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7 Proporcionalidad directa. Representación

202Unidades didácticas Matemáticas 1.º ESO

La unidad se centra en dos conceptos, la relacion de proporcionalidad directa y la representación de relaciones entre magnitudes.

Comenzamos la unidad trabajando el concepto de razón para utilizarlo al formar proporciones. Continuamos trabajando las relaciones entre dos magnitudes, centrándonos en la relación de proporcionalidad directa. A partir de este momento la unidad toma dos caminos.

Por un lado trabajamos la representación de relaciones entre dos magnitudes definiendo el concepto de función, centrándonos en las funcio-nes de proporcionalidad directa, y por otro, se trabaja un ejemplo de proporcionalidad directa, los porcentajes. Estos se trabajan utilizando su expresión decimal, tanto para el cálculo de la parte, el total o el porcentaje, como para los aumentos y disminuciones porcentuales.

La metodología debe permitir a los alumnos el desarrollo y adquisición de la competencia matemática y también del resto de competencias clave. Por esta razón, se presentan en la unidad secciones en las que cobra importancia el trabajo de dichas competencias.

Comunicación lingüística (CL)Es la protagonista de la sección Lee y comprende las matemáticas en la que se trabaja la comprensión lectora partiendo de artículos relaciona-dos con la proporcionalidad directa y su representación.

Competencia digital (CD)Se integra a lo largo de la unidad haciendo partícipes a los alumnos de las ventajas que tiene recurrir a los medios informáticos para compren-der determinados contenidos relacionados con la proporcionalidad directa y su representación.

Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología (CMCT)Se desarrolla a lo largo de toda la unidad y especialmente en la sección Matemáticas vivas donde, partiendo de una situación cotidiana como es el acceso al agua potable, los alumnos profundizarán en las aplicaciones de la proporcionalidad directa.

Competencias sociales y cívicas (CSC)La consideración de distintas implicaciones en el tema de estudio contribuye a su preparación como ciudadanos informados.

Competencia aprender a aprender (CAA)En toda la unidad se considera la necesidad de potenciar en los alumnos su espíritu crítico potenciando el pensamiento creativo. La puesta en común de los distintos trabajos constituye una ocasión para la integración de conocimientos adquiridos por distintas vías así como para el análisis y la comparación de distintas formas de abordar un mismo objetivo.

Competencia sentido de iniciativa y espíritu emprendedor (CSIEE)Se desarrolla especialmente en las últimas actividades de cada epígrafe (Investiga o Desafío).

El tiempo previsto para el desarrollo de la unidad es de tres semanas, aunque deberá adaptarse a las necesidades de los alumnos.

ObjetivosLos objetivos que los alumnos tienen que alcanzar son:

❚❚ Encontrar la razón que forman dos cantidades, reconocer si dos razones forman una proporción y hallar términos desconocidos en ella.❚❚ Identificar magnitudes directamente proporcionales y hallar valores desconocidos de magnitudes directamente proporcionales.❚❚ Representar puntos en el plano e identificar funciones, así como reconocer y representar funciones de proporcionalidad directa.❚❚ Manejar porcentajes y calcular la parte, el porcentaje o el total, conocidos dos de ellos, así como aumentos y disminuciones porcentuales.❚❚ Comprender y resolver problemas en los que es necesario el uso de la proporcionalidad.❚❚ Realizar una tarea de trabajo cooperativo utilizando la proporcionalidad.

Atención a la diversidadCon el fin de atender los distintos ritmos de aprendizaje de los alumnos, se proponen, actividades de refuerzo y de ampliación. Se esta-blecen actividades diferenciadas a modo de fichas de trabajo que pueden servir como adaptación curricular si fuera necesario.

PROPORCIONALIDAD DIRECTA. REPRESENTACIÓN7

203

7Proporcionalidad directa. Representación

Unidades didácticas Matemáticas 1.º ESO

Material complementarioEn el material complementario Comprende y resuelve problemas se proponen actividades para trabajar la comprensión y la resolución de problemas relacionadas con el estudio de la proporcionalidad directa y su representación.

Por otra parte, el material complementario Practica+ cuenta con un repaso de los contenidos y procedimientos estudiados sobre la proporcio-nalidad directa y su representación y se proponen nuevas actividades para repasar y afianzar dichos contenidos.

Además, para ayudar a los alumnos a comprender y practicar conceptos relacionados con la proporcionalidad directa y su representación pueden acceder a las lecciones 1015, 1029, 1030, 1037, 1038, 1052, 1060 y 7001 de la web www.mismates.es.

P R O G R A M A C I Ó N D E L A U N I D A D

Contenidos Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje evaluablesRelación de

actividades del libro del alumno

Competencias clave

Razón y proporción 1. Utilizar diferentes estrategias para obtener elementos desconocidos a partir de otros conocidos en situaciones de la vida cotidiana en las que existan razones y proporciones.

1.1. Identifica y discrimina razones y proporciones, y las emplea para resolver problemas en situaciones cotidianas.

1-4, 7-960-63

CMCTCLCSCCAA

Proporcionalidad directa

2. Utilizar diferentes estrategias (empleo de tablas, obtención y uso de la razón de proporcionalidad, medios tecnológicos…) para obtener elementos desconocidos a partir de otros conocidos en situaciones en las que existan magnitudes directamente proporcionales.

2.1. Identifica y discrimina relaciones de proporcionalidad directa, y las emplea para resolver problemas en situaciones cotidianas.2.2. Analiza situaciones sencillas y reconoce que intervienen repartos de proporcionalidad directa.

10-15, 1864-73 16, 1774, 75

CMCTCDCLCSCCAA CSIEE

Representación de magnitudes en el planoPuntos en el plano

3. Conocer, manejar e interpretar el sistema de coordenadas cartesianas.

3.1. Localiza puntos en el plano a partir de sus coordenadas y nombra puntos en el plano escribiendo sus coordenadas.

19-22, 2676


Representación de magnitudes directamente proporcionales

4. Comprender el concepto de función.

5. Manejar las distintas formas de presentar una función de proporcionalidad directa: lenguaje habitual, tabla numérica, gráfica y ecuación, pasando de unas formas a otras y eligiendo la mejor en función del contexto.6. Reconocer, representar y analizar funciones de proporcionalidad directa, utilizándolas para resolver problemas.

4.1. Reconoce si un enunciado o una gráfica representa o no una función.5.1. Pasa de unas formas de representación de una función de proporcionalidad directa a otras, y elige la más adecuada en función del contexto. 6.1. Reconoce y representa una función de proporcionalidad directa a partir de la ecuación o de una tabla de valores, y obtiene la pendiente de la recta correspondiente.6.2. Escribe la ecuación correspondiente a la relación de proporcionalidad directa existente entre dos magnitudes y la representa.6.3. Estudia situaciones reales sencillas y, apoyándose en recursos tecnológicos, identifica el modelo matemático funcional más adecuado para explicarlas.

23-257728, 3079 27, 29, 3178, 80

30

32

PorcentajesPorcentaje, parte y total

7. Utilizar porcentajes y sus propiedades para recoger, transformar e intercambiar información y resolver problemas relacionados con la vida cotidiana.

8. Elegir la forma de cálculo apropiada (mental, escrita o con calculadora) usando diferentes estrategias que permitan simplificar las operaciones con porcentajes y estimando la coherencia y precisión de los resultados obtenidos.

7.1. Identifica porcentajes y los utiliza para representar, ordenar e interpretar adecuadamente la información.7.2. Emplea los porcentajes para resolver problemas cotidianos, representando e interpretando mediante medios tecnológicos, si es necesario, los resultados obtenidos.8.1. Desarrolla estrategias de cálculo mental para realizar cálculos exactos o aproximados valorando la precisión exigida en la operación.8.2. Realiza cálculos con porcentajes decidiendo la forma más adecuada (mental, escrita o con calculadora), coherente y precisa.

33-368139-4756-58, 85-90Matemáticas vivasTrabajo cooperativo

37, 3882, 83 84CM1-CM2


Aumentos y disminuciones porcentuales

9. Utilizar diferentes estrategias para obtener elementos desconocidos a partir de otros conocidos en situaciones de la vida real en las que existan variaciones porcentuales.

9.1. Identifica y discrimina aumentos y disminuciones porcentuales, y los emplea para resolver problemas en situaciones cotidianas.

48-555991-100

CMCTCLCAA CSIEE

MAPA DE CONTENIDOS DE LA UNIDAD

2. Proporcionalidad directa

4. Representación de magnitudes directamente proporcionales

Lee y comprende las matemáticasMezclar colores para obtener el tono deseado • Estudio de las proporciones para

mezclar colores

¿Qué tienes que saber? • Funciones de proporcionalidad

directa • Proporcionalidad directa • Porcentajes • Aumentos y disminuciones

porcentuales

Matemáticas vivasAcceso al agua potable • Estudio del porcentaje de personas

sin acceso al agua potable

AvanzaMagnitudes inversamente proporcionales

Cálculo mentalEstrategia para calcular porcentajes sencillos

PARA EL PROFESOR

MATERIAL COMPLEMENTARIO

PARA EL ALUMNO

Actividades de RefuerzoActividades de Ampliación

Propuesta de Evaluación APropuesta de Evaluación B

Presentación de la unidad Ideas previasRepasa lo que sabes

Matemáticas en el día a díaContenido WEB. René Descartes

1. Razón y proporción

5. Porcentajes • Porcentaje, parte y total

Vídeo. Magnitudes directamente proporcionales

Actividades interactivas

3. Representación de magnitudes en el plano

• Puntos en el plano • Representación de magnitudes

Vídeo. Funciones de proporcionalidad directa

Vídeo. Porcentajes

6. Aumentos y disminuciones porcentuales

MisMates.esLecciones 1015, 1029, 1030, 1037, 1038, 1052, 1060 y 7001 de la web mismates.es

Practica+

Adaptación curricular

Comprende y resuelve problemas


Actividades finales

Trabajo cooperativoTarea cuya estrategia es Búsqueda de información, de Mel Silberman

Unidades didácticas Matemáticas 1.º ESO204

205



Sugerencias didácticas

La unidad comienza recordando a los alumnos los numero-sos ejemplos en los que se van a encontran ante una situa-ción de proporcionalidad.

La entrada trata sobre la compra de barras de pan, ejemplo muy cotidiano, aunque en general cualquier compra que realizamos genera situaciones de proporcionalidad.

Se puede trabajar con esta idea y que los alumnos propon-gan situaciones de compra dónde se dé esta relación de proporcionalidad.

Contenido WEB. RENÉ DESCARTES

Documento en el que se introduce la figura de este importante matemático y filósofo del siglo xvii, explicando su contribución al avance de la ciencia en su época y a la forma en la que expresa-mos actualmente conceptos algebraicos y geométricos.

Se trata de un recurso que complementa la página de inicio de la unidad con información relativa al tema. Puede utilizarse para motivar a los alumnos antes de comenzar con los contenidos o como ampliación del mismo para aquellos alumnos que muestren un interés especial.

137

7 PROPORCIONALIDAD DIRECTA.

REPRESENTACIÓN

Cada vez que salimos a la calle nos enfrentamos a situaciones donde tenemos que aplicar la proporcionalidad numérica.

Algo tan sencillo como comprar el pan nos facilita un ejemplo de proporcionalidad. Así, si habitualmente compramos dos barras de pan y un día tenemos invitados en casa y hay que adquirir el doble de barras de pan, también deberemos doblar el dinero que tenemos que pagar.

REPASA LO QUE SABES1. Averigua si las siguientes parejas de fracciones son

equivalentes.

a) 3

5y12

20 b)

4

7y

8

16 c)

6

4y15

10

2. Halla el número que falta para que estas fracciones sean equivalentes.

a) x

2y15

10 b)

x

4y2

7 c)

9

7y

x

21

3. Expresa las siguientes fracciones como números decimales.

a) 3

4 b)

2

5 c)

23

10

4. Escribe estos números decimales en forma de fracciones irreducibles.

a) 0,30 b) 0,45 c) 0,72

5. Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) 3x = 6 b) 2x = 9 c) 6x = 3

Cada vez que salimos a la calle nos enfrentamos a situaciones donde tenemos que aplicar la proporcionalidad numérica.

Algo tan sencillo como comprar el pan nos facilita un ejemplo de proporcionalidad. Así, si habitualmente compramos dos barras de pan y un día tenemos invitados en casa y hay que adquirir el doble de barras de pan, también deberemos doblar el dinero que tenemos que pagar.

1.

IDEAS PREVIAS

❚ Fracciones equivalentes.

❚ Relación entre números

decimales y fracciones.

❚ Resolución de

ecuaciones del tipo:

a ⋅ x = b

ma1e26

René Descartes (1596-1650) fue un filósofo, matemático y físico francés, uno de los personajes más importantes de la revolución científica del siglo XVII. Entre sus trabajos propuso el método cartesiano para resolver problemas.

Matemáticas en el día a día ][Repasa lo que sabesSoluciones de las actividades

1. Averigua si las siguientes parejas de fracciones son equivalentes.

a) 3

5y

12

20 b)

4

7y

8

16 c)

6

4y

15

10a) 3 ⋅ 20 = 60 y 5 ⋅ 12 = 60 → Son equivalentes. c) 6 ⋅ 10 = 60 y 4 ⋅ 15 = 60 → Son equivalentes.

b) 4 ⋅ 16 = 64 y 7 ⋅ 8 = 56 → No son equivalentes.

2. Halla el número que falta para que estas fracciones sean equivalentes.

a) x

2y

15

10 b)

4

xy

2

7 c)

9

7y

x

21

a) x =2 ⋅15

10= 3 b) x =

4 ⋅7

2= 14 c) x =

9 ⋅21

7= 27

3. Expresa las siguientes fracciones como números decimales

a) 3

4 b)

2

5 c)

23

10a) 0,75 b) 0,4 c) 2,3

4. Escribe estos números decimales en forma de fracciones irreducibles.

a) 0,30 b) 0,45 c) 0,72

a) 3

10 b)

9

20 c)

18

255. Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) 3x = 6 b) 2x = 9 c) 6x = 3

a) x = 2 b) x = 4,5 c) x = 0,5



1. Razón y proporción

139

7Actividades7 Proporcionalidad directa. Representación

138

En una clase de Matemáticas aprueban 22 alumnos de 33. Expresa mediante una razón la relación entre:a) El número de aprobados en Matemáticas y el número total de alumnos.b) El número de suspensos en Matemáticas y el número total de alumnos.c) El número de aprobados y el número de suspensos en Matemáticas.

Halla la razón entre el número de bolas rojas y el total de bolas.a) b) c) d)

b) c) d) b) c) d) b) c) d) b) c) d) b) c) d) b) c) d) b) c) d)

b) c) d) b) c) d)

En una clase hay 32 alumnos. Si 18 son chicos, ¿cuál es la razón entre las chicas y los chicos de la clase?

En una fiesta hay 15 hombres. Si la razón entre mujeres y hombres es 2

3,

¿cuántas personas han asistido a la fiesta?

Halla el valor de x en cada caso para que exista una proporción.

a) 3

4=

x

12 b)

x

3=

5

15 c)

2

x=

3

9 d)

12

36=

7

x

Halla el término desconocido en estas proporciones.

a) 13,11

5,7=

x

3,2 b)

x

7,9=

21

6 c)

5,7

x=

9,31

4,9 d)

46,8

15,6=

12,6

x

La razón entre el ancho y el largo del primer rectánculo es 2

5. Averigua cuáles de

los demás rectángulos tienen las dimensiones en la misma proporción.

5 dm

2 dm

20 m

8 m

17,5 dm

7 dm

25 cm

10 cm

6 dm

3 dm

En un congreso, la razón entre los hombres y las mujeres es de 3:5. Si el número total de asistentes es de 400, ¿cuántos hombres y cuántas mujeres hay en el congreso?

1

2

3

4

5

6

7

8

1. RAZÓN Y PROPORCIÓN

Susana ha comprado una bolsa de caramelos de fresa y limón con esta distribución de caramelos de cada tipo.

Para establecer la relación entre el número de caramelos de fresa y el de limón, planteamos el cociente indicado de ambas cantidades.

caramelos de fresa

caramelos de limón=

25

100 o 25 : 100

Se lee 25 de cada 100.

Una razón de dos números, dados en un cierto orden, es el cociente indicado de ambos.

A Susana le parecen pocos caramelos de fresa comparados con los de limón y decide comprar otra bolsa con cantidades distintas. La distribución de caramelos de las dos bolsas es la siguiente:

Tipo de caramelos 1.ª bolsa 2.ª bolsa

Fresa 25 40

Limón 100 160

Razón25

100

40

160

Sin embargo, al comparar las dos razones, comprueba que son iguales. Decimos que en las dos bolsas hay la misma proporción de caramelos de fresa y de limón.

Decimos que ambas razones forman una proporción. En ella, 25 y 160 son los extremos, y 100 y 40, los medios.

25

100= 0,25

40

160= 0,25

25

100=

40

160

Comprueba, además, que: 25 ⋅ 160 = 100 ⋅ 40

Una proporción es la igualdad de dos razones.

En una proporción siempre se cumple que el producto de los medios es igual al producto de los extremos.

Aprenderás a… ● Encontrar la razón que forman dos cantidades.

● Reconocer si dos razones forman una proporción.

● Hallar el término desconocido en una proporción.

Presta atención

No debes confundir fracciones con razones. Mientras que en una fracción los números deben ser enteros, en una razón esto no es necesario.

Por ejemplo, 2,5

10 es una razón,

pero no una fracción.

} Un jugador de baloncesto asegura que de cada 8 tiros libres encesta 6 canastas. Según esto, ¿cuántos intentos tendría que hacer para encestar 15 tiros libres?

Solución

Establecemos la proporción: 6 aciertos de 8 intentos6

8=

15

x15 aciertos de x intentos

Se cumple que: 6 ⋅ x = 8 ⋅15 → x =8 ⋅15

6= 20

El jugador tiene que realizar 20 tiros libres.

EJERCICIO RESUELTO

DESAFÍOEscribe la razón entre el número de caras de cada dado y el número de caras pares. ¿Forman una proporción las razones entre algunos dados? En caso afirmativo, indica cuáles.

9

Soluciones de las actividades1 En una clase de Matemáticas aprueban 22 alumnos de 33. Expresa mediante una razón la relación entre:

a) El número de aprobados en Matemáticas y el número total de alumnos.

b) El número de suspensos en Matemáticas y el número total de alumnos.

c) El número de aprobados y el número suspensos en Matemáticas.

a) 22

33=

2

3 b)

11

33=

1

3 c)

22

11= 2

2 Halla la razón entre el número de bolas rojas y el total de bolas.

a) b) c) d)

a) 5

10=

1

2 b)

4

12=

1

3 c)

6

8=

3

4 d)

2

10=

1

5


En este primer epígrafe trabajamos el concepto de razón. Es muy importante que los alumnos comprendan que no se trata de una fracción, sino de una relación entre dos can-tidades.

La segunda parte del epígrafe se centra en las proporciones. En este momento es importante que los alumnos manejen con cierta soltura despejar la incógnita en ecuaciones, sobre todo las ecuaciones en las que aparecen una igualdad entre dos fracciones.

207



3 En una clase hay 32 alumnos. Si 18 son chicos, ¿cuál es la razón entre las chicas y los chicos de la clase?14

18=

7

9 es la razón entre las chicas y los chicos de la clase.

4 En una fiesta hay 15 hombres. Si la razón entre mujeres y hombres es 2

3, ¿cuántas personas han asistido a la fiesta?

2

3=

x

15→ x =

2 ⋅15

3= 10 mujeres

Por tanto, han asistido: 15 + 10 = 25 personas5 Halla el valor de x en cada caso para que exista una proporción.

a) 3

4=

x

12 b)

x

3=

5

15 c)

2

x=

3

9 d)

12

36=

7

x

a) x =3 ⋅12

4= 9 b) x =

3 ⋅5

15= 1 c) x =

2 ⋅9

3= 6 d) x =

36 ⋅7

12= 21

6 Halla el término desconocido en estas proporciones.

a) 13,11

5,7=

x

3,2 b)

x

7,9=

21

6 c)

5,7

x=

9,31

4,9 d)

46,8

15,6=

12,6

x

a) x =13,11⋅3,2

5,7= 7,36 b) x =

7,9 ⋅21

6= 27,65 c) x =

5,7 ⋅ 4,9

9,31= 3 d) x =

15,6 ⋅12,67

46,8= 4,2

7 La razón entre el ancho y el largo del primer rectángulo es 2

5. Averigua cuáles de los demás rectángulos tienen las dimen-

siones en la misma proporción.

5 dm

2 dm

20 m

8 m

17,5 dm

7 dm

25 cm

10 cm

6 dm

3 dm

Tienen las dimensiones en la misma proporción el rectángulo de lados 10 cm y 25 cm, el de lados 8 m y 20 m, y el de lados 7 dm y 17,5 dm.

8 En un congreso, la razón entre los hombres y las mujeres es de 3:5. Si el número total de asistentes es de 400, ¿cuántos hombres y cuántas mujeres hay en el congreso?3

5=

x

400− x→ 3(400− x ) = 5 x → 1200− 3x = 5 x → 1200 = 8 x → x = 150

Hay 150 hombres y 400 − 150 = 250 mujeres.

Desafío9 Escribe la razón entre el número de caras de cada dado y el número de

caras pares. ¿Forman una proporción las razones entre algunos dados? En caso afirmativo, indica cuáles.

Algunas proporciones que se forman son:2

5=

4

10,

2

5=

12

30...



2. Proporcionalidad directa

141


140

Razona qué pares de magnitudes son directamente proporcionales. a) La talla del zapato y la estatura en centímetros.b) El número de kilogramos de manzanas que se

compran y el precio que hay que pagar.c) El número de páginas de un libro y su precio.d) El tiempo que está una máquina fabricando

tornillos y el número de tornillos fabricado.

10

Copia y completa estas tablas que relacionan magnitudes directamente proporcionales.

a) A 1 4 O 20 O

B 4 O 24 O 32

b) A 9 3 12 O 21

B 6 O O 8 O

Un equipo de fútbol ha pagado 46,35 € por la compra de 3 camisetas para 3 de sus miembros. ¿Cuánto costarán las 15 camisetas del equipo?

11

12

¿Cuánto tiempo ha tardado en llenarse el recipiente de la derecha?

Javier ha pasado tres noches en un hotel y ha pagado 195 €. ¿Cuánto pagará por una semana?

Silvia ha comprado 3,75 kg de peras por 4,50 €.a) ¿Cuántas peras adquirirá por 2,70 €?b) ¿Cuánto tendrá que pagar por 5,30 kg?

13

14

15

2. PROPORCIONALIDAD DIRECTA

Una panadería ha elaborado una tabla con el precio del pan según el número de barras para agilizar el cálculo del importe que tienen que pagar los clientes.

En la tabla se muestran dos magnitudes, el número de barras de pan y su precio.

Observa la característica que presentan los valores de cada una:

N.º de barras de pan 1 2 3 4 5

Precio (€) 0,55 1,10 1,65 2,20 2,75

❚ Cuando multiplicamos el valor de una magnitud por un número, la otra magnitud queda multiplicada por el mismo número.Si 1 barra de pan cuesta 0,55 €, 2 barras cuestan el doble.

❚ Análogamente, al dividir un valor de la magnitud por un número, la otra magnitud queda dividida por el mismo número.Si 4 barras de pan cuestan 2,20 €, 2 barras cuestan la mitad.

Dos magnitudes son directamente proporcionales si, al multiplicar (o dividir) los valores de una de ellas por un número, los valores de la otra quedan multiplicados (o divididos) por el mismo número.

Si relacionamos pares de valores correspondientes, la razón no varía.

N.º de barras de pan 1 2 3 4 5

Precio (€) 0,55 1,10 1,65 2,20 2,75

1

0,55 =

2

1,10 =

3

1,65 =

4

2,20 =

5

2,75 = 1,82

Si dos magnitudes son directamente proporcionales, la razón de los pares de valores correspondientes se mantiene constante. A este valor se le llama razón de proporcionalidad directa.

Aprenderás a… ● Identificar magnitudes directamente proporcionales.

● Hallar valores desconocidos de magnitudes directamente proporcionales.

Presta atención

Una magnitud es cualquier cualidad que se puede expresar mediante un número.

} Con una velocidad constante en 10 min, Marta ha recorrido 2,5 km. Si mantiene la misma velocidad, ¿cuánto tardará en recorrer 8 km?

SoluciónLas magnitudes distancia recorrida y tiempo son directamente proporcionales porque, para recorrer el doble de distancia, se necesita el doble de tiempo.

Distancia (km) 2,8 8

Tiempo (min) 10 x

2,5

10=

8

x→ 2,5 ⋅ x = 8 ⋅10 → x =

8 ⋅10

2,5= 32

En recorrer 8 km, Marta tardará 32 min.

Se mantiene constante la razón de valores correspondientes.

EJERCICIO RESUELTO

} Copia y completa la siguiente tabla, que corresponde a los valores de dos magnitudes directamente proporcionales.

A 2 6 O

B 6 O 15

Solución

EJERCICIO RESUELTO

} Juan quiere repartir 315 € entre sus nietos, que tienen 6 y 9 años, respectivamente, de forma que el reparto sea proporcional a la edad.

SoluciónLa razón que forman la cantidad que le corresponde a cada uno y su edad deben de ser iguales y también la razón entre la cantidad total y la suma de las edades.

A 6 años

6=

A 9 años

9=

Total

6 + 9=

315

15

A 6 años

6= 21→ A 6 años = 6 ⋅21 = 126 €

A 9 años

9= 21→ A 9 años = 9 ⋅21 = 189 €

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

EJERCICIO RESUELTO

Investiga

Utiliza una hoja de cálculo para saber si la tabla relaciona magnitudes directamente proporcionales.

A 3,1 2,45 7,4 12,35 43,2

B 0,961 0,7595 2,294 3,8285 13,392

18

⋅ 2

⋅ 2

: 2

: 2

ma1e27

Reparte la cantidad de 1 500 de forma proporcional entre los siguientes números.a) 7 y 8 c) 10, 20 y 30b) 5, 8 y 12 d) 20, 35, 80 y 115

Tres amigos han comprado un décimo de lotería de Navidad. Juan ha aportado 5 €; Luis, 12 €, y Eva, 3 €. Si les toca un premio de 30 000 € y deciden repartirlo de forma directamente proporcional al dinero que han aportado, ¿cuánto deben recibir?

16

17

Soluciones de las actividades10 Razona qué pares de magnitudes son directamente proporcionales.

a) La talla del zapato y la estatura en centímetros.

b) El número de kilogramos de manzanas que se compran y el precio que hay que pagar.

c) El número de páginas de un libro y su precio.

d) El tiempo que está una máquina fabricando tornillos y el número de tornillos fabricado.

a) No, porque al doble de talla del zapato no le corresponde el doble de estatura.

b) Sí, porque al doble de número de kilogramos le corresponde el doble de precio.

c) No, porque al doble de páginas no le corresponde el doble de precio.

d) Sí, porque en el doble de tiempo la máquina fabrica el doble de tornillos.


Es importante comenzar recordando a los alumnos el signi-ficado de magnitud.

Tenemos que hacer ver a los alumnos que es un error el he-cho de creer que si una magnitud crece y la otra crece la re-lación que existe entre las dos magnitudes es directamente proporcional, es importante proponer algún contraejemplo para que los alumnos lo comprueben.

Trabajar la importancia de preguntarse que si al doble de una magnitud le corresponde el doble de la otra las magni-tudes son directamente proporcionales.

Vídeo. MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES

En el vídeo se resuelve el ejercicio sobre la tabla en la que se rela-cionan dos magnitudes directamente proporcionales, mostrando la relación entre los valores conocidos y los que faltan. El vídeo puede utilizarse para explicar este tipo de ejercicios en la pizarra o como recurso para que los alumnos repasen.

209



11 Copia y completa estas tablas que relacionan magnitudes directamente proporcionales.a) A 1 4 O 20 O

B 4 O 24 O 32

b) A 9 3 12 O 21

B 6 O O 8 O

a) A 1 4 6 20 8

B 4 8 24 80 32

b) A 9 3 12 12 21

B 6 2 8 8 14

12 Un equipo de fútbol ha pagado un total de 46,35 € por la compra de 3 camisetas para 3 de sus miembros. ¿Cuánto costarán las 15 camisetas del equipo? 46,35

3=

x

15→ x =

46,35 ⋅15

3= 231,75

Las 15 camisetas cuestan 231,75 €.13 ¿Cuánto tiempo ha tardado en llenarse el recipiente de la derecha?

18

6=

x

15→ x =

18 ⋅15

6= 45

Tarda en llenarse 45 s.14 Javier ha pasado tres noches en un hotel y ha pagado 195 €. ¿Cuánto pagará por una semana?

195

3=

x

7→ x =

195 ⋅7

3= 455

Por una semana pagará 455 €.15 Silvia ha comprado 3,75 kg de peras y ha pagado 4,50 €.

a) ¿Cuántas peras adquirirá por 2,70 €?

b) ¿Cuánto tendrá que pagar por 5,30 kg?

a) 3,75

4,50=

x

2,70→ x =

3,75 ⋅2,70

4,50= 2,25 kg

b) 4,50

3,75=

x

5,3→ x =

4,5 ⋅5,3

3,75= 6,36 €



16 Reparte la cantidad de 1 500 de forma proporcional entre los siguientes números.

a) 7 y 8 b) 5, 8 y 12 c) 10, 20 y 30 d) 20, 35, 80 y 115

a) 1500

7 + 8= 100

Para 7 la cantidad es: 7 ⋅ 100 = 700 Para 8 la cantidad es: 8 ⋅ 100 = 800

b) 1500

5 + 8 + 12= 60

Para 5 la cantidad es: 5 ⋅ 60 = 300 Para 8 la cantidad es: 8 ⋅ 60 = 480 Para 12 la cantidad es: 12 ⋅ 60 = 720

c) 1500

10 + 20 + 30= 25

Para 10 la cantidad es: 10 ⋅ 25 = 250 Para 20 la cantidad es: 20 ⋅ 25 = 500 Para 30 la cantidad es: 30 ⋅ 25 = 750

d) 1500

20 + 35 + 80 + 115= 6

Para 20 la cantidad es: 20 ⋅ 6 = 120 Para 35 la cantidad es: 35 ⋅ 6 = 210

Para 80 la cantidad es: 80 ⋅ 6 = 480 Para 115 la cantidad es: 115 ⋅ 6 = 69017 Tres amigos han comprado un décimo de lotería de Navidad. Juan ha aportado 5 €; Luis, 12 €, y Eva, 3 €. Si les toca un

premio de 30 000 € y deciden repartirlo de forma directamente proporcional al dinero que han aportado, ¿cuánto deben recibir?

3 000

5 + 12 + 3= 1500

Cantidad para Juan: 5 ⋅ 1 500 = 7 500 €

Cantidad para Luis: 12 ⋅ 1 500 = 18 000 €

Cantidad para Eva: 3 ⋅ 1 500 = 4 500 €

Investiga18 Utiliza una hoja de cálculo para saber si la siguiente tabla corresponde a valores de magnitudes directamente proporcio-

nales.

A 3,1 2,45 7,4 12,35 43,2

B 0,961 0,7595 2,294 3,8285 13,392

Con una hoja de cálculo podemos comprobar que la razón de los pares de valores correspondientes es 3,23 en todos los casos. Por tanto, se mantiene constante y las magnitudes son directamente proporcionales. Para ello, en una fila introdu-cimos los valores de una variable y en otra, los de la otra. Y después, hallamos las razones correspondientes.

211



3. Representación de magnitudes en el plano

143


142

3. REPRESENTACIÓN DE MAGNITUDES EN EL PLANO

Puntos en el plano

Manuel y María están jugando a los barquitos.

La cuadrícula que utilizan es un sistema de coordenadas con números positivos y negativos, y los barquitos representan puntos en el plano.

El sistema de coordenadas está formado por dos rectas numéricas perpendiculares:

❚ La horizontal es el eje de abscisas, X.

❚ La vertical es el eje de ordenadas, Y.

El punto de corte de ambas rectas es el origen de coordenadas.

Para indicar la posición de los barquitos que tiene Manuel, utilizamos un par ordenado de números, x e y, llamados coordenadas.

O 1

1

X

Y(3, 3)

O–1

1

X

Y

(–3, 4)O 1

1

X

Y(–2, –2)

O1–1 X

Y (2, –4)

Eje X positivo Eje Y positivo

Eje X negativoEje Y positivo

Eje X negativoEje Y negativo

Eje X positivoEje Y negativo

Un punto en el plano se representa por dos coordenadas: la primera sobre el eje X y la segunda sobre el eje Y.

Representación de magnitudes

Observa los siguientes puntos representados en estos sistemas de coordenadas.

Edad

30

1O

N.º

de

pie

Hora

5

1O

Tem

epra

tura

(ºC

)

Muestra la relación entre la edad, en años, y el número de zapato de varios niños.

Hay edades a las que les corresponde más de un número de zapato.

Muestra la relación entre la hora del día y la temperatura, en °C, en una localidad.

Todas las horas del día tienen asociado un solo valor de la temperatura.

Una función es una relación entre dos magnitudes en la que a un valor de la primera magnitud le corresponde un único valor de la segunda magnitud.

La magnitud fijada previamente se denomina variable independiente, y la que depende de ella, variable dependiente.

Aprenderás a… ● Representar puntos en el plano.

● Identificar funciones.

Si las coordenadas de un punto, A, son 2 y 3, se escriben de este modo:

A(2, 3)

donde 2 es la abscisa, y 3, la ordenada.

Lenguaje matemático

Variableindependiente

Varia

ble

depe

ndie

nte Y

O X

P(3, 3)

1

1

Lenguaje matemático

O 1

1

X

Y

Representa en el plano los siguientes puntos.A(2, 5) B(6, −3) C(−3, 4) D(−3, −2) E(0, 4) F(−1, 4)

Escribe las coordenadas de estos puntos.

O 1

1

X

Y

•

•

•

••

•

AB

C

D

E

F

Dibuja los siguientes puntos en un sistema de coordenadas y une cada punto, siguiendo el orden del abecedario, con el siguiente.A(−3, −2) B(1, −2) C(4, 0) D(0, 0)E(0, 1) F(3, 1) G(−1, 5) H(−3, 1)I(−1, 1) J(−1, 0) K(−5, 0)

Los puntos A, B, C y D forman un cuadrado. Si conocemos las coordenadas de A(−3, 2) y B(−3, 3), ¿cuáles son las coordenadas de C y D?

Justifica si las siguientes relaciones entre dos magnitudes son funciones.a) Número de entradas de cine y precio que hay que pagar.b) Tiempo de viaje y velocidad a la que voy.c) Número de horas de preparación de un examen y nota en el examen.

Queremos relacionar la magnitud cantidad de naranjas, en kg, con cada una de las siguientes.a) Precio que hay que pagar.b) Número de naranjas que me llevo.c) Número de litros de zumo que hago.Razona cuáles de las relaciones formadas son función.

En los siguientes sistemas de coordenadas se han representado la relación entre dos magnitudes. a) b)

X

Y

O 1

1

X

Y

O 1

1

Indica cuáles son funciones. Justifica la respuesta.

19

20

21

22

23

24

25

Investiga

Al representar un punto sobre la superficie de la Tierra, se utiliza un sistema parecido al de coordenadas. En este caso, las coordenadas del punto son la latitud y la longitud. Investiga en torno a esta forma de representar puntos sobre la Tierra.

26

Soluciones de las actividades19 Representa en el plano los siguientes puntos.

A(2, 5) C(−3, 4) E(0, 4)

B(6, −3) D(−3, −2) F(−1, 4)

•

•

• ••

•

O

1

1

A

B

C F E

D

X

Y


Puede ser muy interesante primero empezar a jugar a los barquitos en clase pero ampliando el tablero con números positivos y negativos en los dos ejes.

Una vez realizado el juego podemos relacionar puntos del plano con coordenadas y viceversa.

El concepto de función viene ligado con la existencia de una relación de dependencia entre dos magnitudes, hay que trabajar con ellos que es función solo dependiendo del número de valores asociados a la magnitud fijada.

Hay que hacer ver a los alumnos que es más fácil probar que no es función, solo hay que buscar si algun valor de la magnitud fijada tiene dos o más valores relacionados.



20 Escribe las coordenadas de estos puntos.

O 1

1

X

Y

•

•

•

••

•

AB

C

D

E

F

A(−4, 1) B(2, 2) C(−2, −2) D(−2, 0) E(5, −2) F(4, 0)21 Dibuja los siguientes puntos en un sistema de coordenadas y une cada punto, siguiendo el orden del abecedario, con el

siguiente.

A(−3, −2) B(1, −2) C(4, 0) D(0, 0)

E(0, 1) F(3, 1) G(−1, 5) H(−3, 1)

I(− 1, 1) J(−1, 0) K(−5, 0)

• •

••• •

•

• ••• O

1

1

A B

C

F

G

H I

JK

ED

X

Y

22 Los puntos A, B, C y D forman un cuadrado. Si conocemos las coordenadas de A(−3, 2) y B(−3, 3), ¿cuáles son las coor-denadas de C y D?

O

1

1 X

Y

O

C

D

C

D

1

1 X

Y

Hay dos posibles soluciones para las coordenadas de C y D.23 Justifica si las siguientes relaciones entre dos magnitudes son funciones.

a) Número de entradas de cine y precio que hay que pagar.

b) Tiempo de viaje y velocidad a la que voy.

c) Número de horas de preparación de un examen y nota en el examen.

Las relaciones de los apartados a) y b) son funciones porque a cada valor de la primera variable le corresponde un solo valor de la segunda variable.

No lo es la relación del apartado c) ya que a un mismo número de horas le pueden corresponder distintas notas de examen.

213



24 Queremos relacionar la magnitud cantidad de naranjas, en kg, con cada una de las siguientes.

a) Precio que hay que pagar.

b) Número de naranjas que me llevo.

c) Número de litros de zumo que hago.

Razona cuáles de la relaciones formadas son función.

a) Es función, ya que a cada número de kilos le corresponde un solo precio.

b) No es función, ya que al mismo número de kilos no siempre le corresponde el mismo número de naranjas.

c) No es función, ya que al cada número de kilos no le corresponde un único número de litros de zumo.25 En los siguientes sistemas de coordenadas se han representado la relación entre dos magnitudes.

a) b)

X

Y

O 1

1

X

Y

O 1

1

Indica cuáles son funciones. Justifica la respuesta.

a) No es función porque por ejemplo, para el valor de x = − 1 el valor de no es único, es 1 y 4.

b) Es función porque a cada valor de x le corresponde un solo valor de y.

Investiga26 Al representar un punto sobre la superficie de la Tierra, se utiliza un sistema parecido al de coordenadas. En este caso, las

coordenadas del punto son la latitud y la longitud. Investiga en torno a esta forma de representar puntos sobre la Tierra.

Respuesta abierta.



4. Representación de magnitudes directamente proporcionales

145


144

4. REPRESENTACIÓN DE MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES

Juan es electricista y tiene apuntados la cantidad de cable y su precio.

Cantidad de cable (m) 1 2 3 4 5 10

Precio (€) 0,60 1,20 1,80 2,40 3 6

Estas dos magnitudes son directamente proporcionales, y, además, a cada cantidad le corresponde un único precio luego se trata de una función. Se le llama función de proporcionalidad directa.

Para representar gráfi camente esta función Juan utiliza un sistema de coordenadas:

❚ En el eje X indica como variable independiente la cantidad de cable, y en el eje Y, como variable dependiente, el precio.

❚ Dibuja cada par de valores como puntos del plano.

Al representarlos observa que están alineados y que al unir estos puntos obtiene una recta que pasa por el origen.

Juan solo dibuja los ejes X e Y que corresponden a valores positivos, porque las dos magnitudes solo admiten estos valores.

La relación que existe entre dos magnitudes directamente proporcionales es una función que se llama función de proporcionalidad directa.

Su representación gráfica es una recta que pasa por el origen.

Juan necesita compra 3,5 metros de cable y no tiene ese número de metros en la tabla para conocer su precio.

Para calcular el precio del cable multiplicamos cada metro de cable por 0,60 que es la razón de proporcionalidad directa.

Si llamamos x a la cantidad de cable, e y al precio, la relación entre ambas variables viene dada por la expresión:

y = 0,6 ⋅ x

Esta expresión es la ecuación de la función de proporcionalidad directa que relaciona la cantidad de cable y su precio.

Observa distintas representaciones gráficas de funciones lineales.

X

Y

O 1

1

y = 0,5x

X

Y

O 1

1

y = x

X

Y

O 1

1

y = 2x

La ecuación de la función de proporcionalidad es de la forma y = mx, donde m es el valor de la razón de proporcionalidad e indica la pendiente o inclinación de la recta.

••

•••

•

O 2 6 10 14

1

Cantidad de cable

Precio (€)

Presta atención

No siempre es posible unir los puntos representados; hay que asegurarse de si es posible hacerlo, lo que depende de los valores que toman las magnitudes.

Presta atención

Al calcular la razón de proporcionalidad de la función y = mx tenemos que plantear los cocientes este modo:

Variable dependiente (y) 0,6 1,20

Variable independiente (x) 1 2

} En una churrería cada churro cuesta 0,40 euros. Representa gráficamente la relación entre el número de churros comprado y su precio.

Solución

1 Elaboramos una tabla.

Número de churros 1 2 3 4 5

Precio (€) 0,40 0,80 1,20 1,60 2

2 Vemos que las dos magnitudes son directamente proporcionales, ya que la razón se mantiene constante.

1

0,4=

2

0,8=

3

1,2=

4

1,6=

5

2= 2,5

3 Representamos los puntos correspondientes.

O 1

1

N.º de churros

Precio (€)

••

••

•

En este caso no podemos unir los puntos, ya que los valores del número de churros son números enteros, no hay valores intermedios.

4 Como la razón de proporcionalidad es 0,4 la ecuación de la función es:

y = 0,4x

EJERCICIO RESUELTO

La siguiente tabla muestra el tiempo que está un grifo abierto y el número de litros que vierte en un depósito.

N.º de litros 25 75 125 250

Tiempo (min) 1 3 5 10

a) ¿Son magnitudes directamente proporcionales?b) Representa gráficamente esta relación.

27 La tabla muestra la temperatura en una ciudad a una determinada hora durante una semana.

Día 1 2 3 4 5 6 7

Temperatura (ºC) 12 10 8 8 12 15 18

a) Decide si las magnitudes número de día y temperatura son directamente proporcionales.

b) Representa gráficamente esta relación.

Razona si las siguientes magnitudes son directamente proporcionales y representa con una gráfica la relación entre ellas. Encuentra la ecuación de la función en las que se relacionen de forma directamente proporcional.a) Por cada litro de pintura cubro una superficie de

5 metros cuadrados.b) Por cada botella de agua pago 0,65 €.

Las tablas muestran valores de magnitudes directamente proporcionales. Represéntalas y encuentra su ecuación.

a) Magnitud A 1 5 7 10

Magnitud B 3 15 21 30

b) Magnitud A 10 20 50 100


Indica cuál de las siguientes gráficas representa una relación de proporcionalidad directa.a)

••

••

••

••

•

O 1

1

X

Y

b)

•• • •

••

•

O 1

1

X

Y

28

29

30

31

Aprenderás a… ● Reconocer y representar funciones de proporcionalidad directa.

Investiga

Con el programa GeoGebra puedes representar fácilmente funciones de

proporcionalidad directa. Por ejemplo, para representar la función y =2

3x

no tienes más que introducir en la línea de entrada su ecuación.

Utiliza este programa para representar gráficamente distintas funciones de proporcionalidad directa.

32

ma1e28

Soluciones de las actividades27 La siguiente tabla muestra el tiempo que está abierto un grifo y el número de litros que vierte en un depósito.

N.º de litros 25 75 125 250

Tiempo (min) 1 3 5 10

a) ¿Son magnitudes directamente proporcionales? b) Representa gráficamente esta relación.

a) Sí lo son porque la razón se mantiene constante: b)

25

1=

75

3=

125

5=

250

10

•

•

•

O

1

3

5

25 75 125

Tiempo (min)

N.º de litros


Primero se debe repasar cuándo dos magnitudes están re-lacionadas de forma directamente proporcional, para des-pués relacionar cada par de valores correspondientes con un punto en el plano. Para trabajar la pendiente y la ecuación conviene proponer a los alumnos que dibujen diferentes relaciones de proporcionalidad directa y que comprueben la relación existente entre la pendiente de la recta dibujada, la razón de proporcionalidad directa y el valor que multiplica a la x en la ecuación de la función.

Vídeo. FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA

En el vídeo se muestra cómo utilizar el programa GeoGebra para representar este tipo de funciones. Como se indica en el ejercicio, se puede utilizar a continuación el programa para representar otras funciones de este tipo y discutir qué ocurre cuando aumen-ta la constante de proporcionalidad o cuando disminuye. Así, el vídeo puede utilizarse para complementar la investigación en este ejercicio.

215



28 La tabla muestra la temperatura en una ciudad a una determinada hora durante una semana.

Día 1 2 3 4 5 6 7

Temperatura (ºC) 12 10 8 8 12 15 18

a) Decide si las magnitudes número de día y temperatura son directamente proporcionales.

b) Representa gráficamente esta relación.

a) No son directamente proporcionales porque la razón no se mantiene constante:

1

12≠

2

10≠

3

8≠

4

8≠

5

12≠

6

15≠

7

18b)

••

• •

••

•

O 2 4 6 8

4

8

12

18

Día

Temperatura (ºC)

29 Razona si las siguientes magnitudes son directamente proporcionales y representa con una gráfica la relación entre ellas.

Encuentra la ecuación de la función en la que se relacionen de forma directamente proporcional.

a) Por cada litro de pintura cubro una superficie de 5 metros cuadrados.

b) Por cada botella de agua pago 0,65 €.

a) Son directamente proporcionales porque al doble de litros le corresponde el doble de litros de pintura:

y = 5x

•

•

•

•

O 1 3 5 7

4

8

12

16y = 5x

Y

X

b) Son directamente proporcionales porque al doble de botellas de agua le corresponde el doble de euros a pagar: y = 0,65x aunque en este caso no es posible unir los puntos.

•

•

•

•

•

•

•

•

O 2 4 6

1

2

3

4

y = 0,65x

Y

X



30 Las tablas muestran valores de magnitudes directamente proporcionales. Represéntalas y encuentra su ecuación.a) Magnitud A 10 20 50 100 b) Magnitud A 1 5 7 10

Magnitud B 5 10 25 50 Magnitud B 3 15 21 30

a) b)

••

••

•

O 8 16 24 32

2

6

10

y = 3x – 6Y

X •

••

•

•

O 10 20 30 40

25

50

75y = x – 6

Y

X

31 Indica cuál de las siguientes graficas representa una relación de proporcionalidad directa.

a) b)

•

••

••

••

••

O 1

1

X

Y

•

• • ••

••

O 1

1

X

Y

Es directamente proporcional la relación entre las magnitudes representadas en el apartado a).

Investiga32 Con el programa GeoGebra puedes representar fácilmente funciones de proporcionalidad

directa. Por ejemplo, para representar la función y =2

3x no tienes más que introducir en

la línea de entrada su ecuación.

Utiliza este programa para representar gráficamente distintas funciones de proporcionali-dad directa.

Respuesta abierta, por ejemplo: y = 3x, y = −1

3x

217



5. Porcentajes

147


146

Halla el valor de x en las siguientes proporciones.

a) 26

80=

x

100 c)

234

450=

x

100

b) 24

150=

x

100 d)

182

650=

x

100

Copia y completa la siguiente tabla.

Porcentaje Razón N.º decimal Significado

35 % O O O

O3

5O O

O O 0,32 O

O O O 7 de cada 100

Escribe como número decimal los siguientes porcentajes.a) 30 % c) 39 %b) 72 % d) 27 %

Indica la expresión decimal de estos porcentajes.a) 4 % c) 139 %b) 8,42 % d) 3,5 %

Calcula los siguientes porcentajes.a) El 20 % de 120. c) El 35 % de 700.b) El 60 % de 340. d) El 25 % de 400.

Realiza estos porcentajes.a) El 43,5 % de 300. c) El 3 % de 432,5.b) El 5,5 % de 4,5. d) El 8,25 % de 250.

Una ciudad tiene 2 500 habitantes. Averigua a qué cantidades corresponden los siguientes porcentajes.a) El 30 % de la población hace deporte.b) El 2 % de la población es mayor de 80 años.

Halla el total conociendo la parte y el porcentaje.a) Parte: 576 Porcentaje: 48 %b) Parte: 312 Porcentaje: 65 %

33

34

35

36

37

38

39

40

Halla el porcentaje conociendo el total y la parte.a) Total: 500 Parte: 180b) Total: 1 650 Parte: 1 386

En un concesionario se han vendido 1 800 vehículos en la última campaña. De ellos, solo 54 han sido vehículos industriales. ¿Qué porcentaje de vehículos industriales se ha vendido?

En un centro escolar, 117 alumnos han elegido Alemán como segunda lengua. Esto representa el 18 % de todos los alumnos del centro. ¿Cuántos alumnos tiene este centro?

La tabla muestra las anotaciones de un jugador de baloncesto en un partido.

Tiros libres

Tiros de 2 puntos

Tiros de 3 puntos

Anotados 9 14 6

Intentados 10 20 8

Calcula el porcentaje de acierto de este jugador.

En un parque se ha replantado el 12 % de los arbustos, pues se habían secado a causa de una enfermedad. Si el número de ejemplares replantados asciende a 102, ¿cuántos arbustos había sanos en el parque?

Observa estos depósitos y calcula la capacidad del primero, y el porcentaje de agua que hay en el segundo.

41

42

43

44

45

46

5. PORCENTAJES

En una clase de 32 alumnos, 8 tienen los ojos azules. Si se mantiene la proporción, ¿cuántos tendrán los ojos azules en un grupo de 100 alumnos?

Como forman una proporción, igualamos las razones:

8

32=

x

100→

8 ⋅100

32= x → x = 25

Habrá 25 alumnos de cada 100 con los ojos azules. Decimos que el 25 % de los alumnos tendrá los ojos azules.

Un porcentaje representa una parte del total. El símbolo para expresar un porcentaje es %.

Un porcentaje también se puede expresar como una razón o como un número decimal.


25 %25

100=

1

40,25

25 alumnos de cada 100 tienen los ojos azules.

Porcentaje, parte y total

El parking de una ciudad tiene tres plantas. Cada una de ellas dispone de diferente número de plazas y ocupación.

❚ En la planta primera hay 200 plazas, de las cuales el 31 % están ocupadas. ¿Cuántas plazas tiene ocupadas?

Total ⋅ Porcentaje = Parte → 200 ⋅ 0,31 = x → 200 ⋅ 0,31 = 62

conocido conocido desconocido

Hay 62 plazas ocupadas en la primera planta.

❚ En la segunda planta hay ocupadas 96 plazas, que representan un 64 % del total de las plazas de esta planta. ¿Cuántas plazas tiene esta planta?

Total ⋅ Porcentaje = Parte → x ⋅ 0,64 = 96 → x =96

0,64= 150

desconocido conocido conocido

En la segunda planta hay 150 plazas.

❚ En la tercera planta, de las 240 plazas solo hay 36 plazas ocupadas. ¿Qué porcentaje de plazas ocupadas hay en esta planta?

Total ⋅ Porcentaje = Parte → 240 ⋅ x = 36 → x =36

240= 0,15

conocido desconocido conocido

La expresión decimal del porcentaje es 0,15, que representa el 15 %; por tanto, en la planta tercera hay un 15 % de plazas ocupadas.

Al calcular un porcentaje, siempre aparecen tres cantidades relacionadas de esta forma:

Total ⋅ Porcentaje = Parte

Todas las calculadoras

tienen la tecla %, que funciona de este modo.

Con la calculadora

Aprenderás a… ● Manejar porcentajes.

● Calcular la parte, el porcentaje o el total, conocidos dos de ellos.

Presta atención

Para trabajar con porcentajes, los expresamos en forma de número decimal. De este modo, se facilitan los cálculos.

DESAFÍOObserva la información nutricional de cierto producto.a) Según esta información, ¿cuántas

calorías diarias son necesarias?b) ¿Y cuáles son las cantidades diarias

del resto de componentes de este producto?

47

ma1e29

Soluciones de las actividades33 Halla el valor de x en las siguientes proporciones.

a) 26

80=

x

100 c)

234

450=

x

100

b) 24

150=

x

100 d)

182

650=

x

100

a) x =26 ⋅100

80= 32,5 c) x =

234 ⋅100

450= 52

b) x =24 ⋅100

150= 16 d) x =

182 ⋅100

650= 28


El trabajo con porcentajes es muy gratificante para los alumnos ya que es algo que utilizan habitualmente en su vida cotidiana.

Tenemos que hacerles ver las ventajas de la utilización de la expresión decimal del porcentaje a la hora de calcular el porcentaje de una cantidad.

Se les puede proponer que calculen el 10 % de una canti-dad desconocida x. Si aplican la regla de tres que conocen de su etapa anterior, resulta una expresión más complicada que si utilizan la expresión decimal correspondiente, 1,1x.

Vídeo. PORCENTAJES

En el vídeo se muestra el cálculo de porcentajes utilizando la calculadora directamente, sin expresar el porcentaje en forma decimal. Este procedimiento es especialmente interesante para resolver ejercicios como el 38, que incluye decimales en la expre-sión de los porcentajes. El vídeo puede utilizarse para explicar el procedimiento en la pizarra o como recurso para que los alumnos utilicen la calculadora correctamente.



34 Copia y completa la siguiente tabla.

Porcentaje Razón N.º decimal Significado Porcentaje Razón N.º decimal Significado

35 % O O O 35 %7

200,35 35 de cada 100

O3

5O O 60 %

3

50,6 6 de cada 100

O O 0,32 O 32 %8

250,32 32 de cada 100

O O O 7 de cada 100 7 %7

1000,07 7 de cada 100

35 Escribe como número decimal los siguientes porcentajes.

a) 30 % b) 72 % c) 39 % d) 27 %

b) 0,3 b) 0,72 c) 0,39 d) 0,2736 Indica la expresión decimal de estos porcentajes.

a) 4 % b) 8,42 % c) 139 % d) 3,5 %

a) 0,04 b) 0,0842 c) 1,39 d) 0,03537 Calcula los siguientes porcentajes.

a) El 20 % de 120. b) El 60 % de 340. c) El 35 % de 700. d) El 25 % de 400.

a) 0,2 ⋅ 120 = 24 b) 0,6 ⋅ 340 = 204 c) 0,35 ⋅ 700 = 245 b) 0,25 ⋅ 400 = 10038 Realiza estos porcentajes.

a) El 43,5 % de 300. c) El 3 % de 432,5.

b) El 5,5 % de 4,5. d) El 8,25 % de 250.

a) 0,435 ⋅ 300 = 130,5 c) 0,03 ⋅ 432,5 = 12,975

b) 0,055 ⋅ 4,5 = 0,2475 d) 0,0825 ⋅ 250 = 20,62539 Una ciudad tiene 2 500 habitantes. Averigua a qué cantidades corresponden los siguientes porcentajes.

a) El 30 % de la población hace deporte. b) El 2 % de la población es mayor de 80 años.

a) 0,3 ⋅ 2 500 = 750 habitantes hacen deporte.

b) 0,2 ⋅ 2 500 = 500 habitantes son mayores de 80 años.40 Halla el total conociendo la parte y el porcentaje.

a) Parte: 576 Porcentaje: 48 % b) Parte: 312 Porcentaje: 65 %

b) x ⋅ 0,48 = 576 → x =576

0,48= 1200 b) x ⋅ 0,65 = 312 → x =

312

0,65= 480

41 Halla el porcentaje conociendo el total y la parte.

a) Total: 500 Parte: 180 b) Total: 1 650 Parte: 1 386

b) 500 ⋅ x = 180 → x =180

500= 0,36 → 36 % b) 1 650 ⋅ x = 1 386 → x =

1386

1650= 0,84 → 84 %

42 En un concesionario se han vendido 1 800 vehículos en la última campaña. De ellos, solo 54 han sido vehículos industria-les. ¿Qué porcentaje de vehículos industriales se ha vendido?

1 800 ⋅ x = 54 → x =54

1800= 0,03 → 3 %

43 En un centro escolar, 117 alumnos han elegido Alemán como segunda lengua. Esto representa el 18 % de todos los alumnos del centro. ¿Cuántos alumnos tiene este centro?

x ⋅ 0,18 = 117 → x =117

0,18= 650 alumnos

219



44 La tabla muestra las anotaciones de un jugador de baloncesto en un partido.

Calcula el porcentaje de acierto de este jugador.

Tiros libres Tiros de 2 puntos Tiros de 3 puntos

Anotados 9 14 6

Intentados 10 20 8

Porcentaje de acierto

10 ⋅ x = 9

→ x =9

10= 0,9

→ 90 %

20 ⋅ x = 14

→ x =14

20= 0,7

→ 70 %

8 ⋅ x = 6

→ x =6

8= 0,75

→ 75 %

45 En un parque se ha replantado el 12 % de los arbustos, pues se habían secado a causa de una enfermedad. Si el número de ejemplares replantados asciende a 102, ¿cuántos arbustos había sanos en el parque?

x ⋅ 0,12 = 102 → x =102

0,12= 850

En total había 850 arbustos, por tanto, sanos había: 850 − 102 = 748 arbustos46 Observa los siguientes depósitos y calcula la capacidad del primero, y el porcentaje de agua que hay en el segundo.

El primer depósito tiene una capacidad de:

x ⋅ 0,65 = 208 → x =208

0,65= 320 litros

El porcentaje de agua del segundo depósito es el:

350 ⋅ x = 140 → x =140

350= 0,4 → 40%

Desafío47 Observa la información nutricional de cierto producto.

a) Según esta información, ¿cuántas calorías diarias son necesarias?

b) ¿Y cuáles son las cantidades diarias del resto de componentes de este producto?

a) Como 20 kcal corresponden al 1 % de la ingesta de referencia, resulta que necesitamos consumir:

200 ⋅ 100 = 2 000 kcal al día

b) El resto de componentes de este producto son azúcares, grasas y sal. De estos componentes las cantidades diarias necesarias son:

❚❚Azúcares: 1,2 ⋅ 100 = 120 g al día

❚❚Grasas: 0,5 ⋅ 100 = 50 g al día como máximo, ya que la etiqueta indica < 1 %.

❚❚ Sal: 0,04 ⋅ 100 = 4 g al día como máximo, ya que la etiqueta indica < 1 %.



6. Aumentos y disminuciones porcentuales

149


148

Aplica los siguientes aumentos porcentuales a 240.a) 10 % c) 32 % e) 5 %b) 15 % d) 50 % f) 90 %

Aumenta los siguientes porcentajes a 500.a) 0,5 % c) 2,5 % e) 40,25 %b) 150 % d) 100 % f) 200 %

Aplica estas disminuciones porcentuales a 360.a) 10 % c) 12 % e) 90 %b) 75 % d) 65 % f) 99 %

Calcula el precio de los siguientes artículos tras la rebaja.

Con la nueva campaña, una empresa decide modificar los precios de diferentes artículos. Copia y completa la siguiente tabla de precios.

Artículo n.º Precio antiguo (€) Modificación Precio nuevo (€)

35-003-81 34,50 ↑ 2 % O

42-001-23 23,10 ↓ 12 % O

42-001-25 5,12 ↓ 5 % O

58-009-31 40,38 ↑ 6 % O

En el escaparate de una tienda se muestran estas rebajas.

¿Cuánto costará finalmente la camisa?

Al comprar un sofá que tiene un precio de 625 €, a Sofía le indican que tiene una rebaja del 15 %, pero que hay que añadirle el 21 % de IVA. Razona si hay diferencias al pagar si aplican los porcentajes de este modo:a) Primero el IVA y luego la rebaja.b) Primero la rebaja y después el IVA.

48

49

50

51

52

53

54

6. AUMENTOS Y DISMINUCIONES PORCENTUALES

Laura necesita una estantería para organizar todos sus libros y acude a un carpintero. Este le pasa un presupuesto de 135 €, pero entonces Laura elige otro tipo de madera de mayor calidad y el presupuesto aumenta en un 15 %. ¿Cuánto tendrá que pagar finalmente Laura por la estantería?

Calcular un aumento del 15 % de una cantidad equivale a hallar el 115 % de la misma.

Total ⋅ Porcentaje = Parte → 135 ⋅ 1,15 = 155,25

Laura tendrá que pagar por la estantería 155,25 €.

Para calcular un aumento porcentual, se suma al 100 % el porcentaje que se aumenta y se halla el porcentaje resultante.

A Laura esta estantería le parece cara y pide otro presupuesto distinto. La nueva estantería le cuesta 160 €, pero el carpintero dice que le puede hacer una rebaja del 7 % si la encarga en este mes. ¿Cuánto tendrá que pagar Laura si hace el encargo dentro de dicho plazo?

Calcular una disminución del 7 % de una cantidad equivale a hallar el 93 % de la misma.

Total ⋅ Porcentaje = Parte → 160 ⋅ 0,93 = 148,80

En este caso, Laura tendrá que pagar 148,80 €.

Para calcular una disminución porcentual, se resta al 100 % el porcentaje que se disminuye y se halla el porcentaje resultante.

Aprenderás a… ● Calcular aumentos y disminuciones porcentuales.

Presta atención

Para calcular aumentos y disminuciones porcentuales, podemos utilizar la expresión decimal de este modo:

❚ Un aumento porcentual del 15 % es:

1 + 0,15 = 1,15

❚ Una disminución porcentual del 7 % es:

1 − 0,07 = 0,93

} Las ventas en una tienda a principio de año fueron de 12 540 €. En febrero, las ventas aumentaron un 12 % y en marzo bajaron un 5 %. ¿A cuánto han ascendido las ventas en marzo?

Solución Ventas en febrero Ventas en marzo

En marzo las ventas han sido de 13 342,56 €. 12 540 ⋅ 1,12 = 14 044,80 14 044,80 ⋅ 0,95 = 13 342,56

Aumentar el 12 % → 112 % Disminuir el 5 % → 95 %

EJERCICIO RESUELTO

Investiga

Desde su instauración en España en 1986, el IVA (Impuesto sobre el Valor Añadido) ha ido variando. Investiga en Internet los diferentes tipos de IVA que existen y cuál es el porcentaje actual.Aplica el tipo de IVA correspondiente a los siguientes productos.a) Un litro de leche a 0,95 €. c) Una camiseta de 12 €.b) Unas gafas graduadas de 120 €. d) Una entrada de cine de 8,40 €.

55

Soluciones de las actividades48 Aplica los siguientes aumentos porcentuales a 240.

a) 10 % c) 32 % e) 5 %

b) 15 % d) 50 % f) 90 %

a) 240 ⋅ 1,1 = 264 c) 240 ⋅ 1,32 = 316,8 e) 240 ⋅ 1,05 = 252

b) 240 ⋅ 1,15 = 276 d) 240 ⋅ 1,5 = 360 f) 240 ⋅1,9 = 45649 Aumenta los siguientes porcentajes a 500.

a) 0,5 % c) 2,5 % e) 40,25 %

b) 150 % d) 100 % f) 200 %

a) 500 ⋅ 1,005 = 502,5 c) 500 ⋅ 1,025 = 512,5 e) 500 ⋅ 1,4025 = 701,25

b) 500 ⋅ 2,5 = 1 250 d) 500 ⋅ 2 = 1 000 f) 500 ⋅ 3 = 1 500


Este epígrafe avanza en el trabajo con porcentajes, al dedi-carse a aumentos y disminuciones porcentuales. Se debería continuar con el mismo método de trabajo que en el epí-grafe anterior, es decir, utilizando la expresión decimal de porcentajes, ya sea un aumento o una disminución.

Puede ser útil realizar unas ruedas rápidas de cálculo de aumentos o disminuciones porcentuales. Se les pregunta a cada alumno por cuánto tienen que multiplicar una canti-dad si aumentamos o disminuimos un cierto porcentaje. Se dan un par de vueltas a la clase y se comprueba lo rápido y fácil que resulta este cálculo.

221



50 Aplica estas disminuciones porcentuales a 360.

a) 10 % b) 75 % c) 12 % d) 65 % e) 90 % f) 99 %

a) 360 ⋅ 0,9 = 324 c) 360 ⋅ 0,88 = 316,8 e) 360 ⋅ 0,1 = 36

b) 360 ⋅ 0,25 = 90 d) 360 ⋅ 0,35 = 126 f) 360 ⋅ 0,01 = 3,651 Calcula el precio de los siguientes artículos tras la rebaja.

Bicicleta: 255 ⋅ 0,85 = 216,75 € Lavadora: 342 ⋅ 0,8 = 273,60 € Videoconsola: 485 ⋅ 0,75 = 363,75 €52 Con la nueva campaña, una empresa decide modificar los precios de diferentes artículos. Copia y completa la siguiente

tabla de precios.

Artículo n.º Precio antiguo (€) Modificación Precio nuevo (€)

35-003-81 34,50 ↑ 2 % 34,50 ⋅ 1,02 = 35,19

42-001-23 23,10 ↑ 12 % 23,10 ⋅ 0,88 = 20,33

42-001-25 5,12 ↑ 5 % 5,12 ⋅ 0,95 = 4,86

58-009-31 40,38 ↑ 6 % 40,38 ⋅ 1,06 = 42,80

53 En el escaparate de una tienda se muestran estas rebajas.

¿Cuánto costará finalmente la camisa?

52 ⋅ 0,90 ⋅ 0,85 = 39,78

Después de las dos rebajas la camisa costará 39,78 €.54 Al comprar un sofá que tiene un precio de 625 €, a Sofía le indican que tiene una rebaja del 15 %, pero que hay que

añadirle el 21 % de IVA. Razona si hay diferencias al pagar si aplican los porcentajes de este modo:

a) Primero el IVA y luego la rebaja. b) Primero la rebaja y después el IVA.

a) 625 ⋅ 0,85 ⋅ 1,21 = 642,81 b) 625 ⋅ 1,21 ⋅ 0,85 = 642,81

El precio es el mismo porque los porcentajes se multiplican.

Investiga55 Desde su instauración en España en 1986, el IVA (Impuesto sobre el Valor Añadido) ha ido variando. Investiga en Internet

los diferentes tipos de IVA que existen y cuál es el porcentaje actual.

Aplica el tipo de IVA correspondiente a los siguientes productos.

a) Un litro de leche a 0,95 €. c) Una camiseta de 12 €.

b) Unas gafas graduadas de 120 €. d) Una entrada de cine de 8,40 €.

Hay tres tipos de IVA, el general es del 21 %, el reducido del 10 % y el superreducido del 4 %.

a) La leche tiene un 4 %: 0,95 ⋅ 1,04 = 0,99 € c) Una camiseta tiene un 21 %: 12 ⋅ 1,21 = 14,52 €

b) Las gafas tienen un 10 %: 120 ⋅ 1,1 = 132 € d) Una entrada de cine tiene un 21 %: 8,40 ⋅ 1,21 = 10,16 €



Lee y comprende las matemáticas

Soluciones de las actividades56 Pedro se plantea si la felicidad se puede medir y lee el siguiente artículo.

Las medidas de la felicidadPero, ¿se puede medir y enseñar algo tan abstracto y personal? …Timothy Sharp, jefe del Instituto de la Felicidad de Australia y psicólogo clínico, afirma a este medio que «algunos componentes de la felicidad son medibles y cuantificables y, definitivamente, se puede enseñar a alguien a ser feliz».

Cuanto más viejos, más felicesA pesar de los achaques de salud y de la pérdida de la calidad de vida, los mayores de ochenta años son por lo general más felices que los que se encuentran entre la franja de los cincuenta y los setenta, de acuerdo con un estudio realizado entre 10 000 adultos en Gran Bretaña y publicado esta semana en Journals of Gerontology.

Fuente: elmundo.es


En esta sección se trabaja la comprensión lectora desde las matemáticas. Se presenta un artículo y tras su lectura, se plantea a los alumnos alguna situación que pueden encon-trarse en su vida cotidiana y que deben resolver extrayendo información de dicha noticia.

Para llegar a la solución del problema propuesto deben se-guir los estos pasos:

1.º Analizar la pregunta que se les plantea.

2.º Buscar los datos necesarios en la noticia.

3.º Utilizar las matemáticas para poder resolver la pregunta planteada.

En este caso, se pretende que los alumnos reflexionen sobre cómo resolver problemas aplicando proporciones.

Una vez analizado este ejemplo resuelto los alumnos se en-frentan a otras situaciones similares.

7 LEE Y COMPRENDE LAS MATEMÁTICAS

150 151

7Actividades

Mezclar colores para obtener el tono deseado

En muchas ocasiones, es difícil obtener el tono exacto que se anhela para una pintura...

Es fundamental tener en cuenta que el color que se obtenga de una mezcla de dos o más pinturas depende de las proporciones utilizadas en la combinación. Es decir, para reproducir ese color en una mezcla posterior, las proporciones deberán repetirse con exactitud. Cuanto más varíen, mayor será la diferencia entre los resultados obtenidos.

Proporciones para mezclar colores

Para la pintura, los colores básicos son el rojo, el azul y el amarillo, además del blanco y el negro. A partir de las combinaciones entre ellos, se pueden obtener todos los demás. El siguiente cuadro detalla, de un modo orientativo, las proporciones que se deben respetar para obtener colores como resultado de la mezcla de esos tonos básicos.

Verde: 1 parte de azul y 1 de amarillo

Naranja: 1 de rojo y 2 de amarillo

Rosa: 3 de blanco y 1 de rojo

Violeta: 5 de azul y 2 de rojo

Marrón: 2 de azul, 2 de amarillo y 1 de rojo

Turquesa: 5 de azul, 1 de amarillo y 1 de blanco

Fuente: consumer.es

Una cuadrilla de pintores ha recibido el encargo de pintar una habitación de una casa. Antes de comprar la pintura necesaria, han medido la superficie que hay que pintar en la habitación y es de 21 metros cuadrados.

Los dueños de la casa quieren la habitación de color turquesa.

Si para pintar un metro cuadrado de superficie necesitan 2 L de pintura, ¿cuántos litros de cada color tienen que comprar?

Analiza la pregunta

¿Cuántos litros de cada color tienen que comprar?

Para responder a esta pregunta, es necesario decidir:

❚ ¿Qué colores intervienen en la mezcla?

❚ ¿Qué proporción tiene cada color respecto del total de pintura?

Busca los datos

La composición necesaria para el turquesa es:

5 de azul, 1 de amarillo y 1 de blanco

Luego, se necesitan las siguientes razones de cada color:

Azul: 5

7 Amarillo:

1

7 Rojo:

1

7

Utiliza las matemáticas

Es preciso pintar 21 metros cuadrados y se utilizan 2 L por metro cuadrado, esto es, 42 L de pintura.

Hay que formar proporciones con un total de 42 L.

❚ Proporción de azul:

5

7=

x

42→ x =

5 ⋅ 42

7= 30

❚ Proporción de amarillo:

1

7=

x

42→ x =

1⋅ 42

7= 6

❚ Proporción de rojo:

1

7=

x

42→ x =

1⋅ 42

7= 6

Se necesitan 30 L de pintura azul, 6 L de amarillo y otros 6 L de rojo.

Pedro se plantea si la felicidad se puede medir y lee el siguiente artículo.

56 A Juan le encantan las croquetas y ha encontrado el siguiente artículo sobre la importancia que tiene su elaboración.

58

Muchas veces nos preguntamos qué comemos. Lee este artículo y responde luego a las preguntas.

57

a) ¿Es la felicidad una magnitud según el artículo?

b) ¿Son directamente proporcionales la edad y la felicidad?

Las medidas de la felicidad

Pero, ¿se puede medir y enseñar algo tan abstracto y personal? ...

Timothy Sharp, jefe del Instituto de la Felicidad de Australia y psicólogo clínico, afirma a este medio que «algunos componentes de la felicidad son medibles y cuantificables y, definitivamente, se puede enseñar a alguien a ser feliz».

Cuanto más viejos, más felices

A pesar de los achaques de salud y de la pérdida de la calidad de vida, los mayores de ochenta años son por lo general más felices que los que se encuentran entre la franja de los cincuenta y los setenta, de acuerdo con un estudio realizado entre 10 000 adultos en Gran Bretaña y publicado esta semana en Journals of Gerontology.

Fuente: elmundo.es

¿Qué porcentaje de comida corresponde a las proteínas, grasas y carbohidratos?

¿Cuánto porcentaje de lo que comemos es utilizable?

[…] un estudio que midió el consumo alimenticio de 63 adultos […] En promedio, consumieron 1 277 gramos de comida al día. De esos, las proteínas, grasas y carbohidratos representaron apenas 495 gramos.

No obstante, los otros 782 gramos no son inútiles. Son en su mayoría agua y fibra, elementos importantes para el cómodo y eficiente transcurso de la porción digerible de la comida.

Fuente BBC.es

Después de leer el artículo, Juan está decidido a cocinar la receta que propone el artículo pero quiere cambiar la cantidad de ingredientes.

Completa los ingredientes de la masa de las croquetas en estos casos.

a) Se emplean 3 L de leche.

b) Se emplean 260 g de mantequilla.

c) Se emplean 375 g de harina.

Croquetas caseras, la importancia de la masa

Las croquetas son el resultado de una elaboración culinaria que consiste en unas porciones de masa de bechamel espesa que amalgama y da cuerpo a otros ingredientes como pueden ser marisco, pollo, jamón o bacalao. Una vez enfriada se moldea y se reboza en huevo y pan rallado para freírse en abundante aceite.

La masa, primer paso

La mezcla de leche más roux blanco (la papilla formada por la harina frita ligeramente en una grasa, bien sea aceite o en mantequilla) es lo que nos da como resultado la base de la masa para las croquetas. Después le agregaremos la guarnición que queramos. Las proporciones para la elaboración de pasta de croquetas son de 130 gramos de mantequilla o de aceite y 150 gramos de harina por cada litro de leche.

Fuente: consumer.es

Decide si existe algún error en las siguientes informaciones.

a) Esta camisa tiene el 110 % de algodón.

b) En esta tienda estamos que lo regalamos; superamos el 100 % en los descuentos.

c) A los trabajadores de la empresa les bajaron un −5 % el salario.

59

223



a) ¿Es la felicidad una magnitud según el artículo?

b) ¿Son directamente proporcionales la edad y la felicidad?

a) Sí, algunos componentes de la felicidad son magnitudes.

b) No, porque al doble de edad no le corresponde el doble de felicidad.57 Muchas veces nos preguntamos qué comemos. Lee este artículo y responde luego a las preguntas.

¿Cuánto porcentaje de lo que comemos es utilizable?… un estudio que midió el consumo alimenticio de 63 adultos… En promedio, consumieron 1 277 gramos de comida al día. De esos, las proteínas, grasas y carbohidratos representaron apenas 495 gramos.No obstante, los otros 782 gramos no son inútiles. Son en su mayoría agua y fibra, elementos importantes para el cómodo y eficiente transcurso de la porción digerible de la comida.

Fuente: BBC.es

¿Qué porcentaje de comida corresponde a las proteínas, grasas y carbohidratos?

1 277 ⋅ x = 495 → x =495

1277= 0,3876

El porcentaje es del 38,76 %.58 A Juan le encantan las croquetas y ha encontrado el siguiente artículo sobre la importancia que tiene su elaboración.

Croquetas caseras, la importancia de la masaLas croquetas son el resultado de una elaboración culinaria que consiste en unas porciones de masa de bechamel espesa que amalgama y da cuerpo a otros ingredientes como pueden ser marisco, pollo, jamón o bacalao. Una vez enfriada se moldea y se reboza en huevo y pan rallado para freírse en abundante aceite.

La masa, primer pasoLa mezcla de leche más roux blanco (la papilla formada por la harina frita ligeramente en una grasa, bien sea aceite o en mantequilla) es lo que nos da como resultado la base de la masa para las croquetas. Después le agregaremos la guarnición que queramos. Las proporciones para la elaboración de pasta de croquetas son de 130 gramos de mantequilla o de aceite y 150 gramos de harina por cada litro de leche.

Fuente: consumer.es

Después de leer el artículo, Juan está decidido a cocinar la receta que propone el artículo pero quiere cambiar la cantidad de ingredientes.

Completa los ingredientes de la masa de las croquetas en estos casos.

a) Se emplean 3 L de leche.

b) Se emplean 260 g de mantequilla.

c) Se emplean 375 g de harina.

a) A 3 L de leche le corresponden: 3 ⋅ 130 = 390 g de mantequilla y 3 ⋅ 150 = 450 g de harina

b) A 260 g de mantequilla le corresponden: 2 ⋅ 1 = 2 L de leche y 2 ⋅ 150 = 300 g de harina

c) A 375 g de harina le corresponden: 2,5 ⋅ 1 = 2,5 L de leche y 2,5 ⋅ 130 = 325 g de mantequilla

Analiza59 Encuentra el error de las siguientes informaciones.

a) Esta camisa tiene el 110 % de algodón.

b) En esta tienda estamos que lo regalamos; superamos el 100 % en los descuentos.

c) A los trabajadores de la empresa les bajaron el −5 % el salario.

a) El 100 % es el máximo que puede tener.

b) El máximo descuento es el 100 % y el precio sería 0 €.

c) No existen los porcentajes negativos, ya se indica al decir que les bajaron.




En esta sección se destacan los procedimientos más importantes que los alumnos deben haber aprendido tras estudiar esta unidad. En este momento, los alumnos deben ser capaces de:

❚❚ Reconocer magnitudes directamente proporcionales.

❚❚ Representar funciones de proporcionalidad directa.

❚❚ Manejar porcentajes.

❚❚ Calcular aumentos y disminuciones porcentuales.

Actividades finalesSoluciones de las actividades60 Escribe la razón que relaciona los siguientes pares de magnitudes.

a) Por cada 3 kg de manzanas Amancio compra 2 kg de naranjas.

b) El gasto de agua en el hogar por cada 2 personas es de 82 L.

c) En un collar, por cada dos perlas blancas hay una negra.

a) 3

2

b) 2

82

c) 2

1

¿Qué tienes que saber?

152 153

¿QUÉ7 tienes que saber? Actividades Finales 7

En una panadería, Pedro ha pagado 1,20 € por 3 magdalenas. ¿Cuánto le costarán 7 magdalenas?

Las magnitudes número de magdalenas y precio son directamente proporcionales, porque al doble de una le corresponde el doble de la otra.

1,20

3=

x

7→ x =

1,20 ⋅7

3= 2,80

Las 7 magdalenas costarán 2,80 €.

Proporcionalidad directaTen en cuenta

Si dos magnitudes son directamente proporcionales, la razón de los pares de valores correspondientes se mantiene constante.

Calcula el valor de x.

a) El 23 % de 120 es x. b) El 15 % de x es 37,5. c) El x % de 35 es 2,1.

a) 120 ⋅ 0,23 = x → x = 27,6

b) x ⋅0,15 = 37,5 → x =37,5

0,15= 250

c) 35 ⋅ x = 2,1→ x =2,1

35= 0,06 → x = 6%

PorcentajesTen en cuenta

Al calcular un porcentaje, aparecen tres cantidades relacionadas.

Parte = Total · Porcentaje

Total =Parte

Porcentaje

Porcentaje =Parte

Total

Razón y proporción

Escribe la razón que relaciona los siguientes pares de magnitudes.

a) Por cada 3 kg de manzanas Amancio compra 2 kg de naranjas.

b) El gasto de agua en el hogar por cada 2 personas es de 82 L.

c) En un collar, por cada dos perlas blancas hay una negra.

Las baldosas del suelo en la casa de Andrea tienen el siguiente patrón.

a) ¿Cuál es la razón entre las baldosas blancas y las naranjas?

b) ¿Cuántas baldosas naranjas hay en el suelo si Andrea ha contado 250 baldosas blancas?

c) ¿Cuál es la razón entre el número de baldosas blancas y el total de baldosas?

d) ¿Cuántas baldosas hay en total?

Alberto tiene pensado pintar su habitación de un tono de azul que quiere hacer a partir de una mezcla de un azul oscuro y de blanco.

a) Escribe las razones entre los vasos de pintura azul y pintura blanca en los siguientes casos.

I Cuatro blancos y dos azules.

II Dos blancos y dos azules.

III Dos blancos y uno azul.

IV Uno blanco y tres azules.

b) Ordena las razones anteriores desde el azul más claro al azul más oscuro.

c) Forma una proporción con alguna de las razones.

Halla el valor de x para que formen una proporción.

a) 3,5

10,5=

x

12 c)

x

7=

2,25

5

b) x

8,4=

2,1

14,7 d)

3

3,6=

5,7

x

60

61

62

63

Proporcionalidad directa

Indica y justifica si las siguientes magnitudes son directamente proporcionales o, por el contrario, no tienen relación de proporcionalidad directa.

a) La estatura de una persona y su talla de camisa.

b) El número de días que permaneces en un hotel y el precio de la estancia.

c) El número de obreros y el tiempo que tardan en realizar una obra.

d) La longitud del lado de un cuadrado y su perímetro.

Piensa y razona si las tablas corresponden a valores de magnitudes directamente proporcionales.

a) A 3 7 6

B 5 4,2 10

b) A 4 6 18

B 9 6 2

c) A 2 4 6

B 3 6 9

d) A 7 5 1,2

B 17,5 12,5 3

Copia y completa las tablas sabiendo que son magnitudes directamente proporcionales.

a) A 3 O 4,5 18 O

B O 6 3 O 1

b) A 4 1,2 O O O

B 20 O 5 7 50

c) A O 0,5 12 O 8

B 25,6 O O 5,6 6,4

Tres billetes de tren han costado 138,75 €. ¿Cuánto costarán 5 billetes?

Para elaborar un bizcocho para 6 personas, Pedro necesita 750 g de harina. Si en casa tiene un paquete de 1 kg de harina, ¿para cuántas personas puede hacer el bizcocho?

Eva ha comprado una bolsa de gominolas. Al pesarlas, le han cobrado 77 CENT por 154 g. ¿Cuánto habría tenido que pagar por una bolsa que pesase 245 g?

Por cada 5 horas de trabajo un empleado cobra 43,75 €; ¿cuánto cobrará por 12 horas de trabajo?

64

65

66

67

68

69

70

Calcula los precios de los siguientes artículos.

a) Una lavadora de 245 € rebajada el 5%.

b) Un billete de avión de 190 € que se ha incrementado en un 12 %.

a) Rebajar el 5 % equivale a calcular el 100 % − 5 % = 95 %.

245 ⋅ 0,95 = 232,75 → La lavadora cuesta 232,75 €.

b) Aumentar el 12 % equivale a calcular el 100 % + 12 % = 112 %.

190 ⋅ 1,12 = 212,80 → El billete de avión cuesta 212,80 €.

Aumentos y disminuciones porcentualesTen en cuenta

❚ Para calcular un aumento porcentual, se suma al 100 % el porcentaje que se aumenta y se calcula el porcentaje resultante.

❚ Para calcular una disminución porcentual, se resta al 100 % el porcentaje que se disminuye y se halla el porcentaje resultante.

En una panadería cada barra de pan cuesta 0,50 €. Representa gráficamente esta relación y encuentra su ecuación.

N.º de barras 1 2 3 4

Precio (€) 0,50 1 1,50 2

Las dos magnitudes son directamente proporcionales porque:

0,5

1=

1

2=

1,5

3=

2

4= 0,5

Y su razón de proporcionalidad es 0,5.

Función de proporcionalidad directaTen en cuenta

❚ Para calcular la razón de proporcionalidad directa dividimos los valores de los pares correspondientes.

❚ La ecuación de una función de proporcionalidad directa es y = mx donde m es la razón de proporcionalidad directa. X

Y

O 1

1

225



61 Las baldosas del suelo en la casa de Andrea tienen el siguiente patrón.

a) ¿Cuál es la razón entre las baldosas blancas y las naranjas?

b) ¿Cuántas baldosas naranjas hay en el suelo si Andrea ha contado 250 baldosas blancas?

c) ¿Cuál es la razón entre el número de baldosas blancas y el total de baldosas?

d) ¿Cuántas baldosas hay en total?

a) 30

15 c)

30

45

b) 30

15=

250

x→ x =

15 ⋅250

30= 125 baldosas naranjas d)

30

45=

250

x→ x =

45 ⋅250

30= 275 baldosas

62 Alberto tiene pensado pintar su habitación de un tono de azul que quiere hacer a partir de una mezcla de un azul oscuro y de blanco.

a) Escribe las razones entre los vasos de pintura azul y pintura blanca en los siguientes casos.

I Cuatro blancos y dos azules. III Dos blancos y uno azul.

II Dos blancos y dos azules. IV Uno blanco y tres azules.

b) Ordena las razones anteriores desde el azul más claro al azul más oscuro.

c) Forma una proporción con alguna de las razones.

a) I 2

4 II

2

2 III

1

2 IV

3

1

b) 3

1>

2

2>

1

2=

2

4 c)

2

4=

1

263 Halla el valor de x para que formen una proporción.

a) 3,5

10,5=

x

12 b)

x

8,4=

2,1

14,7 c)

x

7=

2,25

5 d)

3

3,6=

5,7

x

a) x =3,5 ⋅12

10,5= 4 b) x =

8,4 ⋅2,1

14,7= 1,2 c) x =

7 ⋅2,25

5= 3,15 d) x =

5,7 ⋅3,6

3= 6,84

64 Indica y justifica si las siguientes magnitudes son directa proporcionales o, por el contrario, no tienen relación de propor-cionalidad directa.

a) La estatura de una persona y su talla de camisa.

b) El número de días que permaneces en un hotel y el precio de la estancia.

c) El número de obreros y el tiempo que tardan en realizar una obra.

d) La longitud del lado de un cuadrado y su perímetro.

a) No es directamente proporcional porque al doble de estatura no le corresponde el doble de talla.

b) Es directamente proporcional porque al doble de días de estancia le corresponde el doble de precio.

c) No es directamente proporcional porque al doble de obreros no le corresponde el doble de días.

d) Es directamente proporcional porque al doble de lado le corresponde el doble de perímetro.



65 Piensa y razona si las tablas corresponden a valores de magnitudes directamente proporcionales.a) A 3 7 6

B 5 4,2 10

b) A 4 6 18

B 9 6 2

c) A 2 4 6

B 3 6 9

d) A 7 5 1,2

B 17,5 12,5 3

a) No es directamente proporcional ya que la razón no se mantiene constante.

b) No es directamente proporcional ya que la razón no se mantiene constante.

c) Es directamente proporcional porque: 2

3=

4

6=

6

9

d) Es directamente proporcional porque: 7

17,5=

5

12,5=

1,2

366 Copia y completa las tablas sabiendo que son magnitudes directamente proporcionales.

a) A 3 O 4,5 18 O a) A 3 9 4,5 18 1,5

B O 6 3 O 1 B 2 6 3 12 1

b) A 4 1,2 O O O b) A 4 1,2 1 1,4 10

B 20 O 5 7 50 B 20 6 5 7 50

c) A O 0,5 12 O 8 c) A 32 0,5 12 7 8

B 25,6 O O 5,6 6,4 B 25,6 0,4 9,6 5,6 6,4

67 Tres billetes de tres han costado 138,75 €. ¿Cuánto costarán 5 billetes?

Es directamente proporcional, por tanto:138,75

3=

x

5→ x =

138,75 ⋅5

3= 231,25 €

68 Para elaborar un bizcocho para 6 personas, Pedro necesita 750 g de harina. Si en casa tiene un paquete de 1 kg de harina, ¿para cuántas personas puede hacer el bizcocho?

Es directamente proporcional, por tanto:6

750=

x

1000→ x =

6 ⋅1000

750= 8 personas

69 Eva ha comprado una bolsa de gominolas. Al pesarlas, le han cobrado 77 cent por 154 g. ¿Cuánto habría tenido que pagar por una bolsa que pesase 245 g?

Es directamente proporcional, por tanto:77

154=

x

245→ x =

77 ⋅245

154= 122,50 €cent

Habría tenido que pagar 1,23 €.70 Por cada 5 horas de trabajo un empleado cobra 43,75 €; ¿cuánto cobrará por 12 horas de trabajo?

Es directamente proporcional, por tanto:43,75

5=

x

12→ x =

43,75 ⋅12

5= 105 €

227



71 En las recomendaciones de uso de un bote de pintura se indica que con un bote de 4 L se pueden pintar 6 metros cua-drados de superficie.

a) ¿Cuántos metros cuadrados se pueden completar con 18 L de pintura?

b) ¿Cuántos litros se necesitan para pintar una superficie de 27 metros cuadrados?

c) ¿Cuántos botes de pintura hay que comprar para pintar 51 metros cuadrados?

Es directamente proporcional, por tanto:

a) 4

6=

18

x→ x =

18 ⋅6

4= 27 metros cuadrados

b) 4

6=

x

27→ x =

4 ⋅27

6= 18 litros

c) 4

6=

x

51→ x =

4 ⋅51

6= 34 litros → 34 : 4 = 8,5 → Necesita 9 botes.

72 Los obreros de una fábrica cobran según las horas y los días que trabajan. Uno de los ha ganado 630 € por trabajar 6 horas durante 8 días.

a) ¿Cuánto dinero ganará un obrero que ha trabajado 8 horas diarias durante 8 días?

b) ¿Cuántas horas al día ha trabajado un obrero que ha ganado 945 horas diarias por trabajar 8 días?

a) La relación dinero y horas durante 8 días es directamente proporcional, por tanto:

630

6=

x

8→ x =

630 ⋅8

6= 840 €

b) La relación horas al día y dinero durante 8 días de trabajo es directamente proporcional, por tanto:

6

630=

x

945→ x =

6 ⋅945

630= 9 horas al día

155

Actividades Finales 7

154


Calcula el porcentaje que ocupa la zona coloreada.a) c)

b) d)

Una fábrica textil especializada en camisetas confecciona en un día de trabajo 4 200 camisetas de colores. En la tabla puedes ver los porcentajes de camisetas de cada color.

Rojas Verdes Negras Blancas Azules

15 % 20 % 12 % 16 % 37 %

¿Cuántas camisetas fabrica al día de cada color?

Copia y completa las siguientes frases, calculando los resultados que faltan.a) El 7 % de 365 es §.b) El § % de 650 es 78.c) El 45 % de § es 129,6.d) El § % de 1 250 es 850.e) El 95 % de 456 es §.f) El 6 % de § es 114.

Un accionista posee el 65 % de las acciones de un negocio. Si los beneficios del último año han sido de 65 700 euros, ¿qué cantidad le corresponde de estos beneficios?

Un fabricante asegura que el 85 % de los vasos que elabora su empresa no se rompen al caer al suelo desde una mesa. Para comprobarlo, coge 25 vasos y, uno a uno, los deja caer desde una mesa. Si se rompen 21 vasos, ¿estaba en lo cierto el fabricante?

Un total de 11 592 personas están satisfechas con el servicio de limpieza de su ciudad. Si estos ciudadanos representan el 46 % de toda la población, ¿cuántos habitantes tiene la ciudad?

84

85

86

87

88

89

En las recomendaciones de uso de un bote de pintura se indica que con un bote de 4 L se pueden pintar 6 metros cuadrados de superficie.

a) ¿Cuántos metros cuadrados se pueden completar con 18 L de pintura?

b) ¿Cuántos litros se necesitan para pintar una superficie de 27 metros cuadrados?

c) ¿Cuántos botes de pintura hay que comprar para pintar 51 metros cuadrados?

Los obreros de una fábrica cobran según las horas y los días que trabajan. Uno de ellos ha ganado 630 € por trabajar 6 horas diarias durante 8 días.

a) ¿Cuánto dinero ganará un obrero que ha trabajado 8 horas diarias durante 8 días?

b) ¿Cuántas horas al día ha trabajado un obrero que ha ganado 945 € por trabajar 8 días?

Una máquina fabrica 126 botellas en 20 minutos. ¿Cuántas fabricará en una hora y media?

Se quiere repartir unos beneficios de 6 000 € entre tres trabajadores de forma proporcional a los años que llevan en la empresa: 7, 9 y 14, respectivamente. ¿Cuánto recibirá cada uno?

Dos municipios deciden construir una depuradora para sus aguas residuales. Su importe asciende a 1,2 millones de euros, que van a pagar en razón directa a la distancia a la que se encuentran de la depuradora. ¿Cuánto debe pagar cada municipio si uno está a 21 km y el otro a 27 km?

Representación

Escribe las coordenadas de estos puntos.

••

••

•••

•

O 1

1

X

Y

71

72

73

74

75

76

En la fiesta de cumpleaños de su hermano, Quique se ha comido 9 pasteles. Si habían comprado dos docenas de pasteles, ¿qué porcentaje de pasteles se ha comido?

Calcula, para 150, un aumento y una rebaja de los siguientes porcentajes.a) 5 % c) 42 % e) 95 %b) 25 % d) 80 % f) 99 %

Un billete de avión cuesta 256 € sin incluir las tasas. Si por este concepto hay que añadirle el 18 %, ¿cuánto cuesta el billete?

Un pantalón marcaba en su etiqueta un precio de 46 €. ¿Cuánto hay que pagar si se le aplica una rebaja del 15 %?

Durante el último año, la población de una ciudad ha aumentado el 4 %. Si antes del incremento la ciudad tenía 8 550 habitantes, ¿cuántos tiene ahora?

En un restaurante, el menú costaba 8 €. Si lo han subido un 5 %, ¿cuál será el nuevo precio?

Un frutero ha comprado las naranjas en el mercado central a 1,55 € el kilo y quiere ganar un 15 % con la venta. ¿A qué precio tiene que venderlas?

Un equipo de música que costaba 325 € bajó de precio un 12 % durante las rebajas, pero después volvió a subir un 10 %. ¿Cuál es su precio actual?

Un equipo de biólogos ha estudiado el crecimiento de una planta y ha detectado que cada año su longitud aumenta un 5 %. Si este año la planta mide 54 cm:a) ¿Cuánto medirá al final del próximo año?b) ¿Cuánto medirá pasados tres años?

El valor de las acciones de Emilio, tras subir un 2 %, es de 2 193 €. ¿Cuál era su valor anterior?

El precio de un artículo se reduce de 125 € a 107,50 €. ¿Cuál es el porcentaje de rebaja?

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

100

Averigua si las siguientes relaciones entre magnitudes son funciones.a) El número de alumnos de una clase y el número

de alumnos con gafas.b) El tiempo que dura una llamada y el precio de

la misma.

Representa gráficamente la relación que existe entre estas magnitudes directamente proporcionales.a) Cada 100 km, un coche consume 5,4 L de

gasolina.b) Por cada silla que compra, Rita paga 85 €.

La siguiente tabla muestra la relación entre dos magnitudes directamente proporcionales.

Magnitud A 2 8 10 15


Representa gráficamente esta relación.

Una familia ha pagado 255 € por una estancia de tres días en un hotel. a) Razona si la relación que existe entre el número

de días que permanece en el hotel y el precio de la estancia es de proporcionalidad directa.

b) Representa gráficamente dicha relación.

Porcentajes

Escribe como número decimal los siguientes porcentajes.a) 32 % d) 45,5 %b) 8 % e) 135 %a) 56 % f) 250 %

Calcula estos porcentajes.a) El 27 % de 1 200.b) El 80 % de 435.c) El 3 % de 154.d) El 12 % de 740.e) El 6,8 % de 4 500.f) El 155,5 % de 652.

Copia y completa la siguiente tabla.


12 % O O O

O6

20O O

O O 0,45 O

O O O4 de cada

100

77

78

79

80

81

82

83



73 Una máquina fabrica 126 botellas en 20 minutos. ¿Cuántas fabricará en una hora y media?

Es directamente proporcional, por tanto: 126

20=

x

90→ x =

126 ⋅90

20= 567

La máquina fabricará 567 piezas en hora y media.74 Se quiere repartir unos beneficios de 6 000 € entre tres trabajadores de forma proporcional a los años que llevan en la

empresa: 7, 9 y 14, respectivamente. ¿Cuánto recibirá cada uno?6 000

7 + 9 + 14= 200

Para 7 años: 7 ⋅ 200 = 1 400 € Para 9 años: 9 ⋅ 200 = 1 800 € Para 14 años: 14 ⋅ 200 = 2 800 €75 Dos municipios deciden construir una depuradora para sus aguas residuales. Su importe asciende a 1,2 millones de euros,

que van a pagar entre ambos en razón directa a la distancia a la que se encuentran de la depuradora. ¿Cuánto debe pagar cada municipio si uno está a 21 km y el otro a 27 km?

1,2

21+ 27= 0,025

Pueblo a 21 km: 21 ⋅ 0,025 = 0,525 millones de € Pueblo a 27 km: 27 ⋅ 0,025 = 0,675 millones de €76 Escribe las coordenadas de estos puntos.

••

••

•••

•

O 1

1

X

Y

Identificamos los puntos con letras y determinamos sus coordenadas.

••

••

•••

•

O 1

2

X

YA (–10, 6) C (10, 6)

D (8, –6)E (0, –6)F (–8, –4)

G (2, –2)

H (–4, 6)

B (–2, 0)

77 Averigua si las siguientes relaciones entre dos magnitudes son funciones.

a) El número de alumnos de una clase y el número de alumnos con gafas.

b) El tiempo que dura una llamada y el precio de la misma.

a) No es función porque en una clase con el mismo número de alumnos no tiene porque existir siempre el mismo número de gafas.

b) Es función porque para la duración de cada llamada existe un único precio.

229



78 Representa gráficamente la relación que existe entre estas magnitudes directamente proporcionales.

a) Cada 100 km, un coche consume 5,4 L de gasolina.

b) Por cada silla que compra, Rita paga 85 €.

a) b)

•

••

••

••

••

••

••

••

O 100

10

20

30

200 300 400 500 600 X

Y

•

•

•

•

•

•

O 1 2 3 4 5 6

100

200

300

X

Y

79 La siguiente tabla muestra la relación entre dos magnitudes directamente proporcionales.

Magnitud A 2 8 10 15


Representa gráficamente esta relación.

• •

• ••

O 4 8 12 16 20 24

10

20

30

40

X

Y

80 Una familia ha pagado 255 € por una estancia de tres días en un hotel.

a) Razona si la relación que existe entre el número de días que permanece en el hotel y el precio de la estancia es de proporcionalidad directa.

b) Representa gráficamente dicha relación.

a) Es directamente proporcional porque al doble de días en el hotel le corresponde el doble de precio.

b)

•

••

••

••

••

•

•

O 2 4 6 8 10 121 3 5 7 9 11

200

400

600

800

X

Y

81 Escribe como número decimal los siguientes porcentajes.

a) 32 % b) 8 % c) 56 % d) 45,5 % e) 135 % f) 250 %

a) 0,32 b) 0,08 c) 0,56 d) 0,455 e) 1,35 f) 2,582 Calcula estos porcentajes.

a) El 27 % de 1 200. c) El 3 % de 154. e) El 6,8 % de 4 500.

b) El 80 % de 435. d) El 12 % de 740. f) El 155,5 % de 652.

a) 1 200 ⋅ 0,27 = 324 c) 154 ⋅ 0,03 = 4,62 e) 4 500 ⋅ 0,068 = 306

b) 435 ⋅ 0,8 = 348 d) 740 ⋅ 0,12 = 88,8 f) 652 ⋅ 1,555 = 1 013,86



83 Copia y completa la siguiente tabla.

Porcentaje Razón N.º decimal Significado Porcentaje Razón N.º decimal Significado

12 % O O O 12 %12

100=

3

250,12 12 de cada 100

O6

20O O 30 %

6

200,3 30 de cada 100

O O 0,45 O 45 %45

100=

9

200,45 45 de cada 100

O O O 4 de cada 100 4 %4

100=

1

250,04 4 de cada 100

84 Calcula el porcentaje que ocupa la zona coloreada.

a) b) c) d)

a) 1

4→ 25% b)

1

8→ 12,5% c)

1

4→ 25% d)

2

6=

1

3→ 33,3

%

85 Una fábrica textil especializada en camisetas confecciona en un día de trabajo 4 200 camisetas de colores. En la tabla puedes ver los porcentajes de camisetas de cada color.

Rojas Verdes Negras Blancas Azules

15 % 20 % 12 % 16 % 37 %

¿Cuántas camisetas fabrica al día de cada color?

Rojas: 4 200 ⋅ 0,15 = 630 Negras: 4 200 ⋅ 0,12 = 504 Azules: 4 200 ⋅ 0,37 = 1 554

Verdes: 4 200 ⋅ 0,2 = 840 Blancas: 4 200 ⋅ 0,16 = 67286 Copia y completa las siguientes frases, calculando los resultados que faltan.

a) El 7 % de 365 es §. c) El 45 % de § es 129,6. e) El 95 % de 456 es §.

b) El § % de 650 es 78. d) El § % de 1 250 es 850. f) El 6 % de § es 114.

a) 365 ⋅ 0,07 = 25,55 → El 7 % de 365 es 25,55.

b) 650 ⋅ x = 78 → x =78

650= 0,12 → El 12 % de 650 es 78.

c) x ⋅ 0,45 = 129,6 → x =129,6

0,45= 288 → El 45 % de 288 es 129,6.

d) 1 250 ⋅ x = 850 → x =850

1250= 0,68 → El 68 % de 1 250 es 850.

e) 456 ⋅ 0,95 = 433,2 → El 95 % de 456 es 433,2.

f) x ⋅ 0,06 = 114 → x =114

0,06= 1900 → El 6 % de 1 900 es 114.

87 Un accionista posee el 65 % de las acciones de un negocio. Si los beneficios del último años han sido de 65 700 euros, ¿qué cantidad le corresponde de estos beneficios?

65 700 ⋅ 0,65 = 42 705

Los beneficios ascienden a 42 705 €.

231



88 Un fabricante asegura que el 85 % de los vasos que elabora su empresa no se rompen al caer al suelo desde una mesa. Para comprobarlo, coge 25 vasos y, uno a uno, los dejan caer desde una mesa. Si se rompen 21 vasos, ¿estaba en lo cierto el fabricante?

25 ⋅ x = 21 → x =21

25= 0,84 Los datos reflejan un 84 % que es un punto por debajo de lo que asegura el fabricante.

89 Un total de 11 592 personas están satisfechas con el servicio de limpieza de su ciudad. Si estos ciudadanos representan el 46 % de toda la población, ¿cuántos habitantes tiene la ciudad?

x ⋅ 0,46 = 11592 → x =11 592

0,46= 25200 habitantes

90 En la fiesta de cumpleaños de su hermano, Quique se ha comido 9 pasteles. Si habían comprado dos docenas de pasteles, ¿qué porcentaje de pasteles se ha comido?

24 ⋅ x = 9 → x =9

24= 0,375 El porcentaje de pasteles es del 37,5 %.

91 Calcula, para 150, un aumento y una rebaja de los siguientes porcentajes.

a) 5 % b) 25 % c) 42 % d) 80 % e) 95 % f) 99 %

a) Aumento: 150 ⋅ 1,05 = 157,5 Rebaja: 150 ⋅ 0,95 = 142,5

b) Aumento: 150 ⋅ 1,25 = 187,5 Rebaja: 150 ⋅ 0,75 = 112,5

c) Aumento: 150 ⋅ 1,42 = 213 Rebaja: 150 ⋅ 0,58 = 87

d) Aumento: 150 ⋅ 1,80 = 270 Rebaja: 150 ⋅ 0,20 = 30

e) Aumento: 150 ⋅ 1,95 = 292,5 Rebaja: 150 ⋅ 0,05 = 7,5

f) Aumento: 150 ⋅ 1,99 = 298,5 Rebaja: 150 ⋅ 0,01 = 1,592 Un billete de avión cuesta 256 € sin incluir las tasas. Si por este concepto hay que añadirle el 18 %, ¿cuánto cuesta el

billete?

256 ⋅ 1,18 = 302,08 €93 Un pantalón marcaba en su etiqueta un precio de 46 €. ¿Cuánto hay que pagar si se le aplica una rebaja de 15 %?

46 ⋅ 0,85 = 39,10 €94 Durante el último año, la población de una ciudad ha aumentado el 4 %. Si antes del incremento la ciudad tenía un total

de 8 550 habitantes, ¿cuántos tiene ahora?

8 550 ⋅ 1,04 = 8 892 habitantes95 En un restaurante, el menú costaba 8 €. Si lo han subido un 5 %, ¿cuál será el nuevo precio?

8 ⋅ 1,05 = 8,40 €96 Un frutero ha comprado las naranjas en el mercado central a 1,55 € el kilo y quiere ganar un 15 % con la venta. ¿A qué

precio tiene que venderlas?

1,55 ⋅ 1,15 = 1,7825 Tiene que venderlas a 1,79 € el kilo.97 Un equipo de música que costaba 325 € bajó de precio un 12 % durante las rebajas, pero después volvió a subir un 10 %.

¿Cuál es su precio actual?

(325 ⋅ 0,88) ⋅ 1,10 = 325 ⋅ 0,88 ⋅ 1,10 = 314,60 €98 Un equipo de biólogos ha estudiado el crecimiento de una planta y ha detectado que cada año su longitud aumenta un

5 %. Si este año la planta mide 54 cm:

a) ¿Cuánto medirá al final del próximo año? b) ¿Cuánto medirá pasados tres años?

a) 54 ⋅ 1,05 = 56,7 cm b) 54 ⋅ 1,053 = 62,51175 cm99 El valor de las acciones de Emilio, tras subir un 2 %, es de 2 193 €. ¿Cuál era su valor anterior?

x ⋅ 1,02 = 2193 → x =2 193

1,02= 2 150 €

100 El precio de un artículo se reduce de 125 € a 107,50 €. ¿Cuál es el porcentaje de rebaja?

125 ⋅ x = 107,5 → x =107,5

125= 0,86 → 86 % El porcentaje de rebaja es del 100 − 86 = 14 %.



Matemáticas vivas

Acceso al agua potableSugerencias didácticas

En esta sección trabajamos de un modo más concreto las competencias, en particular la competencia matemática. Se presenta una situación cotidiana, el acceso al agua potable, en la que intervienen la proporcionalidad. En la resolución de diferentes actividades de comprensión, relación y reflexión, los alumnos desarrollarán competencias matemáticas evaluadas por el estu-dio PISA: Utiliza el lenguaje matemático, Piensa y razona, Resuelve, Argumenta, Utiliza el lenguaje matemático, Comunica o Representa.

Para finalizar la sección, se incluye el apartado Trabajo cooperativo donde se propone una tarea cuya estrategia cooperativa es Búsqueda de información, de Mel Silberman.

Para desarrollar esta tarea, los alumnos investigarán qué porcentaje de personas no tienen acceso al agua potable en el mun-do, y plasmarán la información en un mapa siguiendo una escala de colores.

Soluciones de las actividades

En 1990 se propuso como uno de los Objetivos de Desarrollo del Milenio reducir a la mitad el porcen-taje de personas sin acceso al agua potable.

Al finalizar la década, todavía quedaban unos 783 millones de personas que se veían obligadas a be-ber agua contaminada, poniendo en serio riesgo su salud. La distribución de esta población por zo-nas geográficas es la siguiente:

7 MATEMÁTICAS VIVAS

156 157

7Acceso al agua potable

En 1990 se propuso como uno de los Objetivos de Desarrollo del Milenio reducir a la mitad el porcentaje de personas sin acceso al agua potable.

11 %

24 %1990

2010

Al finalizar la década, todavía quedaban unos 783 millones de personas que se veían obligadas a beber agua contaminada, poniendo en serio riesgo su salud. La distribución de esta población por zonas geográficas es la siguiente:

RELACIONA

La información dice que, al finalizar 2010, quedaban todavía 783 millones de personas sin acceso al agua potable. La población en América Latina y el Caribe constituye aproximadamente el 8,6 % de toda la población mundial.

a. Teniendo en cuenta este porcentaje, ¿cuál era la población mundial en ese momento?

b. ¿Cuántas personas tuvieron acceso al agua potable al finalizar la primera década del siglo XXI?

c. ¿Cuántas personas tenían acceso al agua potable en esta zona?

d. ¿Qué porcentaje de población de esa zona no tenía acceso al agua potable y cuántos millones de personas supone?

2

UTILIZA EL LENGUAJE MATEMÁTICO

RESUELVE

COMPRENDE

Observa los gráficos anteriores.

a. ¿Qué porcentaje de personas tenía acceso al agua potable en 1990? ¿Y en 2010? ¿En qué porcentaje ha aumentado?

b. Ordena de menor a mayor las zonas geográficas según su acceso al agua potable.

c. Si el mundo fuera una aldea con tan solo 100 habitantes, ¿cuántas personas tendrían acceso al agua potable?; ¿cuántas personas no lo tendrían?

1PIENSA Y RAZONA

RESUELVE

ARGUMENTA

REFLEXIONA

El gráfico muestra la relación entre la disponibilidad de agua potable y la población, expresados, ambos datos, en porcentajes sobre el total de la población mundial y de agua potable de la Tierra.

¿Existe alguna relación entre la población que vive en un continente y la cantidad de agua potable en él?

COMUNICA

Según las estimaciones de la ONU, una persona debe disponer de 50 L de agua al día.

a. Determina la razón que relaciona el gasto de agua de un habitante de EEUU y otro de Madagascar.

b. Calcula el porcentaje que representa el gasto de agua de un habitante de estos países respecto de los 50 L necesarios por persona.

c. Representa estos porcentajes en un mapamundi e interprétalos relacionándolos con el mapa.

3

4

RESUELVE

REPRESENTA

TRABAJO

COOPERATIVO

11 %

24 %1990

2010

233



Comprende1 Observa los gráficos anteriores.

a) ¿Qué porcentaje de personas tenía acceso al agua potable en 1990? ¿Y en 2010? ¿En qué porcentaje ha aumentado?

b) Ordena de menor a mayor las zonas geográficas según su acceso al agua potable.

c) Si el mundo fuera una aldea con tan solo 100 habitantes, ¿cuántas personas tendrían acceso al agua potable?; ¿cuán-tas personas no lo tendrían?

a) En 1990 tenía acceso al agua potable un 76 % y en 2010 un 89 %. Ha aumentado un 13 %.

b) África subsahariana < Este de Asia < Sur de Asia < Latinoamérica/Caribe < Norte de África y Oriente Próximo < Países industrializados

c) Teniendo en cuenta los datos de 2010, 89 personas tendrían agua y 11 no la tendrían.

Relaciona2 La información dice que, al finalizar 2010, quedaban todavía 783 millones de personas sin acceso al agua potable. La

población en América Latina y el Caribe constituye aproximadamente el 8,6 % de toda la población mundial.

a) Teniendo en cuenta este porcentaje, ¿cuál era la población mundial en ese momento?

b) ¿Cuántas personas tuvieron acceso al agua potable al finalizar la primera década del siglo xxi?

c) ¿Cuántas personas tenían acceso al agua potable en esta zona?

d) ¿Qué porcentaje de población de esa zona no tenía acceso al agua potable y cuántos millones de personas supone?

a) x ⋅ 0,11 = 783 → x =783

0,11= 7 118,18

La población mundial en ese momento es de 7 1118,18 millones de habitantes.

b) 7 118,18 − 783 = 6 335,18 millones de personas tiene acceso al agua potable al finalizar la primera década del siglo xxi.

c) 7 118,18 ⋅ 0,086 = 612,16 millones de personas viven en la zona América Latina y el Caribe.

612,16 ⋅ 0,86 = 526,46 millones de personas tienen acceso al agua potable en esta zona.

d) 100 − 86 = 14 % de los personas de la zona no tenían acceso al agua.

612,16 ⋅ 0,14 = 85,70 millones de persona no tienen acceso al agua potable.

Reflexiona3 El gráfico muestra la relación existente entre la disponibilidad de agua potable y la población, expresados, ambos datos,

en porcentajes sobre el total de la población mundial y de agua potable de la Tierra.

¿Existe alguna relación entre la población que vive en un continente y la cantidad de agua potable que existe en él?

Sí aunque no es directamente proporcional ya que a más habitantes le corresponde menos cantidad de agua potable.



4 Según las estimaciones de la ONU, una persona debe disponer de 50 L de agua al día.

a) Determina la razón que relaciona el gasto de agua de un habitante de EEUU y otro de Madagascar.

b) Calcula el porcentaje que representa el gasto de agua de un habitante de estos países respecto de los 50 L necesarios por persona.

c) Representa estos porcentajes en un mapamundi e interpreta estos porcentajes relacionándolos con el mapa anterior.

a) La razón es: 2 100

35=

60

1

b) EEUU: 50 ⋅ x = 2 100 → x =2 100

50= 42 → 4 200 % Grecia: 50 ⋅ x = 769 → x =

769

50= 15,38 → 1 538 %

Japón: 50 ⋅ x = 2 000 → x =2 000

50= 40 → 4 000 % Argelia: 50 ⋅ x = 673 → x =

673

50= 13,46 → 1 346 %

Suiza: 50 ⋅ x = 1 846 → x =1864

50= 37,28 → 3 728 % India: 50 ⋅ x = 175 → x =

175

50= 3,5 → 350 %

España: 50 ⋅ x = 1 225 → x =1225

50= 24,5 → 2450 % Madagascar: 50 ⋅ x = 35 → x =

2 100

50= 0,7 → 70 %

Nigeria: 50 ⋅ x = 840 → x =840

50= 16,8 → 1 680 %

c) Se debe realizar un mapamundi con los porcentajes anteriores.

Trabajo cooperativo

Respuesta abierta.

235



158


A veces hay magnitudes que no se relacionan de forma directamente proporcional pero cumplen otras condiciones. Por ejemplo, las magnitudes número de amigos que aportan dinero para un regalo y el dinero aportado.

Observa la característica que presentan los valores en este caso:

N.º de amigos 2 4 8

Dinero (€) 24 12 6

Dos magnitudes son inversamente proporcionales si, al multiplicar (o dividir) los valores de una de ellas por un número, los valores de la otra quedan divididos (o multiplicados) por el mismo número.

Si relacionamos pares de valores correspondientes, el producto no varía. 2 ⋅ 24 = 4 ⋅ 12 = 8 ⋅ 6 = 48

A este valor se le llama constante de proporcionalidad inversa.

Si ahora fuesen 12 amigos se tendría que:

N.º de amigos 2 12

Dinero (€) 24 x

Cada amigo tiene que aportar 4 €.

: 2 ⋅ 2

⋅ 2 : 2

AVANZA Magnitudes inversamente proporcionales

A1. Razona qué pares de magnitudes son inversamente proporcionales.

a) El tiempo que un alumno ve la televisión antes de un examen y la nota en el examen.

b) El número de grifos iguales abiertos y el tiempo que tarda en llenarse un recipiente.

A2. Una granja de conejos recibe un pedido de pienso y llena el depósito, con lo que tiene comida para sus 150 conejos durante 12 días.

Después de vender 30 conejos, ¿cuántos días podrán comer el resto de conejos si el depósito está lleno?

CÁLCULO MENTAL Estrategia para CALCULAR PORCENTAJES SENCILLOS

Hay porcentajes sencillos con los que no merece la pena escribir la operación, ya que se pueden hacer mentalmente.

50 % → divido por 2 25 % → divido por 4 10 % → divido por 10

Podemos aplicar estrategias similares para aumentos o disminuciones porcentuales.

Aumentar 50 %. Aumentar 25 %. Aumentar 10 %. Disminuir 10 %. Disminuir 25 %. Disminuir 50 %.

Añadir la mitad.Añadir la cuarta

parte.Añadir la décima

parte.Restar la décima

parte.Restar la cuarta

parte.Restar la mitad.

CM1. Calcula mentalmente.

a) 10 % de 48 e) 50 % de 230

b) 25 % de 80 f) 10 % de 32

c) 50 % de 132 g) 25 % de 92

d) 10 % de 536 h) 50 % de 2 500


a) ↓ 10 % a 432 e) ↑ 10 % a 500

b) ↑ 50 % a 600 f) ↑ 50 % a 2 500

c) ↑ 25 % a 200 g) ↓ 25 % a 400

d) ↓ 50 % a 320 h) ↓ 10 % a 120

2 ⋅24 = 48 = 12 ⋅ x → x =48

12= 4


En la sección Avanza de esta unidad se introducen las mag-nitudes inversamente proporcionales.

Su aplicación y estudio comparándolas con las magnitudes directamente proporcionales se trabajará con mayor pro-fundidad en cursos superiores.

Soluciones de las actividades

A1. Razona qué pares de magnitudes son inversamente proporcionales.

a) El tiempo que un alumno está viendo la televisión antes de un examen y la nota en el examen.

b) El número de grifos iguales abiertos y el tiempo que tarda en llenarse un recipiente.

a) No, al doble de horas de televisión no le correspon-de la mitad de nota en el examen.

b) Sí, al doble de número de grifos abiertos le corres-ponde la mitad de tiempo.

A2. Una granja de conejos recibe un pedido de pienso y llena el depósito, con lo que tiene comida para sus 150 conejos du-rante 12 días.

Después de vender 30 conejos, durante cuántos días tienen comida los conejos que quedan en la granja con el depósito lleno.

Es inversamente proporcional, por tanto:

150 ⋅ 12 = 120 ⋅ x → x =150 ⋅12

120= 15

Tienen comida para 15 días.

Cálculo mental. Estrategia para calcular porcentajes sencillosSugerencias didácticas

Para finalizar la unidad se trabaja una estrategia de cálculo mental para calcular porcentajes sencillos, basada en el razona-miento ¿Qué operación tengo que realizar para calcular este porcentaje? o ¿Qué operaciones tengo que realizar para calcular este aumento o disminución porcentual?


a) 10 % de 48 c) 50 % de 132 e) 50 % de 230 g) 25 % de 92

b) 25 % de 80 d) 10 % de 536 f) 10 % de 32 h) 50 % de 2 500

a) 4,8 c) 66 e) 115 g) 23

b) 20 d) 53,6 f) 3,2 h) 1 250


a) ↓ 10 % a 432 c) ↑ 25 % a 200 e) ↑ 10 % a 500 g) ↓ 25 % a 400

b) ↑ 50 % a 600 d) ↓ 50 % a 320 f) ↑ 50 % a 2 500 h) ↓ 10 % a 120

a) 388,8 c) 250 e) 550 g) 300

b) 900 d) 160 f) 3 750 h) 108

Avanza. Magnitudes inversamente proporcionales



1. En una tienda por cada 6 refrescos pagados me regalan 2 refrescos. Si me han regalado 8 refrescos, ¿cuántos refrescos he comprado?

Establecemos la proporción:

6

2=

x

8→ x =

6 ⋅8

2= 24

He comprado 24 refrescos.

2. Marta ha comprado en una papelería 5 cuadernos y le han cobrado 11,50 €. Si su amiga Ana ha comprado 7 cuadernos en la misma papelería, ¿cuánto tiene que pagar?

Las magnitudes son directamente proporcionales y la razón se mantiene constante.

11,50

5=

x

7→ x =

11,50 ⋅7

5= 16,10

Los cuadernos han costado 16,10 €.

3. Representa los siguientes puntos en un sistema de coordenadas.

A(2, 3) B(−1, 2) C(−2, −3) D(4, −1)

•

•

•

•

O 1

1

X

AB

C

D

Y

4. El 85 % de las habitaciones de un hotel están ocupadas. Si el hotel tiene 140 habitaciones, ¿cuántas habitaciones están libres?

El hotel tiene 100 − 85 = 15 % de habitaciones libres.

140 ⋅ 0,15 = 21

Están libres 21 habitaciones.

5. Javier ha subido todos los artículos de su tienda un 5 %. ¿Cuánto cuesta ahora un artículo que antes costaba 92,60 €?

92,60 ⋅ 1,05 = 97,23

Cuesta 97,23 €.

PROPUESTA DE EVALUACIÓNPRUEBA A

237



1. Averigua si las dos magnitudes de la tabla se relacionan de forma directamente proporcional.

a) Magnitud A 3 5 10 b

Magnitud B 12 20 a 42

b) Magnitud A 2 4 1 b

Magnitud B 18 9 a 12

a) Es directamente proporcional, y la razón se mantiene constante.

3

12=

5

20=

1

4

1

4=

10

a→ a = 10 ⋅ 4 = 40

1

4=

b

12→ b =

12

4= 3

b) No es directamente proporcionales, ya que la razón no se mantiene constante.

2. Alberto ha comprado tres barras de pan por 1,15 €.

a) ¿Cuántas barras de pan puede comprar por 2,75 €?

b) Representa la relación entre las barras de pan y el precio que tiene que pagar.

a) Es directamente proporcional porque al doble de barras de pan le corresponde el doble de euros.

3

1,65=

1

2,75→ x =

2,75 ⋅3

1,65= 5 barras de pan

b)

•

••

••

•

O 1 2 3 4

1234

X

Y

3. Una maquina fabrica el 2 % de los tornillos defectuosos. Si la máquina ha fabricado hoy 23 tornillos defectuosos, ¿cuántos tornillas ha fabricado hoy?

x ⋅ 0,02 = 23 → x =23

0,02= 1150

Ha fabricado 1 150 tornillos.

4. Debido a una oferta una bicicleta ha pasado de costar 450 € a 382,50 €. ¿Qué porcentaje han rebajado la bicicleta?

450 ⋅ x = 382,50 → x =382,50

450= 0,85

Luego han rebajado la bicicleta un 15 %.

5. Durante el último mes el agua contenida en un embalse ha bajado un 4 %. ¿Cuántos litros tenía al comenzar el mes si ahora tiene 682,5 hectómetros cúbicos?

x ⋅ 0,96 = 720 → x =720

0,96= 750 hm3

PROPUESTA DE EVALUACIÓNPRUEBA B

7 cinaidad diecta. eesentacin 7 …...2020/03/07 · nes de proporcionalidad directa, y por otro,...

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