Universidad Nacional de La Plata

Facultad de Ciencias Naturales y Museo

Cátedra de Matemática y Elementos de Matemática

Asignatura: Matemática

Contenidos de la Unidad Temática nº 3 Recta y Cónicas.

Recta: Ecuación vectorial y demás formas de la ecuación de la recta. Ángulo entre rectas. Condiciones de paralelismo y de perpendicularidad. Intersección de rectas en el plano. Cónicas: Geometría analítica de la circunferencia, la parábola, la elipse y la hipérbola.

Ing. Carlos Alfredo López

Profesor Titular

Cátedra de Matemática y Elementos de Matemática Asignatura: Matemática

Unidad Temática nº 3

Ing. Carlos Alfredo López

LA RECTA. ECUACION VECTORIAL DE LA RECTA.

Una recta queda determinada si se conocen las coordenadas (x1,y1) de un punto P1 ( x1,y1 ) que le pertenece ( P1 ∈ r ) y la dirección determinada por un vector a. Si P( x,y ) es un punto de la recta r (P ∈ r) podemos escribir los siguientes vectores referidos al sistema coordenado cartesiano ortogonal xy.

OP xi yj

OP x i y j

a a i a j

= +

= +

= +

( (

( (

r ( (1 1 1

1 2

( 1 )

Como el vector PP1 es paralelo al vector

ra podemos expresarlo de la

siguiente manera: ( )jaiaaPP

((r211 +== λλ

siendo λ un escalar, denominado PARAMETRO. Por lo tanto, teniendo en cuenta la figura anterior obtenemos LA ECUACION VECTORIAL DE LA RECTA. OP OP a= +1 λ

r ( 2 )

yP1(x1,y1) P(x,y)

r

A

O x

r (a j2

ra

(j

r (a i1

(i

y reemplazando valores, teniendo en cuenta las expresiones (1), resulta: ( ) ( ) ( )jaiajyixjyix

((((((

2111 +++=+ λ eliminando paréntesis y agrupando se obtiene:

( ) ( ) jayiaxjyix

jaiajyixjyix((((

((((((

2111

2111

λλ

λλ

+++=+

+++=+

de donde resultan las siguientes igualdades:

( )

+=

+=

21

113

ayy

axx

λ

λ

que se denominan ECUACIONES PARAMETRICAS DE LA RECTA.

Despejando el valor del parámetro en las expresiones anteriores se obtiene:

( ) λ=−

=−

2

1

1

14a

yy

a

xx

que se denomina ECUACION CARTESIANA SIMETRICA DE LA RECTA Ejemplo:

Hallar la ecuación vectorial, ecuaciones paramétricas y cartesiana simétrica de la recta, que pasa por el punto P1 (2,-3) y es paralela al vector

r ( (a i j= −4

La ecuación vectorial de la recta será: OP OP a= +1 λ

r

reemplazando valores resulta:

( ) ( )( ) ( ) jijyix

jijijyix((((

((((((

λλ

λ

+−+=+

−+−=+

342

432

obteniéndose, de la igualdad anterior, las ecuaciones paramétricas de la recta:

−−=

+=

λ

λ

13

42

y

x

y despejando el valor del parámetro se obtiene la ecuación cartesiana simétrica de la recta buscada:

x y−

=+

−=

2

4

3

1λ

FORMA IMPLÍCITA O ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA.

Consideremos la ecuación cartesiana simétrica de la recta dada por la expresión (4)

( )42

1

1

1 λ=−

=−

a

yy

a

xx

operando, resulta:

( ) ( )

111122

1112

yayaxaxa

yyaxxa

−=−

−=−

pasando todos los términos al primer miembro se obtiene: a x a y a x a y2 1 2 1 1 1 0− − + = y si llamamos: ( )5111212 CyaxaBaAa =+−=−= obtenemos la expresión: A x + B y + C = 0 (6) que se denomina: forma implícita o ecuación general de la recta.

Podemos observar que se trata de una ecuación de dos variables x e y que se encuentran elevadas a la potencia uno.

Analicemos la forma implícita: 1) Ecuación de una recta paralela al eje de las ordenadas y. Si en la expresión (6) hacemos A B≠ =0 0 resulta: A x + C = 0 de la cual se obtiene:

( )7A

Cx

−=

Podemos interpretar esta última ecuación como

( )

−==

A

CxyxS /,

y cuya representación gráfica en el plano xy es la siguiente

Como se puede ver, hemos obtenido el conjunto de puntos

del plano, tales que cualquiera sea el valor de la ordenada y, la abscisa x es igual a una constante ( x = -C/A). Este conjunto de puntos resulta alineado paralelamente al eje de las ordenadas Oy, de donde se deduce que la expresión (7) es la ECUACION DE UNA RECTA PARALELA AL EJE DE LAS ORDENADAS y. ( x = -C/A ; es una función?..) 2) Forma explícita de la Ecuación de la recta. Si en la ecuación A x + B y + C = 0 es B ≠ 0 resulta

1

1x

C

A=

−

y

x

By Ax C

yA

Bx

C

B

= − −

= − −

y si llamamos:

− = − =A

Bm

C

Bn

obtenemos: y = m x + n (8) que se llama FORMA EXPLÍCITA DE LA ECUACION DE LA RECTA Su representación gráfica es:

Si en la expresión (8) hacemos x = 0 resulta: y = n donde n se llama ordenada en el origen.

Si n = 0, la recta pasa por el origen O(0,0) del sistema cartesiano ortogonal XY. En este caso, teniendo en cuenta las expresiones (8) y (5) resulta para m

my

x

A

B

a

a

a

a= =

−=

−

−=2

1

2

1

Si denominamos con φ al ángulo que el eje de las abscisas

forma con la recta r tomando como sentido positivo el sentido trigonométrico o antihorario resulta:

y

r

nra

(jϕ

(i x

tga

amφ = =2

1

donde m se denomina PENDIENTE DE LA RECTA.

Cuando la recta es paralela al eje de abscisas, consideramos que tg φ = 0.

Debemos recalcar que la inclinación de una recta es un ángulo ( φ ) y la pendiente de la misma es la tangente trigonométrica de dicho ángulo ( m = tg φ ).

La inclinación de una recta varía entre 0º y 180º; pero debemos tener presente que si la recta es paralela al eje y resulta φ = ½ π = 90º, y la tg ½ π NO EXISTE ; en consecuencia, en este caso particular, no existe valor para la pendiente. Ejemplo:

Dada la ecuación de la recta 3 2 0x y− + = hallar su ecuación explícita, su pendiente, su inclinación y su ordenada en el origen. Representar gráficamente. r x y≡ − + =3 2 0 despejando el valor de la variable y se obtiene la ecuación explícita de la recta: y x= +3 2 siendo: m tg arc tg= = = =φ φ3 3 60º n = 2 ordenada en el origen A (0,2).

y3

2

1φ = 60º

x-3 -2 -1 1 2 3

3) Ecuación de la recta paralela al eje de las abscisas x. Si en la ecuación explícita hacemos m = 0 resulta: y = n o sea, que cualquiera sea el valor asignado a la variable x , y es siempre igual a una constante n ; es la llamada FUNCION CONSTANTE y su gráfica es una recta paralela al eje x.

CONDICION DE PARALELISMO ENTRE RECTAS.

Dadas dos rectas paralelas r1 y r2 de ecuaciones explícitas

y = m1 x + n1

y = m2 x + n2 por ser paralelas, tienen igual inclinación, es decir:

φ φ1 2=

y = ny

O x

y

r2r1

φ2φ1

x

de donde resulta:

tg tg m mφ φ1 2 1 2= ⇒ = que nos da la condición de paralelismo entre dos rectas. Ejercicio:

Dadas las rectas:

r x y

r y x

1

2

3 2 4 0

2 3 8

= − + =

= = +

demostrar que son paralelas. CONDICION DE PERPENDICULARIDAD ENTRE RECTAS.

Sean r1 y r2 dos rectas perpendiculares, cuyas ecuaciones explícitas son:

r y m x n

r y m x n

1 1 1

2 2 2

= = +

= = +

Sean φ1 y φ 2 las inclinaciones de dichas rectas; de acuerdo a la figura resulta:

φ φ φ φπ

2 1 12

= + = +

r2y

r1

x

φ

φ1

φ 2

por lo tanto siendo:

22coscos

2cos

2cos

2cos

2

2

11

11

2

1

1

122

πφ

πφ

πφ

πφ

πφ

πφ

πφφ

sensen

sensen

m

sen

tgtgm

•−•

•+•=

+

+

=

+==

teniendo en cuenta que

senπ π

21

20= =cos

la expresión anterior se reduce a:

msen

gtg m

21

1

1

1 1

1 1=

−= − = − = −

coscot

φ

φφ

φ

que es la condición de perpendicularidad buscada. Ejemplo: Dadas las rectas:

r y x

r y x

1

2

5

21

2

54

≡ = − +

≡ = −

verificar si son perpendiculares.

Siendo m y m1 2

5

2

2

5= − =

resulta: m m1 2

5

2

2

51• = − • = −

de donde se deduce que:

mm

1

2

1= −

y en consecuencia las rectas r1 y r2 son perpendiculares. ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS.

Trataremos de encontrar una expresión que nos permita

calcular el ángulo que forman dos rectas al cortarse en un punto.

Sean r1 y r2 dos rectas que se cortan en el punto A y cuyas pendientes sean respectivamente m1 y m2.

De acuerdo a la figura, resulta que el ángulo que forman las rectas r1 y r2 es: φ φ φ= −2 1 de la cual resulta:

( )21

1212

1 φφ

φφφφφ

tgtg

tgtgtgtg

•+

−=−=

siendo

tg m tg m

tgm m

m m

φ φ

φ

1 1 2 2

2 1

1 21

= =

=−

+ •

En realidad, dos rectas se cortan según dos ángulos que

son suplementarios. En estas condiciones, la tangente de φ puede ser positiva o negativa, según se trate de un ángulo del primer o del segundo cuadrante, que como ya hemos dicho es suplementario del anterior.

r2yφ 2

r1

φ

φ1

x

Podemos convenir en considerar únicamente los valores positivos y transformamos la expresión anterior en:

tgm m

m mφ =

−

+ •2 1

1 21

Ejemplo:

Hallar el ángulo que forman al cortarse las rectas r1 de ecuación 3 2 8 0x y+ − = y r2 de ecuación 4 2 1 0x y− + = Debemos hallar las pendientes m1 y m2 de las rectas r1 y r2 respectivamente, para lo cual debemos escribir sus ecuaciones en forma explícita.

r x y y x y x1 3 2 8 0 2 3 83

24≡ + − = ⇒ = − + ⇒ = − +

r x y y x y x2 4 2 1 0 2 4 1 21

2≡ − + = ⇒ = + ⇒ = +

siendo: m m1 2

3

22= − =

y reemplazando valores en la expresión

( )

( ) 31

2/32

22/31

2/32

1 21

12

−

+=

•−+

−−=

•+

−=

mm

mmtgφ

tgφ =−

= − =7 2

2

7

41 75

/,

φ = =arc tg 1 75 60 15, º ' ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR UN PUNTO.

Nos proponemos encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto P1 (x1 ,y1 ) y tiene pendiente m.

Para lograrlo podemos utilizar la expresión explícita de la recta: y = m x + n (a) Teniendo en cuenta que la recta debe pasar por el punto P1 ( x1,y1 ) , las coordenadas de este punto, deben satisfacer la ecuación de la recta, es decir, se cumple que:

( )bnmxy += 11 si restamos miembro a miembro las expresiones (a) y (b) eliminamos n, obteniendo:

( ) ( )cxxmyy

nmxnmxyy

11

11

−•=−

−−+=−

que es la ecuación buscada. Ejemplo:

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P1 ( 3,4 ) y es paralela a la bisectriz del primer cuadrante. Como la recta debe pasar por el punto P1 ( 3,4 ) su expresión será: ( )34 −•=− xmy pero, como esta recta debe ser paralela a la bisectriz del primer cuadrante, su pendiente m = 1 ya que: m tg tg= = =φ 45 1º Por lo tanto, la ecuación buscada será: ( ) 143314 +=+−=−•=− xxyxy y = x + 1 ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS.

En este tipo de problemas tenemos como datos las coordenadas de dos puntos P1 ( x1,y1 ) y P2 ( x2,y2 ) y tenemos que hallar la ecuación de la recta que pasa por ambos puntos. Si la recta pasa por el punto P1 ( x1,y1 ) debe verificar la ecuación: ( ) ( )axxmyy 11 −•=− Si dicha recta pasa también por el punto P2 ( x2,y2 ) las coordenadas de dicho punto, deben satisfacer la ecuación de la recta, es decir ( ) ( )bxxmyy 22 −•=−

de la cual se obtiene el valor de la pendiente m, cuando conocemos dos puntos que le pertenecen, es decir:

( )cxx

yym

12

12

−

−=

Si reemplazamos el valor dado por la expresión (c) para m en la expresión (a) se obtiene:

( )112

121 xx

xx

yyyy −•

−

−=−

y pasando y2 - y1 al primer miembro obtenemos la ecuación de la recta que pasa por dos puntos ( P1( x1,y1 ) y P2( x2,y2 ) )

y y

y y

x x

x x

−

−=

−

−1

2 1

1

2 1

Ejemplo:

Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P1 ( 2,3 ) y P2 ( -3,-4).

Siendo: x x

y y

1 2

1 2

2 3

3 4

= = −

= = −

reemplazando valores en la expresión anterior se obtiene:

y x y x−

− −=

−

− −⇒

−

−=

−

−

3

4 3

2

3 2

3

7

2

5

( ) ( )

5

1

5

7

5

17

175

151475

147155

2735

−=

−

−−=

−−=−

−+−=−

+−=+−

−•−=−•−

xy

xy

xy

xy

xy

xy

que es la ecuación buscada.

FORMA SEGMENTARIA DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA.

Sea la recta r, que no pasa por el origen O (0,0) del sistema coordenado cartesiano ortogonal, e intercepta a los ejes en los puntos P(p,0) y Q(0,q). Para hallar la ecuación de la recta, podemos utilizar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos:

y y

y y

x x

x x

−

−=

−

−1

2 1

1

2 1

siendo, en este caso particular:

x p x

y y q

1 2

1 2

0

0

= =

= =

con lo que resulta:

y

q

x p

p

−

−=

−

−

0

0 0

efectuando operaciones se obtiene:

y

q

x

p

x

p=

−+ = − +1 1

y pasando −x

p al primer miembro de la ecuación resulta:

y

Q ( 0 , q )

P ( p , 0 )

O x

x

p

y

q+ = 1 I

que se denomina ECUACIÓN SEGMENTARIA DE LA RECTA. Ejemplo:

Dada la ecuación de la recta en la forma implícita 3 8 0x y− + = pasar a la forma segmentaria. Pasando el término independiente al segundo miembro de la ecuación, se obtiene: 3 8x y− = − dividiendo ambos miembros por -8, nos queda:

3

8 81

8 3 81

x y x y

−−

−=

−+ =

/

comparando con la expresión I resulta: p q= − =8 3 8/ En estas condiciones, los puntos de intersección con los ejes coordenados x e y son respectivamente: P(-8/3 , 0) y Q( 0 , 8) DISTANCIA ENTRE PUNTO Y RECTA.

Una forma sencilla de obtener la distancia entre un punto y una recta es la siguiente:

a) por el punto Po hacemos pasar una recta perpendicular a la recta dato del problema.

b) hallamos las coordenadas del punto de intersección entre ambas rectas c) calculamos la distancia entre el punto y el punto de intersección de ambas

rectas. ACTIVIDAD: calcular siguiente este procedimiento la distancia entre la recta 3x-

2y+4=0 y el punto de coordenadas (2,5)

INTERSECCIÓN ENTRE RECTAS.

Sea el problema de resolver la intersección entre las rectas que conforman, desde el punto de vista algebraico el SISTEMA DE DOS ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCOGNITAS (1), (2):

( )( )

=++

=++

20

10

222

111

CyBxA

CyBxA

Geométricamente equivale a determinar el punto de intersección de las dos rectas cuyas ecuaciones analíticas están dadas por las expresiones (1) y (2). Ejemplo: Resolver grafica y analíticamente el sistema

( )( )

=+−≡

=−+≡

402

3012

2

1

yxr

yxr

Para resolver este sistema analíticamente procedemos de la siguiente manera: despejamos y de la expresión (3) obteniendo

( )512 +−= xy y reemplazamos su valor en la expresión (4) obteniendo

( )

( )63/1

013

012

012

−=

=+

=−+

=+−−

x

x

xx

xx

De esta manera, hemos hallado el valor de x que reemplazado en la expresión (5) nos permite hallar el valor de y:.

y r1

r2

2 P1 ( -1/3, 5/3 )

1

2 1/2 1 -1 -2 x

( )

3

5

3

32

13/213/1212

=+

=

+=+−−=+−=

yy

xy

Por lo tanto, el punto de intersección de las dos rectas, o

sea, LA SOLUCIÓN ANALÍTICA DEL SISTEMA PROPUESTO es el punto:

−

3

5,

3

11P

Siendo este punto, el ÚNICO PUNTO DEL PLANO xy que pertenece a ambas rectas, lo cual implica que dicho punto es LA ÚNICA SOLUCIÓN DEL SISTEMA DADO. Para verificar que el resultado obtenido es correcto, podemos reemplazar las coordenadas del punto en las ecuaciones dadas (3) y (4), comprobando si obtenemos una igualdad numérica. En efecto, reemplazando valores en la expresión (3) se obtiene:

00

03

5

3

5

03

5

3

32

013

5

3

2

013

5

3

12

=

=+−

=+−−

=−+−

=−+

−

Para la segunda ecuación (4) resulta:

− − + =

− + =

− + =

=

1

3

5

32 0

6

32 0

2 2 0

0 0

Luego, las coordenadas del punto

−

3

5,

3

11P satisfacen a las ecuaciones

dadas.

Sea ahora el sistema:

( )

( )80624

7032

2

1

=−+−≡

=−+−≡

yxr

yxr

En este caso, observemos que la ecuación (8) se ha obtenido multiplicando todos los términos de la ecuación (7) por el escalar 2, resultando para ambas ecuaciones, la misma representación gráfica, es decir la misma recta.

Como se puede ver, las soluciones del sistema son los infinitos puntos de la recta. Para resolver analíticamente el sistema dado procedemos de la siguiente manera: despejamos de la expresión (7) el valor de la variable obteniendo:

( )932 += xy reemplazando este valor en la expresión (8)

( )

( ) ( )

00

000

06644

06644

063224

=

=+

=−++−•

=−++−

=−+•+−

x

x

xx

xx

cualquier punto de la recta es solución del sistema dado. Por lo tanto existen infinitas soluciones. Sea por último el sistema:

( )( )11043

10023

2

1

=−+−≡

=−+−≡

yxr

yxr

cuya representación gráfica es la siguiente:

3

y

2

1

-1 -2 3 2 1 x

Como puede apreciarse, las dos rectas r1 y r2 son paralelas (tienen la misma pendiente y distinta ordenada al origen) y en consecuencia NO EXISTE NINGÚN PUNTO DEL PLANO QUE SATISFAGA AL SISTEMA DADO. MÉTODOS ANALÍTICOS PARA LA RESOLUCIÓN DE LA INTERSECCIÓN ENTRE DOS RECTAS DEL PLANO. Haremos referencia a cuatro métodos analíticos para la resolución de la intersección entre dos rectas del plano (ya desarrollados en la unidad SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES). MÉTODO DE SUSTITUCIÓN. Sea por ejemplo el sistema:

( )( )

=+

−=−

274

1323

yx

yx

La resolución del sistema puede efectuarse indistintamente por x o por y.Despejamos la variable x en la ecuación (1), pasando -2y al segundo miembro y dividiendo por el coeficiente de x obtenemos:

( )33

23

233

yx

yx

+−=

+−=

Si ahora sustituimos este valor de x en la expresión (2) resulta:

73

234 =+

+−• y

y

que es una ecuación de primer grado con una sola incógnita cuya resolución nos da:

y 4

r1

r2 3

2

1

2 -2 1 -1 x

( )43

11

31111

3

11

113

38

4713

8

73

8

3

12

=

•==

=•

+

+=

+•

=++−

y

yy

y

y

yy

Sustituyendo este valor de y = 3 en la expresión (3) nos permite calcular el valor de la otra incógnita.

( )51

13

3

3

63

3

323

=

==+−

=•+−

=

x

x

Reemplazando los valores de x = 1 e y = 3 en las expresiones (1) y (2) permiten la verificación del ejemplo:

3 1 2 3 3 3 6 3 3 3

4 1 3 7 4 3 7 7 7

• − • = − − = − − = −

• + = + = =

La aplicación del método de sustitución puede resumirse en la siguiente regla: a) Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones del sistema dado. b) Se sustituye en la otra ecuación la misma incógnita por la expresión

hallada, obteniéndose una ecuación lineal con una incógnita. c) Se resuelve la ecuación, determinándose el valor de la incógnita. d) Se reemplaza este valor hallado, en la expresión de la incógnita

despejada en el paso a) para obtener el valor de dicha incógnita. e) Se verifica si el par de valores hallados satisface el sistema dado. Actividad: Resolver aplicando el método de sustitución el siguiente sistema:

=−

−=+−

12

33

yx

yx

MÉTODO DE IGUALACIÓN. Sea nuevamente el sistema:

( )

( )

=+

−=−

774

6323

yx

yx

Se despeja x en ambas ecuaciones:

( )8

3

23

233

yx

yx

+−=

+−=

( )9

4

7

74

yx

yx

−=

−=

Como los primeros miembros de las ecuaciones (8) y (9) son iguales, los segundos también lo serán, obteniéndose:

− +=

−3 2

3

7

4

y y

resolviendo esta igualdad resulta: ( ) ( )

( )103

11

33

3311

122138

321812

73234

=

=

=

+=+

−=+−

−•=+−•

y

y

y

yy

yy

yy

Despejando y en las ecuaciones (6) y (7) se obtiene:

( )112

33

332

−

−−=

−−=−

xy

xy

( )12

1

47

47

xy

xy

−=

−=

Nuevamente, como los primeros miembros de las ecuaciones (11) y (12) son iguales, los segundos también lo serán, resultando:

− −

−=

−3 3

2

7 4

1

x x

resolviendo: ( )

1

11

11

1111

31483

81433

47233

=

−

−=

−=−

+−=−−

+−=−−

−•−=−−

x

x

x

xx

xx

xx

valores que concuerdan con los hallados anteriormente; realizándose la verificación como en el método de sustitución. La aplicación del MÉTODO DE IGUALACIÓN puede resumirse en la siguiente regla: a) Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones del sistema. b) Se igualan los segundos miembros de las igualdades obtenidas para obtener una ecuación lineal con una sola incógnita. c) Se resuelve la ecuación anterior para determinar el valor de su incógnita. d) Se procede de la misma manera con respecto a la otra incógnita. e) Se verifica en las ecuaciones del sistema dado si los valores hallados las satisfacen. MÉTODO DE REDUCCIÓN POR SUMAS Y RESTAS. Sea nuevamente el sistema:

( )

( )

=+

−=−

1474

13323

yx

yx

Multiplicando la ecuación (13) por 4 y la ecuación (14) por 3 se obtiene el sistema equivalente:

( )( )1621312

1512812

=+

−=−

yx

yx

Siendo los coeficientes de x iguales se puede restar la ecuación (16) de la (15) obteniéndose una ecuación de primer grado con una sola incógnita.

( )173

11

33

3311

211238

=

−

−=

−=−

−−=−−

y

y

y

yy

Si multiplicamos la ecuación (13) por 1 y la (14) por 2 se obtiene el sistema equivalente:

( )( )191428

18323

=+

−=−

yx

yx

Siendo los coeficientes de y opuestos, se pueden sumar ambas ecuaciones resultando:

( )201

1111

14311

=

=

+−=

x

x

x

Los valores de x e y hallados por este método coinciden con los hallados anteriormente por aplicación de los métodos de sustitución e igualación, por lo tanto, no es necesario efectuar la verificación.

Por lo tanto, la aplicación del METODO DE REDUCCIÓN POR SUMAS Y RESTAS se puede resumir en la siguiente regla: a) Se igualan, en valor absoluto, los coeficientes de una misma incógnita, multiplicando cada ecuación por el valor absoluto del coeficiente de dicha incógnita perteneciente a la otra ecuación. b) Si los coeficientes de la incógnita elegida tienen DISTINTO o IGUAL SIGNO, se SUMAN o RESTAN las ecuaciones equivalentes obtenidas, respectivamente, para eliminar dicha incógnita. c) Se resuelve la ecuación obtenida para determinar el valor de su incógnita. d) Se procede analogamente con respecto a la incógnita eliminada. e) Se verifica si los valores de las incógnitas hallados satisfacen al sistema. Actividad: Aplicando el método de reducción por sumas y restas y el de igualación; resolver el siguiente sistema:

−=−−

=−

1032

223

yx

yx

MÉTODO POR DETERMINANTES. (Regla de Cramer) Sea el sistema:

( )

( )

=+

−=−

2274

21323

yx

yx

Volviendo a aplicar el método de reducción por sumas y restas: a) CÁLCULO DE LA INCÓGNITA X. Para hallar x debemos eliminar y . Para ello multiplicamos la expresión (21) por 1 y la expresión (22) por 2 obteniendo el sistema equivalente:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )24272124

23131213

•=•+•

•−=•−•

yx

yx

Si efectuamos la suma de las expresiones (23) y (24) eliminamos la incógnita y , obteniendo:

( )

( )252413

2713

27132413

•+•

•+•−=

•+•−=•+•

x

x

de la cual resulta, al efectuar operaciones:

x

x

=− +

+=

=

3 14

3 8

11

11

1

Teniendo en cuenta la definición de determinante, el segundo miembro de la expresión (25) puede escribirse:

( )26

14

23

17

23

2413

2713

−

−−

=•+•

•+•−=x

b) CÁLCULO DE LA INCÓGNITA y.

Para hallar la incógnita y debemos eliminar x . Para ello multiplicamos la expresión (21) por 4 y la expresión (22) por 3 obteniendo el sistema equivalente:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )28373134

27434243

•=•+•

•−=•−•

yx

yx

Si efectuamos la resta de las expresiones (27) y (28), eliminamos la incógnita x, obteniendo: ( ) ( ) 37433142 •−•−=•−•− yy sacando factor común y en el primer miembro y despejando su valor resulta:

( ) ( )( )

3

2911

33

38

712

3142

3743

=

−

−=

−−

−−=

•−•−

•−•−=

y

y

La expresión (29)

( ) ( )3142

3743

•−•−

•−•−=y

puede expresarse, multiplicando numerador y denominador por (-1) de la siguiente manera:

( )30

14

23

74

33

2413

3473

−

−

=•+•

•+•=x

La aplicación del método de determinantes se puede resumir en la siguiente regla práctica: Dado un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas igualmente ordenadas, el valor de cada incógnita es el de una fracción que tiene por

denominador el determinante formado por los coeficientes de las incógnitas y por numerador, el determinante que se obtiene reemplazando en el anterior, los coeficientes de la incógnita cuyo valor se quiere hallar por los términos independientes respectivos que figuran en los segundos miembros de las ecuaciones dadas. Ejercicio: Aplicando el método de determinantes (Regla de Cramer), resolver el sistema:

− − = −

− − =

3 4 5

2 0

x y

x y

Aplicando la regla anterior resulta:

( )

( ) ( ) ( )

1

5

5

83

5

2413

015

12

43

10

45

−=

−=

−=

−•−−−•−

−−•−=

−−

−−

−

−−

=

x

x

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

5

10

2413

2503

12

43

02

53

=

−

−=

−•−−−•−

−•−−•−=

−−

−−

−

−−

=

y

x

LAS CÓNICAS.

SUPERFICIE CÓNICA: SU GENERACIÓN. Se denominan cónicas a las líneas planas que se

obtienen intersecando bajo distintos ángulos, una superficie cónica con un plano. La superficie cónica se obtiene haciendo rotar una

recta denominada generatriz alrededor de un punto fijo llamado vértice manteniendo otro punto constantemente sobre una circunferencia llamada directriz situada en un plano perpendicular al eje y condicionada a que su centro esté sobre el eje.

Los diferentes tipos de cónica se generan cortando la

superficie cónica bajo distintos ángulos. Se presentan tres casos según que el ángulo de corte

sea menor, igual o mayor que el ángulo de abertura de la superficie cónica. Definimos como tal al ángulo (α) entre el eje de la superficie cónica y una cualquiera de sus generatrices.

eje

V

α

Generatriz

Si se corta una superficie cónica con un plano bajo un

ángulo mayor que el de abertura, el plano corta una sola de las ramas de la superficie cónica y se obtiene una curva cerrada denominada elipse. Se presentan dos casos particulares: a) cuando el plano de corte es perpendicular al eje de la superficie cónica la intersección “degenera” en una circunferencia ,

eje

V

Circunferencia - Elipse b) si se traslada el plano de corte paralelamente a sí

mismo hasta que contenga el vértice, la elipse o la circunferencia, según sea el caso, “degenera” en un punto: el vértice de la superficie cónica.

Si el plano de corte tiene con respecto al eje un ángulo

menor que el de abertura, cortará las dos ramas de la superficie cónica, obteniéndose una curva que recibe el nombre de hipérbola. Como caso particular, cuando el plano se mueve paralelamente a sí mismo hasta contener al vértice, la hipérbola “degenera” en un par de rectas (observar el corte de la superficie cónica con el plano del dibujo).

eje

V

Hipérbola Si por último, el plano de corte es paralelo a la

generatriz, cortará una sola de las ramas de la superficie cónica y se obtendrá como curva interesección una parábola. En este caso, cuando el plano de corte se desplaza paralelamente a sí mismo hasta contener al vértice, la parábola “degenera” en una recta coincidente con una cualquiera de las generatrices de la superficie cónica.

eje

V

m

Parábola Los nombres elipse, hipérbola y parábola de deben al

geómetra Apolonio, de la escuela de Alejandría, que hacia el año 225 AC., escribió un tratado sobre la secciones cónicas en ocho libros, siete de los cuales han llegado a nosotros.

ESTUDIO DE LAS CÓNICAS A PARTIR DE SU DEFINICIÓN COMO LUGAR GEOMÉTRICO

CIRCUNFERENCIA.

Es el lugar geométrico de los puntos del plano que

equidistan de un punto fijo llamado centro. Dado un punto ( )βα ;C que llamamos centro y un valor r > 0 que designamos con el nombre de radio podemos definir:

Ecuación cartesiana de la circunferencia

Consideremos una circunferencia de centro C (a, b) y radio r, referida a un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales y sea P (x, y) un punto de la circunferencia. Centro C ( αααα,ββββ ) ; Radio r ; P ( x , y ) ε C ( C, r)

Y

X

P

MC

r

y

α

β

x

Considerando la fórmula de distancia entre dos puntos,

calculamos el valor del radio:

( ) ( )[ ]22βα −+−== yxrPC

( ) ( ) 222

ryx =−+− βα Ecuación canónica de la circunferencia de centro ( )βα , y radio r.

Desarrollando los cuadrados y ordenando:

x y x y r2 2 2 2 22 2 0+ − − + + − =α β α β haciendo:

obtenemos: x y Dx Ey F2 2 0+ + + + = que es la ecuación General de la circunferencia

De la igualdades dadas en ( 1 ) obtenemos:

Coordenadas del centro: α β= − = −D E

2 2;

y radio: ( )Fr −+= 22 βα

Analicemos el valor del radio: Si:

⇒<−+

⇒=−+

⇒>−+

imaginarioradiodenciaCircunfereF

puntounareducesenciacircunfereLaF

realradiodenciaCircunfereF

0

0

0

22

22

22

βα

βα

βα

La ecuación general de la circunferencia es un caso

particular de la ecuación general de segundo grado en dos variables, cuya forma es:

Ax Bxy Cy Dx Ey F2 2 0+ + + + + =

Comparando esta ecuación con la ecuación general de la circunferencia, observamos que en ésta última los coeficientes de x2 e y2 son iguales y además falta el término en xy.

Resulta entonces que una ecuación tendrá como lugar

geométrico una circunferencia si responde a la ecuación general de segundo grado en dos variables, con los coeficientes A y C iguales, con el término Bxy (llamado término rectangular) faltante y que verifique:

Ejemplos:

1.- Dada la ecuación:

x y x y2 2 6 8 16 0+ + − + = ;

determinar:

a) Las coordenadas del centro. b) El valor del radio. c) La ecuación cartesiana. d) Efectuar la representación gráfica.

( ) ( )4;34

2

8

2

32

6

2; C

E

D

C ⇒

=

−−=⇒−=

=

−−=⇒−=

=

ββ

αα

βα

( ) ( )3

31643 22222

=

=−+=⇒−+=

r

rrr βα

α β2 2 0+ − F f

Ecuación cartesiana:

( ) ( ) 222343 =−+− yx

Representación:

Sabiendo que el centro de una circunferencia es ( )5;2−C y su radio r = 3, escribir su ecuación general:

Ecuación canónica:

( ) ( )

( ) ( )

generalEcuaciónyxyx

yx

ryx

020104

352

22

222

222

=+−++

⇒=−++

⇒=−+− βα

Posiciones particulares.

La ecuación: ( ) ( ) 222

ryx =−+− βα de la circunferencia se simplifica para posiciones particulares.

1. Si el centro está en el origen de coordenadas:

( ) 2220;0 ryxC =+⇒

4

3 x

y

C

r = 3

y

r

-x x ( 0 , 0 )

Si el centro está sobre el eje de las abscisas, β = 0 :

( ) 2222 )(0; ryxC =+−⇒ αα

2. Si el centro está sobre el eje de las ordenadas, α = 0 :

( ) 222 )(;0 ryxC =−+⇒ ββ

INTERSECCIONES.

Intersección de una circunferencia y una recta.

Si dos líneas coplanares tienen un punto en común, las

coordenadas de este punto deben satisfacer simultáneamente las ecuaciones de ambas líneas. En consecuencia el problema de hallar las coordenadas de los puntos de intersección de dos líneas se resuelve, encontrando la solución del sistema determinado por sus ecuaciones.

( )0;αC x

y

x

y

Escribimos el sistema formado por ambas ecuaciones, y luego sustituimos en la ecuación de la circunferencia el valor de una de las variables que despejamos en la ecuación de la recta, obteniendo una ecuación de 2º grado en una sola variable que resolvemos.

La solución de esta ecuación da dos valores x1 y x2. Pueden

presentarse los siguientes casos: a) x x x R x R1 2 1 2≠ ∈ ∧ ∈ ⇒: recta secante a la

circunferencia; 2 puntos de intersección. b) x x x x R1 2 1 2= = ∈ ⇒: recta tangente a la circunferencia;

1 punto de intersección. c) x C x C2 1∈ ∧ ∈ ⇒ recta exterior a la circunferencia; no hay

puntos de intersección. (C = conjunto de los números complejos)

a) I I1 2≠ :recta secante b) I I1 2= : recta tangente c) recta exterior

Ejemplo: Determinar los puntos de intersección de la circunferencia

x y x2 2 4 5 0+ − − = y la recta x y− + =1 0

=+−

=−−+

01

05422

yx

xyx

En la recta x y y x− + = ⇒ = +1 0 1 sustituimos en la

ecuación de la circunferencia “y “ por “ x+1”.

r

x x

y y y

x

r

r I1

I2

I

( ) 054122 =−−++ xxx

x x x x2 2 2 1 4 5 0+ + + − − =

−=

=⇒=−−

1

20422

2

12

x

xxx

para: ( )

( )0;101

3;232

222

111

−∴=⇒−=

∴=⇒=

Pyx

Pyx

Coordenadas del centro y radio de la circunferencia:

( )

=⇒++=

=⇒−=

=

−−=⇒−=

3502

02

22

4

2

22 rr

E

D

ββ

αα

-1

y

3

x

( )0;2C ( )0;12 −P

2

Intersección de dos circunferencias.

Dadas las ecuaciones de dos circunferencias:

( )( )

=++++

=++++

20

10

222

2

2

2

2

111

2

1

2

1

FyExDyAxA

FyExDyAxA

las coordenadas de los puntos de intersección son los

valores de x e y que satisfacen el sistema formado por ambas ecuaciones. Si los coeficientes de los términos cuadráticos no son iguales en ambas ecuaciones, los igualamos multiplicando ( 1 ) por A2 y ( 2 ) por A1 :

( )( )

=++++

=++++

20

10

212121

2

21

2

21

121212

2

21

2

21

FAyEAxDAyAAxAA

FAyEAxDAyAAxAA

restando miembro a miembro obtenemos:

( ) ( ) ( ) 0211221122112 =−+−+− FAFAyEAEAxDADA

que es una ecuación lineal, cuyo lugar geométrico pasa por los puntos de intersección de las circunferencias, recibe el nombre de eje radical y, como puede demostrarse fácilmente resulta perpendicular a la recta que une los centros.

Dos circunferencias pueden tener las siguientes posiciones

relativas:

Secantes: P P1 2≠ Tangentes: P P1 2= Exteriores

C1

C2

r1

P2

r2

P1 C1

C2

r1

r2

C1 C2 r1

P2

r2

P1

Eje radical

Eje radical

Eje radical

Ejemplo:

Determinar los puntos de la intersección de :

( )( )

=+−−+

=+−−+

201328

1096422

22

yxyx

yxyx

restando las ecuaciones:

4 4 4 0

1 0 1

x y

x y y x

− − =

− − = ⇒ = −

Reemplazamos en ( 1 ) el valor de y ;

( ) ( )

=∧=

=∧=⇒=−−

=++−−+−+

=+−−−−+

12

34016122

0966412

091641

22

112

22

22

yx

yxxx

xxxxx

xxxx

Puntos de intersección : ( ) ( )1;2;3;4 21 PP

Representación: Determinamos las coordenadas del centro y el valor del

radio de las circunferencias ( 1 ) y ( 2 ):

( 1 )( )

( ) 2

3;2

32

6

2

22

4

2

22 =⇒−+=

=

−−=⇒−=

=

−−=⇒−=

rFr

CE

D

βα

ββ

αα

( 2 ) ( )

( ) 2

1;4

12

2

2

42

8

2

22 =⇒−+=

=

−−=⇒−=

=

−−=⇒−=

rFr

CE

D

βα

ββ

αα

y

x

1

4

3

2

x-y-1=0

P1 C1

C2 P2

PARÁBOLA.

Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija que recibe el nombre de directriz.

La definición precedente permite construir la parábola por puntos cuando se conoce el foco F y la directriz d. Trazando por F una recta perpendicular a la directriz determinamos el punto D. El punto medio de FD es punto de la curva, llamémoslo O, ya que DO OF= . Para encontrar otros puntos, consideramos un punto cualquiera H sobre la recta que contiene DF y se traza por H la recta m d/ / , haciendo centro en F y con radio DH se corta a la recta m en los puntos P1 y P2 que pertenecen a la parábola; QP PF1 1= .

Si queremos determinar otros puntos repetimos el procedimiento.

P2

H D

O

Q P1

d

F

m

Ecuación:

Hallaremos la ecuación para la parábola con vértice en el origen de coordenadas y foco en el eje x positivo.

Llamando p la distancia de la directriz al foco 0;2

⇒

pF la ecuación de la

directriz será: xp

= −2

De acuerdo a la definición: FP QP=

xp

PFyp

xPF +=+

−=

22

2

2

resultando:

xp

yp

x +=+

−

22

2

2

elevando al cuadrado:

2

2

2

22

−=+

−

pxy

px

O

p

d

0;

2

pF

Y

P (x,y )

X

desarrollando y simplificando obtenemos:

xpx

py

p px y px2

22

22 22

2 4 422

2+ + + = + + ⇒ =

ecuación canónica de la parábola con vértice en el origen y eje focal horizontal.

p: recibe el nombre de parámetro y es la distancia del foco a la directriz. y px= ± 2 Forma explícita de la ecuación.

Para cada valor de x mayor que cero se obtienen dos valores iguales y contrarios de y, por esta razón la curva resulta simétrica con respecto al eje x que se denomina eje de la curva. Dicho de otra forma: en la ecuación canónica de la parábola se observa que la variable y está elevada al cuadrado y no aparece a la potencia uno. Ello significa que para dos valores opuestos de y se obtiene el mismo valor de x, lo que en términos geométricos se traduce diciendo que la curva es simétrica con respecto al eje x.

Lado recto: Es el segmento perpendicular al eje focal, que pasando por el foco une dos puntos de la curva.

Lado recto = ′ =MM y2

y px= ⇒2 como: xp

y pp

y p= ⇒ = ⇒ =2

22

Lado recto MM p′ = 2

M´

M

d

F

Lado recto

y px2 2=

Posiciones:

Ecuación: y px2 2= Ecuación y² = 2px Ejemplo: y² = 4x Ejemplo: y² = -4x

Foco:

0;

2

p Foco:

− 0;

2

p

Directriz: xp

= −2

Directriz: xp

=2

Ecuación: x py2 2= Ecuación: x py2 2= Ejemplo: x² = 4y Ejemplo: x² = -4y

Foco:

2;0p

Foco:

−2

;0p

x

y d

x

y

d

-x

y d

x

d

x

y

Directriz: yp

= −2

Directriz: yp

=2

Ecuación de la parábola referida a un sistema de ejes paralelos.

De la ecuación :

x py ypx si

pa y ax2 2 22

1

2

1

2= ⇒ = = ⇒ =; :

La ecuación de la parábola de vértice V ( αααα;ββββ ) y eje paralelo al eje y es :

y ax′ = ′2

Con respecto al sistema “ x ; y “ la ecuación de la parábola será:

como; x x

y y

′ = −

′ = −

α

β

sustituyendo en ( 1 ) : ( )2αβ −=− xay

⇒ = − + +y ax a x a2 22 α α β si:

− = ∧ + =2 2a b a cα α β

⇒ = + +y ax bx c2

x

y

V (α,β)

y´

x´

Si el eje de la parábola es paralelo al eje x y el vértice es ( )βα ;V su ecuación es :

x ay′ = ′2

Y respecto al sistema “ x ; y “ : ( )2βα −=− yax

⇒ = − + +x ay a y a2 22 β β α si:

− = ∧ + =2 2a b a cβ β α

⇒ = + +x ay by c2

Ejemplo: Encontrar la ecuación de la parábola cuyo foco está en (1 ; 3) y su directriz es

x = 5. De acuerdo al esquema vemos que el vértice V tiene por coordenadas ( 3 ; 3 ).

x´

y

x

y´

Su ecuación es de la forma:

( ) ( )αβ −−=− xpy 22

( ) ( )32232

−•−=−⇒ xy

( ) ( )3432

−•−=− xy

( ) 012432

=−+− xy

F

V

X=5

-x

y

-y x 1 3

3

ELIPSE.

Es el conjunto de puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos, es una constante.

Siendo F1 y F2 focos de la elipse y P un punto genérico perteneciente a la elipse

PF PF a1 2 2+ =

Elementos:

Eje mayor: A A a1 2 2= ; (si suponemos que la linea punteada F2PF1 es un hilo inextensible, cuando el punto P toma la posición de A1 resulta sencillo verificar por la igualdad de los segmentos A2 F2 y A1 F1 que la longitud de dicho hilo es A1 A2 =2A10 = 2a)

Semieje mayor: AO OA a1 2= = ; Eje menor: B B b1 2 2= ; Semieje menor: B O OB b1 2= = ; Vértices: ( ) ( ) ( ) ( );;0;;0;0;;0; 2121 bBbBaAaA −− Eje focal: F F c1 2 2= ; Semieje focal: FO OF c1 2= = ; Focos: ( ) ( );0;;0; 21 cFcF − B1 ∈ a la elipse y satisface la condición: F B B F a1 1 1 2 2+ =

como F B B F a b c a b a c1 1 1 2

2 2 2 2 2 2+ = ⇒ + = ⇒ = − .

Ecuación:

( )∈yxP ; a la elipse ⇒ + =PF PF a1 2 2 ( 1 )

aplicando el Teorema de Pitágoras en PRF1

∆

y PRF2

∆

respectivamente:

( ) ( ) 22

2

22

1 ycxFPycxFP ++=∧+−=

reemplazando en ( 1 ) : ( ) ( ) aycxycx 22222=++++−⇒

aislando la primera de las raíces cuadradas y elevando ambos miembros al cuadrado:

( ( ) ) ( ( ) )2222222 ycxaycx ++−=+−

( ) 22222222 2442 ycxxycxaayccxx +++++−=++−

agrupando, simplificando y elevando al cuadrado:

( )

( ) ( )22242222222

222

22

222

22

444

xccxaayacacxaxa

cxaycxa

cxaycxa

++=+++

+=

++

+=++

agrupando variables:

a x c x a y a a c2 2 2 2 2 2 4 2 2− + = −

( ) ( )22222222 caayacax −=+−⇒ como: a c b x b a y a b2 2 2 2 2 2 2 2 2− = ⇒ + = dividiendo por a b2 2 obtenemos:

x

a

y

b

2

2

2

21+ =

Ecuación canónica de la elipse de centro en el origen de coordenadas y eje focal x.

La ecuación x

a

y

b

2

2

2

21+ = puede ser escrita como : b x a y a b2 2 2 2 2 2 0+ − =

que es un caso particular de la ecuación de 2º grado en x e y.

Forma explícita de la ecuación de la elipse.

De la ecuación x

a

y

b

2

2

2

21+ = despejamos y ⇒ = ± −y

b

aa x2 2 ; donde

observamos que tendremos valores reales de y si a x2 2 0− ≥ : Si

a x a x x a x a a x a2 2 2 2 2 20− ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≤ ⇒ ≤ ⇒ − ≤ ≤

De donde

=

−=

ax

ax rectas que limitan la elipse.

Entonces y es real solo para x a≤ .

Si de la ecuación x

a

y

b

2

2

2

21+ = despejamos x : ⇒ = ± −x

a

bb y2 2

Para valores reales de x: b y b y b2 2 0− ≥ ⇒ − ≤ ≤

de donde

−=

=

bx

bx rectas que limitan la elipse.

Entonces x es real solo para y b≤

•••• ••••

Del estudio de la figura precedente deducimos:

1: La elipse es simétrica respecto al origen y a los ejes coordenados por estar las variables de su ecuación canónica elevadas al cuadrado y no aparecer a la potencia uno. 2: La elipse es interior al rectángulo limitado por las rectas : x a y b= ± ∧ = ± Lado recto: Es el segmento perpendicular al eje focal que une dos puntos de la elipse.

Lr L L= 1 2 ; como L L L F F L1 2 1 1 1 2= + y

L F F L Lr L F1 1 1 2 1 12= ⇒ =

L F y1 1 = ; considerando la ecuación explícita de la

elipse yb

aa x= −2 2

reemplazando “ x “ por “ c” :

yb

aa c y

b

ab y

b

ay

b

aLr

b

a= − ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =2 2 2

2 2 2

22 2

Excentricidad.

Es el cociente c

ae

c

a⇒ = ; como c a e< ⇒ < 1

L1

x

y

F2 F1

L2

y =b

x =a x =-a

y =-b

Si c e= ⇒ =0 0⇒⇒⇒⇒ los focos coinciden y la curva es una circunferencia.

Posiciones.

Dada una elipse mediante su ecuación canónica, el eje mayor (eje focal) corresponde al eje coordenado de la variable que tiene mayor denominador.

I. eje mayor sobre el eje x: x

a

y

b

2

2

2

21+ =

Ejemplo: x y2 2

16 91+ =

II. eje mayor sobre el eje y : x

b

y

a

2

2

2

21+ =

Ejemplo: x y2 2

4 91+ =

( )3;02 −B

( )0;41A ( )0;42 −A

( )3;01B

-2,64 2,64

F1 F2

( )3;02 −B

( )0;21A

( )3;01B

-2,33

2,33 F1

F2

( )0;22 −A

-2,33

2,33 F1

F2

Construcción de la elipse:

Aplicando la definición.

Dados F F y a1 2 2; construiremos por puntos la elipse. Marcamos sobre una recta F1 y F2 y su punto medio O ; equidistantes a O los puntos A1 y A2 tales que A O OA a2 1= = . Los puntos A1 y A2 son puntos de la elipse ya que:

A F A F a1 1 1 2 2+ = y A F A F a2 2 2 1 2+ =

Para hallar otros puntosque pertenezcan a la elipse

marcamos un punto cualquiera H interior al segmento F F1 2 .

El segmento A A1 2 queda dividido en dos partes :

A H HA2 1∧ . Haciendo centro en F1 con radio HA1 trazamos una

circunferencia; haciendo centro en F2 con radio A H2 trazamos otra circunferencia. Los puntos de intersección P1 y P2 son puntos de la elipse ya que sus radios vectores suman 2a

A H HA a1 2 2+ =

Al variar la posición del punto H, en el segmento F F1 2 podemos obtener otros puntos de la elipse.

I. Relación de afinidad.

La ecuación de la elipse es: x

b

y

a

2

2

2

21+ =

( )122 xaa

bye −±=⇒

La ecuación de la circunferencia es: x y a2 2 2+ =

( )222 xayc −±=⇒

A2 A1 H F2

P2

P1

F1 O

ye = ordenada de la elipse.

yc = ordenada de la circunferencia.

Comparando ( 1 ) y ( 2 ): ⇒ =yb

aye c

Esta es la relación de afinidad, en la que se basa un método de construcción de la elipse. Construcción:

Trazamos dos circunferencias concéntricas de

centro O y radios a y b respectivamente. Luego una semirecta de origen O que corta a las circunferencias en los puntos P1 y P2 respectivamente, trazando por P1 una paralela al eje x y por P2 una paralela al eje y; el punto P de intersección pertenece a la elipse.

Como OQ P OQ P1 1 2 2≈

⇒ =Q P

Q P

OP

OP

1 1

2 2

1

2

Pero

=

=

=

==

aPO

bPO

yPQ

yPQPQ

c

e

2

1

22

211

Luego: y

y

b

ay

b

aye

c

e c= ⇒ =

Trazando otras semirectas de origen O, encontramos otros puntos de la elipse.

P ( x, y )

y

x O

S

Q1 Q2

P2

P1

La justificación de que los puntos así hallados pertenecen a una elipse es relativamente sencilla:

Los segmentos OP1 y OP2 de la figura precedente son

respectivamente los radios de las dos circunferencias trazadas tomando como diámentros de las mismas 2b y 2a. Si llamamos αααα al ángulo que el sentido positivo del eje x forma con dichos radios, quedan formados los triángulos rectángulos OP1Q1 y OP2Q2 para los cuales valen las siguientes relaciones:

αα seny cos1

11

2

2 ====b

y

PO

PQ

a

x

PO

QO

elevando al cuadrado las expresiones anteriores y sumando miembro a miembro:

elipse. una deecuación la es 1

1sencos

seny

; cos

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

2

22

2

2

=+

=+=+

==

b

y

a

xy

b

y

a

x

ba

x

αα

αα

Ecuación de la elipse referida a un sistema de ejes paralelos.

Los ejes x´ e y´ son ejes paralelos a los eje x; y. P

es un punto de la elipse que tiene coordenadas (x´; y´) respecto al sistema de origen O´(αααα, ββββ ) y coordenadas (x , y) respecto al sistema de origen O.

La ecuación de la elipse es: x

a

y

b

′+

′=

2

2

2

21 cuando se refiere al sistema

O´(x´;y´).

Como

−=′

−=′

β

α

yy

xx

( ) ( )1

2

2

2

2

=−

+−

b

y

a

x βα

ecuación de la elipse de centro en (αααα;ββββ) y eje focal paralelo al eje x.

Si el eje focal es paralelo al eje y la corrrespondiente

ecuación resulta: ( ) ( )

12

2

2

2

=−

+−

b

x

a

y αβ

y

x

x´

x´

x

y y´

y´

O

O´

P

α

β

HIPÉRBOLA.

Es el conjunto de puntos del plano tales que la diferencia de las distancias a dos puntos fijos llamados focos, es una constante.

Si F1 y F2 son los focos de la hipérbola, para todo punto P perteneciente a la

hipérbola se verifica: PF PF a2 1 2− =

Elementos:

Eje focal o transverso: A A a1 2 2= ; Eje conjugado, ideal o imaginario: B B b1 2 2= ; Vértices: ( ) ( ) ( ) ( )bBbBaAaA −− ;0;;0;0;;0; 2121 Distancia focal: F F c1 2 2= ; Focos: ( ) ( );0;;0; 21 cFcF −

acacaFPFP

cFF>⇒>⇒

=−

=22

2

2

12

21

Ecuación.

Como ( )∈yxP , a la hipérbola ⇒ − =PF PF a2 1 2

( ) ( ) 22

1

22

2 ycxFPycxFP +−=∧++=

reemplazando: ( ) ( ) aycxycx 22222=+−−++⇒

aislando la primera de las raíces del primer miembro y elevando luego ambos miembros al cuadrado:

( ) ( )2

222

222

+−+=

++ ycxaycx

desarrollando los cuadrados y agrupando:

Simplificando y elevando al cuadrado:

( ) ( )2

2222

+−=− ycxaacx

c x a cx a a x a cx a c a y2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 22 2− + = − + +

agrupando variables:

c x a x a y a c a2 2 2 2 2 2 2 2 4− − = −

( ) ( ) 22222222222222 bayabxacayaacx =−⇒−=−− En B OA1 1;

b c a2 2 2= −

( ) 222444 ycxaacx +−•=−

a

b c

B1

O

A1

dividiendo por a b2 2 obtenemos:

x

a

y

b

2

2

2

21− =

que es la ecuación canónica de la hipérbola de eje focal x y centro en el origen de coordenadas.

La ecuación x

a

y

b

2

2

2

21− = puede ser escrita como :

b x a y a b2 2 2 2 2 2 0− − = ; que es un caso particular de la ecuación de 2º grado en x e y.

Si de la ecuación x

a

y

b

2

2

2

21− = despejamos y :

22

2

2222

2

2

2

2

1 axa

by

a

axby

a

x

b

y−±=⇒

−=⇒−=

la última expresión nos permite observar que la curva es simétrica respecto al eje x. Con respecto a y podemos decir que toma valores reales para x variando de menos a más infinito, con excepción de intervalo x a< , en el qlue “ y” toma valores imaginarios; “ x ” varía:

∞<≤

−≤<∞−

xa

ax

resultando una curva externa a la faja limitada por las rectas:

=

−=

ax

ax

Despejando x:

xa

bb y= ± +2 2

se verifica que la curva es simétrica respecto al eje y:

Si: y x a= ⇒ = ±0

Entonces la curva corta al eje x en los puntos : ( )0;1 aA y ( )0;2 aA − vértices y

determinan A A a1 2 2= ; que es la longitud del eje focal.

El rectángulo HIJK de centro O y lados

perpendiculares a los ejes, se denomina: rectángulo fundamental de la hipérbola.

Lado recto: Es el segmento perpendicular al eje coordenado, que pasando por el foco, une dos puntos de la hipérbola: L L1 2

L L y yb

ax a1 2

2 22= = ± −: en ( )ycL ;1

yb

ac a y

b

ab y

b

a= − ⇒ = ⇒ =2 2 2

2

∴ = ⇒ =2 2 22

1 2

2

yb

aL L

b

a

Excentricidad:

Es el cociente c

ae

c

a⇒ = , como c a e> ⇒ > 1 .

Asíntotas de la hipérbola. Son las rectas que están sobre las diagonales del rectángulo fundamental: tienen como ecuaciones:

yb

ax1 = ; y

b

ax2 = −

RSTV: rectángulo fundamental.

Se muestra que: ( ) 0→− ba yy cuando x → ∞

En efecto: yb

axa = ( asíntota )

yb

ax ab = −2 2 ( hipérbola )

d y ya b= −

db

ax

b

ax a= − −2 2

( )22

2

22

22222

axx

a

a

b

axx

axx

a

baxx

a

bd

−+•=

−+

−−=−−=

( ) 0limlim22

→−+

=−∞→∞→ axx

abyy

xba

x

∴ → ∞ ⇒ →si x d 0

Posiciones. El eje focal de la hipérbola, corresponde siempre a

la variable de coeficiente positivo, no importando que a < b o a > b.

Ejemplo:

Dada la ecuación 9 4 362 2x y− = , obtener las coordenadas de los vértices y focos; excentricidad, longitud del lado recto, ecuación de las asíntotas.

9 4 362 2x y− =

x y2 2

4 91− = Ecuación canónica

Solución:

Vértices: a = 2 y

( ) ( ) ( ) ( );3;0;3;0;0;2;0;23 2121 −−⇒= BBAAb

Focos: ( ) ( )0;6,3;0;6,36,3 21

22 −⇒≅+= FFbac

Excentricidad: ec

ae= ⇒ = =

3 6

218

,,

x

a

y

b

2

2

2

21− =

y

a

x

b

2

2

2

21− =

Lado recto: L Lb

aL L1 2

2

1 2

29= ⇒ =

Ecuación de las asíntotas: yb

ay y= ± ⇒ = ∧ = −1 2

3

2

3

2

Gráfico:

Hipérbola Equilátera.

Cuando una hipérbola tiene a = b recibe el nombre de hipérbola equilátera; el rectángulo fundamental es un cuadrado y las asíntotas son perpendiculares entre sí.

Si a = b la ecuación es:

x

a

y

a

2

2

2

21− = ;

es decir: x y a2 2 2− = ;

con asíntotas: y x

y x

=

= −

Ecuación de la hipérbola equilátera referida a sus asíntotas. Cuando se trata de la hipérbola equilátera, resulta

de utilidad referir la ecuación a sus asíntotas, tomadas como nuevo sistema de referencia.

Para ello, resulta imprescindible hacer uso de las:

Fórmulas de rotación: Los dos sistemas de referencia tienen origen común O; la rotación de valor ϕϕϕϕ es rígida, es decir, se conserva el ángulo entre los ejes. Las coordenadas del punto P son (x´; y´)con respecto al sistema rotado y (x; y) con respecto al sistema de ejes horizontal y vertical. Valen entonces:

x = OT = OS - TS y = TP = TR + RP

x´= NP = OQ y´= PQ

OS = OQ cos ϕϕϕϕ = x´ cos ϕϕϕϕ

TS = RQ = PQ sen ϕϕϕϕ = y´ sen ϕϕϕϕ resultando: x = x´cos ϕϕϕϕ - y´sen ϕϕϕϕ TR = QS = OQ sen ϕϕϕϕ = x´ sen ϕϕϕϕ

�

O

Q

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

• x´ y´

y

x

R

S T

RP = PQ cos ϕϕϕϕ = y´ cos ϕϕϕϕ resultando: y = x´sen ϕϕϕϕ + y´ cos ϕϕϕϕ

Fórmulas de rotación:

′+′=

′−′=

ϕϕ

ϕϕ

senxyy

senyxx

cos

cos

Teniendo en cuenta la ecuación de la hipérbola equilátera: x y a2 2 2− = ( 1 ); las fórmulas de transformación por rotación y el ángulo ϕ = 45º .

′+′=

′−′=

º45º45cos

º45º45cos

senxyy

senyxx

o sea:

′+′=

′−′=

2

2

2

22

2

2

2

yxy

yxx o también

′+′=

′−′=

)(2

2

)(2

2

yxy

yxx

reemplazando en ( 1 ):

( ) ( ) 2

22

2

2

2

2ayxyx =

′+′−

′−′

( ) ( ) 22222 22

12

2

1ayyxxyyxx =′+′′+′−′+′′−′

1

2

1

2

1

2

1

2

2 2 2 2 2x x y y x x y y a′ − ′ ′+ ′ − ′ − ′ ′− ′ =

⇒ − ′ ′ = ⇒ ′ ′ = −22

22

x y a x ya

∴ haciendo Ka

K x y= − ⇒ = ′ ′2

2

Ecuación de la hipérbola equilátera referida a sus

asíntotas. Reemplazando x´ e y´ por x e y la ecuación de la

hipérbola equilátera es xy = k Si: k x e y> ⇒0 ; son de igual signo

⇒ =xy k Si: k x e y< ⇒0 ; son de igual signo

⇒ = −xy k

Ecuación de la hipérbola referida a un sistema de ejes paralelos desplazados (sin rotar).

La ecuación de la hipérbola referida al sistema x´y´ es :x

a

y

b

′−

′=

2

2

2

21

Utilizando las fórmulas de traslación de ejes:

−=′

−′

β

α

yy

xx :

resulta: : ( ) ( )

12

2

2

2

=−

−−

b

y

a

x βα que corresponde a la ecuación de la hipérbola

cuyo centro es el punto ( )βα ;C y cuyo eje focal es paralelo al eje x.

Si el eje focal es paralelo al eje y, su ecuación es:

( ) ( )1

2

2

2

2

=−

−−

a

x

b

y αβ

y

Ejemplos: 1. Representar gráficamente la cónica de ecuación:

( ) ( )

14

3

9

222

=+

−+ yx

Coordenadas del centro: ( ) ( )3;2; −−=βα

Eje focal: F F y1 2⊥

( ) ( )3;5;3;1

24

39

21

2

2

−−−⇒

=⇒=

=⇒=

AA

ab

aa

2. Hallar la ecuación de la hipérbola cuyos

focos son ( )0;2 y ( )6;2 − ; con un extremo del eje conjugado en ( )3;3 − . De acuerdo con los datos: F F x1 2⊥

Responde a la ecuación: ( ) ( )

12

2

2

2

=−

−−

b

x

a

y αβ

El centro es punto medio del segmento que une los focos ( ) ( )3;2, −=βα

=⇒−=⇒−=

=⇒−=⇒−=

183

8132222222

2222222

bbacb

aabca

Ecuación: ( ) ( )

11

2

8

32

2

2

2

=−

−+ xy