universit a di napoli federico ii lezioni di aerodinamica
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Universita di Napoli Federico IIDipartimento di Ingegneria Industriale
http://www.dii.unina.it
Lezioni di AerodinamicaA.A. 2015-2016
Renato TognacciniDipartimento di Ingegneria IndustrialeUniversita di Napoli Federico IIPiazzale V. Tecchio 80, 80125 Napoliemail: [email protected]
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Introduzione• Aerodinamica: ramo della Meccanica dei fluidi (Fluidodinamica)
che si concentra sull’analisi dell’interazione tra una corrente fluidaed un corpo immerso in essa.
• Fluido: materia senza una forma propria; caratterizzato da unproprio volume (liquido), o senza volume proprio (gas), assumecioe il volume del suo contenitore.
• Ipotesi del continuo: il fluido e un mezzo continuo, cioe si assumeche una qualsiasi parte di esso, comunque piccola, contenga unnumero molto grande di molecole.
• Particella di fluido: un elemento di volume infinitamente picco-lo nella scala di lunghezze (macroscopica) di nostro interesse, macomunque grande nella scala di lunghezza delle molecole (micro-scopica).
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Le forze aerodinamicheSi sceglie un sistema di riferimento (inerziale) O(x, y, z) solidale con
l’aeromobile, che e quindi investito da una corrente uniforme di velocitaV∞, alla quota h, caratterizzata dalla pressione p∞ e densita ρ∞.
Equilibrio dell’aeromobile in vololivellato uniforme:
L = W (1)
T = D (2)
F = [L,D]: forza aerodinamica
L: portanza (Lift) ⊥V∞D: resistenza (Drag) V∞
W : peso (Weight)a
T : spinta (Thrust)aG e il baricentro
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I coefficienti delle forze aerodinamicheForza aerodinamica di riferimento: 1
2ρ∞V
2∞S.
S: superficie di riferimento (in genere la superficie alare SW ).
Coefficiente di portanza
CL =L
12ρ∞V 2
∞S(3)
Coefficiente di resistenza
CD =D
12ρ∞V 2
∞S(4)
Efficienza aerodinamica
E =L
D=CL
CD
(5)
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ATR 42-500
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Alcune prestazioni dell’ATR 42-500
WTOmax = 18600 Kgp WOEmax = 11250 Kgp Payload= 5450 KgpVmax = 556 Km/h TO-length= 1165 m P = 2× 1610 KWCeiling= 5485 m Max Range= 2963 Km SW = 54.50 m2
Alcuni dati geometrici e aerodinamici
SW = 54.50 m2 b = 24.57 mW/S = 341.3 Kgp/m2 AR = 11.1CLmax = 1.75 (δf = 00) CLmax = 2.61 (δf = 150)CLmax = 3.15 (δf = 270)
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Prob. n. 1: determinazione del CL di un aeromobile in
volo livellato
CL =1
12ρ∞V 2
∞
W
S(6)
Occorre:quota, velocita di volo, peso e superficie di riferimento del velivolo.
Prob. n. 2: determinazione della velocita minima di
sostentamento (velocita di stallo)
Vs =
√1
CLmax
√W
S
√2
ρ∞(7)
Occorre:quota, peso e superficie di riferimento del velivolo, coefficiente diportanza massimo del velivolo (CLmax).
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I parametri fondamentali della corrente
Il numero di Mach
M =V
a, (8)
V : velocita della particella;a: velocita del suono locale.
• Un flusso a densita costante in tutto il campo si dice incomprimi-bile o incompressibile.
In un flusso incomprimibile:
M = 0 (9)
in tutto il campo di moto.
• In certe condizioni anche i fluidi comprimibili (gas) si comportanocome incomprimibili (liquidi):
per M → 0 il flusso tende a diventare incomprimibile.
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La viscosita
Un fluido si dice newtoniano quando la forza dF (di attrito) e datada
dF = µ∂V
∂zdA (10)
µ: viscosita dinamica del fluido, si misura in Kg/(m s);
ν = µ/ρ: viscosita cinematica del fluido, si misura in m2/s.
Per l’aria in condizioni standard ν ≈ 10−5m2/s.
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Il numero di Reynolds
Re∞ =ρ∞V∞L
µ∞=V∞L
ν∞(11)
L: lunghezza di riferimento caratteristica del problema in studio,
• Il numero di Reynolds misura l’importanza relativa delle for-ze di natura dinamica (convettive), associate alla quantita dimoto delle particelle, e le forze di natura viscosa.
• Un fluido o un flusso non dissipativo si dice ideale.
• Vedremo che un un fluido o un flusso caratterizzato da viscositanulla (Re∞ →∞) e ideale.
• Nei flussi ideali la viscosita e trascurabile.
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Regimi di moto
Classificazione in base al numero di Mach
M∞ = 0: flusso incomprimibile
M 1 ovunque: flusso iposonico
M < 1 ovunque: flusso subsonico
M < 1 e M > 1: flusso transonico
M > 1 ovunque: flusso supersonico
M∞ 1: flusso ipersonico
Classificazione in base al numero di Reynolds
Re→ 0: flusso alla Stokes (creeping flow)
Re→∞: flusso ideale
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• Numero di Mach critico inferiore (M′
∞,cr): numero di Mach sub-sonico minimo della corrente asintotica per il quale esiste almenoun punto nel campo di moto in cui M = 1 (limite del regimesubsonico).
• Numero di Mach critico superiore (M′′
∞,cr): numero di Mach su-personico minimo della corrente asintotica per il quale tutti i puntinel campo di moto sono supersonici (limite del regime transonico).
Per un dato fluido, le equazioni adimensionali della dinamica delflusso dipendono solo da M∞ e Re∞.
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Prob. n. 3: determinazione di M∞
M∞ =V∞a∞
Per un gas perfetto a∞ =√γRT∞.
γ e il rapporto dei calori specifici a pressione e volume costanti (perl’aria γ = 1.4).
R = 287 JKg K
e la costante del gas aria nel modello di gas perfetto.
T∞ e la temperatura assoluta della corrente asintotica (espressa ingradi Kelvin) che dipende dalla quota.
Prob. n. 4: determinazione di Re∞
Re∞ =ρ∞V∞L
µ∞=V∞L
ν∞Occorre:La quota, la velocita di volo e la lunghezza caratteristica dell’aeromo-bile.
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Genesi di portanza e resistenza
Teoria globale
Principio di azione e reazione: la forza aerodinamica agente sull’aero-mobile e pari all’azione dell’aeromobile sulla portata d’aria m intera-gente; in virtu della II legge della dinamica:
F = m∆V (12)
• ∆V: variazione media della quantita di moto;
• m = eρ∞V∞πb2/4 (b e l’apertura alare, e ≈ 1).
La portanza e data dalla componente perpendicolare a V∞ di ∆V:
L = m∆V (13)
Dalla definizione di CL:∆V
V∞=
2CL
πeAR(14)
AR = b2/S e l’allungamento alare.
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La resistenza indotta (dalla portanza)
L’energia cinetica della portata d’aria m e aumentata dopo l’interazio-ne con l’aeromobile:
∆E =1
2m[V 2∞ + ∆V 2 − V 2
∞]
=1
2m∆V 2 . (15)
Per il principio di conservazione dell’energia deve esserci una forza checompie un lavoro equivalente che non puo che essere T = D:
∆E = DV∞ , (16)
per cui, ricordando l’espressione del CD e di ∆Vv/V∞ si ottiene:
CDi=
C2L
πeAR, (17)
espressione del coefficiente di resistenza indotta.e e il fattore di Oswald; in genere e < 1. e = 1 nel caso di ala con
distribuzione di carico ellittica.
• Un caso particolare di distribuzione di carico ellittica: distribuzione dicorde ellittica, svergolamento aerodinamico nullo, profilo alare costante.
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La resistenza totale di un aeromobile
D = Di + Dp + Dw (18)
• Di, resistenza indotta (dalla portanza);
• Dp, resistenza di profilo, associata all’azione diretta delle forzeviscose (attrito e forma);
• in regime transonico e supersonico si aggiunge anche Dw, la re-sistenza d’onda, legata alla probabile presenza di onde d’urto nelcampo di moto.
La polare di un aeromobile
Le curve CD = CD(CL) si chiamano curve polari.Per ogni aeromobile esistono infinite polari, al variare di Re∞, M∞
e della configurazione del velivolo.
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Espressione approssimata della polare
CD = CD0+
C2L
πARe(19)
CD0: coefficiente di resistenza a portanza nulla.
L’espressione parabolica della polare costituisce una buona approssi-mazione della polare reale nell’intorno della crociera del velivolo.
Errori insiti in questa approssimazione:
• in generale il coefficiente di resistenza non e minimo per CL = 0;
• la resistenza di profilo varia al variare di CL;
• in condizioni di alta portanza la polare del velivolo si discosta moltodall’andamento parabolico che addirittura non prevede lo stallodell’aeromobile.
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Prob. n. 5: determinazione del CDi di un aeromobile in
volo livellato
Tra l’altro occorre conoscere il fattore di Oswald dell’aeromobile.
Prob. n. 6: confronto delle resistenze indotte di un
aeromobile in crociera ed in atterraggio
Attenzione resistenza non e equivalente a coefficiente di resistenza.
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Geometria dell’ala
η = yb/2
, λ = ct/cr, c = cr[1− η(1− λ)], S = 2∫ b/2
0 c(y)dy
Corda media aerodinamica (m.a.c.): c = 2S
∫ b/20 c2(y)dy
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La curva CL = CL(α) (curva di portanza)
Definizione di angolo di attacco:
Sezione dell’ala alla radice
Polare, curva di portanza e dei momenti per un ala di AR = 10
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Caratteristiche della curva di portanza
• E presente un tratto lineare nell’intorno delle basse incidenze:
CL ≈ CLαα ; (20)
• si evidenzia il fenomeno dello stallo;
• dipende da M∞ e Re∞.
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Il profilo alare
Sezione di un’ala parallela a V∞.
c: corda; t: spessore; τ = t/c: spessore percentuale;
F : fuoco, posto ad 1/4 della corda.
• Nel caso di un’ala rettangolare dritta di allungamento infinito ilcampo di moto risulta bidimensionale nel piano del profilo.
• AR→∞⇒ CDi= 0, quindi D = Dp + Dw.
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Caratteristiche aerodinamiche di un profilo alare
Portanza:l = Cl
12ρ∞V
2∞c
Resistenza:d = Cd
12ρ∞V
2∞c;
Momento di beccheggio rispetto al bordo di attacco:mle = Cmle
12ρ∞V
2∞c
2.
Momento di beccheggio rispetto al fuoco:m1/4 = Cm1/4
12ρ∞V
2∞c
2.
• I momenti sono positivi se cabranti.
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Profilo NACA 2412 (flusso iposonico)
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Portanza di un’ala finita e di un profilo
Per un profilo poco spesso e curvo a piccoli angoli di attacco:
Cl = Clα(α− αzl) , (21)
Clα ≈ 2π,
αzl: angolo di portanza nulla del profilo.
AR 1 : CLα ≈Clα
1 + ClαπAR
(22)
AR < 1 : CLα ≈π
2AR (23)
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IdrostaticaSi assume che in tutto il campo fluido V = 0.
La pressione
∆S: superficie elementare di inclinazione generica nel fluido.
∆F : modulo della forza che agisce sulla superficie ∆S dovuta alloscambio di quantita di moto a livello molecolare.
In un fluido in quiete ∆F e perpendicolare a ∆S (Principio diPascal).
p = lim∆S→0
∆F
∆S(24)
Su una superficie infinitesima dS di normale n agisce la forza
dF = −pndS (25)
p e detta pressione idrostatica.
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Legge di Stevino
Si consideri un volume infinitesimo dxdydz di un fluido in quiete. zindica la quota (asse verticale e diretto verso l’alto).
Forza di pressione totale:
p dxdy −(p +
dp
dzdz
)dxdy = −dp
dzdxdydz (26)
Equilibrio tra forza di gravita e forza di pressione:
− dp
dzdxdydz − ρgdxdydz = 0 (27)
dp = −ρgdz (28)
Integrando tra le quote z1 e z2 in un fluido a densita costante:
∆p = −ρg∆h (29)
∆h = z2 − z1
∆p = p2 − p1
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Prob. n. 7: ricavare il Principio di Archimede
La forza di galleggiamento che agisce su un corpo immerso in unfluido in quiete e pari al peso del fluido spostato dal corpo.
Prob. n. 8: descrivere il funzionamento del barometro a
colonna di liquido
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Atmosfera standard (ISA)Ipotesi
1. L’aria e secca e si comporta come un gas piu che perfetto: p =ρRT ;
2. l’aria e in quiete ed e valida la legge di Stevino: dp = −ρgdz.
In base alle ipotesi:dp
p= − g
RTdz . (30)
Per deteminare p = p(z) occorre un modello per la distribuzione ditemperatura al variare della quota T = T (z).
0–11 Km: troposfera, la temperatura decresce linearmente di 6.5gradi per chilometro;
11–20 Km: stratosfera, la temperatura rimane costante con la quota;
> 20 Km: esosfera, la temperatura aumenta con la quota.
• Questo modello descrive bene l’atmosfera nelle zone temperate.
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Troposfera
ρSL = 1.23 Kg/m3, TSL = 288 K, Tz = 6.50 · 10−3 K/m.
T = TSL − Tzz . (31)
Integrando la (30) si ottiene
p
pSL=
(T
TSL
) gRTz
,ρ
ρSL=
(T
TSL
) gRTz−1
. (32)
Stratosfera
T = TST . (33)
Integrando la (30) si ottiene
p
pST=
ρ
ρST= e−
gRTz
(z−zST ) , (34)
dove zST = 11000 m, TST = T (zST ), pST = p(zST ) e ρST = ρ(zST ).
Prob. n. 9: diagrammare T , p e ρ al variare della quota
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Elementi di calcolo tensorialeSia f una grandezza in generale funzione (in un determinato domi-
nio) dello spazio e del tempo f = f (x, y, z, t).
• f e una grandezza scalare quando e completamente individuataunicamente da un numero reale. Uno scalare viene anche denomi-nato tensore di ordine 0.
• f e una grandezza vettoriale quando e completamente individuatada un numero reale e da una direzione orientata. Un vettore vie-ne anche denominato tensore di ordine 1 (lo indicheremo con ilsimbolo f).
• f e un tensore di ordine 2 quando la sua individuazione richiede laconoscenza di due direzioni orientate (lo indicheremo con il simbolof).
In questo corso con i termini scalare, vettore e tensore ci riferiremorispettivamente al tensore di ordine 0, 1 e 2.
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Algebra dei vettori
Sia O(x1, x2, x3) una terna di riferimento cartesiana levogira di versoriσ1, σ2 e σ3.
f = (f1, f2, f3) = σifi , (35)
dove fi sono le componenti di f e σifi =∑3
i=1 σifi (convenzionedell’indice ripetuto di Einstein).
Eguaglianza
a = b⇔ ai = bi ∀i . (36)
Vettore nullo
a = 0⇔ ai = 0 ∀i . (37)
Prodotto scalare
a · b = a b cos θ = aibi , θ : angolo tra a e b. (38)
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In particolare:σi · σj = δij , (39)
dove δij = 1 se i = j altrimenti δij = 0.
fi = σi · f . (40)
Intensita o modulo del vettore
a = |a| =√aiai . (41)
Versore v di V
v =V
|V|. (42)
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Prodotto vettoriale
a× b = c ; (43)
il vettore c e dato da:
c = ab sin θ , (a, b, c) terna ortogonale levogira ; (44)
c e quindi perpendicolare sia ad a che b. Si dimostra che
c =
∣∣∣∣∣∣σ1 σ2 σ3
a1 a2 a3
b1 b2 b3
∣∣∣∣∣∣ , (45)
dove il determinante simbolico e calcolato con la regola di Laplace perla prima riga. Inoltre
c = σici = σiεijkajbk , (46)
dove εijk = 0 se i = j, oppure i = k, oppure j = k; εijk = ±1 se laterna (i, j, k) costituisce una permutazione di classe pari (+) o dispari(-) dei numeri 1, 2, 3.
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Si nota cheb× a = −a× b . (47)
Doppio prodotto vettoriale
c× (a× b) = a(b · c)− b(a · c) . (48)
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Calcolo differenziale vettoriale
Il vettore nabla
In un riferimento cartesiano:
∇ ≡ σi∂
∂xi. (49)
In un riferimento cilindrico O(R, θ, z) di versori (a1, a2, a3):
∇ ≡ a1
∂
∂R+ a2
1
R
∂
∂θ+ a3
∂
∂z. (50)
Gradiente di uno scalare
∇f = σi∂f
∂xi. (51)
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Proprieta del gradiente di uno scalare
1. n · ∇f =∂f
∂n; derivata direzionale di f nella direzione n, misura la
variazione (unitaria) di f nella direzione orientata n.
2. |∇f |, modulo di ∇f , da la variazione (unitaria) massima di f .
3. Il versore di ∇f da la direzione in cui la variazione di f e massima.
4. Data la superficie f (r) = cost1, ∇f e perpendicolare ad essa ed eorientato nel verso delle f crescenti.
Divergenza di un vettore
∇ · V =∂Vi∂xi
(52)
1r = σixi e il vettore posizione.
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Rotore di un vettore
∇× V =
∣∣∣∣∣∣∣∣σ1 σ2 σ3
∂
∂x1
∂
∂x2
∂
∂x3V1 V2 V3
∣∣∣∣∣∣∣∣ = σiεijk∂Vk∂xj
. (53)
Un campo V con rotore identicamente nullo e detto irrotazionale.
Operatori differenziali di ordine superiore
Il rotore del gradiente di uno scalare e identicamente nullo:
∇× (∇f ) = 0 . (54)
La divergenza del rotore di un vettore e identicamente nulla:
∇ · (∇× V) = 0 . (55)
La divergenza del gradiente di uno scalare si chiama laplaciano:
∇2f = ∇ · ∇f . (56)
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Le funzioni scalari con laplaciano identicamente nullo si dicono ar-moniche.
Vale infine la seguente identita:
∇× (∇× V) = ∇(∇ · V)−∇2V . (57)
Campi potenziali
Un campo vettoriale V(r) si dice potenziale se esiste una funzionescalare φ(r) tale che
V = ∇φ . (58)
Se un campo V(r) e potenziale allora un qualsiasi integrale di linea∫ P2
P1V · dl dipende solo dagli estremi di integrazione.
Condizione necessaria e sufficiente affinche V sia a potenzialein R3 e che V sia irrotazionale, cioe ∇× V = 0.
Se V(r) e a potenziale allora
∇ · V = ∇2φ . (59)
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Campi solenoidali
Un campo vettoriale V(r) si dice solenoidale se esiste un altro campovettoriale A (potenziale vettore) tale che
V = ∇× A . (60)
Condizione necessaria e sufficiente affinche V sia solenoidale e∇ · V = 0.
Il potenziale di un campo solenoidale ed a potenziale e armonico; inquesto caso il campo si dice laplaciano.
Il teorema fondamentale dell’analisi vettoriale
Sia V(r) un campo vettoriale continuo con divergenza e rotore continui,tale che per r → ∞ V si comporta come 1/r1+ε mentre |∇ · V| e|∇ × V| si comportano come 1/r2+ε dove ε > 0. Allora, a meno diun vettore costante (c1), V puo essere espresso come la somma di uncampo potenziale e di uno solenoidale, cioe:
V = ∇φ +∇× A + c1 . (61)
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Calcolo tensoriale
Introduzione (diadi)
Si chiama diade la coppia di vettori
a b . (62)
• Una diade e associata a due direzioni orientate (ma non identificatada esse).
• La diade a b costituisce il risultato dell’operazione prodotto ten-soriale tra i vettori a e b.
• Il prodotto tensoriale non e commutativo: b a 6= a b.
• Rappresentazione cartesiana della diade: a b = σiaibjσj, la diade equindi rappresentata nel riferimento cartesiano dalle 9 componentiscalari (ai bj).
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Tensore (di ordine 2)
Il tensore A e definito in un riferimento cartesiano come
A = σiAijσj . (63)
• A e stato individuato come la somma di 9 diadi coordinate.
• A differenza della diade, le due direzioni orientate associate altensore A non sono esplicite.
• Il tensore e rappresentato nel riferimento cartesiano dalle 9 com-ponenti scalari Aij.
Un tensore e esprimibile con la matrice quadrata (3× 3):
A =
A11 A12 A13
A21 A22 A23
A31 A32 A33
(64)
Aii sono le componenti normali, Aij (j 6= i) sono le componentitangenziali.
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Tensore trasposto
(A)ij = Aji . (65)
Tensore simmetrico
A = A⇔ Aji = Aij . (66)
Tensore antisimmetrico
Aji = −Aij . (67)
Un tensore antisimmetrico ha necessariamente nulle le componentilungo la diagonale principale.
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Algebra dei tensori
Eguaglianza
A = B⇔ Aij = Bij . (68)
Tensore nullo
A = 0⇔ Aij = 0 . (69)
Prodotto di uno scalare per un tensore
fA = σifAijσj . (70)
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Prodotto scalare di un vettore per un tensore a sinistra
V · A = ViAijσj . (71)
Prodotto scalare di un vettore per un tensore a destra
A · V = σiAijVj . (72)
Componente vettoriale sinistra o destra
σi · A = Aijσj = di ; (73)
A · σj = σiAij = sj . (74)
I 3 vettori di sono le componenti vettoriali destre di A nel riferimen-to O(x1, x2, x3), mentre i 3 vettori sj sono le componenti vettorialisinistre.
A = σidi = siσi . (75)
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Prodotto scalare di due tensori
A · B = C = σiAikBkjσj . (76)
Il prodotto scalare di due tensori e equivalente al prodotto di duematrici (3× 3) e non commuta.
˜(A · B) = B · A . (77)
Doppio prodotto scalare di due tensori
A : B = AikBki . (78)
Prodotti vettoriali
V × A = σiεilmVlAmjσj , (79)
A× V = σiεmljAimVlσj . (80)
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Traccia di un tensore
Tr(A) = Aii . (81)
La traccia del tensore e invariante (non dipende dal sistema di riferi-mento).
Tensore unitario
U =
1 0 00 1 00 0 1
(82)
Si nota che, ad esempio:
V · U = U · V = V . (83)
Tensore isotropo
Si dice isotropo un tensore del tipo fU con f ∈ R.
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Applicazione: il tensore degli sforzi in un fluido in quiete
tn = n · τ . (84)
τ : tensore degli sforzi;
tn: sforzo (vettore forza per unita di superficie) agente su una super-ficie elementare di normale generica n, positivo se di trazione.
Nel caso di un fluido in quiete
τ = −pU ; (85)
il tensore degli sforzi e isotropo. Infatti:
dF = n · (−pU)dS = −pndS , (86)
che e appunto la definizione di pressione idrostatica in un fluido inquiete.
• Riformulazione del Principio di Pascal: il tensore degli sforzi inun fluido in quiete e isotropo.
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Parte simmetrica, antisimmetrica e isotropa di un tensore
E sempre possibile decomporre un tensore in una parte simmetricaed una antisimmetrica A = A(s) + A(a):
A(s) =A + A
2, A(a) =
A− A
2. (87)
13Tr(A)U: parte isotropa di A.
13Tr(A) e la media aritmetica delle 3 componenti normali del tensore
ed e invariante.
A = 13Tr(A)U+A
0, dove A
0e detto parte deviatorica di A (e a traccia
nulla).
• V · A = V · 13Tr(A)U + V · A
0= 1
3Tr(A)V + V · A
0.
• A = 13Tr(A)U + A(s)
0+ A(a)
0.
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Calcolo differenziale tensorialeGradiente di un vettore
∇ V = σi∂Vj∂xi
σj . (88)
Derivata direzionale (in n) di V:
n · ∇ V = ni∂V
∂xi. (89)
Tr(∇ V) = ∇ · V . (90)
(∇ V) · V = ∇(V 2
2
). (91)
Un’identita particolarmente notevole:
V · ∇ V = ∇(V 2
2
)+ (∇× V)× V . (92)
• Dividendo la (92) per V : v · ∇ V = ∇ (V ) + (∇× V)× v .
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Divergenza di un tensore
∇ · A =∂Aij
∂xiσj . (93)
∇ · (fA) = f∇ · A +∇f · A . (94)
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Teoremi di Gauss
Sia V(r) un campo vettoriale continuo con le derivate delle sue com-ponenti in V ∪ S, allora:∫
V∇ · VdV =
∫S
n · VdS , (95)∫V∇× VdV =
∫S
n× VdS , (96)∫V∇ VdV =
∫S
n VdS . (97)
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Sia f (r) una funzione scalare continua con le sue derivate in V ∪ S,allora: ∫
V∇fdV =
∫S
n fdS . (98)
Una definizione di ∇ indipendente dal riferimento
∇ = limV→0
1
V
∫S
n( )dS . (99)
∇f = limV→0
1
V
∫S
nfdS . (100)
∇ · V = limV→0
1
V
∫S
n · VdS . (101)
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Teorema di Stokes
Data la superficie S delimitata dal circuito C e dato V(r), un campovettoriale continuo con le derivate delle sue componenti in S∪C, allora∫
S
n · ∇ × VdS =
∮C
V · dl . (102)
dl: vettore spostamento elementare lungo il circuito C.
Γ =∮C V · dl: circolazione del vettore V lungo il circuito C.
• Il teorema di Stokes lega il rotore alla circolazione.
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Equazioni di bilancio
V : volume di controllo (per ora lo si suppone fisso rispetto al riferi-mento inerziale), e il volume che contiene il sistema che si intendestudiare;
S: superficie di controllo;
n: versore localmente normale alla superficie di controllo orientatoverso l’esterno del volume.
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Una grandezza G si dice estensiva quando e associata (proporzionale)alla massa.
Una grandezza G si dice intensiva quando non e associata alla massaed e funzione solo del punto.
Massa, quantita di moto, energia, entropia sono esempi di grandezzeestensive.
Temperatura, pressione, viscosita sono esempi di grandezze intensive.
Per una grandezza estensiva e possibile formulare un’equazione di bi-lancio all’interno del volume di controllo:
Variazione di Gnell’unitadi tempo
= Scambio di G conl’esterno
+Produzione di G
nel volume dicontrollo
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M: massa all’interno di un volume V ;
g = limV→0
G
M: grandezza G specifica (per unita di massa);
g+ = limV→0
G
V: grandezza G per unita di volume.
• La densita ρ e la massa per unita di volume.
g+ = limV→0
G
MMV
= ρg . (103)
Variazione nell’unita di tempo di G in V :
d
dt
∫VρgdV =
∫V
∂
∂t(ρg)dV .
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Il flusso di una grandezza
Il flusso ϕG
di una grandezza G da, in intensita e direzione, la quantitadi G che attraversa una superficie elementare, per unita di tempo e disuperficie.
• ϕG
e un vettore se G e uno scalare;
• ϕG
e un tensore se G e un vettore.
[ϕG
] =[G]
[L2][t]=
[G]
[L3]
[L]
[t], (104)
quindi e possibile esprimere il flusso come
ϕG
= g+W = ρgW , (105)
con W un vettore velocita opportuno.Nel caso della massaM:
ϕM ≡ ρV. (106)
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Scambio di G con l’esterno:∫S
n · ϕG
dS .
Produzione
g+ = [G]
[L3][t]: produzione di G nell’unita di volume e di tempo;
g = [G]
[M ][t]: produzione specifica di G;
g+ = ρg.
Produzione di G nel volume di controllo:∫VρgdV .
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Equazione di bilancio integrale∫V
∂
∂t(ρg)dV = −
∫S
n · ϕG
dS +
∫VρgdV . (107)
Equazione di bilancio differenziale
Applicando il teorema di Gauss all’integrale del flusso nella (107):∫V
[∂
∂t(ρg) +∇ · ϕ
G− ρg
]dV = 0 . (108)
Questo integrale e nullo qualunque sia la scelta di V se e soltanto sel’integrando e nullo, da cui l’equazione di bilancio in forma differenziale:
∂
∂t(ρg) +∇ · ϕ
G= ρg . (109)
• La fisica del problema e racchiusa nella determinazione dell’espres-sione del flusso e della produzione.
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Equazione di bilancio della massa (continuita)
g = 1, g+ = ρ;
ϕM = ρV;
g = 0: la massa si conserva.
Forma integrale dell’equazione di conservazione della massa:∫V
∂ρ
∂tdV +
∫S
n · ρVdS = 0 . (110)
Forma differenziale:∂ρ
∂t+∇ · (ρV) = 0 . (111)
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Rappresentazione euleriana e lagrangiana
Rappresentazione euleriana:si assumono come variabili indipendenti le coordinate dello spazio edil tempo (x1, x2, x3, t) = (r, t); il problema fluidodinamico consistenell’individuazione della generica grandezza g(r, t) in ciascun puntodel campo al variare del tempo.
Rappresentazione lagrangiana:Individuazione al variare tempo dell’evoluzione della generica grandez-za di una data particella. Indicando con R = σiXi la posizione chela data particella assume al tempo iniziale t0, le variabili indipendentidiventano (R, τ ) con τ = t.
Per passare da una rappresentazione all’altra occorre conoscere latrasformazione
∀i = 1, 2, 3 xi = xi(X1, X2, X3, τ ), t = τ ; (112)
in forma vettoriale:r = r(R, t), t = τ . (113)
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Si assume che:
1. nessuna regione di volume finito si trasforma nel tempo in unaregione di volume nullo o infinito;
2. nel tempo volumi si trasformano in volumi, superfici in superfici,curve in curve, costituiti sempre dalle stesse particelle.
Nota l’evoluzione di una grandezza in una rappresentazione lagran-giana g(R, τ ), la rappresentazione euleriana si ottiene tramite le (112)o (113):
g(r, t) = g[R(r, τ ), t] . (114)
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Derivata sostanziale
Definizione di velocita di una particella:
V = V(R, τ ) =∂r
∂τ(R, τ ) =
(∂r
∂τ
)R=cost
= σi
(∂xi∂τ
)R=cost
. (115)
Definizione di derivata sostanziale:
D
Dt=
(∂
∂τ
)R=cost
. (116)
Tenendo conto della (113), della regola di derivazione delle funzionidi funzioni:
Dg
Dt=∂g
∂t
∂t
∂τ+
(∂g
∂xi
)t=cost
(∂xi∂τ
)R=cost
. (117)
Essendo ∂t/∂τ = 1, e possibile ottenere la seguente rappresentazioneeuleriana della derivata sostanziale:
D
Dt=∂
∂t+ V · ∇ . (118)
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Flusso convettivo e diffusivo
ϕG≡ ρgV + JG (119)
1. ρgV: flusso convettivo, associato al trasporto della grandezza gcon la velocita di massa V.
2. JG: flusso diffusivo, associato al trasporto della grandezza con lavelocita molecolare relativa al moto del baricentro della particella.
E possibile definire il flusso diffusivo o con leggi fenomenologiche oricorrendo alla Teoria cinetica dei gas.
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Equazioni del bilancio in forma lagrangiana
d
dt
∫Vm(t)
(ρg)dVm = −∫Sm(t)
n · JGdSm +
∫Vm(t)
ρgdVm . (120)
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Essendo (ρdVm = dM):
d
dt
∫Vm(t)
(ρg)dVm =d
dt
∫Mg(R, τ )dM =
∫M
∂g(R, τ )
∂τdM , (121)
si ha ched
dt
∫Vm(t)
(ρg)dVm =
∫Vm(t)
ρDg
DtdVm , (122)
allora, sempre applicando il teorema d Gauss:∫Vm(t)
[ρDg
Dt+∇ · JG − ρg
]dVm = 0 , (123)
valida comunque si sceglie Vm(t), per cui:
ρDg
Dt+∇ · JG − ρg = 0 , (124)
equazione di bilancio differenziale in forma lagrangiana.
• Nell’equazioni di bilancio in forma lagrangiana compare soloil flusso diffusivo.
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Le equazioni della Fluidodinamica
Conservazione della massa (continuita)
Forma integrale dell’equazione di conservazione della massa:∫V
∂ρ
∂tdV +
∫S
n · ρVdS = 0 . (125)
Forma differenziale:∂ρ
∂t+∇ · (ρV) = 0 . (126)
Svolgendo la divergenza nella (126) si ottiene (v = 1/ρ, volumespecifico):
∇ · V =1
v
Dv
Dt; (127)
la divergenza della velocita misura la variazione percentuale nel-l’unita di tempo del volume di una particella.
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Se il flusso e incomprimibile:
∇ · V = 0 ; (128)
la conservazione della massa assicura che un campo di moto in-comprimibile e solenoidale.
Se il flusso e stazionario:
∇ · (ρV) = 0 ; (129)
la conservazione della massa assicura che in un campo di motocomprimibile e stazionario e solenoidale il vettore ρV.
Prob. n. 10: dimostrare che in flusso stazionario la
portata di un condotto e costante
Occorre scrivere l’equazione di conservazione della massa in formaintegrale per un condotto con pareti laterali impermeabili (n ·V = 0).
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Bilancio della quantita di moto
g = V, g+ = ρV;
flusso diffusivo JV = −τ ;
produzione per unita di volume f+ = ρg;
g = −∇Ψ, Ψ = gz energia potenziale del campo gravitazionale.
Forma integrale del bilancio di quantita di moto:
d
dt
∫VρVdV +
∫S
n ·(ρVV − τ
)dS =
∫VρgdV . (130)
Forma differenziale:
∂ρV
∂t+∇ · (ρVV − τ ) = ρg . (131)
Forma integrale lagrangiana:
d
dt
∫Vm(t)
ρVdVm =
∫Sm(t)
n · τdSm +
∫Vm(t)
ρgdVm . (132)
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Forma differenziale lagrangiana:
ρDV
Dt−∇ · τ = ρg . (133)
• L’espressione di τ dipende dal tipo di fluido.
Modello di fluido newtoniano:
τ = −pU + µ2(∇ · V)U + 2µ(∇ V)(s)0 (134)
µ2: secondo coefficiente di viscosita del fluido.
Per i fluidi di nostro interesse µ2/µ 1, per cui lo trascureremo:
τ = −pU + τd, (135)
τd
= 2µ(∇ V)(s)0 . (136)
• Nel modello newtoniano, cosı come nella maggior parte dei proble-mi di nostro interesse, il tensore degli sforzi e simmetrico.
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Prob. n. 11: determinare le 9 componenti del tensore
degli sforzi di un fluido newtoniano
Prob. n. 12: determinare l’espressione della forza (aero-
dinamica) che agisce su un corpo immerso in una corrente
fluida
(Non e altro che il flusso di quantita di moto attraverso il corpo).
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Conservazione dell’energia
Principio dell’equilibrio evolutivo: si assume che i tempi caratte-ristici del problema fluidodinamico siano molto maggiori del tempocaratteristico con cui il sistema termodinamico particella raggiun-ge il proprio equilibrio per cui, istante per istante, la particella e inequilibrio termodinamico.
g = e , g+ = ρe;
e = u + V 2/2 + Ψ, u e l’energia interna specifica;
flusso diffusivo Je = Ju + Jc;
legge di Fourier: Ju = −λ∇T (flusso di energia nel modo calore);
λ: conducibilita termica, si misura in J/(m s K);
Jc = −τ · V (flusso di energia nel modo lavoro);
e = 0, l’energia totale si conserva.
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Forma differenziale lagrangiana
ρD
Dt
(u +
V 2
2+ Ψ
)−∇ · (λ∇T )−∇ · (τ · V) = 0 . (137)
Identita vettoriale:
∇ · (τ · V) = (∇ · τ ) · V + τ : ∇ V . (138)
Il flusso di energia nel modo lavoro consta di due contributi:
1. (∇ · τ ) · V: lavoro compiuto sulla particella per effetto dello spo-stamento V;
2. τ : ∇ V: contributo dovuto alla deformazione della particella.
Bilancio dell’energia cinetica
ρD
Dt
(V 2
2
)−∇ · (τ · V) = ρεc . (139)
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Questa equazione si puo riottenere moltiplicando scalarmente per Vil bilancio di quantita di moto:
ρDV
Dt· V − (∇ · τ ) · V = ρg · V . (140)
In base alle identita vettoriali (138) e (91):
ρD
Dt
(V 2
2
)−∇ · (τ · V) = ρg · V − τ : ∇ V . (141)
La produzione di energia cinetica e quindi:
ρεc = ρg · V − τ : ∇ V . (142)
• Il bilancio di energia cinetica non e un’equazione indipendente.
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Bilancio dell’energia potenziale
ρDΨ
Dt= ρεp . (143)
• Il flusso diffusivo di energia potenziale e nullo.
• Il potenziale (gravitazionale) dipende solo dallo spazio e non daltempo.
• ∇Ψ = −g.
DΨ
Dt= V · ∇Ψ , (144)
per cui
ρDΨ
Dt= −ρg · V (145)
eρεp = −ρg · V , (146)
da confrontare con la produzione di energia cinetica.
• Il bilancio di energia potenziale non e un’equazione indipendente.
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Bilancio dell’energia interna
Si ottiene sottraendo i bilanci di energia cinetica e potenziale a quellodi energia totale:
ρDu
Dt+∇ · Ju = τ : ∇ V (147)
eρεu = τ : ∇ V , (148)
da confrontare con la produzione di energia cinetica.
• Nulla possiamo ancora dire sul segno della produzione di energiainterna.
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Bilancio dell’entropia
ρDs
Dt+∇ · Js = ρs . (149)
Du
Dt= T
Ds
Dt− pDv
Dt. (150)
Il bilancio di entropia si ottiene combinando il bilancio di energiainterna e di volume specifico. Si ottiene:
ρDs
Dt=
1
Tτ : ∇ V − 1
T∇ · Ju +
p
T∇ · V . (151)
Confrontando con la (149):
Tρs− T∇ · Js = +τ : ∇ V −∇ · Ju + p∇ · V , (152)
Tρs−∇ · (TJs) = −Js · ∇T + τ : ∇ V −∇ · Ju + p∇ · V , (153)
da cui:
Js =JuT
; Tρs = −Js · ∇T + τ : ∇ V + p∇ · V . (154)
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Per un fluido newtoniano e fourieriano si ottiene2
τ : ∇ V = −p(∇ · V) + Φ , (155)
Φ = 2µ(∇ V)(s)0 : (∇ V)
(s)0 . (156)
Φ: funzione di dissipazione.
Tρs =λ
T∇T · ∇T + Φ . (157)
Affinche sia soddisfatto il II principio della termodinamica (la produ-zione di entropia e positiva):
λ > 0 , µ > 0 ; (158)
il flusso termico va da zone a temperatura maggiore a zone a tem-peratura minore e l’energia cinetica (parte) si “dissipa” in energiainterna, processi entrambi irreversibili.
2Si sfruttano le seguenti identita: A0
: U = 0, A(s) : A(a) = 0.
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Le equazioni di Navier-Stokes
Caso di fluido newtoniano e foureriano.Continuita:
∂ρ
∂t+∇ · (ρV) = 0 ; (159)
quantita di moto:
ρDV
Dt+∇p = 2∇ · [µ(∇ V)
(s)0 ] + ρg ; (160)
energia:
ρD
Dt
(u +
V 2
2+ Ψ
)= ∇ · (λ∇T )−∇ · (pV) + 2∇ · [µ(∇ V)
(s)0 ·V] .
(161)La chiusura del sistema richiede la conoscenza delle relazioni di stato:
p = p(ρ, T ), u = u(ρ, T ), (162)
µ = µ(p, T ), λ = λ(p, T ). (163)
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Condizioni iniziali e al contorno
V(r, t0) = Vi(r), p(r, t0) = pi(r), ρ(r, t0) = ρi(r). (164)
Parete impermeabile fissa: V = 0, p =?.
• Nel caso di proprieta costanti (ρ e µ), la temperatura non comparenell’equazioni di continuita e quantita di moto.
Continuita e quantita di moto possono essere integrate indipenden-temente dall’equazione dell’energia.
L’equazione dell’energia puo essere risolta, se necessario, successi-vamente, con il campo di velocita gia noto.
Prob. n. 13: scrivere le equazioni scalari di Navier-
Stokes nel caso 2D a proprieta costanti (ρ, µ, λ)
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Equazioni di bilancio adimensionaliIl problema consiste nella scelta di opportune grandezze di riferi-
mento delle variabili indipendenti e dipendenti.
g = g/gr;
g: grandezza adimensionale;
gr: grandezza di riferimento.
• La scelta di gr e appropriata quando g ≈ O(1).
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Continuita
Si assuma il flusso isoentropico (ds = 0) per cui
Dρ
Dt=
(∂ρ
∂p
)s
Dp
Dt=
1
a2
Dp
Dt, (165)
a: velocita del suono.Scegliendo tr = Lr/Vr e pr = ρrV
2r il bilancio di volume specifico
(127) diventaM 2
r
ρa2
Dp
Dt+ ∇ · V = 0 . (166)
M 2r = V 2
r /a2r: numero di Mach di riferimento.
• Mr → 0⇒ ∇ · V = 0⇒ flusso incomprimibile.
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Quantita di moto
LrVrtr
∂(ρV)
∂t+ ∇ · (ρVV) + ∇p =
µrρrVrLr
2∇ · [µ(∇ V)(s)0 ] +
LrgrV 2r
ρg .
(167)
Str =trVrLr⇒ convezione di V
instazionarieta‘, numero di Strouhal.
Rer =ρrVrLrµr
⇒ convezione di V
effetti viscosi, numero di Reynolds.
Frr =V 2r
Lrgr⇒ convezione di V
gravita‘, numero di Froude.
1
Str
∂(ρV)
∂t+ ∇ · (ρVV) + ∇p =
1
Rer2∇ · [µ(∇ V)
(s)0 ] +
1
Frrρg . (168)
Scegliendo pr = ρra2r il termine di pressione diventa
1
M 2r
∇p che impli-
ca un secondo significato a Mr:
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Mr ⇒convezione di V
diffusione reversibile di V.
• Combinando questi numeri caratteristici si possono misurare leimportanze relative tra tutti i vari contributi.
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Energia
er = ur = a2r, Ψr = grLr:
e = u + M 2r
V2
2+M 2
r
FrrΨ . (169)
• Ulteriore significato di M 2r e Frr.
Tr = a2r/cpr, pr = ρra
2r:
1
Str
∂(ρe)
∂t+∇·(ρeV) =
1
Per∇·(λ∇T )−∇·(pV)+
M 2r
Rer2∇·[µ(∇ V)
(s)0 ·V] .
(170)
Prr =µrcprλr⇒ flusso lavoro viscoso
flusso termico, numero di Prandtl.
Per = RerPrr ⇒convezione di energia
flusso termico, numero di Peclet.
M 2r
Rer⇒ flusso lavoro viscoso
convezione di energia.
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Cinematica della particella
Traiettoria: luogo delle successive posizioni assunte da una particelladurante il suo moto, al variare del tempo.
Linea di corrente: curva inviluppo del vettore velocita nella rappre-sentazione euleriana.
Linea tracciante: luogo delle posizioni assunte, al variare del tempo,dalle successive particelle che passano per uno stesso punto.
• In regime instazionario, in generale, traiettorie, linee di correntee linee traccianti sono diverse.
• In regime stazionario traiettorie, linee di corrente e linee trac-cianti coincidono.
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Visualizzazione delle linee di corrente intorno ad un profilo NACA
tramite bolle d’aria, M∞ ≈ 0, Re∞ ≈ 6000.
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Visualizzazione (con tracciante) della formazione del vortice di distacco
al bordo di uscita di un profilo alare, M∞ ≈ 0, ReS ≈ 1000.
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Deformazione lineare della particella
uQ = uP +∂u
∂x∆x ; (171)
uP∆t + ∆x′ = ∆x + uQ∆t ; (172)
εx =∆x′ −∆x
∆x=∂u
∂x∆t ,
dεxdt
=∂u
∂x. (173)
εx: deformazione lineare (percentuale) nella direzione x;
dεxdt
: velocita di deformazione.
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Velocita angolare di rotazione della particella
α1 =∂v
∂x∆t , α2 = −∂u
∂y∆t ; (174)
Ωz =1
2
(α1 + α2)
∆t=
1
2
(∂v
∂x− ∂u
∂y
). (175)
Ω =1
2(∇× V) , ∇× V = ζ (vorticita‘) . (176)
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Deformazione angolare della particella
γxy =1
2
α + β
∆t=
1
2
(∂v
∂x+∂u
∂y
)= [(∇ V)
(s)0 ]xy (177)
• Una particella trasla con velocita V, ruota con velocita angolare12∇×V, si dilata secondo ∇ ·V e si deforma secondo (∇ V)
(s)0 .
• E’ newtoniano un fluido in cui sforzi tangenziali e deformazionidella particella da essi provocati sono proporzionali tra loro.
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Aerodinamica dei flussi non dissipativi(ideali)Le equazioni di Eulero
Ipotesi: Rer →∞, Prr ≈ O(1) (almeno), per cui anche Per →∞.
1
Str
∂ρ
∂t+ ∇ · (ρV) = 0 ; (178)
1
Str
∂(ρV)
∂t+ ∇ ·
(ρVV + pU
)=
1
Frrρg ; (179)
1
Str
∂(ρe)
∂t+ ∇ ·
[ρ
(e +
p
ρ
)V
]= 0 . (180)
• Scompaiono dalle equazioni tutti i termini che portano a produzio-ne di entropia: il fenomeno e non dissipativo; queste equazionigovernano la dinamica di un fluido (o di un flusso) ideale.
• Si abbassa l’ordine di derivazione (scompaiono tutte le derivateseconde): attenzione alle condizioni al contorno.
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• In molte applicazioni aerospaziali Frr 1, per cui puo esseretrascurato sia il temine di produzione nel bilancio di quantita dimoto (che pure diventa un’ equazione di conservazione) sia l’energiapotenziale gravitazionale nel bilancio dell’energia.
Il teorema di Crocco
Accelerazione della particella:
DV
Dt=∂V
∂t+ V · ∇ V ; (181)
V · ∇ V = ∇(V 2
2
)+ (∇× V)× V ; (182)
relazione di Gibbs:1
ρ∇p = ∇h− T∇s . (183)
Sostituendo queste relazioni nel bilancio di quantita di moto e definen-do l’entalpia totale come H = h + V 2/2 + Ψ si ottiene il teorema di
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Crocco:∂V
∂t+∇H + (∇× V)× V = T∇s + fd . (184)
fd e la forza dissipativa per unita di massa che agisce sulla particella.
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Bilancio dell’energia cinetica:
∂
∂t
(V 2
2
)+ V · ∇H = TV · ∇s + V · fd . (185)
Ipotesi:
1. flusso ideale (Re→∞ e Pe→∞);
2. regime stazionario.
Il bilancio dell’entropia diventa:
Ds
Dt= V · ∇s = 0 , (186)
in un flusso ideale e stazionario l’entropia e costante lungo unalinea di corrente (flusso isoentropico).
Il bilancio dell’energia cinetica diventa:
DH
Dt= V · ∇H = 0 , (187)
in un flusso ideale e stazionario l’entalpia totale e costante lungouna linea di corrente (flusso isoentalpico).
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Il teorema di Bernoulli (generalizzato)
Se l’entropia a monte e uniforme (s = s∞) allora s e costante in tuttoil campo (flusso omoentropico).
Se l’entalpia totale a monte e uniforme (H = H∞) allora H ecostante in tutto il campo (flusso omoentalpico).
Il risultato
h +V 2
2+ Ψ = cost (188)
e noto come teorema di Bernoulli (generalizzato).Il teorema di Crocco per un flusso stazionario ed ideale:
∇H + (∇× V)× V = T∇s (189)
mostra che se il flusso e anche omoentalpico ed omoentropico:
(∇× V)× V = 0 . (190)
Cioe e verificata una delle seguenti possibilita:
1. ∇× V = 0, il campo e irrotazionale ⇒ ∃ φ | V = ∇φ;
2. ∇× V V, campo alla Beltrami.
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Il teorema di Bernoulli (incomprimibile)
Sia M → 0⇒ ρ = cost.In un fluido isoentropico, incomprimibile la relazione di Gibbs di-
venta dh = d(p/ρ), cioe dell’entalpia puo variare solo la parte legataalla pressione, mentre l’energia interna rimane costante:
in un flusso incomprimibile isoentropico la temperatura non va-ria.
Il teorema di Bernoulli generalizzato assume allora la forma
p +1
2ρV 2 + ρΨ = cost . (191)
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Flusso incomprimibile quasi-unidimensionale
Ipotesi:
1. regime stazionario;
2. condotto orizzontale (gravita trascurabile) con deboli variazionidell’area della sezione;
3. regime incomprimibile;
4. flusso ideale (isoentropico).
V1: velocita media alla sezione di area A1;
p1: pressione media alla sezione di area A1.
Conservazione della massa:
V1A1 = V2A2 . (192)
Teorema di Bernoulli:
p1 +1
2ρV 2
1 = p2 +1
2ρV 2
2 . (193)
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Il teorema di Bernoulli instazionario (generalizzato)
Ipotesi:
1. regime ideale omoentropico;
2. campo di moto irrotazionale.
Dal teorema di Crocco si ricava:
∇(∂ϕ
∂t
)+∇H = 0 ; (194)
integrando:∂ϕ
∂t+ h +
V 2
2+ Ψ = f (t) . (195)
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Circuiti
Un circuito C di una regione V si dice riducibile se puo essere tra-sformato con continuita in un punto senza abbandonare la regione,altrimenti il circuito e detto irriducibile.
Una regione V si dice semplicemente connessa se contiene tut-ti circuiti riducibili, altrimenti la regione e detta molteplicementeconnessa.
Teorema di Stokes: ∫S
n · ζ dS =
∮C
V · dl . (196)
• La validita del teorema richiede che V sia regolare in S, cioe ilcircuito C deve essere riducibile.
• Un importante corollario del teorema di Stokes e che se V e ir-rotazionale in una regione semplicemente connessa V allora lecircolazioni di V su qualsiasi circuito di V sono nulle.
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Con degli opportuni tagli una regione molteplicemente connessa puosempre essere trasformata in una regione semplicemente connessa .
• In un dominio reso semplicemente connesso con dei tagli non erichiesta la continuita di una grandezza attraverso il taglio.
Due circuiti sono riconducibili se e possibile trasformare con continuital’uno nell’altro senza abbandonare il dominio.
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I teoremi di Helmholtz
Linea vorticosa: una curva tangente in ogni punto a ζ = ∇× V.
Superficie vorticosa: una superficie con il vettore ζ tangente in ognisuo punto.
Tubo vorticoso: L’insieme delle linee vorticose passanti per una curvachiusa che racchiude un’area finita.
Filetto vorticoso: L’insieme delle linee vorticose passanti per unacurva chiusa che racchiude un’area infinitesima.
Si definisce intensita di un tubo vorticoso il flusso di ζ attraversouna sua sezione:
Γ =
∫S
n · ζdS . (197)
I teorema di Helmholtz: l’intensita di un tubo vorticoso e lastessa in tutte le sue sezioni trasversali.
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La dimostrazione del I teorema di Helmoltz e immediata applicandoil teorema di Gauss al vettore vorticita nel volume indicato in figurae tenendo conto della solenoidalita di ζ e della definizione di tubovorticoso per cui il flusso di ζ sulla superficie laterale del cilindro enullo.
• Conseguenze del I teorema di Helmholtz: un tubo vorti-coso o e chiuso o inizia e finisce su un confine del dominio.
Tubo vorticoso isolato: quando all’esterno del tubo il campo e irro-tazionale.
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II teorema di Helmholtz: la circolazione presa nello stessosenso intorno a due qualsiasi circuiti irriducibili e riconciliabiliche circondino un tubo vorticoso isolato una sola volta e la stessaed e uguale, in valore assoluto, all’intensita del tubo vorticoso.
Basta collegare i due circuiti con un taglio per ottenere un unico cir-cuito riducibile in un campo irrotazionale che avra quindi circolazionetotale nulla. Essendo il contributo del taglio alla circolazione nullo(percorso 2 volte con verso contrario) ed essendo i due circuiti percorsiin verso opposto ne risulta che la loro circolazione deve coincidere.
Se si sceglie uno dei due circuiti lungo il tubo vorticoso si ottieneanche che la circolazione e pari all’intensita del tubo vorticoso che nonvaria in base al I teorema di Helmholtz.
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Velocita indotta da un vortice isolato
V(P ) =Γ
4π
∫L
k× r
r3dl . (198)
Caso di vortice infinito rettilineo:
V =Γ
2πR; (199)
R: distanza del punto P dal vortice, V giace nel piano ortogonale alvortice con verso tale che k,R,V e una terna levogira.
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Il teorema di Kelvin
Γ(t) =
∮Cm
V · dl , (200)
Cm: circuito materiale.
dΓ
dt=
d
dt
(∮Cm
V · dl
)=
∮Cm
D
Dt(V · dl) =∮
Cm
DV
Dt· dl +
∮Cm
V · dV =∮Cm
DV
Dt· dl +
∮Cm
d
(V 2
2
)=∮
Cm
DV
Dt· dl . (201)
Dal bilancio di quantita di moto:
DV
Dt= −∇(h + Ψ) + T∇s + fd ; (202)
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quindi:DΓ
Dt=
∮Cm
T∇s · dl +
∮Cm
fd · dl . (203)
Teorema di Kelvin: in un flusso ideale e omoentropico lacircolazione di un circuito materiale non varia nel tempo.
Corollari
1. Tubi vorticosi, superfici vorticose e filetti vorticosi so-no costituiti sempre dalle stesse particelle. Si consideriun arbitrario circuito materiale giacente su una superficie vor-ticosa, avra quindi circolazione nulla e per il teorema di Kel-vin la circolazione rimarra nulla al variare del tempo e datal’arbitrarieta della scelta la superficie su cui giace il circuitocontinuera ad essere tangente alla vorticita ne segue che essae ancora superficie vorticosa.
2. L’intensita di un tubo vorticoso non varia con il tempo.E un’ovvia conseguenza del precedente corollario.
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Flussi incomprimibili ideali
L’equazione di continuita ci assicura che il campo di velocita di unflusso incomprimibile e solenoidale quindi
∇ · V = 0 (204)
Se il campo e anche irrotazionale in un dominio semplicemente con-nesso esiste il potenziale cinetico φ : ∇φ = V.
La continuita diventa:∇2φ = 0 (205)
• Il campo di velocita e governato dall’equazione di Laplace conuna sola incognita!
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Flussi incomprimibili ideali 2DL’equazione di continuita ci assicura che il campo di velocita di un
flusso incomprimibile e solenoidale quindi
∇ · V = 0 (206)
ed inoltre esiste il potenziale vettore A tale che
V = ∇× A . (207)
La funzione di corrente
Per campi di moto bidimensionali (ci si concentra qui sul caso piano)deve risultare V3 = 0, che implica in termini di A (definizione di rotore):
∂A2
∂x1
− ∂A1
∂x2
= 0 ; (208)
soddisfatta per A1 = A2 = 0.
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Si definisce funzione di corrente ψ(r) l’unica componente diversa dazero del potenziale vettore di un campo bidimensionale:
ψ(r) = A3 . (209)
In un riferimento cartesiano O(x, y) le componenti (u, v) di V sonodate da
u =∂ψ
∂y; v = −∂ψ
∂x. (210)
In un riferimento polare O(r, θ) le componenti (Vr, Vθ) di V sono dateda
Vr =1
r
∂ψ
∂θ; Vθ = −∂ψ
∂r. (211)
• Un campo di cui e data la funzione di corrente e certamente sole-noidale ma non irrotazionale;
irrotazionalita ⇒ ∇2ψ = 0.
• Un campo di cui e dato il potenziale φ e certamente irrotazionalema non solenoidale;
solenoidalita ⇒ ∇2φ = 0.
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Proprieta della funzione di corrente
1. L’equazione di una linea di corrente e data da
dy
dx=v
u, (212)
in termini di ψ questa relazione diventa:
∂ψ
∂xdx +
∂ψ
∂ydy = dψ = 0 ; (213)
la funzione di corrente e costante lungo una linea di corrente.
2. Il flusso di V attraverso una curva che congiunge due punti A eB di versore tangente t = (t1, t2) (quindi versore normale dato dan = (t2,−t1) e dato da:∫ B
A
V · ndt =
∫ B
A
∇ψ · dt =
∫ B
A
dψ = ψ(B)− ψ(A) . (214)
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Il problema matematico
Ipotesi:
1. flusso 2D piano e stazionario ⇒ f = f (x, y);
2. ρ = cost ⇒ ∇ · V = 0;
3. flusso ideale;
4. corrente uniforme.
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• Le ipotesi ci assicurano che il campo di velocita e solenoidale (in-comprimibilita) ed irrotazionale (ideale e corrente uniforme).
• Il problema e governato dall’equazione di continuita (equazione diLaplace):
∇2φ = 0 . (215)
In coordinate cartesiane:
∂2φ
∂x2+∂2φ
∂y2= 0 . (216)
In coordinate polari:
∂2φ
∂r2+
1
r2
∂2φ
∂θ2+
1
r
∂φ
∂r= 0 . (217)
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Condizioni al contorno
1. All’infinito:limr→∞∇φ = V∞ ; (218)
2. sul corpo di equazione nota y = yu(x), y = yl(x):
∇φ · n = 0. (219)
Problema ben posto: esiste una soluzione unica per φ continua intutto il campo (a meno di una costante inessenziale).
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Il problema in termini di ψ
L’equazione da risolvere e ancora l’equazione di Laplace (con significatodiverso!). Si impone l’irrotazionalita del campo.
∇2ψ = 0 ; (220)
cambiano le condizioni al contorno. All’infinito deve verificarsi
limr→∞
∂ψ
∂y= V∞ · cosα , lim
r→∞
∂ψ
∂x= −V∞ · sinα . (221)
Sul corpoψ = cost. (222)
Campo di pressione
Noto il campo delle velocita e possibile determinare il campo di pres-sione utilizzando il teorema di Bernoulli:
p− p∞ = −1
2ρ(V 2 − V 2
∞) . (223)
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Soluzioni elementari dell’equazione di Laplace
Le soluzioni dell’equazione di Laplace vengono dette funzioni armoni-che. Essendo quest’equazione lineare la somma di due funzioni armo-niche e ancora armonica.
• E possibile ottenere soluzioni complesse sommando piu solu-zioni elementari.
Corrente uniforme
φ = V∞ cosα · x + V∞ sinα · y ; (224)
ψ = V∞ cosα · y − V∞ sinα · x . (225)
Sorgente (o pozzo)
In coordinate polari:
φ =Q
2πln r ; ψ =
Q
2πθ . (226)
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Doppietta
Si ottiene dalla sovrapposizione al limite di una sorgente e di un pozzodi intensita uguali ed opposte mantenendo costante il prodotto k =Q∆l.
φ =k
2π
cos θ
r; ψ = − k
2π
sin θ
r. (227)
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Flusso non portante intorno al cilindro
Si sovrapponga una corrente uniforme parallela all’asse x ad una dop-pietta con asse parallelo ad x:
ψ = V∞r sin θ − k
2π
sin θ
r= V∞r sin θ
(1− k
2πV∞r2
). (228)
Ponendo R =√k/2πV∞:
ψ = V∞r sin θ
[1−
(R
r
)2]. (229)
r →∞⇒ ψ → V∞r sin θ = ψ∞ . (230)
ψ(R, θ) = 0 . (231)
Abbiamo trovato la soluzione potenziale incomprimibile di unacorrente uniforme che investe un cilindro di raggio R.
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Campo di velocita:
Vr =1
r
∂ψ
∂θ= V∞ cos θ
[1−
(R
r
)2]
; (232)
Vθ = −∂ψ∂r
= −V∞ sin θ
[1 +
(R
r
)2]. (233)
Punti di ristagno:
V = (0, 0)⇒P1 = (R, 0)P2 = (R, π)
(234)
Velocita sul corpo:
V (R) = |Vθ(R)| = 2V∞| sin θ| . (235)
Velocita massima:
V = 2V∞ ⇒
θA =
π
2
θB =3π
2
(236)
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Prob. n. 16: disegnare le linee di corrente intorno al
cilindro non portante
Esistono fondamentalmente due tecniche:
1. risolvere l’equazione differenziale che le definisce (in coordinatecartesiane): dy
dx= v
ucon condizione iniziale (x0, y0);
2. disegnare le curve ψ = cost con diversi valori della costante.
Campo di pressione sul cilindro non portante
Definizione del coefficiente di pressione
Cp =p− p∞12ρ∞V 2
∞. (237)
Caso di flusso incomprimibile governato dal teorema di Bernoulli:
Cp = 1−(V
V∞
)2
. (238)
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Coefficiente di pressione sul cilindro:
Cp(R, θ) = 1− 4 sin2 θ . (239)
La forza aerodinamica (per unita di lunghezza) agente sul
cilindro
f = −1
2ρV 2∞
∫ 2π
0
irCp(R, θ)Rdθ , (240)
ir = (cos θ, sin θ).Portanza (per unita di lunghezza):
l = −1
2ρV 2∞
∫ 2π
0
(1− 4 sin2 θ) sin θRdθ = 0 , (241)
risultato scontato, per la simmetria del campo di moto.
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Resistenza (per unita di lunghezza):
d = −1
2ρV 2∞
∫ 2π
0
(1− 4 sin2 θ) cos θRdθ
= −1
2ρV 2∞R
[∫ 2π
0
cos θdθ − 4
∫ 2π
0
sin2 θ cos θdθ
]= 0 . (242)
Incontriamo per la prima volta il Paradosso di D’Alembert:la resistenza aerodinamica agente su un corpo immerso in unacorrente bidimensionale ideale e nulla.
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Vortice isolato
In coordinate polari (Γ > 0 verso orario):
φ = − Γ
2πθ ; ψ =
Γ
2πln r . (243)
Flusso portante intorno al cilindro
Alla precedente soluzione intorno a cilindro non portante si aggiunga ilcampo indotto da un vortice isolato posto nell’origine del riferimento:
ψ = V∞r sin θ
(1− R2
r2
)+
Γ
2πlnr
R. (244)
Condizioni al contorno soddisfatte:
ψ(R, θ) = 0 ; (245)
r →∞⇒ V→ V∞ . (246)
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Sono stati ottenuti infiniti campi di moto (al variare di Γ) intor-no al cilindro tutti ugualmente plausibili dal punto di vista teorico.
Velocita sul corpo:
V =
∣∣∣∣2V∞ sin θ +Γ
2πR
∣∣∣∣ . (247)
E possibile ottenere nella pratica un campo simile facendo ruotare ilcilindro ad una velocita angolare Ω = Γ/(2πR2) (Effetto Magnus).
Circolazione sul cilindro:∮V(R) · dl = Γ . (248)
In termini del potenziale φ:∮∇φ(R) · dl =
∮dφ = Γ⇒ φ discontinuo! (249)
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Il dominio e doppiamente connesso!
∫ B
A
∇φ · dl = φ(B)− φ(A) . (250)
φ(B)−φ(A) e costante lungo il taglio (la circolazione lungo il circuito(ABED) deve essere nulla).
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Campo di velocita:
Vr =1
r
∂ψ
∂θ= V∞ cos θ
[1−
(R
r
)2]
; (251)
Vθ = −∂ψ∂r
= −V∞ sin θ
[1 +
(R
r
)2]− Γ
2πr. (252)
Punti di ristagno, |Γ/4πV∞R| ≤ 1:
V = (0, 0)⇒
P1 = (R, θ1), θ1 = arcsin(− Γ
4πV∞R
)IV quadrante
P2 = (R, θ2), θ2 = arcsin(− Γ
4πV∞R
)III quadrante
(253)Punti di ristagno, |Γ/4πV∞R| > 1:
V = (0, 0)⇒
P1 = (r1,−π
2), r1 = Γ
4πV∞−√(
Γ4πV∞
)2
−R2
P2 = (r2,−π2), r2 = Γ
4πV∞+
√(Γ
4πV∞
)2
−R2
(254)
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Linee di corrente e punti di ristagnoal variare della circolazione sul cilindro.
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Campo di pressione sul cilindro portante
Coefficiente di pressione sul cilindro:
Cp = 1−[
4 sin2 θ +2Γ sin θ
πV∞R+
(Γ
2πV∞R
)2]. (255)
La forza aerodinamica (per unita di lunghezza) agente sul
cilindro
Portanza (per unita di lunghezza):
l = −1
2ρV 2∞
∫ 2π
0
Cp sin θRdθ = ρV∞Γ . (256)
Resistenza (per unita di lunghezza):
d = −1
2ρV 2∞
∫ 2π
0
Cp cos θRdθ = 0 ; (257)
vale ancora il Paradosso di D’Alembert.
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Il teorema di Kutta-Zukovskij
Ipotesi: 2D, ∂∂t
= 0, Re∞ → ∞, Pe∞ → ∞, M∞ = 0, Fr → ∞,∇× V = 0, corpo impermeabile.
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Forza aerodinamica per unita di lunghezza:
f =
∫Sb
pndS (campo vicino) . (258)
Dal bilancio di q.d.m. integrale:
f = −∫Sfar
pndS −∫Sfar
ρn · V V dS (campo lontano) .(259)
V = V∞ + ∆V, p = p∞ + ∆p . (260)
Sia Sfar → S∞; su Sfar: ∆V → 0, ∆p → 0. Andremo quindi atrascurare i termini O(∆V 2) e O(∆p2). Dal teorema di Bernoulli:
∆p =1
2ρ(V 2
∞ − V 2) =1
2ρ(V∞ · V∞ − V · V) ≈ −ρV∞ ·∆V . (261)
Inoltre:
V V = (V∞+ ∆V)(V∞+ ∆V) ≈ V∞V∞+ V∞∆V + ∆V V∞ . (262)
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Quindi, essendo∫Sfar
p∞ndS = 0,∫Sfar
V∞ · ndS = 0:
f = ρ
∫Sfar
[(V∞ ·∆V)n− (n · V∞)∆V − (n ·∆V)V∞] dS . (263)
Dalla conservazione della massa∫Sfar
(n ·∆V)dS = 0, per cui
f = ρ
∫Sfar
[(V∞ ·∆V)n− (n · V∞)∆V] dS . (264)
Identita: c× (a×b) = (b · c)a− (a · c)b. Con a = n, b = ∆V, c = V∞:
f = ρV∞ ×∫Sfar
n×∆VdS . (265)
Dal teorema di Gauss∫Sfar
n× V∞dS = 0, per cui∫Sfar
n×∆VdS =
∫Sfar
n× VdS . (266)
Inoltre, essendo n = (−t2, t1):
n× V = −V · t k (267)
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per cui:in un flusso stazionario, subsonico, bidimensionale generato da
una corrente uniforme ideale che investe un corpo impermeabile,la forza aerodinamica e data da:
f = ρV∞ × Γ . (268)
1. La resistenza e nulla (Paradosso di D’Alembert).
2. La portanza e proporzionale alla circolazione intorno al corpo (Γ >0 se oraria).
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La condizione di Kutta
Cosı come per il cilindro anche per un corpo arbitrario immerso in unacorrente ideale e possibile ottenere infinite soluzioni potenziali variandola circolazione Γ intorno al corpo.
E possibile selezionare tra queste infinite soluzioni quella che haun reale significato fisico?
La risposta e affermativa per i corpi caratterizzati da un bordod’uscita aguzzo o cuspidato.
bordo d’uscita aguzzo, bordo d’uscita a cuspide
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fisicamente impossibile, fisicamente possibile
Condizione di Kutta:la velocita al bordo di ucita e continua; in particolare e nulla perbordi aguzzi e finita per bordi a cuspide.
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Tra gli infiniti valori della circolazione Γ deve essere scelto l’u-nico che consente di soddisfare la condizione di Kutta.
Risulta univocamente determinato il campo di moto intorno alprofilo e la corrispondente portanza individuata dal teorema diKutta-Zukovskij.
Genesi della circolazione e della portanza
Si consideri un campo fluido in quiete intorno ad un profilo alare.
• V = 0⇒ Γ = 0 intorno a qualsiasi circuito materiale, in particolarerispetto ad un circuito lontano dal profilo e che lo racchiude.
• Quando il profilo comincia a muoversi, per il teorema di Kelvin, lacircolazione intorno al circuito materiale deve rimanere nulla.
Come e possibile allora che si generi circolazione e quindi portanzasul profilo che si mette in moto rispetto al fluido?
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Γ = Γ1 − Γ2 = 0⇒ Γ2 = Γ1 . (269)
Il vortice che si stacca all’avvio dal bordo di uscita compensa lacircolazione che si genera intorno al profilo.
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Distribuzione lineare di vorticita
Potenziale indotto da una distribuzione lineare di vorticita:
ϕ(x, y) = − 1
2π
∫ c
0
γ(ξ) arctany
x− ξdξ . (270)
Componenti di velocita cartesiane indotte dalla distribuzione linearedi vorticita nel punto P (x, y):
u =1
2π
∫ c
0
γ(ξ)ydξ
(x− ξ)2 + y2, v = − 1
2π
∫ c
0
γ(ξ)(x− ξ)dξ
(x− ξ)2 + y2.(271)
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Lungo il segmento (0, c) il campo di velocita e discontinuo.
lim∆n→0
∮V · dl = (u+ − u−)dξ = γdξ ⇒ γ = u+ − u− . (272)
Per simmetria (il campo non puo cambiare se capovolgiamo la figura):
u+ = u(x, 0+) = −u− = −u(x, 0−) =γ
2. (273)
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Teoria di Glauert del profilo infinitamente sottile a piccoli
angoli di attacco
Ipotesi:
1. si assegna un profilo infinitamente sottile di equazione y = C(x);
2. la curvatura del profilo e piccola: |C(x)|/c 1 e |C ′(x)| 1;
3. il profilo e immerso in una corrente ideale, stazionaria, incompri-mibile ad un piccolo angolo di attacco |α| 1.
Bisogna risolvere il problema di Laplace con le condizioni al contornodi corpo linea di corrente e corrente uniforme all’infinito. L’eventualecircolazione deve essere tale da soddisfare la condizione di Kutta.
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Si pongaφ(x, y) = φ∞(x, y) + ϕ(x, y) , (274)
dove φ∞ e il potenziale della corrente asintotica uniforme e ϕ e dettopotenziale di disturbo.
Glauert ha trovato la soluzione esprimendo ϕ come il potenziale diuna distribuzione lineare di vorticita lungo la corda del profilo:
ϕ(x, y) = − 1
2π
∫ c
0
γ(ξ) arctany
x− ξdξ . (275)
• Questa funzione e certamente armonica per cui, con le posizionifatte, l’equazione di Laplace e risolta.
• La condizione al contorno all’infinito e certamente soddisfatta inquanto il campo indotto all’infinito dalla distribuzione lineare divorticita e nullo.
• Deve solo essere verificata la condizione di corpo impermeabile.
• Essendo il disturbo piccolo rispetto alla corrente uniforme si tra-scureranno termini quadratici del disturbo (del II ordine).
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|α| 1⇒ φ∞ ≈ V∞x + V∞αy . (276)
Per le ipotesi fatte sulla piccolezza sia di α che di C(x) il disturbo in-trodotto dal profilo sulla corrente e piccolo, cioe la velocita di disturboindotta dalla distribuzione di vorticita e piccola rispetto alla velocitaasintotica:
|u| V∞ , |v| V∞ . (277)
|C(x)|/c 1 per cui la condizione al contorno sul dorso e sul ventredel profilo puo essere imposta, con errore trascurabile, direttamentelungo la corda del profilo:
∀x ∈ (0, c) :V∞α + v(x, 0±)
V∞ + u(x, 0±)= C ′(x) . (278)
(x, 0+) indica un punto del dorso del profilo, mentre (x, 0−) un puntodel ventre. Si ottiene:
∀x ∈ (0, c) : V∞α + v(x, 0±) = C ′(x)V∞ + C ′(x)u(x, 0±) . (279)
L’ultimo termine (del II ordine) puo essere trascurato rispetto aglialtri.
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La condizione sul corpo diventa:
∀x ∈ (0, c) : α +v(x, 0±)
V∞= C ′(x) . (280)
In termini della distribuzione di vorticita:
∀x ∈ (0, c) : α− 1
2πV∞
∫ c
0
γ(ξ)dξ
x− ξ= C ′(x) . (281)
Per determinare l’incognita γ(ξ) occorre risolvere questa equazioneintegrale.
• In questo caso la condizione di Kutta e γ(c) = 0.
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Trasformazione di Glauert:
ξ =c
2(1− cos θ0) , dξ = c
2sin θ0dθ0 ; x =
c
2(1− cos θ) . (282)
Si assume che C ′(x) sia sviluppabile in serie di Fourier rispetto a θ:
C ′(x) =∞∑n=0
An cos(nθ) ; (283)
dove
A0 =1
π
∫ π
0
C ′(x)dθ , n ≥ 1 : An =2
π
∫ π
0
C ′(x) cos(nθ)dθ. (284)
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La soluzione del problema e:
γ(θ) = 2V∞
[(α− A0) cot
θ
2+
∞∑n=1
An sin(nθ)
]. (285)
Prob. n. 17 (facoltativo): verificare che la relazione (285)
e soluzione dell’equazione integrale (281)
Integrale di Glauert:∫ π
0
cos(nθ0)
cos θ0 − cos θdθ0 = π
sin(nθ)
sin θ∀n = 0, 1, 2, . . . (286)
(si ricorda inoltre che, dalle formule di prostaferesi, sin(nθ0) sin θ0 =12
cos[(n− 1)θ0]− 12
cos[(n + 1)θ0]).
• Bisogna verificare che
∀x ∈ (0, c) :1
2πV∞
∫ c
0
γ(ξ)dξ
x− ξ= α− C ′(x) . (287)
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Lastra piana ad incidenza
La soluzione e (C(x) = C ′(x) = 0):
γ(θ) = 2V∞α cotθ
2= 2V∞α
√1− x/cx/c
. (288)
VerificaDeve essere soddisfatta l’equazione integrale:
∀x ∈ (0, c) :1
2πV∞
∫ c
0
γ(ξ)dξ
x− ξ= α . (289)
1
2πV∞
∫ c
0
γ(ξ)dξ
x− ξ=
α
π
∫ π
0
cotθ0
2
sin θ0
cos θ0 − cos θdθ0
=α
π
∫ π
0
1 + cos θ0
cos θ0 − cos θdθ0 = α . (290)
C.V.D.
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Il campo di pressione(V
V∞
)2
=
(1 +
u
V∞
)2
+
(α +
v
V∞
)2
≈ 1 + 2u
V∞, (291)
trascurando, al solito, i termini del II ordine.
Cp = 1−(V
V∞
)2
= −2u
V∞. (292)
Un’attenta analisi della soluzione del problema di Glauert γ(θ) mettein luce che:
γ(θ) = γα(θ) + γC(θ) , (293)
γα(θ): soluzione del caso lastra piana ad incidenza α;
γC(θ): soluzione del caso linea media ad incidenza nulla.
Data la linearita del problema lo stesso risultato e valido per u, v eCp:
u(x, y) = uα + uC , v(x, y) = vα + vC ; (294)
Cp(x, y) = Cpα + CpC . (295)
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Nelle ipotesi di piccoli disturbi (profilo infinitamente sottile con pic-cola curvatura ed a bassa incidenza) e valido il principio di sovrap-posizione degli effetti: il campo di moto e ottenibile per sovrappo-sizione delle soluzioni lastra piana ad incidenza e linea media adincidenza nulla.
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Analisi della soluzione lastra piana
u
V∞(x, 0±) = ±γ(x)
2V∞= ±α
√1− x/cx/c
; (296)
Cp(x, 0±) = −2
u
V∞(x, 0±) = ∓γ(x)
V∞= ∓2α
√1− x/cx/c
. (297)
Coefficiente di pressione su una lastra piana a α = 50; soluzione di Glauert.
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• Al bordo di attacco la soluzione e singolare (dove il disturbo inrealta non e piccolo).
• Al bordo d’uscita Cp = 0 (condizione di Kutta verificata).
I coefficienti di forza aerodinamica
n: componente della forza aerodinamica (per unita di lunghezza) iny (forza normale); n = Cn
12ρ∞V
2∞c;
a: componente della forza aerodinamica (per unita di lunghezza) inx (forza assiale); a = Ca
12ρ∞V
2∞c;
s: ascissa curvilinea lungo il profilo C(x) (dx = cos δds).
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Relazione con portanza e resistenza:
l = n cosα− a sinα , (298)
d = n sinα + a cosα . (299)
Definizione di carico lungo il profilo:
∆Cp(x) = Cp(x, o−)− Cp(x, o
+) = 2γ(x)
V∞. (300)
Coefficiente di forza normale:
Cn =
∫ TE
LE
∆Cp(x) cos δ d
(s
c
)=
∫ 1
0
∆Cp(x) d
(x
c
). (301)
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• Il contributo della forza assiale alla portanza e del II ordine e puoessere trascurato.
Cl ≈ Cn cosα ≈ Cn = 2
∫ 1
0
γ(x)
V∞d
(x
c
)=
2Γ
V∞c; (302)
l =2Γ
V∞c
1
2ρ∞V
2∞c = ρ∞V∞Γ . (303)
• Il teorema di Kutta-Zukovskij e verificato.
Cl ≈ 2
∫ 1
0
γ(x)
V∞d
(x
c
)= 4
∫ π
0
[(α− A0) cot
θ
2+
∞∑1
An sin(nθ)
]1
2sin θdθ
= 4
[(α− A0)
∫ π
0
cos2 θ
2dθ +
1
2
∞∑1
An
∫ π
0
sin(nθ) sin θdθ
](304)
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∫ π
0
cos2 θ
2dθ =
π
2;∫ π
0
sin(nθ) sin θdθ =
π2n = 1
0 n > 1
Cl ≈ 4
[(α− A0)
π
2+π
4A1
]= 2π
(α− A0 +
A1
2
)(305)
Cl ≈ Clα (α− αzl) (306)
• Per profili sottili a piccoli angoli d’attacco la curva Cl = Cl(α) euna retta.
• Clα = 2π e il coefficiente angolare della retta di portanza ed eindipendente dal profilo.
• αzl = A0 − A1/2 e l’angolo di portanza nulla, dipende solo dallacurvatura del profilo ed e proporzionale ad essa.
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In modo analogo si calcola il momento di beccheggio (per unita dilunghezza) rispetto al bordo di attacco (positivo se cabrante) ed ilrelativo coefficiente:
mle = Cmle
1
2ρ∞V
2∞c
2 . (307)
Cmle= −
∫ TE
LE
∆Cp(x) cos δx
cd
(s
c
)= −
∫ 1
0
∆Cp(x)x
cd
(x
c
)= −2
∫ 1
0
γ(x)x
cd
(x
c
)=π
4(A2 − A1)−
Cl
4. (308)
Il centro di pressione e il punto di applicazione della risultantedelle forze aerodinamiche:
− Cl
xcpc
= Cmle⇒ xcp
c= −Cmle
Cl
. (309)
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Il punto rispetto al quale il momento di beccheggio e indipendentedall’angolo di attacco si chiama fuoco.
Cmc/4= Cmle
+Cl
4= −π
4(A1 − A2) . (310)
• Nei profili sottili a piccole incidenze il fuoco e posto a x = c/4.
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Le forze aerodinamiche nel caso di lastra piana
• αzl = 0;
• Cl = 2πα;
• Cmle= −Cl/4;
• xcp = c/4;
• Cmc/4= 0.
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• Re∞ 1, M∞ 1;
• esiste un ampio intervallo de-gli angoli di attacco in cui i ri-sultati della teoria di Glauertsono in ottimo accordo con idati sperimentali.
• Clα = 2π;
• αzl puo essere facilmentecalcolato nota la linea media;
• Cmc/4puo essere facilmente
calcolato nota la linea media.
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Il profilo sottile simmetrico a incidenza nulla
Equazione del profilo:y = ±T (x) , (311)
T (x) 1, +: dorso, −: ventre.
φ(x, y) = V∞x + ϕ(x, y) ; (312)
ϕ(x, y) =1
2π
∫ c
0
σ(ξ) ln√
(x− ξ)2 + y2 dξ , (313)
Il potenziale del disturbo e dato da una distribuzione lineare di sorgentilungo la corda di intensita
σ(x) = 2V∞T′(x) . (314)
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Come nel caso linea media ad incidenza, occorre verificare che lacondizione al contorno sul corpo sia verificata (imposta lungo la corda):
∀x ∈ (0, c) :v
V∞(x, 0±) = ±T ′(x) . (315)
Poiche i campi indotti da un vortice e da una sorgente sono ortogonalirisulta3:
v(x, 0±) = ±σ(x)
2; (316)
con σ(x) = 2V∞T′(x) la condizione (315) e ovviamente soddisfatta.
• Il campo di moto e singolare al bordo d’attacco (dove il disturbo egrande).
• ∆Cp(x) = 0, Cl = 0 e Cmle= 0.
• Campi di moto non portanti possono essere descritti con distribu-zioni di sorgenti e pozzi.
3le componenti di velocita sono uguali ma scambiate.
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Campo intorno ad un profilo sottile di spessore finito a
piccole incidenze
Ipotesi
1. ρ = cost, ∂/∂t = 0, flusso ideale.
2. Corrente asintotica uniforme con |α| 1.
3. Equazione del profilo: y = C(x) ± T (x), con |C(x)|, |C ′(x)|,|T (x)|, |T ′(x)| 1.
C(x): equazione della linea media;
T (x): equazione del semispessore del profilo simmetrico.
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Soluzione del campo:
φ = φ∞ −1
2π
∫ c
0
γ(ξ) arctany
x− ξdξ
+1
2π
∫ c
0
σ(ξ) ln√
(x− ξ)2 + y2 dξ . (317)
• φ∞ = V∞(x + αy);
• γ(ξ) = 2V∞[(α− A0) cot θ
2+∑∞
n=1An sin(nθ)],
C ′(x) =∑∞
0 An cos(nθ);
• σ(x) = 2V∞T′(x).
Condizioni al contorno imposte tutte lungo la corda (0, c)→ soluzio-ni sovrapponibili; vale ancora il principio di sovrapposizione deglieffetti:
• Il profilo simmetrico ad incidenza nulla ha Cl = 0:lo spessore nonda contributo alla portanza ed al momento nel caso di piccolidisturbi.
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Carico basico e addizionale lungo il profilo
• α = A0 = αi ⇒ (α − A0) cot(θ/2) = 0: il carico al bordod’attacco e finito nella soluzione di Glauert.
• αi: angolo di attacco ideale; il corripondente Cl = Cli e il coeffi-ciente di portanza ideale.
• αi = A0 dipende dalla linea media.
• Lungo un profilo posto a α = αi vengono minimizzati i valori posi-tivi di dp/dx > 0. Questi gradienti avversi di pressione hanno unruolo sfavorevole sulla resistenza aerodinamica; presumibilmente ilprofilo avra resistenza minima nell’intorno di α = αi.
Ulteriore decomposizione della soluzione di Glauert:
Il carico lungo la lastra piana ad incidenza α−αi e denominato caricoaddizionale.
Il carico lungo un profilo infinitamente sottile puo essere scom-posto in carico basico e carico addizionale.
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I profili NACA
Definizione della geometria
x ∈ (0, 1);
y = yc(x): equazione della linea media;
y = yt(x): equazione del semispessore (profilo simmetrico);
tan θ = dyc/dx.
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Coordinate dei punti del dorso (upper):
xU = x− yt sin θ , (318)
yU = yc + yt cos θ . (319)
Coordinate dei punti del ventre (lower):
xL = x + yt sin θ , (320)
yL = yc − yt cos θ . (321)
Profili NACA a 4 cifre
Semispessore:
yt = ± t
0.20
(0.29690
√x− 0.12600x− 0.35160x2
+ 0.28430x3 − 0.10150x4). (322)
t: spessore percentuale del profilo, il punto di spessore massimo eposizionato al 30% della corda, bordo d’uscita aguzzo.
rt = 1.1019t2: raggio di curvatura del bordo di attacco.
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Linea media:
∀x ≤ p : yc =m
p2(2px− x2) ; (323)
∀x > p : yc =m
(1− p)2(1− 2p + 2px− x2) ; (324)
p: posizione in x del punto di ordinata massima della linea media;
m: ordinata massima della linea media.
Sistema di numerazioneIl profilo e individuato da 4 cifre D1D2D3D4.
D1/100 = m, curvatura massima;
D2/10 = p, posizione del punto di curvatura massima;
D3D4/100 = t, spessore massimo percentuale.
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Profili NACA a 5 cifre
Semispessore:la distribuzione del semispessore e la stessa della serie a 4 cifre.Linea media:
∀x ≤ m : yc =k1
6[x3 − 3mx2 + m2(3−m)x] ; (325)
∀x > m : yc =k1m
3
6(1− x) . (326)
linea media m k1
210 0.0580 361.4220 0.1260 51.64230 0.2025 15.957240 0.2900 6.643250 0.3910 3.230
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Sistema di numerazioneIl profilo e individuato da 5 cifre D1D2D3D4D5.
D1D2D3 individuano la linea media;
D4D5/100 = t, spessore massimo
NACA 2412
NACA 23012
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Il metodo ingegneristico NACA
• assegnato il Cl, consente la determinazione delle velocita e dellepressioni lungo un profilo delle famiglia NACA in condizioni diflusso ideale e incomprimibile;
• non ha una solida base scientifica;
• si basa sulla sovrapposizione dei campi di velocita ottenuti da risul-tati esatti ed approssimati (teoricamente non possibile) disponibilisotto forma di tabelle.
1. Profilo simmetrico ad incidenza nulla; soluzione ottenuta con unmetodo esatto.
2. Linea media a Cl = Cli; soluzione di Glauert.
3. Profilo simmetrico ad incidenza α − αi; soluzione esatta ottenutaper Cl = 1 (valore di riferimento) ed assunta variabile linearmentecon il Cl (assunzione approssimata).
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• Le soluzioni 1 e 3 (per Cl = 1) sono esatte e quindi non hannosingolarita al bordo di attacco.
• La soluzione 2 e il carico basico, per definizione, finito al bordo diattacco.
• La soluzione completa, ottenuta con il metodo NACA, non hasingolarita al bordo d’attacco.
Velocita sul profilo
V
V∞=VtV∞± ∆v
V∞± ∆vaV∞
(Cl − Cli) . (327)
Vt/V∞: profilo simmetrico a α = 0o.
∆v/V∞: linea media a α = αi.
∆va/V∞: profilo simmetrico a Cl = 1.
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Confronto del metodo NACA con dati sperimentali.
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Applicazione del metodo NACA
1. Assegnare il profilo (spessore + linea media).
2. Assegnare Cl.
3. Consultare la tabella della linea media per determinare Cli. Solole linee medie 6X dei profili a 4 cifre sono dispobili in forma ta-bulare; per determinare i dati della linea media 2X, ad esempio,occorre moltiplicare per 2/6 = 1/3 i dati della linea 6X (linearitadell’effetto della linea media).
4. Calcolare il fattore moltiplicativo per il carico addizionale: f (Cl) =Cl − Cli.
5. Compilare la tabella per il profilo. Il coefficiente di pressione sicalcola con la formula Cp = 1− (V/V∞)2.
x
c
VtV∞
∆vaV∞
∆vaV∞
f(Cl)∆v
V∞
VlV∞
VuV∞
Cpl Cpu ∆Cp
6. Ricalcolare Cl =∫ 1
0 ∆Cpd(x/c) per verifica.
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L’ala finita in regime idealeIpotesi:
1. corrente uniforme V∞ che investe un corpo tridimensionale;
2. regime stazionario;
3. regime ideale (Rer →∞);
4. regime incomprimibile (M∞ → 0).
Il campo di moto e a potenziale e l’equazione che governa il problemae ancora quella di Laplace:
∇2φ = 0 ; (328)
condizioni al contorno:
limr→∞
φ = φ∞ ; sul corpo:∂φ
∂n= 0 . (329)
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Esiste la possibilita che in piani paralleli al piano (x, z), in cui lasezione dell’ala e un profilo alare, il campo di moto sia pratica-mente bidimensionale?Si, nel caso di ali caratterizzate da AR 1 e freccia Λ→ 0.
176/287
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Come mai in regime ideale 2D la resistenza aerodinamica risultanulla, mentre la teoria globale ha messo in luce, in 3D, l’esistenzadella resistenza indotta dalla portanza?
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• La differenza di pressione ventre-dorso tende a far ruotare l’ariaattorno alle estremita alari: alle estremita si formano due vorticicontrorotanti detti vortici liberi.
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• I vortici liberi tendono a far scendere l’aria per −b/2 < y < b/2(downwash), mentre fanno salire l’aria per y < −b/2 e y > b/2(upwash).
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• Per effetto del downwash (w) i profili alari si trovano a lavorare adun angolo di attacco effettivo αeff = α− αi piu piccolo.
• αi e l’angolo di incidenza indotto.
• La velocita effettiva a cui lavora il profilo (Veff) ha cambiato di-rezione: la portanza ad essa perpendicolare ha una componenteparallela a V∞: la resistenza indotta.
• Il downwash e proprio la componente di velocita associata allavariazione di quantita di moto verticale causa (per la II legge delladinamica) della portanza.
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Il sistema vorticoso dell’ala
• Se AR 1 e Λ ≈ 0 l’esperienza mostra che, a parte le estremita,il flusso e bidimensionale in piani paralleli a (x, z).
• La teoria di Glauert mostra che un’ala infinita infinitamente sot-tile e poco curva a bassa incidenza e descritta da una superficievorticosa di intensita Γ =
∫ c0 γG(x)dx.
• Se l’ala e finita, in generale Γ = Γ(y), in particolare Γ(−b/2) =Γ(b/2) = 0.
• La distribuzione di vorticita γG con asse parallelo a y costituisceil sistema di vortici aderenti. Se AR 1 il sistema di vorticiaderenti puo essere schematizzato con un unico vortice di intensitaΓ(y).
• L’intensita di un tubo vorticoso non puo variare e la circolazione siconserva: per una variazione lungo y pari a dΓ = dΓ/dy dy devenascere un vortice di pari intensita diretto come le linee di corrente.
• Questi vortici, sostanzialmente allineati a V∞, costituiscono il si-stema di vortici liberi.
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Il sistema vorticoso dell’ala.
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Il downwash
• Il downwash w e la velocita indotta lungo l’asse y (x = 0) dalsistema di vortici liberi (w > 0⇒ verso il basso).
• I vortici liberi sono semi-infiniti.
Downwash indotto da un vortice elementare infinito:
dw =dΓ
2π(y − y0). (330)
Downwash indotto da un vortice elementare semi-infinito:
dw =dΓ
4π(y − y0). (331)
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Downwash indotto da una distribuzione di vortici liberi lungo l’ala:
w(y) =1
4π
∫ +b/2
−b/2
1
(y − y0)
dΓ
dy0
(y0)dy0 . (332)
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La teoria del filetto portante di Prandtl
Nelle ipotesi di piccoli disturbi, l’incidenza indotta e piccola:
αi(y) ≈ w
V∞(y) =
1
4πV∞
∫ +b/2
−b/2
1
(y − y0)
dΓ
dy0
(y0)dy0 . (333)
αg(y) = α(y)−αzl(y): angolo d’attacco della sezione misurato rispet-to alla retta di portanza nulla del profilo;
αeff(y) = αg(y)−αi(y): angolo di incidenza effettiva αeff a cui lavorala generica sezione dell’ala (rispetto alla retta di portanza nulla delprofilo).
dL = ρV∞Γ(y)dy = Clα(y)αeff(y)1
2ρV 2∞c(y)dy , (334)
2Γ(y)
V∞c(y)= Clα(y)[αg(y)− αi(y)] . (335)
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Sostituendo l’espressione integrale di αi(y):
2Γ(y)
Clα(y)V∞c(y)+
1
4πV∞
∫ +b/2
−b/2
1
(y − y0)
dΓ
dy0
(y0)dy0 = αg(y) . (336)
Noto V∞ e la geometria dell’ala (c(y), svergolamento, profili utilizzatie quindi Clα(y)) quest’equazione integrale e nell’unica incognita Γ(y).
Il carico lungo l’ala
γ =Γ
V∞b=cCl
2b; (337)
Con η = y/(b/2) l’equazione integrale (336) diventa:
2b
Clα(η)c(η)γ(η) +
1
2π
∫ +1
−1
1
(η − η0)
dγ
dη0
(η0)dη0 = αg(η) . (338)
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Posto η = − cos θ:
γ(θ) =∞∑n=1
An sin (nθ) ; (339)
si ottiene4:w
V∞(θ) =
∞∑n=1
n
2An
sin(nθ)
sin θ(340)
e l’equazione da risolvere diventa
2b
Clα(θ)c(θ)
∞∑n=1
An sin(nθ) +∞∑n=1
n
2An
sin(nθ)
sin θ= αg(θ) . (341)
4Ricordando l’integrale di Glauert e che dγdη
= dγdθ
dθdη
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La portanza
Assumendo piccoli disturbi: Veff ≈ V∞.
L =
∫ +b/2
−b/2l(y)dy = ρ∞V∞
∫ +b/2
−b/2Γ(y)dy . (342)
CL =L
12ρ∞V 2
∞S= AR
∫ +1
−1
γ(η)dη . (343)
Sostituendo γ =∑∞
1 An sin(nθ):
CL =π
2ARA1 . (344)
• Il coefficente di portanza dipende solo da A1.
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La resistenza indotta
Di =
∫ +b/2
−b/2ρ∞V∞Γ(y)αi(y)dy = ρ∞
∫ +b/2
−b/2Γ(y)w(y)dy . (345)
CDi=
Di
12ρ∞V 2
∞S= AR
∫ +1
−1
γ(η)αi(η)dη . (346)∫ π
0
sin(nθ) sin(mθ)dθ =
π/2 per n = m0 per n 6= m
CDi= AR
∫ π
0
[ ∞∑n=1
An sin(nθ)
] [ ∞∑n=1
n
2An sin(nθ)
]dθ
=π
4AR(A2
1 + 2A22 + 3A2
3 + . . . + nA2n + . . .
). (347)
CDi=
C2L
πAR(1 + δ2) , dove δ2 =
∞∑n=2
nA2n
A21
. (348)
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Ala con distribuzione di carico ellittica:
γ(θ) = A1 sin θ = γ0 sin θ , (349)
dove γ0 = Γ(0)/(V∞b).
w
V∞= αi =
A1
2=
CL
πAR. (350)
Se la distribuzione del carico e ellittica:
1. il downwash, quindi αi, e costante lungo l’apertura;
2. CDi=
C2L
πARe minimo (δ2 = 0) nell’ambito di validita della teoria
del filetto portante.
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L’ala ellittica
Si puo avere come soluzione dell’equazione del filetto portante (341) ilcarico ellittico?
Deve essere verificato che
A1 =2αg(θ)
1 +4b sin θ
Clα(θ)c(θ)
= cost . (351)
• Esistono infiniti modi di combinare forma in pianta, svergola-mento e profilo (Clα) per ottenere il carico ellittico.
Uno dei modi, particolarmente interessante, e:
1. αg(θ) = cost, ala non svergolata aerodinamicamente;
2. stesso profilo lungo l’apertura, quindi Clα(θ) = cost, αzl(θ) = cost(ala non svergolata anche geometricamente).
3. c(θ) = c0 sin θ, forma in pianta ellittica.
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Per l’ala ellittica S = πbc0/4.
CL =Clα
1 +Clα
πAR
(α− αzl) . (352)
• CL = CLα(α− αzL);
• CLα =Clα
1 +Clα
πAR
; quindi CLα < Clα;
• αzL = αzl; l’angolo di portanza nulla dell’ala coincide con quellodel profilo.
Prob. n. 18: determinare per un’ala di assegnato AR e
per un dato CL l’ordine di grandezza di γ
Dall’equazione CL = AR∫ +1
−1 γdη si puo calcolare il valor medio di γ.
192/287
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Reggiane Re. 2001
193/287
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Carico basico e addizionale lungo l’ala
Decomposizione del carico lungo l’ala:
γ(η) = γb(η) + γa(η) ; (353)
• γb(η): carico basico, distribuzione del carico per CL = 0; dipendeessenzialmente dallo svergolamento aerodinamico dell’ala;
• γa(η) = γ(η)− γb(η): carico addizionale, differenza tra la distri-buzione attuale e basica del carico; dipende essenzialmente dallaforma in pianta dell’ala.
194/287
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Il metodo ingegneristico di Schrenk
Permette il calcolo della distribuzione del carico basico e del caricoaddizionale.
Dati:
1. c/(b/2) = f (η): forma in pianta;
2. Clα = Clα(η), αzl = αzl(η): caratteristica di portanza nell’inter-vallo di funzionamento lineare del profilo;
3. εa = εa(η): svergolamento aerodinamico.
• CL = AR(∫ +1
−1 γbdη +∫ +1
−1 γadη)
= AR∫ +1
−1 γadη;
• nel tratto lineare della curva di portanza γa e proporzionale a CL.
γ = γb + CLγa1 , (354)
γa1: carico addizionale per CL = 1.
195/287
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Determinazione del carico addizionale
• AR → ∞: il carico e proporzionale alla corda (αi → 0, γ =cCl/(2b)).
• AR→ 0: l’esperienza mostra che, per ali di basso allungamento, ilcarico diventa ellittico;
• ipotesi di Schrenk: per AR intermedi il carico addizionale perCL = 1 e dato dalla media tra la distribuzione delle corde ef-fettiva e quella di un’ala a forma in pianta ellittica e di parisuperficie alare.
γa1(η) =1
2
[c(η)
2b+cell(η)
2b
]; (355)
cell(η) = c0
√1− η2 = c0 sin θ;
c0 =4S
πb.
AR
∫ +1
−1
γa1dη =AR
4b
[∫ +1
−1
c(η)dη +4S
πb
∫ +1
−1
√1− η2dη
]= 1 .
(356)
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Carico addizionale con il metodo di Schrenk
• Il metodo di Schrenk e in errore alle estremita alari dove il caricodovrebbe essere nullo.
• Si puo tenere conto della variazione del profilo lungo l’aperturautilizzando la corda effettiva dell’ala ce = cClα/Clα con Clα =
2∫ b/2
0 Clαc dy/S.
197/287
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Determinazione del carico basico
1. Si calcola αzL con la formula approssimata
αzL =2
S
∫ b/2
0
cεa(y) dy . (357)
2. Si calcola l’angolo di attacco basico con la formula
αb = αzL − εa(y). (358)
3. Si assume il carico basico pari alla media tra il carico basico dell’alasvergolata e quello della stessa ala non svergolata:
γb(η) =cClb
2b=cClααb
4b, (359)
per tenere conto dell’effetto di contrasto dello svergolamento dovu-to al maggior carico in mezzeria dell’ala svergolata.
198/287
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Lo strato limite
Equazioni di Navier Stokes in un flusso incomprimibile
∇ · V = 0 , (360)
ρDV
Dt+∇p = µ∇2V . (361)
In forma scalare, in regime stazionario su una lastra piana bidimensio-nale (x > 0, y = 0) ad incidenza nulla (α = 0):
∂u
∂x+∂v
∂y= 0 , (362)
u∂u
∂x+ v
∂u
∂y+
1
ρ
∂p
∂x= ν
(∂2u
∂x2+∂2u
∂y2
), (363)
u∂v
∂x+ v
∂v
∂y+
1
ρ
∂p
∂y= ν
(∂2v
∂x2+∂2v
∂y2
). (364)
199/287
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La viscosita
µ si misura in Kg/(m s); ν = µ/ρ si misura in m2/s.
• La viscosita e una funzione di stato (dipende solo dal punto) ed eessenzialmente funzione di temperatura e pressione.
• La viscosita aumenta sempre con la pressione.
• Nei liquidi la viscosita diminuisce rapidamente con la temperatura.
• Nei gas rarefatti aumenta con la temperatura.
Per l’aria (legge di Sutherland):
µ
µ0
=
(T
T0
)3/2 T0 + 110
T + 110, (365)
T0 = 288K, µ0 = 1.79× 10−5Kgms
.
200/287
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Derivazione delle equazioni dello strato limite
• Nel modello di flusso ideale la velocita sul corpo impermeabile etangente ad esso, ma finita.
• L’esperienza mostra che, in un flusso reale, sul corpo e V = 0: deveesistere una regione (adiacente al corpo), di spessore piccoloδ rispetto alla dimensione caratteristica L, in cui la velocitapassa da valori finiti a 0.
• In questa regione ∆u/V∞ ≈ O(1), ∂u/∂y ≈ ∆u/δ.
• Se δ e piccolo allora µ∂u/∂y non e trascurabile anche se µ 1.
• In questa regione (strato limite) occorre utilizzare un’altra scaladi lunghezze (δ) per adimensionalizzare le equazioni.
• Nello strato limite la velocita normale alla parete (v) e piccola(rispetto a u) occorre adimensionalizzare anche v con una diversascala delle velocita.
• Prandtl ricava le equazioni dello strato limite ipotizzando apriori che, nello strato limite, i termini convettivi e diffusivi(dissipativi) siano dello stesso ordine di grandezza.
201/287
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Adimensionalizzazione
x∗ =x
L, y∗ =
y
δ=
y
εL; (366)
u∗ =u
V∞, v∗ =
v
βV∞, p∗ =
p
ρV 2∞. (367)
Continuita:∂u∗
∂x∗+β
ε
∂v∗
∂y∗= 0 . (368)
Quantita di moto lungo x:
u∗∂u∗
∂x∗+β
εv∗∂u∗
∂y∗+∂p∗
∂x∗=
1
Re∞
(∂2u∗
∂x∗2+
1
ε2
∂2u∗
∂y∗2
). (369)
Quantita di moto lungo y:
u∗∂v∗
∂x∗+β
εv∗∂v∗
∂y∗+
1
βε
∂p∗
∂y∗=
1
Re∞
(∂2v∗
∂x∗2+
1
ε2
∂2v∗
∂y∗2
). (370)
202/287
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Dalla continuita risultaβ = ε , (371)
la scala delle velocita normali e dello strato limite coincidono.Dalla quantita di moto lungo x, imponendo che termini convettivi e
diffusivi dissipativi siano dello stesso ordine, si ottiene:
Re∞ε2 = 1⇒ ε =
1√Re∞
;δ
L=
1√Re∞
. (372)
Le equazioni diventano:
∂u∗
∂x∗+∂v∗
∂y∗= 0 ; (373)
u∗∂u∗
∂x∗+ v∗
∂u∗
∂y∗+∂p∗
∂x∗=∂2u∗
∂y∗2+ O(ε2) ; (374)
∂p∗
∂y∗= O(ε2) . (375)
203/287
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Equazioni di Prandtl (dimensionali)
∂u
∂x+∂v
∂y= 0 , (376)
u∂u
∂x+ v
∂u
∂y+
1
ρ
∂p
∂x= ν
∂2u
∂y2, (377)
∂p
∂y= 0 . (378)
Condizioni al contorno
u(x, 0) = v(x, 0) = 0 ; (379)
limy→∞
u(x, y) = V∞ ; (380)
p = p(x) = p∞. (381)
Occorre inoltre conoscere il profilo di velocita u = u(y) ad x = 0.
204/287
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Risultati fondamentali della teoria
• In flussi ad elevato numero di Reynolds (Re∞ 1) esiste,in prossimita del corpo, una regione sottile di spessore δ/L ≈1/√Re∞ (lo strato limite) in cui la viscosita non puo piu essere
trascurata.
• Ad una data stazione x, la pressione e costante lungo y: nellostrato limite p = p(x).
• La pressione e data dal campo di moto ideale!
• Nello strato limite si genera un’elevata vorticita ζ ≈ ∂u/∂y che, inbase al teorema di Stokes, giustifica la circolazione presente intornoa corpi bidimensionali portanti.
205/287
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Equazioni di Prandtl per un corpo generico
Le equazioni di Prandtl sono state appena ricavate nel caso di lastrapiana. Si dimostra che le stesse equazioni sono valide per un corpobidimensionale generico (per esempio un profilo alare) con le seguentiipotesi e definizioni:
• x indica l’ascissa curvilinea lungo il corpo. In genere l’origine vieneposta nel punto di ristagno anteriore.
• y indica la coordinata pependicolare, per ogni x al corpo.
• u e v sono rispettivamente le componenti di velocita in ogni puntodello strato limite in direzione tangente e perpendicolare al corpo.
• Il raggio di curvatura del corpo r(x) e tale che L/r = O(ε) 1e dr/dx = O(ε) 1. La curvatura del corpo e piccola e nonvaria bruscamente.
In queste ipotesi le equazioni (376), (377) e (378) sono ancora vali-de anche se l’equazione di continuita e ora approssimata (a meno diO(1/
√Re∞) e la quantita di moto lungo y vale a meno di O(1/
√Re∞)
(invece di O(1/Re∞)).
206/287
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Condizioni al contorno
u(x, 0) = v(x, 0) = 0 ; (382)
limy→∞
u(x, y) = Ue(x) ; (383)
dp
dx= −ρUe
dUedx
. (384)
• Ue(x) e la velocita sul corpo determinata risolvendo il flusso ideale,influenza della forma del corpo sullo strato limite.
• Due problemi indipendenti: sul ventre e sul dorso del profilo apartire da condizioni iniziali note nel punto di ristagno.
207/287
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Il coefficiente di attrito
In un flusso incomprimibile:
τij = −pδij + µ
(∂Vj∂xi
+∂Vi∂xj
)(385)
Tenendo conto che ∂/∂y ≈ O(1/δ) e v ≈ O(δV∞), nell’ipotesi distrato limite il termine fondamentale della parte dissipativa del tensoredegli sforzi (τ ) e
τ ≈ µ∂u
∂y. (386)
τ valutato alla parete y = 0 fornisce lo sforzo di attrito alla parete:
τw = µ
(∂u
∂y
)y=0
. (387)
Nel caso di una lastra piana di lunghezza L si ottiene quindi la resi-stenza per unita di lunghezza:
d =
∫ L
0
τw dx . (388)
208/287
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Coefficiente di attrito:Cf(x) =
τw12ρU 2
e
. (389)
Coefficiente di resistenza di una lastra piana di lunghezza L:
Cd =d
12ρV 2∞L
=
∫ 1
0
Cf
(x
L
)d
(x
L
). (390)
Lo spessore dello strato limite
Definizione:u[x, δ(x)] = Ue(x) . (391)
• La condizione al contorno per y →∞ indica che questa condizionee esattamente verificata solo all’infinito.
• Non esiste una definizione senza ambiguita dello spessore dellostrato limite.
• Definizione pratica (convenzionale): u[x, δ(x)] = 0.99 Ue(x).
209/287
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Lo spessore di spostamento
δ∗(x) =
∫ ∞0
[1− u(x, y)
Ue(x)
]dy . (392)
• δ∗ e univocamente determinato (non ci sono ambiguita).
• La portata di massa che attraversa lo strato limite ad una da-ta stazione x si ottiene supponendo il flusso ideale (u(x, y) =Ue(x)) ed ispessendo il corpo di una quantita δ∗(x):
y →∞ : ρ
∫ y
0
u dy = ρUe (y − δ∗) . (393)
210/287
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Velocita normale al bordo dello strato limite
Conservazione della massa:
ρV∞δ =
∫ δ
0
ρu dy +
∫ x
0
ρvδ(x) dx . (394)
Da cui si ottiene:
δ∗ =
∫ x
0
vδ(x)
V∞dx ⇒ vδ(x)
V∞=
dδ∗
dx. (395)
211/287
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• La lastra piana si comporta come un corpo di geometria yc =δ∗(x) immerso in una corrente a potenziale (non viscosa).
Infatti la condizione di tangenza della corrente ideale per y = δ∗ e:
v
u≈ v
V∞=
dycdx
=dδ∗
dx. (396)
Nel caso di corpo generico si ottiene, in modo analogo:
vδ(x) = Ue(x)dδ∗
dx. (397)
E possibile risolvere il campo di moto nel seguente modo iterativo:
1. calcolare il campo di moto ideale (non viscoso) con la condi-zione sul corpo di velocita del fluido tangente al corpo stesso;
2. calcolare lo strato limite sul ventre e sul dorso del corpo par-tendo dal punto di ristagno anteriore;
3. correggere la geometria del corpo con lo spessore di spostamen-to calcolato;
4. reiterare il procedimento a paetire dal punto 1.
212/287
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Spessore di quantita di moto
θ(x) =
∫ ∞0
[1− u(x, y)
Ue(x)
]u(x, y)
Ue(x)dy . (398)
Bilancio di quantita di moto in direzione x per una lastra piana:
d =
∫ h
0
ρV 2∞ dy −
∫ δ
0
ρu2 dy . (399)
213/287
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Per la conservazione della massa:∫ h
0
ρV 2∞ dy = V∞
∫ δ
0
ρu dy . (400)
Quindi:
d =
∫ δ
0
(ρV∞u− ρu2) dy = ρV 2∞θ . (401)
Cd(x) = 2θ(x)
x. (402)
• Lo spessore di quantita di moto e indice della resistenza (viscosa)della lastra piana.
• Il risultato e valido anche per un profilo alare (con θ valutato nellascia del profilo).
214/287
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Fattore di forma dello strato limite
H(x) =δ∗
θ(403)
• H caratterizza la forma del profilo di velocita u = u(y) all’internodello strato limite.
Prob. n. 19: Calcolare H per un profilo di velocita
triangolare
y ≤ δ :u
Ue=y
δ; y > δ :
u
Ue= 1 . (404)
215/287
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Soluzione delle equazioni di Prandtl per la lastra piana
Equazioni (adimensionali):
∂u
∂x+∂v
∂y= 0 , (405)
u∂u
∂x+ v
∂u
∂y=
∂2u
∂y2. (406)
Condizioni al contorno:
u(x, 0) = v(x, 0) = 0 ; (407)
limy→∞
u(x, y) = 1 . (408)
• Si deve risolvere un sistema di equazioni a derivate parziali nonlineare!
Introducendo la funzione di corrente ψ(x, y) l’equazione di conti-nuita (405) e automaticamente soddisfatta.
216/287
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Si cercheranno soluzioni simili, cioe nella forma
ψ(x, y) = X(x)f (η) , (409)
dove η = y/g(x).
Essendo
∂η
∂x= −g
′(x)
g(x)η ;
∂η
∂y=
1
g(x)(410)
si ottiene
u =∂ψ
∂y=X(x)
g(x)f ′(η) , (411)
v = −∂ψ∂x
= −X ′(x)f (η) + X(x)g′(x)
g(x)ηf ′(η) , (412)
∂u
∂x=
X ′(x)
g(x)f ′(η)−X(x)
g′(x)
g2(x)[ηf ′′(η) + f ′(η)] , (413)
∂u
∂y=X(x)
g2(x)f ′′(η) ,
∂2u
∂y2=X(x)
g3(x)f ′′′(η) . (414)
217/287
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Sostituendo nella (406) si ottiene:
f ′′′ + X ′(x)g(x)f f ′′ + [X(x)g′(x)−X ′(x)g(x)] f ′2 = 0 . (415)
Affinche f = f (η), l’equazione (415) deve essere ordinaria in η e nondipendere da x, cioe:
X ′(x)g(x) = k1 , X(x)g′(x) = k2 , (416)
con k1 e k2 costanti arbitrarie.Ponendo k1 = k2 = 1/2, dalle (416) si ottiene
[X(x)g(x)]′ = 1⇒ X =x + C1
g(x). (417)
Si puo porre, senza perdere di generalita, C1 = 0. Sostituendo l’e-spressione di X(x) nella seconda delle (416) ed integrando:
g(x) = C2
√x , (418)
dove si puo porre, ancora una volta, C2 = 1.In definitiva:
g(x) =√x ; X(x) =
√x . (419)
218/287
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L’equazione (415) si riduce alla equazione di Blasius:
f ′′′ +1
2f f ′′ = 0 , (420)
con condizioni al contorno (ai limiti):
f ′(0) = 0 , f (0) = 0 , limη→+∞
f ′(η) = 1 . (421)
Questo problema puo essere risolto numericamente in modo abba-stanza semplice.
Prob. n. 20: Risolvere al calcolatore il problema di
Blasius
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Valori della funzione di Blasius f e delle sue derivate.
220/287
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Risultati della soluzione lastra piana
η = ydim
√V∞νx
, u = f ′(η) . (422)
• Il profilo di velocita e simile: al variare di x e sempre lo stesso inη mentre in ydim risulta solo scalato di
√x.
v =1
2√x
[ηf ′(η)− f (η)] . (423)
• Nello strato limite esiste una (piccola) componente di velocita nor-male che varia come 1/
√x.
• u = 0.99→ η = 5.0⇒ δ99% = 5.0
√νx
V∞: lo spessore dello strato
limite varia parabolicamente con x.
(δ99%
x≈ 5.00√
Rex
)5
• δ∗ = 1.721
√νx
V∞, θ = 0.664
√νx
V∞, H=2.59.
5Rex e il numero di Reynolds in cui si e usato x come lunghezza di riferimento.
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Profilo di velocita nello strato limite sulla lastra piana, confronto tra soluzione di Blasius ed
esperimenti.
τw = µV∞
√V∞νxf ′′(0) , f ′′(0) = 0.332 , Cf =
0.664√Rex
. (424)
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Cd(L) = 2θ(L)
L=
1.328√ReL
. (425)
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Prob. n. 21: Calcolare la resistenza di una lastra pia-
na lunga 10cm lambita da una corrente di 10Km/h in
condizioni standard di pressione e temperatura.
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Flussi con gradiente di pressione, punto di separazione
Bilancio di quantita di moto lungo x valutato per y = 0:
µ
(∂2u
∂y2
)y=0
=∂p
∂x. (426)
• La curvatura del profilo di velocita alla parete e direttamente col-legata al gradiente di pressione.
∂p∂x< 0 (favorevole) ∂p
∂x> 0 (sfavorevole)
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Definizione del punto di separazione:
xs :
(∂u
∂y
)y=0
= 0
.
• Strati limite con gradienti sfavorevoli di pressione (∂p∂x> 0) possono
portare alla separazione della vena fluida.
• Il punto di separazione dipende solo dal gradiente di pressione (enon dal numero di Reynolds).
• La separazione e un punto di singolarita delle equazioni di Prand-tl che cessano di essere valide: negli strati limite separati lapressione sul corpo non e piu indipendente dalla viscosita.
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La turbolenzaL’esperienza di Reynolds
L’esperimento di Reynolds ha messo in luce l’esistenza di due regimi dimoto in un condotto profondamente diversi, il passaggio da un regimeall’altro e identificato da un numero di Reynolds critico Recr ≈ 2200(basato sulla velocita media e sul diametro del condotto).
• Re < Recr: il flusso e stabile regime laminare;
• Re > Recr: regime turbolento (il flusso e instabile).
Strato limite turbolento su lastra piana
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Strato limite turbolento su lastra piana
Visualizzazione mediante fumi di un flusso d’aria su una lastra piana(V∞ = 3.3 m/s), transizione a Rex ≈ 2× 105:(a) vista dall’alto; (b) vista laterale.
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Getto assialsimmetrico
Fluorescenza indotta da laser, ReD ≈ 2300.
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Proprieta di un flusso turbolento
1. Fluttuazioni di pressione e velocita (anche di temperatura se c’eflusso termico). Le fluttuazioni di velocita sono in tutte e 3 ledirezioni (anche in caso di fenomeno laminare 2D); le fluttuazionisono intorno ad un valore medio.
2. Vortici (Eddies) di diverse dimensioni (da 40mm a 0.05mm nell’e-sperimento della fotografia precedente).
3. Variazioni casuali delle proprieta del fluido; non e possibile preve-derle deterministicamente ad un dato istante in un dato punto.
4. Moto autosostenibile. Una volta innescato, il flusso turbolentoe in grado di mantenersi da solo producendo nuovi vortici chesostituiscono quelli persi per effetto della dissipazione.
5. Il mescolamento e molto piu forte che nel caso laminare (in cuie dovuto esclusivamente ad azioni molecolari). I vortici turbolentisi muovono in 3 dimensioni e causano una rapida diffusione dimassa, quantita di moto ed energia. Attrito e flusso termico sonomolto piu elevati del caso laminare. Il mescolamento turbolentoe proporzionale al gradiente del flusso medio.
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Medie e fluttuazioni
u = u + u′ , u =1
T
∫ t0+T
t0
u dt . (427)
• Per definizione di media u′ = 0, per misurare le fluttuazioni si
utilizza√u′2.
Lastra piana.
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• Anche se il flusso e 2D in media esistono fluttuazioni di V in tuttele direzioni.
• Le fluttuazioni scompaiono alla parete (sottostrato laminare).
• Il profilo di velocita medio turbolento e piu panciuto del corrispon-dente laminare: a parita di numero di Reynolds, in uno stratolimite turbolento gli sforzi di attrito sono molto piu grandi.
• Lo spessore di uno strato limite turbolento e maggiore.
• Allontanandosi dalla parete le fluttuazioni di velocita diventanouguali: la turbolenza diventa isotropa.
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Lastra piana, Cf = Cf(Rex).
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Equazioni di Navier-Stokes mediate alla Reynolds
Equazioni di Navier-Stokes per un flusso incomprimibile:
∇ · V = 0 ;
ρDV
Dt= −∇p + µ∇2V . (428)
con V = (u, v, w)T . Si assuma
u = u + u′, v = v + v′, w = w + w′,
p = p + p′, T = T + T ′.
L’equazione di continuita mediata nel tempo diventa:
∇ · V = 0 . (429)
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L’equazione di quantita di motodiventa:
ρDu
Dt= −px + µ∇2u− ρ[(u′u′)x + (v′u′)y + (w′u′)z],
ρDv
Dt= −py + µ∇2v − ρ[(u′v′)x + (v′v′)y + (w′v′)z], (430)
ρDw
Dt= −pz + µ∇2w − ρ[(u′w′)x + (v′w′)y + (w′w′)z],
(il pedice indica derivazione parziale rispetto alla corrispondente va-riabile).
• τR
= σi(−ρu′iu′j)σj: tensore di Reynolds.
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Posto
τij = µ
(∂V i
∂xj+∂V j
∂xi
)− ρu′iu′j , (431)
Il bilancio di quantita di moto diventa:
ρDV
Dt= −∇p +∇ · τ . (432)
• E formalmente identico al caso laminare avendo sostituito le gran-dezze con la loro media ed aggiunto il tensore di Reynolds al tensore“laminare” degli sforzi.
• L’introduzione di altre 6 incognite (le componenti del tensore diReynolds) rende il sistema indeterminato, a meno che non si troviuna legge (od almeno un modello accurato) che definisca il tensoredi Reynolds (Problema della chiusura delle equazioni di Navier-Stokes mediate alla Reynolds).
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Strato limite turbolento
L’analisi dimensionale delle equazioni di Reynolds nei flussi di stratolimite mette in evidenza che le equazioni possono essere approssimatead una forma equivalente alle equazioni di Prandtl posto τ ≈ µ∂u
∂y−
ρu′v′.
La viscosita turbolenta (eddy viscosity)
Nel 1877 Boussinesq formulo la seguente ipotesi:
− ρu′v′ = −ρu′v′ = µt∂u
∂y, (433)
dove µt e la viscosita turbolenta (eddy viscosity).
• Le equazioni dello strato limite turbolento diventano formalmenteidentiche a quelle dello strato limite laminare previa sostituzionedi u e v con i valor medi e la viscosita µ con µtot = µ + µt.
Quanto vale µt?
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• L’ipotesi (intelligente) consiste nell’assumere che il meccanismodi scambio di quantita di moto dovuto al ricircolo caotico dellaturbolenza avvenga in maniera perfettamente analoga a quello alivello molecolare in un fluido newtoniano (µ).
• Per la maggioranza dei flussi la correlazione u′v′ < 0.
• Quindi, come per la viscosita molecolare, µt > 0: lo sforzo tur-bolento tende ad accelerare la particella adiacente mediamentepiu lenta.
• Se µt fosse una funzione di stato come la viscosita molecolare (µ =µ(p, T )) le equazioni di Reynolds sarebbero chiuse, ma purtropponon e cosı, l’esperienza ha messo in luce che la viscosita turbolentadipende dalla geometria e dal tipo di flusso.
• Oggi vengono utilizzati dei modelli di turbolenza che, su basesemi-empirica, propongono delle espressioni chiuse per la viscositaturbolenta, o piu in generale, per tutte le componenti del tensoredi Reynolds.
• Questi modelli vengono utilizzati con successo per problemi in cuila fisica e chiara a priori.
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La lastra piana in regime turbolento
Laminare Turbolentoδx
4.91√Rex
0.16(Rex)1/7
δ∗
x1.72√Rex
0.020(Rex)1/7
δx
0.664√Rex
0.016(Rex)1/7
Cf0.664√Rex
0.027(Rex)1/7
I dati turbolenti sono da rilevazioni semi-empiriche.
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Lo strato limite sui profili alari ad elevato numero di
Reynolds
Strato limite sul dorso e sul ventre del profilo a partire dal punto diristagno anteriore
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1. Punto di ristagno; nell’intorno del punto di ristagno lo spessoredello strato limite e finito.
2. Strato limite laminare.
3. (Eventuale) separazione laminare xsl: puo avvenire se si incontraun forte gradiente sfavorevole di pressione prima della transizionea flusso turbolento (profili sottili); si forma quindi una bolla diseparazione laminare, nella bolla il flusso transisce a turbolento e,generalmente, riattacca.
4. (Eventuale) punto di transizione a flusso turbolento; dipende dadiversi parametri, i piu importanti sono: numero di Reynolds, gra-diente di pressione, turbolenza iniziale della corrente, rugosita dellasuperficie, numero di Mach.
5. (Eventuale) strato limite turbolento.
6. (Eventuale) separazione turbolenta: puo avvenire se si incontra unforte gradiente sfavorevole di pressione; in condizioni di crociera ingenere i profili lavorano senza separazione.
7. Scia, di spessore piccolo se non c’e separazione o questa e moltovicina al bordo d’uscita.
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La resistenza dei profili alari in subsonico
• In campo subsonico la resistenza totale che agisce su un profilo (2D)e solo di origine viscosa ed e indicata come resistenza di profilo(dp).
• La resistenza di profilo puo essere distinta nei seguenti contributi:
1. resistenza di attrito (df), dovuta all’azione diretta degli sfor-zi tangenziali che si esercitano sulle pareti, sia nella regionelaminare che in quella turbolenta;
2. resistenza di scia o di forma (dwake), che deriva dal mancatorecupero di pressione conseguente a (eventuali) separazioni edalla formazione della scia.
dp = df + dwake . (434)
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La resistenza di scia
Dovuta a due effetti concomitanti:
1. variazione delle distribuzioni di pressione rispetto a quella valutatacon il modello di flusso ideale sulle superfici del corpo;
2. sensibile diminuzione del livello di pressione sulla base ddelle geo-metrie con coda tronca.
• Se la pressione sul corpo fosse perfettamente identica a quella delmodello ideale la resistenza di scia sarebbe nulla.
• La resistenza di scia e tanto maggiore quanto piu estesa e la zonadi flusso separato.
• Nei corpi aerodinamici e dominante la resistenza di attrito.
• Nei corpi tozzi e dominante la resistenza di scia.
Si consideri, a parita di Re, una lastra piana ad α = 0o ed una adα = 90o:
Cd90o ≈ 100Cd0o (435)
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Flusso intorno al cilindro, Cd = Cd(ReD).
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Perche il coefficiente di resistenza diminuisce quando il flusso tran-sisce a turbolento?
• In caso di flusso laminare la separazione avviene a θ ≈ 100o.
• In caso di flusso turbolento la separazione avviene a θ ≈ 80o.
• Per flusso turbolento il recupero di pressione e maggiore e quindidiminuisce sensibilmente la resistenza di scia.
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I profili laminari
Nel caso di corpi aerodinamici la resistenza si riduce in modo signi-ficativo se il flusso si mantiene lungo il corpo il piu possibile laminare.
• I profili laminari sono caratterizzati dalla presenza di una estesazona di flusso laminare a partire dal bordo d’attacco in crociera.
• L’obiettivo e raggiunto spostando il piu possibile indietro il puntoin cui inizia la ricompressione (dp/dx > 0) e lo strato limite diventainstabile.
• In condizioni portanti il picco di pressione puo essere mantenutoverso poppa progettando una opportuna linea media caratterizzatada carico basico costante.
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Caratteristiche del profilo NACA 651 − 212
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• Le polari dei profili laminari sono caratterizzate dalla presenza dellatipica sacca laminare nell’intorno dell’angolo di attacco ideale incui il coefficiente di resistenza e notevolmente piu basso.
• Lontano dall’incidenza ideale, per effetto del carico addizionale, lostrato limite transisce a turbolento molto prima, come nei profiliconvenzionali (la sacca scompare).
• Fuori sacca le prestazioni di un profilo laminare sono, in genere,piu scadenti di un corrispondente profilo convenzionale.
• Per effetto della contaminazione e molto delicato mantenere lecondizioni di flusso laminare.
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Superfici portanti
Oltre all’ala principale, un’aeromobile convenzionale possiede altre su-perfici portanti:
piano orizzontale: consente il controllo e garantisce la stabilitaintorno all’asse di beccheggio.
piano verticale o deriva: consente il controllo e garantisce lastabilita intorno all’asse di imbardata.
• Il controllo intorno all’asse di rollio e consentito dagli alettoni.
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Sistemi di ipersostentazione
Hanno il compito di aumentare CLmax e di ridurre la velocita minimadi sostentamento.
Classificazione:
1. sistemi meccanici (flaps);
2. sistemi di controllo dello strato limite;
3. sistemi gettosostentati (jet flaps).
SI discutono brevemente qui solo i sistemi meccanici.
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Tipi di flap:
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Alettone semplice
• Una cerniera consente la rotazione della parte posteriore del profilo,la conseguente variazione della curvatura comporta una variazionedi αzl e quindi del Cl a parita di incidenza.
• In genere l’angolo di stallo diminuisce.
Curva Cl = Cl(α) per un profilo con alettone al variare dell’inclinazione dell’alettone δ.
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Alettone con uno o piu slot
Profilo NACA 653 − 118, alettone con doppio slot (0.309c).
• Lo slot consente il passaggio di flusso ad alta pressione del ventre suldorso, la separazione viene cosı notevolmente ritardata e l’angolodi stallo aumenta.
• Significativo aumento del Clmax.
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Tipo ∆CLmax
Alettone ≈ 0.9Flap con slot ≈ 1.5Flap con doppio slot ≈ 1.9
Flap Fowler
E uno slotted flap che si abbassa con un moto di rototraslazione percui la portanza viene ulteriormente aumentata a causa dell’aumentodella corda del profilo.
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Slat
Un’aletta con canale posta anteriormente al profilo.
Coefficienti di pressione su una sezione dell’ala del B737-100.40oflaps, α = 8o. Confronto tra prova di volo ed analisi numerica del flusso non viscoso.
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Effetto dello slat sul CLmax.
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Effetti della comprimibilita• In campi di moto comprimibili le equazioni di continuita e quantita
di moto sono accoppiate all’equazione dell’energia: il campo dimoto dipende dal campo termico.
• Nel caso di campi ideali (Re→∞) con condizioni a monte unifor-mi l’equazione dell’energia ha una soluzione particolarmente sem-plice (H = cost) e la trattazione risulta semplificata nonche validain tutto il campo di moto a parte lo strato limite.
• La fisica dei flussi con M > 1 e profondamente diversa da quellasubsonica!
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Equazioni di Eulero in coordinate intrinseche
Flusso 2D, stazionario, ideale; equazioni di Eulero:
∇ · (ρV) = 0 ; (436)
ρV · ∇ V +∇p = 0 . (437)
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Coordinate intrinseche ξ = ξ(x, y), n = n(x, y):
ξ : V = V ξ; n : n ⊥ ξ . (438)
ξ = σx cos θ + σy sin θ ; (439)
n = −σx sin θ + σy cos θ . (440)
dξ = (−σx sin θ + σy cos θ)dθ = ndθ ; (441)
dn = (−σx cos θ − σy sin θ)dθ = −ξdθ . (442)
In particolare si ha che∂ξ
∂ξ= ∂θ
∂ξn .
∇ = ξ∂
∂ξ+ n
∂
∂n. (443)
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Continuita:1
V
∂V
∂ξ+
1
ρ
∂ρ
∂ξ+∂θ
∂n= 0 . (444)
Oppure, applicando il bilancio integrale tra 2 linee di corrente:
∂(ρV A)
∂ξ= 0 . (445)
Quantita di moto:
ρV∂V
∂ξξ + ρV 2∂θ
∂ξn +
∂p
∂ξξ +
∂p
∂nn = 0 . (446)
Poiche |∂θ/∂ξ| = |1/R|, dove R e il raggio di curvatura e proiettandonelle direzioni ξ e n si ottiene:
ρV∂V
∂ξ+∂p
∂ξ= 0 ; (447)
ρV 2
R+∂p
∂n= 0 . (448)
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1. Affinche la velocita possa variare lungo la linea di corrente e neces-saria, lungo la stessa una variazione di pressione di segno opposto.
2. Se la linea di corrente e curva e necessario un gradiente di pressionenormale per bilanciare la forza centrifuga.
Ricaviamo una relazione tra variazione di V e variazione di A lungola linea di corrente.
Continuita:1
V
∂V
∂ξ+
1
ρ
∂ρ
∂ξ+
1
A
∂A
∂ξ= 0 . (449)
Essendo il flusso ideale (isoentropico):
∂p
∂ξ= a2∂ρ
∂ξ. (450)
Dalla quantita di moto lungo ξ:
1
ρ
∂ρ
∂ξ= −V
a2
∂V
∂ξ. (451)
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Dalla continuita:
1
A
∂A
∂ξ= −(1−M 2)
1
V
∂V
∂ξ. (452)
Inoltre1
A
∂A
∂ξ= (1−M 2)
1
ρV 2
∂p
∂ξ. (453)
• In un flusso supersonico all’aumentare della sezione del tubodi flusso la velocita aumenta e la pressione diminuisce.
• Se il numero di Mach e uguale a 1 allora nel tubo di flusso∂A/∂ξ = 0: il passaggio da subsonico a supersonico (o vi-ceversa) avviene in una sezione di minimo (gola) del tubo diflusso.
• A parita di variazione d’area, la comprimibilita esalta le va-riazioni di pressione.
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Bilancio dell’energia in coordinate intrinseche:
∂H
∂ξ= 0 . (454)
L’equazione dell’energia ed il bilancio di quantita di moto lungo ξ nonsono indipendenti.
Relazioni del flusso isoentropico
1. s = cost;
2. H = cpT + V 2
2= γ
γ−1pρ
+ V 2
2= cost (il flusso e anche isoentalpico).
Ipotesi di gas piucheperfetto:
1. p = ρRT ;
2. dh = cpdT .
Dalla relazione di Gibbs dh = Tds+1ρdp si ha che un flusso isoentropico
e caratterizzato dalle relazioni:
p
prif=
(T
Trif
)γ/(γ−1)
=
(ρ
ρrif
)γ. (455)
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L’equazione dell’energia si puo scrivere:
T0
T= 1 +
γ − 1
2M 2 , (456)
dove il pedice 0 indica condizioni di ristagno; per cui, in un flussoisoentropico:
p0
p=
(1 +
γ − 1
2M 2
)γ/(γ−1)
; (457)
ρ0
ρ=
(1 +
γ − 1
2M 2
)1/(γ−1)
. (458)
• In un flusso isoentropico, note le condizioni termodinamichenel punto di ristagno e noto il numero di Mach locale, e notolo stato termodinamico.
• In un flusso reale le condizioni di ristagno variano al variare delpunto: sono cioe a loro volta funzioni dello stato termofluido-dinamico attuale della particella.
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Il coefficiente di pressione in un flusso comprimibile
Cp =p− p∞12ρ∞V 2
∞=
2
γM 2∞
(p
p∞− 1
). (459)
Utilizzando le relazioni del flusso isoentropico:
Cp =2
γM 2∞
[(1 +
γ − 1
2M 2
)− γγ−1(
1 +γ − 1
2M 2∞
) γγ−1
− 1
]. (460)
Nel punto di ristagno:
Cp(M = 0) =2
γM 2∞
[(1 +
γ − 1
2M 2∞
) γγ−1
− 1
]. (461)
• Nel punto di ristagno di un flusso comprimibile Cp > 1.
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Per M = 1:
C∗p =2
γM 2∞
[(1 +
γ − 1
2
)− γγ−1(
1 +γ − 1
2M 2∞
) γγ−1
− 1
]. (462)
• Per una corrente caratterizzata da un dato valore di M∞ esiste unben preciso valore del coeffficiente di pressione (C∗p) nel punto incui M = 1.
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Effetti della comprimibilita per flussi subcritici intorno a
profili alari
Si consideri un flusso subcritico (M < 1 ovunque) intorno ad un pro-filo sottile a piccole incidenze (ipotesi di piccole perturbazioni). Sidimostra che in ogni punto del campo (formula di Prandtl-Glauert):
Cp ≈CpM∞=0√1−M 2
∞, (463)
dove CpM∞=0 indica il coefficiente di pressione nello stesso punto per ilcaso dello stesso profilo alla stessa incidenza e M∞ = 0.
• Flussi ideali intorno a profili sottili a piccole incidenze in regi-me subcritico possono essere studiati con le tecniche sviluppateper l’analisi incomprimibile!
• Basta amplificare del fattore 1/√
1−M 2∞ il coefficiente di pressio-
ne.
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Chiaramente risulta:
Cl ≈ClM∞=0√1−M 2
∞, (464)
dove ClM∞=0 indica il coefficiente di portanza dello stesso profilo allastessa incidenza e M∞ = 0.
• In condizioni subcritiche il coefficiente di portanza aumentadel fattore 1/
√1−M 2
∞ rispetto al caso incomprimibile.
Essendo αzl indipendente da M∞ risulta:
Clα ≈ClαM∞=0√1−M 2
∞. (465)
• Si dimostra, invece, che il Cd e solo debolmente influenzato da M∞in condizioni subcritiche.
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Calcolo approssimato del Mach critico inferiore
• Per un dato profilo in flusso ideale il Mach critico inferioredipende solo dall’angolo di attacco.
• Quando M∞ = M ′∞,cr la condizione M = 1 viene raggiunta nel
punto di minima pressione.
Procedura
1. Si assegna α.
2. Si calcola il campo di pressione per M∞ = 0.
3. Si determina il valore minimo del coefficiente di pressione Cp,min.
4. Si diagramma in funzione di M∞ la curva Cp,min/√
1−M 2∞.
5. Si diagrammala curva C∗p = C∗p(M∞) (equazione (462)).
6. L’ascissa del punto di intersezione delle due curve individua M ′∞,cr.
Prob. n. 21: Calcolare M ′∞,cr per un dato profilo NACA
ad un assetto assegnato
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Regime transonico
• Il regime transonico e caratterizzato da M ′∞,cr < M∞ < M ′′
∞,cr.
• Caratterizza la crociera della maggior parte dei velivoli civili emilitari.
• E il regime piu difficile da analizzare teoricamente.
• Anche nelle ipotesi di flusso ideale e piccole perturbazioni le equa-zioni che governano il problema sono non lineari.
• Solo la comparsa negli anni ’70 dei calcolatori elettronici di grossapotenza di calcolo ha consentito la soluzione con metodi numericidi queste equazioni e quindi la determinazione dei campi transonici.
• In transonico (ed anche in supersonico) compare una nuova formadi resistenza: la resistenza d’onda associata alla perdita di pres-sione di ristagno attraverso le possibili onde d’urto che si formanonel campo.
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• Onda d’urto: superficie di discontinuita di un flusso ideale che siforma in regime stazionario solo se M > 1. Una particella cheattraversa un’onda d’urto subisce un salto positivo di pressionedensita e temperatura, una riduzione della velocita, ad entalpiatotale costante.
• Il processo e irreversibile e non isoentropico (la pressione di ristagnodiminuisce).
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Profilo RAE 2822;α = 2.31o, M∞ = 0.729, Re∞ = 6.5× 106;
linee iso-Mach.
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Profilo RAE 2822; α = 2.31o, M∞ = 0.729, Re∞ = 6.5× 106;distribuzione di pressione sul corpo.
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NACA 0012-34; Cd = Cd(M∞).
• Oltre alla crescitadella resistenza conV 2∞ c’e una ripida
variazione del coeffi-ciente di resistenza:il muro del suono.
• MDD, Mach di di-vergenza della resi-stenza: M∞ tale chedCd/dM∞ = 0.1.
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• Il transonico e caratterizzato da una forte interazione tra stratolimite e onda d’urto
• Attraverso l’onda d’urto si ottiene un gradiente di pressione infi-nitamente sfavorevole.
• Lo strato limite separa molto facilmente.
• Lo strato limite separato si ingrossa, l’urto avanza e si indebolisce,lo strato limite riattacca, l’urto riarretra ed aumenta in intensita ecosı via: si genera un fenomeno instazionario detto buffet.
• Il buffet e pericoloso per le ali; la barriera di buffet costituisce illimite per la velocita massima dei velivoli da trasporto commerciale.
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L’ala a freccia
L’ala a freccia consente di aumentare (a parita di assetto) il M ′∞,cr,
di conseguenza aumenta anche MDD e consente quindi un volo avelocita di crociera piu elevate (a parita di potenza del propulsore).
Schema di un’ala a freccia infinita.
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• In un flusso ideale intorno ad un’ala a freccia infinita il campo dimoto e bidimensionale rispetto ad un riferimento (inerziale) che simuove con velocita V∞ sin Λ.
• Il campo di moto intorno al profilo individuato dalla sezione AC equindi bidimensionale e caratterizzato da M∞ ≈M∞ cos Λ.
• Le condizioni critiche si raggiungeranno quando M∞ = M ′∞,cr
(M ′∞,cr e il Mach critico inferiore del profilo AC).
• Il Mach critico inferiore dell’ala e quindi M ′∞,cr = M ′
∞,cr/ cos Λ.
• Le linee di corrente sono fortemente tridimensionali.
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tanαeff =tanα
cos Λ, αeff ≈
α
cos Λ; (466)
V 2eff = V 2
∞(sin2 α + cos2 α cos2 Λ)
= V 2∞(1− cos2 α sin2 Λ)
≈ V 2∞ cos2 Λ . (467)
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La portanza e indipendente dal sistema inerziale scelto:
CL
1
2ρ∞V
2∞S = CLeff
1
2ρ∞V
2effSeff . (468)
Per b→∞:
S → bc ; Seff →b
cos Λc cos Λ = S . (469)
CLV2∞ = CLeffV
2eff ⇒ CL = CLeff cos2 Λ ; (470)
CLeff = Clααeff = Clα
α
cos Λ; (471)
CL = Clα
α
cos Λcos2 Λ = Clα cos Λα . (472)
• Il coefficiente di portanza di un’ala a freccia infinita e minoredi un fattore cos Λ rispetto a quello della corrispondente aladritta.
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Effetto dell’allungamento e della freccia sul CLα.
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Altri effetti dell’ala a freccia
• Fissato lo svergolamento di un’ala, all’aumentare della freccia (po-sitiva) il carico si sposta verso le estremita e quindi si allontanadall’andamento ellittico con maggiori rischi di stallo all’estremita.
• Fissato lo svergolamento di un’ala, all’aumentare della freccia (ne-gativa) il carico si sposta verso la mezzeria (soluzione preferibiledal punto di vista aerodinamico, ma fino ad oggi praticamente nonutilizzata per problemi strutturali-aeroelastici).
• Per frecce positive tendenza al fenomeno del nose-up.
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Profili supercritici
Sono profili caratterizzati da Cd accettabili anche in regime transonicoe consentono quindi di volare in crociera transonica.
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• I profili supercritici sono caratterizzati dall’assenza in crociera dipicchi di pressione (a parte i profili peaky) per limitare i valorimassimi di Mach e quindi l’intensita delle onde d’urto.
• Per recuperare carico in crociera al fine di raggiungere il necessarioCl spesso sono caratterizzati da forti curvature nella parte poppiera(rear loading).
• I profili laminari in condizioni di progetto sono caratterizzati dapicchi di pressione inferiori a quelli dei NACA a 4 e 5 cifre.
• I profili laminari sono quindi caratterizzati (a parita di Cl) da valoripiu elevati di M ′
∞,cr: consentono di raggiungere velocita di crocierapiu elevate allontanando l’insorgenza del drag rise.
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L’aeromobile
Le polari
CD = CD(CL,M∞, Re∞, configurazione, trim,motore) . (473)
Polare, curva di portanza e dei momenti per un ala di AR = 10
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Espressione approssimata della polare
L’espressione parabolica della polare costituisce una buona approssi-mazione della polare reale nell’intorno della crociera del velivolo:
CD = CD0+
C2L
πARe(474)
CD0= CDp
+ CDw: coefficiente di resistenza a portanza nulla.
CDp: coefficiente di resistenza di profilo.
CDw: coefficiente di resistenza d’onda;
e: fattore di Oswald.
Una buona approssimazione, nel caso di ala isolata in flusso iposonicoper CDp
:
CDp=
1
SW
∫ +b/2
−b/2Cd(y)cdy , (475)
Cd(y): coefficiente di resistenza del profilo dell’ala alla stazione y.
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L’aerodinamica viscosa e fortemente non lineare, comunque in avam-progetto si assume sovente:
CD0≈ 1
Sw
∑k
CDkSk ; (476)
k: k-esimo componente del velivolo (ala, fusoliera, gondola motore,deriva, piano orizzontale, etc.);
CDk: coefficiente di resistenza del k-esimo componente;
Sk: superficie di riferimento del k-esimo componente.
Errori insiti nell’approssimazione parabolica della polare:
• in generale il coefficiente di resistenza non e minimo per CL = 0;
• la resistenza di profilo e la resistenza d’onda variano al variare diCL;
• in condizioni di alta portanza la polare del velivolo si discosta moltodall’andamento parabolico che addirittura non prevede lo stallodell’aeromobile.