université paris 13

2010-2011 Traitement Numérique du Signal 1

Université Paris 13

Traitement Numérique du Signal Master 11. Exemples de filtres numériques2. Produit de convolution3. Transformée en Z4. Filtres numériques5. Fonction de transfert6. Critère de stabilité, pôle, zéro7. Filtre à phase linéaire8. Schéma général


1/ Registre à décalage– Retard T Multiplication par Z-1 (nT Z-n)– Réalisation : Registres à décalages, décalages de pile (FIFO)

Z-1

f(nT) f((n-1)T) f(nT)

f((n-1)T)

f((n-2)T)

f((n-3)T)

f((n-4)T)

Entrée

Sortie

f((n-5)T)

Horloge (T)f(nT)

Z-1 Z-1 Z-1 Z-1 Z-1

Z-1

Z-1

Z-1

Z-1


Exemple de filtrages

Entrée Filtres Sorties

t

t

t


2/ Propriétés de la convolution : y[n]=h[n]*x[n]

1. Fréquence d’échantillonnage et périodicité conservées : x[n] N-périodique alors y[n] est N-périodique2. Invariance par translation dans le tempsSi x2[n] = x1[n-d] alors y2[n] = y1[n-d]3. Amplification des signauxSi x2[n] = a x1[n] alors y2[n] = a y1[n]4. Superposition des signauxSi x3[n] = x1[n]+x2[n] alors y3[n] = y1[n]+y2[n]5. Filtres en cascadeSi z[n]=h2[n]*y[n] et y[n]=h1[n]*x[n] alors h[n]=h2[n]*h1[n] et z[n]=h[n]*x[n]6. Modification de la moyenne moyenne(y[n]) = H(0) x moyenne(x[n])7. Réponse forcée du systèmeSi x[n]=exp(j2 f0nTe) alors y[n] = H(f0) x[n]

)(ˆ)(ˆ)(ˆ* fXfHfYxhy nnn

^

^ )()()(* zXzHzYxhy nnn

Réponse fréquentielle

Fonction de transfert


3/ Transformée en Z

0n

nn zszS

n

fnTjn

eesfS 2)(ˆ

nesnn

anTn

e1 0

module

phase

z=exp(j2fTe)11

1)(

zezS

eaT

signal causal

|z|f

nTe

pôle

zéro


Propriétés de la transformée en Z

)()()(* 21 zYzXznyxTZ nn

)()]([)()]([ 22 0 zeSfseTZzSzfsTZ ee fTjn

nTfjddn

)()()]([)()]([ zYzXzyxTZzaSfasTZ nnn

)]()2[sin()]()2[cos(1

11)]([ 111 1..001..0011..0

znnTfTZfnnTfTZz

zznTZzTZ

NeNe

N

Nn

)(1)()(1

1)( 1

110

zSzzssTZzSz

zsTZ nn

n

pp

)()(1

zXzYxyfa

faTT nnxe

ye

xe

ye

Retard=>déphasage

Linéarité

Dilatation/concentration

Somme cumulée et différence entre termes successifs

Produit de convolution/produit

Sinusoïdes=>quotients

décalage fréquentielParité )()( zXzXxn


4/ Filtrage

][nh nn

nnnnn unynuy *][][

][][1 nn

ee nTfjnTfj efHne 00 20

2 ˆ][ )(ˆ)(ˆ)(ˆ][ fUfHfYnuy nn

n

][)( nhTZpH

Réponse impulsionnelle

Réponse indicielle

Réponse harmonique ou réponse fréquentielle


)(

ˆ

fhTFTD

fH

n

nn

n

nnn unnznuz *][][1]'[

0''

)()()(][ zUzHzYnuy nn


tous les pôles sont nuls

AR, MA, ARMA

pp zbzbbzH ..)( 1

10

pp zazaa

zH

..

1)(

110

pp

qq

zazaa

zbzbbzH

..

..)(

110

110

MA=FIR=RIFréponse impulsionnelle finie

ARtous les zéros sont nuls

ARMA

qnqnnn xbxbxby ...110

npnpnn xyayaya ...110

qnqnnpnpnn xbxbxbyayaya ...... 110110

AR+ARMA=IIR=RII

21)1()( zzH

1

1

5.01

1

98.01

1)(

z

zzH

1

1

5.01

198.01

1)(

z

zzH


Schéma d’un filtre du 1er ordre

• Equation récurrente : s(nTe)=s[n]=sn=A.en+B.sn-1

• Symbolisation

Z-1e(nT)

+A

s(nT)s((n-1)T)

B

• Transformée en Z : H(Z)=A/(1-B.Z-1)


5/ Equations aux différences, filtres linéaires et Réponses fréquentielles

]2[]1[]2[]1[][ 210210 nxbnxbxbnyanyanya

22

110

22

110

)(

)()(

zazaa

zbzbb

zX

zYzH

fjfj

fjfj

eaeaa

ebebbfH

222

210

222

210)(ˆ

)()( 22

110

22

110 zXzbzbbzYzazaa

Relation entrée-sortie

TZ


Réponse fréquentielle

z opérateur retard-1


Pôles, zéros et allure de la réponse fréquentielle

22

110

22

110)(

zazaa

zbzbbzH

e

z

e

z

e

z

e

zb f

ffzj

f

ffz

f

ffzj

f

ffzfH

##1

1

##1

1

##0

0

##0

00 2sin2cos1arg2sin2cos1arg1)(ˆarg

1

21

11

0

12

11

10

111

111)(

zpzpzp

zzzzzzbzH

e

p

e

p

e

z

e

z

f

ffpp

f

ffpp

fff

zzf

ffzz

bfH##

11

2

1

##0

0

2

0

##1

1

2

1

##0

0

2

0

2cos212cos21

2cos212cos21

)(ˆ

Relation entrée-sortie

Fonction de transfertfactorisation zéros

pôlesModule de la réponse fréquentielle

Phase de la réponse fréquentielle

]2[]1[

]2[]1[][

210

210

nxbnxbxb

nyanyanya

e

p

e

p

e

p

e

p

f

ffpj

f

ffp

f

ffpj

f

ffp

##1

1

##1

1

##0

0

##0

0 2sin2cos1arg2sin2cos1arg


Fonctions de transfert, décomposition en élément simple et réponse impulsionnelle

12

21

1

11

0

0

111)(

210

zp

eA

zp

eA

zp

eAbzH

jjj

][1][1 1100 2

112

00 nepAnepAbh ep

ep nTfjnnTfjn

nn


Décomposition en éléments simples

pôlesRéponse impulsionnelle TZ-1

22

110

22

110)(

zazaa

zbzbbzH

1

21

11

0

12

11

10

111

111)(

zpzpzp

zzzzzzbzH

précautionssur les calculs


6/ Filtres stables / Filtres à minimum de phase

1, ipi

1, izi

Le filtre est stable si:

Le filtre est à minimum de phase si:Re(p)

Im(p)

Zone destabilité

1

j

Ordre du filtre = max(nb pôles,nb zéros)


nnn xayy 1 11

1)(

azzH a

][1][ nanh na

e

a

f

faa

fH#

2 2cos21

1)(ˆ

e

e

e

e

a

ffa

ffa

ffa

ffafsign

fH

/2cos1

/2sinarctan

/2cos1

/2sinarctan)(

)(ˆarg

#

#

#

##

1a

1a

Re(p)

Im(p)

xxxxx

pôles

stable

in-stable

n

nff

f f# #

# #

a

ff

a

e 1arccos

2

1

#

sinon


112

1 nnnn bxxyy

1

1

2

11

1)(

z

bzzH b

][12

212][ n

bbnh

nnb

e

eb

ff

ff

bb

fH#

#2

#

2cos45

2cos21

)(ˆ

1b

1bmin

t

tff

f f

nonmin

# #

# #

Re(p)

Im(p)

x oooo

pôle

o

zéros


phase

e

e

e

e

e

e

ff

b

ff

b

ff

b

ff

b

fsign

ff

ff

fH

#

#

#

#

#

#

2cos1

2sin

arctan

2cos1

2sin

arctan)(

2cos21

1

2sin21

arctan)(ˆarg

b

ff

b

e 1arccos

2

1

#

sinon

et


Impact sur le signal de sortie en entrée :

en sortie après approximation :

Retard de groupe

Fréquence Seuil

500 Hz 3.2 ms

1 kHz 2 ms

2 kHz 1 ms

4 kHz 1.5 ms

8 kHz 2 ms

Définition :

En audio :


7/ Filtre à phase linéaire

N

Nn

fnTjn

N

n

fnTjn

ee ehehfH2/

212/

0

2n-Nn )(ˆhh

Symétrie de la réponse impulsionnelle phase linéaire le filtre est l’association d’un retard et d’un filtre de réponse impulsionnelle paire non-causale

12/

0

22

n-Nn )2cos(2)(ˆhhN

nen

NTfj

fnThefHe


][nha

][nhb

][nhc

][nhd

)(ˆ #fH a

)(ˆ #fHb

)(ˆ #fH c

)(ˆ #fH d

)(ˆarg #fH i )(ˆarg ##

fHdf

di


Réponse impulsionnelle symétrique => phase linéaire

][1][ 1..0 nnh Na

][1]'[11

][0'

1..0 nnN

nh Nn

n

nNb

][][][ Nnhnhnh bbc

)]2([][][ Nnhnhnh bbd

e

e

e

Tfj

NTfj

e

eTNfja

e

e

Tf

NTfefH #

#

#

2

2

#

#)1(

1

1

sin

sin)(ˆ

22

22

2

2#

2

#

#

##

#

#

#

1

11

1)(ˆ

1

11)(ˆ

e

ee

e

e

e

Tfj

NTfjTfj

Tfj

NTfj

aTfjb

e

eNe

e

efH

eNfH

ee

NTfjb

bNTfj

bc

efH

fHefHfH#

#

2#

#2##

1)(ˆ

)(ˆ)(ˆ)(ˆ

eee

e

NTfjb

NTfjb

NTfj

bNTfj

bd

efHefHe

fHefHfH###

#

2#2#2

#22##

)(ˆ)(ˆ

)(ˆ)(ˆ)(ˆ

réelle linéaire

phase non-linéaire


8/ Temps discret : Filtres et transformées

#nh

nnn xhy *#

)(# zH )(ˆ # fH

#nnnn hyx

e

e

nTfjn

nTfjn

efHy

ex#

#

2##

2

)(ˆ

TZ

eTfjez#2

TFTD

Equation de récurrence

université paris 13

Documents