Univerza v LjubljaniFakulteta za matematiko in fiziko

Oddelek za fiziko

Seminar

Aerodinamika vetrnic

Author: Matej Andrejašic

Mentor: Doc. Dr. Gregor Veble

4. junij 2008

Povzetek:

V seminarju je najprej predstavljena dvo-dimenzionalna aerodinamika krilnih profilov, ki nampove, kako pride do sil pri pretoku zraka okoli teh profilov. Pogledamo si osnovni principteorije tankih krilnih profilov za neviskozen tok, nato pa je vpeljan še viskozen tok. Sledijokoncna krila, kot so na primer elise vetrnice, in dalje dodamo še vrtenje vetrnice. Naslednjikorak je eno-dimenzionalna teorija gibalne kolicine za idealni rotor. Na koncu je predstavljenaše teorija gibalne kolicine elementov kraka propelerja, ki nam pove, kako izracunamo navor inpotisk izbrane oblike vetrnice.

1

1 UvodUgodnosti vetra so ljudje v zgodovini zaceli izkorišcati že zelo zgodaj. Uporabljali so ga kotpogonsko silo ladij na jadra, za mletje zrnja v mlinih na veter in za crpanje vode za namakanjepolj. V zacetku dvajsetega stoletja se je zacela uporaba elektrike in mlini na veter so postalielektricne turbine.

Eden izmed prvih ljudi, ki so povezali vetrnice z elektricnimi generatorji, je bil Poul la Courz Danske [1]. Naredil je tudi enega izmed prvih vetrovnikov na svetu, s katerim je raziskovalaerodinamiko vetrnic. Vetrnice sta nato pri pridobivanju elektrike zasencila dizelski motor inparna turbina. Pridobivanje energije s pomocjo vetra je zaradi pomanjkanja goriva spet napre-dovalo med obema svetovnima vojnama. Razvoj bolj ucinkovitih vetrnih elektrarn se je nadal-jeval tudi po drugi svetovni vojni. Prevladal je predvsem v vecjih državah, ki niso hotele bititoliko odvisne od uvoza nafte in premoga. Te države so na primer Nemcija, Francija, Anglija inDanska. Vetrne turbine so postale pomembna industrijska niša in kolicina energije pridobljenes pomocjo vetra se po vsem svetu vsako leto poveca za okoli 20% [1].

Vzporedno z razvojem vetrnih turbin je potekal tudi razvoj letal in krilnih profilov. Že leta1891 je Horatio Phillips z Anglije patentiral nekaj oblik krilnih profilov, ki jim je v svojemvetrniku izmeril aerodinamske karakteristike. Z aerodinamiko krilnih profilov in tudi celotnihkril se je veliko ukvarjal tudi nemški znanstvenik Ludwig Prandtl. Uvedel je debelejša krila,kot so bila uporabljena do tedaj in s tem povecal maksimalni vzgon kril. Njegovo delo indelo ostalih znanstvenikov, ki so se ukvarjali z aerodinamiko kril, so ljudje kasneje s pridomuporabili pri vetrnicah in tako zelo izboljšali izkoristke vetrnih elektrarn [2].

2 Krilni profiliNajprej si poglejmo osnovno dvo-dimenzionalno aerodinamiko krilnih profilov, ki nam pove,kako pride do sil pri pretoku zraka okoli elis vetrnice. Zaenkrat naj se vetrnica ne vrti.

Predstavljajmo si neskoncno dolgo krilo v smeri z (Slika 2.1a) s konstantnim precnim pre-rezom v ravnini (x, y). Temu prerezu pravimo krilni profil. Pogledali si bomo pretok okolikrilnega profila in zaenkrat zanemarili dogajanje na zacetku in na koncu krila, gledano v zsmeri. Privzemimo, da je komponenta hitrosti vetra v smeri z enaka nic.

Vse aerodinamske sile in navori, ki delujejo na poljubno telo zaradi toka zraka, imajo dvaosnovna izvora: porazdelitev tlaka po površini telesa p in porazdelitev strižnih sil (trenje) popovršini telesa τ (Slika 2.1b). Okolna tekocina deluje na telo le preko teh dveh mehanizmov.Obe porazdelitvi sta sili na enoto površine in ce ju integriramo po celotni površini, dobimoskupno aerodinamsko silo F in navor M , ki delujeta na telo, kot je narisano na Sliki 2.2a. Zaizracun sil potrebujemo le porazdelitvi tlaka p(s) in strižne napetosti τ(s) po telesu. Skupnoaerodinamsko silo toka zraka na krilni profil razdelimo na dve komponenti. Eno v smeri vpad-nega vetra V∞, to je upor D in drugo pravokotno nanj, vzgon L. V∞ je hitrost vetra dalec stranod telesa, torej kjer telo še ne vpliva nanj. Veter piha pod vpadnim kotom α glede na smer tetivekrilnega profila. c je dolžina tetive, torej dolžina med celom in repom krilnega profila [2].

Bolj temeljne in primerjalno primernejše kolicine, kot sta sila in navor, so brezdimenzijski

2

koeficienti vzgona, upora in navora na enoto dolžine elise [2]:

cL ≡L

12ρ∞V 2

∞c, cD ≡

D12ρ∞V 2

∞c, cM ≡

M12ρ∞V 2

∞c2, (1)

kjer je ρ∞ gostota zraka dalec stran od telesa.

Slika 2.1; a: Krilni profil krila letala ali elise vetrnice v obliki podaljšane solze. Okrog krilnega profila so narisanetokovnice toka zraka [1]. b: Dva osnovna izvora sil in navorov, ki delujejo na krilni profil, zaradi toka zraka okoli

profila: tlak p in trenje τ [2].

Tipicna odvisnost koeficienta vzgona od vpadnega kota cL(α), je narisana na Sliki 2.2b. cLse pri majhnih in srednjih vrednostih vpadnega kota α spreminja linearno. Pri takih vpadnihkotih se tok zraka gladko in tik ob površini premika okoli krilnega profila, kot je razvidno z levestrani Slike 2.2b. Ko pa α postane dovolj velik, se tok na zgornji strani odcepi od površine krilain povzroci turbulentno sled. To lahko vidimo na desni strani Slike 2.2b. Do odcepitve toka nazgornji strani krilnega profila pride zaradi viskoznosti toka. Posledica je nenadno zmanjšanjevzgona in povecanje upora.

Maksimalni koeficient vzgona cL,max je precej pomemben, saj je z njim definirana najmanjšamožna hitrost vetra Vmin, ki še poganja vetrnico s konstantno hitrostjo, oziroma najmanjšamožna hitrost letala, tako da je vzgon kril še ravno enak teži letala [2]:

Vmin =

√2L

cρ∞cL,max. (2)

Slika 2.2; a: Veter piha pod vpadnim kotom α glede na tetivo krilnega profila. Skupno silo F , ki jo ustvarja,razdelimo na vzgon L in na upor D [1]. b: Odvisnost koeficienta vzgona cL od vpadnega kota α toka na krilni

profil. Pri majhnih vpadnih kotih imamo linearno odvisnost, pri vecjih pa ima koeficient zaradi viskoznih pojavovpadec [2].

3

Veliko raziskav je namenjenih povecanju cL,max. Ce se pri odvisnosti cL(α) (Slika 2.2b)premaknemo k manjšim vpadnim kotom, opazimo, da je pri α = 0 koeficient vzgona še vednovecji od nic. Koeficient vzgona je enak nic šele pri nekem negativnem vpadnem kotu αL=0. Zasimetricen krilni profil (simetricen glede na tetivno premico) velja seveda αL=0 = 0. S teorijotankih krilnih profilov lahko precej natancno dolocimo naklon a0 linearnega dela cL(α) in tudivpadni kot αL=0. Za izracun cL,max pa je potrebno upoštevati še viskoznost [2].

2.1 Teorija tankih krilnih profilovPoglejmo si princip teorije, ki obravnava nestisljiv in neviskozen tok okoli krilnega profila. Ševedno imamo neskoncno krilo s krilnim profilom poljubne oblike in debeline. Krilo ima tik obpovršini tanko mejno plast, kjer pride pri obtoku zraka okoli njega do vrtincenja zaradi trenjamed krilom in zrakom. To mejno plast modeliramo z neskoncnim številom vzporednih vrtincnihniti okrog krila (Slika 2.3a) [2]. Ce definiramo γ kot porazdelitev cirkulacije po dolžini profila,potem je skupna cirkulacija enaka

Γ =

∮γ(s)ds, (3)

kjer integriramo okrog celotnega profila. Po teoremu Kutta-Jukowski [2] izracunamo celotenvzgon krilnega profila kot

L = ρ∞V∞Γ. (4)

Glavni princip je, da izracunamo γ = γ(s) iz pogoja, da postane površina profila tokovnicatoka zraka, ki tece mimo krila. Lahko si pomagamo z numericno ’vortex panel’ metodo [2],pri tankih krilnih profilih pa uporabimo teorijo tankih krilnih profilov. V tem primeru opišemokrilni profil samo z eno površino vrtincnih niti (Slika 2.3b). Ta površina leži ravno na polovicimed zgornjo in spodnjo ploskvijo krila [2].

Slika 2.3; a: Cirkulacijo v mejni plasti krilnega profila modeliramo z vrtincnimi nitmi po celotni površini [2]. b:Tanek krilni profil modeliramo samo z eno ravnino vrtincnih niti y = y(x) [2].

Sedaj potrebujemo še dodaten pogoj, ki pripiše cirkulacijo Γ našemu izbranemu krilnemuprofilu pri dolocenemu vpadnemu kotu α. Temu dodatnemu pogoju recemo Kutta pogoj. Le tapravi, da je vzpostavljena Γ ravno takšna, da tok zraka okoli profila gladko zapusti rep profila.To pomeni, da sta, ce je rep zelo ozek, na koncu repa hitrosti z zgornje in spodnje strani profilaenaki in enako usmerjeni. Ce pa je rep širok, je v tocki na koncu repa hitrost toka enaka nic.

4

Tok namrec hkrati ne more imeti v isti tocki dveh razlicnih smeri in velikosti. To lahko strnemov Kutta pogoj γ(RKP ) = 0, kjer je RKP tocka cisto na koncu repa krilnega profila [2].

Od kje pa pride sploh ta cirkulacija? Ko je zrak okoli krilnega profila pri miru, je cirkulacijaprofila enaka nic. Ko pa poženemo tok, ima le ta na koncu repa profila precej vecjo hitrosts spodnje strani, kot pa z zgornje (Slika 2.4b). Ta gradient hitrosti povzroci, da se tok zarepom zavrtinci v obratni smeri urinega kazalca: nastane zacetni vrtinec. Gradient hitrostipocasi izgine, tako da tok z obeh strani gladko zapusti krilo - Kutta pogoj (Slika 2.4b). Ker semora cirkulacija ohranjati, nastane poleg zacetnega vrtinca še enako velik, a nasprotno usmerjenvrtincni tok okoli profila s cirkulacijo Γ. Zacetni vrtinec odide s tokom naprej [2].

Slika 2.4; a: Okoli krilnega profila poženemo tok. Gradient hitrosti na repu krilnega profila povzroci zacetnivrtinec [2]. b: Gradient hitrosti pocasi izgine, tako da tok z obeh strani gladko zapusti krilo - Kutta pogoj. [2].

Najprej moramo s teorijo tankih krilnih profilov izracunati γ(s). Ce hocemo, da postanepovršina krilnega profila tokovnica toka zraka, potem mora biti vsota hitrosti v smeri normalnona tokovnico v vsaki tocki tokovnice ob vsakem casu enaka nic, torej V∞,n + w′(s) = 0. Tu jeV∞,n normalna komponenta hitrosti zunanjega toka in w′(s) hitrost inducirana zaradi vrtincnihniti. Osnova teorije tankih kril je sedaj reševanje te enacbe, kjer pa upoštevamo Kutta robnipogoj γ(RKP ) = 0. Ko dobimo rešitev [2], lahko prek Enacbe 3 dobimo skupno cirkulacijoza tanka krila kot

Γ = cV∞

(πA0 +

π

2A1

), (5)

kjer sta

A0 = α− 1

π

∫ π

0

dy

dxdΘ0, An =

2

π

∫ π

0

dy

dxcos(nΘ0)dΘ0. (6)

Uporabimo Enacbi 1 in 4 in od tu dobimo za koeficient vzgona

cL = 2π

(α +

1

π

∫ π

0

dy

dx(cos(Θ0)− 1)dΘ0

), (7)

za navor pacM,c/4 =

π

4(A2 − A1). (8)

Navor je izracunan glede na tocko, ki je za c/4 oddaljena od cela krilnega profila. Za naklon a0

linearnega dela pri cL(α) in za vpadni kot, pri katerem je vzgon enak nic [2] dobimo

a0 =dcLdα

= 2π, αL=0 = − 1

π

∫ π

0

dy

dx(cos(Θ0)− 1)dΘ0). (9)

5

Naklon a0 za razliko od koeficienta vzgona ni odvisen od oblike profila. Za simetricen profilse koeficient vzgona poenostavi v cL = 2πα, koeficient navora pa v cM,c/4 = 0. Takšen krilniprofil se vecinoma uporablja pri repih letal in pri elisah helikopterjev. S to teorijo dobimo precejdobre rezultate za profile z debelino pod 0.12c. Primerjava teoreticnih (za neviskozne tekocine)in izmerjenih vrednosti za koeficienta vzgona in navora pri krilnem profilu NACA2412 jeprikazana na Sliki 2.5a. Eksperimentalni rezultati so podani za dve razlicni Reynoldsovi številiRe. Opazimo lahko, da sta naklon a0 in koeficient navora cM (razen pri velikih α) neodvisna odRe, cL,max pa je precej odvisen od Re. To je razumljivo, saj je cL,max omejen zaradi viskoznosti[2].

Slika 2.5; a: Primerjava izmerjenih in teoreticnih vrednosti za koeficienta vzgona in navora pri krilnem profiluNACA2412. Navor je izracunan glede na tocko, ki je za c/4 oddaljena od cela krilnega profila. Eksperimentalni

rezultati so podani za dve razlicni Reynoldsovi števili Re [2]. b: Izmerjena odvisnost koeficienta upora odvpadnega kota. To odvisnost lahko napovemo šele, ko vpeljemo viskoznost toka [2].

2.2 Viskozen tokDo vzgona krila pride predvsem zaradi tlacnih razlik, medtem ko je trenje med zrakom in krilomv smeri vzgona vecinoma zanemarljivo. Kako je pa z uporom? Ce uporabimo enako teorijo zaizracun upora, kot smo jo sedaj za vzgon, dobimo rezultat, da je upor enak nic.

Temu pravimo d’Alembertov paradoks [2]. Šele ko vpeljemo viskozen tok, rešimo paradoks.Viskoznost toka igra kljucno vlogo pri uporu in na telo deluje preko dveh mehanizmov: uporzaradi trenja med zrakom in telesom (strižne sile) in upor zaradi tlacnih razlik, ki nastanejo priodcepitvi toka zraka od telesa. Poglejmo si oba mehanizma.

Ko tok zraka drsi okoli elise, pride do trenja med njima, kar zmanjša njuno relativno hitrost.Telo pri tem cuti strižno silo v smeri tangencialno na površino. Ta sila na enoto površine jedefinirana kot

τ(s) = µ∂V

∂n|n=0, (10)

6

predstavljena na Sliki 2.6a. µ je viskoznost toka, n pa koordinata normale na površini telesa.Tudi telo deluje na zrak z nasprotno enako silo, torej v mejni plasti zaustavlja tok (izsek (a) naSliki 2.5a). Viskoznost toka povzroci hitrostni gradient ∂V/∂n. Hitrost toka v tocki tik nadpovršino je Vn=0 = 0 [2].

Predstavljajmo si delcek toka, ki se premika vzdolž površine telesa v mejni plasti, kot jenarisano na spodnjem delu Slike 2.6b. V tocki s1 ima delcek hitrost V1. Predpostavimo, da sepritisk toka na površino telesa vzdolž toka povecuje (zgornji del Slike 2.6b). Takemu obmocjupravimo obmocje pozitivnega gradienta pritiska. Že tako je hitrost delcka toka zmanjšana zaradistrižnih sil, tlacni gradient še dodatno zaustavlja delcek. Zaradi tega je njegova hitrost v tockis2 manjša kot prej, V2 < V1. Delcek se lahko zaradi tlacnega gradienta tudi zaustavi, oziromazacne celo potovati v nasprotni smeri toka (tocka s3). Posledice takšnega nasprotnega tokase vidijo na Sliki 2.6a in sicer kot odcepitev toka tekocine od površine telesa, kar povzrociturbulentno sled za krilnim profilom. Tocka odcepitve (izsek (b) na Sliki 2.6a) se zgodi, ko je∂V/∂n = 0 na površini telesa [2].

Slika 2.6; a: Odcepitev toka, ki nastane kot posledica viskoznosti toka [2]. b: Poleg trenja je na zgornji stranikrilnega profila tudi pozitiven gradient tlaka, kar povzroca dodatno zaustavljanje delcev toka [2].

Ko pride do odcepitve toka, se porazdelitev tlaka po zgornji površini krila precej spremeni.Pritisk je na zadnjem koncu krilnega profila pri odcepljenem toku manjši kot pri neodcepljenem.Ta pritisk ne iznicuje vec pritiska na celu krilnega profila v vodoravni smeri. Tako dobimo tlacnerazlike v vodoravni smeri in drugo komponento upora [2].

3 Koncna krilaDo sedaj smo govorili o lastnostih krilnih profilov. Le te so enake lastnostim neskoncnih krilz nespremenljivim krilnim profilom po dolžini. Realna krila pa imajo koncno dolžino, spre-menljivo debelino, dolžino tetive c in morda celo obliko krilnega profila. Tok zraka prek krilasedaj obravnavamo kot tri-dimenzionalen, saj imamo komponento hitrosti tudi v smeri z. Pres-edlali bomo iz koeficientov na enoto dolžine cL in cD, na koeficiente na enoto površine kril CLin CD.

7

Kot smo že povedali, do vzgona krila pride, ker je skupen pritisk toka zraka na krilo vvertikalni smeri na spodnji strani krila vecji kot na zgornji. Zaradi te razlike pritiska pa zrakna koncih kril uhaja iz spodnje strani na zgornjo (Slika 3.1a). Zaradi tega uhajanja toka setokovnice na zgornjem delu krila zamaknejo od konic kril proti zacetku kril, na spodnji stranipa ravno obratno. Dobimo torej komponento hitrosti v smeri vzdolž kril [2]. To uhajanje paima še eno posledico. Na koncih kril se vzpostavijo vrtincasti tokovi, ki zapušcajo krilo (Slika3.1b, Slika 3.2c). Tem vrtincem pravimo prosti vrtinci [1].

Slika 3.1; a: Zaradi vecjega pritiska na spodnji kot na zgornji strani krila, pride do uhajanja toka okoli roba krila[2]. b: Zaradi uhajanja toka dobimo za krilom prosto vrtincnost [2].

Prej smo krilne profile za majhne vpadne kote modelirali z vezanimi vrtinci s cirkulacijo Γ.Iz nje smo izracunali vzgon. Ti vezani vrtinci so imeli smer vzdolž kril. Po Helmholtzovemteoremu o vrtincnosti pa se vrtincnost ne more kar nehati na koncu krila, pac pa se mora nekjezakljuciti (ali nadaljevati v neskoncnost) [2], kot je narisano na Sliki 3.2a. Na tej sliki so nar-isane vrtincne niti s cirkulacijo Γi v krilu, ki predstavljajo vezane vrtince. Nato se vrtincne nitinadaljujejo izven krila, približno pravokotno na krilo, kjer predstavljajo proste vrtince. Dalecza krilom se te vrtincne niti združijo, kar predstavlja zacetni vrtinec. Ta model, ki predvidevadiskretne vrtincne niti se imenuje teorija vzgonske crte (ang. „lifting line theory“). Vezane nitimodelirajo vzgon, proste niti pa modelirajo vrtincenje na robu krila [1].

Po Biot-Savartovem zakonu proste vrtincne niti inducirajo dodatno komponento hitrostinavpicno navzdol po celotni dolžini krila. Inducirana hitrost ~wi je za eno vrtincno nit na tocki penaka (Slika 3.3a)

~wi =Γi4π

∮~r × ~ds

|~r|3. (11)

Celotno inducirano hitrost dobimo s seštevanjem prispevkov vseh niti. Zaradi ~wi se efektivnivpadni kot toka na krilo spremeni za αi. Efektivni vpadni kot postane tako αe = αg − αi.Efektivna hitrost vpadnega vetra ~Ve je sedaj vektorska vsota hitrosti vetra ~V∞ in induciranehitrosti ~w (Slika 3.3b) [1].

8

Slika 3.2; a: Vezane in proste vrtincne niti ter zacetni vrtinec so po Helmholtzovem teoremu povezane [1]. b: Vresnici se proste vrtincne niti zavijejo med sabo in zgledajo bolj temu podobno [1]. c: Letalo je zapeljalo skozi

dimne bombe. Lepo so vidni nastali prosti vrtinci za letalom [3].

Slika 3.3; a: Biot-Savartov zakon za inducirano komponento hitrost wi [1]. b: Inducirana hitrost spremeniefektivni vpadni kot toka. Zato dobimo dodatno komponento upora - induciran upor Di [1].

Novi vektor vzgona je sedaj pravokoten na smer efektivne hitrosti vetra, torej je od prejšnjesmeri odmaknjen za kot αi. Tako dobimo dodaten vektor v smeri ~V∞, kateremu pravimo in-duciran upor Di. Sedaj imamo torej že tri komponente upora: upor zaradi strižnih sil - trenje,upor zaradi tlacnih razlik in inducirani upor zaradi inducirane hitrosti [1].

V teoriji vzgonske crte torej predvidevamo, da je komponenta hitrosti ~w vzdolž krila precejmanjša od hitrosti precno na krilo. Zato lahko za opis tri-dimenzionalnega toka okoli koncnihkril uporabimo lastnosti dvo-dimenzionalnih krilnih profilov, kjer spremenimo vpadni kot zaαi. Ta privzetek je precej tocen za dolga, tanka krila, kot jih ima na primer jadralno letalo ali pavetrnica [1].

4 Vrteca se vetrnicaRotor vetrnice je sestavljen iz vecjega števila elis. Preseki teh elis so krilni profili. Ce sipogledamo presek rotorja na razlicnih oddaljenostih r od osi rotorja (Slika 4.1a), dobimo sekvencokrilnih profilov (Slika 4.1b) [1].

9

Slika 4.1; a: Rotor vetrnice [1]. b: Presek rotorja na oddaljenosti r od osi rotorja. Narisani so vektorji hitrostivetra, vrtenja rotorja in njuna vsota [1].

Veter piha s hitrostjo Va pravokotno na rotor, vendar pa se vpadni kot na krilni profil spre-meni, saj se rotor vrti s hitrostjo Vrot. Vpadni kot je poleg obeh hitrosti odvisen še od kotanaklona elis glede na rotacijsko ravnino Θ [1]. Vpadni kot izracunamo iz

α = Φ−Θ, (12)

kjer je

Φ = arctan

(Va

Vrot

). (13)

Podobno kot pri krilih tudi pri vetrnicah pride do prostih vrtincev na koncu elis in do dodat-nih komponent hitrosti, le da moramo upoštevati še vrtenje vetrnice. Proste vrtincne niti imajospiralno obliko za rotorjem (Slika 4.2a). Prvo dodatno komponento hitrosti dobimo v aksialnismeri v nasprotni smeri hitrosti vetra, drugo pa v tangencialni smeri v nasprotni smeri vrtenjaelis rotorja (Slika 4.2b). Privzemimo sedaj, da ima rotor neskoncno število elis (rotor si pred-stavljamo kot poln disk), zato da je inducirana hitrost v azimutalni smeri konstantna in odvisnasamo od radija r. Inducirani hitrosti dolocimo skozi aksialni inducirani koeficient a kot aV0,kjer je V0 nemotena hitrost vetra, in s pomocjo tangencialnega induciranega koeficienta a′ kota′ωr, kjer je ω kotna hitrost rotorja [1].

Slika 4.2; a: Proste vrtincne niti imajo spiralno obliko za rotorjem [1]. b: Inducirani hitrosti toka aV0 in a′ωrzaradi prostih vrtincev in vrtenja rotorja [1].

10

Ce poznamo a in a′ lahko iz Enacb 12 in 13 izracunamo vpadni kot, kjer upoštevamo še

Va = (1− a)V0, Vrot = (1 + a′)ωr. (14)

Ce poznamo še koeficiente CL(α) in CD(α) za uporabljene krilne profile, lahko izracunamoporazdelitve sil, iz njih pa še izhodno moc vetrnice. a in a′ izracunamo s pomocjo teorijegibalne kolicine elementov kraka propelerja (ang. „blade element momentum method“)[1].

5 Eno-dimenzionalna teorija gibalne kolicine za idealni rotorPreden se lotimo izpeljave teorije gibalne kolicine elementov kraka propelerja, si poglejmoenostaven eno-dimenzionalen model za idealen rotor. To pomeni, da ne upoštevamo viskoznostitoka in za rotorjem nimamo rotacijske komponente hitrosti toka. Vetrnica odvzame kineticnoenergijo vetru in jo pretvori v rotacijsko energijo vetrnice.

V tej enostavni eno-dimenzionalni teoriji je rotor prepusten disk. Tokovnice okrog rotorjaso narisane na Slika 5.1. Zaradi privzetkov za idealni rotor, lahko pridemo do zvez med hitrostjotoka pred in za rotorjem, potiskom T in absorbirano mocjo P . Potisk je sila rotorja na tok, dokatere pride zaradi padca tlaka ∆p na rotorju, in njena posledica je zmanjšanje hitrosti tokavetra z V0 na u1: T = ∆pA, kjer je A = πR2 površina diska [1].

Slika 5.1; Rotor opišemo z idealnim, prepustim diskom. Hitrost toka se zmanjša z V0 na u pri rotorju in naprej nau1 dalec za rotorjem. Pritisk toka pa se pred diskom najprej rahlo poveca, nato pade za ∆p in nazaj poveca na

atmosferskega p0 [1].

Privzamemo, da je tok stacionaren, nestisljiv in neviskozen in da na tok tekocine v smeripravokotno na rotor ne deluje nobena dodatna zunanja sila. Torej veljata Bernoullijevi enacbiza tocki dalec pred in tik pred rotorjem ter za tocki tik za in dalec za rotorjem:

p0 +1

2ρV 2

0 = p+1

2ρu2, p−∆p+

1

2ρu2 = p0 +

1

2ρu2

1. (15)

Ti dve enacbi lahko združimo v∆p =

1

2ρ(V 2

0 − u21). (16)

11

Iz enacbe ohranjanja gibalne kolicine v integralski obliki po volumnu okrog rotorja (crtkanacrta na Sliki 5.1) cv, kjer je A površina rotorja, dobimo

ρu21A1 + ρV 2

0 (Acv − A1) + mrobV0 − ρV 20 Acv = −T. (17)

Iz enacbe za ohranjanje mase dobimo mrob = ρA1(V0 − u1), uporabimo še enacbo za potiskT = ∆pA in dobimo zanimivo zvezo

u =1

2(V0 + u1). (18)

Hitrost v ploskvi rotorja je torej povprecje hitrosti vetra V0 in hitrosti toka dalec za rotorjem u1.Ce sedaj vzamemo drugacen volumen okrog rotorja - po zunanji tokovnici - in ce upoštevamo,da se notranja energija toka ni spremenila, dobimo s pomocjo energijske enacbe zvezo za mocna rotorju

P =1

2ρuA(V 2

0 − u21). (19)

Sedaj upoštevamo definicijo aksialnega induciranega faktorja u = (1− a)V0 in Enacbo 18in dobimo enacbi za moc in potisk

P = 2ρV 30 a(1− a)2A, T = 2ρV 2

0 a(1− a)A. (20)

Razpoložljiva moc vetra na ploskvi A je P = (1/2)ρV 30 A in glede na to lahko vpeljemo brezdi-

menzijske koeficiente za moc in za potisk

CP =P

12ρV 3

0 A= 4a(1− a)2 (21)

inCT =

T12ρV 2

0 A= 4a(1− a) (22)

S Slike 5.2a lahko vidimo, da je teoreticen maksimum CP,max = 16/27 pri a = 1/3. Talimita je znana kot Betzova limita. Eksperimenti so pokazali, da sta enacbi za CP in CT veljavnile za koeficiente a < 0.4 [1]. To je zato, ker postane površina s prostimi vrtinci za rotorjemnestabilna, ko postane skok V0 − u1 prevelik. Pri tem se pojavijo dodatni vrtinci, ki prenašajogibalno kolicino iz zunanjega toka v tok za rotorjem [1].

Sedaj lahko zopet dodamo posledice rotacije. Pri idealnem rotorju nismo imeli rotacije tokaza rotorjem, torej a′ = 0. Pri realnem pa to ni res in ko upoštevamo še rotacijo toka, se koeficientza moc spremeni v [1]

CP =8

λ2

∫ λ

0

a′(1− a)x3dx, (23)

kjer so nove spremenljivke λ = ωR/V0 in x = ωr/V0. Ce hocemo optimirat moc, mora bitiizraz f(a, a′) = a′(1− a) cim vecji. Iz maksimuma te enacbe in iz enacb za kot Φ s Slike 4.2btanΦ = a′x/a, tanΦ = (1− a)/[(1 + a′)x] dobimo zvezo

a′ =1− 3a

4a− 1. (24)

12

Izracuni nam povedo, da se a bolj približa optimalni vrednosti 1/3, vecja kot je ω in s temx in λ. Ce sedaj s pomocjo vseh teh enacb izracunamo koeficient moci Cp v odvisnosti od λ,dobimo Sliko 5.2b. Hitreje kot se vrti rotor, manjše so izgube zaradi rotacije toka za rotorjem[1].

Slika 5.2; a: Odvisnost koeficientov moci in potiska od aksialnega induciranega koeficienta a. Teoreticenmaksimum CP,max = 16/27 je pri a = 1/3 [1]. b: Koeficient moci Cp v odvisnosti od λ [1].

6 Teorija gibalne kolicine elementov kraka propelerja (ang.„blade element momentum method - BEM“)

V eno-dimenzionalni teoriji gibalne kolicine nismo upoštevali dejanske oblike rotorja, torej neštevila elis, ne nagiba, ne debeline in ne uporabljenega krilnega profila. BEM združuje eno-dimenzionalno teorijo gibalne kolicine z lokalnimi dogodki na elisah. Celoten tok skozi rotorpri teoriji gibalne kolicine elementov kraka propelerja je razdeljen na N obrocastih odsekovdebeline dr, kot je prikazano na Sliki 6.1a. Zunanje meje teh odsekov so omejene s tokovnicami,torej ni tokov prek teh mej.

BEM model privzame naslednje trditve za posamezen odsek toka: 1. Ni radialne odvisnosti.Kar se zgodi v enem odseku toka, ne vpliva na drugega. 2. Sile elis, ki delujejo na tok, so vvsakem obrocu po celotnem obrocu konstantne, kar se ujema z rotorjem z neskoncnim številomelis. S tem privzamemo tudi, da se elise ne motijo med sabo.

Enacbi za T in P ( 20) lahko uporabimo za vsak odsek toka in še s pomocjo enacb dP =ωdM , u1 = (1− 2a)V0 in Enacbe 24 dobimo za navor in potisk odseka rotorja na tok

dT = 4πrρV 20 a(1− a)dr, dM = 4πr3ρV0ωa

′(1− a)dr. (25)

Vzgon in upor sta v smeri vzporedno in pravokotno na relativno hitrost vetra, ki jo vidi rotor.Nas pa zanimajo sile pravokotno in normalno na ravnino rotorja FN in FT , kot je narisano naSliki 6.1b.

Za brezdimenzijske koeficiente teh dveh sil velja

CN =FN

12ρV 2

relc= CL cos Φ + CD sin Φ, CT =

FT12ρV 2

relc= CL sin Φ− CD cos Φ. (26)

13

Iz Slike 4.2b dobimo zvezi Vrel sin Φ = V0(1− a) in Vrel cos Φ = ωr(1 + a′). FT in FN stasili na enoto dolžine, zato velja na vsak odsek našega kontrolnega volumna tudi dT = BFNdrin dM = rBFTdr, kjer je B število elis. Sedaj združimo vse te enacbe in izenacimo z že prejnapisanima izrazoma za dT in dM in dobimo

a =1

[(4 sin2 Φ/σCN) + 1](27)

ina′ =

1

[(4 sin ΦcosΦ/σCT )− 1], (28)

kjer je σ = c(r)B/(2πr).

Slika 6.1; a: Odsek toka debeline dr, ki precka ravnino rotorja, omejujejo tokovnice [1]. b: Namesto vzgona inupora nas sedaj zanimajo sile v smeri pravokotno in normalno na ravnino rotorja FN in FT [1].

Sedaj lahko napišemo kako zgleda algoritem BEM metode. Za vsak radij velja sledecazanka:korak 1: dolocimo zacetni a in a′, ponavadi a = a′ = 0.korak 2: izracunamo kot Φ s pomocjo Enacbe 13,korak 3: izracunamo lokalni vpadni kot α s pomocjo Enacbe 12,korak 4: preberemo tabelirane koeficiente CL(α) in CD(α) za uporabljen krilni profil,korak 5: izracunamo koeficienta CN in CT s pomocjo Enacb 26,korak 6: izracunamo a in a′ s pomocjo Enacb 27 in 28,korak 7: ce sta se a in a′ spremenila za vec kot doloceno, pojdi na korak 2, drugace koncaj.korak 8: Izracunaj lokalne sile na segmente elis.

Primer izracuna je prikazan na Sliki 6.2. Te sile je potrebno potem še sešteti. To je vprincipu osnova BEM metode. Ce hocemo dobiti boljše rezultate, pa moramo vpeljati še dvapopravka. Prvemu recemo Prandtlov faktor izgub na koncih, ki popravi privzetek o neskoncnemštevilu elis, drugi pa je Glauertov popravek. Slednji je empiricna odvisnost med koeficientompotiska CT za inducirane faktorje a, vecje od približno 0.4, kjer relacija izpeljana z enostavnoeno-dimenzionalno teorijo gibalne kolicine ne velja vec.

14

Pri popravku Prandtlov faktor izgub na koncih vpeljemo faktor F = (2/π) cos−1(e−f ), kjerje f = (B/2)(R− r)/(r sin Φ). Koeficienta a in a′ se tako spremenita v

a =1

[(4F sin2 Φ/σCN) + 1], a′ =

1

[(4F sin Φ cos Φ/σCT )− 1]. (29)

V zgornjem algoritmu vkljucimo torej še izracun faktorja F .

Slika 6.2; Izracunana sila FT za vsak odsek elise. Na zadnjem delu elise so vecje sile [1].

7 ZakljucekSedaj, ko imamo izpeljan osnovni princip BEM metode, s katerim dolocimo navor in potiskvetrnice, lahko izracunamo še odvisnost moci vetrnice od hitrosti vetra P (V0) in dalje oceno zaletno proizvodnjo vetrne energije. Kot smo lahko videli iz seminarja, je natancnost rezultatovprecej odvisna od tabeliranih brezdimenzijskih koeficientov vzgona in upora izbranega krilnegaprofila. Proizvajalci kril ter elis vetrnic in propelerjev so sicer v dolgoletnih izkušnjah zbraliže precej zanesljive podatke za razlicne krilne profile, morajo pa biti zelo previdni pri uporabinove oblike krilnega profila.

Obstajajo tudi naprednejše metode racunske dinamike tekocine (ang. „ computational fluiddynamics - CFD“), ki nam dajo natancnejše rezultate. Upoštevajo upogib in oscilacije elisv razlicnih smereh, vpliv trupa in stolpa vetrnice ter celo spreminjanje vetra zaradi njegoveturbulentne narave. Poleg tega vemo tudi, da veter ne piha vedno pravokotno na ravnino rotorja,zato je potrebno za natancnejše rezultate upoštevati tudi to [1].

Zaenkrat se moramo za izracun dinamike tekocin v vecini primerov poslužiti numericnihmetod. Analiticne rešitve so možne le za enostavnejše primere, da o opisu turbulentnega tokatekocine niti ne sanjamo. Upajmo, da se bo to v prihodnosti spremenilo.

15

Literatura[1] M. O. L. Hansen, Aerodynamics of wind turbines (James&James, London, 2003)

[2] J. D. Anderson, Jr., Fundamentals of aerodynamics, 4th edition (McGraw-Hill, New York,2007)

[3] http://en.wikipedia.org/wiki/Wingtip_vortices (17.5.2008)

16