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UNIVERSIDAD NACIONAL DE CATAMARCA
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES
CURSO DE NIVELACION
MATEMÁTICA
2016
CARRERAS:
LICENCIATURA EN FÍSICA
PROFESORADO EN FÍSICA
LICENCIATURA EN QUÍMICA
PROFESORADO EN QUÍMICA
TÉCNICO QUÍMICO UNIVERSITARIO
TECNICATURA EN ENERGÍAS RENOVABLES
ANALISTA EN COMPUTACIÓN
DOCENTE RESPONSABLE:
LIC. MELINA BORDCOCH
FaCEN_UNCa/Curso de Nivelación - Matemática 2016
Docente Responsable: Lic. Melina Bordcoch Página 2
TEMA 1: UNIDADES DE MEDICION
MAGNITUDES FUNDAMENTALES Y DERIVADAS.
UNIDADES EN EL SISTEMA INTERNACIONAL.
Tanto la Física como la Química son ciencias naturales o experimentales. De manera
inevitable surge la necesidad de medir. Los experimentos requieren mediciones y los resultados
de esas mediciones suelen describirse con números acompañados de la unidad correcta. Las
mediciones exactas y confiables exigen unidades inmutables que los observadores puedan
replicar en distintos lugares. El sistema empleado por los científicos e ingenieros de todo el
mundo es el sistema métrico, conocido desde 1960 por su nombre oficial: Sistema Internacional
(SI).
Se entiende por unidad fundamental a aquella unidad que no se compone de otras
unidades en oposición a la unidad derivada, que es aquella que se construye a partir de la
combinación de unidades fundamentales. La siguiente tabla nos muestra las unidades
fundamentales de SI:
Tabla 1: unidades fundamentales del SI
MAGNITUD NOMBRE SIMBOLO
Longitud Metro m
Masa Kilogramo kg
Tiempo Segundo s
Intensidad de la corriente eléctrica Ampere A
Temperatura termodinámica Kelvin K
Cantidad de materia Mol mol
Intensidad luminosa Candela cd
Angulo plano Radián rad
Angulo solido estereorradián sr
Para algunas magnitudes existen otras unidades que no pertenecen al SI. En países
anglosajones, por ejemplo, la longitud se mide en yardas o también en millas, la masa en onzas,
la temperatura en grados Fahrenheit (°F), entre otras. Las que cobran mayor importancia en
nuestra cotidianeidad son minutos (min), horas (h), días para medir el tiempo; grados (°),
minutos (´) y segundos (´´) para medir ángulos. Las equivalencias con las unidades del SI son:
Unidades de tiempo:
min601 h
s60min1
Unidades de ángulos:
rad 180
'601
''60'1
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Para realizar el pasaje de unidades utilizaremos dos métodos: Regla de tres simple
(RTS) y Factor de Conversión (FC). Los siguientes ejemplos muestran cómo utilizar cada uno
de los métodos.
Ejemplos:
1. ¿Cuántos segundos hay en 27 minutos?
2. ¿Cuántos segundos hay en 1,35 horas? ¿Cuántos minutos?
3. ¿Cuántos segundos hay en 1:15 hora? ¿Cuántos minutos?
4. ¿Cuántas horas contienen 100.000 segundos?
Solución:
1. Primero se resolverá utilizando RTS. El dato está en minutos y la incógnita en
segundos, por lo tanto, la RTS estará encabezada por la equivalencia entre minutos y
segundos:
1 min ----------- 60 s
27 min --------- X s
Y resolvemos la incógnita X
ss
X 1620min1
60min72
Observe que la unidad “min” del numerador se simplifica con la del denominador.
Se resuelve ahora utilizando FC. Se observa que la resolución por RTS para X puede
reescribirse de la siguiente manera:
sss
X 1620min1
60min27
min1
60min27
La fracción min1
60s se denomina “Factor de conversión” y se construye de la siguiente
manera: dado que la unidad a convertir está en el numerador (27 min) el denominador
del FC contiene la unidad a convertir (min) y el numerador la unidad final que se quiere
conseguir (s); los valores (1 y 60) corresponden a la equivalencia entre las unidades.
2. Se resuelve primero utilizando FC. Se quiere convertir 1,35 h a s, por lo tanto:
sh
sh 4860
1
360035,1
Observe cómo la unidad h del numerador se simplifica con la del denominador.
Se aplica ahora RTS. El dato está en horas y la incógnita en segundos, por lo tanto, la
RTS estará encabezada por la equivalencia entre horas y segundos:
1 h ----------- 3600 s
1,35 h ------- X s
Resolviendo la incógnita X
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sh
shX 4860
1
360035,1
que es la solución buscada.
3. El dato 1:15 hora puede considerarse por separado, por un lado 1h y por el otro 15 min.
Así, tendremos dos RTS distintas, la primera estará encabezada por la equivalencia
entre horas y segundos y la segunda por la equivalencia entre minutos y segundos:
Primero hacemos,
1 h ----------- 3600 s No es necesario resolver.
Luego,
1 min ----------- 60 s
15 min --------- X s
Resolviendo la incógnita X
ss
X 900min1
60min15
Por último, sumamos los dos resultados obtenidos:
1:15h=3600s + 900s = 4500 s
que es el resultado buscado.
Se propone que Ud. mismo plantee la resolución por FC.
4. El resultado de este apartado es 27,77 h. Plantee Ud. mismo la RTS y el FC para
resolver.
Ejemplos:
1. ¿A cuántos radianes equivalen 90°? ¿y 130°?
2. Un ángulo de 2
3rad, ¿a cuántos grados equivale? ¿Y uno de 1 rad?
Solución:
1. Se resolverá por RTS.
180° ---------- rad radrad
X2180
90
90° ---------- X rad No utilice la calculadora. Simplifique num. y den.
180° ---------- rad radradrad
X
72,018
13
180
130
130° ---------- X Simplifique num. y den. Luego, utilice la calculadora.
2. Se resolverá por FC:
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270180
2
3
radrad
No utilice la calculadora. Simplifique num. y den.
3,57180
1rad
rad
Hasta ahora se han analizado sólo unidades simples, se mostrarán a continuación
ejemplos de unidades compuestas. Una magnitud importante que surge en la vida cotidiana es la
velocidad; la unidad de velocidad es unidad de longitud dividida en unidad de tiempo:
][
][][
tiempo
longitudvelocidad
Así, es claro que la velocidad es una magnitud derivada y la longitud y el tiempo son
magnitudes fundamentales. Por observación de la Tabla 1 la unidad de velocidad en el SI es:
s
mv ][ .
Sin embargo, la unidad de velocidad de uso cotidiano es Km/h; otras unidades de
velocidad son cm/s, m/s, Km/s, etc. Cualquier unidad de longitud dividida en cualquier unidad
de tiempo será unidad de velocidad.
La gran utilidad del FC se aprecia cuando se quiere pasar de una unidad de velocidad a
otra. Analice los siguientes ejemplos.
Ejemplos:
1. ¿A cuántos m/s equivalen 40 km/h?
2. ¿Cuántos km/h son 300.000.000 m/s?
Solución:
Se resolverán ambos ejemplos por FC. Plantee Ud. mismo la RTS adecuada para
resolver.
1. Dado que la unidad de velocidad es compuesta, se debe construir un FC por cada
unidad a convertir, es decir, un FC que pase km a m y otro que pase h a s.
Como la unidad km está en el numerador, su FC debe tener los km en el
denominador y los m en el numerador.
Por el contrario, como la unidad h está en el denominador, su FC debe tener las h en
el numerador y los s en el denominador. Se establece en cada caso la equivalencia
correspondiente. Así:
s
m
s
h
km
m
h
km11,11
3600
1
1
100040
2. El resultado es 1.080.000.000 km/h. Plantee Ud. mismo el FC correspondiente para
resolver.
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Ejercicio:
1. Una partícula se desplaza con una velocidad constante igual a s
mv 5 . exprese esta
velocidad en km/s, m/h y km/h.
NOTACION CIENTIFICA. PREFIJOS DE UNIDADES.
Resulta conveniente y cómodo el uso de la notación científica cuando los resultados de
las mediciones son números muy pequeños o muy grandes. Cuando se usa la notación científica,
el resultado se escribe como un número comprendido entre cero y nueve multiplicado por la
potencia de diez correspondiente. Siga con atención los siguientes ejemplos:
Ejemplos:
Expresar en notación científica:
1. La velocidad de la luz es 300.000.000 m/s.
2. Los glóbulos rojos humanos tienen un diámetro aproximado de 0,000008 m.
Solución:
1. Para expresar el resultado en notación científica, elegimos el número entre 0 y 9
correspondiente, en este caso: 3
Para pasar de 300.000.000 a 3 hemos movido la coma 8 lugares hacia la izquierda. Esto
significa que para pasar de 3 a 300.000.000 tenemos que multiplicar por 100.000.000 ó
de manera equivalente por 108.
Por lo tanto,
300.000.000 m/s = 3 108 m/s
Es la expresión correcta en notación científica de la velocidad de la luz en m/s.
2. En este segundo ejemplo el número adecuado es 8. Ahora bien, para pasar de 8 a
0,000008 tenemos que dividir 8 por 1.000.000. Escribiendo esta división como fracción
000.000.1
8 es más sencillo advertir que:
mmm 6
6108
10
8
000.000.1
8
Esta es la expresión en notación científica buscada.
Ejercicios:
1. Exprese en notación científica:
a. 150.000 cm/s b. 350.120.000.000 m c. 1.080.000.000 km/h
2. Exprese en notación científica:
a. 0,0000025 mm b. 0,00000000915 m/s c. 0.000344 m
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3. Regrese a la notación nominal los siguientes valores expresados en notación científica:
a. 2,5 109 b. 0,35 105 c. 7,9 10-5 d. 1,25 10-6
Ya definidas las unidades fundamentales y la notación científica es fácil introducir
unidades más grandes y más pequeñas para las mismas cantidades físicas. En el sistema métrico
estas nuevas unidades se relacionan con las unidades fundamentales por medio de múltiplos de
10 ó 1/10. Así, 1km son 1000 m y 1 cm son 1/100 m. Es común expresar estos múltiplos en
notación exponencial:
mmmkm 33 1010110001
mmmcm 22 10101100
11
Los nombres de las unidades adicionales se obtienen agregando un prefijo al nombre de
la unidad fundamental. Por ejemplo, el prefijo “kilo” siempre indicará una cantidad 1000 veces
mayor, así:
mkm 3101
gkg 3101
WkW 3101
y el prefijo “centi” indica una cantidad 100 veces menor, así:
mcm 2101
gcg 2101
lcl 2101
Observe que el prefijo “kilo” está representado por la letra o símbolo “k” en el lado
izquierdo de la igualdad y es sustituido por 310 en el lado derecho de la misma. De la misma
manera, el prefijo “centi” se representa con el símbolo “c” y es sustituido por 210. Veamos
otros ejemplos:
mkm 310 33
gkg 310 2,52,5
mcm 210 55
gcg 210 1010
Los prefijos kilo y centi no son los únicos que representan múltiplos y submúltiplos de
una unidad. La siguiente tabla detalla los prefijos estándar del SI, el factor que representa y el
símbolo que utiliza:
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Tabla 2: prefijos estándar en el SI
FACTOR PREFIJO SIMBOLO 1810 exa E
1510 peta P
1210 tera T
910 giga G
610 mega M
310 kilo k
210 hecto h
10 deca da
110 deci d
210 centi c
310 mili m
610 micro
910 nano n
1210 pico p
1510 femto f
1810 atto a
Ejemplo:
Pase el resultado de las siguientes mediciones a notación científica y exprese con el
prefijo adecuado:
a. 115.000.000 m b. 0,00000002235 m
Solución:
a. El número adecuado es 1,15 y el factor es 108, pero 108 no se encuentra entre los
factores de la Tabla 2. Por lo tanto, el número adecuado será:
115.000.000 m = 0,115 109 m = 0,115 Gm
b. El número adecuado es 2,235 y el factor 10-8, pero 10-8 no se encuentra entre los
factores de la Tabla 2. Por lo tanto, el número adecuado será:
0,00000002235 m = 22,35 10-9 m = 22,35 nm
Ejercicios:
1. Pase el resultado de la medición a notación científica y exprese con el prefijo adecuado:
a. 125.000.000.000 bytes b. 0,0000355 g
2. Exprese en metros:
a. 3,5 nm b. 5,25 Gm
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CONVERSION DE LONGITUD, AREA Y VOLUMEN EN EL SISTEMA METRICO.
Retomando el tema de las unidades derivadas o compuestas, ejemplos de ellas, muy
utilizadas en la vida cotidiana, son las unidades de área y de volumen, como se detalla a
continuación:
2)(longitudlongitudlongitudarea
3)(longitudlongitudlongitudlongitudvolumen
De esta manera se evidencia que en el SI las unidades de área y longitud son:
2][ mA
3][ mV
Sin embargo, en ocasiones suelen utilizarse otras unidades de área y volumen como
hectárea (ha) y litro (l) que guardan una equivalencia con el SI:
2000.101 mha
lm 10001 3
Como ya se vio en la Tabla 2, los múltiplos y submúltiplos más cercanos a la unidad
metro son:
Por ejemplo, si se requiere conocer cuántos mm hay en 12,5 dam hacemos
mmmm 125000101010105,12
mmmm 125000100005,12
multiplicamos cuatro veces por 10, ya que hay 4 lugares hacia la derecha entre el múltiplo dam
y el submúltiplo mm. Pero dado que 1000010101010 , multiplicar 4 veces por 10 es
igual a multiplicar una sola vez por 10.000; de manera equivalente movemos la coma 4 lugares
hacia la derecha. ¿Qué significado tiene el factor 10.000? Básicamente dice que en 1 dam se
tienen 10.000 mm.
Si, en cambio, se requiere conocer cuántos km hay en 50.000 cm hacemos
kmkm 5,010:10:10:10:10:50000
kmkm 5,0100000:50000
Es decir, dividimos 5 veces en 10 ya que existen 5 lugares hacia la izquierda entre el
submúltiplo cm y el múltiplo km. Pero dado que
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100000100000
1
10
1
10
1
10
1
10
1
10
1 ,
dividir 5 veces en 10 es igual a dividir una sola vez por 100.000 lo cual implica que para
resolver se debe mover la coma 5 lugares hacia la izquierda. Aquí, el factor 100.000 significa
que en 1km se tienen 100.000 cm.
De manera similar se trabaja con los múltiplos y submúltiplos de las áreas y volúmenes.
En el caso de las áreas se tiene
donde se aprecia claramente que en lugar de multiplicar (dividir) por 10 cada vez que se pasa de
un múltiplo a otro menor (mayor) se multiplica (divide) por 100. En el caso de los múltiplos y
submúltiplos de volumen se tiene
donde se ve que el factor de conversión entre un múltiplo y otro es de 1000.
Ejemplos:
1. Determine cuántos m2 tiene 23,45 km2.
2. Calcule cuantos m3 se tienen en 150.000 mm3.
Solución:
1. El valor se da en km2 y debemos calcular en m2. Como existen 3 lugares entre km2 y m2
debemos multiplicar 3 veces 23,45 por 100, o directamente una sola vez por 1.000.000.
Así:
22 23450000000.000.145,23 mm
que es la solución buscada. Observe que el factor 1.000.000 implica que existen
1.000.000 de m2 en 1 km2.
2. El valor se da en mm3 y debemos calcular en m3. Como existen 3 lugares entre mm3 y
m3 debemos dividir 3 veces 150.000 en 1000 o una sola vez en 1.000.000.000. Así:
33 00015,0000.000.000.1:000.150 mm
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que es la solución buscada. Observe que el factor 1.000.000.000 implica que existen
1.000.000.000 de mm3 en 1 m3.
Ejercicio: Resuelva los ejemplos anteriores planteando el factor de conversión.
EJERCITACIÓN
1. Use Regla de Tres Simple para resolver:
a. Si 1 mol de urea tiene una masa de 60 g ¿Cuál es la masa de 0,35 moles?
b. Si 1 mol contiene 6,022 x 1023 moléculas ¿Cuántas moléculas contienen 0,35
moles?
c. ¿Cuál es la masa de una molécula de urea? (vea el ejercicio a.)
d. Si un mol de superfosfato tiene una masa de 194 g ¿Cuántos moles hay en 75,8
g?
e. ¿Cuál es la masa de 0,71 moles de superfosfato? (vea el ejercicio d.)
f. Si 1 mol de cualquier gas en CNTP ocupa un volumen de 22,4 l ¿Cuántos moles
hay en 120 l?
g. ¿Qué volumen ocupan 3,65 moles de cierto gas en CNTP? (Vea el ejercicio f.)
h. Un cierto gas tiene una masa molar de 8 g ¿Cuál es la masa de 1000 l?
2. Resuelva los siguientes pasajes de unidades. Del inciso a. al e. utilice obligatoriamente
el factor de conversión:
a. 3000 seg a min f. 3000 m2 a hm2
b. 3,45 horas a min g. 6,35 107 mm2 a m2
c. 5,17 horas a seg h. 5000 cm3 a m3
d. 760 seg a horas i. 750 mm3 a dm3
e. 655 min a horas j. 3,550 m3 a cm3
3. Resuelva utilizando el factor de conversión adecuado.
a. 50 m/s a km/h
b. 340 m/s a km/h (velocidad del sonido)
c. 3 x 108 m/s a km/h (velocidad de la luz)
d. 1,55 km/h a m/s
e. 35 km/s a km/h y a m/s
4. Exprese en notación científica y utilice el prefijo adecuado de la Tabla 2 para reescribir
su resultado:
a. 298.000 m
b. 7.600 m
c. 0,000067 m
d. 0,0654 g
e. 43.000.000 g
f. 0,00000065 m
g. 0,00000005 s
h. 0,00000255 s
i. 355.000.000 g
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5. Exprese los siguientes resultados en la unidad fundamental correspondiente (esto es, sin
los prefijos que indican múltiplos o submúltiplos). Luego, pase a notación científica y
reescriba el resultado empleando el prefijo correcto (Tabla 2):
a. 13.500.000 km
b. 0,000456 ms
c. 20.000 ton
d. 0,00000799 mm
e. 0,00012 m
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TEMA 2: ECUACIONES Y EXPRESIONES
FRACCIONARIAS
Una ecuación es un enunciado que establece que dos expresiones matemáticas son
iguales. Por ejemplo,
835
es una ecuación. Pero no es una ecuación muy interesante, simplemente expresa un hecho
aritmético. La mayor parte de las ecuaciones que estudiamos en álgebra contienen variables. En
esta sección se analizarán dos tipos de ecuaciones, lineales y cuadráticas y los distintos métodos
de resolución.
ECUACIONES LINEALES
El tipo más simple de ecuación es la ecuación lineal, o de primer grado, es equivalente
a una ecuación de la forma
0 bax
donde a y b representan números reales con 0a y x es la incógnita que hay que
determinar. Por ejemplo:
1974 x
las letra x representa la variable. La ecuación anterior se resuelve de la siguiente manera:
)7(19)7(74 x Sumar a ambos lados del igual 7
124 x
4
1.12
4
1.4 x Multiplicar a ambos lados por
4
1
3x
La solución es 3x . Para verificar esto se sustituye 3x en la ecuación original y
comprobamos que este valor hace verdadera la ecuación:
3x
197)3(4
1919 Sí se satisface
Otro ejemplo de ecuación lineal:
8347 xx
Dado que la variable aparece a ambos lados, en este caso debe llevarse los términos que
contienen la incógnita a un lado del signo igual y aquellos términos independientes al otro,
483447 xx Sumar 4
1237 xx
xxxx 312337 Restar x3
124 x
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4
1.12
4
1.4 x Multiplicar por
4
1
3x
Para verificar la respuesta se sustituye 3x en la ecuación original (verifique usted
mismo/a, se obtiene 17 a ambos lados del igual).
En el siguiente ejemplo se resolverá una ecuación que no parece lineal, pero que se
simplifica a una lineal que es equivalente:
32
12
1
x
x
x
x
)32)(1(
32
12)32)(1(
1
xx
x
xxx
x
x Multiplicar por el producto de
los denominadores
)1)(12()32( xxxx Simplificar la expresión
13232 22 xxxx Aplicar propiedad distributiva
2222 2132232 xxxxxx Restar
22x
133 xx
xxxx 31333 Restar x3
16 x Multiplicar por 6
1
6
1x
Ejercicio: Verifique la respuesta del ejemplo anterior.
Ejercicio: Resuelva las siguientes ecuaciones lineales. Luego, verifique su respuesta.
0123 x xx 3522 12
56
1
3
x
x
x
x
ECUACIONES CUADRÁTICAS
Las ecuaciones cuadráticas son de segundo grado, es decir, incluye un término con la
variable elevada al cuadrado. Una ecuación cuadrática es equivalente a una de la forma:
02 cbxax
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donde cba y , son números reales con 0a .
Las ecuaciones de segundo grado tienen dos raíces, es decir, la ecuación se satisface
para dos valores de la variable. Al resolver se aplican algunos de los casos de factoreo, como
por ejemplo, binomio cuadrado perfecto, diferencia de cuadrados, factor común y el método de
Baskara. El siguiente ejercicio servirá a modo de recordatorio de cada uno de ellos.
Ejercicio 3. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas. Luego, verifique su respuesta.
2452 xx 052 x 042 xx 5)4( 2 x
EXPRESIONES FRACCIONARIAS.
El cociente de dos expresiones algebraicas se conoce como expresión fraccionaria. Un
tipo común de expresión fraccionaria ocurre cuando tanto el numerador como el denominador
son polinomios. Esto se conoce como expresión racional. Por ejemplo,
3
524 3
x
xx
es una expresión racional cuyo denominador es cero cuando:
3
03
x
x
Como la división por cero no está definida, al tratar con esta expresión, implícitamente
suponemos que 3x .
En la simplificación de las expresiones racionales se factoriza tanto el numerador como
el denominador y se utiliza la siguiente propiedad de las fracciones:
B
A
BC
AC
donde es posible simplificar los factores comunes del numerador y del denominador. Por
ejemplo: dada la expresión fraccionaria
2
12
2
xx
x
Se factoriza tanto el numerador como el denominador:
)1)(1(12 xxx Factorizar el numerador
)2)(1(22 xxxx Factorizar el denominador
Sustituyendo en la expresión fraccionaria dada:
)2)(1(
)1)(1(
2
12
2
xx
xx
xx
x Sustituir en la expresión original
Se observa que es posible simplificar (x – 1) del numerador y denominador:
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)2(
)1(
2
12
2
x
x
xx
x Simplificar factores comunes
Reduciendo así la expresión fraccionaria original.
Ejercicio: Reduzca las expresiones fraccionarias mediante simplificación.
xx
x
410
4252
2
4
442
2
x
xx
Si una fracción tiene un denominador de la forma xba es posible racionalizar el
denominador multiplicando el numerador y el denominador por el radical conjugado
xba . Esto es útil gracias a la definición de diferencias de cuadrados, en este caso se tiene
que
xba xba xba 22
donde se ha eliminado la raíz cuadrada en la expresión del lado derecho. Un ejemplo concreto
es el siguiente:
x
x
x
x
xx
1
1
1
1.
1
1
1
1
donde se ha eliminado la raíz cuadrada del denominador. El proceso de racionalización también
puede llevarse a cabo en el numerador, como se verá en el siguiente ejercicio.
Ejercicio 7. Racionalice las siguientes expresiones:
x21
1
3
21 x
No se debe aplicar propiedades de la multiplicación a la suma. Muchos errores en
álgebra provienen de hacer esto. La tabla siguiente muestra la propiedad correspondiente a la
multiplicación y el ERROR que se comete al aplicar esa misma propiedad a la suma. Lea
atentamente y sea cauteloso en el momento de resolver futuros ejercicios.
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Ejercicio: Dé valores a las constantes a y b en la tabla anterior y verifique la igualdad y la
no igualdad en cada una de las propiedades.
EJERCITACIÓN
1. Resuelva las siguientes ecuaciones lineales:
a. 125 x i. yy2
3
3
43
3
2 o. yy
3
53
2
3
b. 337 x j. yy3
1
3
41 p.
5
4
3
2
3
3
12
31
x
x
x
x
c. 554 x k. yy7
3345
d. 125 x l. 2
1
3
1
xx
e. 2
32
3
2t m.
23
x
x
x
x
f. 2
1
4
2
5
3 t n.
2
5
1
3
x
x
x
x
g. 25
45 t ñ.
4
25
32
16
x
x
x
x
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2. Despeje según se indica:
a. vtxx 0 Despeje x0, v, t.
b. 0
0
tt
xxv
Despeje x0, x, t.
c. 2
002
1attvxx Despeje x0, v0, a.
d. atvv 0 Despeje v0, a, t.
e. 0
0
tt
vva
Despeje v0, v, t
f. xavv 22
0
2 Despeje v0, a, x
3. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas:
a. 03 2 xx g. 962 yy m. tt 512
b. 044
1 2 t h. xx3
7
5
3 2 n. )1(32 xx
c. 012 2 y i. 08
9
5
11 2 t k. 242 xx
d. 025 2 x j. 036
25
4
9 2 y yy 442
e. 062 tt l. 04
1
6
7 2 t
4. En los primeros cinco ejercicios aplique factorización en el numerador y denominador
para simplificar la expresión racional. En los ejercicios restantes, racionalice el
numerador o el denominador, según corresponda.
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TEMA 3: TRIGONOMETRÍA
ÁNGULOS
Un ángulo consta de tres partes: un rayo inicial, un rayo terminal y
un vértice (el punto de intersección de los rayos), como muestra la
figura. Un rayo está en posición normal si su rayo inicial coincide
con el semieje positivo de x y su vértice está en el origen.
Utilizamos letras griegas minúsculas para nombrar ángulos o
representar sus medidas. Los ángulos comprendidos entre 0 y
90 se denominan agudos y los ángulos comprendidos entre 90 y
180 se llaman obtusos. Los ángulos positivos se miden en el
sentido antihorario y los negativos en el sentido horario.
Ejercicio: Grafique un ángulo de 0 , 90 , 180 , 45 y 135 . Asigne “agudo”, “obtuso”,
“recto” y “llano” según corresponda.
Ejercicio 2: Grafique un ángulo de 45 negativo. ¿Cuál es su medida tomada en el sentido
positivo? Haga lo mismo con un ángulo de 90 negativo.
Además de grados, los ángulos pueden medirse en otra unidad denominada radianes.
Definición de radián: la longitud del arco del sector sostenido por el ángulo.
Dado que el perímetro de un círculo es r2 , el de un círculo unidad (es decir, de radio 1) es
2 . Esto implica que la medida en radianes de un ángulo que mide 360 es 2 . En otras
palabras radianes 2360 , o bien, dividiendo ambos miembros de la igualdad en 2 se tiene
rad 180 Es conveniente conocer las conversiones de los ángulos más usuales, para ello,
resuelva el siguiente ejercicio.
Ejercicio: Complete la siguiente tabla. En la primera columna aparecen los ángulos medidos en
grados. Complete la segunda columna con los respectivos valores medidos en radianes
utilizando sólo fracciones de , no utilice decimales. Por último, represente en la tercera
columna el ángulo de cada fila como la porción de la circunferencia trigonométrica
correspondiente, sombreando dicha región.
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JAMÁS olvide estos valores y estas gráficas. NUNCA!!!
GRADOS RADIANES (EN
FRACCIONES DE )
PORCIÓN DE LA
CIRCUNFERENCIA
TRIGONOMÉTRICA
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
210°
225°
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240°
270°
300°
315°
330°
360°
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Y TEOREMA DE PITÁGORAS
Un triángulo rectángulo es un triángulo con un ángulo recto. El lado opuesto al ángulo
recto se denomina hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos.
Ejercicio: Dibuje un triángulo rectángulo, señale apropiadamente el ángulo recto y denomine
“h” a la hipotenusa y c1 y c2 a cada cateto.
En todo triángulo rectángulo “el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los
cuadrados de los catetos”. Es decir,
222 )2()1( cch
A esta relación se la llama Teorema de Pitágoras.
Ejercicio: Los catetos de un triángulo rectángulo miden 12 cm y 5 cm. ¿Cuánto mide la
hipotenusa? Represente gráficamente.
Ejercicio: Dado el triángulo de la figura, calcule la longitud del lado restante según los lados
que se dan como dato.
a) 5,41c y 9h
b) 62 c y 12h
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Ejercicio: Diga si los siguientes triángulos son rectángulos.
a) 61c , 82 c y 10h
b) 91c , 52 c y 11h
Ejercicio: Proponga un ejemplo de triángulo rectángulo
distinto a los enunciados hasta aquí.
a
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
La trigonometría plana tiene como objetivo resolver triángulos. Cada triángulo está
constituido por seis elementos, tres lados y tres ángulos. Resolver un triángulo significa
determinar los elementos desconocidos cuando se tienen algunos datos y ciertas relaciones entre
ellos.
Dado cualquier triángulo rectángulo se puede considerar las siguientes razones entre los
lados del mismo:
h
c1,
h
c2 y
2
1
c
c
Estas razones no dependen de la longitud de los lados, sino de la medida del ángulo y se las
llama razones trigonométricas. Sea uno de los ángulos de un triángulo rectángulo, las razones
trigonométricas se definen de la siguiente manera:
hipotenusa
opuesto catetosen
JAMÁS OLVIDE ESTAS
EXPRESIONES!!!
hipotenusa
adyacente catetoc os
adyacente cateto
opuesto catetot g
A continuación se muestra un triángulo rectángulo con todos sus lados asignados y un
ángulo señalado.
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Las razones trigonométricas para el triángulo de la figura anterior son:
h
c1
h
c.o.sen
h
c2
h
c.a.c os
c2.
c1
c.a.
c.o.t g
Ejercicio: Suponga el triángulo rectángulo 61c , 82 c y 10h ,
calcule las tres razones trigonométricas para los ángulos y .
Repita el ejercicio para el triángulo rectángulo 31c , 42 c y
5h .
Las razones trigonométricas facilitan la resolución de un triángulo rectángulo. En los
ejercicios anteriores, por ejemplo, es posible calcular el valor de los ángulos en cuestión, ya que
conocemos todos sus lados. En el caso en que 61c , 82 c y 10h ,
6,010
61
h
csen entonces 87,36)6,0arcsin(
y podría obtenerse el mismo valor de usando cualquier razón trigonométrica. De la misma
manera,
8,010
82
h
csen entonces 13,53)8,0arcsin( .
Usando el teorema de Pitágoras y las razones trigonométricas es posible resolver los
triángulos en base a muy pocos datos. Por ejemplo, para resolver el triángulo 31c , 62 c
calculamos,
71,64563 22 h
5,06
3
2
1
c
ctg 56,26)5,0(arctg
23
6
1
2
c
ctg 44,63)2(arctg
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También podemos considerar el siguiente ejemplo 41c 50 hacemos,
2
1
c
ctg
entonces
35,3)50(
412
tgtg
cc
22,5435,3 22 h
18090
entonces 90
y por lo tanto 40509090 .
Ejercicio: Resuelva los siguientes triángulos: 51c y 30 ; 5,32 c y 45 .
Retornemos ahora a la circunferencia de radio uno, denominada circunferencia
trigonométrica. Se marca un ángulo arbitrario en ella, por ejemplo de la siguiente figura,
El rayo terminal interseca la circunferencia en el punto A. Proyectando ese punto sobre
el eje x se marca el punto B. De esta manera, se ha determinado un triángulo rectángulo.
Conociendo que el radio de esta circunferencia es 1, las razones trigonométricas del ángulo
son:
bb
h
b
1sin a
a
h
a
1cos
cos
sin
a
btg
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De esta manera se ha obtenido un resultado sumamente útil en trigonometría y es la posibilidad
de escribir la tangente de un ángulo en términos del seno y el coseno de ese mismo ángulo, es
decir:
cos
sintg RECORDAR SIEMPRE!!!
Esta identidad es válida para cualquier valor de la hipotenusa, no necesariamente 1, como se usó
aquí. Debe recordar esta identidad, será de mucha utilidad en los cursos oficiales de la carrera
que eligió seguir.
Ahora bien, dado que tenemos una expresión para los catetos del triángulo rectángulo inscripto
en la circunferencia trigonométrica anterior, se escribe a continuación el Teorema de Pitágoras
para dicho triángulo:
222 hba
222 1)(sin)(cos
1sincos 22 RECORDAR SIEMPRE!!!
RECUERDE siempre esta expresión, es una IDENTIDAD esencial y se utilizará en cualquier
curso de Matemática, del Cálculo al Álgebra, incluso cuando estudie los números complejos.
Ejercicio: Demuestre que la identidad
cos
sintg sigue siendo válida para cualquier valor
arbitrario del radio de la circunferencia (hipotenusa).
Observe que los catetos del triángulo inscripto en la circunferencia trigonométrica son
iguales a las razones trigonométricas. Dicho al revés, las razones trigonométricas de dicho
rectángulo están representadas por los catetos del mismo. Es posible inferir que para cada
triángulo rectángulo inscripto en una circunferencia trigonométrica existe una manera
geométrica de representar las razones trigonométricas, que se muestran en la siguiente figura:
Figura 2: Representación de seno y coseno en la circunferencia trigonométrica
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Ejercicio: Trace un ángulo obtuso en una circunferencia trigonométrica (radio 1, es decir,
hipotenusa 1). Represente el seno y el coseno del ángulo (remarque esos segmentos).
Determine el signo de cada uno. Repita el ejercicio para un ángulo cuyo rayo terminal caiga en
el tercer cuadrante y para uno cuyo rayo terminal caiga en el cuarto cuadrante.
Ejercicio: Con los resultados del Ejercicio 12, complete la siguiente tabla.
R. T. /
Cuadrante
I II III IV
sen
cos tg
Ejercicio: Complete la siguiente tabla. En los casos en que el resultado de la razón
trigonométrica sea un número irracional, deberá escribirlo en forma completa y en forma
decimal conservando tres cifras decimales. Utilice el teorema de Pitágoras cuando así lo precise.
JAMÁS OLVIDE ESTOS VALORES, TENGALOS SIEMPRE A MANO.
NO PUEDE OLVIDAR NI EL VALOR, NI EL SIGNO!!!
ANGULO
(RADIANES)
SENO SEGMENTO DE LA
CIRCUNFERENCIA
TRIGONOMÉTRICA
COSENO SEGMENTO DE LA
CIRCUNFERENCIA
TRIGONOMÉTRICA
TANGENTE
0
6
4
3
2
3
2
4
3
6
5
6
7
4
5
3
4
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2
3
3
5
4
7
6
11
2
TRIÁNGULOS OBLICUOS: TEOREMA DEL SENO Y TEOREMA DEL COSENO
Cuando el triángulo en cuestión no cuenta con un ángulo recto, dicho triángulo se denomina
triángulo oblicuo. A continuación se muestran algunos ejemplos:
Figura 3: Ejemplos de triángulos oblicuos
Para resolver un triángulo oblicuo no debe recurrirse al teorema de Pitágoras, en su lugar
utilizamos el Teorema del Coseno y/o el Teorema del Seno.
Teorema del Coseno:
Se utiliza para resolver un triángulo oblicuo cuando se conocen dos lados y el ángulo
comprendido entre ellos. Se expresa de la siguiente manera:
cos2222 bccba
Ejemplo:
Resuelva el siguiente triángulo oblicuo:
b = 4, c = 5, = 110°
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Solución:
En primer lugar verificamos que los datos sean los adecuados. El ejercicio da el valor de b y c,
por lo tanto, el ángulo necesario para poder utilizar el Teorema del coseno es el comprendido
entre b y c, es decir, .
Una vez hecha la verificación, se procede a resolver. Se determina el valor de a:
23,532,27
32,27110cos.5.4.254cos2 22222
a
bccba
Ya se tiene el valor de los tres lados. Resta determinar los valores de dos ángulos; se resolverá
primero b aplicando el Teorema del Coseno de la siguiente manera:
46)69,0arccos(
69,05.23,5.2
4532,27
2)cos(
)cos(2
)cos(2
22222
222
222
ac
bca
bcaac
accab
Para determinar el ángulo g, hacemos:
= 180° – – =180° – 110° – 46° = 24°
En conclusión: a = 5,23 , b = 4, c = 5, = 110°, = 46°, = 24°.
Ejercicios:
1. Resuelva el triángulo oblicuo: b = 10, c = 7, = 50°. Represente gráficamente a escala.
2. Resuelva el triángulo oblicuo: a = 3, c = 6, = 100°. Represente gráficamente a escala.
Teorema del seno:
Permite resolver un triángulo oblicuo a partir de tres datos cualesquiera del triángulo.
(Aclaración: algunos casos pueden no tener solución). Dado el triángulo oblicuo de la Figura 4,
el Teorema del Seno se escribe de la siguiente manera:
Figura 4: Teorema del Seno
El Teorema del seno resulta ser una triple igualdad; los tres datos del problema deben pertenecer
a sólo dos de las tres fracciones para poder resolver exitosamente. Por ejemplo, si los datos son
sinsinsin
cba
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(a, b, ) se utiliza la primera igualdad para obtener ( se obtiene por medio de = 180° – –
; finalmente se resuelve para c) resolviendo exitosamente. Por el contrario, si los datos son (a,
b, c) es imposible ubicar los datos en sólo dos fracciones, cada uno pertenece a una fracción
distinta y dicho triángulo deberá resolverse aplicando el Teorema del Coseno.
Ejercicios:
Resuelva los siguientes triángulos oblicuos (respete la denominación de la Figura 4):
1. a = 3, = 35°, = 85°
2. b = 50, = 100°, = 30°
EJERCITACIÓN
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TEMA 4: CONCEPTOS BÁSICOS DE VECTORES
VECTORES: DEFINICIÓN Y PROPIEDADES.
Un vector es un segmento de recta dirigido. Es decir, dada una recta L, se toma un segmento
que pertenezca a la misma con una orientación determinada, obteniendo así el vector v. En
palabras coloquiales, un vector es una flecha.
Figura 1: El vector, elementos y propiedades.
Los elementos de un vector son: punto inicial Q y el punto final P.
Las propiedades de un vector son: magnitud, dirección y sentido. La magnitud es el tamaño del
vector. La dirección del vector es la dirección de la recta que contiene al vector que viene dada
por el ángulo que forma L con una recta horizontal x que pasa por el punto inicial del vector.
Dada la dirección del vector, se tienen dos sentidos posibles. El sentido u orientación viene
dado por el sentido de la flecha.
Ejercicio: Con una regla y un transportador, determine la magnitud y dirección del vector de la Figura 1.
COMPONENTES DE UN VECTOR
Se inserta ahora un par de ejes coordenados x e y cuyo origen coincida con el origen del vector,
de la siguiente manera:
Figura 2: El vector en un par de ejes coordenados
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Desde el extremo del vector se traza una línea vertical (paralela al eje y) a trazos hasta
intersectar el eje x; el segmento determinado entre esta intersección y el origen del sistema se
denomina componente x del vector, vx. De manera similar, desde el extremo del vector se traza
una línea horizontal (paralela al eje x) a trazos hasta intersectar el eje y; el segmento
determinado entre esta intersección y el origen del sistema se denomina componente y del
vector, vy. La Figura 3 representa el vector y sus componentes:
Figura 3: El vector y sus componentes
Ejercicio:
a. Determine con regla y transportador el módulo y la dirección del vector v.
b. Use la regla para medir la longitud de las componentes vx y vy del vector v.
c. Compruebe que: 22
|| yx vv v
La igualdad 22
|| yx vv v será verdadera para cualquier vector gracias al Teorema de
Pitágoras. Observe que trasladando el segmento que representa la componente vy hacia la línea a
trazos vertical, se forma un triángulo rectángulo donde vx y vy son los catetos y v es la
hipotenusa (vea Figura 4). Así, dadas las componentes del vector pueden calcularse su módulo y
dirección de la siguiente manera:
Módulo de v: 22
|| yx vv v
Dirección de v: x
y
v
vtan
Figura 4: El vector y sus componentes.
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Es importante notar que la expresión para la dirección del vector es cierta siempre que el ángulo
esté comprendido entre el vector y el semieje positivo de x.
Ejercicios:
1. Considere un vector cuyas componentes son vx = 6 y vy = 8. Calcule el módulo de v y su
dirección . Luego, grafique.
2. Las componentes de un vector son vx = 12 y vy = 20. ¿Cuál es el módulo del vector?
¿Qué dirección lleva?
3. Un niño camina 200m al Este y 450m al Norte, ¿Qué distancia en línea recta deben
caminar sus padres para encontrarlo? ¿En qué dirección?
Por otro lado, si se conoce el módulo y la dirección de un vector, es posible obtener sus
componentes utilizando las razones trigonométricas seno y coseno del ángulo . Observando la
Figura 4 es claro que,
sin|v| entonces |v|
sin y
yv
v
cos|v| entonces |v|
cos xx v
v
Ejercicios:
1. Sea un vector con 16|| v y 30 . Obtenga sus componentes y represente
gráficamente.
2. El módulo de un vector mide 25 y tiene una inclinación de 45° con respecto al nivel
horizontal, ¿qué valor se obtendrá al medir las componentes? Represente gráficamente.
COMPONENTES DE UN VECTOR: APLICACIONES
Este segundo enfoque es muy útil al momento de analizar los sistemas físicos compuestos por
objetos que se mueven a lo largo de planos horizontales e inclinados. Analice la situación que se
presenta en la Figura 5.a; un bloque se desplaza a lo largo de un plano horizontal por acción de
una fuerza F. La fuerza F no está dirigida a lo largo del plano, más bien forma un ángulo con
él.
Figura 5: Bloque deslizándose en un plano horizontal
Desde el punto de vista vectorial, el vector F tiene dos componentes, Fx y Fy representadas en la
Figura 5.b. Procediendo de la misma manera que con la Figura 4, las componentes Fx , Fy y el
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vector F forman un triángulo rectángulo; Fy es el cateto opuesto a la dirección y Fx es su cateto
adyacente, con lo cual Fx = |F| cos y Fy = |F| sin
Ejercicios:
1. Un bloque es tirado por una fuerza de |F|=1000N y =30° con respecto al plano
horizontal. Determine las componentes Fx y Fy.
2. Un trabajador traslada una pesada caja tirando de ella por medio de una cuerda a lo
largo de un plano horizontal. Si la tensión en la cuerda es de 750 N y la dirección con
respecto al plano es 25°, determine las componentes x e y de la tensión.
3. Un niño tira de su camión de juguete por medio de un cordón atado al mismo. Si la
tensión ejercida por el niño es de 50N y =135° con respecto al semieje positivo de x,
determine las componentes de la tensión. Si no actúan otras fuerzas sobre el camión de
juguete, indique el sentido del movimiento.
Observe a continuación la situación presentada en la Figura 6. En esta figura se representa un
bloque que cae por un plano inclinado un ángulo por acción de su propio peso, descartando
toda otra posible acción sobre el cuerpo. Como se puede apreciar, la fuerza peso está
representada por un vector que apunta siempre vertical hacia abajo, sin importar la inclinación
del plano (Figura 6.a y 6.b). La fuerza P también tiene dos componentes, una en dirección de la
superficie del plano, Px, y la otra perpendicular a la superficie del plano, Py (Figura 6.c).
Figura 6: Bloque descendiendo por un plano inclinado por acción de su propio peso.
Para descomponer la fuerza peso, se trazan en primer lugar los ejes x e y con origen en el
cuerpo. El eje x es paralelo a la superficie del plano, es decir, está inclinado un ángulo . El eje
y es perpendicular al eje x. La fuerza peso queda comprendida entre el semieje negativo de y y
el eje x y el ángulo será, por construcción, el comprendido entre el peso y el eje y.
Nuevamente, trasladando la componente Px al lugar de la línea punteada, las componentes Px ,
Py y P forman un triángulo rectángulo donde la componente Px es el cateto opuesto a , Py es su
cateto adyacente y P es la hipotenusa. De esta manera, Px=|P|sin y Py=|P|cos
Ejercicio:
1. Represente gráficamente un bloque descendiendo por un plano inclinado a 30°.
Represente el vector Peso P y sus componentes. Si |P| = 100N, obtenga sus
componentes.
2. Calcule las componentes de la fuerza peso (|P| = 50N) de un bloque descendiendo por
un plano inclinado a 20°. Represente esquemáticamente.
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Es claro que en ambas situaciones, planos horizontales e inclinados, actúan otras fuerzas, entre
ellas la Fuerza Normal, que no han sido representadas en los esquemas de las figuras anteriores.
El objetivo de no incluirlas responde a que en este curso de nivelación se busca introducir el
concepto de vectores y cálculo de sus componentes con una breve aplicación en Física sin
introducir mayores detalles ni conceptos que se estudiarán en los cursos oficiales de Física
dictados en el presente año académico.
SUMA Y DIFERENCIA DE VECTORES: ENFOQUE GEOMÉTRICO
Si se colocan en una balanza una masa de 1 kg junto con otra de 2 kg, la medición de la masa
total será 3 kg. La magnitud denominada masa es una magnitud escalar y por lo tanto, para
sumar dos valores de masa, simplemente se aplican las reglas de la aritmética para hacerlo.
Cuando se trata de magnitudes vectoriales como los desplazamientos, velocidades y fuerzas la
suma de estas magnitudes no es trivial. Sumar una velocidad de |v1| = 20km/h con otra
velocidad |v2| = 40 km/h NO es igual a 60 km/h. La dirección y el sentido de los vectores afecta
el resultado de la suma.
Dados dos vectores u y v, es posible definir la operación SUMA entre ellos. La suma de dos
vectores es un tercer vector definido como w = u + v. En este curso de nivelación se analizará
de manera geométrica la suma vectorial.
Para resolver la suma de manera geométrica, dados dos vectores u y v, se grafica el primer
vector con la magnitud y dirección correspondientes, luego se grafica el segundo vector
ubicando su punto inicial en el punto final del primer vector. Por último, se traza el vector que
tiene origen en el primer vector y final en el final del segundo vector (Figura 7).
Figura 7: Suma de vectores, resolución geométrica.
Se analizarán a continuación algunos casos especiales de suma de vectores a través de algunos
ejercicios.
CASO 1: Los vectores son colineales. En este caso, los vectores tienen la misma dirección
aunque no necesariamente el mismo sentido.
Ejercicios: (Grafique en cada caso)
1. Sean los vectores |u| = 3, = 0° y |v| = 4, = 0°. Determine la suma w = u + v.
2. Sean los vectores |d1| = 100m, = 30° y |d2| = 300m, = 30°. Determine la suma
d = d1 + d2.
3. Sean los vectores |v1| = 40 km/h, = 45° y |v2| = 80 km/h, = 225°. Determine la
suma v = v1 + v2.
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CASO 2: Los vectores forman 90°. Veremos en estos ejercicios que los vectores a sumarse y el
vector suma forman un triángulo rectángulo; se obtiene el módulo de la suma mediante Teorema
de Pitágoras.
Ejercicios: (Grafique en cada caso)
1. Sean los vectores |u| = 3, = 0° y |v| = 4, = 90°. Determine la suma w = u + v.
2. Sean los vectores |d1| = 100m, = 30° y |d2| = 300m, = 120°. Determine la suma
d = d1 + d2.
3. Sean los vectores |v1| = 40 km/h, = 45° y |v2| = 80 km/h, = 135°. Determine la
suma v = v1 + v2.
CASO 3: Los vectores forman ó un ángulo agudo ó uno obtuso. En este caso los vectores a
sumarse y el vector suma forman un triángulo oblicuo, por lo tanto se utilizará el Teorema de
Coseno y/o Teorema del Seno para obtener el módulo de la suma.
Ejercicios: (Grafique en cada caso)
1. Sean los vectores |u| = 3, = 0° y |v| = 4, = 135°. Determine la suma w = u + v.
2. Sean los vectores |d1| = 100m, en dirección ESTE y |d2| = 300m, en dirección NORESTE
(45° con respecto a la horizontal). Determine la suma d = d1 + d2.
Ahora bien, dados dos vectores u y v, es posible definir la operación DIFERENCIA (RESTA)
entre ellos. La resta de dos vectores es un tercer vector definido como w = u - v. Para construir
el vector diferencia (w) geométricamente, se grafican ambos vectores con origen común, es
decir, los puntos iniciales de u y v coinciden; w es el vector que tiene origen en el extremo del
segundo vector y final en el extremo del primer vector (Figura 8).
Figura 8: Diferencia de vectores, construcción geométrica
Como puede apreciarse en la Figura 8 los vectores involucrados también forman un triángulo
que puede resolverse con los Teoremas adecuados (además del caso colineal). Se analizarán los
distintos casos a partir del siguiente ejercicio.
Ejercicio:
Tome los ejercicios correspondientes a los casos 1, 2 y 3 anteriores y resuélvalos para la
diferencia. Siempre grafique.
FaCEN_UNCa/Curso de Nivelación - Matemática 2016
Docente Responsable: Lic. Melina Bordcoch Página 36
EJERCITACIÓN
1. Las componentes de un vector son vx = 20 y vy = 50. Determine módulo y dirección del
vector v.
2. Una partícula se mueve 1,55 mm al Este y luego 2,33 mm al Norte. Determine la
distancia que existe desde el punto de partida hasta el punto de llegada de la partícula.
Represente gráficamente.
3. Un grupo de montañistas ha caminado 3 km hacia el Este y luego 5 km hacia el sur.
Determine la distancia en línea recta y la dirección que debe tomar un segundo grupo de
montañistas para ir a su encuentro. Represente gráficamente.
4. Un niño explorador parte desde su campamento y camina 900 m hacia el Oeste y 750 m
al Norte. Determine qué distancia debe caminar y en qué dirección para regresar al
campamento. Calcule también la distancia total recorrida. Represente gráficamente el
recorrido completo.
5. Un vector tiene módulo 50 y dirección 25°. Determine sus componentes.
6. Un futbolista patea una pelota de manera tal que le imprime una velocidad de módulo
|v|=15 m/s y dirección = 38°. Determine las componentes horizontal y vertical del
vector velocidad.
7. Un avión se desplaza a una velocidad de 300 km/h en dirección NE (45°). Determine las
componentes vertical y horizontal de dicha velocidad.
8. Un bloque se desplaza por acción de una fuerza a lo largo de un plano horizontal. La
fuerza tiene una magnitud de 100N y una dirección 25°. Determine las componentes de
las fuerza y represente la situación.
9. Una caja es empujada a lo largo de un plano horizontal con una fuerza cuyas
componentes son Fx=80N Fy=25N. Determine la magnitud de la fuerza y el ángulo que
forma con la horizontal.
10. Un bloque se desplaza a hacia la derecha por un plano horizontal. Sobre el bloque actúa
una fuerza de 50N en dirección 90° con respecto al plano. ¿Es esta fuerza la responsable
del movimiento del bloque? Justifique. Represente esquemáticamente.
11. Un cuerpo se desliza hacia abajo por un plano inclinado bajo la acción de su propio
peso. Si el ángulo de inclinación del plano es 25° y el peso del cuerpo es 70 N,
determine la componente paralela al plano y la perpendicular a él del Peso.
12. Una caja de 200N cae por un plano inclinado a 45°. Determine las componentes del
peso. Represente esquemáticamente.
13. Las componentes del peso de una caja que desciende por un plano inclinado son Px=
155N y Py = 60N. Determine el Peso de la caja y el ángulo de inclinación del plano.
14. Las componentes del peso de un bloque que desciende por un plano inclinado son Px=
50N y Py = 120N. Determine el Peso de la caja y el ángulo de inclinación del plano.
15. Dados los siguientes vectores, determine la Suma y la Diferencia entre ellos. Grafique a
escala cada caso:
a. |u| = 50, = 0° y |v| = 75, = 0°
b. |u| = 6, = 0° y |v| = 8, = 90°
c. |u| = 12, = 0° y |v| = 20, = 45°
d. |u| = 150, = 40° y |v| = 250, = 220°
e. |u| = 3,7, = 90° y |v| = 2,4, = 180°
f. |u| = 20, = 180° y |v| = 55, = 45°
g. |u| = 5, = 135° y |v| = 7,5, = 135°
h. |u| = 4,5, = 45° y |v| = 8,2, = 315°
i. |u| = 3, = 60° y |v| = 4, = 300°