Università degli Studi di Ferrara

SCUOLA DI SPECIALIZZAZIONE PER L’INSEGNAMENTO SECONDARIO SEDE DI FERRARA

CORSO SPECIALE ABILITANTE – CLASSE A049 MATEMATICA E FISICA

ANNO ACCADEMICO 2005/2006

DIRETTORE della Scuola: Prof. Roberto Greci

COORDINATORE della Sede di Ferrara: Prof.ssa Luciana Bellatalla

DISSERTAZIONE FINALE

TITOLO : GRAVITAZIONE E CAMPO GRAVITAZIONALE

Specializzanda Prof.ssa Tutor Prof. SIMONA GENTILI FABIANO MINNI __________________________________ _______________________________

Relatore Prof.ssa PAOLA DE CHIARA

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1. Prima parte – Premesse 1.1 Inquadramento dell’argomento nel contesto dei programmi ministeriali della scuola

secondaria superiore

In questa prima parte cercherò di inquadrare l’argomento scelto nel contesto dei programmi proposti dal PNI, dalla Commissione Brocca. Con la Circolare Ministeriale n.24 del 6 febbraio 1991 il Ministero della Pubblica Istruzione propone l’Innovazione dei programmi di Matematica e Fisica nei bienni e nei trienni del Piano Nazionale per l'introduzione dell'Informatica nelle scuole secondarie superiori già avviato negli anni precedenti. Gli argomenti oggetto del programma sono stati suddivisi per grandi temi, secondo i moderni orientamenti della ricerca pedagogica, anche se vengono fornite indicazioni per una loro possibile scansione annuale. La scansione tiene conto del carattere di propedeuticità che alcuni argomenti hanno rispetto ad altri più complessi dal punto di vista formale e concettuale. Secondo tali direttive l’argomento scelto nella presente dissertazione viene sviluppato in tutte le tipologie di Istituti secondari superiori all’interno del primo dei sei temi indicati ed inserito, come scansione curricolare, nel corso del terzo anno di scuola superiore (si veda schema n1). I programmi proposti riguardano allievi provenienti dalle classi del biennio nelle quali è stato svolto l'insegnamento della Fisica secondo indicazioni del P.N.I. Nelle indicazioni metodologiche sono indicati alcuni concetti già affrontati in prima approssimazione nel biennio e che devono essere ripresi e formalizzati nella classe terza in relazione non solo allo sviluppo intellettivo raggiunto dagli allievi, ma anche alle conoscenze matematiche acquisite. Il programma è costituito dai seguenti temi: 1. forze e campi (gravitazione); 2. sistemi di riferimento e relatività; 3. principi di conservazione - processi reversibili e irreversibili; 4. onde meccaniche ed elettromagnetiche; 5. struttura della materia; 6. l'Universo fisico. Il tema 1 si propone di formalizzare e completare le conoscenze acquisite nel corso del biennio e non sufficientemente approfondite o per mancanza di supporti matematici o per mancanza di sufficienti capacità di astrazione degli allievi. Lo svolgimento in parallelo degli argomenti campo gravitazionale e campo elettrostatico segue l’intento di trattare subito analogie e differenze tra di essi. Il successivo studio del campo magnetico - qualora il livello della classe lo consenta - permetterà un discorso più ampio sui concetti di campo e di interazione. Nelle indicazioni metodologiche viene suggerita particolare attenzione nello spostare gradualmente l'attenzione dagli aspetti prevalentemente empirici e di osservazione analitica verso gli aspetti concettuali, la formalizzazione teorica e i problemi di sintesi e valutazione.

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Viene pertanto considerato come fondamentale, per una corretta conoscenza dei contenuti della fisica da parte degli studenti, che il docente presenti fin dall'inizio la differenza fra le definizioni operative ed i concetti astratti, che i modelli siano presentati come mezzi di rappresentazione dei quali dovranno sempre essere discussi i limiti di validità. Le teorie dovranno essere trattate mettendone in evidenza l'evoluzione e il progressivo affinamento. In questo modo si dovrebbero introdurre implicitamente anche nozioni di storia della fisica, come parte importante della formazione culturale dello studente e si dovrebbe proseguire, come nel biennio, con la lettura di pagine di carattere storico. La scansione degli argomenti dovrebbe essere coordinata, per quanto possibile, con quella delle altre discipline, in particolare della matematica, della filosofia e delle scienze. Lo studio di questo tema come degli altri temi proposti, oltre a fornire allo studente un bagaglio di conoscenze scientifiche adeguato, deve mirare allo sviluppo di specifiche capacità di vagliare e correlare le conoscenze e le informazioni scientifiche, raccolte anche al di fuori della scuola, recependole criticamente e inquadrandole in un unico contesto. L’affronto dei concetti di peso, gravità, verticale, interazione permetterà inoltre, partendo dalle abilità e conoscenze conseguite dagli allievi nel corso del biennio, di procedere alla revisione di alcuni concetti che non potevano essere compiutamente acquisiti a causa della giovane età. In tale riassetto sistematico si approfondirà lo studio dei moti (moto accelerato, moto circolare, moto armonico e moti su traiettoria curvilinea qualsiasi), con particolare attenzione ai sistemi di riferimento. L'attività di laboratorio dovrebbe prevedere sia esperimenti eseguiti dagli alunni sia altri, più raffinati, presentati dall'insegnante. Viene inoltre suggerito l'uso dell'elaboratore come strumento di aiuto per comprendere le conseguenze di determinate ipotesi e le implicazioni di un modello. Inoltre, attraverso la simulazione, si potranno effettuare confronti tra modelli e dati sperimentali. Sempre nei programmi del PNI si sottolinea in particolare la necessità didattica di utilizzare programmi di simulazione per lo studio degli aspetti che non si prestano ad esercitazioni di laboratorio (per esempio i moti di pianeti). Nei piani di studio e nei programmi proposti dalla Commissione Brocca si ritrova un inquadramento simile a quello del PNI anche se per le diverse tipologie di istituto secondario superiore sono previsti temi differenziati in quantità e peculiarità . (si vedano schemi n.2, 3 e 4). Il tema della gravitazione e del campo gravitazionale si trova inserito in uno dei principali temi (tema n.1 “interazioni gravitazionali” per la maggior parte degli indirizzi e tema n.2 “forze e campi” per l’indirizzo scientifico e scientifico-tecnologico) e, anche se non viene dettagliata una specifica scansione curricolare, si desume che il suo sviluppo sia auspicabile durante il terzo anno del quinquennio di scuola superiore o del secondo biennio per i percorsi quadriennali. Sia per l’ambiente umanistico che per quello scientifico viene suggerita una sistemazione disciplinare che curi particolarmente gli aspetti di concettualizzazione e di formalizzazione delle elaborazioni teoriche, sottolineando, in tal senso, il ruolo della matematica come strumento di pensiero che

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accompagna il passaggio dai fatti alle teorie, dal concreto all’astratto, dalle ipotesi più grossolane alle sistemazioni più raffinate. Principi e teorie devono essere presentate facendo emergere la loro potenza unificante e l’importanza di modelli e schemi rappresentativi. Si raccomanda di mettere in luce il cammino non sempre lineare della conoscenza. La trattazione in chiave storica di alcuni argomenti, unitamente, alla lettura critica di pagine di classici della scienza e di brani di memorie originali, contribuiranno a far comprendere le ragioni dello sviluppo scientifico e, quindi, a migliorare la formazione culturale dello studente. E’ anche opportuno mettere in evidenza le problematiche di ordine filosofico ed epistemologico connesse ai principi fisici. In questo senso si auspica il coordinamento con altre discipline. Talvolta sarà necessario evidenziare i legami tra scienza e tecnologia e, nel contempo, le profonde differenze esistenti tra esse, sia in termini di motivazione che di quadro epistemologico. Viene suggerito di affrontare gli argomenti con attività di laboratorio, agganciandoli a problemi della vita quotidiana, facendo previsioni e verificandole, enfatizzando la dinamica culturale della disciplina. Il quadro orario disponibile non permette una trattazione sistematica degli argomenti tradizionali dei programmi di fisica, pertanto è importante introdurre tematiche che permettano di interpretare i fenomeni naturali in una sintesi adeguata alle abilità e alle conoscenze proprie degli studenti e, nel contempo, favoriscano la trattazione approfondita ove possibile, di singoli argomenti. Rispetto al tema in questione la Commissione Brocca suggerisce che, nel rispetto delle peculiarità psicologiche degli alunni del 4° anno, si rende necessario mettere gli alunni di fronte a situazioni sperimentali che impongono la necessità di una corretta impostazione del processo di misura, della ricerca delle variabili significative e delle relazioni tra esse, della modellizzazione e della schematizzazione di un fenomeno. Perciò si auspica l’inizio dello studio di un fenomeno quotidiano con un approccio problematico (caduta di un oggetto) che diviene guida alla costruzione progressiva del sapere scientifico e fisico in particolare e alla formalizzazione delle conoscenze. Infatti si ritiene fondamentale l’introdurre certi concetti in funzione della loro necessità, e per far ciò si dovrà ragionare per problemi e possibilmente per problemi che in qualche modo coinvolgono gli allievi. Nel processo di comprensione della realtà fisica il tema della gravitazione si colloca come esempio significativo di unificazione, ponendo una successione di argomenti strettamente connessi sul piano logico, formale e concettuale. Infatti le interazioni gravitazionali ed elettrostatiche sono trattate in parallelo per consentire una riflessione sulle loro analogie. Si discute quindi della fondamentale unificazione dei fenomeni elettrici e magnetici sotto l’unico concetto di campo elettromagnetico. Lo studio di questi argomenti suggerisce inoltre l’esame di alcune implicazioni storico-filosofiche e di problematiche culturali rilevanti sul piano concettuale, come il passaggio da una fisica basata sul concetto di azione a distanza ad una basata sul concetto di azione per contatto.

Tema 1 Forz ampi

PNI - triennio

Tema n. 6 L'Universo fisico

-forze menti; -massa inerziale e momento d’inerzia; -concetto di campo e linee di campo; -campo gravitazionale e campo elettrostatico; potenziale ed energia potenziale; campi conservativi; -moto di masse in un campo gravitazionale; -moto di cariche in un campo magnetico; -campo magnetico generato da corrente elettrica; -conduzione elettrica; -circuiti elettrici.

e elettromagnetica; lternata;

lettromagnetico.

Tema 2 Sistemi di riferimento e relatività

-sistema isolato; -conservazione della quantità di moto e del momento angolare; -conservazione dell’energia; -indipendenza dei principi di conservazione dal sistema di riferimento; -teoria cinetica della materia; -principi della termodinamica; trasformazioni reversibili e irreversibili; concetto di entropia;

-sistemi di riferimento inerziali e non inerziali; -le trasformazioni galileiane; forze apparenti; -i postulati della relatività ristretta; -simultaneità, dilatazione dei tempi, contrazione delle lunghezze, trasformazioni di Lorentz; -massa relativistica ed equivalenza tra massa ed energia; -ipotesi della relatività generale.

-oscillazioni ed onde; -onde longitudinali ed onde trasversali; -riflessione, rifrazione e dispersione; -interferenza, diffrazione e risonanza; -polarizzazione; -effetto Doppler; -onde elettromagnetiche.

-spettroscopia (emissione, assorbimento, stati metastabili); -effetto termoelettronico; -corpo nero ed ipotesi di Plance; -effetto fotoelettrico e ipotesi di Einstein; -ipotesi di de Broglie: dualità onda-corpuscolo; -modelli atomici -principio di indeterminazione; -lo stato solido -nucleo atomico e radioattività naturale; -reazioni nucleari (in particolare fissione e

le i”.

-la curvatura dello spazio tempo; -spostamento verso il rosso delle righe spettrali; -radiazioni elettromagnetiche; -radiazione cosmica; -sistema solare; -le stelle: origine ed evoluzione; -oggetti celesti; -ipotesi cosmologiche e modelli dell’universo.

Tema 4 Onde meccaniche ed elettromagnetiche

Tema 3 Principi di conservazione – Processi reversibili e irreversibili

Tema n. 5 Struttura della materia

-induzioncorrente a-campo e

e e c

e mo

Schema1 - Temi prop elativa scansione curricolare.

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fusione); -le particel“elementarTerzo anno Quarto anno Quinto anno

osti dal Piano Nazionale per l’introduzione dell’informatica nelle scuole medie superiori e r

Tema 1 Interazioni gravitazionali

-Analisi della caduta dei gravi in situazioni diverse. Misurazione diretta ed indiretta di grandezze. Introduzione ad una scienza sperimentale: definizione operativa delle grandezze fisiche; elementi della teoria della misura. Pendolo Moto periodico. -Sistemi di riferimento. Principi della dinamica. Forze elastiche. Moto circolare uniforme. Pendolo conico.

azione gravitazionale ga scala. di Keplero. ge gravitazionale

rsale. o gravitazionale. gia:

ro di una forza. i conservativi.

ipi di conservazione. azione gravitazionale niverso. Schema 2 – Temi proposti dalla Commissione Brocca per il triennio dell’indirizzo classico

Tema 2 Interazioni elettromagnetiche

Tema 3 Quanti, materia radiazione

-Fenomeni elettrostatici. Forza di Coulomb. Campo elettrico. -Moto di una carica in un campo elettrico. Corrente elettrica. Circuiti elettrici. Modello di conduzione. -Energia elettrica. Trasformazioni di energia. Potenza. Condensatori. -Campo magnetico. Interazione tra correnti. Fenomeni di induzione elettromagnetica. Campi elettrici e variabili nel tempo. Onde elettromagnetiche. Banda ottica – fenomenologia Analogia con fenomeni ondulatori di altra natura.

-Struttura atomica della materia. La scoperta dell’elettrone. Evoluzione dei modelli dell’atomo. -La spettroscopia come metodo di indagine. La quantizzazione dell’energia nella materia. La quantizzazione dell’energia nella radiazione. Dualismo onda-corpuscolo. Il principio di indeterminazione di Heisemberg. -Il nucleo atomico. Interazioni nucleari. Energia di legame nucleare. Interazione forte. Interazione debole. Fissione e fusione. Le particelle elementari.

Tema 4 Relatività

-Concetto di tempo e spazio assoluti in meccanica classica. Trasformazioni galileiane. Velocità critica. -Costanza della velocità della luce nel vuoto. I postulati della relatività ristretta. Composizione delle velocità. Massa relativistica. Equivalenza massa energia.

Programmi Brocca triennio Classico

-Oggetti celesti. -Il Sole: caratteristiche fisiche e parametri osservativi, irraggiamento e spettro elettromagnetico, temperatura superficiale, attività, struttura interna, “sorgenti” di energia: la fusione termonucleare. -Origine degli elementi. -Stelle: parametri osservativi, classificazione spettrale, aspetti evolutivi, distribuzione nella Galassia. -Fondamenti osservativi della cosmologia e modelli di universo.

Tema 5 Astrofisica e cosmologia

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-Intersu larLeggiLa leguniveCamp-EnerLavoCampPrincInternell’u

-Analisi della caduta dei gravi in situazioni diverse. Misurazione diretta ed indiretta di grandezze. Introduzione ad una scienza sperimentale: definizione

tiva delle grandezze e; elementi della teoria misura. lo

periodico. mi di riferimento. pi della dinamica. elastiche. circolare uniforme. lo conico. azione gravitazionale ga scala. di Keplero. ge gravitazionale

rsale. o gravitazionale. gia:

ro di una forza. i conservativi.

ipi di conservazione. azione gravitazionale niverso.

Schema 3 – Temi proposti dalla Commissione Brocca per il triennio dell’indirizzo linguistico e socio-psico- pedagogico

-Fenomeni elettrostatici. Forza di Coulomb. Campo elettrico. -Moto di una carica in un campo elettrico. Corrente elettrica. Circuiti elettrici. Modello di conduzione. -Energia elettrica. Trasformazioni di energia. Potenza. Condensatori. -Campo magnetico. Interazione tra correnti. Fenomeni di induzione elettromagnetica. Campi elettrici e variabili nel tempo. Onde elettromagnetiche. Banda ottica – fenomenologia Analogia con fenomeni ondulatori di altra natura.

-Costituzione della materia. Spettroscopia. Evoluzione dei modelli atomici. Fondamenti di fisica moderna: effetto fotoelettrico, esperienza di Franck e Hertz. Ipotesi di de Broglie, principio di Heisemberg. -Interazione forte. Caratteristiche dei nuclei. Fisione e fusione. -Decadimenti: particelle, metodi di indagine attuali.

Tema 4 Dal microcosmo al macrocosmo - relatività

-Gli oggetti celesti. Il Sole: caratteristiche fisiche e parametri osservativi, irraggiamento, spettro elettromagnetico, attività, energia termonucleare. Stelle: parametri osservativi, classificazione spettrale, aspetti evolutivi, origine degli elementi. Galassie. -Fondamenti evolutivi della cosmologia. -Concetto di spazio e tempo assoluti. I postulati della Relatività ristretta. Simultaneità degli eventi. Equivalenza massa-energia. Ipotesi di relatività generale. -Modelli di universo.

Programmi Brocca triennio linguistico, socio-psico-pedagogico

Tema 1 Interazioni gravitazionali

Tema 2 Interazioni elettromagnetiche

Tema 3 Interazione forte e debole dall’atomo al nucleo

operafisichdella PendoMoto-SistePrinciForzeMotoPendo-Intersu larLeggiLa leguniveCamp-EnerLavoCampPrincInternell’u

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-Moti e sistemi di riferimento. Moto rettilineo, moto su traiettoria curvilinea qualsiasi. Moto circolare uniforme, moto armonico. -Forze e moti. Le tre leggi della dinamica. -Sistemi di riferimento inerziali e non inerziali. Forze apparenti. Principio di relatività galileiane e trasformazioni di Galilei. Principio di equivalenza. -Lavoro di una forza. Energia cinetica. -Quantità di moto e sua conservazione. -Sistemi di corpi. Centro di massa. Momento di inerzia. Corpo rigido. Momento angolare e sua conservazione. -(Condizioni generali di equilibrio). -(Mezzi continui deformabili. Fluidi. Equazione di Bernoulli. Viscosità)

Programmi Brocca triennio scientifico, scientifico-tecnologico

Tema 5 Quanti, materia e radiazione

Tema 3 Oscillazione e onde

Tema 2 Forze e campi

Tema 1 Fondamenti della meccanica

Schema 4 – Temi proposti dalla Commissione Brocca per il triennio dell’indirizzo scientifico, scientifico- tecnologico

Tema 7 Universo fisico

Parte I (terzo anno) -Interazioni gravitazionali. Leggi di Keplero. La legge di gravitazione universale. -Interazioni elettrostatiche. La legge di Coulomb. -Campo gravitazionale e campo elettrostatico. Vettori g ed E. Principio di sovrapposzione dei campi. -Campi conservativi. Potenziale ed energia potenziale. Circuitazione e flusso. Teorema di Gauss. Capacità elettrica. Energia e densità di energia del campo elettrico. -Conservazione dell’energia -Moto di masse in campo gravitazionale e moto di cariche in campo elettrico. -Interazioni magnetiche tra magneti, circuiti, cariche in moto. -Campo magnetico. Vettore B. -Campi non conservativi. Flusso e circuitazione di B, teorema di Ampere. -Moto di cariche in un campo magnetico. Forza di Lorentz.

Tema 4 Termodinamica e modelli statistici

Tema 6 Relatività

Parte II (quarto anno) -Campi elettrici e magnetici variabili. Induzione elettromagnetica. Energia e densità del campo magnetico. -Equazioni di Maxwell. -Conduzione elettrica. Conduttori, semiconduttori, isolanti. Circuiti in cc e ca. Circuiti con elementi attivi e passivi.

1.2 Ruolo della tematica proposta in ambito disciplinare, considerazioni storiche ed

epistemologiche

Nel corso del biennio e della prima parte del triennio gli alunni si sono occupati prevalentemente di moti che si svolgono sulla Terra (caduta libera, moto dei proiettili, pendolo, ecc.). Molti di essi sono causati dalla forza di gravità, che attira verso il centro della Terra tutto ciò che su di essa si trova. Poi chiediamo loro di abbandonare momentaneamente la Terra e di rivolgere l’attenzione ai corpi celesti, perché vogliamo capire come si muovono nello spazio e quali sono le forze che determinano i loro movimenti. Oggi ci sembra del tutto naturale estendere ai corpi celesti le leggi della dinamica, che sono state scoperte con osservazioni ed esperienze terrestri. Dopo aver inviato delle spedizioni umane sulla Luna e dei veicoli spaziali nel Sistema Solare, non ci stupiamo di trovare fuori della Terra gli stessi elementi chimici che abbiamo qui. Ma non è sempre stato così. L’affrontare il tema della Gravitazione permette di evidenziare come l’uso del “metodo scientifico” abbia creato le condizioni per una spiegazione più ampia e specifica sia del moto dei pianeti sia dei moti terrestri. Solo quattro secoli ci separano dall’epoca in cui un insieme di eventi culturali, tecnici ed economico-politici, congiunti al desiderio di spiegare in termini razionali la realtà naturale, diede origine alla “filosofia della natura” (oggi diremmo: alla scienza). Questa nuova via di indagine si è rivelata di una fecondità sorprendente e ha permesso di acquisire con grande rapidità una conoscenza sempre più ampia e profonda del mondo che ci circonda. A tal punto andò aumentando la fiducia in questa forma di sapere e nelle sue applicazioni che, a partire dalla seconda metà del Settecento e fino alla fine dell’Ottocento, si consolidò la convinzione che la scienza fosse una forma di sapere assoluto e che, pertanto, ogni espressione della razionalità umana dovesse essere ridotta a razionalità scientifica. Lo studio delle vicende che hanno portato alla formulazione della legge di gravitazione universale permette un’approfondita riflessione sui contenuti e sui metodi della scienza, riflessione che si innesta nella più ampia attenzione sui contenuti e sui metodi della scienza avviata a partire dall’inizio del XX secolo, attraverso la quale, rimettendo in discussione le potenzialità conoscitive di questa disciplina è stato possibile sgombrare il campo dalla pretesa di racchiudere in formule e teorie la misteriosa complessità del mondo. Cosa ancor più importante, a mio parere, è che attraverso questo tema è possibile in qualche modo rivivere parte dell’esperienza di colui che ha aperto all’umanità la strada per riuscire a capire com’è fatto il mondo, strada fondata sull’umiltà intellettuale, sul rigore e sulla riproducibilità. “La grandezza di Galileo, infatti, non sta nelle sue, pur straordinarie, scoperte astronomiche. Ne bastava una per diventar famosi. E furono tante. La grandezza veramente unica di Galilei consiste nell’essere stato lui, il primo uomo al mondo a scoprire le prime impronte fondamentali del creatore incise nella materia “volgare”: pietre, spaghi e legna. Se bastasse la curiosità per scoprire la Scienza, sarebbero stati i nostri antenati all’età della pietra a scoprirla: erano curiosissimi. Se bastasse il rigore della Logica, l’avrebbero scoperta i Greci. Questo privilegio straordinario doveva toccare invece a un uomo di Fede. A un uomo convinto che, per capire le Stelle, era necessario studiare la materia “volgare” In questa materia Galilei cercò le impronte del creatore e scoprì che non siamo figli del caos, ma di una Logica rigorosa. Umiltà, rigore e riproducibilità sono le basi dell’insegnamento galileiano.” (Galilei divin uomo – A.Zichichi, 2001)

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1.3 Classe destinataria dell’intervento didattico

Si intende proporre un percorso didattico per studenti di un liceo scientifico PNI nel quale sia stata svolta l’attività di laboratorio di fisica nel biennio.

1.4 Problematiche didattico – metodologiche relative ad un efficace sviluppo dell’argomento.

La comprensione degli effetti gravitazionali è una occasione per evidenziare alcuni equivoci ricorrenti nella logica comune, per riprendere il significato specifico di alcuni termini spesso impropriamente utilizzati nel linguaggio quotidiano e per mettere in campo nel quadro più ampio della dinamica le conoscenze cinematiche e statiche acquisite nel corso degli anni precedenti. • Significato della parola gravità I greci attribuivano ai corpi proprietà teleologiche di “gravità” e “levità” come tendenza verso il centro della Terra o salita al dominio celeste. La Scienza del XVII secolo elimina sia la teologia, sia il termine “levità” e applica il termine “gravità” all’interazione tra oggetti e Terra. Con la sintesi Newtoniana il significato viene esteso, con la grande intuizione che lo stesso effetto di caduta della mela lega anche la Luna alla Terra e la Terra e i pianeti al Sole. Come viene usato oggi il termine “gravità”? I ragazzi utilizzano difficilmente tale termine al di fuori del contesto scolastico, risulta perciò interessante la lettura di alcune pagine della letteratura scientifica tra le quali certamente non può mancare quella relativa all’esperimento concettuale delle due pietre in caduta libera descritto da Galileo Galilei nei Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze.(vedi allegato documento 1) • Significato di “verticale” e “ortogonale” Qual è la direzione verticale nel punto dove ci troviamo? La domanda conduce alla chiara connessione tra la direzione della forza di gravità e il significato di “orizzontale” e “verticale” (o con il filo a piombo, o la livella del carpentiere). Che cosa è la verticale? Il quesito va posto in classe e più volte ripreso nel corso degli anni aggiungendo ogni volta qualche elemento problematico (dinamica rotazionale, forma non sferica della Terra e sua disomogeneità) • Aria, gravità e vuoto Nel senso comune vi è talvolta una errata associazione tra aria (atmosfera), che preme verso il basso, sulle cose e la gravità. Esiste quindi il rischio di vedere la gravità come una spinta verso il basso piuttosto che un’azione di tirare verso il basso. Vale la pena approfondire con domande ed esempi la questione: la gravità “scompare” quando l’aria è rimossa?! E cosa significa vuoto? Ancora oggi nel senso comune dei bambini vi è l’idea che il vuoto e l’aria siano la stessa cosa, ed è per loro difficile immaginare che l’aria pesa. Questo fatto è stato studiato da tempo , e deriva dalla indeterminazione semantica della parola “vuoto”, fatto che ha deviato la riflessione dell’uomo per lungo tempo: “mi ha vuotato il frigorifero”, “in questo momento ho un vuoto di memoria”. E’ quindi interessante chiarire al più presto questo equivoco per esempio proponendo un esperimento in cui si intende pesare una bottiglia di plastica prima e dopo avervi pompato dell’aria dentro (cfr. La fisica nella scuola – Pesare l’aria – G.Pegna, P.Grosso – 2003) • Uso del tubo con piuma e moneta Questo sistema, non solo ripercorre l’esperienza di Galileo, sulla caduta dei gravi, ma offre l’opportunità di discutere sulla parola “vuoto” e, per coloro che si aspettano che la gravità scompaia in assenza di aria, mette in evidenza che ciò non accade. Purtroppo non è sempre possibile realizzarlo ma può essere sostituito con un esperimento che limiti fortemente gli effetti dell’attrito dell’aria, come per esempio la caduta di due sfere cave identiche dopo avere inserito in una delle due sfere un corpo notevolmente massivo.

• Significato di “g” Molti studenti alla domanda: cosa significa “g” in cinematica e in dinamica? Rispondono “gravità”; non citano la parola “accelerazione”. L’attenzione al linguaggio non è secondaria alla completezza dei contenuti ed alla correttezza delle metodologie didattiche. • “Sentire” il peso di un oggetto Frase “sentiamo il peso di un oggetto quando la portiamo” implicando che la stessa forza agisce sulla tavola che sostiene l’oggetto. Il termine “peso di un oggetto” deve essere riservato esclusivamente alla forza gravitazionale esercitata dalla Terra sull’oggetto. Dato questo significato, la forza che noi sentiamo quando teniamo un oggetto non è il peso dell’oggetto, ma la forza di contatto che l’oggetto esercita su di noi. Infatti le due forze non sono uguali numericamente se qualcosa sta premendo verso il basso, o tirando verso l’alto l’oggetto; se stiamo accelerando l’oggetto in alto o in basso. La distinzione fra le due forze non è banale, e, se non è mantenuta, si perde comprensione del vocabolario scientifico; inoltre rimane indeterminata l’individuazione della coppie di forze (III Legge) all’interfaccia. Vale la pena di eseguire e riflettere su alcuni semplici esperienze come pesarsi sull’ascensore che scende o pesarsi su un piano inclinato. Anche parole del tipo “senza peso” in connessione a satelliti e veicoli spaziali possono risultare fuorvianti. La parola “peso” deve essere definita originariamente come la forza gravitazionale esercitata dalla Terra sull’oggetto. La descrizione del “peso” come la lettura su una scala di una bilancia su cui si trova l’oggetto deve essere attribuita in realtà alla forza normale esercitata dal piatto sull’oggetto. Questo valore non solo non è la forza gravitazionale esercitata dalla Terra sull’oggetto, ma, in molte circostanze, non è nemmeno numericamente uguale alla forza gravitazionale. Pertanto lo studente deve essere aiutato a chiarire che, partendo dalla definizione del peso, noi non sentiamo la forza gravitazionale, ma ne postuliamo la sua esistenza sulla base dell’osservazione dell’accelerazione in caduta libera (senza attrito dell’aria). Quando saltiamo da un posizione elevata (trampolino), non “sentiamo’, in caduta, una forza che ci tira. Ciò che sentiamo è la forza normale esercitata su di noi dall’oggetto quando siamo su di esso. Questa forza è numericamente uguale al nostro peso solo se nessuno è seduto sulle nostre spalle o cerca di tirarci su e solo se non siamo accelerati in alto o in basso. Che cosa segna l’ago della bilancia quando siamo accelerati in alto o in basso? Vedi ascensore. La nostra sensazione è quella di una forza verso l’alto più grande, di quella normalmente sentita, quando l’accelerazione è verso l’alto e di una forza verso l’alto più piccola,quando l’accelerazione è verso il basso. E cosa accade alla forza esercitata verso l’alto su di noi dal piatto della bilancia quando l’accelerazione verso il basso si avvicina sempre di più a quella di caduta libera? La forza verso l’alto su di noi e la lettura sulla scala vanno a zero Perciò quando siamo in caduta libera la forza gravitazionale esercitata su di noi dalla Terra non diventa zero; ciò che diventa zero è la forza normale esercitata sui nostri piedi, la forza di cui abbiamo sensazione diretta. Noi sentiamo una sensazione strana, cioè sensazione di “mancanza di peso”, di qui la terminologia scorretta. La terminologia “senza peso” è usata per descrivere la situazione in un ascensore in caduta libera o in un satellite; si deve comprendere l’uso che può confondere e non interpretare la frase letteralmente, nel senso che la forza gravitazionale sia diventata nulla.

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2 .Seconda parte – Presentazione dei contenuti ed intervento didattico

2.1 Destinatari

Terza liceo scientifico PNI composta da allievi provenienti dalle classi del biennio nelle quali è stato

svolto l'insegnamento della Fisica

2.2 Prerequisiti – accertamento dei prerequisiti (prova di verifica in ingresso, vedi allegato 1)

• Conoscere le leggi della cinematica • Conoscere le leggi della dinamica • Energia e lavoro • Conservazione dell’energia meccanica • Conoscere in particolare le leggi del moto circolare uniforme • Conoscere in particolare le leggi del moto armonico • Conoscere l’equazione delle coniche nel piano cartesiano, in particolare circonferenza ed

ellisse • Conoscere in maniera descrittiva le geometrie non euclidee

2.3 Tempi dell’intervento didattico

Si propone di affrontare l’argomento attorno ai mesi di aprile, maggio, quando lo sviluppo del

programma di geometria analitica ha già permesso l’acquisizione delle coniche.

durata (ore) argomento

1 introduzione storica attraverso i suoi protagonisti – laboratorio informatica

1 le leggi di Keplero

1,5 la legge di gravitazione universale

1,5 il valore della costante G

0,5 massa inerziale e massa gravitazionale

1,5 l’accelerazione di gravità

1 verifica formativa

1 il moto dei satelliti

0,5 la deduzione delle leggi di Keplero

1 il campo gravitazionale – uscita didattica Pisa (esperimento Virgo)

1 l’energia potenziale gravitazionale

2 la conservazione dell’energia meccanica

1,5 verifica sommativa

2.4 Obiettivi

• Utilizzare correttamente termini scientifici • Saper analizzare fenomeni fisici attraverso gli occhi di coloro che li hanno analizzati nel corso

dei secoli • Saper riconoscere la sintesi presente in diverse leggi fisiche • Saper utilizzare il linguaggio matematico per descrivere fenomeni fisici sia dal punto di vista

cinematico sia dal punto di vista dinamico • Acquisire sinteticamente i passi fondamentali che condussero dalla visione di un Universo geocentrico ad un Universo eliocentrico • Esaminare in particolare il sistema tolemaico e il sistema copernicano • Saper descrivere i contributi di Tycho Brahe, Keplero e Galileo nell’affermazione del sistema copernicano • Comprendere il significato della legge di gravitazione universale di Newton • Acquisire il concetto di campo gravitazionale e di energia potenziale gravitazionale Conoscenze Abilità • Le tre leggi di Keplero • La legge di Newton delle gravitazione

universale • La misura della costante G e

l’esperimento di Cavendish • Massa inerziale e massa gravitazionale • Il moto dei satelliti • Le caratteristiche del campo

gravitazionale • L’energia potenziale nel campo

gravitazionale

• Utilizzare le leggi di Keplero nello studio del moto dei corpi

• Applicare la legge di gravitazione di Newton

• Comprendere la distinzione tra massa inerziale e massa gravitazionale

• Analizzare il moto dei satelliti • Dedurre le leggi di Keplero dai principi

della dinamica • Comprendere le caratteristiche del

campo gravitazionale • Utilizzare il principio di conservazione

dell’energia nell’analisi di moti in campi gravitazionali.

2.5 Metodologie didattiche, materiali e strumenti impiegati Il nucleo centrale del progetto sarà introdotto con riferimenti storici piuttosto ampi in quanto, a mio parere, un approccio puramente “tecnico” al problema in oggetto risulterebbe inadeguato almeno per i seguenti motivi: • la sostituzione dell’immobilità della Terra con quella del Sole non ha semplicemente significato la sostituzione di un modello planetario con un altro, ma ha implicato anche un radicale mutamento della visione cosmologica; • il substrato teorico dei due diversi modelli (geocentrico ed eliocentrico) era addirittura un diverso concetto filosofico di moto: assoluto per chi riteneva ferma la Terra, relativo per chi riteneva che questa ruotasse intorno al Sole. Tenendo presente anche gli aspetti culturali, religiosi e filosofici, pur tenendoli ben distinti dall’analisi scientifica, sarà possibile comprendere meglio l’origine delle teorie stesse. Si prevede inoltre l’utilizzo dei seguenti strumenti didattici: lezioni frontali, discussioni in aula, simulazioni con Cabri II Plus, esercizi in classe, interrogazioni, test, verifiche formative e sommative, visione di filmati, esperienze di laboratorio, problemi di livello superiore.

12

2.6 Contenuti e loro sviluppo

2.6.1 Introduzione storica attraverso i suoi protagonisti

Almeno dai tempi degli antichi Greci, due problemi furono

argomenti di indagine approfondita:

1. la tendenza dei corpi, per esempio le pietre, a cadere sulla

Terra se abbandonati a una certa altezza dal suolo; Figura 1 - Ritratto dell'astronomo, geografo e matematico greco Tolomeo, situato nel frontespizio di un'edizione della sua opera Geografia stampata a Ulm nel 1 82. 4

2. i moti dei pianeti, includendo tra essi il Sole e la Luna, che

nei tempi antichi erano classificati tra i pianeti.

E’ comprensibile il fatto che tali problemi venissero affrontati

separatamente.

I primi seri tentativi di spiegare la cinematica del sistema solare furono fatti da Tolomeo (Claudius

Ptolomeaeus, II secolo d.C.) il quale sviluppò un modello geocentrico (detto anche tolemaico).

La teoria tolemaica di fatto adattò le costruzioni astronomiche dei suoi predecessori, in particolare di

Ipparco (II sec a.C.), al modello dell’universo aristotelico.

Anche se nel III sec a.C. Arsitarco di Samo

aveva già formulato una teorica eliocentrica, nel

1400 l’universo era ancora concepito secondo lo

schema di Aristotele: al centro la Terra col

mondo sublunare, dove la materia è soggetta a

continue trasformazioni e a movimenti che

avvengono spontaneamente (rettilinei, in

direzione della verticale e dipendenti dalla

“naturale tendenza degli elementi”) o

violentemente per effetto di forze estranee; intorno alla

Terra le sfere della Luna, del Sole, dei pianeti e, al di

sopra di tutte, la sfera che portava incastonate le stelle.

Terra

Sole

Venere Luna

Mercurio

Giove Marte

Sole

Terra

Figura 2 – Deferenti ed epicicli dei pianeti “interni” nel sistema tolemaico

Queste sfere celesti erano costituite da un elemento

incorruttibile e inalterabile, in moto circolare uniforme,

uguale a se stesso da sempre, emanazione della divinità.

Fin dai tempi dei pitagorici, infatti, la sfera era vista

come simbolo di perfezione. Figura 3 – Deferenti ed epicicli dei pianeti “esterni” al Sole nel sistema Tolemaico

Questa cosmologia non era messa in dubbio da nessuno perché prima di Galileo non era concepibile

pensare che un corpo potesse mantenere il proprio moto senza che una forza continuamente lo

sospingesse, perciò i corpi celesti dovevano essere enti immateriali e inalterabili mossi dalla volontà

divina e la Terra, materiale corruttibile, non poteva che trovarsi ferma al centro di questo universo ad

essa completamente estraneo.

La teoria tolemaica costituiva una cinematica celeste soddisfacente nell’ambito degli errori di misura

delle osservazioni che venivano fatte. Eclissi, posizioni delle stelle potevano essere previste con

sufficiente precisione.

E’ importante far osservare ai ragazzi che dal punto di vista cinematico, è accettabile sia la

scelta del sistema di riferimento Terra, sia la scelta del riferimento Sole.

Il sistema geocentrico di Tolomeo ricalcava l’universo a sfere di Aristotele ma era più efficiente dal

punto di vista matematico essendo basato su una complessa costruzione geometrica; ogni pianeta

ruotava su una circonferenza detta epiciclo; il centro di questa a sua volta ruotava su una circonferenza

detta deferente, nel cui centro era la Terra.

L’ipotesi di Tolomeo non ha nulla di sorprendente. La Terra appare all’uomo come il corpo più

importante. Anche oggi, nell’astronomia della navigazione usiamo un sistema di riferimento

geocentrico e nella conversazione ordinaria usiamo ancora termini come “il sorgere del Sole”, che

implicano la scelta di un tale sistema di riferimento.

La composizione del moto delle sfere riproduce il fenomeno del moto retrogrado e rende conto,

almeno qualitativamente, del fatto che i pianeti sono più luminosi (e quindi più vicini alla Terra),

durante tale fenomeno. Proprio da questa anomalia rispetto al moto circolare uniforme ha origine il

nome di pianeta che deriva dalla parola greca planhthz, che significa “errante”.

2.6.1.1 Simulazione moto retrogrado di Marte con Cabri 2D

La foto rappresenta in sequenza le posizioni di Marte nel periodo

aprile – ottobre come ci appaiono rispetto alle stelle fisse. In

particolare da maggio a luglio la traiettoria disegna una sorta di

anello e riprende in settembre la primitiva direzione.

Ritengo sia utile

approfondire tale

questione riproducendo

assieme ai ragazzi, nel

laboratorio di informatica,

uno schema del modello

tolemaico che possa efficacemente spiegare il moto

retrogrado. (vedi scheda laboratorio di informatica n1 - allegato 2). Più avanti sarà utile riproporre ai

14

ragazzi lo stesso tipo di esercizio verificando tramite una simulazione con Cabri che il moto

retrogrado è spiegabile anche nel sistema copernicano. (vedi scheda laboratorio di informatica n.2 –

allegato 3).

“Simulare significa costruire un modello che teorizzi “perfettamente” un fenomeno che nella realtà

non potrà essere mai regolato dalle stesse leggi esatte.

Lo studente da una simulazione non può trarre dati e risultati quantitativi “veri”, ma può verificare

che esistono leggi matematiche che regolano fenomeni reali. Il modello però diventa perfetto, elimina

i fattori di disturbo e permette quindi di arrivare alla legge matematica.

La simulazione con Cabri si propone due obiettivi fondamentali: da un lato tende a rappresentare

nell’ambito di una realtà virtuale un fenomeno fisico, dall’altro vuole sviluppare le capacità creative

degli studenti i quali devono applicare la loro conoscenza della geometria e di relazioni matematiche

come la proporzionalità diretta, inversa e quadratica, per costruire la simulazione cinematica del

fenomeno che stanno studiando.” (Alfio Petrone Quaderni di CABRIRRSAE n.17 )

Nel III secolo a.C., in un periodo intermedio tra quelli in cui furono formulati il primo modello

eliocentrico ( Eudosso IV sec. a.C.) e quello tolemaico di cui abbiamo appena parlato, l’astronomo

greco Aristarco di Samo aveva proposto un modello di Universo totalmente diverso. Secondo

Aristarco il Sole è fermo al centro dell’Universo e la Terra e i pianeti gli girano intorno con moti

circolari.

Con questa ipotesi i movimenti dei corpi celesti diventano più semplici, supponendo però che la Terra,

oltre a ruotare attorno al Sole, ruoti anche su se stessa. Da questo modello ne consegue che:

• il moto diurno di rotazione delle stelle fisse e di tutti gli altri corpi celesti è apparente e dovuto

alla rotazione diurna della Terra sul suo asse;

• la variazione stagionale dell’altezza del Sole è dovuta a un’inclinazione dell’asse terrestre, che

non è perfettamente perpendicolare al piano dell’orbita compiuta intorno al Sole;

• il moto retrogrado è una conseguenza della differente velocità di rotazione dei vari pianeti

rispetto a quella della Terra.

L’ipotesi di Aristarco rimase isolata nel mondo antico, perché contro di essa potevano essere mosse

molte obiezioni.

In primo luogo, i sistemi filosofici dominanti avevano un punto di forza nalla separazione Terra-cielo

e nella immobilità della Terra: era difficile quindi accettare l’idea che la Terra non fosse il centro

dell’Universo, ma un pianeta vagante nello spazio. In secondo luogo, esistevano forti obiezioni sul

piano stesso dell’accettabilità del modello. Di queste, le due seguenti sembravano particolarmente

forti:

• se la Terra ruota su se stessa, perché non veniamo proiettati verso l’esterno? E perché, ad

esempio, gli uccelli non rimangono indietro, nel loro moto aereo rispetto alla superficie terrestre, ma

possono spostarsi come se la Terra fosse ferma?

• se la Terra si muove rispetto alle stelle, che rimangono fisse, dovremmo osservare durante

l’anno uno spostamento della posizione delle stelle, dal momento che varia la prospettiva dalla quale

le guardiamo. Perché questo spostamento non viene osservato?

La mancanza di un “principio di composizione dei movimenti” impediva allora di controbattere

efficacemente alla prima obiezione, ma anche la seconda poneva un grosso problema. Sarebbe stato

necessario ammettere che lo spostamento della Terra, corrisponende ad

un diametro dell’orbita intorno al Sole, fosse così piccolo rispetto alle

distanze stellari da essere trascurabile ai fini di una variazione di

prospettiva. Ne conseguiva un ampliamento enorme delle dimensioni

dell’Universo: le stelle dovevano essere almeno migliaia di volte più

lontane del Sole rispetto alla Terra e questa ipotesi appariva assurda.

Niccolò Copernico (1473 – 1543)

Niccolò Copernico (1473 – 1543), canonico polacco, astronomo per

passione, volle affrontare il problema in modo radicalmente diverso dalla

maggioranza dei suoi predecessori. Egli capovolse la cosmologia vigente

considerando la Terra non più centro dell’Universo ma un semplice

pianeta che ruotava insieme agli altri su traiettoria circolare intorno al

Sole.

Per quei tempi questa innovazione non rappresentava solo il cambiamento del sistema di riferimento:

si trattava di una assurdità contro il senso comune; era un’assurdità fisica per l’impossibilità del

moto senza forza e infine una assurdità filosofico-teologica perché, assimilando la Terra agli altri

pianeti, presupponeva che i corpi celesti fossero della stessa natura della Terra.

Non a caso Copernico fece pubblicare il suo lavoro De revolutionibus orbium coelestium solo dopo la

sua morte nel 1543 dal suo allievo G.J.Rheticus. In essa egli sviluppò la sua teoria in un continuo

parallelismo, capitolo per capitolo, con l’Almagesto di Tolomeo.

La soluzione proposta da Copernico rappresentava una semplificazione rispetto alle complicate

costruzioni tolemaiche ma le previsioni sperimentali basate sulle orbite circolari dei pianeti

risultavano peggiori di quelle allora ottenibili con il modello geocentrico.

Così anche Copernico si vide costretto a ricorrere a moti accessori, al concetto di epiciclo, ecc., cosa

che, alla fine, rese il suo modello complicato quanto quello tolemaico.

Quasi un secolo più tardi, Galileo e Keplero portarono due contributi decisivi per l’affermazione della

teoria eliocentrica: Galileo, con l’impostazione della meccanica moderna, rese accettabile dal

16

punto di vista fisico il moto perenne della Terra e dei pianeti senza intervento di forze; Keplero

riuscì a trovare la vera forma della traiettoria dei pianeti attorno al Sole.

Egli ebbe la fortuna di poter disporre di una enorme mole di osservazioni estremamente precise e

sistematiche fatte dall’astronomo Tycho Brahe (nato nel 1546 a

Knudstrup in Scania, oggi in Svezia, allora in Danimarca) nel corso di

oltre vent’anni.

Si pensi che i suoi rilevamenti, eseguiti tutti ad occhio nudo,

presentavano errori inferiori ai quattro primi di grado (è l’angolo

sotto cui è osservato un corpo lungo 1 mm dalla distanza di 1

metro!). Tycho Brahe (1546-1601)

Sulla base delle sue osservazioni Brahe ritenne di poter costruire un

modello planetario (sistema ticonico) nel quale la Terra è ferma al centro dell’Universo, mentre tutti

gli altri pianeti ruotano intorno al Sole che, a sua volta, ruota intorno alla Terra. Egli, infatti,

condivideva le perplessità di Copernico circa i sistemi tradizionali ma non poteva concepire che la

Terra si muovesse così velocemente attraverso lo

spazio.

In particolare vi furono due osservazioni che

assunsero un ruolo particolarmente importante.

La prima riguarda una cometa che nel 1577 passò

nel cielo d’Europa, visibile a occhio nudo. Tycho

ne calcolò la traiettoria e trovò che si muoveva su

un’orbita intorno al Sole: era una conferma sperimentale diretta della visione copernicana.

Rproduzione del cielo notturno durante l’apparizione della nova nel 1572

La seconda riguarda una stella anomala. In un punto del cielo in cui non si erano mai osservate stelle,

ne comparve una sempre più luminosa, finché dopo alcuni anni si attenuò e scomparve. Tycho non

poteva interpretare questo fenomeno (oggi sappiamo che aveva avuto la rara fortuna di osservare una

supernova della nostra galassia), ma il fatto stesso di aver osservato una stella di questo tipo aveva una

conseguenza sconvolgente: le stelle non potevano più essere considerate quegli oggetti eterni e

immutabili che Aristotele e con lui tutti gli astronomi successivi avevano immaginato.

Occorreva però un altro contributo, di natura interpretativa, per dare senso compiuto ai dati

sperimentali di Tycho Brahe: questo contributo fu fornito da Giovanni Keplero. Egli rappresenta il

prototipo del fisico teorico: uno scienziato che si preoccupa non tanto di fare nuove misure, ma di

interpretare quelle a disposizione.

Il vecchio fisico sperimentale ed il giovane teorico si incontrarono nel 1599 a Praga, quando

l’imperatore Rodolfo II, mecenate delle scienze astronomiche, li assunse entrambi (Keplero come

assistente di Brahe) concedendo a Tycho anche la possibilità di scegliersi il luogo più adatto per

l’installazione di un osservatorio.

Keplero (1572-1630) fu un grande ammiratore della matematica in senso

pitagorico: egli vedeva nell’armonia dei numeri e nella simmetria l’anima

dell’Universo. Per questo si convinse nella bontà del sistema eliocentrico e non

volle aderire alle idee di Tycho Brahe che pure stimava.

Per tutta la vita Keplero cercò leggi semplici nella quali si potessero inquadrare

tutti i dati del suo maestro. Dopo lunghi anni credette di aver trovato un modello

geometrico soddisfacente, basato sulla teoria eliocentrica e realizzato con orbite

circolari, che verificò in particolare sull’orbita di Marte. I suoi calcoli

concordavano con i dati sperimentali in modo, per quei tempi, “perfetto”: la

massima differenza riscontrata era di appena otto primi di grado. Ma egli aveva nelle osservazioni del

suo maestro la stessa fiducia che aveva nella propria matematica e non poteva accettare che egli

avesse fatto anche un errore così piccolo.

J. Keplero (1572-1630)

La soluzione fu trovata quando Keplero ebbe il coraggio di abbandonare l’ipotesi che le traiettorie

delle orbite fossero circonferenze. Così, paradossalmente, proprio l’abbandono di questo presunto

simbolo di perfezione e di ordine eterno permise di scoprire in forme nuove una grande simmetria e

unità nel movimento dei corpi celesti. (Documento 3)

Queste regolarità sono riassunte nelle tre leggi sperimentali di Keplero.

2.6.2 Le leggi di Keplero

Prima legge di keplero

Le orbite descritte dai pianeti intorno al Sole sono ellissi di cui il Sole

occupa uno dei fuochi.

Seconda legge di Keplero

La velocità dei pianeti non è costante, ma segue una

legge secondo la quale il raggio vettore che unisce il

sole a un pianeta spazza aree uguali in intervalli di

tempo uguali.

I pianeti quindi si muovono più velocemente lungo la

loro orbita quando si trovano più vicini al Sole.

Terza legge di Keplero

Il rapporto tra il cubo del semiasse

maggiore dell’ellisse e il quadrato del

18

periodo di rivoluzione è costante per tutti i pianeti.

Ciò significa che quanto più lontano un pianeta è dal Sole, tanto più lungo sarà il suo anno, cioè il

tempo che il pianeta impiega per compiere un giro completo della sua orbita.

Esercizio

La distanza media Terra – Sole è rT=1,50×1011 m e il periodo orbitale della Terra è TT=365,26 d.

Invece la lunghezza di un «anno» di Saturno è di TS=10760 d. Calcola la distanza media Saturno –

Sole.

Strategia e risoluzione:

• per la terza legge di Keplero possiamo scrivere: 2

3

2

3

T

T

S

S

Tr

Tr

=

• isolando da questa equazione il valore di rS si ottiene: mrTTr T

T

SS

1232

2

1043,1 ×==

Discussione:

Possiamo chiedere di verificare tale valore calcolato con i valori riportati nelle tabelle solitamente

stampate sui testi scolastici.

Perché si utilizza il raggio medio e non il semiasse maggiore?

Per molti anni dopo Keplero vi furono ancora eminenti astronomi che tentarono di superare la

precisione dei suoi risultati con ulteriori aggiunte di epicicli al sistema tolemaico o a quello

copernicano. Keplero propose anche una teoria delle maree, che secondo lui erano provocate dalla

attrazione della Luna sugli oceani terrestri per mezzo di una non meglio definita forza. Galileo era

molto contrario a questa teoria perché implicava un’azione a distanza che lui considerava una

concessione alla magia.

Nel 1597, Keplero fece avere a Galileo una copia del suo Mistero

Cosmico e questi ne accusò ricevuta 'giro di posta'. Dopo avere

confessato di non aver fatto ancora a tempo a leggere

compiutamente e con la dovuta attenzione il testo, Galileo

promette di farlo ben presto, "con tanto maggior piacere in quanto

io ho adottato da molti anni la dottrina di Copernico, il cui punto

di vista mi permette di spiegare numerosi fenomeni naturali, che rimangono inesplicabili se

interpretati secondo le teorie correnti". Keplero rispose con grande rapidità, ricambiando le

espressioni di stima, commiste, tuttavia, a un certo stupore per la prudenza galileiana: "Avrei preferito

che, con la vostra alta intelligenza, voi aveste assunto un'altra posizione. Con il vostro abile riserbo,

voi avete sottolineato, con l'esempio, l'atteggiamento di ritirarsi davanti all'ignoranza del mondo, e di

non provocare alla leggera, il furore dei dottori ignoranti. Ma considerato che ai nostri tempi,

Copernico e, dopo di lui, una folla di dotti matematici, hanno dato inizio a questa impresa immensa,

Galileo Galilei (1564-1642)

in guisa che il moto della Terra non è più una novità, sarebbe meglio spingere, mediante sforzi

comuni, verso la sua meta, questo grande carro che si è già messo in moto".

Seguiva una precisa richiesta di collaborazione: se mai Galileo avesse avuto a disposizione un

quadrante capace di misurare angoli di un quarto di minuto, avrebbe potuto mettere in evidenza

piccoli spostamenti stagionali delle stelle fisse, una prova evidente del moto della Terra.

Galileo non rispose mai a questa lettera, e la corrispondenza fra i due studiosi si interruppe per dodici

anni.

I rapporti epistolari fra Keplero e Galileo ripresero, per breve tempo, dopo la pubblicazione del

Sidereus Nuncius. Mentre buona parte del mondo accademico italiano manifestava il proprio

scetticismo nei riguardi delle scoperte astronomiche di Galileo, Keplero scrisse rapidamente una

Dissertatio cum Nuncio Sidereo, in cui si dichiarava convinto della bontà delle osservazioni di

Galileo, anzi si proclamava suo scudiero. Ma qualcuno rimproverò a Keplero di aver preso posizione

senza cognizione di causa, per cui egli scrisse a Galileo, chiedendogli un esemplare di telescopio, o

almeno qualche testimonianza diretta sulla veridicità delle osservazioni. La risposta arrivò dopo alcuni

mesi, piena di ringraziamenti e di attestati di stima, ma priva di testimonianze o della promessa di

invio di un telescopio. Keplero riuscì infine a trovare un telescopio e poté convincersi di persona della

bontà delle osservazioni galileiane, a supporto teorico delle quali pubblicò le Dioptricae, nel 1611,

primo trattato scientifico sulle lenti.

Keplero ebbe ulteriori notizie sull'attività galileiana, per il tramite di Giuliano de Medici, ambasciatore

a Praga del Granduca di Toscana, nuovo protettore dello scienziato pisano. Gli furono comunicati, in

particolare, gli anagrammi con cui Galileo annunciava le sue nuove scoperte, una sorta di copertura

che gli avrebbe consentito in seguito di rivendicarne la priorità:

"smaismrmilmepoetaleumibunenugtaurias", cioé, "altissimum planetam tergeminum observavi" (il

telescopio di Galileo non era sufficientemente potente da permettere di scorgere le lune di Saturno, per

cui questo pianeta appariva in triplice forma), e "haec immatura a me jam frustra legunturoy ", cioé,

"Cynthiae figuras aemulatur mater amorum" (si tratta delle fasi di Venere, simili a quelle lunari, che

testimoniano del moto di questo pianeta attorno al Sole).

C'è, infine, da osservare che, nel prosieguo della sua opera, Galileo non tenne mai conto delle scoperte

kepleriane, in particolare della forma ellittica delle orbite planetarie, ma che, probabilmente per motivi

connessi alla situazione della fisica agli inizi dell'Era Moderna, rimase fino alla fine fedele ai circoli

copernicani.

Galileo, in definitiva, contribuì al trionfo del copernicanesimo sia dal punto di vista teorico che

sperimentale.

Possiamo riassumere il suo contributo principale in quattro punti:

20

a) col principio di inerzia e con l’introduzione in modo definitivo della composizione e la

relatività dei movimenti

b) con l’invenzione del cannocchiale;

c) con l’osservazione sperimentale dei Pianeti Medicei e delle fasi di Venere;

d) con la sua strenua opera di propaganda e divulgazione.

Il principio di inerzia come lo conosciamo noi è stato formulato da Cartesio. Galileo credeva che il

principio si applicasse anche al moto circolare. Come conseguenza il moto dei pianeti non

abbisognava più di giustificazioni.

In più, con il principio di composizione dei movimenti, mostrò che il moto della Terra (conseguenza

inevitabile di ogni sistema eliocentrico) era conciliabile con le evidenze sperimentali del moto dei

corpi sulla sua superficie, eliminando così una grave obiezione al modello copernicano.

Galileo era figlio di un musicista e lui stesso suonava strumenti a corda, aveva familiarità con

strumenti, corde elastiche e lavoro manuale, per cui aveva poche inibizioni per il lavoro con le mani.

Infatti iniziò a sperimentare per controllare le proprie idee. I tempi erano in qualche modo maturati e

c’erano minori pregiudizi sociali per il lavoro manuale; questo permise di dare una certa credibilità al

lavoro di Galileo.

In Olanda, qualche tempo prima di Galileo, venivano costruiti rudimentali cannocchiali con piccoli

ingrandimenti. Egli ne ebbe notizia, ne costruì un esemplare migliorandone di molto l’ingrandimento,

lo puntò verso il cielo iniziando una serie di scoperte eccezionali. La Luna non era affatto quel globo

perfetto ed etereo che pensava Aristotele ma, come la Terra, mostrava valli e montagne, di cui Galileo

calcolò l’altezza. Il Sole stesso cadde dal suo piedistallo di perfezione e di immutabilità: sulla sua

superficie apparivano macchie nebulose che si muovevano. La via Lattea, che era ritenuta un

fenomeno sublunare, col cannocchiale apparve risolta in miriadi di stelle.

La scoperta di quattro satelliti (nome dato da Keplero che significa “guardiani”) di Giove che Galileo

chiamò satelliti medicei fece perdere alla Terra il suo carattere di unicità e ne fece un pianeta per

nulla diverso da tutti gli altri. Questa osservazione, infatti, costituì la prima prova diretta che non

tutto gira intorno alla Terra, e che può esistere un “sistema planetario”, il sistema gioviano

appunto, indipendente dalla Terra.

Il secondo dato sperimentale inequivocabile è costituito dalle fasi di Venere. In particolare Galileo

osservò che Venere appare come un piccolo disco pieno per poi crescere di diametro e, giunto alla

massima distanza angolare dal Sole, al disco inizia a mancare qualcosa e il suo diametro continua a

crescere. Poi passa ad una forma di falce sottile (di un corrispondente cerchio di diametro massimo).

Quindi anche Venere ha le fasi come la Luna e come questa, quando si trova tra noi (Terra) e il Sole,

brilla pochissimo, mentre quando si trova al di là del Sole brilla tantissimo. Ma allora non è vero –

come vorrebbe l’Astrofisica tolemaica – che Venere gira attorno a noi in un’orbita più vicina rispetto a

quella del Sole. In questo caso, infatti, Venere non potrebbe mai trovarsi al di là del Sole ma sempre

tra noi e il Sole. Il punto cruciale è che, per essere dotato di “fasi”, un corpo celeste illuminato dal

Sole deve potersi trovare sia tra la Terra e il Sole (come vuole Tolomeo) sia oltre il Sole (in piena

contraddizione con Tolomeo). Se Venere ha le fasi, questo vuol dire che il pianeta deve girare attorno

al Sole. Dunque Sistema Tolemaico e Sistema Eliocentrico cessano di essere equivalenti da un punto

di vista sperimentale, la simmetria è rotta perché il primo viene falsificato! In figura A si può vedere come l'esistenza delle fasi di Venere

si accordi con il sistema di Copernico e come il cambiamento

di diametro apparente di Venere confermi la concezione di

un'orbita solare per il pianeta. In B si può vedere perché

questo fenomeno sarebbe impossibile nel sistema di Tolomeo.

Il centro dell'epiciclo dell'orbita di Venere si trova sempre

sulla linea retta che congiunge il centro della Terra a quello

del Sole e ruota attorno alla Terra in un anno, esattamente

come il Sole. In tali circostanze la serie completa delle fasi di

Venere non potrebbe mai essere osservata. Con la dinamica newtoniane il discorso si precisa

ulteriormente: considerando per semplicità il sistema

Sole-Terra come un sistema a due corpi dei quali uno ha massa molto maggiore del secondo tanto che

il centro di massa del sistema si trova dentro al Sole stesso, è fisicamente fondato pensare alla Terra

che gira attorno al Sole mentre questo sta viaggiando nell’Universo.

Ognuna di queste osservazioni fu una carta a favore del sistema copernicano; ma il maggior contributo

fornito dal cannocchiale fu la divulgazione e la volgarizzazione della questione astronomica,

operazione che fu completata dalle pubblicazioni di Galileo. Purtroppo questa divulgazione impedì

alla Chiesa di mantenere un atteggiamento neutrale e lo scontro fu inevitabile. Galileo stesso,

d’altronde, lo cercò sia per il suo carattere battagliero, sia perché riteneva necessario superare senza

compromessi lo scoglio delle difficoltà teologiche, sia infine perché contava sull’appoggio dei molti

amici che aveva tra l’alto clero. Sui suoi contestatori, che non erano certo profondi cultori della

matematica, le argomentazioni di Galileo non potevano avere la violenza di persuasione necessaria a

far superare reali e gravi preoccupazioni morali. Prove sperimentali dei moti della Terra non ne

esistevano; l’unica portata da Galileo, una teoria sulle maree, era in effetti sbagliata (la prima prova

sperimentale verrà data da Bradley un secolo più tardi).

Si arrivò così alla condanna delle teorie eliocentriche (1616) e di Galileo (1632), che rimase confinato

ad Arretri dopo aver promesso di non occuparsi più della questione copernicana.

22

Tuttavia proprio in quegli anni, e forse proprio per il forzato isolamento, diede alla teoria eliocentrica

il suo apporto più significativo sviluppando a fondo le questioni della dinamica descritte nei “Discorsi

intorno a due nuove scienze”.

Un contributo notevole fu dato anche da Cartesio (1596 – 1650) che, celebre come filosofo e

matematico, sostenne con la propria autorità l’eliocentrismo. Egli fu l’ideatore di una cosmologia che,

partendo da considerazioni filosofiche, giustificava il moto dei pianeti e della Terra intorno al Sole

con una complicata costruzione: il suo universo era immerso in un ipotetico fluido che, formando

enormi vortici, trascinava gli astri nel suo moto. Un vortice al cui centro era il Sole faceva ruotare i

pianeti intorno ad esso, un vortice più piccolo trascinava la Luna intorno alla Terra. La cosmologia di

Cartesio, che permetteva suggestive rappresentazioni grafiche, era sorretta dall’autorità scientifica del

suo autore e, pur essendo priva di qualsiasi conferma sperimentale, fu sostenuta a lungo, specialmente

in Francia e in Germania, anche da fisici e matematici illustri come Leibnitz.

2.6.3 La gravitazione universale

dello eliocentrico (anche se sarebbe Con Keplero e Galileo ormai il mo

meglio dire “elioeccentrico”) poteva dirsi affermato. Da un punto di vista

fisico rimanevano però irrisolte alcune fondamentali questioni che si

possono esprimere nelle domande seguenti:

qual è la forza che tiene legati i pianeti al Sole?

la presenza di alcun come fa questa forza ad agire a distanza senza

“agente mediatore”

se la Terra non è il centro dell’Universo, quale forza tiene i corpi

ande rispose Newton (nato nel 1642, anno della morte di Galileo) nella sua opera

nica, da lui enunciate per la prima volta in forma sistematica, Newton

ersale.

a

solare è animato da un’accelerazione centripeta ap che, nell’ipotesi semplificatrice di orbite circolari di

raggio RSP , è esprimibile con la relazione:

Isaac Newton (1642-1727)uniti a essa?

A queste dom

principale (Philosophiae naturalis principia matematica), pubblicata nel 1687. Il lavoro di Newton,

benché pubblicato molto più tardi, risale fondamentalmente al 1665-66 (a quell’epoca Newton aveva

22 anni), quando fu costretto ad abbandonare l’Università di Cambridge e a ritirarsi in campagna a

causa di una epidemia di peste.

Partendo dalle leggi della mecca

fu in grado di spiegare il moto dei pianeti e la gravità dei corpi sulla Terra per mezzo di un’unica

forza, la forza gravitazionale, applicabile a qualsiasi coppia di masse (terrestri o celesti).

Vediamo i passaggi logici che condussero Newton a formulare la legge di gravitazione univ

L’osservazione del moto dei pianeti aveva messo in evidenza che un generico pianeta P del sistem

SPSPp RT

Ra 2

22 4πω == (1)

Ovvero, tenendo conto della terza legge di Keplero: 2

24

SPP R

ka π= (2)

Poiché k ipende dal centro attrattore, il Sole s nel modo seguente: d nel no tro caso, la (2) andrà riscritta

2

24

SPRS

Pk

aπ

= , o anche: 2SPRS

PC

a = con (3)

Tenendo conto della seconda legge della dinamica, si potrà quindi affermare che sul pianeta P agisce

SS kC 24π=

una forza orientata verso il Sole espressa dalla relazione:

2PS mC

= (4) SP

PPSP RamF =

orza agente fra i corpi, mentre l’espressione

precedente comprende una costante che la, nella sua

deduzione egli fa intervenire il principio di azione e reazione. In base ad esso il pianeta deve

le esercita sul pianeta stesso.

con CS che dipende da una qualche proprietà del Sole.

Newton mirava però ad una espressione universale della f

è caratteristica del sistema solare. Per ottener

esercitare sul Sole una forza identica a quella che il So

Trattandosi dello stesso tipo di forza, essa dovrà avere la stessa struttura formale e lo stesso valore, sia

che la pensiamo esercitata dal Sole, sia che la pensiamo esercitata dal pianeta. Quindi, per ricavare

l’espressione della forza FPS che il pianeta esercita sul Sole, basterà considerare l’espressione della

forza FSP che il Sole esercita sul pianeta e scambiare i ruoli del Sole e del pianeta.

Inoltre dovremo introdurre la costante CP al posto della costante CS e la massa del Sole mS al posto

della massa mP del pianeta. Si ha quindi: 2PS

SPPS R

mCF = (5)

Le due forze espresse dalla (4) e dalla (5) devono essere uguali e perciò, ponendo:

PSSP FF =

e semplificando il termine comune 2PSR si tti SPPS mCmC = o ene: (6)

che si può anche esprimere come P

PS

mC

mC

= S

(7)

Lo stesso procedimento si può ripetere per tutti i pianeti del sistema solare e dunque si può concludere

lare, rapp rto fra la costa

massa mP ha sempre lo stesso valore, che coincide con il rapporto fra la costante solare e la massa

o risultato, si può allora supporre che:

affermando che:

per qualunque pianeta del sistema so il o nte CP relativa al pianeta P e la

del Sole.

A partire da quest

24

il rapporto tra la costante Cm di un generico centro attrattore e la sua massa m risulta uguale per

qualunque corpo considerato come centro dell’attrazione e rappresenta proprio la costante

universale cercata da Newton.

Si porrà allora: mmm PS

dove G indica una costante di gravitazione universale, valida cioè per qualunque coppia di masse

interagenti gravitazionalmente.

CCC mPS == (8)

Tornando alle forze FSP e FPS, possiamo ora sostituire la costante

S=Gm e CP=GmP, e ottenendo:

G =

universale G, ricordando che C S

22SPSP

SP RRPSPS mmGmCF == (9)

22PS

SP

PS

SPPS R

mmGR

mCF == (10)

Le due forze hanno ora un’espressione perfettam

ad arbitrari “centri attrattori”. Considerata da questo punto di vista, essa si prestava ad una

generalizzazione di portata straordinaria. Il su atti quello di

supporre che una forza del tipo espresso dalle (9) e (10) non valesse solo per i pianeti del sistema

ente identica, svincolata da particolari costanti riferite

ccessivo passo teorico di Newton fu inf

solare o per i satelliti del sistema gioviano, ma per qualsiasi coppia di corpi dell’Universo.

Egli giunse quindi ad enunciare la legge di gravitazione universale:

dati due corpi qualunque di massa m1 e m2, i cui centri di massa si trovano a distanza R, fra questi

due corpi viene esercitata una forza attrattiva data dalla formula:

221

RmmGF = (11)

La Forza Gravitazionale così come quella elettrostatica dipendono entrambe dall’inverso del quadrato

della distanza e sono dette forze central tta lungo la

ssa m1 si trova nell’origine e l’altro di massa

E’ importante notare che le forze gravitazionali tra due corpi costituiscono una coppia di

azione-reazione.

i. La parola centrale significa che la forza è dire

retta che congiunge i due corpi.

Se un corpo di ma

m2 si trova nel punto individuato dal vettore posizione rr di

modulo r e direzione pari a quella del versore r̂ , la forza che si

esercita su quest’ultima è data da:

rrmmGr

rmmGF rr

321

221 ˆ == (12)

Nell’applicare la (11) alla caduta dei gravi, Newton riscontrava es

come distanza corpo-Terra non la

atta la sua ipotesi solo se assumeva

distanza del corpo dalla superficie della Terra ma quella dal centro

x

y

z

rrm

m1

2

della Terra. Per dimostrare l’esattezza di questa scelta, Newton fu spinto a mettere a punto un nuovo

metodo di calcolo (il calcolo infinitesimale) per mezzo del quale trovò che la massa distribuita nel

che da essa, col calcolo matematico, si posson

La legge di gravitazione universale è stata c rvazioni

astronomiche. Due qualsiasi molecole sulla Terra, come anche due stelle qualsiasi in una lontana

isce

E’ per questo che sentiamo molto l’attrazione dei corpi a noi vicini, come la Terra, mentre non

avvertiamo affatto quella di oggetti magari molto più grandi ma anche molto più distanti come le

stelle.

volume di una sfera attira i corpi come se fosse tutta concentrata nel suo centro.

Originariamente Newton formulò la (11) come relazione di proporzionalità (F α m1m2/r2) perché non

era in grado di ricavare la costante di proporzionalità che solo Cavendish 71 anni dopo la morte di

Newton riuscì a determinare.

(a) Consideriamo un corpo situato all’esterno di una sfera omogenea. La risultante delle forze di attrazione che esercitano su di esso due particelle simmetriche all’interno della sfera è diretta verso il centro della sfera.

(b) A causa della simmetria della sfera e della distribuzione uniforme della sua massa, l’attrazione complessiva esercitata sul corpo da tutta la sfera è equivalente a quella di un’unica particella situata al centro della sfera e nella quale fosse concentrata tutta la massa della sfera.

A riprova della validità della sua legge di forza riferita al sistema solare, Newton riuscì a dimostrare

o ricavare le tre leggi di Keplero (paragrafo 2.6.8).

onfermata da innumerevoli esperimenti e osse

galassia, si attrarranno con la forza descritta da questa legge.

La forza di attrazione è tanto più grande quanto maggiori sono le masse dei corpi, mentre diminu

rapidamente se i corpi si allontanano.

Esercizio

La distanza media tra la Terra e la Luna è di 3,84 × 108 m. Supponi che i due corpi siano punti

materiali con tutta la loro massa concentrata nel loro centro. Calcola la forza gravitazionale che si

esercita tra Terra e Luna.

26

Strategia e risoluzione

• per trovare la forza di gravità dobbiamo procurarci i valori delle masse della Terra e della

Luna. Spesso tali valori sono riportati alla fine dei testi scolastici in tabelle riassuntive:

massa della Terra MT=5,98 × 1024 kg;

massa della Luna ML=7,35 × 1022 kg.

• Disponendo di queste informazioni possiamo calcolare: NR

MMGF LT 202 1099,1 ×== .

Discussione

Per il terzo principio della dinamica, il valore di F che abbiamo determinato è il modulo sia della forza

che la Terra esercita sulla Luna, sia della forza che la Luna esercita sulla Terra.

Compito assegnato

Calcolare la forza gravitazionale che si esercita tra la Terra e il Sole.

Esercizio

Calcoliamo la forza risultante agente sulla Luna dovuta alla forza di attrazione gravitazionale della

Terra, TFr

, e a quella del Sole SFr

. Assumiamo che le due forze agiscano ad angolo retto, come è

indicato nella figura (non in scala). Calcoliamo prima i moduli FT e FS delle due forze utilizzando

i valori delle masse presenti nelle tabelle allegate ai libri di testo.

Come distanza Terra – Luna utilizziamo il raggio medio dell’orbita

Lunare L rT = 3,84⋅10 m e come distanza Sole – Luna assumiamo lo 8

stesso valore della distanza media Sole – Terra rSL=1,50⋅10 m. 11

Abbiamo:

( )( )( )( )

N201098,1 ⋅=

mrF

TLT 282 1084,3

=⋅

==

kgkgkgNmMGM LT22242211 1034,71098,51067,6 ⋅⋅⋅ −−

( )( )( )( )

Nm

kgkgkgNmr

FSL

LS

20

211

22302211

2

1031,41050,1

1034,71098,11067,6

⋅=

=⋅

⋅⋅⋅=

−−

Luna

Te

MGM S=

Per trovare la forza totale agente sulla Luna dobbiamo poi sommare vettorialmente le due forze.

Poiché queste sono perpendicolari tra loro, possiamo ottenere il modulo della forza risultante

semplicemente applicando il teorema di Pitagora:

( ) ( ) NNNFFF STtot2022022022

1074,41031,41098,1 ⋅=⋅+⋅=+=rrr

Compito assegnato: calcolare l’angolo θ formato dalla forza risultante totFr

con la direzione SFr

.

Risposta: 24,7°

rra

Sole

TFr

θ

SFr

2.6.3.1 Qual è la natura della forza gravitazionale?

La legge di Newton consente sì di descrivere e prevedere il moto dei pianeti, ma lascia insoluto un

ab do anda:

e la forza gravitazionale? Si tratta di un’azione che si stabilisce “a distanza” tra i due

qualche “mediatore fisico”?

problema, tutt’altro che secondario a quell’epoca come oggi, sintetizz ile nella seguente m

perché si produc

corpi per il fatto stesso che questi esistono o richiede un

Qualcuno potrebbe obiettare che la Fisica deve occuparsi del “come” e non del “perché”, ma

l’intelligenza umana (compresa quella dei nostri alunni) non si accontenta di questi limiti e, d’altra

parte, più di una volta, la ricerca di questi “perché” ha fatto compiere passi avanti anche alla

comprensione dei “come”.

Newton si pose il problema in questione, anche se non fu in grado di venirne a capo. L’idea di una

forza “a distanza” sembrava troppo legata all’antico modo di spiegare i fenomeni ricorrendo a “forme

sostanziali” (come l’attrattività) o addirittura a “qualità occulte”. (Documento 2)

Oggi il quadro delle teorie scientifiche è molto più completo che all’epoca di Newton e siamo giunti

ad accettare l’idea che, ogni tipo di forza, e quindi anche quella gravitazionale, si sviluppa in virtù di

un “mediatore fisico” (chiamato campo) che si propaga con la velocità della luce e che è suscettibile

di misura.

2.6.4 La costante G

Come mai non si avverte la forza gravitazionale tra corpi posti sulla superficie terrestre?

Ciò dipende dal valore di G, il quale è così piccolo da rendere “poco visibile” la forza gravitazionale

a gli “oggetti terrestri” in quanto mascherati dall’attrito o dalla resistenza dell’aria.

atissima esperienza Hanry Cavendish riuscì, nel 1798, a mettere in evidenza, in

alcolando il

ancia di torsione,

appese al filo, l’attrazione provoca una torsione del filo e da

tr

Tuttavia con una delic

laboratorio, l’attrazione tra due sfere di piombo, confermando la teoria di Newton e c

valore di G.

Cavendish utilizzò per il suo esperimento la bil

uno strumento molto sensibile a forze di piccolissime intensità.

Quando due grandi masse vengono avvicinate alle sferette

questa torsione si può determinare il valore della forza.

2kg

le il valore di G è molto piccolo, ciò significa che l’attrazione

tra vita quotidiana è piccolissima.

2111067,6 mNG −×=

Nelle unità del Sistema Internaziona

gravitazionale tra gli oggetti della nos

Invece, l’attrazione tra questi oggetti e la Terra non è trascurabile perché la massa della Terra è molto

grande.

28

Nei circa duecento anni successivi, la misura di G è stata ripetuta

più volte con la medesima tecnica: il valore di G oggi accettato è

kgmN ⋅× − ovvero circa .

come costante di riferimento, la

con una precisione di circa o G mol iccolo e di

a

2211 /1067259,6 kgmNG ⋅×= − con una incertezza di

0008,0± 2211 /105 %013,0±

Rispetto ai risultati di altre costanti fisiche, questa precisione non è

eccezionale; per esempio, prima che il suo valore fosse preso

velocità della luce è stata misurata

10-8%. Essend to p

conseguenza molto piccola la forza esercitata fra i due oggetti

negli esperimenti di laboratorio, è difficile migliorare in modo

lore. sostanziale la precisione del suo v

Per renderci conto della difficoltà di un esperimento apparentemente semplice quale quello di

Cavendish, è interessante calcolare il valore della forza gravitazionale tra due sfere di 5 kg ciascuna i

cui centri distino di 10 cm: NRmmGF 71121 107,15510673,6 −− ⋅=22 10−

⋅⋅⋅==

Si tratta di una forza dell’ordine del decimilionesimo di N!

La grande intensità della forza gravitazionale esercitata dalla Terra su tutti i corpi vicini alla superficie

della gravitazione universale,

è dovuta alla sua grande massa. Questa può essere determinata, e lo proporremo più avanti, dalla legge

con il valore di G dato dall’esperimento di Cavendish.

Esempio 1

Al tempo di Newton il valore noto della massa della Terra era molto impreciso. In base ad esso venne

calcolata la costante universale di gravitazione G che pertanto risultava affetta da un errore piuttosto

rilevante. Dopo che l’esperienza di Cavendish ebbe fornito il valore di G attraverso l’attrazione di

masse facilmente misurabili, si poté calcolare con maggiore precisione la massa della Terra

Noto il valore di G, possiamo determinare indirettamente la massa della Terra. Lo stesso Cavendish,

quando misurò la costante di attrazione gravitazionale, battezzò il suo esperimento pesata della Terra.

Infatti, la forza con cui la Terra attrae un corpo di massa m posto sulla sua superficie è data dalla (11).

Di conseguenza l’accelerazione determinata dalla forza di attrazione gravitazionale sulla superficie

terrestre, cioè l’accelerazione di gravità g, ha la seguente espressione, in funzione della costante

universale di gravitazione e dei parametri (massa e raggio) della Terra:

2T

T

RMG

mFg == g

GgRM T

T

2

=

Sostituendo il valore dell’accelerazione di gravità (determinabile attraverso il periodo di oscillazione

di un pendolo semplice) e il raggio terrestre RT = 6,38 10 m, già misurato fin dal III secolo a.C. da ⋅ 6

Eratostene, si ottiene: ( )( ) kgkgNm

mmsMT24

2211

262

100,61067,6

1038,681,9⋅=

⋅⋅

= −−

−

Dividendo la massa M per il volume della Terra, si ricava la densità media della Terra: T

d=5,5⋅103kg/m3

Poiché la densità media della materia sulla crosta terrestre è minore del valore trovato, si deduce che

la Terra è costituita nell’interno da materia sità superiore a 5,5⋅103kg/m3. le avente una den

Esempio 2

Proponiamo ora ai ragazzi di calcolare la massa del Sole.

Nel biennio i ragazzi hanno studiato il moto circolare uniforme concludendo che in esso è presente

un’accelerazione sempre diretta verso il centro (accelerazione centripeta). Poi hanno considerato lo

stesso moto dal punto di vista dinamico: all’accelerazione centripeta deve corrispondere una forza

centripeta.

La forza centripeta che mantiene la Terra nella sua orbita si può quindi esprimere sia mediante la

relazione: TerraMrT

F rr 24π−= 2

ma anche mediante la: 2rMMGF TerraSoler

r=

dove T è il periodo di rivoluzione della Terra ed r il raggio medio dell’orbita terrestre. Si ricava:

( )KgM 30

333

1096,11049,1,39

⋅=⋅

== r 32 44 ⋅π

GTSole

11272 1067,61016,3 ⋅⋅⋅ −

Esercizio

Calcolare le forze gravitazionali tra due palle da bowling, ciascuna di massa 7,3 kg, i cui centri distano

0,65 m.

Usando l’equazione (11) si ha: ( )( )( )( )

NkgkgkgNmmmGF 92211

21 104,83,73,71067,6 −−−

⋅=⋅

== mr 22 65,0

2.6.4.1 Proiezione filmato del PSSC:

L’esperimento di Cavendish

L’uso di questo filmato che mostra la realizzazione

dell’esperimento di Cavendish, viene proposta

dall’ultima edizione del testo di Ugo Amaldi “La

fisica per i liceo scientifici”. I filmati del gruppo

Physical Science Study Committee (PSSC) sono

30

comunque utilizzabili anche senza l’adozione di questo testo.

Si propone un questionario di verifica dopo la visione del filmato per evitare un uso passivo di tale

ilmato: circa 6 minuti

ilmato – allegato 4

.6.5 Massa inerziale e massa gravitazionale

strumento.

Durata del f

Questionario di verifica visione f

2

la legge di gravitazione, si può vedere che in essa la

C SP

Riflettendo sul modo con il quale viene dedotta

massa di un pianeta assume il duplice ruolo di massa inerziale e di massa gravitazionale. Ci riferiamo

infatti al concetto di massa inerziale quando affermiamo che un pianeta di massa mPI, sotto l’azione di

una forza F assume una certa accelerazione centripeta a =wR , calcolabile con la relazione PIm

F ;

espressa dalla forza gravitazionale

parliamo invece di massa gravitazionale quando affermiamo che la forza che agisce su un pianeta è

2SP

PGSmMGF = . R

La possibilità di stabilire un’uguaglianza tra le due espressioni di F e di semplificare mPI con mPG

resistenza che

Che cos’ha in comune questa proprietà con il fatto di attrarre altri oggetti?

in nulla.

fatti potremmo benissimo immaginare un corpo facile da accelerare

equivale ad affermare l’identità delle due masse, o anche la costanza del loro rapporto.

La massa inerziale di un oggetto viene solitamente definita come una misura della

l’oggetto oppone quando si cerca di accelerarlo.

In linea di pr cipio

In ma che attrae intensamente gli

ltri corpi.

ppure un corpo difficile da accelerare

a

O , ma che attrae debolmente gli altri corpi.

ella legge della gravitazione di Newton dovrebbe quindi comparire una massa gravitazionale non

ecessariamente uguale a quella inerziale che misura la capacità di un corpo di attrarre gli altri corpi.

N

n

Ora se la massa inerziale e quella gravitazionale differiscono soltanto per un fattore di proporzionalità

forma della legge di Newton non cambia, cambia solo il valore numerico della costante G.

a validità della legge di Newton in questo senso può anche essere interpretata come la scoperta del

tto che la massa gravitazionale di un corpo e la sua massa inerziale sono sempre direttamente

Eötvös (1848-1919) dedicò diversi anni della sua carriera al controllo della

ietà con una precisione di una parte su 20.000.000. Ancora oggi si tratta di uno degli

natura per cui i due tipi di massa risultano

i crea spesso una certa confusione.

te

e c i

pri

ll come si potrebbe arguire dal fatto che tutti gli oggetti in

caduta libera hanno la stess

natura fisica).

Due esperimenti concettuali

Esperimento 1: applichiam

diversi A e B e determiniamo

Supponiamo di avere scelto e loro masse inerziali stiano nel rapporto 2:1, mB/mA =

2.00.

Esperimento 2: prendiamo i

ad oscillare; dall’accelerazione impartita al corpo C, determiniamo la forza esercitata su

C dai corpi A e B (separatamente) ad una distanza fissata dai centri.

la

L

fa

proporzionali tra loro. Questo è un fatto sperimentale.

Il fisico ungherese Loránd

proporzionalità tra massa inerziale e massa gravitazionale. Grazie ai suoi esperimenti, egli confermò

questa propr

esperimenti più accurati della storia della fisica.

Dal momento che la massa inerziale e quella gravitazionale sono sempre proporzionali tra loro, si può

scegliere per entrambe la stessa unità di misura, il kilogrammo. Ne consegue che il blocco platino –

iridio che si trova a Sèvres è, allo stesso tempo, l’unità di massa inerziale e l’unità di massa

gravitazionale.

E’ per questo che di solito si parla semplicemente della massa di un corpo,

senza specificare se si tratta di massa inerziale oppure gravitazionale.

Ma la stranezza del fatto di

sempre identici non è sfuggita ad Albert Einstein, che all’inizio del

ventesimo secolo, ne ha fatto la base per lo sviluppo della sua teoria della

relatività generale.

Tuttavia negli alunni s

Occorre insistere sul fatto che si tratta di due concetti distinti operativamen

urare con particolare attenzione le definizioni sperimentali di forza e massa che vengono introdotte ne

mi due anni.

e due “masse” –L’uguaglianza numerica de

a accelerazione – non implica la stessa uguaglianza operativa (la stessa

diversi potrebbero aiutare a comprendere la distinzione operativa:

o il “dinamometro” (già sviluppato operativamente) a due corpi sferici

la loro massa “inerziale” attraverso la misura delle accelerazioni impartite.

A e B in modo che l

corpi A e B e li portiamo (uno alla volta) vicini ad una delle sfere, corpo C,

all’estremo di una bilancia di Cavendish. Il corpo C viene accelerato dall’attrazione gravitazionale e la

bilancia inizia

32

Sperimentalmente si trova quindi che la forza esercitata da B su C è 2.00 volte quella esercitata da A su

C.

Mentre l’esperimento 1 si esegue misurando le accelerazioni impartite ai due corpi A e B dalla stessa

to 2, che

lare ordine in natura sia confermato sperimentalmente in tutte le circostanze, con tutti i corpi, ad

e un rapporto di forze esercitate su

calamita più pesante attiri anche con più forza degli oggetti di ferro.

forza, cioè confronta la proprietà a cui è stato dato il nome di “massa inerziale”, nell’esperimen

a priori non ha connessione con l’esperimento 1, si confrontano proprietà ed effetti completamente

diversi: cioè si considerano le forze a distanza (non di contatto) esercitate da A e B su un terzo corpo C.

È sorprendente che il rapporto numerico sia esattamente lo stesso in entrambe le esperienze che questo

partico

un grado altissimo di precisione, qualunque sia la loro composizione chimica, lo stato di aggregazione in

cui sono e il luogo in cui si trovano.

Per evidenziare questo comportamento si può puntualizzare che un’interazione completamente diversa

tra le sfere (per esempio interazione elettrostatica o magnetica) esibisc

C che non ha alcuna relazione con il rapporto delle masse inerziali di A e B. Per esempio non è detto che

una

E’ solo nell’interazione gravitazionale che i rapporti sono identici. Domanda

Hai a disposizione una pentola, un dinamometro e una copia del kilogrammo campione, che è anche

l’unità di misura della massa gravitazionale. Con il dinamometro misuri la forza con cui la Terra attira la

pentola e quella con cui la Terra attira il kilogrammo. Come puoi determinare, con questi dati, la massa

gravitazionale della pentola?

Verifica formativa – test di allenamento – vedi allegato 5

2.6.6. L’accelerazione di gravità g e la forza peso

Secondo Voltaire, fu osservando la caduta di una mela nel suo

giardino che Newton ebbe una intuizione rivoluzionaria rispetto

alla cultura dei suoi tempi: che cioè la forza peso altro non è se

cui la Terra attrae i corpi ad essa

circostanti, ed è dunque anche la stessa forza in virtù della quale –

gmP

non la forza gravitazionale con

ad esempio – la Luna orbita intorno alla Terra.

La forza peso con cui un oggetto di massa m viene attratto alla

Terra può essere espressa come: rr

=

dove gr è detta accelerazione di gravità o, vedremo più avanti, il

vettore campo gravitazionale generato dalla Terra.

Il moto dei gravi in prossimità della s nella sezione

di cinematica. Ora è interessante far

distanza dalla superficie terrestre del m

Poiché la Terra può essere consider

l’accelerazione di gravità

uperficie terrestre viene affrontato precedentemente

calcolare agli studenti i limiti di applicabilità in funzione della

odello “accelerazione di gravità”costante”.

ata, in buona approssimazione, come dotata di simmetria sferica,

gr cui è so

dalla:

ttoposto un corpo in prossimità della sua superficie viene espresso

rr

MGg Terra ˆ2=

r (12)

dove r è la distanza del punto consid

In partic gio terrestre, otteniamo il valore

dell’accelerazione g0 di gravità sulla superficie della Terra pari a 9,81

m/s2.

Di solito è più com

erato dal centro della Terra.

olare, se consideriamo r =RT, rag

odo riferire la posizione del punto considerato alla

superficie terrestre ponendo:

hRr T +=

Pertanto la (12) diventa:

altezza

(km)

g

(m/s2)

( ) ( )2

2

022

2 ˆ

1

ˆhR

RgrhR

GMrhR

GMgT

TTerra

T

Terra

+=

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛+

=+

=r

Poiché il raggio terrestre è di 6,38 una

0 9,83

RTT

⎠⎝

⋅106 m, ad

n

l’accelerazione di gravità p

per alcune decine di metri, e in generale per tutte le

esperienze di laboratorio,

approssimazione costante.

km dal suolo g si riduce a 7 roporzionalmente, si riduce anche il peso.

Attraverso la (12) possiamo fornire alcuni valori di g a diverse altezze sopra la su ficie te

noti che, contrariamente alla sensazione di “assenza di gravità”, per un satellite in orbita all za di

400 km si trova g=8,7 m/s2, tipica di una navicella spaziale orbitante.

Vi sono inoltre ulteriori fattori correttivi da apportare al valore di g dovuti principalmente al fatto che:

5 9,81

10 9,80

50 9,68

100 9,53

400 (*) 8,70 altezza da Terra di 100 Km, g diminuisce soltanto di

circa 0,2 m/s2. Si compre de perciò il motivo per cui

er piccoli dislivelli ed anche

può ritenersi con ottima

Invece ad una quota di 1000

,3 m/s2 e p

35 700 (**) 0,225

380 000 (***) 0,0027 (*) altezza tipica di una navicella spaziale orbitante (**) altezza dei satelliti per telecomunicazioni (***) distanza della Luna

per rrestre. Si

’altez

La crosta terrestre non è uniforme

La Terra non è una sfera

La Terra ruota su sé stessa

Tali effetti incidono per una percentuale massima dello 0,6% sul valore d uindi bili

ai fini dello studio del moto dei corpi in prossimità della s

i g e sono q trascura

uperficie terrestre, ma molto importanti per

34

studiare effetti quali lo schiacciam nto dei poli, la presenz

oluz , di diversi problemi a

carattere ingegneristico (definizione di piani orizzontali per la distribuzione di idrocarburi,

rogettazione di reti idriche e di sedi per acceleratori di articelle, ecc…)

Quesiti alla classe:

e a di giacimenti nei sottosuoli, la definizione

e correzione delle posizioni dei satelliti geostazionari, ris

p p

ione, a scala locale

• Se la Terra avesse un raggio doppio di quello che ha in realtà, pur continuando ad avere la

stessa massa, quanto sarebbe il tuo peso?

• Quanto varierebbe il tuo peso se ti trovassi su una torre alta due volte il raggio della Terra?

2.6.6.1. Percorso didattico di laboratorio di fisica – indicazioni metodologiche

Il laboratorio è prezioso ed indispensabile per l’affronto di qualsiasi argomento di fisica. Un gruppo di

erso da quello di teoria e di esercizi. Tale strumento avrà lo

opo zioni delle esperienze di laboratorio, con osservazioni e riflessioni

avat

ede introduttive che le schede guida di laboratorio (allegati 6, 7 e 8)

esperienze di laboratorio che mirino ad analizzare diversi metodi per la determinazione del valore

costante dell’accelerazione di gravità g del luogo sono, a mio avviso, centrati ed efficaci a questo

punto dello sviluppo dei contenuti.

Secondo le indicazioni ricevute nel corso “Laboratorio di didattica della fisica” ritengo sia prezioso

l’utilizzo di un quaderno di laboratorio div

sc di raccogliere tutte le rela

ric e dall’esperienza diretta.

Le schede di laboratorio allegate riporteranno le indicazioni sia per l’esecuzione dell’esperienza che le

indicazioni per l’analisi dei dati e la stesura della relazioni. Gli studenti verranno guidati nel lavoro a

casa attraverso domande dirette e parti di affermazioni da completare.

Le esperienze di laboratorio verranno precedute dallo studio assegnato a casa di alcune parti teoriche

che si ritengono acquisite e seguite dallo svolgimento della relazione e di alcuni esercizi da svolgere

per gruppi.

Alleghiamo sia le sch

Obiettivi:

• Analizzare diversi metodi per la de inazione dell’accelerazione di gravità g term

matiche

Pre requisiti: • Calcolo ed attribuzione degli errori

un

endolo

• Costruzione di un grafico e di istogramma • Leggi del moto del p• Saper individuare la misura più

accurata di g tra quelle ottenute con vari metodi • Conoscere le caratteristiche del moto di caduta libera • Saper sfruttare il grafico tachimetrico e orario per dedurre informazioni cine

• Leggi del moto su un piano inclinato • Relazioni goniometriche nei triangoli rettangoli • Principi della dinamica

• Saper effettuare un’analisi statistica di misure ripetute

Esperienze di laboratorio:

a) analisi di un moto in caduta libera

b) analisi di un moto su un piano inclinato

c) analisi del moto di un pendolo

Vedi allegati 6-7-8: schede di laboratorio di fisica

2.6.7. Il moto dei satelliti

Proponiamo alla classe un esperimento ideale. Immaginiamo di avere,

e spara in

orizzontale. Supponiamo di poter aumentare la sua potenza di fuoco, in

modo che il proiettile esca con una velocità iniziale sempre più grande.

e no ci sia

iett incurvata.

la ve

uale a uello

errare d ent

supera i 7,9×103m/s (28500

di immettere in orbita attorno alla Terra un oggetto lanciato

Esaminia plicità, al solo caso di un’orbita circolare. Il satellite

viene portato da un razzo vettore nel punto P (figura a fianco) all’altezza h prefissata per l’orbita. La

traiettoria seguita dal razzo, dall ente curvata in modo che in P la

colare alla direzione della forza gravitazionale terrestre. In quel

momento il satellite viene abbando ’orbita di raggio

Abbiamo già analizzato il fatto che

circolare è data dalla forza grav

sulla cima di una montagna molto alta, un cannone ch

Supponiamo anche ch n l’aria.

oria è molto Nel primo tiro la tra

Poi, man mano che

l’incurv

locità iniziale aumenta,

amento diminuisce fino a che diventa ug

terrestre.

q della superficie

A questo punto il proiettile non riesce più ad att e ra in orbita. Ciò

accade, in assenza d’aria, quando la velocità

km/h).

Anche Newton prevedeva la possibilità

con velocità sufficientemente elevata.

mo il problema riducendolo, per sem

a terra al punto P, sarà opportunam

velocità vettoriale sia perpendi

nato con velocità v e prosegue per inerzia in un

R+h (essendo R il raggio terrestre).

la forza centripeta necessaria per mantenere il satellite sull’orbita

itazionale che agisce sul satellite in P. Pertanto si ha:

( )22

hRMmG

hRmv

+=

+

dove m e M sono le masse del satel

d ta velocità circolare o

prim ica. Supponendo un valore di h= 200 Km

lite e della Terra. Da questa equazione si può ricavare il valore

mere al satellite in P. Tale velocità vella velocità che occorre impri

a velocità astronom0 è chiama

P v

si ha:

h

Il disegno è tratto da “Il sistema del mondo” di Newton

36

( ) smhR

v /108,7102,037,6 60 ⋅=⋅+

=+

=

In questa formula non compare la massa del satellite, q

GM 1098,51067,6 32411 ⋅⋅⋅ −

uindi la velocità necessaria per restare in orbita

(R+h) dell’orbita: quanto più è grande la distanza dal centro

il punto P si trova nel vertice più vicino al fuoco occupato dal

centro della Terra.

la velocità supera

Nell’esempio in questione in cui h=200 km

lto p co da

realtà vi è una sola pos ed infi

pera uga.

’ interessante far notare ai ragazzi la corrispondenza tra questi casi e i valori delle eccentricità di tali

oniche.

uindi esistono infinite orbite ellittiche (delle quali un caso particolare è la circonferenza) e infinite

aiettorie iperboliche. Queste sono separate da una traiettoria particolare, quella parabolica

ccentricità pari a uno). Si tratta di un caso speciale in cui il proiettile arriverebbe a distanza infinita

dalla terra, ma vi giungerebbe con velocità nulla.

è la stessa sia che il satellite abbia massa grande sia che il satellite abbia massa piccola.

La velocità invece dipende dal raggio

della Terra, tanto più lento sarà il moto del satellite.

Se la velocità v impressa al satellite è minore o maggiore di v0 l’orbita seguita non è circolare ma

ellittica e il centro della Terra ne occupa uno dei fuochi.

v<v0 v=v0 v>v0

Nel primo caso il punto P si trova nel vertice dell’ellisse più

lontano dal fuoco occupato dal centro della Terra, nel terzo caso

P v

In entrambi i casi abbiamo una velocità limite. Nel primo caso, se la

velocità è minore di un valore minimo vmin, l’ellisse si restringe tanto

che il satellite incontra gli strati più densi dell’atmosfera e finisce per

disintegrarsi (linea tratteggiata). Nell’ultimo caso se

un valore massimo detto velocità di fuga vf, l’ellisse degenera in una

parabola e il satellite sfugge alla gravitazione terrestre.

vmin differisce mo o v0 e la velocità di fuga risulta vf= 40.000 km/h circa.

In sibile traiettoria parabolica nite traiettorie iperboliche una volta

su ta la velocità di f

E

c

Q

tr

(e

hv

v

h

0<e<1

e>1

e=1

Per calcolare la velocità di fuga, ovvero la minima velocità che un corpo deve possedere allontanarsi

per sempre da un pianeta occorre aspettare di aver definito sia il campo gravitazionale sia l’energia

potenziale gravitazionale.

2.6.7.1. Satelliti geostazionari

Immaginiamo di immettere un sate

piano dell’equatore facendolo ruota

Terra gira su se stessa, cioè da oves

Se stando all’equatore riuscissimo ad osservare con un

cannocchiale il satellite mentre percorre u

llite su un orbita circolare sul

re nello stesso senso in cui la

t verso est.

n’orbita bassa, lo

dremmo muoversi più lentamente.

Continuando ad aumentare il raggio

significa che per fare un giro intorno alla

terra impiega lo stesso tempo che occorre

Un satellite su questa orbita che si tro

f

terrestre si chiama geostazionario, c

fermo rispetto alla Terra.

L’orbita geostazionaria è la più amb

da chi lancia satelliti per le telecom municare

on un’ampia parte della superficie terrestre 24 ore su 24.

vedremmo sfrecciare sulla nostra testa a gran velocità.

Se invece il satellite fosse in un’orbita più

alta, lo ve

dell’orbita arriveremmo a un punto in cui il

satellite ci appare fermo nel cielo. Questo

alla Terra per ruotare su se stessa, cioè circa 24 ore.

va

icie

ioè

a circa 36.000 km dalla super

ita

unicazioni. Da quest’orbita, infatti, un satellite può co

c

38

2.6.8. La deduzione delle leggi di Keplero

Le tre leggi di Keplero sono state ricavate come leggi sp

come una conseguenza dei principi della dinamica e della

Prima legge di Keplero: si può dimostrare matematicamen

ancora posseduti dagli studenti oggetto di questo lavo

ui agisce la forza gravitazionale universale esercitata da un

molto più massivo (come

isse, una parabola o un’iperbole e che i pianeti che ritornano

enze come caso particolare).

uenza della conservazione del momento angolare, che vale

servazione dell’energia e afferma che durante il moto ellittico il prodotto

erimentali, ma possono essere ora comprese

legge di gravitazione universale.

te, con l’utilizzo di derivate ed integrali non

ro, che partendo dalla seconda legge della

dinamica e considerando un pianeta su c

corpo celeste il Sole) la traiettoria descritta dal pianeta può essere soltanto

una curva di secondo grado ovvero un’ell

verso il Sole percorrono ellissi (o circonfer

Seconda legge di Keplero: è una conseg

assieme alla legge di con

vettoriale vmR rr× non varia. Quindi quando il raggio vettore è grande la velocità sarà piccola e

viceversa.

La conservazione del momento angolare e dell’energia meccanica sono anche alla base della

spiegazione dell’effetto fionda utilizzato per accelerare e guidare alcuni satelliti come la sonda della

missione Cassini che, lanciata nel 2004, ha prima accelerato passando vicino a Venere poi ha

volteggiato attorno ad altri pianeti del sistema solare per poi dirigersi verso Saturno.

Terza legge di Keplero: è una conseguenza del fatto che nel moto del pianeta la forza gravitazionale

funge da forza centripeta. Nel moto circolare uniforme la velocità di percorrenza è data da: T

Rv π2= ,

dove T è il periodo ed R il raggio dell’orbita. Poiché abbiamo già ricavato la velocità di percorrenza di

un satellite possiamo porre:

RGM

TR=

π2 da cui si ottiene: 22

3

4πGM

TR

=

2.6.9. Il campo gravitazionale

Ma in che modo accade che un corpo esercita una forza a distanza su un altro corpo? Se consideriamo

i lunghi tratti presenti tra il Sole ed i pianeti del nostro Sistema Solare assieme al fatto che tra di essi

non vi è alcun mezzo materiale capace di trasmettere una qualche interazione, tale spiegazione risulta

ancora più misteriosa.

Superando tale difficoltà Einstein riuscì ad intuire che gli effetti di una accelerazione non si possono

distinguere da quelli della gravità: questa illuminazione diventerà il principio di equivalenza.

Ciò di fatto corrisponde a considerare uguali la massa inerziale del secondo principio della dinamica e

quella gravitazionale della relativa legge newtoniana.

In questo modo si ottiene 2R

MGa =

dove M è la massa accelerante, ad esempio quella di un pianeta rispetto ad un satellite.

Ne consegue che l’accelerazione di gravità non dipende dalla massa del corpo accelerato.

Einstein riuscì, in definitiva, a dimostrare che non è possibile riscontrare differenze nelle leggi fisiche

di un corpo fermo ed immerso in un corpo gravitazionale di uno che subisce una accelerazione di

uguale intensità (e verso opposto) fuori da un campo gravitazionale.

A titolo di esemplificazione, possiamo pensare che la condizione di un astronauta dentro ad una

astronave ferma sulla superficie terrestre è indistinguibile da quella di un secondo astronauta che nello

spazio viaggi con accelerazione costante di uguale intensità rispetto all’accelerazione gravitazionale

della terra (9,81m/s2).

Deve essere tuttavia precisato che la gravità può essere sostituita con una accelerazione solo su scala

locale.

Se consideriamo infatti degli astronauti dentro

una navicella in caduta libera, possiamo pensare

che gli effetti gravitazionali della Terra possano

essere completamente eliminati in tale sistema di

riferimento inerziale. In realtà gli astronauti

attraverso gli effetti di marea che esso produce.

Se essi sistemano una goccia di liquido al centro

della loro navicella, si rendeTerra

possono accorgersi del campo gravitazionale

ranno conto del fatto

che questa goccia non è perfettamente sferica, ma presenta due protuberanze. Una protuberanza è

diretta verso la Terra e l’altra nella direzione opposta: tale deviazione dalla forza sferica indica la

resenza di un campo gravitazionale. Tali protuberanze sono determinate dal fatto che il campo

: la parte della goccia più vicina alla Terra risente dell’attrazione

ri, non è altro che la deformazione di una “sfera cava d’acqua” (i mari e gli

vità con

goccia d’acqua

p

gravitazionale non è omogeneo

gravitazionale in misura maggiore rispetto all’altra parte. La forza che provoca le protuberanze viene

chiamata forza di marea.

L’effetto che quotidianamente noi osserviamo sulla Terra in caduta libera, che produce un’ampiezza

di marea fino a 2 met

oceani) del diametro di circa 12.760 km osservata con uno “sguardo da formica”.

Esiste tuttavia la possibilità di sostituire in un punto preciso di un campo gravitazionale la gra

un’accelerazione ma ciò può avvenire solo localmente a causa della natura vettoriale delle due

grandezze fisiche.

40

Questo dettaglio per nulla u e s perfluo avrebb potuto arrestare l’indagine di Einstein; egli, invece,

proprio a partire da questa proprietà gravitazionale dedusse il concetto più rivoluzionario della sua

ferto dalla

teoria, la curvatura dello spazio (tale curvatura riguarda in realtà anche il tempo).

Einstein dovette rendersi conto che il modello of

geometria non euclidea (nello specifico quella di Riemann),

nei confronti della quale era inizialmente scettico,

corrispondeva a ciò che stava alla base degli effetti

e proporzionale alla grandezza delle masse che accoglie.

spaziotemporale causata dalla massa di questa

uesto stato di cose viene descritto dicendo che la

resenza di un corpo crea nello spazio un campo

dell’attrazione gravitazionale.

Questa grandiosa intuizione portò a comprendere che i corpi massivi non sono realmente attirati gli

uni verso gli altri ma in tal senso si muovono poiché seguono la geometria dello spazio la cui

curvatura è direttament

La Terra, infatti, è legata gravitazionalmente al Sole poiché è costretta a seguire la curvatura

M3

. m P

gr

M1

M2

st

Q

p

ella.

gravitazionale.

ampo gravitazionale è un diverso modello, che è

ddisfacente perché permette di spiegare

l’interazione tra corpi lontani senza dovere

mmettere l’esistenza di una azione a distanza.

vo vettore, il vettore campo gravitazionale

Il c

so

a

Questa idea è resa quantitativa introducendo un nuo gr .

Per definirlo, supponiamo di avere una distribuzione qualunque di masse nello spazio (vedi figura) e

di volere descrivere l’azione gravitazionale di tale sistema fisico in un certo punto P, in cui non vi

sono masse. Per avere un dato quantitativo, dobbiamo mettere in P una piccola massa m, detta massa

di prova. La massa di prova deve essere così piccola da non modificare, con la sua attrazione

gravitazionale, il sistema che vogliamo studiare. In questo modo possiamo misurare la forza r

gravitazionale F che agisce su m posta in P. Ma la forza non è la grandezza adatta a

descrivere il campo gravitazionale, perché essa non dipende soltanto dal sistema

gravitazionale che r

Fr

campo gravitazionale g , in m

desideravamo studiare, ma anche da m. Allora definiamo il vettore

odo da eliminare l’effetto di m.

mFg

defr

r≡ 2r

MGg =

Dove M è la somma delle masse che generano il campo e r è la distanza del punto P dal centro di

massa del sistema. Quindi il modulo di g non dipende più da m e costituisce perciò la grandezza fisica

più corretta per descrivere il campo gravitazionale.

Tali considerazioni non devono semb

considerate nelle loro implicazioni e n

l’esistenza di un’azione a distanza signif

all’istante anche la forza esercitata sul

Invece il campo in un punto P varia a istantaneamente: rispetto allo

to esperimento non è

gravitazionale coincide con la velocità della luce nel

l

rare agli studenti semplici speculazioni e vanno perciò

on esposte in maniera forzatamente succinta. Affermare

ica che se la sorgente di tale azione (la massa) scomparisse

le masse circostanti dovrebbe istantaneamente scomparire.

l passare del tempo, ma non

spostamento della massa sorgente in un punto O c’è sempre un ritardo proporzionale alla distanza tra

O e P. Se ne deduce che c’è qualcosa che impiega del tempo per propagarsi tra O e P; questa «cosa» è

la variazione del campo gravitazionale. Nel caso del campo gravitazionale ques

ancora stato compiuto, ma vi sono argomentazioni indirette che portano a ritenere che il risultato è

proprio questo.

La velocità di propagazione della perturbazione

vuoto: c=300 000 Km/s, di modo che il ritardo ne la variazione di campo è

cr

= t∆

Diversi gruppi di ricercatori stann ercando di ri

campo gravit nale generate plosioni di s

gravitazionale (cioè l’informazione del fatto che il

esplosa) non giunge sulla Terra nell’istante dell’e erra

levare le onde gravitazionali, cioè le variazioni del

upernove. Secondo la relatività di Einstein, l’onda

campo gravitazionale è cambiato, perché la stella è

splosione, ma con un ritardo pari alla distanza T

o c

azio da es

– supernova divisa per la velocità della luce nel vuoto.

2.6.9.1. Uscita didattica - Progetto Virgo Nel comune di Cascina, a pochi chilometri da Pisa, è stata costruita in un arco di circa dieci anni la più

grande antenna gravitazionale d’Europa. Si tratta di un rivelatore interferometrico progettato e

costruito dall’Istituto Nazionale di Fisica Nucleare e dal centro Nazionale per la Ricerca Scientifica

Francese e gestito come infrastrutture, sostegno tecnico e personale dal Consorzio EGO (European

Gravitational O rv tory). nna Virgo è costituita di due bracci lunghi 3 chilometri e posti

perpendicolarmente. Con una logica simile a quella utilizzata dall’esperimento di Michelson Morley il

progetto ha lo scopo principale di raccogliere informazioni più dettagliate sulle origini dell’universo.

bse a L’ante

42

2.6.10. L’energia potenziale della forza peso e l’energia potenziale gravitazionale

Un corpo situato ad un’altezza h dal suolo è in grado di compiere lavoro. Infatti quando il corpo cade

la forza peso P=mg si sposta nella propria direzione di un tratto h, fornendo un lavoro L=Ph. Diciamo

allora che un corpo situato ad altezza h dal suolo possiede, rispetto al suolo, energia potenziale U,

definita dalla relazione:

mghPhU ==

Un corpo che possiede tale energia, spostandosi da A a B (vedi figura), compie sempre il lavoro

L=mgh, qualunque sia il percorso seguito.

yy

x

b

C B

A

h

Supponiamo per esempio che il corpo segua il percorso incl

ma essendo AB cosb=h, risulta L=mgh. Se invece il corpo,

nel tratto CB non compie alcun lavoro perché forza-peso e s

è compiuto solo nel tratto AC e, come nel caso precedente, è

o ora un caso più generale.

ngo un percors

lavoro fatto dalla forza peso è sempre

L=mgh

In definitiva il lavoro fatto dalla forza peso non dipende dal

dei punti di partenza e di arrivo. Conseguenza di ciò è che i

percorso chiuso è sempre nullo. Tutte le forze per cui si può

Analizziam

Supponiamo che il corpo scenda da A a B lu

al percorso curvilineo una spezzata fatta di tratti orizzontali

forza peso non compie lavoro; il lavoro fatto lungo la spezza

lngo i Dy. Essendo SDy=h, il lavoro sarà: L=Ph. Possiam

sempre più piccole fino a che la spezzata non sia più distin

questo caso il lavoro fatto lungo la spezzata L=Ph si identific

Possiamo quindi affermare che, qualunque sia il percorso ch

A

h

B

inato AB

per por

postame

L=mgh

o qualsia

percors

l lavoro

fare qu

e vertica

ta si rid

o pensa

guibile

a con il

e il corp

x

; il lavoro sarà: βcosmgABL = ,

tarsi in B, segue il percorso ACB,

nto sono perpendicolari; il lavoro

.

si. Possiamo pensare di sostituire

l

o seguito ma solo dalla posizione

fatto da un forza simile lungo un

esta affermazione si dicono forze

li; in tutti i tratti Dx orizzontali la

uce dunque alla somma dei lavori

re di fare suddivisioni Dx e Dy

sperimentalmente dalla curva. In

lavoro fatto lungo la linea curva.

o compie per passare da A a B, i

conservative. Tali sono, ad esempio, oltre alla forza gravitazionale, le forze elastiche e le forze

do riferirsi al tavolo del laboratorio, al pavimento del laboratorio ecc.

Cambiando il piano di riferimento, il valore dell’energia potenziale varia, ma questo non comporta

a qual è l’energia potenziale di due masse puntiformi m e M, poste a distanza r tra loro, che quindi

attra la forza di Newt energia potenziale

ravitazionale?

ino ad ora abbia lo il caso di una massa posta in ità della Terra, supponendo

he le distanze fossero talmente piccole, nei conf

ostante la forza di gravità.

na tale approssimazione, utile n bito delle piccole dimensioni, si rivelerebbe intollerabile già

ei riguardi delle traiettorie dei satelliti artificiali terrestri, e risulterebbe addirittura assurda in campo

stronomico, ad esempio nell’ambito del Sistema Solare.

elettrostatiche. Il campo che si genera si chiama anch’esso conservativo.

Per introdurre l’energia potenziale della forza peso abbiamo preso come livello base il suolo e riferito

ad esso l’altezza h. Pur essendo il riferimento più spontaneo, il suolo non è l’unico possibile, anzi

spesso torna più como

alcun inconveniente perché ciò che interessa è la variazione di energia e questa non cambia se si

sceglie un riferimento o un altro.

M

si ggono con on, ovvero cosa possiamo dire sull’

g

F mo considerato so prossim

c ronti del raggio terrestre, da poter considerare

c

U ell’am

n

a

Pertanto, nello studio dei fenomeni astronomici occorre tener presente che la forza di gravità non si

mantiene costante, ma varia con la distanza secondo la legge: 2rMmGF =

E’ necessario quindi che i ragazzi riprendano la definizione generale di energia potenziale già studiata

negli anni precedenti.

Se un oggetto passa da un punto A ad un punto B sotto l’azione di una forza F , definiamo la

differenza di energia potenziale BAAB UUU

r

−=∆ uguale al lavoro fatto dalla forza Fr

nel passaggio

da A a B:

AB

def

AB WU ≡∆

Una volta scelta una condizione di zero ( in modo che in un punto R si abbia 0=RU , si chiama

energia potenziale in A il valore della differenza di energia potenziale tra A e la situazione di

UUUU

riferimento:

ARU∆ AARA =−=−= 0

Nel caso della forza di Newton, il lavoro fatto d za quando la massa m viene spostata da A a B a tale for

mentre l’altra massa M rimane fissa vale:

ABABAB r

mMGr

mMGrFW −=∆⋅=rr

44

dove rA e rB sono le distanze da M dei punti A e B.

Occorre precisare che il lavoro non è semplicemente dato dal prodotto della forza per lo spostamento:

si deve tener presente, infatti, che la forza di gravità aumenta man mano che diminuisce la distanza.

Pertanto il valore della forza da prendere in considerazione è quello medio relativo allo spostamento.

A questo proposito è utile un approfondimento matematico che dimostri la relazione sopra scritta

(vedi allegato 9: il lavoro della forza di Newton)

Quindi la differenza di energia potenziale sarà:

ABBA rr

Questa relazione è soddisfatta se definiamo l’energia potenziale per due masse m e M, poste alla

distanza r con la f

mMGmMGUU −=−

ormula: ( ) kr

mMGrU +−=

buiamo il livello zero di energia potenziale alla configurazione nella quale

a un punto L, posto così lontano da essa da poter porre U =0. In questo caso l’energia potenziale nel

vicella da B a L:

La costante arbitraria k è conseguenza del fatto che possiamo scegliere liberamente la posizione di

zero. Se scegliamo k=0 attri

le due masse m e M si trovano a distanza infinita.

Ai ragazzi risulta sicuramente difficile operare con una energia negativa. Cerchiamo quindi di

familiarizzare con un esempio.

Immaginiamo di voler spostare una navicella spaziale che si trova in un punto B vicino alla Terra fino

L

punto B è esattamente pari al lavoro necessario per portare la na

BLB WU =

Nel tragitto da B a L la forza di Newton è un vettore rivolto verso la Terra, mentre lo spostamento è

sistema Terra+n

cui agisce la forza peso, aumentiamo l’energia potenziale del sistema Terra+oggetto,

passando da un valore negativo a un altro valore “meno negativo”.

Facciamo notare ai ragazzi che, nell’esempio appena descritto, è il lavoro fatto dalla forza di gravità

che il Sistema Solare sia composto solamente dalla Terra e dal Sole rispondere ai

seguenti quesiti:

per sganciare la Terra dal Sistema Solare?

rivolto in verso opposto. Ecco perché il lavoro risulta negativo e, di conseguenza, risulta negativa

anche l’energia potenziale del avicella. D’altronde anche quando solleviamo un

oggetto su

ad essere negativo. Il nostro lavoro, fatto per allontanare la navicella, è ovviamente positivo.

Compito per casa:

Immaginando

• qual è l’energia potenziale gravitazionale del Sistema Terra – Sole?

• quale lavoro è necessario compiere

2.6.11. La forza di gravità e la conservazione dell’energia meccanica

Consideriamo un corpo che cade liberamente; se v1 e v2 sono le sue

velocità nei punti 1 e 2 rispettivamente, in tali punti il corpo possiede

energie cinetiche 21 mvK = e 11 221 mvK = , ed essendo v >v , sarà 22 2

2 1

K2>K1. Nel tratto h1-h2, compreso tra i punti 1 e 2, la forza peso

eorema dell’energia

cinetica (L=DK) si ha pertanto:

compie lavoro L=P(h1-h2). Applicando il t

21221 22

2 11 mvmvPhPh −=−

Ma Ph e Ph sono rispettivamente U1 e U2, cioè le energie potenziali del corpo nei punti 1 e 2. Si ha 1 2

allora:

1221 KKUU −=− , ovvero 2211 KUKU +=+

Che rappresenta l’espressione del teorema di conservazione dell’energia meccanica: in campo

conservativo la somma dell’energia cinetica e dell’energia potenziale è costante.

i in cui le forze non conservative sono assenti oppure trascurabili.

costante. Siccome l’energia

orbita)

etica ad aumentare.

l’energia totale del sistema è dato dalla somma dell’energia cinetica (positiva)

Gli studenti riscontreranno nel loro corso di studi la fondamentale importanza di questo principio per

la soluzione di tutti quei problem

Le leggi di conservazione della quantità di moto e dell’energia meccanica spiegano perché un satellite

su un’orbita circolare si

muove a velocità scalare

potenziale non varia,

restando costante l’altezza

dal suolo, non varia

nemmeno l’energia

cinetica.

Invece, su un’orbita ellittica il satellite si muove tanto più velocemente quanto più si trova vicino alla

Terra. La diminuzione dell’energia potenziale (causata dalla diminuzione dell’altezza dell’

obbliga l’energia cin

Quando si considera un solo satellite di una stella tanto grande da poter considerare il suo centro fisso,

2

21 mvK = del satellite

e dell’energia potenziale (negativa) r

GmMU −= . Il satellite percorre un’orbita ellittica soltanto se la

somma K+U, che è l’energia totale, è negativa. In questo caso vale la prima legge di Keplero, perché

1

2h1

h2

U+K=costante U costante K costante

U min K max

U max K min

46

il satellite ripercorre sempre la stessa orbita ellittica ed è legato gravitazionalmente al corpo attorno a

nelle vicinanze di un pianeta

potenziale del sistema proietti

e l’energia totale del sistema

otenziale negativa) è uguale a

necessaria ad allontanarsi indefinitamente dal pianeta. In questo caso

esso descrive una traiettoria parabolica. Se la velocità del proiettile è maggiore (cioè se la sua energia

totale è positiva) la traiettoria seguita sarà iperbolica.

cui orbita.

Consideriamo ora nuovamente

sono a distanza infinita. S

(energia cinetica positiva e p

zero, esso ha la minima velocità

un proiettile che si trova

e poniamo lo zero dell’energia

le – pianeta quando questi

K<|U|

K>|U|

K=|U|

2.6.11.1. La velocità di fuga e il raggio di Schwarzschild

Cerchiamo ora di individuare la velocità di fuga di un proiettile, ovvero la minima velocità che, se

posseduta da un corpo, gli permette di sot r zione gravitazionale di un altro corpo come un

ere per giungere a

tra si all’attra

pianeta e di riuscire ad allontanarsi per sempre da esso senza mai più ricadervi.

Ciò che stiamo cercando è quindi la minima velocità che il proiettile deve possed

distanza infinita dal pianeta con velocità nulla. Utilizzando la legge di conservazione dell’energia

meccanica e considerando la situazione energetica nell’istante di lancio e nell’istante finale si ha:

2211 UKUK +=+

RGMv 2

= 021 2 − =

RmM Gmv

Quindi la velocità di fuga dip

massa del proiettile.

Considerando le trasformazio

possiamo riflettere sul fatto ch

stesse concentrando tutta la loro mass

da un tale

ende solo dalla massa del pianeta e dal suo raggio e non dipende dalla

n subiscono le stelle nell’ultimo periodo della loro evoluzione

tende ad esaurirsi, esse collassato su se

a in un raggio ridottissimo. In tale situazione la velocità di fuga

corpo celeste aumenta vertiginosamente e poiché secondo la teoria della relatività nessuna

nale da cui nulla, neppure la luce, può sfuggire.

i che

e, quando il loro carburante

velocità può superare quella della luce nel vuoto (c=300.000 km/s), vi sarà un valore critico delle

dimensioni della stella, detto raggio di Schwarzschild, oltre il quale il corpo celeste si trasformerà in

un buco nero, ovvero un pozzo gravitazio

Esercizio 1:

Una palla di massa m= 0,50 kg viene lanciata verticalmente verso l’alto con una velocità di 10 m/s

(trascuriamo l’attrito dell’aria). Scegliamo come sistema quello formato da palla + campo

gravitazionale; l’energia complessiva iniziale è:

JKU 2510050,021000 =⋅⋅+=+

hl

A

B

C

a

Durante la salita l’energia cinetica diminuisce a favore dell’energia potenziale fino a quando, al

massimo della traiettoria, l’energia cinetica si riduce a zero; per un attimo la palla è ferma prima di

invertire il moto e in quell’istante tutta l’energia, 25 J, è sotto forma di energia potenziale. Possiamo

così calcolare l’altezza massima raggiunta:

00 KUKU hh +=+

Jmgh 250 =+

mh 1,58,950,0

25=

⋅=

E’ importante far riconoscere ai ragazzi che quanto detto per l’energia potenziale gravitazionale può

essere riferito anche all’energia potenziale elastica, essendo anche la forza elastica una forza

conservativa.

Esercizio 2:

Il dispositivo illustrato in figura contiene una molla avente costante elastica k=100 N/m. Si fa scattare

la molla dopo averla compressa di 3,0 cm. Calcolare con quale velocità la pallina di massa m= 10g

raggiunge la sommità del piano inclinato (l= 70 cm; a= 20°). Trascurare gli attriti.

L’energia potenziale della molla è: Jkx 242 11 −− ⋅=⋅⋅⋅= 105,410910022

Tale energia viene trasmessa alla pallina sotto forma di energia cinetica e rappresenta l’energia totale

della pallina in A.

Quando la pallina giunge nel punto B, la sua energia è in parte cinetica, in parte potenziale. Poiché

quando agiscono solo forze conservative l’energia meccanica si conserva, si ha:

BBAA KUKU +=+

mghmvB +=⋅+ − 22

21105,40

Calcoliamo l’altezza h del triangolo BCA:

mlsenh 239,0342,070,0 =⋅== α

Sostituendo: 239,08,9101021105,4 2222 ⋅⋅+⋅⋅=⋅ −−− v B

( ) smvB /1,223,25,4 =⋅−=

48

Esercizio 3:

Un pendolo di lunghezza h=1,50 m viene lasciato libero nella posizione A e scende percorrendo un

arco di circonferenza. Calcolare la velocità della sfera quando passa per B e il rapporto tra peso della

sfera e tensione del filo nel medesimo istante.

Applichiamo la conservazione dell’energia meccanica:

2

2100 Bmvmgl +=+

Osserviamo che non è necessario conoscere la massa della sfera

perché, apparendo in ambedue i membri della relazione, viene

eliminata.

Scegliamo come livello di riferimento per il calcolo dell’energia

A

h

B

potenziale il livello del punto B così che quando la sfera si trova in A la sua altezza h rispetto a B è

pari alla lunghezza l del filo:

smglvB /42,550,18,922 =⋅⋅==

Occorre far notare ai ragazzi che la velocità glv 2= è la velocità finale di un corpo che parte da

fermo percorrendo lo spazio s=l con accelerazione costante g. La velocità vB è quindi la velocità che il

corpo avrebbe al livello B cadendo verticalmente dal livello A. Poiché nella formula scritta sopra non

appare alcun riferimento al percorso, possiamo affermare che tale velocità è quella che il corpo

raggiunge in B, qualunque sia la traiettoria seguita da A. Gli studenti saranno così portati a riflettere

sul concetto di campo conservativo appena studiato e noteranno che questo fatto ne è una diretta

conseguenza

La tensione T del filo deve essere uguale alla somma di due forze: la forza centripeta necessaria a far

compiere la traiettoria circolare (e questo anche in assenza di campo gravitazionale) e la forza che

equilibra il peso della sfera. Si ha pertanto:

mgmglglmmg

rvmT 322

=+=+=

E quindi si ha: 31

3==

mgmg

TP

Verifica sommativa – allegato 10

2.7. Conclusioni e riflessioni finali

he.

o ciplinari

coinvolte. Tuttavia risulta di notevole interesse in quanto, nel suo approccio soprattutto iniziale, si

presenta come esempio efficace di problema solubile. In esso, infatti, è possibile mostrare come una

teorizzazione di carattere generale (

applicata può risolvere un problema p

legge di gravitazione universale di Newton e quindi il moto dei pianeti. E’ possibile far ripercorrere

agli studenti, quasi come un esercizio,

in risposta a una situazione sperimentale, con dati noti: il classico

“problema”. In questo caso i dati sono la forma delle orbite secondo le leggi di Keplero.

me alla t

quella della Terra (circa 10 volte), e che quindi l’ipotesi che il baricentro

ette inoltre di affrontare questioni notevolmente complesse

(principio di equivalenza e sue implicazioni, curvatura di campo, ecc…) nonché contenuti già

affrontati in passato (energia potenziale, lavoro, conservazione dell’energia meccanica).

L’impostazione del progetto, fortemente improntata sulla ricostruzione storica delle vicende e dei

han o pe esso la scoperta del metodo scientifico, facilita negli alunni

d epistemologici tra logica matematica e logica filosofica.

questo modo il quadro formativo dell’alunno si completa e si stabilizza in un orizzonte più ampio e

assodato.

Il progetto qui proposto, anche se circoscritto in un arco temporale delimitato e destinato ad una

specifica classe liceale, deve necessariamente essere condiviso se non sviluppato attraverso un lavoro

di gruppo dei docenti delle discipline scientific

radicato in punti diversificati delle progettazioni disIl tema è molto ampio e soprattutt

le tre leggi della dinamica in questo caso) opportunamente

articolare, anche se estremamente importante: la deduzione della

il procedimento risolutivo.

Una volta date le leggi della di manica la deduzione della forza gravitazionale risulta dalla messa in

opera di un apparato teorico

L’applicazione della legge F=ma mostra, insie erza legge di Keplero, l’esistenza di una forza

inversamente proporzionale al quadrato della distanza. L’applicazione del principio di azione e

reazione alla forza che si esercita fra il Sole e un pianeta, porta alla formulazione definitiva della legge

di gravitazione universale, con l’introduzione di una costante universale G e quindi a una soluzione

completa del problema.

Infine un riesame del significato delle costanti kepleriane mostra come la massa del Sole sia

enormemente più grande di 5

del sistema solare sia praticamente coincidente con il Sole è corretta: risolvendo il problema del

sistema solare si ha così la vera giustificazione delle teorie copernicane.

Il successivo sviluppo degli contenuti perm

personaggi che n rm

l’individuazione di rapporti storici e

In

50

Allegato 1

Verifica di accertamento dei prerequisiti

1 Il principio di inerzia afferma che: A tutti i corpi tendono a rimanere fermi. B tutti i corpi tendono a opporsi al moto. C tutti i corpi si muovono di moto rettilineo uniforme se la forza totale agente su essi è nulla. D tutti i corpi si muovono di moto uniformemente accelerato se la forza totale agente su essi è nulla.

2 Un sistema di riferimento è detto inerziale quando in esso: A vale il principio di inerzia. B i corpi hanno inerzia. C non agiscono forze. D i corpi non subiscono accelerazioni.

3 Un aereo si sta muovendo con velocità costante; puoi affermare che:

si sposta con moto rettilineo uniforme, quando una forza costante inizia ad agire su

ocità istantanea.

o di questo tipo viene impiegato fuori dell’atmosfera terrestre: rimane fermo perché non c’è l’aria su cui esercitare una forza.

B rimane fermo perché nel vuoto non vale il principio di azione e reazione. C si muove in direzione opposta a quella dei gas emessi. D si muove nella stessa direzione dei gas emessi.

A sull’aereo non agisce alcuna forza. B le forze che agiscono sull’aereo hanno somma nulla. C sull’aereo agisce una forza totale non nulla. D sull’aereo non agiscono forze di attrito.

4 Su un carrello di massa 5 kg agisce una forza costante di 3 N. Sul carrello viene deposta una massa di 5 kg. Se la forza rimane costante, si può affermare che:

A la velocità del carrello si dimezza. B l’accelerazione del carrello si dimezza. C la velocità rimane costante ma cambia l’accelerazione. D la velocità cambia ma rimane costante l’accelerazione.

5 Un punto materialedi esso in direzione perpendicolare alla sua traiettoria. La direzione dell’accelerazione istantanea del punto è: A la stessa direzione della traiettoria. B la stessa direzione della velocità istantanea. C la stessa direzione della forza. D una direzione intermedia fra quella della forza e quella della vel

6 Due corpi A e B sono in interazione fra loro: A può accadere che A eserciti una forza su B ma che B non eserciti alcuna forza su A. B se A esercita una forza su B allora B esercita una forza su A avente la stessa intensità ma verso opposto. C se A esercita una forza su B allora B esercita una forza su A avente la stessa intensità e lo stesso verso. D se A esercita una forza su B allora B esercita una forza uguale su A solo se hanno la stessa massa inerziale.

7 I razzi vettori utilizzati per lanciare i satelliti per le telecomunicazioni sfruttano il principio di azione e reazione. I loro motori generano violente emissioni di gas in direzione opposta a quella del movimento. Se un razz A

8 lasciato cadere. Trascurando l’attrito dell’aria la sua velocità:

mpo. C aumenta in modo proporzionale al quadrato del tempo.

nale alla radice quadrata del tempo.

9 locità di 15 m/s. L’accelerazione che agisce su di ess opo i A in salita è nulla e in discesa è g. C in salita è g e in discesa è nulla.

o ha spinto.

0 ale d oni è vera? ssa grandezza fisica.

C Noti massa e peso di un corpo si può calcolare l’accelerazione di gravità. erso.

1

Un oggetto è A rimane costante. B aumenta in modo proporzionale al te

D aumenta in modo proporzio

Un oggetto di 4 kg è lanciato verso l’alto con una veo d l lancio:

è sempre g. B

D non si può calcolare perché non è nota la forza che l

1 Qu elle seguenti affermazi A Massa e peso sono la ste B Il peso è sempre maggiore della massa.

D Il rapporto fra peso e massa di un oggetto è costante in tutto l’Univ

1 Il periodo T di un pendolo di lunghezza l e massa m è: A T = 2�

B T = 2�

C T = 2� D T = 2�

1 Un pendolo è formato da una massa m appesa2 a una corda lunga l. Per costruire un pendolo con il er o do

B una massa qualsiasi e una corda lunga 4l.

3 ergia cinetica:

C raddoppia.

14 energia cinetica iniziale è uguale all’energia cinetica finale. la somma dell’energia cinetica e dell’energia potenziale rimane costante.

15 Un corpo non è sottoposto a forze dissipative; se la sua energia cinetica diminuisce puoi concludere

p iod ppio bisogna usare: A una massa qualsiasi e una corda lunga 2l.

C una corda lunga l e una massa 2m. D una corda lunga 2l e una massa 2m.

1 Quando la velocità di un corpo si dimezza la sua l’en A si dimezza. B diviene un quarto.

D quadruplica.

Nel corso di un processo che coinvolge solo forze conservative: A l’B l’energia cinetica iniziale è uguale all’energia potenziale finale. C D la differenza fra l’energia cinetica e l’energia potenziale rimane costante.

che: A il lavoro aumenta della stessa quantità. B il lavoro diminuisce della stessa quantità. C la sua energia potenziale aumenta della stessa quantità. D la sua energia potenziale diminuisce della stessa quantità.

52

16 Quale delle seguenti affermazioni è vera? nde dalla sua energia potenziale iniziale.

n dipende dal riferimento scelto per

per calcolarla.

affermazioni è vera? zza vettoriale. è il prodotto della sua massa per il modulo della sua velocità.

termini della massa. cinetica.

tema si conserva separatamente.

orze esterne.

energia. o principio della dinamica. ndo e rzo principio della dinamica. nserva e dell’impulso.

Tem

Gri ia valu +0,5 punti

-0,3 punti

ta = 0 punti

A L’energia potenziale finale di un corpo dipeB La variazione di energia potenziale di un corpo nocalcolarla. C L’energia potenziale di un corpo non dipende dal riferimento sceltoD L’energia cinetica di un corpo è sempre maggiore della sua energia potenziale.

d17 Quale elle seguenti A La quantità di moto è una grandeB La quantità di moto di un oggettoC La quantità di moto è sempre diversa da zero perché è definita inD La quantità di moto di un corpo è sempre minore della sua energia

1 Quale delle seguenti affermazioni è vera? un sis

8 A La quantità di moto di ciascuna parte di B La quantità di moto totale di un sistema si conserva sempre.

f C La quantità di moto totale di un sistema si conserva quando sono assenti D La quantità di moto totale di un sistema si conserva quando sono assenti forze interne.

19 La leg e di cons az A della conservazione dell’

g erv ione della quantità di moto è una conseguenza:

B del prim C del seco del te

zion D della co

po di somministrazione: 50 minuti

gl di tazione : risposta corretta =

risposta errata =

risposta non indica

Sch

Sim

All to 2ega

eda 1- laboratorio di informatica:

ulazione con Cabri del moto retrogrado di Marte secondo lo schema tolemaico

Istruzioni

•

• n il pari al segmento

lora

sistema utilizzato prima per la Terra il pianeta Marte

u M)

Costruisci una semiretta che passa per i punti T ed M.

ento di lunghezza arbitraria ma più lungo di TM

cia

al punto M sull’epiciclo ed un

o mento al cen o dell pale o deferente.

• Riproduci la situazione notturna colorando lo sfondo di blu.

Osservazioni e domande:

• Perché è necessario costruire il segmento appartenente alla semiretta TM per riprodurre il moto

retrogrado di Marte?

• Quale relazione deve sussistere tra le velocità impresse nell’animazione multipla perché il

fenomeno si riproduca?

• Quali altri fattori geometrici incidono sul verificarsi di tale fenomeno?

• Traccia una circonferenza (deferente) di raggio arbitrario

Fissa all’estremo dello schermo un segmento di circa 1 cm

Co compasso traccia una circonferenza concentrica alla prima e di raggio

fissato

• Co tale circonferenza e nominala T (Terra)

• Fissa un punto sulla circonferenza principale o deferente

• Costruisci una seconda circonferenza centrata su tale punto e di raggio circa un quarto del

deferente e chiamala epiciclo

• Su tale epiciclo costruisci con lo stesso

(p nto

•

• Su tale semiretta traccia un segm

• Abilita l’estremo di tale segmento a rilas re una traccia.

• Con il comando animazione multipla imprimi un movimento

m vi tr ’epiciclo sulla circonferenza princi

54

Allegato 3

boratorio di informatica:

o di Marte secondo lo schema copernicano

Scheda 2 la

Simulazione con Cabri del moto retrograd

una circonferenza di raggio arbitrario

prima e di raggio pari al segmento

ra tale circonferenza e nominala S (Sole)

mpasso un’ulteriore circonferenza e nominala

ompasso il pianeta Marte

emiretta traccia un segmento di lunghezza arbitraria ma più lungo di TM

ia.

.

.

miretta TM per riprodurre il moto

trogrado di Marte?

sussistere tra le velocità impresse nell’animazione multipla perché il

eometrici incidono sul verificarsi di tale fenomeno?

Istruzioni

• Traccia

• Fissa all’estremo dello schermo un segmento di circa 1 cm

• Con il compasso traccia una circonferenza concentrica alla

fissato

• Colo

• Sulla circonferenza iniziale costruisci con il co

Terra.

• Traccia una seconda circonferenza concentrica alla prima, ma di raggio maggiore.

• Su di essa costruisci con il c

• Costruisci una semiretta che passa per i centri di Terra e Marte.

• Su tale s

• Abilita l’estremo di tale segmento a rilasciare una tracc

• Con il comando animazione multipla imprimi un movimento a Marte ed alla Terra

• Riproduci la situazione notturna colorando lo sfondo di blu

Osservazioni e domande:

• Perché è necessario costruire il segmento appartenente alla se

re

• Quale relazione deve

fenomeno si riproduca?

• Quali altri fattori g

• Quali sono le differenze qualitative che puoi osservare dalle due simulazioni?

Allegato 4

Questionario di verifica visione filmato PSSC: l’esperimento di Cavendish

mento del film?

citare la forza di rotazione

nco a fianco.

L’e ……………..…. tra

due

Si d e

mas estremamente

……………………………………….

Le scatole di sabbia sono spostate

del pendolo; la posizione di equilibrio del pendolo dopo lo spostamento risulta

…………………….

tatica

spostata

intensa

le

sensibile

gravitazionale

forza

rotazione

invariata

1. Quali tra le seguenti funzioni sono svolte da l nastro magnetico lungo e sottile

nell’esperi

far sì che il pendolo oscilli rapidamente

esercitare la forza di richiamo

sostenere il pendolo

eser

impedire lo smorzamento del moto

2. Completa il testo seguente scegliendo le parole corrette da inserire negli spazi vuoti

dall’ele

idros

sperimento del filmato mostra l’effetto d’attrazione ………

bottiglie d’acqua e due scatole di sabbia.

ev usare un pendolo di torsione molto …………………………..….. perché le debo

se in gioco sono piccole e la forza da misurare è

resistente

così da provocare la massima ………………..

a

sì, a patto che nelle due scatole ci siano masse di

sabbia diverse;

no, perché l’attrazione gravitazionale tra sabbia e

bottiglie è troppo piccola;

no, perché le forze di attrazione

gravitazionali sono uguali ed opposte.

1. Con le bottiglie d’acqua e le scatole

disposte come in questa sequenza, il pendolo

può ruotare?

no, perché non c’è un momento di torsione dovuto

56

lla forza gravitazionale;

2. La foto mostra un’astronauta che si muove in assenza di peso a bordo della

uazione potrebbe

dove manca la gravità;

tà costante;

tolta la pressione dell’aria;

caduta libera.

3. pazi vuoti le parole mancanti

L’a

Stazione spaziale internazionale in orbita attorno alla Terra. La stessa sit

verificarsi sulla superficie terrestre?

no, può accadere soltanto

sì, in un ascensore che si muove a veloci

sì, in un ambiente in cui è stata

sì, in un ascensore in

Completa il testo scrivendo negli s

ccelerazione di …………………….. sulla stazione spaziale è quali eguale a quella sulla superficie

terrestre, ma gli astronauti, così come la stazione stessa, sono in ……………………. caduta libera

verso la Terra: ecco perché hanno l’impressione dell’assenza di …………………..

Invece la …………………… corporea degli astronauti non cambia, che siano in orbita oppure a terra.

La staziona spaziale non cade al suolo grazie alla ………………. del suo moto orbitale.

Allegato 5

Verifica formativa – test di allenamento

La costante di gravitazione universale1. G si misura in:

etri al quadrato ;

rammi al quadrato;

mmi al quadrato;

kiligrammi al quadrato diso per newton.

. Con quale forza viene attratta la Terra da un sasso che ha massa pari a1 kilogrammo?

La bilancia di torsione

La bilancia a bracci eguali

La bilancia di Newton

La bilancia inerziale

4. Nella regione dello spazio prossima alla stella 70 Virginis, dove è stato individuato un

“sistema planetario non solare”, la costante di gravitazione G:

Ha valore molto minore che nel Sistema solare, data l’enorme distanza dalla

Terra;

Ha lo stesso valore che ha nel Sistema solare;

Ha valore molto minore che nel Sistema solare, data l’enorme distanza dal Sole;

Ha valore minore che nel Sistema solare, perché la stella lontana ha massa

minore di quella del Sole.

5. La legge di Newton delle gravitazione universale afferma che la forza di gravità tra due

corpi:

È uguale al rapporto tra il prodotto delle masse e la distanza elevata al quadrato;

È proporzionale al rapporto tra il prodotto delle masse e la distanza elevata al

quadrato;

È uguale al prodotto delle masse per la distanza elevata al quadrato;

È proporzionale al prodotto delle masse per la distanza elevata al quadrato.

Newton per kilogrammi al quadrato diviso m

Newton per metri al quadrato per kilog

Newton per metri al quadrato diviso kiliìogra

Metri al quadrato per

2

9,0 N

0,98 N

Con nessuna forza, è il sasso che viene attratto dalla Terra e non viceversa;

98 N

3. Quale strumento fu usato da Henry Cavendish per misurare la costante di gravitazione

universale G?

58

6. Se la Terra si spostasse all’improvviso su un’orbita dieci volte più lontana dal Sole

be aumentare la massa della Terra per lasciare invariata la

nterebbe

l’attrazione gravitazionale che la Luna esercita sulla Terra?

rebbe quattro volte più intensa

)

terebbe due volte più intensa

tellite artificiale lanciato dalla Terra si trova ad una distanza di 20 milioni di km

dal So n doppia di quella del primo, lanciato qualche mese più

tardi, s va di km dal Sole. L’attrazione gravitazionale del Sole

sul pri

di quella sul secondo satellite

llite

9. olla può essere usata in due modi per misurare la massa di un corpo:

a) amento;

b)

Quale tipo di mas

con entrambi i metodi

La massa gravitazionale con il primo e quella inerziale con il secondo

rispetto all’attuale, di quanto dovreb

forza gravitazionale tra Terra e Sole?

0,1 volte

0,01 volte

100 volte

10 volte

7. Se la massa della Luna all’improvviso raddoppiasse, di quanto aume

Divente

Resterebbe uguale a zero (infatti è la Terra ad attrarre la Luna, non viceversa

Diven

Diventerebbe due volte meno intensa

8. Un sa

le. U altro satellite, di massa

i tro a una distanza di 40 milioni

mo satellite è:

Due volte più debole

Quattro volte più debole di quella sul secondo satellite

Quattro volte più forte di quella sul secondo sate

Due volte più forte di quella sul secondo satellite

Una m

appendendo il corpo alla molla e misurandone l’allung

facendo oscillare il corpo attaccato alla molla e misurando il periodo di oscillazione

sa si misura con ciascuno dei due metodi?

La massa inerziale

La massa inerziale con il primo e quella gravitazionale con il secondo

La massa gravitazionale con entrambi i metodi

petto alla Terra alla stessa velocità con cui la Terra si

ve satellite

fermo mentre la Terra gli gira sotto

ruota con la stessa velocità con cui la Terra gira attorno al Sole

e e la Terra ruotano attorno all’asse terrestre con la stessa velocità

11. descritte dai pianeti sono:

el Sole

varia il rapporto tra:

del periodo di rivoluzione

della velocità di rivoluzione

14. ivoluzione si trovano a distanze

diverse dal Sole. Questo fatto consegue:

Dalla terza legge di Keplero

Dalla seconda legge di Keplero

Dalla prima legge di Keplero

Dal fatto che le orbite dei pianeti attorno al Sole sono circolari

10. L’orbita di un satellite attorno alla Terra appare geostazionaria quando:

Il satellite si muove ris

muo rispetto al

Il satellite è

Il satellite

Il satellit

angolare

La prima legge di Keplero afferma che le orbite

Ellissi con il Sole al centro

Ellissi con il Sole nei fuochi

Ellissi con il centro in uno dei fuochi d

Ellissi con il Sole in uno dei due fuochi

12. La seconda legge di Keplero afferma che il raggio vettore che collega il Sole ad un

pianeta:

Descrive archi di ellisse uguali in tempi uguali

Descrive archi di circonferenza uguali in tempi uguali

Spazza aree uguali in tempi uguali

Descrive angoli uguali in tempi uguali

13. La terza legge di Keplero afferma che da un pianeta all’altro non

Il quadrato del raggio dell’orbita e il cubo del periodo di rivoluzione

Il cubo del raggio dell’orbita e il quadrato

Il cubo del raggio dell’orbita e il quadrato

Il quadrato del raggio dell’orbita e il cubo della velocità di rivoluzione

Per un dato pianeta il perielio e l’afelio dell’orbita di r

60

15. La seconda legge di Keplero afferma che, mentre un pianeta compie la sua orbita

i tempo uguali.

Ne con ue c

con cui il pianeta percorre la sua orbita ellittica è costante

nte durante la sua orbita;

e più

ame

velocità dei pianeti è minore quando sono più vicini al Sole, e maggiore

quando sono più lontani dal Sole.

i uno stesso

corpo:

andezza fisica

uguali tra loro

orzionali tra loro

Sono grandezze fisiche che assumono sempre lo stesso valore

maggiore, come cambierà la sua velocità?

ellittica intorno al Sole, il suo raggio vettore spazza aree uguali in intervalli d

seg he:

La velocità scalare

La velocità di un pianeta aumenta progressivame

I pianeti si muovono più velocemente quando sono più vicini al Sole,

lent nte quando sono più lontani dal Sole;

La

16. L’esperienza mostra che la massa inerziale e la massa gravitazionale d

Sono in realtà la medesima gr

Sono grandezze fisiche sempre numericamente

Sono grandezze fisiche direttamente prop

17. Se un satellite in orbita circolare intorno alla Terra viene spostato in un’orbita di raggio

due volte

2 Diminuirà di un fattore

Aumenterà di un fattore 4

Diminuirà di un fattore 2

Aumenterà di un fattore 2

18. Come sono chiamati i corpi che sono difficilissimi da accelerare, ma esercitano una

19. Immaginiamo di avere due sassi identici, A e B, e supponiamo per assurdo che la massa

sa accadrà allora se lasciamo cadere simultaneamente

i due sassi?

identico

a caduta sarà un quarto di quella di B

L’accelerazione di A durante la caduta sarà il doppio rispetto a quella di B

attrazione gravitazionale piccolissima sugli atri corpi?

Non esistono corpi di questo tipo

Gravitanti

Inerti

Resistenti

gravitazionale del sasso A raddoppi mentre la sua massa inerziale resta invariata. Le proprietà

del sasso B invece non cambiano. Che co

Il moto dei due sassi ci apparirà

L’accelerazione di A durante l

L’accelerazione di A durante la caduta sarà la metà di quella di B

20 . Di quanto deve aumentare la velocità di un satellite, se il raggio della sua orbita si

riduce a un centesimo del suo valore iniziale, affinché il satellite possa rimanere in orbita

circola tor

della Terra svolge il ruolo di:

Tempo di som istr

Griglia di valu one = +0,5 punti

= -0,3 punti

a = 0 punti

re in no alla Terra?

Di 10 volte

Di 0,1 volte

Di 0,01 volte

Di 100 volte

21. Nei confronti di un satellite artificiale in orbita circolare intorno alla Terra, la forza di

gravità

Forza centripeta

Forza centrifuga

Forza vincolare

Forza di richiamo elastica

min azione: 60 minuti

tazi : risposta corretta

risposta errata

risposta non indicat

62

Allegato 6

SCHED

Parte i diare preventivamente a casa

A DI LABORATORIO 1 - ANALISI DI UN MOTO IN CADUTA LIBERA

ntroduttiva assegnata da stu

Il moto di un o ch moto naturale assai importante che capita spesso di vedere. Tuttavia

esso è rapido ial so di corpi compatti, che non è facile analizzarlo ad occhio senza

adeguati strum ne, per secoli è stato male interpretato e solo alla fine

del 1500 Gal Gal e la giusta descrizione di questo moto, basando la sua teoria su

precise giu i logiche e sperimentali. Egli arrivò innanzitutto a dimostrare che tutti i corpi, in

condizi de

contem Ciò che rende diverso il moto della neve che cade da

quello di un sasso è l a dell’attrito dell’aria. Galileo dimostrò inoltre che il moto di

caduta dei co un o e ne trovò le leggi. Cinquant’anni dopo la sua

morte Newton té p nte la teoria che Galileo aveva enunciato basandosi su prove

indirette.

L’accelerazione di caduta dei corpi, detta accelerazione di gravità, si indica con la lettera g. Il suo

alore varia da punto a punto della superficie terrestre, con la latitudine e con l’altezza sul livello del

a livello del mare è stato adottato come valore standard. Esso

alori g a diverse altezze a verse latitudini e al livello del mare

I

d

corp e cade è un

, spec mente nel ca

enti. Soprattutto per questa ragio

ileo ilei seppe dar

stificazion

oni i ali, qualunque sia il loro peso, abbandonati insieme alla stessa altezza, arrivano a terra

poraneamente con la stessa velocità.

a diversa influenz

rpi è moto uniformemente accelerat

po rovare direttame

v

mare. Il valore di g a 45° di latitudine e

è g=9,80665 m/s2.

V di latitudine 45° Valori di g a di

A livello del mare g=9,860 m/s2

A 1.000 metri g=9,803 m/s2

A 30.000 metri g=9,702 m/s2

A 5.000.000 metri g=2,92 m/s2

A 380.000.000 metri g=0,0027 m/s2

l moto di caduta di qualunque corpo, nel caso id

ell’aria sia trascurabile, si può esprimere median

gtv = ; 21s =

All’equatore g=9,780 m/s2

Alla latitudine 30° g=9,793 m/s2

Alla latitudine 45° g=9,807 m/s2

Alla latitudine 60° g=9,819 m/s2

Al polo g=9,832 m/s2

eale di caduta nel vuoto oppure quando la resistenza

te le formule del moto naturalmente accelerato:

2gt ; ghv 2=

Indicazioni per lo svolgimento dell’esperimento e per l’analisi dei dati.

chema dell’apparato:

S

Elenco del materiale

• Sferetta di acciaio

• Dispositivo di bloccaggio, dotato di sistema

di sgancio comandato tramite cavetto flessibile (Ds)

• Traguardo a sorgente di infrarossi (Si) e fotocellula (Fo)

• Cronometro al millesimo di secondo, con cavetti di collegamento per lo start e lo stop

(Cr)

• Alimentatore elettrico 220 volt per il cronometro

• Cordella metrica millimetrata

• Filo a piombo

Legenda

• Ds=s spostamento della sferetta, dal punto A al traguardo

• Dt=t tempo impiegato per lo spostamento prescelto

• g accelerazione di gravità, relativa al luogo del Laboratorio di Fisica ITI “Copernico”

Descrizione dell’esperienza

dapprima si e gue il montaggise o del di eve t ta, p i del

i condutt

spositivo che d rattenere la sferet o

traguardo e infine si collegano i cavett ori al cronometro;

si posiziona la eretta fra ………… sf ……… ………..; …………………………………………

si usa il filo a piombo che va posizionato a l pun A partire da to , si dispone il traguardo in modo

tale che …………………………………………………………………………………………………..;

si controlla che la sferetta, cadendo, ………………….………………………………………….;

si fissa una distanza da A fino al tracciato del raggio infrarosso (non visibile) e si registra in

tabella il percorso;

si sgancia la sferetta agendo sul cavetto flessibile, il che fa partire il cronometro che si arresta

quando la sferetta intercetta il raggio infrarosso a fine percorso; si registra in tabella il tempo

segnalato dal cronometro;

si ripete con altri valori del percorso.

pletare la tabella A con i dati ottenuti riportando gli errori assoluti e gli errori relativi.

Com

64

Tabella A

r( s/ t2)=Er( s)+2Er( t)

s ± Ea

r%)

t ± Ea

(Er%)

E

(E

s/ t2 ± Ea

(Er%)

m s m/s2

valore medio

Osservazioni e conclusioni

e cosa significa caduta libera? Perché lo è quella della sferetta?

…… ……………………………………..

…… …..

……………………………………………………………………………………………………..

a sferetta? Come si è dimostrato?

……

………………………………………………………………………………………………………..

……

……

3)

……

……

4) di gravità dipende dall’entità della massa che cade? Come lo si potrebbe

dim

……

………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………..

1) Ch

………………………………………………………………………………………………………..

… …………………………………………………………

… ……………………………………………………………………………………………

…

2) Che traiettoria segue l

…………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………..

Di che moto vario si tratta? Che cosa lo conferma?

…………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………..

L’accelerazione

ostrare?

…………………………………………………………………………………………………..

…

5) Quali sono i valori dell’altitudine e della latitudine del luogo (Laboratorio di Fisica aula 11) in

………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………..

6) Poiché la ve iziale è nulla si può calcolare ione caratteristica del

moto di caduta libera, detta accelerazione di gravità del luogo? (

………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………..

7) Scrivere la legge oraria di questo moto e utilizzarla per calcolare il tempo di caduta libera da

una quota di 44,1 m:

cui si è realizzata l’esperienza?

locità in , come l’acceleraz

valutare anche l’Ea e l’Er)

21 2

tgs ∆=∆ gs∆t =∆ 2 ............................1,44 =∆ =∆st sec

ma orario con le misure di s (posizione) e t (istante di tempo) raccolte

in tabe

lo

g=∆ sm /..............................

8) Costruire il diagram

lla A; di che tipo di curva si tratta?

………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………..

9) Scrivi la legge tachimetrica del moto e utilizzala per calcolare la velocità raggiunta al suo

da un corpo in caduta libera da 44,1 m e da 81 cm.

tv ∆⋅ smv /....................=∆ vs 1,44=∆ s 81,0∆ ==∆

o?

io,

U izz del corpo in caduta raggiunte alla fine dei

… …

………………………………………………………………………………………..

Poiché all’istante t=0 la velocità della sferetta vale zero, puoi costruire il diagramma tachimetric

Perché? (Lo si può costruire usando gli assi cartesiani predisposti per il diagramma orar

aggiungendo una seconda scala sullo stesso asse verticale).

til a il diagramma tachimetrico per “leggere” la velocità

percorsi indicati in tabella A.

………………………………………………………………………………………………………..

… ………………………………………………………………………………………………..

………………

66

Allegato 7

SCHEDA DI LABORATORIO 2 - ANALISI DI UN MOTO SU UN PIANO INCLINATO

te iPar ntroduttiva assegnata da studiare preventivamente a casa

ma

l mg

La forza che fa scendere il carrello sulla rotaia inclinata, per il secondo principio della dinamica, è

F=ma mentre la forza peso è P=mg.

Dalla similitudine de t

,

riangoli si ha che l:H=mg:ma, da cui possiamo ricavare g=(l/H)a.

uesta esperienza di laboratorio deve essere svolta successivamente ad una simile sul piano inclinato

nella quale saranno stati raggiunti gli obiettivi seguenti:

Il moto su no inclinato è u m uniformemente accelerato;

dalla lunghezza del piano ma solamente dalla quota H.

per l’analisi dei dati.

Q

un pia n oto

La velocità finale di un corpo che scende su un piano inclinato (con attrito trascurabile),

non dipende dalla sua massa né

Indicazioni per lo svolgimento dell’esperimento e

Schema dell’apparato:

H

Elenco del materiale

• Rotaia a cuscino d’aria, dotata di asta metrica con sensibilità 1mm/div e portata 2 m

• Dispositivo di sgancio ad elettromagnete, collegato elettricamente con il cronometro

• Cronometro elettronico digitale, sensibilità 1ms

• Un traguardo a fotocellula, collegato elettricamente con il cronometro e fissato alla struttura

della rotaia a cuscino d’aria

• Slitta con bandierina

• Blocchetti di legno di vari spessori (3,3cm; 2,0 cm; 3,7 cm)

• Cordella metrica sensibilità 1mm

Legenda

• Dh dislivello dal punto A di partenza al punto B di arrivo

Ds

Descrizione dell’esperienza

• Dt=t tempo impiegato per lo spostamento prescelto

• g accelerazione di gravità, relativa al luogo del Laboratorio di Fisica ITI “Copernico”

• lunghezza del percorso dal punto A al punto B

Con il metro estensibile si misura la distanza tra i due piedini di sostegno (dal punto C al punto

lla rotaia a cuscino d’aria a partire dal punto A di sgancio

ttrocalamita.

D e si riporta tale misura su

dell’ele

Sulla rotaia viene così individuato il punto B alla distanza di (1,438±0,001) metri da A ed in

fotocellula.tale posizione viene posizionata la

Dopo aver controlla e

ata sull’asta millimetrata si posiziona un blocchetto di dislivello sotto il piedino di sinistra.

to che il traguardo con fotocellula sia ben allineato con la posizion

individu

L’apparato predisposto garantisce che il dislivello Dh dal punto A di partenza al punto B di

essore del blocchetto posto sotto il piedino. arrivo sia uguale allo sp

Utilizzando diversi blocchetti vengono individuati i tempi al traguardo B.

isure relative agli istanti di tempo (dieci misure per ogni Dh), i valori

ssimi e minimi e la semidispersione di tali valori assunta come errore assoluto associato al valore

edio.

Riportare in Tabella A le m

ma

m

68

Tabella A

altezza 2 altezza 3 altezza 4 altezza 1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

t medio

t max

t min

Ea

Riportare in tabella B i valori medi dei tempi per ciascun Dh ed i rispettivi valori dell’accelerazione

di gravità dedotta.

T

del moto e dell’accelerazione

abella B Ds=(1,438±0,001)m Er%=0,06%

Er(a)=Er( s)+2Er( t)

Er(g)=Er( s)+Er( h)

misure dirette misure indirette

22 sa

Dh ± Ea

(Er%)

Dt ± Ea

(Er%)

t∆∆

= ± Ea h∆

(Er%) (Er%)

sag ∆= ± Ea

Osservazioni e conclusioni

ola l’accelerazione con la quale la slitta scende lungo il piano inclinato e quindi la relativa

acceleraz n ità dislivello del piano Dh? In che modo?

L’accelerazione di gravità g dipende dal dislivello del piano Dh?

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

2) oggetti ad errori. In che modo gli errori sono collegati alle

variazioni di quota?

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

3) nfront i valori di calcolati e relativi errori. Scegli in base alle considerazioni che ritieni

più opportune il valore da assegnare per g del luogo.

……………………………………………………

…… … …… …… …… …… …… ……

…………………………………………………………………………………………………………

Possiamo quindi assumere che:

1) Calc

io e di grav . L’accelerazione a dipende dal

I valori di g calcolati sono s

Co a g i

…………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………

…………… … … … … … … ……………………………………

gluog =(…………….±…………) m/s2 Er=………… Er%=…………..% o

70

Allegato 8

RIO 3 - ANALISI DEL MOTO DI UN PENDOLO SCHEDA DI LABORATO

Parte introduttiva assegnata da studiare preventivamente a casa

1.moto del pendolo

Il moto del pendolo per piccole oscillazioni è, con buona

approssimazione, un moto armonico.

La massa del pendolo è sottoposta alla forza peso P=mg.

Consideriamo una massa nella posizione B della figura e

scomponiamo il peso nelle sue componenti Fr (radiale) e

Ft(t enziale). La Fr è equilibrata dalla reazione vincolare del

filo, la Ft è la forza

ang

che provoca il moto. Per ricavare Ft in

funzione dell’elongazione x del moto, cioè in funzione dell’arco

CB, consideriamo i due triangoli OAB e GDB: possiamo scrivere:

lmgFt =

AB

Se cillazione è di piccola ampiezza, possiamo sostituire alla semicorda AB l’arco CB (cioè

l’elongazione x), senza fare un errore superiore ai norm

l’os

ali errori sperimentali; tenendo inoltre presente

che l’elongazione x e la forza Ft hanno verso opposto, si ha:

xl

mgFt −=

Tale relazione è del tipo F=-kx dove k=(mg)/l

Il pendolo, quindi, per piccole oscillazioni, è mosso da una forza di richiamo dello stesso tipo della

forza elastica, quindi si muove di moto armonico.

Per tro re ica di

una forza generatrice di un moto armonico:

va l’espressione del periodo del pendolo eguagliamo quindi la Ft trovata alla forma tip

xl

mgxm =2ω

Poiché Tπω 2

= si ricava glT π2= . Questa è detta legge di Galileo e tale relazione ci assicura che,

per piccole oscillazioni, il periodo non dipende né dall’ampiezza delle oscillazioni né dalla massa

oscillante.

Data quindi per acquisita la legge di Galileo possiamo utilizzarla per ricavare la misura indiretta

dell’accelerazione di gravità del luogo.

O

BA

Ft Fr

C D

G

2

24T

lg π= ;

TlgTElEgE aaa )(2)()(

+=

.Analisi statistica2

edio è solitamente la semidispersione.

a dell’errore assoluto

. Il tangolo colo rap senta

ia statistic della misura si dimostra che, quando il numero delle misure diventa grandissimo

(per cui anche il numero dei gruppi in cui vengono suddivisi i dati sperimentali diventa molto grande),

effettuate cade, in media, nell’intervallo

compreso tra (valore medio)-s e (valore medio)+s. Si assume allora tale valore come una misura

dell’errore da cui sono state affette le misure. Si dimostra che s è dato dalla formula:

Quando si effettuano delle misure ripetute l’errore assoluto

associato al valore m

Quando però il numero di misure aumenta notevolmente è

possibile migliorare anche la stim

associabile al valore medio. Se osserviamo una serie di

misure possiamo osservare che esse non sono distribuite in

maniera uniforme, dal valore più piccolo a quello più

grande. Dividiamo questi dati in gruppi associando ad ogni

gruppo un numero che corrisponde alla quantità di dati appartenenti

dati ottenuti in un grafico ad istogramma del tipo riportato in figura

la probabilità di trovare una misura che rientra nel gruppo relativo.

Nella teor a

al gruppo. Visualizziamo quindi i

ret rato pre

tutte le distribuzioni sperimentali tendono ad assumere la stessa forma, data dalla curva a campana o

curva di Gauss. Per questa curva si dimostra che esiste una quantità, detta scarto quadratico medio s,

che ha una proprietà molto importante: il 68,3% delle misure

gruppi

n° di valori

n

xxii

2

1)( −

=Σ

n

=σ

Indicazioni per lo svolgimento dell’esperimento e per

l’analisi dei dati.

Schema dell’apparato:

Elenco materiale

orsa d

Astina con morsetto

sa collegabile al filo

M a tavolo

Filo inestensibile di lunghezza 62 cm

Mas

Cronometro analogico, sensibilità 0,2 s/div

Cordella metrica sensibilità 1mm

72

Legenda

l lunghezza del pendolo

oscillazioni (di numero n) t durata di più

T periodo del pendolo o durata di una oscillazione (T= t/n)

Descrizione dell’esperienza

Dopo aver montato il materiale come nello schema, si misura la durata di 10 oscillazioni.

Vengono eseguite 23 misure da diversi allievi, scambia

cercano di ridurre gli errori dovuti alla relazione tra re

maneggevolezza dello strumento.

Riportare in Tabella A i valori di tutte le misure effettuate.

Tabella A

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

ndosi i cronometri. In questo modo si

azione fisica di ciascun allievo e la

t

n 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

t

Osservazioni e conclusioni

1) Effettuare una elaborazione statistica dei dati raccolti, compilando la tabella B e l’istogramma

relativo.

Tabella B

t frequenza valore medio di semidispersione deviazione

standard t

2) Perché vengono misurati la durata di 10 oscillazioni visto che per calcolare g ci occorre avere

ndata e ritorno)?

… ………………………………………………………

…… …………………………………

…………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

3)

alcu

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………

……………………………………………………………………………………………

… … … … … …… …… …… …… ……… …… ……………………

uale alo iamo per T e quale errore gli associamo?

………………………………………………………………………………………………………

… … … … ………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

ola ora il valore di g attraverso il periodo calcolato ed attribuiscigli il relativo errore. Quali

tra le misure coinvolte incide maggiormente sull’incertezza di g? Come potrebbe essere ridotto

l’errore?

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

il periodo di una oscillazione (a

…… …………………………………………

… ………………………………………………………………

………………………………

Analizza i valori ottenuti per le 10 oscillazioni e valuta, in base a considerazioni opportune, se

ni di questi dati possono essere rigettati.

………………………………………………………………

……………

… …… … … … … … … … … …… …

4) Q v re assum

…

… ……………………… ……… … …………………

…………………………………………………………………………………………………………

…

T= t/n = (…….. ± ………. ) sec Er=………… Er%=…………..%

5) Calc

24T 2

lg π= = (………. ± ……….) m/s ; Er(g)=Er(l)+2Er(T)=……………m/s

6) Tra le misure di g effettuate in queste tre esperienze di laboratorio quale accurata e

rché?

…………………………………………………………………………………………………………

2 2

risulta più

pe

74

…… …………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………

…

……………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

caduta libera g= (………..±………..) m/s2

piano inclinato g= (………..±………..) m/s2

pen o g=(………..±………..) m/sdol 2

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

Allegato 9

Il Lavoro della forza di Newton

Tale approfondimento matematico viene rivolto ad un gruppo selezionato di studenti.

aginiamo di tenere fissa M nel punto A

iamo un punto C che si trova sulla retta che

Nel passare da B a C la distanza tra m ed M cambia e, quindi, anche la forza di attrazione che M

esercita su m varia con la posizione. Per calcolare il lavoro in questi casi si divide il segmento BC in n

intervalli così piccoli da fare i modo che, in ognuno di essi, la forza si possa considerare costante; si

calcola il lavoro DW compiuto dalla forza in ognuno di questi intervalli e, infine, si sommano tutti i

contributi

Consideriamo due masse M ed m poste a distanza rB imm

mentre spost m dalla posizione iniziale (punto B) a

contiene A e B, a distanza rC da A.

iii rFW ∆−=∆ ottenuti, dove iF è il valore medio del modulo della forza di Newton nel

corso dello spostamento irr

∆ .

Supponiamo che sia molto minore di ri, ovvero che ir∆i

ii r

r∆=ε sia un infinitesimo.

Il valore medio della forza di Newton nel tratto considerato è dato da:

( )

( )

( )

1

22

2

222

222222

2221

2

1

121

111

211

211

2111

22111

2211

2

1122

1

+

+

=

=∆+

=∆

+≅

−+

−=

−−

++

=++

=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+≅⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+++=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∆+∆++=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∆++=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

ii

iii

i

iiii

i

ii

i

i

i

ii

i

i

iiiiiiiiii

iiiiii

rrmMG

rrrmMG

rrr

GmMr

GmMr

GmMr

GmM

rGmM

rGmM

rrrrrGmM

rrrGmM

rmMG

rmMGF

εεε

εε

εε

εε

εεε

Questo non è altro che il valore che la forza di Newton assume a distanza 1+ii rr da A. Tale distanza

è la media geometrica tra ri e ri+1.

M

Am

B C

Pi

iFr

ir

ri+1

ri

r∆

PP n0

rC

rB

76

Sos za di Newton nell’espressione del lavoro i-esimo si ha: tituendo il valore medio della for

( )⎟⎠

⎜⎝

−=⎟⎠

⎜⎝

−−=−=∆−=∆+++ iiiiii

ii rrGmM

rrGmM

rrrFW

111

Pos

⎟⎞

⎜⎛

⎟⎞

⎜⎛−+ ii rrGmM 11111

i

siamo quindi calcolare il lavoro totale come somma di n addendi:

⎟⎟⎠

⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎜⎝

⎛−+−+−=BC rrrrr

GmM 111111111111

31201⎜⎜⎝

−=⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

−=⎟⎟⎠

−++∆− BCnnn rr

GmMrr

GmMrrr

W ......012

Allegato 10 - Verifica sommativa

1. Perché gli antichi ritenevano che gli astri non potessero essere sottoposti alle stesse

leggi fisiche valide sulla Terra?

che ci permette di assimilarle a

circonferenze?

3. Qual è l’unità di misura della costante gravitazionale G? Tale costante vale per tutto il

sistema solare e solo per esso? Vale anche per altri sistemi planetari? E per qualsiasi coppia di

corpi ovunque essi si trovino?

4. Due corpi cadono dall’altezza di 10 m sulla superficie della Terra e su quella della

Luna, rispettivamente. Quale dei due corpi arriva al suolo con velocità maggiore? Quale dei

due rimbalza ad altezza maggiore? (trascurare l’attrito dell’aria e considerare perfettamente

elastico l’urto con il suolo)

5. Due sfere di massa m uguale i cui centri si trovano a 20 cm di distanza, si attirano con

la forza gravitazionale . Calcolare la massa m.

6. Calcolare la forza gravitazionale fra Terra e Sole.

7. A quale distanza dal centro della Terra l’accelerazione di gravità ha valore g=7,3 m/s2?

8. Quanto «pesa» la Luna nel campo gravitazionale terrestre e quanto la Terra nel campo

gravitazionale della Luna?

9. Quale deve essere la velocità di un satellite artificiale posto in un’orbita circolare a 230

km dalla superficie terrestre?

10. Calcolare l’accelerazione di gravità nei punti di un’orbita circolare a 280 km dalla

superficie della Terra. Un satellite artificiale sta percorrendo tale orbita. Come hanno più volte

mostrato i documentari televisivi, le persone e le cose all’interno di un tale satellite si

comportano come se fossero in assenza di gravità. Spiegare la ragione.

Tempo di somministrazione: 1 h 30 min

Criteri di misurazione: ad ogni esercizio viene attribuito un punteggio massimo di due punti

Criteri di valutazione:

criteri di attribuzione del punteggio percentuale sul punteggio massimo

L’alunno svolga cinque quesiti a scelta tra i seguenti:

2. Le orbite dei pianeti sono ellittiche. Qual è la ragione

NF 7107,1 −⋅=

possesso dei contenuti 50%

competenza logico – linguistica 20%

abilità di elaborazione algebrico – geometrica 20%

completezza - autonomia 10%

78

Documento 1

L’esperimento concettuale

“SALV I:

due pie i volte, lasciate nel medesimo istante cader da un’altezza v.g.,

di cent acc

l’altra si trovasse non avere né anco sceso dieci braccia […] Ma senz’altre esperienze, con breve e

conclud e d

muova

di quel rò ditemi, Sig. Simplicio, se voi ammettete che di ciascheduno

corpo grave c

non si p

SIMPL

natura uale non se gli possa accrescere se non con nuovo impeto

conferi i, o

SALVI oi avessimo du cità de i quali fussero ineguali,

è mani o ch ce, questo dal più tardo sarebbe in

parte r dato

quest’o ione

SIMPL indubitabilmente seguire.

SALVIATI: M

gradi di velocità, ed una minore con quattro, adunque, congiungendole ambedue insieme, il composto

di loro uo

una pie

maggio

dunque e del men grave, io vi

mente.”

(1638)

IAT […] io grandemente dubito che Aristotele non sperimentasse mai quanto sia vero che

tre, una più grave dell’altra diec

o br ia, fusser talmente differenti nelle loro velocità, che all’arrivo della maggiore in terra,

ent imostrazione possiamo chiaramente provare non esser vero che un mobile più grave si

più velocemente d’un altro men grave, intendendo di mobile dell’istesso materia, ed in somma

li de i quali parla Aristotele. Pe

adente sia una da natura determinata velocità, si che accrescergliela o diminuirgliela

ossa se non con usargli violenza o opporgli qualche impedimento.

ICO: Non si può dubitare che l’istesso mobile nell’istesso mezzo abbia una statuita e da

determinata velocità, la q

togl diminuirgliela salvo che con qualche impedimento che lo ritardi.

ATI: Quando dunque n e mobili, le naturali velo

fest e se noi congiungessimo il più tardo col più velo

itar , ed il più tardo in parte velocitato dall’altro più veloce. Non concorrete voi meco in

pin ?

ICIO: Parmi che così debba

a se questo è, ed è insieme vero che una pietra grande si muova, per esempio con otto

si m verà con velocità minore di otto gradi: ma le due pietre congiuntamente insieme, fanno

tra maggiore che quella prima, che si muoveva con otto gradi di velocità: adunque questo

re si muove men velocemente che la minore; che è contro alla vostra supposizione. Vedete

come dal supporre che ‘l mobile più grave si muova più velocement

concludo, il più grave muoversi men veloce

Galileo Galilei – Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze

Documento 2

I compromessi con la filosofia e la teologia

rbe non fosse il doppio, il

che e la loro natura

i la ragione di queste proprietà della

ia matematica (prima versione in latino nel 1687)

“Mi sono proposto di dimostrare con questa operetta, o lettore, che Dio Ottimo Massimo, nella

costruzione del Mondo e nella disposizione dei cieli, guardò ai cinque corpi solidi che tanto sono stati

celebrati fino al tempo di Pitagora e di Platone e che dispose numero, proporzioni e movimenti delle

cose celesti secondo le proprietà di quei corpi. […] Di tre questioni ero principalmente impegnato a

ricercare la ragione per la quale esse sono così e non in altro modo: il numero, l’estensione e il

periodo degli orbi. La mirabile armonia delle cose immobili – il Sole, le stelle fisse e lo spazio – che

corrispondono alla Trinità di Dio Padre, Dio Figlioe Spirito Santo, mi incoraggiò in questo tentativo.

Non nutrivo dubbi che le cose mobili mi avrebbero svelato la stessa armonia di quelle immobili.

Affrontando il problema da un punto di vista numerico considerai se un o

triplo e il quadruplo di un altro. […] Riuscii infine ad arrivare alla soluzione some per caso e ritenni

che mi fosse accaduto per volere divino di scoprire casualmente ciò che non ero riuscito a

determinare con tanta fatica.”

J.Keplero – Prodromus dissertationum (1619)

Documento 3

Le proprietà fisi

“ In verità non sono ancora riuscito a dedurre dai fenomen

gravità, e non ‘fingo’ ipotesi. […] Qualunque cosa infatti non deducibile dai fenomeni va chiamata

ipotesi; e nella filosofia sperimentale non trovano posto le ipotesi sia metafisiche, sia fisiche, sia delle

facoltà occulte, sia meccaniche. In questa filosofia le proposizioni vengono dedotte dai fenomeni e

rese generali per induzione. In tal modo divennero note l’impenetrabilità, la mobilità e l’impulso dei

corpi, la legge del moto e la gravità. Ed è sufficiente che la gravità esista di fatto, agisca secondo le

leggi da noi esposte, e spieghi tutti i movimenti dei corpi celesti e del nostro mare.”

J.Newton – Philosophiae naturalis princip

80

Documento 4

I concetti fisici sono creazioni libere dello spirito umano

all’esperienza, senza afferrare il fondo della questione? A questo

rispondo con sicurezza che, a mio avviso, la via giusta e

econdo la nostra esperienza fin a oggi, abbiamo il diritto di essere convinti che la natura è la

i tutto ciò che si può immaginare di più matematicamente semplice. Sono persuaso che

ci permette di scoprire questi concetti che ci danno la chiave

il mondo (1913)

“ Abbiamo dunque assegnato alla ragione e all’esperienza il loro posto nella fisica teorica. La

ragione dà la struttura del sistema: il contenuto delle esperienze e le loro relazioni reciproche

devono, grazie alle proposizioni conseguenti dalla teoria, trovare la loro rappresentazione. Nella

possibilità di una tale rappresentazione sta unicamente il valore e la giustificazione di tutto il sistema

e, in particolare, i concetti e i principi che ne costituiscono la base.

D’altronde questi concetti e principi sono creazioni libere dello spirito umano, che non si possono

giustificare a priori né con la natura dello spirito umano né in altro modo qualsiasi. […]

Ma se è vero che il fondamento assiomatico della fisica teorica non discende dall’esperienza e deve al

contrario essere creato liberamente, sussiste la speranza di trovare la strada giusta? O, a più forte

ragione, questa giusta strada esiste soltanto nella nostra immaginazione? E soprattutto possiamo

sperare di trovare nella esperienza una guida sicura, se vi sono teorie ( come la meccanica classica)

che danno largamente ragione

siste e che possiamo trovarla.

S

realizzazione d

la costruzione puramente matematica

per comprendere i fenomeni naturali e i principi che li legano fra loro.

I concetti matematici utilizzabili possono essere suggeriti dall’esperienza, ma mai esserne dedotti in

nessun caso. L’esperienza resta naturalmente l’unico criterio per utilizzare una costruzione

matematica per la fisica; ma è nella matematica che si trova il principio veramente creatore. Da un

certo punto di vista, riconosco che il pensiero puro è capace di afferrare la realtà, come gli antichi

pensavano.”

A.Einstein – Come io vedo

Bibliografia Testi di carattere generale

Titolo – autore - editore commento

L’evoluzione della fisica

A.Einstein, L.Infeld

UNIVERSALE BOLLATI BORINGHIERI

testo avvincente anche per gli alunni poiché riesce

a far percepire l’emozione dell’avventura

scientifica

La Cultura scientifica nella scuola offre interessanti spun

M.Gargantini (Bergamaschini, Bersanelli,

Mazzoni, Prosperi)

didattica e sulla cultura scientifica

MARIETTI 1820

ti di riflessione sulla

Le origini medievali della scienza moderna

E.Grant

EINAUDI

testo approfondito ed esteso ma di notevole

interesse per uno sguardo più profondo sulle radici

del metodo scientifico

Gravitazione e Spazio – Tempo

H.C.Ohanian, R.Ruffini

trattato classico e approfondito, indispensabile per

la formazione del docente

ZANICHELLI 1997

Libri di testo per la scuola secondaria

Titolo-autore-editore commento

La fisica di Amaldi - Meccanica

Idee ed esperimenti

Ugo Amaldi

ZANICHELLI

efficace negli strumenti, completo nella

trattazione, un po’ troppo semplificato

rispetto alle precedenti edizioni

La fisica per i licei scientifici

Quarta edizione

Ugo Amaldi

ZANICHELLI

trattazioni, ben modulato su diversi

livelli di apprendimento

completo ed approfondito nelle

Fisica

Mario Davoli

CEDAM

classico testo non più in stampa, preciso

nel linguaggio e nell’ordine

metodologico

Le leggi della fisica

A.Caforio, A.Ferilli

LE MONNIER

molto ricco nella trattazione di esempi

ed esercizi, talvolta impreciso o carente

82

Elementi di fisica 1

PRINCIPA

vasto e organico nella trattazione degli

argomenti e nella proposta di esercizi,

un po’ disordinato nella loro

J.D.Wilson, A.J.Buffa

TO

sistemazione

L’indagine del mondo fisico

o

azzoni

va ma

approfondita ed originale gli argomenti La meccanica – I principi di conservazione. V lume B

tratta in maniera seletti

M.E.Bergamaschini, P.Marazzini, L.M

CARLO SIGNORELLI

FISICA

D.Halliday, R.Resnick, K.S. Krane

Completo ed approfondito soprattutto

nelle trattazioni matematiche. Talvolta

si più AMBROSIANA MILANO di difficile utilizzo nelle clas

deboli

Riviste

La fisica nella scuola

Rivista dell’Associazione per l’Insegnamento della Fisica

Rivista dell’assoc SIS

Emmeciquadro

iazione culturale EURE

Indice Prima parte - Premesse 1.1 Inquadramento dell’argomento nel contesto dei programmi ministeriali della scuola

secondaria superiore ………………………………………………………………………

pag 1

iderazioni storiche ed 1.2 Ruolo della tematica proposta in ambito disciplinare, cons

epistemologiche……………………………………………………………………………

pag. 8

ll’intervento didattico1.3 Classe destinataria de ………………………………………………. pag. 9

atiche didattico – metodologiche relative ad un efficace sviluppo dell’argom1.4 Problem ento pag. 9

Seconda parte – Presentazione dei contenuti ed intervento didattico 2.1 Destinatari…………………………………………………………………………………. pag 11

Prerequisiti………………………………………………………………………………… pag 11

pi dell’intervento didattico

2.2

2.3 Tem …………………………………………………………… pag 11

2.4 Obiettivi…………………………………………………………………………………… pag 12

2.5 Metodologie didattiche, materiali e strumenti impiegati………………………………….. pag 12

Contenuti e loro sviluppo…………………………………………………………………. pag 13

erso i suoi protagonisti

2.6

2.6.1 Introduzione storica attrav ………………………………. pag 13

rado di Marte con Cabri 2D 2.6.1.1 Simulazione moto retrog …………………… pag 14

2.6.2 Le leggi di Keplero………………………………………………………………. pag 18

2.6.3 La gravitazione universale………………………………………………………. pag 23

2.6.3.1 Qual è la natura della forza gravitazionale?............................................... pag 28

2.6.4 La costante G…………………………………………………………………….. pag 28

2.6.4.1 Proiezione filmato del PSSC: “L’esperimento di Cavendish”…………... pag 30

2.6.5 Massa inerziale e massa gravitazionale………………………………………….. pag 31

2.6.6 L’accelerazione di gravità e la forza peso……………………………………….. pag 33

2.6.6.1 Percorso didattico di laboratorio di fisica – indicazioni metodologiche… pag 35

2.6.7 Il moto dei satelliti………………………………………………………………. pag 36

2.6.7.1 Satelliti geostazionari……………………………………………………. pag 38

2.6.8 La deduzione delle leggi di Keplero…………………………………………….. pag 39

2.6.9 Il campo gravitazionale………………………………………………………….. pag 39

2.6.9.1 Uscita didattica: progetto Virgo…………………………………………. pag 42

2.6.10 L’energia potenziale della forza peso e l’energia potenziale gravitazionale…….. pag 43

2.6.11 La forza di gravità e la conservazione dell’energia meccanica………………….. pag 46

2.6.11.1 La velocità di fuga e il raggio di Schwarzschild……………………….. pag 47

84

2.7 Conclusioni e riflessioni finali…………………………………………………………….. pag 50

Allaccertamento dei prerequisiti

egati Allegato 1 Verifica di ……………………………………. pag 51

gAlle ato 2 Scheda 1 – laboratorio di informatica:

Moto retrogrado di Marte secondo lo schema tolemaico…………………….

pag 54

Allegato 3 Scheda 2 – laboratorio di informatica

Moto retrogrado di Marte secondo lo schema copernicano………………….

pag 55

Allegato 4 Questionario di verifica visione filmato PSSC: “L’esperimento di

Cavendish”…………………………………………………………………

pag 56

Allegato 5 Verifica formativa – test di allenamento…………………………………….. pag 58

Allegato 6 Scheda di laboratorio 1 – analisi di un moto in caduta libera……………….. pag 63

Allegato 7 Scheda di laboratorio 2 – analisi di un moto su un piano inclinato…………. pag 67

Allegato 8 Scheda di laboratorio 3 – analisi del moto di un pendolo…………………… pag 71

Allegato 9 Il lavoro della forza di Newton……………………………………………… pag

Verifica sommativa

76

Allegato 10 ………………………………………………………….. pag 78

Documento 1 L’esperimento concettuale (G. Galilei)……………………………………… pag 79

Documento 2 I compromessi con la filosofia e la teologia (J.Keplero)……………………..

Le proprietà fisiche e la loro natura (J.Newton)

pag 80

Documento 3 …………………………….. pag 80

Documento 4 I concetti fisici sono creazioni libere dello spirito umano (A.Einstein)……... pag 81

Bibliografia…………………………………………………………………………………... pag 82

Indice………

…………………………………………………………………………………... pag 84