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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE SAN LUIS POTOSÍ
FACULTAD DE CIENCIAS
LICENCIATURA EN MATEMÁTICA EDUCATIVA
LA MÚSICA COMO REGISTRO TRANSICIONAL EN EL
APRENDIZAJE DEL ÁLGEBRA EN SECUNDARIA Y
PREPARATORIA. ELEMENTO MOTIVADOR PARA LAS
MATEMÁTICAS.
TESIS PARA OBTENER EL TÍTULO DE:
Licenciada en Matemática Educativa
P R E S E N T A :
Karla Mayela Hernández Contreras
DIRECTORA DE TESIS:
Dra. Rita Guadalupe Angulo Villanueva
14 de junio de 2016
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Dedicatoria
A mi familia, mi mamá, mi tía y mi hermano, que me apoyaron moral y
económicamente durante este tiempo, por su dedicación y compañía tanto en lo académico
como en la vida.
A mi asesora de tesis por todas sus enseñanzas y confianza puesta en mí, así como a
mis sinodales quienes me apoyaron y guiaron a lo largo de este trabajo.
A todas aquellas personas que me apoyaron durante todo este tiempo de una u otra
manera, maestros compañeros y amigos.
Todo este trabajo ha sido posible gracias a ustedes.
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Índice
Introducción ........................................................................................................................................ 4
CAPITULO I. ¿MÚSICA Y MATEMÁTICAS? LA PROBLEMATIZACIÓN ................................ 5
Problema ............................................................................................................................................. 5
Objetivo ............................................................................................................................................... 5
Justificación de la investigación .......................................................................................................... 5
CAPITULO II. Marco Referencial ...................................................................................................... 8
Revisión de documentos previos ..................................................................................................... 8
CAPITULO III. MARCO TEÓRICO ............................................................................................... 11
Desde la música ............................................................................................................................. 11
Desde la Matemática Educativa .................................................................................................... 14
Desde el análisis del discurso ........................................................................................................ 19
CAPÍTULO IV. METODOLOGÍA .................................................................................................. 22
Diseño de la investigación............................................................................................................. 22
CAPITULO V. RESULTADOS ....................................................................................................... 28
5.1 Contextualización .................................................................................................................... 28
5.2 Levantamiento Análisis y procesamiento de los datos ........................................................... 29
5.2.1 Análisis del Cuestionario ................................................................................................. 30
5.2.2 Análisis del discurso en la entrevista ............................................................................... 34
5.2.3 Análisis de las preferencias musicales de alumnos mediante encuesta .......................... 43
5.2.4 Análisis de las calificaciones de los alumnos .................................................................... 48
Capítulo VI: Conclusión, Discusión y Recomendaciones ................................................................... 51
Conclusión ..................................................................................................................................... 51
Discusión ....................................................................................................................................... 52
Recomendaciones .......................................................................................................................... 53
Anexos ............................................................................................................................................... 54
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Introducción
Este trabajo muestra un análisis desde distintas perspectivas de la relación que tienen las
matemáticas y la música, una revisión de documentos previos sobre dicha relación, una
explicación de la teoría que sustenta la investigación abarcando los aspectos musicales,
matemáticos y pedagógicos, un análisis de los planes de estudios en secundaria y preparatoria,
así como los resultados desde diferentes instrumentos donde se observa alguna relación de
matemáticas y música.
Los exámenes ENLACE (Evaluación Nacional del Logro Académico en Centros
Escolares) y PISA (Programa para la Evaluación Internacional de los Estudiantes) se caracterizan
por presentar problemas relacionados con la realidad de los alumnos, dichos exámenes se aplican;
cada año para el caso de ENLACE y cada tres años para PISA. Hablando específicamente del
área de matemáticas, en los resultados de la prueba ENLACE (2014) en educación media superior
en el estado de San Luis Potosí, la mayoría de los alumnos se encuentran en el nivel Elemental
de dominio con 34.1%, le sigue el nivel Insuficiente con 26.6%, Bueno con 20% y Excelente con
19.4%. En el caso del examen PISA (2012) se obtuvo que el 55% de los alumnos no alcanzan el
nivel de competencias básicas, además de que el puntaje obtenido arroja que México tiene una
diferencia de casi dos años de escolaridad comparado con el puntaje promedio.
Tal vez esto ocurra debido a la poca relación que se les da a las matemáticas con otras
áreas en el salón de clases, lo que provoca que los alumnos lo vean como algo inútil, a pesar de
que se encuentran relacionadas con muchas áreas, y una de ellas es la música, algo que es muy
común y agradable para los alumnos, independientemente de su personalidad y del género que
más les agrade.
Se entiende la música como una forma de expresión humana capaz de provocar distintos
sentimientos en quienes la escuchan, la componen y la interpretan. Es también un lenguaje que
comunica a personas de distintos continentes e idiomas, se puede ver como una relación binaria
de dos de sus características, tiempo y sonido; donde en un tiempo pueden sonar una o varias
notas que son regidas por condiciones que permiten su armonía. Es utilizada en diversas
situaciones con distintos fines y puede ser interpretada desde distintos ángulos.
Podemos encontrar a las matemáticas relacionadas con diversos aspectos de la vida, como
la música, sin embargo ¿cómo se relacionan las matemáticas con la música? Y, tomando en
cuenta lo que plantean ENLACE y PISA ¿cómo ayuda su relación en la enseñanza de las
matemáticas?
Este trabajo presenta una revisión de documentos que abordan la relación matemáticas-
música; los resultados de un cuestionario que permite observar una de las relaciones encontradas
mediante una serie de actividades formuladas con base en los registros propuestos por la teoría
de Representaciones Semióticas de Raymond Duval (2006); una entrevista para profundizar en
dicho cuestionario; así también, otra entrevista sobre la percepción de los sujetos acerca de los
géneros musicales que prefieren algunos alumnos de secundaria y preparatoria y, por último, un
análisis de las calificaciones de los sujetos, teniendo aquí dos grupos, músicos y no músicos para
observar algunas de las ventajas que presentan los músicos en la comprensión matemática.
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CAPITULO I. ¿MÚSICA Y MATEMÁTICAS? LA PROBLEMATIZACIÓN
Problema
A pesar de que en la antigüedad los conocimientos eran enseñados relacionados entre
sí, dicha relación se fue rompiendo, a tal grado que en la actualidad se enseña la matemática
de forma aislada, a pesar de que la podemos encontrar en física, medicina, computación,
biología, música, y en muchos saberes más.
Peralta (1998) menciona que en la antigüedad existía el quadrivium que estaba
conformado por aritmética, geometría, música y astronomía, donde la aritmética abordaba el
estudio de los números en reposo, la geometría las magnitudes en reposo, la música los
números en movimiento y la astronomía las magnitudes en movimiento.
El problema de este trabajo es encontrar algunas de las relaciones entre la música y
las matemáticas, particularmente aquellas que al ser mostradas a los alumnos generen su
interés y les motiven para el aprendizaje de las matemáticas. Se supone que de esta manera
los alumnos observen una aplicación de las matemáticas que ven en el aula a una actividad
que –naturalmente- gusta a los adolescentes y jóvenes.
Objetivo
Diseñar y probar diversas actividades en las que se relacionen matemáticas y música,
y que permitan observar desde distintos ángulos el mismo objeto.
Identificar si las actividades propuestas ayudan o motivan en el aprendizaje de las
matemáticas.
Estructurar las actividades en formato de instrumento con base en los distintos
registros que propone la teoría de Representaciones Semióticas de Duval (2006).
Justificación de la investigación
La competencia matemática representa hoy día una de las necesidades sociales más
importantes para entender e interpretar el mundo, así como para resolver los problemas cada
vez más complejos que la sociedad y la naturaleza presentan. Todas las personas deberían
desarrollar esta capacidad a favor de sí mismos y de la sociedad. Académicos y organismos
internacionales han fundamentado la importancia de ello, enseguida recupero los principales
argumentos para el desarrollo de la misma. Estos argumentos evidencian, en mi opinión, la
necesidad de promover un aprendizaje significativo de las matemáticas en la escuela así como
la posibilidad de propiciarlo apoyados en la relación entre matemáticas y música.
Peralta (1998) considera que una posible causa de la aversión a las matemáticas sea
porque es considerada como una disciplina fría y cerrada, por lo cual es vista sin relación con
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otras áreas del conocimiento, además de que se tiene la idea de que están aisladas del mundo.
Sin embargo, dicha disciplina se encuentra relacionada con otras áreas (música, literatura,
pintura, escultura, etc.).
El Programa Internacional para la Evaluación de Estudiantes (PISA) contempla en la
competencia matemática la capacidad de analizar, razonar y comunicar por parte de los
alumnos para plantear, formular, resolver e interpretar problemas matemáticos en varias
situaciones, dichos problemas se centran en un entorno real, con situaciones que tengan o
puedan enfrentar.
“PISA define la competencia matemática como la capacidad del individuo para
identificar y entender la función que desempeñan las matemáticas en el mundo, emitir juicios
fundados y utilizar y relacionarse con las matemáticas de forma que se puedan satisfacer las
necesidades de la vida de los individuos como ciudadanos constructivos, comprometidos y
reflexivos” (OECD, 2006: 74).
Al considerar a las matemáticas como un lenguaje se deben conocer los rasgos del
discurso matemático como pueden ser términos, signos, símbolos, procedimientos, etcétera,
pero no basta con conocerlos, es necesario saber utilizarlos al momento de resolver algún
problema o situación que los requiera, teniendo claras o no las instrucciones. En caso de que
solamente sea una situación, el alumno deberá acudir a la matematización que tiene cinco
aspectos relevantes que son:
1) Surge de un problema de la realidad.
2) Identificar las matemáticas convenientes para resolver el problema y
reorganizarlo.
3) Pasar el problema a lenguaje puramente matemático.
4) Resolver el problema matemático planteado.
5) Dar significado al resultado, enlazándolo con el problema planteado (Ibidem, 76).
Cuando un individuo tiene un buen nivel de competencia matemática es capaz de
observar los cambios que se producen en su entorno, así como tener la flexibilidad de
adaptarse a ellos, sin embargo los conocimientos que haya adquirido en la escuela no bastarán
para resolver sus necesidades en la vida adulta (Ibidem, 78) [para poder hacerlo]… destacan
los siguientes tres elementos: el contexto del problema, el contenido matemático que se
utilizará para resolver la situación o problema y las capacidades que utilizarán para relacionar
el contexto real con las matemáticas. Es necesario crear diversas situaciones en que se
utilicen las matemáticas cercanas a la vida personal del estudiante (Ibidem, 84).
Cada problema requiere distintas capacidades específicas según el contexto. En
relación con el contenido matemático se destacan cuatro ideas centrales: espacio y forma,
cambio y relaciones, cantidad e incertidumbre, las cuales forman parte del núcleo de
cualquier currículo en cualquier nivel educativo. La idea de espacio y forma aborda las
propiedades de objetos, así como la relación entre formas e imágenes o representaciones
visuales; el cambio y las relaciones consiste en representar éstas numéricamente,
simbólicamente o gráficamente, además de pasar de una representación a otra
reconociéndolas y comprendiéndolas (OECD, 2006: 85, 86, 87 y 89). Esto coincide con lo
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manejado por Duval (2006), ya que aquí se toman en cuenta algunos de los registros que él
propone y nosotros tomamos (gráfico, icónico, discursivo, numérico, simbólico y registro
transicional).
Con respecto a la idea de cantidad se esgrime la comprensión y manejo de los números
en sus distintas representaciones, tomando en cuenta la utilidad que se le da en cada caso.
Por último, en la idea de incertidumbre se abarca lo relacionado con datos y azar, se toma en
cuenta que los datos variarán dependiendo del contexto y el azar tiene un carácter aleatorio
para fenómenos inciertos (OECD, 2006: 90).
A los procesos que siguen los alumnos para resolver los problemas que se les plantean
se les denominan como capacidades matemáticas. Se destacan: pensamiento y razonamiento,
argumentación, comunicación, construcción de modelos, planteamiento y solución de
problemas, representación, utilización de operaciones y lenguaje técnico, formal y simbólico
y empleo de material y herramientas de apoyo. Se busca que los alumnos desarrollen y
enlacen todas (OECD, 2006).
Se maneja que la “representación comporta la capacidad de descodificar, codificar,
traducir, interpretar y distinguir distintas formas de representación de objetos y situaciones
matemáticos; las interrelaciones que existen entre las diversas representaciones; y la elección
y alternancia entre distintos tipos de representación según las situaciones y objetivos”
(OECD, 2006: 102).
“… Los individuos tienen sus propias representaciones, que gradualmente se
construyen sobre la base de su experiencia. Este sistema organizado traduce el mundo
exterior a una percepción individual. El sistema de representación de un individuo gobierna
sus procesos de pensamiento” (OECD, 2009: 48).
Tocar música requiere de ciertas habilidades entre lo auditivo y el control motor, es
por esto que la mayoría de los músicos, al utilizar en su mayoría ambas manos, desarrollan
ciertas habilidades enfocadas al cuerpo calloso, donde la banda de fibras que conecta a las
dos áreas motoras es más grande en comparación con aquellos que no son músicos (Ibidem,
108).
“Los músicos tienen estructuras motoras y auditivas extendidas, lo cual indica que los
períodos largos de entrenamiento pueden alterar la estructura básica del sistema nervioso. Al
tocar, escuchar y crear música se involucran la mayoría de las funciones cognitivas. Así como
las emociones positivas ayudan al aprendizaje, la música puede tener un efecto positivo
obteniendo un resultado similar (Schlaug, 2003 en OECD, 2009: 108).
El funcionamiento y desarrollo del cerebro y su estimulación mediante la música
facilitan el aprendizaje tanto de la música como de otros saberes como las matemáticas. La
asociación de procesos de razonamiento matemático y musical puede resultar en un
aprendizaje significativo para los estudiantes en tanto que “hacer música y matemáticas” les
otorga sentido a ambas.
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CAPITULO II. Marco Referencial
Revisión de documentos previos
Los físicos y filósofos del siglo XVIII se cuestionaban sobre ¿qué es el sonido?,
¿habrá sonido si cae por ejemplo un árbol en el bosque y nadie lo escucha? Sobre esto los
físicos sostenían que sí, ya que el sonido como tal radica en ciertos fenómenos físicos, los
cuales ocurren si está alguien escuchando o no, debido a que es un movimiento de moléculas
producido por un cuerpo que vibra en un medio. Sin embargo, los filósofos consideraban que
no porque el sonido era una sensación que sería conocida por la mente de quien lo escucha,
era una experiencia sensible, lo cual lo relacionaba con la vida tanto física como emocional.
Sin embargo, ambas forman parte de lo que es el sonido (Stevens y Warshofsky, 1978).
Rodríguez (2011) menciona que en la antigüedad los conocimientos que se enseñaban
estaban relacionados entre sí, sin embargo, con el paso del tiempo dicha relación se fue
rompiendo, a tal grado que en la actualidad se enseña la matemática de forma aislada, a pesar
de que la podemos encontrar en física, medicina, computación, biología, música, y en muchos
lados. También se menciona que en la época griega, la música era estudiada conjuntamente
con la aritmética, geometría y astronomía. De ésta manera, Pitágoras estudió la relación entre
las longitudes de cuerdas y los sonidos que éstas producen, con lo cual logró crear una escala
musical además de unir la belleza de la música con la de los números.
Balibrea (2003) aborda el trabajo realizado por Pitágoras, considera que otra relación
se encuentra en que al igual que la matemática, la música tuvo que llegar a un lenguaje formal
mediante la elaboración de reglas que lo fundamentaran, lo cual le da una validez universal
y lo deja al alcance de cualquier persona. Finalmente, piensa que las matemáticas en la
actualidad, se están retroalimentando de música, debido a los orígenes que tiene la música,
principalmente con el número. Sin embargo, hace notar que a pesar de estar relacionadas, las
matemáticas no han intervenido en los compositores (o por lo menos en la mayoría de los
casos), ya que éstos han seguido su inspiración y no patrones matemáticos.
Tiburcio (2001) agrega que los griegos elaboraron una división del currículum, donde
la música era considerada como una disciplina matemática la cual manejaba relaciones de
números, razones y proporciones, dicha relación la llamaron quadrivium y estaba
conformada por aritmética, música, geometría y astronomía. Además, dicha división
permaneció durante la Edad Media, debido a que la música era vista como un subconjunto
de las matemáticas, por lo que era necesario estudiar ambas disciplinas. Tanto el quadrivium
como el trívium (gramática, retórica, dialéctica) se convirtieron en las siete artes liberales
durante la Edad Media. Otro aspecto importante se encuentra en las transformaciones
musicales, las cuales están muy relacionadas con las transformaciones geométricas básicas.
“Una transformación geométrica recoloca una figura geométrica rígida en el plano,
preservando su forma y tamaño. La forma original no se distorsiona con la manipulación”
(Tiburcio, 2001: 24). Mientras que la transformación musical consiste en la repetición de
forma más aguda o grave de una frase musical.
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Walker y Don (2013) señalan que la matemática se encuentra relacionada con la
música mediante las escalas musicales, debido a que cumplen cierto patrón con base en el
número de semitonos que se encuentren. Este patrón dice que en una escala mayor, la
distancia que hay entre la primera y segunda nota es de dos semitonos, misma distancia que
hay de ésta nota a la siguiente, sin embargo, la siguiente distancia será de un semitono,
mientras que las siguientes tres distancias volverán a ser de dos semitonos, para finalizar con
una última distancia de un semitono, es decir, el patrón de semitonos es: 2 2 1 2 2 2 1.
Stevens y Warshofsky (1978) sostienen que el oído puede ser el sentido más valioso
de los 5, puesto que une al hombre con su entorno, cada sonido que éste percibe provoca una
acción en él, como lo podemos ver en las bocinas de los coches, silbatos, gritos, entre otros.
Sostienen además que “El sonido se produce cuando un cuerpo se mueve de un lado a otro
con suficiente rapidez para enviar una onda a través del medio en que está vibrando; sin
embargo, el sonido, como sensación debe ser recibido por el oído y transmitido al cerebro, el
cual lo registrará como un fenómeno o hecho que ocurre en el mundo que rodea al oyente”
(Ibidem 9). Así mismo el sonido necesitará siempre un medio, por ejemplo mencionan que
“Las moléculas que componen el aire transmiten las vibraciones, las cuales son recibidas,
clasificadas y analizadas por el oído y el cerebro” (Ibidem, 10). Se tiene que la unidad
científica de medición del sonido es el decibel, propuesto por Alexander Graham Bell, el cual
establece una relación aproximada entre la intensidad del sonido y la sonoridad subjetiva con
que se percibe.
El trabajo realizado por MATMUSIC (2012) se enfoca a la frecuencia del sonido. En
el trabajo se menciona que “Leibniz describe a la Música como ‘un ejercicio inconsciente en
la Aritmética’. Esta afirmación quizás se podría justificar sobre la base de que el músico
intérprete cuenta los tiempos del compás cuando comienza a estudiar una obra pero después
de un tiempo de tocarla, ya no está contando conscientemente sino que deja fluir la magia de
la Música” (Ibidem, 4).
Pastor (2008) menciona que cada uno de los signos escritos en el pentagrama tienen
dos variables, una indicando la duración (si es blanca, negra, redonda, etc.) y la otra el sonido
(cualquiera de las siete notas: do, re, mi, fa, sol, la, si). De esta manera se pueden expresar en
ejes cartesianos donde el tiempo (segundos) corresponden al eje “x” y el sonido al eje “y”.
Hace mención también del canon escrito por J.S. Bach denominado “el canon del cangrejo”,
el cual consiste en una partitura a dos voces tales que el acompañamiento repite a la primera
voz con la misma exactitud pero con sentido contrario, así mientras una voz interpreta el
primer compás, la segunda voz interpreta el último compás.
Efron (1971) menciona que al sonido se le dan diversos significados, uno desde el
punto de vista mental o psicológico y el otro desde el punto de vista objetivo o físico, por lo
que se puede decir que el sonido es una sensación auditiva que termina una vez que el oído
deja de percibir esa sensación, es decir, cuando se aleja del lugar o cuando termina la
producción del sonido. Por otro lado, desde el punto de vista físico se tiene que el sonido es
una energía la cual se propaga y llega al oído, continúa propagándose aunque el oído no esté
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presente para percibirla. Estando el oído presente o no, no puede detectar el sonido, es decir,
no es tangible.
Como se puede apreciar en los párrafos anteriores las relaciones entre matemáticas y
música han sido identificadas a lo largo de la historia: sonido y su expresión en un gráfico
(pentagrama), longitudes y sonidos, números y sonidos, patrones numéricos y frases
musicales, patrones geométricos y frases musicales, álgebra y armaduras, notación musical,
etc. Todas estas relaciones son fuente, desde mi punto de vista, de posibles actividades para
el aprendizaje de las matemáticas.
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CAPITULO III. MARCO TEÓRICO
Desde la música
Resulta complicado definir a la música ya que consta de sonidos (melodías), silencios
y ritmos que juntos forman un ambiente único y armónico, además de que tiene el poder de
hacer reír, cantar y bailar al ser humano. Cualquier instrumento puede generar notas
musicales partiendo de algoritmos básicos ya que las bases matemáticas siguen siendo las
mismas y solamente varían los sonidos generados por cada instrumento a aspectos físicos
tales como timbre, intensidad y altura de las notas (MATMUSIC, 2012).
La altura caracteriza a un sonido como grave o agudo según su frecuencia, a mayor
frecuencia; tonos más altos y viceversa. Cada una de las notas tiene una frecuencia que la
identifica, por ejemplo, do=261.63 Hz, do#=277.18 Hz, re=293.66 Hz, re#=311.12 Hz,
mi=329.63 Hz, fa=349.23 Hz, fa#=369.99 Hz, sol=391.99 Hz, sol#=315.30 Hz, la=440 Hz,
la#=466.16 Hz, si=493.88 Hz y, finalmente, el siguiente do, una octava más alta tiene una
frecuencia de 523.26 Hz, siendo este valor el doble del do anterior. De esta manera se tiene
que la frecuencia de cada nota aumentará el doble o disminuirá a la mitad según la octava en
que se encuentre (Idem). Cada octava se divide en 12 sub intervalos, llamados semitonos, sin
embargo, la diferencia en frecuencia de cada uno de los semitonos no es constante.
“Si escuchamos simultáneamente dos notas musicales, el resultado será un sonido
más o menos agradable. Los sonidos que se consideran más “agradables” de oír
conjuntamente son los que están a una distancia de 8ª, 5ª justa y 4ª justa, las frecuencias
relativas de dos notas a estas distancias son aproximadamente 2/1, 3/2 y 4/3 respectivamente
y las frecuencias absolutas de estos sonidos tienen muchos de sus divisores comunes (todos
en el caso de la 8ª y dos terceras partes de ellos en el caso de 4as y 5as). Los intervalos de 3a
y 6ª, tanto mayor como menor, todavía se consideran “agradables”; la frecuencia relativa de
sus notas está aproximadamente en razón 5/4 y 6/5 respectivamente para las 3as y en razón
de 5/3 y 8/5 respectivamente para las 6as, y sus frecuencias absolutas tienen como divisores
comunes en torno a la mitad de sus divisores” (Pastor, 2008: 19). El resto de los intervalos
son considerados como disonantes y pueden resultar extraños al escuchar para quien no esté
acostumbrado.
El lenguaje musical se encuentra determinado por ciertos sistemas estructurales
utilizados por los músicos que son: melodía, armonía y ritmo los cuales se describen a
continuación (MATMUSIC, 2012: 5).
La melodía se desenvuelve durante el tiempo que transcurre, es una sucesión de
sonidos, cada uno con diferente altura. Como hemos visto, se utiliza un sistema que consta
de 7 sonidos naturales (sin alteraciones [una alteración o accidente aumenta o baja medio
tono la nota original] como sostenidos [aumenta medio tono] o bemoles [baja medio tono])
que van en orden ascendente según su altura, estos sonidos son: do, re, mi, fa, sol, la, si. Hay
una distancia de un tono de do a re, re a mi, fa a sol, sol a la, la a si, y un semitono de distancia
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de mi a fa y de si a do. La clave o llave, define la ubicación de la nota en el pentagrama
(Ibidem, 6).
La armonía estudia la forma en que se combinan 2 o más notas tocadas
simultáneamente, describiendo cuando hay equilibrio y proporción en un tema musical que
está organizado en varias voces o líneas melódicas (Ibidem, 7). Visto de otra forma, son
aquellas reglas y normas que se deben respetar para conseguir un sonido coherente (Pastor,
2008).
El ritmo puede describirse como la duración de las notas y silencios de una pieza
musical, la cual es representada en el pentagrama mediante distintas figuras pictóricas en las
que la unidad de tiempo se divide en potencias negativas de 2 como se muestra en la siguiente
tabla:
Toda composición musical se encuentra dividida en compases, cada uno con la misma
duración, cada frase musical tiene un determinado número de compases. Al inicio de una
pieza musical aparece una fracción p/q que indica el ritmo que se seguirá en la pieza, en dicha
fracción, el denominador indica la subunidad de tiempo 1/q en que se divide cada compás,
mientras que el numerador indica el número p de subunidades que constituyen un compás,
por ejemplo, el tiempo de Waltz es 3/4 (Pastor, 2008).
El trabajo de Liern (2009) se centra en mostrar las matemáticas que utilizan los
músicos y afirma que “los músicos manejan procesos matemáticos más complejos que los
que normalmente se presentan en los trabajos de MÚSICA Y MATEMÁTICAS” (Liern,
2009: 123). Por ello se encuentra a la matemática presente para los músicos en los siguientes
casos:
Altura de las notas: mayor frecuencia; tonos más altos. Cada familia de instrumentos
afina en sistemas de afinación distintos, es diferente la nota con la que afina un instrumento
de cuerda que un instrumento de aliento.
Tiempo: número de notas de cierta duración en un minuto.
Matices: indican la intensidad del sonido (pianissimo, piano, mezzopiano, mezzoforte,
forte, fortissimo).
Grafía del pentagrama: son los efectos como cambios de tiempo o matices
(accelerando, ritardando, etc. para el tiempo y crescendo, decrescendo, diminuendo; para
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los matices) que dependen del compositor o interprete ya que intervienen los criterios
personales o estado de ánimo (Liern, 2009).
Figura 1 Pentagrama musical
Partitura de Orquesta de Huapango de José Pablo Moncayo. Ediciones Mexicanas de Música, A.C.,
México, D.F.
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Figura 2 Pentagrama musical
Partitura de Orquesta de Huapango de José Pablo Moncayo. Ediciones Mexicanas de Música, A.C.,
México, D.F.
En las figuras 1 y 2 se pueden observar los elementos: tiempo, ritmo, nota, grafía y
matices, dentro de un pentagrama musical, dichos elementos han sido explicados en los
párrafos anteriores.
El vibrato es un recurso que enriquece la música haciendo que una nota no suene
lineal sino que su sonido oscila levemente en torno a la altura exacta de la nota. La nota LA
(con una frecuencia de 440 Hz) ante un vibrato, sonaría regularmente más o menos entre 435
y 445 Hz (Pastor, 2008: 20).
Además un glissando en los instrumentos de cuerda es cuando se desliza el dedo sobre
una cuerda desde una nota inicial hasta otra (Ibidem, 21).
Desde la Matemática Educativa
Este marco se ha desarrollado de acuerdo con los tres niveles de complejidad teórica
(Teorías generales, Teorías sustantivas y Principios Teóricos) manejados por Sauto, Boniolo,
Dalle y Elbert (2005: 27-48). Se trabaja solamente con el segundo nivel –o teoría sustantiva-
se retoma la Teoría de representaciones semióticas de Raymond Duval (2006) y algunos
elementos de la teoría Ontosemiótica (Pino-Fan, Castro y Godino, 2013). A partir de este
grupo de teorías y con la relación entre música y matemáticas se rescatan los principios
teóricos derivados para esta investigación: conversión, tratamiento, contexto de
representación y transformación.
Duval (2006) plantea en su teoría en torno a la idea de que los objetos matemáticos
se pueden representar a través de diversos registros: numéricos, orales o discursivos,
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simbólicos, gráficos e icónicos. Los registros son un conjunto de representaciones de un
mismo objeto matemático. Agrega que puede darse la combinación de varios, a los que llama
transicionales.
Un objeto matemático es diferente a su representación, son descubiertos a través de
prácticas, son considerados como algo abstracto y ya establecido, además de que son vistos
como algo no físico, no mental, no espacial, no temporal y no causal, son indispensables para
la justificación de objetos de otras áreas (Font et al, 2012). Duval (2006) añade que los
objetos matemáticos no pueden ser percibidos ni observados con ningún instrumento y la
única forma para acceder y trabajar con ellos es mediante signos y representaciones.
Según Duval (2006) la actividad matemática utiliza un “contexto de representación”
ya que es el único medio en el que los alumnos pueden estar en contacto con los objetos
matemáticos, para ello se deben tomar en cuenta las formas y requisitos cognitivos que
involucra cada registro. De igual manera los alumnos deben ser capaces de reconocer un
mismo objeto matemático en diferentes contextos de representación. Es por esto que lo
importante es la propiedad de transformación ya que el procesamiento matemático implica
alguna transformación de representaciones semióticas. Así los signos no son necesarios para
presentar objetos matemáticos sino para sustituirlos y así trabajar con ellos.
“… la actividad matemática requiere una coordinación interna, que ha de ser
construida, entre los diversos sistemas de representación que pueden ser elegidos y usados;
sin esta coordinación dos representaciones diferentes significarán dos objetos diferentes, sin
ninguna relación entre ambos, incluso si son dos “contextos de representación” diferentes del
mismo objeto” (Duval, 2006: 145).
Una transformación es el cambio de una representación semiótica en otra. Existen dos
clases de transformaciones de representaciones semióticas: la conversión y el tratamiento. La
conversión consiste en pasar de un enunciado o situación a una expresión matemática
asociando un significado a cada parte de la expresión, mientras que el tratamiento consiste
en un proceso matemático que busca resolver la situación o problema abandonando el
significado que se le dio durante la conversión.
El tratamiento puede ser controlado por lo que se pregunte en cada registro. Sin
embargo tanto la conversión como el tratamiento están entrelazados dentro del mismo
proceso matemático de resolución. No obstante, se debe hacer énfasis en diferenciar éstos
dos tipos de transformación con el fin de ayudar a la comprensión matemática.
Transformar una expresión lingüística en una ecuación tiene dos requisitos: a) usar
menos símbolos para referirse a los objetos, es decir, escribir una nueva expresión utilizando
operaciones aritméticas y, b) relacionar el significado de la frase con la ecuación, y abandonar
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el primer significado para dar pie al tratamiento, ya que los símbolos utilizados representan
números, no objetos.
Tanto la conversión como el tratamiento se complementan para la resolución de los
problemas aunque se le dé mayor importancia al tratamiento debido a que se trata de la
elección del cambio de registro que sea más conveniente. Ambas son independientes de
problemas en el aprendizaje de las matemáticas pero la conversión es un proceso cognitivo
más complejo que el tratamiento por ello muchos estudiantes encuentra un problema en la
conversión con lo cual puede ser considerada como el umbral de la comprensión.
El cambio de representaciones de objetos y relaciones matemáticas de un sistema
semiótico a otro representa un salto cognitivo ya que no presenta reglas ni asociaciones
básicas como en el caso del tratamiento. Hay que dejar en claro que la conversión no es una
codificación.
“El contenido de cada representación semiótica no depende sólo de los conceptos o
de los objetos representados, sino también de los sistemas semióticos de representación
empleados. Por ello cambiar de un sistema a otro significa cambiar el contenido de
representación sin cambiar las propiedades matemáticas representadas” (Duval, 2006: 158).
Uno de los principales problemas en la comprensión de las matemáticas se encuentra
en la transferencia de lo aprendido a otros contextos diferentes dentro y fuera de las
matemáticas lo cual implica la conversión de la representación. Comprender significa
relacionar varios contenidos de representación de un mismo objeto matemático y a su vez
cada contenido de representación depende de los sistemas de representación utilizados. Es
por esto que lo importante en el aprendizaje de las matemáticas es relacionar las diferentes
maneras de representar los contenidos matemáticos y no la elección del “mejor” sistema de
representación.
Es por ello que se propone presentar diferentes representaciones al mismo tiempo de
tal manera que el alumno pueda darse cuenta que está trabajando con el mismo objeto
matemático pero representando de varias formas. Para ello se deben tomar en cuenta dos
cosas: que el alumno reconozca un mismo objeto en dos registros distintos y que distinga dos
objetos matemáticos distintos que se parecen debido a que se presentan dentro de un mismo
registro. Es en estos casos cuando se debe hacer una doble discriminación, por un lado
encontrar diferencias en dos representaciones que parezcan similares y por otro lado
identificar los aspectos matemáticos importantes que puedan relacionarse con otro registro.
Algunas de las dificultades que encuentran los estudiantes en las matemáticas son
distintas a las que encuentran en otras áreas, dichas dificultades pueden ser explicadas
mediante una visión epistemológica puesto que la diferencia entre las dificultades en las
matemáticas y en otras áreas se encuentra en los conceptos matemáticos. Además, otro de
17
los conflictos que presentan los estudiantes es que no perciben los conceptos matemáticos,
muy diferente en otros casos que se tienen instrumentos para percibirlos, en cambio, en
matemáticas los instrumentos para percibirlos son las distintas representaciones que se tienen
del objeto. Así, supongo que el relacionar las matemáticas con la música puede ayudar a los
alumnos en dicha dificultad, ya que la música es algo con lo que se tiene contacto todos los
días, además de que es de interés para los alumnos, con o sin conocimiento musical.
Sin embargo trabajar con problemas relacionados con la vida cotidiana de los alumnos
(en este caso la música) implica utilizar sus experiencias, además de que la conversión es
necesaria y está conectada con la discriminación de la información que sea pertinente para el
tratamiento o para realizar algún cambio de registro. Una de las ventajas que se tiene al
utilizar problemas de la vida real es que los alumnos pueden utilizar otro tipo de
representaciones más accesibles para ellos que les pueden ayudar en la comprensión, dichas
representaciones son llamadas representaciones auxiliares o transicionales.
Las transformaciones de las representaciones de los objetos matemáticos son otro
punto que aborda Duval, ya que las matemáticas tienen una amplia cantidad de sistemas de
representaciones tales como lenguaje natural, notaciones algebraicas y notaciones formales,
sin embargo, hay algunos casos en los que se utilizan dos sistemas de representación, como
en el caso de la geometría que hace uso de la representación discursiva y la icónica, donde la
discursiva aborda las propiedades del objeto y en la visual se muestra la “figura geométrica”.
En la música se necesitarán varios sistemas de representación puesto que se partirá de
la percepción del objeto para posteriormente analizarlo mediante alguna representación, por
ejemplo la visual, y de ahí realizar las transformaciones necesarias para observar sus
propiedades, llegando así a la representación discursiva. Los sistemas de representación que
se utilizarían son el gráfico, algebraico y tal vez el del lenguaje natural; esto si tomamos como
registro transicional el lenguaje musical, por lo tanto serían 3 sistemas de representación:
lenguaje natural, lenguaje musical y lenguaje matemático. Dentro de todas las
transformaciones que se realicen habrá procesos que sean más fáciles que otros.
Según este marco teórico la formación es una marca o conjunto de marcas
perceptibles e identificables como una representación de algunas cosas en un sistema
determinado, permite expresar una representación mental o evocar un objeto. Aplicado a mi
tema de tesis la formación se entenderá como aquellas formas en las que se puede relacionar
la música con las matemáticas, por ejemplo puede ser de forma matemática con una gráfica,
mediante la representación algebraica de dicha gráfica, o tal vez las mismas notaciones que
se hacen en la música, es decir, con pentagrama, notas y claves, porque tal vez sin tener
formación musical lo primero que nos viene a la mente al escuchar la palabra música o sonido
son las notas.
18
La transformabilidad mantiene todo el contenido de la representación inicial aun
después de cambiarla, de tal manera que, abarque tanto el tratamiento como la conversión,
procesos propuestos por Duval (2006) como necesarios para la comprensión de los objetos
matemáticos.
Las reglas de expansión son aquellas que dependen del sistema en el que se esté, por
ejemplo si se tiene la gráfica que modele un sonido se debe manipular dicha gráfica utilizando
las coordenadas necesarias, o si se tiene una partitura en clave de sol, no podemos leerla
como si estuviera en otra clave, aunque tal vez se produzca un sonido similar, no es lo que
dice.
Las reglas de conformidad definen un sistema de representación y sus unidades
(símbolo, vocabulario, etc.) constitutivas. Utiliza las unidades para posteriormente
combinarlas y crear unidades de nivel superior (reglas de formación de un sistema), tomando
en cuenta las condiciones (reglas) para que una representación sea una producción pertinente
y completa. Son aquellas condiciones que se deben tomar en cuenta al momento de realizar
una representación o al pasar de un registro a otro, las unidades que menciona son como los
conceptos básicos. Pensándolo en el sistema de representación musical, sus unidades serían
las notas, sus tiempos, su vocabulario (pentagrama). La combinación de estas unidades
permitirá crear melodía, armonía, ritmo, etcétera, tomando en cuenta las reglas que lo
permitan, por ejemplo la tonalidad en la que se encuentren y permitan un sonido armonioso.
Por otro lado, la correspondencia semántica se entiende como las unidades (símbolos,
palabras) que se utilizan para representar un objeto y que tenga un sentido, es decir, que no
solamente haya un cambio de sistemas de representación sino que se dé un por qué de ello.
En el tema de tesis las unidades que serían las notas, claves, etc., tengan un sentido al realizar
una conversión, es decir, si tenemos una pieza musical y posteriormente realizamos una
representación gráfica de ella, ese cambio de representación tendrá una correspondencia
semántica si se da un significado al paso que se dio de notas, claves y otras, a amplitud,
frecuencia, etc.
Desde el enfoque Onto-Semiótico (EOS) propuesto por Godino (2014) se emplean
diversas nociones para comprender, interpretar y manejar las matemáticas en la enseñanza
como idoneidad didáctica que se entiende como la articulación de condiciones escolares
psicológicas (de alumno y profesor), epistémicas (del conocimiento), metodológicas (de la
mediación del profesor entre conocimiento y aprendizaje) e institucionales (de las finalidades
de la escuela) (Pino, Fan, Castro y Godino, 2013). La idoneidad didáctica se apoya en el
concepto central de configuración epistémica. Esta noción alude a la disposición y
organización de objetos matemáticos primarios: que son: problemas, conceptos,
procedimientos, lenguajes, argumentos y propiedades (Ibidem, 132).
Los problemas o situaciones son aquellas aplicaciones extramatemáticas o
intramatemáticas, ejercicios, actividades, que promueven a la actividad matemática.
19
Los procedimientos son acciones realizadas por el sujeto al presentársele diversas
actividades o tareas matemáticas.
Los lenguajes son términos, expresiones, notaciones, gráficos dados en un texto de
forma escrita o gráfica, en el trabajo matemático son utilizados otros registros como el oral
o gestual.
Los argumentos validan y explican las proposiciones deductivas o de otro tipo.
Las propiedades, también llamadas atributos, son dadas como enunciados o
proposiciones (Godino, 2002).
Con respecto a lo manejado por Pino-Fan, Castro y Godino (2013) una aplicación
extramatemática es la música. De igual manera los procedimientos son las acciones que
realizarán los sujetos que participarán en la recolección de datos, ya que mediante ciertas
actividades observarán algunas de las relaciones presentes en la matemática y la música.
Por otro lado la música, al igual que las matemáticas, maneja lenguajes, expresiones
y notaciones e incluso encontramos registros oral o gestual, ya que algunas veces al
interpretar una melodía quizá de forma inconsciente se presentan estos lenguajes. De igual
manera podemos encontrar los lenguajes en las partituras utilizadas para leer, dichas
partituras contienen reglas que rigen el lenguaje musical.
Desde el análisis del discurso
El discurso se entiende como una representación social ya que es un proceso de
producción de significados entendidos y asumidos como propios de un grupo, encuentra
alguna de sus expresiones en el lenguaje y conlleva una línea o tendencia de pensamiento de
dicho grupo. Se conforma de códigos comunicativos (Angulo, 2007).
En el lenguaje, la expresión del discurso es un nivel oculto de significados no
perceptibles en su expresión literal, su presencia se aprecia al relacionar los significados que
comparten algunos de los individuos dentro del mismo contexto. La interpretación del
discurso se da mediante la separación de las expresiones textuales o literales y sus
significados, en especial aquellos significados presentes en la mayor parte del discurso.
El discurso, visto “como línea o tendencia de pensamiento de un grupo… es la
expresión más acabada del poder y la capacidad de las fuerzas sociales para generarlo,
imponerlo, transmitirlo y reconocerlo” (Angulo, 2007: 48). Además, el discurso es
privilegiante y privilegiado como conjunto de códigos comunicativos. Por otro lado se asume
“…como una construcción de significados subyacentes de las expresiones literales” (Ibidem,
48).
Se transmite mediante el lenguaje, que puede ser no solamente oral o escrito sino
también gestual, plástico, entre otros, como el musical. Además implica una relación entre
varios textos.
“El discurso según Buenfil (1993) es diferencial, inestable y abierto” (Angulo, 2007:
49). Se dice que es diferencial puesto que no existe sólo uno, varía y toma sentido
dependiendo del contexto en el que se maneje. Es inestable dado que su significado se
modificará con base en las condiciones de producción siempre y cuando éstas cambien.
20
El análisis del discurso es, también, una metodología de investigación de carácter
cualitativo la cual reconfigura los principios teóricos dependiendo del comportamiento del
objeto de estudio. “El análisis del discurso es una forma de trabajo para identificar y
comprender la carga significativa de un conjunto de expresiones textuales” (Angulo, 2007:
196).
Esta metodología busca interrogar al objeto para comprenderlo y con base en la
información obtenida buscará reconstruir teóricamente el objeto. Es un acercamiento al
objeto de estudio en busca de comprenderlo, mas no explicarlo. Tiene un carácter totalizador
que da cuenta de una aproximación abierta hacia diferentes planteamientos teóricos elegidos
según permitan explicar el objeto de estudio.
La interacción entre objeto e investigador proporciona información que ayudará al
investigador a modificar y adaptar su metodología continuamente.
El análisis del discurso “…pasa por la construcción del objeto, el planteamiento de
supuesto de trabajo, el diseño de categorías de análisis, la recolección de expresiones
textuales, la primera lectura para identificación de fragmentos discursivos en expresiones
textuales (1° nivel del discurso); la integración de fragmentos discursivos por categoría (2°
nivel del discurso); la identificación de palabras clave (3° nivel del discurso)…” (Angulo,
2007: 198).
El objeto de estudio en esta metodología es una parte de la realidad que se analiza,
dicha parte es elegida mediante una visión científica buscando que cumpla con las
condiciones necesarias de sistematicidad y validación mediante la comprensión por
cristalización (Moral, 2006), es decir, comprender el objeto con base en la descripción o
explicación de varias de sus dimensiones. Por su parte, el supuesto cuestiona al objeto y
permite visualizar sus componentes y dimensiones a través de construcción y
aproximaciones.
Las categorías de análisis sobre el objeto de estudio surgen de cuerpos o tradiciones
teóricas consolidados que dan información sobre el objeto de estudio. Son líneas de
observación mediante las cuales se puede acercar al objeto de estudio. Además son elementos
o características del objeto. Tienen dos momentos en la investigación: primero al plantearse
como caracterizaciones de lo que se espera encontrar, segundo como conceptuaciones
surgidas de la interpretación de los datos proporcionados por el objeto. Para la construcción
de las categorías de análisis se necesita conocer el objeto.
La entrevista a profundidad es una técnica dentro de la investigación cualitativa, es
estructurada a partir de ciertos objetivos. Se inicia por medio de preguntas generales
buscando abrir el diálogo sobre la vida cotidiana o temas sencillos, dándole confianza al
entrevistado. Es recomendable utilizar preguntas abiertas evitando una respuesta con
afirmaciones o negaciones simples (Robles, 2011).
Para el análisis de la entrevista se trabajan tres niveles: descubrimiento, codificación
y relativización. En el descubrimiento se examinan y ordenan los datos obtenidos, se revisan
las notas, comentarios o anécdotas obtenidas. La codificación centra los datos referentes a
temas o ideas similares. La codificación tiene dos fases, en la primera se recopilan por
21
categorías y en la segunda se agrupan vinculándose por temas. Finalmente en la relativización
se interpreta la información en el contexto en que fueron obtenidos, descubriendo así
situaciones trascendentes y significativas (Idem).
22
CAPÍTULO IV. METODOLOGÍA
Esta investigación se ha realizado con una metodología cualitativa (Sautu et al, 2005),
esto es, la realidad es subjetiva y múltiple, el investigador se encuentra dentro del contexto
que desea investigar ya que la interacción entre ambas es parte de la investigación, tiene
énfasis en aspectos epistemológicos que guían el diseño de la investigación y en las prácticas
sociales cotidianas.
Siendo una investigación cualitativa se utiliza el método de estudio de casos que tiene
entre las técnicas de producción de datos entrevistas interpretativas, observación, análisis de
documentos y material visual y/o auditivo.
Finalmente la investigación se desarrolla con un enfoque microsocial (Idem) puesto
que toma en cuenta la experiencia individual así como su interacción social. Este trabajo se
centra en dos poblaciones (musical y académica), una de ellas con dos subpoblaciones (en el
caso de los alumnos de tercero de secundaria y primero de preparatoria).
Se emplearán un cuestionario estructurado, una entrevista a profundidad, una
entrevista sobre la percepción de los sujetos acerca de los géneros musicales, un cuestionario
de preferencias musicales y el análisis de las calificaciones en matemáticas. Serán aplicados
a tres grupos de sujetos: alumnos de secundaria, preparatoria y músicos.
Diseño de la investigación.
El diseño de la investigación contempló cuatro fases. La primera fase se destinó a la
construcción, pilotaje, aplicación y levantamiento de un cuestionario estructurado, la segunda
fase a la aplicación, levantamiento y procesamiento de una entrevista, la tercera fase al
análisis de los Planes de Estudio de secundaria y algunas preparatorias, la cuarta fase
mediante una encuesta referente a la música.
Cuestionario
El cuestionario fue estructurado con la combinación de preguntas discursivas,
audición de registro musical, tabulaciones y ubicación en plano cartesiano. Su utilización se
realizó en tres etapas. En la etapa número 1 se elaboró un instrumento que muestra algunas
de las relaciones que existen entre música y matemáticas. El instrumento (Anexo 1) está
diseñado para registrar las actividades y respuestas de personas al escuchar un conjunto de
sonidos emitidos por un instrumento musical (Xilófono) y pedírsele que lo represente en
coordenadas cartesianas, posteriormente a una gráfica y viceversa; se utilizaron melodías
conocidas (“Ah Vous Dirai-Je maman” Mozart, Variaciones Piano y “Las Mañanitas”) las
cuales fueron modificadas de tal manera que la duración de cada nota fuera de un tiempo y,
en caso de que la melodía original marcara que la nota deba durar más, se le agregó un
silencio de tal forma que permitiera escuchar el sonido de las melodías. Además se plantearon
situaciones en que las personas involucradas pudieran observar, mediante operaciones
23
básicas, reglas y aspectos presentes en la música. Esta etapa también consideró la elaboración
de cuadros de vaciado de datos.
Ilustración 1 Transición de los registros musical, numérico y gráfico (Diseño propio)
La ilustración 1 ejemplifica el procedimiento realizado por los sujetos de estudio, en
un principio identificaban la melodía con ayuda del Xilófono y los números presentados,
posteriormente los tabulaban para finalmente colocarlos en un plano cartesiano donde el eje
“x” corresponde al tiempo; y el eje “y” a la nota.
Ilustración 2 Transición de los registros gráfico, numérico y musical (Diseño propio)
La ilustración 2 muestra los pasos seguidos por los sujetos de estudios, primero
identificaban las coordenadas de los puntos presentados, las tabulaban y finalmente las
reproducían en el Xilófono para identificar la melodía.
24
El pilotaje (etapa 2) se realizó con cuatro personas (dos con conocimientos musicales
y dos sin ellos) con la finalidad de encontrar posibles fallas en el instrumento para corregirlos
y observar aspectos que en un principio no se habían tomado en cuenta.
En un inicio se aplicó la primera versión del instrumento a dos personas, una con
conocimiento musical y una sin él, en estos casos los sujetos eran de 27 años (para el caso
del músico) y 22 años (para el sujeto sin conocimiento musical). A ambos se les aplicó el
mismo instrumento y con base en sus observaciones se modificó el instrumento y se volvió
a aplicar a un sujeto con conocimientos musicales de 14 años. De igual manera se modificó
y aplicó a otro sujeto de 21 años pero sin conocimiento musical obteniendo más
observaciones.
Tabla 1 Ajustes al instrumento
Sujeto Características Cambios en el instrumento
1 Estudiante de
Licenciatura en
Matemática Educativa
22 años
Instrucciones más claras
Cambio de representación en el silencio
2 Músico profesional
27 años Instrucciones más claras
Cambio de representación del silencio
Reorganización de las notas musicales
Utilización de escala cromática
Datos personales
3 Estudiante de
secundaria
14 años
Cambio de melodía
Reorganización de tablas
Instrucciones más claras
4 Estudiante de
Licenciatura en
Matemática Aplicada
21 años
Se agregarán preguntas sobre cómo
sienten el ejercicio y lo que aprendieron
Se vio la necesidad de que los encuestados
se graben y escuchen los sonido que
interpreten
Finalmente, el levantamiento de datos (etapa 3) se realizó con tres grupos de cinco
personas, donde el primer grupo constó de personas con conocimiento musical ya sea
institucionalizado o no, los cuales se encuentran entre los 14 y 16 años de edad. El segundo
grupo fue de alumnos de primer semestre de preparatoria, los cuales se desconoce si tienen
o no conocimiento musical, sus edades se encuentran entre 15 y 16 años. El tercer grupo fue
con alumnos de tercero de secundaria quienes se encuentran entre los 14 y 15 años de edad
25
y de quienes también se desconoce si cuentan o no con conocimiento musical. El
levantamiento de datos se realizó durante un periodo de 3 semanas.
Tabla 2 Calendario de levantamiento de datos con cuestionario (2014)
Mes Semana Planeación
Octubre 3 Corrección de instrumento
Octubre 4 Levantamiento de datos. Pilotaje
Octubre 5 Levantamiento de datos. Pilotaje
Noviembre 1 Levantamiento de datos
Noviembre 2 Análisis de resultados
Noviembre 3 Análisis de resultados
Noviembre 4 Conclusiones
La entrevista
La entrevista a profundidad consiste en “…adentrase en la vida del otro, penetrar y
detallar en lo trascendente, descifrar y comprender los gustos, los miedos, las satisfacciones,
las angustias, zozobras y alegrías, significativas y relevantes del entrevistado; consiste en
construir paso a paso y minuciosamente la experiencia del otro” (Robles, 2011: 3).
Es un instrumento que contuvo una sola pregunta general: ¿Qué te dejaron estas
actividades?, a partir de la que se derivaron preguntas de segundo y tercer orden (Anexo 2),
mismas que fueron utilizadas, o no, en función de la respuesta de los informantes. Las
preguntas se diseñaron con la intención de profundizar el material obtenido en el cuestionario
y, por supuesto, cristalizar los resultados. La cristalización se entiende como un proceso de
validez de la investigación cualitativa que consiste en analizar un hecho a través de distintos
puntos de vista (Moral, 2006). Además “…permite ver y conocer la perspectiva que toma el
investigador y cada uno de los participantes, sin promover la evocación o la interpretación
sesgada, sino entrando en la realidad de cada significado. No es que se abra la puerta a la
ambigüedad y a las múltiples interpretaciones, sino que no se pretende concluir los trabajos
cualitativos desde una sola perspectiva, posición o autoridad” (Moral, 2006: 159).
El procedimiento para el análisis del discurso consiste en: recopilación, vaciado y
análisis de la información. La recopilación se realiza por medio de una entrevista a
profundidad, la cual es una entrevista abierta que busca profundizar en las respuestas de los
sujetos. La entrevista se graba además de hacer comentarios escritos por parte del
entrevistador.
El vaciado y tratamiento consisten en la transcripción literal de las entrevistas en
archivos separados para analizar cada una detalladamente y en su propio texto. Se subrayan
las expresiones textuales, dichas expresiones son fragmentos discursivos (frases u oraciones)
relevantes en cada entrevista.
26
En los fragmentos discursivos se identifican palabras clave que tengan el significado
del fragmento, el objeto y lo que se dice de él. Si no hubo una palabra del propio texto que
expresara el significado, se formula una palabra adecuada. Esta identificación y/o
formulación de palabras clave implica interpretar y comprender el significado del discurso.
Posteriormente se clasifican en alguna categoría de análisis que el investigador nombra.
Algunos fragmentos y palabras pueden estar presentes en varias categorías pero ser
interpretados de diferente forma dependiendo de la categoría. Los fragmentos discursivos son
agrupados por tópicos, asignándoles un nombre. Un tópico es un tema que tienen en común
las palabras clave y los fragmentos discursivos. La categoría es el nivel más comprensivo de
organización del discurso.
Planes de Estudio
Para el análisis de planes de estudio de secundaria se eligió solamente el
correspondiente a la Escuela Secundaria General, mientras que para preparatoria se
analizaron tres: Colegio de Bachilleres, Bachillerato General y Centro de Bachillerato
Tecnológico, Industrial y de Servicios. En ambos casos (secundaria y preparatoria) se enfocó
únicamente hacia el análisis de los contenidos referentes a la música, buscando observar la
repercusión de ésta, así como el tiempo invertido.
En el caso de secundaria se utilizó el Programa de Estudios 2011 Guía Para el Maestro
de Educación Básica sobre Artes, sin embargo, sólo se analizó lo concerniente a la música,
dejando de lado las artes visuales, danza y teatro. Se examinaron los contenidos de los cinco
bloques de los tres grados de secundaria, haciendo énfasis en los temas y actividades que se
presentan.
Con respecto al Colegio de Bachilleres se observaron los planes de las materias de
Apreciación Artística I y II, que se llevan en los primeros dos semestres según lo marca el
Programa de Estudio de la Reforma Integral de la Educación Media Superior (RIEMS)
(2009). Se enfocó principalmente a las horas y temas que se abordan.
Para el Bachillerato General se utilizó el Documento Base del Bachillerato General
2011 de la Secretaría de Educación Pública (SEP, 2011). En este caso la relevancia que se le
da a la música dependerá del carácter (propedéutico o bivalente) de la institución así como
de los objetivos que ésta persiga.
Finalmente, para el Centro de Bachillerato Tecnológico, Industrial y de Servicios no
se imparte alguna materia relacionada con música, salvo talleres de rondalla, sin embargo no
se encontró un plan de estudios que sirva como base.
Encuesta
Finalmente, se aplicó una encuesta a los tres grupos de alumnos la cual constó de
cinco preguntas que fueron: ¿Te gusta la música?, ¿Qué tipo de música?, ¿Tocas algún
instrumento musical? ¿Cuál?, ¿Realizas alguna otra actividad artística? ¿Cuál? y ¿Cuánto
tiempo llevas realizándola? Para los resultados se agruparon los dos grupos de preparatoria,
27
cada uno de 35 estudiantes, mientras que en el de secundaria fueron un total de 22. Además
se observaron las calificaciones de todos los alumnos, especialmente de aquellos que tocan
algún instrumento musical y/o tienen calificaciones iguales o mayores a 8. Se tomó
únicamente la calificación del último parcial (preparatoria) o bimestre (secundaria).
28
CAPITULO V. RESULTADOS
A continuación se presentan los resultados obtenidos a través de las distintas
dimensiones desde las que se observó el objeto de estudio. Se buscó profundizar en el
contexto de los sujetos de estudio a través de un sondeo de la institución en la que estudian
y un análisis de los planes de estudio, se elaboró un cuestionario donde se muestran algunas
relaciones entre matemáticas y música, además se incluyó una entrevista a profundidad
esperando conocer mejor a los sujetos de estudio, específicamente lo relacionado con su
apreciación sobre el cuestionario, identificando aspectos que no podían observarse en el
cuestionario. Se realizó también una comparación de las calificaciones obtenidas en las
habilidades matemático-musicales del cuestionario y las obtenidas en su clase de
matemáticas. Finalmente se levantó una encuesta sobre las preferencias musicales de los
sujetos y las actividades que realizan fuera de la institución.
5.1 Contextualización
La población en la que se ubican los sujetos de estudio es de estudiantes de secundaria
y preparatoria y de música en edad de educación media básica y superior. Se eligieron tres
grupos: alumnos de tercer año de secundaria que se encuentran entre los 14 y 15 años de
edad, alumnos de primer semestre de preparatoria que se encuentran entre los 15 y 17 años
de edad, y alumnos de tercer grado de secundaria o primer semestre de preparatoria con
conocimientos musicales. La razón para haber elegido este rango de edades fue que ahí se
ubican los estudiantes que acceden a los cursos de matemáticas.
Los alumnos de secundaria y preparatoria son de la misma institución, el Colegio
Alma Patria, que tiene como misión “…colaborar con los padres de familia al impartir a sus
hijos una educación de calidad con base en los valores universales así como en una excelente
preparación académica, con el fin de que los jóvenes desarrollen sus capacidades, sean
conscientes y comprometidos, y como visión ser una escuela de educación activa que viva y
proyecte los valores universales” (Colegio Alma Patria, 2015). Dicha institución se encuentra
incorporada a la Universidad Autónoma de San Luis Potosí y se ubica en el Centro de la
ciudad de San Luis Potosí. La escuela secundaria consta de tres años, mientras que la escuela
preparatoria de cuatro semestres.
Acerca de los Planes de Estudio se presentan a continuación los resultados de
analizarlos en educación secundaria y preparatoria. Se presenta una breve descripción de los
contenidos y el tiempo que se dedica a la música.
Debido a que naturalmente al hombre le atrae la música y que ésta es una forma de
expresarse dentro de lo social y cultural, se imparte esta área en la educación secundaria. La
música se aborda en los tres grados de este nivel, sin embargo el número de horas que se le
asignan son muy pocas en comparación con otras materias (Secretaría de Educación Pública
(SEP), 2011).
29
Dentro del Plan de Estudios de Secundaria General se imparte lo correspondiente a
las artes que constan de: artes visuales, danza, música y teatro. Con respecto a la música se
busca que los alumnos de estos niveles conozcan aspectos básicos de la música tales como
su lenguaje, los instrumentos musicales y sus divisiones, factores como ritmo, armonía, entre
otros. Además se pretende que los alumnos compongan, interpreten y reproduzcan melodías,
así como que conozcan historia sobre la música nacional e internacional. También se
presentan situaciones donde los alumnos relacionarán la música con diversos aspectos de su
vida cotidiana, al igual que observarán su función. Dentro de lo musical se incluye el canto
y su acompañamiento. Se involucran aspectos tecnológicos y sociales debido a que se utiliza
la tecnología para crear y reproducir música y posteriormente difundirla (SEP, 2011).
En el programa de estudio de la RIEMS (Reforma Integral de Educación Media
Superior) donde el bachillerato consta de seis semestres, y sólo en los dos primeros se llevan
materias relacionadas con el arte, Apreciación Artística I y Apreciación Artística II a las
cuales se les dedican muy pocas horas, siendo un total de 18 para cada uno de los dos bloques.
La primera materia se centra en que los alumnos conozcan el arte (Colegio de Bachilleres,
2010), mientras que en la segunda ya se ven involucrados en él a través de actividades que
les permiten adquirir conocimientos básicos de danza, teatro, música u otra (Colegio de
Bachilleres, 2011).
En el Documento Base del Bachillerato General (2011) el cual consta de dos
bachilleratos: uno con carácter propedéutico y otro con carácter bivalente. En el bachillerato
con carácter propedéutico se aborda a la música dentro del arte, viéndose así de forma
general. Además existen asignaturas paraescolares que pueden ser: artístico culturales, físico,
deportivo, recreativas y de orientación educativas, estas asignaturas variarán con base en las
instituciones y sus objetivos. Es aquí donde se aborda lo correspondiente a la música, la cual
puede ser vista a profundidad, o no, dependiendo de la institución.
De esta revisión se observa que es muy poco el tiempo que se le dedica a los aspectos
musicales a pesar de que es algo del agrado de los alumnos, aunque tal vez no de la misma
manera ya que a algunos les puede interesar al grado de practicarlo, y a otros escucharlo, sin
embargo esta ventaja no es aprovechada para enseñar matemáticas o música mediante su
relación, incluso no alcanzan a cubrirse todos los temas que se proponen o son vistos de
forma muy superficial.
5.2 Levantamiento Análisis y procesamiento de los datos
Para el levantamiento de datos se utilizó el instrumento con actividades para los
alumnos, una entrevista a profundidad, una bitácora de campo, grabadora de voz y
videocámara. El resumen de los resultados se muestra enseguida:
30
5.2.1 Análisis del Cuestionario Tabla 3 Cuadro de vaciado. Instrumento No. 1. Cuestionario cerrado sobre Identificación y
manejo de melodías en registros semióticos diversos.
G1: Secundaria (S1-S5); G2: Preparatoria (S6-S10); G3: Musical (S11-S15)
Aspectos S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S10 S11 S12 S13 S14 S15
Intentos para identificar la primera melodía.
1 2 4** 2 1* 2 3 1
3
5 1
1 2 0 4
Intentos para identificar la segunda melodía.
6 6 15** 3 1 6 5 1* 8 6* 3** 3 1* 1** 4
Aspectos Matemáticos
Ubicación dentro del plano cartesiano.
/ / X / / / / / / / / / / / /
Relación entre tiempo y nota.
/ / X X / X / / / / / X / / /
Identificar que se trata de la misma melodía después de sumar y restar unidades.
/ / / / X / / / / / / / / / /
Trasladar de puntos a coordenadas.
X / / / X X / / X / / / X / X
Trasladar de coordenadas a sonido.
/ / / / / / / / / / / / / / /
Habilidades matemático-musicales
4 5 3 4 3 3 5 5 4 5 5 4 4 5 4
/ El aspecto está presente en el sujeto. X El aspecto no está presente en el sujeto. * No identificaron la melodía o aseguraban que era una diferente. ** Las repeticiones se hicieron parcialmente, es decir, no repetía la melodía completa.
En esta tabla se observa que los aspectos que presentaron la mayoría de los alumnos
son: ubicación dentro del plano cartesiano, identificación de que se trata de la misma melodía
después de sumar y restar unidades y trasladar de coordenadas a sonido. Este último aspecto
lo presentaron todos los sujetos.
31
En el aspecto de Trasladar de puntos a coordenadas la mayoría de los alumnos que
presentaron el aspecto tuvieron de 0 a 4 errores al colocar las coordenadas de los puntos
presentados. Aquellos alumnos que tuvieron más de 4 se les consideraron que no presentaron
el aspecto.
También se observa que el Grupo 3 tuvo menor cantidad de aspectos ausentes, siendo
éstos un total de 3, posteriormente se encuentra el Grupo 2 y finalmente el Grupo 1. Una
posible explicación a esto es que los sujetos del Grupo 2 y algunos del Grupo 3, ya han
trabajado con los registros propuestos en las actividades, mientras que los sujetos del Grupo
1 lo han visto muy poco en el aula.
El último aspecto que se encuentra en la tabla es el de habilidades matemático-
musicales las cuales consisten en utilizar aspectos matemáticos y musicales combinándolos
mediante los registros transicionales (paso de un registro a otro), por ejemplo del numérico
al gráfico y viceversa, incluyendo el sonido reproducido. En este aspecto sólo los sujetos 2,
7, 8, 10, 11 y 14 fueron los que tuvieron mayor calificación, siendo en su mayoría sujetos de
nivel preparatoria con o sin conocimientos musicales.
A continuación se presentan tabla y gráfica de la cantidad de aciertos y el número de
sujetos que los tuvieron:
Tabla 4 Concentrado de aciertos y cantidad de sujetos con ellos
Aciertos 0 1 2 3 4 5
Cantidad
de sujetos
0 0 0 3 6 6
Gráfica 1 Cantidad de sujetos por aciertos
La tabla y gráfica anteriores muestran el concentrado de los alumnos que obtuvieron
de 0 a 5 aciertos, donde se observa que todos tuvieron de 3 a 5 aciertos, siendo 4 y 5 los
0
1
2
3
4
5
6
7
0 aciertos 1 acierto 2 aciertos 3 aciertos 4 aciertos 5 aciertos
Sujetos
32
aciertos con mayor frecuencia, teniendo ambos 6 sujetos, mientras que solo 3 sujetos tuvieron
3 aciertos, además de que ningún sujeto tuvo de 0 a 2 aciertos.
De lo anterior y con base en el objetivo planteado; se tiene que efectivamente los
sujetos lograron realizar la transición de un registro a otro ayudándose de las actividades en
las que se relaciona matemáticas y música, además de que al identificar las melodías y pasar
de un registro a otro, los sujetos se daban cuenta cuando cometían un error, ya que la melodía
sonaba diferente.
Con base en las actividades planteadas se pueden generar otras en donde se involucren
diversos aspectos matemáticos tales como las frecuencias de las notas a las cuales se les
aumenten la frecuencia de tal forma que siga sonando la misma melodía. Esto debido a que
en el caso de las frecuencias no se pueden sumar o restar cualquier número, sino uno de tal
forma que los sonidos sean armónicos.
Tomando como base nuestro supuesto acerca de que la música ayuda en el aprendizaje
de las matemáticas y. que algunas relaciones entre música y matemáticas pueden
representarse mediante alguno(s) registro(s), en este caso gráfico, musical y numérico,
podemos observar que en este caso se cumple el supuesto, sin embargo faltan más sujetos y
aspectos por analizar en futuras investigaciones.
33
Tabla 5 Cuadro de concentración No.2.1 Promedio de intentos por identificar la melodía en
diversos registros y la relación entre ellos en tres grupos de sujetos.
G1: Secundaria (S1-S5); G2: Preparatoria (S6-S10); G3: Musical (S11-S15)
Tabla 6 Cuadro de concentración No.2.2 Reconocimiento de objetos matemáticos en diversos
registros y la relación entre ellos en tres grupos de sujetos
G1: Secundaria (S1-S5); G2: Preparatoria (S6-S10); G3: Musical (S11-S15)
La tablas anteriores muestran, en el caso de la primera, el promedio de intentos que
tuvieron los sujetos para identificar la melodía y, en el caso de la segunda, el total de veces
que aparecen los aspectos en cada uno de los grupos. Para el Grupo 1 los aspectos menos
presentes son los de Relación entre tiempo y nota con eje x y eje y, así como Trasladar de
puntos a coordenadas y el de mayor frecuencia el de Trasladar de coordenadas a sonido. Para
el Grupo 2 coincide el aspecto de Trasladar de puntos a coordenadas con menor frecuencia
al igual que el de Ubicación dentro del plano cartesiano, mientras que los que tienen mayor
frecuencia son Identificar que se trata de la misma melodía después de sumar y restar
unidades y Trasladar de coordenadas a sonido. Finalmente para el Grupo 3 los aspectos de
Relación entre tiempo y nota con eje x y eje y y Trasladar de puntos a coordenadas son los
que tienen menor frecuencia, y como aspectos con mayor frecuencia son Ubicación dentro
del plano cartesiano, Identificar que se trata de la misma melodía después de sumar y restar
unidades y Trasladar de coordenadas a sonido. Cabe destacar que el aspecto con menor
frecuencia es el mismo para los tres grupos (Trasladar de puntos a coordenadas), además los
tres grupos también tienen mismo aspecto con mayor frecuencia, que es Trasladar de
coordenadas a sonido, con la diferencia de que para los Grupos 2 y 3 se añaden aspectos.
Otro aspecto que se observa es que los sujetos del Grupo 3 (con conocimientos musicales)
identifican más rápido las melodías que los de los Grupos 1 y 2. También se observa que la
segunda melodía fue más complicada de identificar, ya que hubo más intentos, además de
que dicha melodía fue más larga.
Aspectos Promedio en grupos
G1 G2 G3 Intentos para identificar la primera melodía. 2 2.8 1.6
Intentos para identificar la segunda melodía. 6.2 5.2 2.4
Aspectos Frecuencia en grupos
G1 G2 G3 Ubicación dentro del plano cartesiano. 4 3 4
Relación entre tiempo y nota con eje x y eje y. 3 4 3
Identificar que se trata de la misma melodía después de sumar y restar unidades. 4 5 4
Trasladar de puntos a coordenadas. 3 3 3
Trasladar de coordenadas a sonido. 5 5 4
34
Con base en lo planteado por Duval (2006) podemos observar que efectivamente los
alumnos si identifican un mismo objeto matemático en diferente(s) registro(s), en este caso,
el objeto matemático relaciona a las matemáticas con la música. Además pueden realizar la
transición de un registro a otro y darse cuenta que siguen trabajando con el mismo objeto
matemático y que el procedimiento realizado fue lo denominado como tratamiento. La
mayoría identifica que se trata de la misma melodía.
Relacionando los resultados anteriores con nuestra pregunta de investigación tenemos
que existen relaciones entre matemáticas y música, en este trabajo se utiliza la relación que
hay en las melodías ya que éstas pueden ser representadas en un plano cartesiano siendo el
eje “x” el tiempo y el eje “y” la nota interpretada, además una misma melodía puede cambiar
de tono, es decir, se pueden desfasar las notas provocando que la melodía suene más aguda
o más grave, sin embargo a pesar de que no sean las mismas notas, la distancia que hay entre
las notas se mantiene constante. Además se tiene que implementar actividades que relacionen
matemáticas con otros aspectos, como la música, ayuda a los alumnos ya que trabajan los
tipos de registros, de igual manera identifican que lo que hicieron fue transformar de una
representación a otra una melodía, sin embargo no todos identifican como tal que se trata de
un registro matemático, lo ven más como una actividad atractiva. Por tanto, se pueden utilizar
las relaciones entre matemáticas y música para atraer a algunos alumnos y que éstos realicen
actividades donde se encuentren implícitos objetos matemáticos intentando que logren
identificarlos y representarlos en sus diferentes registros.
5.2.2 Análisis del discurso en la entrevista
A continuación se muestran los resultados de la entrevista a profundidad realizada a
los 15 sujetos, se muestran las tablas correspondientes a cada una de las categorías del
Análisis del discurso, así como la interpretación de éstas.
Las entrevistas completas no se incluyen en la tesis, sólo se presentan los resultados
del análisis. No obstante, se dispone de ellas en el archivo de la investigación, tanto grabadas
como transcritas.
El resultado del análisis permitió identificar 5 categorías que expresan la tendencia
de pensamiento en el discurso que los sujetos tienen sobre la relación matemáticas y música.
Tales categorías son: Relación entre matemáticas y música, Resultados de combinar
matemáticas y música, Apreciación sobre actividad, Relación presente en otras áreas y
Confusiones.
Cuadro. No. 1. Categoría 1: Relación entre matemáticas y música
Fragmentos discursivos Conjuntos temáticos Códigos
35
S1: las matemáticas y la música tienen mucho que ver S5: La sabiduría que entre las matemáticas y la música hay una relación muy grande, que con los números se pueden hacer notas de canciones S8: Que también con las matemáticas puedes aprender a tocar algún instrumento dividiéndolos por números. S9: Interesante, si porque por medio de números podemos tocar melodías entonces pues si es interesante S11: Relacionándolos como viene aquí, es más fácil, es más sencillo S13: Cómo crear sonidos con los números que me dieron aquí e interpretarlos en el instrumento S14: Yo concluyo que como aquí dice las matemáticas si van muy de la mano con la música S15: Están bien, no sabía que sumando o restando se podía escuchar lo mismo que las notas originales
S1, S5, S14: Hay mucha relación entre música y matemáticas. S5, S8, S9, S13, S15: Con matemáticas se puede aprender a tocar algún instrumento o tocar melodías que se mantienen igual aunque se realicen ciertas operaciones matemáticas provocando un cambio de tonalidad. S11: Relacionando matemáticas y música es más sencillo.
La relación entre matemáticas y música ayuda en el aprendizaje pues se hacen más sencillo.
En la tabla anterior correspondiente a la categoría 1: Relación entre matemáticas y
música, se muestran los fragmentos destacados que son un total de 8, surgiendo de éstos tres
conjuntos temáticos uno sobre la identificación de la relación entre ambas áreas, otro sobre
cómo se puede aplicar su relación y el último sobre la complejidad que se puede presentar.
En esta categoría se encuentran ocho sujetos de los cuales la mayoría pertenecen al grupo de
sujetos con conocimientos musicales. El código resultante hace referencia a que conociendo
la relación entre matemáticas y música puede facilitar el aprendizaje de alguna de las áreas
involucradas.
36
Lo anterior puede compararse con lo mencionado por Rodríguez (2011) sobre que en
la antigüedad los conocimientos eran enseñados conjuntamente, y de esta forma se podía
apreciar la relación entre las diferentes áreas, por ejemplo matemáticas y música. Con
respecto a Duval (2006), se observa que al identificar la relación entre las dos áreas
(matemáticas y música) y además trabajar con ellas mediante registros transicionales puede
facilitar el aprendizaje, en este caso, hacia cualquiera de las dos áreas, caso similar a lo que
plantea acerca de que el alumno debe reconocer el mismo objeto en sus distintos registros.
En relación con los resultados obtenidos se puede observar que la mayoría de los
sujetos con conocimientos musicales pudieron identificar la relación entre matemáticas y
música, no obstante tres de los sujetos de los otros dos grupos también la identificaron, sin
embargo, el grupo de música fue el que tuvo mayor número de sujetos, siguiéndole el grupo
de preparatoria con dos sujetos, y finalmente el grupo de secundaria con un sujeto. Se destaca
que el código menciona que la relación entre matemáticas y música puede facilitar el
aprendizaje tanto para matemáticas como para música. Además, tomando en cuenta que la
mayoría de los sujetos con conocimientos musicales se encontraron en esta categoría se puede
concluir que tal vez para dichos sujetos se les facilite aprender música con matemáticas
debido a que el lenguaje musical con el que lo aprendieron fue más complicado o porque ya
tenían conocimientos musicales. Por otro lado, cabe destacar el hecho de que los alumnos de
menor edad (y menos conocimiento matemáticos) fueron quienes no identificaron la relación.
Con respecto al objetivo planteado se tiene que algunos de los sujetos lograron
identificar algunas de las relaciones existentes entre matemáticas y música, no solamente las
planteadas en las actividades, siendo la mayoría de los sujetos del grupo con conocimientos
musicales.
Cuadro. No. 2. Categoría 2: Resultados de combinar matemáticas y música
Fragmentos discursivos Conjuntos temáticos Códigos
S1: Es más fácil de lo que pensaba. S1: Entendiendo las matemáticas entiendes la música. S4: Sirve para estar más ágilmente en lo que son las matemáticas y planos. S4: Como un estimulante para las matemáticas.
S1, S4, S8: Se facilita y se puede aprender más rápido y ser más ágil mediante gráficas y números. S1: Entendiendo matemáticas entiendes la música. S4: Sirve como estimulante para las matemáticas. S6: No deberían combinar música con matemáticas.
Combinar matemáticas con música facilita ambas áreas ya que resultaría más fácil aprender matemáticas y música al mismo tiempo.
37
S6: Concluyo que no deberían de combinar la música con las matemáticas. S8: Bien porque así puedes aprender más rápido por medio de gráficas o de números. S9: Pues que las matemáticas o sea los números los utilizamos para todo. S11: Una conclusión… que sería más fácil aprender las dos al mismo tiempo con este método, tanto aprender matemáticas como aprender música.
S9: Las matemáticas se utilizan para todo. S11: Sería más fácil aprender matemáticas y música al mismo tiempo combinándolas.
Dentro de la tabla de la categoría 2: Resultados de combinar matemáticas y música,
se extrajeron ocho fragmentos discursivos provenientes de seis sujetos, de los cuales se
encontraron seis conjuntos temáticos llegando así a un código. Entre los conjuntos temáticos
se destaca que a los sujetos se les facilitaron las actividades donde se combinan matemáticas
y música, considerando con mayor importancia las gráficas y los números. Además, algunos
sujetos consideran que al encontrarse las matemáticas en todos lados pueden ayudar a
comprender la música e incluso, es más fácil aprenderlas al mismo tiempo. Sin embargo está
el caso de un sujeto que considera que está mal mezclar ambas áreas.
Entre los sujetos que se encuentran en esta categoría tres de ellos son de preparatoria,
dos de secundaria y uno del grupo con conocimientos musicales. De aquí se puede decir que
para algunos de los alumnos que no tienen conocimientos musicales se les facilitaron las
actividades combinando matemáticas y música. En el caso del sujeto con conocimientos
musicales consideró que sería conveniente que se enseñaran matemáticas y música al mismo
tiempo combinándolos.
Tomando en cuenta los resultados obtenidos en esta categoría y sabiendo que antes
los conocimientos eran enseñados de forma conjunta y existía la combinación de matemáticas
y música (Rodríguez, 2011), podemos ver que esto puede ayudar a los alumnos, ya sea
estudiando matemáticas con experimentos de música o estudiando música con actividades de
matemáticas, sin embargo para esto último faltaría realizar las investigaciones con alumnos
que vayan a aprender música utilizando matemáticas. Por lo pronto, se pudo observar que al
utilizar la relación entre matemáticas y música con ayuda de los registros transicionales de
Duval (Duval, 2006), a la mayoría de los sujetos de esta investigación consideran que es más
38
fácil y les ayuda más, especialmente pasando del registro numérico al registro gráfico,
ayudándose del registro musical, esto debido a que al reconocer la melodía identificaron que
se habían equivocado al transitar de un registro al otro.
Con respecto a la pregunta planteada para esta investigación, se observa que se les
facilitó manejar matemáticas y música al mismo tiempo a través de los registros en los que
se pueden representar las melodías de la actividad. De esto se tiene que al relacionar
matemáticas y música se intenta facilitar la enseñanza en este caso, de las matemáticas, pero
no se descarta enseñar música.
Cuadro. No. 3. Categoría 3: Apreciación sobre actividad
Fragmentos discursivos Conjuntos temáticos Códigos
S1: Entretenido S2: Me gustó mucho S2: Porque batallé y ya después le agarré poquito S3: Se oye padre S3: Pues me pareció… bonito S5: Sí me gusto, está divertida, no es aburrida S6: Que están muy difíciles S6: Por la gráfica que me confunde S6: Pero se hace divertida, se me hizo más o menos dinámico S6: Porque sabe, se me hace más complicado, para mí… no pues si porque tiene algo de ciencia, haciendo esto hace sonar la canción, pero en conclusión dejo que no, que está muy aburrido, bueno a mí casi no me llamó la atención, si estaba dinámico
S1, S2, S3, S5, S6, s7, S8, S9, S10, S11, S12, S13, S15: Les gustó, les pareció entretenida, divertida, laboriosa, interesante, dinámica. S11, S15: No lo habían visto pero les agradó aplicarlo. S6: Está dinámico, pero no llama su atención, se le hace complicado.
Les agradaron las actividades ya que aplicaron la relación entre matemáticas y música.
39
S7: Estuvo bien S8: Bien S9: No pues muy bueno esto. S10: Entretenidas S10: Bueno también laboriosas S10: Pues a mí sí me gustó, nunca lo había tocado S11: Fue muy interesante y también divertido S11: Me gustó mucho, nunca había oído que pasara esto, había oído que decían que había relación entre las matemáticas y la música pero nunca lo había aplicado yo mismo S12: Si me gustó S13: Bien S13: Está interesante S15: No lo había visto pero si me gustó
En esta tabla se muestran los fragmentos discursivos encontrados, los conjuntos
temáticos y los códigos obtenidos en la categoría 3: Apreciación sobre actividad. Se
encontraron un total de 22 fragmentos discursivos de 13 sujetos. De aquí los tres conjuntos
temáticos que consideran que las actividades estuvieron bien y les agradaron, las
consideraron interesantes y dinámicas, aunque para algunos fueron laboriosas y complicadas,
además la mayoría no lo había visto. Con base en lo anterior se obtiene que el código
menciona que al ser del agrado de la mayoría de los sujetos, se pueden utilizar actividades
donde los alumnos apliquen lo que vieron.
De los 13 sujetos, cinco son de preparatoria, cuatro de secundaria y cuatro con
conocimientos musicales, de aquí se puede observar que a la mayoría de los sujetos
participantes en esta investigación tuvieron comentarios positivos sobre las actividades
planteadas, además que mencionan no haberlo visto antes.
40
De lo anterior se tiene que como menciona Peralta (1998), los alumnos ven las
matemáticas de forma muy abstracta y poco relacionada con la vida, las ven como algo sin
utilidad, con estas actividades donde se relaciona matemáticas y música los sujetos pudieron
observar alguna utilidad o relación de matemáticas y otra área, lo cual resultó de su agrado.
Al utilizar los distintos registros a través de los cuales se pueden representar algunas
relaciones de matemáticas y música, los sujetos hicieron uso de conocimientos que ya habían
visto, lo cual puede ayudar en la enseñanza o aprendizaje de las matemáticas, puesto que las
actividades presentadas fueron del agrado de los sujetos, lo cual puede generar interés hacia
las matemáticas.
Cuadro. No.4. Categoría 4: Relación presente en otras áreas
Fragmentos discursivos Conjuntos temáticos Códigos
S1: ¿Habías visto esto antes? No S3: No pues nunca había escuchado esto S4: Lo había visto en folclore S5: No
S1, S3, S5: No lo habían visto. S4: Lo había visto en folclore.
La mayoría no había visto la relación de matemáticas con música.
En la categoría 4: Relación presente en otras áreas, se encontraron cuatro fragmentos
discursivos por parte de cuatro sujetos, de aquí surgen dos conjuntos temáticos relacionados
con que no habían visto la relación de música con otra área, salvo un sujeto que lo había visto
en el folclore. Los cinco sujetos pertenecen al grupo de secundaria.
El no conocer las relaciones entre matemáticas y otras áreas puede provocar que a los
alumnos les desagraden las matemáticas o las rechacen, como lo menciona Peralta (1998).
De aquí que se puede buscar que los alumnos apliquen sus conocimientos relacionándolos en
otras áreas intentando que dejen de lado el desagrado hacia ellas.
Igualmente, así como las matemáticas se encuentran relacionadas con la música,
también lo están en otras áreas, y se puede utilizar dicha relación, no solamente con la música,
sino con otras áreas que sean del agrado de los alumnos, para que les llame la atención y lo
vean menos aislado.
Con respecto al objetivo, los sujetos lograron identificar la relación entre matemáticas
y música además de ver que existe relación no sólo con ella, sino con otras áreas, como en el
caso del sujeto que había visto a las matemáticas aplicadas en el folclore. Además esto puede
provocar interés por parte de los alumnos.
41
Cuadro. No. 5. Categoría 5: Confusiones
Fragmentos discursivos Conjuntos temáticos Códigos
S6: Por la gráfica que me confunde. S7: Me salió mal esto (graficar)… pues que le voy a decir al profesor Benjamin que me ayude a graficar porque me equivoqué. S14: En la de “Estrellita” me confundió con la de “Martinillo” porque creo que la de “Martinillo” también empieza con la misma nota, por eso me confundí.
S6, S7: Las gráficas causan confusión. S14: Confunde el inicio de una melodía ya que es igual al de otra.
Las confusiones que se presentaron fueron mínimas.
La tabla anterior correspondiente a la categoría 5: Confusiones, se obtuvieron tres
fragmentos discursivos de tres sujetos, de ellos se encontraron dos conjuntos temáticos en
donde los sujetos encuentran confusión en las gráficas y en el inicio de una de las melodías,
aunque en realidad esto no puede ser el caso, ya que el ser humano no tiene oído absoluto, es
decir, reconoce la distancia en semitonos entre dos notas, pero no puede reconocer una nota
aislada.
De los tres sujetos dos de ellos pertenecen al grupo de preparatoria y uno del grupo
con conocimientos musicales. Existe la posibilidad que la confusión surgiera debido a que
no recordaban el tema de graficación puesto que en el momento de la aplicación del
instrumento los sujetos estaban viendo el tema de lenguaje algebraico. Por parte del sujeto
con conocimientos musicales, la confusión surge debido a que conoce las notas de la otra
melodía con la que la confundió.
Con respecto a la pregunta se tiene que al utilizar alguna relación entre matemáticas
y música a través de diversas actividades puede ayudar facilitando la enseñanza de
matemáticas, sin embargo, hay que tomar en cuenta que esto puede provocar confusiones en
los alumnos, tal vez debido a la poca relación y aplicación que se le da a las matemáticas en
otras áreas.
Tabla 7 Concentrado de fragmentos discursivos, conjuntos temáticos y códigos de las cinco
categorías.
Categoría Fragmentos discursivos
Conjuntos temáticos
Códigos
42
1.-Relación entre
matemáticas y música
8 3 1 La relación entre matemáticas y música ayuda en el aprendizaje pues se hacen más sencillo.
2.-Resultados de combinar
matemáticas y música
8 6 1 Combinar matemáticas con música facilita ambas áreas ya que resultaría más fácil aprender matemáticas y música al mismo tiempo.
3.-Apreciación sobre
actividad
22 3 1 Les agradaron las actividades ya que aplicaron la relación entre matemáticas y música.
4.- Relación presente en otras áreas
4 2 1 La mayoría no había visto la relación de matemáticas con música.
5.-Confusiones 3 2 1 Las confusiones que se presentaron mínimas.
Total 45 16 5
La tabla anterior muestra el concentrado de las categorías resultantes, así como el
total de fragmentos discursivos, conjuntos temáticos y códigos obtenidos en cada una de las
categorías. Se observa que la categoría con más fragmentos discursivos fue la de Apreciación
sobre actividad, y la de menos fragmentos fue la de Confusiones. Con respecto a los
conjuntos temáticos la categoría que presenta mayoría de ellos es la de Resultados de
combinar matemáticas y música, mientras que las que contienen menos son las categorías de
Relación presente en otras áreas y la de Confusiones. Finalmente en lo correspondiente a los
códigos las cinco categorías presentaron un solo código. En total se encontraron 45
fragmentos discursivos, de donde se obtiene un promedio de 3 por sujeto, 16 conjuntos
temáticos y 5 códigos.
De lo anterior se obtiene que la mayoría de los fragmentos son acerca de la opinión
de los sujetos sobre cómo les parecieron las actividades, además cabe destacar que fueron
pocos los fragmentos sobre confusiones, lo que indica que casi no las hubo. En cuanto a los
conjuntos temáticos se puede observar que los sujetos pudieron darse cuenta de la relación
entre matemáticas y música, así como aplicarla. Con respecto a las confusiones que se les
presentaron, como se observa fueron pocas y referentes al mismo tema, ya que la categoría
de Confusiones también fue de las categorías con menos conjuntos temáticos. También se
aprecia que de la categoría de Resultados de combinar matemáticas y música tuvo la mayoría
de los conjuntos temáticos, es decir, se sacaron varios puntos relevantes por parte de los
sujetos.
43
Gráfica 2 Número de fragmentos discursivos
Con respecto al objetivo, los sujetos lograron identificar alguna de las relaciones entre
matemáticas y música a través de diversas actividades en las que los sujetos identificaron el
mismo objeto en sus diferentes registros, haciendo uso de los registros transicionales (Duval,
2006), además se identificó el registro que se les complicó más a los sujetos, siendo en este
caso el paso del registro gráfico al registro numérico.
En relación con el problema que se plantea en este trabajo, los sujetos pudieron darle
una aplicación en la música aquellos temas que han visto en clase, además pudieron darse
cuenta de la relación entre matemáticas y música ya que en los fragmentos discursivos lo
mencionan.
5.2.3 Análisis de las preferencias musicales de alumnos mediante encuesta
A continuación se muestran los resultados de la encuesta acerca de la música aplicada
a los sujetos de secundaria y preparatoria con el objetivo de detectar los estilos musicales con
mayor frecuencia en algunos grupos de preparatoria y secundaria, teniendo como supuesto
que los alumnos se inclinarán hacia un estilo de música. La encuesta tuvo siete preguntas:
¿Te gusta la música?, ¿Qué tipo de música?, ¿Tocas algún instrumento musical? ¿Cuál?,
¿Realizas alguna otra actividad artística? ¿Cuál? y ¿Cuánto tiempo llevas realizándola?
Los sujetos de secundaria son un total de 22 aunque el grupo está conformado por 27,
ya que 5 no contestaron porque no asistieron el día de la aplicación de la encuesta. Con
49%
18%
18%
9%
6%
Número de fragmentos discursivos de cada categoría
Apreciación sobre actividad 22
Relación entre matemáticas y música 8
Resultados de combinar matemáticas y música 8
Relación presente en otras áreas 4
Confusiones 3
44
respecto a la primera pregunta que era sobre si les gusta la música, el 100% respondió que
sí.
Con respecto a la segunda pregunta acerca de qué tipo de música les gustan los
resultados son los siguientes:
Tabla 8 Preferencias musicales de alumnos de secundaria
Estilo musical Cantidad de sujetos que lo prefieren
Electrónica 5
Pop 4.616
Toda 3
Hip hop y Rap 2.45
Rock 1.58
Metal 1
Depende del ritmo y la letra de la canción 1
Bachata 0.95
Clásica 0.58
Corridos 0.5
Wepa 0.33
Reggaeton 0.33
Ritmos jamaicanos (ska y reggae) 0.25
Banda 0.2
Cumbia 0.2
La tabla anterior muestra los 15 géneros musicales que prefieren los alumnos de
secundaria, aquí se observa que la música que prefieren es la electrónica, seguida por el pop,
toda, hip hop y rap y rock, además de que 8 de los 15 géneros tuvieron menos de un sujeto,
esto es debido a que al mencionarlos los sujetos mencionaban otro(s) género(s).
De lo anterior se concluye que los alumnos se identifican con la música Electrónica
y Pop, tal vez porque han sido influenciados por los medios y su contexto social, esto
relacionado con el Plan de Estudios de Secundaria General donde se considera a la música
como una forma de expresión social y cultural. Cabe destacar la presencia de la respuesta
que incluye aspectos musicales como el ritmo.
Con respecto a la tercera pregunta se obtiene que sólo 6 sujetos de los 22 tocan algún
instrumento musical, principalmente guitarra, como se muestra en la tabla.
Tabla 9 Instrumentos musicales que tocan los sujetos de secundaria
Instrumento musical Cantidad de sujetos que lo tocan
Guitarra 2.5
Batería 2
Flauta 0.5
45
Piano 0.5
En lo correspondiente a la cuarta pregunta referente a si realizan otra actividad
artística solamente 2 alumnos lo hacen, y éstas son: baile y canto (improvisación). En cuanto
al tiempo que llevan realizándolas, que incluyen a estas 2 además de aquellos que tocan
instrumentos musicales, se encuentran entre 5 meses y 9 años, obteniéndose un promedio de
2.67 años por alumno. Además en este grupo no se encontró ningún sujeto que fuera músico
y realice otra actividad.
De esta manera se puede pensar en relacionar matemáticas con música puesto que
ésta última es del agrado de los alumnos y puede ser una forma de acercarse a los alumnos,
más si se conocen sus preferencias musicales.
Preparatoria
Para el grupo de preparatoria se les aplicó el cuestionario a 70 sujetos, a pesar de que
el total del grupo era de 73, pero no todos estuvieron presentes el día que se levantaron los
datos. Con respecto a la primera pregunta los 70 sujetos respondieron que si les gusta la
música.
En cuanto a la segunda pregunta concerniente al tipo de música que les gusta los
resultados son los siguientes:
Tabla 10 Preferencias musicales de sujetos de preparatoria
Estilo de música Cantidad de sujetos que lo prefieren
Toda 9.98
Electrónica 9.9
Banda 9.32
Hip hop y Rap 8.63
Pop 7.88
Rock 5.31
Metal 2.9
Bachata 2.2
Norteña 1.65
Cumbia 1.37
Clásica 1.25
Jazz 1.08
Country 1
Blues 0.91
En inglés 0.75
Texana 0.59
Reggaeton 0.5
Romántica 0.5
46
Corridos 0.47
Ritmos jamaicanos (ska y reggae) 0.41
Alternativa 0.33
Instrumental 0.25
Indie 0.25
Intro 0.25
Vocaloid 0.2
Wepa 0.16
Circuit 0.14
La tabla anterior muestra las preferencias musicales de los sujetos de preparatoria, se
encontraron 27 géneros de música, siendo todo tipo de música la que tuvo mayor cantidad de
sujetos, seguida por la electrónica, banda, hip hop y rap, pop y rock, además de que 14 de los
géneros tuvieron menos de un sujeto, lo cual indica que quienes lo prefieren también
mencionaron otro(s) género(s).
Con respecto a la segunda pregunta referente a si tocan algún instrumento musical o
no, y cuál es, se tiene que 22 sujetos si tocan instrumentos musicales, siendo éstos los
siguientes:
Tabla 11 Instrumentos musicales que tocan los sujetos de preparatoria
La tabla anterior muestra los distintos instrumentos musicales que tocan los sujetos
de preparatoria a los que se les aplicó la encuesta de donde se observa que lo que más tocan
es la guitarra, seguida por la batería, flauta y piano, además de que hay sujetos que tocan
más de un instrumento. Tomando en cuenta lo anterior, se podrían diseñar o adaptar las
actividades de acuerdo a los instrumentos musicales que tocan, esto buscando enlazar sus
conocimientos con las matemáticas.
Instrumento musical Cantidad de sujetos que lo tocan
Guitarra 11.5
Batería 3.7
Flauta 2.45
Piano 2.37
Percusiones 1.12
Acordeón 0.5
Bajo 0.25
Corneta 0.12
Armónica 0.12
Keytar 0.12
Saxofón 0.12
47
Con respecto a la cuarta pregunta sobre si realizan otra actividad artística 24 sujetos
respondieron que sí, las actividades que realizan se muestran a continuación.
Tabla 12 Actividades artísticas que realizan los sujetos de preparatoria
Actividades artísticas que realizan Cantidad de sujetos que la practican
Dibujo 7
Baile 6
Canto 3.5
Pintura 1.5
Clases de arte 1
Poemas 1
Charrería 1
Teatro 1
Pintar paredes 1
Escritura 0.5
Manualidades 0.5
En la tabla anterior se muestran las distintas actividades artísticas que realizan, siendo
dibujo la actividad con mayor cantidad de sujetos que lo practican, le siguen baile, canto y
pintura. Al igual que en los instrumentos musicales, hay sujetos que practican más de una
actividad. Igualmente se pueden crear actividades con matemáticas y los registros
transicionales, de acuerdo a los conocimientos en otras áreas que tienen los alumnos, esto
gracias a que se pueden encontrar a las matemáticas relacionadas en distintas áreas, además
de que así podrían verlo los alumnos como algo cercano a la realidad.
El promedio del tiempo que llevan realizando estas actividades (incluyendo a los que
estudian música) es de 3.5 años por sujeto. Además 8 de ellos son músicos y 2 de ellos tienen
calificación de 8.
De todo lo anterior podemos concluir que se puede buscar una forma de acercarse a
los alumnos conociendo sus preferencias y gustos, y mediante ello buscar relacionarlo con
matemáticas ya que así pueden verlo menos abstracto e incluso dejar de rechazarlas.
Con respecto a la pregunta de investigación se tiene que al estudiar música los
alumnos pueden mejorar en matemáticas ya que algunas cosas las pueden ver similares a
aspectos musicales, además de que tocar un instrumento musical hace que mejoren en
distintos aspectos.
48
5.2.4 Análisis de las calificaciones de los alumnos
A continuación se presenta un análisis de las calificaciones en la materia de
matemáticas con alumnos de primer semestre de preparatoria y tercero de secundaria, con el
fin de observar los mejores promedios y qué tanto se ven influenciados por la música, lo cual
permitirá estimar el supuesto planteada en estos grupos, además de ser otra dimensión desde
la que se analiza el objeto.
Secundaria
Se tomaron las calificaciones dividiéndose en dos grupos, uno de los alumnos que
tocan instrumentos musicales (músicos) y aquellos que no, de aquí se obtuvo que el promedio
de los músicos fue de 7.25, mientras que de los no músicos fue de 7.21. Cabe destacar que la
calificación mínima es de 5. El total de alumnos aprobados es de 21, mientras que el de los
reprobados son 6. Además se realizó un análisis de todos los alumnos del grupo que tuvieran
calificaciones mayores o iguales a 8, siendo éstos un total de 9, entre esos nueve se encuentran
dos alumnos que tocan instrumentos musicales con promedio de 8 y 9. Las calificaciones
corresponden únicamente al último parcial en la materia de Matemáticas.
Tabla 13 Comparación de calificaciones de matemáticas de alumnos de secundaria
Grupo Promedio de calificación
Músicos 7.25
No músicos 7.21
La tabla anterior muestra el promedio de las calificaciones obtenidas por los alumnos
de tercero de secundaria a los que se les aplicó el cuestionario de preferencias musicales, y
de los que se realizó un análisis de las calificaciones obtenidas en la materia de matemáticas.
Se realizó una división entre los alumnos que respondieron que tocan algún instrumento y
los que no, se observa que el grupo con mayor calificación es el de músicos, sin embargo no
es mucha la diferencia entre los que no son músicos. Cabe destacar que la calificación mínima
es de 5.
Lo anterior nos permite suponer que saber música ayuda en el aprendizaje de las
matemáticas. Además al hacer música los alumnos pueden percibir algunas relaciones entre
matemáticas y música, sin embargo no todos se dan cuenta de ello, pues al interpretar alguna
melodía la atención se centra en otros aspectos.
Preparatoria
49
Se analizaron las calificaciones de matemáticas de los sujetos de preparatoria, de los
cuales 19 son músicos y 54 no. De aquí se obtiene que el promedio de los músicos es de 6.05,
mientras que de los no músicos es de 5.66. El total de alumnos aprobados es de 47, y los
reprobados 26. Se tomaron en cuenta a los alumnos que tienen calificación mayor o igual a
8, siendo éstos un total de 7, de donde 4 son músicos, 2 no y uno que se desconoce debido a
que no estuvo presente el día en que se aplicó el cuestionario. La calificación mínima en este
nivel e institución es de 3, y las calificaciones corresponden únicamente al primer parcial del
segundo semestre en matemáticas.
Tabla 14 Comparación de calificaciones de matemáticas de alumnos de preparatoria
Grupo Promedio de calificación
Músicos 6.05
No músicos 5.66
La tabla anterior muestra el promedio de las calificaciones obtenidas por los alumnos
de primer año de preparatoria en la materia de matemáticas, solamente se tomó la calificación
correspondiente al primer parcial del segundo semestre. Se observa que el grupo de alumnos
con conocimientos musicales obtuvo mayor promedio, además ese promedio es aprobatorio,
caso contrario para los alumnos que no tienen conocimientos musicales.
Estos datos nuevamente coinciden con lo planteado por la OECD (2009) sobre las
habilidades adquiridas por los músicos. De lo anterior se tiene que puesto que los alumnos
que tocan algún instrumento musical tienen en promedio mayor calificación que aquellos que
no lo hacen se podría optar por dedicar más tiempo a que los alumnos aprendan música ya
que es muy poco el tiempo que se le dan, principalmente en preparatoria, ya que hay algunas
que nunca lo ven, otra opción puede ser utilizarla como herramienta para la enseñanza de
matemáticas, combinando matemáticas y música, ya que así se trabajaría en las dos áreas
además de que puede llamar la atención de los alumnos puesto que ya no verían a las
matemáticas como algo alejado de la realidad lo cual puede influir en su rechazo (Peralta,
1998), pues lo combinarían con algo que les agrada.
En este caso, se concluye lo mismo que con los alumnos de secundaria, es decir, que
tener conocimientos musicales puede ayudar mejorando diversos aspectos de los alumnos,
entre ellos las matemáticas, además de que los sujetos con conocimientos musicales han
manejado algunas relaciones entre matemáticas y música de forma inconsciente lo cual puede
hacer que al estudiarlas conscientemente les motive en matemáticas.
A continuación se presenta una tabla que concentra los principales resultados
obtenidos en la investigación.
50
Tabla 15 Concentrado de principales resultados
Instrumento Finalidad Observaciones Cuestionario
estructurado sobre
relaciones
matemáticas y
música.
Mostrar enlaces entre
dichas áreas, tales como
relación entre tiempo y
nota, proporciones y
desfasamiento que
mantienen la misma
melodía.
Los sujetos identificaron algunas relaciones
entre matemáticas y música, pudieron
identificar las melodías presentadas utilizando
los números, además de graficarlos. Además
de que obtuvieron puntaje alto en las
habilidades matemático-musicales.
El registro gráfico resulta más complicado.
Entrevista a
profundidad
Identificar la tendencia de
pensamiento en el discurso
que los sujetos tienen sobre
la relación matemáticas y
música.
Es más fácil aprender las dos áreas al mismo
tiempo.
La mayoría de fragmentos seleccionados
hablan sobre la apreciación de las actividades.
Les resultó agradable aplicar sus
conocimientos en otra área como la música.
Hubo pocas confusiones (notas y gráficas).
Encuesta sobre
preferencias
musicales
Contextualizar los géneros
musicales que escuchan los
sujetos con los que se
trabajó.
A todos los sujetos les gusta la música.
Los alumnos de secundaria (con y sin
conocimientos musicales) prefieren música
electrónica, rap y pop. Mientras que los de
preparatoria prefieren banda, pop y
electrónica.
Pocos sujetos tocan instrumentos musicales.
El instrumento que más practican es la
guitarra.
Análisis de las
calificaciones en
la materia de
matemáticas
Contextualizar las
calificaciones en
matemáticas obtenidas en la
institución por parte de los
sujetos.
Los alumnos con conocimientos musicales
tienen mayor calificación que los demás.
51
Capítulo VI: Conclusión, Discusión y Recomendaciones
Conclusión
Este trabajo tuvo como preguntas de investigación saber ¿cómo se relacionan las
matemáticas con la música? y ¿cómo ayuda su relación en la enseñanza de las matemáticas?
Se tuvo el objetivo de diseñar y probar diversas actividades con base en los distintos registros
que propone la teoría de Representaciones Semióticas de Duval (2006) en las que se
relacionen matemáticas y música, tomando como supuesto que la música ayuda en el
aprendizaje de las matemáticas y que algunas relaciones entre música y matemáticas pueden
representarse mediante alguno(s) registro(s) (gráfico, musical y numérico).
Con respecto a las preguntas de investigación se tiene que existen distintas relaciones
entre matemáticas y música, una de ellas es la relación entre tiempo y nota, que puede ser
expresada como eje “x” y eje “y”, enunciando así los números de las notas para que los
sujetos las interpreten en un instrumento musical e identifiquen una melodía. Además dicha
relación puede ayudar a “jugar” con las representaciones de las melodías, utilizando así los
registros de Duval (2006), principalmente los registros transicionales, ya que al utilizar la
relación entre matemáticas y música, los sujetos lograron observar que se trata de la misma
melodía en distinta representación (transpuesta un cierto intervalo). De igual manera, se
puede concluir que al relacionar música y matemáticas, como eran enseñadas en el pasado,
puede ayudar en la enseñanza de alguna de las áreas e incluso, en ambas, esto con base en
los resultados de la entrevista realizada a los sujetos.
Se cumplió el objetivo ya que se crearon una serie de actividades donde se mostraba
alguna relación entre matemáticas y música; en donde se observó que el registro gráfico
resulta confuso para los sujetos, principalmente en la transición del registro numérico al
gráfico. De igual manera hubo confusión en cuanto a lo auditivo, aunque ésta fue menor.
También se logró identificar los registros que se les facilitan a los sujetos, lo cual puede
ayudar, ya que al conocer aquello que se le facilita al alumno se puede partir de ello para
llegar a su aprendizaje.
Se verificó el supuesto referido a que se pueden representar a través de registros
algunas de las relaciones entre matemáticas y música, además, con respecto al análisis de las
calificaciones de los sujetos se observó que efectivamente tiene un resultado positivo (en
matemáticas) que los alumnos tengan conocimientos musicales, puesto que sus calificaciones
se encuentran entre las mejores en la mayoría de los casos.
Tomar en cuenta diversos aspectos como son la relación de las matemáticas con la
vida cotidiana de los alumnos (como la música), permite que los alumnos se den cuenta que
las matemáticas no tratan sólo con abstracciones, sino que se pueden encontrar en otros
aspectos comunes, además, implementar diversas actividades que permitan al alumno verse
involucrado con los temas llamarán su atención, de igual manera cuando el alumno logra
52
enlazar los diversos temas que ve, como en el caso de los distintos registros donde identifica
que se trata del mismo objeto matemático, el alumno se da cuenta que sigue trabajando con
lo mismo además de utilizar los conocimientos que ya tiene para unirlo con algo nuevo.
Discusión La idea que sostiene este trabajo es que enseñar matemáticas enlazándolas con otros
aspectos, tales como la música ayuda, ya que así los alumnos observan una aplicación de lo
que ven en el aula, lo cual coadyuva al proceso de abstracción, además de que estudiar música
desarrolla diferentes aspectos que pueden ser utilizados en las matemáticas. Tomando en
cuenta esto Peralta (1998) coincide en que los alumnos rechazan las matemáticas al verlas
poco relacionadas con la realidad, esto a pesar de que PISA busca promover aplicaciones de
matemáticas. Además cabe destacar lo planteado por la OECD (2009) acerca de que los
músicos desarrollan varias partes del cerebro que les permiten mejorar en distintos aspectos,
incluidas las matemáticas. De esta manera puede utilizarse la música, incluso puede utilizarse
la combinación de matemáticas y música para cubrir dos materias de los planes de estudio,
lo cual permitirá ahorrar algo de tiempo.
Además como menciona Balibrea (2003) tanto matemáticas como música son
consideradas como un lenguaje, y como tal lleva su tiempo entenderlo, comprenderlo y
utilizarlo, así como las reglas que éstas utilicen. Así, al utilizar la relación que existe entre
ambas puede ayudar en el aprendizaje de ambas. Estos últimos aspectos fueron mencionados
por algunos de los sujetos de la población estudiada. Sin embargo hubo quien consideró que
enseñar las dos áreas combinándolas es una mala idea, esto tal vez a la falta de familiarización
con alguno de los lenguajes utilizados, aspecto que se debe tomar en cuenta para una futura
investigación.
Enseñar matemáticas con ayuda de la música puede ayudar a los alumnos no sólo a
ver una aplicación de lo que se ve en clase, sino que también utilizarían conocimientos vistos
con anterioridad lo cual ayudaría a que no fueran olvidados, pues seguirían en práctica, ya
que muchas veces solamente se ven una vez en clase. Además puede combinarse con una
teoría de la Matemática Educativa: los registros transicionales de Duval (2006), quien afirma
que para que se logre el aprendizaje se debe reconocer el mismo objeto matemático en sus
distintas representaciones. No obstante hay muchos factores que impiden relacionar
matemáticas con otras áreas (como música), por ejemplo el tiempo, los contenidos,
condiciones de las instituciones, etcétera, pero tal vez podría aplicarse en ciertos temas que
se presten para ello, sin caer en querer enseñar todo de esta manera.
Al realizarse la entrevista a profundidad se logró acercarse a los sujetos de la
población estudiada, de esta manera se detectaron los códigos y sus preferencias (encuesta
sobre preferencias musicales), de esta manera se logra detectar el medio social y el contacto
con los medios de comunicación lo cual repercute en lo que escuchan. De estos aspectos se
53
supone que existen las condiciones para acercarse con música al aprendizaje de las
matemáticas.
Recomendaciones
Se realizaron unos ejercicios con la misma relación presentada en el cuestionario
estructurado de relación de matemáticas y música. En estos ejercicios se utilizó la melodía
de Jingle Bells y en la que cada nota fue sustituida por una letra, posteriormente se
presentaron 5 ecuaciones que tendrían que ser resueltas para conocer el valor de cada
incógnita y así reproducir en el instrumento musical (Xilófono) el cual tenía en cada tecla un
número como en el cuestionario que se aplicó. Estos ejercicios (Anexo 3) no fueron aplicados
pero se pueden utilizar y poner a prueba en investigaciones posteriores.
Además se creó una situación didáctica (Anexo 4) que tampoco ha sido puesta a
prueba en la que los alumnos con ayuda de la misma relación entre matemáticas y música se
ubicarán en el plano cartesiano. Dicha actividad se realizará en parejas con el fin de hacer
más dinámica la actividad. A cada alumno se le otorgarán hojas con melodías distintas, cada
alumno interpretará en el xilófono los números de la melodía que les tocó, posteriormente, le
darán las instrucciones a su compañero para que en una hoja cuadriculada ubique cada una
de las notas asignándoles dos números a cada una, la primera correspondiente al orden de
aparición y la segunda a la ubicación de la nota. Después los números los colocarán en la
hoja cuadriculada para finalmente reproducirlos en el instrumento musical para identificar la
melodía. Este procedimiento lo realizarán ambos alumnos. Como último, se organizarán a
los alumnos en grupos para que, siguiendo las condiciones que deseen, elaboren una melodía
mediante algún tipo de escritura para después compartirla con el resto del grupo y mostrarles
la forma en que la escribieron y bajo los patrones acordados por el equipo.
Las dos situaciones mencionadas previamente son ejemplos de dispositivos
didácticos que pueden ser puestos a prueba en otras investigaciones.
54
Anexos Anexo 1. Instrumento sobre relación entre matemáticas y música con base en la
Teoría de Representaciones Semióticas.
Datos Personales
Lugar de nacimiento:
Edad:
Grado de escolaridad:
Institución donde estudias:
Dirección:
Sexo ¿Tienes estudios musicales?
F M
Si No
¿Cuáles?
¿Cuánto tiempo?
Instrucciones.- A continuación se te mostrará mediante 3 actividades algunas de las distintas
relaciones que existen entre las matemáticas y la música ya que, aunque no lo parezca, se
encuentran relacionadas.
Actividad 1.
1.- Reproduce en el instrumento musical que se te proporcionó los siguientes números oprimiendo
la tecla correspondiente al número asignado.
Nota: X significa que no tocarás ninguna tecla.
9 9 16 16 18 18 16 X 14 14 13 13 11 11 9
¿Reconoces esta melodía?
2.- Coloca en la segunda columna de la siguiente tabla los números que utilizaste en el apartado
anterior.
Tiempo Número de nota
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
55
3.- Con base en el apartado anterior grafica los números en el siguiente plano cartesiano.
Actividad 2.
1.-A continuación suma 3 unidades a los números que se presentaron en el apartado 2 de la
Actividad 1, coloca los resultados en la siguiente tabla, realiza lo mismo que en el apartado 3.
Tiempo Resultado de la suma
1
2
3
4
5
6
7
2.- A continuación resta 5 unidades a los números que se presentaron en el apartado 2 de la
Actividad 1 y realiza lo mismo que en el apartado anterior.
Tiempo Resultado de la resta
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
8
9
10
11
12
13
14
15
56
3.- Reproduce en el instrumento musical los números que utilizaste en las preguntas 1 y 2 de esta
actividad y responde lo siguiente. ¿Qué observas?, ¿A qué crees que se deba?
Actividad 3.
1.-Dada la siguiente gráfica, ubica las coordenadas de cada punto en la tabla.
2.- Basándote en la Actividad 1 y en lo realizado anteriormente interpreta los números en el
instrumento musical presentado y responde las preguntas.
¿Qué melodía es?
¿Qué pasaría si le sumas o restas 8 unidades? ¿Cómo sonaría? ¿Por qué crees que pasa eso?
57
Anexo 2. Guion de entrevista
Nombre del sujeto
Fecha Grupo
Pregunta central: ¿Qué te dejaron estas actividades?
Preguntas de segundo orden:
Algún ejemplo
¿Por qué?
¿Qué concluyes?
¿Cómo lo sentiste?
¿Dónde lo habías visto?
¿Qué te pareció?
58
Anexo 3. Ejemplo de aplicación
Identifica la nota y la tecla correspondiente a cada letra y reconoce la melodía.
X: Silencio
5𝑎 + 3 = 58
−4𝑏 + 8 = −48
2𝑐 − 9 = 6𝑐 − 37
𝑑 + 11 = 20
−4𝑒 + 4 = 3𝑒 − 80
a a a X a a a X a b c d a X e e e e a a a a a d d a d X b
Respuestas
11 11 11 X 11 11 11 X 11 14 7 9 11 X 12 12 12 12 11 11 11 11 11 9 9 11 9 X 14
59
Anexo 4. Situación didáctica
Diseño de una Situación Didáctica en Secundaria con Matemáticas y Música.
Tipo de problema
En este problema se plantea a los alumnos diversas actividades que les permitirán ubicarse en el plano
cartesiano haciendo uso de un instrumento musical (xilófono). Aquí los alumnos no necesitan tener
conocimientos musicales, solo conocimientos básicos de matemáticas tales como enumerar cosas o
números. Se les proporcionará un xilófono (también llamado metalófono) el cual tendrá en cada una
de sus teclas un número asignado. También se les entregarán hojas donde tendrán los números que
reproducirán en el instrumento y después de ciertos procedimientos ubicarán cada nota en un plano
cartesiano. Como última actividad se les pedirá crear una canción haciendo uso de lo aprendido
relacionando así música con matemáticas.
Objetivo de la actividad
Que los alumnos utilicen conocimientos previos (enumerar), para llegar a un nuevo
conocimiento (ubicación en el plano cartesiano).
Que vean que los conocimientos que ven en el aula pueden estar relacionados con otras áreas
y aspectos que ven comúnmente, tal como la música.
Realizar un trabajo en equipos compartiendo y comunicando ideas con sus compañeros.
Que los alumnos exploren con el material que se les presente.
Saber matemático en juego
La ubicación en el plano cartesiano es importante ya que se aborda desde secundaria hasta nivel
superior puesto que muchos temas que se verán lo ocupan. También sirve de prerrequisito para
cuando vean planos tridimensionales.
Procedimiento que el alumno puede utilizar
Interpretación e identificación de la melodía.
Enumerar cada uno de los números presentados.
Relacionar los números utilizados observando que van en parejas y colocarlos en el cuadro
presentado (plano cartesiano).
Ver cómo puede hacer que su compañero interprete e identifique la melodía sin mostrarle los
números que se le presentaron.
Identificar los números de la melodía que le tocó a su compañero para interpretarlos.
Compartir a sus compañeros ideas de cómo crear una canción.
60
Anotar los números (notas) utilizados.
Variables didácticas
Repetición de los números para identificar la melodía.
Guía mediante números o indicaciones como “izquierda” o “derecha” para ubicar en el cuadro
cada número.
Realización o no del proceso inverso para encontrar el número que interpretarán en el
instrumento musical.
Interpretación de cada número (nota) en el instrumento al momento de crear la canción.
Descripción de la actividad (inicio, desarrollo y cierre)
Inicio
En parejas se les proporcionará a los alumnos hojas con las instrucciones para resolver las actividades.
Dichas hojas contendrán los números correspondientes a dos canciones distintas, es decir, a cada
alumno se le otorgará una melodía diferente.
En un inicio los alumnos reproducirán en el instrumento musical que se les proporcionó los siguientes
números oprimiendo la tecla correspondiente al número asignado. Cuando vean que está “X” significa
que no tocarán ninguna tecla.
a)
9 9 16 16 18 18 16 X 14 14 13 13 11 11 9
b)
2 7 11 X 11 9 11 12 X 9 11 12 14 X 11 12 14 16
Se les preguntará: ¿Reconoces la melodía? ¿Cuál es?
Una vez que reproduzcan y (de ser posible) reconozcan la melodía enumerarán los números utilizados
según el orden de aparición en la siguiente tabla.
61
Posteriormente colocarán los números en el siguiente cuadro de tal manera que pueda comunicarle la
ubicación de cada número a su compañero y que éste ubique también los números.
Desarrollo
Cada alumno informará la ubicación de cada nota a su compañero el cual la localizará en un cuadro
como el que se muestra. Después realizará los procedimientos que considere necesarios para
interpretar la melodía en el instrumento musical e identificarla. Con esta actividad se pretende que el
alumno realice el proceso inverso a lo que había hecho.
Se les preguntará: ¿Qué melodía le tocó a tu compañero?
62
Cierre
Finalmente, en grupos crearán una canción y elaborarán la escritura que consideren conveniente para
que cualquiera de sus compañeros que no forme parte del equipo pueda reproducirla en el instrumento
musical.
Se escogerá a un compañero para que interprete la melodía creada por sus compañeros y éstos
explicarán la forma en que la crearon.
63
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