1

UNIDAD 8: Proporcionalidad y Porcentajes 8.1.- RAZÓN Y PROPORCIÓN.

- Una Razón es una comparación de dos números usando una fracción. - Una Proporción es una igualdad entre razones (como las fracciones equivalentes). Así, si por

ejemplo tenemos, !!= !

!, podemos hallar el número que falta haciendo esto:

𝑥 =6 · 43 =

243 = 8

- Dos magnitudes directamente proporcionales son dos magnitudes que crecen y decrecen siguiendo una razón. Por ejemplo, si 4 cajas tienen 12 plátanos, 3 cajas tendrán 9 plátanos:

- A la razón entre plátanos y cajas se le llama Constante de Proporcionalidad, en este caso sería:

!!= !

!= !

!= !"

!= !"

!= 3

- Hagamos este ejemplo juntos: ¿Cuánto pagaré por 300 gramos de salmón si su precio es de 16€/kg? Planteamos el problema:

!"€!"""!

= !!""!"

entonces, 𝑥 = !"·!""!"""

= !"##!"""

= 4.8 SOLUCIÓN: 300 gramos de salmón cuestan 4.80€. - ACTIVIDADES: 1, 2, 3, 4.

1) Halla el número que falta: a) 𝟏𝟑= 𝟓

𝒙 b)

𝟔𝟗= 𝟏𝟎

𝒙 c)

𝒙𝟑= 𝟑𝟓

𝟕

2) Paqui gana 54€ por trabajar 6 horas. ¿Cuánto ganará por trabajar 9 horas? 3) Hemos pagado 364€ por 7 noches de hotel. ¿Cuánto pagaremos por 3 noches de hotel? 4) Para cocinar un bizcocho para 6 personas, Renato ha utilizado 3 huevos, 150g de harina y 9 cucharadas de azúcar. ¿Cuánto necesitará de cada ingrediente para hacer un bizcocho para 8 personas? (Pista: haz una proporción por cada ingrediente). 8.2.- PROPORCIONALIDAD INVERSA.

- Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando una aumenta en le misma proporción que la otra disminuye. Por ejemplo, la velocidad a la que vamos y el tiempo que tardamos en hacer un recorrido: : ·) Si duplicamos la velocidad, tardamos la mitad de tiempo. ·) Si vamos a la mitad de la velocidad, tardamos el doble de tiempo. - Si dos magnitudes son inversamente proporcionales, su PRODUCTO es constante. Esa constante se llama constante de proporcionalidad inversa. Ejemplo: Pablo y Omar trabajan 6 horas cada día para limpiar un colegio. Ayer, el colegio contrató a un empleado más para limpiar. ¿Cuánto tardarán ahora en limpiar el colegio entre los tres? Trabajadores Horas 2 6 3 x

2

Ahora, al ser inversamente proporcionales, tiene que ocurrir que 2 · 6 = 3 · 𝑥. Resolvemos entonces esta sencilla ecuación: 12 = 3𝑥 𝑥 = !"

!= 4.

SOLUCIÓN: Ahora tardarán 4 horas. - ACTIVIDADES: 5, 6, 7, 8. 5) Dos bombas tardan 9 días en vaciar una piscina. ¿Cuánto tardarán tres bombas en vaciar la misma piscina? 6) A una velocidad de 60 km/h tardamos 5 horas y 25 minutos en recorrer una distancia. ¿Cuánto tardaremos en recorrer esa distancia si vamos a 100 km/h? (¡CUIDADO! Pasa todo a minutos). 7) 3 trabajadoras tardan 10 horas en construir una pared. ¿Cuánto tardarán 5 trabajadoras? 8) Un tren que va a 120 km/h tarda 1 hora y 25 minutos en ir de Albacete a Valencia. ¿Cuánto tardará el AVE, que va a 250 km/h? 8.3.- MEZCLAMOS PROPORCIONALIDAD INVERSA CON PROPORCIONALIDAD DIRECTA.

Los dos últimos días, hemos aprendido a resolver problemas de proporcionalidad directa e inversa. Ahora, ¿cómo identificar cuándo hay que usar un método o el otro? Veámoslo con unos ejemplos:

a) 3 faldas me han costad8 63€. ¿Cuánto me costarán 5 faldas? Es proporcionalidad DIRECTA, porque al aumentar el número de faldas, aumenta el precio.

b) 3 trabajadoras tardan 8 horas en hacer un determinado trabajo. ¿Cuántas trabajadoras harían falta para terminar el trabajo en 6 horas? Cuantas más trabajadoras tengamos, menos tiempo tardarán. Por tanto, es un problema de proporcionalidad inversa. - Haz la actividad 9). Tienes 2 minutos.

9) Di si son magnitudes DIRECTAMENTE PROPORCIONALES (D), INVERSAMENTE PROPORCIONALES (I) o NO PROPORCIONALES (NP):

a) El peso de un melón y su precio _____

b) La edad de una persona y su altura _____

c) El número de trabajadoras para hacer una tarea y el tiempo que tardan en hacerla ____

d) La velocidad de un coche y el tiempo que tarda en completar una distancia ___

e) El precio de las manzanas y el número de kg que puedo comprar con 10 € ____

f) La capacidad de una jarra y el número de vasos que puedo llenar con su contenido ___

- ACTIVIDADES: 10, 11, 12, 13. 10) Emma ha cambiado 100$ y le han dado 124€. ¿Cuántos euros le darán por 500$? 11) Si voy en mi bici a 15 km/h, necesito una hora y ocho minutos para ir a casa de mi abuela. ¿Cuánto tardaré si voy a una velocidad de 20 km/h? 12) Si voy en mi bici a 15 km/h, consigo hacer 20 km en cierto tiempo. ¿Cuántos kilómetros recorreré en el MISMO TIEMPO si voy a 12 km/h? 13) Mara puede escribir 8 páginas de 25 líneas por página en una hora. Si escribiese sólo 20 líneas por página, ¿cuántas páginas escribirá en una hora? 8.4.- PORCENTAJES: DEFINICIÓN. HALLAR PARTE Y TOTAL.

Puedes resolver cualquier porcentaje usando esta fórmula:

𝐏𝐨𝐫𝐜𝐞𝐧𝐭𝐚𝐣𝐞!""

= 𝐏𝐚𝐫𝐭𝐞𝐓𝐨𝐭𝐚𝐥

, sabiendo que Porcentaje % de TOTAL = PARTE.

3

- Hagamos unos ejemplos:

- Halla el porcentaje: 40% de 95 = !"!""

· 95 = !"##!""

= 38.

- Halla el número que falta: __% de 62 = 6.2: !!""

= !.!!"

; 𝑥 = !""·!.!!"

= !"#!"

= 10.

- Halla el número que falta: 45% de ____ = 90: !"!""

= !"!

; 𝑥 = !""·!!"

= !"""!"

= 200.

- DEBERES: 14, 15, 16.

14) Halla los porcentajes:

a) 50% de 46 = b) 35% de 24 =

c) 95% de 20 = d) 15% of 200 =

15) Halla el número que falta:

a) ___% de 40 = 3.6 b) ___% de 36 = 25.2 c) ____% de 40 = 6

d) ___% de 85 = 5.1 e) ___% de 80 = 16 f) ____% de 35 = 14

16) Halla el número que falta:

a) 50% de ___ = 20 b) 12% de ___ = 27 c) 5% de ___ = 2

d) 13% de ___ = 7.54 e) 75% de ___ = 15 f) 84% de ___ = 504 8.5.- PROBLEMAS CON PORCENTAJES.

La clave para resolver TODOS los problemas de porcentajes está en identificar PARTE, TOTAL y PORCENTAJE. Una vez lo identificamos, sólo hay que aplicar cualquiera de las dos fórmulas:

Porcentaje % de TOTAL = PARTE 𝐏𝐨𝐫𝐜𝐞𝐧𝐭𝐚𝐣𝐞

!"" = 𝐏𝐚𝐫𝐭𝐞𝐓𝐨𝐭𝐚𝐥

EJEMPLOS: a) En un rebaño de 175 ovejas, el 8% son marrones. ¿Cuántas ovejas marrones hay? b) En un rebaño hay 21 ovejas marrones, que es el 14% del total de ovejas. ¿Cuántas ovejas hay en el rebaño? c) Un rebaño tiene 200 ovejas y 18 de ellas son marrones. ¿Cuál es el porcentaje de ovejas marrones? - ACTIVIDADES: 17, 18, 19, 20, 21, 22. 17) El 40% del alumnado de un grupo de 1º de ESO se han presentado a un concurso literario. Calcula el número de alumnos de ese grupo si los que se han presentado al concurso son 12. 18) En una empresa se fabrican diariamente 80 lavadoras, de las que un 65% se vende en el extranjero. ¿Cuántas lavadoras se dedican a la exportación diariamente? 19) Ana tenía ahorrados 30.000€ y se ha gastado 22.500€ en un coche. ¿Qué porcentaje de sus ahorros ha gastado? 20) Un abrigo valía 150€, pero me han hecho un 20% de descuento. ¿Cuánto me han descontado? ¿Cuánto me ha costado el abrigo? 21) Un abrigo valía 120€ pero me han descontado 30€. ¿Cuál es el porcentaje de la rebaja? 22) Me han hecho una rebaja del 15% en un abrigo y me he ahorrado 30€. ¿Cuánto valía el abrigo? 8.6.- REPASO. 23) Una lata de 25 kg de pintura da para pintar 75 m2 de pared. ¿Cuántos kg necesitamos para pintar 60 m2 de pared?

4

24) Una compañía necesita 33 trabajadoras para empaquetar su producción en 25 días. ¿Cuántas trabajadoras necesitarán para conseguir que empaqueten la producción en 15 días? 25) A una velocidad de 120 km/h, tardo tres horas y media en ir a mi pueblo. ¿Cuánto tardaré en ir a mi pueblo si voy a 80 km/h? 26) Halla los porcentajes: a) 𝟓𝟓% de 𝟐𝟓𝟎 = b) ___% de 𝟐𝟖 = 𝟐𝟏 c) 𝟏𝟐% de ___ = 𝟔 27) Hay un millón de personas que viven en un país, y el 8% son inmigrantes. ¿Cuántos inmigrantes hay en el país? 28) El 70% del alumnado de mi clase de ingeniería son chicas. Si hay 28 chicas, ¿Cuántos estudiantes hay en la clase? 29) En mi bolsa de canicas, hay 15 canicas rojas, 6 verdes y 3 azules. ¿Cuál es el porcentaje de canicas rojas?