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UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS INDUSTRIALES

Trabajo Fin de Máster

“CARACTERIZACIÓN DE UN ROBOT PARA

APLICACIONES DE MECANIZADO CON

REQUERIMIENTOS DE TOLERANCIAS”

Autor: Eugenio Ferreras Higuero

Tutor: Javier García de Jalón

Junio 2014

Máster de especialización de Ingeniería Mecánica

A Zhenia, por lo que me da. A mis hijos, Rodrigo y Ludwig, por lo que me darán. A mis Padres, Mely y Eugenio, por lo que me dieron.

"... no hay gloria más ilustre para el varón en esta vida, que la de campear por las obras de sus pies

o de sus manos." Odisea. Canto VIII

Caracterización de un robot para aplicaciones de mecanizado con requerimientos de tolerancias

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Resumen

El presente Trabajo fin Fin de Máster, versa sobre una caracterización preliminar del

comportamiento de un robot de tipo industrial, configurado por 4 eslabones y 4 grados de libertad,

y sometido a fuerzas de mecanizado en su extremo.

El entorno de trabajo planteado es el de plantas de fabricación de piezas de aleaciones de aluminio

para automoción. Este tipo de componentes parte de un primer proceso de fundición que saca la

pieza en bruto. Para series medias y altas, en función de las propiedades mecánicas y plásticas

requeridas y los costes de producción, la inyección a alta presión (HPDC) y la fundición a baja

presión (LPC) son las dos tecnologías más usadas en esta primera fase.

Para inyección a alta presión, las aleaciones de aluminio más empleadas son, en designación

simbólica según norma EN 1706 (entre paréntesis su designación numérica); EN AC AlSi9Cu3(Fe)

(EN AC 46000) , EN AC AlSi9Cu3(Fe)(Zn) (EN AC 46500), y EN AC AlSi12Cu1(Fe) (EN AC 47100). Para

baja presión, EN AC AlSi7Mg0,3 (EN AC 42100). En los 3 primeros casos, los límites de Silicio

permitidos pueden superan el 10%. En el cuarto caso, es inferior al 10% por lo que, a los efectos de

ser sometidas a mecanizados, las piezas fabricadas en aleaciones con Si superior al 10%, se puede

considerar que son equivalentes, diferenciándolas de la cuarta.

Las tolerancias geométricas y dimensionales conseguibles directamente de fundición, recogidas en

normas como ISO 8062 o DIN 1688‐1, establecen límites para este proceso. Fuera de esos límites,

las garantías en conseguir producciones con los objetivos de ppms aceptados en la actualidad por el

mercado, obligan a ir a fases posteriores de mecanizado.

Aquellas geometrías que, funcionalmente, necesitan disponer de unas tolerancias geométricas y/o

dimensionales definidas acorde a ISO 1101, y no capaces por este proceso inicial de moldeado a

presión, deben ser procesadas en una fase posterior en células de mecanizado. En este caso, las

tolerancias alcanzables para procesos de arranque de viruta se recogen en normas como ISO 2768.

Las células de mecanizado se componen, por lo general, de varios centros de control numérico

interrelacionados y comunicados entre sí por robots que manipulan las piezas en proceso de uno a

otro. Dichos robots, disponen en su extremo de una pinza utillada para poder coger y soltar las

piezas en los útiles de mecanizado, las mesas de intercambio para cambiar la pieza de posición o en

utillajes de equipos de medición y prueba, o en cintas de entrada o salida. La repetibilidad es alta,

de centésimas incluso, definida según norma ISO 9283. El problema es que, estos rangos de

repetibilidad sólo se garantizan si no se hacen esfuerzos o éstos son despreciables (caso de mover

piezas). Aunque las inercias de mover piezas a altas velocidades hacen que la trayectoria intermedia

tenga poca precisión, al inicio y al final (al coger y dejar pieza, p.e.) se hacen a velocidades


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relativamente bajas que hacen que el efecto de las fuerzas de inercia sean menores y que permiten

garantizar la repetibilidad anteriormente indicada.

No ocurre así si se quitara la garra y se intercambia con un cabezal motorizado con una herramienta

como broca, mandrino, plato de cuchillas, fresas frontales o tangenciales… Las fuerzas ejercidas de

mecanizado generarían unos pares en las uniones tan grandes y tan variables que el control del

robot no sería capaz de responder (o no está preparado, en un principio) y generaría una desviación

en la trayectoria, realizada a baja velocidad, que desencadenaría en un error de posición (ver

norma ISO 5458) no asumible para la funcionalidad deseada. Se podría llegar al caso de que la

tolerancia alcanzada por un pretendido proceso más exacto diera una dimensión peor que la que

daría el proceso de fundición, en principio con mayor variabilidad dimensional en proceso (y por

ende con mayor intervalo de tolerancia garantizable).

De hecho, en los CNCs, la precisión es muy elevada, (pudiéndose despreciar en la mayoría de los

casos) y no es la responsable de, por ejemplo la tolerancia de posición al taladrar un agujero.

Factores como, temperatura de la sala y de la pieza, calidad constructiva de los utillajes y rigidez en

el amarre, error en el giro de mesas y de colocación de pieza, si lleva agujeros previos o no, si la

herramienta está bien equilibrada y el cono es el adecuado para el tipo de mecanizado… influyen

más.

Es interesante que, un elemento no específico tan común en una planta industrial, en el entorno

anteriormente descrito, como es un robot, el cual no sería necesario añadir por disponer de él ya (y

por lo tanto la inversión sería muy pequeña), puede mejorar la cadena de valor disminuyendo el

costo de fabricación. Y si se pudiera conjugar que ese robot destinado a tareas de manipulación, en

los muchos tiempos de espera que va a disfrutar mientras el CNC arranca viruta, pudiese coger un

cabezal y apoyar ese mecanizado; sería doblemente interesante.

Por lo tanto, se antoja sugestivo poder conocer su comportamiento e intentar explicar qué sería

necesario para llevar esto a cabo, motivo de este trabajo.

La arquitectura de robot seleccionada es de tipo SCARA. La búsqueda de un robot cómodo de

modelar y de analizar cinemática y dinámicamente, sin limitaciones relevantes en la

multifuncionalidad de trabajos solicitados, ha llevado a esta elección, frente a otras arquitecturas

como por ejemplo los robots antropomórficos de 6 grados de libertad, muy populares a nivel

industrial.

Este robot dispone de 3 uniones, de las cuales 2 son de tipo par de revolución (1 grado de libertad

cada una) y la tercera es de tipo corredera o par cilíndrico (2 grados de libertad). La primera unión,

de tipo par de revolución, sirve para unir el suelo (considerado como eslabón número 1) con el

eslabón número 2. La segunda unión, también de ese tipo, une el eslabón número 2 con el eslabón


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número 3. Estos 2 brazos, pueden describir un movimiento horizontal, en el plano X‐Y. El tercer

eslabón, está unido al eslabón número 4 por la unión de tipo corredera. El movimiento que puede

describir es paralelo al eje Z. El robot es de 4 grados de libertad (4 motores).

En relación a los posibles trabajos que puede realizar este tipo de robot, su versatilidad abarca

tanto operaciones típicas de manipulación como operaciones de arranque de viruta.

Uno de los mecanizados más usuales es el taladrado, por lo cual se elige éste para su modelización

y análisis. Dentro del taladrado se elegirá para acotar las fuerzas, taladrado en macizo con broca de

diámetro 9 mm.

El robot se ha considerado por el momento que tenga comportamiento de sólido rígido, por ser el

mayor efecto esperado el de los pares en las uniones.

Para modelar el robot se utiliza el método de los sistemas multicuerpos. Dentro de este método

existen diversos tipos de formulaciones (p.e. Denavit‐Hartenberg). D‐H genera una cantidad muy

grande de ecuaciones e incógnitas. Esas incógnitas son de difícil comprensión y, para cada posición,

hay que detenerse a pensar qué significado tienen.

Se ha optado por la formulación de coordenadas naturales. Este sistema utiliza puntos y vectores

unitarios para definir la posición de los distintos cuerpos, y permite compartir, cuando es posible y

se quiere, para definir los pares cinemáticos y reducir al mismo tiempo el número de variables. Las

incógnitas son intuitivas, las ecuaciones de restricción muy sencillas y se reduce considerablemente

el número de ecuaciones e incógnitas.

Sin embargo, las coordenadas naturales “puras” tienen 2 problemas. El primero, que 2 elementos

con un ángulo de 0 o 180 grados, dan lugar a puntos singulares que pueden crear problemas en las

ecuaciones de restricción y por lo tanto han de evitarse. El segundo, que tampoco inciden

directamente sobre la definición o el origen de los movimientos.

Por lo tanto, es muy conveniente complementar esta formulación con ángulos y distancias

(coordenadas relativas). Esto da lugar a las coordenadas naturales mixtas, que es la formulación

final elegida para este TFM.

Las coordenadas naturales mixtas no tienen el problema de los puntos singulares. Y la ventaja más

importante reside en su utilidad a la hora de aplicar fuerzas motrices, momentos o evaluar errores.

Al incidir sobre la incógnita origen (ángulos o distancias) controla los motores de manera directa.

El algoritmo, la simulación y la obtención de resultados se ha programado mediante Matlab.

Para realizar el modelo en coordenadas naturales mixtas, es preciso modelar en 2 pasos el robot a

estudio. El primer modelo se basa en coordenadas naturales. Para su validación, se plantea una


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trayectoria definida y se analiza cinemáticamente si el robot satisface el movimiento solicitado,

manteniendo su integridad como sistema multicuerpo.

Se cuantifican los puntos (en este caso inicial y final) que configuran el robot. Al tratarse de sólidos

rígidos, cada eslabón queda definido por sus respectivos puntos inicial y final (que son los más

interesantes para la cinemática y la dinámica) y por un vector unitario no colineal a esos 2 puntos.

Los vectores unitarios se colocan en los lugares en los que se tenga un eje de rotación o cuando se

desee obtener información de un ángulo. No son necesarios vectores unitarios para medir

distancias. Tampoco tienen por qué coincidir los grados de libertad con el número de vectores

unitarios.

Las longitudes de cada eslabón quedan definidas como constantes geométricas. Se establecen las

restricciones que definen la naturaleza del robot y las relaciones entre los diferentes elementos y su

entorno.

La trayectoria se genera por una nube de puntos continua, definidos en coordenadas

independientes.

Cada conjunto de coordenadas independientes define, en un instante concreto, una posición y

postura de robot determinada. Para conocerla, es necesario saber qué coordenadas dependientes

hay en ese instante, y se obtienen resolviendo por el método de Newton‐Rhapson las ecuaciones

de restricción en función de las coordenadas independientes. El motivo de hacerlo así es porque las

coordenadas dependientes deben satisfacer las restricciones, cosa que no ocurre con las

coordenadas independientes.

Cuando la validez del modelo se ha probado (primera validación), se pasa al modelo 2.

El modelo número 2, incorpora a las coordenadas naturales del modelo número 1, las coordenadas

relativas en forma de ángulos en los pares de revolución (3 ángulos; ϕ1, ϕ 2 y ϕ3) y distancias en

los pares prismáticos (1 distancia; s). Estas coordenadas relativas pasan a ser las nuevas

coordenadas independientes (sustituyendo a las coordenadas independientes cartesianas del

modelo primero, que eran coordenadas naturales).

Es necesario revisar si el sistema de vectores unitarios del modelo 1 es suficiente o no. Para este

caso concreto, se han necesitado añadir 1 vector unitario adicional con objeto de que los ángulos

queden perfectamente determinados con las correspondientes ecuaciones de producto escalar y/o

vectorial.

Las restricciones habrán de ser incrementadas en, al menos, 4 ecuaciones; una por cada nueva

incógnita.


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La validación del modelo número 2, tiene 2 fases. La primera, al igual que se hizo en el modelo

número 1, a través del análisis cinemático del comportamiento con una trayectoria definida.

Podrían obtenerse del modelo 2 en este análisis, velocidades y aceleraciones, pero no son

necesarios. Tan sólo interesan los movimientos o desplazamientos finitos.

Comprobada la coherencia de movimientos (segunda validación), se pasa a analizar

cinemáticamente el comportamiento con trayectorias interpoladas.

El análisis cinemático con trayectorias interpoladas, trabaja con un número mínimo de 3 puntos

máster. En este caso se han elegido 3; punto inicial, punto intermedio y punto final. El número de

interpolaciones con el que se actúa es de 50 interpolaciones en cada tramo (cada 2 puntos máster

hay un tramo), resultando un total de 100 interpolaciones.

El método de interpolación utilizado es el de splines cúbicas con condición de aceleración inicial y

final constantes, que genera las coordenadas independientes de los puntos interpolados de cada

tramo. Las coordenadas dependientes se obtienen resolviendo las ecuaciones de restricción no

lineales con el método de Newton‐Rhapson.

El método de las splines cúbicas es muy continuo, por lo que si se desea modelar una trayectoria en

el que haya al menos 2 movimientos claramente diferenciados, es preciso hacerlo en 2 tramos y

unirlos posteriormente. Sería el caso en el que alguno de los motores se desee expresamente que

esté parado durante el primer movimiento y otro distinto lo esté durante el segundo movimiento (y

así sucesivamente).

Obtenido el movimiento, se calculan, también mediante fórmulas de diferenciación numérica, las

velocidades y aceleraciones independientes. El proceso es análogo al anteriormente explicado,

recordando la condición impuesta de que la aceleración en el instante t= 0 y en instante t= final, se

ha tomado como 0. Las velocidades y aceleraciones dependientes se calculan resolviendo las

correspondientes derivadas de las ecuaciones de restricción.

Se comprueba, de nuevo, en una tercera validación del modelo, la coherencia del movimiento

interpolado.

La dinámica inversa calcula, para un movimiento definido ‐conocidas la posición, velocidad y la

aceleración en cada instante de tiempo‐, y conocidas las fuerzas externas que actúan (por ejemplo

el peso); qué fuerzas hay que aplicar en los motores (donde hay control) para que se obtenga el

citado movimiento. En la dinámica inversa, cada instante del tiempo es independiente de los demás

y tiene una posición, una velocidad y una aceleración y unas fuerzas conocidas.

En este caso concreto, se desean aplicar, de momento, sólo las fuerzas debidas al peso, aunque se

podrían haber incorporado fuerzas de otra naturaleza si se hubiese deseado.


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Las posiciones, velocidades y aceleraciones, proceden del cálculo cinemático. El efecto inercial de

las fuerzas tenidas en cuenta (el peso) es calculado. Como resultado final del análisis dinámico

inverso, se obtienen los pares que han de ejercer los cuatro motores para replicar el movimiento

prescrito con las fuerzas que estaban actuando.

La cuarta validación del modelo consiste en confirmar que el movimiento obtenido por aplicar los

pares obtenidos en la dinámica inversa, coinciden con el obtenido en el análisis cinemático

(movimiento teórico). Para ello, es necesario acudir a la dinámica directa.

La dinámica directa se encarga de calcular el movimiento del robot, resultante de aplicar unos

pares en motores y unas fuerzas en el robot.

Por lo tanto, el movimiento real resultante, al no haber cambiado ninguna condición de las

obtenidas en la dinámica inversa (pares de motor y fuerzas inerciales debidas al peso de los

eslabones) ha de ser el mismo al movimiento teórico. Siendo así, se considera que el robot está

listo para trabajar.

Si se introduce una fuerza exterior de mecanizado no contemplada en la dinámica inversa y se

asigna en los motores los mismos pares resultantes de la resolución del problema dinámico inverso,

el movimiento real obtenido no es igual al movimiento teórico.

El control de lazo cerrado se basa en ir comparando el movimiento real con el deseado e introducir

las correcciones necesarias para minimizar o anular las diferencias.

Se aplican ganancias en forma de correcciones en posición y/o velocidad para eliminar esas

diferencias. Se evalúa el error de posición como la diferencia, en cada punto, entre el movimiento

teórico deseado en el análisis cinemático y el movimiento real obtenido para cada fuerza de

mecanizado y una ganancia concreta.

Finalmente, se mapea el error de posición obtenido para cada fuerza de mecanizado y las

diferentes ganancias previstas, graficando la mejor precisión que puede dar el robot para cada

operación que se le requiere, y en qué condiciones.

Palabras clave: robot de mecanizado, error de posición, tolerancia, aleaciones de aluminio,

automoción, multicuerpo.


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Abstract

This Master´s Thesis deals with a preliminary characterization of the behaviour for an industrial

robot, configured with 4 elements and 4 degrees of freedoms, and subjected to machining forces

at its end.

Proposed working conditions are those typical from manufacturing plants with aluminium alloys for

automotive industry. This type of components comes from a first casting process that produces

rough parts. For medium and high volumes, high pressure die casting (HPDC) and low pressure die

casting (LPC) are the most used technologies in this first phase.

For high pressure die casting processes, most used aluminium alloys are, in simbolic designation

according EN 1706 standard (between brackets, its numerical designation); EN AC AlSi9Cu3(Fe) (EN

AC 46000) , EN AC AlSi9Cu3(Fe)(Zn) (EN AC 46500), y EN AC AlSi12Cu1(Fe) (EN AC 47100). For low

pressure, EN AC AlSi7Mg0,3 (EN AC 42100). For the 3 first alloys, Si allowed limits can exceed 10%

content. Fourth alloy has admisible limits under 10% Si. That means, from the point of view of

machining, that components made of alloys with Si content above 10% can be considered as

equivalent, and the fourth one must be studied separately.

Geometrical and dimensional tolerances directly achievables from casting, gathered in standards

such as ISO 8062 or DIN 1688‐1, establish a limit for this process. Out from those limits, guarantees

to achieve batches with objetive ppms currently accepted by market, force to go to subsequent

machining process.

Those geometries that functionally require a geometrical and/or dimensional tolerance defined

according ISO 1101, not capable with initial moulding process, must be obtained afterwards in a

machining phase with machining cells. In this case, tolerances achievables with cutting processes

are gathered in standards such as ISO 2768.

In general terms, machining cells contain several CNCs that they are interrelated and connected by

robots that handle parts in process among them. Those robots have at their end a gripper in order

to take/remove parts in machining fixtures, in interchange tables to modify position of part, in

measurement and control tooling devices, or in entrance/exit conveyors. Repeatibility for robot is

tight, even few hundredths of mm, defined according ISO 9283. Problem is like this; those

repeatibilty ranks are only guaranteed when there are no stresses or they are not significant (f.e.

due to only movement of parts). Although inertias due to moving parts at a high speed make that

intermediate paths have little accuracy, at the beginning and at the end of trajectories (f.e, when

picking part or leaving it) movement is made with very slow speeds that make lower the effect of

inertias forces and allow to achieve repeatibility before mentioned.


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It does not happens the same if gripper is removed and it is exchanged by an spindle with a

machining tool such as a drilling tool, a pcd boring tool, a face or a tangential milling cutter… Forces

due to machining would create such big and variable torques in joints that control from the robot

would not be able to react (or it is not prepared in principle) and would produce a deviation in

working trajectory, made at a low speed, that would trigger a position error (see ISO 5458

standard) not assumable for requested function. Then it could be possible that tolerance achieved

by a more exact expected process would turn out into a worst dimension than the one that could

be achieved with casting process, in principle with a larger dimensional variability in process (and

hence with a larger tolerance range reachable).

As a matter of fact, accuracy is very tight in CNC, (its influence can be ignored in most cases) and it

is not the responsible of, for example position tolerance when drilling a hole. Factors as, room and

part temperature, manufacturing quality of machining fixtures, stiffness at clamping system,

rotating error in 4th axis and part positioning error, if there are previous holes, if machining tool is

properly balanced, if shank is suitable for that machining type… have more influence.

It is interesting to know that, a non specific element as common, at a manufacturing plant in the

enviroment above described, as a robot (not needed to be added, therefore with an additional

minimum investment), can improve value chain decreasing manufacturing costs. And when it would

be possible to combine that the robot dedicated to handling works could support CNCs´ works in its

many waiting time while CNCs cut, and could take an spindle and help to cut; it would be double

interesting.

So according to all this, it would be interesting to be able to know its behaviour and try to explain

what would be necessary to make this possible, reason of this work.

Selected robot architecture is SCARA type. The search for a robot easy to be modeled and

kinematically and dinamically analyzed, without significant limits in the multifunctionality of

requested operations, has lead to this choice. Due to that, other very popular architectures in the

industry, f.e. 6 DOFs anthropomorphic robots, have been discarded.

This robot has 3 joints, 2 of them are revolute joints (1 DOF each one) and the third one is a

cylindrical joint (2 DOFs). The first joint, a revolute one, is used to join floor (body 1) with body 2.

The second one, a revolute joint too, joins body 2 with body 3. These 2 bodies can move

horizontally in X‐Y plane. Body 3 is linked to body 4 with a cylindrical joint. Movement that can be

made is paralell to Z axis. The robt has 4 degrees of freedom (4 motors).

Regarding potential works that this type of robot can make, its versatility covers either typical

handling operations or cutting operations.


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One of the most common machinings is to drill. That is the reason why it has been chosen for the

model and analysis. Within drilling, in order to enclose spectrum force, a typical solid drilling with 9

mm diameter.

The robot is considered, at the moment, to have a behaviour as rigid body, as biggest expected

influence is the one due to torques at joints.

In order to modelize robot, it is used multibodies system method. There are under this heading

different sorts of formulations (f.e. Denavit‐Hartenberg). D‐H creates a great amount of equations

and unknown quantities. Those unknown quatities are of a difficult understanding and, for each

position, one must stop to think about which meaning they have.

The choice made is therefore one of formulation in natural coordinates. This system uses points

and unit vectors to define position of each different elements, and allow to share, when it is

possible and wished, to define kinematic torques and reduce number of variables at the same time.

Unknown quantities are intuitive, constrain equations are easy and number of equations and

variables are strongly reduced.

However, “pure” natural coordinates suffer 2 problems. The first one is that 2 elements with an

angle of 0° or 180°, give rise to singular positions that can create problems in constrain equations

and therefore they must be avoided. The second problem is that they do not work directly over the

definition or the origin of movements.

Given that, it is highly recommended to complement this formulation with angles and distances

(relative coordinates). This leads to mixed natural coordinates, and they are the final formulation

chosen for this MTh.

Mixed natural coordinates have not the problem of singular positions. And the most important

advantage lies in their usefulness when applying driving forces, torques or evaluating errors. As

they influence directly over origin variable (angles or distances), they control motors directly.

The algorithm, simulation and obtaining of results has been programmed with Matlab.

To design the model in mixed natural coordinates, it is necessary to model the robot to be studied

in 2 steps. The first model is based in natural coordinates. To validate it, it is raised a defined

trajectory and it is kinematically analyzed if robot fulfils requested movement, keeping its integrity

as multibody system.

The points (in this case starting and ending points) that configure the robot are quantified. As the

elements are considered as rigid bodies, each of them is defined by its respectively starting and

ending point (those points are the most interesting ones from the point of view of kinematics and

dynamics) and by a non‐colinear unit vector to those points. Unit vectors are placed where there is


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a rotating axis or when it is needed information of an angle. Unit vectors are not needed to

measure distances. Neither DOFs must coincide with the number of unit vectors.

Lengths of each arm are defined as geometrical constants. The constrains that define the nature of

the robot and relationships among different elements and its enviroment are set.

Path is generated by a cloud of continuous points, defined in independent coordinates.

Each group of independent coordinates define, in an specific instant, a defined position and posture

for the robot. In order to know it, it is needed to know which dependent coordinates there are in

that instant, and they are obtained solving the constraint equations with Newton‐Rhapson method

according to independent coordinates. The reason to make it like this is because dependent

coordinates must meet constraints, and this is not the case with independent coordinates.

When suitability of model is checked (first approval), it is given next step to model 2.

Model 2 adds to natural coordinates from model 1, the relative coordinates in the shape of angles

in revoluting torques (3 angles; ϕ1, ϕ 2 and ϕ3) and distances in prismatic torques (1 distance; s).

These relative coordinates become the new independent coordinates (replacing to cartesian

independent coordinates from model 1, that they were natural coordinates).

It is needed to review if unit vector system from model 1 is enough or not . For this specific case, it

was necessary to add 1 additional unit vector to define perfectly angles with their related equations

of dot and/or cross product.

Constrains must be increased in, at least, 4 equations; one per each new variable.

The approval of model 2 has two phases. The first one, same as made with model 1, through

kinematic analysis of behaviour with a defined path. During this analysis, it could be obtained from

model 2, velocities and accelerations, but they are not needed. They are only interesting

movements and finite displacements.

Once that the consistence of movements has been checked (second approval), it comes when the

behaviour with interpolated trajectories must be kinematically analyzed.

Kinematic analysis with interpolated trajectories work with a minimum number of 3 master points.

In this case, 3 points have been chosen; starting point, middle point and ending point. The number

of interpolations has been of 50 ones in each strecht (each 2 master points there is an strecht),

turning into a total of 100 interpolations.

The interpolation method used is the cubic splines one with condition of constant acceleration both

at the starting and at the ending point. This method creates the independent coordinates of


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interpolated points of each strecht. The dependent coordinates are achieved solving the non‐linear

constrain equations with Newton‐Rhapson method.

The method of cubic splines is very continuous, therefore when it is needed to design a trajectory in

which there are at least 2 movements clearly differents, it is required to make it in 2 steps and join

them later. That would be the case when any of the motors would keep stopped during the first

movement, and another different motor would remain stopped during the second movement (and

so on).

Once that movement is obtained, they are calculated, also with numerical differenciation formulas,

the independent velocities and accelerations. This process is analogous to the one before

explained, reminding condition that acceleration when t=0 and t=end are 0. Dependent velocities

and accelerations are calculated solving related derivatives of constrain equations.

In a third approval of the model it is checked, again, consistence of interpolated movement.

Inverse dynamics calculates, for a defined movement –knowing position, velocity and acceleration

in each instant of time‐, and knowing external forces that act (f.e. weights); which forces must be

applied in motors (where there is control) in order to obtain requested movement. In inverse

dynamics, each instant of time is independent of the others and it has a position, a velocity, an

acceleration and known forces.

In this specific case, it is intended to apply, at the moment, only forces due to the weight, though

forces of another nature could have been added if it would have been preferred.

The positions, velocities and accelerations, come from kinematic calculation. The inertial effect of

forces taken into account (weight) is calculated. As final result of the inverse dynamic analysis, the

are obtained torques that the 4 motors must apply to repeat requested movement with the forces

that were acting.

The fourth approval of the model consists on confirming that the achieved movement due to the

use of the torques obtained in the inverse dynamics, are in accordance with movements from

kinematic analysis (theoretical movement). For this, it is necessary to work with direct dynamics.

Direct dynamic is in charge of calculating the movements of robot that results from applying

torques at motors and forces at the robot.

Therefore, the resultant real movement, as there was no change in any condition of the ones

obtained at the inverse dynamics (motor torques and inertial forces due to weight of elements)

must be the same than theoretical movement. When these results are achieved, it is considered

that robot is ready to work.


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When a machining external force is introduced and it was not taken into account before during the

inverse dynamics, and torques at motors considered are the ones of the inverse dynamics, the real

movement obtained is not the same than the theoretical movement.

Closed loop control is based on comparing real movement with expected movement and

introducing required corrrections to minimize or cancel differences.

They are applied gains in the way of corrections for position and/or tolerance to remove those

differences. Position error is evaluated as the difference, in each point, between theoretical

movemment (calculated in the kinematic analysis) and the real movement achieved for each

machining force and for an specific gain.

Finally, the position error obtained for each machining force and gains are mapped, giving a chart

with the best accuracy that the robot can give for each operation that has been requested and

which conditions must be provided.

Keywords: machining robot, positioning error, tolerance, aluminium alloys, automotive,

multibodies.


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Índice

1 INTRODUCCIÓN .............................................................................................................................................. 20

1.1 OBJETIVO ................................................................................................................................................................. 22

1.2 ESTADO DEL ARTE ...................................................................................................................................................... 22

2 METODOLOGÍA ............................................................................................................................................... 24

2.1 ROBOTS VALORADOS .................................................................................................................................................. 24

2.1.1 Robot R1 ...................................................................................................................................................... 24

2.1.2 Robot R2 ...................................................................................................................................................... 26

2.1.3 Robot R3. Robot seleccionado ..................................................................................................................... 27

2.2 MODELADO Y ANÁLISIS ............................................................................................................................................... 29

2.2.1 Modelos elegidos ........................................................................................................................................ 30

2.2.2 Puntos y vectores unitarios ......................................................................................................................... 32

2.2.3 Longitudes, distancias y ángulos ................................................................................................................. 33

2.2.4 Grados de libertad....................................................................................................................................... 34

2.2.5 Coordenadas dependientes e independientes ............................................................................................ 34

2.2.6 Ecuaciones de restricción ............................................................................................................................ 35

2.2.7 Análisis cinemático ...................................................................................................................................... 36 2.2.7.1 Movimientos ....................................................................................................................................................... 37 2.2.7.2 Velocidades y aceleraciones ............................................................................................................................... 42

2.2.8 Análisis dinámico ........................................................................................................................................ 43 2.2.8.1 Análisis dinámico inverso .................................................................................................................................... 43 2.2.8.2 Análisis dinámico directo .................................................................................................................................... 44 2.2.8.3 Fuerza de mecanizado ........................................................................................................................................ 45 2.2.8.4 Control de lazo cerrado ...................................................................................................................................... 47

3 MODELO M1 EN COORDENADAS NATURALES ................................................................................................. 48

3.1 DEFINICIÓN DE LA GEOMETRÍA ..................................................................................................................................... 50

3.2 COORDENADAS INDEPENDIENTES Y DEPENDIENTES ........................................................................................................... 54

3.3 RESTRICCIONES ......................................................................................................................................................... 56

3.4 ANÁLISIS CINEMÁTICO CON TRAYECTORIA DEFINIDA .......................................................................................................... 62

4 MODELO M2 EN COORDENADAS NATURALES MIXTAS .................................................................................... 64

4.1 COORDENADAS DEPENDIENTES E INDEPENDIENTES ........................................................................................................... 67

4.2 RESTRICCIONES ......................................................................................................................................................... 70

4.3 ANÁLISIS CINEMÁTICO CON TRAYECTORIA DEFINIDA .......................................................................................................... 75

4.4 ANÁLISIS CINEMÁTICO CON TRAYECTORIAS INTERPOLADAS ................................................................................................. 76

4.5 ANÁLISIS DINÁMICO INVERSO ....................................................................................................................................... 79

4.6 ANÁLISIS DINÁMICO DIRECTO ....................................................................................................................................... 83

4.7 ANÁLISIS DINÁMICO DIRECTO DE LAZO CERRADO .............................................................................................................. 84

5 RESULTADOS .................................................................................................................................................. 95

6 CONCLUSIONES ............................................................................................................................................... 98

7 POSIBLES APLICACIONES ................................................................................................................................. 99

8 ANEXOS ........................................................................................................................................................ 100

9 REFERENCIAS ................................................................................................................................................ 101


18 | P á g i n a

Acrónimos

CNC: Del inglés, “Control Numeric Center”. En castellano; centro de control numérico.

DFMEA: Del inglés, “Design Failure Mode Analysis and Effects”.

GDL: Grados de libertad. En inglés, DOF.

HPDC: Del inglés, “High Pressure Die Casting”. En castellano; fundición inyectada a alta

presión.

LPC: Del inglés, “Low Pressure Casting”. En castellano; fundición a baja presión.

PFMEA: Del inglés, “Process Failure Mode Analysis and Effects”.

PPMS: Partes por millón. Índice de calidad.

SCARA: Del inglés, “Selective Compliant Assembly Robot Arm” o “Selective Compliant

Articulated Robot Arm”.

SMC: Sistema multicuerpo. En inglés, MBS.

Definiciones

Error: Diferencia entre la señal de salida y la señal de entrada en el régimen permanente,

adaptadas en unidades y escala.

Precisión: Ver repetibilidad.

Repetibilidad: También conocido por precisión. Medida de reproducibilidad de mediciones

sucesivas.

Normas

DIN 1688‐1 Rough castings of light metal alloys produced by sand casting / General

tolerances and machining allowances (for replacement purposes only).


19 | P á g i n a

ISO 230‐2 Determination of accuracy and repeatability of positioning numerically

controlled machine axes

ISO 1101 Geometrical product specification (GPS) ‐ Geometrical tolerancing ‐

Tolerancing of form, orientation, location and run‐out ‐ Amendment 1:

Representation of specifications in the form of a 3D model.

ISO 2768‐1 General tolerances. Tolerances for linear and angular dimensions without

individual tolerance indications.

ISO 2768‐2 General tolerances. Geometrical tolerances for features without individual

tolerance indications.

ISO 8062 Fundición‐Sistema de Tolerancias Dimensionales y Creces de Mecanizado.

ISO 9283 Manipulating robots ‐ Performance criteria and related test methods.

JIS B 6192 Determination of accuracy and repeatability of positioning numerically

controlled machine axes.

UNE EN 1706 Aluminio y aleaciones de aluminio. Piezas moldeadas. Composición química y

características mecánicas.

UNE EN ISO 5458 Especificación Geométrica de Productos (GPS). Tolerancias Geométricas.

Tolerancias de Posición.

VDI/DGQ 3441 Statistical testing of the operational and positional accuracy of machine tools.


20 | P á g i n a

1 Introducción

Las piezas empleadas en la industria tienen generalmente, para su funcionalidad en los sistemas

mecánicos, 2 grupos de requerimientos de tolerancias geométricas y dimensionales que

condicionan, conforme a la serie de fabricación requerida y al estado del arte de la técnica, su

método de fabricación:

‐ GRUPO 1. Bajas y medias tolerancias. Que permiten su fabricación con sistemas poco

precisos y rápidos, como la conformación. Por ejemplo fundición inyectada a alta y baja presión.

‐ GRUPO 2. Altas y muy altas tolerancias. Que precisan de métodos como el arranque de

viruta para dejar las superficies y geometrías dentro de los requerimientos funcionales exigidos. Por

ejemplo centros de mecanizado1.

Para ambos grupos, la tolerancia de fabricación debe ser, por motivos de capacidad de proceso2 ,

inferior a la solicitada funcionalmente. Se hace especialmente crítico y con un alto impacto

económico su obtención de manera estable. Un ejemplo claro es en el sector de automoción.

Las células que se encargan de fabricar la pieza suelen estar gestionadas por robots. Al ser pequeña

la fuerza requerida, la repetibilidad del robot es suficiente para manipular piezas. Las pieza se coge

desde un utillaje que la tiene referenciada en los 3 ejes y se deja en diferentes posiciones, también

en utillajes similares.

Si se quisiera emplear ese mismo robot para mecanizar parcialmente la pieza, instalando en su

punta, por ejemplo, un cabezal motorizado con una herramienta y actuando sobre la pieza

embridada en un utillaje, la fuerza necesaria sería sensiblemente superior. Esto haría que la

repetibilidad empeorara hasta el punto que las tolerancias geométricas y/o dimensionales

obtenidas quedarían fuera de los límites admisibles por diseño. La pieza no sería funcional.

Este es uno de los motivos por los que los baratos robots industriales de 6 ejes, a día de hoy no

pueden sustituir el trabajo de los cncs, equipos más costosos.

La fabricación de componentes de automoción es uno de los segmentos económicos que mayor

valor añadido pueden conferir al tejido industrial de un país.

Reúne, entre otros los siguientes elementos que dan valor añadido;

1 Conocido como CNC

2 En inglés, “capability”. No confundir con el término capacidad (en inglés, “capacity”)


21 | P á g i n a

‐ INNOVACIÓN, al tener que ofrecer productos en constante evolución.

‐ ROBUSTED, para garantizar la repetibilidad del producto final en series significativas.

‐ COMPETITIVIDAD, por la necesidad de ofrecer un producto a precios de mercado en un

escenario global con tasas económicas de operario netamente diferenciadas (p.e. 6 €/hr en China,

vs 60 €/hr en UE para igualdad de condiciones).

‐ ESTABILIDAD, porque los agentes que intervienen, materiales o humanos, son importantes;

p.e. una fábrica con fuerte inversión de maquinaria y equipo humano especializado.

En el ámbito concreto de fabricación de piezas de automoción de aluminio, fundidas en HPDC, es

necesario aplicar procesos de fabricación adicionales en la mayoría de los casos. El motivo principal

es el garantizar unas geometrías y/o unas tolerancias que sólo inyectadas, no son factibles.

En la Figura 1, se muestra el impacto en un mecanizado de 2 pasos entre; el mecanizado sin

automatizar, ese mecanizado automatizado con los tiempos de ciclo descompensados de paso 1 y

paso 2 (desequilibrados), y ese mecanizado automatizado y habiendo podido equilibrarlo.

Figura 1. Oportunidad de mejora, en términos cualitativos, de un mecanizado manual a un mecanizado automatizado equilibrado


22 | P á g i n a

Para el caso de mecanizado manual, la célula está formada por 2 CNCs (1ud CNC paso 1 y 1ud CNC

paso2), 1 Lavadora, 2 operarios. Para el de mecanizado automatizado, se ha eliminado un operario

y se ha añadido 1 robot. Se han tenido en cuenta las variaciones de utillaje en ambos casos cuando

era menester. La producción de CNC 1 (paso 1 de 2) es de 10 p/h, la de CNC 2 (paso 2 de 2) es de 8

p/h.

A partir de ciertos lotes, se observa la clara ventaja de automatizar en un escenario de tasa horaria

típica de país desarrollado.

Si se consiguiera equilibrar paso 1 con paso 2, podría conseguirse una productividad de hasta el

60% para la misma pieza.

El problema reside en que para pasar mecanizados de un paso a otro, es muy importante tener en

cuenta los datums sobre los que están referenciados cada mecanizado y dónde se mecanizan. Es

muy posible que, mecanizados que interesan cambiarse de paso, no puedan hacerse por estropear

las tolerancias alcanzables.

Es interesante que, un elemento no específico tan común en una planta industrial, en el entorno

anteriormente descrito, como es un robot, el cual no sería necesario añadir por disponer de él ya (y

por lo tanto la inversión sería muy pequeña), puede incrementar la cadena de valor disminuyendo

el costo de fabricación. Y si se pudiera conjugar que ese robot destinado a tareas de manipulación,

en los muchos tiempos de espera que va a disfrutar mientras los CNCs arrancan viruta, pudiese

coger un cabezal y eliminar/minimizar ese desequilibrado en mecanizado; sería doblemente

interesante.

Por lo tanto, se antoja sugestivo poder conocer su comportamiento e intentar explicar qué sería

necesario para llevar esto a cabo, motivo de este trabajo.

1.1 Objetivo

El presente Trabajo Fin de Máster, versa sobre una caracterización preliminar del comportamiento

de un robot de tipo industrial, configurado por 4 eslabones y 4 grados de libertad, y sometido a

fuerzas de mecanizado en su extremo.

1.2 Estado del Arte

En la actualidad, existen aplicaciones de robots destinadas al mecanizado, por ejemplo taladrado

en la industria aeronáutica. Sin embargo, las tolerancias de posición conseguidas son de décimas o


23 | P á g i n a

milímetros, dependiendo de las distancias entre el agujero realizado y los datums tomados como

referencia.

Muchos son los esfuerzos realizados por los fabricantes de robots para poder conseguir ese nivel.

Hasta la fecha, no se ha tenido conocimiento de ninguna aplicación industrial que consiga un robot

como el de la Figura 2 (del que se puede esperar en el rango de los 20 kg de manejo en punta en

carga máxima, con un alcance de 6 metros y repetibilidad de ± 0´03 mm sin aplicar esfuerzos), que

mecanice con las tolerancias, prestaciones y competitividad equiparables al CNC, y con Cpks de

1´33 y Cmk de 1´67.

Figura 2. Robot Antropomórfico 6 GDLs

En la Tabla 1. Retos del robot industrial para competir con el CNC se enumeran los principales

retos de un robot que se quiere usar en el mecanizado.

Tabla 1. Retos del robot industrial para competir con el CNC

Es cierto que existen aplicaciones más o menos novedosas. Algunas de ellas basadas en visión

artificial, pero por lo anteriormente indicado, no lo hace merecedor de ser tenido, de momento, en

cuenta como competidor del CNC.

TÓPICO

Falta precisión en las distancias a las que se indica

Programación no es XYZ, es angular

Retaladrados (guiados) sí que los hacen

Falta de fuerza para agarrar y mecanizar

No tienen protección IP67

Aplicación del robot en ambientes agresivos (taladrina…)

Calibración (función del número de pasadas)

Velocidad en movimiento rápido inferior a 50 m/min

Combinación de elementos (robot con enclavamientos + mesa

desplazable), hoy SÍ que se podría (existen los elementos), pero el

problema es que esta solución es más cara y menos rápida


24 | P á g i n a

2 Metodología

2.1 Robots valorados

Se han valorado varios modelos de robots, algunos inspirados en la realidad y otros de naturaleza

más teórica, para decidir aquél que puede resultar más adecuado para el estudio que se desea.

A continuación se da una breve descripción de cada uno, así como sus características más

importantes.

2.1.1 Robot R1

Esta primera propuesta de robot, intenta simplificar un modelo real (ver Figura 3) de uso común en

aplicaciones de rebarbado. El rebarbado consiste en eliminar la potencial rebaba desprendible

mediante técnicas de cepillado y/o de arranque de viruta de baja intensidad. Es importante recalcar

que las tolerancias geométricas y o dimensionales no priman, sino el garantizar que en esa zona no

se caerá viruta contaminante en el sistema máquina al cuál pertenecerá el componente que se está

fabricando. Por ejemplo, en un cárter, la presencia de viruta aguas abajo del filtro, provocará una

reducción drástica de la vida del motor.

Figura 3. Robot antropomorfo industrial de operaciones de rebarbado


25 | P á g i n a

La versión “simplificada” se muestra en la Figura 4. El movimiento se limita al plano Y‐Z. El

problema de este modelo es, que no responde al robot de partida, y que este diseño tiene infinitas

combinanciones de movimiento.

Figura 4. Simplificación propuesta del robot de rebarbado

Por lo tanto, se desecha este modelo de 5 eslabones y 4 uniones de tipo par de revolución.


26 | P á g i n a

2.1.2 Robot R2

Esta segunda propuesta de robot, como puede apreciarse en Figura 6 y Figura 5, está formado por 4

eslabones y 3 uniones. Es un modelo más simplificado que el anterior y también limita su

movimiento al plano Y‐Z.

Figura 5: Esquema del robot R2 propuesto

También este diseño tiene infinitas combinaciones, por lo que se desestima.

Figura 6. Repreentación en Matlab del robot R2


27 | P á g i n a

2.1.3 Robot R3. Robot seleccionado

La tercera propuesta de robot (Figura 7) dispone de 3 uniones, de las cuales 2 son de típo par de

revolución (1 grado de libertad cada una) y la tercera es de tipo corredera o par cilíndrico (2 grados

de libertad). La primera unión, de tipo per de revolución, sirve para unir el suelo (considerado

como eslabón número 0) con el eslabón número 1. La segunda unión, también de ese tipo, une el

eslabón número 1 con el eslabón número 2. Estos 2 brazos, pueden describir un movimiento

horizontal, en el plano X‐Y. El tercer eslabón, está unido al eslabón número 2 por la unión de tipo

corredera. El movimiento que puede describir es paralelo al eje Z. El robot es de 4 grados de

libertad (4 motores).

Figura 7. Modelado 3D del robot a estudio

Ésta es la arquitectura de robot seleccionada, de tipo SCARA. La búsqueda de un robot cómodo de

modelar y de analizar cinemática y dinámicamente, sin limitaciones relevantes en la

multifuncionalidad de trabajos solicitados, ha llevado a esta elección, frente a otras arquitecturas

como por ejemplo los robots antropomórficos de 6 grados de libertad, muy populares a nivel

industrial.


28 | P á g i n a

Figura 8. Versión simplificada del robot a estudio

El robot se ha considerado, por el momento, que tenga comportamiento de sólido rígido, por ser el

mayor efecto esperado el de los pares en las uniones. En la Figura 8 está representada la versión

simplificada.


29 | P á g i n a

2.2 Modelado y análisis

Para modelar el robot se utiliza el método de los sistemas multicuerpo. Dentro de este método

existen diversos tipos de formulaciones (p.e. Denavit‐Hartenberg). D‐H genera una cantidad muy

grande de ecuaciones e incógnitas. Esas incógnitas son de difícil comprensión y, para cada posición,

hay que detenerse a pensar qué significado tienen.

Se ha optado la formulación de coordenadas naturales. Este sistema utiliza puntos y vectores

unitarios para definir la posición de los distintos cuerpos, y permite compartirlos cuando es posible

y se quiere para definir los pares cinemáticos y reducir al mismo tiempo el número de variables. Las

incógnitas son intuitivas, las ecuaciones de restricción muy sencillas y se reduce considerablemente

el número de ecuaciones e incógnitas.

El orden de operaciones básicas a realizar durante todo el proceso se puede encontrar en el

Diagrama de Flujo 1.

Trayectoria (definida

o interpolada desde

puntos máster)

Movimientos (Q), velocidades

(Qvel) y aceleraciones (Qacel)

reales sin corregir

Pares (Tau) que

cumplen los

anteriores Q,

Qvel, Qacel y

Fuerzas

Fuerzas reales

Movimientos teóricos (Q)

Velocoidades teóricas (Qvel)

Aceleraciones (Qacel)

CINEMÁTICA

DINÁMICA INVERSA

DINÁMICA DIRECTA

Pesos y otras

fuerzas previstas

Movimientos (Q), velocidades

(Qvel) y aceleraciones (Qacel)

reales sin corregir

Corrección de lazo

cerrado

Diagrama de Flujo 1. Operaciones a realizar


30 | P á g i n a

El algoritmo, la simulación y la obtención de resultados se ha programado mediante Matlab.

2.2.1 Modelos elegidos

Las coordenadas naturales “puras” tienen 2 problemas. El primero, que 2 elementos con un ángulo

de 0 o 180 grados, dan lugar a puntos singulares que pueden crear problemas en las ecuaciones de

restricción y por lo tanto han de evitarse. El segundo, que tampoco inciden directamente sobre la

definición o el origen de los movimientos.

Por lo tanto, es muy conveniente complementar esta formulación con ángulos y distancias

(coordenadas relativas). Esto da lugar a las coordenadas naturales mixtas, que es la formulación

final elegida para este TFM, partiendo de las coordenadas naturales “puras”.

Las coordenadas naturales mixtas no tienen el problema de los puntos singulares. Y la ventaja más

importante reside en su utilidad a la hora de aplicar fuerzas motrices, momentos o evaluar errores.

Al incidir sobre la incógnita origen (ángulos o distancias) controla los motores de manera directa.

Para realizar el modelo en coordenadas naturales mixtas, es preciso modelar en 2 pasos el robot a

estudio. El primer modelo se basa en coordenadas naturales. Para su validación, y con ella poder

pasar al modelo 2, se plantea una trayectoria definida y se analiza cinemáticamente si el robot

satisface el movimiento solicitado, manteniendo su integridad como sistema multicuerpo.


relativas, dando lugar a las coordenadas naturales mixtas. Tras su validación, se pasa a realizar el

análisis cinemático y dinámico completo.

En el Diagrama de Flujo 2 puede verse el mapa de proceso con los pasos que se van a dar con los 2

modelos; al modelo número 1 (coordenadas naturales), análisis cinemático con trayectoria

definida; al modelo número 2 (coordenadas naturales mixtas), análisis cinemático con trayectoria

definida, análisis cinemático con trayectoria interpolada, análisis dinámico inverso, análisis

dinámico directo y control de lazo cerrado.


31 | P á g i n a

Diagrama de Flujo 2 Modelos y Análisis a realizar


32 | P á g i n a

En la Tabla 2, se representan las entradas y salidas de los modelos y los análisis a los que se les va a

llevar a a cabo.

Tabla 2. Declaración de Modelos y Análisis

Conocidos el alcance y lo que se espera de los modelos, es momento de ver en detalle los pasos a

seguir como a continuación se reseñan, y preferentemente en el orden expresado.

2.2.2 Puntos y vectores unitarios

Cada sólido sólido rígido contiene la cantidad de puntos y vectores unitarios necesarios que hacen

que esté definido su movimiento en 3D. Por ejemplo, 3 puntos no alineado o 2 puntos y un vector

no alineado.

Análisis

Modelo 1 con

análisis cinemático

parcial

Modelo 2 con análisis

cinemático parcial2

Modelo 2 con análisis cinemático

y dinámico completo

objetivo

Crear el modelo de

robot en

coordenadas

naturales y validar su

movimiento

Crear, a partir de lo

realizado con Modelo 1,

el modelo de robot en

coordenadas naturales

mixtas y validar su

movimiento

A partir de lo realizado en Modelo

2A, simular el movimiento y la

dinámica dando 3 puntos y con la

condición de aceleración inicial y

final constante de cada motor

entradas

Posición y

orientación del

ROBOT con las

coordenadas locales

(las de la mano)

Posición y orientación

del ROBOT con las

coordenadas locales (las

de la mano)

ángulos y distancias, fuerza de

mecanizado, ganancias

salidas movimiento movimientomovimiento, velocidades,

aceleraciones, pares, errores

coordenadas naturales naturales mixtas naturales mixtas

movimiento Trayectoria definida Trayectoria definida3 puntos máster (definidos) y el

resto de la trayectoria se interpola

interpolación de coord.

ind. a coord. dep.Newthon Rhapson Newthon Rhapson Newthon Rhapson

interpolación del

movimiento (entre

puntos)

N/A N/ASplines cúbicas con condición de

aceleración inicial y final 0

representaciones

gráficas

Movimiento 3D. Movimiento 3D.

Movimiento 3D.

Movimientos, velocidades,

aceleraciones y pares de los

motores.

Ganancia.

Mapa de error de posición.


33 | P á g i n a

En la medida de lo posible y del interés que exija la aplicación, se comparten puntos y vectores

unitarios entre sólidos rígidos en las uniones para minimizar el número de ecuaciones de

restricción.

Se cuantifican los puntos (en este caso inicial y final) que configuran el robot. Al tratarse de sólidos

rígidos, cada eslabón queda definido por sus respectivos puntos inicial y final (que son los más

interesantes para la cinemática y la dinámica) y por un vector unitario no colineal a esos 2 puntos.

Los vectores unitarios se colocan en los lugares en los que se tenga un eje de rotación o cuando se

desee obtener información de un ángulo. No son necesarios vectores unitarios para medir

distancias. Tampoco tienen por qué coincidir los grados de libertad con el número de vectores

unitarios.

La posición inicial de los puntos se alojan en la MATRIZ P. La información del valor de las

coordenadas iniciales de los vectores unitarios y su localización en física (en qué puntos del robot

actúan) se aloja en la MATRIZ U.

2.2.3 Longitudes, distancias y ángulos

Las longitudes de cada eslabón quedan definidas como constantes geométricas.

Las distancias y ángulos, cuando se necesitan, en especial en coordenadas relativas. Las distancias

iniciales se almacenan en la MATRIZ DIST, y los ángulos iniciales en la MATRIZ ANGLE.

Los ángulos pueden definirse mediante el producto escalar o mediante el producto vectorial. El

coseno da problemas si el ángulo es cercano a 0 rad o a ±nπ rad. Al seno le ocurre algo similar, en

este caso, para ángulos con valores de ±(n+1/2)π rad (ver Figura 9). Como solución, no se utiliza el

producto escalar cuando el coseno sea < 0´8, empleando el producto vectorial.

Figura 9. Parte superior, zona donde el uso del coseno da problemas. Parte inferior, idem pero con el seno.


34 | P á g i n a

2.2.4 Grados de libertad

Siguiendo el conocido criterio de Grübler‐Kutzbach, el número de grados de libertad está definido,

para sistemas planos, por:

GDLs = 3x(N‐1)‐2xP1‐P2

donde;

N = {número de elementos, incluido el fijo}

P1 = {número de pares o uniones que permiten 1 GDL}

P2 = {número de pares o uniones que permiten 2 GDL}

Queda, por tanto:

GDLs = 3x(4‐1)‐2x2‐1 = 4 GDLs

En la práctica, consiste en saber cuántos motores son necesarios para tener controlado el

movimiento del robot:

GDLs = N° motores necesarios = 4 motores

2.2.5 Coordenadas dependientes e independientes

Dentro del total de coordenadas naturales de un sistema, hay 2 coordenadas, las coordenadas fijas

y las coordenadas libres. Las primeras son aquellas que siempre van a estar sin moverse, debido a

las condiciones de contorno (aquellas que no se van a mover, por estar p.e. solidarias al origen). Un

ejemplo típico es el de aquellas coordenadas que están relacionando la parte móvil del robot con la

parte que está en el suelo.

∑coordenadas naturales (puras o mixtas) = ∑coordenadas fijas + ∑coordenadas libres

Las coordenadas naturales que no son fijas, se denominan como coordenadas libres. Su propio

nombre da una idea clara del tipo de movimiento al que pueden someterse. Las coordenadas libres

pueden ser dependientes o independientes.


35 | P á g i n a

∑coordenadas libres = ∑coordenadas dependientes + ∑coordenadas independientes

Las coordenadas independientes son aquellas cuyo número coincide con los grados de libertad del

sistema y definen cuando se les da un valor concreto, la posición del sistema. Las coordenadas

dependientes son aquellas que, al fijar el valor de las coordenadas independientes, y cumpliendo

las condiciones del sistema multicuerpo (restricciones), toman un valor determinado para explicar

el resto del movimiento del robot.

∑coordenadas independientes = GDLs del sistema

∑coordenadas dependientes = Número de restricciones del sistema (si todas las ecuaciones son

independientes)

∑coordenadas dependientes ≤ Restricciones del sistema (si son todas las ecuaciones son

independientes)

Para conocer el valor de las variables dependientes, es necesario establecer las ecuaciones de

restricción

2.2.6 Ecuaciones de restricción

Se establecen las restricciones que definen la naturaleza del robot y las relaciones entre los

diferentes elementos y su entorno, siguiendo las siguientes pautas:

‐ Todos los puntos y los vectores que pertenecen a un sólido rígido deben moverse de

acuerdo con la condición de sólido rígido (manteniendo constantes longitudes y ángulos).

‐ Algunas articulaciones, como las esféricas y angulares, también pueden ser definidas

compartiendo variables y no introducen ninguna restricción. Otras articulaciones necesitan

introducir restricciones de proporcionalidad o de ortogonalidad.

‐ Es posible definir distancias y ángulos como nuevas coordenadas con las ecuaciones de

restricción que los relaciona con algunos puntos y vectores unitarios.

Con las coordenadas naturales, las ecuaciones de restricción (ecuaciones no lineales) adquieren su

máxima sencillez.

Las restricciones inicialmente disponibles se pueden ver en la Tabla 3. La forma en la que están

definidas las restricciones es muy sencilla. Todas ellas pueden ser clasificadas en unos pocos tipos,

que incluyen un número de referencia, los puntos y vectores involucrados y aquellos valores

constantes que intervengan (distancias, ángulos…).


36 | P á g i n a

La matriz que contendrá las restricciones específicas del robot es MATRIZ CONSTR.

Tabla 3. Catálogo de restricciones disponibles

2.2.7 Análisis cinemático

El análisis cinemático obtiene el movimiento de los cuerpos sin tener en cuenta fuerzas o pares que

pueden estar actuando. El análisis cinemático proporciona movimientos, velocidades y

aceleraciones. Conociendo las ecuaciones de restricción y las variables independientes, es posible

conocer estos tres términos.

Restric

ciónEcuación general Notación matricial para matriz CONST Comentarios

1000 (ri'‐rj')*(ri‐rj)‐Lij^2 [1000 i j 0 0 0 0 0 0 0 0 Lij] existente

1001 ui'*ui‐1 [1001 i 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0] existente

1002 uk'*(ri‐rj)‐Lij*cos(fi) [1002 k i j 0 0 0 0 0 0 Lij cfi] existente

1003 ui'*uj‐cos(fi) [1003 i j 0 0 0 0 0 0 0 0 cfi] existente

1004 uiX(rj‐rk) [1004 i j k 0 0 0 0 0 0 Ljk cfi] existente

1005 (rk‐ri)‐[rj‐ri,ul,um]*c [1005 i j k l m 0 0 0 c1 c2 c3] existente

1006 um‐[rj‐ri,uk,ul]*c [1006 i j k l m 0 0 0 c1 c2 c3] existente

1007 un‐[rj‐ri,rl‐rk,um]*c [1007 i j k l m n 0 0 c1 c2 c3] existente

1010 (rj‐ri)'*(rl‐rk)‐Lij*Lkl*cos(psi) [1010 i j k l 0 0 0 0 Lij Lkl ipos] existente

1011 (rj‐ri)X(rl‐rk)‐um*Lij*Lkl*sin(psi) [1011 i j k l m 0 0 0 Lij Lkl ipos] existente

1012 (rj‐ri)X(rl‐rk)‐(rm‐rn)*Lij*Lkl*sin(psi)/Lmn [1012 i j k l m n 0 Lij Lkl Lmn ipos] existente

1013 ui'*uj‐cos(psi) [1013 i j 0 0 0 0 0 0 0 0 ipos] existente

1014 uiXuj‐uk*sin(psi) [1014 i j k 0 0 0 0 0 0 0 ipos] existente

1015 uiXuj‐(rk‐rl)*sin(psi)/Lkl [1015 i j k l 0 0 0 0 0 Lkl ipos] existente

1016 uk'*(ri‐rj)‐Lij*cos(psi) [1016 k i j 0 0 0 0 0 0 Lij ipos] existente

1017 ukX(ri‐rj)‐ul*Lij*sin(psi) [1017 k l i j 0 0 0 0 0 Lij ipos] existente

1018 ukX(ri‐rj)‐(rl‐rm)*Lij*sin(psi)/Lml [1018 k i j l m 0 0 0 Lij Llm ipos] existente

1020 (ri – rj) x (rk – rl) [1020 i j k l 0 0 0 0 0 0 0] existente

1030 (ri'‐rj')*(ri‐rj)‐dij^2 [1030 i j 0 0 0 0 0 0 0 0 ipos] existente


37 | P á g i n a

2.2.7.1 Movimientos

Cada conjunto de coordenadas independientes define en un instante concreto, una posición y

postura de robot determinada. Para conocerla, es necesario saber qué coordenadas dependientes

hay en ese instante, y se obtienen resolviendo por el método de Newton‐Rhapson las ecuaciones

de restricción (ya definidas) en función de las coordenadas independientes. El motivo de hacerlo así

es porque las coordenadas dependientes deben satisfacer las restricciones, cosa que no ocurre con

las coordenadas independientes.

El problema de la posición está basado en la resolución del paquete de las ecuaciones de

restricción:

Φ (q, t ) = 0

donde;

q = {vector de coordenadas, dentro de las cuales están las dependientes del sistema}

Φ (q) ≅ Φ (qi) + Φq (qi) Δqi = 0 ⇒ Φq (q)i Δqi = ‐Φ (q)i

Figura 10. Método de Newton‐Rhapson

Para el cálculo de una nueva posición del sistema, a partir de unos incrementos finitos (problema

de los desplazamientos finitos), además del método de Newton‐Rhapson (Figura 10), existen otros

métodos como Newton‐Rhapson modificado, o Newton‐Rhapson modificado con aproximación

inicial basada en velocidades.

Φ (q) es la función formFiPU4 (ecuaciones de restricción del movimiento). El resultado de la

función formFiPU4 al actuar con la matriz CONSTR, es la de formar el vector fi, que evalua el

incumplimiento de las ecuaciones de restricción. Si las distancias y los ángulos no son los que tienen

que ser, Φ (q) no será 0.


38 | P á g i n a

Derivando las ecuaciones de restricción Φ (q) con respecto a cada uno de sus componentes qi, se

obtiene la matriz Jacobiana y está definida por la función formFiqPU4. La función formFiqPU4

contiene las ecuaciones de restricción de velocidad.

La matriz Jacobiana de las ecuaciones de restricción juega un papel muy importante en toda la

cinemática y dinámica. Es una función lineal de las coordenadas naturales (al ser las ecuaciones de

restricción cuadráticas).

Determina el sistema de ecuaciones lineales a utilizar para encontrar las sucesivas aproximaciones

con las que resolver el problema de la posición inicial; determinación de la posición de todos los

elementos, conociendo la posición de los puntos fijos y las coordenadas independientes.

2.2.7.1.1 Trayectorias definidas

Si la trayectoria está definida mediante una nube de puntos caracterizada por las coordenadas

independientes, la forma de resolver, una vez definida la ecuación del movimiento es aplicando el

método anteriormente descrito.

2.2.7.1.2 Trayectorias interpoladas desde varios puntos máster

Cuando no se conoce la trayectoria exacta del robot, pero se sabe un mínimo de puntos por los que

se quiere que pase, este método resulta muy útil.

El análisis cinemático con trayectorias interpoladas, trabaja con un número mínimo de 3 puntos

máster. El número de interpolaciones mínimo es de 4 por tramo (cada 2 puntos máster hay un

tramo), pero no se recomienda porque los resultados obtenidos son muy poco precisos. Se

recomienda trabajar a partir de 50 interpolaciones por tramo.

Los puntos máster se recogen en la MATRIZ POS. Como se ve en la Figura 11, los puntos y vectores

están en las primeras columnas (coordenadas fijas y dependientes) y en las últimas las coordenadas

relativas (que son las coordenadas independientes). Hay tantas filas como puntos máster.


39 | P á g i n a

Figura 11. Esquema de la matriz POS


final igual a 0, que genera las coordenadas independientes de los puntos interpolados de cada

tramo. Las coordenadas dependientes se obtienen resolviendo las ecuaciones de restricción no

lineales con el método de Newton‐Rhapson (ya explicado anteriormente cómo funciona).

Figura 12. Matriz Q con los puntos máster y los puntos iterados

En la Figura 12, aparece la estructura de la MATRIZ Q. En ella, además de los puntos máster de

MATRIZ P, aparecen intercalados los puntos resultantes de la interpolación.

El método de las splines cúbicos es muy continuo, por lo que si se desea modelar una trayectoria en

el que haya al menos 2 movimientos claramente diferenciados, es preciso hacerlo en 2 tramos y

unirlos posteriormente. Sería el caso en el que alguno de los motores se desee expresamente que

esté parado durante el primer movimiento y otro distinto lo esté durante el segundo movimiento (y

así sucesivamente).

La función splines3RobotAnglesInterp realiza la interpolación de las posiciones completas del

robot, llamando a la función splines3b.m que es la que se encarga de aplicar las splines cúbicas.


40 | P á g i n a

Los resultados o valores de retorno son txp y Q. El vector txp es un vector que representa las

abscisas o los tiempos para los que se realiza la interpolación. Su nº de elementos coincide con el nº

de filas de Q y sus valores van desde 0 a tpar(end), es decir desde 0 al nº de filas de POS menos 1.

Es importante pensar que si POS tiene tres filas, los tiempos de txp van a ir desde 0 a 2 segundos.

Para cambiar la duración de la simulación y que pueda ser la que el usuario desee existe una

variable llamada tEsc (de escala de tiempos) que multiplicará al vector txp que devuelve esta

función. Por ejemplo, si POS tiene tres filas, el tiempo de la simulación sería de 0 a 2 segundos. Si se

desea que dure un segundo se deberá hacer tEsc=0.5 y si se desea que dure 4 se debería hacer

tEsc=2.

2.2.7.1.3 Trayectorias interpoladas desde varios puntos máster con condición velocidad nula

En el caso en que se quiera modelar el movimiento queriendo que el robot parta del reposo y

termine también en reposo (con condición de velocidad inicial y final cero). En ese caso, arrancaría

y pararía con aceleración cero. Se tendrían que modificar las 2 últimas ecuaciones (recuadro en

azul) de la Figura 13, sustituyéndolas por estas otras:

S1’(x1)=0

Sn’(xn+1)=0

Este método mejora el anterior al asemejarse más fielmente con la realidad. Los motores del

robot, parados en el instante inicial, se aceleran, cogen velocidad máxima y antes de llegar al final,

se desaceleran y paran.


41 | P á g i n a

Figura 13. Interpolación mediante splines cúbicas (Interpolación y aproximación de funciones)


42 | P á g i n a

2.2.7.2 Velocidades y aceleraciones

La función splines3RobotVelAccInterp calcula velocidades y aceleraciones. Aunque se llame

splines, no los aplica, aunque sí utiliza información de lo que se calculó mediante splines cúbicas en

la función función splines3RobotAnglesInterp.

Funciona de la siguiente manera; interpola las coordenadas independientes en Q. Las filas de

MATRIZ Qvel y MATRIZ Qacc se calculan resolviendo sistemas de ecuaciones lineales.

Las filas de estas matrices tienen que cumplir respectivamente las ecuaciones de restricción de

velocidad y aceleración, que son:

Por diferenciación numérica se calculan los valores de velocidad y aceleración de las coordenadas

relativas (coordenadas independientes) en cada fila. Se sustituye una derivada por una diferencia

de valores dividido entre h. Al principio las fórmulas son avanzadas, por no haber valores anteriores

a 0, al final son retrasadas por no haber valores posteriores al último, y en la mayor parte del

intervalo son centradas.

Recordar que la condición impuesta de que la aceleración en el instante t= 0 y en instante t= final,

se ha tomado como 0. Las velocidades y aceleraciones dependientes se calculan resolviendo las


Por Newton‐Rhapson se calculan los valores de Qvel y Qacc para las coordenadas dependientes,

debiéndose cumplir:

El término c es una parte de las ecuaciones de restricción de aceleración, que se obtiene derivando

la función formFiqPU4 con respecto a cada uno de sus componentes qi, dando como resultado la

función formFiqdqdPU4.


43 | P á g i n a

2.2.8 Análisis dinámico

Dentro del análisis dinámico, se encuentra el análisis dinámico inverso y el análisis dinámico

directo. Se desarrollan, a continuación, según el orden de realización.

2.2.8.1 Análisis dinámico inverso

La dinámica inversa calcula, a través de la función invDynamics, para un movimiento definido ‐

conocidas la posición, velocidad y la aceleración en cada instante de tiempo‐, y conocidas las

fuerzas externas que actúan (por ejemplo el peso); qué fuerzas hay que aplicar en los motores

(donde hay control) para que se obtenga el citado movimiento. En la dinámica inversa, cada

instante del tiempo es independiente de los demás y tiene una posición, una velocidad y una

aceleración y unas fuerzas conocidas.


las fuerzas tenidas en cuenta es calculado. Como resultado final del análisis dinámico inverso, se

obtienen los pares que han de ejercer los cuatro motores para replicar el movimiento prescrito con

las fuerzas que estaban actuando.

Como consecuencia del proceso de interpolación cinemática se dispone de las matrices Q, Qvel y

Qacc cuyas filas contienen respectivamente las posiciones, velocidades y aceleraciones en cada uno

de los instantes de tiempo.

Tras el cálculo de estas matrices hay que calcular las fuerzas teniendo en cuenta las ecuaciones

diferenciales del movimiento en coordenadas independientes, que se sustentan en la siguiente

notación matemática:


44 | P á g i n a

2.2.8.2 Análisis dinámico directo

La dinámica directa se encarga de calcular el movimiento del robot, resultante de aplicar unos

pares en motores y unas fuerzas en el robot. Se llama a la función ode113 que utiliza a su vez la

función deriv3ARM4DOFrobot.

La cuarta validación del modelo consiste en confirmar que el movimiento obtenido por aplicar los

pares obtenidos en la dinámica inversa, coinciden con el obtenido en el análisis cinemático

(movimiento teórico). Para ello, es necesario acudir a la dinámica directa.


45 | P á g i n a





2.2.8.3 Fuerza de mecanizado

En relación a los posibles trabajos que puede realizar este tipo de robot, su versatilidad abarca

tanto operaciones típicas de manipulación como operaciones de arranque de viruta.

Uno de los mecanizados más usuales es el taladrado, por lo cual se elige éste para su modelización

y análisis. Dentro del taladrado se elegirá para acotar las fuerzas, taladrado en macizo con broca de

diámetro 9 mm.

Figura 14. Fuerzas que actuan en el mecanizado y localización sobre la punta del robot


46 | P á g i n a

Para calcular la fuerza de corte, se ha usado la fórmula fuerza de avance de Figura 15. Los valores

de kc se han buscado en un catálogo comercial.

Figura 15

magnitud dato unidades comentarios

tipo de broca broca helicoidal

porque es más estable y rompe más la viruta de

aluminio que las brocas rectas

diámetro broca 9 mm

fn Avance por vuelta 0,2 mm/rev parámetro típico

Longitud de mecanizado 20 mm

revoluciones 9.000 rpms cono BT40

kc fuerza específicamente 830 N/mm2 780 N/mm2 (%Si<10%) ‐ 830 N/mm2 (%Si>10%)

z 2 labios

ángulo de la hélice kt 70 °

Material:

Aleación de Aluminio

AlSi9Cu3Fe (EN AC

46000) s/EN 1706

Na ( fuerza axial): 0 N Fuerza axial, se considera 0 por tener 2 labios

Nr (fuerza radial) 0N

Fuerza radial (distinta de cero cuando la

herramienta NO está equilibrada)

Ft (fuerza de corte) 351,0 N fuerza en la dirección de corte

Ft 35,8 kg Se redondea a 35 kg


47 | P á g i n a

2.2.8.4 Control de lazo cerrado

Si se introduce una fuerza exterior de mecanizado no contemplada en la dinámica inversa y se

asigna en los motores los mismos pares resultantes de la resolución del problema dinámico inverso,

el movimiento real obtenido no es igual al movimiento teórico.

El control de lazo cerrado se basa en ir comparando el movimiento real con el deseado e introducir

las correcciones necesarias para minimizar o anular las diferencias.

Se pueden introducir 2 ganancias:

‐ Ganancia en posición. Hace el mismo efecto que meter un muelle. Al ir separándose de la

trayectoria teórica, se aplica una fuerza proporcional a la separación. Corrige desviaciones

en posición. No corregiría una oscilación de amplitud muy pequena que vibrara alrededor

de la verdadera posición.

‐ Ganancia en velocidad. Hace el efecto de un amortiguador. No permite que se separe la

velocidad. Evita pequeñas oscilaciones. Dificulta el rendimiento de la integración.


48 | P á g i n a

3 Modelo M1 en coordenadas naturales

Este primer modelo, basado en cordenadas naturales, tiene un desarrollo como el mostrado en

Diagrama de Flujo 3 y Diagrama de Flujo 4.

Diagrama de Flujo 3. Detalle de análisis a realizar con Modelo 1


49 | P á g i n a

INICIO

Coordenadas de los PUNTOS del robot

matriz P (5 x 4); np = 5

LONGITUDES ESLABONES (constantes)

L1, L2, L3

VECTORES UNITARIOS no repetidos

matriz U (4 x 4); nv = 4

COORDENADAS NATURALES (P + U)

vector q (27 x 1); n = 27 = (np+nv)*3

Coord. naturales FIJAS

vector fixed (6 x 1); 6=(1p+1vu)*3

Coord. naturales LIBRES

vector free (27 x 1); 21=n‐6=27‐21

GDLs = 4 (se necesitan 4 motores)

Coord. libres INDEPENDIENTES = GDLs vector

qind (4 x 1); 4

Coordenadas libres dependientes = 17 vector

qdep (17 x 1); 17=21‐4

RESTRICCIONES (restricciones >= qdep)

matriz CONSTR (17 x 11);

Computación de JACOBIANOS y

RESTRICCIONES

formFiPU4, formFiqPU4

ESLABONES para dibujar

matriz LINES

VECTORES UNITARIOS para dibujar (los no

repetidos y los repetidos)

matriz UVECTOR

Dibujar el robot en cada instante

drawMech

Iteración de posiciones del robot

NewtonRaphson

FIN

Diagrama de Flujo 4. Programa del modelo 1


50 | P á g i n a

3.1 Definición de la geometría

El robot tiene 3 brazos (4 BODIES). El BODY 1 corresponde al suelo. Los 2 brazos iniciales (L1 y L2)

están unidos por 2 uniones de tipo revolución. El brazo 3 está unido por una corredera.

Se considera, en una primera aproximación como sólido rígido. Se eligen 5 puntos para conformar

los 3 brazos o eslabones.

Figura 16. Puntos del robot y sus n° de coordenadas, entre paréntesis, en cada dirección del espacio


51 | P á g i n a

Las propiedades geométricas más importantes, se recogen en Tabla 4, Tabla 5 y Tabla 6

(coordenadas de los puntos con respecto a origen X,Y,Z):

Tabla 4. Longitudes de los eslabones del robot

Tabla 5. Configuración Robot y posición inicial (ángulos y distancias)

Tabla 6. Posición inicial puntos

Cumpliendo las configuraciones arriba indicadas, los puntos iniciales tendrían la siguiente

distribución y asignación de número de coordenadas:

%% DEFINICIÓN GEOMETRÍA: PUNTOS

a [mm] b [mm]

L1 700

Sección

tubular

rectangular

8 200 100

L2 1.000

Sección

tubular

rectangular

4 160 100

L3 1.000 Sección

cilíndrica5 100

(*) fuente: Tubos Vega

Brazo Longitud [mm] Tipo brazoEspesor

(*) [mm]

Sección (*)

Brazo pto inicial pto final Angle [rad] [degrees] distancia [m]

L1 1 2 psi1 1,40 80 N/A

L2 2 3 psi2 2,27 130 N/A

L3 4 5 psi3 0,6896 40 s 0,5

pto x [mm] y [mm] z [mm]

1 1000 0 300

2 1689,4 121,6 300

3 2.189 987,6 300

4 2.189 987,6 800

5 2.189 987,6 ‐200


52 | P á g i n a

% P= [m] {Coordinates of POINTS in the initial position} % Rows are POINTS. % Column 1, X coord; Column 2, Y coord; Column 3, Z coord. % Last 3 columns P(i,4:6) are the positions of coordinates of point i in % vector q. P= [1.0000, 0.0000, 0.3, 1:3 1.6894, 0.1216, 0.3, 4:6 2.1894, 0.9876, 0.3, 7:9 2.1894, 0.9876, 0.8, 10:12 2.1894, 0.9876, -0.2, 13:15]; % np= {núm puntos que conforman el robot} np=size(P,1);

Los vectores unitarios, tendrían la siguiente disposición en la posición inicial, y asignación de

número de variable:

%% DEFINICIÓN GEOMETRÍA: VECTORES UNITARIOS % U= {Components of unit vectors in the initial position} % Rows are number of different UNIT VECTORS (one same unit vector could be % placed in several points, and different unit vectors could have same initial % components between each other). % Column 1, X coord; Column 2, Y coord; Column 3, Z coord. % Last 3column U(i,4:6) are the positions of coordinates of vector i in % vector q U=[ 0, 0, 1, 16:18 0, 0, 1, 19:21 0, 0, 1, 22:24 0, 1, 0, 25:27]; % nv= {núm vectores unitarios} nv=size(U,1);

A partir de este momento las coordenadas naturales como tal, están definidas.

%% COORDENADAS NATURALES %q = [P(1,1:3), P(2,1:3), P(3,1:3), P(4,1:3), P(5,1:3)... % U(1,1:3), U(2,1:3), U(3,1:3), U(4,1:3)]';


53 | P á g i n a

Figura 17. Numeración de coordenadas de puntos y vectores unitarios

Cabe recordar la diferencia entre longitudes y distancias. Las longitudes son constantes, mientras

que las distancias no. Las longitudes se determinan por:

%% LONGITUDES, DISTANCIAS y ÁNGULOS % Computation of lengths (constant distances) L(1)=norm(P(2,1:3)-P(1,1:3)); L(2)=norm(P(3,1:3)-P(2,1:3)); L(3)=norm(P(5,1:3)-P(4,1:3));


54 | P á g i n a

3.2 Coordenadas independientes y dependientes

En robótica es muy utilizada la terminología de problema cinemático directo y problema cinemático

inverso. El problema cinemático directo consiste en encontrar la posición de la garra (el último

punto), dadas las posiciones de las uniones intermedias. El problema cinemático inverso, trata de

encontrar las posiciones de los puntos intermedios, dada la posición de la garra.

En el caso de utilizar las coordenadas naturales (tanto “puras” como mixtas), no es de aplicación. Se

mueven las coordenadas independientes para ver cómo se mueven las dependientes.

∑coordenadas independientes = GDLs del sistema = 4

Al haber 4 GDLs, las coordenadas independientes son también 4. Se recogen en el vector qind.

Las coordenadas independientes elegidas son, con numeración acorde a Figura 17: qind = [13

(coord x), 14 (coord y), 15 (coord z), 25 (rot z)]

Las coordenadas 13, 14 y 15, pertenecen al extremo del robot (punto p5) y definen la posición en x,

y, z, respectivamente. Falta por restringir la rotación del BODY4, que está definida por el vector u5.

La restricción se consigue con la coordenada 25, perpendicular al vector en el plano X‐Y (en el plano

z no hace falta por ser solidario al punto p5), como puede apreciarse en Figura 18.

Figura 18. Esquema de restricción de rotación de body 4


55 | P á g i n a

Las coordenadas dependientes se calculan de la siguiente manera:

∑coordenadas naturales (puras o mixtas) = ∑coordenadas fijas + ∑coordenadas libres

∑coordenadas libres = ∑coordenadas dependientes + ∑coordenadas independientes

Así está recogido en Tabla 7 serían aquellas que no son independientes y tampoco fijas, siendo en

total 17 y teniendo como coordenadas:

qdep = 4 5 6 7 8 9 10 11 12 19 20 21 22 23 24 26 27

Tabla 7. Coordenadas naturales del modelo 1

coordenadas naturales udsnº variables

en el espaciomatlab

puntos np = 5 15 matriz P

vectores unitarios 4 12 matriz UVECT

vectores unitarios que NO están repetidos nv = 4 12 matriz Uvectores unitarios que SÍ están repetidos (por ser

iguales siempre)0 0

Σ coordenadas naturales: 27 vector q

tipos de coordenadas

coordenadas naturales (q = fixed + free) udsnº variables

en el espaciomatlab

fijas 2 6 vector fixed

puntos 1 3

vectores unitarios 1 3

libres 21 vector free

puntos 4 12


libres (free = qind + qdep) 21

coordenadas independientes (qind= gdls) 4 vector qind

coordenadas dependientes = restricciones (qdep=

CONST)17

vector qdep

matriz CONSTR


56 | P á g i n a

3.3 Restricciones

Al haber 17 coordenadas dependientes se necesitan, al menos, 17 ecuaciones de restricción que

sean independientes entre sí.

∑coordenadas dependientes = Número de restricciones del sistema (si todas las ecuaciones son

independientes)

∑coordenadas dependientes ≤ Restricciones del sistema (si son todas las ecuaciones son

independientes)

Se plantean 18 ecuaciones de restricción, 1 de ellas dependiente, según se muestra en Tabla 8.

Se necesitan 2 restricciones nuevas (ver Tabla 9); 1040 y 1050 que no están en el catálogo de

restricciones inicial (Tabla 3).


57 | P á g i n a

Tabla 8. Ecuaciones de restricción para el robot en coordenadas naturales

BodyCoorden

adasBarra Condición Descripción

ecuación

particular

Tipo de

ecuación

nº de

ecuació

n

Nº

restricci

ón

Body 2 Naturales L1 L1 = cteEl body 2 tiene longitud

constante (L1)

(r2 – r1)^T ∙ (r2 –

r1) ‐ d12^2 = 0Escalar N1 1000

Body 2 Naturales L1 u1∙L1 = 0

El vector unitario u1 y la barra

L1 son solidarios y con ángulo

90º. Producto escalar,

áng=cte=90º

u1^T ∙ (r2 – r1) =

0 Escalar N2 1002

Body 2 Naturales L1 u2 = u1Los vectores unitarios u1 y u2

siempre son igualesu2 – u1 = 0 Vectorial

N3, N4,

N51040


constante (L2)

(r3 – r2)^T ∙ (r3 –

r2) ‐ d23^2 = 0Escalar N6 1000

Body 3 Naturales L2 u2∙L2= 0




áng=cte=90º

u2^T ∙ (r3 – r2) =

0 Escalar N7 1002



N8, N9 ,

N101040

Body 4 Naturales L3 L3=k∙u3Cuando se tienen 2 vectores

alineados, es lo más sencillo.

(r4 – r5) – alpha *

u3 = 0Vectorial

N11,

N12,

N13

1050

Body 4 Naturales L3 u4=1

El vector unitario u4 es

constante en módulo pero

puede moverse (no es un

vector fijo, por lo tanto, puede

ponerse como incógnita)

u4^T ∙ u4 – 1 = 0 Escalar N14 1001

Body 4 Naturales L3 u4∙L3=0




áng=cte=90º

u4^T ∙ (r5 – r4) =

0 Escalar N15 1002

Body 4 Naturales L3‐L3 x L4 =

0

Par C. Ecuación vectorial, 3

ecuaciones, pero sólo 2 de

ellas son independientes. En

este caso se pone ‐L3 para

adecuar a la fórmula.

(r3‐r4) x (r5 – r4)

= 0 Vectorial

N16,

N171020


constante (L3)

(r5 – r4)^T ∙ (r5 –

r4) ‐ d45^2 = 0Escalar N18 1000


58 | P á g i n a

Tabla 9. Catálogo de Restricciones ed01

Restric

ciónEcuación general

Notación matricial para matriz

CONSTComentarios

1000 (ri'‐rj')*(ri‐rj)‐Lij^2 [1000 i j 0 0 0 0 0 0 0 0 Lij] existente

1001 ui'*ui‐1 [1001 i 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0] existente

1002 uk'*(ri‐rj)‐Lij*cos(fi) [1002 k i j 0 0 0 0 0 0 Lij cfi] existente

1003 ui'*uj‐cos(fi) [1003 i j 0 0 0 0 0 0 0 0 cfi] existente

1004 uiX(rj‐rk) [1004 i j k 0 0 0 0 0 0 Ljk cfi] existente

1005 (rk‐ri)‐[rj‐ri,ul,um]*c [1005 i j k l m 0 0 0 c1 c2 c3] existente

1006 um‐[rj‐ri,uk,ul]*c [1006 i j k l m 0 0 0 c1 c2 c3] existente

1007 un‐[rj‐ri,rl‐rk,um]*c [1007 i j k l m n 0 0 c1 c2 c3] existente

1020 (ri – rj) x (rk – rl) [1020 i j k l 0 0 0 0 0 0 0] existente

1030 (ri'‐rj')*(ri‐rj)‐dij^2[1030 i j 0 0 0 0 0 0 0 0

ipos]existente

1040 ui – uj [1040 i j 0 0 0 0 0 0 0 0 0] NUEVA

1050 (ri – rj) – alpha*uk [1050 k i j 0 0 0 0 0 0 0 0] NUEVA

1010(rj‐ri)'*(rl‐rk)‐

Lij*Lkl*cos(psi)

[1010 i j k l 0 0 0 0 Lij Lkl

ipos]existente

1011(rj‐ri)X(rl‐rk)‐

um*Lij*Lkl*sin(psi)

[1011 i j k l m 0 0 0 Lij Lkl

ipos]existente

1012(rj‐ri)X(rl‐rk)‐(rm‐

rn)*Lij*Lkl*sin(psi)/Lmn

[1012 i j k l m n 0 Lij Lkl Lmn

ipos]existente

1013 ui'*uj‐cos(psi)[1013 i j 0 0 0 0 0 0 0 0

ipos]existente

1014 uiXuj‐uk*sin(psi)[1014 i j k 0 0 0 0 0 0 0

ipos]existente

1015 uiXuj‐(rk‐rl)*sin(psi)/Lkl[1015 i j k l 0 0 0 0 0 Lkl

ipos]existente

1016 uk'*(ri‐rj)‐Lij*cos(psi)[1016 k i j 0 0 0 0 0 0 Lij

ipos]existente

1017 ukX(ri‐rj)‐ul*Lij*sin(psi)[1017 k l i j 0 0 0 0 0 Lij

ipos]existente

1018ukX(ri‐rj)‐(rl‐

rm)*Lij*sin(psi)/Lml

[1018 k i j l m 0 0 0 Lij Llm

ipos]existente


59 | P á g i n a

El desarrollo de las nuevas restricciones 1040 y 1050 en MATRIZ CONSTR:

% 1040 ui – uj % [1040 i j 0 0 0 0 0 0 0 0 0]

% 1050 (ri – rj) – alpha*uk % [1050 k i j 0 0 0 0 0 0 0 0]

En función formFIPU4:

case 1040 % 1040 ui-uj % [1040 i j 0 0 0 0 0 0 0 0 0] vi=CONSTR(i,2); inui=U(vi,4:6); ui=q(inui); vj=CONSTR(i,3); inuj=U(vj,4:6); uj=q(inuj); fi(ii:ii+2)=ui-uj; ii=ii+3; case 1050 % 1050 (rj – ri) – alpha*uk % [1050 k i j 0 0 0 0 0 0 0 0] vk= CONSTR(i,2); inuk=U(vk,4:6); uk=q(inuk); pi= CONSTR(i,3); pj= CONSTR(i,4); inpi=P(pi,4:6); inpj=P(pj,4:6); rij=q(inpj)-q(inpi); alpha= uk'*rij; fi(ii:ii+2)= rij-alpha*uk; ii=ii+3;

En función formFiqPU4:

case 1040 % 1040 ui-uj % [1040 i j 0 0 0 0 0 0 0 0 0] vi=CONSTR(i,2); inui=U(vi,4:6); ui=q(inui); vj=CONSTR(i,3); inuj=U(vj,4:6); uj=q(inuj); %fi(ii:ii+2)=ui-uj; Fiq(ii:ii+2,[inui,inuj])=[eye(3),-eye(3)]; ii=ii+3; case 1050 % 1050 (rj – ri) – alpha*uk % [1050 k i j 0 0 0 0 0 0 0 0]


60 | P á g i n a

vk= CONSTR(i,2); inuk=U(vk,4:6); uk=q(inuk); pi= CONSTR(i,3); pj= CONSTR(i,4); inpi=P(pi,4:6); inpj=P(pj,4:6); rij=q(inpj)-q(inpi); alpha= uk'*rij; %fi(ii:ii+2)= rij-alpha*uk; Fiq(ii:ii+2,[inuk,inpi,inpj])=[-eye(3)*alpha, -eye(3), eye(3)]; ii=ii+3;

Y finalmente en función formFiqdqdPU4:

case 1040 % 1040 ui-uj % [1040 i j 0 0 0 0 0 0 0 0 0] % c(ii:ii+2)=zeros(3,1); c(ii:ii+2)=zeros(3,1); ii=ii+3; case 1050 % 1050 (ri – rj) – alpha*uk % [1050 k i j 0 0 0 0 0 0 0 0] % c(ii:ii+2)=zeros(3,1); c(ii:ii+2)=zeros(3,1); ii=ii+3;

La parametrización en Matlab queda de forma simplificada:

% Constraints for the robot CONSTR=[... 1000, 2, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, L(1) 1002, 1, 2, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, L(1), 0 1040, 2, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 1000, 3, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, L(2) 1002, 2, 3, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, L(2), 0 1040, 3, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 1000, 5, 4, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, L(3) 1001, 4, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 1002, 4, 5, 4, 0, 0, 0, 0, 0, 0, L(3), 0 1020, 4, 3, 5, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 1050, 3, 4, 5, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ];


61 | P á g i n a

Tabla 10. Parametrización de restricciones

Barra Condición Descripciónecuación

particular

Nº

restricci

ón

restricción expresión matricial

L1 L1 = cteEl body 2 tiene longitud

constante (L1)

(r2 – r1)^T ∙ (r2 –

r1) ‐ d12^2 = 01000 (ri'‐rj')*(ri‐rj)‐Lij^2 1000, 2, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, L(1)

L1 u1∙L1 = 0




áng=cte=90º

u1^T ∙ (r2 – r1) =

0 1002 uk'*(ri‐rj)‐Lij*cos(fi) 1002, 1, 2, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, L(1), 0

L1 u2 = u1Los vectores unitarios u1 y u2

siempre son igualesu2 – u1 = 0 1040 ui – uj 1040, 2, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0


constante (L2)

(r3 – r2)^T ∙ (r3 –

r2) ‐ d23^2 = 01000 (ri'‐rj')*(ri‐rj)‐Lij^2 1000, 3, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, L(2)

L2 u2∙L2= 0




áng=cte=90º

u2^T ∙ (r3 – r2) =




L3 L3=k∙u3Cuando se tienen 2 vectores


(r4 – r5) – alpha *

u3 = 01050 (ri – rj) – alpha*uk 1050, 3, 4, 5, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0

L3 u4=1






u4^T ∙ u4 – 1 = 0 1001 ui'*ui‐1 1001, 4, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0

L3 u4∙L3=0




áng=cte=90º

u4^T ∙ (r5 – r4) =


L3‐L3 x L4 =

0






(r3‐r4) x (r5 – r4)

= 0 1020 (rj‐ri)x(rk‐ri) = 0 1020, 4, 3, 5, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0


constante (L3)

(r5 – r4)^T ∙ (r5 –

r4) ‐ d45^2 = 01000 (ri'‐rj')*(ri‐rj)‐Lij^2 1000, 5, 4, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, L(3)


62 | P á g i n a

3.4 Análisis cinemático con trayectoria definida

La trayectoria se genera por una nube de puntos continua definidos en coordenadas

independientes.

Se describe una trayectoria elíptica, de la siguiente forma;

% Animation by the finite displacement problem % The end effector is displaced on an ellipse in z=constant plane with an % elevation of body 4 in z. % Ellipse radious rx=1.5; ry=1; % Ellipse center xc=1; yc=0.41; zc=0.3; % The ellipse points are parametrized by an angle alfa alfa=[0:pi/72:3*pi]; for ang=alfa % The end-effector position is computed from tha alfa value x=xc+rx*sin(ang); y=yc+ry*cos(ang+pi); z=-0.3+ang/30; % The guided coordinates are defined and introcuced in q qindval=[x, y, z, 0]; q(qind)=qindval'; q0=q; % The constraint equations are enforced by the Newton-Raphson method [q,nit]=NewtonRaphson(func,Jac,q0,qdep,CONSTR,P,U,tol,nitmax); % The new robot position is drawn and then a short pause is introduced drawMech(q,'b','r',P,U,LINES,UVECT,0.5,axes,TITLE) % F = getframe(gca); % mov = addframe(mov,F); pause(0.01) end


63 | P á g i n a

Figura 19. Movimiento del robot

En la Figura 19 puede verse para un instante de tiempo la trayectoria del robot. No se detecta

ningún conflicto, por lo que se valida el modelo (primera validación), y se pasa al modelo 2.


64 | P á g i n a

4 Modelo M2 en coordenadas naturales mixtas


relativas en forma de ángulos en los pares de revolución (3 ángulos; ϕ1, ϕ 2 y ϕ3) y distancias en

los pares prismáticos (1 distancia; s). Se añaden a este modelo 4 coordenas relativas (ver Figura 21).

El desarrollo es mucho más elaborado como puede apreciarse en Diagrama de Flujo 5 y Diagrama

de Flujo 6. En éste último diagrama de flujo, en rojo aparecen los elementos que se han anadido, en

azul los que se han modificado, y en verde las instrucciones que no varian. Así se puede ver el bajo

impacto de alterar las coordenadas comparando con la gran ventaja que va a suponer.

Diagrama de Flujo 5. Detalle de análisis a realizar con Modelo 2


65 | P á g i n a

INICIO

Coordenadas de los PUNTOS del robot

matriz P (5 x 4); np = 5

LONGITUDES ESLABONES (constantes)

L1, L2, L3

VECTORES UNITARIOS no repetidos

matriz U (5 x 4); nv = 5

COORDENADAS MIXTAS (naturales y

relativas)

vector q (34 x 1); n = 34 = (np+nv)*3+na+nd

DISTANCIA (variables) L4

vector DIST (1 x 2); nd = 1

Coord. mixtas FIJAS

vector fixed (9 x 1); 9=(1p+2vu)*3

Coord. mixtas LIBRES

vector free (25 x 1); 25=n‐6=34‐9

GDLs = 4 (se necesitan 4 motores)

Coord. libres INDEPENDIENTES = GDLs vector

qind (4 x 1); 4

Coordenadas libres DEPENDIENTES

vector qdep (21 x 1); 21=25‐4=free‐gdls

RESTRICCIONES (restricciones >= qdep)

matriz CONSTR (25 x 11);

Computación de JACOBIANOS y

RESTRICCIONES

formFiPU4, formFiqPU4

ESLABONES para dibujar

matriz LINES

VECTORES UNITARIOS para dibujar (los no

repetidos y los repetidos)

matriz UVECTOR

Dibujar el robot en cada instante

drawMech

Iteración de posiciones del robot

NewtonRaphson

FIN

ÁNGULOS psi1, psi2, psi3

vector ANGLE (3 x 2); na = 3

Diagrama de Flujo 6. Secuencia del programa del modelo 2 para validar coordenadas


66 | P á g i n a

Los vectores unitarios deben complementarse para poder definir correctamente el ángulo con:

U=[ 0, 0, 1, 16:18 0, 0, 1, 19:21 0, 0, 1, 22:24 1, 0, 0, 25:27; % FOR MIXED COORDINATES, added unit vector u5 to define psi1 1, 0, 0, 28:30]; % nv= {núm vectores unitarios} nv=size(U,1);

En cuanto a los ángulos y la distancia, implican incluir en el programa las siguientes líneas:

%% LONGITUDES, DISTANCIAS y ÁNGULOS % Computation of distances L(4)=norm(P(4,1:3)-P(3,1:3)); % Computation of angles p1=P(1,1:3); p2=P(2,1:3); p3=P(3,1:3); u1=U(1,1:3); u2=U(2,1:3); u3=U(3,1:3); u4=U(4,1:3); u5=U(5,1:3); % % psi1, from u5(paralell to x-axis) to L1(p2-p1) on u1 % fi(ii:ii+2)=cross(uk,rji)-ul*Lji*sin(psi); cpsi1=dot (u5,(p2-p1)/L(1)); [vmax,imax]=max(abs(u1)); u=cross(u5,(p2-p1)/L(1)); spsi1=u(imax)/u1(imax); psi1=atan2(spsi1,cpsi1); % psi2, from L2(p3-p2) to L1(p2-p1) on u2 cpsi2=(p3-p2)*(p1-p2)'/(L(1)*L(2)); [maxv,imax]=max(abs(u2)); u=cross((p3-p2),(p1-p2)); spsi2=u(imax)/(u2(imax)*L(1)*L(2)); psi2=atan2(spsi2,cpsi2); % psi3, from u4 to L2(p3-p2) on u3 cpsi3=dot(u4,(p3-p2)/L(2)); [maxv,imax]=max(abs(u3)); u=cross(u4,(p3-p2)/L(2)); spsi3=u(imax)/(u3(imax)); psi3=atan2(spsi3,cpsi3);


67 | P á g i n a

ANGLE=[psi1, 31 psi2, 32 psi3, 33]; na=size(ANGLE,1); % definition of distances as relative coordinates % value, position in q DIST=[L(4), 34]; nd=size(DIST,1);

La definición de los ángulos, puede encontrarse gráficamente en la Figura 22.

Las coordenadas naturales mixtas se definen como:

%% MIXED NATURAL COORDINATES % for NATURAL COORDINATES q=zeros(3*(np+nv)+na+nd,1); for i=1:np q(P(i,4:6))=P(i,1:3); end for i=1:nv q(U(i,4:6))=U(i,1:3); end qini = q; % for MIXED COORD; for i=1:na apos=ANGLE(i,2); q(apos)=ANGLE(i,1); end for i=1:nd dpos=DIST(i,2); q(dpos)=DIST(i,1); end n=length(q);

4.1 Coordenadas dependientes e independientes

Es necesario revisar si el sistema de vectores unitarios del modelo 1 es suficiente o no para los

ángulos y distancias anadidos. Para este caso concreto, se ha necesitado añadir 1 vector unitario

adicional con objeto de que los ángulos queden perfectamente determinados con las

correspondientes ecuaciones de producto escalar y/o vectorial (ver Figura 20).


68 | P á g i n a

Figura 20. Puntos y vectores unitarios para coordenadas naturales mixtas

Las coordenadas relativas añadidas pasan a ser las nuevas coordenadas independientes

(sustituyendo a las coordenadas independientes cartesianas del modelo primero, que eran

coordenadas naturales).

% FOR MIXED COORD; qind = [31, 32, 33, 34];


69 | P á g i n a

Figura 21. Representación de las coordenadas relativas y su signo

A modo de resumen, en la Tabla 11, puede verse del nuevo modelo cómo queda en cuanto a

composición de número de coordenadas, así como sus diferentes tipos y orígenes.


70 | P á g i n a

Tabla 11. Coordenadas naturales mixtas del modelo 2

4.2 Restricciones

Las restricciones habrán de ser incrementadas en, al menos, 4 ecuaciones, una por cada nueva

incógnita.

La validación del modelo número 2, tiene 2 fases. La primera, al igual que se hizo en el modelo

número 1, a través del análisis cinemático del comportamiento con una trayectoria definida.

coordenadas naturales udsnº variables en el

espaciomatlab

puntos 5 15 matriz P

vectores unitarios 5 15 matriz UVECT

vectores unitarios que NO están repetidos 5 15 matriz Uvectores unitarios que SÍ están repetidos (por ser

iguales siempre)0 0

Σ coordenadas naturales: 30

coordenadas relativas udsnº variables en el

espaciomatlab

ángulos 3 3

distancias 1 1

Σ coordenadas relativas: 4

34 vector q

tipos de coordenadas

coordenadas naturales (q = fixed + free) udsnº variables en el

espaciomatlab

fijas 3 9 vector fixed

puntos 1 0


libres 25 vector free

puntos

vectores unitarios

libres (free = qind + qdep) 25

coordenadas independientes (qind= gdls) 4 vector qind

coordenadas dependientes = restricciones (qdep=

CONST)21

vector qdep

matriz CONSTR

Σ coordenadas mixtas (naturales + relativas):


71 | P á g i n a

Podrían obtenerse del modelo 2 en este análisis, velocidades y aceleraciones, pero no son

necesarios. Tan sólo interesan los movimientos o desplazamientos finitos.

Comprobada la coherencia de movimientos (segunda validación), se pasa a analizar

cinemáticamente el comportamiento con trayectorias interpoladas.

Como mínimo son necesarias 21 restricciones para coordenadas naturales mixtas (ver Tabla 12).

Por lo tanto, han de anadirse, al menos, 4 nuevas ecuaciones de restricción (4 de ellas serán

independientes, una por cada nueva incógnita).

Figura 22. Definición de los ángulos


72 | P á g i n a

Tabla 12. Ecuaciones de restricción para el robot en coordenadas naturales mixtas

BodyCoorden

adasBarra Condición Descripción

ecuación

particular

Tipo de

ecuación

nº de

ecuació

n

Nº

restricci

ón


constante (L1)

(r2 – r1)^T ∙ (r2 –

r1) ‐ d12^2 = 0Escalar N1 1000

Body 2 Naturales L1 u1∙L1 = 0




áng=cte=90º

u1^T ∙ (r2 – r1) =

0 Escalar N2 1002



N3, N4,

N51040


constante (L2)

(r3 – r2)^T ∙ (r3 –

r2) ‐ d23^2 = 0Escalar N6 1000

Body 3 Naturales L2 u2∙L2= 0




áng=cte=90º

u2^T ∙ (r3 – r2) =

0 Escalar N7 1002



N8, N9 ,

N101040

Body 4 Naturales L3 L3=k∙u3Cuando se tienen 2 vectores


(r4 – r5) – alpha *

u3 = 0Vectorial

N11,

N12,

N13

1050

Body 4 Naturales L3 u4=1






u4^T ∙ u4 – 1 = 0 Escalar N14 1001

Body 4 Naturales L3 u4∙L3=0




áng=cte=90º

u4^T ∙ (r5 – r4) =

0 Escalar N15 1002

Body 4 Naturales L3‐L3 x L4 =

0






(r3‐r4) x (r5 – r4)

= 0 Vectorial

N16,

N171020


constante (L3)

(r5 – r4)^T ∙ (r5 –

r4) ‐ d45^2 = 0Escalar N18 1000

Body 2Naturales

MixtasL1

L1 x u5 =

k ∙u1

φ1, va de L1 a L0, entre L1 (p2

– p1) y u5 (L0)

u5 x (r2 ‐ r1) =

k∙u1Vectorial N19 1017

Body 3Naturales

MixtasL2

L2 x L1 = k

∙u2


– p2) y L1 (p2 – p1)

(r3 ‐ r2 ) x (r1 –

r2) = k ∙ u2Vectorial N20 1011

Body 4Naturales

MixtasL3

u4 x L2 =

k ∙u3

φ3, va de u5 a L2, φ3es el

ángulo entre u4 y L2 (p3 – p2)

u4 x (r3 – r2) = k ∙

u3Vectorial N21 1017

Body 4Naturales

MixtasL3 s (L4), va de p3 a p4

(r4 – r3)^T ∙ (r4 –

r3) – s^2 = 0Escalar N22 1030


73 | P á g i n a

La parametrización en Matlab queda ahora, de forma simplificada:

% Constraints for the robot (with relative coordinates) CONSTR=[... 1000, 2, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, L(1) 1002, 1, 2, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, L(1), 0 1040, 2, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 % FOR MIXED COORD; psi1, from L1(p2-p1) to u5 (paralell to y-axis) on u1 %(la última componente, indica en qué línea de ANGLE está definido este ángulo) %No es necesario poner 1016 porque en formFiPU4 (en esa versión) lo %selecciona automáticamente 1017, 5, 2, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, L(1), 1 1000, 3, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, L(2) 1002, 2, 3, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, L(2), 0 1040, 3, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 % FOR MIXED COORD; psi2, from L2(p3-p2) to L1(p1-p2) on u2 %(la última componente, indica en qué línea de ANGLE está definido %este ángulo) 1011, 2 3 2 1 2 0 0 0 L(2) L(1) 2 1000, 5, 4, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, L(3) 1001, 4, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 1002, 4, 5, 4, 0, 0, 0, 0, 0, 0, L(3), 0 1020, 4, 3, 5, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 1050, 3, 4, 5, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 % FOR MIXED COORD; psi3, from u4 to L2(p3-p2) on u3 %(la última componente, indica en qué línea de ANGLE está definido %este ángulo) 1017, 4, 3, 2, 3, 0, 0, 0, 0, 0, L(2), 3 % FOR MIXED COORD; s (dij) on u3 (la última componente, indica en que línea de DIST está definida % esta distancia) 1030, 4, 3, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1 ];

Y de forma más detallada, puede apreciarse en la Tabla 13.


74 | P á g i n a

Tabla 13. Parametrización de restricciones en coordenadas naturales mixtas

Barra Condición Descripciónecuación

particular

Nº

restricci

ón

restricción expresión matricial


constante (L1)

(r2 – r1)^T ∙ (r2 –

r1) ‐ d12^2 = 01000 (ri'‐rj')*(ri‐rj)‐Lij^2 1000, 2, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, L(1)

L1 u1∙L1 = 0




áng=cte=90º

u1^T ∙ (r2 – r1) =





constante (L2)

(r3 – r2)^T ∙ (r3 –

r2) ‐ d23^2 = 01000 (ri'‐rj')*(ri‐rj)‐Lij^2 1000, 3, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, L(2)

L2 u2∙L2= 0




áng=cte=90º

u2^T ∙ (r3 – r2) =




L3 L3=k∙u3Cuando se tienen 2 vectores


(r4 – r5) – alpha *

u3 = 01050 (ri – rj) – alpha*uk 1050, 3, 4, 5, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0

L3 u4=1






u4^T ∙ u4 – 1 = 0 1001 ui'*ui‐1 1001, 4, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0

L3 u4∙L3=0




áng=cte=90º

u4^T ∙ (r5 – r4) =


L3‐L3 x L4 =

0






(r3‐r4) x (r5 – r4)

= 0 1020 (rj‐ri)x(rk‐ri) = 0 1020, 4, 3, 5, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0


constante (L3)

(r5 – r4)^T ∙ (r5 –

r4) ‐ d45^2 = 01000 (ri'‐rj')*(ri‐rj)‐Lij^2 1000, 5, 4, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, L(3)

L1L1 x u5 =

k ∙u1


– p1) y u5 (L0)

u5 x (r2 ‐ r1) =

k∙u11017

ukX(ri‐rj)‐

ul*Lij*sin(psi)1017, 5, 2, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, L(1), 1

L2L2 x L1 = k

∙u2


– p2) y L1 (p2 – p1)

(r3 ‐ r2 ) x (r1 –

r2) = k ∙ u21011

(rj‐ri)X(rl‐rk)‐

um*Lij*Lkl*sin(psi)1011, 2 3 2 1 2 0 0 0 L(2) L(1) 2

L3u4 x L2 =

k ∙u3

φ3, va de u5 a L2, φ3es el

ángulo entre u4 y L2 (p3 – p2)

u4 x (r3 – r2) = k ∙

u31017

ukX(ri‐rj)‐

ul*Lij*sin(psi)1017, 4, 3, 2, 3, 0, 0, 0, 0, 0, L(2), 3

L3 s (L4), va de p3 a p4(r4 – r3)^T ∙ (r4 –

r3) – s^2 = 01030 (ri'‐rj')*(ri‐rj)‐s^2 1030, 4, 3, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1


75 | P á g i n a

4.3 Análisis cinemático con trayectoria definida

La trayectoria se genera por una nube de puntos continua definidos en coordenadas

independientes. El código es;

inc=[ANGLE(1):pi/72:ANGLE(1)+2*pi]; tstart=tic; for delta=inc ANGLE(1)=delta; ANGLE(2)=delta/2; ANGLE(3)=delta; dij=L(4)+delta/4; % The guided coordinates are defined and introduced in q qindval=[ANGLE(1),ANGLE(2),ANGLE(3),dij]; q(qind)=qindval'; q0=q; % The constraint equations are enforced by the Newton-Raphson method [q,nit]=NewtonRaphson(func,Jac,q0,qdep,CONSTR,P,U,tol,nitmax,ANGLE, DIST); telapsed=toc(tstart); % The new robot position is drawn and then a short pause is introduced TITLE=['3ARM 4DOF ROBOT; time = ', num2str(telapsed,'%06.2f'), ' s']; drawMech(q,'b','r',P,U,LINES,UVECT,0.5,axes,TITLE) pause(0.01); end


76 | P á g i n a

Figura 23. Posición inicial del robot

4.4 Análisis cinemático con trayectorias interpoladas

En este caso se han elegido 3 puntos máster; punto inicial (Figura 23), punto intermedio (Figura 24)

y punto final (Figura 25). El número de interpolaciones con el que se actúa es de 50 interpolaciones

en cada tramo (cada 2 puntos máster hay un tramo), resultando un total de 100 interpolaciones.


final igual a 0.

Los 3 puntos máster y la función de interpolación son:

%% PUNTO MÁSTER n1 %número de puntos máster numpos=3; POS=zeros(numpos,size(q',2)); POS(1,:) = q'; [q,nit]=NewtonRaphson(func,Jac,q0,qdep,CONSTR,P,U,tol,nitmax, ANGLE, DIST); % ROBOT is drawn in the initial position axes=[-2 2 -1 3 -1 3]; TITLE='3ARM 4DOF ROBOT; POS1 [m]'; drawMech(q,'b','r',P,U,LINES,UVECT,0.5,axes,TITLE)


77 | P á g i n a

view(68,21); pause(1) %% PUNTOS MÁSTER 2 y siguientes (mínimo 3) % POS2 a1=-0.2*pi; a2=0.85*pi;a3=0.9*pi;s=DIST(1) qindval=[a1,a2,a3,s]; q(qind)=qindval'; q0=q; [q,nit]=NewtonRaphson(func,Jac,q0,qdep,CONSTR,P,U,tol,nitmax, ANGLE, DIST); POS(2,:) = q'; TITLE=['3ARM 4DOF ROBOT; POS2 [m]']; drawMech(q,'b','r',P,U,LINES,UVECT,0.5,axes,TITLE) pause(1); % POS3 a1=-0.5*pi; a2=1.2*pi;a3=pi/8;s=DIST(1); qindval=[a1,a2,a3,s]; q(qind)=qindval'; q0=q; [q,nit]=NewtonRaphson(func,Jac,q0,qdep,CONSTR,P,U,tol,nitmax, ANGLE, DIST); POS(3,:) = q'; TITLE=['3ARM 4DOF ROBOT; POS3 [m]']; drawMech(q,'b','r',P,U,LINES,UVECT,0.5,axes,TITLE) pause(1); %% INTERPOLACIÓN DE PUNTOS INTERMEDIOS A PARTIR DE PUNTOS MÁSTER % npint = {el número de interpolaciones entre 2 puntos máster} npint=51; tol=1e-12; nitmax=100; tpar=[0:size(POS,1)-1]'; % Método de Splines cúbicos con aceleración inicial y final constante [txp,Q]= splines3RobotAnglesInterp(POS,npint,qdep,... CONSTR,P,U,ANGLE,DIST,tpar,tol,nitmax);


78 | P á g i n a

Figura 24. Posición Máster número 2; posición intermedia

Figura 25. Posición Máster número 3; posición final

Obtenido el movimiento, se calculan, mediante fórmulas de diferenciación numérica, las

velocidades y aceleraciones independientes. El proceso es análogo al anteriormente explicado,

recordando la condición impuesta de que la aceleración en el instante t= 0 y en instante t= final, se

ha tomado como 0. Las velocidades y aceleraciones dependientes se calculan resolviendo las



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Se comprueba, de nuevo, en una tercera validación del modelo, la coherencia del movimiento

interpolado.

La velocidad y aceleración salen de:

% VELOCIDAD Y ACELERACIÓN %Velocidades y aceleraciones debidos a la interpolación realizada [Qvel,Qacc] = splines3RobotVelAccInterp(txp,Q,qdep,CONSTR,P,U,ANGLE,DIST)

4.5 Análisis dinámico inverso

se desean aplicar sólo las fuerzas debidas al peso, aunque se podrían haber incorporado fuerzas de

otra naturaleza si se hubiese deseado.


las fuerzas tenidas en cuenta (el peso) es calculado. Como resultado final del análisis dinámico

inverso, se obtienen los pares que han de ejercer los cuatro motores para replicar el movimiento

prescrito con las fuerzas que estaban actuando.

Para proceder con el análisis dinámico inverso, hay que conocer las propiedades físicas de los

elementos que componen el robot. En las siguientes figuras, se muestran los resultados de pesos e

inercias, a aplicar a la función inertia3ARM4DOFrobot.

%% DINÁMICA INVERSA % cálculo de los pares generados por la trayectoria % Initial velocities are set to zero % velini = zeros(size(q)); qini=Q(1,:)'; velini=Qvel(1,:)'; %velini = zeros(size(q)); n=size(Q,2); % Inertia properties Inertia = inertia3ARM4DOFrobot(P); % Mass matrix, velocity dependent inertia forces and structure Inertia are computed %[M,Qw,Inertia]=massNew4(Inertia, q, velini, P, U); [M,Qw,Inertia]=massNew(Inertia, qini, velini, P, U); % Gravity forces are added %Qw(1:end-handles.qIND(1,1))=weigth(Inertia, P, U); Qw(1:end-4)=weight(Inertia, P, U); % The torques applied by the actuators are computed Tau = invDynamics(Q,Qvel,Qacc,CONSTR,... P,U,ANGLE,DIST,free,qdep,qind,Inertia,Qw); tau1=Tau(:,end-3); tau2=Tau(:,end-2); tau3=Tau(:,end-1); tau4=Tau(:,end);


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Figura 26. Propiedades físicas de la base del robot (body 1 o eslabón L0)


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Figura 27. Propiedades físicas del eslabón L1 (Body 2)



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Figura 30. Movimientos, velocidades, aceleraciones y pares de las coordenadas relativas, si Qmec_din_inv = Qmec_din_dir = 0


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4.6 Análisis dinámico directo

Se realiza el análisis dinámico directo, utilizando los pares procedentes del análisis dinámico

inverso, sin introducir ninguna fuerza adicional. Se comparan los resultados de movimientos

obtenidos con este método con los teóricos (procedentes del análisis cinemático). Los resultados

obtenidos se muestran en Figura 31.

Figura 31. Errores en ϕ1, ϕ2, ϕ3 y s, entre posición teórica (calculada según la cinemática) y posición real (según la dinámica directa), si Qmec_din_inv = Qmec_din_dir = 0

Como comprobación, se ha realizado también la prueba de comparar resultados si a la dinámica

inversa se le aplica una fuerza de mecanizado, adicional a las fuerzas inerciales debidas al peso del

robot, y se ha comparado con los resultados de la dinámica directa si se le aplica esas mismas

fuerzas que en la dinámica inversa. El resultado es, como cabía esperar, el mismo (ver Figura 32).


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Figura 32. Errores en ϕ1, ϕ2, ϕ3 y s, entre posición teórica (calculada según la cinemática) y posición real (según la dinámica directa), si Qmec_din_inv = Qmec_din_dir





4.7 Análisis dinámico directo de lazo cerrado

Se aplican ganancias en forma de correcciones en posición y/o velocidad para eliminar esas

diferencias. Se evalúa el error de posición como la diferencia, en cada punto, entre el movimiento

teórico deseado en el modelo cinemático y el movimiento real obtenido para cada fuerza de

mecanizado y una ganancia concreta.

La fuerza de mecanizado elegida es de 35kg, en dirección contraria a u4. Dicha fuerza se ha

valorado que actúe desde el instante de tiempo t>1´8s hasta el final.


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Figura 33. Esquema del robot con husillo de mecanizado

El código del análisis directo, incluyendo el lazo cerrado es:

%% DIRECT DYNAMIC % The dynamic simulation is carried out % It is necessary to have interpolated valid results: Q, Qvel and Qacc Kpos=10; Kvel=0; n=size(Q,2); % The dynamics is always computed out with angles qini = Q(1,:)'; velini=Qvel(1,:)'; y0=[Qvel(1,qind)'; Q(1,free)']; % control gains KPOS=Kpos; KVEL=Kvel; t1=clock; options=odeset('RelTol', 1e-06, 'AbsTol', 1e-06, 'Stats', 'on');


86 | P á g i n a

[TT,YY]=ode113(@deriv3ARM4DOFrobot, txp, y0, options, CONSTR,P,U,ANGLE,DIST,Inertia,Qw,... n,free,fixed,qini,qind,qdep,Q,Qvel,Qacc,Tau,txp, KPOS,KVEL); t2=clock; disp(['cpu integration time: ',num2str(etime(t2,t1)),' s'])

De la Figura 34 a la Figura 49 se produce se mapean los resultados de las diferentes tomas de datos,

según sus condiciones.

Figura 34. Qmec = ‐35kg (t>1´8s), Kpos=0, Kvel=0


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Figura 39. Qmec = ‐35kg (t>1´8s), Kpos=10000, Kvel=0. tintegración= 68´045s



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Figura 41. Qmec = ‐35kg (t>1´8s), Kpos=0, Kvel=100, tintegración= 126´127s

Figura 42. Qmec = ‐35kg (t>1´8s), Kpos=0, Kvel=1000, tintegración= 1287’115s


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Figura 43. Qmec= ‐35kg (t>1´8s), Kpos=100, Kvel=100, tintegración =129´022s

Figura 44. Qmec= ‐70kg (t>1´8s), Kpos=0, Kvel=0


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Figura 48. Qmec= ‐70kg (t>1´8s), Kpos=10000, Kvel=0, tintegración= 74´125s


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Figura 49. Qmec= ‐70kg (t>1´8s), Kpos=100, Kvel=100, tintegración= 127´95s


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5 Resultados

Se mapea el error de posición obtenido para cada fuerza de mecanizado y las diferentes ganancias

previstas, graficando la mejor precisión que puede dar el robot para cada operación que se le

requiere, y en qué condiciones.

Las gráficas que se consideran interesantes son:

psi1 teórico: ‐0´5*pi rad

psi2 teórico: 1´2*pi rad

psi3 teórico: pi/8 rad

s teórica: 400 mm

Qmec (en valor

absoluto) [kg]Kpos Kvel εpsi1 [rad] εpsi2 [rad] εpsi3 [rad] εs [mm]

tintegración

[s]

0 0 0 0,000347 0,000425 0,001974 6E‐11

35 0 0 0,000347 0,000425 0,807000 6E‐11

35 100 0 0,005065 0,014077 0,192450 4E‐12

35 1000 0 0,002424 0,009785 0,015584 3E‐12

35 10000 0 0,001297 0,001895 0,002725 2E‐13 68

35 0 10 0,005072 0,014488 0,217160 1E‐12

35 0 100 0,001463 0,007973 0,027999 0E+00 126

35 0 1000 0,000983 0,001752 0,002882 0E+00 1.287

35 100 100 0,001309 0,007665 0,025773 0E+00 129

70 0 0 0,000347 0,000425 0,745490 6E‐11

70 10 0 0,002099 0,005342 0,716360 4E‐12

70 100 0 0,007951 0,022442 0,307140 4E‐12

70 1000 0 0,004661 0,018805 0,037316 3E‐12

70 10000 0 0,002578 0,003766 0,005311 4E‐13 74

70 100 100 0,002447 0,014938 0,049741 0E+00 128

Qmec (valor

absoluto) [kg]Kpos Kvel εpsi1 [rad] εpsi2 [rad] εpsi3 [rad] εs [mm]

tintegración

[s]

35 0 10 0,005072 0,014488 0,217160 1E‐12

35 0 100 0,001463 0,007973 0,027999 0E+00 126

35 0 1000 0,000983 0,001752 0,002882 0E+00 1.287

35 100 100 0,001309 0,007665 0,025773 0E+00 129

70 100 100 0,002447 0,014938 0,049741 0E+00 128


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6 Conclusiones

Con los resultados obtenidos, se desprenden las siguientes conclusiones:

‐ Cuanto mayor es la fuerza de mecanizado que se precisa, el error es mayor para una misma

ganancia; la ganancia tiene que ser aumentada para minimizar el error.

‐ Si se aplica una ganancia, la mejora se produce en todas las coordenadas.

‐ Es necesario aplicar valores altos de ganancia de posición, en torno a 10.000 para reducir de

forma importante los errores.

‐ La ganancia de velocidad aplicada con valores de ganancia de posición 0, no tiene un efecto

significativo y penaliza gravemente el tiempo de respuesta si toma valores altos.

‐ La ganancia de velocidad en valores bajos, combinada con ganancia alta de posición, da

buenos resultados.

‐ Si el control de lazo cerrado fuese lo suficientemente rápido en dar la respuesta, podría

llegarse a tolerancias de posición equiparables a los CNCs.


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7 Posibles aplicaciones

Se está interesado en estudiar las posibilidades de apoyo en el mecanizado mediante robots. Tiene

sus dificultades, porque son mucho más flexibles, pero presentan ventajas en cuanto a la economía,

equilibrado de ciclos de mecanizado, e incluso incorporación directamente a las células de

fundición.

Como futuras líneas de investigación en ese sentido, a la vista de los resultados obenidos, sería; el

estudio del comportamiento con movimiento en 2 etapas (en cada etapa, algún motor estaría

inactivo); aplicación de otros mecanizados ; análisis del robot con trayectorias interpoladas con

condición de velocidad inicial y final 0; modelización como sólido no rígido; y diseño del modelo de

robot estándar antropomórfico de 6 grados de libertad.


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8 Anexos

Las funciones utilizadas para la modelización en Matlab están recogidas en Tabla 14

Tabla 14. Funciones utilizadas en el algoritmo

FUNCIÓN definición

formFiPU4 fi=formFiPU4(q, CONSTR, P, U, ANGLE, DIST)

formFiqPU4 Fiq=formFiqPU4(q, CONSTR, P, U, ANGLE, DIST, qdep)

formFiqdqdPU4 c=formFiqdqdPU4(q, v, CONSTR, P, U, ANGLE, DIST)

NewtonRaphson [q,nit]=NewtonRaphson(func,Jac,q0,qdep,CONSTR,P,U,tol,nitmax, ANGLE, DIST)

drawMech drawMech(q,'b','r',P,U,LINES,UVECT,0.5,axes,TITLE)

splines3RobotAnglesInte

rp

[txp,Q]= splines3RobotAnglesInterp(POS,np,qdep,

CONSTR,P,U,ANGLE,DIST,tpar,tol,nitmax)

splines3b [txp,psi1]=splines3b(tpar,POS(:,nq‐3),npint);

splines3RobotVelAccInter

p[Qvel,Qacc] = splines3RobotVelAccInterp(txp,Q,qdep,CONSTR,P,U,ANGLE,DIST);

inertia3ARM4DOFrobot inertia3ARM4DOFrobot(P);

massNew [M,Qw,Inertia]=massNew4(Inertia, q, velini, P, U);

weight Q=weight(Inertia, P, U)

invDynamics Tau = invDynamics(Q,Qvel,Qacc,CONSTR,P,U,ANGLE,DIST,free,qdep,qind,Inertia,Qw)

ode113[TT,YY]=ode113(@deriv3ARM4DOFrobot, txp, y0, options,

CONSTR,P,U,Inertia,Qw,n,free,fixed,qini,qind,qdep,Q,Qvel,Qacc,Tau,txp, KPOS,KVEL)

deriv3ARM4DOFrobotyp=deriv3ARM4DOFrobot(t,y, CONSTR,P,U,ANGLE,

DIST,Inertia,Qw,N,free,fixed,qini,qind,qdep,Q,Qvel,Qacc,Tau,txp, KPOS,KVEL)


101 | P á g i n a

9 Referencias

GARCÍA DE JALÓN DE LA FUENTE, J. Análisis cinemático y dinámico de sistemas multicuerpo 3‐D:

aplicación a la dinámica vehicular. Mecánica Computacional, Máster de Ingeniería Mecánica. ETSII‐

INSIA, 2009.

GARCÍA DE JALÓN DE LA FUENTE; J: Interpolación y aproximación de funciones. ETSII‐UPM

Departamento de Matemática Aplicada a la Ingeniería Industrial; 2014.

GARCÍA DE JALÓN DE LA FUENTE, J., BAYO, E. Kinematic and Dynamic Simulation of Multibody

Systems. Springer‐Verlag, New York, 2011.

GARCÍA DE JALÓN DE LA FUENTE, J., SHIMIZU, N. Matlab programs for kinematic and dynamic

multibody simulation. ETSII ‐UPM and Motion Labo Inc, 2007.

GARCÍA DE JALÓN DE LA FUENTE, J., SHIMIZU, N. Numerical Methods for Kinematic and Dynamic of

3D Multibody Systems. ETSII‐UPM and Motion Labo Inc, 2007.

universidad politÉcnica de madrid …oa.upm.es/33592/1/caracterización de un robot para...

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