primer 17.3. Rastaviti na parcijalne razlomke funkciju kompleksne pro-menǉive s:

X(s) =s3 + s2 − 2s− 9

s3 − 3s+ 2.

Rexeǌe: Izvrxavaǌem slede�ih naredbi:

>> num = [1 1 -2 -9]; den = [1 0 -3 2];

>> [r,p,k] = residue(num,den)

r =

-1.0000

2.0000

-3.0000

p =

-2.0000

1.0000

1.0000

k =

1

dobija se

X(s) = 1− 1

s+ 2+

2

s− 1− 3

(s− 1)2.

Primer 17.4. Rastaviti na parcijalne razlomke funkciju kompleksne pro-menǉive s:

X(s) =s2 + 4s+ 13

(2s2 + 12s2 + 20s+ 16)(s+ 3).

POGLAVǈE 18Predstavǉaǌe linearnih sistema u Matlabu

Control System Toolbox omogu�ava da se modeli linearnih, stacionarnihsistema generixu i koriste kao objekti, koji se nazivaju LTI objekti. Todozvoǉava da se linearnim sistemima mo�e manipulisati kao posebnim,jedinstvenim entitetima u Matlabu, a ne kao skupom vektora ili matrica.

LTI objekti

TF ZPK SS FRD

prenosna

funkcija

prostor

sta©a

frekventni

domen

Slika 18.1: LTI objekti u Matlabu

Podr�ani su svi standardni obli-ci matematiqkih modela, tj. prenosnafunkcija, opis sistema u prostorustaǌa, kao i frekventna karakteristi-ka. Prenosna funkcija kao LTI objektima dva svoja oblika, TF i ZPK ob-lik, koji se razlikuju po tome kakosu predstavǉeni brojilac i imenilacprenosne funkcije. Za opis sistema uprostoru staǌa koristi se SS objekt au frekventnom domenu FRD objekt.

18.1 Prenosna funkcija i prenosna matrica

Definicija 18.1. Funkcija W (s) je prenosna funkcija sistema ako i samoako je ona koliqnik levih Laplasovih transformacija X−

i (s) i X−u (s) ǌegove

izlazne i ulazne veliqine pri svim poqetnim uslovima jednakim nuli:

W (s) =X−

i (s)

X−u (s)

, x(k)u

(0−)= 0, k = 0, 1, · · · ,m−1; x

(k)i

(0−)= 0, k = 0, 1, · · · , n−1.

Prema tome, prenosna funkcija jednostruko prenosnog linearnog, sta-cionarnog sistema je u obliku koliqnika polinoma, tj. oblika racionalne

250 Predstavǉaǌe linearnih sistema u Matlabu

funkcije kompleksne promenǉive s:

W (s) =p(s)

q(s)=

bmsm + bm−1sm−1 + . . .+ b1s+ b0

ansn + an−1sn−1 + . . .+ a1s+ a0, m ≤ n. (18.1)

18.1.1 TF oblik prenosne funkcijeDa bi se formirao model u Matlabu, neophodno je brojilac i imeni-

lac prenosne funkcije, tj. polinome, predstaviti vektorima vrste qiji suelementi koeficijenti odgovaraju�eg stepena od s u polinomima, po opa-daju�em stepenu. Neka vektor num =

[bm bm−1 . . . b1 b0

]predstavǉa

polinom brojioca, a vektor den =[an an−1 . . . a1 a0

]polinom imenioca

prenosne funkcije W (s). Naredbom

W=tf(num,den)

se generixe prenosna funkcija sistema (18.1).

Primer 18.1. Predstaviti u Matlabu sistem dat prenosnom funkcijom:

W (s) =p(s)

q(s)=

4s2 + 8s+ 5

s3 + 2s2 + 4s+ 8.

Rexeǌe: Brojilac i imenilac prenosne funkcije se mogu predstaviti vek-torima num =

[4 8 5

]i den =

[1 2 4 8

], sledstveno. Tada se prenosna

funkcija mo�e dobiti sa:

>> num = [4 8 5]; den = [1 2 4 8];

>> W = tf(num,den)

W =

4 s^2 + 8 s + 5

---------------------

s^3 + 2 s^2 + 4 s + 8

Continuous-time transfer function.

>> whos W

Name Size Bytes Class Attributes

W 1x1 1081 tf

Dakle, sistem postoji u radnom prostoru Matlaba kao LTI objekt u TFobliku prenosne funkcije.

Zapa�aǌe 18.1. Funkcija tf() se mo�e koristiti i tako xto se vektorikoji definixu polinome brojioca i imenioca direktno unose kao argumentifunkcije, bez definisaǌa posebnih vektorskih promenǉivih. Prema tome,prethodna prenosna funkcija se mo�e dobiti i naredbom:

>> W = tf([4 8 5], [1 2 4 8])

Prenosna funkcija se mo�e definisati i direktno kao funkcija kom-pleksne promenǉive s tako xto se s definixe kao TF model, a potom iprenosna funkcija kao racionalan izraz u funkciji od s. Na primer:

18.4 Blok dijagrami 269

)s(1W

)s(2W

)s(uX )s(iX

Slika 18.7: Paralelna sprega

)s(gW

)s(pW

)s(uX )s(iX

+_

Slika 18.8: Povratna sprega

Ako su u Matlabu definisane prenosne funkcije Wg(s) i Wp(s) svojimLTI objektima u formi prenosne funkcije Wg i Wp, sledstveno, tada seekvivalentna prenosna funkcija povratne sprege sa slike 18.8 mo�e dobitinaredbom

W =feedback(Wg,Wp, znak)

gde parametar znak ima vrednost znaka povratne sprege (+1 ili −1). Uko-liko je u pitaǌu negativna povratna sprega (xto je podrazumevana opci-ja), prethodna naredba se mo�e koristiti u obliku bez parametra znak,W = feedback(Wg,Wp).

Primer 18.14. Na�i prenosnu funkciju zatvorenog SAU qiji je blok dijagramprikazan na slici 18.9. Odrediti LTI objekt u Matlabu u formi prenosnefunkcije i odrediti ǌene nule i polove.

)s(uX )s(iX

+ 5)s(s

+ 2)s3(

+ 5s+ 42s

2

Slika 18.9: Blok dijagram sistema iz primera 18.14

Rexeǌe: Najpre se definixu podsistemi posmatranog sistema, tj. prenos-ne funkcije W1(s) i W2(s). Prenosna funkcija W1(s) je data u faktorizo-vanom obliku: ima jednu nulu, s0 = −2, dva pola s∗1 = 0 i s∗2 = −5, a pojaqaǌeje k = 3, pa se mo�e definisati funkcijom zpk(). Prenosna funkcija W2(s)je data u razvijenom obliku polinoma u imeniocu, pa se mo�e definisatifunkcijom tf(). Ova dva sistema su povratno spregnuta, te se naredbama:

>> W1 = zpk(-2, [0 -5], 3); W2 = tf([2], [1 4 5]);

>> W = feedback(W1,W2)

W =

3 (s+2) (s^2 + 4s + 5)

-------------------------------------------

(s+5.312) (s+0.6638) (s^2 + 3.024s + 3.403)

19.2 Odre�ivaǌe odziva UI sistema 285

uslova, je vremenski odziv sistema, ili kra�e odziv sistema. U matemati-qkom smislu, odziv sistema predstavǉa rexeǌe diferencijalne jednaqineponaxaǌa sistema. S obzirom na to da su UI sistemi opisani linearnimdiferencijalnim jednaqinama sa konstantnim koeficijentima, odziv sis-tema se mo�e odrediti primenom metode Laplasove transformacije. Pos-tupak bi se mogao prikazati na slede�i naqin:

1. diferencijalna jednaqina se transformixe u kompleksni domen pro-menǉive s primenom Laplasove transformacije,

2. algebarska jednaqina u s domenu se rexi po izlaznoj promenǉivoj, tojest odredi se ǌen kompleksni lik,

3. ukoliko je potrebno, kompleksni lik izlazne promenǉive se razvija usumu parcijalnih razlomaka (Hevisajdov razvoj),

4. odziv se dobija primenom inverzne Laplasove transformacije pomo�utablica Laplasovih transformacija.

Primer 19.1. Odrediti odziv sistema opisanog diferencijalnom jednaqi-nom

xi(t) + 3xi(t) + 2xi(t) = 5xiz(t), za xiz(t) = h(t), xi(0−) = −1, xi(0

−) = 2.

Rexeǌe: Primenom Laplasove transformacije na diferencijalnu jedna-qinu ponaxaǌa sistema dobija se

s2X−i (s)− sxi(0)− xi(0) + 3sX−

i (s)− 3xi(0) + 2X−i (s) =

5

s,

pri qemu je iskorix�ena qiǌenica da je L{h(t)} =1

s.

Zamenom poqetnih uslova u posledǌu jednaqinu i ǌenim rexavaǌem poizlaznoj promenǉivoj X−

i (s) dobija se

X−i (s) =

−s2 − s+ 5

s(s2 + 3s+ 2)=

−s2 − s+ 5

s(s+ 1)(s+ 2).

Racionalna funkcija Xi(s) predstavǉena je koliqnikom dva polinoma

X−i (s) =

φ(s)

f(s), gde su φ(s) = −s2 − s+ 5, f(s) = s3 + 3s2 + 2s.

Polovi funkcije X−i (s) su s∗1 = 0, s∗2 = −1 i s∗3 = −2 i oqito je da su oni

jednostruki, pa je ǌen Hevisajdov razvoj na parcijalne razlomke

X−i (s) = R0 +

R1

s+

R2

s+ 1+

R3

s+ 2.

286 Analiza linearnih sistema

S obzirom da je f ′(s) =df(s)

ds= 3s2 + 6s+ 2, rezidijumi u polovima su:

R1 =φ(s)

f ′(s)

∣∣s=s∗1

=−s2 − s+ 5

3s2 + 6s+ 2

∣∣∣∣s=0

=5

2,

R2 =φ(s)

f ′(s)

∣∣s=s∗2

=−s2 − s+ 5

3s2 + 6s+ 2

∣∣∣∣s=−1

= −5,

R3 =φ(s)

f ′(s)

∣∣s=s∗3

=−s2 − s+ 5

3s2 + 6s+ 2

∣∣∣∣s=−2

=3

2.

Kako je stepen polinoma φ(s) maǌi od stepena polinoma f(s), to je R0 = 0.Konaqno,

X−i (s) =

5

2s− 5

s+ 1+

3

2(s+ 2).

Primenom inverzne Laplasove transformacije na posledǌu jednaqinu do-bija se

xi(t) = L−1

{X−

i (s)

}= L−1

{5

2s− 5

s+ 1+

3

2(s+ 2)

}.

Korix�eǌem osobine Laplasove transformacije da je linearni operator,dobija se odziv posmatranog sistema:

xi(t) = L−1

{5

2s

}− L−1

{5

s+ 1

}+ L−1

{3

2(s+ 2)

}=[

5

2− 5e−t +

3

2e−2t

]h(t), t ≥ 0+.

Skript kojim se u Matlabu vrxi rastavǉaǌe na parcijalne razlomke datje u nastavku.

syms s

num = [-1 -1 5]; den = [1 3 2 0];

[r,p,k] = residue(num,den)

Xis = r(1)/(s-p(1)) + r(2)/(s-p(2)) + r(3)/(s-p(3))

xi = ilaplace(Xis)

Dobijeni rezultati iz komandnog prozora Matlaba su:

R =

1.5000

-5.0000

2.5000

P =

-2

-1

0

K =

[]

300 Analiza linearnih sistema

Oblici poziva kao i znaqeǌe parametara u ǌima su identiqni onima upozivu funkcije step(), te stoga ovde ne�e biti ponavǉani.

Primer 19.9. Odrediti impulsni odziv sistema

xi + 2xi + kxi = 3xu, xi(0−) = 0, xi(0

−) = 0

za k = 2 i k = 3. Impulsne odzive prikazati na istom grafiku.

Rexeǌe: S obzirom na to da su dati nulti poqetni uslovi, mo�e se isko-ristiti funkcija impulse() za dobijaǌe impulsnog odziva. U nastavku jekratak skript kojim se dobija rexeǌe prikazano na slici 19.10.

num = 3; den1 = [1 2 2]; den2 = [1 2 3];

sys1 = tf(num,den1); sys2 = tf(num,den2);

impulse(sys1,'-b',sys2,'--r')

title('Impulsni odziv sistema'), legend('k=2','k=3'), grid

xlabel('$t [s]$','Interpreter','Latex')

ylabel('$x_{i1}, x_{i2}$','Interpreter','Latex')

0 1 2 3 4 5 6 7 8-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1Impulsni odziv sistema

k=2

k=3

t [s]

2i

,x

1i

x

Slika 19.10: Impulsni odziv sistema iz primera 19.9

19.4.3 Odre�ivaǌe odziva sistema na proizvoǉan ulazZa dobijaǌe odziva sistema na proizvoǉnu promenu ulaza mo�e se ko-

ristiti funkcija lsim(), qiji je osnovni oblik poziva:

lsim(sys,u, t)

Ovakvim pozivom, bez izlaznih argumenata, funkcija grafiqki prika-zuje odziv sistema. Vektor t predstavǉa vektor vremenski ekvidistantnihtrenutaka simulacije, oblika t = 0 : dt : tf , gde je tf krajǌe vreme simu-lacije. Ulaz u je niz koji ima onoliko vrsta koliko vremenskih trenutaka

19.4 Numeriqka analiza linearnih sistema 305

initial(sys,x0,t)

kada koristi unapred definisani vektor vremenskih trenutaka t. U svimnavedenim sluqajevima, bez izlaznih argumenata, funkcija generixe gra-fiqki prikaz odziva. Dodavaǌem povratnih vrednosti funkcije:

[xi,t,x]=initial(...)

za sve prethodne sluqajeve, funkcija vra�a vektor izlaza xi i vektor staǌax, kao i sam vektor vremenskih trenutaka t. Tada je za dobijaǌe grafiqkogprikaza neophodno koristiti funkciju plot(). Treba napomenuti da, sobzirom da se koristi za model opisan u prostoru staǌa, dakle LTI objekttipa SS, to funkcija dozvoǉava i da se pozove direktno sa matricama A,B, C i D, na primer kao:

[xi,t,x]=initial(A,B,C,D,x0)

Primer 19.13. Za sistem opisan diferencijalnom jednaqinom ponaxaǌa

...x i + 7xi + 14xi + 8xi = 5xu

odrediti model u prostoru staǌa. Za xu(t) = 0 i xi(0) = 2, xi(0) = 1 ixi(0) = 0, 5 odrediti kretaǌe i odziv sistema.

Rexeǌe: Izborom faznih veliqina staǌa x1 = xi, x2 = xi i x3 = xi dobijajuse skalarne jednaqine staǌa i jednaqina izlaza:

x1 = x2,

x2 = x3,

x3 = −8x1 − 14x2 − 7x3 + 5xu,

xi = x1.

Kako se zahteva kretaǌe i odziv sistema u slobodnom radnom re�imu (zaxu(t) = 0), prethodne jednaqine koje opisuju sistem se svode na

x1 = x2,

x2 = x3,

x3 = −8x1 − 14x2 − 7x3,

xi = x1,

odakle su matrice

A =

0 1 00 0 1−8 −14 −7

, B =

000

, C =[1 0 0

], D = 0,

a poqetni uslovi su x1(0) = 2, x2(0) = 1 i x3(0) = 0, 5. Slede�i skript semo�e iskoristiti za odre�ivaǌe kretaǌa i odziva sistema u Matlabu.

univerzitet u beogradu maxinski fakultet

Documents