Universidade Estadual de CampinasFaculdade de Ciências Aplicadas

Tutorial – Mathematica 6.0

Professor: Márcio Antônio de Faria Rosa

Kaian Werkhaizer Ferraz - RA:091817 – Cálculo 2

Índice:

Introdução___________________________________________pág.3

Comandos Básicos ___________________________________ pág.4—Teclas de atalho____________________________________________pág.5

Manipulações Gráficas _________________________________pág.6— Gráficos em 2D____________________________________________pág.6— Gráficos em 3D____________________________________________pág.7

Derivadas___________________________________________pág.10— Teste da segunda derivada____________________________________pág.10

Integrais____________________________________________pág.12

Resolução de Exercícios_______________________________pág.13

Conclusão__________________________________________pág.17

Bibliografia_________________________________________pág.17

Introdução

No decorrer das últimas décadas, com o aumento da competitividade empresarial, houve também grande aumento na pressão por dados e resultados rápidos, consequentemente, foram desenvolvidas maneiras para aumentar a velocidade de obtenção dos mesmos. Dessa maneira, foram criadas ferramentas, que facilitassem o uso do Cálculo em áreas como computação, engenharia e matemática.

Pioneiramente vieram as calculadoras científicas, que foram gradualmente aumentando a capacidade de realização de cálculos complexos, e representações gráficas. A necessidade de utilização de tais cálculos em sistemas computadorizados, fez com que fossem desenvolvidos softwares capazes de realizar cálculos avançados, e plotar gráficos com precisão. Um desses programas, é o Wolfram Mathematica®, que será trabalhado nesse tutorial.

O Mathematica é um programa desenvolvido pela Wolfram Research, e é capaz de realizar diversas funções relacionadas às ciências exatas de um modo geral, mas nesse trabalho, serão focalizadas suas aplicações à engenharia e principalmente ao curso de Cálculo 2.

Apesar da versão mais recente ser a 7.0, será detalhado o uso do 6.0, por ser, esse último, a versão usada na Faculdade de Ciências Aplicadas, da UNICAMP.

Comandos Básicos Familiarização ao programa

Para realizar operações matemáticas básicas, tais como, adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação, basta digitar a operação a ser realizada, e apertar Shift+Enter:

→ Para somas, utiliza-se “+”

→ Para subtrações, utiliza-se “-”

→ Para multiplicações, utiliza-se “*”, ou “ “ ( espaço)

→ Para divisões, utiliza-se “/”

→ Para potenciações, utiliza-se Ctrl+6 para digitar o expoente, e Ctrl+Espaço para voltar à linha normal

→ Para radiciações, utiliza-se Ctrl+2 para abrir a raiz, e Ctrl+Espaço para fechar

Cabe ressaltar, que o programa preza pelo valor algébrico das expressões. Uma divisão irracional, por exemplo, fica apenas indicada, e para determinar seu valor numérico, é necessário digitar um comando, o que será explicado a seguir.

Para realizar a maioria das operações, é necessário que se digite um comando relacionado à tal operação. Existem inúmeros comandos no Mathematica e dominar esses comandos, praticamente significa dominar o programa. Como não existem traduções, todos eles são em inglês.A seguir estão expostos alguns comandos básicos, e posteriormente serão mostrados alguns mais específicos.

→ Para obter o valor numérico de expressões que resultariam em valores não inteiros, é preciso digitar N, e a expressão entre colchetes.

→ O comando “Solve”, resolve equações de qualquer grau, basta digitá-

la entre os colchetes e usar o sinal “=” duas vezes (“==”). Para funções de quarto grau, ou superiores, as raízes podem ser obtidas através dos comandos “Nroots[Polinômio1==Polinômio2,x]”, ou ainda “FindRoots[Polinômio1==Polinômio2,{x,ponto}]”. O comando Nroots, fornece o valor das raízes sem nenhuma referência, enquanto o FindRoots, precisa de algum ponto próximo, geralmente obtido graficamente.

→ O comando “Simplify”, simplifica qualquer tipo de expressão, desde frações, até equações.

Existem outras dezenas de comandos e funcionalidades que poderiam ser expostos, mas a intenção deste tópico é apenas familiarizar o novo usuário ao uso dos comandos do programa.

Uma maneira muito eficiente de familiarizar o usuário iniciante aos comandos básicos e a interface, é utilizar uma apresentação encontrada na janela que se abre com o programa, nomeada “Startup Pallete” e clicar em “First five minutes with Mathematica”.

Para digitar letras gregas, deve-se proceder da seguinte maneira: “Esc”+”Nome da letra em inglês”+”Esc”, por exemplo:

— Para digitar “π”: “Esc”+”pi”+”Esc”— Para digitar “θ”: “Esc”+”theta”+”Esc”

No Mathematica, o uso de caracteres restritivos como parênteses, chaves e colchetes é frequente, e se usados de forma incorreta, inviabilizam a operação, por isso é importante compreender como o programa os interpreta.

Os parênteses são utilizados apenas para indicar a ordem entre operações:

Os colchetes são utilizados em funções e comandos, para indicar o argumento:

As chaves podem indicar listas, limites de uma variável ou alguma outra restrição necessária a um determinado comando:

Teclas de Atalho

Ctrl+2: símbolo de raiz quadrada; Ctrl+6: entra um expoente, ou o intervalo final de integração; Ctrl+5: usado após o anterior, entra o intervalo inicial de integração; Ctrl+Space: sai de um expoente e permite a digitação em um nível abaixo;

Ctrl+/: faz uma barra fracionária TAB: muda de quadro para digitação.

Manipulações Gráficas

Entre as funcionalidades do Mathematica, está a possibilidade de construção de vários tipos de gráficos, em duas ou três dimensões, de figuras normais ou parametrizadas, dos mais simples aos mais complexos.

—Gráficos em 2DPara a construção de gráficos simples em 2D, o comando é o Plot :

“Plot[f[x], {xmín,xmáx}]”:

Analisando a disposição do gráfico, vemos que o eixo das coordenadas está em uma escala diferente do eixo das abscissas. Isso ocorre porque o programa ajusta as escalas para melhor visualização de trechos importantes como máximos e mínimos, ou pontos de inflexão. Na ausência de tais pontos, a proporção de um eixo em relação ao outro, é a relação de ouro, de 1,6180, a mesma relação entre os números da sequencia de Fibonacci. Para mudar essa proporção, e obter gráficos nos quais os eixos estão na mesma escala, deve-se adicionar um comando no fim da sintaxe, antes de fechar os colchetes, o “AspectRatio->1”. É possível, ainda, sobrepor duas funções no mesmo gráfico. Basta colocá-las entre chaves, separadas por uma vírgula. Vejamos um exemplo onde se utilizam as duas funcionalidades descritas acima:

“Plot[{f[x],g[x]},{x,xmín,xmáx},AspectRatio->1]”

— Há também a opção de construir gráficos parametrizados em coordenadas polares. Para tanto, deve-se digitar o comando ParametricPlot, com a seguinte sintaxe:

“ParametricPlot[{x[t],y[t]},{x,xmín,xmáx},{y,ymín,ymáx}]”

— Gráficos em 3D

A plotagem de gráficos em 3 dimensões é de extrema utilidade ao estudante do Cálculo 2, já que gráficos de funções de várias variáveis, assumem essa configuração.

—Para a construção de gráficos simples em 3D, o comando é o Plot3D, e sua sintaxe fica da seguinte maneira:

Plot3D[f[x,y],{x,xmín,xmáx},{y,ymín,ymáx}]

É possível mudar o ângulo de visão da figura criada clicando sobre ela e arrastando o mouse de maneira a deixá-la na posição desejada.

— Pode-se desenhar gráficos em 3D parametrizados, de maneira análoga ao que se fez em 2D. O comando agora é o ParametricPlot3D:

ParametricPlot3D[{x[t],y[t],z[t]},{t,tmín,tmáx}]

Um conceito importante no estudo do Cálculo 2, é o de conjuntos de nível, e o comando no Mathematica para traçá-los é ContourPlot:

ContourPlot[f[x,y],{x,xmín,xmáx},{y,ymín,ymáx}]

Derivadas

O cálculo de derivadas em funções de uma variável no Mathematica, é análogo ao de derivadas parciais em funções de duas ou mais variáveis, mas obviamente, só possui uma. Em ambos os casos é necessário indicar em relação a qual das variáveis será realizada a derivação. O comando é D:

D[expressão,variável de interesse]

Ou então, para calcular a derivada de uma expressão inteira, o comando é o Dt, e então será determinada a derivada total. Caso indique a variável de interesse, as outras serão derivadas implicitamente, e caso não se indique variável alguma, a derivação implícita será realizada em todas.

Dt[expressão]

O programa calcula também derivadas de segunda ordem, ou maior, sem que seja necessário repetir o procedimento, basta indicar, depois da expressão, a ordem da derivada a ser calculada:

D[expressão,{variável de interesse,ordem da derivada}]

Teste da segunda derivada

O teste da segunda derivada pode ser feito com o auxílio do Mathematica. Sendo Δ o valor do determinante da matriz Hessiana, devemos proceder da seguinte forma:

O símbolo de porcentagem “%”, é usado como referência à expressão anterior. O programa calcula a Hessiana em forma de vetor, para visualizar a forma matricial:

E então, calculamos o determinante:

Os pontos críticos são:

Como fxx no ponto crítico sempre é positivo, e o determinante da Hessiana( Δ) também, temos um ponto de mínimo no local em (0,0).

Integrais

Para calcular integrais, você pode proceder de duas formas, utilizando o comando “Integrate”, ou montando a integral a partir da barra de comandos rápidos, da seguinte forma: Clica-se em “Palletes”, na aba superior da janela do programa, e seleciona-se a opção “BasicMathInput”, que vai abrir uma lista de símbolos utilizados em matemática, basta então selecionar o adequado e montar sua integral. Exemplificaremos, primeiro, o método escrito, e o segundo método será exemplificado nas integrais múltiplas.

— Para integrais indefinidas, a sintaxe é:

“Integrate[expressão,variável]”

— Para integrais definidas, deve-se colocar entre chaves, a variável, e os limites superior e inferior:

“Integrate[expressão,{variável de interesse, lim mín, lim máx}]”

— O procedimento para calcular integrais múltiplas, é semelhante ao usado para integrais definidas, acrescentando a variação das outras variáveis entre chaves:

“Integrate[expressão,{variável1,lim mín,lim máx},{variável2,lim mín,lim máx}]”

— Entretanto, para integrais múltiplas é mais prático montar a integral através do recurso disponível no ícone “Palletes”, o “BasicMathInput”, já discutido acima. Deve-se selecionar o símbolo da integral definida, clicar no integrando, e selecionar novamente o símbolo da integral definida, e repetir o processo de acordo com o grau da integração.

Resolução de Exercícios

• Encontre o plano tangente ao paraboloide z = 2x² + y² no ponto (1,2) e trace os gráficos.

— Calculamos o ponto e as derivadas parciais:

— A equação do plano tangente é definida por z=f(a,b)+fx(a,b)(x-a)+fy(a,b)(b-y):

— Desenhamos os gráficos separadamente primeiro, e depois, os sobrepusemos, para verificar a tangência:

• Determine o volume V do sólido T delimitado pelos cilindros parabólicos z = x², z = 2x², y = x² e y = 8 – x².

— Primeiramente, para determinar os limites da integração em x, iguala-se as expressões para y:

— Desenha-se então o gráfico da região de integração, através do comando “Plot”

— Plota-se o gráfico tridimensional, com o comando “Plot3D”. O comando “RegionFunction” determina a região acima.

— Finalmente, calculamos a integral dupla:

Conclusão

O Mathematica é um software extremamente abrangente, e a intenção desse tutorial não é ensinar tudo aquilo que ele oferece, mas auxiliar um usuário novo nos primeiros contatos, e ajudá-lo a entender como o programa trabalha, para possibilitar um aprendizado contínuo, sempre buscando novos comandos para tornar mais prático e compreensível o estudo e a aplicação do Cálculo. ( Além, obviamente da intenção de conseguir uma boa nota.)

É importante ressaltar que ferramentas calculadoras são muito úteis e tornam as coisas mais rápidas e práticas, mas devemos tomar cuidado para que nós não tornemos reféns da tecnologia. Para isso basta estudar e compreender os processos matemáticos, e saber como podem ser aplicados.

Para aprender novos comandos, utilize o Help, é bastante útil!

Bibliografia

http://www.ime.unicamp.br/~marcio/ss2009/tut05/

C. H. Edwards, Jr. & David E. Penney, Cálculo com Geometria Analítica, vol. I e vol. II (capítulos 8 e 9), Prentice-Hall do Brasil Ltda., 1997. http://www.wolfram.com