unidade curricular: topografia · cartográficas dos vértices da rede geodésica e com a...

Universidade do Minho Escola de Engenharia Unidade curricular: TOPOGRAFIA Sebenta Prática Mestrado Integrado em Engenharia Civil

Elisabete Freitas

Universidade do Minho Departamento de Engenharia Civil Caderno de Apoio de Topografia

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DEFINIÇÃO DE TOPOGRAFIA

A Topografia (do grego: lugar + descrição) ocupa-se da representação minuciosa do terreno, em grandes extensões da superfície terrestre com apoio no quadro de referência proporcionado pelas coordenadas cartográficas dos vértices da rede geodésica e com a utilização de aparelhos para medição de ângulos e de distâncias.

Cartografia é constituída por um conjunto de operações científicas, artísticas e técnicas que a partir dos resultados obtidos de observações diretas no “campo” ou da exploração de documentos “ fotografias aéreas “ tem em vista a elaboração de cartas ou mapas, plantas e outros meios de expressão. Ela engloba todas as atividades que vão desde o levantamento do terreno até a impressão definitiva e posteriormente a publicação da carta elaborada. A operação de recolha de informação necessária para a elaboração de uma planta ou carta topográfica de uma região é designada por levantamento topográfico. Os levantamentos topográficos podem ser executados utilizando:

- Os métodos clássicos da Topografia, que se baseiam fundamentalmente na medição de ângulos e distâncias recorrendo a instrumentos tais como teodolitos, níveis e distanciómetros;

- Métodos fotogramétricos, sendo a informação obtida a partir de fotografias aéreas métricas, ou imagens numéricas multiespectrais recolhidas por sensores instalados em satélites artificiais da Terra; - O Sistema de Posicionamento Global, mais conhecido por GPS, que utiliza recetores dos sinais emitidos pelos satélites da constelação GPS, permitindo a determinação precisa das coordenadas dos locais onde as antenas dos recetores são colocadas. Quaisquer dos métodos expostos requer, para além do trabalho de recolha de informação, denominado de trabalho de campo, a posterior execução de ajustamentos e cálculos necessários à obtenção das quantidades pretendidas, a que se chama usualmente trabalho de gabinete.

Outros trabalhos do domínio da Topografia incluem por exemplo a implantação e apoio à construção de obras e a auscultação do comportamento de grandes obras de Engenharia, tais como barragens e pontes: - A implantação de obras consiste na transferência para o terreno duma obra projetada numa carta (planta). São utilizados métodos análogos aos dos levantamentos topográficos diretos;

- A construção de obras de grande dimensão tem de ser acompanhada com operações topográficas – medição de distâncias e de ângulos;

- Em obras de grande responsabilidade e após a sua conclusão, torna-se necessário, como medida de segurança, estudar periodicamente o seu comportamento.

Cartas é uma representação convencional geralmente plana em posições relativas de fenómenos concretos ou abstratos localizados no campo.

Classificação das cartas:

- Plantas para uma pequena porção terreno, por exemplo uma cidade ou vila;

- Cartas para uma província ou país, abrange pequena porção de superfície terrestre;


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- Mapas para a totalidade ou grande extensão de superfície terrestre, por exemplo o mapa-mundo ou planisfério;

- Foto mapas obtidos de mosaicos fotográficos reunidos em folhas colorindo pequenas ou grandes áreas conforme a altura que se encontra a fotografia;

- Cosmo cartas feitas a partir de imagens obtidas por satélite.

Escala

A Escala de uma carta corresponde à relação constante entre as dimensões de formas representadas na carta e as das suas homólogas no terreno. É utilizada para reduzir as dimensões naturais do terreno com o fim de permitir a sua representação. Sendo d a distância medida na carta entre dois pontos (distância gráfica), o produto desta pelo denominador da escala (m) traduz a distância horizontal entre esses dois pontos (D', ou distância natural). O denominador da escala é normalmente um múltiplo de 10.

Escala=d/D' = 1/(D'/d) = 1/m.

Escala Numérica é definida por uma fração em que o numerador é a medida sobre a carta e o denominador é a medida correspondente no terreno, estando as duas medidas com a mesma unidade. 1

50 000

Escalas Convencionais

Escalas decimais (1/10n): 1/10; 1/100; 1/1.000; 1/10.000; 1/100.000; 1/1.000.000; etc. Escalas duplas (2/10n): 1/5; 1/50; 1/500; 1/5.000; 1/50.000; 1/500.000.000; etc. Escalas subduplas (1/2*10n): 1/20; 1/200; 1/2.000; 1/20.000; 1/200.000; 1/2.000.000; etc. Escalas quádruplas (4/10n): 1/2,5; 1/25; 1/250; 1/2.500; 1/25.000; 1/250.000; etc.

A escolha da escala de um levantamento topográfico é ditada pela sua utilização. Para a elaboração de plantas topográficas para a construção de grandes obras (pontes, barragens) devem ser utilizadas escalas entre 1/500 e 1/200, as quais permitem o cálculo de volumes de escavação e aterro com razoável rigor. Para o estudo e projeto de vias de comunicação devem ser utilizadas escalas entre 1/5.000 e 1/500. Nos levantamentos topográficos urbanos (estudos de urbanização de redes de distribuição de águas, redes de esgotos, redes telefónicas, redes de transporte de energia elétrica) devem ser usadas escalas entre 1/2.000 e 1/1.000. Os levantamentos de cadastro rústico e urbano devem ser realizados a escalas entre 1/10.000 e 1/2.000. Em resumo, enquanto a elaboração dos planos gerais de grandes obras pode ser realizada à escala 1/25.000, para os estudos de pormenor podem tornar-se necessários levantamentos a escalas superiores a 1/500. Alguns exemplos de escalas de cartas conhecidas:

-As cartas hipsométrica e geológica de Portugal encontram-se, respetivamente, à escala 1/200.000 e 1/500.000;

-A carta militar (dos Serviços Cartográficos do Exército), encontra-se à escala 1/25.000.

Nas cartas com escala pequena (denominador maior ou igual a 25.000), para comodidade do trabalho utiliza-se uma escala gráfica, constituída por um segmento de reta dividida em partes iguais, cada uma correspondente a uma certa distância medida no terreno


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Escalas gráficas é um áboco formado por uma linha simples ou dupla dividida por partes iguais ou seja, graduada em que cada espaço (divisão) representa unidade de medida sobre o terreno

Classificação das escalas Escalas grandes (1:25000) - Quando numa folha de tamanho razoável é representada uma porção pequena de terreno. Como exemplo, uma folha A4 onde é representada um km2 de terreno

Escalas pequenas (1:1000 000) - Quando numa folha pequena é representado uma grande porção de terreno. Tendo como exemplo continente

Unidades de medida angulares

Graduação sexagesimal: a circunferência encontra-se subdividida em 360 partes iguais, graus (º),distribuídos em quatro quadrantes de 90º. Cada grau considera-se dividido em 60 minutos (‘) e cada minuto encontra-se dividido em 60 segundos (“), ou seja um grau equivale a 3600”.

Exemplo da apresentação: 28º 26’ 32”, 4.

Graduação centesimal: a circunferência encontra-se subdividida em 400 partes iguais, grados (g), distribuídos em quatro quadrantes de 100g. Cada grado compreende 10 minutos (m) e cada minuto compreende 100 segundos (s).

Exemplo da apresentação: 41g 22m 18s,2 ou, na forma centesimal: 41g,22182.

Frequentemente é necessário proceder à transformação de graduações para poder relacionar trabalhos realizados com diferentes instrumentos. Para este efeito utiliza-se a seguinte proporção:

100ᵍ90° = ᵍ

° Por exemplo, se quisermos transformar a medida centesimal anterior (41g,22182) em graduação sexagesimal, bastará multiplicar por 9/10, obtendo-se: 37º,09964. A fração 0,09964 obtida poderá expressar-se em minutos multiplicando por 60, resultando 5’,9784. A fração 0,9784 poderá ser transformada em segundos multiplicando-a por 60, resultando 58”,704. A apresentação final em graus será: 37º 05’ 58”,704. De forma recíproca, se quisermos transformar a medida sexagesimal de 28º 26’ 32”,4 em graduação centesimal, bastará multiplicar por 10/9 depois de ter transformado a medida numa fração de graus. Assim, começar por passar minutos a segundos, somar os segundos que já existiam e dividir por 3600. Os 26’ correspondem a 26*60=1560”, ao somar 32”,4 obtém-se 1592”,4. A divisão deste valor por 3600 resulta em 0º,44233, pelo que a medida expressa em graus será: 28º,44233. Multiplicando este valor por10/9 obtém-se o valor final na forma centesimal: 28,44233*10/9=31g,60259.


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Outra forma de graduação de ângulos é o radiano (“rad”, do sistema circular), podendo operar transformações deste para as graduações sexagesimal ou centesimal, respetivamente através das seguintes expressões: 2π rad=360º e 2π rad=400g.

RELEVO

Representação do relevo

a) Por pontos cotados: são pontos notáveis do terreno que têm a seu lado as respetivas cotas, sendo estas referidas a um plano arbitrário. Esse plano arbitrário será um plano de nível definido por um marco geodésico ou outro ponto de referência devidamente assinalado ou cotado. Se o n.º de pontos for suficiente e bem distribuído, a representação do terreno ficará bem caracterizada, permitindo uma ideia clara do conjunto.

b) Por curvas de nível: baseada na planta de pontos cotados, é aquela que mais satisfaz as necessidades práticas de um engenheiro.

A B

1 0 0

1 2 2

3 3 4 4

5 5 6 6

S Perspectiva

Plano de referência

1 0

3 4 5 6

2

60 m 50 m 40 m 30 m 20 m 10 m 0 m

5 6 4 3 2 1

Projecção vertical Equidistância

A

A'

S

Projecção horizontal

0

As curvas de nível são os lugares geométricos dos pontos do terreno que têm a mesma cota. Supõe-se o terreno cortado por planos horizontais (superfícies de nível) equidistantes e projetam-se as intersecções (curvas de nível) sobre a superfície de referência.

A distância constante entre os planos horizontais é a equidistância natural (E, desnível entre curvas de nível sucessivas ou distância vertical entre dois planos secantes consecutivos, planos de nível). A Equidistância gráfica (e) é o valor da equidistância natural reduzida à escala da carta: e=E/m.

A equidistância deve variar conforme a escala da carta, o acidentado do terreno e o objetivo do levantamento. No caso de terreno muito acidentado, deve aumentar-se o valor da equidistância, caso contrário as curvas de nível apresentam-se muito próximas, o que dificulta a interpretação do relevo. Na carta militar adaptou-se a equidistância de 10m.


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CURVAS DE NIVEL Algumas características das curvas de nível • Correspondem a planos horizontais equidistantes;

• Se as curvas de nível se encontrarem igualmente afastadas, o declive do terreno é constante; • O declive é tanto maior quanto menor for a distância entre as curvas de nível;

• Duas curvas de nível nunca se cruzam;

• Uma curva de nível não pode estar entre outras duas de maior ou menor cota de que aquela;

• Uma curva de nível nunca deve ser interrompida dentro da carta, salvo quando se encontra o sinal de escarpado, sinal que se deve usar sempre que o declive seja igual ou superior a 1:1 ou quando encontrar edifícios, estradas, caminhos ou linhas de água;

• As inflexões nunca se fazem em ângulos;

• Uma curva de nível só corta uma linha de água num ponto;

• Quando as curvas de nível cortam uma linha de água, a convexidade fica voltada para montante da linha de água.

• Correspondem a planos horizontais equidistantes.

• Se as curvas se encontram igualmente afastadas, o declive do terreno representado é constante. • Se o intervalo for sucessivamente diminuindo, de cima para baixo, a superfície é convexa.

• Se o intervalo entre as curvas de nível for sucessivamente aumentando, de cima para baixo, a superfície é côncava.

• Uma curva de nível em forma de argola ou volta fechada é indicativa de elevação ou colina.

• Uma curva de nível fechada, com pequenos traços voltados para dentro, indica uma depressão.

• A linha imaginária que corta as curvas de nível correspondentes aos pontos mais altos de uma série de colinas e colos identifica uma cumeeira.

• Duas curvas de nível rodeadas pela mesma curva de nível indicam um colo (normalmente um ponto baixo).

• Várias curvas de nível acumuladas sobre uma linha indicam um escarpado. • Curvas de nível retilíneas, paralelas a uma estrada ou outra obra de engenharia e que atravessem elevações

e cumeeiras indicam um desaterro. • Curvas de nível retilíneas, paralelas a uma estrada ou outra obra de engenharia e que passem por terrenos

baixos, indicam um aterro. • Curvas de nível sensivelmente paralelas a um curso de água e representando altitudes inferiores às das

curvas mais afastadas do dito curso de água, indicam um vale. • Curvas de nível que desenham uma série de Vs sucessivos indicam uma ravina (uma ravina é uma linha de

água que não formou um vale). • Curvas de nível que se alongam, como que formando uma saliência lateral, indicam um esporão. Construção das Curvas de Nível Regras para o traçado das curvas de nível

1- A primeira curva de nível de referência é sempre a de cota zero (embora não seja desenhada). Por ex. se a equidistância E for 10m, as curvas de nível serão as de cota 0-10-20...

2- Uma curva de nível ao atravessar uma linha de água sofre uma inflexão, voltando a convexidade para montante da linha da água.


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3- Uma curva de nível nunca corta uma linha de água em mais de um ponto, caso contrário a linha de água teria a mesma cota em mais do que um ponto do percurso.

4- Duas curvas de nível em regra não se cortam. Há casos especiais de perfis do terreno em que as curvas chegam a tocar-se ou a intersectar-se, podendo nestes casos substituir as curvas de nível por um sinal convencional de escarpado.

5- Uma curva de nível nunca se interrompe dentro dos limites do desenho, a não ser quando encontra um sinal convencional que se possa tornar confuso com a sobreposição do desenho.

6- Podem usar-se curvas de nível intermédias (marcadas a tracejado e que correspondem a uma equidistância gráfica igual a metade da equidistância da carta), quando houver necessidade de em certos sítios pormenorizar qualquer acidente do terreno ou detalhar uma variação de declive.

7- Para facilitar a leitura das cartas é costume, de 5 em 5 curvas de nível reforçar uma a "bold" (curvas mestras), sendo interrompidas para que nesse espaço seja marcada a cota respetiva.

8- Sempre que o declive entre duas curvas de nível seja superior a um, as curvas devem ser substituídas pelo símbolo de terreno escarpado. Traçado das curvas de nível

Os pontos cotados devem ser unidos por linhas retas, de forma a formarem vários triângulos. Estes triângulos não se podem cruzar, ou seja, qualquer triângulo definido tem de ter por vértices os pontos cotados. Para cada linha que forma os triângulos, determinar a localização dos pontos correspondentes às cotas das curvas de nível a traçar. “Desenhar” as curvas de nível que passam pelos pontos atrás determinados, de forma a respeitar as características abaixo citadas.

Questões relacionadas com curvas de nível

a) Transformar a representação do relevo por pontos cotados em curvas de nível (ver figura seguinte):é um processo de triangulação seguido de interpolação linear; unem-se os pontos cotados entre si, criando uma rede de triângulos, e depois de graduar os segmentos de reta assim obtidos, fazem-se passar as curvas de nível pelos pontos de igual cota; não é necessário grande rigor nesta operação já que ela já se baseia numa hipótese, a de se considerar o declive constante entre os pontos cotados; pode ser feita a graduação à vista ou utilizando o


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diapasão, constituído por uma série de retas paralelas ou concorrentes, traçadas sobre um papel transparente

e numeradas com as cotas das curvas de nível.

Nota: Se entre 2 pontos cotados existir uma linha de água, não se pode fazer diretamente a interpolação entre

esses 2 pontos, visto entre eles o declive não ser constante. b) Determinar a cota de um ponto qualquer do terreno situado entre curvas de nível (figura seguinte): Traça-se uma reta passando pelo ponto X e sensivelmente normal às curvas de nível entre as quais se encontra o ponto; como o declive do terreno se considera constante segundo aquela reta, o problema resolve-se como no caso dos pontos cotados, através de interpolação linear.

c) Determinar o maior declive do terreno na zona de um ponto: traça-se uma reta que, passando pelo ponto, seja sensivelmente normal às duas curvas de nível; o declive dessa reta é o declive procurado. Linha de maior declive é a linha normal (perpendicular) às curvas de nível, ou seja, é a linha em que cada um dos seus pontos faz o maior ângulo com o plano horizontal. O declive é tanto maior quanto menor é a distância entre as curvas de nível na carta. A adoção de uma equidistância gráfica constante resulta que ao mesmo declive corresponde sempre a mesma distância entre as curvas de nível, qualquer que seja a escala da carta. Pormenores relevantes podem ser apresentados entre curvas de nível através de pontos cotados ou de curvas de nível intermédias (a tracejado). Nas cartas hipsométricas a representação do relevo faz-se por coloração entre curvas de nível, de modo que os tons mais carregados correspondem às cotas mais elevadas. d) Determinar o declive entre curvas de nível: o declive (dec) entre duas curvas de nível é dado pelo quociente da equidistância gráfica (e) pela distância horizontal medida (Ex. na figura seguinte a distância horizontal AB é menor que AC, pelo que o declive é maior no primeiro caso). Então, desde que a equidistância gráfica seja a mesma, o declive depende apenas do afastamento entre as curvas de nível e é independente da escala da carta.


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Exemplo 1: Se a figura anterior estiver à escala 1:20.000, considerando as distâncias gráficas AB=12mm e AC=25mm, pode confirmar-se que o declive AB é de cerca de 4,2% enquanto o declive AC é de 2%. Exemplo 2: Numa carta desenhada à escala 1:20.000 com uma equidistância natural de 10m, traçar entre dois pontos situados sobre curvas de nível sucessivas, uma linha com o declive constante e conhecido dec.=4%. Na expressão que dá o declive dec.= e/x, onde x é o valor que se procura e que corresponde à distância a que se devem cortar as sucessivas curvas de nível para que o declive seja 4%: como e=0,5mm (=E/m=10/20.000), logo x=0,5/0,04=12,5mm. Exemplo 3: Pretende-se assinalar numa carta uma zona de terreno de declive entre 18 e 25%. A carta tem escala 1:4.000 e "e"=0,8mm, logo c1= "e"/declive=0,8/0,18=2,8mm até c2=0,8/0,25=3,2mm; a zona de terreno que se pretende pode ser assinalada no terreno onde as curvas de nível consecutivas estejam distanciadas entre 3,2 e 4,4mm. e) Traçar uma linha com um determinado declive entre curvas de nível: se for dec o declive dado e e a

equidistância gráfica das curvas de nível, será λ=e/dec a projeção horizontal do segmento de reta, com aquele declive, entre duas curvas de nível. Com centro no ponto A da curva de nível traça-se um arco de círculo de raio

λ que corta a curva contígua em B; com centro em B procede-se do mesmo modo e assim sucessivamente. A linha que une os pontos A, B, C,,,... é a linha procurada. Este problema poderá ter duas, uma ou nenhuma solução, conforme o declive dado é menor, igual ou maior do que o maior declive na zona considerada.


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f) Traçar o perfil do terreno segundo uma linha qualquer: a linha pode ser reta, poligonal ou curva; utilizam-se os pontos de intersecção da linha com as curvas de nível e outros intermédios, de que se determinam as cotas, a fim de se definir perfeitamente o perfil.

g) Intersecção de um plano com o terreno: traça-se e gradua-se a linha de maior declive do plano e faz-se a intersecção das horizontais do plano com as curvas de nível de igual cota, definindo-se assim a linha procurada.

h) Efetuar a intersecção de uma superfície qualquer com o terreno: traçar as linhas de nível da superfície e efetuar a sua intersecção com as curvas de nível de igual cota.

É, por vezes, indicada a representação do terreno pelas suas linhas de maior declive, normais, traçadas entre as curvas de nível. É, no entanto, um método muito pouco habitual. As normais são colocadas de modo a que não fiquem no prolongamento umas das outras e obedeçam à lei do quarto, ou seja, tenham entre si um afastamento igual a 1/4 do seu comprimento. Ficarão tanto mais próximas quanto maior for o declive. Feito o traçado, apagam-se as curvas de nível.

FORMAS E CARACTERÍSTICAS DO TERRENO

As duas formas de relevo mais simples, o tergo e o vale, são formadas por duas superfícies cuja intersecção se faz de modo tal que a concavidade fica voltada, respetivamente, para baixo ou para cima. O tergo, dorso ou crista assemelha-se à lombada de um livro aberto, com duas faces (encostas, flancos ou margens) convexas. O vale é a inversão do tergo (ver figura seguinte).

O sentido do crescimento das cotas das curvas de nível permite distinguir os tergos dos vales: nos primeiros o crescimento das cotas faz-se de fora para dentro (as curvas de menor cota envolvem as de maior cota), nos vales o crescimento das cotas faz-se de dentro para fora (as curvas de maior cota envolvem as de menor cota e a sua convexidade fica voltada para montante do curso de água que as atravessa).

As linhas de intersecção de dois semi-planos designam-se por linha de festo (arestas dos tergos, também designadas linhas de cumeeiras, de displúvio ou linhas de separação de águas) e talvegue (arestas dos vales, também conhecida como linhas de complúvio, de córrego ou de reunião de águas).

Uma linha de festo está sempre ligada a outra linha de festo e existe sempre uma linha de festo entre dois talvegues. Qualquer talvegue comunica com outro talvegue e o conjunto de talvegues duma mesma bacia forma uma árvore cujo tronco é o curso de água principal.

Em todo o vale pode correr água: se corre acidentalmente, em consequência de fortes chuvadas, estamos perante uma linha de água; se corre permanentemente estamos perante cursos de água.


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São estes dois tipos de linhas características do terreno que, através das suas posições relativas, permitem formar uma ideia da superfície do terreno, constituindo linhas de quebra de relevo, onde o declive muda de sentido. A superfície poliédrica delimitada por estas linhas (figura seguinte) constitui uma espécie de caricatura do terreno, realçando as características essenciais.

Todas as formas do terreno resultam da combinação das formas simples atrás apresentadas (tergos e vales). Por exemplo:

Elevação- As curvas de nível de menor cota envolvem as de maior cota; resulta da associação de 2 ou mais tergos. Nas elevações podem distinguir-se as seguintes zonas: base ou sopé (parte inferior); encosta, falda ou aba (parte média); cume (parte superior); as elevações podem tomar designações específicas: colinas, morros, cabeços, mamelões ou outeiros (quando têm forma acidentada e altitude inferior a 300m); montes (isolados e de altitude até 500m); montanhas (de grande volume e altura superior a 500m).

Depressão- As curvas de nível de maior cota envolvem as de menor cota; resulta da associação de 2 ou mais vales. Estas podem ter designações específicas (covados, crateras, funis, lagos, lagoas,...), consoante a sua forma e profundidade.

Colo (portela, garganta, quebrada ou desfiladeiro) - Resulta da combinação alternada de 2 tergos e 2 vales e corresponde à zona de abaixamento duma linha de cumeada.

Esporão- Representa a parte terminal de uma linha de festo que em vez de descer até ao talvegue, segundo um tergo de declive mais ou menos constante, ergue-se dando origem a esta forma muito característica, que é uma elevação de importância secundária.

Na figura seguinte representam-se através de curvas de nível algumas das formas descritas.


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Linhas de mudança de declive - linhas que unem os pontos onde o declive do terreno muda bruscamente; essa linha é acusada nas cartas pela variação da distância que sofrem as curvas de nível entre si. Uma dessas linhas designa-se crista militar uma vez que permite a um observador examinar todo o terreno que lhe fica abaixo, sem que haja espaços mortos. É escolhida na carta como a curva de cota mais alta entre as curvas de nível que tenham afastamento mínimo entre si, a partir da qual o afastamento entre curvas começa a aumentar quando o terreno sobe.

Crista topográfica é a linha que une os pontos de cota mais alta de uma elevação.

REPRESENTAÇÃO DA TERRA

A forma da Terra

A Terra é um planeta aproximadamente esférico, apresentando no entanto alguns desvios relativamente à forma esférica, bem como irregularidades desigualmente distribuidas na sua superfície.

O geóide

A forma da Terra é definida com base no campo gravítico terrestre, campo este fundamentalmente resultante da força de atracão newtoniana e da força centrífuga devida ao movimento de rotação da Terra. A sua superfície, abstraindo das ondulações do terreno, pode ser definida pela superfície do nível médio das águas do mar, suposta prolongada debaixo dos continentes. Esta superfície de nível, chamada GEÓIDE, é uma superfície mal conhecida, não definida matematicamente, cujo estudo é do âmbito da Geodesia. No entanto sabe-se que a sua forma é bastante próxima da superfície de um elipsóide de revolução achatado, diferindo dela devido à existência de ondulações desigualmente distribuídas, provocadas por uma desigual repartição das massas na crosta terrestre.


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Figura - Representação do elipsóide e do geóide numa dada região, onde o ângulo δ representa o desvio da vertical

Aquelas ondulações são pouco significativas, quando comparadas com as dimensões do geóide, não ultrapassando geralmente os 30 m o afastamento vertical entre o geóide e o elipsóide que dele mais se aproxima. Ao ângulo formado pela vertical do lugar (normal ao geóide) e pela normal ao elipsóide (normal) chama-se desvio da vertical (Figura anterior), este ângulo mede a inclinação do geóide relativamente ao elipsóide e o seu valor não ultrapassa normalmente os 10 segundos centesimais. A vertical do lugar, por ser normal às superfícies de nível do geóide, dá a direção do campo gravítico terrestre e é muito importante em Topografia pois é essa direção que orienta os instrumentos de medida.

O elipsóide

Dada a complexidade do geóide é usual utilizar como superfície de referência um elipsóide de revolução.

Um elipsóide de revolução é o sólido gerado pela rotação de uma semi-elipse em torno de um dos seus eixos. Para o caso em estudo a rotação é feita em torno de eixo polar N-S, sendo a e b respetivamente o semi-eixo equatorial e o semi-eixo polar (Figura seguinte).

Vários têm sido os geodetas que, em diferentes partes do globo, se têm dedicado à determinação do comprimento dos semi-eixos do elipsóide que melhor se adapta ao Geóide. Estas determinações permitiram concluir que para diferentes regiões do globo se obtêm elipsoides diferentes. Por este motivo a escolha do elipsóide tem de ter em consideração a região que se pretende representar.

Figura - Elipsóide de revolução com semi- eixo maior a e semi-eixo menor b.

Como o achatamento do elipsóide é muito pequeno, aproximando-se a forma da Terra de uma esfera. Por isso, nos trabalhos em que não se exige grande precisão, o elipsóide é substituído por uma esfera de raio igual à média dos semi-eixos.


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Elipsóide Semi-eixo maior (a) Semi-eixo menor (b) Achatamento

(a-b)/a

Bessel (1841)

GRS80 (2006)

6377397 m 6 378

137 m

6356079 m 1/299

1 / 298,257

Clarke (1866) 6378301 m 6356584 m 1/294

Hayford (1909) 6378388 m 6356912 m 1/297

Fisher (1960) 6378155 m 6356773 m 1/298

WGS - 84 6378137 m 6356752 m 1/298


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REPRESENTAÇÃO PLANA DA TERRA

Coordenadas geográficas A latitude ϕ de um ponto é o ângulo formado pela normal ao elipsóide, ou ao geóide, nesse ponto e pelo plano do equador. Conta-se de -90° a +90° a partir do equador, positivamente no hemisfério Norte e negativamente no hemisfério Sul

A longitude λ é o ângulo diedro formado pelo plano do meridiano do lugar com o plano do meridiano de referência e conta-se de -180° a +180°, positivamente para Este e negativamente para Oeste. Por acordo internacional adoptou-se para meridiano de referência o meridiano do Observatório de Greenwich em Inglaterra.

Figura - Representação das coordenadas geográficas (latitude ϕ e longitude λ) de um ponto P.

As coordenadas geográficas quando determinadas sobre o elipsóide são denominadas de Coordenadas Geodésicas e quando determinadas sobre o Geóide, em virtude de serem determinadas por via astronómica, são denominadas Coordenadas Astronómicas ou Naturais.

A posição de qualquer ponto da superfície da Terra fica perfeitamente definida através das suas coordenadas geográficas e a sua altitude Coordenadas retangulares Quando se pretende representar numa superfície plana zonas extensas da superfície terrestre, é necessário adoptar sistemas de representação plana do elipsóide, visto que este não é planificável. Isto é, por intermédio de uma projeção geométrica ou por fórmulas analíticas de transformação, estabelece-se uma correspondência biunívoca entre os pontos do elipsóide definidos pelas suas coordenadas geodésicas e os pontos do plano definidos por coordenadas retangulares. O posicionamento relativo do elipsóide de referência e do plano cartográfico é definido por intermédio de um ponto, situado de preferência no centro da região a representar, designado por ponto central.

Nestas condições, os meridianos e os paralelos são representados por linhas rectas ou curvas, sendo sempre uma linha recta o meridiano que passa pelo ponto central da zona considerada. É a este meridiano central (designado por meridiana) e à recta que lhe é perpendicular e passa no ponto central da região, que se referem as coordenadas retangulares, designadas por M (distância à meridiana) e P (distância à perpendicular) (Figura seguinte).


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Figura - Representação plana de uma região da superfície terrestre. O ponto C é o ponto central. M e P são as coordenadas rectangulares que definem a posição do ponto A, sendo M a distância à meridiana e P a distância à perpendicular. Os sistemas de projeção, que permitem representar num plano a superfície de um elipsóide, produzem inevitáveis deformações desta, competindo à Cartografia o seu estudo e a escolha dos sistemas de projeção mais convenientes para cada caso.

Uma direção qualquer AB pode ser posicionada relativamente ao sistema de coordenadas retangulares através do ângulo que forma com a direção da reta meridiana. Este ângulo chama-se azimute cartográfico ou rumo da direção AB, representa-se por (AB) e, tendo vértice no ponto A, conta-se no sentido retrógrado (sentido dos ponteiros do relógio) a partir da direção definida pela meridiana, que corresponde à direção do Norte Cartográfico, até à direção definida pelos pontos A e B (Figura seguinte). O rumo de uma direção varia entre zero e 400 grados.

Figura - Rumo da direção definida pelos pontos A e B, que se representa por (AB).

Figura - Os ângulos AÊB e BÊA, descritos no sentido retrógrado, são os ângulos complementares indicados na figura.

Os ângulos em Topografia são sempre descritos no sentido retrógrado. Deste modo, duas semi-rectas com a mesma origem, como as semi-rectas EA e EB representadas na figura seguida, definem dois ângulos distintos, o ângulo AÊB e o ângulo BÊA. Note-se que AȆB + BȆA = 400g


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Principais problemas com coordenadas retangulares

Transmissão de Rumos

a) Cálculo do Rumo Inverso

Suponhamos que se conhece o rumo da direcção [AB] no sentido de A para B e se pretende conhecer o rumo da mesma direção, mas agora no sentido de B para A. Ou seja, conhece-se (AB) e pretende-se conhecer (BA).

Figura a) e b) - Rumo de uma direcção (AB) e rumo inverso (BA).

Observando a Figura 8a) pode-se concluir que:

(BA) = (AB) + 200g

Se os pontos A e B estiverem na posição indicada na Figura 8b) tem-se que

(BA) = (AB) - 200g

Logo,

(BA) = (AB) ± 200g

Considerando-se "+" quando (AB) < 200g e "-" quando (AB) > 200g.

b) Transporte de Rumos

Conhece-se o rumo da direção [AB] e o ângulo BÂC ou CÂB (BÂC = 400g - CÂB) e pretende-se calcular o rumo da direção AC. Ou seja

: Figura - Transporte de rumos.

Observando a figura pode-se concluir que:


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(AC) = (AB) + BÂC

ou, como BȂC = 400 −CȂB

(AC) = (AB) +400 - CÂB

c)Transporte de Coordenadas

O problema de transporte de coordenadas permite determinar as coordenadas de um ponto B a partir das coordenadas de outro ponto A, conhecendo a distância AB entre os dois pontos e o rumo da direcção que definem. Dados: MA; PA; AB ; (AB) Pedido: MB; PB Observando a Figura seguinte pode-se concluir que: MB - MA = AB sin (AB) e PB - PA = AB cos (AB) deste modo:

Figura - Transporte de coordenadas

c) Cálculo de Rumos

Pretende-se neste ponto calcular o rumo de uma direção definida por dois pontos, cujas coordenadas rectangulares são conhecidas. Dados: MA; PA; MB; PB Pedido: (AB) Observando a Figura anterior pode-se concluir que:

Expressão que permite determinar o rumo (AB) sem ambiguidade uma vez que o numerador tem o sinal do seno de (AB) e o denominador o sinal do coseno de (AB).


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d) Cálculo de distâncias

Pretende-se, conhecidas as coordenadas retangulares de A e B, determinar a distância entre estes pontos. Dados: MA; MB; PA; PB Pedido: AB Observando a Figura anterior pode-se concluir que:

Ou, calculando o rumo de (AB), pode-se obter AB através de uma das expressões seguintes:


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TRABALHO SOBRE CARTAS E PLANTAS

Redução ao plano cartográfico Distância: D2 = D1×fact Área: A2 = A1×fact2

�� = �1 − �� 1 + ��

2��

D1 distância medida sobre a superfície terrestre; D2 distância reduzida ao plano cartográfico A1 área medida sobre a superfície terrestre; A2 área reduzida ao plano cartográfico Fact fator de redução R raio da Terra (6370000 m em Portugal continental) H altitude a que se observa a distância/área M distância à meridiana Métodos de medição de áreas na carta

a) Quadrícula

Área = soma das quadrículas

b) Decomposição em figuras elementares


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c) Média das alturas

AB = maior eixo y = retas perpendiculares a AB A área pode ser estimada substituindo a figura por um retângulo de lados AB e Ym. Área = AB × Ym.

d) Método dos trapézios

AB = maior eixo y = retas perpendiculares a AB = bases dos trapézios h = altura do trapézio/triângulo

hy

hyy

hyy

hyy

hy

Área nnn

22222132211 +

++⋅⋅⋅+

++

++= −

=

=n

iiyhÁrea

1

e) Coordenadas cartesianas dos vértices

1

210

+

⋅+⋅⋅+++=

n

YYYY

mYn

( )=

+− −⋅−=n

iiii xxyÁrea

1112

1

Área = -0.5[y1(x

5-x

2) + y

2(x

1-x

3) + y

3(x

2-x

4) + y

4(x

3-x

5) + y

5(x

4-x

1)]


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Medição de volumes na carta Considerando duas curvas de nível (A1 e A2) sendo A1 e A2 áreas das figuras limitadas pelas curvas de nível: E – equidistância natural V – volume a calcular M – área da secção equidistante das bases A1 e A2

a) Fórmula do Prismóide

( )21 AM4A6

EV +×+×=

No caso de não ser possível medir M, pode-se tomar como estimativa:

4

AAA2AM 2211 +××+

= ( )2211 AAAA3

EV +×+×=

b) Método da secção média

( )212AA

EV +×=

Ou

O volume compreendido entre duas superfícies planas, paralelas, de áreas A1 e A2, e cuja distância entre si é igual a D, é dado por:

( )212AA

DV +×=

c) Método aproximado para determinação dos volumes de terra

Este método compreende as seguintes fases: – Divide-se a área num conjunto de áreas elementares, escolhidas de modo a que correspondam ou só a

escavação ou só a aterro; – Determina-se para cada área, as cotas do terreno dos vértices; – Determina-se para cada vértice as cotas de escavação ou de aterro (diferença entre as cotas do terreno e as

cotas do projeto); – Volume correspondente a cada área elementar será dado pela seguinte fórmula aproximada:

A1

A2

M


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V = S ×××× hm (V – Volume ; S – Secção ou área da base ; hm – Altura média)

– Volume total será dado pela soma algébrica dos volumes calculados anteriormente.


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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1. Considere a parcela de terreno seguinte:

a) Determine a escala convencional a que se encontra representada a parcela de terreno sabendo que a

distância entre os marcos geodésicos de Lajedas e Santa Marinha é de 2250 m.

b) Calcule a cota do ponto A.

c) Calcule o declive percentual do terreno no ponto A.

Resolução a) Determinação da escala

Para determinar a escala é preciso relacionar a distância medida na carta com a sua correspondente no terreno. Como a distância no terreno (horizontal) entre os marcos geodésicos de Lajedas e Santa Marinha é conhecida (2250 m), basta medir na carta a correspondente para se poder calcular o denominador de escala. Distância terreno = 2250 m e distância na carta = 4.5 cm. O denominador de escala calcula-se do seguinte modo:

�� ! �"� = ��!�â� �� !�â� �� = 2250 �

4.5 � = 225000 �4.5 � = 50000

A escala utilizada na carta é 1:50000.

x A


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b) Cálculo da cota

O ponto A situa-se entre as curvas de nível com cota 450 m e 475 m. Pode-se medir na carta a distância do ponto A até às curvas de nível de 450 m e 475 m sobre a linha de maior declive que passa pelo ponto A (a correspondente à menor distância entre as curvas de nível). A cota do ponto A pode ser calculada, por exemplo, somando a distância AA’ à cota a que se encontra na base do triângulo, isto é, à cota 450 m.

Projeção na carta da linha de maior declive (sem escala)

Esquema de apoio ao cálculo da cota (sem escala)

A distância AA’ determina-se recorrendo à semelhança de triângulos. O lado do triângulo com dimensão 475-450 m está para o lado AA’ assim como o lado com 6.5 mm está para o correspondente com 3.0 mm. Note-se que as unidades de medida dos lados não são iguais, uma vez que a primeira é uma distância determinada no terreno (real) enquanto a segunda foi medida na carta. Para as distâncias poderem ser utilizadas em conjunto, a distância medida na carta deverá ser transformada para o terreno, através do fator de escala da carta, ou vice-versa. No entanto, neste caso específico não é necessário fazer qualquer transformação, incluindo a redução de unidades, os valores retirados da carta são usados no cálculo como uma razão, acabando por se anularem os efeitos da redução de escala e de unidades. A cota de A toma então o valor: Cota A = 450.00 + (475.00 – 450.00) × 3/6.5 = 461.54 m

c) Cálculo do declive do terreno no ponto A O declive do terreno no ponto A corresponde ao declive da reta de maior declive que passa pelo ponto A (ver esquema).

Calcula-se da seguinte forma: Declive (%) = distância vertical/distância horizontal × 100 Antes de se continuar com o cálculo é preciso reduzir a distância horizontal que é medida na carta para o terreno. Distância horizontal no terreno = 6.5 mm ×50000 = 325000 mm Declive do terreno em A = (475000 – 450000)/325000 × 100 = 7.69 %

Curva a 475 m

Curva a 450 m

A’

A 6.5 mm

Curva a 475 m

Curva a 450 m

A’

A

3.5 mm 3.0 mm 6.5 mm

Linha de maior declive


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CARTAS TOPOGRÁFICAS

1. Pretende-se representar uma parcela de terreno, com configuração circular, correspondente a uma zona

florestal protegida sob observação de um posto de vigia para prevenção de incêndios. O raio de visão a partir deste posto é igual a 1.2 km.

a) É possível representar esta parcela de terreno à escala 1/2000 num rolo de papel com largura de 100

cm? b) Qual a maior escala convencional a que pode ser representada esta parcela de terreno uma folha de papel

A3 (42 × 29.7 cm2)? c) Qual a menor escala convencional a que pode ser representada esta parcela de terreno de modo que a

área de representação não seja inferior a 1000 cm2?

2. Numa planta à escala 1:500 a área de um lote de terreno é de 20 cm2. Determine a área ocupada pelo mesmo terreno numa planta à escala 1:250.

3. Com que espessura deve ser representada uma estrada com 7 metros de largura às escalas 1:100, 1:500,

1:1000, 1:2000, 1:5000, 1:10000, 1:25000, 1:50000 e 1:500000. 4. Os pontos O e Q encontram-se às altitudes ortométricas de 18.35 e 33.33 metros.

Indique as curvas de nível que passam entre os dois pontos em representações cartográficas às escalas: i) 1:25000; ii) 1:2000.

5. A partir da malha de pontos cotados apresentada na Figura 1, desenhe as curvas de nível com a

equidistância natural de 10 metros. 6. Relativamente à carta topográfica apresentada na Figura 2:

a) Determine as cotas dos pontos A, B, C, D e E. b) Observe a estrada (mais larga) e respetivos taludes, faça uma estimativa da inclinação dos taludes e

determine a inclinação dessa estrada. c) Calcule o declive do terreno nos pontos B e D, o que conclui? d) Determine o declive entre os pontos G e H. e) Faça o perfil do terreno entre os pontos G e H.

7. A Figura 3 corresponde à representação cartográfica duma parcela de terreno.

a) Identifique os símbolos existentes nesta carta topográfica. b) Identifique a direção do norte cartográfico desta carta topográfica. Determine a escala da carta

topográfica sabendo que a largura da estrada é de 8 metros (escala convencional). c) Identifique as formas de relevo simples (vale e tergo) e derivadas (elevações, depressões, colos,

esporões, ravinas, …). d) Identifique os talvegues (linhas de reunião de água) e as linhas de festo (linhas divisórias de água)

existentes no terreno.


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8. A Figura 4 representa uma parcela de terreno à escala 1/10000. a) Identifique as formas de relevo, os talvegues (linhas de reunião de água) e as linhas de festo (linhas

divisórias de água) existentes no terreno. b) Delimite a bacia hidrográfica da “ribeira de canhoto”.

9. A partir das coordenadas topográficas dos pontos A e B do terreno (Quadro 1) estime, por interpolação, as

coordenadas cartográficas das intersecções das curvas de nível às altitudes 65 e 70 metros, com o segmento de reta que une as projeções dos referidos pontos no plano cartográfico.

Quadro 1 – Coordenadas topográficas dos pontos A e B

MA = 13300.000 m PA = 10900.000 m HA = 61.990 m

MB = 13500.000 m PB = 10700.000 m HB = 73.630 m

64

44 47

62 98 62

64 33

39

82

63

85

93

70 123

117

Figura 1 – Planta de pontos cotados


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Figura 2 – Carta topográfica à escala 1:500


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Figura 3 – Carta topográfica

F ●


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Figura 4 – Carta topográfica

NIVELAMENTO TRIGONOMÉTRICO

Esquema de nivelamento trigonométrico

Legenda A – ponto A (ponto estação) B – ponto B (ponto visado) hv –altura da visada z – ângulo zenital (ângulo da linha com a vertical) i – ângulo de inclinação ha – altura do aparelho D’ – distância inclinada D – distância horizontal h – altura trigonométrica DN ou ∆H – diferença de nível Objetivo: calcular o desnível DN Nivelamento composto A determinação do desnível é feita recorrendo a várias estações O nivelamento composto é fechado quando tem início e fim em pontos de cota conhecida; é fechado sobre si mesmo: quando inicia e termina no mesmo ponto e aberto quando inicia num ponto de cota conhecida ou não, e termina num ponto de cota a determinar.

Sistematização de dados nas cadernetas de nivelamento trigonométrico Conhece-se: CA – cota do ponto A CB – cota do ponto B Mede-se: Ponto estação – Cota – Altura do aparelho (a)

Pontos visados – Ângulo azimutal – Ângulo zenital (z) – Altura da visada (av ou l2)


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Mede-se – Distância inclinada (D’) Calcula-se:

Distância horizontal – D = D’×sen(z) = D’×cos(i) Altura reduzida ou trigonométrica – h = D’×cos(z) = D’×sen(i) Desnível entre a estação e o ponto – DN = a + h – av Desnível com correção da refração e esfericidade da Terra – DN = a + h – av +(1- n)×D2/2R

Com n – 0.14 R = Raio da Terra (6 370 000 m) Correcções a efectuar no cálculo das cotas dos pontos estação 1) Correção dos desníveis Os desníveis devem ser iguais entre dois pontos quando visados em sentidos opostos. Assim, os desníveis devem ser corrigidos da seguinte forma:

∆HA→B = -∆HB→A ∆H 2

HH BA AB →→ ∆+∆±=

2) Erro de fecho εεεε Num nivelamento fechado, a soma dos desníveis num determinado sentido deve ser igual à diferença de cotas entre o ponto inicial e o ponto final. Assim, os desníveis dos pontos estação devem ser corrigidos da seguinte forma:

ε = CE - CA - Σ desníveis (A→E)

Correção = desníveisde.ºn

erro (entre cotas conhecidas)

Cálculo da cota compensada dos pontos estação Cota B = cota A + HABmédio + correção Cálculo da cota dos pontos intermédios (que não são estação) Cota i = cota da estação + ∆H

A

C

D

E

1

2 3

4

5

6

7 8

9 B


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EXERCÍCIOS PRÁTICOS SOBRE NIVELAMENTO TRIGONOMÉTRICO

1. Estacionou-se um teodolito no ponto E do terreno e fizeram-se as seguintes observações:

Vértices visados A B C D F

Leituras Azimutais 85.246g 54.136g 150.001g 320.970g 220.750g

Determine os ângulos AȆF, AȆD, BȆF e DȆB?

2. Com um taqueómetro munido de um distanciómetro eletrónico montado numa estação de cota 200.000 m

(HE), visou-se um ponto P, registando-se os seguintes valores:

Ângulo zenital: z = 91.167 g Distância inclinada: dinc = 123.16 m Altura do aparelho: a = 1.45m Altura da visada: av = 1.775 m

a) Calcule a distância horizontal ao ponto P e a respetiva cota. b) Da mesma estação, retirou-se o distanciómetro e, utilizando os fios estadimétricos do taqueómetro,

visou-se uma régua colocada no ponto Q tendo-se obtido os seguintes valores: L1 = 1.136 m; L3 = 2.864 m; z = 103.163 g. Calcule a cota do ponto Q.

c) Explique sem realizar cálculos, como poderia concluir que a cota de P é superior á de Q. 3. Estacionou-se uma estação total à altura de i = 1.42m num ponto A do terreno, fizeram-se as seguintes

observações zenitais sobre uma vara vertical, com a altura de 3 m, colocada em B.

Estação Pontos Visados Leituras Zenitais

A B

Base 104.620g

Topo 96.851g

Determine a diferença de nível entre A e B?

4. Calcule a caderneta de nivelamento trigonométrico seguinte, de modo a determinar as cotas compensadas

dos diversos pontos, sabendo que a cota do ponto E3 é 100.00 m.

Altura Pontos Altura Altura Desnível Desnívelaparelho visados Azimutal Zenital visada Trignom. médio corrigido

E1 1.550 E3 0.00 101.21 1.315 62.988

1.550 E2 78.34 100.96 1.493 98.489

E2 1.540 E1 21.48 99.11 1.493 98.591

1.540 E3 63.12 99.72 1.489 97.699

E3 1.570 E2 386.01 100.37 1.488 97.599

1.570 E1 65.99 99.27 1.315 62.996

COTAEstaçãoÂngulos Distância

inclinadaDistância horizontal

Desnível Correção


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5. Calcule a caderneta de nivelamento trigonométrico seguinte, de modo a determinar as cotas compensadas dos diversos pontos. Relativamente a este levantamento são conhecidas as cotas do ponto I (60.000 m), do ponto C (62.879 m).

6. Calcule a caderneta de nivelamento trigonométrico seguinte, de modo a determinar as cotas compensadas

dos diversos pontos. Relativamente a este levantamento são conhecidas as cotas do ponto 1 (150,000 m), do ponto 5 (155,755 m) e do ponto 8 (150,000 m).

Altura Pontos Altura Altura Desnívelaparelho visados Azimutal Zenital visada Trignom. médio

I 1.605 M 33.565 101.655 1.520 90.169

1.605 E 145.764 103.885 1.220 63.581

E 1.550 I 0.000 96.735 1.317 63.517

1.550 2 275.500 102.100 1.150 43.776

1.550 C 83.542 95.990 1.485 100.102

C 1.580 E 235.560 104.125 1.457 100.089

EstaçãoÂngulos Distância

inclinadaDistância horizont

Desnível Correção COTA

Altura Pontos Altura Altura Desnívelaparelho visados Azimutal Zenital visada Trignom. médio

1 1.56 2 ---- 96.49 1.365 72.889

1.56 3 ---- 95.5 1.865 172.568

2 1.62 4 ---- 93.34 1.449 89.210

1.62 1 ---- 103.91 1.365 72.862

1.62 5 ---- 98.87 1.368 73.489

5 1.70 2 ---- 101.73 1.230 73.972

1.70 7 ---- 99.56 1.970 113.998

1.70 6 ---- 102.74 1.970 193.820

7 1.49 5 ---- 100.41 1.270 113.997

1.49 8 ---- 102.28 1.740 167.893

8 1.41 7 ---- 97.45 1.840 167.866

COTAEstaçãoÂngulos Distância

inclinadaDistância horizont

Desnível Correção


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NIVELAMENTO GEOMÉTRICO

Nivelamento simples A determinação do desnível é feita com uma única estação.

O desnível ∆HAB determina-se pela diferença de leituras na mira (ATA-AdB) Dada a cota de A, calcula-se a cota de B somando o desnível: HB = HA + (∆HAB) Nivelamento geométrico composto

estação (E)

nivelada atrás (At)

nivelada adiante ou à frente

(Ad)

A

B 1

nivelada intermédia (I)


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Para além de fechado e aberto, quando é conhecida apenas uma cota (aberto) o nivelamento geométrico composto pode ser: Paralelo: consiste em repetir o nivelamento em sentido contrário, por pontos diferentes. A cota a considerar corresponde à média dos valores obtidos em cada sentido. Contra-nivelamento: consiste em repetir o nivelamento em sentido contrário, pelos mesmos pontos. Sistematização de dados nas cadernetas de nivelamento geométrico Conhece-se: Cota de 1 (H1) e cota de 2 (H2) Mede-se: Niveladas atrás (Ati) Niveladas intermédias (Ii) Niveladas adiante (Adi) Calcula-se: cotas dos pontos intermédios Hi Cálculo dos desníveis Desnível entre pontos com niveladas atrás e adiante (i) e pontos intermédios (i+1): ∆Hi i+1 = Ati - Ii+1 Desnível entre pontos intermédios (i) e pontos com niveladas atrás e adiante (i+1): ∆H i i+1 = Ii - Adi+1 Desnível entre os pontos (i) (i+1), ambos com niveladas atrás e adiante: ∆H i i+1 = Ati - Adi+1 Verificação do cálculo dos desníveis ΣAt - ΣAd = Σ∆H + + Σ∆H - Erro de fecho de nivelamento εεεε ε = (cota final - cota inicial) - (Σ∆H + + Σ∆H -) O erro distribui-se igualmente pelos desníveis correspondentes às niveladas atrás


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Correção = atrásniveladasde.ºn

'ε (3 casas decimais)

Verificação da tolerância Se ε for superior à tolerância pretendida, então o nivelamento deverá ser repetido. T=k4 √L T = tolerância (mm) L = comprimento total da poligonal (km) Alta precisão: 4 √L Precisão: 8 √L Corrente: 12 √L (terreno normal) ou 24 √L (terreno acidentado)

Determinação das cotas Pontos com niveladas atrás: cotai+1 = cotai + ∆H i i+1 + correção Pontos sem niveladas atrás: cotai+1 = cotai + ∆H i i+1


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EXERCÍCIOS PRÁTICOS SOBRE NIVELAMENTO GEOMÉTRICO

1. Para a determinação das cotas dos pontos 1 a 8 realizou-se um nivelamento fechado em A conforme o

esquema dado. Os valores indicados (em metros) correspondem às leituras feitas na mira em cada uma das visadas. Calcule as cotas de todos os pontos, sabendo que a cota de A é 52.234 m.

2. A partir da seguinte série de niveladas:

→→

→

=

→→

=

→

→→→

=374.2

840.16626.15

309.25583.04

547.04348.12428.11003.1

321B

EE

A

E

Cota de A = 93.237 m; Cota de B = 91.047 m.

a) Faça um esquema representando em planta uma possível posição relativa dos pontos visados e das estações;

b) Calcule e compense a caderneta de nivelamento correspondente. 3. Para determinação das cotas dos pontos 1 a 7 realizou-se um nivelamento geométrico fechado nos pontos

A e B de cotas 116.231 m e 110.078 m, respetivamente. a) Faça um esquema representando em planta uma possível posição dos pontos visados e das estações. b) Complete a respetiva caderneta de nivelamento.

2.098

0.203

A

1.478

1

1.223

8

7 1.023

1.598 0.5 05

1.309

2.05

2

1.678

6

5 0.578

1.024

4

E2

E3

2

3E1


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Pontos visados

Niveladas Desníveis Correções COTAS

Atrás Intermédias

Adiante + -

A 0.445

116.231

1 1.999

2 1.954

3 0.157 1.197

4 1.389

5 0.329 1.668

6 0.746

7 0.231 1.594

B 2.876 110.078

4. Tendo em vista a implantação dum pequeno edifício, realizou-se o levantamento topográfico do terreno através dum nivelamento geométrico dos pontos apresentados na tabela seguinte. Apenas se conhece a cota do ponto A que é 100.000 metros.

a) Faça um esquema representando em planta uma possível posição dos pontos visados e das estações. b) Identifique o tipo de nivelamento utilizado. c) Complete a respetiva caderneta de nivelamento.

Pontos visados


Atrás Intermédias

Adiante + -

A 1.345

B 1.833 2.007

C 2.678 1.789

B 1.567 2.712

A 1.345 0.904

D 2.678


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5. Tendo em vista a implantação dum pequeno edifício, realizou-se o levantamento topográfico do terreno através dum nivelamento geométrico dos pontos apresentados na tabela seguinte. A cota do ponto A é de 121.000 metros e a cota do ponto B é de 123.188 metros.

a) Faça um esquema representando em planta uma possível posição dos pontos visados e das estações. b) Complete a respetiva caderneta de nivelamento.

Pontos visados


Atrás Intermédias

Adiante + -

A 2.326

1 3.456 1.892

2 3.836 2.345

B 1.523 3.180

3 2.258 3.627

4 1.635 2.049

5 2.037

A 1.933

6. Calcule e compense a caderneta de nivelamento apresentada abaixo. Apresente um esquema representativo

do levantamento que lhe deu origem.

Pontos visados

Niveladas Desníveis Correções Cotas

Atrás Intermédias

Adiante + -

1 0.489

105.633

2 0.683 0.470

3 0.153

4 1.214 0.647

5 2.123

6 0.987 0.248

7 0.193

8 1.428 1.372

9 1.584 105.079


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ELEMENTOS PARA FIXAR PONTOS NO ESPAÇO OU NUM PLANO

Coordenadas polares – determinadas por uma distância e um ângulo, fixos: Azimute (Az); Distância (Dr); Cota (C) Coordenadas rectangulares – determinadas por distâncias rectilíneas fixas, em relação ao Norte cartográfico (hemisfério Norte): Meridiana (M) ou (X); Perpendicular (P) ou (Y); Cota (C) ou (N) Coordenadas geográficas – determinadas por distâncias curvilíneas fixas, em relação ao Norte-Sul geográfico: Latitude (Lat.); Longitude (Long.); Cota (Alt.) Azimutes no hemisfério norte

Rumo de uma direcção ou orientação – é o ângulo formado por essa direcção e a linha Norte-Sul cartográfica, passando pelo Este (sentido dos ponteiros do relógio) Quadrantes topográficos

N N N N

1º quadrante 2º quadrante 3º quadrante 4º quadrante

M

P

1º Q

2º Q 3º Q

4º Q sen +

cos

+

sen -

cos

-

M

P

1º Q

2º Q 3º Q

4º Q

sen +

cos

-

sen -

cos

+


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PROBLEMAS FUNDAMENTAIS EM COORDENADAS RECTANGULARES

Transmissão de orientações Conhecida a orientação de um lado, calcular a orientação dos lados adjacentes Dado: (AB), α Pedido: (BC)

Cálculo de orientações Conhecidas as coordenadas dos pontos extremos, calcular a orientação e o comprimento de um lado Dado: (MB; PB), (MC, PC)

Pedido: rumo CB, rumo (BC), comprimento BC

M

P

A

B

C

α

(BA)

(BC) PC

PB

PA

MA MB MC

(AB)

B

(AB)

A (BA)

(AB)

(BC) = (AB) ± 200 + α (a menos de 400 g)

(BA) = (AB) ± 200

M

B

C

α

PC

∆M

MB MC

(BC)

PB

(CB)

∆P

P


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1) ∆M = MB – MC 2) ∆P = PB – PC

3) P

Marctg

∆

∆=α : a partir dos sinais de ∆M e ∆P identificar o quadrante (porque com os cálculos na máquina

a tangente repete-se no 1º e 3º quadrantes e no 2º e 4º quadrantes) 4) Calcular a verdadeira orientação (CB)

Coordenadas relativas Tangente Quadrante

Orientação final (CB) ∆M ∆P

+ + + 1º α + 0 + - - 2º α + 200 - - + 3º α +200 - + - 4º α + 400

5) Calcular o rumo (BC) Rumo (BC) = rumo (CB) + 200

6) Calcular o comprimento BC

22 PMBC ∆+∆= ou α

∆=

sen

MBC ou

α

∆=

cos

PBC

Transporte de coordenadas Conhecidas as coordenadas do vértice de origem e o comprimento e orientação do lado, calcular as coordenadas do vértice extremo de um lado

Dado: (MB; PB), (BC), BC Pedido.(MC; PC)

1) MC = MB + ∆M = MB + BC × sen(BC)

2) PC = PB +∆P = PB + BC × cos(BC)


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EXERCÍCIOS PRÁTICOS SOBRE COORDENADAS RETANGULARES

1. 1 - Uma parcela de terreno de cultivo apresenta uma configuração triangular de vértices A, B e C onde se

conhecem os elementos seguintes:

&'(((( = 30,23m

&)(((( = 66,94m

Ȃ = 40,70g

Determine os restantes elementos do triângulo (incluindo a área)

2. Calcule as orientações de cada um dos seguintes lados, assim como a orientações inversas, conhecidas as coordenadas dos seus vértices:

a) MA = 307.35 m; PA = 298.44 m; MB = 87.61 m; PB = 116.29 m; b) MC = -145.82 m; PC = 79.53 m; MD = 293.15 m; PD = 123.16 m;

c) ME = 79.43 m; PE = 316.23 m; MF = -205.81 m; PF = 383.17 m; d) MG = 75.12 m; PG = 91.07 m; MH = 84.92 m; PH = 41.36 m.

3. Sabendo que um dado ponto A do terreno possui as seguintes coordenadas planimétricas:

MA = 334.45 m

PA = -234.78m.

Sabe-se ainda que:

&'(((( = 100.00 m e

(AB) = 150.50g

Determine as coordenadas do ponto B?

4. Determine as coordenadas de B, sabendo que:

(AB) = 148º 39’

AB = 283.31 m; MA = 4201.38 m; PA = -1398.49 m.

5. Sendo dados: MA = 121.73 m; PA = 109.17 m;

MB = 184.19 m; PB = 42.56 m;

CB = 283.31 m;

α = 326.73 g.

a) Determine a distância AB . b) Calcule as coordenadas de C.


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6. Calcule as distâncias ,AC e AB sabendo que:

gCBgACgBA

m

46.259)(20.139)(01.379)( 36.468BC

==

==


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SISTEMATIZAÇÃO DE DADOS NAS CADERNETAS DE POLIGONAIS

Poligonais fechadas Conhece-se: coordenadas dos vértices extremos B(MB, PB) e C(MC, PC) orientação inicial (AB) orientação final (CD) Mede-se: ângulos em cada vértice αi (i=0, 1, 2,…, n+1) comprimento dos lados li (i=0, 1, 2,…, n+1) Calcula-se: coordenadas dos vértices intermédios (M1, P1), …, (Mn, Pn)

1) Determinação das orientações compensadas (B1) = (AB) ± 200 +αB’ (12) = (B1) ± 200 +α1’ … (CD) = (nC) ± 200 +αn+1’ αi’ é o ângulo compensado a partir da determinação do erro de fecho angular, εα a) Determinação do erro de fecho angular, εα

+

=

α α−±−=ε1n

0iiK200)AB()CD( , com K∈N0 e 200(grados) = π(rad) = 180(graus)

b) Verificação da tolerância angular Se εα for superior à tolerância pretendida, então o nivelamento deverá ser repetido.

Alta precisão: 210n −α ×≤ε

Precisão: 210n2 −α ×≤ε

Corrente: 210n4 −α ×≤ε , com n = número de vértices

c) Distribuição de εα (cálculo de αi’) O erro de fecho angular, εα, deverá ser distribuído igualmente por todos os ângulos medidos ou distribuído proporcionalmente ao ângulo medido.

ni'i

αε+α=α , n é o número de ângulos medidos

ou

A

B≡0

C

D

1 2

αB

α1 α2

αn-1

αn

αn+1

(AB) (CD)

l1 l2

ln

ln+1


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αε×α

α+α=α i

ii

'i

2) Determinação das coordenadas relativas compensadas (∆∆∆∆M’; ∆∆∆∆P’) a) Reduzir as distâncias medidas ao plano cartográfico

b) Cálculo das coordenadas relativas ( iM∆ ; iP∆ )

iM∆ = li×sen(θi)

iP∆ = li×cos(θi), com (θi) = (B1), …, (nC)

em que Li é o comprimento do lado i da poligonal e θi é a orientação do lado i da poligonal. c) Determinação do erro de fecho linear, εM e εP εM = MC - MB - θ× )(senl ii

εP = PC - PB - θ× )cos(l ii

d) Verificação da tolerância linear Se εl for superior à tolerância pretendida, então o nivelamento deverá ser repetido.

Grande precisão: 005,0L005,0l +≤ε

Média precisão: 01,0L01,0l +≤ε

Pequena precisão: L06,0l ≤ε ,

em que: 2P

2Ml ε+ε=ε e L = desenvolvimento da poligonal

e) coordenadas relativas compensadas

'iM∆ = iM∆ + ε’M

'iP∆ = iP∆ + ε’P, sendo εM e εP o erro de fecho linear

3) Determinação das coordenadas absolutas As coordenadas absolutas obtêm-se da seguinte forma: M1 = MB + '

BM∆ … MC = Mn + '

nM∆ e P1 = PB + '

BP∆ … PC = Pn + '

nP∆


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1. A figura seguinte representa uma poligonal fechada definida pelos pontos A, B, C, D e E. Considere (AB)

= 364.99 grados, AB = 40.00 metros, BC = 50.00 metros, CD = 35.00 metros, DE = 55.00 metros e EA= 45.00 metros.

a) Calcule as orientações compensadas de (BC) e (EA); b) Determine as coordenadas do ponto C.

118,

89g

117,76g

129,71g

100,8

5g132,76g

A (214;86)

B

C

D

E


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EXERCÍCIOS PRÁTICOS SOBRE POLIGONAIS

1. Do levantamento de um terreno, obteve-se a poligonal fechada representada na figura 1. Sabendo que a orientação (AB) tem a direção do Norte e que os segmentos AB e EA são perpendiculares, determine as orientações compensadas da poligonal.

2. Num levantamento taqueométrico foram obtidos os valores indicados nesta caderneta.

Estação Altura

aparelho (m) Pontos visados

Ângulos (g) Distância no plano

cartográfico (m) Azimutal Zenital

E1 1.55 E3 0.00 101.21 62.977

E2 78.34 100.96 98.478

E2 1.54 E1 21.48 99.11 98.581

E3 63.12 99.72 97.698

E3 1.57 E2 386.01 100.37 97.597

E1 65.99 99.27 62.992

a) Calcule e compense a poligonal fechada definida pelos vértices E1, E2 e E3. b) Faça a respetiva implantação à escala 1/1000. Sendo dados: ME1 = 323.25 m ; PE1 = -48.95 m (E1E2) = 116.48 gr.

B

A

C

D

E

115.60g

130.44g

118.42g

135.57g


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3. Considere a Tabela 1 que representa uma caderneta taqueométrica referente a um levantamento trigonométrico. O ponto B tem coordenadas B (300.00, 200.00, 100.00) metros e o rumo (BA) está orientado para o Norte Cartográfico. Com base nos cálculos já efetuados na mesma caderneta, calcule e compense a poligonal fechada obtida.

Tabela 1 – Caderneta taqueométrica do levantamento efetuado

Estação Altura Pontos Ângulos Distância

cartográfica aparelho visados Azimutal Zenital

B 1.500 A 29.51 102.30 24.069

C 187.45 108.13 43.975

C 1.450 B 0.00 92.04 44.005

D 105.36 102.10 25.772

E 337.02 96.14 55.595

E 1.600 C 235.56 104.03 55.577

F 43.65 93.99 36.969

B 180.72 98.50 48.373

B 1.550 E 0.00 103.06 48.388

A 160.08 95.72 24.091

4. Calcule e compense a poligonal fechada cujos elementos obtidos no seu levantamento constam na tabela

seguinte.

Estação Altura aparelh

o

Pontos visados

Ângulos Leitura dos fios Número gerador

Distância Desníve

l COTA Azimut

al Zenital Baixo Médio Cima

X 1.54 IX 0.000

1 263.759 103.132 1.292 1.708

1 1.60 X 0.000 98.710 0.191 0.609

2 113.574 98.305 0.182 0.818

2 1.57 1 0.000 101.330 2.681 3.319

3 272.648 100.225 0.124 0.676

3 1.60 2 0.000 101.824 0.723 1.277

4 272.611 102.654 0.501 0.899

4 1.60 3 0.000 100.882 0.103 0.497

5 154.389 106.720 3.278 3.722

5 1.55 4 0.000 91.530 0.675 1.125

XI 269.648 103.362 2.068 2.532

XI 1.55 5 0.000 96.638 0.568 1.032

XII 141.333


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Sendo dados: - Orientações: (IX,X) = 329.185 gr. (XI,XII) = 17.222 gr. - Coordenadas: X = (3000.87; 6646.09) m XI = (2990.94; 6834.37) m - Cotas: X = 115.210 m XI = 106.442 m


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CURVAS CIRCULARES

Definição da curva circular

B – ponto bissetriz O – centro da curva R – raio da curva T, T’ – pontos de tangência V – vértice V’, V’’ – vértice do meio arco b – bissetriz d – desenvolvimento t – tangente α – ângulo de desvio = ângulo ao centro β – ângulo dos alinhamentos τ – tangente do meio arco

( )

×=×=== 2βcotgR2

αtgRVT'TVt ( ) R2eccosRR2secROBVOb −

β×=−α×=−=

400R2'TTd

α×π×== ( )4tgR''V'T'TV α×===τ

Piquetagem da curva circular - Método das abcissas e ordenadas

Método dos pontos equidistantes sobre a tangente

Método dos pontos equidistantes sobre o arco

d

B

β×−=

2cosbtxB

22 XRRy −−=

ne

x'n B = - inteiro superior a n’

e = equidistância

( )φ×= ii nsinRx ( )( )φ−×= ii ncos1Ry

ne2

d'n = - inteiro superior a n’

e = equidistância

n2n2

0×

α=

α=φ

x

y


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EXERCÍCIOS PRÁTICOS DE CURVAS CIRCULARES

Elementos fundamentais e piquetagem

1. Calcule os elementos de uma curva circular de raio igual a 115 metros que concorda dois alinhamentos retos que fazem entre si um ângulo de 119.53 grados.

2. A tangente de uma curva circular de raio 350 metros que concorda dois alinhamentos retos é 160.54 metros.

Determine o ângulo de desvio e os restantes elementos da curva. 3. Determine os elementos fundamentais das curvas circulares 1 e 2 a partir das coordenadas dos pontos de

implantação/apoio apresentados respetivamente nos Quadros 1 e 2.

Quadro 1 – Coordenadas de três pontos de implantação da curva circular 1

Ponto de implantação/apoio Coordenadas (metros)

M P Cota A (ponto bissetor) 1039.032 480.312 203.156

B (ponto tangencia) 902.580 567.013 200.112 C (vértice dos alinhamentos) 1075.960 513.797 203.853

Quadro 2 – Coordenadas de três pontos de implantação da curva circular 2

Ponto de implantação/apoio Coordenadas (metros)

M P Cota F (primeiro ponto tangencia) 190.580 996.604 356.450 G (segundo ponto tangencia) 423.896 780.076 359.884 H (vértice dos alinhamentos) 141.203 709.430 358.167

4. Num troço de estrada, três alinhamentos retos consecutivos são concordados por duas curvas circulares. A

primeira curva tem 95 metros de raio e concorda dois alinhamentos que formam entre si um ângulo de desvio é de 55.26 grados. A segunda curva tem o dobro do raio da primeira curva e concorda dois alinhamentos que fazem entre si um ângulo de 138.65 grados. Sabendo que o alinhamento reto intercalar entre as duas curvas deverá ser igual a 197.22 metros, calcule a distância entre os vértices das duas curvas.

5. Num trecho de estrada, três alinhamentos retos consecutivos são concordados por duas curvas circulares

no mesmo sentido. A primeira curva concorda dois alinhamentos cujo ângulo de desvio é de 48.26 grados e tem 110 metros de raio. A segunda curva tem 145 metros de raio e concorda dois alinhamentos retos cujo ângulo de desvio é de 52.15 grados. Sabendo que a distância entre vértices é de 289.33 metros, determine o tempo que um veículo demora a percorrer todo o trajeto (desde o início da primeira curva até ao final da segunda curva) a uma velocidade de 55 km/h.

6. Num trecho de estrada três alinhamentos retos consecutivos são concordados por duas curvas circulares de

sentidos opostos (a primeira à direita e segunda à esquerda). A relação entre o raio da primeira e da segunda curva é de 0.85. A primeira curva concorda dois alinhamentos retos cujo ângulo de desvio é 42º, enquanto a segunda curva concorda dois alinhamentos retos cujo ângulo ao centro é de 67º. A distância entre vértices é de 280 metros. a) Sabendo que o alinhamento reto intercalar entre curvas é de 0.984×R1, determine os elementos das duas

curvas.


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b) Determine o raio de cada curva de modo que um ponto de tangencia da primeira curva coincida com um ponto de tangencia da segunda.

7. Considere dois alinhamentos retos paralelos a uma distância de 200 metros (Figura 1). A extremidade

destes alinhamentos encontra-se afastada 600 metros no sentido dos alinhamentos (pontos A e C). Pretende-se concordar estes dois alinhamentos por duas curvas circulares de igual raio e sem alinhamento reto intercalar. Calcule os elementos fundamentais dessas curvas circulares.

300

300

200

A

B

C

Figura 1 – Esquema do traçado das curvas

8. Pretende-se piquetar uma curva circular de 135 metros de raio, sendo de 66.41 grados o ângulo de desvio

dos alinhamentos. Calcule os elementos necessários à sua piquetagem: a) Usando o método das abcissas e ordenadas considerando pontos equidistantes sobre a tangente no

máximo espaçados de 10 metros; b) Usando o método das abcissas e ordenadas considerando pontos equidistantes sobre o arco com

espaçamento máximo de 10 metros; c) Usando o método das cordas e flechas.

unidade curricular: topografia · cartográficas dos vértices da rede geodésica e com a...

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