unifal-mg, campus varginha · 2 7 4 escalar: matriz com uma linha e uma coluna. - ex.: x = 3, a =...
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Algebra matricial
Analise multivariada
Patrıcia de Siqueira Ramos
UNIFAL-MG, campus Varginha
4 de Setembro de 2018
Patrıcia de Siqueira Ramos Analise multivariada
Algebra matricial
DefinicoesOperacoes elementaresObservacoesMatrizes especiaisOperacoes matriciais
Definicoes
Matriz:- colecao de numeros ordenados por linhas e colunas- e comum organiza-los usando ( ), [ ] ou { }- na forma digital usamos a notacao de negrito e letramaiuscula para uma matriz. Por exemplo, uma matriz podeser representada como
Y =
[5 8 2−1 0 7
]Obs.: Na forma escrita manualmente, devido a dificuldade derepresentar o negrito, usaremos um til embaixo da letramaiuscula
Patrıcia de Siqueira Ramos Analise multivariada
Algebra matricial
DefinicoesOperacoes elementaresObservacoesMatrizes especiaisOperacoes matriciais
Definicoes
Dimensao: numero de linhas e colunas de uma matriz (n e onumero de linhas e p e o numero de colunas).Assim, uma matriz tem dimensao n × p.A matriz Y do exemplo tem dimensao 2× 3.
Os elementos de uma matriz sao numerados como
X = [xij ] =
x11 · · · x1p
. . .. . . . . .
xn1 · · · xnp
.Assim, xij e o elemento correspondete a i-esima linha ej-esima coluna.- No exemplo da matriz Y, y11 = 5, . . . , y23 = 7.
Patrıcia de Siqueira Ramos Analise multivariada
Algebra matricial
DefinicoesOperacoes elementaresObservacoesMatrizes especiaisOperacoes matriciais
Definicoes
Dimensao: numero de linhas e colunas de uma matriz (n e onumero de linhas e p e o numero de colunas).Assim, uma matriz tem dimensao n × p.A matriz Y do exemplo tem dimensao 2× 3.
Os elementos de uma matriz sao numerados como
X = [xij ] =
x11 · · · x1p
. . .. . . . . .
xn1 · · · xnp
.Assim, xij e o elemento correspondete a i-esima linha ej-esima coluna.- No exemplo da matriz Y, y11 = 5, . . . , y23 = 7.
Patrıcia de Siqueira Ramos Analise multivariada
Algebra matricial
DefinicoesOperacoes elementaresObservacoesMatrizes especiaisOperacoes matriciais
Definicoes
Vetor: matriz com uma linha (vetor linha) ou uma coluna(vetor coluna).- Ex.: a e um vetor coluna e b e um vetor linha:
a =
723
b =[−2 7 4
]
Escalar: matriz com uma linha e uma coluna.- Ex.: x = 3, a = 0, w = −7.
Patrıcia de Siqueira Ramos Analise multivariada
Algebra matricial
DefinicoesOperacoes elementaresObservacoesMatrizes especiaisOperacoes matriciais
Definicoes
Vetor: matriz com uma linha (vetor linha) ou uma coluna(vetor coluna).- Ex.: a e um vetor coluna e b e um vetor linha:
a =
723
b =[−2 7 4
]
Escalar: matriz com uma linha e uma coluna.- Ex.: x = 3, a = 0, w = −7.
Patrıcia de Siqueira Ramos Analise multivariada
Algebra matricial
DefinicoesOperacoes elementaresObservacoesMatrizes especiaisOperacoes matriciais
Operacoes elementares
Soma e subtracao de duas (ou mais) matrizes:- ambas devem ter mesma dimensao n × p- a soma e feita elemento a elemento:
A + B = [aij ± bij ]
- Ex.:
A + B =
[1 9 −23 6 0
]+
[8 4 −3−7 1 6
]=
[9 13 −5−4 7 6
]
Patrıcia de Siqueira Ramos Analise multivariada
Algebra matricial
DefinicoesOperacoes elementaresObservacoesMatrizes especiaisOperacoes matriciais
Operacoes elementares
Multiplicacao de uma matriz por um escalar c :
cA = [c · aij ]
- Ex.: 4A
4A =
[4 · 1 4 · 9 4 · (−2)4 · 3 4 · 6 4 · 0
]=
[4 36 −8
12 24 0
]
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Algebra matricial
DefinicoesOperacoes elementaresObservacoesMatrizes especiaisOperacoes matriciais
Operacoes elementares
Multiplicacao de uma matriz por um escalar c :
cA = [c · aij ]
- Ex.: 4A
4A =
[4 · 1 4 · 9 4 · (−2)4 · 3 4 · 6 4 · 0
]=
[4 36 −8
12 24 0
]
Patrıcia de Siqueira Ramos Analise multivariada
Algebra matricial
DefinicoesOperacoes elementaresObservacoesMatrizes especiaisOperacoes matriciais
Operacoes elementares
Multiplicacao de matrizes:- o numero de colunas da primeira matriz (n × p) deve ser igual aonumero de linhas da segunda matriz (p ×m).- a matriz resultante sera n ×m:
An×p · Bp×m = Cn×m
Ex.:
[2 8 −13 6 4
]2×3
·
1 79 −26 3
3×2
=
[2 · 1 + 8 · 9 + (−1) · 6 2 · 7 + 8 · (−2) + (−1) · 3
3 · 1 + 6 · 9 + 4 · 6 3 · 7 + 6 · (−2) + 4 · 3
]2×2
=[68 −581 21
]2×2
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Algebra matricial
DefinicoesOperacoes elementaresObservacoesMatrizes especiaisOperacoes matriciais
Operacoes elementares
Multiplicacao de matrizes:- o numero de colunas da primeira matriz (n × p) deve ser igual aonumero de linhas da segunda matriz (p ×m).- a matriz resultante sera n ×m:
An×p · Bp×m = Cn×m
Ex.:
[2 8 −13 6 4
]2×3
·
1 79 −26 3
3×2
=[2 · 1 + 8 · 9 + (−1) · 6 2 · 7 + 8 · (−2) + (−1) · 3
3 · 1 + 6 · 9 + 4 · 6 3 · 7 + 6 · (−2) + 4 · 3
]2×2
=[68 −581 21
]2×2
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Algebra matricial
DefinicoesOperacoes elementaresObservacoesMatrizes especiaisOperacoes matriciais
Operacoes elementares
Ex.: Se multiplicarmos um vetor linha por um vetor colunateremos:
[1 7 5
]1×3·
241
3×1
= 1 · 2 + 7 · 4 + 5 · 1 = 35 (escalar)
Porem, se multiplicarmos um vetor coluna por um vetor linhateremos: 2
41
3×1
·[
1 7 5]
1×3=
2 14 104 28 201 7 5
3×3
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Algebra matricial
DefinicoesOperacoes elementaresObservacoesMatrizes especiaisOperacoes matriciais
Obs. a) Diferencas entre escalares e matrizes
escalares matrizesa.1) ab = ba AB 6= BA
a.2) Se ab = ac e a 6= 0, Se AB = AC e A 6= 0,entao b = c entao nao necessariamente B = C
a.3) Se ab = 0, entao a = 0, Se AB = 0, nao necessariamente A = 0,ou b = 0 ou ambos sao 0 B = 0 ou ambos sao 0
a.4) Se ab = 0, entao ba = 0 Se AB = 0, nao necessariamente BA = 0.
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DefinicoesOperacoes elementaresObservacoesMatrizes especiaisOperacoes matriciais
Obs. a) Diferencas entre escalares e matrizes - exemplos
a.1) A =
[1 32 −1
],B =
[2 −10 2
],AB =
[2 54 −4
]6= BA =
[0 74 −2
]
a.2) A =
[1 30 1
],B =
[2 42 3
],C =
[1 −2−1 2
],
AC =
[−2 4−1 2
]= BC, mas A 6= B
a.3) A =
[1 11 1
],B =
[1 −1−1 1
],AB =
[0 00 0
]= BA, mas A 6= 0 e B 6= 0
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Algebra matricial
DefinicoesOperacoes elementaresObservacoesMatrizes especiaisOperacoes matriciais
Obs. a) Diferencas entre escalares e matrizes - exemplos
a.1) A =
[1 32 −1
],B =
[2 −10 2
],AB =
[2 54 −4
]6= BA =
[0 74 −2
]
a.2) A =
[1 30 1
],B =
[2 42 3
],C =
[1 −2−1 2
],
AC =
[−2 4−1 2
]= BC, mas A 6= B
a.3) A =
[1 11 1
],B =
[1 −1−1 1
],AB =
[0 00 0
]= BA, mas A 6= 0 e B 6= 0
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Algebra matricial
DefinicoesOperacoes elementaresObservacoesMatrizes especiaisOperacoes matriciais
Obs. a) Diferencas entre escalares e matrizes - exemplos
a.1) A =
[1 32 −1
],B =
[2 −10 2
],AB =
[2 54 −4
]6= BA =
[0 74 −2
]
a.2) A =
[1 30 1
],B =
[2 42 3
],C =
[1 −2−1 2
],
AC =
[−2 4−1 2
]= BC, mas A 6= B
a.3) A =
[1 11 1
],B =
[1 −1−1 1
],AB =
[0 00 0
]= BA, mas A 6= 0 e B 6= 0
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DefinicoesOperacoes elementaresObservacoesMatrizes especiaisOperacoes matriciais
Obs. b)
Ap = A · A · · · · · A (p fatores).
ApAq = Ap+q,
(Ap)q = Apq
(AB)p nao e necessariamente igual a ApBp.
Para escalares tal regra vale, por exemplo:
(2 · 3)2 = 62 = 36 e 22 · 32 = 36.
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DefinicoesOperacoes elementaresObservacoesMatrizes especiaisOperacoes matriciais
Obs. c)
(AB)T = BTAT .
(T representa a transposta de uma matriz, tal definicao sera vistaadiante).
Ex.) A =
[1 30 1
],B =
[2 42 3
],AB =
[8 132 3
].
BT =
[2 24 3
],AT =
[1 03 1
],BTAT =
[8 2
13 3
].
(AB)T =
[8 2
13 3
]= BTAT .
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DefinicoesOperacoes elementaresObservacoesMatrizes especiaisOperacoes matriciais
Produto de Hadamard
Ap×q⊙
Bp×q = Cp×q.
Menos comum do que a multiplicacao de matrizes
A multiplicacao e feita elemento a elemento (a11 com b11, a12
com b12 e assim por diante)
As duas matrizes devem ter mesma dimensao
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DefinicoesOperacoes elementaresObservacoesMatrizes especiaisOperacoes matriciais
Matriz quadrada
Matriz em que o numero de linhas e igual ao numero decolunas
Ex.: A =
[1 63 2
],B =
0 10 −24 11 27 −8 9
sao quadradas com dimensoes 2× 2 e 3× 3, respectivamente.
C =
1 90 37 −2
nao e quadrada e tem dimensao 3× 2.
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DefinicoesOperacoes elementaresObservacoesMatrizes especiaisOperacoes matriciais
Matriz simetrica
Matriz quadrada em que xij = xji ∀ i , j , ou seja, inverterlinhas e colunas nao afeta a matriz
Assim, AT = AExemplos:
A =
9 1 51 6 25 2 7
e simetrica.
B =
9 1 55 6 21 2 7
nao e simetrica.
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DefinicoesOperacoes elementaresObservacoesMatrizes especiaisOperacoes matriciais
Matriz diagonal
Matriz simetrica em que todos os elementos fora da diagonalsao zero
Dp×p =
d11 0 0 · · · 00 d22 0 · · · 0...
.... . .
......
0 0 0 · · · dpp
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DefinicoesOperacoes elementaresObservacoesMatrizes especiaisOperacoes matriciais
Matriz identidade
Matriz diagonal de 1s
I =
1 0 0 · · · 00 1 0 · · · 0...
.... . .
......
0 0 0 · · · 1
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DefinicoesOperacoes elementaresObservacoesMatrizes especiaisOperacoes matriciais
Matriz unitaria
Matriz composta de 1s:
J =
1 · · · 11 · · · 1...
. . ....
1 · · · 1
.
A matriz J pode ser obtida a partir da multiplicacao de umvetor de 1s pela transposta dele
J = 1 · 1T =
11...1
[ 1 · · · 1]
=
1 · · · 11 · · · 1...
. . ....
1 · · · 1
.
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DefinicoesOperacoes elementaresObservacoesMatrizes especiaisOperacoes matriciais
Matriz unitaria
Matriz composta de 1s:
J =
1 · · · 11 · · · 1...
. . ....
1 · · · 1
.A matriz J pode ser obtida a partir da multiplicacao de umvetor de 1s pela transposta dele
J = 1 · 1T =
11...1
[ 1 · · · 1]
=
1 · · · 11 · · · 1...
. . ....
1 · · · 1
.Patrıcia de Siqueira Ramos Analise multivariada
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DefinicoesOperacoes elementaresObservacoesMatrizes especiaisOperacoes matriciais
Matriz nula
Matriz composta de 0s:
0 =
0 · · · 00 · · · 0...
. . ....
0 · · · 0
.
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DefinicoesOperacoes elementaresObservacoesMatrizes especiaisOperacoes matriciais
Matriz ortogonal Q
Matriz em que as seguintes relacoes valem:
QTQ = QQT = I.
Exemplo:
Q =
[cos(θ) − sin(θ)sin(θ) cos(θ)
],
QT =
[cos(θ) sin(θ)− sin(θ) cos(θ)
],QTQ = QQT =
[1 00 1
].
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DefinicoesOperacoes elementaresObservacoesMatrizes especiaisOperacoes matriciais
Matriz ortogonal Q
Matriz em que as seguintes relacoes valem:
QTQ = QQT = I.
Exemplo:
Q =
[cos(θ) − sin(θ)sin(θ) cos(θ)
],
QT =
[cos(θ) sin(θ)− sin(θ) cos(θ)
],QTQ = QQT =
[1 00 1
].
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DefinicoesOperacoes elementaresObservacoesMatrizes especiaisOperacoes matriciais
Matriz idempotente
Matriz em que
AA = A.
Exemplo: 1 0 00 1/2 1/20 1/2 1/2
1 0 00 1/2 1/20 1/2 1/2
=
1 0 00 1/2 1/20 1/2 1/2
.
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DefinicoesOperacoes elementaresObservacoesMatrizes especiaisOperacoes matriciais
Qualquer matriz pre ou pos multiplicada por I resulta napropria matriz
AI = A
IA = A
Exemplos: [2 5−1 4
] [1 00 1
]=
[2 5−1 4
].[
1 00 1
] [2 5−1 4
]=
[2 5−1 4
].
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DefinicoesOperacoes elementaresObservacoesMatrizes especiaisOperacoes matriciais
Qualquer matriz pre ou pos multiplicada por I resulta napropria matriz
AI = A
IA = A
Exemplos: [2 5−1 4
] [1 00 1
]=
[2 5−1 4
].[
1 00 1
] [2 5−1 4
]=
[2 5−1 4
].
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DefinicoesOperacoes elementaresObservacoesMatrizes especiaisOperacoes matriciais
A pre ou pos multiplicacao pela matriz nula 0 resulta namatriz nula 0:
A0 = 0
0A = 0
Exemplos: [2 5−1 4
] [0 00 0
]=
[0 00 0
].[
0 00 0
] [2 5−1 4
]=
[0 00 0
].
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DefinicoesOperacoes elementaresObservacoesMatrizes especiaisOperacoes matriciais
Topicos a serem vistos
Posteriormente, veremos que o vetor 1 e usado para obter ovetor de medias amostrais X e a matriz de covarianciasamostrais S
O vetor de medias amostrais e dado por
X =1
n
n∑i=1
Xi · =1
nXT1
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DefinicoesOperacoes elementaresObservacoesMatrizes especiaisOperacoes matriciais
Topicos a serem vistos
Exemplo: Seja a matriz de dados X que contem 4 observacoes medidasem 3 variaveis:
X =
7 3 94 6 114 2 55 5 7
4×3
.
Vamos obter o vetor de medias amostrais usando a formula vista:
X =1
4
7 4 4 53 6 2 59 11 5 7
3×4
1111
4×1
=
1
4
7 + 4 + 4 + 53 + 6 + 2 + 5
9 + 11 + 5 + 7
3×1
=
548
3×1
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Topicos a serem vistos
Exemplo: Seja a matriz de dados X que contem 4 observacoes medidasem 3 variaveis:
X =
7 3 94 6 114 2 55 5 7
4×3
.
Vamos obter o vetor de medias amostrais usando a formula vista:
X =1
4
7 4 4 53 6 2 59 11 5 7
3×4
1111
4×1
=
1
4
7 + 4 + 4 + 53 + 6 + 2 + 5
9 + 11 + 5 + 7
3×1
=
548
3×1
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DefinicoesOperacoes elementaresObservacoesMatrizes especiaisOperacoes matriciais
Traco
Para uma matriz quadrada A de dimensao n × n, o traco e asoma dos elementos da diagonal principal
A =
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n...
.... . .
...an1 an2 · · · ann
tr(A) =
n∑i=1
aii = a11 + a22 + · · ·+ ann.
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DefinicoesOperacoes elementaresObservacoesMatrizes especiaisOperacoes matriciais
Transposta
Seja a matriz A de dimensao n ×m, representamos suatransposta por AT ou A′ e ela tem dimensao m × n
O elemento aij em A sera o elemento aji em AT
Propriedades:- Para A quadrada n × n, tr(AT ) = tr(A)- Para A simetrica, AT = A- Para A diagonal, AT = A- A + AT e AT + A sao simetricas:
A =
2 5 83 6 94 7 10
.A + AT =
4 8 128 12 16
12 16 20
= AT + A.
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Transposta
Seja a matriz A de dimensao n ×m, representamos suatransposta por AT ou A′ e ela tem dimensao m × n
O elemento aij em A sera o elemento aji em AT
Propriedades:- Para A quadrada n × n, tr(AT ) = tr(A)- Para A simetrica, AT = A- Para A diagonal, AT = A- A + AT e AT + A sao simetricas:
A =
2 5 83 6 94 7 10
.A + AT =
4 8 128 12 16
12 16 20
= AT + A.
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DefinicoesOperacoes elementaresObservacoesMatrizes especiaisOperacoes matriciais
Determinante
Para uma matriz quadrada A n × n ha dois metodos muitoutilizados para obter o determinante de A:1 - metodo direto: e o produto da diagonal principal menos oproduto dos outros elementos.Ex.: matriz 2× 2
A =
[2 13 −1
].
|A| = 2 · (−1)− (3 · 1)
= −2− 3
|A| = −5
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Determinante
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Determinante
2 - formula (pode ser utilizada para matrizes quadradas dequaisquer dimensoes)
|A| =n∑
j=1
(−1)i+jaij |Aij |,
em que Aij e denominado menor e e a matriz quadrada(n − 1)× (n − 1) obtida com a eliminacao da i-esima linha ej-esima coluna de A
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Determinante
Ex.: matriz 3× 3 (usando a formula):
A =
4 −1 14 5 3−2 0 0
.
Temos que fixar uma linha ou coluna. Vamos escolher a linha 1(i = 1). Assim, variamos o valor da coluna (j = 1, 2, 3):
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Determinante
Ex.: Continuacao
|A| = (−1)1+1a11|A11|+ (−1)1+2a12|A12|+ (−1)1+3a13|A13|
= 1 · 4 ·∣∣∣∣ 5 3
0 0
∣∣∣∣+ (−1) · (−1) ·∣∣∣∣ 4 3−2 0
∣∣∣∣+ 1 · 1 ·∣∣∣∣ 4 5−2 0
∣∣∣∣= 4 · 0 + 1 · 6 + 1 · 10 = 16.
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Propriedades do determinante
1 |A| = |AT |2 |AB| = |A||B|3 |cA| = cn|A|4 matriz ortogonal: |A| = ±1
5 se duas linhas (ou colunas) de A sao iguais, |A| = 0
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Propriedades do determinante - exemplos
2. A =
[3 12 4
],B =
[4 23 5
],AB =
[15 1120 24
],
|AB| = 14 · 24− 20 · 11 = 140.
|A| = 10 , |B| = 14 , |AB| = |A||B| = 10 · 14 = 140.
3. D =
[3 12 4
],E = 3D =
[9 36 12
], |E| = 9 · 12− 3 · 6 = 90.
|D| = 12− 2 = 10 , |E| = |3D| = 32|D| = 9 · 10 = 90.
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