UNI DAD 7

ESPACIO TRIDIMENSIONAL: LA RECTA

Objetivos

Geometría analítica

299

Introducción

CP(x, y, z

7.1. Definición de recta

x x2, x

líneas rectas

Definición de recta. Para cada par de ternas Po, A 3, donde A es un vector distinto de cero, el segmento l que pasa por Po y es generado por el vector A se puede definir como el conjunto de puntos expresados por:

Ejemplo 1

P (xo, yo zo lA = (a, b, c

Solución A

P (xo, y

o, z

oA = (a, b, c

300

P = (x, y, z

P P2

P P2

P(x y z

PP PP t

t

Ejemplo 2

P P

P t

Geometría analítica

301

Solución P P

d

d

P P

xx x

yy y

zz z

P

P P t

P

7.2. Ecuaciones de la recta

l

Ecuación vectorial de una recta. l l P(x, y, z P (x y z A = (a, b, c

vector dirección

302

A ecuación vectorial de la recta

ecuación vectorial de la recta que pasa por dos puntos P P2 P P2 P2 P

(A

P P P P

P P

conjunto de puntos

P P2

Ejemplo 3

P0 A

P P2

Solución A P(x, y, z

P P P P P(x, y, z

Ecuación paramétrica de una recta lA

Geometría analítica

303

x, y, zl

paramétricas

Ejemplo 4

P A P A

Solución A

representa el conjunto de puntos.

representación vectorial.

P = (x, y, z, representación paramétrica

representa el conjunto de puntos.

representación vectorial.

, representación paramétrica.

304

Ejemplo 5

P

Solución P(x, y, z

P

P

P

Ecuación simétrica de una recta P(x, y, z P (xo, yo zo A=(a, b, ca b, c

ecuación vectorialecuaciones paramétricas

Geometría analítica

305

forma simétrica de la recta.

xo, y

o, z

oa, b, c

Ejemplo 6

Solución

306

Ejemplo 7

0

Solución

z

x

y

Ejemplo 8

Solución: y

P

Geometría analítica

307

x P

AA

P

A

Ecuación cartesiana de una recta

a(y y0

ecuaciones cartesianas de una recta

Ejemplo 9

Po

A

Solución

A P

308

P0

A

Ejercicio 1

v

z

7.3. Distancia de una recta a un punto

Geometría analítica

309

lA

B P0 P1

l B A.

d

distancia de una recta a un punto

Ejemplo 10

PP A

Solución P P B

A d

d

310

d

menor distancia entre dos rectas

A B S T

STl l2 A l P

B P CP0

l1

d

l2

0

C

0

Geometría analítica

311

A B0

l l2

V A

distancia entre dos rectas d

Ejemplo 11

Solución l A P l2

B P C P P C

d

C

A

312

d

d

7.4. Rectas paralelas y perpendiculares

Definición de rectas paralelas . Considerando dos rectas:

A y B ,

se dice que l1 es paralela a l2 si los vectores A y B, que definen la dirección de las rectas, son paralelos entre ellos.

Análogamente, dos rectas l1 y l2 son perpendiculares si sus vectores de dirección A y B lo son.

Geometría analítica

313

Ejemplo 12

Solución

Definición de ángulo entre dos rectas

Ángulo entre dos rectas es el ángulo entre los vectores a los que cada una de ellas es paralela, esto es, si:

A y B

Entonces, el ángulo entre l1 y l2 es el ángulo formado entre los vectores A y B, que definen la dirección de las rectas, esto es:

Ejemplo 13

l l2

l = { }

l2 = {P P }

Solución l l2 A B

314

l l2

A B

punto de intersección

x, y, z

x, y, z

x, y, z

Geometría analítica

315

Ejemplo 14

P(x, y, z

Solución

x

yz

x

y z

P

316

Ejercicio 2

X

Ejercicios resueltos

Solución

l

Geometría analítica

317

=

NOTA en este problema es factible darse cuenta que las ecuaciones cartesianas pueden obtenerse así:

P1(a1, a2, a3 , P2(b1, b2, b3)

x y y z = 0

P0

AB

Solución P0

2 2 2

318

C BC

C B x, y, zC

l

Solución

ll

A B

= 90

Q

Solución

l Q d P0 A2i + 2j +2k

Geometría analítica

319

P0

dd

BB

320

d d

B

A × B

A

d

Determinar si la recta que pasa por los puntos (–1, 3, –2), (3, –1, –2) y la recta que pasa por ( –1, –1, –1), (0, 0, 0) se intersectan y, de ser así, cuál es su punto de intersección.

Solución P P P P

P(x, y, z

Geometría analítica

321

x = y x x x x

y y =

l l

l l

Solución l l2

AB

l2

d

322

A B =A

A

d

l l4

l l4

A

d

Geometría analítica

323

l

Solución

l

l

A B

Solución

A B

v

t

324

Solución

l v

l2 u

2

Solución

Geometría analítica

325

Solución 3

v

a

c

v

326

t Qs s s ?

s t

Solución

P Q

Q = P

t

t t t

t

t

s = Q

t

Geometría analítica

327

P = Q

t s

t s

s t

Solución

M z

x x x x x x

x x x

y

y yy y y y

y

z

328

z

M

P = Q.

)

Solución

d

d

NOTA si una de las rectas ha sido orientada opuestamente, entonces

sería

P P2

P P4

P P

Solución

d

d

Geometría analítica

329

P1 P2

P PP1 P2

P5 P6

330

Autoevaluación

v i + j+2k

P u

P

Geometría analítica

331

.

l

lll l

332

P

Ejercicios opcionales

M

M1

M2

A , B C , C

u

a

i j k

Geometría analítica

333

Respuestas a los ejercicios

Respuestas a la autoevaluación

2

1