UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA Instituto de Geociências e Ciências Exatas

Campus de Rio Claro

Gustavo Barbosa

Platão e Aristóteles na Filosofia da Matemática

Rio Claro (SP) 2009

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UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA Instituto de Geociências e Ciências Exatas

Campus de Rio Claro

Gustavo Barbosa

Platão e Aristóteles na Filosofia da Matemática

Dissertação de Mestrado elaborada junto ao Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática – Área de Concentração em Ensino e aprendizagem da Matemática e seus Fundamentos Filosófico-Científicos, para obtenção do Título de Mestre em Educação Matemática. Orientador: Prof. Dr. Irineu Bicudo

Rio Claro (SP) 2009

Comissão Examinadora

_____________________________________

Prof. Dr. Irineu Bicudo

_____________________________________

Prof. Dr. Inocêncio Fernandes Balieiro Filho

_________________________________

Prof. Dr. Paulo Isamo Hiratsuka

_________________________________

Aluno

Rio Claro, ____ de _____________de________

Resultado_______________________________________

Este trabalho é dedicado à memória de Guilherme

Eduardo Barboza.

Agradecimentos

É difícil para mim, expressar com a justa medida toda a minha gratidão. Pretendo fazê-lo de

forma a evitar que fique algo a faltar, e que por isso eu seja erroneamente tomado por ingrato.

Da mesma maneira, procuro evitar que fique algo a sobrar, e que por isso eu seja considerado

adulador. Considero ainda igualmente importante não me esquecer de ninguém, mas se por

acaso acontecer, peço desculpas previamente. Minha frustração na busca das melhores

palavras é consolada pelo poeta alemão Reiner Maria Rilke, que disse: “a maioria dos

acontecimentos é indizível, realiza-se num espaço que nunca uma palavra penetrou”.

Mesmo assim, devo me esforçar.

Em primeiro lugar, gostaria de agradecer aos meus familiares, principalmente minha

mãe e minha irmã (esta no papel de “co-mãe”). À minha namorada, Fernanda Marostegan, e

também às minhas tias Laura, Lurdes e Leninha, que de um jeito ou de outro também deram a

sua ajuda. Sou imensamente grato a essas pessoas pelo constante apoio desde que resolvi “sair

da caverna” em busca de uma vida melhor para mim e também para elas.

Em segundo, agradeço ao Professor Irineu Bicudo pelo voto de confiança e pelos

ensinamentos que me proporcionou, seja pelas indicações de leituras, pelos detalhes da língua

e cultura grega antiga, ou mesmo pela simples convivência com a sua pessoa. Sigo as palavras

de Sócrates quando questionado na República (337d) sobre qual pena deve sofrer o ignorante:

“Deve aprender junto de quem sabe”. E assim, afirmo que é de muito bom grado que cumpro

a minha pena junto ao Professor Irineu.

Agradeço também à Professora Renata Meneghetti, que me iniciou nos caminhos da

Filosofia da Matemática, ao Professor Inocêncio Fernandes Balieiro Filho pelas dicas argutas

e ao Professor Paulo Isamo Hiratsuka pela disponibilidade em participar da banca

examinadora. As sugestões, críticas e comentários de todos eles contribuíram sobremaneira

para a evolução e finalização deste trabalho.

Desejo agradecer ainda, a todos aqueles que de alguma forma contribuíram com este

trabalho. Preferi aqui não citar nomes, justamente por ser essa categoria a maior, e por isso, a

mais fácil de cometer injustiças. São essas pessoas os funcionários do departamento de

matemática da UNESP, amigos, conhecidos e professores, que interceptando de alguma forma

os seus caminhos com os meus, puderam me proporcionar algum crescimento ao longo dessa

jornada.

Agradeço aos professores, que, com as suas disciplinas contribuíram para a minha

formação como pesquisador. São eles: o prof. Dr. Sérgio Roberto Nobre, a profª. Drª. Maria

Aparecida Viggiani Bicudo, o prof. Dr. Marcelo de Carvalho Borba e o prof. Dr. Vanderlei

Marcos do Nascimento.

Agradeço ao Grupo de Estudos de Filosofia Sofisticada pelas discussões, divagações,

especulações,... e pelos cafés.

Por fim, mas não menos importante, agradeço à Coordenação de Aperfeiçoamento de

Pessoal de Nível Superior, CAPES, pelo apoio financeiro, sem o qual esta pesquisa

simplesmente não teria sido possível.

Pois, um homem justo entre injustos, moderado e consciente, jamais seria completamente iludido pela alma dos outros.

Platão, Carta VII, 350d.

A eficácia das lições depende dos hábitos dos ouvintes. Aristóteles, Metafísica, 3, 994b 32.

RESUMO

O objetivo dessa pesquisa é participar da discussão acerca das diferentes concepções

de Platão e Aristóteles a respeito da natureza e do estatuto ontológico dos entes matemáticos.

Enquanto Platão situa o âmbito ontológico dos entes matemáticos entre dois mundos, o

sensível e o inteligível, Aristóteles nega o caráter supra-sensível dos objetos matemáticos e

oferece como resposta a sua filosofia empirista da matemática. Aristóteles teria dirigido duras

críticas contra Platão e os acadêmicos nos dois últimos livros da Metafísica, M e N,

respectivamente. Desde a antiguidade, vários autores sustentam que tais críticas referem-se às

“doutrinas não-escritas” de Platão, que seriam cursos por ele ministrados na Academia, cujo

teor ele não quis escrever por considerar que somente à dialética oral caberia o ensinamento

dos primeiros princípios. Utilizando uma metodologia de pesquisa filosófica e também a

história da filosofia e da matemática, foram abordados diversos textos, que vão desde livros e

artigos atuais, até as próprias obras de Platão e Aristóteles relacionadas ao tema. Como parte

das reflexões finais, o presente trabalho destaca a importância da exegese para uma correta

interpretação das filosofias da matemática de Platão e Aristóteles e ainda das relações entre

elas.

Palavras-chave: Filosofia da Matemática. Platão. Aristóteles. Exegese.

ABSTRACT

The research aim is the discussion about Plato and Aristotle’s different conceiving

about the nature and the ontological status of mathematical entities. While Plato located the

ontological scope of mathematical entities between two worlds, the sensible and the

intelligible, Aristotle denies the character “super-sensible” of the mathematical entities and

offers in response his own empiricist philosophy of mathematics. Aristotle would have direct

harsh criticism to Plato and the academics in two last books of his Metaphysics, M and N,

respectively. Since ancient times several authors argue that these criticism refer to “unwritten

doctrines” of Plato, that they would be courses that he taught at the Academy, whose contents

he did not want to write because he had believe that only oral dialectic should teach the first

principles. Using a philosophical methodology of research and also the history of philosophy

and mathematics several texts were discussed, like current books and articles as well as works

of Plato and Aristotle about the theme. As part of final reflection, the present work highlights

the exegesis importance for a correct interpretation of the mathematics philosophy from Plato

and Aristotle and even the relationships between them.

Key-Words: Philosophy of Mathematics. Plato. Aristotle. Exegesis.

SUMÁRIO

Introdução................................................................................................................... 10

1. Platão...................................................................................................................... 25

2. A filosofia da matemática de Platão ........................................................................ 36

3. Aristóteles e a Metafísica ........................................................................................ 55

4. Os interlocutores de Aristóteles ............................................................................... 72

5. A filosofia da matemática de Aristóteles ................................................................. 84

6. Exegese e filosofia da matemática ........................................................................... 97

7. Considerações finais.............................................................................................. 123

REFERÊNCIAS ....................................................................................................... 130

10

Introdução

“No princípio era o Verbo”1.

A palavra que os primeiros cristãos traduziram por verbo se origina do termo grego

logos (), que possui diversos significados além deste, como medida, fórmula, argumento

e razão.

Portanto, no início havia o Logos!

Razão talvez seja a melhor opção para descrever a atitude com que os primeiros

pensadores gregos se debruçaram sobre o mundo que os cercava. O contato deles com a

natureza era direto e puro, sem quaisquer interferências. Acompanhavam atentamente as

mudanças climáticas, a geração e a corrupção das plantas e dos animais. Quantas noites

teriam passado em torno de uma fogueira, a observar o movimento dos astros no céu, ouvindo

os poemas homéricos acompanhados pela cítara e pela flauta, e prestando ainda o seu culto a

Díonísio. E embriagados pela beleza inexorável que se apresentava diante deles começaram a

especular, como nos relata Aristóteles:

De fato, os homens começaram a filosofar, agora como na origem, por causa da admiração, na medida em que, inicialmente, ficavam perplexos diante das dificuldades mais simples; em seguida, progredindo pouco a pouco, chegaram a enfrentar problemas sempre maiores, por exemplo, os problemas relativos aos fenômenos da lua e aos do sol e dos astros, ou os problemas relativos à geração de todo o universo. Ora, quem experimenta uma sensação de dúvida e de admiração reconhece que não sabe; e é por isso que também aquele que ama o mito é, de certo modo, filósofo: o mito, com efeito, é constituído por um conjunto de coisas admiráveis. De modo que, se os homens filosofaram para libertar-se da ignorância, é evidente que buscavam conhecimento unicamente em vista do saber e não por alguma utilidade prática. (ARISTÓTELES, Met., A 1, 982b, 2002a, p. 11)

A primeira manifestação deste tipo que a história do pensamento ocidental nos traz,

como uma busca pela compreensão da natureza e do papel que homem desempenharia nela, é

proposta por Tales de Mileto (624-548 a.C. aproximadamente).

Afortunadamente para nós, é neste mesmo contexto que surge também a matemática,

mas esta, ao contrário da filosofia, foi concebida como fruto da ambição dos homens de impor

as suas vontades a esta realidade que lhes fora tão hostil.

E foi como o laço arremessado em direção ao pescoço de um cavalo selvagem, que os

antigos povos do Egito e da Babilônia desenvolveram a sua matemática. O conforto de uma

1 Evangelho segundo São João, 1:1, grifo nosso.

11

vida organizada em sociedade trazia consigo problemas que precisavam ser domados para que

estes povos pudessem se desenvolver. Tratava-se de questões relativas à distribuição de terras

e comida, à previsão dos períodos de secas e enchentes e à construção de templos. A detenção

do conhecimento matemático pelas castas sacerdotais, bem como a sua manipulação,

garantiria o sucesso desta empreitada que muitos séculos depois seria designada por contrato

social.

Mediante o intercâmbio instalado entre os povos às margens do Mediterrâneo, que foi

uma benéfica conseqüência da sua privilegiada posição, é que:

[...] mercadores, negociantes e estudiosos gregos se dirigiram aos centros de cultura no Egito e Babilônia. Ali entraram em contato com a matemática pré-helênica; mas não estavam dispostos a apenas receber antigas tradições, e se apropriaram tão completamente do assunto que logo ele tomou forma drasticamente diferente. (BOYER, 1996, p. 30)

À que se deve tal diferença? Muito se especula sobre as razões dessa diferença com

que os antigos gregos imprimiram o seu caráter racional para desvelar à pesada e escura

cortina da realidade, em detrimento da religião, que fora a saída encontrada pelas culturas

orientais2. De nossa parte, iremos simplesmente admitir que desde os seus primórdios, os

helenos deveriam ter o logos inscrito nalguma de suas cadeias de DNA.

Deste modo, consideramos que foi com Tales que se deu o “Big Bang” de nossa

cultura filosófico-matemática ocidental, pois a exemplo da teoria física do mesmo nome, é

muito difícil dizer com alguma precisão o que aconteceu nos seus primeiros instantes. Pior

ainda quando nos atrevemos a indagar sobre o que teria ocorrido antes, uma vez que somos

forçados a nos afastar dos possíveis fatos concretos em direção a indesejáveis exercícios

criativos. Essa importância atribuída a Tales já era reconhecida na própria Antiguidade, é ele

quem ocupa o primeiro lugar na lista dos “Sete Sábios” que Platão delineia no Protágoras.3

Coube a Pitágoras (570-490 a.C.) entrelaçar a filosofia e a matemática de uma maneira

singular. Nascido em Samos, não muito longe de Mileto, Pitágoras, a exemplo de Tales, teria

viajado ao Egito e à Babilônia. Do mesmo modo, apoderou-se dos conhecimentos destes

povos e conferiu-lhes uma nova concepção. Uma fecunda simbiose entre filosofia e

matemática se instalou a partir do momento em que coube à matemática fornecer os

pressupostos à concepção naturalista da filosofia. A preocupação dos primeiros filósofos era 2 Não é nosso objetivo aqui fazer um exame dessas coisas, mas quanto a isso, pode-se ler, com proveito,

REALE; ANTISERI, 1990, cap. 1, p. 11-26, e também RUSSELL, 1969, p. 5-28. 3 A saber, além de Tales, compõem a lista: Pittacus de Mitilene; Bias de Priene; Sólon de Atenas; Cleobulus de

Lindus; Myson de Chen e Chilon de Esparta. COOPER; HUTCHINSON, 1997, p. 774.

12

compreender o mundo, encontrar a origem das coisas, foi neste contexto que Tales teria

afirmado que “tudo é feito de água” (RUSSELL, 1969, p. 29). Para Pitágoras “tudo é número”

(BOYER, 1996, p. 34). Essa explicação desponta como uma conseqüência tanto do

misticismo envolvendo os números, que Pitágoras (ou “os pitagóricos”, uma vez que a falta

de documentos daquela época aumenta a aura de misticismo em torno da sua figura, uma

dificuldade que já se podia sentir na época de Aristóteles) teria herdado em suas viagens,

quanto como forma de legitimação das crenças primitivas da própria Grécia. “O pitagorismo

[...] foi um movimento de reforma no orfismo, e o orfismo foi um movimento de reforma no

culto à Díonísio” (RUSSELL, 1969, p. 38). O fato é que os números são elevados à condição

de cânone na doutrina de Pitágoras, que fornecia as regras de conduta aos seus discípulos na

comunidade que ele havia criado na cidade de Crotona, localizada na região sul da Itália, parte

do que era conhecido como Magna Grécia. Aliás, devemos a Pitágoras as próprias

concepções, tanto de matemática quanto de filosofia, e não apenas como ciência, mas como

meio de vida.

Talvez a mais notável característica da ordem pitagórica fosse a confiança que mantinha no estudo da matemática e da filosofia como base moral para a conduta. As próprias palavras “filosofia” (ou “amor à saberdoria”) e matemática (ou “o que é aprendido”) supõem-se terem sido criadas pelo próprio Pitágoras para descrever suas atividades intelectuais. (BOYER, 1996, p. 33)

Há aqui um detalhe muito importante, o qual nós não podemos negligenciar. Devemos

nos lembrar que foi necessário aos antigos gregos talhar as rochas do pensamento bruto,

obtendo o cascalho da linguagem, sobre o qual eles pavimentariam as suas idéias (e Idéias!),

permitindo que outros transitassem por elas. E ainda que o polimento constante das pedras no

caminho não o tenha tornado um lugar perfeitamente seguro para se caminhar, sem dúvida,

este era, no entanto, o melhor caminho.

Na filosofia pitagórica o número um é o princípio, é o gerador dos outros números, é o

que confere unidade às coisas, é o logos. O dois é o primeiro número par e todos os números

com esta característica eram considerados femininos. Os ímpares eram considerados números

masculinos. O zero foi uma criação muito posterior. Cada número tinha as suas próprias

particularidades, sendo o número dez o mais perfeito ou sagrado. Conhecido como tetraktys

(REALE, G.; ANTISERI, D., 1990, p. 43; BOYER, 1996, p. 36), o número dez é formado

pela soma dos quatro primeiros números (1 + 2 + 3 + 4); igualmente, estão contidos nele os

quatro primeiros números pares (2, 4, 6, 8) e os quatro primeiros números ímpares (3, 5, 7,

13

9)4, do mesmo modo, os quatro primeiros números primos (2, 3, 5, 7) e os quatro primeiros

números compostos (4, 6, 8, 9).

O testemunho de Aristóteles sobre as concordâncias pitagóricas nos mostra que

mesmo quando a matemática não se ajustava adequadamente aos objetos que pretendia

teorizar, ainda assim, havia um determinado empenho em “salvar os fenômenos”:

Eles recolhiam e sistematizavam todas as concordâncias que conseguiam mostrar entre os números e os acordes musicais, os fenômenos, as partes do céu e todo o ordenamento do universo. E se faltava alguma coisa, eles se esmeravam em introduzi-la, de modo a tornar coerente a sua investigação. Por exemplo: como o número dez parece ser perfeito e parece compreender em si toda a realidade dos números, eles afirmavam que os corpos que se movem no céu deviam ser dez; mas, como apenas nove podem ser vistos, eles introduziram um décimo: a Antiterra. (ARISTÓTELES, Met., A 5, 986a, 2002a, p. 27)

Num ambiente como esse, em que filosofia e matemática são “praticadas pelas

mesmas pessoas nos mesmos lugares” (CATTANEI, 2005, p. 22), parece natural que se

aprofundem e com isso evoluam, “[...] e não só contemporaneamente. Suas relações são de

influência recíproca, de mútua provocação a que se superem” (CATTANEI, 2005, p. 22).

A matemática desafia a filosofia

É no próprio seio da escola pitagórica que surge a primeira crise envolvendo a

filosofia e a matemática. Com a constatação de que existem grandezas geométricas

incomensuráveis, têm-se uma incomoda situação em que não se podem explicar certos

segmentos como um múltiplo da unidade; e como explicar a existência de uma magnitude que

não é múltipla do número que gera todos os outros? Se tudo são números, o que são

segmentos incomensuráveis? Não cabe à matemática responder a esta pergunta, ou pelo

menos não cabia naquela época. Como resultado do seu estreito contato com a filosofia, a

prática da matemática passou a criar problemas que não pertencem à sua própria alçada, mas

que devem buscar na filosofia o seu sentido de ser.

4 Para os pitagóricos, o número um não é considerado nem par, nem ímpar. REALE, G.; ANTISERI, D., 1990, p. 43.

14

A filosofia desafia a matemática

Se, por um lado, a matemática anima a filosofia, por outro, o mesmo ocorre

inversamente com a criação dos paradoxos de Zenão de Eléia (~ 450 a.C.) – a quem

Aristóteles considera como o criador da dialética (BICUDO, 1998, p. 309) – a respeito do

movimento e da multiplicidade. Dessa vez, é a filosofia, mais especificamente a dialética, que

vai dar origem a questões que somente poderão encontrar amparo na matemática.

Para ficarmos apenas em dois exemplos; temos o paradoxo da dicotomia, que diz que

antes que um objeto percorra uma dada distância, deve percorrer a sua metade, mas

novamente, antes disso, deve percorrer a metade dessa distância (um quarto da distância

inicial) e “assim sucessivamente”. Ora, como essa seqüência não acaba nunca, conclui-se daí

que é impossível iniciar o movimento. Natureza similar tem outro paradoxo envolvendo o

herói mítico Aquiles e uma tartaruga. Numa suposta corrida entre eles, uma distância inicial

de vantagem é dada à tartaruga (chamemos o local de saída de Aquiles de 0P e da tartaruga de

1P ), quando Aquiles atingir este ponto do qual a tartaruga partiu, ela já terá andado mais um

tanto (estará, digamos, num ponto 2P ), quando Aquiles atingir esta nova distância ( 2P ), a

tartaruga terá percorrido mais um outro tanto ( 3P ) e assim ad infinitum. Neste caso, conclui-se

que Aquiles jamais alcançará a tartaruga.

Hoje, é fácil dizermos que ambos os problemas envolvem os assim chamados

infinitésimos, que tornam possíveis os cálculos de limites. E se nos permitimos este

anacronismo é para lembrar (ou relembrar) o quanto um problema, fundamentalmente

filosófico (neste caso, particularmente dialético), precisou esperar pelo devido

amadurecimento da matemática.

A matemática na Academia de Platão

Platão [...] deu um imenso impulso em toda a ciência matemática e em particular à geometria, pelo apaixonado estudo que a isso dedicou e que divulgou quer recheando seus escritos de raciocínios matemáticos, quer despertando em toda a parte a admiração por esses estudos naqueles que se dedicavam à filosofia.5

5 TIMPANARO-CARDINI, M. (ed.) Proclus, Commento al I libro degli “Elementi” di Euclide. Introd., trad. e

notas. Pisa, 1978. apud CATTANEI, 2005, p. 30.

15

A fecunda simbiose entre a matemática e a filosofia, iniciada por Tales de Mileto e

refinada pela escola pitagórica, tem um lugar especial no pensamento de Platão. O encontro

entre a matemática e a pesquisa filosófica é mais estreito e ainda mais complexo no

pensamento desse filósofo que, em vez de reduzir a natureza aos números, utilizou o tipo de

certeza proporcionado pelas ciências matemáticas na sua busca pelo Bem.

Quando se tem em conta que grandes matemáticos, como Eudoxo de Cnido, Teeteto

de Atenas, Amiclas de Heracléia, Teudio de Magnésia, Ateneu de Cízico, entre diversos

outros (CATTANEI, 2005, p. 30-31), fizeram parte da Academia, realizando suas pesquisas

em conjunto, compreende-se que mesmo quando deixamos de lado a discussão a respeito de

Platão ter sido ou não um matemático profissional, ele, por certo, deve ter a sua importância

na fixação da matemática como uma ciência dedutiva.

Seu mérito repousa na enorme influência que exerceu como entusiasta pelo estudo

dessa ciência, “quem não é geômetra não entre!” (CATTANEI, 2005, p. 30) era o aviso que se

podia encontrar na entrada de sua escola – a Academia –, a qual era uma instituição dedicada

à formação ética e política. Diferentemente da educação ofertada pelos sofistas, que visava

treinar o caráter, a Academia buscava aprimorar o intelecto. O propósito de Platão na

República – entre outras coisas – é educar os guardiões da cidade. Para isso, o estudo das

ciências matemáticas era indispensável. Na Academia, vigorava o espírito socrático, que

certamente permeava os calorosos debates sobre os mais variados temas, da mesma forma

como eles se apresentam nos Diálogos.

Igualmente, o criador da Academia foi um grande crítico dos métodos matemáticos,

tendo muito possivelmente contribuído com a sua terminologia. O rigor matemático teria

fornecido a Platão os meios de chegar a uma definição segura das coisas, “[...] aquilo quanto a

que elas nada diferem, mas quanto a que são todas o mesmo” (PLATÃO, Mênon, 72c, 2001,

p. 23-25). E eis que ele propõe que para se chegar à verdade das coisas, nosso exame deve

proceder a partir de uma hipótese. “Por ‘a partir de uma hipótese’ quero dizer a maneira como

os geômetras freqüentemente conduzem suas investigações” (PLATÃO, Mênon, 86e, p. 69).

A exemplo dos geômetras, Platão procurou partir do que é inicialmente assumido como

verdade “[...] não como princípios, mas realmente como hipóteses, como degraus e pontos de

apoios”(PLATÃO, Rep., VI 511b, 2006, p. 263), e num processo que avança passo a passo

forçando nossa alma a se elevar, chegar à consequências necessárias.

Platão se empenhou, sobretudo, na busca pelo conhecimento. A importância do papel

que as ciências matemáticas desempenham na sua teoria do conhecimento é algo freqüente em

seus Diálogos. Cabem a elas “[...] facilitar que a própria alma abandone o devir e se volte para

16

a verdade e para a essência” (PLATÃO, Rep., VII 525c, 2006, p. 282). O lugar da matemática

na metafísica platônica é justamente entre o sensível e o inteligível e sua simbiose com a

filosofia passa a representar neste caso uma simbiose com a dialética. Neste liame, ela estreita

os laços com as teorias da reminiscência (que sustenta que aprender é recordar) e

metempsicose (crença na transmigração das almas) de Platão para explicar como é possível

chegarmos aos universais partindo-se dos particulares.

É a natureza bifronte da matemática que nos permite o caminho ascendente e

descendente da dialética. Ora, no primeiro, tomando aquilo que é procurado como se fosse

admitido e extraindo deles as conseqüências necessárias, que nos permitiria chegar a outro

fato mais simples e que explicaria o anterior, e procedendo sempre desta maneira, ou seja,

“assim por diante”, até transcender o caráter de aceitabilidade intrínseca das hipóteses,

alcançaríamos um princípio “não-hipotético”. Uma hipótese caracteriza-se como algo que

deve (ou não) ser aceito pelos participantes de um diálogo, já o princípio não-hipotético (a

idéia do Bem) de Platão seria algo “auto-evidente” para todos, que não estaria sujeito a

critérios subjetivos de aceitação. O próprio Platão teve dificuldades na explicação desse

conceito e como se chegaria até ele. O fato é que não se pode alcançá-lo pelo simples

raciocínio. Há toda uma aura de misticismo em torno da metafísica platônica, especialmente

no que diz respeito à sua idéia do Bem. Mas uma vez alcançada esta Idéia, procedendo agora

pelo caminho descendente da dialética seria possível deduzir todas as hipóteses subseqüentes

e garantir assim uma fundamentação completamente segura para todo o conhecimento.

Aristóteles, o aluno revolucionário

Esse é o panorama da matemática na Academia quando o jovem estrangeiro da

Macedônia nela ingressa em 367 a.C. Naquela ocasião, o escolarca responsável pela direção

da escola era Eudoxo de Cnido, o qual se acredita ter apresentado o novo discípulo ao mestre,

quando este retornou. E seria justamente esse discípulo que se tornaria notável por suas

próprias realizações posteriores, entre as quais se destaca uma candente disputa com Platão e

alguns acadêmicos. A passagem de Aristóteles pela Academia mudaria para sempre a história,

pois este se permitiu discordar do seu mestre quanto às coisas de que trata a matemática

(SILVA, 2007, p. 43). Mais tarde ele se queixaria de que “[...] para os filósofos de hoje, as

matemáticas se tornaram filosofia, mesmo que eles proclamem que é preciso ocupar-se delas

só em função de outras coisas” (ARISTÓTELES, Met., A 9, 992a 30, 2002a, p. 61).

17

A simbiose entre a filosofia e a matemática foi convertida pelas mãos de Aristóteles

em sua mais controversa versão: matemática e metafísica.

Ao mesmo tempo em que se identificam como ciências teoréticas, elas divergem pelos

seus objetos de estudo. Que os objetos matemáticos existam, disso o Estagirita não dúvida,

mas que eles existam como substância supra-sensível – como queria o seu mestre – ou, como

imanentes às coisas sensíveis – como queriam os pitagóricos – ele considera “impossível”

(), “absurdo” (), “risível” ().

Qual deve ser então o estatuto ontológico dos entes matemáticos?

Encontrar uma resposta alternativa é o propósito que o Estagirita destinou

especialmente aos dois últimos livros da sua Metafísica. E chega-se com isso ao cerne da

refutação: “Portanto, nossa discussão versará não sobre seu ser mas sobre seu modo de ser”

(ARISTÓTELES, Met., M 2, 1076b 10, p. 593).

Enquanto Platão situa o âmbito ontológico dos entes matemáticos como

“intermediários” entre os outros dois, a saber, o das coisas sensíveis e o mais alto, que

compreende as Idéias, Aristóteles não apenas nega o caráter supra-sensível dos objetos da

matemática, mas oferece como resposta o seu próprio entendimento dos entes matemáticos.

Desta forma, Aristóteles é o primeiro e único a proferir um Não! em meio a um coro

antigo de Sim! (CATTANEI, 2005, p. 35). “Aristóteles com freqüência dá o melhor de si, do

ponto de vista filosófico, quando é polêmico” (ANNAS, 2003, p. 77, tradução nossa). Mas

estes livros teriam ainda um sabor especial para os intérpretes de Platão, que os consideraram

a chave para uma correta interpretação do pensamento deste filósofo, por fazerem alusões a

doutrinas que ele teria ensinado na Academia e que não constam em seus Diálogos – e que

por esta razão são chamadas de “doutrinas não escritas”. As distinções entre escrita e

oralidade são os alicerces fundamentais sobre os quais se situam as diferentes correntes

hermenêuticas do platonismo, que surgiram já entre aqueles que conviveram com Platão e que

teriam aprendido diretamente com ele – Speusippus e Xenócrates – além do Estagirita.

A hermenêutica emerge assim, como um dispositivo fundamental para uma multifocal

apreciação do platonismo, na qual a matemática encontra outras disposições, além da

tradicionalmente conhecida na “metáfora da linha dividida”. O Estagirita recorta essa linha

oferecida pelo seu mestre como uma representação dos níveis do conhecimento e esmiúça

cada um dos seus segmentos com os seus novos instrumentos de pesquisa: a teoria da

substância.

18

Platão e Aristóteles sob uma perspectiva geral da Filosofia da Matemática

A busca por um significado para os objetos de que trata a Matemática tem atraído e

desafiado as mentes de grandes pensadores em todos os tempos. No decorrer dessa busca

diversas teorias têm sido criadas, muitas vezes atribuindo suas origens ao mundo sensível,

este, que podemos chamar de “o mundo real em que vivemos” e no qual nos vemos inseridos.

É ele quem nos fornece todos os ingredientes e as experiências necessárias para que possamos

compreendê-lo. Em outros casos, alguns destes princípios parecem pertencer a um reino

exterior, outra dimensão, que não é contaminada por nossas sensações, mas que somente nos é

acessível mediante a atividade do pensamento. E foi assim que os objetos matemáticos

passaram a fazer parte de nosso campo de especulação; alternando-se entre os sentidos e a

intelecção (e por vezes fundindo-os), ora fundamentando-se sobre a lógica, ora sobre a

intuição, como ferramenta empírica ou técnica da razão. Configurando-se lentamente no que

hoje se apresenta como o rico mosaico que constitui o domínio da Filosofia da Matemática.

Com o desenrolar do tempo, como é absolutamente normal em qualquer segmento do

conhecimento, as diversas doutrinas surgidas apoiavam-se em suas predecessoras, quando não

para juntar-se a elas – fornecendo-lhes uma nova roupagem –, mas muitas vezes também para

confrontá-las. Contudo, olhando para o horizonte disposto hoje a nossa frente, podemos

facilmente nos perder em meio a seus meandros, em virtude tanto da quantidade, quanto da

amplitude dos conceitos envolvidos. Da mesma forma como acontece aos viajantes que se

encontram perdidos numa floresta, relatados no Discurso do método6 de Descartes, devemos

evitar ficar dando voltas e muito menos permanecer parados no mesmo lugar, escolhendo uma

direção e seguindo sempre reto por ela, sem nos desviar por quaisquer motivos.

E se diante de concepções às vezes díspares, desejamos ter uma visão central, e que ao

mesmo tempo nos ofereça um panorama holístico dos principais problemas que por séculos

afligiram filósofos e matemáticos, somos obrigados a retroceder no tempo. Em geral, quando

se pretende analisar algum aspecto de nossa sociedade moderna, não importa qual ramo

histórico sigamos, seja o filosófico, o científico (no nosso caso o da História da Matemática)

ou o sociológico, em se tratando da história do pensamento ocidental, chegaremos, por fim, a

um único lugar, a Grécia antiga. Assim ocorre com as artes, com a política, com as ciências, e

outros segmentos que não nos convém aqui rememorar.

6 DESCARTES, R. Vida e obra; Discurso do Método; As Paixões da Alma; Meditações. São Paulo: Nova

Cultural, 1999, p. 55. Coleção Os Pensadores.

19

Sabe-se que algumas técnicas de cálculo foram desenvolvidas por egípcios e

babilônicos, em ambos os casos a experiência era o critério último de verdade. Os gregos, por

sua vez, em posse de tais resultados e de outros próprios, desenvolvidos pelas Escolas jônica e

pitagórica, proporcionaram uma verdadeira reviravolta no modo de se conceber os mathemata

(. Sob esse termo estavam englobados não apenas as figuras da geometria e os

números da aritmética, mas também os corpos celestes e os sons musicais estudados pela

astronomia e harmonia, respectivamente. Aos habitantes da Hélade não mais satisfazia “fazer”

matemática no sentido prático da palavra, isto é, apenas operando símbolos representativos de

entidades concretas para a solução de problemas concretos.

Os elementos pertencentes à história: os seus fatos, datas, percalços, personagens e

contextos, serão para nós, em nossa jornada, as estrelas pelas quais iremos nos orientar em

nossa navegação pelos mares da filosofia.

Nesse nosso percurso, tornar-se-á necessário apresentar, mesmo que brevemente,

nossos personagens principais; Platão e Aristóteles. Conhecendo o ambiente em que viveram,

as circunstâncias que os levaram a busca do conhecimento e as sementes que germinaram nas

suas teorias, por isso relembrar a introdução da História da Filosofia Ocidental de Russell:

Para compreender uma época ou uma nação, devemos compreender sua filosofia e, para que compreendamos sua filosofia, temos de ser, até certo ponto, filósofos. Há uma relação causal recíproca. As circunstâncias das vidas humanas contribuem muito para determinar a sua filosofia, mas, inversamente, sua filosofia muito contribui para determinar tais circunstâncias. (RUSSELL, 1969, p. X)

Seria possível parafrasear o trecho acima no contexto da matemática? As

circunstâncias da matemática numa dada época contribuem para determinar a sua filosofia?

Vale também a recíproca? Uma filosofia da matemática contribui para determinar as

circunstâncias sobre as quais se desenvolve a matemática? De que modo a matemática

interfere no statu quo da filosofia e vice-versa?

Uma ilustração das divergências que Platão e Aristóteles protagonizaram no âmbito da

constituição ontológica dos objetos da matemática certamente pode nos proporcionar alguma

luz numa busca por essas respostas.

20

Fundamentação Teórica

Ao investigar as concepções sobre a natureza dos objetos da matemática de acordo

com Platão e Aristóteles, uma questão em especial vem à tona; qual a metodologia de

pesquisa a ser empregada?

Tradicionalmente, podemos pensar que a metodologia positivista de pesquisa, da

forma como foi idealizada por Augusto Comte (1798-1857), propõe uma “aplicação da

abordagem científica na realidade social humana” (GOLDENBERG, 1997, p.17). Tal atitude

implicaria assumir nas ciências humanas os pressupostos utilizados na pesquisa das ciências

exatas que, entre outras coisas, considera a realidade como constituída de fatos objetivamente

mensuráveis e que as causas desses fatos podem ser determinadas através de uma abordagem

experimental, na qual o papel do pesquisador seria praticamente neutro. De fato, isso não se

ajusta à nossa pesquisa, pois não há nela questões empíricas a serem testadas ou

comportamentos a serem sistematizados. Logo, refutamos o paradigma de pesquisa positivista

como uma metodologia de pesquisa adequada à nossa proposta, que é estudar as concepções

de Platão e Aristóteles no que diz respeito às coisas de que trata a matemática, ao seu modo de

ser.

Poderíamos então pensar num estudo com pesquisa qualitativa, visto que esta tem seu

foco nos assim chamados “processos” e não apenas nos “resultados” ou “produtos” da

pesquisa (BOGDAN; BIKLEN, 1994, p.49). E ainda, a pesquisa qualitativa

[...] em vez de privilegiar a sistematicidade garantida por um método determinado, a objetividade dada pela neutralidade do investigador e pela consistência dos dados tratados, [...] privilegiam-se descrições de experiências, relatos de compreensões, [...] e outros procedimentos que dêem conta de dados sensíveis, de concepções, de estados mentais, de acontecimentos, etc. (BICUDO, 2006, p.107)

Mas novamente, em boa parte dos estudos qualitativos o que se vê é uma interação do

pesquisador com o campo, isto é, o ambiente natural desenvolvendo o papel de fonte direta

dos dados. Nesse contexto, cabe ao pesquisador descrever os fenômenos observados.

Entretanto, “[...] em filosofia, com efeito, não lidamos com dados, acontecimentos ou fatos

puramente exteriores que o pensamento se contentaria em encontrar, constatar, registrar,

porque seria incapaz de produzi-los” (FOLSCHEID; WUNENBURGER, 2006, p. 7).

Diferentemente dessa tradição, há a pesquisa conhecida pela denominação de “estado

da arte” (FERREIRA, 2002, p. 258) ou “estado do conhecimento”. Essa modalidade de

21

pesquisa, que tem como objetivos o mapeamento e a discussão sobre a produção acadêmica

feita nos diferentes campos do conhecimento e em diferentes épocas servem como uma

bússola para o pesquisador, permitindo a ele conhecer tudo aquilo que já foi produzido (ou

pelo menos grande parte), para que possa situar a sua pesquisa num contexto maior, e ir além,

apontando novas direções, estendendo os limites do conhecimento. Deste modo, mesmo não

sendo o nosso objetivo produzir um estudo de caráter bibliográfico sobre a natureza e o status

das entidades matemáticas no pensamento de Platão e Aristóteles, ao voltarmos nossa atenção

para a pesquisa de “estado da arte” surge uma questão de fundamental importância para o

desenvolvimento do nosso trabalho que é: Qual é o “estado da arte” do tema de nossa

pesquisa? Essa indagação nada tem de particular com o nosso projeto de pesquisa em

particular, mas antes, acreditamos que deva fazer parte de toda e qualquer tese ou dissertação,

sob o risco de se estar recriando a roda.

E assim nos voltamos aos fundamentos da atividade filosófica para desenvolver nossa

linha de pesquisa, que são: ler, refletir e interrogar. O método é inerente à própria atividade

filosófica, contudo pode-se questionar como será feita cada uma dessas etapas acima, e é isso

que nos propomos a responder brevemente a seguir.

Podemos inicialmente “ter uma interrogação e andar em torno dela em todos os

sentidos, sempre buscando todas as suas dimensões e andar outra vez e outra ainda, buscando

mais sentido, mais dimensões e outra vez...” (BICUDO, 1993, p. 18). No que diz respeito à

pergunta diretriz, encontrar a pergunta nem sempre é uma tarefa fácil, muito pelo contrário,

na maioria dos casos o caminho é longo, tortuoso, e requer paciência, e mesmo assim uma vez

encontrada não significa que será definitiva (ARAÚJO; BORBA, 2006, p. 29-31).

Freqüentemente, a pergunta diretriz passa por transformações ao longo do desenvolvimento

da pesquisa, o que é natural já que ao progredir novas referências podem surgir em detrimento

de outras, novos horizontes podem irromper levando o pesquisador a novas e até inesperadas

perspectivas.

O início da pesquisa certamente é a parte mais difícil, pois começamos com uma

leitura, e essa indica outras, e que por sua vez indicam outras, e assim sucessivamente. Novas

concepções de diferentes autores vão aparecendo a todo instante, dando-nos a impressão de

que aquilo que procuramos vai se tornando mais e mais distante. Temos no início – fazendo

um livre uso dos termos aristotélicos – pura matéria sem forma. Pouco a pouco começa a se

fazer sentir em nós uma sensação de segurança com relação à articulação dos dados.

O objetivo desse trabalho é participar das diferentes concepções que tinham Platão e

Aristóteles a respeito dos objetos da matemática, e como referencial teórico inicial para tal

22

temos os livros: Entes Matemáticos e Metafísica: Platão, a Academia e Aristóteles em

confronto, de Elisabetta Cattanei e Aristotle’s Methaphysics: Books M and N translated with

Introduction and Notes, de Julia Annas. Então a partir dessas duas obras surgem praticamente

todas as outras encontradas na bibliografia. Logo, nossa pesquisa bibliográfica se deu por

indicação direta das notas e referências encontradas nesses trabalhos. Esses dois livros, mais a

Metafísica de Aristóteles, juntamente com os diálogos de Platão utilizados em nossa pesquisa,

constituem as fontes primárias de nosso trabalho. As fontes secundárias constituem-se de

todas as outras obras, como livros e artigos que auxiliam na sustentação da discussão.

Para isso, assumimos uma posição de neutralidade, procurando desfrutar dos

benefícios que Russell distingue:

Ao estudar-se um filósofo, a atitude correta consiste em não se experimentar nem reverência nem desprezo, mas, desde o começo, uma espécie de simpatia hipotética, até que seja possível saber se se deve crer em suas teorias, sendo que somente então deve manifestar um renascimento da atitude crítica, a qual deve assemelhar-se tanto quanto possível, ao estado de espírito de uma pessoa que abandona as opiniões que até então professava. O desprezo impede a primeira parte deste processo; a reverência, a segunda. Duas coisas devem ser lembradas: primeiro, que um homem cujas opiniões e teorias são dignas de estudo deve ter possuído uma certa inteligência, mas que é provável que nenhum homem haja chegado à verdade completa e definitiva sobre qualquer matéria. Quando um homem inteligente manifesta uma opinião que nos parece evidentemente absurda, não deveríamos procurar que ela, de certo modo, é verdadeira, mas deveríamos procurar compreender como foi que ela chegou a parecer verdadeira. Este exercício de imaginação histórica e psicológica amplia, ao mesmo tempo, o escopo de nosso pensamento, e nos ajuda a compreender quão tolos muitos de nossos preconceitos mais caros parecerão a uma época de espírito diverso. (RUSSELL, 1969, p. 46-47)

Estabelecemos então, uma relação estreita, direta e constante com os textos, tanto os

“modernos”, quanto os dos próprios Platão e Aristóteles. Os primeiros são os que têm como

norte as novas doutrinas hermenêuticas do platonismo – ainda que alguns autores não

concordem plenamente com as mesmas. O papel da exegese, muito importante no contexto da

filosofia, tem sua força redobrada quando se trata de temas da filosofia antiga, como no nosso

caso, a filosofia de Platão, porquanto é nas interpretações que outros dão aos seus textos que

se fundamentam os paradigmas interpretativos.

Quando se busca compreender o pensamento de um filósofo, é prática comum

examiná-lo sob as diferentes perspectivas de outros pensadores, que se não lhes foram

contemporâneos, viveram, pelo menos, num período imediatamente posterior. É nos

comentários feitos por outros que os esforços de contemplar um todo filosófico de um

23

determinado pensador se renovam. Deste modo, Aristóteles é, por excelência, o primeiro

comentarista de Platão, pois lhe dirigiu suas críticas enquanto este ainda era vivo. Quem nos

explica como se relacionam todas as nossas fontes, primarias e secundárias, e a importância

dessas relações para a nossa pesquisa é o erudito ítalo-germânico Vittorio Hösle:

De tudo isso resulta para toda investigação abrangente da obra de Platão a obrigação de estudar, em primeiro lugar, os testemunhos coletados tardiamente a respeito das preleções não publicadas de Platão (que certamente ainda iam além de questões teóricas específicas em nível de princípios), em segundo lugar as teorias filosóficas de seus discípulos imediatos (também e justamente dos menos originais, uma vez que eles têm um valor especial enquanto fontes), e, em terceiro lugar, os trabalhos científicos que surgiram no contexto da Academia e dos quais alguns se devem à própria sugestão de Platão. (HÖSLE, 2008, p. 18)

Este trabalho é amparado também pela história da filosofia, porém de maneira não

fragmentada, ou para melhor dizer, não como um amontoado de fatos, datas e nomes isolados,

mas seguindo uma seqüência dinâmica do pensamento, que vai desde os predecessores de

Platão e Aristóteles até a influência que estes, por sua vez, tiveram sobre pensadores de nosso

tempo.

Para isso, utilizamo-nos ainda do método histórico como forma de método científico

específico da história como ciência social. De fato, essa metodologia compreende as técnicas

e diretrizes mediante as quais os historiadores fazem uso de suas fontes e outras evidências

em suas investigações.

Muitas vezes torna-se necessário em nosso trabalho, averiguar a origem dos vocábulos

utilizados, consultando os termos gregos e o uso que se faz deles, para que possamos

compreender melhor os conceitos envolvidos. Por exemplo, é difícil precisar em que

momento longínquo do tempo surgiu o fenômeno da educação como a conhecemos hoje.

Utilizamo-nos de uma expressão moderna que aglomera conceitos e abrange aspectos que em

outros lugares e em outras culturas receberam diferentes nomes que apenas podem ser

entendidos em seus próprios termos, como é o caso da Paidéia no âmbito da cultura grega

antiga.

Cabe ressaltar que esse passeio por diferentes perspectivas de pesquisa não teve como

finalidade encontrar um algoritmo a ser seguido, mas sim “conceber uma metodologia de

pesquisa que subentende uma certa visão de conhecimento” (ARAÚJO; BORBA, 2006, p.43),

que para nós é o conhecimento filosófico. A busca por uma metodologia de pesquisa se deu

não na tentativa de justificar o objeto de nosso estudo pelo seu método, ou, legitimar a

24

matéria pela forma, mas, inversamente, procuramos demonstrar a adequação do paradigma

adotado ao estudo proposto. Tal adequação emergiu de forma natural, podendo essa conduta

ser descrita, sem perda de generalidade, pelas palavras de Araújo e Borba (2006, p. 42) que

afirmam:

[...] quando decidimos desenvolver uma pesquisa, partimos de uma inquietação inicial e, com algum planejamento, não muito rígido, desencadeamos um processo de busca. Devemos estar abertos para encontrar o inesperado; o plano de fundo deve ser frouxo o suficiente para não “sufocarmos” a realidade, e, em um processo gradativo e não organizado rigidamente, nossas inquietações vão se entrelaçando com a revisão da literatura e com as primeiras impressões da realidade que pesquisamos para, suavemente, delinearmos o foco e o design de nossa pesquisa.

Influenciados pelo método socrático, que Platão utilizava amplamente como

instrumento pedagógico em seus Diálogos, consideramos que a melhor maneira de

representar o nosso posicionamento perante a pesquisa a que nos propusemos é mediante uma

metáfora. Assim, nossa posição assemelha-se a de um estudante de xadrez, que analisando

uma partida entre dois grandes-mestres, reproduz atentamente cada movimento, levando em

consideração as possíveis variantes que outros antes dele apontaram, procurando compreender

as diferentes linhas de jogo e, na medida do possível, tentando encontrar por si mesmo, em

cada lance, o próximo movimento. Freqüentemente, os grandes-mestres costumam lançar

compilações em que dispõem suas notas particulares sobre suas mais importantes partidas. É

com este espírito que lemos os livros M e N da Metafísica, que sem dúvida é o relato da

grande “imortal” partida da filosofia da matemática. Platão inicia a partida com sua

característica abertura – a Teoria das Idéias. Aristóteles reage energicamente com sua Teoria

da substância. Lance após lance, o jogo se desenvolve, gambitos são engendrados, peças são

trocadas, e a tensão aumenta quanto mais nos aproximamos do final da partida, que termina

empatada. Enquanto alguns afirmam que o Estagirita teria conseguido dar um cheque-mate

em seu mestre, outros sustentam que o estilo próprio de jogo de Platão, ainda que seja aberto a

críticas, não permite que adversário algum venha a derrotá-lo.

25

1. Platão

“Para o homem, a vida não examinada não vale a pena viver”

Platão, Apologia de Sócrates, 38a.

“... que os homens ruins sequer têm o direito de louvar; um homem que foi o único, ou o primeiro dentre os mortais, a provar com clareza, mediante sua própria vida e o rumo de seus argumentos, que um homem se torna bom e feliz ao mesmo tempo”.

Aristóteles apud Barnes, 2005, p. 39.

A Atenas de sua época

Nascido no ano de 428/427 a.C. e descendendo de uma família ateniense de classe

alta, Platão viveu, sobretudo, num período de transição. Era o fim do Império Ateniense, o

declínio de uma potência artística e cultural cujo legado se tornaria a base das tradições

ocidentais. Ao mesmo tempo dava-se a ascensão do império macedônico, este beneficiado

pelas chamadas guerras do Peloponeso (431-404 a.C.), que dividiram o antigo mundo grego

em dois blocos; um liderado por Atenas e outro por Esparta.

Inicialmente unidas contra um inimigo comum – a saber, os persas –, o conjunto das

cidades gregas passaram a ficar sob o comando dessas duas cidades, pois demonstraram

possuir, em tempos de guerra, o maior dos dons; o de liderar. Atenas havia passado por um

período de crescentes avanços nos domínios da política e da cultura, atingindo o seu apogeu

durante o governo de Péricles, entre 460 e 430 a.C. A necessidade de estabelecer rotas

comerciais com as cidades vizinhas e o reforço da frota proporcionado por Temístocles, em

meados de 490 a.C., assegurou aos atenienses a primazia no mar. Esparta, por sua vez, mesmo

considerada inferior em diversos aspectos quando comparada a Atenas, representava a grande

potência militar terrestre da época. Seu regime de governo oligárquico garantia a tão sonhada

estabilidade política e sua organização militar “[...] sugeria uma solução política baseada no

sacrifício das liberdades individuais em nome da disciplina e da ordem social” (PLATÃO,

1999, p. 8).

Tendo finalmente vencido as hordas vindas do oriente – os persas, os gregos tinham

que lidar agora com as antigas rivalidades, ampliadas pela crescente ambição instaurada no

seio da aristocracia, o que fez surgir um novo e crucial problema: a quem caberia liderar a

partir de então?

A luta pela hegemonia, que alternava por curtos períodos de tempo entre um grupo e

outro, enfraquecera a ambos, contribuindo assim para que o rei Filipe da Macedônia levasse a

26

cabo os seus planos de expansão, subjugando as cidades gregas em torno de 337 a.C., cerca de

dez anos após a morte de Platão.

Nesse meio tempo ocorreu uma série de eventos que deixariam marcas indeléveis na

alma de um jovem Platão, determinando assim todo o rumo de sua filosofia. Conhecer os

bastidores da vida de Platão, mesmo que de forma sucinta, nos permite compreender as suas

motivações, como, por exemplo, na busca por um governante ideal, no seu cuidado com as

palavras e quanto às coisas que se pode conhecer.

Sua educação e o encontro com os sofistas

Platão seguramente recebeu a educação que era destinada a um jovem ateniense de sua

classe, tendo estudado poesia, música7 e também praticado ginástica. O meio em que viveu

lhe permitiu uma ampla e sólida formação cultural, por meio da qual teve contato com as

concepções filosóficas dos “pré-socráticos”, além, é claro, das ciências matemáticas. E seriam

elas, com destaque para a geometria e a aritmética, que desempenhariam um papel vital sobre

todo o seu pensamento, tratando-se na verdade, de um tema recorrente em seus Diálogos, e

que, devido à tradição exegética, estende-se para além deles.

Acredita-se que Platão tenha recebido lições de um sofista, já que

Os pais que dispunham de recursos confiavam a tarefa de completar a educação de seus filhos aos sofistas. Estes se encarregavam de ensinar-lhes a arte da retórica e, de um modo geral, tudo o que fosse necessário para transformá-los em políticos bem-sucedidos. (PLATÃO, 1996, p. 13)

Mas quem eram os sofistas e qual é exatamente a natureza de seus ensinamentos?

A palavra vem de sophos (), que “[...] abrange todo gênero de habilidade ou

destreza física ou intelectual, artística ou política” (HARE, 2004, p. 69). Deste modo, os

sofistas podem ser interpretados como “sábios” ou “engenhosos”. Eram considerados mestres

na arte de retórica e a ensinavam por toda parte àqueles dispostos a lhes pagar.

Apesar do tom irônico com que eles aparecem nos Diálogos, não se trata

simplesmente de um grupo de oportunistas com vistas apenas no lucro financeiro. Esta

certamente é a visão mais precipitada, e por isso mesmo superficial (e errônea!) que se pode

ter a respeito do movimento sofístico, uma vez que “do ponto de vista histórico, a sofística é

7 Poesia e música eram contempladas em conjunto na Grécia Antiga, a declamação de poemas era acompanhada,

em geral, pelos sons da cítara ou da flauta. PLATÃO, 1996, p. 105.

27

um fenômeno tão importante como Sócrates ou Platão. Além disso não é possível concebê-los

sem ela” (JAEGER, 2001, p. 341).

É certo que o florescimento da vida intelectual grega tenha fornecido oportunidades

aos cidadãos, no âmbito da educação e da cultura, jamais vistas dantes, diminuindo, na

medida do possível, a distância entre governantes e governados. Esse importante fator social

implicou a demanda de uma nova estrutura educacional que não deveria se limitar à formação

do ideal de Homem como é encontrado nos poemas homéricos, mas que privilegiasse os

interesses da nobreza. Pois bem, os filhos desta necessitavam de conhecimentos diferenciados

que lhes desse a vantagem nas assembléias, e já que “[...] as qualidades fundamentais de um

homem de Estado não se podem adquirir. [...] Pode-se, no entanto, desenvolver o dom de

pronunciar discursos convincentes e oportunos” (JAEGER, 2001, p. 339-340). Habilidade

fundamental numa cidade-estado em que laços de sangue poderiam e até garantiam o acesso

de uma pessoa à estrutura do poder, porém a sua manutenção dependia, em grande parte, dos

seus dotes oratórios. Simultaneamente, em decorrência do aprimoramento da experiência

democrática ateniense, cada vez mais os líderes bem-nascidos cediam lugar a homens do

povo, que por sua vez procuravam de todas as formas assegurá-lo aos seus filhos, vendo nos

sofistas o auxílio necessário aos seus desígnios. Entre as diversas transformações instauradas

pelos sofistas, destaca-se o rompimento da estrutura social que restringia a cultura a

determinadas camadas.

É muito provável que Platão, em torno de seus vinte anos, tenha conhecido Sócrates e

freqüentado o seu círculo, não com o intuito de se tornar um filósofo, mas com o propósito de,

mediante o estudo da filosofia, aprimorar seus conhecimentos para a vida política. Todavia, o

destino, sempre caprichoso, mudaria por completo os rumos de seus objetivos.

Olhando para além da dicotomia instaurada entre retórica e filosofia, que foi antes uma

decorrência da situação política das cidades-estados da época, deve-se compreender que o

propósito dos primeiros sofistas era a formação do espírito. Servindo-se de uma

multiplicidade de métodos como a poesia, a música, a gramática, a retórica e a dialética,

buscavam uma “[...] intelecção universal da essência das coisas humanas” (JAEGER, 2001, p.

339), que, amparadas pela política e pela ética, transpunham as concepções de uma educação

espiritual consideradas puramente sob a ótica dos conteúdos intelectuais, ou formais, para

figurar o homem na completude de sua condição social.

Enquanto matemática e filosofia se animam mutuamente na ampliação dos horizontes

especulativos da realidade circundante, a sofística vem a preencher, no contexto do

conhecimento, um espaço outrora vazio, visto que, ao contrário das duas primeiras, não tem

28

como escopo um saber teórico ou científico, mas trata de uma exigência de ordem

estritamente prática.

Assim sendo, esse novo “saber enciclopédico” (polimathia / e estruturado

passou a representar um fenômeno que veio a formular os conceitos ocidentais da educação

como difusão do saber, e que, unindo uma nova racionalidade às antigas tradições poéticas,

abriu um novo caminho para o desenvolvimento social, ético e político.

Em contrapartida, tendo em conta o ambiente da Atenas em que Platão cresceu, isto é,

de decadência propiciada por intermináveis batalhas, pela fome e pelo empobrecimento, que

trazem em sua esteira toda a sorte de degradação cívica e moral, não é de se espantar que a

educação sofística tenha sido reduzida a meros exercícios de eloqüência. Por esta razão, por

ter se tornado um conhecimento baseado em parcialidades e por isso não verdadeiro, é que

Platão e Aristóteles combateram o sistema educacional dos sofistas, atribuindo-lhes o caráter

negativo de fundadores do subjetivismo e do relativismo moral com o qual durante muito

tempo diversos historiadores da filosofia têm concordado. Felizmente essa posição tem

sofrido mudanças (e com justiça) desde o século passado em grande parte devido ao profundo

trabalho do filólogo alemão Werner Jaeger (1888-1961).

As desilusões na política

A expansão do relativismo moral e o agravamento das disputas políticas

transformaram o que era inicialmente um conflito entre as cidades gregas em um conflito no

próprio interior delas, e a reviravolta da moralidade e a deturpação do significado das palavras

estimulou Sócrates a buscar um sentido seguro para elas na expressão dos conceitos. Assim

ele é visto nos Diálogos questionando as pessoas sobre “o que é a justiça?” ou “o que é a

virtude?”

Quanto a Platão, podemos pensar que um jovem que crescesse no seio da aristocracia

ateniense decerto aspirasse a uma carreira política, e ele próprio confirma em sua Carta VII

quando diz: “Quando eu era jovem, senti o mesmo que muitos: pensei, mal me tornasse

senhor de mim mesmo, ir direto à política. E eis como alguns eventos das coisas políticas me

atingiram” (PLATÃO, Carta VII, 324b8-c,1996, p. 47).

Certamente a atmosfera política encontrada na Atenas daquela época contribuiu

sobremaneira para que Platão tivesse desistido da carreira política, embora essa temática tenha

sido o seu maior interesse durante toda a sua vida. Outro evento, que veio a somar-se às suas

desilusões na esfera da política, ocorreu em 399 a.C., quando, depois da restauração da

29

democracia, o seu mestre e amigo Sócrates foi condenado à morte sob a acusação de

desvirtuar os jovens atenienses e de não acreditar nos deuses da cidade.

A derrocada de quaisquer ambições políticas que porventura Platão poderia ainda

nutrir veio a acontecer quando em 388 a.C., aos quarenta anos, viajou para a Sicília, onde

conheceu em Siracusa um jovem chamado Díon (409-354 a.C.). Os laços de amizade entre

este e Platão se desenvolveram a ponto de o rapaz vir a se tornar seu discípulo, tendo

absorvido suas doutrinas e, talvez entusiasmado por elas, persuadido o mestre a intervir na

corte de seu cunhado, o rei Díonísio I. A empreitada não logrou sucesso e os eventos

envolvendo Díon e sua família terminaram anos depois com a sua morte pelas mãos de Calipo

– suposto amigo que pertencia ao círculo da Academia – sob as ordens do filho de Díonísio I

e seu sucessor no trono, Díonísio II.

As viagens

A morte de Sócrates foi um golpe duro em Platão, que, logo após, partiu em viagem,

talvez em busca de novos ares que o ajudassem a refletir sobre os acontecimentos ocorridos

ou mesmo para organizar suas idéias, ou, quem sabe, desejoso de aumentar os seus

conhecimentos, ou até mesmo por todas essas coisas juntas! Sobre isso, tudo o que podemos

fazer é apenas especular. É certo que visitou Megara, onde Euclides (435-365 a.C.) – o

filósofo, não o geômetra –, que também era membro do grupo ligado a Sócrates, havia

fundado uma escola filosófica. Platão esteve ainda no norte da África, onde, em Cirene “[...]

inteirou-se das pesquisas matemáticas desenvolvidas por Teodoro, particularmente as

referentes aos irracionais” (PLATÃO, Carta VII, 1996, p. 11).

Não se sabe ao certo quais os motivos da primeira visita de Platão à Sicília nem quanto

tempo ela durou, mas sabe-se que foi nessa ocasião que ele teve contato com os pitagóricos,

chegando a conviver com o famoso matemático e político Árquitas de Tarento (428-347 a.C.).

Assim iniciava-se uma fecunda relação que foi principalmente marcada pela influência mútua.

A Academia e os primeiros diálogos

Após o infeliz episódio em Siracusa, Platão retornou à Atenas e lá fundou uma escola

filosófica situada nas proximidades de um bosque dedicado ao herói mitológico Academo, e

que, por essa razão, receberia o nome de Academia. A sua estrutura organizada em forma de

uma comunidade de pessoas vivendo com propósitos semelhantes e também sob preceitos

30

comuns pode ser considerada como uma sugestão vinda dos pitagóricos que Platão

incorporou. Analisando Pitágoras sem toda a áurea de mistério que o envolve, levando-se em

conta a função que desempenhou na sociedade criada sob o seu nome em Crotona, no sul da

Itália, e ainda relacionando-o com o que é encontrado nos Diálogos, temos que ele se

aproximou bastante do ideal de rei-filósofo descrito posteriormente na República.

Os estudiosos de Platão parecem não discordar quanto às considerações de que foi

nessa época que ele compôs os seus primeiros diálogos, que são geralmente chamados de

“diálogos socráticos”. Neles encontramos Sócrates como personagem principal promovendo

discussões a respeito de virtudes como a coragem, a piedade, a amizade. Com o seu método

de refutação (elenchus / ), Sócrates questiona os seus interlocutores a respeito das

definições de tais virtudes, e insistindo sistematicamente na carência e contradições de suas

respostas, leva-os a reconhecer, por fim, a sua própria ignorância. Entretanto, podem se

frustrar todos aqueles que pensarem que poderão encontrar nesses diálogos uma definição

dessas coisas dada por Sócrates; ele limita-se a fazer questionamentos, denunciando a

fragilidade das falsas conceituações. Por esta razão esses diálogos são chamados também de

“aporéticos”8.

Outro atributo notadamente pitagórico na filosofia de Platão é a importância da

matemática para a aquisição do conhecimento, seja ele filosófico, científico ou mesmo moral.

Pitágoras teria afirmado que “tudo são números”, o que pode parecer um absurdo à primeira

vista, porém não quando considerado dentro de uma tradição iniciada ainda nos primórdios da

filosofia e com que a matemática irá se entrelaçar de forma peculiar.

Transformando a argila dos precursores em cerâmica

O início da filosofia é marcado pela busca da essência mais íntima do mundo, sua

harmonia e ordem. Nessa visão o universo seria um imenso relógio funcionando com

impecável precisão, onde cada corpo, cada ser faria parte de suas engrenagens; a isso os

gregos designaram kosmos (). Os primeiros pensadores procuraram compreender a

natureza (physis / – entendida aqui como realidade primeira – elegendo um elemento

físico como o princípio (arché / ) constituinte de todas as coisas, aquilo que a tudo

origina, rege e anima. É nesse contexto que vemos Tales dizer, entre os séculos VII e VI a.C.

8 Aporia () significa “dificuldade de passar”. = passagem, e = sem passagem,

que não se pode atravessar. Trata-se de um termo utilizado “no sentido de dúvida racional, isto é, de dificuldade inerente a um raciocínio, e não no de estado subjetivo de incerteza”. ABBAGNANO, 1998, p. 75.

31

em Mileto, que tudo é feito de água. Anaximandro, também de Mileto e contemporâneo de

Tales, acreditava que a substância primeira não era a água, uma vez que ela parece existir

numa certa proporção com os outros elementos, como a terra e o fogo. Para Anaximandro

todos esses elementos são derivados de alguma outra coisa que lhes é anterior e que lhes

mantém em equilíbrio. Este princípio deveria ser algo sem limites, indefinido e indeterminado

(apeiron / ). Ainda em Mileto viveu Anaxímenes, que foi discípulo de Anaximandro,

e que acreditava, por sua vez, que o ilimitado de seu mestre não era outra coisa senão o ar,

que em sua forma natural não tinha forma ou limites, mas quando condensado transformava-

se em água, mais denso, ainda, tornar-se-ia terra e, por fim, pedra.

Com o que temos visto acima, o próximo elo dessa cadeia será Pitágoras, que seguindo

os passos de seus predecessores nomeia também um princípio para todas as coisas, ao mesmo

tempo em que rompe com essa tradição, pois não propõe um elemento físico, mas a

matemática. Mesclando ciência e misticismo, Pitágoras não somente aprecia as relações

numéricas entre as notas produzidas pelos instrumentos musicais, mas eleva o conceito de

harmonia () a considerações cósmicas. Aristóteles sintetiza muito bem a doutrina

pitagórica quando diz:

Os assim chamados pitagóricos [...] primeiro se aplicaram às matemáticas, fazendo-as progredir e, nutridos por elas, acreditaram que os princípios delas eram os princípios de todos os seres. E dado que nas matemáticas os números são, por sua natureza, os primeiros princípios, e dado que justamente nos números, mais do que no fogo e na terra e na água, eles achavam que viam muitas semelhanças com as coisas que são e que se geram [...]; e além disso, por verem que as notas e os acordes musicais consistiam em números; e, finalmente, porque todas as outras coisas em toda a realidade lhes pareciam feitas à imagem dos números e porque os números tinham a primazia na totalidade da realidade, pensaram que os elementos dos números eram elementos de todas as coisas, e que a totalidade do céu era harmonia e número. (ARISTÓTELES, Met., A 5, 985b 20 – 986a 5, 2002a, p. 27)

Quando passa a ocupar o eixo central da cosmologia, a matemática firma-se como

argumento dedutivo-demonstrativo, transformando a theoria () que até então era

entendida como “contemplação do divino” em “contemplação intelectual do divino”.

Concebida assim, a matemática seria, na opinião de Russell “[...] a fonte principal da crença

na verdade exata e eterna, bem como num mundo supersensível e inteligente” (RUSSELL,

1969, p. 43). Diante disso, Platão parecia ter encontrado na matemática uma maneira de

superar as aporias socráticas, e como os seus objetos, os círculos, as retas, os triângulos são

sempre mais perfeitos do que suas representações desenhadas na areia e juntamente com os

32

números constituem entidades eternas e imutáveis, Platão irá reservar-lhes um lugar de honra

em sua doutrina das Idéias. No entanto, o misticismo intelectual herdado dos pitagóricos se

manifesta de um modo ainda mais forte na sua concepção do “princípio não-hipotético”, bem

como nos caminhos que levam até ele.

Ainda sobre a teoria das Idéias, Platão recebeu influência de outros dois filósofos da

época. Um deles foi Heráclito de Éfeso, próxima de Samos e de Mileto, localizadas um pouco

a oeste e um pouco sul, respectivamente. Tendo vivido entre os séculos VI e V a.C., ele ficou

amplamente conhecido pelo aforismo que contém a essência de seu pensamento, o qual diz

que “não se pode entrar duas vezes no mesmo rio”, pois as águas que nos banharam já se

foram e mesmo nós, sofrendo continuamente a ação silenciosa e inexorável do tempo,

também já não somos mais. Crátilo, que foi discípulo de Heráclito e que transmitiu as suas

doutrinas ao jovem Platão na ocasião de sua estada em Atenas, teve uma postura mais radical;

para Crátilo não era possível se banhar nem mesmo uma vez no mesmo rio. De qualquer

forma, para Heráclito essas concepções levavam a outras mais profundas, como a idéia de que

esse fluxo constante caracterizava uma passagem de um estado das coisas ao seu contrário.

Tudo o que é frio está destinado a se tornar quente e vice-versa, o jovem tornar-se-á velho e

morrerá, mas é daquilo que está morto que a vida retorna, jovem outra vez. Platão parece

exprimir esse modo de pensar no início do Fédon, quando Sócrates já em seu último dia é

visitado na prisão por seus amigos, e sentado no catre esfregando com a mão a perna que lhe

fora libertada das correntes, diz:

É uma coisa muito estranha [...] isso que os homens denominam prazer. Ela harmoniza perfeitamente com a dor que se acredita constituir o seu contrário! Porque, se não é possível que sejam encontrados juntos, quando se é objeto de um dos dois, deve-se esperar quase sempre o outro, como se fossem inseparáveis. (PLATÃO, 1999, p. 120)

O outro filósofo que teve grande influência sobre Platão foi Parmênides, que floresceu

na segunda metade do século VI a.C na cidade de Eléia, no Sul da Itália. Sempre que

ouvirmos falar dos filósofos Eleatas, lembremo-nos de que foi Parmênides o fundador dessa

escola. Sua postura era completamente oposta à de Heráclito, ou seja, que nada muda. De

acordo com essa visão é preciso tomar cuidado com os nossos julgamentos feitos mediante os

sentidos, pois somos enganados pela aparência das coisas. Sendo assim, devemos

fundamentar nossos conhecimentos unicamente sobre a razão. Alguns o consideram o criador

da lógica ou da metafísica baseada a lógica (RUSSELL, 1969, p. 56), outros remetem a ele

uma inovadora transformação da cosmologia em ontologia (teoria do ser) (REALE;

33

ANTISERI, 1990, p. 50). A nós interessa saber como Platão fará uso desses ideais,

entrelaçando-os com outros e conferindo-lhes uniformidade. Essa influência se deu por meio

de Sócrates, que em sua juventude teria se encontrado e aprendido com Parmênides.

Essas foram, portanto as principais influências de Platão: Pitágoras, Parmênides,

Heráclito e Sócrates. Elementos das doutrinas de cada um deles estarão sempre presentes no

desenrolar de nosso trabalho. E se “a originalidade em filosofia consiste freqüentemente não

em ter novos pensamentos, mas em tornar claro os que antes não o era” (HARE, 2004, p. 19),

veremos que em Platão pode-se encontrar ambas as coisas. Ele combina a parte principal do

pensamento de cada um de seus predecessores, e assim utiliza como liga conhecimentos que

ele “parteja” de si próprio com o escopo de descortinar a essência mais intima da natureza,

tornando claras as coisas que ele considerava não serem. Essa reformulação por parte de

Platão e suas novas propostas para as questões envolvendo o conhecimento fazem parte de um

processo em que ele parece se afastar progressivamente da posição de Sócrates. Os diálogos

desse período, marcado pela “segunda navegação” de Platão, são denominados “diálogos de

transição”. Quem nos explica o seu significado são os professores italianos Giovanni Reale e

Dario Antiseri:

Na antiga linguagem dos homens do mar, “segunda navegação” se dizia daquela que se realizava quando, cessado o vento e não funcionando mais as velas, se recorria aos remos. Na imagem platônica, a primeira navegação simbolizava o percurso da filosofia realizado sob o impulso do vento da filosofia naturalista. A “segunda navegação” representa, ao contrário, a contribuição pessoal de Platão, a navegação realizada sob o impulso de suas próprias forças. (REALE; ANTISERI, 1990, p. 134)

Em posse disso, vemos a sua teoria das Idéias nascer como uma proposta de

conciliação entre as concepções de Heráclito e Parmênides. Também conhecida como

Hiperurânio (), que seria um termo utilizado no Fedro (247c) em que Platão

nos fala que “nenhum poeta ainda cantou nem cantará a região que se situa acima dos céus”

(PLATÃO, 1971, p. 226). Em seu intento Platão se empenha na separação de dois mundos,

utilizando-se do método socrático e do misticismo pitagórico. Superando a primeira

navegação dos filósofos pré-socráticos, que eram ainda prisioneiros dos sentidos, Platão parte

de “um mundo dos sentidos, sempre em fluxo” (HARE, 2004, p. 24), sendo passível apenas

da opinião (doxa / ), em direção a “um mundo unificado de Idéias, não acessível aos

nossos sentidos, mas somente ao pensamento, único a ser totalmente cognoscível” (HARE,

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2004, p. 24), logo, objeto do conhecimento (episteme / ). Platão atribuía à esfera da

opinião os conhecimentos passiveis de serem apreendidos pelos sentidos, algo intermediário

entre o conhecimento e a ignorância, como Sócrates o diz na República (PLATÃO, 477a-b,

2006, p. 217):

– Então, se o conhecimento se refere ao ser e, necessariamente, a ignorância se refere ao não-ser, também se deve procurar entre a ignorância e a ciência, um meio termo cujo objeto seja esse meio termo.

E um pouco adiante (PLATÃO, 578d, 2006, p. 217) ele arremata:

– Não afirmamos anteriormente que, se aparecesse algo que, ao mesmo tempo, fosse semelhante ao ser e ao não ser, tal coisa se poria como meio-termo entre o puro ser e o não-ser absoluto, e que não seria objeto nem da ciência nem da ignorância, mas o meio-termo, que aparecesse de novo entre a ignorância e a ciência? – Está certo. – Agora está à vista o meio-termo entre elas, aquilo que chamamos de opinião? – Está.

Quanto às Idéias, elas representam um mundo ordenado, imutável e perfeito do ser, o

lugar onde “[..] existe uma Beleza em si e por si, uma Bondade, uma Grandeza em si e por si,

e a mesma coisa ocorre com tudo o mais” (PLATÃO, 1999, p. 168). Todos os objetos

sensíveis não passam, por conseguinte de cópias imperfeitas e corruptíveis, que nos

confundem pela sua multiplicidade, o que as torna matéria da opinião. As coisas inteligíveis

apenas são apreendidas pela razão, que se servindo de hipóteses “[...] não como princípios,

mas realmente como hipóteses, como degraus e pontos de apoios” (PLATÃO, Rep., VI, 511b,

2006, p. 263) força a nossa alma a se elevar ao “princípio de tudo”; o Bem, tema da dialética.

É neste ponto que a matemática adquire o seu importante papel na teoria do

conhecimento de Platão. No Corpus platonicum cabe à matemática proporcionar, com seus

métodos e formas de raciocinar, a nossa transição entre o sensível e o inteligível. E mesmo em

se tratando de uma parte no todo da doutrina das Idéias, o debate em torno da natureza dos

entes matemáticos, se são Idéias ou se são aspectos imanentes dos objetos sensíveis, amplia-

se e torna-se a pedra angular de uma disputa envolvendo, além de Platão, alguns eminentes

membros da Academia, como Aristóteles, Speusippus, Xenócrates e um grupo de

“acadêmicos pitagorizantes” (CATTANEI, 2005, p. 242).

35

“Aristóteles é o único membro verdadeiramente original da Academia” (ANNAS,

2003, p. 76, tradução nossa), pois talvez tenha sido aquele que mais se afastou da sombra do

mestre no que diz respeito à natureza dos objetos da matemática. Isso ficará evidente quando

cotejarmos os pontos de vista de Speusippus, Xenócrates e dos pitagóricos, e identificarmos

nestes, diversos graus de parentesco com as doutrinas platônicas, que o Estagirita prontamente

refutou.

Por maiores que tenham sido as discordâncias de Aristóteles com relação à bem

elaborada edificação platônica dos entes matemáticos, ele concordava com Platão em

princípio, isto é, ambos compartilhavam a busca por uma fundamentação do conhecimento

nos sistemas axiomáticos.

É irônico notar que é justamente neste local, na Academia, lugar de debates e

pesquisas científicas de alto nível, centro de formação ético-política, no qual a matemática e a

filosofia, ao mesmo tempo em que desfrutam de seu mais sublime encontro, enfrentam

também o seu mais ressonante desencontro.

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2. A filosofia da matemática de Platão

Aquele, Adimanto, que tem seu pensamento verdadeiramente voltado para os seres não tem lazer para baixar seus olhos para as atividades dos homens, para lutar com eles e encher-se de inveja e animosidade, mas, vendo e contemplando objetos ordenados e imutáveis que, entre si, nem cometem nem sofrem injustiças e se mantêm todos em ordem e segundo a razão, tentam imitá-los e assemelhar-se a eles. Ou acreditas que, quando se convive com o que se admira, há como não imitá-lo?

Platão, A República, VI 13, 500b-c.

Quando se pretende abordar o que se pode chamar de “uma filosofia da matemática de

Platão” alguns cuidados extras devem ser tomados de início. Além de se levar em conta o fato

de que cada pensador tem a sua própria forma de filosofar, suas respectivas peculiaridades –

seja quanto ao método utilizado ou no tocante aos temas em que se detém –, consideramos

que, em Platão, particularmente, deve-se redobrar a dose de cautela. E por quê? Porque em

geral, conforme vamos estreitando nossas relações com as obras de algum grande pensador, a

matéria vai naturalmente delineando uma forma, que se encerra de maneira não exata, mas

satisfatoriamente sob um conceito.

Como exemplo, podemos citar a Metafísica de Aristóteles; afinal, o que se espera

encontrar num texto com esse nome, além de uma abordagem dessa temática? O mesmo

pode-se dizer a respeito da República ou das Leis. Contudo, estas representam uma exceção

no conjunto da obra de Platão, pois a maioria de seus diálogos tem como título o nome de seu

principal personagem, o qual é o interlocutor de Sócrates na ocasião, e que serve de fio

condutor para a exposição das doutrinas de Platão. Bastam apenas alguns exemplos para

convencer definitivamente os mais incrédulos; eis como se designam alguns deles: Eutífron,

Críton, Fédon, Crátilo, Teeteto, Parmênides, Filebo, Fedro, Cármides, Laques, Lísis,

Eutidemo, Protágoras, Górgias, Mênon, Íon, Crítias, entre diversos outros (inclusive aqueles

considerados espúrios e também os que foram escritos em conjunto com outros escolarcas).

Uma característica que é inerente ao pensamento de Platão é a complementaridade de

seus textos, isto é, a particularidade com que eles se completam. Assim o vemos em diversos

trechos dos Diálogos, em que ele parece deixar algumas “pontas soltas”, para retomá-las

depois em outros. Por exemplo, a teoria da reminiscência é tratada no Fédon e no Mênon, e a

teoria das Idéias, que é característica dos “diálogos intermediários” é retomada no

Parmênides. Isto ocorre por que Platão buscava uma “reformulação permanente e

multiplicação das vias de abordagem dos problemas” (PLATÃO, 1999, p. 12). Devemos

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também nos lembrar que, de acordo com a divisão que os estudiosos fazem da obra escrita de

Platão, ele estaria seguindo uma espiral evolutiva, que teria como ponto de partida os

“diálogos aporéticos” ou “diálogos socráticos” – nos quais ele estaria ainda muito ligado às

opiniões de seu mestre – rumo à suas próprias concepções, devidamente amadurecidas, e que

são encontradas a partir dos seus “diálogos de transição”.

Tendo dito essas coisas, a questão que nos interessa neste momento é se Platão teria

feito uma abordagem sistemática do conhecimento. Teria ele criado normas de raciocínio –

um método – que cuidassem de suas questões lógicas, metafísicas, dialéticas, políticas e

morais, juntamente com a sua solução para cada uma delas?

A resposta é não!

Quando nos referimos ao platonismo na esfera da filosofia da matemática, não

podemos atribuir uma doutrina a Platão da mesma forma como associamos, por exemplo, o

logicismo a Frege e Russell, isto é, como um corpo de preceitos, um sistema filosófico em sua

acepção moderna. E isso ocorre justamente porque não era essa a intenção de Platão. Ele

estaria mais preocupado em estimular as pessoas a pensar, colocando deste modo as almas no

caminho certo do conhecimento puro e desinteressado, que outrora vislumbraram antes de

serem condenadas ao devir mundano, a esse doloroso vir-a-ser, e sofrer as tribulações do

corpo e a ignorância da mente.

Uma boa parte do platonismo, assim como nós o conhecemos hoje, é, portanto, uma

criação posterior a Platão. O platonismo na moderna filosofia matemática é descrito como

uma teoria que trata das verdades das proposições matemáticas, sendo “usualmente tomado

como um tipo de realismo, equivalente a crença de que os objetos da matemática tais como os

números literalmente existem independente de nós e de nossos pensamentos a respeito deles”

(ANNAS, 2003, p.3, tradução nossa). E apesar do inegável auxílio que nos prestam todos

aqueles que ao longo dos séculos contribuíram de alguma forma para a sua edificação, nosso

interesse irá se restringir apenas às coisas que o próprio Platão tratou.

Pode-se sim moldar uma filosofia da matemática de Platão, mas por meio de duas vias

confluentes. A primeira reúne trechos dos Diálogos nos quais Platão nos oferece nuances da

sua teoria dos entes matemáticos, o que é particularmente difícil, considerando-se o caráter

multifário de sua obra. A segunda se dá conciliando e até mesmo confrontando esses achados

com a reconstrução de suas reflexões sobre as ciências matemáticas, feita principalmente por

Aristóteles.

A diferença sutil entre Platão e os outros filósofos da matemática é que no seu caso a

forma não nos é dada, ou pelo menos não da m