UNIVERZA V LJUBLJANI

PEDAGOŠKA FAKULTETA

DIPLOMSKO DELO

EDITA PAŠAGIĆ

UNIVERZA V LJUBLJANI

PEDAGOŠKA FAKULTETA

Študijski program: Matematika in tehnika

DIOKLOVA CISOIDA

DIPLOMSKO DELO

Mentor: Kandidatka:

dr. Marko Razpet, izr. prof. Edita Pašagić

Ljubljana, september, 2016

PROGRAM DELA

V diplomskem delu opišite antični problem podvojitve kocke. Celostno obravnavajte

Dioklovo cisoido, do katere so prišli ravno pri reševanju tega problema.

Ljubljana, september, 2015 Mentor: dr. Marko Razpet

ZAHVALA

Najboljši niso tisti, ki nikoli ne padejo, ampak tisti, ki se po vsakem padcu spet

poberejo!(B.K.)

Zahvaljujem se mentorju dr. Marku Razpetu za vso pomoč, dragocen čas in za podporo. Rada

bi se Vam še posebej zahvalila za vaše znanje, ki ste ga nam predali tekom študija. Lahko ste

zgled vsakemu pedagogu, saj jih ni veliko, ki poučujejo s srcem tako kot Vi. Vi ste »oče

matematike« in Vi ste nam približali znanje matematike na razumljiv način. Zmeraj ste mi

pomagali in vedno Vam bom hvaležna. Hvala, ker ste!

Na svetu si, da gledaš SONCE.

Na svetu si, da greš za SONCEM.

Na svetu si, da sam SI SONCE

in da s sveta odganjaš – SENCE.

(T. Pavček, Drobtinice)

Hvala mami, oči in brat! Hvala, ker ste mi omogočili študij in me zmeraj spodbujali ter mi

stali ob strani.

Hvala še vsem v mojem življenju, ki ste mi pomagali in me podpirali.

POVZETEK

V diplomskem delu so predstavljeni trije klasični matematični problemi iz obdobja antike.

Izpostavljen je problem podvojitve kocke, ki sprašuje po tem, kako konstruirati rob kocke, ki

ima dvakrat večjo prostornino kot dana kocka. Ena izmed najbolj pomembnih ravninskih

krivulj, ki pomaga rešiti ta problem, je Dioklova cisoida, ki je v diplomskem delu podrobneje

opisana. Obravnavane so tudi katakavstike krivulj, ki so ovojnice odbitih žarkov danega

snopa žarkov, ki padajo na Dioklovo cisoido. Vse to je tudi narisano v programu GeoGebra.

Ključne besede: problem podvojitve kocke, cisoida, katakavstika, krivulja.

ABSTRACT – CISSOID OF DIOCLES

In my thesis I present three classical mathematical problems of antiquity. I focus on the

problem of doubling the cube, which is examining how can we, given an edge of a cube,

construct an edge of a second cube, whose volume is double that of the first. One of the most

important cubic plane curves that helps to solve this problem is the cissoid of Diocles, which I

describe in greater detail in the present dissertation. Further discussion is given to

catacaustics, the curves that are envelopes of reflected rays of a specific beam of rays falling

on the cissoid of Diocles. All the stated problems are also modelled using GeoGebra software.

Keywords: problem of doubling the cube, cissoid, catacaustic, curve.

MSC(2010): 01A20, 14H45, 26A06

KAZALO

1 UVOD ..................................................................................................................................... 1

2 TRIJE KLASIČNI GRŠKI PROBLEMI ................................................................................. 3

2.1 ZGODOVINA MATEMATIKE ...................................................................................... 3

2.2 RAZVOJ MATEMATIKE ............................................................................................... 5

2.3 PROBLEM PODVOJITVE KOCKE ............................................................................... 6

2.4 TRETJINJENJE KOTA ................................................................................................... 9

2.3 KVADRATURA KROGA ............................................................................................. 10

3 DIOKLES .............................................................................................................................. 12

4 DIOKLOVA CISOIDA ......................................................................................................... 14

4.1 PODVOJITEV KOCKE Z DIOKLOVO CISOIDO ...................................................... 17

5 PLOŠČINA ........................................................................................................................... 19

6 UKRIVLJENOST IN DOLŽINA LOKA ............................................................................. 24

7 PROSTORNINA ................................................................................................................... 25

8 DIOKLOVA CISOIDA KOT NOŽIŠČNA KRIVULJA PARABOLE ............................... 30

9 DIOKLOVA CISOIDA IN NJENE NOŽIŠČNE KRIVULJE ............................................. 35

10 KATAKAVSTIKE .............................................................................................................. 42

11 UPORABA V ŠOLI ............................................................................................................ 47

12 ZAKLJUČEK ...................................................................................................................... 51

VIRI IN LITERATURA .......................................................................................................... 52

KAZALO SLIK

Slika 1: Podoba Talesa [25]. ...................................................................................................... 3

Slika 2: Hipokrat s Kiosa [26]. ................................................................................................... 4

Slika 3: Prva izdaja prevoda knjige Evklidovi Elementi [35]. ................................................... 5

Slika 4: Ostanki Minosove palače [28]. ..................................................................................... 7

Slika 5: Klasični delski problem [29]. ........................................................................................ 7

Slika 6: Pri danem a=1, krivulje sekajo v isti točki. ................................................................... 9

Slika 7: Arhimedova metoda tretjinjenja kota [33]. ................................................................. 10

Slika 8: Krog in kvadrat [37]. ................................................................................................... 11

Slika 9: Diokles [15]. ............................................................................................................... 12

Slika 10:Stožnice s skupnim temenom. .................................................................................... 13

Slika 11: Dioklova cisoida v obliki bršljana. ........................................................................... 14

Slika 12: Konstrukcija Dioklove cisoide. ................................................................................. 15

Slika 13: Bršljanovi listi. Foto: Edita Pašagić. ......................................................................... 17

Slika 14: Dioklova cisoida in ∛2. ............................................................................................. 18

Slika 15: Trikotnika ob Dioklovi cisoidi. ................................................................................. 22

Slika 16: Primer torusa, ki je nastal z rotacijo kroga [30]. ....................................................... 28

Slika 17: Stožnice [41]. ............................................................................................................ 30

Slika 18: Parabola, kjer je p>0. ................................................................................................ 30

Slika 19: Nožiščna krivulja parabole........................................................................................ 32

Slika 20: Ovojnica krožnic. ...................................................................................................... 34

Slika 21: Kardioida. .................................................................................................................. 35

Slika 22: Nožiščna krivulja Dioklove cisoide, ko je .................................................. 37

Slika 23: Nožiščna krivulja Dioklove cisoide, ko je .................................................. 37

Slika 24: Nožiščna krivulja Dioklove cisoide, ko je .................................................. 39

Slika 25: Nožiščna krivulja Dioklove cisoide, ko je ..................................................... 40

Slika 26: Nožiščna krivulja Dioklove cisoide, ko je ..................................................... 41

Slika 27: Nožiščna krivulja Dioklove cisoide, ko je ..................................................... 41

Slika 28: Katakavstike Dioklove cisoide, vzporedne z njeno osjo. ......................................... 43

Slika 29: Katakavstike Dioklove cisoide za snop žarkov iz točke (8a,0)................................. 46

Slika 30: Konstrukcija cisoide 1. učenca ................................................................................. 48

Slika 31: Konstrukcija cisoide 2. učenca ................................................................................. 49

Slika 32: Konstrukcija cisoide 3. učenca ................................................................................. 49

Slika 33: Model Dioklove cisoide [32] .................................................................................... 50

1

1 UVOD

Paul Halmos je nekoč izjavil »Problemi so srce matematike.«. Ta trditev je resnična, saj je

potrebno pri matematiki reševati vsak problem, ki se pojavi, in tudi premisliti, na kakšen

način ga bomo reševali.

Dolga stoletja so se starogrški matematiki ukvarjali z reševanjem različnih klasičnih

problemov. Vsak izmed matematikov je podal svojo rešitev, nekateri so prišli do končnih

rešitev, nekateri pa ne. Vse to, kar so matematiki dokazali, velja še danes in o tem smo se

marsičesa naučili v šoli.

Večina matematičnih problemov so starogrški matematiki skušali reševati s konstrukcijo z

neoznačenim ravnilom in šestilom. Na ta način niso mogli rešiti nalog, ki jih bomo

obravnavali v nadaljevanju diplomskega dela, in sicer: podvojitve kocke, kvadrature kroga in

trisekcije kota. Takrat niso znali dokazati, da se teh nalog ne da rešiti z neoznačenim ravnilom

in šestilom in so šele okoli 19. stoletja problem reducirali na algebraični problem

konstruktibilnih števil. K vsem problemov je veliko prispevala današnja moderna matematika,

ki uspešno posodablja stare metode reševanja problemov [1].

V diplomskem delu bomo predstavili ravninsko krivuljo Dioklovo cisoido, ki je dobila ime po

starogrškem matematiku Dioklu, ki je s pomočjo te krivulje rešil problem podvojitve kocke.

Uvodnemu poglavju sledi poglavje, v katerem je predstavljen zgodovinski okvir grške

matematike in kjer so izpostavljeni trije klasični grški problemi. Na kratko je predstavljena

zgodovina matematike in kako se je razvijala. V toku razvoja matematike so tu nastali tudi

trije klasični matematični problemi.

V drugem poglavju je predstavljeno življenje in delo starogrškega matematika Diokla. V

tretjem poglavju je predstavljena ravninska krivulja Dioklova cisoida. Sledijo poglavja, kjer

so vključeni konkretni izračuni, med njimi dolžina loka, ploščina in prostornina telesa, ki

nastane z vrtežem ravninske krivulje cisoide.

V nadaljevanju obravnavamo nožiščne krivulje parabole in cisoide. Tu je s pomočjo programa

GeoGebra predstavljenih več primerov teh krivulj. Izpostavili bomo tudi katakavstike

Dioklove cisoide, ki so ovojnice odbitih žarkov danega snopa žarkov, ki padajo na Dioklovo

cisoido.

2

V zadnjem poglavju umestimo tematiko Dioklove cisoide v učni načrt za osnovne šole s

ciljem, kako lahko učence motiviramo za nadgradnjo njihovega že dobljenega osnovnega

znanja o geometriji.

Cilj diplomskega dela je čim bolje predstaviti algebrsko krivuljo Dioklova cisoida, predvsem

njene geometrijske lastnosti. Pri tem bomo za vsako lastnost predstavili računski del, ki

pojasnjuje, kako pridemo do določenih rezultatov.

3

2 TRIJE KLASIČNI GRŠKI PROBLEMI

2.1 ZGODOVINA MATEMATIKE

Za razvoj matematike je bilo izjemno pomembno obdobje od Talesa do Evklida ( pr. n. št.

– pr. n. št.). Poleg pomembnih matematičnih centrov v Miletu v Mali Aziji in v Krotonu

v Italiji so se pojavili še novi. Ko se je ustanovila Šparta, so vsi prebivalci zbežali na otoke v

Egejskem morju in v Malo Azijo, kjer so si ustanovili različna kulturna in trgovska središča

[2][24].

Slika 1: Podoba Talesa [25].

V 6. stoletju pr. n. št. se zgodi preobrat, saj so se Perzijci okrepili in postopoma zasedli jonska

kulturna središča. Vsi jonski filozofi so odšli, Pitagora v Kroton, medtem ko so Ksenofont,

Zenon in Parmenid pobegnili v Eleo v Italiji. Okoli leta pr. n. št. se pa vsa jonska mesta

odločijo za upor perzijski premoči, pri tem jim še Atene pomagajo, ko so poslali lastno

vojsko, vendar tudi to ni pomagalo, saj so izgubili boj. Leta pr. n. št. se perzijski kralj

Darej odloči za velik vojaški pohod nad celinske Grke, saj so se le-ti drznili pomagati jonskim

mestom. Darejev načrt je splaval po vodi, saj je bila njegova flota uničena v viharju. Leta

pr. n. št. se Perzijci uspešno prebijejo do Atike, vendar so bili pri tem boju poraženi.

Takrat Atene tudi prevzamejo vodilno mesto v Grčiji. Perzijci še leta in leta kujejo maščevalni

načrt nad Grki in tu so potekala številna bojevanja - v pomorski bitki pri Salamini so Grki

zmagali, medtem ko so pri kopenski bitki pri Termopilah zmagali Perzijci. Po vseh zmagah in

4

porazih na koncu Grkom le uspe pri Platajah premagati napadalce in jih tudi pregnati ven iz

Grčije [2].

To obdobje zaznamuje pol stoletja miru oziroma tako imenovano zlato dobo za Atene in

njeno demokracijo, pod okriljem katere so doživele v času Perikleja svoj največji razcvet, tudi

na področju filozofije in umetnosti. Atene so bile zanimive vsem matematikom širom Grčije

in tako so se postopoma tudi začeli vračati mnogi pitagorejci, prišla sta tudi Zenon in

Parmenid ter Hipokrat s Kiosa. V tem obdobje je geometrija doživela razcvet [2].

Slika 2: Hipokrat s Kiosa [26].

Leta pr. n. št. je bilo mirnega obdobja konec, saj je izbruhnila peloponeška vojna, pa še

kuga, ki je umorila četrtino prebivalstva. Leta pr. n. št. Atenci sprejmejo nadvlado Šparte,

vendar so se leta druga mesta usmerila v upor tej vladavini. Ti nemirni časi so imeli velik

vpliv na napredek geometrije in je le-ta napredovala v bolj razvitih mestih Grčije. Takrat se je

v mestu Tarent ustanovila šola mlajših pitagorejcev, med katerimi je bil najbolj nadarjen

Arhit, ki se je uveljavil kot začetnik matematične mehanike. Arhit je svoje znanje dodatno

nadgradil s pomočjo Filolaja, poleg tega se je izuril kot general ter voditelj. Njegov prijatelj

Teodor iz mesta Kirene v Afriki je bil Platonov učitelj matematike. Platon je okoli leta

pr. n. št. ustanovil Akademijo v Atenah. Evdoks je tudi študiral pri Arhitu in Platonu, po

končanem študiju pa je ustanovil šolo v mestu Kizik (grško Kyzikos) na severu Male Azije.

Evdoksov učenec je bil Platonov privrženec geometer Menajhmos, ki je odkril preseke stožca.

Menajhmov brat Dejnostrat je bil prav tako odličen geometer, vendar še boljši od njiju je bil

Teajtet, ki je obdelal snovi iz poglavij X. in XIII. knjige Evklidovih Elementov. Tako kot

5

Platon je bil tudi Teajtet Teodorjev učenec. Platonov učenec Aristotel, ki pa ni bil matematik,

je razvil deduktivno logiko [2].

Slika 3: Prva izdaja prevoda knjige Evklidovi Elementi [35].

2.2 RAZVOJ MATEMATIKE

Razvoj matematike lahko od pr. n. št. do pr. n. št. razdelimo v tri poglavja, in sicer

[2][24][14]:

a.) Tematika povezana z matematiko, s katero se je začel ukvarjati Pitagora, nato pa še

Hipokrat, Teodor, Teajtet in Evdoks. Celotno njihovo delo je uredil in zapisal Evklid v

delu Elemente.

b.) Sofist Antifon in Evdoks sta odkrila Zenonove paradokse in metodo izčrpavanja v

zvezi s problemi o neskončnosti in zveznosti v starogrški matematiki. Šele konec 19.

in v začetku 20. stoletja se je razvila tudi moderna teorija množic.

c.) V 5. stoletju pr. n. št. pa se je začela v Grčiji razvijati nekoliko višja matematika, kjer

so se matematiki ukvarjali s klasičnimi matematičnimi problemi podvojitve kocke,

tretjinjenjem kota ter kvadrature kroga.

6

Kot smo omenili, je bilo obdobje v 5. stoletju pr. n. št. zelo pomembno, saj so se številni

matematiki ukvarjali s tremi klasičnimi problemi [14][2]:

i.) Podvojitev kocke – konstrukcija kocke z dvakrat večjo prostornino od dane kocke

ii.) Trisekcija kota – razdelitev kota na tri skladne dele

iii.) Kvadratura kroga – konstrukcija kvadrata z enako ploščino kot dani krog

Vse omenjene konstrukcije so skušali izvesti z uporabo šestila in neoznačenega ravnila. Dolga

stoletja je trajalo, dokler niso veliki matematiki odkrili, da taka vrsta konstrukcije ni možna le

z uporabo neoznačenega ravnila ter šestila. Že od antičnih časov naprej pa so nekateri vztrajali

pri reševanju treh klasičnih problemov, ne vedoč, da se ne da rešiti s šestilom in neoznačenim

ravnilom, a so pri tem vsaj prišli do odkritij krivulj višjega reda, kot so Dioklova cisoida,

Nikodemova konhoida, stožnice, …. [2].

Neoznačeno ravnilo in šestilo sta evklidski orodji, ki omogočata lepe konstrukcije, žal pa ne

rešitev treh pomembnih klasičnih problemov. Samo s šestilom in neoznačenim ravnilom

lahko narišemo marsikaj, toda ne vsega. Brez težav lahko z označenim ravnilom tretjinimo

krog. Razlika med evklidskim šestilom in modernim šestilom je v tem, da pri modernemu ni

možno prenašati razdalje, vendar sta ne glede na to, obe šestili med seboj ekvivalentni [2].

2.3 PROBLEM PODVOJITVE KOCKE

Za nastanek problema podvojitve kocke je znanih več zgodb. Ena izmed teh je, da je

matematično neizobraženi grški pesnik že v nekem svojem delu opisoval problem podvojitve

kocke. V tem delu je pisal o mitološkem kralju Minosu na Kreti, ki ni bil več zadovoljen z

velikostjo grobnice svojega sina Glavka. Glavko je nesrečno končal, saj je kot otrok lovil miš,

pri tem pa je po nesreči padel v vrč medu in utonil. Kralj Minos je zahteval dvakrat večjo

grobnico in zatrjeval, da se to da storiti s podvojitvijo vseh njenih dimenzij. Grški pesnik je

tako spodbudil k zanimanju vse geometre k temu, da so se lotili problema, kako podvojiti

grobnico oziroma telo, da se pri tem oblika telesa ne spremeni [3].

7

Slika 4: Ostanki Minosove palače [28].

Naslednja zgodba pripoveduje, da je delfsko preročišče svetovalo ljudstvu otoka Delos v

Egejskem morju, da se bodo rešili smrtonosne kuge, v kolikor bodo podvojili Apolonov

kockasti oltar. Ljudstvo se je potožilo pri matematiku Platonu, ki pa je ta problem predal

naprej geometrom v svoji Akademiji. Tako se ta problem imenuje delski problem [3][23].

Slika 5: Klasični delski problem [29].

S podvojitvijo kocke so se ukvarjali številni grški matematiki in tudi prišli do svojih rešitev.

Med njimi so najbolj znani Menajhmos, Arhitas, Evdoks, Eratosten, Papos, Diokles, Hipokrat

8

ter ostali malo manj znani. Vsi ti matematiki so se zelo trudili, da bi problem rešili le s

šestilom in neoznačenim ravnilom, pa jim seveda ni uspelo [9].

Danes že vemo, da se s šestilom in neoznačenim ravnilom ne da narisati daljic, ki bi imeli

dolžini v razmerju

.[3]

Problem podvojitve kocke je eden od treh klasičnih problemov grške matematike, ki smo jih

na začetku omenili.

Če ja rob kocke, je potrebno poiskati rob druge kocke, ki ima dvakrat večjo prostornino

od prve. Torej mora veljati: oziroma

.[3]

Oglejmo si dve najbolj znani rešitvi:

Hipokrat ( pr. n. št.) je svoj način razmišljanja podal na algebrajski način, da je potrebno

med števili in vstaviti števili in , tako da bo veljalo: [3].

Iz tega sledi, da

,

in od tu:

Ko damo vse na eno stran enačaja, dobimo

Kocka s stranico ima v primerjavi s kocko s stranico

Hipokrat ni prišel do končne rešitve. Na podlagi njegovega dela je ta problem rešil

Menajhmos ( pr. n. št) [9].

Iz sestavljenih sorazmerij je prišel do treh enačb, in sicer:

Prvi dve enačbi predstavljata parabolo, tretja pa hiperbolo (Slika 6). Vse tri krivulje se pri

danem sekajo v absciso točke in ta točka je

9

Slika 6: Pri danem a=1, krivulje sekajo v isti točki.

Naslednja rešitev je najbolj znana, in sicer Dioklova rešitev. Diokles si je pomagal s cisoido,

ki ima enačbo . Sam postopek konstrukcije, dokaz enačb ter prikaz Dioklove

cisoide bomo pogledali pri naslednjem poglavju, kjer bomo podrobneje opisali Dioklovo

cisoido [3].

2.4 TRETJINJENJE KOTA

Francoski matematik in akademik Pierre Laurent Wantzel je okoli leta dokazal, da se

kota s šestilom in neoznačenim ravnilom ne da razdeliti na tri enake dele. Od tega leta dalje so

mnogi matematiki, med njimi tudi nekateri laiki poskusili rešiti ta konstrukcijski problem.

Številni laiki so se podali na reševanje tega problema, vendar iz enega razloga, saj je bila za

dano rešitev tega problema razpisana visoka nagrada. Še danes skušajo ta problem rešiti

nepoznavalci matematike. Tretjinjenje kota je možno izvesti tudi z drugimi orodji, s katerimi

je moč narisati zapletene ravninske krivulje. Med njimi tudi dr. Marko Razpet v svoji knjigi

Ravninske krivulje omenja krivuljo kvadratriso. Torej, samo konstrukcijo tretjinjenja kota se

približno lahko omogoči le s šestilom in ravnilom [14][33].

10

Prve vidnejše uspehe na tem področju sta dosegla nemški matematik Carl Friedrich Gauss in

francoski matematik Évariste Galois. Oba sta preučevala, kateri pravilni -kotnik je možno

konstruirati s šestilom in ravnilom. Na podlagi njunih dokazov je leta francoski

matematik Pierre Wantzel pokazal, kdaj je možno s predpisanim orodjem konstruirati pravilni

-kotnik. Pri pravilnem -kotniku je število lahko produkt poljubne potence števila in

poljubno različnih Fermatovih praštevil, ki so oblike , kjer je naravno število

[36][14].

Slika 7: Arhimedova metoda tretjinjenja kota [33].

Zgornja slika prikazuje zanimivo Arhimedovo metodo z označenim ravnilom. Za takšno

konstrukcijo se potrebuje še dve oznaki, ki pa sta med seboj oddaljeni za enot. Za samo

konstrukcijo se šestilo zapiči v vrh podanega kota in nato narišemo krožnico s polmerom .

Krak tega kota seka krožnico v točki . Skozi točko položimo ravnilo tako, da leži ena

oznaka na krožnici druga na podaljšku kota in sledi premica . Kot z vrhom pri je

pa ravno trtejina kota [33].

2.3 KVADRATURA KROGA

V celotni zgodovini se je za problem kvadrature kroga pojavilo tisoče rešitev. Najprej so ga

začeli reševati Egipčani, ampak so ga rešili le približno. Prvi predlog je dal Anaksagora, ki pa

se žal ni ohranil. Kot smo že omenili, je Dejnostrat za kvadraturo uporabil Hipijevo

kvadratriso, s katero je Hipija iz mesta Elida okoli pr. n. št. tretjinil kot [2][1][14].

11

Okoli leta 440 pr. n. št. je Hipokrat bil prvi, ki je izračunal ploščino krivočrtnega lika z

upanjem, da bi mu podobno tudi uspelo kvadrirati tudi krog.

Poleg vseh teh rešitev je kvadratura možna z uporabo Arhimedove spirale [14].

Bistvo kvadrature kroga je, kako konstruirati kvadrat, ki ima enako ploščino kot krog. Če ima

kvadrat s stranico enako ploščino kot krog s polmerom , potem velja . Potrebno je

konstruirati dolžino z geometrijskim orodjem, in sicer s šestilom in ravnilom. Ravno

takšno konstrukcijo so starogrški matematiki stoletja neuspešno iskali, nato so leta

dokazali, da naloga s tem orodjem ni rešljiva. Lindemann–Weierstrassov izrek dokazuje, da je

transcendentno število [37].

Slika 8: Krog in kvadrat [37].

Natančna rešitev za kvadraturo kroga ne obstaja, je pa znanih kar nekaj dobrih približkov za

rešitev. Iz leta pr. n. št. je Rhindov papirus, ki vsebuje dober približek. Tudi pri

kvadraturi kroga poznamo Arhimedovo rešitev, ki je uporabil tangento na spiralo

(Arhimedovo spiralo). Spirala je krivulja, ki je poljubno mnogokrat ovije okoli neke točke

[14][37].

12

3 DIOKLES

Diokles je starogrški matematik in geometer, ki je bil rojen okoli leta pred

našim štetjem v kraju Karist na jugu otoka Evboja Umrl je okoli leta

pred našim štetjem. O njegovem življenju zelo malo vemo. Njegovo ime je povezano z

geometrijsko krivuljo, ki je znana kot Dioklova cisoida. Dokazano je, da je okoli leta

pred našim štetjem našel rešitev problema podvojitve kocke z uporabo cisoide. Prav tako je

proučeval odbojne lastnosti parabole, ki je edina krivulja, ki snop vzporednih svetlobnih

žarkov zbere v eni sami točki, to je v svojem gorišču [15][20].

Slika 9: Diokles [15].

Eno izmed pomembnih Dioklovih del je delo (Περὶ πυρείων) ki

je ohranjeno v Evtokijevih komentarjih Arhimedovega dela . Iz

zgodovinskega vidika, je delo o zažigajočih zrcalih imel močan vpliv na arabske matematike,

zlasti na Al-Haitama (v Evropi znan kot ). Arhimedovo delo obsega tez, kjer se

obravnavajo stožčevi ali konični preseki. Arhimed ( – ) je bil starogrški matematik,

fizik, mehanik, izumitelj, astronom in inženir, ki je živel v Sirakuzah na Siciliji. Dokazal je

vrsto geometrijskih formul, na primer za ploščino kroga ter površino in prostornino krogle. Z

leti so Grki na Diokla postopoma pozabili, nato je kakšnih let po letu islamski

znanstvenik Alhazen spet upošteval Dioklove rezultate in tako so Alhazenova dela latinskih

prevodov okoli leta dosegla evropske matematike [20].

13

Apolonij ( – ) je pomemben starogrški matematik, geometer in astronom, ki je elipsi,

hiperboli in paraboli dal imena v svojem delu v osmih knjigah

= pomanjkanje, napaka

= pretiravanje, prekašanje

= primera, prilika

Zgoraj omenjena imena stožnic lahko poistovetimo tudi zaradi njihovih enačb [20]:

Opazimo, da pri elipsi nekaj odštejemo, medtem ko pri hiperboli dodamo, prištejemo. Na sliki

10 so v programu GeoGebra narisane stožnice s skupnim temenom ( ), kjer je prikazana

samo ena veja hiperbole [4].

Slika 10:Stožnice s skupnim temenom.

14

4 DIOKLOVA CISOIDA

Kot smo na začetku omenili, je Diokles povezan z Dioklovo cisoido, s katero lahko rešujemo

problem podvojitve kocke. Mnoga stoletja so številni matematiki raziskovali Dioklovo

cisoido, med njimi so najbolj pomembni Pierre de Fermat, John Wallis, Gilles Personne de

Roberval, Walter de Sluse, Huygens ter drugi. Vedenje o Dioklovi cisoidi je rastlo

postopoma. Najprej sta že Fermat in Roberval znala konstruirati tangento na cisoido. Ime

krivulje cisoida izvira iz grške besede κισσός , kar pomeni . Po slovensko bi lahko

Dioklovo cisoido poimenovali kot br ljanka, vendar je to ime e oddano neki rastlini

[20].

Anti ni matematiki so poznali le del cisoide znotraj kro nice Ta je asociiral na br ljanov

list kot ka e slika 11 [20].

Slika 11: Dioklova cisoida v obliki bršljana.

Dioklovo cisoido narišemo tako, da najprej narišemo osnovno krožnico s središčem .

Osnovna krožnica ima premer . Na to krožnico v točki načrtamo tangento, iz točke pa

narišemo poljuben poltrak, ki seka krožnico pod poljubnim kotom in še tangento v točki

Dioklova cisoida je množica vseh točk , ki ležijo na teh poljubnih poltrakih in so oddaljene

od točke za razdaljo med točkama in .

15

Slika 12: Konstrukcija Dioklove cisoide.

Dioklovo cisoido postavimo v pravokotni koordinatni sistem z izhodiščem v točki . Os

izberemo na premeru osnovne krožnice, os pa pravokotno na os v točki . Premer

osnovne krožnice je Tangenta v točki ima enačbo , krožnica pa

. Polarni kot je . Tu uporabimo Talesov izrek in dobimo enačbo

krožnice v polarnih koordinatah acos , enačba tangente v točki pa je

[20].

Iz slike razberemo:

cos

cos

cos

cos

To vnesemo in dobimo

cos cos

cos cos

16

cos

sin

cos

tan sin

Dobimo enačbo Dioklove cisoide v polarnih koordinatah

tan sin

Naredimo prehod na kartezične koordinate in . Iz relacije tan rsin dobimo, če

upoštevamo znane povezave , tan

in sin [20].

Od tu dobimo

. Enačba Dioklove cisoide v implicitni obliki je

iz česar lahko vidimo, da gre za ravninsko krivuljo tretje stopnje [20].

Iz oblike

vidimo, da ima navpično asimptoto in ost z vodoravno tangento

v točki . Očitno je to, da so na cisoidi vedno tri točke, in sicer njena ost in krajišči

premera osnovne krožnice, ki je vzporeden asimptoti. Točke so , in [20].

Dioklovo cisoido lahko zapišemo tudi z racionalnimi funkcijami v parametrični obliki. Za

parameter si izberemo tangens polarnega kota, in sicer tan . Iz relacij dobimo

cos sin

sin tan sin

Vse to izrazimo s parametrom tan in izenačimo

sin tan

tan

17

Dobimo racionalna izraza

in

.

Vemo, da velja relacija med , in

Našli smo enačbo Dioklove cisoide. Na spodnji sliki so slikani listi bršljana in že s prostim

očesom lahko vidimo, da ima podobno obliko kot del Dioklove cisoide znotraj osnovne

krožnice.

Slika 13: Bršljanovi listi. Foto: Edita Pašagić.

4.1 PODVOJITEV KOCKE Z DIOKLOVO CISOIDO

Prikazali bomo, kako pridemo do

-krat daljše daljice od podane daljice dolžine . Na sliki

14 imamo konstrukcijo Dioklove cisoide z osnovo krožnico premera . Najprej skozi

točko na osnovno krožnico narišemo tangento in na njej označimo s točko . Točka je od

točke oddaljena za razdaljo . Skozi točko in konstruiramo premico, ki seka cisoido v

točki . Narišemo še premico skozi točki in , ki seka asimptoto v točki . Sledi, da je

[20][22].

18

Slika 14: Dioklova cisoida in ∛2.

Zapišemo enačbo cisoide in premice skozi točki in , in sicer [20]:

Njuno presečišče je točka s koordinatama [20]:

,

.

Premica skozi točki in ima enačbo [20]:

Končni rezultat nam pokaže, da asimptota cisoide seka v točki z ordinato

. S premico

skozi točki in lahko podaljšamo katerokoli daljico

.-krat [20].

19

5 PLOŠČINA

Ploščino lika, ki je omejen s cisoido in njeno asimptoto, lahko izračunamo z določenim

integralom, saj je geometrijski pomen le-tega ploščina pod integrirano funkcijo [38].

Izračunajmo ploščino neomejenega lika med cisoido in njeno

asimptoto, kjer vzamemo za spodnjo mejo ( ter zgornjo mejo ( Ploščino

lahko izrazimo z integralom

Najprej upoštevamo v zgornjem integralu relacijo .

Uporabimo pravilo kompozituma in dobimo:

sin cos sin cos .

Upoštevamo še .

Iz relacije sin določimo meje, in sicer sin

sin

. Vidimo, da je

treba staro integracijsko mejo nadomestiti s

. Nova spodnja integracijska meja pa je tudi

Število imenujemo tudi krožna konstanta, ki je enaka razmerju med obsegom kroga in

njegovim premerom. To število je iracionalno in se ga ne da natančno določiti. Nekaj

njegovih prvih decimalk je:

Ko to dobimo, vstavimo v integral:

tan sin

sin cos

sin

cos sin

cos

20

sin

sin

Uporabimo formulo za sinus polovičnega kota sin

cos sin

. Pri tem uvedemo novo spremenljivko

in dobimo sin

.

cos

cos

cos

cos cos

cos

cos

)

Pri cos

uvedemo novo spremenljivko:

cos

cos

=

cos

.

Prav tako tudi pri cos

uvedemo kosinus polovičnega kota

cos

cos cos

, kjer določimo

ter cos

.

21

Pri vnosu nove spremenljivke in kosinusu polovičnega kota dobimo

sin

cos

cos

Za uvedemo novo spremenljivko in dobimo

cos

cos

=

cos

=

sin

.

sin

=

= .

Opazimo, da je , s katerim smo določili Dioklovo

cisoido. Znana matematika Fermat in Huygens sta prišla do enakega rezultata kot Diokles.

Pri konstrukciji Dioklove cisoide lahko izrišemo trikotnik (Slika 14). Tako lahko izračunamo

še 2 ploščini, ki sta povezani s to ravninsko krivuljo.

22

Slika 15: Trikotnika ob Dioklovi cisoidi.

Opazimo, da je ploščina enaka trikratni ploščini kroga, s katerim smo določili Dioklovo

cisoido. Znana matematika Fermat in Huygens sta prišla do enakega rezultata kot Diokles

[20].

Ploščina obsega krivočrtni trikotnik pod cisoido, in sicer:

sin

Celoten vmesen postopek je enak kot pri prejšnjemu izračunu.

sin

cos

cos cos

cos

cos

)

23

sin

sin

=

Ploščina obsega krivočrtni trikotnik nad ravninsko krivuljo cisoido in sicer:

(

Ploščina trikotnika nad osnovno krožnico je enaka

Če primerjamo obe enačbi, opazimo, da je . Ta dokaz je tudi videl Huygens, eden

izmed matematikov, ki je tudi dolga leta študiral Dioklovo cisoido.

24

6 UKRIVLJENOST IN DOLŽINA LOKA

Dolžino loka cisoide bomo izračunali s pomočjo obrazca za dolžino loka dane krivulje. Pri

izračunu dolžine loka nas zanima dolžina loka med dvema točkama. Če ravninsko krivuljo

raztegnemo v premico, nas zanima ta dolžina. Mi bomo izračunali dolžino loka Dioklove

cisoide od osti do poljubne točke [20].

Že na začetku smo dobili, da je

in

.

Za cisoido, ki je dana v kartezičnem koordinatnem sistemu, je ukrivljenost enaka

Imamo naslednje izraze:

,

Vstavimo in dobimo

Enačba za dolžino loka je

Zaradi simetrije je že dovolj izračunati dolžino

loka na zgornji polovici krivulje. Dolžina loka zgornje krivulje od osti do točke, ki

ustreza je [20]

.

S programom Derive dobimo končno rešitev, ki pa je tudi zelo zapletena [20]:

ln

ln

25

7 PROSTORNINA

Prostornino vrtenine lahko izračunamo s pomočjo določenega integrala. Prostornino vrtenine

določa graf pozitivne funkcije, ki jo vrtimo okoli abscisne osi na določenem intervalu.

Obrazec za določanje prostornine je [39]:

Če naš omenjeni lik zavrtimo za polni kot okoli osi , dobimo telo, ki nima končne

prostornine, saj integral pri izračunu divergira [20].

tan sin

Ko pa lik zavrtimo okoli osi , pa pridemo do končne prostornine, in sicer:

Od tu naprej upoštevamo, da je

sin sin sin

Vemo, da je tan sin . To odvajamo po in dobimo:

tan sin

tan sin

Po diferenciranju sledi:

cos sin tan cos sin

tan sin

cos cos sin

tan sin

sin

cos

26

sin sin cos

cos

sin tan

Od tu naprej upoštevamo, da je

sin sin tan

sin sin tan

In nato po preoblikovanju izraza dobimo

sin sin sin

sin sin sin sin

sin sin sin

Sledi

sin sin sin .

Torej je

sin sin sin

sin sin sin

sin sin

sin

Za izračun integrala sin

uporabimo formulo sin

27

Potemtakem je

cos

cos

cos

cos

Dobljeno vstavimo v enačbo in nadaljujemo z reševanjem.

cos

sin

sin

sin

Za določeni integral s kotno funkcijo sin uporabimo rekurzivno formulo.

sin

cos sin

sin

To vnesemo in sledi

sin

cos sin

sin

cos sin

cos sin

28

Prostornina vrtenine je torej .

Enostavno računanje prostornin in površin nekaterih rotacijskih teles omogoča Papos-

Guldinovo pravilo. Zelo znan aleksandrijski matematik in geometer Papos, ki je živel od

do 350 n. št., je bil med prvimi, ki je poznal pravilo za računanje prostornine rotacijskega

telesa pri znani ploščini lika, ki rotira, ter razdalji njegovega težišča od osi rotacije. Paul

Guldin (krstno ime Habakuk), ki je živel od leta do leta 1643, je bil švicarski profesor

matematike in astronom. V delu Centrobaryca je dokazal dva izreka o površini in prostornini

rotacijskih teles [20].

Papos–Guldinovo pravilo pravi, da je .

Slika 16: Primer torusa, ki je nastal z rotacijo kroga [30].

S pomočjo tega pravila lahko izračunamo koordinati težišča lika Zaradi simetrije

je . Drugo koordinato pa dobimo iz relacije [20].

S tem dobimo, da je težišče lika v točki

kar pomeni,da je težišče od osti cisoide

oddaljeno proti asimptoti za

premera osnovnega kroga. Na podlagi tega lahko izračunamo

29

prostornino , ki nastane z rotacijo lika okoli asimptote Dioklove cisoide. Težišče

omenjenega lika je oddaljeno od asimptote za

, kar upoštevamo v

Papos-Guldinovem pravilu in dobimo [20]:

Prostornina torusa, ki ga opiše osnovni krog cisoide, ima prav tolikšno prostornino, kar lahko

preverimo s Papos-Guldinovim pravilom

Papos je bil grški matematik, geometer in filozof, ki se je rodil okoli leta v Aleksandriji.

Okoli leta je Papos napisal celoten prikaz matematike starih Grkov v delu v osmih

knjigah z naslovom Zbirka, tudi Matematična zbirka. Skoraj vsi deli razen prvega so se

ohranili. Knjiga je vsebovala celotna matematična področja iz geometrije, razvedrilne

matematike, konstrukcijo kocke z dvakrat večjo prostornino od dane kocke, obravnavo

mnogokotnikov in poliedrov. Bil je tudi med prvimi, ki je poznal pravilo za računanje

prostornin rotacijskih teles pri znani ploščini rotirajočega lika in znani razdalji njegovega

težišča od osi rotacije [40][20].

30

8 DIOKLOVA CISOIDA KOT NOŽIŠČNA KRIVULJA

PARABOLE

Parabola je ravninska krivulja II. reda. Je množica ravninskih točk, ki so enako oddaljene od

dane premice vodnice in od dane točke, ki jo pa imenujemo gorišče. Dobimo jo s presekom

pokončnega stožca, ki je vzporedna s stranico stožca. Sodi med krivulje, ki jih imenujemo

stožnice. Na začetku poglavja smo predstavili vse enačbe za omenjene krivulje – parabolo,

hiperbolo ter elipso [41].

Slika 17: Stožnice [41].

Slika prikazuje parabolo, kjer je . V enačbi parabole je goriščni parameter,

ki je enak polovici dolžine tetive, ki gre skozi gorišče in je pravokotna na os parabole [22].

Slika 18: Parabola, kjer je p>0.

31

Nožiščna krivulja dane krivulje je množica pravokotnih projekcij izbrane točke (pola) na

vse tangente dane krivulje. Zato govorimo o nožiščni krivulji dane krivulje glede na pol .

Nožiščna krivulja je krivulja, ki se jo dobi iz znane podane krivulje [20].

Nožiščno krivuljo lahko poimenujemo tudi . V različnih jezikih ima več

izrazov, kot je v angleščini pedal curve, v francoščini podaire, v italijanščini in španščini

podaira [20].

Dioklova cisoida je nožiščna krivulja parabole glede na njeno teme. Iz množic vseh

pravokotnih projekcij temena parabole na vse njene tangente nastane Dioklova cisoida.

Pravokotno projekcijo točke na premico imenujemo nožišče te točke. Tudi druge krivulje

lahko definiramo podobno kot Dioklovo cisoido. Med njimi je tudi krivulja , ki je

množica vseh zrcalnih slik podane točke čez vse tangente te krivulje. Glede na teme je

podoida parabole tudi cisoida [20].

V našem primeru pa izberemo parabolo z enačbo , kjer je pozitiven parameter.

V točki je teme parabole. Na paraboli si izberemo poljubno točko kjer velja

relacija Za parameter si izberemo poljubno realno število oziroma je to kar

ordinata . Enačba tangente na parabolo v točki in pravokotnico nanjo skozi točko je

sledeča: ,

.

Presečišče je v točki, kjer se sekata premica s točko na tangenti parabole s koordinatama:

Uvedemo parameter z relacijo . To vnesemo v koordinate in dobimo sledeče:

32

Razvidno je, da je Dioklova cisoida nožiščna krivulja parabole, ki ima ost v temenu parabole,

medtem ko je pa asimptota cisoide vodnica parabole, saj zgornji enačbi z uvedbo parametra

ustrezata parametričnima enačbama cisoide pri za

. Premer krožnice te dobljene

cisoide je

. To lahko vidimo na spodnji sliki, kjer je Dioklova cisoida prikazana kot nožiščna

krivulja parabole [20].

Slika 19: Nožiščna krivulja parabole.

Enačba kjer je odvedljiva funkcija na vse tri spremenljivke predstavlja

enoparametrično družino krivulj. Spremenljivka je parameter. Za vsak parameter iz nekega

intervala enačba predstavlja krivuljo. Vse različne vrednosti parametra nam

dajo različne krivulje. Množico teh krivulj pa imenujemo družina krivulj. Ker je pa odvisna

od enega parametra, parametra , govorimo o enoparametrični družini krivulj [4].

Ogrinjača ali ovojnica enoparametrične družine krivulj je takšna krivulja, ki se

v vsaki točki dotika ene od članic družine. V vsaki točki ogrinjače imata ogrinjača in dana

krivulja skupno točko in v tej skupni točki skupno tangento [4].

33

Dioklova cisoida pa ni s parabolo povezana le kot nožiščna krivulja, ampak tudi z ovojnicami

krožnic. Cisoida je ovojnica tako imenovana ogrinjača krožnic skozi teme te dane parabole s

središči na njej. Če vzamemo parabolo , kjer je pozitiven parameter ter točko

, ki je na njej. Tu velja relacija . Krožnica s središčem v točki , ki gre

skozi teme ravninske krivulje parabole ima enačbo [20]:

Ko iz zgornje enačbe izločimo , dobimo enoparametrično družino krožnic:

Postopek iskanja ogrinjače je sledeči [20]:

To naprej odvajamo in dobimo:

Iz te enačbe in enačbe družine dobimo parametrično krivuljo:

Uvedemo še z relacijo . To vnesemo v koordinate in dobimo sledeče:

Vidimo, da je ovojnica res Dioklova cisoida z osnovno krožnico premera Cisoidina

asimptota je vzporedna z vodnico parabole in je tudi toliko oddaljena od temena od parabole

kot je vodnica parabole oddaljena od njenega gorišča [20].

34

Slika 20: Ovojnica krožnic.

35

9 DIOKLOVA CISOIDA IN NJENE NOŽIŠČNE

KRIVULJE

Kardioida ali srčnica je ravninska krivulja IV. reda, katere ime izhaja iz grške besede ,

kar pomeni srce [31]. Je krivulja, katere oblika daje asociacijo na srce, po kateri je tudi dobila

ime. To krivuljo lahko zapišemo z različnimi oblikami enačb [22].

Različni zapisi enačb za dano krivuljo kardioido [22]:

cos cos

sin cos

cos

Slika 21: Kardioida.

Cisoido izrazimo s parametrom

36

Poiskali bomo njeno nožiščno krivuljo glede na točko . S smernim koeficientom

tangente na cisoido v poljubni točki dobimo naslednji izraz:

Enačba tangente na cisoido v poljubni točki je:

Pravokotnica na tangento skozi točko pa ima enačbo

Obe premici se sekata v presečišču in sicer s koordinatama

Od presečišča dalje dobimo

lim

lim

Opazimo, da vse nožiščne krivulje potekajo skozi presešišče asimptote cisoide z abscisno

osjo. Na spodnji sliki 21 si lahko pogledamo primer, ko je

Kot smo že omenili, je oblika in način obnašanja nožiščne krivulje odvisna od parametra . V

nadaljevanju bomo pogledali, kako je s skupnimi točkami, ki jih imata cisoida in njena

nožiščna krivulja glede na točko . Enačba nožiščne krivulje mora zadoščati enačbi

cisoide , iz česar dobimo po preoblikovanju za [20]:

Diskriminanta prvega faktorja je , drugega pa . Iz prvega faktorja

dobimo realne korene za in obe krivulji se dvakrat dotakneta za

, medtem ko se

pri

krivulji štirikrat dotakneta, pri

pa se krivulji štirikrat sekata in dvakrat

dotakneta [20].

37

Slika 21 nam prikazuje krivuljo, ki nas spominja na kardioido. Nožiščna krivulja cisoide ima

ost v točki in na tej novi krivulji doseže največjo vrednost v točki

Slika 22: Nožiščna krivulja Dioklove cisoide, ko je

Parameter ima očitno pomembno vlogo, saj je oblika nožiščne krivulje od odvisna.

Slika 23: Nožiščna krivulja Dioklove cisoide, ko je

38

Pri ima cisoida nožiščno krivuljo v parametrični obliki

Krivulja, ki poteka skozi točko , ima za tangento asimptoto cisoide in tudi ost. Z

vzporednim premikom dobljene krivulje za v smeri osi z relacijama in

ter zrcaljenjem preko osi lahko dobimo novo krivuljo [20].

Zelo zanimiv primer dobimo, ko pa je (slika 23), saj je nožiščna krivulja Dioklove

cisoide prava kardioida s parametričnima enačbama [20]

V tem primeru ima kardioida ost v točki in največjo absciso v točki . Pri tem

se s cisoido dotika v naslednjih točkah

.

Če naredimo vzporedni premik kardioide v smeri osi z relacijama in ,

dobimo [20]:

Ko to določimo, dobimo za polarni radij točke slede e [20]:

39

Za izračun polarnega kota pa dobimo naslednje [20]

cos

sin

Od tod sledi, da je cos

. Na podlagi tega izračuna lahko enačbo

krivulje zapišemo v polarnih koordinatah [20]:

cos

Iz tega je razvidno, da je enačba kardioide res v polarni obliki [20].

Slika 24: Nožiščna krivulja Dioklove cisoide, ko je

V nadaljevanju so prikazane različne oblike nožiščne krivulje, nekatere so kar zapletene.

40

Za krivuljo, kjer imamo (slika 24) dobimo krivuljo s parametričnima enačbama [20]:

Krivulja se dotika cisoide v točki , ki pa samo sebe seka v

točki . Pri krivulji, kjer imamo ima ta nožiščna krivulja sledeči parametrični

enačbi[20]:

Tu se krivulja dotika cisoide v točkah

lika .

Slika 25: Nožiščna krivulja Dioklove cisoide, ko je

41

Slika 26: Nožiščna krivulja Dioklove cisoide, ko je

Pri spodnji sliki je pa primer krivulje, ko je

Slika 27: Nožiščna krivulja Dioklove cisoide, ko je

42

10 KATAKAVSTIKE

Katakavstike si lahko predstavljamo kot igro svetlobe. V vsakdanjem življenju se srečujemo z

različnimi lomi svetlobnih žarkov. Če pogledamo na dno skodelice, lahko opazimo svetlobne

krivulje različnih oblik, ki jih imenujemo kavstike. Kavstike nastanejo z odbojem oziroma

lomom svetlobnih žarkov na ukrivljenem zrcalu oziroma ploskvi, ki loči sredstvi z različnima

lomnima količnikoma. Posamezni žarki snopa se odbijajo oziroma lomijo na različne načine

in se zbirajo v določenih območjih in ne le v eni točki. Ti odbiti oziroma lomljeni žarki so

podaljšani v premice, ki ogrinjajo kavstične ploskve. Projekcija kavstičnih ploskev na

opazovano ravnino, imenujemo kavstike [42].

Poznamo katakavstike in diakavstike. Če se svetlobni žarki odbijajo od ravninske krivulje, ki

jo vzamemo za idealno zrcalo, govorimo o katakavstikah. Če se pa svetlobni žarki začnejo

lomiti na meji med optičnima sredstvoma z različnima lomnima količnikoma, pa govorimo o

diakavstikah. Vsi odbiti oziroma lomljeni žarki, ki so podaljšani v premice, sestavljajo

družino premic [42].

Oglejmo si katakavstiko Dioklove cisoide, ko nanjo padajo žarki vzporedno z njeno osjo.

Žarek, ki pade na cisoido na eno točko pri parametru , se tu odbije po odbojnem zakonu. V

kolikor ima tangenta na cisoido v eni točki glede na njeno geometrijsko os naklonski kot ,

ima ta odbiti žarek glede na to os naklonski kot [20].

Določimo cisoidi parametrično enačbo:

In od tu dobimo

tan

tan

Določimo enačbo premice, ki je nosilka odbitega žarka v točki

43

Po preoblikovanju zgornje enačbe, dobimo enoparametrično družino premic v obliki

Z znanim postopkom dobimo ovojnico družine v parametrični obliki. Zapišemo enačbi:

Od tu izrazimo in kot funkciji parametra . Tako dobimo

Novi dobljeni krivulji določimo strmino tangente:

Iz zgornje enačbe vidimo, da ima krivulja ost z vodoravno tangento v točki in navpično

tangento pri

Slika 28: Katakavstike Dioklove cisoide, vzporedne z njeno osjo.

44

Zgornja slika nam kaže, kako nastanejo odbiti žarki. Pri nastanku novih odbitih žarkov,

nastane tudi nova krivulja.

V nadaljevanju si bomo pogledali, kaj se zgodi z Dioklovo cisoido, ko nanjo padajo žarki iz

točke . Naklonski kot tangente na cisoido v točki ter naklonski kot skozi točko

sta podana z relacijama, ki ju dobimo po preoblikovanju enačbe [20]

tan

tan

Naklonski kot odbitega žarka izrazimo kot . To izrazimo s pomočjo adicijskega

izreka za funkcijo tangens [20]

tan tan tan tan

tan tan tan

Nazadnje dobimo

tan

Potem je enačba premice nosilke odbitega žarka v točki

Ko to enačbo premic preoblikujemo, dobimo enoparametrično družino premic v naslednji

obliki [20]

Določimo ovojnico družine v parametrični obliki:

Iz ovojnice družine lahko izrazimo in kot funkciji parametra . To vnesemo in dobimo

45

Vemo, da nova krivulja poteka skozi točko tako da je strmina njene tangente izražena z

Strmina je enaka pri in . Za polarni radij dane točke dobimo

Za polarni kot pa

cos

sin

Od tu sledi, da je

cos

In lahko enačbo iskane krivulje zapišemo v polarnih koordinatah [20]

cos

Zgornja enačba je enačba kardioide v polarni obliki. Oblika kardioide je enaka kot kaže

spodnja slika nastanka katakavstike cisoide za snop žarkov iz točke .

46

Slika 29: Katakavstike Dioklove cisoide za snop žarkov iz točke (8a,0).

47

11 UPORABA V ŠOLI

Ko učenci v osnovni šoli spoznajo krožnico in vse njene lastnosti, bi lahko 2 šolski uri

posvetili za dodatno znanje o drugih ravninskih krivuljah, kjer bi izpostavili tudi Dioklovo

cisoido.

Spoznavanje Dioklove cisoide bi lahko povezali tako z matematiko kot tudi s predmetom

Tehnika in naravoslovje. Učenci bi najprej spoznali, kako s pomočjo konstrukcije pridejo do

končne rešitve oziroma do Dioklove cisoide, nato bi ta potek lahko prikazali tudi na izdelku iz

lesa.

Danes se učenci največ naučijo, ko jim matematične probleme prodajaš s primeri iz

vsakdanjega življenja. Tako bi jim pokazala bršljanov list in začela z vprašanji, kaj vse vedo o

bršljanu, jim tudi povedala zanimivosti tega lista. Na podlagi vseh odgovorov bi učencem

usmerila k tematiki, da bodo takšno obliko lista tudi narisali, vendar z natančno konstrukcijo.

Po uvodni motivaciji bi vsak učenec dobil učni list s podano nalogo. Vsak učenec bi moral

imeti s seboj ravnilo, šestilo in svinčnik. Preden bi učenci začeli z reševanjem, bi ponovno

ponovili osnovne lastnosti krožnice. V nadaljevanju je napisan primer učnega lista:

Narišite koordinatni sistem. V koordinatnem sistemu konstruirajte krožnico s polmerom

cm. Na to krožnico narišite tangento v točki . Iz točke poljubno narišite

poltrak tako, da seka tangento. Novo dobljeno točko označite z . Razdaljo med točko in

točko na krožnici (poltrak) s pomočjo šestila odmerite in nanesite na poltrak iz točke .

Novo točko označite poljubno. Narišite še 5 takšnih poltrakov. Vse novo nastale točke med

seboj povežite. Kaj ugotovite?

Pri sami konstrukciji, bi učencem postopoma pomagala. Ko bi narisali krožnico, tangento ter

poltrak, bi začeli nanašati razdaljo. Tu bi ponovili, na kakšen način se s pomočjo šestila

nanaša razdalja in kako se označi nova dobljena točka. Učenci bi narisali 5 poltrakov, dobili

različne točke. Ko bi to vsi narisali, bi vsem pokazala, kako povežejo te točke med seboj.

Podobno bi naredili tudi v spodnjem delu krožnice. Ko bi vse te točke povezali, bi učenci

videli, da dobijo obliko bršljana tako imenovano Diklovo cisoido.

48

Za diplomsko delo sem ta učni list dala 3 učencem iz treh različnih osnovnih šol brez dodatne

razlage. Moj cilj je bil, da bi videla, kakšne bodo razlike med njihovimi slikami. V

nadaljevanju so prikazani končne rešitve 3 učencev.

Slika 30: Konstrukcija cisoide 1. učenca

49

Slika 31: Konstrukcija cisoide 2. učenca

Slika 32: Konstrukcija cisoide 3. učenca

50

Ko sem dobila rešitve, sem takoj opazila, da sta 2 učenca narisala krivuljo s prosto roko

medtem ko je drugi en del cisoide narisal z ravnilom. Opazimo tudi, da 1. učenec ni dobro

prebral navodilo, saj je narisal krožnico s premerom cm in ne s polmerom. Pri 1. učencu

manjkajo oznake pravega kota, oznaka vseh točk….Na podlagi teh treh slikic se lahko vsi

učitelji naučimo to, da se učenci na lastnih napakah še največ naučijo. Tako bi vsi učenci pri

spoznavanju Dioklove cisoide spoznali, da je gre to za ravninsko krivuljo, ki je ukrivljena in

da vse nastale točke narišejo s prosto roko.

Na podlagi narisanega bi učenci lahko drugo šolsko uro posvetili izdelavi modela Dioklove

cisoide iz lesa. Spodnja slika prikazuje, na kakšen način bi lahko učenci sestavili model. To

bo lahko predstavili na večjo beli površini in bi didaktično narisali različne dobljene točke in

jih povezali v ravninsko krivuljo t.i. Dioklovo cisoido.

Slika 33: Model Dioklove cisoide [32]

Dioklova cisoida bi bila zelo uporabna pri poučevanju matematike in tudi pri predmetu

Tehnike in naravoslovja. Pri odkrivanju nove krivulje bi učenci še enkrat ponovili vse

lastnosti krožnice in premic in sami prišli do krivulje III. reda. Če bi učitelji imeli več

dodatnega časa za popestritev matematičnih ur, bi lahko učencem pokazali, kako je

matematika res zanimiva in da s poigravanjem z različnimi krivuljami nastanejo nove krivulje

(zanimivost dveh parabol, ki se stikata v eni točki. Ko bi eno zakotalili po drugi, bi

posamezne točke potovale po drugi krivulji).

51

12 ZAKLJUČEK

V diplomskem delu sem predstavila Dioklovo cisoido in kako iz Dioklove cisoide dobimo

druge krivulje. Pri nastajanju nove krivulje sem si pomagala s programom GeoGebra. S

programom sem najprej preučila, kakšna oblika Dioklove cisoide nastane s pomočjo

, , , in . V programu

sem spreminjala tudi izvor snopa svetlobnih žarkov in tako sem dobila različne oblike

katakavstik. Na koncu sem se omejila na katakavstike Dioklove cisoide, ko nanjo padajo žarki

vzporedno z njeno simetralo.

Učencem v osnovni in srednji šoli lahko na preprost način prikažemo nastanek

Dioklove cisoide. Otroci lahko tudi s pomočjo uporabe tehnike osvojijo znanje in izdelajo

nastanek te ravninske krivulje. Gre torej za zanimivo ravninsko krivuljo, ki jo po naših

gozdovih v obliki bršljana ne manjka.

Vse slike, ki pripomorejo k boljši razlagi, so narisane v matematičnem programu

GeoGebra. Pri navajanju grških imen in izrazov sem se sklicevala na Grško-slovenski slovar.

52

VIRI IN LITERATURA

[1] Starogrška matematika,

http://www.educa.fmf.uni-lj.si/izodel/ponudba/1996/zvanut/grkibes.htm (01.07.2016)

[2] Hladnik M., Zgodovina matematike, Zapiski predavanj, Ljubljana, 2013.

[3] Pavlič G., Kako podvojiti kocko?, Presek, 7(1979/1980), št. 2, str. 77 – 80.

[4] Razpet M., Ravninske krivulje, DMFA Slovenija, Ljubljana, 1998.

[5] Podvojitev kocke, http://sl.wikipedia.org/wiki/Podvojitev_kocke (10.07.2016)

[6] Vidav I., Rešeni in nerešeni problemi matematike, Ljubljana, Mladinska knjiga, 2.

Ponatis, 1972.

[7] Doubling the cube,

http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Doubling_the_cube.html (30.07.2016)

[8] Hipokrat, https://sl.wikipedia.org/wiki/Hipokrat_(geometer) (01.08.2016)

[9] Menaechmus,

http://www-history.mcs.st-and.ac.uk//Mathematicians/Menaechmus.html (01.08.2016)

[10] Grško – slovenski slovar, http://www.dict.com/Grsko-slovenski (01.07.2016)

[11] Talesov izrek, https://sl.wikipedia.org/wiki/Talesov_izrek (01.07.2016)

[12] Cissode,

http://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/argoment/ParoleMate/Feb_11/Cissoide.h

tm (25.07.2016)

[13] Cissoid of Diocles,

http://xahlee.info/SpecialPlaneCurves_dir/CissoidOfDiocles_dir/cissoidOfDiocles.html

(15.07.2016)

[14] Kaliada O., Trije klasični grški problemi, Zaključna naloga, Koper, 2012, str. 3-8, 21,

22.

[15] Diocles, http://www.crystalinks.com/diocles.html (10.07.2016)

[16] Nelson D., The penguin dictionary of mathematics, 2.izd., Penguin books, 1998.

[17] Žakelj A. in ostali, Učni načrt – Matematika, Ministrstvo RS za šolstvo in šport, Zavod

RS za šolstvo, Ljubljana 2011.

[18] Vidav I., Algebra, DMFA, Ljubljana, 1989.

[19] Razpet M., Rešene naloge iz kompleksne analize, Študijsko gradivo, Pedagoška

fakulteta, Ljubljana, 2008.

[20] Razpet M., Dioklova cisoida, Študijsko gradivo, Pedagoška fakulteta, Ljubljana, 2013.

53

[21] Jerman M., O konstrukcijah z ravnilom in šestilom, Obzornik za matematiko in fiziko,

1998, let. 45, št. 3, str. 73–78.

[22] Bronštejn I. N. in ostali, Matematični priročnik, Tehniška založba Slovenije, Ljubljana

2009.

[23] Atanasov A., The Delian Problem, Columbia Science Review, 5(2): 27–29, 2009.

[24] Burton M. David, The History of Mathematics, McGraw-Hill, New York 2011.

[25] Starogrška matematika,

http://www.educa.fmf.uni-lj.si/izodel/ponudba/1996/zvanut/grkibes.htm#mesta

(05.08.2016)

[26] Hipokrat, https://sl.wikipedia.org/wiki/Hipokrat_(geometer) (05.08.2016)

[27] Grška mitologija, http://www.scoop.it/t/gr-ka-mitologija (05.08.2016)

[28] Kralj Minos, https://hr.wikipedia.org/wiki/Minos (05.08.2016)

[29] Klasični problem, http://www.jokelibrary.net/education/m2/m4cS-plato_ans.html

(05.08.2016)

[30] Pappus–Guldinovo pravilo, https://hr.wikipedia.org/wiki/Pappus-Guldinova_pravila

(10.08.2016)

[31] Srčnica, https://sl.wikipedia.org/wiki/Srcnica (15.08.2016)

[32] Cisoida, https://en.wikipedia.org/wiki/Cissoid_of_Diocles (15.08.2016)

[33] Tretjinjenje kota, https://sl.wikipedia.org/wiki/Tretjinjenje_kota (15.08.2016)

[34] Čabrič B., Trisekcija kota, Presek, 31(20032004). št. 5, str. 264-265.

[35] Evklidovi elementi,

http://www.educa.fmf.uni-lj.si/izodel/ponudba/1996/herman/SElemen.htm

[36] Fermatovo praštevilo, https://sl.wikipedia.org/wiki/Fermatovo_pra%C5%A1tevilo

(15.08.2016)

[37] Kadratura kroga, https://sl.wikipedia.org/wiki/Kvadratura_kroga (15.08.2016)

[38] Kavkler I., Potočnik P., Vadnal A., Leksikon matematika, Cankarjeva založba,

Ljubljana, 2008.

[39] Guljaš B., Matematička analiza I & II, predavanja, Zagreb, 2015.

[40] https://sl.wikipedia.org/wiki/Papos_Aleksandrijski (20.08.2016)

[41] https://sl.wikipedia.org/wiki/Sto%C5%BEec (20.08.2016)

[42] Andrejčič N., Katakavstike, diplomsko delo, Ljubljana, 2012.