38 superficies parametricas y area

CALCULO VECTORIAL

ROSA ÑIQUE ALVAREZ 1

SUPERFICIES

PARAMÉTRICAS

CAPÍTULO V

CÁCULO VECTORIAL

Rosa Ñique Alvarez 2

FUNCION VECTORIAL DE DOS PARAMETROS

),(),(: 32

vuvuSDr

r→

ℜ⊂→ℜ⊂

DvuvuzvuyvuxvuS

∈++=

),(;),(),(),(),( kjir:


FUNCION VECTORIAL DE DOS PARAMETROS

DvuvuzvuyvuxvuS

∈

=

),(;),(,),(,),(),(r:

),(),(: 32

vuvuSDr

r→

ℜ⊂→ℜ⊂


DvuvuzvuyvuxvuS ∈= ),(;),(,),(,),(),(r:


SUPERFICIE PARAMÉTRICA

=∈=

=

),(),(;),(

),(:

vuzzDvuvuyy

vuxxS

DvuvuzvuyvuxvuS ∈= ),(;),(,),(,),(),(r:


FAMILIA DE CURVAS C1 QUE SE ENCUENTRAN EN LA SUPERFICE S

),(),,(),,(),(: 00001

0

vuzvuyvuxvuC

uuPara

=

=

r

DvuvuzvuyvuxvuS ∈= ),(;),(,),(,),(),(: r

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CALCULO VECTORIAL



FAMILIA DE CURVAS C2 QUE SE ENCUENTRAN EN LA SUPERFICE ‘’S’’

),(),,(),,(),(: 00002

0

vuzvuyvuxvuC

vvPara

=

=

r



CURVAS C1 Y C2


EJEMPLO 1: CILINDRO

≤≤≤≤

++=

8020

:

;)(2)cos(2),(

vu

D

usenvuvuπ

kjir

4:

2;;cos2:22 =+

===

zxS

senuzvyuxS


Hacemos u constante es decir u = u0

Las variables x, z se hacen fijas, mientras que lavariable y =v varía

00001

02,,cos2: senuzvyuxC

uu===

=

usenzvyuxS 2;;cos2: ===


Interpretación del Ejemplo 1

u0π2

8 D

(x 0, 0, z 0

)

(x 0, 8, z 0

)

( u0, v )

( u0, 8 )

),( 0 vur


GRAFICA DEL CILINDRO

-2

-1

0

1

2 0

2

4

6

8-2

-1

0

1

2

Y

Cilindro

X

Z




CALCULO VECTORIAL



EJEMPLO 2: Tubo Helicoidal

( ) ( )

≤≤≤≤

+++=

ππ

2040

:

cos,2,cos2),(

vu

D

vusenusenvusenvvur


Hacemos v = v0 obtenemos una curva Cllamada HELICE CIRCULAR

( )( )

+=≤≤+=

+=

0

0

0

2

cos402

cos2:

vuzusenusenvy

usenvxC π

( ) ( ) vusenusenvusenvvu:S cos,2,cos2),( +++=r


Interpretación del Ejemplo 2

-3

-2

-1

0

1

2

3 -3-2

-10

12

3

0

2

4

6

8

10

12

14

YX

Z

v0 = pi / 4

π4

π2

),( 0vurr

D


TUBO HELICOIDAL

-4-2

02

4 -3 -2 -10 1 2 3

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

Y

TUBO HELICOIDAL

X

Z


SUPERFICIES DE REVOLUCION

• Girar y = f ( x ), a ≤ x ≤ b, alrededor del eje X, donde f ( x ) ≥ 0.

• Si (x, y, z) es un punto de S, entonces

≤≤≤≤

===

πθ

θθ

20:

)(cos)(,:bxa

D

senxfzxfyxxS





CALCULO VECTORIAL



EJEMPLO 3 Superficie Revolución

Xejedelalrededor20)(Girar π≤≤= xxseny

0 1 2 3 4 5 6 7-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


Ecuación de la superficie de revolución del Ejemplo 3

≤≤≤≤

===

πθπ

θθ

2020

:

,cos,:x

D

sensenxzsenxyxxS


01

23 4

56

7

-1

-0.5

0

0.5

1

-1

-0.5

0

0.5

1

X

SUPERFICIE DE REVOLUCION

Y

Z

Grafica de la superficie de revolución del Ejemplo 3


EJEMPLO 4: TORO


v

u


ECUACIONES DE LA SUPERFICIE TORO ( r < R )

( )

( )

=

≤≤≤≤

+=

+=

usenrzvu

DvsenurRy

vurRx

ππ

2020

:;cos

coscos




CALCULO VECTORIAL



ECUACIONES DE LA SUPERFICIE TORO ( r =1 y R = 2 )

( )

( )

=

≤≤≤≤

+=

+=

usenzvu

Dvsenuy

vux

ππ

2020

:;cos2

coscos2


Curvas C1 y C2 para el Toro

-3-2

-10

12

3 -3-2

-1

0

12

3

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

v0=pi/4

u0=pi/4


EJEMPLO 5: CINTA DE MOBIUS


Ecuación Cinta de Mobius

( )( )

( )

≤≤≤≤−

=+=+=

πθ

θθ

θ

θ

θ

202/12/1

:

cos2coscos2

2

2

2

rD

rsenzrsenyrx


-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-3

-2

-1

0

1

2

3

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

Y

Z

Cinta de Mobius


DERIVADAS PARCIALES

( )),(,),(,),(),(Para

00001

0vuzvuyvuxvu

uu=

=r:C

∂∂

∂∂

∂∂

= ),(),,(),,(),( 00000000 vuvzvu

vyvu

vxvuvr





CALCULO VECTORIAL



DERIVADAS PARCIALES

∂∂

∂∂

∂∂

= ),(),,(),,(),( 00000000 vuvz

vuvy

vuvx

vuvr

rv (u0, v0): Vector tangente a C1 en P0

( )),(,),(,),(),( 00001 vuzvuyvuxvu =r:C


DERIVADAS PARCIALES

( )),(,),(,),(),(Para

00002

0vuzvuyvuxvu

vv=

=r:C

∂∂

∂∂

∂∂

= ),(),,(),,(),( 00000000 vuuzvu

uyvu

uxvuur



DERIVADAS PARCIALES

( )),(,),(,),(),( 00002 vuzvuyvuxvu =r:C

∂∂

∂∂

∂∂

= ),(),,(),,(),( 00000000 vuuzvu

uyvu

uxvuur

r u (u0, v0): Vector tangente a C2 en P0


Vectores tangentes a C1 y C2


SUPERFICIE SUAVE

0≠vu rr xSi


Una superficie suave no tiene esquinas


SUPERFICIE SUAVE

0≠vu rr x

Es un vector perpendicular a la superficie S





CALCULO VECTORIAL



uv rr x


PLANO TANGENTE


EJEMPLO 6: Superficie no suave

( )( )

≤≤≤≤

=−=−=

ππ

2020

:

coscos

vu

D

uzsenvuuy

vsenuux


-10

-50

5

10

-2-1

01

20

1

2

3

4

5

6

7

X

SUPERFICIE NO SUAVE

Y

Z

Grafica de una Superficie no suave




ivuvuii dAvuAS rrrr xx =∆∆=∆≈∆

iA∆

iS∆




CALCULO VECTORIAL



AREA DE UNA SUPERFICIEPARAMÉTRICA

dAdSSAD

vu

S∫∫∫∫ == rr x)(



EJEMPLO 7 Calcular el área del Paraboloide

( )π20;40:

;,,cos),(:≤≤≤≤

=vuD

uvsenuvuvuS r

22:eParaboloid yxz +=

Solución


( )π20;40:

;,,cos),(:≤≤≤≤

=vuD

uvsenuvuvuS r

( )vuuvsen

uvvu

u u ,1,2

,2cos),( rr

=

=∂∂

( ) ),(0,cos,),( vuvusenvuvuv vrr

=−=∂∂

Solución


−=

−

=

21;;cos

0cos

122

cos

senvuvu

vusenvu

usenv

uv

vu

vu

rr

kji

rr

x

x

Solución


214

21;;cos

+=

−=

u

senvuvu

vu

vu

rr

rr

x

x

Solución


dAu

dAdS

u

vu

vu

214

214

+==

+=

rr

rr

x

x




CALCULO VECTORIAL



Solución

dvduuSA

dAdSSAD

vu

S

∫ ∫

∫∫∫∫

+=

==

π2

0

4

0

1421)(

)( rr x

( )π20;40:

;,,cos),(:≤≤≤≤

=vuD

uvsenuvuvuS r


Solución

[ ]117176

)(

1421)(

)(

2

0

4

0

−=

+=

==

∫ ∫

∫∫∫∫

π

π

SA

dvduuSA

dAdSSAD

vuS

rr x


EJEMPLO 8

Calcular el área de la superficie

π20,10:

,cos2,cos:

≤≤≤≤

===

vuD

vzvuyvuxS

EF 2006II


-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-2-1

01

20

1

2

3

4

5

6

7

X

Gráfica de Superficie

Y

Z

SUPERFICIE3

π20,10:,cos2,cos:

≤≤≤≤===

vuDvzvuyvuxS

Solución


( )π20;10:;,cos2,cos),(:

≤≤≤≤=

vuDvvuvuvuS r

( ) ( )vuvvvuu u ,0,cos2,cos),( rr

==∂∂

( ) ),(1,2,),( vuusenvsenvuvuv vrr

=−−=∂∂

Solución


( )

v

vv

senvusenvu

vv

vu

vu

vu

cos5

0;cos;cos2

12

0cos2cos

=

−=

−−

=

rr

rr

kji

rr

x

x

x




CALCULO VECTORIAL



Solución

54)(A

)superficie4/1(cos54)(A

)(A

1

0

2/

0

=

=

==

∫ ∫

∫∫∫∫

S

dudvvS

AdrrdSSD

vuS

π

x


EJEMPLO 9

Calcular el área de la superficie helicoidal

π20,10:

,,cos:

≤≤≤≤

===

vuD

vzusenvyvuxS


-1

-0.8

-0.6

-0. 4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0. 8

1

-2-1. 5-1-0.500.511. 52

0

2

4

6

8

X

Y

SUPERFICIE HELICOIDA L

Z

SuperficieHelicoidal

π20,10:,,cos:

≤≤≤≤===

vuDvzusenvyvuxS Solución


( )π20;10:

;,,cos),(:≤≤≤≤

=vuDvvsenuvuvuS r

( ) ( )vuvsenvvuu u ,0,,cos),( rr

==∂∂

( ) ),(1,cos,),( vuvusenvuvuv vrr

=−=∂∂

( )

21

;cos;

u

uvsenv

vu

vu

+=

−=

rr

rr

x

x


Solución

( )[ ]π

π

21ln2)(A

1)(A

)(A

2

0

1

0

2

++=

+=

==

∫ ∫

∫∫∫∫

S

dvduuS

AdrrdSSD

vuS

x

( )π20;10:;,cos2,cos),(:

≤≤≤≤=

vuDvvuvuvuS r


( )[ ]10221

0

2 1ln1211 uuuuduu ++++=+∫




38 superficies parametricas y area

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c2rosa ique alvarez

vurrdrosa ique alvarez

vurosa ique alvarez

cos2coscos2rosa ique

vuvusdrrrosa ique alvarez

zxssenuzvyuxsrosa ique

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