Matrices Universidad Nacional del Callao

Universidad Nacional del CallaoFacultad de Ingeniera Mecnica Energa

Matemtica BsicaLic. Francisco E. Torres PinedoMonografa Final

MATRICES

Jorge Armando Zambrano RodrguezJavier Abel Tarazona SalazarJair Alexis Uribe CrdovaJimmy Yeltsin Ziga EgusquizaSantiago Hugo Quispe Vlez 2014-II

DEDICATORIA

Este trabajo est dedicado, en primer lugar, a Dios; por habernos permitido llegar a esta hermosa etapa de la vida que es la universidad, habernos brindado salud y las fuerzas necesarias para seguir adelante da a da para as lograr nuestros objetivos. En segundo lugar, se lo dedicamos a nuestras familias que nos apoyaron y nos siguen apoyando en todo momento. Por ltimo, se lo dedicaremos a nuestros profesores:Torres Pineado, FranciscoDaz Cabrera, CarlosNeyra Moreyra, RubenGargurevich Oliva, AnteroPerez Bolivar, Ruben

A quienes les estamos agradecidos por su gran apoyo y motivacin durante el ciclo acadmico, su ctedra ofrecida en este trabajo y por habernos transmitidos los conocimientos obtenidos.

Atentamente Los miembros del grupo

NDICE

1. Matrices51.1 Definicin51.2Orden de una matriz61.3Tipos de Matrices61.3.1Matriz rectangular61.3.2Matriz opuesta61.3.3Matriz nula71.3.4Matriz cuadrada71.3.4.1Triangular superior71.3.4.2Triangular inferior71.3.4.3Matriz diagonal81.3.4.4Matriz escalar81.3.4.5Matriz identidad o unidad81.3.4.6Matriz simtrica81.3.4.7Matriz anti simtrica81.3.4.8Matriz peridica91.3.4.9Matriz idempotente91.3.4.10Matriz nilpotente91.3.4.11Matriz inversa91.3.4.12Matriz involutoria92.Algebra de matrices92.1Igualdad de matrices92.2Suma de matrices102.3Producto de un escalar por una matriz112.4Producto de matrices112.5Transpuesta de una matriz133.Transformaciones Elementales143.1.1Transformaciones elementales fila o columna143.1.2Matriz escalonada163.1.3Matrices equivalentes173.1.4Rango de una matriz183.1.5Inversa de una matriz por el Mtodo de las Matrices Elementales184.Determinantes204.1Definicin204.2Calculo para el determinante de una matriz de orden 2204.3Calculo para el determinante de una matriz de orden 3204.3.1Regla de Sarrus214.4Propiedades de los determinantes214.5Existencia de los determinantes254.5.1Menor de una componente264.5.2Cofactor de una componente274.6Calculo de determinante de cualquier orden294.6.1Calculo de determinantes mediante la reduccin a la forma escalonada304.7Adjunta de una matriz314.8Inversa de una matriz324.8.1 Inversa mediante el uso de la matriz adjunta324.8.2 Teorema de Cayley Hamilton344.9Matrices no singulares354.9.1Matriz no singular354.9.2 Matriz singular355.Conclusiones356.Bibliografa36

INTRODUCCINLas matrices, aunque parezcan al principio objetos extraos, son una herramienta muy importante para expresar y discutir problemas que surgen en la vida real. En los negocios a menudo es necesario calcular y combinar ciertos costos y cantidades de productos, por ejemplo. Las tablas son una forma de representar estos datos puesto que agrupar los datos en un rectngulo nos muestra una representacin ms clara y fcil de los datos. Tal representacin de los datos se denomina MATRIZ.Pues veamos un ejemplo aplicativo, muy sencillo, antes de iniciar con el estudio de las matrices.Sea el enunciado: Una empresa de muebles fabrica tres modelos de estantera: A, B y C. En cada uno de los tamaos, grande y pequeo. Produce diariamente 1000 estanteras grandes y 8000 pequeas de tipo A, 8000 grandes y 6000 de tipo B, y 4000 grandes y 6000 pequeos de tipo C. Cada estantera grande lleva 16 tornillos y 6 soportes, y cada estantera pequea lleva 12 tornillos y 4 soportes, en cualquiera de los modelos.a) Representar la informacin dada en dos matrices (Fuente: Propia)SolucinSean: g (grande) y p (pequeo); T (tornillos) y S (soportes). De acuerdo a los datos se obtendrn dos matrices. g pT SA = B =

Podemos observar que el uso de matrices, permite la distribucin uniforme de muchos problemas y/o situaciones cotidianas.Siendo el objetivo inmediato de este trabajo monogrfico mostrar los diferentes tipos de matrices que existen, analizndolos matemticamente y mostrando sus respectivas aplicaciones en la vida cotidiana.

1. Matrices1.1 DefinicinUna matriz es un ordenamiento rectangular de elementos que pueden ser nmeros, polinomios, funciones, vectores, etc. Dispuestos en m filas y n columnas.Ejemplo:

Donde:2x2 indica que la matriz A tiene 2 filas y 2 columnas.2x4 indica que la matriz B tiene 2 filas y 4 columnas.3x2 indica que la matriz C tiene 3 filas y 2 columnas.

Nota: Los nmeros que forman una matriz se llaman elementos de la matriz y los indicamos con letras minsculas, mientras que los nombres de las matrices se indican con letras minsculas.

Las matrices varan en tamao u orden. El tamao u orden de una matriz se escribe especificando el nmero de filas o renglones (lneas horizontales) y columnas (lneas verticales) que aparecen en la matriz. Por lo tanto, una matriz de orden m x n tiene m filas y n columnas (primero se indican las filas y despus las columnas).

1.1.1 Notacin generalSi A es una matriz de orden m x n entonces se denotar aij para indicar el elemento que est en la i-sima fila y j-sima columna.

1.2 Orden de una matrizEl orden de la matriz es la multiplicacin indicada del nmero de filas por el nmero de columnas de dicha matriz, si la matriz tiene m filas y n columnas diremos que la matriz es de orden m x n.Ejemplo:

La matriz tiene 2 filas y 3 columnas, entonces se dice que es de orden 2x3(dos por tres).1.3 Tipos de MatricesHay algunas matrices que aparecen frecuentemente y que segn su forma, sus elementos, reciben nombres diferentes.1.3.1 Matriz rectangularAquella matriz que tiene distinto nmero de filas que de columnas, siendo su orden m x n, donde m n A la misma vez, podemos clasificar la matriz rectangular en:1.3.1.1 Matriz filaAquella matriz que tiene una sola fila, siendo su orden 1 x n.

1.3.1.2 Matriz columnaAquella matriz que tiene una sola columna, siendo su orden m x 1.

1.3.2 Matriz opuestaLa matriz opuesta de una dada es aquella que resulta de sustituir cada elemento por su opuesto. La opuesta de A es A.

1.3.3 Matriz nulaSe le denominar as si todos sus elementos son cero. Tambin se denomina matriz cero y se denota por 0mn. Usualmente se le denota con el smbolo griego theta ( ).

1.3.4 Matriz cuadradaAquella matriz que se caracteria por tener igual numero de filas y columnas (m = n ). Es una mariz de orden nxn o simplemente de orden n. Diagonal principalSon elementos de a11, a22, a33, , ann de la matrizcuadrada an

Diagonal secundariaSon elementos aij con i+j=n+1

Ahora daremos mencin las matrices cuadradas ms importantes.1.3.4.1 Triangular superiorSe dice que es matriz triangular superior si los elementos ubicados por debajo de la diagonal principal son cero.

1.3.4.2 Triangular inferiorSe dice que es matriz inferior si los elementos encima de la diagonal principal son cero.

1.3.4.3 Matriz diagonalSe dice que es matriz diagonal si todos los elementos fuera de la diagonal son cero.

1.3.4.4 Matriz escalarSe dice que es matriz escalar si todos los elementos de la diagonal principal son iguales.

1.3.4.5 Matriz identidad o unidadSe dice que es matriz identidad o nula si los elementos de la diagonal principal son iguales a 1. Se denota con la letra I. 1.3.4.6 Matriz simtrica Se dice que es matriz simtrica si es igual a su transpuesta.

1.3.4.7 Matriz anti simtrica Se dice que es matriz anti simtrica si es unamatriz cuadradaAcuyatraspuestaes igual a su negativa, es decir AT= -A.

Propiedades.-1. AT + A es una matriz simtrica2. A - ATes una matriz antisimtrica3. A=1/2(AT + A)+1/2(A - AT)

1.3.4.8 Matriz peridicaSe dice que es matriz peridica si existe un entero positivo k tal que , el menor k se llama periodo.

1.3.4.9 Matriz idempotenteSe dice que es matriz idempotente si . 1.3.4.10 Matriz nilpotenteSe dice que es matriz nilpotente si existe el entero k tal que , el menor entero k con esa propiedad se llama ndice. 1.3.4.11 Matriz inversaSe dice que es matriz inversa si para una matriz A existe una matriz B tal que A.B = I; donde I es la matriz identidad.Nota: Si A y B son matrices cuadradas de orden n, invertibles, entonces se cumplen las siguientes propiedades.PI.1 : AA-1=IPI.2 : (A-1)- 1=A.PI.3 : (AB)- 1=B- 1A- 1 (sikes un escalar). PI.4 :(AT) - 1=(A- 1) T

1.3.4.12 Matriz involutoria Se dice que es matriz involutoria si (A es su propia inversa). Por consiguiente deducimos que toda matriz idntica es involutoria.2. Algebra de matrices

2.1 Igualdad de matricesSe dice que dos matrices son iguales si y slo si tienen la misma dimensin (el mismo orden) y sus elementos correspondientes son iguales.

Entonces A = B si y slo si2.2 Suma de matricesPara poder sumar o restar matrices, stas deben tener el mismo nmero de filas y de columnas. Es decir, si una matriz es de orden 3x2 y de otra de 3x3, no se pueden sumar ni restar. Esto es as ya que, tanto para la suma como para la resta, se suman o se restan los trminos que ocupan el mismo lugar en las matrices.

Entonces A + B = C si y slo siEjemplo.- Sean las matricesNotamos que A es de orden 2x2 y B, tambin. Luego, decimos que A y B se pueden sumar. Propiedades de la suma de matrices

Interna: La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensin m x n. Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C Elemento neutro: A + 0 = A . Donde O es la matriz nula de la misma dimensin que la matriz A. Elemento opuesto: A + (-A) = O . La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos estn cambiados de signo. Conmutativa: A + B = B + A

2.3 Producto de un escalar por una matrizPara multiplicar un escalar por una matriz se multiplica el escalar por todos los elementos de la matriz, obteniendose otra matriz el mismo orden.

A= (aij) = ; A =

Ejemplo.- Sea A= , hallar 3A Solucin3A = = 2.4 Producto de matricesDos matrices se A = (aij )mxn y B = (bij )nxp dicen multiplicables si el nmero de columnas de A coincide con el nmero de filas de B.El elemento Cij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumndolos.Notacin:

La matriz resultante del producto quedar con el mismo numero de las filas de la primera y con el mismo nmero de columnas de la segunda.Es decir, si tenemos una matriz de 2 x 3 y la multiplicamos por otra de orden 3 x 5, la matriz resultante ser de orden 2 x 5.Se puede observar que el producto de matrices no cumple la propiedad conmutativa, ya que en el ejemplo anterior, si multiplicamos la segunda por la primera, no podramos efectuar la operacin puesto que la primera matriz no tiene el mismo nmero de columnas que filas la segunda.Para aclarar lo indicado anteriormente procederemos a explicar paso a paso algunos ejemplos de la multiplicacin de dos matrices.Ejemplo:Dada las matrices: A = y B = Calcular la matriz AxB. Solucin:Primero verificaremos que el nmero de columnas de la matriz A sea igual al nmero de filas de la matriz B. Como en este caso se cumple (2=2) se procede a efectuar la multiplicacin.Se escogen los elementos de la 1era fila de la matriz A y se multiplican (uno a uno) con los elementos de la 1era columna de la matriz B y se suman.

Nos permitiremos sealar un truco muy utilizado para facilitar la multiplicacin de matricesSe colocan la fila y columna escogida una al lado de la otra y as se visualizar fcilmente la operacin que debemos efectuar:5 1= (5)(1) + (-1)(0) = 5-1 0Por lo que AxB11 ser 5.Para AxB12 se escogen los elementos de la 1era fila de la matriz A y se muktiplican (uno a uno) con los elementos de la 2da columna de la matriz B y se suman.

Por lo que el elemento AxB12 (5)(-4)+(-1)(-2)=(-20)+(2)=-18Realizamos este algoritmo hasta terminar los elementos de la matriz BFinalmente, obtendremos la matriz:

AxB =

Propiedades del producto de matrices.-

Asociativa:A (B C) = (A B) C Elemento neutro: A I = A No es Conmutativa: A B B A Distributiva del producto respecto de la suma:A (B + C) = A B + A C2.5 Transpuesta de una matrizDada una matriz A de orden mxn, se llama transpuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por columnas. Se representa de la siguiente manera: AtA = At = Ejemplo.- Sea el problema introductorioHallar una matriz que represente la cantidad de tornillos y de soportes necesarios para la produccin diaria de cada uno de los modelos de estantera.Solucin:Para relacionar los modelos de estantera con la cantidad de tornillos y soportes, debemos realizar un producto de matrices (A x B)AxB = .= Pero el problema es muy especfico, pues pide la relacin TS y ABC, no ABC y TS, como nos acaba de salir. Para ello aplicamos transpuesta de una matriz. AxB = .= (AxB)t

Nota.- La transpuesta de una matriz triangular superior (inferior) es una matriz triangular inferior (superior) respectivamente.A= At = Propiedades de la transpuesta de matrices:1. (A+B)t=At+Bt.2.(At)t=A.3.(kA)t=kAt(sikes un escalar).4.(AB)t=BtAt.5. (In)t=In

3. Transformaciones Elementales

Dada una matriz de cualquier orden, se pueden desarrollar algunas operaciones simples con las filas y columnas sin cambiar el orden de la matriz. El propsito fundamental es el desarrollo de matrices para simplificar algunos clculos y tambin alcanzar resultados tericos significativos para un mejor estudio de las matrices. Destacaremos las transformaciones siguientes3.1.1 Transformaciones elementales fila o columnaSea A Kmxn una matriz cuyas filas son F1, F2, F3, , Fn y cuyas columnas son C1, C2, C3, , Cn. Se llama transformaciones elemental fila a tres tipos de operaciones que denotaremos por: Fij, Fi(j) y Fji(k) para significar1. Fij A: Intercambio de dos filas de A2. Fi (k) A : Multiplicacin de la fila i de A por un escalar k, diferente de cero.3. Fij (k) A : Multiplicacin de la fila j de A por un escalar k, diferente de cero, y sumando la fila Fi.Las transformaciones elementales columna son anlogas a las transformaciones elementales fila y los tres tipos de operaciones se denota por4. Cij A: Intercambio de dos columnas de A5. Ci (k) A : Multiplicacin de la columna i de A por un escalar k, diferente de cero.6. Cij (k) A : Multiplicacin de la columna j de A por un escalar k, diferente de cero, y sumando la columna Ci.11O230-4-12513

Por ejemplo, para la matriz A =

1. Intercambio de la primera y segunda fila30-4-111O22513

F12 =

2. Multiplicacin por -2 la segunda fila30-4-1-60822513

30-4-1(-2)1(-2)1(-2)O(-2)22513

F2(-2) = =

3. Multiplicando por 2 la segunda fila y luego sumando la primera fila

71-8030-412513

(2)3+1(2)0+1-4(2)+0-1(2)+230-412513

F21(2) = =

3.1.2 Matriz escalonadaUna matriz A Kmxn, cuya estructura es de la forma

R filas no nulas

A = S filas nulas

Se dice que es escalonada reducida si las condiciones siguientes satisfacen.El primer elemento no nulo de cada una de las R filas no nulas es la unidad.Si existen S filas cuyos elementos son ceros, estas se encuentran en la parte inferior de la matriz.En cada una de las R filas no nulas, el nmero de ceros que preceden a la unidad crece aritmticamente de fila a fila.Todas las columnas que tiene el primer elemento diferente de cero, de alguna fila, tienen ceros en todas las posiciones restantes.Si una matriz cumple con las propiedades 1, 2 y 3, se dice que est en forma escalonada.Ejemplos de matrices escalonadas reducidas01412000150000000000

100010001

10020103001-2

Ejemplos de matrices escalonadas00-1300013000001

120010001

151201340015

3.1.3 Matrices equivalentesDos matrices A y B se denominan equivalentes si una de ellas se deduce de la otra mediante una sucesin finita de transformaciones elementales de lnea (fila o columna).El siguiente ejemplo nos muestra que toda matriz de orden m x n puede ser reducida mediante operaciones elementales fila a una matriz escalonada por filas.253122341232

Hallar la matriz equivalente de A =

12201-10-2-5232

12201-1341232

122253341232

A:F12F12(-2) F13(-3) 12201-100-700-3

12201-10-2-500-3

12201-10-2-50-1-2

F14(-2) F24(1) F23(2)

12201-100100-3

12201-100100-3

F3(-1/7) F34(3)= B

En este ejemplo se ha logrado una forma escalonada, sin embargo, la matriz equivalente B obtenida, de este modo, no es nica, toda vez que es posible efectuar operaciones elementales columna y obtener otra forma escalonada.

3.1.4 Rango de una matrizEl rango de una matriz es igual al nmero de filas no nulas que quedan en la ltima iteracin de las sucesivas transformaciones elementales que se hacen con la matriz.Se deduce que para hallar el rango de una matriz es suficiente transformarla a su forma escalonada. Como dos matrices equivalentes tienen el mismo rango, el rango de dicha matriz ser igual al rango de la matriz escalonada. Si designamos por r el nmero de filas no nulas de la matriz escalonada, entonces el rango de la matriz se suele denotarran (A) = p(A) = rEjemplo14-502-431701-2230

Sea A =

Luego de desarrollar sucesivamente las transformaciones elementales tendremos como B (matriz equivalente de A)14-301-2000000000

B=

La matriz B tiene dos filas no nulas, por lo que:Ran (A) = Ran (B) = 23.1.5 Inversa de una matriz por el Mtodo de las Matrices Elementales El mtodo de Gauss- Jordan consiste en lo siguiente:Para la matriz dada A de orden n, se construye una matriz rectangular IA = (A|I) de orden n x 2n, aadiendo a la derecha de A una matriz unidad. Luego, haciendo uso de las transformaciones elementales sobre las filas, se reduce la matriz IA a la forma (I|B), lo que es siempre posible, si A es invertible. En este caso B = A-1. No es preciso conocer de antemano si A es invertible. Se deduce fcilmente si A es invertible durante las transformaciones elementales para hallar la matriz (I|B). Si uno de los elementos de la diagonal principal de la matriz escalonada E en (E|B) es cero, entonces A no es invertible.Veamos el siguiente ejemplo:1-1100111-1

Determinar si A =es invertible. Si as fuera, calcular su inversa.

1. Efectuamos las operaciones con filas para reducir A a una matriz escalonada E. Empezamos formando la matriz IA = (A|I)1-11 |100001 |01012-2 |-101

1-11 |100001 |01011-1 |001

(A|I)= F13(-1)1-11 |10002-2 |-101001 |010

F231-1102-2001

2. Como A ha sido reducida a la matriz escalonada E = ,

que no tiene cero en la diagonal principal, la matriz A es invertible.

3. Continuando con las operaciones elementales con filas, necesarias para reducir la matriz A a la identidad, se tiene:100 |1/20 1/202-2 |-101001 |010

1-11 |10002-2 |-101001 |010

F23F21(1/2)100 |1/20 1/2010 |-1/21 1/2001 |010

100 |1/20 1/201-1 |-1/20 1/2001 |010

F2(1/2) F12(1)

101-121020

A-1 =

4. Determinantes

4.1 DefinicinDeterminante es un nmero real o escalar asociados a una matriz cuadrada A, que se denota por | A | , det ( A ) , D(A)El determinante de la una matriz es un solo nmero real y su calculo depende del orden de la matriz cuadrada en particular.4.2 Calculo para el determinante de una matriz de orden 2a11a12a21a22

Sea A = , una matriz de orden 2.

Su determinante se denotar de la siguiente maneraa11a12a21a22

D(A) = = a11 a22 a21 a124-312

Por ejemplo, el determinante de la matriz A = 4-312

D(A)= = 4 (2) 1 (3) = 8 + 3 = 11

4.3 Calculo para el determinante de una matriz de orden 3a11a12a13a21a22a23a31a32a33

D ( A ) = = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a21 a32 a13- a31 a22 a13 a32 a23 a11 a21 a12 a33

4.3.1 Regla de Sarrus

Un mtodo prctico para calcular determinantes de tercer orden, es la Regla de Sarrus, que consiste en repetir las dos primeras columnas y escribirlas en el mismo orden a continuacin de la tercera columna. El determinante se calcula sumando todos los productos de las componentes que estn en las flechas que apuntan hacia la derecha y restndolos todos los productos de los componente que estn en las flechas que apuntan hacia la izquierda.a11a12a21a22a31a32a11a12a13a21a22a23a31a32a33

D(A) =

(-) (-) (-) (+) (+) (+)

D(A) = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a21 a32 a13- a31 a22 a13 a32 a23 a11 a21 a12 a33 Hemos observado que el clculo del determinante de una matriz de orden 3 se hace un tanto laborioso y podemos pensar que la obtencin del determinante de una matriz de orden n ofrece ciertas dificultades; por lo que es conviente estudiar previamente algunas propiedades del determinante considerado como una funcin sobre el conjunto de matrices de orden 2.4.4 Propiedades de los determinantes Propiedad 1.Si A es una matriz cuadrada que tiene una lnea (fila o columna) compuesto exclusivamente de ceros, entonces el determinante de la matriz es cero.a11a1200

En efecto, si A = D(A)= a11 (0) (0) a12 = 0

Propiedad 2. Paridad de las filas y columnas de un determinanteEl valor de un determinante no vara si este se transpone, es decir, si se cambia cada una de sus filas por la columna del mismo nmero.En efecto, sea A una matriz cuadrada y At su transpuestaa11a12a21a22

SiA=D(A) = a11 a22 a21 a12a11a21a12a22

SiA= D(A) = a11 a22 a12 a21

D(A) = D(At)Propiedad 3.Si dos lneas (filas o columnas) de una matriz A son idnticas, entonces el determinante de la matriz es cero.aabb

En efecto, si A = D(A) = (a)(b)- (b)(a) = 0

Propiedad 4.Sean A y B dos matrices cuadradas de orden n, entonces se cumple:1. Si B es la matriz que resulta de multiplicar una lnea de A por un escalar k, entonces:D(B) = kD(A)ka11ka12ka21ka22a11a12a21a22

En efecto, si A = y B = , entonces:

D(B) = ka11 a22 ka21 a12 = k (a11 a22 a21 a12) = k D(B) = kD(A)Segn esta propiedad, un factor comn de dos elementos de una lnea de un determinante puede ser separado como factor del determinante.2. Si B es la matriz que resulta de intercambiar dos lneas de A, entoncesD(B) = -D(A)a12a11a22a21a11a12a21a22

En efecto, si A = y B = , entonces:

D(B) = a12 a21 a22 a11 = -( a11 a22 a21 a12 ) D(B) = -D(A)3. Si B es la matriz que se obtiene de A al trasladar una de sus lneas p lugares, entonces:D(B) = (-1)pD(A)4. Si B es la matriz que resulta cuando un mltiplo de una lnea de A se le suma a otra lnea, entonces:D(B) = D(A)Nota: Esta propiedad es til para calcular determinantes de matrices de cualquier orden.5. Si los elementos de una lnea de un determinante son iguales a la suma de p trminos, el determinante se puede expresar como la suma de p determinantes.a11+c11a12a21+c21a22

En efecto: = (a11+c11) a22 (a21+c21) a12=a11+ a22 +c11 a22 a21 a12 c21 a12= (a11+ a22 a21 a12)+( c11 a22 c21 a21 )c11a12c21a22a11a12a21a22a11+c11a12a21+c21a22

=+

Propiedad 5.Si A y B son matrices de orden n, y A es invertible, entonces:D(AB) = D(A).D(B)Propiedad 6.XYZ

Si A Kn, tal que A = y donde X, Y, Z son sub-matrices cuadradas de A, entoncesD(A) = D(X) . D(Z)11100023400036100004914111515241599243812581

Ejemplo.Calcular el determinante de A =

Solucin111159125811112343610

X = y Z =

D(X) = 1D(Z) = 128En consecuencia, por la propiedad 6 : D(A) = (1) (128) = 128

Propiedad 7. Determinante de una transpuestaSi A es una matriz cuadrad de orden n y At es su transpuesta, entonces:D(A) = D(At)

4.5 Existencia de los determinantes

Para demostrar la existencia de los determinantes definidos sobre el conjunto de matrices cuadradas de orden n, Kn, introduciremos la idea de sub-matriz, que anotaremos del siguiente modo: Si A = [aij ] es una matriz de orden nxm, sea Aij la sub-matriz de orden (n-1)x(n-1) que se obtiene de A al eliminar la i-sima fila y la j-sima columna.Veremos inicialmente el caso de los determinantes de las matrices de tercer orden.a11a12a13a21a22a23a31a32a33

Sea la matriz: A = [aij ]=

Las sub-matrices correspondientes a la primera columna vienen dadas por:a22a23a32a33

A11 =(Matriz obtenida al eliminar la primera fila y la primera columna)a12a13a32a33

A11 =(Matriz obtenida al eliminar la segunda fila y la primera columna)a12a13a22a23

A11 =(Matriz obtenida al eliminar la tercera fila y la primera columna)

Ahora bien, se define el determinante de la matriz A mediante la frmula:a12a13a32a33

a12a13a22a23

a22a23a32a33

D(A) = a11- a21+ a31 Donde cada trmino de la suma es el producto de un elemento de la primera columna de la matriz por el determinante de la matriz de segundo orden que se obtiene al eliminar la fila y la primera columna, anotando el signo correspondiente a este trmino.La suma que define una funcin determinante sobre el conjunto de las matrices cuadradas de tercer orden se puede escribir como:D(A) = a11 D(A11) - a21 D(A21) + a31 D(A31) . (1)21-3112545

Ejemplo:Calcular el determinante de la matrizA= Solucin. Haciendo uso de la formula (1) se tiene:D(A) = 2 D(A11) 1 D(A21) + 5 D(A31) = 2 (5-8) - 1 (5+12) + 5(2+3) = 2La frmula (1) tiene mltiples generalizaciones, por lo que su discusin requiere el establecimiento de nuevos conceptos y la introduccin de una terminologa apropiada. 4.5.1 Menor de una componente

Si A es una matriz cuadrada de orden n, entonces el menor del elemento aij y se denota por Mij y se define como el determinante de la sub-matriz (n-1)x(n-1) de A que se forma suprimiendo todos los elementos de la fila i y todos los elementos de la columna j.Ejemplo: Obtenga los menores M12 y M21 del determinante D de 3x3.2-134526-37

D =

Para M13 eliminamos la fila 1 y la columna 3 para obtener456-3

M13 =

De la misma manera, se elimina la fila 2 y la columna 1para obtener-13-37

M21 =

4.5.2 Cofactor de una componente

El cofactor de una componente aij , se denota por Aij, est definida porAij = (-1)i+j (Mij)

Es decir, el cofactor de la componente aij es el menor Mij con el signo prefijado (-1)i+j2-15131347

Por ejemplo, para la matriz de tercer orden, A =,

los menores y cofactores correspondientes a las componentes de la primera fila son, respectivamente:

M11 = , A11 = (-1)1+1 = +

M12 = , A12 = (-1)1+2 = -

M13 = , A13 = (-1)1+3= + Nota: Podemos observar, los signos de cada cofactor est configurado de la siguiente manera para un determinante de orden 3.+-+-+-+-+

Ahora haciendo uso de la frmula (1):D(A) = a11 D(A11) - a21 D(A21) + a31 D(A31)Establece que el determinante de la matriz A es el producto interno de los vectores(a11, a21, a31) . [(-1)1+1D(A11), (-1)2+1 D(A21) , (-1)3+1 D(A31)]Donde los elementos del primer vector, son los elementos de la primera columna de A y los elementos del segundo vector son los cofactores de los elementos correspondientes a la primera columna de A. Es evidente que este resultado e cierto para cualquier fila o columna de A. Podemos afirmar entonces que, el determinante de una matriz 3x3 se puede obtener al tomar las componentes de cualquier fila o columna de la matriz y multiplicar cada una de estas componentes por su cofactor y sumando los resultados.Generalizando para determinante de matrices n x n en trminos de determinantes de matrices (n-1) x (n-1).Para cada 1