Univerzitet u BeograduMaxinski fakultet

Matlab i Simulinku automatskom upravljanju

Radixa �. Jovanovi�

Beograd, 2016.

Dr Radixa �. Jovanovi�, dipl. in�. max., docent

Univerzitet u Beogradu, Maxinski fakultet

Matlab i Simulink u automatskom upravljanjuI izdanje

Recenzenti:Prof. dr Zoran Ribar, Univerzitet u Beogradu, Maxinski fakultet

Prof. dr Zoran Buqevac, Univerzitet u Beogradu, Maxinski fakultet

Izdavaq:Maxinski fakultet Univerziteta u Beogradu

ul. Kraljice Marije 16, 11120, Beograd 35

tel. (011) 3302-384

faks (011) 3370-364

Za izdavaqa:Prof. dr Radivoje Mitrovi�, dekan

Glavni i odgovorni urednik :Prof. dr Milan Leqi�

Odobreno za xtampu odlukom dekana Maxinskog fakulteta u Beogradu

br. 3/16 od 12.04.2016. godine

Dizajn korica:Mina Mihailovi�

Tira�:300 primeraka

Xtampa:PLANETA PRINT

ISBN 978-86-7083-896-3

Sva prava zadr�avaju izdavaq i autor.Zabranjeno prextampavanje i umno�avanje.

Sadr�aj

I UVOD U MATLAB 1

1 Uvod u Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1 Radno okru�enje Matlaba 3

1.1.1 Komandni prozor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.2 Prozor s prethodnim naredbama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.3 Radni prostor Matlaba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.4 Prozor radnog direktorijuma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.5 Korisne naredbe za rad u komandnom prozoru . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.6 Editor m-datoteka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Promenljive i tipovi podataka . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1 Promenljive 7

2.1.1 Operator dodele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.2 Izrazi i operatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1.3 Podrazumevane promenljive i rezervisane reqi . . . . . . . . . . . 10

2.2 Numeriqki tipovi podataka 11

2.2.1 Celobrojni tipovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.2 Brojevi u pokretnom zarezu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2.3 Kompleksni brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3 Logiqki tip podataka 13

2.4 Znakovni tip podatka 14

ii

3 Nizovi i operacije nad nizovima . . . . . . . . . . . . . . 15

3.1 Vrste nizova 15

3.2 Matrice i vektori 16

3.2.1 Pojam i vrste matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.2.2 Kreiranje vektora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2.3 Kreiranje matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2.4 Specijalne matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.2.5 Transponovana matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.2.6 Inverzna matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2.7 Determinanta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2.8 Operacije nad matricama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2.9 Matriqno mno�enje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2.10 Stepenovanje matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2.11 Pristup elementima vektora i matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2.12 Elementne operacije nad vektorima i matricama . . . . . . . . . 30

3.2.13 Funkcije za analizu nizova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2.14 Funkcija meshgrid() . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2.15 Vektori i matrice kao argumenti funkcija . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2.16 Promena tipa matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.3 Nizovi karaktera 39

3.3.1 Spajanje stringova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3.2 Kreiranje i podexavanje stringova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.3.3 Komparacija stringova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.3.4 Konverzija izme�u stringova i drugih tipova podataka . . . . 45

3.4 Nizovi �elija 45

4 Programiranje u Matlabu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.1 Algoritmi 49

4.2 Matlab skript 50

4.2.1 Dokumentovanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.3 Ulaz i izlaz 52

4.3.1 Ulazne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.3.2 Izlazne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.3.3 Funkcija disp() . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.3.4 Funkcija fprintf() . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.4 Skript sa ulazom i izlazom 58

4.4.1 Snimanje podataka u datoteku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.4.2 Dodavanje podataka u datoteku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.4.3 Uqitavanje podataka iz datoteke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

iii

4.5 Funkcije 60

4.5.1 Kreiranje funkcijske datoteke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.5.2 Radni prostor funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.5.3 Lokalne promenljive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.5.4 Globalne promenljive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.5.5 Perzistentne promenljive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.5.6 Podfunkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.5.7 Ugne�dene funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.5.8 Anonimne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.5.9 Primena pokazivaqa funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.5.10 Funkcije sa funkcijama kao argumentima . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5 Simboliqka matematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.1 Simboliqke promenljive i izrazi 73

5.1.1 Rad sa simboliqkim izrazima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.1.2 Prikazivanje izraza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.1.3 Rexavanje algebarskih jednaqina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.1.4 Simboliqka matematiqka analiza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.2 Rexavanje diferencijalnih jednaqina 79

5.2.1 Rexavanje skalarne diferencijalne jednaqine . . . . . . . . . . . . 80

5.2.2 Rexavanje sistema diferencijalnih jednaqina . . . . . . . . . . . 81

5.2.3 Definisanje poqetnih i graniqnih uslova . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.2.4 Rexavanje nelinearnih diferencijalnih jednaqina . . . . . . . . 82

6 Operatori i kontrola toka programa . . . . . . . . . . 85

6.1 Relacioni operatori 85

6.2 Logiqki operatori 87

6.3 Uslovno grananje 89

6.3.1 If uslov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

6.3.2 Switch struktura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

6.4 Petlje 92

6.4.1 For petlja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

6.4.2 Vixestruke petlje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6.4.3 Kombinacija vixestrukih for petlji i if naredbi . . . . . . . . . 96

6.4.4 Petlja while . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6.4.5 While petlja sa ulaznom funkcijom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

6.4.6 Brojaq u while petlji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

6.4.7 Provera grexke sa ulaznom funkcijom u while petlji . . . . . . 99

6.4.8 Naredbe break i continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6.4.9 Izbegavanje petlji, vektorizacija i prealokacija . . . . . . . . . 101

iv

7 2-D grafika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

7.1 Funkcija plot() 105

7.1.1 Grafik eksperimentalnih podataka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

7.1.2 Grafik funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

7.1.3 Argumenti funkcije plot() . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

7.1.4 Crtanje vixe grafika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

7.1.5 Vixe grafika u jednom grafiqkom prozoru . . . . . . . . . . . . . . 107

7.2 Formatiranje grafika 109

7.2.1 Naslov, natpisi, mre�a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

7.2.2 Linije, boje, markeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

7.2.3 Podgrafici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

7.2.4 Grafici sa logaritamskom podelom osa . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

7.2.5 Pristup parametrima grafika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

II NUMERIQKE METODE U MATLABU 115

8 Sistemi linearnih jednaqina . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

8.1 Osnovni pojmovi i broj rexenja 117

8.2 Rexavanje sistema linearnih jednaqina 119

8.2.1 Sistem jednaqina sa m = n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

8.2.2 Sistemi linearnih jednaqina: sluqaj m > n . . . . . . . . . . . . . 121

8.2.3 Sistemi linearnih jednaqina: sluqaj m < n . . . . . . . . . . . . . 122

8.3 Sopstvena vrednost i sopstveni vektor matrice 123

8.3.1 Sopstvene vrednosti i sopstvene matrice u Matlabu . . . . . . 125

9 Aproksimacija i interpolacija . . . . . . . . . . . . . . . 129

9.1 Opxti problem aproksimacije 129

9.2 Interpolacija 130

9.3 Interpolacija polinomima 131

9.4 Interpolacija polinomima po delovima 132

9.4.1 Linearni splajn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

9.4.2 Kubni splajn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

9.4.3 Funkcije za interpolaciju u Matlabu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

9.5 Metoda najmanjih kvadrata 136

9.5.1 Linearni model najmanjih kvadrata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

9.5.2 Metoda najmanjih kvadrata u Matlabu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

v

10 Nelinearne algebarske jednaqine . . . . . . . . . . . . . 139

10.1 Nelinearna jednaqina jedne promenljive 139

10.1.1 Rexavanje nelinearnih jednaqina u Matlabu . . . . . . . . . . . . . 140

10.1.2 Funkcija fzero() i jednaqina sa vixe korenova . . . . . . . . . . . 142

10.1.3 Taqke prekida i funkcija fzero() . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

10.1.4 Nule polinoma i funkcija roots() . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

10.2 Optimizacija funkcije jedne promenljive 145

11 Numeriqko diferenciranje i integraljenje . . . 147

11.1 Numeriqko diferenciranje 147

11.1.1 Aproksimacija prvog izvoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

11.1.2 Aproksimacija drugog izvoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

11.1.3 Matlab funkcije za numeriqko diferenciranje . . . . . . . . . . . 150

11.2 Numeriqko integraljenje 153

11.2.1 Trapezno pravilo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

11.2.2 Matlab funkcija trapz() . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

11.2.3 Simpsonova metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

11.2.4 Matlab funkcije quad() i integral() . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

12 Numeriqko rexavanje obiqnih diferencijalnihjednaqina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

12.1 Pojam diferencijalne jednaqine 159

12.2 Koxijev problem 160

12.3 Jednokoraqne metode 161

12.3.1 Ojlerova metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

12.3.2 Poboljxanje Ojlerove metode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

12.3.3 Metode Runge Kuta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

12.3.4 Lokalna grexka numeriqke metode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

12.3.5 Globalna grexka i stabilnost numeriqke metode . . . . . . . . . 168

12.4 Vixekoraqne metode 168

12.4.1 Adams-Baxfortova metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

12.4.2 Adams-Moltonova metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

12.5 Adaptivne metode 170

12.6 Metode u Matlabu za numeriqko rexavanje 171

12.7 Funkcija ode..() u Matlabu 172

vi

III UVOD U SIMULINK 179

13 Uvod u Simulink . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

13.1 Kako radi Simulink 182

13.2 Poqetak rada u Simulinku 183

13.2.1 Pokretanje Simulinka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

13.2.2 Kreiranje novog modela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

13.2.3 Otvaranje postoje�eg modela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

13.3 Osnovni elementi Simulink modela 183

13.3.1 Blokovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

13.3.2 Linije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

13.3.3 Kreiranje modela sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

13.3.4 Unoxenje blokova u model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

13.3.5 Modifikovanje blokova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

13.3.6 Povezivanje blokova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

13.3.7 Pokretanje simulacije i parametri simulacije . . . . . . . . . . 186

14 Osnovni blokovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

14.1 Bibilioteka ulaza 187

14.1.1 Constant blok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

14.1.2 Signal Generator blok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

14.1.3 Pulse Generator blok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

14.1.4 Step blok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

14.1.5 Ramp blok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

14.1.6 Sine wave blok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

14.1.7 Clock blok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

14.1.8 Ground blok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

14.2 Biblioteka izlaza 191

14.2.1 Display blok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

14.2.2 Scope blok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

14.2.3 Terminator blok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

14.2.4 Stop simulation blok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

14.2.5 To Workspace blok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

14.2.6 To File blok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

14.3 Biblioteka signala 193

14.3.1 Bus Creator i Bus Selector blok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

14.3.2 Mux i Demux blokovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

14.3.3 Switch blok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

14.3.4 Prikaz signala u modelu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

14.3.5 Gain blok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

vii

14.4 Matematiqka biblioteka 195

14.4.1 Sum, Add i Subtract blokovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

14.4.2 Math Function blok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

14.4.3 Trigonometric Function blok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

14.5 Biblioteka blokova kontinualnih sistema 197

14.5.1 Integrator blok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

14.6 Biblioteka blokova sa nelinearnostima 198

14.6.1 Saturation blok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

14.6.2 Dead Zone blok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

15 Simulacija dinamiqkih sistema . . . . . . . . . . . . . . 201

15.1 Simulacija sistema prvog reda 201

15.1.1 Kreiranje Simulink modela sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

15.1.2 Simulacija sistema za odskoqnu promenu ulaza . . . . . . . . . . 202

15.1.3 Simulacija sistema za promenu ulaza u

obliku pulsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

15.1.4 Simulacija sistema za nagibnu promenu ulaza . . . . . . . . . . . 204

15.1.5 Simulacija sistema za nagibnu promenu ulaza sa zasi�enjem 205

15.2 Simulacija sistema drugog reda 207

15.2.1 Kreiranje Simulink modela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

15.3 Simulacija iz komandnog prozora 209

15.4 Podsistemi 211

15.5 Algebarske petlje 213

15.6 Numeriqki postupci u Simulinku 217

IV MATEMATIQKI MODELI DINAMIQKIH SISTEMA 219

16 Matematiqko modelovanje dinamiqkih sistema 221

16.1 Matematiqko modelovanje sistema 221

16.1.1 Primeri matematiqkog modelovanja sistema . . . . . . . . . . . . . 222

16.2 Matematiqki modeli UI sistema 231

16.3 Matematiqki modeli USI sistema 231

16.4 Linearni stacionarni dinamiqki sistemi 232

16.4.1 Linearni stacionarni dinamiqki UI sistemi . . . . . . . . . . . 232

16.4.2 Linearni stacionarni dinamiqki USI sistemi . . . . . . . . . . 233

16.4.3 Izbor veliqina stanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

16.5 Matematiqki modeli po odstupanjima 237

viii

V LINEARNI SISTEMI 239

17 Laplasova transformacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

17.1 Definicija Laplasove transformacije 241

17.2 Inverzna Laplasova transformacija 241

17.3 Osobine Laplasove transformacije 242

17.4 Laplasova transformacija u Matlabu 242

17.5 Hevisajdov razvoj 243

17.5.1 Funkcije sa jednostrukim polovima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

17.5.2 Funkcije sa vixestrukim polovima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

17.6 Hevisajdov razvoj u Matlabu 245

18 Predstavljanje linearnih sistema u Matlabu . 249

18.1 Prenosna funkcija i prenosna matrica 249

18.1.1 TF oblik prenosne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

18.1.2 Zero-Pole-Gain oblik prenosne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

18.1.3 TF i ZPK oblici prenosnih matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

18.1.4 Prenosna funkcija u Simulinku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

18.2 Model sistema u prostoru stanja 257

18.2.1 Model sistema u prostoru stanja u Simulinku . . . . . . . . . . . 258

18.3 Pretvaranja izme�u razliqitih modela 258

18.3.1 Pretvaranje u TF model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

18.3.2 Pretvaranje u ZPK model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

18.3.3 Realizacija u prostoru stanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

18.3.4 Dobijanje SS i TF modela iz Simulink modela . . . . . . . . . . . 264

18.3.5 Dobijanje parametara iz LTI objekata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

18.4 Blok dijagrami 267

18.4.1 Ekvivalentni blok dijagrami za osnovne sprege . . . . . . . . . . 268

18.4.2 Slo�ene sprege . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

19 Analiza linearnih sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

19.1 Tipiqne promene ulaznih veliqina 279

19.1.1 Znaqaj i vrste tipiqnih promena ulaznih veliqina . . . . . . . 279

19.1.2 Odskoqna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

19.1.3 Jediniqna impulsna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

19.1.4 Nagibna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

19.1.5 Eksponencijalna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

19.1.6 Sinusna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

ix

19.2 Odre�ivanje odziva UI sistema 284

19.2.1 Odre�ivanje odziva sistema primenom

Laplasove transformacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

19.2.2 Odre�ivanje odziva primenom simboliqkog paketa . . . . . . . . 288

19.3 Odre�ivanje odziva i kretanja USI sistema 289

19.3.1 Kretanje i odziv u slobodnom radnom re�imu . . . . . . . . . . . . 290

19.3.2 Kretanje i odziv u prinudnom radnom re�imu . . . . . . . . . . . . 290

19.3.3 Primena Laplasove transformacije u odre�ivanju kretanja i

odziva USI sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

19.3.4 Odre�ivanje kretanja i odziva USI sistema u Matlabu . . . 292

19.4 Numeriqka analiza linearnih sistema 294

19.4.1 Jediniqni odskoqni odziv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

19.4.2 Impulsni odziv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

19.4.3 Odre�ivanje odziva sistema na proizvoljan ulaz . . . . . . . . . . 300

19.4.4 Odziv na poqetne uslove . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

19.5 Pokazatelji prelazne funkcije 308

19.5.1 Pokazatelji kvaliteta prelazne funkcije

u Matlabu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

x

PREDGOVOR

Knjiga Matlab i Simulink u automatskom upravljanju je koncipirana tako

da obuhvata oblasti predvi�ene nastavnim planom i programom predmeta

Programiranje u automatskom upravljanju, koji se sluxa na Osnovnim akadem-

skim studijama na Maxinskom fakultetu u Beogradu. Me�utim, uzimaju�i

u obzir aktuelnost i znaqaj upoznavanja sa nekim od softverskih alata za

razliqite vrste in�enjerskih proraquna i analiza (a Matlab je jedan od

najzastupljenijih, gotovo nezaobilazan), knjiga je napisana tako da mogu da

je koriste i studenti sa drugih fakulteta u qijim nastavnim planovima i

programima je zastupljenja ova problematika. U tom smislu, programski

jezik Matlab (u daljem tekstu Matlab) i njegov paket Simulink (u daljem tek-

stu Simulink) predstavljeni su u prva tri dela knjige. Qetvrti i peti

deo knjige se odnose na primenu Matlaba i Simulinka u oblasti sistema

automatskog upravljanja, i dobrim delom predstavljaju podrxku nastavi

iz predmeta Osnove automatskog upravljanja koji je obavezan predmet na

osnovnim akademskim studijama na Maxinskom fakultetu u Beogradu. Ko-

naqno, knjiga mo�e da poslu�i kao osnova za budu�e napredno korix�enje

Matlaba i Simulinka.

Kompozicija knjige je organizovana u pet delova. Osnova programiranja

u Matlabu je izlo�ena u prvom delu. Prvo poglavlje donosi uvod o Mat-

labu kao mo�nom programskom jeziku, opis njegovog razvojnog okru�enja i

osnovnih operacija. Promenljive i osnovni tipovi podataka tema su dru-

gog poglavlja. U tre�em poglavlju uvodi se koncept niza, koji predstavlja

fundamentalni element u Matlabu, i detaljno se obra�uju numeriqki ni-

zovi (vektori i matrice), znakovni nizovi i nizovi �elija, kao i osnovne

operacije nad njima. Prvi deo se nastavlja qetvrtim poglavljem koje se

bavi pisanjem programa u Matlabu, poqev od jednostavnih skriptova i

logiqkih instrukcija do razliqitih tipova funkcija i funkcijskih da-

toteka. U petom poglavlju se razmatraju simboliqki paket Matlaba i

metode za simboliqko rexavanje algebarskih i diferencijalnih jednaqina.

Xesto poglavlje je posve�eno relacionim i logiqkim operatorima i kon-

troli toka programa. Pa�nja je u sedmom poglavlju posve�ena i delu

xii

grafiqkih mogu�nosti Matlaba a koje se odnose na dvodimenzionalnu gra-

fiku.

U drugom delu knjige se izla�u osnovne numeriqke metode koje su sadr-

�ane i implementirane u ugra�enim funkcijama Matlaba. Sistemi line-

arnih jednaqina i problemi sopstvenih vrednosti matrica su tema osmog

poglavlja. Deveto poglavlje je posve�eno problemu aproksimacije funkcije

jedne promenljive, pri qemu znaqajno mesto zauzima i interpolacija alge-

barskim polinomima i splajnovima, kao i metoda najmanjih kvadrata kao

jedna od metoda za aproksimaciju funkcija. U desetom poglavlju se ilus-

truju metode za rexavanje nelinearnih algebarskih jednaqina. Sadr�aj

jedanestog poglavlja qine osnove metoda numeriqkog diferenciranja i in-

tegraljenja, pri qemu je posebna pa�nja posve�ena metodama na kojima se

zasnivaju ugra�ene funkcije Matlaba za numeriqko diferenciranje i in-

tegraljenje. U dvanaestom poglavlju se razmatraju metode za rexavanje

obiqnih diferencijalnih jednaqina i njihova implementacija u Matlabu.

Tre�i deo knjige se odnosi na Simulink, gde se u trinaestom i qetr-

naestom poglavlju izla�u osnovni elementi Simulink modela i osnovni

blokovi iz biblioteke blokova. Petnaesto poglavlje je posve�eno pri-

meni Simulinka u simulaciji dinamiqkih sistema, linearnih i neline-

arnih. Qetvrti deo knjige kroz xesnaesto poglavlje donosi osnovne poj-

move iz modelovanja dinamiqkih sistema, sa posebnim osvrtom na osobine

i oblike modela linearnih stacionarnih dinamiqkih sistema. Primena

Laplasove transformacije u odre�ivanju odziva linearnih stacionarnih

sistema tretira se u petom delu knjige, u sedamnaestom poglavlju. Osamna-

esto poglavlje se detaljno bavi predstavljanjem linearnih sistema u Mat-

labu i njihovim razliqitim modelima. Analiza linearnih sistema, ana-

litiqka i numeriqka, teme su devetnaestog poglavlja.

Izlo�eni materijal je ilustrovan brojnim primerima. Tamo gde je

neophodno, dati su i rezultati izvrxavanja odre�enih naredbi, skriptova,

a odre�eni broj primera, posebno u petom delu, ura�en je i analitiqkim

putem.

Recenzentima na korisnim sugestijama, kao i svima onima koji su na

neki naqin pomogli u toku pisanja ove knjige, autor se najtoplije zahvaljuje.

Beograd, mart 2016. godine Radixa. �. Jovanovi�