universidad de sonora departamento de...

Universidad de Sonora Departamento de Física

Dr. Roberto Pedro Duarte Zamorano

© 2013

Temario

1. Propiedades ondulatorias de las partículas.

2. Estructura atómica.

3. Mecánica cuántica.

4. Teoría cuántica del átomo de Hidrógeno.

5. Átomos de muchos electrones.

6. Moléculas.

7. Mecánica estadística.

8. Estado sólido.

Temario

3. Mecánica cuántica.

1. Introducción a la mecánica cuántica.

2. La Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo.

3. Linealidad y superposición de las soluciones de la

Ecuación de Schrödinger.

4. Observables y operadores.

5. La Ecuación de Schrödinger independiente del

tiempo. Eigenvalores y eigenfunciones.

6. Partícula en una caja.

7. Pozo cuadrado finito.

8. Potencial de barrera y el efecto túnel.

9. Oscilador armónico cuántico.


Hasta el momento hemos visto que toda partícula tiene asociada una

onda de materia, denominada función de onda.

La mecánica cuántica, o mecánica ondulatoria, estudia cómo se comporta

la función de onda asociada con una partícula para un esquema dado:

partícula libre, partícula en un caja, oscilador armónico, átomo de hidrógeno,

etc., el cual está determinado por las condiciones del sistema, a partir de la

geometría, potencial involucrado, etc.

El formalismo de la mecánica cuántica, desarrollado de 1925 a 1926 por

Erwin Schrödinger, Werner Heisenberg, Max Born, Paul A. Dirac y otros,

permite comprender una gran cantidad de fenómenos que la física no podía

hacer antes de su desarrollo y formalización.

A principios de los 1930’s la aplicación de la mecánica cuántica a

problemas involucrando núcleos, átomos, moléculas y aspectos del estado

sólido hizo posible entender una gran cantidad de datos que se tenían, así

como llevar a predicciones con una gran exactitud.

La mecánica cuántica ha sobrevivido a todas las pruebas experimentales

hasta ahora, incluso a las de sus conclusiones más inesperadas.


La diferencia fundamental entre mecánica clásica y mecánica cuántica

tiene que ver con lo que describen y cómo lo describen.

En mecánica clásica, el comportamiento futuro de una partícula se

determina completamente por su posición y momento (velocidad) iniciales,

junto con las fuerzas que actúan sobre ella. Esto aplica para la mayoría de las

situaciones de la vida cotidiana.

En mecánica cuántica también se obtienen relaciones entre cantidades

observables, pero el principio de incertidumbre introduce limitaciones en su

medición.

La relación causa-efecto tiene vigencia en la mecánica cuántica, pero

requiere una interpretación cuidadosa; además, la certeza clásica del

comportamiento futuro de la partícula pierde sentido, porque no es posible

conocer de manera precisa la posición y el momento iniciales.

Se puede establecer que las cantidades que se estudian en mecánica

cuántica representan probabilidades; por ejemplo, el radio de la órbita del

electrón en el estado base del átomo de Hidrógeno no es 5.3x10-11m, sino

que este es el valor más probable.


Podría pensarse que la mecánica cuántica es un mal sustituto de la

mecánica clásica porque pierde el determinismo de ella; sin embargo, esto

es lo más alejado de la realidad.

En realidad, la mecánica clásica resulta un límite de la mecánica cuántica,

toda vez que cuando uno mide cantidades del macromundo, realmente lo

que está haciéndose es tomar un promedio sobre un gran número de

partículas.

El principio de correspondencia vuelve a aparecer para justificar que en

vez de requerir dos físicas: una para el macromundo (mecánica clásica) y

otra para el micromundo (mecánica cuántica), basta considerar la física

incluida en la mecánica cuántica.

La premisa de que la función de onda Y contiene TODA la información

que puede conocerse sobre la partícula, constituye el punto de arranque.

Nuestros objetivos serán dos:

1. Descubrir cómo puede obtenerse información a partir de Y; y

2. Aprender cómo obtener esta función de onda Y para un sistema dado.

1. Introducción a la mecánica cuántica. La función de onda.

Antes de continuar veamos algunos aspectos relacionados con la función

de onda.

De acuerdo a la interpretación de Born,

propuesta en 1925, la función de onda en sí NO

tiene significado físico, sino que es su cuadrado

|Y|2, evaluado en un punto del espacio a un

tiempo dado, el que representa la densidad de

probabilidad o probabilidad por unidad de

longitud, P(x,t), de encontrar a la partícula en

dicho punto en el instante dado.

La función de onda, generalmente, es una

cantidad compleja

por lo que su complejo conjugado es

Max Born

(1882 - 1970)

A iBY

* A iBY


Con ello, podemos escribir la densidad de probabilidad P(x,t) como

Lo anterior, evidencia que la densidad de probabilidad es una cantidad

real y positiva, como se requiere.

La probabilidad de que una partícula se encuentre en el intervalo

infinitesimal dx alrededor del punto x al tiempo t, denotada por P(x,t)dx, es

Debido a su relación con la probabilidad de encontrar a la partícula, la

función de onda debe ser una función monovaluada y continua de x y t, de

modo que no puede haber ambigüedades en las predicciones de la teoría.

También debe ser suave, una condición que será desarrollada más adelante,

en cuanto sea necesario hacerlo.

2 * 2 2( , )P x t A B Y Y Y

2 *( , ) ( , ) ( , ) ( , )P x t dx x t dx x t x t dx Y Y Y


Como consecuencia de que la partícula debe estar en algún sitio a lo

largo del eje x, la suma de las probabilidades sobre todos los valores de x

debe ser igual a 1, es decir

Cualquier función de onda que cumpla con la condición dada por la

ecuación anterior se dice que está normalizada.

Normalizar es establecer el hecho de que la partícula puede encontrarse

con certidumbre en alguna parte del espacio.

2( , ) ( , ) 1P x t dx x t dx

Y

La probabilidad P de encontrar a la

partícula en cualquier intervalo finito [a,b] es

Es decir, la probabilidad es justamente el

área bajo la curva de densidad de

probabilidad entre los puntos x = a y x = b.

Condición de normalización

2( , )

b

aP x t dx Y


Junto con la condición de normalización, de monovaluación y de

continuidad mencionadas anteriormente; consideraciones sobre el

momento, p, requieren que las derivadas parciales de la función de onda

sean finitas, continuas y monovaluadas.

Únicamente las funciones de onda con todas estas características pueden

resultar con significado físico, por lo que solamente estas funciones “bien

comportadas” pueden representar matemáticamente a los cuerpos reales.

Resumiendo, tenemos que

• Y debe ser continua y monovaluada para todo punto en el espacio, en

cualquier instante.

• Y debe tener primeras derivadas continuas y monovaluadas en todo

punto en el espacio, en cualquier instante.

• Y debe ser normalizable, lo que significa que debe anularse cuando la

coordenada espacial tiene a ±∞.

1. Introducción a la mecánica cuántica. La función de onda. Un ejemplo.

Una partícula es descrita por los valores de la función de onda

a) Grafique la función de onda

b) Determine la constante de normalización A.

c) ¿Cuál es la probabilidad de que la partícula se encuentre entre x=0 y

x=L/8 si se mide su posición?

SOLUCION

a) La gráfica de la función de onda es

2para

( ) 4 4

0 en caso contrario

x L LACos x

x L

Y

-0.2L -0.1L 0.1L 0.2L

0.2A

0.4A

0.6A

0.8A

1.0A


En 1923, Louis de Broglie propuso generalizar

la dualidad onda-partícula de la luz, a todas las

partículas conocidas.

Lo anterior llevó a Erwin Schrödinger a tratar

de escribir una ecuación para la onda asociada

de De Broglie que, para escalas macroscópicas,

se redujera a la ecuación de la mecánica clásica

de la partícula.

En enero de 1926 publicó en la revista

Annalen der Physik un artículo científico titulado

“Quantisierung als Eigenwertproblem”, en el que

desarrolló la llamada ecuación de Schrödinger.

La Ecuación de Schrödinger (ecuación

fundamental de la mecánica cuántica en el mismo

sentido que la segunda ley de Newton es la

ecuación fundamental de la mecánica

newtoniana) es una ecuación de onda que debe

ser satisfecha por la función de onda Y.

Erwin Rudolf Josef Alexander

Schrödinger (1887 - 1961)


Por lo anterior, antes de iniciar su presentación, veamos un repaso de las

ideas previas sobre ondas.

La ecuación de onda en una dimensión se escribe como

donde y representa la perturbación que se propaga en la dirección x con una

rapidez v.

La ecuación de onda se puede derivar, a partir de la segunda ley de

Newton para el caso de ondas mecánicas, o a partir de las ecuaciones de

Maxwell para el caso de ondas electromagnéticas.

Básicamente la diferencia corresponde al significado físico de la

perturbación y, y a la expresión para la rapidez v, que en el caso de las ondas

electromagnéticas es c, mientras que en las ondas mecánicas dependerá,

principalmente, de las características del medio.

2 2

2 2 2

1y y

x v t


Las soluciones a la ecuación de onda deben ser de la forma

donde f(x) representa el llamado “pulso” de la onda al tiempo t = 0.

El signo “+” corresponde a una onda que viaja a la izquierda, mientras

que el signo “-” corresponde a una onda que se mueve a la derecha.

Para el caso de ondas armónicas, la solución se puede escribir como

donde k representa el número de onda dado por

Si desarrollamos el argumento de la onda armónica tendremos

pero como kvt debe tener a los radianes como unidades, tomamos

( )y f x vt

( )ky ACos x vt

2k

[ ( )]x vt kk x kvt

kv


Con lo anterior, la solución se puede escribir como

(*)

Esta solución representa una onda que viaja libremente con velocidad

constante, similar a como lo haría una partícula libre.

Para concluir esta revisión, vale la pena mencionar que en muchas

situaciones es mejor trabajar con expresiones más generales que

representen ondas armónicas; para ello es conveniente recordar que

lo que permite escribir

como una alternativa a la expresión (*).

Usando la expresión kv=, se puede rescribir esta última ecuación como

Para el caso de una onda mecánica, por ejemplo, la parte real es la que tiene

significado físico, por lo que la parte imaginaria se desprecia.

y ACos kx t

ie Cos iSen

i kx ty Ae

xi t

vy Ae


En mecánica cuántica la función de onda Y corresponde a la variable y;

sin embargo, a diferencia de y, Y no es en sí una cantidad medible y por lo

tanto puede ser, en el caso más general, compleja.

Por esta razón, se asume que una partícula que se mueve libremente en la

dirección x positiva puede representarse por la función de onda

o

Esto último permite escribir la función de onda en términos de la energía y el

momento.

Si usamos que y tenemos

Esta ecuación describe una onda equivalente a una partícula que se mueve

libremente, con momento y energía definidos, p y E, respectivamente.

i t kxAe

Y

2 xi ft

Ae

Y

2E hf f 2h

p p

i Et px

Ae

Y


La expresión anterior es correcta solamente para partículas que se

mueven libremente; sin embargo, es nuestro interés estudiar los casos en que

el movimiento de la partícula esté sujeto a diversas restricciones, por

ejemplo el electrón unido al núcleo mediante la fuerza Coulombiana

presente.

Lo que debemos hacer a continuación es encontrar una ecuación

fundamental para la función de onda Y, que podamos resolver para

diferentes situaciones y que nos dé la información necesaria para su

descripción.

Esta ecuación fundamental es la Ecuación de Schrödinger y se puede

llegar a ella de varias formas, pero NO puede ser derivada rigurosamente de

principios físicos existentes porque ella misma representa un nuevo

principio de la física.

A continuación se muestra una ruta para llegar a la ecuación de onda que

debe satisfacer la función de onda, si esta debe representar a un sistema

físico y, por lo tanto, contener la información del mismo.


Partiendo de la expresión para la partícula libre

podemos derivar dos veces con respecto a x, para obtener

de donde

A continuación derivamos con respecto a t, obteniendo

de donde

( , )

i Et px

x t Ae

Y

2 2 2

2 2 2

( , )( , )

i Et pxx t p pAe x t

x

Y Y

2

2 2

2

( , )( , )

x tp x t

x

YY

( , )( , )

i Et pxx t iE iEAe x t

t

Y Y

( , )( , )

x tE x t i

t

YY


Por otro lado, a velocidades bajas (comparadas con la rapidez de la luz) la

energía total de una partícula es la suma de sus energías cinética y potencial,

donde esta última es en general una función de la posición y del tiempo.

Con esto, podemos escribir

que al multiplicar por Y en ambos lados de la ecuación nos lleva a

o usando las expresiones anteriores para p2Y(x,t) y EY(x,t)

Este resultado corresponde a la Ecuación de Schrödinger dependiente del

tiempo en una dimensión.

2

( , )2

pE K U U x t

m

2 ( , )( , ) ( , ) ( , )

2

p x tE x t U x t x t

m

YY Y

2 2

2

( , ) ( , )( , ) ( , )

2

x t x ti U x t x t

t m x

Y Y Y


Finalmente, en tres dimensiones la Ecuación de Schrödinger se escribe

como

Que, usando el operador Laplaciano definido como

podemos reducir a

Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo

2 2 2 2

2 2 2

( , ) ( , ) ( , ) ( , )( , ) ( , )

2

r t r t r t r ti U r t r t

t m x y z

Y Y Y Y Y

2 2 22

2 2 2x y z

22( , )

( , ) ( , ) ( , )2

r ti r t U r t r t

t m

Y Y Y

Más adelante se verá que una forma compacta de escribir a la Ecuación

de Schrödinger dependiente del tiempo, en términos de operadores, es

donde

recibe el nombre de Hamiltoniano del sistema;

y

es el operador de energía


ˆ ˆ( , ) ( , )H r t E r tY Y

22ˆ ( , )

2H U r t

m

E it

3. Linealidad y superposición de las soluciones de la Ecuación de Schrödinger

Dado que la Ecuación de Schrödinger es una ecuación diferencial lineal

para Y, podemos usar un resultado muy importante que aplica a este tipo de

ecuaciones diferenciales: el principio de superposición.

El principio de superposición establece que si Y1 y Y2 son dos soluciones

de una ecuación diferencial lineal, como lo es la Ecuación de Schrödinger,

entonces la suma

también es una solución, con a1 y a2 constantes.

Considerando la Ecuación de Schrödinger en una dimensión

podemos escribir

1 1 2 2a aY Y Y

2 2

2

( , ) ( , )( , ) ( , ) 0

2

x t x tU x t x t i

m x t

Y Y Y

221 1 2 2 1 1 2 2

1 1 2 22( , ) 0

2

a a a aU x t a a i

m x t

Y Y Y Y Y Y

3. Linealidad y superposición de las soluciones de la Ecuación de Schrödinger Es decir

o, reagrupando términos

Por separado, los términos entre paréntesis son cero, ya que Y1 y Y2 son

soluciones de la Ecuación de Schrödinger.

Una primera conclusión que podemos alcanzar es la siguiente: Si las

funciones de onda (soluciones de la Ecuación de Schrödinger) satisfacen el

principio de superposición como lo hacen las ondas de otro tipo, entonces es

de esperarse que se presente el fenómeno de interferencia, similar al que

aparece en las ondas luminosas, sonoras, etc.

Para verificar nuestra conclusión vamos a considerar el fenómeno de la

difracción de electrones.

2 22 21 1 2 2 1 1 2 2

1 1 2 22 2( , ) ( , ) 0

2 2

a a a aU x t a U x t a i i

m x m x t t

Y Y Y Y Y Y

2 22 21 1 2 2

1 1 2 22 2( , ) ( , ) 0

2 2a U x t i a U x t i

m x t m x t

Y Y Y Y Y Y


Si se hace una analogía entre electrones y ondas (por ejemplo, luz),

podemos aplicar la teoría desarrollada para explicar la interferencia

producida por dos rejillas, observada en el experimento realizado en 1801

por Thomas Young, en un intento de discernir sobre la naturaleza corpuscular

u ondulatoria de la luz. Young comprobó un patrón de interferencias en la luz

procedente de una fuente lejana al difractarse en el paso por dos rejillas.

En la figura se

muestra una simulación

computacional del

experimento de Young;

para ello, se considera

un ancho de rejilla a = 4

y una separación entre

las rejillas D = 20.

Claramente el patrón

de interferencia se

aprecia a partir de 500

cuentas.


Para el caso de electrones, consideremos un esquema similar al

empleado por Young.

En la figura se muestra un esquema del experimento con electrones de

una misma longitud de onda. El haz de electrones incide sobre una rejilla

doble, A y B, separadas una distancia D, con aberturas mucho menores que

D.

A una distancia de

las rejillas, mucho

mayor que D, se coloca

un detector de

electrones capaz de

detectar electrones

individuales.

En un experimento

real, lo anterior se logra

si la fuente de

electrones es lo

suficientemente débil.

Acumulación gradual de franjas de interferencia después de la difracción de

un número creciente de electrones. (Tomado de P. G. Merli, G. F. Missiroli, and G.

Pozzi, “On the statistical aspect of electron interference phenomena,” American Journal of Physics, vol. 44, no. 3, pp. 306–307, 1976.)


En Mayo de 1974, los físicos italianos Pier

Giorgio Merli, Gian Franco Missiroli, y Giulio

Pozzi enviaron un artículo al AJP. En él se

presenta un patrón de interferencia obtenido

con un microscopio electrónico equipado con

un interferómetro especial, un biprisma de

electrones, que consistía básicamente en un

alambre muy delgado orientado

perpendicularmente al haz de electrones y

posicionado simétricamente entre dos placas

aterrizadas, de modo que cuando se aplica al

cable un potencial positivo o negativo el haz

de electrones se divide en dos componentes

desviadas. El uso de este biprisma electrónico

fue la primera característica importante,

técnica y conceptual, de su experimento, la

segunda era su capacidad de observar la

llegada continua de los electrones, uno a la

vez, en un monitor de televisión.


Antes de continuar, vale la pena preguntarse ¿qué pasa si se cubre una

de las rendijas?

En este caso se obtiene una curva simétrica con un pico alrededor del

centro de la rejilla descubierta, tal como se muestra en la figura.

Las curvas obtenidas

corresponden a los cuadrados de

las funciones de onda

individuales, es decir

o

donde Y1 y Y2 representan los

casos del electrón que pasa por la

rendija 1 y la rendija 2,

respectivamente.

2 *

1 1 1 1P Y Y Y

2 *

2 2 2 2P Y Y Y


Si ahora se realiza un experimento en el que se mantiene la mitad del

tiempo abierta la rejilla 1 mientras la rejilla 2 está abierta, para luego invertir

la situación, el patrón de conteos acumulados por minuto es completamente

diferente a cuando se tienen ambas rejillas abiertas.

En la figura se muestra el patrón obtenido.

Como se puede advertir, el

patrón obtenido NO presenta el

efecto de interferencia, ya que en

este caso lo que se tiene es

simplemente la suma de

cuadrados de las funciones de

onda Y1 y Y2, es decir

2 2

1 2 1 2

* *

1 2 1 1 2 2

P P

P P

Y Y

Y Y Y Y


Lo anterior implicaría que, cuando están abiertas ambas rejillas, el

electrón pasa por la rejilla 1 o por la rejilla 2; sin embargo, la evidencia

experimental no muestra eso.

Así que suponer que el electrón está localizado y que pasa sólo por una

rejilla cuando ambas están abiertas debe ser errónea.

Lo anterior nos obliga a pensar

que, para que el electrón muestre

interferencia, debe estar presente

simultáneamente en ambas

rejillas.

Para ello, se requiere

considerar que el electrón está en

un estado de superposición dado

por

1 2Y Y Y


Con ello, la probabilidad de detectar al electrón en la pantalla es igual a

en vez de

Por lo que se hace

necesario calcular la

densidad de probabilidad

para nuestro problema, a

saber |Y|2,

2 2

1 2Y Y Y

2 2

1 2 1 2P PY Y

2 2

1 2

2 *

1 2 1 2

Y Y Y

Y Y Y Y Y


Lo anterior se puede escribir como

o en términos de P1 y P2:

2 * * * *

1 1 2 2 2 1 1 2Y Y Y Y Y Y Y Y Y

2 * *

1 2 2 1 1 2P PY Y Y Y Y

Los dos últimos

términos de esta ecuación

representan la diferencia

mostrada en la parte

derecha de la figura, y son

los responsables de la

oscilación en la intensidad

de electrones en la pantalla

(esquematizado en la curva

azul sombreada de gris).

* *

2

2

1 2 1 1 2P PY Y Y Y Y

4. Observables y operadores

Con la finalidad de que el formalismo de la mecánica cuántica y, con ella

la función de onda, sea útil debe, tener la capacidad para determinar

cantidades medibles, como lo son: la posición, el momentum y la energía,

entre otras.

Recordemos que la finalidad de la teoría es explicar las observaciones

experimentales; por ejemplo, en mecánica clásica generalmente la solución

de un problema consiste en especificar la posición de una partícula (o un

sistema de partículas) como función del tiempo, ya que a partir de ella

podemos conocer otras cantidades físicas, lo cual no podemos extender a

sistemas a micro escalas debido a las propiedades ondulatorias de la

materia.

En mecánica cuántica, lo que tenemos es la función de onda Y(x,t) y la

función de distribución de probabilidad |Y(x,t)|2, así que lo más que podemos

saber acerca de la posición de una partícula es la probabilidad de que una

partícula se encuentre alrededor de cierto valor x a un tiempo t, mediante la

expresión

2 *( , ) ( , ) ( , ) ( , )P x t dx x t dx x t x t dx Y Y Y


Ahora vamos a considerar una medición de la posición x de un sistema

particular. Si realizamos tres mediciones de la posición, es probable que

obtengamos tres resultados diferentes.

Sin embargo, si nuestro método de medición es inherentemente preciso,

debe haber algún significado físico a la media de los valores medidos de x.

Además, la precisión de nuestro resultado debe mejorar a medida que se

realizan más mediciones.

En mecánica cuántica se utiliza la función de onda para calcular el valor

esperado que corresponde al valor promedio que se obtiene al realizar

varias mediciones de una cantidad determinada. En nuestro caso, el valor

esperado de x está dado por

Cualquier cantidad medible para la que podamos calcular el valor

esperado se llama observable físico. El valor esperado de un observable

físico (como por ejemplo, la posición, el momento lineal, el momento angular

y la energía) debe ser real, ya que los resultados experimentales de las

mediciones son reales.

*( , ) ( , )x x t x x t dx

Y Y


Antes de continuar, revisemos el origen de la definición anterior.

Si hacemos una gran cantidad de mediciones de la partícula,

encontraremos a la partícula N1 veces en x1, N2 veces en x2, N3 veces en x3, y

así sucesivamente. El valor promedio de x es entonces

En la expresión anterior podemos cambiar a una variable continua si usamos

la probabilidad P(x,t) de observar a la partícula en un instante en una

posición x particular, es decir

que corresponde al valor promedio de la variable continua x.

1 1 2 2 3 3

1 2 3

i i

i

i

i

N xN x N x N x

xN N N N

( , )

( , )

xP x t dx

x

P x t dx


En mecánica cuántica lo expresión anterior se puede rescribir como

donde hemos usado la expresión para P(x,t) en términos de la función de

onda.

Si ahora consideramos que la función de onda Y(x,t) está normalizada, el

denominador es igual a 1; por lo que obtenemos, finalmente, que

(4.1)

*

*

( , ) ( , )

( , ) ( , )

x x t x t dx

x

x t x t dx

Y Y

Y Y

*( , ) ( , )x x t x x t dx

Y Y


Un procedimiento similar se puede usar para encontrar el valor esperado

(o de expectación) de cualquier función g(x) para una función de onda

normalizada Y(x,t), obteniéndose la expresión general

El valor esperado <g(x)> es el valor promedio de g(x) que esperaríamos

obtener para un número muy grande de partículas con la misma función de

onda Y(x,t).

Para terminar esta parte, es importante enfatizar que la función de onda

solamente puede proporcionarnos el valor esperado de una función dada

g(x), que pueda ser expresada en términos de x, de forma que NO puede

darnos el valor de las mediciones individuales.

Cuando decimos que la función de onda provee una descripción completa

del sistema, lo que estamos diciendo es que podemos determinar los valores

esperados (o de expectación) de las observables físicas de dicho sistema.

*( ) ( , ) ( ) ( , )g x x t g x x t dx

Y Y


Como sabemos, el cálculo de los valores simultáneos de la posición x y el

momento p de una partícula deben ser consistentes con el principio de

incertidumbre.

Para encontrar el valor esperado (o de expectación), necesitamos

representar p en términos de x y t; así que, como un ejemplo, vamos a

considerar (una vez más) la función de onda de la partícula libre

Si tomamos la derivada con respecto a x, tendremos

Pero si recordamos que y

podemos escribir

( , )

i t kxx t Ae

Y

( , )( , )

i t kx i t kxx tAe ik Ae ik x t

x x

Y Y

2

p

2k

( , )( , )

x t pi x t

x

Y Y


Reacomodando términos, tenemos finalmente que

(*)

Un operador es una operación matemática que transforma una función en

otra.

En la expresión (*) podemos identificar a la operación matemática que

actúa sobre la función de onda Y(x,t), a saber

Esta operación recibe el nombre de operador de momento lineal en una

dimensión, así que

( , )

( , )x t

p x t ix

YY

ix

p ix


El operador de momento lineal no es el único operador, de hecho cada

una de las cantidades físicas medibles u observables tiene asociado un

operador.

Como todo operador asociado con una observable, el valor esperado del

momento está dado por

que se rescribe como

(4.2)

Los operadores para observables que son funciones de x y de p se

pueden construir usando las expresiones para cada uno de los operadores x

y p.

*( , ) ( , )p x t i x t dxx

Y Y

* ( , )( , )

x tp i x t dx

x

Y Y

^

^


De manera similar, para encontrar el valor esperado (o de expectación)

de la energía, necesitamos representar E en términos de x y t; así que,

nuevamente considerando la función de onda de la partícula libre

tomamos la derivada con respecto a t, obteniendo

y recordando que la energía se puede escribir como

podemos escribir

( , )

i t kxx t Ae

Y

( , )( , )

i t kx i t kxx tAe i Ae i x t

t t

Y Y

E

( , )( , )

x t Ei x t

t

Y Y


Rearreglando términos, tenemos finalmente que

(**)

En la expresión (**) podemos identificar a la operación matemática que

actúa sobre la función de onda Y(x,t), a saber

Esta operación recibe el nombre de operador de energía, así que

( , )

( , )x t

E x t it

YY

it

E it


Con la expresión anterior para el operador de energía, su valor esperado

está dado por

que se rescribe como

(4.3)

Aunque las expresiones (4.1), (4.2) y (4.3) se obtuvieron considerando

una función de onda para partícula libre, estas expresiones son resultados

generales que usaremos más adelante para calcular las observables físicas

(posición, momentum y energía) y compararlas con los resultados

experimentales.

*( , ) ( , )E x t i x t dxt

Y Y

* ( , )( , )

x tE i x t dx

t

Y Y


Cantidad física u Observable Operador

Cualquier función de x; por ejemplo la posición x, la energía potencial V(x), etc. 𝐟(𝐱)

Componente x del momentum, px −𝐢ℏ𝝏

𝝏𝒙

Componente y del momentum, py −𝐢ℏ𝝏

𝝏𝒚

Componente z del momentum, pz −𝐢ℏ𝝏

𝝏𝒛

Energía, Hamiltoniano independiente del tiempo, E −ℏ𝟐

𝟐𝒎𝜵𝟐 + 𝐕(𝐱)

Energía, Hamiltoniano dependiente del tiempo, E 𝐢ℏ𝝏

𝝏𝒕

Energía cinética, K −ℏ𝟐

𝟐𝒎𝜵𝟐

Componente z del momento angular, Lz −𝐢ℏ𝝏

𝝏𝝓

En la siguiente tabla se muestra un resumen de los observables (y su

correspondiente operador) más comunes en mecánica cuántica.

4. Observables y operadores. Un ejemplo.

Considerando la expresión para la función de onda de una partícula libre

dada por

a) Calcule la constante de normalización A entre 0 y L.

b) Calcule el valor esperado para

i. la posición

ii. el momento lineal

iii. la energía

SOLUCIÓN.

a) La constante de normalización es

b) Los valores esperados son

( , )

i t kxx t Ae

Y

1A

L

ˆ2

Lx p k E

5. La ES independiente del tiempo. Eigenvalores y eigenfunciones En muchas situaciones, la energía potencial de una partícula no depende

explícitamente del tiempo, lo que significa que la fuerza que actúa sobre ella

es constante en el tiempo, por lo que solamente puede tener dependencia

en la coordenada espacial x.

Cuando se presenta esta situación, la Ecuación de Schrödinger puede

simplificarse eliminando la dependencia temporal, resultando la llamada

Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo o también conocida

como Ecuación estacionaria de Schrödinger.

Para llevar a ella, debemos escribir la función de onda como el producto

Este método es muy útil para resolver ecuaciones diferenciales parciales y

se conoce método de separación de variables.

Si a continuación sustituimos esta expresión en la Ecuación de

Schrödinger

( , ) ( ) ( )x t x f tY

2 2

2

( , ) ( , )( ) ( , )

2

x t x ti U x x t

t m x

Y Y Y

5. La ES independiente del tiempo. Eigenvalores y eigenfunciones Tendremos

o

Si a continuación dividimos entre la función de onda

tendremos

Esta ecuación ha quedado separada en una parte con dependencia temporal

y otra parte con dependencia espacial, por lo que podemos igualar a una

misma constante.

22

2

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2

x f t x f ti U x x f t

t m x

2 2

2

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

f t xi x f t U x x f t

t m x

( , ) ( ) ( )x t x f tY

2 2

2

1 ( ) 1 ( )( )

( ) 2 ( )

f t xi U x

f t t m x x

5. La ES independiente del tiempo. Eigenvalores y eigenfunciones Por conveniencia, se toma esa constante como la energía E, de tal forma

que tenemos

Lo que lleva a escribir las ecuaciones para f(t) y (x) como

(5.1)

y

(5.2)

La primera ecuación nos da la dependencia temporal de la función de onda,

mientras que la segunda nos da la dependencia espacial de la función de

onda y recibe el nombre de Ecuación de Schrödinger independiente del

tiempo o Ecuación estacionaria de Schrödinger.

2 2

2

1 ( ) 1 ( )( )

( ) 2 ( )

df t d xi U x E

f t dt m x dx

( )( )

df t Ei f t

dt

2 2

2

( )( ) ( ) ( )

2

d xU x x E x

m dx

5. La ES independiente del tiempo. Eigenvalores y eigenfunciones La ecuación (5.1) anterior tiene como solución funciones de la forma

o recordando que E=ħ podemos escribir la solución completa a la Ecuación

de Schrödinger como

(5.3)

donde (x) son soluciones de la ecuación

(5.4)

Las funciones de onda (5.3), considerando las soluciones de la ecuación

(5.4), presentan una densidad de probabilidad constante en el tiempo, por lo

que un sistema que puede ser modelado por la Ecuación de Schrödinger

independiente del tiempo se dice que presenta estados estacionarios.

( )E

i t

f t e

2

2 2

( ) 2( ) ( ) 0

d x mE U x x

dx

( , ) ( ) i tx t x e Y

5. La ES independiente del tiempo. Eigenvalores y eigenfunciones Para terminar este desarrollo, podemos escribir la Ecuación de

Schrödinger independiente del tiempo en tres dimensiones como

(5.5)

Por lo que la función de onda del sistema está dada por

Una propiedad importante de la Ecuación Estacionaria de Schrödinger es

que si tiene una o mas soluciones, cada una de ellas corresponde a un valor

específico de la energía E.

Esta cuantización de la energía aparece como un elemento natural de la

teoría, tal como se ha mostrado hasta este momento, ya que si recordamos la

física de las ondas mecánicas encontramos que la ecuación (5.4) es similar a

la ecuación que, considerando valores a la frontera, nos llevó a establecer

ondas estacionarias y sus respectivas condiciones de cuantización en las

medias longitudes de ondas.

2

2

2( ) ( ) ( ) 0

mr E U r r

( , ) ( ) i tx t x e Y

5. La ES independiente del tiempo. Eigenvalores y eigenfunciones Los valores de la energía En, para los cuales se puede resolver la

Ecuación estacionaria de Schrödinger, se llaman Eigevalores y las

correspondientes funciones de onda n(x) reciben el nombre de

eigenfunciones.

La condición de cuantización, para el caso de la energía, se puede

escribir como

que corresponde a una ecuación de eigenvalores o valores propios.

En este caso, se dice que En y n(x) son los eigenvalores y las

eigenfunciones del operador Hamiltoniano, respectivamente.

Si la ecuación anterior se cumple, entonces siempre que el sistema se

encuentre en un estado definido por la función de estado n(x) se medirá el

valor esperado En para el observable H, de tal manera que si el sistema se

encuentra en el estado k(x) se medirá el valor esperado Ek, y así

sucesivamente.

ˆ ( ) ( )n n nH x E x

U(x)

x L 0

6. Partícula en una caja

Una primera aplicación de la Ecuación de Schrödinger independiente

del tiempo es la partícula en una caja, cuya solución es la más fácil de

encontrar.

Para ello debemos considerar una partícula de masa m atrapada en un

potencial cuadrado infinito, tal como se muestra en la figura.

Este potencial se puede escribir como

Lo que, evidentemente, delimita tres

regiones:

• Las regiones I y III donde el potencial es

infinito; y

• la región II donde la partícula es libre.

I II III

0

( ) 0 0

x

U x x L

L x


El potencial anterior es físicamente irrealizable, pero matemáticamente

permite resolver la Ecuación de Schrödinger de manera sencilla.

Lo más cercano a este potencial se puede conseguir mediante un arreglo

como el mostrado en la figura.

Conforma aumenta la diferencia de potencial V entre la rejilla G y el

electrodo C, el potencial que “siente” el electrón se aproxima a uno de

paredes infinitas, por lo que tiene sentido considerar a dicho electrón como

una partícula en una caja.


Regresando a nuestro problema de interés, debemos escribir la Ecuación

de Schrödinger para cada una de las regiones acordes con el potencial, a

saber

Las primera y tercera ecuaciones, dado que el potencial es infinito en dichas

regiones, requieren que sus soluciones sean nulas; por lo que necesitaremos

resolver la segunda de ellas, que se reduce a

2

2 2

( ) 2( ) ( ) 0I

I

d x mE U x x

dx

2

2 2

( ) 2( ) ( ) 0II

II

d x mE U x x

dx

2

2 2

( ) 2( ) ( ) 0III

III

d x mE U x x

dx

2

2 2

( ) 2( ) 0II

II

d x mEx

dx


Esta ecuación tiene como solución general a la combinación lineal

donde

Las constantes A y B se determinan a partir de las condiciones de

continuidad en la función, las cuales indican que

La primera de ellas implica que

mientras que la segunda requiere que el argumento del Seno sea un múltiplo

de , por lo que

( )II x ACos kx BSen kx

2

2

2mEk

(0) (0) 0 0 0I II ACos BSen

( ) ( ) 0III IIL L ACos kL BSen kL

0A

kL n


Con ello podemos escribir, hasta el momento, la solución de la Ecuación

de Schrödinger como

Para encontrar el valor de Bn usaremos la condición de normalización, a

saber

que nos lleva a

de donde

( )II n

n xx B Sen

L

2( ) 1II x dx

2 2

01

L

n

n xB Sen dx

L

2nB

L


Por lo que finalmente la solución de la Ecuación de Schrödinger para una

partícula en una caja se escribe como

con n = 1, 2, 3, 4, ...

Este eigenfunción tiene su correspondiente eigenvalor de energía En; el

cual se obtiene a partir de la expresión

considerando que

Lo que permite llegar a

Este expresión corresponde al espectro de energías para una partícula

sujeta a un potencial cuadrado infinito o en una caja de tamaño L.

2( )n

n xx Sen

L L

2

2

2mEk

kL n

2 2 2

22n

nE

mL


Gráficamente, las funciones de onda con sus correspondientes energías

son las siguientes:

2( )n

n xx Sen

L L

2 22 2

122nE n n E

mL


La función de onda completa Y(x,t) se obtiene multiplicando la función de

onda anterior, (x,t) , por la parte temporal, por lo que tendremos

donde

y

Si se usa la identidad

podemos escribir

que puede considerarse como una superposición de dos ondas de igual

forma y tamaño, pero propagándose en direcciones opuestas.

2

( , ) nt

n nx t Sen k x eL

Y

2 2

22n

n

mL

n

nk

L

2

n nik x ik x

n

e eSen k x

i

1 2( )

2

n n n ni k x t i k x t

n x e ei L

Y

U0

0 L x

U(x)

Una vez estudiado el caso de una partícula confinada a una caja de

tamaño L, vamos a considerar a la partícula sujeta a un potencial cuadrado

finito, lo cual corresponde a un sistema físico más realista.

En este caso, el potencial tiene la forma

La forma de este potencial, de nuevo, delimita tres regiones:

• Las regiones I y III donde el potencial es distinto de cero (U0); y

• la región II donde la partícula es libre.

III I II

Analíticamente se puede

escribir como


0

0

0

( ) 0 0

U x

U x x L

U L x

U0

0 L x

U(x)

Si consideramos una partícula de masa m y energía E mayor que U0,

clásicamente encontramos que se puede mover por todo el espacio, de tal

forma que en las regiones I y III su velocidad será menor que en la región II;

sin embargo, si la energía E de la partícula es menor que U0, la situación

cambia.

una probabilidad de que la partícula pueda encontrarse fuera de esta región.

Lo anterior se hace evidente al resolver la Ecuación de Schrödinger para

cada una de las tres regiones, encontrando que la función de onda en

general es diferente de cero fuera del pozo (región II).

Según la mecánica clásica,

una partícula con energía E

menor que U0 está confinada a

moverse entre 0 y L, ya que

fuera de ella su energía

cinética sería negativa.

Sin embargo, la mecánica

cuántica establece que hay

.


III I II


Con lo anterior, debemos escribir la Ecuación de Schrödinger para cada

una de las regiones acordes con el potencial, a saber

Las primera y tercera ecuaciones tienen la misma forma, mientras que la

segunda es similar a la que se tuvo en el caso del potencial infinito, por lo

que la solución para la región II se puede escribir como

con

2

02 2

( ) 2( ) 0I

I

d x mE U x

dx

2

2 2

( ) 2( ) 0II

II

d x mEx

dx

2

02 2

( ) 2( ) 0III

III

d x mE U x

dx

( )II x CSen kx DCos kx

2

2

2mEk


Para las regiones I y III podemos escribir a las ecuaciones como

con

Las soluciones para estas ecuaciones se pueden escribir como

y

22

2

( )( ) 0I

I

d xx

dx

22

2

( )( ) 0III

III

d xx

dx

( ) x x

III x Ee Fe

2

02

20

mU E

( ) x x

I x Ae Be


Sin embargo, como la función de onda debe mantenerse finita tenemos

que cancelar la posibilidad de que la exponencial crezca indefinidamente,

para lo cual tomaremos B = E = 0, así que las funciones de onda para cada

una de las regiones son:

(7.1)

(7.2)

(7.3)

con

y 2

02

2mU E

( )

( )

( )

x

I

II

x

III

x Ae

x CSen kx DCos kx

x Fe

2

2

2mEk


A continuación tenemos que aplicar la condición de continuidad en las

funciones de onda y en las primeras derivadas, valuadas en x = 0 y x = L; lo

que nos permitirá conocer las relaciones existentes entre A, C, D y F.

La condición de continuidad en la función de onda lleva a

y

Mientras que la condición de continuidad en la primera derivada lleva a

y

( ) ( )L

II IIIL CSen kL DCos kL Fe L

0(0) 0 0 (0)I IIAe CSen DCos

0'(0) 0 0 '(0)I IIAe kCCos kDSen

'( ) '( )L

II IIIL kCCos kL kDSen kL Fe L


Con esto, nuestro problema será resolver el sistema de ecuaciones

siguientes:

(7.4)

(7.5)

(7.6)

(7.7)

Al sustituir (7.4) en (7.6) eliminamos A, y podemos escribir la relación:

(7.8)

LCSen kL DCos kL Fe

A D

A kC

LkCCos kL kDSen kL Fe

C

D k


De manera similar, sustituimos (7.5) en (7.7), lo que elimina a F, para

poder escribir

que usando la relación (7.8):

resulta

Esta ecuación se reduce a

kCCos kL kDSen kL CSen kL DCos kL

C Dk

k D Cos kL kDSen kL D Sen kL DCos kLk k

k

Cos kL Sen kL Sen kL Cos kLk


Resulta útil escribir esta última ecuación como

(7.9)

Si recordamos que

y

resulta evidente que la ecuación (7.9) es una ecuación trascendente para y

k que, para valores de L y U0 dados, es válida para ciertos valores de E, lo

que implica un espectro de energías discreto.

Cos kL Sen kLk

kSen kL Cos kL

k

02

2mU E

2

2mEk


Para estas energías, las condiciones de continuidad especifican a la

función de onda, excepto por un factor constante que se determina

aplicando la condición de normalización.

En la Figura anexa se muestran las funciones de onda y las densidades

de probabilidad que resultan para las tres energías más bajas permitidas

para la partícula.


Como puede verse de la figura anterior, la función de onda penetra en la

región clásicamente prohibida hasta un punto establecido por la

profundidad de penetración d, dada por

que, usando la expresión para , resulta

Específicamente, a una distancia d la amplitud de la onda cae a 1/e de su

valor en el borde y tiende exponencialmente a cero, tal como se puede

apreciar de las expresiones (7.1) y (7.3).

1d

02 ( )m U Ed

universidad de sonora departamento de...

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