1

UNA CONCEPTUALIZACIÓN DE LÍMITE PARA EL APRENDIZAJE INICIAL DEANÁLISIS MATEMÁTICO EN LA UNIVERSIDAD

Blázquez, S., Gatica, S. N., Ortega, T., Benegas, J. (2006): Una conceptualización delímite para el aprendizaje inicial de análisis matemático en la universidad. RELIME. Vol9. Nº2, 189-210. ISSN: 1665-2436. México DF.

RESUMEN

En el presente trabajo se contrasta la conceptualización métrica de límite, dada porWeierstrass, que es la que se utiliza tradicionalmente en la docencia, con laconceptualización como aproximación óptima, dada por Bláquez y Ortega (2002), paraestablecer cuál de las dos es más sencilla y más apropiada para la docencia-aprendizajeinicial del concepto. Se describe el análisis realizado sobre los datos proporcionados pordos trabajos de exploración y, finalmente, se enuncian las conclusiones del mismo,corroborando que la segunda conceptualización es más sencilla que la primera y, portanto, la más apropiada para los aprendizajes iniciales1.

PALABRAS CLAVELímite, conceptualización, métrica, aproximación, óptima, proceso, docencia,aprendizaje, representación

ABSTRACT

In this paper we contrast the metric conceptualization of limit, given by Weierstrass,which is the one commonly used in teaching, with the conceptualization as optimumapproximation, given by Blázquez and Ortega (2002), in order to establish which one issimpler and more appropriate in the initial process of teaching-learning of the concept.By describing the analysis carried out on the data given by two exploration works, wecome to the conclusion that the second conceptualization is simpler than the first oneand, consequently, this is the more appropiate for initial teachings.

KEY WORDSLimit, conceptualization, metric, approximation, optimum, process, teaching, learning,representation

1 Parte de la presente investigación está sufragada por una “Beca del Banco Río para Proyectos deInvestigación Científica para el Perfeccionamiento Docente” concedida al Proyecto “Enseñanza deConceptos de Análisis Matemático en Cursos de Ingeniería” (Argentina).

2

INTRODUCCIÓN

Este trabajo de investigación forma parte de un proyecto mucho más amplio y dacontinuidad a los trabajos de investigación de Blázquez y Ortega (1997, 1999, 2000,2001a, 2001b y 2002), especialmente a este último, donde se establece una nuevaconceptualización de límite funcional (definición que surge en el proceso de formacióndel concepto) basada en la idea de aproximación óptima, que no requiere delformalismo presente en la conceptualización métrica de Weierstrass. Ni en estostrabajos, ni por supuesto en los que sirvieron de punto de partida a las investigacionesde Blázquez y Ortega (Tall y Vinner, 1981; Cornu, 1983; Robinet, 1983; Sierpinska,1985 y 1987; Sánchez, 1997; entre otros) tratan de esclarecer cuál de estas dosconceptualizaciones es la más sencilla y, en consecuencia, cuál es la que puede ser másadecuada para que se utilice en los currículos de Educación Secundaria y en el primercurso de las carreras de ingeniería o similares.

Así pues, el objetivo fundamental de esta investigación es conocer si laconceptualización métrica de límite funcional es más fácil o más difícil que laconceptualización de límite funcional como aproximación óptima. Se sigue unametodología cualitativa y, teniendo en cuenta los antecedentes de Blázquez y Ortega, yel trabajo experimental que se está desarrollando con alumnos de Ingeniería, se hicierondos exploraciones de aula con este objetivo: La primera se llevó a cabo en laUniversidad Nacional de San Luis (Argentina) con alumnos de la Facultad de Ingenieríade Villa Mercedes, y la segunda se llevó a cabo en la Universidad de Valladolid(España) con los alumnos del Curso de Aptitud Pedagógica (CAP). Estos alumnos sonegresados de las licenciaturas de matemáticas, físicas, ingenierías, estadística yeconómicas-empresariales (todas ellas son carreras universitarias de cinco años), hanrecibido una amplia formación matemática y, por tanto, sus respuestas deben tener unrango de validez destacado. En la primera se trabajó sobre las propiasconceptualizaciones y, en la segunda, se confrontaron ambas mediante lascorrespondientes demostraciones que surgen al aplicarlas para establecer el teorema delsigno y el teorema de unicidad del límite.

Los documentos producidos en una y otra experimentación se analizan en el marcoteórico de Duval que considera el concepto de sistema semiótico como un sistema derepresentación, el cual puede ser un registro de representación si permite tresactividades cognitivas:

o La presencia de una representación identificable como una representación deun registro dado.

o El tratamiento de una representación que es la transformación de larepresentación dentro del mismo registro donde ha sido formada.

o La conversión de una representación que es la transformación de larepresentación en otra representación de otro registro en la que se conserva la

3

totalidad o parte del significado de la representación inicial. Esta actividadcognitiva es diferente e independiente a la del tratamiento.

Según Duval (1998, 15-21), para la comprensión de un concepto es necesario lacoordinación de los diferentes registros de representación, ya que con la representaciónen un solo registro (mono-registro) no se obtiene la comprensión integral del concepto.Sin embargo, la conversión entre registros no se realiza en forma espontánea, a menosque se trate de representaciones congruentes entre el registro de partida y el de llegada.En esta teoría se considera que la comprensión integral de un concepto está basada en lacoordinación de al menos dos registros de representación, y esta coordinación se ponede manifiesto por medio del uso rápido y la espontaneidad de la conversión cognitiva,logrando articulaciones entre diferentes registros de representación semiótica. Enpalabras del propio Duval:

En los sujetos, una representación puede funcionar verdaderamente comorepresentación, es decir, darle acceso al objeto representado, sólo cuando se cumplendos condiciones: que dispongan de al menos dos sistemas semióticos diferentes paraproducir la epresentación de un objeto, de una representación,de un proceso... y quepueden convertir “espontanemente” de un sistema semiótico a otro lasrepresentaciones producidas, sin siquiera notarlo.

Nosotros nos fijaremos en la espontaneidad y dejaremos tiempo para que los alumnospiensen las respuestas; así aparece reflejado en las entrevistas grabadas, donde ciertasintervenciones hacen referencia a períodos de pensamiento de los alumnos.

De acuerdo con este marco teórico, el principal objetivo de la entrevista fue averiguarhasta que punto los alumnos entienden ambas conceptualizaciones y para ello tenían queexplicar sus interpretaciones en el paso al registro gráfico. Aunque estamos hablando dedos definiciones, entre ambas aparece una correspondencia asociativa entre las unidadessignificantes elementales que las constituyen, que se establecerá después y que a tenorde la evolución del concepto no debe de ser obvia. Nosotros pensamos que lasdificultades de aprendizaje que presentan estas unidades para los alumnos pueden serindicadores de la dificultad de cada definición.

LA CONCEPTUALIZACIÓN

Sin entrar en detalles, y siguiendo las investigaciones de Cornu (1983) y Robinet(1983), una revisión histórica del concepto de límite nos permite considerar tres etapas,que se diferencian básicamente por la concepción de límite que subyace en ellas. Enesta evolución del concepto se aprecia la necesidad de explicitar y formalizar la noción,que se utiliza de forma implícita desde la época griega, y que no llega a su forma actualhasta el siglo XIX, en parte para validar algunos resultados obtenidos y en parte parademostrar otros más generales.

4

Etapa 1: Hasta los métodos infinitesimales

En esta etapa no es posible hablar de límite de funciones, pero sí aparece el conceptoimplícito en algunos métodos utilizados, básicamente, para resolver problemascinemáticos, problemas de tangentes, determinación de extremos y cálculo decuadraturas. Sin pretender mencionar a todos los autores, destacamos las siguientesaportaciones: el método de exhausción de Eudoxo de Cnido (360 a. C.); las cuadraturasde Arquímedes (S III a. C.); el estudio de las series numéricas Nicole de Oresme,alrededor de 1360; los métodos para el cálculo de tangentes de extremos de Fermat(1601-1665); el método de las tangentes de Barrow (1630-1677); el método de losinfinitésimos de Kepler (1571-1630); finalmente, con el método de los indivisibles deCavalieri (1598-1647) se puede dar por terminado este período.

Etapa 2: La supremacía del cálculo

Este período comienza en la segunda mitad del siglo XVII y se extiende al siglo XVIII.Los matemáticos de esta época se esfuerzan en el tratamiento de procesos infinitos, ysiguiendo el nuevo cálculo creado por Newton (1642-1727) y Leibniz (1646-1716),consiguen separar este cálculo de la geometría, aunque no acertaran a separar losmétodos analíticos de los algebraicos. De las aportaciones de esta etapa que tienen quever con el concepto de límite destacan los descubrimientos de Newton (1712) sobreseries infinitas, fluxiones y diferencias, los trabajos de Leibniz sobre el cálculodiferencial y series infinitas. Según Boyer (1999, 500-501), en la Sección I del Libro Idel tratado Philosophiae naturalis principia mathematica, Newton intenta definir ellímite de una función y postula estos dos lemas:

Lema I: Cantidades, y la razón de cantidades, que en cualquier intervalo finito de

tiempo convergen continuamente a la igualdad, y que antes del final de dicho tiempo se

aproximan una a la otra más que cualquier diferencia dada, se hacen finalmente

iguales.

Lema VII: La razón última del arco, cuerda y tangente, cualquiera de ellos respecto de

cualquier otro, es la razón de igualdad.

Jaques Bernoulli (1654-1705) y Jean Bernoulli (1667-1748) continuaron la obra deLeibniz, y Jean descubrió la regla de L’Hospital y la serie de Taylor, publicada porBrook Taylor en 1715. Leonhard Euler (1707-1883) integró el cálculo diferencial deLeibniz y la teoría de las fluxiones dando lugar al “análisis” como área de la matemáticaque estudia los procesos infinitos. Basa su obra en el concepto de función y, segúnBoyer (1999, 558), siguiendo la formulación de Leibniz, define función como:Cualquier expresión analítica, finita o infinita, formada con la cantidad variable ynúmeros o cantidades constantes.

Sin duda fue el desarrollo del nuevo cálculo lo que propicio que D’Alembert (1717-1783), oponiéndose a Leibniz y Euler, pensara que la notación de las diferenciales tenía

5

que ser sustentada por algo con mayor fundamentación que el desvanecimiento decantidades. D’Alembert interpreta las razones primeras y últimas de Newton comolímites y, según Boyer (1999, 567), postula que:

Una cantidad es el límite de otra cantidad variable, si la segunda puede aproximarse a

la primera hasta diferir de ella en menos que cualquier cantidad dada (sin llegar nunca

a coincidir con ella).

Etapa 3: Aritmetización del análisis

En esta época, buscando una fundamentación, se intenta reconstruir el análisis sobre labase de conceptos aritméticos, surgen nuevos problemas en la propia matemática y en lafísica y, en Francia, la enseñanza de las matemáticas pasa a ser obligatoria en la EscuelaNormal Superior y en la Politécnica. Los matemáticos se ven obligados a enseñar y, portanto, a escribir manuales de matemáticas que tengan unas bases rigurosas.

Hay que esperar hasta el Cours d’analyse de l’École Polytechnique de Augustine LouisCauchy (1821, 4) para que surja una nueva definición que, aunque es totalmentesubjetiva, supone un avance respecto de la dada por D’Alembert. Es ésta:

Cuando los sucesivos valores que toma una variable se aproximan indefinidamente a

un valor fijo, de manera que terminan por diferir de él en tan poco como queramos,

este último valor se llama el límite de todos los demás.

Según C. Boyer, Heine en 1872 escribe una nueva definición atribuida a KarlWeierstrass (1815-1897) que elimina el subjetivismo de la definición de Cauchy:

Si, dado cualquier ε, existe un ηο, tal que para 0<η<ηο, la diferencia f(xo±η)-L es

menor en valor absoluto que ε, entonces se dice que L es el límite de f(x) para x=xo

(Boyer, 1999, 696).

En el siglo pasado se ha sustituido la η de Weierstrass por δ y en la actualidad es lanotación que se suele considerar en todos los manuales de Análisis Matemático, aunquedesde un análisis didáctico se descubren variaciones bastante notorias (sobre las queestamos trabajando en la actualidad). La siguiente definición está tomada de MichaelSpivak (1981, 110):

“La función f tiende hacia el límite l en a significa: para todo ε>0 existe algún δ>0 tal

que, para todo x, si δaxo <−< , entonces ε.lf(x) <−

Otra variante de esta misma consiste en escribir la primera desigualdad como un

entorno reducido de radio δ centrado en a y la segunda como un entorno de radio

ε centrado en l, y definiciones parecidas a ésta, que no iguales, pueden verse en otrosautores, como por ejemplo: Apostol, T. (1989); Courant R. y Robbins H. (1964); GarcíaA. y otros (1993); Larson R., Hostetler R. y Edwards B. (1998); Linés E. (1983); RudinW. (1980); Thomas G., Finney R. (1998). Sin embargo, ninguno postula una definición

6

igual que se describe a continuación y, como es lógico, no se utiliza nada similar paraestablecer las propiedades de los límites. Aquí, en el anexo II, se muestran un par deejemplos de aplicación, pero, siguiendo este modelo, no creemos que los posesorespuedan tener dificultades para probar todas las propiedades que suelen establecerse en elprimer curso de análisis matemático de la mayor parte de las titulaciones universitarias.

Se puede hablar de un cuarta etapa que tiene lugar en el siglo XX y que se caracterizapor la generalización a otros espacios matemáticos, lo que permitiría afirmar que laconcepción de límite en esta etapa es topológica y, como es lógico, en estos espacios laformulación es diferente de uno a otro.

La evolución del concepto y las variaciones que se han ido produciendo conforme haido avanzando la matemática ponen de manifiesto lo difícil que ha resultado talconceptualización. Ahora bien, todas estas conceptualizaciones surgen desde la propiamatemática, no desde la didáctica, todas están orientadas hacia el rigor matemático, ycon el avance de la matemática el formalismo sintáctico se ha incrementado, pero notienen en cuenta los aprendizajes de los alumnos. La conceptualización con la quetrabajamos nosotros surge desde la Didáctica de la Matemática y enlaza con laconcepciones de D’Alembert y Cauchy, aportando rigor a la primera y eliminando elsubjetivismo de la segunda. Por otra parte, sí que debe quedar bien claro que en ningúncaso tratamos de deslegitimar a ninguna otra, simplemente hacemos un análisis sobrelos aprendizajes de los alumnos utilizando la definición métrica de Weierstrass y la quedieron Blázquez y Ortega (2002) y que referimos brevemente a continuación.

El punto de partida está en las ideas básicas de aproximación y de tendencia que sepueden esbozar numéricamente como sigue: 1, 1.1, 1.11, 1.111, ... es una sucesión quese aproxima a 100, pero es evidente que no tiende a 100. Sin embargo, la mismasucesión se aproxima a 10/9 y tiende a 10/9. La diferencia estriba en que, en el primercaso, fijada una aproximación de 100, 2 por ejemplo, ésta no se mejora por los términosde la sucesión; sin embargo, en el segundo caso, fijada una aproximación arbitraria de10/9, distinta de 10/9, es posible encontrar un término de la sucesión, tal que a partir deél todos los que le siguen están más próximos a 10/9 que la aproximación fijada.

Esta reflexión nos permite definir los límites secuencial y funcional evitando tanto elformalismo, pero no el rigor, como el subjetivismo de Cauchy y el impersonalismo deHeine (se dice) estos últimos aún presentes en manuales actuales. Las definiciones delímite secuencial y límite funcional que proponen Blázquez y Ortega son éstas:

L es el límite de una sucesión si para cualquier aproximación K de L,,LK ≠ existe un término de la sucesión tal que todos los que siguen a éste están

más próximos a L que K.

El límite de la función f en x=a es L si para cualquier aproximación K de L,,LK ≠ existe una aproximación H de a, ,aH ≠ tal que las imágenes de todos los

puntos que están más cerca de a que H están más próximas a L que K.

7

Esto equivale a decir que:

El límite de la función f en x=a es L si para cualquier aproximación K de L,,LK ≠ existe un entorno reducido de a, tal que las imágenes de todos sus puntos

están más próximas a L que K.

Utilizando la significación de tendencias establecida antes: El límite de la función f enx=a es L si cuando x tiende a a, sus imágenes f(x) tiende a L.

Figura 1

Esto se refleja de forma directa en el gráfico de la izquierda, mientras que el gráfico dela derecha representa a las dos primeras acepciones: cualquier aproximación a L(distinta de L) determina una banda horizontal que contiene a L y cualquieraproximación a a (distinta de a) define otra banda vertical que contiene a a yrecíprocamente. Por tanto, fijada una banda horizontal que contiene a L, existe unabanda horizontal que contiene a a tal, que la gráfica de la función tiene que atravesar elrectángulo ADCB exclusivamente por los segmentos AB y CD. Es evidente que estárepresentación no está ligada al grafo de la función y que éste se puede dibujar despuéso no.

Sin renunciar a trabajar con la definición métrica de Weierstras, que dependerá del tipode formación matemática que se persiga, en Blázquez (1999) se indica la convenienciade hacerlo después de que los alumnos hayan asimilado la conceptualización comoaproximación óptima. Desde otra perspectiva, si ambas definiciones hacen referencia almismo concepto, son representaciones de él, ambas tienen que ser equivalentes y dehecho lo son, como muestra la correspondencia asociativa entre las unidadessignificantes elementales que las constituyen:

Asociación de las unidades significantes elementales

Definición métrica Definición como aproximación óptima

Para todo ε>ο Para toda aproximación ,LK ≠

Existe un δ>0 Existe una aproximación ,aH ≠

Los x tales que δaxo <−< Los x que mejoran la aproximación H de a.

ε.lf(x) <− Las imágenes f(x) mejoran la aproximación K de l.

PRIMER ANÁLISIS

8

Una vez que se han examinado los documentos producidos por los alumnos deIngeniería durante el curso 2003, en el marco metodológico de la investigación acción(Elliot, 1997, Kemmis y McTaggart, 1988). Las respuestas que emitieron los alumnos alas tareas de traducción entre ambas definiciones, ya en el segundo ciclo, fueronbastante precarias y no eran excesivamente concordantes con otras que habían dadoantes sobre: aproximaciones, cotas de error, y caracterizaciones de intervalosdeterminados por aproximaciones y por desigualdades de valores absolutos. Por estarazón el equipo investigador creyó conveniente realizar unas entrevistas para que losalumnos explicitaran sus dificultades. En concreto, al finalizar el curso, se realizarontres entrevistas semiestructuradas a tres parejas de alumnos de Análisis Matemático I,de Ingeniería en Alimentos; las tres versaron sobre los siguientes contenidos: “Ideaintuitiva de límite funcional”, “concepto de aproximación y mejorar la aproximación”,“tendencia de una variable”, “definición de límite como aproximación óptima” y“definición métrica de límite”. Las tres se grabaron en audio y se transcribieron, pararealizar el análisis correspondiente.

Las entrevistas fueron realizadas por la Profesora responsable del curso, que también esInvestigadora, ya que sólo ella es la que cumple los requisitos enunciados por Blázquez,Ibañes y Ortega (2004) sobre la investigación en curso y, de ellos, destacamos lossiguientes:

o Es especialista en los contenidos matemáticos y sabe como se han desarrolladolos conceptos en el aula.

o Ha analizado las producciones de los alumnos sobre los que se ha hecho elanálisis y las correspondientes reflexiones.

o Conoce las hipótesis de trabajo de la investigación y el estado de la misma.

o Conoce las actitudes los alumnos, su comportamiento en el aula, la facilidad depalabra, etc.

o Sabe cuáles son las apreciaciones controvertidas de los alumnos que van a serentrevistados sobre los contenidos que son objeto de la investigación.

La elección de las tres parejas participantes se realizó después de analizar las respuestasdadas por los estudiantes en cuestionarios anteriores y, de ellas, la más interesante es laque se realizó a Gutavo y Jéssica. En esta entrevista se mantuvieron dos planteamientosdiferentes: por una parte, se trató de indagar las ideas que tenían los alumnos sobre cadauno de los contenidos anteriores, sus dificultades y preferencias, y, por otra, laProfesora-Investigadora intentó cerciorarse de que los alumnos llegaban a entender cadauno de los citados contenidos. La entrevista de cada una de las partes termina cuando laprofesora investigadora tiene la seguridad de que los entrevistados llegan a expresar elconcepto correspondiente (de hecho se produce un aprendizaje social). Las tresentrevistas fueron revisadas por el director de la investigación y el análisis se hizoconjuntamente.

9

La entrevista completa consta de 315 intervenciones y éstas se distribuyen de lasiguiente forma:

o Para la idea intuitiva de límite, 14: 7 de la profesora y 7 de los alumnos

o Para el concepto de aproximación y mejorar la aproximación, 15: 6 de laprofesora y 7 de los alumnos.

o Para el de tendencia de una variable, 12: 6 de la profesora y 6 de los alumnos.

o Para la definición de límite como aproximación óptima, 29: 14 de la profesora y15 de los alumnos.

o Para la definición métrica, 246: 122 de la profesora y 124 de los alumnos.

Por razones obvias, aquí sólo se reproducen unas cuantas intervenciones de la entrevistay de ella se desprenden las siguientes reflexiones: La primera indicación acerca de lamayor o menor dificultad que pueden presentar para los alumnos ambasconceptualizaciones viene dada por el número de intervenciones que se producen en laentrevista hasta que los entrevistados llegan a expresar la correspondienteconceptualización, ya que es un reflejo del esfuerzo que necesitan para el aprendizaje.Con este criterio, de los cinco tópicos tratados en la entrevista, el más sencillo es el detendencia de una variable; a éste le siguen el de idea intuitiva de límite, y el de“aproximación y mejorar la aproximación” y, finalmente, los más difíciles son la“definición de límite como aproximación óptima” y la “definición métrica”. Esteúltimo, resulta especialmente complicado para ellos, ya que, con este indicador, requiereentre tres y cuatro veces el número de intervenciones de todos los tópicos anterioresjuntos.

En el caso de la conceptualización como aproximación óptima, en las entrevistas sepercibió que estos alumnos tienen serias dificultades para interpretar “mejorar cualquieraproximación distinta del propio límite” y, en principio, consideran que “es suficienteque se aproxime”, pero en comparación con las que se descubren en laconceptualización métrica son insignificantes. En ésta destacan las asociadas alformalismo de la escritura, las de interpretación del simbolismo algebraico asociado a lafunción valor absoluto y a las desigualdades (descritas en las secuencias de la entrevistaque se reproducen), las de la implicación de pertenencia o inclusión, la confusión de lospapeles de δ y ε, y, finalmente, creemos que las de dependencia de ε respecto de δ, enmayor grado, y respecto del punto y de la función, en menor, también sonconsiderables, aunque aquí no están tratadas.

A lo largo de la entrevista afloraron las dificultades asociadas a la semántica del estatusconceptual y a los procesos de pensamiento matemático que según Socas (1997, 127-133) “…se ponen de manifiesto en la naturaleza lógica de las matemáticas y en lasrupturas que se dan necesariamente en relación con los modos de pensamientomatemático”. En primer lugar, si ya es conflictiva la interpretación de la función valor

10

absoluto, que lo es y presenta dificultades semánticas del estatus conceptual, al asociarlacon las desigualdades implícitas en la conceptualización la dificultad resulta aún mayory se producen las rupturas que se han detectado en las entrevistas; en segundo lugar, latraducción de estas desigualdades simbólicas a los intervalos asociados y lacorrespondiente expresión verbal son dificultades añadidas, y se vuelven a producirnuevas rupturas en los modos de pensamiento matemático, como pone de manifiesto lasiguiente secuencia de la entrevista, que se reproduce a continuación en torno a ladesigualdad ε<− L)x(f , y que transcurre considerando el soporte gráfico como la

representación que coordina las traducciones entre los sistemas simbólico, verbal ygráfico:

81. J.- Bueno, épsilon sería… tendremos un épsilon acá y un épsilon acá. Esto esépsilon más, menos L y épsilon más L.

Y continúa con las siguientes intervenciones, que no son las últimas al respecto:

117. G.- Para mí, el épsilon está de L hasta el punto que yo tomo del entorno, o sea,éste sería el épsilon…

118. P.- Bien, (Comentario: Gustavo marca bien el épsilon) ¿Te das cuenta Jéssica?

119. J.- Sí.

120. P.- Épsilon es la distancia que va de acá hasta acá y que es la misma que va deacá hasta acá. Entonces, si a este L le sumas épsilon te queda L más épsilon…

121. J.- Sí.

122. P.- ¿Y éste de acá?

123. J.- Épsilon menos L.

124. P.- ¿Épsilon menos L?

125. J.- No, más, porque si esto es épsilon…

126. P.- Esto es épsilon, ¿no?, Gustavo dijo que esto es épsilon, que es lo mismo queesto que está acá, bueno, si a este punto, L, le sumo épsilon obtengo este otro. (Yseñala).

127. J.- ¡Bien! Y a L le resto épsilon.

128. P.- ¡Ajá! Si a L le resto épsilon, ¿qué punto es éste?

129. J.- Épsilon, épsilon menos L.

130. P.- L menos épsilon, ¿está bien? Al revés, L menos épsilon.

11

131. J.- ¡Claro! Esto es épsilon más L2…

132. P.- Esto es L más épsilon y esto es L menos épsilon, ¿te das cuenta de ladiferencia?

133. J.- Sí.

Sin embargo, esta dificultad es más un obstáculo que otra cosa y persiste, como pone demanifiesto la siguiente intervención que se produce mucho después:

277. J.- También delta menos a3.

En el caso de δ<−< ax0 hay que añadir la dificultad que supone la interpretación de

entorno reducido, que no es tan simple como nos puede parecer, a tenor de lareincidencia de Jéssica en sus intervenciones.

La entrevista se centra ahora en el entorno reducido. Jéssica afirma que la notaciónanterior expresa dicho entorno, pero eso no basta, ya que para que realmente comprendasu significado debe saber el papel que juega cada elemento que está integrado en laexpresión.

142. P.- ¿El centro de qué?

143. J.- Del entorno.

144. P.- Muy bien, ¿de qué entorno?

145. J.- Reducido.

La Profesora – Investigadora quiere indagar si realmente Jéssica hace una interpretacióncorrecta de su significado o simplemente parafrasea a Gustavo. Efectivamente lassospechas acerca de las dificultades asociadas a este concepto se confirman con lasintervenciones que siguen a las anteriores, y que no tienen su desenlace hasta la 195.Transcribimos las últimas:

185. J.- Ahí voy a tener igual a cero.

186. P.- Entonces, ¿cuál es el caso en que valor absoluto de x menos a es cero?,¿cuándo qué?

187. J.- Cuando el valor de x sea mayor que a4.

188. P.- No, mayor no.

189. J.- Igual que a.

2 Considera ε-L y ε+L en lugar de L-ε y L+ε. Intercambia la aritmética entre Ly ε, νο λασ διστινγυε, porque no capta la su signifcación de la desigualda del valor absoluto y su errorpersiste.3 Sigue el mismo error de intercambio de la aritmética, en esta caso entre δ y a.4 Se evidencia que la interpretación de entorno reducido es una dificultad añadida al simbolismo

δ<−< ax0

12

190. P.- Igual que a, ¿está bien? Si yo pongo acá cero igual, la única posibilidad esque el x tiene que ser igual a a.

191. J.- Hum…, hum…

192. P.- Si yo ahora pongo 0 menor que valor absoluto de x menos a, ¿qué pasa?

193. J.- Cero menor que valor absoluto de x menos a ….

194. P.- Tengo que sacar este caso.

195. J.- Tengo que exceptuar, por eso, no tengo igual porque exceptúo este caso enque a sea igual a x.

Como ponen de relieve la secuencia de entrevistas anteriores, vistas las enormesdificultades holísticas detectadas en los procesos de pensamiento matemático que tienenlos alumnos sobre el formalismo de la definición métrica, que están asociados a lasunidades significantes del valor absoluto, la profesora investigadora optó por no trataren la entrevista la dependencia de δ respecto del punto, ni respecto de la función, nirespecto de ε, cuyos aprendizajes están siendo investigados en la actualidad. Sinembargo, hay que resaltar que esas dificultades no aparecen en la secuencia de laentrevista que corresponde a la definición de límite como aproximación óptima (que nose ha reproducido aquí por razones obvias), y los alumnos explican la significación delas unidades significante con cierta elocuencia.

SEGUNDO ANÁLISIS

En este segundo trabajo se pretendía conocer hasta que punto los alumnos del CAP erancapaces de aplicar sendas conceptualizaciones para demostrar dos teoremas sencillos: elteorema del signo y el teorema de unicidad (ANEXOS I y II). El cuestionario se pasóegresados de la Universidad de Valladolid, pensando que durante sus estudios en laUniversidad sólo habían utilizado la conceptualización métrica. Este supuesto fueconfirmado por las respuestas que ellos escribieron en el test, y por esa razón se dierondos ejemplos de aproximación, como hechos incuestionables, que podían aplicar: que 0es una aproximación de cualquier número, y que un punto interior a un segmento es unaaproximación de sus extremos.

Este pequeño test tuvo dos fases: en la primera, sin ninguna ayuda externa, los alumnostenían que demostrar el teorema del signo y el teorema de unicidad aplicando las dosconceptualizaciones, y, en la segunda, tenían que pronunciarse sobre la dificultad de lasrespectivas demostraciones, según que se aplicara una u otra conceptualización. Parapoder valorar la validez de las respuestas emitidas conviene describir la composición delaula y la dinámica de la prueba.

La especialidad de Matemáticas del CAP de la Universidad de Valladolid fue cursadapor 49 alumnos de varias licenciaturas. En concreto, estaban presentes estas

13

titulaciones: 12 alumnos eran licenciados en Matemáticas (11 hicieron el test), 22 enIngeniería (1 de ellos no respondió), 4 en Físicas, 8 en Estadística, 2 en Empresariales y1 en Económicas. Es sobradamente conocido que en España el CAP es un requisitonecesario para poder ingresar en el cuerpo de Profesores de Educación Secundaria y, lalicenciatura de Matemáticas puede ser la más adecuada para opositar, también puedenopositar con estas otras titulaciones. Por tanto, hay que contemplar a estos tituladoscomo posibles candidatos, ya que de lo contrario sería una visión sesgada porcontemplar solamente una parte de los posibles profesores de Educación Secundaria.

Para la primera fase se distribuyó el test (ANEXO I) y se les dio tiempo hasta que loterminaron (bien porque lo hicieron entero bien porque no sabían que hacer). Una vezque acabaron la primera fase, el profesor les escribió en la pizarra dos demostracionesde cada uno de los dos teoremas aplicando las dos conceptualizaciones y utilizando losregistros simbólico-algebraico gráfico y verbal (en el ANEXO II sólo se reproducen loscorrespondientes a la conceptualización como aproximación óptima, ya demostracionesderivadas de la definición métrica aparecen en cualquier manual). A continuación se lespidió que compararan en cada caso las dos pruebas y que escribieran cual les parecíamás sencilla y por qué.

De los 48 alumnos egresados presentes en el aula responden 47 y la tabla 1 muestra losresultados globales que se produjeron en las dos fases del test.

Teorema del signo Teorema de unicidad TotalesConceptualización

Bien Mal Pref. Bien Mal Pref. Bien Mal Pref.

Métrica 13 34 6 8 39 4 21 73 10

Aprox. Óptima 16 31 41 6 41 43 22 72 84

Totales 29 65 47 14 80 47 43 145 94

Tabla 1. Resultados globales del test

Lo primero que llama poderosamente nuestra atención es el porcentaje tan alto detitulados que no fueron capaces de aplicar las conceptualizaciones para hacer lasdemostraciones propuestas, sobre todo aplicando la definición métrica, por haber sidoésta la que debieron haber aprendido y utilizado en los estudios que cursaron en laUniversidad en todas las licenciaturas. Sólo el 27,66% hizo la demostración del primerteorema aplicando la conceptualización métrica, y sólo el 17,02% realizó la prueba delsegundo teorema aplicando la misma definición.

Los resultados positivos globales fueron ligeramente mejores aplicando la segundaconceptualización (22 resultados positivos frente a 21) aunque en el segundo teoremafueran peores. La cuestión clave es que estos alumnos no habían recibido ninguna

14

instrucción acerca de la segunda conceptualización, no la conocían y, por tanto, nunca lahabían aplicado para probar nada. La única referencia que tenían era la indicación sobreaproximaciones que figura en el propio test, y creemos que esta situación habla por sísola en favor de esta definición de forma incuestionable.

Respecto a las posiciones que mostraron los egresados sobre las posibles dificultadespara aplicar una u otra conceptualización en cada una de las demostraciones es claro quelos titulados piensan que son más sencillas las aplicaciones de la conceptualización deaproximación óptima, y esto por una mayoría del 87,23% para la demostración delprimer teorema y del 91,49% para la del segundo.

En la tabla 2 se han distribuido por titulaciones las respuestas positivas en las pruebasde ambos teoremas y las preferencias. Los mejores resultados aplicando laconceptualización métrica corresponden a los licenciados en Matemáticas, el 72,73% enambos teoremas, pero ya no sucede lo mismo al aplicar la definición comoaproximación óptima (el 54,55% y 18,18% en el primer y segundo teorema,respectivamente). Es evidente que en esta titulación se hace un estudio más formalistaque en el resto de titulaciones, en las que se invierten estos porcentajes. Los Licenciadosen Físicas al aplicar la definición como aproximación óptima en el primer teoremaalcanzaron el 75% y el 18,18% de los titulados en Ingeniería aplica bien la definicióncomo aproximación óptima para demostrar el segundo teorema, alcanzando el mismoporcentaje que los matemáticos.

Teorema 1 Teorema 2Titulados

en MétricaAprox

ÓptPref.

Metric.Pref.

Ap Ópt.Métrica

AproxÓpt

Pref.Metri

Pref.Ap Ópt.

Matemát 8 6 2 9 8 2 2 9

Ingeniería 2 5 2 19 0 4 2 19

Físicas 2 3 1 3 0 0 0 4

Estadística 1 2 0 8 0 0 0 8

Econ-Emp 0 0 1 2 0 0 0 3

Totales 13 16 6 41 8 6 4 43

Tabla 2. Resultados del test por titulaciones

En cuanto al criterio que tienen sobre la sencillez de aplicación, en todas las titulacionesconsideran que son más sencillas las demostraciones que se derivan de aplicar laconceptualización de aproximación óptima (87,23% frente al 12,76% para el primerteorema y 91,49% frente al 8,51% para el segundo)

15

Las declaraciones indicadas por los alumnos egresados sobre qué demostraciones eranmás sencillas tienen su fundamento en las justificaciones dadas por ellos mismos. Elanálisis de éstas nos va a esclarecer en qué se fijan los licenciados para afirmar que lasdemostraciones basadas en las aplicaciones de la conceptualización de límite comoaproximación óptima son más sencillas que las que se basan en la definición métrica ycuáles son las razones para afirmar lo contrario. A continuación describiremos estasconsideraciones en este orden:

Para 16 alumnos las demostraciones que se derivan de la conceptualización comoaproximación óptima son más sencillas porque carecen de formalismo o son menosformales. El 21,28% de los alumnos opina lo mismo pero lo atribuyen a que estasdemostraciones son más intuitivas o tienen más sentido común. Así por ejemplo,Yolanda, Licenciada en Matemáticas afirma:

- Siempre es más fácil la conceptualización como aproximación óptima porque no usaformalismos, sino más la intuición y el sentido común.

Un 25,53% consideran que son más sencillas porque se entienden mejor o porque sonmás claras o menos farragosas. Un 27,66% atribuye la mayor sencillez de estasdemostraciones porque, según ellos, los alumnos las entenderían mejor por ser másfáciles de comprender. Como ejemplos, citamos los siguientes:

- La segunda demostración es menos formal, por tanto, menos farragosa para los alumnos yaunque su nivel de razonamiento va en aumento ven mejor lo menos formal. La primeralleva mucho más formalismo y suele ser más complicado de entender (Ruth, IngenieraAgrónoma).

- Me han sorprendido mucho las demostraciones basadas en la aproximación óptima por noestar acostumbrada a ellas. Supongo que para los alumnos de enseñanza secundaria lovean más claro de esta forma (José Javier, Licenciado en Estadística).

- Hacer las demostraciones sin formalismo me resulta más fácil de entender (Rosa María,Licenciada en Matemáticas)

Como es natural, algunos de estos Licenciados justifican su elección señalando más deuna razón:

- La segunda es más fácil de entender, pues exige tener menos conocimientos teóricos.Mucho más fácil de seguir por los alumnos y más fácil de aplicar (Luis Alberto, IngenieroIndustrial)

- La segunda es mucho más sencilla porque se entiende mucho mejor y no usa tecnicismosque los alumnos no van a entender. Es mucho más cercana a la inteligencia de los alumnos(Olga, Licenciada en Estadística).

Otros egresados justifican que estas demostraciones son más sencillas por alguna de lassiguientes causas: porque el razonamiento es más sencillo, porque no es necesario tener

16

soltura con el lenguaje matemático, porque son más explicativas, más fácil de explicar oporque se puede imaginar la solución.

- Es mejor aplicar la segunda porque aplica los conceptos directamente sin tener que usar ellenguaje formal de las matemáticas (Juan Carlos, Licenciado en Físicas)

Otros alumnos se refieren indistintamente a la conceptualización de límite comoaproximación óptima y a las demostraciones que aplican esta conceptualización yaseguran que son más sencillas invocando alguna de estas razones: tiene el mismo rigor,es más visual, no introduce otros conceptos. Finalmente, hay otro grupo numeroso dealumnos que se fijan exclusivamente en la conceptualización y aseguran que ésta es mássencilla por alguna de las siguientes razones: es más útil y eficaz, requiere menoscapacidad de abstracción, no se olvida fácilmente o es más ventajosa por su facilidad deaplicación.

En resumen, se puede afirmar que la mayor parte de los licenciados afirma que es mássencilla la conceptualización basada en la aproximación óptima y tales afirmaciones sebasan en razones muy diferentes. Estas razones, sin duda, pueden considerarse comorasgos característicos facilitadores del aprendizaje de la conceptualización.

Ya se ha dado cuenta de que son muy pocos los alumnos que afirman que lasdemostraciones basadas en la conceptualización métrica son las más sencillas. Para lamayor parte de estos licenciados (que sólo es el 12,76% del total) la única razón queesgrimen es que éste ha sido el único procedimiento que han utilizado durante su carreray es al que están habituados. Así, por ejemplo, María Teresa, Ingeniera deTelecomunicaciones, afirma:

- Para mí es más sencilla la conceptualización métrica, ya que todas las demostracionesestudiadas hasta ahora han sido de ese modo.

Una matemática, Isabel, indica que es menos abstracta. A nuestro juicio esta declaraciónes totalmente errónea y sólo merece una consideración testimonial.

Finalmente, algunos egresados emiten juicios de valor contrarios al aprendizaje de ladefinición métrica. Por ejemplo, Rosario (Ingeniera de Telecomunicaciones) afirma:

- La definición métrica se aprende de memoria y se olvida fácilmente.

Asimismo, una egresada en Matemáticas, Yolanda, afirma que:

- Para poder usar la conceptualización métrica hace falta tener ya una soltura con ellenguaje matemático.

En definitiva, son muy pocos los egresados que afirman que la conceptualizaciónmétrica es más sencilla, y la única razón que dan al respecto se basa en el hábito de lacostumbre, ya que el resto de razones son más negativas que otra cosa.

CONCLUSIONES

17

Tras el análisis de la entrevista es claro que para los alumnos de Ingeniería laconceptualización como aproximación óptima la mayor dificultad está en lainterpretación en la interpretación de “mejorar cualquier aproximación”, pero presentaunas dificultades de aprendizaje menores que la conceptualización métrica, cuyoformalismo les impide entender su significado y que tiene sus mayores dificultades en lainterpretacion de las desigualdaes de los valores absolutos.

Por otra parte, los egresados entienden mejor la conceptualización basada en laaproximación óptima que la conceptualización métrica. Además creen que es más útil yeficaz, que requiere menos capacidad de abstracción, que no se olvida tan fácilmente,que es más ventajosa por su facilidad de aplicación y que los alumnos la entenderíanmejor.

En el caso de la conceptualización como aproximación óptima, estos alumnos tienenserias dificultades para interpretar “mejorar cualquier aproximación distinta del propiolímite” y, en principio, consideran que “es suficiente que se aproxime”, pero encomparación con las que se descubren en la conceptualización métrica soninsignificantes. En ésta destacan las asociadas al formalismo de la escritura, las deinterpretación del simbolismo algebraico asociado a la función valor absoluto y a lasdesigualdades, las de la implicación de pertenencia o inclusión, la confusión de lospapeles de δ y ε, y, finalmente, creemos que las de dependencia de ε respecto de δ, enmayor grado, y respecto del punto y de la función, en menor, también sonconsiderables, aunque aquí no están tratadas.

Estos alumnos del CAP también creen que la aplicación de la conceptualización comoaproximación óptima para demostrar los teoremas es más útil, que estas demostracionesson más sencillas, que son más intuitivas o tienen más sentido común, que se entiendenmejor. Y estas preferencias las justifican porque son más claras o menos farragosas,porque carecen de formalismo o son menos formales, porque el razonamiento es mássencillo, porque no es necesario tener soltura con el lenguaje matemático, porque sonmás explicativas, porque son más fáciles de explicar o porque se puede imaginar lasolución, porque tienen el mismo rigor, porque son más visuales, porque no introducenotros conceptos.

En resumen, la conceptualización basada en la aproximación óptima debe ser más aptaque la conceptualización métrica para los aprendizajes iniciales universitarios deAnálisis Matemático. Las razones que se han indicado pueden considerarse como rasgoscaracterísticos facilitadores del aprendizaje de esta conceptualización en oposición a lasdificultades asociadas al formalismo de la definición métrica.

Se percibe una mayor defensa de la conceptualización métrica en los egresados que másla han utilizado y en primera instancia parece que se produce el efecto túnel. Esto noslleva a pensar que el profesorado será más reacio a utilizar esta conceptualización. Esta

18

problemática no se ha investigado, es un problema abierto, y deberá ser tratado en elfuturo.

BIBLIOGRAFÍA

Apostol, T. (1989): Análisis Matemático. Barcelona, España: Reverté..

Blázquez, S. (1999): Noción de Límite en Matemáticas Aplicadas a las CienciasSociales. Tesis doctoral. Universidad de Valladolid.

Blázquez, S., Ibañes, M. y Ortega, T. (2004): Debates y Entrevistas. Presentado en elXVI Simposio Iberoamericano de Enseñanza Matemática. Castellón de la Plana(España). Pendiente de publicación.

Blázquez, S. y Ortega, T. (1997): Las sucesiones como aproximación didáctica a losconceptos de función y límite funcional. Actas de las VIII JAEM. p. 303-306.Salamanca.

Blázquez, S. y Ortega, T. (1999): Didáctica del Análisis en Matemáticas Aplicadas a lasCiencias Sociales. Concepto de límite. En Tomás Ortega (Ed.) Temas Controvertidos enEducación Matemática ESO y Bachillerato (pp. 121-154). Valladolid, España:Universidad de Valladolid. ISBN 84-7762-952-8,

Blázquez, S. y Ortega, T. (2000): El concepto de límite en la educación secundaria. EnEl futuro del cálculo infinitesimal. pp. 331-354 Grupo Editorial Iberoamérica. S.A. deC.V. ISBN: 970-625-246-0. México

Blázquez, S. y Ortega, T. (2001a): Los sistemas de representación en la enseñanza dellímite. Vol 4. Nº3, 219-236. RELIME. ISSN: 1665-2436. México DF.

Blázquez, S. y Ortega, T. (2001b): Rupturas en la comprensión del concepto de límiteen alumnos de bachillerato. AULA, Vol. 10, pp. 117-133. ISSN: 0214-3401. Salamanca.

Blázquez, S. y Ortega, T. (2002): Nueva definición de límite funcional. UNO. Vol. 30,pp. 67-82. Graó. ISSN: 1133-9853. Barcelona.

Boyer, C.B. (1999): Historia de la Matemática. Madrid, España: Alianza Editorial(Ciencia y Tecnología). ISBN: 84-206-8196-5..

Cornu, B. (1983): Apprentissage de la notion de limite: conceptions et obstacles.Université I de Grenoble, Grenoble, Francia. (Thèse de 3ème cycle, Mathématiques).

Courant R. y Robbins H. (1964): ¿Qué es la Matemática? Madrid, España: Aguilar. 4ta.Edición. Pg. 314-323.

Cauchy, A. (1821): Cours d´Analyse de l´Ecole Royale Politechnyque, (Premier Partie.Analyse Algébrique). Sevilla, España: SAEM Thales. Edición facsímil. ISBN: 84-923760-0-7

19

Duval, R. (1998): Registros de representación semiótica y funcionamiento cognitivo delpensamiento. Investigaciones en Matemática Educativa II. Cinvestav, México: Hitt, F.(Ed): Departamento de Matemática Educativa.

Elliot J. (1997): La investigación-acción en Educación. Madrid, España: Morata.

García A., García F., Gutiérrez A., López A., Rodríguez G., De la Villa A. (1993):Teoría y problemas de análisis matemático en una variable. Madrid, España:CLAGSA.

Kemmis y McTaggart (1988): Cómo planificar la investigación-acción. Barcelona,España: Alertes.

Larson R., Hostetler R. Edwards B. (1998): Cálculo y Geometría Analítica. Madrid,España: Volumen 1. Quinta edición. Ed. McGraw –Hill.

Linés E. (1983): Principios de Análisis Matemático. Barcelona, España: Reverté S.A.

Newton, I. (1711): ANÁLISYS per Quantitatum SERIES, FLUXIONES A C

DIFFERENTIAS: CUM Enumeratione Linearum TERTII ORDINIS. LONDINI: Exofficina Pearsononiana. Anno M.DCCXII. Editado por SEAM Thales y la RealSociedad Matemática Española. Sevilla, 2003. ISBN: 84-933040-2-6

Robinet, J. (1983): Un experience de ingenierie didactique sur la notion de limite defonction. Recherches en Didactique des Mathématiques, 4(3): 223-292.

Rudin W. (1979): Análisis funcional. Barcelona, España: Reverté.

Sánchez, C. (1997): Estudio estadístico sobre el proceso de enseñanza-aprendiaje de la

noción de límite de una función. Granada, España: Tesis doctoral. Dpto. de Estadística eInvestigación Operativa. Universidad de Granada.

Sierpinska, A. (1985): Obstacles epistemologiques relatifs a la notion de limite.Recherches en Didactique des Mathématiques, 6(1): 5-67.

Sierpinska, A. (1987): Humanities students and epistemological obstacles related tolimits. Educational Studies in Math. 18: 371-397.

Socas, M. (1997): Dificultades, Obstáculos y errores en el aprendizaje de lasmatemáticas en Educación Secundaria. En La Educación Matemática en EnseñanzaSecundaria. Barcelona, España: ICE/HORSORI Universitat Autónoma de Barcelona.

Spivak M. (1981): Calculus. Cálculo Infinitesimal. Barcelona, España: Reverté S.A.

Tall, D. y Vinner, S. 1981. Concept image and concept definition in Mathematics withparticular reference to limits and continuity. Educational Studies in Math. 12: 151-169.

Thomas G., Finney R. (1998): Cálculo con geometría analítica. Buenos Aires,Argentina: Adison–Wesley Iberoamericana.

20

ANEXO I

Apellidos y nombre: Licenciatura:

Ejemplos de aproximaciones: 0 es una aproximación de cualquier valor. El punto medio de unsegmento es una aproximación de sus extremos.

Conceptualizaciones de límite de una función en un punto.

Conceptualización métrica: L es el limite de la funció f en el punto a sií se verifica queεδδε <−⇒<−<>∃>∀ Lxfaxquetal )(00,0

Conceptualización como aproximación óptima: L es el limite de la función f en el punto x=asií se verifica que para cualquier aproximación K de L, ,LK ≠ existe un entorno reducido de atal que las imágenes de todos sus puntos mejoran dicha aproximacion.

Demostrar los dos teoremas que se enuncian a continuación utilizando las dosconceptualizaciones.

Teorema 1: Si el límite, L, de una función en un punto, x=a, es positivo, existe un entornoreducido de a en el que la función es positiva.

1. Demostración utilizando la primera conceptualización.

2. Demostración utilizando la segunda conceptualización.

Teorema 2. El límite de una función en un punto, si existe, es único.

3. Demostración utilizando la primera conceptualización.

4. Demostración utilizando la segunda conceptualización.

21

ANEXO II

Demostración del primer teorema. Por ser L>0 el límite en x=a, considerando que 0es una aproximación de L, existirá un entorno reducido de a tal que la imagen de todossus puntos mejorará dicha aproximación y, por tanto, todas sus imágenes seránpositivas.

Figura 2

La explicación verbal utiliza el soporte gráfico de la figura 2.

Demostración del segundo teorema. Considerando que tuviera dos límites L y L’diferentes en x=a. En el supuesto de que L<L’, como el punto medio, M=(L+L’)/2, esuna aproximación de L y de L’, aplicando la conceptualización, existe un entornoreducido de a tal que las imágenes de todos sus puntos mejoran dicha aproximación(tanto a L como a L’) y, por tanto, todas esas imágenes tienen que ser mayores ymenores que M. En consecuencia es falso que L<L’. Análogamente, también resultaríaser falso que L’<L y, en consecuencia, L=L’.

Figura 3

La explicación verbal utiliza el soporte gráfico y se atiende individualmente a cada unode los supuestos límites, con un entorno reducido para cada uno. El menor de ellosserviría para los dos.