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UNICAMP – Universidade Estadual de Campinas

Faculdade de Ciências Aplicadas

LE203 – Cálculo II

Professor: Márcio Antonio de Faria Rosa

Tutorial Wolfram Mathematica 6.0

Alessandra Soboll Reganati

RA: 093314

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Este trabalho tem como objetivo auxiliar estudantes, principalmente de

Calculo II, a compreender, desenvolver e lapidar os conceitos do conteúdo,

através da apresentação de alguns comandos do software e exemplos de sua

aplicação.

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Sumário 1. Sobre o mathematica Pág. 04

2. Informações básicas Pág. 05

3. Comandos básicos Pág. 06

4. Resolvendo equações, derivadas e integrais Pág. 07

• Comando: Solve Pág. 07 • Comando: Derivate Pág. 07 • Comando: Integrate Pág. 08

5. Representação gráfica em coordenadas retangulares Pág. 09

• Comando: Plot Pág. 10 • Comando: Plot3D Pág. 11 • Comando: RegionPlot Pág. 12 • Comando: RegionPlot3D Pág. 12 • Comando: RevolutionPlot3D Pág. 13

6. Representação gráfica de curvas de nível Pág. 14

• Comando: ContourPlot Pág. 14 • Comando: ContourPlot3D Pág. 15

7. Representação gráfica de funções em coordenadas polares Pág. 16

• Comando: ParametricPlot Pág. 16 • Comando: ParametricPlot3D Pág. 16 • Comando: PolarPlot Pág. 18 • Comando: Manipulate Pág. 18 • RevolutionPlot3D Pág. 20

8. Outros Comandos Pág. 21

• Comando: Show Pág. 21 • Comando: Minimize e Maximize Pág. 22

9. Options Pág. 23

• RegionFunction Pág. 24 • AspectRatio Pág. 25 • Contours Pág. 25

10.Exercícios do livro: Edwards e Penney Pág. 27

• 14.0 – Ex. 33 Pág. 27 • 15.5 – Ex. 33 Pág. 28 • 15.4 – Ex. 03 Pág. 29 • 15.6 – Ex. 39 Pág. 30

11. Referências Bibliográficas Pág. 32

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1. Sobre o Mathematica

O mathematica é um software idealizado para auxiliar estudantes e profissionais das áreas

de matemática, física, análise de dados, estatística e ciências em geral. O programa

possibilita construir gráficos, analisá-los, resolver equações, sistemas, integrais, derivadas,

construir curvas de nível, entre outras.

No caso do estudo das disciplinas de cálculo, é importante perceber quanto a utilização do

programa pode ajudar na compreensão do conteúdo, já que é possível calcular e visualizar

funções facilmente e assim, lapidar e desenvolver os conceitos da matéria.

A versão 6.0 foi utilizada para confecção deste estudo, desta forma, alguns comandos

podem possuir uma formatação diferente em outras versões do software.

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2. Informações básicas

Para o software executar o comando escrito digitar: Shift + Enter

Símbolos podem ser facilmente adicionados ao selecioná-los no Palettes na barra de

ferramentas.

A ferramenta Help do mathematica pode ser muito útil no estudo das funções pois contem

uma lista de todas as funções e opções do software, assim como um breve explicação de

sua aplicação e exemplos. Portanto, recomendo que o Help seja consultado, sempre que

houver qualquer dúvida existente em relação a construção dos comandos. A lista de funções

pode ser encontrada em: barra de ferramentas Help Find selected funcion Índex of

functions.

Além das funções listadas do Índex os Functions ainda existem algumas que podem ser

“carregadas” no programa. Para isso é preciso digitar: <<Graphics`nome pacote` ( ` = crase). Comandos como ImplicitPlot e PlotGradienteField precisam ser carregados.

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3. Comandos Básicos:

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4. Resolvendo equações, derivadas e integrais

A fim de facilitar a manipulação de uma determinada função, é possível definí-la:

f [ x_ , y_ ] : = função

Assim, para efetivar qualquer tipo de comando (solucionar equações, derivar, integrar,

utilizar ferramentas gráficas) que envolva a função determinada, basta digitar: f [x,y] no

lugar da função. Lembrando que sempre é preciso executar o comando (Shift + enter) para

que o software processe a informação fornecida.

4.1. Comando: Solve

Utilizado para solucionar equações e sistemas. O comando não possui limite de número de

equações ou de variáveis.

Solve [ equação , variável ] ou Solve [ { equação1 , equação2 , ... } , { variáveis } ]

4.2. Comando: Derivate

Utilizado para derivar funções. O comando pode ser escrito de duas formas:

• D [ função , variável ]

Para definir o valor da variável, adicionar: / . variável valor

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• f ‘ [variável] ou para definir o valor da variável: f ‘ [valor]

Lembrando que para utilizar esta modalidade do comando Derivate é preciso que a

função seja previamente definida ( consultar página 7)

4.3 Comando: Integrate

Utilizado para calcular integrais, sejam estas simples, duplas ou triplas. Existem duas

maneiras de calcular a integral:

• Utilizando o próprio símbolo da integral. Sabendo que:

⇒ O símbolo da integral ∫ = Esc + int + Esc

⇒ O símbolo da derivada = Esc + dd + Esc

⇒ Limite inferior = Ctrl + 5

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⇒ Limite Superior = Ctrl + 6

• Pelo comando Integrate

⇒ Integrate [f , x ] (integral de f em função de x) ⇒ Integrate [ f , { x , a , b } ] (integral de f em função de x, que está definido no intervalo

[a,b] ⇒ Integrate [ f , { x , a , b } , { y , c , d } ] (primeira integral de f em função de x, definido

no intervalo [a,b] e a segunda integral em função de y, definido no intervalo [c,d]

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5. Representação gráfica de uma função em coordenadas retangulares

5.1 Comando: Plot

Utilizado para representar funções que estejam na forma f(x) = y:

Para representar:

• 1 função

Plot [ f(x), { x,xmax,xmin } ]

• 2 ou mais funções

Plot [ { f(x),g(x),...} , {x ,xmax,xmin}]

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5.2 Comando: Plot3D

Utilizado para representar funções que estejam na forma f(x,y) = z

Para representar:

• 1 função

Plot3D [ f(x,y) , {x , xmin , xmax} , {y , ymin , ymax} ]

• 2 ou mais funções

Plot3D [ { f(x,y),g(x,y),...} , {x , xmin , xmax } , {y , ymin , ymax }

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5.3 Comando: RegionPlot

Utilizado para representar uma região definida entre dois vínculos da forma: h(x,y) = 0

RegionPlot [ h1(x,y) && h2(x,y) ... , {x , xmin , xmax } , { y , ymin , ymax } ]

Lembrando que para escrever o símbolo & é preciso digitar: Shift + 7

5.4 Comando: RegionPlot3D

Utilizado para representar uma região definida entre dois vínculos da forma: h(x,y,z) = 0

RegionPlot3D [ h1(x,y,z) && h2(x,y,z) ... , {x , xmin , xmax } , { y , ymin , ymax } , {z,zmin,zmax} ]

Lembrando que para escrever o símbolo & é preciso digitar: Shift + 7

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5.5 Comando: RevolutionPlot3D

Utilizado para gerar sólidos de revolução através da rotação de uma curva situada no plano

xz ao redor do eixo z. Esta curva pode ser escrita em coordenadas polares (aplicação na

página 20) e em coordenadas retangulares (abaixo).

RevolutionPlot3D [ z(x) , { x , xmin , xmax } ]

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6. Representação gráfica de curvas de nível

6.1 Comando: ContourPlot

Utilizado para representar as curvas de nível de uma função da forma f (x,y) = z

ContourPlot [ f(x,y) , { x , xmin , xmax } , { y , ymin , ymax } ]

Para adicionar valores nas curvas de nível consultar o comando Options na página 23.

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6.2 Comando: ContourPlot3D

Utilizado para representar as curvas de nível de uma função a forma f (x,y,z) = w

ContourPlot3D [ f(x,y,z) , { x , xmin , xmax } , { y , ymin , ymax } , { z , zmin , zmax } ]

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7. Representação gráfica de uma função em coordenadas polares

7.1 Comando: ParametricPlot

Utilizado para representar funções que estejam definidas na forma: f(r,θ) = [x (r,θ) , y(r,θ)]

ParametricPlot [ { x(r,θ) , y(r,θ) } , {r,rmin,rmax} , {θ ,θmin,θmax} ]

7.2 Comando: ParametricPlot3D

Utilizado para representar funções que estejam definidas na forma:

f(r,θ) = [ x (r,θ) , y (r,θ) , z (r, θ) ]

• 1 função

ParametricPlot3D [ { x(r,θ) , y(r,θ) , z(r, θ) } , {r ,rmin,rmax} , {θ ,θmin,θmax} ]

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• 2 ou mais funções

ParametricPlot3D [ { x1(r,θ) , y1(r,θ) , z1(r, θ) , x2(r,θ) , y2(r,θ) , z2(r, θ) } , {r

,rmin,rmax} , {θ ,θmin,θmax} ]

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7.3 Comando: PolarPlot

Utilizada para representar funções em coordenadas polares, sendo que o r é dado em

função de θ. Alguns exemplos de funções deste tipo são: rosáceas, cardióides e espiral de

Arquimedes.

PolarPlot [ r (θ) , {θ , 0 , 2π} ]

7.4 Comando: Manipulate

Comando utilizado para construir curvas que sejam difíceis de serem visualizadas. Muito

utilizado para gráficos em que o raio vario de acordo com o ângulo ou que a posição varie

com o tempo, já que o comando representa a trajetória de um carrinho hipotético que está se

deslocando em cima da curva do gráfico.

O comando pode ser utilizado em conjunto com várias funções do mathematica.

• Manipulate + PolarPlot

Manipulate [ PolarPlot [ r (θ) , { θ , 0 , λ } ] , { λ , θmin , θmax } ]

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• Manipulate + ParametricPlot

Manipulate [ ParametricPlot [ { x(θ) , y(θ) } , { θ , 0 , λ } ] , { λ , θmin , θmax } ]

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7.5 Comando: RevolutionPlot3D

Utilizado para gerar um sólido de revolução através da rotação de uma curva situada no

plano xz ao redor do eixo z. Esta curva pode ser escrita em coordenadas retangulares

(aplicação na página 13) e em coordenadas polares (abaixo).

RevolutionPlot3D [ { x(θ) , z(θ) } , { θ , θmin , θmax } ]

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8. Outros comandos

8.1 Comando: Show

Comando utilizado para que duas ou mais funções distintas possam ser visualizadas no

mesmo eixo de coordenadas.

Primeiramente é preciso que uma letra grega (Esc + nome da letra + Esc) seja adicionada

no começo de cada comando. Lembrando que após a adição da letra é necessário executar

o comando (shift + enter).

Em seguida, digitar o comando show:

Show [ α , β ]

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8.2 Comandos: Minimize e Maximize

Utilizados para calcular os valores máximos e mínimos locais de uma determinada função,

não sendo necessário calculá-los por derivada nem realizar o teste da segunda derivada.

Minimize [ f(x) , x ]

Maximize [ f(x) , x]

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9. Options: possíveis alterações nas funções

No mathematica é possível realizar algumas alterações nos comandos, como a cor dos

gráficos, número de curvas de nível, proporcionalidade dos gráficos, limitar as variáveis, etc.

Para visualizar as opções de cada função, digitar:

Options [ comando ]

Para atribuir ao comando a opção desejada, acionar uma vírgula, a opção e somente depois

fechar os colchetes da função. Algumas delas são:

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9.1 RegionFunction

Para plotar funções estejam especificadas em uma região determinada h(x,y,z) = 0

RegionFunction Function [ { x,y,z } , h(x,y,z) ]

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9.2 AspectRatio

Utilizado para atribuir ao gráfico a proporcionalidade desejada.

AspectRatioProporção desejada

Algumas funções, quando executadas, não tem possuem uma aparência proporcional. Para

melhorar seu aspecto utilizar o comando na forma: AspectRatioAutomatic

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9.3 Contours

Utilizado no comando ContourPlot e ContourPlot3D e tem como função determinar a

quantidade de curvas de nível da função

Contoursquantidade desejada

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10. Resolução de exercícios do livro: Edwards and Penney

14.9 – Ex. 33

Maximize a área (A = ½ x y) do triângulo de perímetro fixo = a, sujeito aos vínculos:

x + y + z = a e x2 + y2 = z2

Para resolver o exercício foi utilizado o método de Lagrange para 2 vínculos.

Assim, podemos concluir que x = y

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15.3 – Ex. 33

Determine o volume do sólido delimitado pelo plano xy e pelo parabolóide z = 25 –x2 –y2.

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15.4 – Ex. 03

Ache a área, por integral dupla em coordenadas polares do cardióide r = 1 + Cos (θ)

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15.6 – Ex. 39

Ache o centróide da região do primeiro octante interior aos dois cilindros x2 + y2 = 1 e

y2 +z2 = 1.

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11. Referências Bibliográficas

• Wolfram Research. Disponível em <http://reference.wolfram.com/mathematica>.

Acesso em: 12/11/09 a 26/11/09.

• Tutorial mathematica Filipe. Disponível em <

http://www.ime.unicamp.br/~marcio/tut2005/mathematica/043576Filipe.pdf>. Acesso

em: 12/11/09 a 26/11/09.

• Tutorial mathematica Thiago. Disponível em

<http://www.ime.unicamp.br/~marcio/tut2005/mathematica/046739Thiago.pdf> .

Acesso em: 12/11/09 a 26/11/09.

• Tutorial mathematica Nathalia. Disponível em

<http://www.ime.unicamp.br/~marcio/tut2005/mathematica/045543Nathalia.pdf> .

Acesso em: 12/11/09 a 26/11/09.

• Edwards, C. H. e Penney, David E. Volume 3. 4ª edição. Cálculo com Geometria

Analítica.