1

Unidade 3

Funções de uma variável

Funções

Um dos conceitos mais importantes da matemática é o conceito de função. Em muitassituações práticas, o valor de uma quantidade pode depender do valor de uma segunda. Aprocura de carne pelo consumidor, por exemplo, pode depender do seu preço atual nomercado; a quantidade de ar poluído numa área metropolitana depende do número de veículosna rua; o valor de uma garrafa de vinho pode depender da safra. Essas relações sãomatematicamente representadas por funções.

Sejam A e B dois conjuntos. Uma função é uma relação que a cada elemento de Aassocia um único elemento de B , e é indicada por BAf : . A relação entre os conjuntosA e B é dada através de uma regra de associação expressa na forma )(xfy .

Definição (Função): Sejam A e B dois conjuntos. Dizemos que f é uma função ouaplicação, de conjunto A em conjunto B , se e somente se, todo elemento de A , está emcorrespondência com um único elemento de B . Escrevemos :f A B definida por

( )y f x onde y é o valor de f em x .

Domínio: É o conjunto dos valores de x tais que a função está definida.Anotamos ( )D f A ou ( )Dom f A .

Contra-domínio: O conjunto B é o contra-domínio da função ( )CD f B .

Imagem: É o conjunto dos valores y B tais que ( )y f x para algum x .Anotamos Im( )f B .

Assim:

( ) ( ) para algumD f x A y f x y B ,

e

Im( ) com ( )f y B existe x A y f x .

Por exemplo, seja :f A B definida por ( ) 2f x x , onde 1,2,3A e 1,2,4,6,7B .

Neste caso, ( ) 1,2,3D f , ( ) 1,2,4,6,7CD f e Im( ) 2,4,6f . Veja a figura abaixo:

2

Figura 3.1

Uma função :f A B é dita função real de uma variável real se A e B .

Figura 3.2

Normalmente, representamos por ( )y f x , x A e y B .

Veja a seguir alguns exemplos de funções.

(i) ( )f x x , para todo x , ( )D f .

(ii) 2( )f x x , para todo x , ( )D f (iii) ( )f x x , para todo x , ( ) 0,D f

(iv) ( )2

xf x

x

, 2x , ( ) 2D f

(v) 2( ) 1f x x , 1 1x , ( ) 1,1D f (vi) ( ) 1f x x , x , ( )D f

(vii)3

( )f xx , 0x , x , ( ) 0D f

(viii) ( )f x x , para todo x , ( )D f .

1

2

3

2

4

6

f

7

1

Im( )f

( )B CD f( )A D f

3

(ix)1

( )2

f xx

, 2x

( ) 2 / 2D f x x e Im( )f .

(x) ( ) 2 3 2 3 0 3/ 2f x x x x . Neste caso,

( ) / 3 / 2D f x x .

(xi)2 2

( ) 0 e 33 3

x xf x x

x x

.

1º Caso: 2 0 e 3 0 2 e 3x x x x

2º Caso: 2 0 e 3 0 2 e 3x x x x . Assim,

( ) / , 3 2,D f x x

Vamos verificar se você está acompanhando tudo até aqui? Procure, então, atender aosexercícios propostos.

Exercícios Propostos - 1

Determine domínio nas seguintes funções:

1)3

( )1

xf x

x

2)3

( )f xx

3)1

( )1

f xx

4)1

( )2

f xx

5) ( ) 2 3f x x 6) ( ) 1 3f x x

7)1 1

( )5

f xx x

8)

2

1 1( )

4 4f x

x x

9) ( ) 2f x x 10)2

1( )

1f x

x

11)1

( )3

f x x 12) ( ) 3f x x

13)2

1( )

3f x

x

14) ( )2

xf x

x

Respostas.1) 1R

2) 0R

3) 1 1,x R x

4

4) 2R

5)3 3

,2 2

x R x

6)1 1

,3 3

x R x

7) 0, 5R

8) 4 2x R x ou x

9) 2 2,x R x

10) 1,1R

11)1 1

,3 3

x R x

12) 3 3,x R x

13) 3, 3R

14) 0 0,x R x

Gráfico de uma Função

É o subconjunto do plano formado pelos pontos , ( )x f x , para todo x , quando x

percorre o campo de definição de função :f . Im( ) ( )f G f .

Exemplo 3.1. Seja ( )f x x , para todo x . ( )D f e Im( )f .

Figura 3.3

Exemplo 3.2. Seja 2( )f x x , para todo x . ( )D f e Im( )f .

5

Figura 3.4

Exemplo 3.3. Seja :f , ( )f x x , ( )D f e Im( )f .

Figura 3.5

Exemplo 3.4. Seja ( )f x x , para todo x , ( )D f e Im( )f .

Figura 3.6

Duas funções f e g são iguais se e somente se tem o mesmo domínio e( ) ( )f x g x , para todo ( )x D f .

6

Exemplo 3.5. :f A B , ( ) 1f x x e2

( )x x

g xx

, onde 1,2,3A e

0,1,2,3,4,5B . Neste caso, ( ) ( )f x g x , para todo x A .

Exemplo 3.6. Sejam f , :g , definidas por 4( )f x x e 2( )g x x . Neste caso,

temos ( ) ( )f x g x , para todo x , pois 4 2x x .

Exemplo 3.7. Sejam f , :g , 2( )f x x e ( )g x x . Neste caso, ( ) ( )f x g x ,2x x , para todo 0x .

Exemplo 3.8. Sejam ( )f x x e2

( )x

g xx

são iguais se, e somente se, o domínio de ambas é

0 .

Operações com Funções

Dadas às funções f e g definidas. Então valem as seguintes:

(i) Soma de f e g : ( )( ) ( ) ( )f g x f x g x ;

(ii) Diferença de f e g : ( )( ) ( ) ( )f g x f x g x ;

(iii) Produto de f e g : ( )( ) ( ) ( )f g x f x g x ;

(iv) Quociente de f e g :( )

( )( )

f f xx

g g x

, ( ) 0g x .

Em cada caso o domínio da função resultante consiste dos valores de x comuns ao das

funções f e g , sendo que paraf

g, o domínio é interseção excluídos os pontos tais que

( ) 0g x . Por exemplo, dadas às funções 2( ) 2f x x e3

( )1

g xx

, então:

(i) 2 3( )( ) 2

1f g x x

x

, 1x . ( ) 1D f g

(ii) 2 3( )( ) 2

1f g x x

x

, 1x . ( ) 1D f g

(iii) 2 3( )( ) 2

1f g x x

x

, 1x . ( ) 1D f g

(iv) 2 22 1 2

( )3 3

1

x x xfx

gx

, 1fD

g

, pois ( ) 1D g .

7

Funções Definidas por Várias Sentenças

São as funções onde função é dada por diferentes valores em diferentes intervalos.

Nos exemplos a seguir obter o gráfico, seu domínio e sua imagem das funções::f .

Exemplo 3.9.

1, se 0

( ) 2, se 0 1

1, se 1

x

f x x

x

Resolução: ( )D f , Im( ) 1,2f .

Figura 3.7

Exemplo 3.10.2

, se 0( )

, se 0

x xf x

x x

Resolução: ( )D f , Im( )f .

Figura 3.8

Exemplo 3.11.

, se 0 2

( ) 2, se 2 3

5 , se 3

x x

f x x

x x

8

Resolução: ( )D f , Im( ) , 2f .

Figura 3.9

Exemplo 3.12.1, se 3

( )2 1, se 3

x xf x

x x

Resolução: ( )D f , Im( )f .

Figura 3.10Tipos de Funções

(a) Funções monótonas

(i) Função Crescente: A função ( )y f x é crescente num intervalo de seu domínio

se dados dois valores quaisquer deste intervalo, 1x e 2x com 1 2x x , temos

1 2( ) ( )f x f x . Por exemplo, 2y x , ( )D f , Im( )f , 1 2,x x e

1 2 1 2( ) ( )x x f x f x .

(ii) Função Decrescente: A função ( )y f x é decrescente num intervalo de seu

domínio se dados dois valores quaisquer deste intervalo, 1x e 2x com 1 2x x ,

temos 1 2( ) ( )f x f x . Por exemplo, 2y x , ( )D f , Im( )f , 1 2,x x e 1 2 1 2( ) ( )x x f x f x .

9

Figura 3.11

(b) Função Injetora

Dizemos que :f A B é injetora se e somente se, dados 1x e 2x A com 1 2x x implica

que 1 2( ) ( )f x f x ou se 1 2( ) ( )f x f x então 1 2x x .

Por exemplo,

(i) :f , ( )f x x é injetora, pois 1 2,x x com 1 2 1 2( ) ( )x x f x f x .

(ii) :f , 2( )f x x não é injetora, pois 1 2 1 2( ) ( )x x f x f x , considerando 1 3x e 2 3x , temos 1 2 ( 3) (3) 9x x f f .

Figura 3.12

(c) Função Sobrejetora

Dizemos que :f A B é sobrejetora se e somente se Im( )f B ou ( )f A B .

Por exemplo,

10

(i) :f , 3( )f x x é sobrejetora, pois ( )D f e Im( )f .

(ii) :f , 2( )f x x é sobrejetora, pois ( )D f e Im( )f .

(iii) :f , 2( )f x x não é sobrejetora, pois ( )D f e Im( )f .

(d) Função Bijetora

Dizemos que :f A B é bijetora se e somente se, f é injetora e sobrejetora, isto é,

1 2 1 2( ) ( )x x f x f x e Im( )f B .

Por exemplo,

(i) :f , ( )f x x ;

(ii) :f , 3( )f x x ;

(iii) :f , 2( )f x x ; são funções bijetoras.

(e) Função Inversa

Se :f A B é bijetora, a relação inversa de f é uma função de B em A que

denominamos função inversa e indicamos por 1f .

Figura 3.13

Observação:(i) :f A B sendo bijetora, garante a existência da função inversa 1 :f B A e

1 Im( )D f f B e 1Im ( )f D f A .

(ii) Existe 1f f é bijetora.

(iii) Existe 1f é equivalente dizer f é inversível.

Por exemplo,

11

(i)

Figura 3.14

A função dada acima na figura 2.14 é inversível.

(ii)

Figura 3.15

A função dada acima na figura 2.15 é não inversível.

Regras práticas para o cálculo de função inversa

Na função ( )y f x trocamos x por y e y por x ,obtendo ( )x f y .

Expressamos y em função de x .

Por exemplo,

(iii) Seja :f , 2 4y x ( ) 2 4y f x x 2 4x y

2 4y x

12

12 ( )2

xy f x

1( ) 22

xf x .

(iv) Seja :f , 2y x2y x

2x y

y x 1 :f , 1( )f x x .

Observação: Os gráficos de f e 1f são simétricos em relação à bissetriz do 1º e 3ºquadrante do plano cartesiano.

Por exemplo,

(i) 3( )f x x , :f 1 :f , 1 3( )f x x .

Figura 3.16

(ii) :f , 2( )f x x 1( )f x x

13

Figura 3.17

Composição de Funções

Sejam A , B e C três conjuntos. Consideremos as funções f e g tal que

:f A B e :g B C .

Associado com f e g existe uma função :L A C denominada composição edefinida por

( ) ( )( ) ( ( ))h x g f x g f x , para todo x A .

Figura 3.18Assim temos

: ( ) Im( )f x f x y f B e : ( ) Im( )g y g y z g C .

Observações:(i) g f só está definida, quando ( ) ( )CD f D g .(ii) Em geral, g f f g .(iii) O domínio de f g é o conjunto de todos os números x no domínio ( )D f .

Exemplo 3.13. Sejam 1,2,3,4A , 0,2,4,6,8,9B e 0,4,16,36,64,81,100C .

Consideremos :f A B : ( ) 2f x x y e :g B C : 2( )g y y z . Então

14

:h A C : 2( ) ( )( ) ( ( )) (2 ) 4h x g f x g f x g x x .

Exemplo 3.14. Sejam f , :g definidas por ( ) 1f x x e 2( )g x x . Então,

2 2( )( ) ( ( )) ( ) 1f g x f g x f x x ,e

2 2( )( ) ( ( )) ( 1) 1 2 1g f x g f x g x x x x .

Agora,2 21 2 1x x x f g g f .

Exemplo 3.15. Sendo :f , 2 1f x x e 2g x x . Calcular:

(i) 2 2( ( )) ( 2) ( 2) 1 4 3f g x f x x x x .

(ii) 2 2 2( ( )) ( 1) 1 2 1g f x g x x x .(iii) ( (1)) (3) 9 1 8f g f (iv) ( (0)) ( 1) 1 2 1g f g .

Exemplo 3.16. Sendo :f , 23 2f x x e 4 1g x x . Calcular

f g , g f , f f e g g .(i) ( )( ) ( ( ))f g x f g x

(4 1)f x 23 2(4 1)x

23 2(16 8 1)x x 2

2

3 32 16 2

32 16 1

x x

x x

(ii) ( )( ) ( ( ))g f x g f x2

2

2

2

(3 2 )

(4(3 2 ) 1)

12 8 1

8 13

g x

x

x

x

(iii) ( )( ) ( ( ))f f x f f x2

2 2

2 4

2 4

4 2

(3 2 )

3 2(3 2 )

3 2(9 12 4 )

3 18 24 8

8 24 15

f x

x

x x

x x

x x

(iv) ( )( ) ( ( ))g g x g g x

15

(4 1)

(4(4 1) 1)

16 4 1

16 5

g x

x

x

x

Funções Pares e Ímpares

(a) Função Par

Seja :f A B . f é uma função par se e somente se ( ) ( )f x f x , x A .

Por exemplo, 2( )f x x , x é par, pois 2( ) ( )f x f x x , para todo x .

Figura 3.19

(b) Função Ímpar

Seja :f A B . f é uma função par se e somente se ( ) ( )f x f x , para todo x A .

Por exemplo, 3( )f x x , x é ímpar, pois 3( ) ( )f x f x x , para todo x .

Observações:

(i) O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo y .

(ii) O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação a origem do sistemacartesiano.

(iii) Existem funções que nem são pares e nem ímpares. Por exemplo, ( ) xf x e e2( )f x x x , para todo x , nem são pares e nem são ímpares.

Verifique se são pares ou ímpares as funções:

(i) y x

16

(ii)1

yx , 0x .

Funções elementares

A seguir apresentaremos algumas funções elementares.

a) Função constante

A função que associa cada elemento do seu domínio a um mesmo elemento docontradomínio é chamada de função constante.

Exemplo 3.17. A função :[0, )f , 2)( xf , é uma função constante. Sua Figura no

intervalo 0, 2 do seu domínio é o seguinte:

Figura 3.20

b) Funções afim e linear

Chama-se função afim qualquer função dada por baxxf )( onde os coeficientes a eb são números reais dados. Quando 0b , a função é chamada de linear. A Figura da funçãoafim com domínio e contradomínio é uma reta com coeficiente angular igual a a e que

intercepta os eixos coordenados X e Y nos pontos , 0b

a

e 0, b , respectivamente.

Exemplo 3.18. O gráfico da função afim tomando-se 1a e 1b , ou seja,( ) 1y f x x , no intervalo [ 1, 2] , é mostrado a seguir.

17

Figura 3.21

Uma reta pode ser representada por uma função afim da forma baxy . Precisamosapenas determinar a e b .

c) Função módulo

É a função definida por, 0

( ) | |, 0

x xf x x

x x

O gráfico da função módulo é o seguinte:

Figura 3.22

d) Função quadrática

Sejam , ea b c números reais quaisquer com 0a . A função f definida em e dada

por 2( )y f x ax bx c recebe nome de função quadrática.

18

Exemplo 3.19.(i) 2( ) 9 14y f x x x 1; 9; 14a b c .

(ii) 2( ) 5 25y f x x x 5; 25; 0a b c .

(iii) 22 3 1( )

3 4 5y f x x x

2 3 1; ;

3 4 5a b c .

e) Função polinomial

É toda função cuja regra de associação é um polinômio, ou seja,

011

1 ...)( axaxaxaxf nn

nn

,

onde os coeficientes naaa ,...,, 10 são números reais e n é número natural chamado de grau de

( )f x .

Exemplo 3.20. As funções afim e linear são exemplos de funções polinomiais de grau 1n .A função quadrática cbxaxxf 2)( , 0a , é uma função polinomial de grau 2n . A

função 4 3 2( ) 2 3 5 1f x x x x x é uma função polinomial de grau 4n .

f) Função racional

É toda função f cuja regra de associação é do tipo

)(

)()(

xq

xpxf ,

onde )(xp e )(xq ( ( ) 0q x ) são funções polinomiais. Uma função racional está definida emqualquer domínio que não contenha raízes do polinômio )(xq .

Exemplo 3.21. Determine o maior domínio possível da função racional

1

1)(

2

x

xxxf .

Resolução: Uma função racional com esta regra de associação está definida em todo ponto x

tal que 01 x . Portanto, o maior domínio possível é o conjunto | 1x x .

19

Figura 3.23

Função exponencial e logarítmica

a) Função exponencial de base a

Seja a um número positivo e 1a . A função : (0, )f , dada por xaxf )( , échamada de função exponencial de base a . Os gráficos dessas funções são os seguintes:

Gráfico da função exponencial quando 1a .

Figura 3.24

Gráfico da função exponencial, quando 0 1a .

Figura 3.25

20

O conjunto imagem da função exponencial é o intervalo (0, ) .

Apresentaremos, a seguir, as propriedades de exponenciação.

b) Propriedades da função exponencial

As seguintes propriedades valem para quaisquer , , ,a b x y R com 0a , 0b :

P1 - yxyx aaa .P2 - xxx abba )()( .

P3 - yxy

x

aa

a .

P4 -x

x

x

b

a

b

a

.

P5 - xyxyyx aaa )()( .

A função exponencial mais comum em aplicações é a função exponencial debase ea onde ...71828,2e é a constante de Euler, que é um númeroirracional. A função, nesse caso, é chamada de função exponencial naturalou, simplesmente, função exponencial.

Função logaritmo

Seja a um número positivo e 1a . A função definida por ( ) logay f x x 0x ,

recebe o nome de função logarítmico de base a .

Vejamos os gráficos da função logarítmica:

Figura 3.26

21

Figura 3.27

Propriedades da função logaritma

Para todo 0, yx , valem as seguintes propriedades.

P1. Propriedade do produto:)(log xya = yx aa loglog .

P2. Propriedade do quociente:

y

xalog = yx aa loglog .

P3. Propriedade da potenciação:yxy a

xa log)(log .

O logaritmo na base ea é chamado de logaritmo natural e é comumindicá-lo como ln x .

Aplicações práticas das funções

A seguir apresentaremos algumas aplicações práticas de funções em forma deexemplos.

a) Função receita

Exemplo 3.22. Um bem é vendido por R$300,00 a unidade. Sendo x a quantidade vendida, areceita de vendas será 300 x . Podemos dizer que ( ) 300R x x é uma função que fornece aquantidade vendida x à receita correspondente.

Exemplo 3.23. Uma sorveteria vende um picolé por R$6,00 a unidade. Seja x a quantidadevendida.a) obtenha a função receita ( )R x ;b) calcule (50)R ;

22

c) qual a quantidade que deve ser vendida para dar uma receita igual a R$1.200,00?

Resolução:a) ( ) 6R x x .b) (50) 6 50 300R .c) Devemos ter 1.200 6 200x x .

Logo, a quantidade vendida deve ser de 20 picolés.

b) Função custo e lucro do primeiro grau

Seja x a quantidade produzida de um produto. O custo total de produção depende de x , ea relação entre eles chama de função custo total e a indicamos por ( )C x . Existem custos quenão dependem da quantidade produzida, tais como aluguel, seguro e outros. A soma dessescustos que não dependem da quantidade produzida chamamos de custo fixo e indicamos porCF . A parcela do custo que depende de x chamamos de custo variável e indicamos por

( )CV x . Logo, podemos escrever( ) ( )C x CF CV x .

A função lucro ( )L x é definida como a diferença entre a função receita ( )R x e afunção custo ( )C x e temos

( ) ( ) ( )L x R x C x .

Por exemplo, o custo fixo mensal de fabricação de um produto é R$6.000,00 e o custovariável por unidade é R$ 15,00. Então a função custo total é dada por

( ) 6.000 15C x x .

Se o produto for, digamos número de aparelhos de TV, os valores de x serão 0, 1, 2,...

Caso o produto for, digamos toneladas de soja produzidas, os valores de x serão númerosreais positivos.

Exemplo 3.24. Um produto é vendido por R$20,00 a unidade (preço constante). A funçãoreceita será ( ) 20R x x . Se colocarmos o gráfico desta função receita e o da função custo

( ) 6.000 15C x x num mesmo sistema de coordenadas cartesianas teremos o gráfico aseguir.

23

Figura 3.28

Gráfico de ( ) 20R x x e ( ) 6.000 15C x x no mesmo sistema de coordenadas.

A abscissa, cx , do ponto A é chamada de ponto de nivelamento ou ponto crítico.

Note que: Se cx x , então ( ) ( )R x C x e ( ) 0L x .

Se cx x , então ( ) ( )R x C x e ( ) 0L x .

c) Função demanda

Exemplo 3.25. O número x de certo produto demandado por mês numa loja relaciona-secom o preço unitário p conforme a função demanda

20 0,004p x .

Se o preço por unidade for de R$8,00, a quantidade demandada por mês será

8 20 0,004x 0,004 20 8 16x 4.000x .

O gráfico da função demanda 20 0,004p x é dado abaixo

24

Figura 3.29

d) Funções quadráticas receita e lucro

Exemplo 3.26. A função de demanda de certo produto é 20p x , e a função custo é( ) 30C x x onde x é a quantidade demandada. Determinar:

a) a função receita e o preço que a maximiza.b) a função lucro e o preço que a maximiza.

Resolução:

a) Por definição de receita, temos

2( ) 20 20R x p x x x x x .

Logo, a função receita é 2( ) 20R x x x .Veja figura abaixo

Figura 3.30

De 2( ) 20R x x x , temos 1; 20; 0a b c .

Logo, o valor de x que maximiza 2( ) 20R x x x é a abscissa do vértice20

102 2 ( 1)V

bx

a

para uma receita máxima de

25

2(10) 10 20 10 100 200 100R .

Portanto, temos uma receita máxima de R$100,00 para uma demanda de 10x itens doproduto.

b) A função lucro é ( ) ( ) ( )L x R x C x .

Assim,

2 2( ) 20 30 20 30L x x x x x x x 2 19 30x x ,

onde1; 19; 30a b c .

Veja a figura de ( )L x abaixo

Figura 3.31

O valor de x que maximiza a função lucro 2( ) 19 30L x x x é a abscissa do vértice19 19

9,52 2 ( 1) 2V

bx

a

para um lucro máximo de

2(9,5) 9,5 19 9,5 30

90,25 180,5 30 60,25

L

.

Portanto, temos um lucro máximo de R$ 60,25.

Vamos verificar se você está acompanhando tudo até aqui? Procure, então, atender aosexercícios propostos.

Exercícios propostos – 2

1) Seja a função ( ) 4 3f x x , calcular:a) ( 2)f ;b) ( 1)f a ;

26

c) ( )f x h ;d) ( ) ( )f x f h ;

e)( ) ( )

, 0f x h f x

hh

.

2) Seja a função 2( ) 5 4g x x x , calcular:a) ( 1)g ;

b)1

4g

;

c)( ) ( )

, 0g x h g x

hh

;

d)1

gx

;

e)( 2)

( )

g

g x

.

3) Seja a função ( ) 2 3f x x x , calcule:

a) ( 1)f ;b) (2)f ;c) (3)f ;

d)1

2f

;

e) (2 )f x .

4) Faça o Figura da função 2( ) 2f x x , com o ( ) 3, 2, 1,0,1,2,3Dom f .

5) Obtenha o domínio das seguintes funções:a) ( ) 3 2y f x x ;

b) ( ) 3y f x x ;

c)5

( )2

xy f x

x

.

6) Esboce o Figura da função f , de domínio ( )Dom f , dada por2 1, se 0

( ), se 0

x xf x

x x

.

7) Sejam as funções1

( )1

xf x

x

e1

( )g xx , determinar:

a) f g e ( )Dom f g .b) g f e ( )Dom g f .c) f f e ( )Dom f f .

27

8) O custo de fabricação de x unidades de certo produto é dado pela função( ) 300 2C x x .

a) Qual o custo de fabricação de 30 unidades?b) Qual o custo de fabricação da vigésima unidade, já tendo sido fabricadas

dezenove unidades?

9) Dada a função demanda 20 2p x e a função custo ( ) 5C x x , determinar:a) O valor de x que maximiza a receita.b) O valor de x que maximiza o lucro.

10) Usando o mesmo sistema de coordenadas cartesianas, esboce o Figura da funçãoreceita dada por ( ) 4R x x e o Figura da função custo dada por ( ) 50 2C x x edetermine o ponto de nivelamento.

11) Obtenha a função lucro do exercício acima, esboce seu Figura e faça o estudo do sinal.

12) Um fabricante de brinquedos pode produzir um determinado brinquedo a um custo deR$10,00 por unidade. Está estimado que se o preço de venda do brinquedo for de xcada, então o número de brinquedos vendidos por mês será 250 x .a) Expressar o lucro mensal do fabricante como uma função de x .b) Utilize o resultado da letra a para determinar o lucro mensal se o preço de

venda for de R$35,00 cada.

13) Seja :[0, ) [ 2, )f , ( )y f x = 2 2x . Determine a inversa da função f .

14) Determinar a função inversa da função demanda20

4

xp

.

15) Indicando o custo médio correspondente a x unidades produzidas por ( )CM x , temos( )

( )C x

CM xx

onde ( )C x é o custo de fabricação de x unidades de um produto. O

custo de fabricação de x unidades de um produto é ( ) 400 5C x x .a) Qual o custo médio de fabricação de 80 unidades?b) Qual o custo médio de fabricação de 100 unidades?c) Para que valor tende o custo médio à medida que x aumenta?`

Respostas

1) a) 11 ; b) 4 1a ; c) 4 4 3x h ; d) 4 4 6x h ; e).

2) a) 9; b)11

16 ; c) 10 5 4x h ; d)

2

4 5x

x

; e)

2

28

5 4x x.

3) a) 6 b) 3; c) 6; d)3

2 ; e) 4 2 3x x .

28

4)

5) a) ( )Dom f R ; b) ( ) ,3Dom f ; c) ( ) 5,Dom f .

6)

7) a)1

1

xf g

x

e ( ) 1Dom f g R ;

b)1

1

xg f

x

e ( ) 1Dom g f R ;

c) f f x e ( )Dom f f R .

8) a) 360; b) 2.

9) a) 5x . b)19

4x .

10) Ponto de nivelamento é 25x .

29

11) Lucro ( ) 2 50L x x .

Se 0 25x , então ( ) ( )R x C x e, portanto ( ) 0L x , ou seja, prejuízo.Se 25x , então ( ) ( )R x C x e, portanto ( ) 0L x , ou seja, lucro positivo.

12) Função receita: ( ) 250R x x x ; Função custo: ( ) 10 250C x x .

a) Função lucro: ( ) 250 10L x x x ; b) 5.375.

13) 1( ) 2f x x .

14) 220 4x .

15) a) 516

x ;

b) 420

x ;

c) A medida que x aumenta o custo médio tende para 5 (cinco).