segregacija sipkih snovi - university of...

Univerza v LjubljaniFakulteta za matematiko in fiziko

Oddelek za fiziko

Segregacĳa sipkih snoviSeminar, 4. letnik

Jožef Visočnikpedagoška fizika

Mentor: dr. Daniel Svenšek

Ljubljana, 12. december 2007

KAZALO Segregacĳa sipkih snovi

PovzetekSeminar obsega problematiko ločevanja med procesom mešanja sipkih snovi. V

uvodu so podane nekatere osnovne značilnosti sipkih snovi, nato pa sta opisana pojavasegregacĳe in stratifikacĳe pri sipanju sipkih snovi na kup. Pri tem so predstavljeninekateri modeli, ki poskušajo pojav teoretično razložiti. Na kratko je omenjena tudigranularna konvekcĳa ter z njim povezana pojav in obratni pojav brazilskega oreška.Na koncu so predstavljeni pojavi v vrtečem se bobnu (mešalcu) ter okvirna razlagaza nastanek teh pojavov.

Kazalo1 Uvod 4

2 Pojavi pri sipanju sipkih snovi 52.1 Segregacĳa in perkolacĳa sipke snovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Stratifikacĳa sipke snovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 Teoretični modeli pri sipanju sipke snovi 73.1 Model BCRE (Bouchard, Cates, R. Prakash, Edwards) . . . . . . . . 73.2 Kanonični model (Boutreux, de Gennes, Makse) . . . . . . . . . . . . 9

3.2.1 Minimalni model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2.2 Razširitev minimalnega modela . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.3 Model Maxse-a, Cizeau-ja in Stanley-ja . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4 Pojavi pri stresanju sipkih snovi 134.1 Granularna konvekcĳa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.2 Pojav brazilskih oreškov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.3 Obratni pojav brazilskih oreškov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5 Pojavi pri mešanju sipkih snovi v bobnu 165.1 Radialna segregacĳa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165.2 Aksialna segregacĳa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

6 Sklep 17

2 12. december 2007

Segregacĳa sipkih snovi SLIKE

Slike1 Segregacĳa in perkolacĳa pri sipanju sipke snovi . . . . . . . . . . . . 62 Stratifikacĳa pri sipanju sipke snovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Skica modela BCRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Možnosti pri trkih delcev ter koncentracĳa različno hrapavih delcev . 115 Koncentracĳa pri mešanici različno velikih delcev, koncentracĳa pri

stratifikacĳi in model stratifikacĳe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 NMR premika delcev po nekaj stresljajih ter hitrostni profil . . . . . 147 Skleda raznih oreškov ter pojav brazilskih oreškov . . . . . . . . . . . 158 Konvekcĳa, vpliv stene nanjo ter obratni pojav brazilskih oreškov . . 159 Mešanje sipke snovi v bobnu ter skica slojev . . . . . . . . . . . . . . 1610 Vzorca radialne segregacĳe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1711 Aksialna segregacĳa ter vpliv radĳa nanjo . . . . . . . . . . . . . . . 18

Tabele1 Delitev sipkih snovi po velikosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

12. december 2007 3

1. Uvod Segregacĳa sipkih snovi

1 UvodVelik del vsake industrĳske proizvodnje predstavlja transportiranje ter mešanje

raznih snovi v različnih agregatnih stanjih. Eno izmed slabše raziskanih področĳ pritem so procesi pri mešanju snovi v trdnem agregatnem stanju v obliki sipkih snoviter njihov transport, ki pa obsega velik delež v raznih panogah industrĳe. Najboljrazširjena predstavnika sipkih snovi na Zemlji sta pesek, ki ga v izobilju najdemo vpuščavah, ter sneg v gorah in na obeh polih. V industrĳi pa najpogosteje sipke snovinajdemo v

kmetĳstvu: umetna gnojila, razna semena, vsi kmetĳski pridelki,

farmacĳi in kozmetični industrĳi: zdravila, tablete, pudri, kreme,

prehrambeni industrĳi: začimbe, sadje, aditivi, kosmiči,

gradbeništvu: cement, apno, gramoz, pesek, asfalt in ostali gradbeni materiali,

rudarstvu: premog, vse vrste rudnin.

V večini naštetih panog je pomembna sestava končnih produktov ter tudi stroški,nastali pri mešanju in transportu začetnih surovin ali končnih izdelkov. Zato soraziskave obnašanja sipkih snovi med drugimi pomembne za natančnost ter izkoristekproizvodnje. V industrĳi je bilo to področje kar nekaj časa zapostavljeno.

Klasifikacĳa sipkih snovi se je v 20. stoletju rahlo spreminjala. V tabeli 1 omenimole klasifikacĳo po Duranu [1, 2] (povzeto po definicĳi iz [3] iz leta 1970). Po njemlahko sipke snovi v grobem razdelimo na praške s premerom 1− 100 µm in trdnine spremerom nad 100 µm.

prašek trdninapoimenovanje hiperfini superfini zrnati zrnata zdrobljena

premer delcev [µm] 0.1-1 1-10 10-100 100-3000 >3000

Tabela 1: Obstaja mnogo delitev sipkih snovi po velikosti. Prikazana delitev poDuranu (iz leta 1997) sipke snovi grobo deli na praške in trdnine. Vir: [1].

Sipke snovi imajo veliko večji premer delcev, kakor molekule tekočine. Če zlĳemov posodo dve različni tekočini, postane tekočina zaradi Brownovega gibanja ter di-fuzĳe molekul sčasoma homogena, česar pri mešanju dveh različnih sipkih snovi niopaziti. Torej mora biti termična energĳa delcev sipke snovi zanemarljiva v primer-javi s potencialno ter kinetično energĳo molekul, v kolikor je vdelcev > 0 [18]. Za ocenosi oglejmo najmanjši radĳ delcev sipke snovi iz stekla, če za potencialno energĳo vza-memo energĳo težišča delcev: mgd/2 = kBT/2, pri gostoti stekla ρ = 2500kg/m3 tertemperaturi T = 300K. Izrazimo maso m = 3ρπd3/4 ter izračunamo:

d = 4

√4kBT

3πρg = 4

√4 · 1.38 · 10−23 · 300J K m3 s2

3π2500 · 9.81K kg m≈ 5.2 · 10−7m = 0.52µm . (1)

4 12. december 2007

Segregacĳa sipkih snovi 2. Pojavi pri sipanju sipkih snovi

Vidimo lahko, da ima na obnašanje delcev sipke snovi največji vpliv gravitacĳa [1, 4].Zaradi mešanja sipkih snovi, ki se med seboj ločĳo po velikosti, gostoti, hrapavosti aliobliki, je sipke snovi zelo težko matematično opisati ter ustvariti natančne teoretičnemodele.

2 Pojavi pri sipanju sipkih snoviČe imamo različne snovi z delci, ki imajo podobne fizikalne lastnosti, in bi jih

radi zmešali, bomo po kakršnem koli mešanju vedno dobili homogeno mešanico tehsnovi. V realnosti pa se delci posameznih sipkih snovi največkrat ločĳo med sebojpo gostoti, velikosti, obliki, prožnosti ter hrapavosti površine delcev ali kaki drugilastnosti. Tako ne smemo zlahka predpostaviti, da bo mešanica dveh ali več različnihsnovi z različnimi lastnostmi delcev tudi homogena. O tem ne smemo biti prepričaniniti, če npr. v drugo posodo presipamo že homogeno mešanico.

2.1 Segregacĳa in perkolacĳa sipke snoviZa začetek si oglejmo mešanice dveh sipkih snovi z delci različnih velikosti, oblik ter

hrapavosti površine. Pri sipanju homogene mešanice dveh snovi, ki se med seboj ločitale v velikosti delcev, opazimo, da se večji delci zberejo bolj na dnu in na spodnjemrobu nastalega klanca, manjši delci pa ostanejo raje na sredini in na vrhu klanca[5, 6]. Pri padanju delcev na vrh že nastalega kupa se delci gibljejo, zato imajo delciv vrhnji plasti hitrost, različno od nič, hitrostni profil pa sega le nekaj premerovdelcev v globino. Pri premikih delcev se manjši delci zaradi nastalih lukenj vednolažje prerinejo pod večje. Pojav poznamo pod imenom perkolacĳa.

Tako se v zgornji plasti toka ponavadi zberejo večji, v notranjosti pa manjši delci[5–9]. Zaradi manjše hitrosti ter večjega števila trkov se manjši delci tako ustavĳoblizu vrha klanca, večji delci pa se premaknejo vse do vznožja klanca (slika 1). Doenakega rezultata pridemo, če so delci obeh snovi enake velikosti, a so delci ene vrstebolj grobi, drugi pa bolj gladki. Takrat je ob vznožju klanca veliko več delcev z boljgladko površino. Rezultat procesa torej ni homogena mešanica, kakor bi predpostavili,temveč prevladujejo v spodnjem delu klanca delci ene, na vrhu klanca pa delcu drugevrste, kar je lepo vidno že iz prej omenjene slike 1.

2.2 Stratifikacĳa sipke snoviSipanje mešanice dveh sipkih snovi z delci različnih velikosti po klancu si oglejmo

podrobneje. Na razporeditev delcev po klancu poleg velikosti delcev vpliva tudi hra-pavost njihove površine [5]. Če so večji delci bolj gladki od manjših, dobimo torej žeprej opisan pojav perkolacĳe: večji delci so bolj na površini toka, manjši v notranjosti.V obratnem primeru, ko so večji delci bolj grobi od manjših, še vedno lahko opazimoperkolacĳo, ki pa več ni tako izrazita. Namesto tega se opazi drug pojav.

12. december 2007 5

2.2 Stratifikacĳa sipke snovi Segregacĳa sipkih snovi

Slika 1: Pri sipanju homogene mešanice dveh vrst sipkih snovi, pri katerih se delcirazlikujejo v velikosti (ali hrapavosti površine), se mešanica loči tako, da so večji (boljgladki) delci ob vznožju klanca, manjši (bolj hrapavi) delci pa so blizu vrha klanca.Izid poskusa kaže slika levo. Vir: [7]. Do samega pojava pride zaradi perkolacĳe vtekoči plasti, kar nakazuje slika desno. Vir: [5].

Zaradi večje hrapavosti površine večjih delcev so le-ti bolj upočasnjeni, zato uspemanjšim delcem pristati dlje po klancu navzdol. Razporeditev delcev po velikostiv toku po klancu pa ostane zaradi perkolacĳe vse do vznožja klanca enaka: manjšidelci ostanejo ujeti v notranjosti, večji delci pa se nahajajo na površju. Ko se potako nastalem klancu kotali naslednji tok delcev ter se razporedi enako, kot končnosliko dobimo alternirajočo plast delcev, vzporedno naklonu klanca. Pojav imenujemospontana stratifikacĳa in je prikazana na sliki 2.

V laboratorĳu se perkolacĳa ter stratifikacĳa ponavadi opazujeta v 2D posodi. Zato uporabimo ozko dolgo posodo, ki jo ponekod omenjajo pod imenom celica Hele-Shaw [5]. Vanjo na enem robu vsujemo sipko snov ter opazujemo razporeditev delcev.

Slika 2: Pri sipanju homogene mešanice dveh vrst sipkih snovi v posodo je prevladujočpojav stratifikacĳa, dobro pa se opazi tudi že prej omenjena segregacĳa zaradi razlik vvelikosti ali hrapavosti delcev. Na klancu dobimo slojevito razporeditev snovi. Desnaslika je povečan izsek leve slike. Vir: [7].

6 12. december 2007

Segregacĳa sipkih snovi 3. Teoretični modeli pri sipanju sipke snovi

3 Teoretični modeli pri sipanju sipke snoviPoskušajmo sedaj s fizikalnimi prĳemi opisati dogajanje pri segregacĳi ter stratifikacĳi.

Najpogosteje preučevanje sipkih snovi poteka preko eksperimentalno pridobljenih po-datkov, iz katerih poiščemo parametre opazovanega pojava, ter zgradimo ustrezenmodel, ki bi se čim bolje ujemal z izmerjenimi podatki. Zaradi kompleksnosti pojavovse velikokrat oblikuje več neodvisnih teoretičnih modelov, ki so zgrajeni na različnihtemeljih z različnimi predpostavkami. Včasih se ti modeli povezujejo in nadgrajujejo,včasih pa iz podobnih temeljev izhaja več različnih med seboj neodvisnih modelov.Ker je modelov veliko, bodo v nadaljevanju na kratko opisani model BCRE, kanoničnimodel ter model Makse-ja, Cizeau-ja in Stanley-ja ter s fizikalnim znanjem pojasnilisegregacĳo ter stratifikacĳo mešanice dveh sipkih snovi z različnimi delci.

3.1 Model BCRE (Bouchard, Cates, R. Prakash, Edwards)Model BCRE je bil prvi resnejši model, ki je pokazal, kako opisati dinamiko vrhnje

plasti kupa (klanca) sipkih snovi. Na podlagi predhodnih del Hwaja in Kardarja[10, 11] so ga razvili Bouchaud, Cates, R. Prakhas in Edwards [12, 13]. Za razliko odizhodiščnega (podobnega) modela so predpostavili dve fazi pri sipanju sipke snovi poklancu: podlago iz mirujočih delcev ter gibajoč se sloj delcev na njej (slika 3).

Tako so izhajali iz dveh hidrodinamskih količin: višine mirujočih delcev h(x, t)ter dolžinske gostote gibljivih delcev R(x, t) v točki x, ob času t. Povezavo obehspremenljivk opisuje kontinuitetna enačba

∂R(x, t)∂t

= −∂[vR(x, t)]∂x

+ ∂

∂x

(D∂R(x, t)

∂x

)+ Γ(R(x, t), h(x, t)) , (2)

kjer je v(x, t) hitrost premikajočih se delcev na koordinati x, z D pa je označena di-fuzĳska (ali disperzĳska) konstanta. Zaradi enostavnosti model predpostavlja hitrostdelcev ter difuzĳsko konstanto kot konstantni količini v prostoru in času. Prvi členenačbe nam predstavlja prispevek pretoka delcev v točki x, člen z difuzĳsko konstantoD pa opisuje vpliv delcev na okolico točke x, saj gibajoč delec lahko vpliva na višjeležeč delec, ki se npr. zaradi večjega lokalnega naklona začne gibati. Ta člen prispevatorej k širjenju motnje po klancu navzgor ali navzdol in poskrbi tudi za “zgladitev”motenj na klancu (npr. lukenj). Člen Γ(R(x, t), h(x, t)) pa prikazuje izmenjavo giba-jočih se delcev v mirujoče in obratno.

Izpeljimo sedaj še funkcĳo Γ. Zato predpostavimo, da

• mirujoči delci ne morejo brez interakcĳe z že gibajočimi se delci pridobiti hitrosti,različne od 0,

• mora biti naklon klanca −dh/dx v točki x večji od neke kritične vrednosti Sc,če želimo mirujoče delce uspešno izbiti (jim dati gibalno količino),

• se pri naklonu, manjšem od kritičnega, vsak gibajoč delec (samostojno) zagozditer postane mirujoč,

12. december 2007 7

3.1 Model BCRE (Bouchard, Cates, R. Prakash, Edwards) Segregacĳa sipkih snovi

ϕ

h (x,t)

R(x,t) v

H

X x 0

Slika 3: Izhodišče modela BCRE je bil 2D klanec snovi, postavljen na vodoravni plošči.Na vrh kupa sipljemo sipko snov z volumskim tokom φ. Model opisuje dogajanje naklancu s spremenljivkami višina mirujočega kupa delcev h(x, t) ter dolžinska gostotaR(x, t) gibljivih delcev, ki imajo hitrost v. Na koncu klanca nas dogajanje pri temmodelu ne zanima, zato tam sipka snov pada čez rob plošče. Vir: [12].

• se poskuša površina pri ∂h/∂x = Sc, a ∂2h/∂x2 6= 0 (luknja, izboklina) čim boljnapolniti ali izravnati.

• sta procesa pri zadnjih dveh alinejah sorazmerna z R(x, t)

Iz predpostavk dobimo najosnovnejšo obliko funkcĳe Γ:

Γ(R(x, t), h(x, t)) = −R(x, t)(γ ∂h∂x

+ κ∂2h

∂x2 ) (3)

s konstantama γ, κ > 0. Funkcĳa je linearno odvisna od R in h, vendar sama nilinearna. Z določitvĳo Γ lahko sedaj izračunamo še višino mirujočih delcev h(x, t) zupoštevanjem izmenjave delcev v mirujočem in gibajočem se sloju:

∂h

∂t= −Γ(R, h) = R(x, t)

(γ∂h

∂x+ κ

∂2h

∂x

). (4)

Zapisane enačbe so osnova za model BCRE, ki poskuša z matematičnimi enačbaminapovedati razvoj površine sipke snovi, katere naklon je blizu kota mirovanja. Kotmirovanja∗ je tisti naklon klanca, pri katerem se z zunanjo motnjo (npr. padajočdelec) še lahko sprožĳo plazovi. Z modelom so najprej napovedali razvoj površine primajhni izboklini, pri motnji v obliki sinusnega vala ter izračunali čas, pri katerem sena klancu z motnjo ob njegovem vznožju vzpostavi ravnovesno stanje.

∗Pri sipkih snoveh je definiranih še več različnih kotov, ki pa pri teh pojavih niso pomembni.Obširnejša razlaga kotov se najde v npr. [1].

8 12. december 2007

Segregacĳa sipkih snovi 3.2 Kanonični model (Boutreux, de Gennes, Makse)

3.2 Kanonični model (Boutreux, de Gennes, Makse)S kanoničnim modelom, ki so ga postopoma iz modela BCRE oblikovali Boutreux,

de Gennes in Makse, želimo dobiti veljaven model, s katerim bi pojasnili segregacĳomešanice dveh sipkih snovi, ki se razlikujejo po velikosti in/ali površinskih lastno-sti delcev, ko jih sipljemo v 2D silos (posodo). Celotna izpeljava je sestavljena iztreh člankov. V prvem delu [14] so predstavljeni temeljni prĳemi poenostavljenegakanoničnega modela, s katerimi lahko izračunamo segregacĳo mešanice dveh snovi zenako velikimi delci, a različno hrapavostjo površine, ter določimo profil koncentracĳev 2D kupu (silosu). Tak model sta avtorja poimenovala minimalni model. Ker ga jenajlažje razumeti, si ga bomo v nadaljevanju tudi ogledali. V drugem delu [15] je mi-nimalni model posplošen še na segregacĳo delcev z enakimi površinskimi lastnostmi,a različno velikimi delci. V tretjem delu [16] pa je opisan splošen kanonični model terpredstavljeni primeri z razlikami v različnih lastnostih delcev.

3.2.1 Minimalni model

Na podlagi minimalnega modela spoznajmo sedaj osnovno kanoničnega modela.Imejmo 2D posodo širine 2L, ki jo pri x = L polnimo z volumskim tokom 2Q. Podobnokaže slika 3, le da posoda tokrat sega od 0 < x < 2L. Mešanica sipke snovi naj vsebujeenako velike delce z enakimi fizikalnimi lastnostmi, a različno hrapavostjo površine.Zaradi simetričnosti opazujemo le eno polovico posode 0 ≤ x ≤ L. Enačba (2) se prikanoničnem/minimalnem modelu preoblikuje v

∂R(x, t)∂t

= v(x, t)∂R(x, t)∂x

+ γ(θ(x, t)− θ0

)R(x, t) , (5)

kjer je v tem primeru θ(x, t) kot naklona (tan[θ(x, t)] = ∂h(x, t)/∂t ≈ θ(x, t)), θ0kot mirovanja, konstanta γ pa ima vlogo frekvence in označuje pogostost trkov enegadelca. Višinski profil kupa dobimo iz enačbe (4):

∂h(x, t)∂t

= −Γ(R, h) = −γ(θ − θ0

)R(x, t). (6)

Razlikujmo sedaj delce ene ter druge sipke snovi. Potrebovali bomo kot mirovanjaθ0 obeh sipkih snovi, opazovali pa volumski delež mirujočih delcev φ(x, t) ter gostotogibajočih se delcev R(x, t). Bolj grobi delci naj imajo indeks “↑” ter večji kot miro-vanja, manj grobi pa indeks “↓” ter manjši kot mirovanja. Vemo φ↑(x) + φ↓(x) = 1ter predpostavimo, da je razlika med kotoma mirovanja posamezne čiste sipke snovimajhna: ψ = θ↑0 − θ↓0. Enačbo pretoka za posamezne delce (↑ in ↓) zapišemo sedajv obliki

∂Ri∂t

= vi∂Ri∂x

+(∂Ri∂t

)trk

, (7)

kjer pomeni (∂Ri/∂t)trk celoten prispevek delcev i ∈ {↑, ↓} k R zaradi trkov z mirujo-čimi delci. Omejimo se le na trke med dvema delcema ter si oglejmo različne možnostipri trku gibajočega se delca i z mirujočim delcem j, ki je lahko enak ali drugačen,i, j ∈ (↑, ↓), vendar i 6= j (slika 4 levo):

12. december 2007 9

3.2 Kanonični model (Boutreux, de Gennes, Makse) Segregacĳa sipkih snovi

• povečanje števila gibajočih se delcev: pri izbitju delca i z enakim delcem i za-pišimo (∂Ri/∂t)trk = ai(θ)φiRi, pri izbitju drugega delca j (z delcem i) pa(∂Rj/∂t)trk = xi(θ)φjRi,

• zmanjšanje števila gibajočih se delcev: pri absorpcĳi delca i lahko označimo(∂Ri/∂t)trk = −bi(θ)2Ri,

• izmenjava delca prispeva člen oblike (∂Ri/∂t)trk = −zi(θ)φjRi ter (∂Rj/∂t)trk =zi(θ)φjRi,

• odboj delca ne vpliva na (∂Ri/∂t)trkFunkcĳe ai(θ), xi(θ), bi(θ) in zi(θ) so pozitivne ter odvisne le od kota mirovanja θ.Pri minimalnem modelu zanemarimo izmenjavo delcev zaradi zanemarljivega številaizmenjanih delcev glede na skupno število povečanih ter odbitih (gibajočih se) delcev.S tem se enačbe zelo poenostavĳo (ai = bi = xi = mi), posamezne prispevke pa lahkozapišemo v matriko trkov:(

(∂R↑/∂t)trk(∂R↓/∂t)trk

)= M̂

(R↑R↓

), M̂ =

[γ↑(θ − θ↑)−m↑φ↓ m↓φ↑m↑φ↓ γ↓(θ − θ↓)−m↓φ↑

]. (8)

Zgoraj zapisana matrika (8) je kanonična oblika matrike trka.Enačbe (5 – 8) tvorĳo osnovo minimalnega modela, ki ga dobimo s poenostavi-

tvĳo nekaterih spremenljivk kanoničnega modela. Za oceno koncentracĳ zanemarimoizmenjavo delca z delcem druge vrste ter izenačimo: m↑ = m↓ = m, γ↑ = γ↓ = γ inv↑ = v↓ = v. Privzamemo, da so ti parametri ter θ↑ in θ↓ neodvisni od koncentracĳeobeh snovi v zmesi. Z modelom izračunamo koncentracĳo delcev v mirujočem ter“tekočem” delu sipke snovi:

φ↑ =(1 + r

R↓R

)R↑R

, R↑(x) = R(x)1 + Q↓

Q↑

(Lx

)r (9)

φ↓ =(1− rR↑

R

)R↓R

, R↓(x) = R(x)1 + Q↑

Q↓

(xL

)r , (10)

kjer je R(x) = (Q/L)x/v in r = γψ/m. Zavedamo se, da se grobost delcev s kota-ljenjem po klancu zmanjšuje (zaradi vedno večje koncentracĳe gladkih delcev), zatonas zanima koncentracĳa mešanice ob vznožju klanca ter pri d/ψ ≤ x� L. Če veljaQ↓/Q↑(ψL/d)r ≤ 1, je ob vznožju več delcev (↓), vendar dobimo v splošnem še vednomešanico obeh delcev. V primeru, da pa je Q↓/Q↑(ψL/d)r � 1, imamo ob vznožjuklanca situacĳo (slika 4 desno)

R↓R' 1 , φ↓ ' 1 (11)

R↑R' Q↑Q↓

(x

L

)r� 1 in θ ' θ↓ + ψ

Q↑Q↓

(x

L

)r. (12)

Vidimo, da ob vznožju klanca sipke snovi prevladujejo delci iste vrste (↓).

10 12. december 2007

Segregacĳa sipkih snovi 3.2 Kanonični model (Boutreux, de Gennes, Makse)

1

1

1

2

1

1

1

2

a b

x z

1

1

1

1

0 20 40 60 80 100

x

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

φα(x) φ

φ

r

m

L

Slika 4: Imamo štiri možnosti pri trku gibajočega ter mirujočega delca (slika levo):delec lahko izbĳe sebi enak delec (a1) ali nasproten delec (x1). Pri tem se oba delcapremikata naprej. Lahko pa se delec zaustavi na sebi enakemu delcu (b1) ali pa nanasprotnem delcu (z1). Slika desno prikazuje končno volumsko koncentracĳo mirujo-čih delcev v kupu sipke snovi pri segregacĳi mešanice različno hrapavih delcev s slike1. Z indeksom “r” so označeni bolj grobi, z “m” pa bolj gladki delci. Vir: [16].

3.2.2 Razširitev minimalnega modela

Minimalni model opiše torej segregacĳo enako velikih delcev, ki se razlikujejo le vhrapavosti površine. Sedaj želimo v model segregacĳe vključiti še razliko v velikostidelcev, pri čemer upoštevamo že prej omenjene prĳeme pri razlikovanju delcev pomasi ter površinskih lastnostih. Pri tem so enačbe (5 – 7) izhodišče za tak model.Razlika do minimalnega modela je le, da moramo na novo izračunati le izmenjavodelcev (∂Ri/∂t)trk kot funkcĳo θ in Ri, torej tudi funkcĳe ai(θ), xi(θ), bi(θ) in zi(θ).V splošnem nam te funkcĳe opisujejo interakcĳe med delci, in sicer opisujeta funkcĳia in x povečevanje števila gibajočih se zrnc (izbitje mirujočih delcev), funkcĳi b in zpa zmanjševanje števila zrnc (zaustavitev gibajočih se delcev).

Spet ločimo primere trkov z delci, tokrat za večje ter manjše delce enako, kakorza minimalni model. Razlika je le ta, da tokrat upoštevamo tudi izmenjavo gibajočihdelcev z mirujočimi ter zaustavitev delca na delcu druge vrste. Pri splošnem modelupride do izraza še posebej zaustavitev delca na drugačnem delcu zaradi različnihvelikosti delcev ter s tem tudi do različne verjetnosti za zaustavitev ali izbitje večjihin manjših delcev. Za mešanico sipke snovi, katere delci se razlikujejo le v velikosti(indeks “v” - večji, “m” - manjši), za matriko trkov dobimo:

M̂ =[γ(θ − θm(φv))− xm(θ)φv xv(θ)φmxm(θ)φv γ(θ − θv(φm))− xv(θ)φm

], (13)

kjer se lahko funkcĳi xm(θ) in xv(θ) zapišeta kot

xm(θ) = γ

2 (θ − θ0) + x0 , xv(θ) = xm(θ) + (xv − xm) . (14)

Pri enakih začetnih pogojih, kakor za minimalni model ter pri privzetku, da se delci

12. december 2007 11

3.3 Model Maxse-a, Cizeau-ja in Stanley-ja Segregacĳa sipkih snovi

obeh snovi ločĳo le v velikosti, za rezultat dobimo

φm =(1 + ξ

RvxvRv + xmRm

)RmR

(15)

φv =(1− ξ Rm

xvRv + xmRm

)RvR

, (16)

kjer je ξ = γψ − (xv(θ)− xm(θ)). Zgornje enačbe so predstavljene na sliki 5 levo.S kanoničnim modelom tako lahko opišemo segregacĳo mešanice sipke snovi za

različne lastnosti delcev posamezne sipke snovi [16]. Za pojav stratifikacĳe pa moramoupoštevati še segregacĳo snovi v tekoči plasti, ki se zgodi zaradi pronicanja manjšihdelcev pod večje. Poskusi so pokazali, da se stratifikacĳa zgodi, kadar je razmerjepremerov delcev dv/dm > 1.5. V kanonični model ta pojav vključimo tako, da namestoRm(x, t) pišemo Rm(x, t) exp[−λRv(x, t)/R(x, t)]. Eksponentni člen poskrbi, da priRm � Rv/λ večji delci ne interagirajo z mirujočimi delci sipke snovi (torej so večjidelci na površini tekočega sloja). Brezdimenzĳski parameter λ > 0 meri stopnjoperkolacĳe. Rezultati modela (slika 5 desno) se lepo ujemajo z eksperimentalnimipodatki ter podobnimi modeli.

0 20 40 60 80 100

x

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

φα(x)

φ

φ

1

2

(a)

L

(b)

Slika 5: Na podlagi enačbe (16) dobimo volumsko koncentracĳo mirujočih delcev vkupu sipke snovi pri segregacĳi mešanice različno velikih delcev. Zelo lepo se opazisegregacĳa delcev. Z indeksom “s” so označeni manjši, z “l” pa večji delci. Vir: [15].Na podlagi kanoničnega modela lahko predstavimo pojav stratifikacĳe mešanice sipkesnovi z delci različnih lastnosti. Slika (a) prikazuje potek koncentracĳe velikih gladkihzrnc ter majhnih grobih zrnc, (b) pa sliko izračunanega modela. Vir: [16].

3.3 Model Maxse-a, Cizeau-ja in Stanley-jaModel je postavljen na temeljih eksperimentalnih opazovanj, kjer so prišli do za-

ključkov, da je segregacĳa povezana z razliko v velikosti delcev, stratifikacĳa pa pove-zana z razliko med kotom mirovanja obeh čistih sipkih snovi [17]. S pomočjo zvezneobravnave se osredotoča na izračune segregacĳe ter stratifikacĳe mešanice manjših,bolj grobih, ter večjih, gladkejših delcev. Predpostavimo, da je kot mirovanja manjšihdelcev θ11 manjši od kota mirovanja večjih delcev θ11 < θ22, kot mirovanja večjihdelcev nad manjšimi delci θ21 pa manjši od kota mirovanja manjših delcev nad ve-čjimi delci θ21 < θ12. Velja še θ21 < θ11 < θ22 < θ12. Izhodišče modela so enačbe


Segregacĳa sipkih snovi 4. Pojavi pri stresanju sipkih snovi

kanoničnega modela (5) in (6). Razlika med kanoničnim modelom ter tem modelom(MCS) je drugačna obravnava interakcĳe trkov med gibajočimi ter mirujočimi delci,saj predpostavlja, da je Γi = Γi(Ri, φj, θ(x, t)). Tako izpeljava pripelje do sklepa

Γi ={γi(θ − θi(φj))Ri , če θ < θi(φj)γiφi(θ − θi(φj))Ri , če θ > θi(φj)

. (17)

Člen interakcĳe Γi upošteva dva procesa: zaustavitev delcev, če je θ < θi(φj), terizbitje novega delca iz mirujoče podlage pri θ > θi(φj). Na podlagi teh predpostavklahko napovemo, da se pri pogoju θ11 > θ22 v snovi pojavi le segregacĳa, pri θ11 < θ22pa tudi stratifikacĳa. Napoved modela se ujema tako z eksperimentalnimi opazovanji,kakor tudi s kanoničnim ter ostalimi modeli.

4 Pojavi pri stresanju sipkih snoviŽe v uvodu je bilo poudarjeno, da ima termalna energĳa na gibanje delcev sipke

snovi zanemarljiv vpliv. Če vseeno želimo opazovati gibanje delcev, moramo sipkisnovi dovajati energĳo. Izmed mnogih načinov največkrat energĳo dodajamo z ver-tikalnimi ali horizontalnimi vibracĳami. Ker je pojavov, ki jih pri tako izvajanihposkusih opazimo, veliko, se bomo osredotočili le na granularno konvekcĳo ter po-jave, ki pri tem nastanejo.

4.1 Granularna konvekcĳaVertikalno stresanje posode sipke snovi z z(x) = A sin(ωt) povzroči, da se delci

sipke snovi premaknejo glede na svojo trenutno lego. Če je pospešek delcev (ponekodzapisan v razmerju Γ = Aω2/g) dovolj velik (torej Γ > 1), se delci premaknejo s svojestare lege na neko bližnjo lego. Ob nenehnem stresanju posode lahko v sami posodigovorimo o hitrosti delcev. Hitrostni profil na sliki 6 nam pokaže, da imajo delci nasredi posode pozitivno hitrost, ob robovih pa negativno [18].

Na sredi ter ob stenah posode imajo delci vertikalno hitrost. Na vrhu in na dnuposode pa je gibanje omejeno le na horizontalno ravnino, vendar tok delcev velikokratpovzroči, da se na površini oblikuje kup. Snov ob nenehnem stresanju posode kroži,zato tako gibanje imenujemo granularna konvekcĳa. Če si hitrostni profil (slika 6desno) ogledamo natančneje, vidimo, da se hitrost v notranjosti posode z radĳem nespreminja veliko, v zelo ozkem pasu ob stenah pa opazimo močno negativno hitrost.To nas privede do sklepa, da na konvekcĳo vpliva trenje med delci ter steno posode,ki je večje, kakor trenje med samimi delci.

4.2 Pojav brazilskih oreškovPri stresanju sipke snovi ponavadi posodo stresamo v navpični smeri. V kaplje-

vinah je vzrok za nastanek sile vzgona posameznega dela tekočine razlika v gostoti


4.3 Obratni pojav brazilskih oreškov Segregacĳa sipkih snovi

Slika 6: Že po nekaj tresljajih se delci sipke snovi premaknejo tako, da se na skrbnopripravljenem vzorcu, sestavljenega iz vodoravno postavljenih slojev steklenih kroglicter makovih zrnc, opazi smer, v katero se posamezen del snovi premakne. Slika levoje nastala s pomočjo jedrske magnetne resonance, slika desno pa predstavlja hitrostniprofil v treh posodah različnega premera (črtkane črte). Vir: [18].

oz. razlika v temperaturi dela tekočine z okoliškimi deli [2]. V sipki snovi so namestoteh pojavov odločilne lastnosti delcev sipke snovi. Zanimiv pojav opazimo, kadar sev sipki snovi med delci enakih velikosti znajdejo delci, veliko večji od ostalih. Pri po-skusih se pokaže, da se večji delci sčasoma pojavĳo na površju ter tam tudi ostanejo.Enako se zgodi pri stresanju mešanice raznih oreškov, kjer na vrhu najdemo vednonajdebelejše - brazilske oreške, zato pojav zasledimo pod imenom pojav brazilskihoreškov (angl. brazil nut effect - BNE, slika 7 levo). Možnih razlag za nastanek tegapojava je več.

Velik vpliv na pojav brazilskih oreškov ima razlika v velikosti delcev. Manjšidelci pri stresanju zaradi nastalih lukenj lažje preidejo pod večje (perkolacĳa), zaradičesar se ti začnejo počasi dvigovati proti površju [19]. Če je velikih delcev v mešanicisnovi veliko, se s perkolacĳo zniža težišče sistema, ki v prvotnem stanju ni najnižje.Manjši delci namreč delno zapolnĳo prazne prostore med velikimi delčki, zato setežišče celotnega sistema zniža (slika 7 desno). Druga razlaga tega pojava se opira nastatistiko, saj je manj verjetno, da več manjših delcev naredi mesto enemu večjemu,kakor pa en večji delec naredi mesto vsaj enemu manjšemu. Zanimivo dejstvo pa je,da se večji delci pojavĳo na površini, tudi če imajo mnogo večjo gostoto, kakor manjšidelci. Razlaga za pojav brazilskih oreščkov je lahko tudi granularna konvekcĳa. Trenjemed steno ter delci povzroči konvekcĳo, s katero večji delci “priplavajo” na površje.Zaradi ozkega toka ob steni posode (slika 6) pa večji delci ne sledĳo toku navzdol terzato ostanejo na površini [4, 20] (slika 8 levo).

4.3 Obratni pojav brazilskih oreškovVes ta čas smo privzeli, da je trenje med steno posode ter delci večje, kakor trenje

med samimi delci. Zaradi tega je ob tresenju posode v sredini tok delcev potoval


Segregacĳa sipkih snovi 4.3 Obratni pojav brazilskih oreškov

Slika 7: Pojav, da se večji delci pri stresanju sipke snovi znajdejo vedno na vrhu, seimenuje po brazilskih oreških, ki se tako izrazito ločĳo v mešanici različnih oreškov(slika levo). Vir: [21]. Pojav brazilskih oreškov se lahko pojasni tudi s pomočjoperkolacĳe ter z nižanjem težišča, ki nastane zaradi zapolnitve praznih prostorov medvečjimi delci, kakor je vidno na desnih slikah. Vir: [19].

proti površini, ob robovih pa proti dnu posode. Toda trenje ob steno posode se dazmanjšati, zaradi tega pa konvekcĳski tok v sipki snovi lahko poteka obratno: obstenah proti vrhu posode, na sredi proti dnu posode. Takrat pa ne pride do pojavabrazilskih oreškov, temveč se večji delci znajdejo na dnu posode, kjer spet ostanejoujeti [4]. Pojav se imenuje obratni pojav brazilskih oreškov (angl. reverse brazil nuteffect - RBNE). Na konvekcĳo v sipki snovi pa lahko vplivamo tudi na drugačen način:vzamemo posodo stožčaste oblike (slika 8 desno), kjer dobimo enak učinek, kakor priposodi z gladkimi stenami.

Slika 8: Vpliv na segregacĳo pri stresanju sipke snovi ima tudi konvekcĳa, ki na površjepotisne večje delce (sliki levo). Na trenje delcev s steno posode lahko vplivamo z izbirosten posode. Srednja slika predstavlja posodo z gladkimi stenami, ki je v ozkem pasuna desni steni prevlečena z grobozrnatim peskom. Na smer konvekcĳe poleg ustreznegladkosti sten lahko vplivamo tudi z obliko posode, npr. slika desno. Pri tem dobimoobratni pojav brazilskih oreškov, saj veliki delci potonejo na dno ter tam ostanejo.Vir: [4, 18].


5. Pojavi pri mešanju sipkih snovi v bobnu Segregacĳa sipkih snovi

5 Pojavi pri mešanju sipkih snovi v bobnuObstaja veliko načinov, kako več vrst sipkih snovi med seboj zmešati. Najeno-

stavnejši način je mešanje v bobnu, raznih mešalcih okrogle, elipsaste ali drugihoblik. Prvi, ki se je lotil preučevanja mešanja sipke snovi v bobnu (valj, kateregaos je postavljena vodoravno), je bil Oyama (1939). Največkrat se bobni uporabljajo vgradbeništvu ter pri predelavi, čiščenju ali mešanju raznih rudnin. Običajno mešanicamed vrtenjem delno napolnjenega bobna ne zdrsuje, temveč se ob prevelikem naklonusnovi, ki preseže kot mirovanja, zgornja plast začne kotaliti ter se sipati proti spo-dnjemu koncu snovi [22]. V industrĳi skušajo največkrat prav na ta način zagotovitienakomernost mešanice snovi. Pri takem mešanju snovi v bobnu ločimo dva sloja:pasivnega ter aktivnega (slika 9). V spodnjem, pasivnem, sloju se snov le prenašana višjo lego, medtem ko se snov v aktivnem sloju sproža v plazovih ter se kotaliproti dnu snovi [23]. Aktivni sloj je proti pasivnemu veliko tanjši in je približno nekajpremerov delcev globok, podobno kakor pri sipanju sipke snovi po klancu.

Slika 9: Mešanica snovi v bobnu na levi sliki ne zdrsuje, temveč se pri prevelikemnaklonu vrhnja plast siplje. Vir: [24]. Vrteči boben v sipki snovi izoblikuje dva sloja:pasivnega ter aktivnega. V pasivnem sloju se snov le prenaša, dokler ne preide vaktiven sloj, kjer pa se sprožajo plazovi in delci se tako odkotalĳo do dna bobna. Vir:[22].

5.1 Radialna segregacĳaPri mešanju dveh ali več različnih vrst sipkih snovi, katerih delci se med seboj

razlikujejo po velikosti, hrapavosti površine ali gostoti, spet gre za segregacĳo delcev.Že po nekaj obratih bobna se manjši ali bolj hrapavi delci znajdejo v osrednjem delu(notranjosti) vzdolž celotne osi bobna, na robu pa ostanejo večji ali bolj gladki delci.Pojav poznamo kot radialno segregacĳo delcev. Pri poskusih [24] mešanja delcevz razliko v masi ter velikosti se je izkazalo, da pri delcih iste velikosti, a različnihgostotah, do segregacĳe pride zelo hitro, že po nekaj obratih. Težji delci ostanejo ujetina sredi snovi (v jedru), lažje pa najdemo na obrobju, saj težji delci pri kotaljenju


Segregacĳa sipkih snovi 5.2 Aksialna segregacĳa

zaradi teže preidejo v notranjost. Pri enakih masah, a različno velikih delcih, v jedruzaradi perkolacĳe ostanejo manjši delci, obrobje pa tvorĳo večji delci. Če je razlikamed delci tako v masi, kakor v velikosti, pa dobimo jedro, ki ni okrogle oblike, temvečtvori presek jedra neke vrste vzorec (slika 10 levo). To se zgodi, če so manjši delcitežji od večjih. Do pojava pride zaradi perkolacĳe ter izpodrivanja večjih delcev. Primešanici delcev, kjer so večji delci težji, manjši pa lažji, pa se pojava izpodrivanjater perkolacĳe skušata uravnovesiti, saj težji, večji delci skušajo v globino prehajatizaradi teže, manjši, lažji delci pa zaradi razlike v velikosti (slika 10 desno).

Slika 10: Pri mešanju v bobnu pride do različnih vzorcev radialne segregacĳe, odvisnood razlike v velikosti delcev ter njihove mase. Leva slika prikazuje radialno segragacĳomanjših, lažjih delcev ter težjih, večjih. Desna slika prikazuje segregacĳo manjših,težjih delcev z večjimi, lažjimi delci. Vir: [24].

5.2 Aksialna segregacĳaPopolnoma drugačen pojav nastane, če boben vrtimo počasi in počakamo zelo

dolgo, ponavadi nekaj 100 ali nekaj 1000 obratov. Takrat opazimo, da se je mešanicasnovi vzdolž osi bobna razdelila na pasove, sestavljene iz delcev iste vrste [25, 26].Pri tem gre za pojav aksialne segregacĳe, ki se izoblikuje iz radialne segregacĳe, ko sejedro, sestavljeno iz delcev iste vrste, začne na nekaterih mestih tanjšati, na drugihpa debeliti (slika 11), kar potrjujejo tudi poskusi [26, 27]. Pri spreminjanju radĳabobna ugotovimo, da segregacĳa take vrste nastane le pri radĳu, večjem od nekegaminimalnega radĳa bobna [25].

6 SklepSipke snovi se obnašajo popolnoma drugače, kot tekočine ali trdne snovi. Mar-

sikateri pojavi še niso pojasnjeni, pri nekaterih obstajajo le delne razlage, večinomapridobljene na podlagi eksperimentalnih opazovanj. Pri tem velik delež proučevanjaeksperimentov zavzemajo razni modeli ter simulacĳe, brez katerih je težko napovedatinatančnejše obnašanje snovi pri proučevanih pojavih.


6. Sklep Segregacĳa sipkih snovi

Slika 11: Pri mešanju v bobnu pride do aksialne segregacĳe le pri radĳih bobna,večjega od nekega minimalnega (d ≈ 2.2cm). Pojav je odvisen tudi od razlike vvelikosti delcev ter njihove mase (leva slika). Vir: [25]. Aksialna segregacĳa nastane,ko se jedro pri radialni segregacĳi na nekaterih mestih začne sčasoma tanjšati alidebeliti, kar se opazi na desni sliki. Vir: [26].

Opazimo, da je področje sipkih snovi relativno majhno, ozko področje, kjer sosi pojavi podobni, a vendar je pri izgradnji teoretičnih modelov potrebno vključitispoznanja iz mnogih fizikalnih področĳ. Zaradi nelinearnosti enačb ter zanemarljivitermični energĳi na gibanje delcev je oblikovanje veljavne teorĳe težavno delo, zatoje iskanje razlag pojavov v sipkih snoveh vse prej kot enostavno.

V tem prispevku so bili predstavljeni osnovni pojavi pri sipanju, stresanju termešanju suhih sipkih snovi v prisotnosti zraka pri normalnem zračnem tlaku. Okvirnoso bili pojasnjeni pojavi segregacĳe, stratifikacĳe pri sipanju sipke snovi na kup, pojavkonvekcĳe ter perkolacĳe pri stresanju sipkih snovi ter radialna in aksialna segregacĳapri mešanju mešanice sipke snovi v bobnu.


Segregacĳa sipkih snovi LITERATURA

Literatura[1] J. Duran, Sands, Powders, and Grains: An Introduction to the Physics of Gra-

nular Materials (Springer-Verlag, New York, 2000).

[2] S. Lasič, Sipka snov, seminar (Ljubljana, 2003).

[3] R. L. Brown, J. C. Richards, Principles of powder mechanics (Pergamon Press,Oxford, 1970).

[4] J. B. Knight, H. M. Jaeger, S. R. Nagel, Phys. Rev. Lett. 70, 3728 (1993).

[5] H. Makse, Eur. Phys. J. B 7, 271 (1999).

[6] N. Harnby, M. F. Edwards, A. W. Nienow, Mixing in the process industries(Butterworths, London, 1985).

[7] H. A. Makse, S. Havlin, P. R. King, H. E. Stanley, Nature 386, 379 (1997).

[8] M. J. Rhodes, Principles of powder technology (John Wiley & Sons, Chicester,1990).

[9] S. P. Pudasaini, J. Mohring, Gran. Matt. 4, 45 (2002).

[10] T. Hwa, M. Kardar, Phys. Rev. Lett. 62 1813 (1989).

[11] T. Hwa, M. Kardar, Phys. Rev. A 45 7002 (1992).

[12] J.-P. Bouchard, M. E. Cates, J. Ravi Prakash, S. F. Edwards, J. Phys. I France4, 1383 (1994).

[13] J.-P. Bouchard, M. E. Cates, J. Ravi Prakash, S. F. Edwards, Phys. Rev. Lett.74, 1982 (1995).

[14] T. Boutreux, P. G. de Gennes, J. Phys. I France 6, 1295 (1996).

[15] T. Boutreux, Eur. Phys. J. B 6, 419 (1998).

[16] T. Boutreux, H. A. Makse, P. G. de Gennes, Eur. Phys. J. B 9, 105 (1999).

[17] H. A. Makse, P. Cizeau, H. E. Stanley, Phys. Rev. Lett. 78, 3298 (1997).

[18] H. M. Jaeger, S. R. Nagel, R. P. Behringer, Rev. Mod. Phys. 68, 1259 (1996).

[19] A. Rosato, K. J. Strandburg, F. Prinz, R. H. Swendsen, Phys. Rev. Lett. 58,1038 (1987).

[20] X. Z. Kong, M. B. Hu, Q. S. Wu, Y. H. Wu, Gran. Matt. 8, 119 (2006).

[21] http://en.wikipedia.org/wiki/Brazil_nut_effect, obiskano decembra 2007


http://en.wikipedia.org/wiki/Brazil_nut_effect

LITERATURA Segregacĳa sipkih snovi

[22] S. Chakraborty, P. R. Nott in J. R. Prakash, Eur. Phys. J. E 1, 265 (2000).

[23] C. M. Dury, G. H. Ristow, J. Phis. I France 7, 737 (1997).

[24] N. Jain, J. M. Ottino, R. M. Lueptow, Gran. Matt. 7, 69 (2005).

[25] C. R. J. Charles, Z. S. Khan, S. W. Morris, Pattern scaling in the axial segregationof granular materials in a rotating tube, Phys. Rev. E., preprint (2005).

[26] K. M. Hill, A. Caprihan, J. Kakalios, Phys. Rev. Lett. 78 50 (1997).

[27] Z. S. Khan, W. A. Tokaruk, S. W. Morris, Oscillatory granular segregation in along drum mixer, Europhys. Lett., preprint (2004).


segregacija sipkih snovi - university of...

Documents