5.1 INTRODUCCIN A LAS TRANSFORMACIONES LINEALES.Definicin: Las transformaciones lineales son las funciones y tratan sobre K-espacios vectoriales que son compatibles con la estructura (es decir, con la operacin y la accin) de estos espacios.Sean V y W dos espacios vectoriales posiblemente iguales. Una transformacin lineal o mapeo lineal de V a W es una funcinT : V W tal que para todos los vectores u y v de V y cualquier escalar c: a) T (u + v) = T (u) + T (v) b) T (c u) = c T (u)Demuestre que la transformacin T : R2 R2 definida por es lineal. Entonces :

Por otro lado, para todo escalar c,

Como se cumplen las dos condiciones: T es lineal.

Una transformacin lineal preserva combinaciones lineales. Veremos que, debido a esto, una transformacin lineal queda unvoca-mente determinada por los valores que toma en los elementos de una base cualquiera de su dominio.

5.2 Ncleo e imagen de una transformacin lineal.Transformaciones lineales: ncleo e imagen.Teorema 1Sea T: V S W una transformacin lineal. Entonces para todos los vectores u, v, v1,v2, . . . , vn en V y todos los escalares a1, a2, . . . , an:i. T(0) = 0ii. T(u - v) = Tu - Tviii. T(a1v1 + a2v2 +. . .+ anvn) = a1Tv1 + a2Tv2 +. . .+ anTvnNota. En la parte i) el 0 de la izquierda es el vector cero en V; mientras que el 0 de la derecha es el vector cero en W.Teorema 2SeaVun espacio vectorial de dimensin finita con baseB={v1,v2, . . . ,vn}. Seanw1,w2, . . . ,wnvectores enW. Suponga queT1yT2son dos transformaciones lineales deVenWtales queT1vi=T2vi=wiparai=1, 2, . . . ,n. Entonces para cualquier vectorvV,T1v=T2v; es decirT1=T2.Ejemplo

Definicin 1Ncleo e imagen de una transformacin linealSean V y W dos espacios vectoriales y sea T:V W una transformacin lineal. Entoncesi . El ncleo de T, denotado por un, est dado porii.La imagen de T, denotado por Im T, esta dado por

Observacion 1. Observe que un T es no vacio porque, de acuerdo al teorema 1, T(0) = 0 de manera que 0 un T para cualquier transformacin lineal T. Se tiene inters en encontrar otros vectores en V que se transformen en 0. De nuevo, observe que cuando escribimos T(0) = 0, el 0 de la izquierda est en V y el de la derecha en W.Observacin 2. La imagen de T es simplemente el conjunto de imajenes de los vectores en V bajo la transformacin T. De hecho, si w = Tv, se dice que w es la imagen de v bajo T.Antes de dar ejemplos de ncleos e imgenes , se demostrar un teorema de gran utilidad.Teorema 4Si T:V W es una transformacin lineal, entoncesi.Un T es un subespacio de V.ii.Im T es un subespacio de W.Demostracioni.Sean u y v en un T; Entonces T(u + v) = Tu + Tv =0 + 0 =0 y T( ) = = 0 = 0 de forma que u + v yu estn en un T.ii. Sean w y x en Im T. Entonces w = Tu y x = Tv para dos vestores u y v en V. Esto significa que T(u + v)= Tu + Tv = w + x y T(u) =Tu =w. Por lo tanto, w + x yw estn en Im T.Ejemplo 3. Ncleo e imagen de la transformacin ceroSea Tv = 0 para todo v V(T es la transformacin cero).Entonces un T = v e Im T = {0}.Ejemplo 4 Ncleo e imagen de la transformacin identidadSea Tv = v para v V(T es la transformacin identidad).Entonces un T= {0} e Im T = V.Las transformaciones cero e identidad proporcionan dos extremos. En la primera todo se encuentra en el ncleo. En la segunda slo el vector cero se encuentra en el ncleo. Los casos intermedios son ms interesantes.Ejemplo 5 Ncleo e imagen de un operador de proyeccinSea T:R3R3definida por

T es el operador de proyeccin de R3en el plano xy.

ntonces x = y = 0. As, nu T = {(x,y,z):x = y = 0, zR}, es decir, el eje z, e Im T = {(x,y,z): z = 0}, es decir el plano xy. Observe que dim un T = 1 y dim Im T = 2.

Definicin 2 Nulidad y rango de una transformacin linealSi T es una transformacin lineal de v en w, entonces se define.

Toda matriz A de m*n da lugar a una transformacin lineal T:RRdefinida por Tx = Ax. Es evidente que un T = NA, Im T = Im A = CA, v(T) = v(A) y p(T) = p(A). Entonces se ve que las definiciones de ncleo, imagen, nulidad y rango de una transformacin lineal son extensiones del espacio nulo, la imagen, la nulidad y el rango de una matriz.5.3 La matriz de una transformacin lineal.

Si A es una matriz de m*n y T: Rn-Rmest definida por Tx = Ax, entonces, T es una transformacin lineal. Ahora se ver que para toda transformacin lineal de Rnen Rmexiste una matriz A de m*n tal que Tx = Ax para todo xRn. Este hecho es de gran utilidad. Si Tx = Ax. Entonces un T = NAe Im T = RA. ms aun, v(T) = dim un T = v(A) y p(T) = dim Im T = p(A). As se puede determinar el ncleo, la imagen, la nulidad y el rango de una transformacin lineal de Rn-Rmdeterminando el espacio nulo y la imagen de la matriz correspondiente. Adicionalmente, una vez que se sabe que Tx = Ax. Se puede evaluar Tx para cualquier x en Rnmediante una simple multiplicacin de matrices.Pero esto no es todo. Como se ver, cualquier transformacin lineal entre espacios vectoriales de dimensin finita se puede representar mediante una matriz.Teorema 1Sea T:Rn-Rmuna transformacin lineal. Existe entonces una matriz nica de m*n, ATtal que5.3 La matriz de una transformacin lineal.

Si A es una matriz de m*n y T: Rn-Rmest definida por Tx = Ax, entonces, T es una transformacin lineal. Ahora se ver que para toda transformacin lineal de Rnen Rmexiste una matriz A de m*n tal que Tx = Ax para todo xRn. Este hecho es de gran utilidad. Si Tx = Ax. Entonces un T = NAe Im T = RA. ms aun, v(T) = dim un T = v(A) y p(T) = dim Im T = p(A). As se puede determinar el ncleo, la imagen, la nulidad y el rango de una transformacin lineal de Rn-Rmdeterminando el espacio nulo y la imagen de la matriz correspondiente. Adicionalmente, una vez que se sabe que Tx = Ax. Se puede evaluar Tx para cualquier x en Rnmediante una simple multiplicacin de matrices.Pero esto no es todo. Como se ver, cualquier transformacin lineal entre espacios vectoriales de dimensin finita se puede representar mediante una matriz.Teorema 1Sea T:Rn-Rmuna transformacin lineal. Existe entonces una matriz nica de m*n, ATtal que

DemostracinSea w1= Te1,w2= Te2,.,wn= Ten. Sea ATla matriz cuyas columnas son w1, w2,., wny hagamos que ATdenote tambin ala transformacin de Rn-Rm, que multiplica un vector en Rnpor AT. si

Entonces

De esta forma, ATei= wipara i = 1,2,.n., T y la transformacin ATson las mismas porque coinciden en los vectores bsicos.

Ahora se puede demostrar que ATes nica. Suponga que Tx = ATx y que Tx = BTx para todo xRn. Entonces ATx = BTx, o estableciendo CT= AT BT, se tiene que CTx = 0 para todo x Rn. En particular, CTeies la columna i de CT. As, cada una de las n columnas de CTes el m-vector cero, la matriz cero de m*n. Esto muestra que AT= BTy el teorema queda demostrado.

Definicin 1 Matriz de transformacinLa matriz ATen el teorema 1 se denomina matriz de transformacin correspondiente a T o representacin matricial de T.

NOTA. La matriz de transformacin ATest definida usando las bases estndar tanto en Rncomo en R3. Si se utilizan otras bases, se obtendr una matriz de transformacin diferente.

TEOREMA 2 sea ATla matriz de transformacin correspondiente a laa transformacin lineal T. entonces.i.Im T = Im A = CATii.P(T) = p(AT)iii.Un T = NATiv.v(T) = v(ATEjemplo 1 Representacin matricial de una transformacin de proyeccinEncuentre la matriz de transformacin ATcorrespondiente ala proyeccin de un vector en R3sobre el plano xy.

5.4 Aplicacin de las transformaciones lineales.