UNA APROXIMACION PSEUDO-ELASTICA PARA PROBLEMAS DE NO-LINEALIDAD DEL MATERIAL MEDIANTE EL METODO

SIN MALLA DE PUNTOS FINITOS

Pérez Pozo L.1, Aranda J.1, Perazzo F.1 y Angulo A.2

Universidad Técnica Federico Santa María

Av. España 1680 - Valparaíso - CHILE 1 Departamento de Mecánica, Aula UTFSM - CIMNE

2 Departamento de Electricidad e-mail: luis.perez@usm.cl, franco.perazzo@usm.cl, aacusm@vtr.net y juan.arandap@usm.cl

RESUMEN

La formulación sin malla del Método de Puntos Finitos permite aprovechar en toda su potencialidad las

ventajas de este tipo de técnica, habiéndose comprobado su funcionamiento mediante el desarrollo de aplicaciones para el campo de la mecánica de fluidos y más tarde en la mecánica de sólidos. En este trabajo se presenta una metodología basada en el Método de Puntos Finitos para el análisis de no-linealidad del material. Para determinar la distribución de esfuerzos y deformaciones se utiliza la teoría de deformación total de Hencky y un enfoque pseudo-elástico. Dicha aproximación introduce el concepto de propiedades efectivas del material las cuales son consideradas como variables de campo. Estos parámetros se obtienen en forma iterativa mediante un procedimiento de corrección aplicado sobre la curva experimental de tensión uniaxial del material. PALABRAS CLAVE: métodos sin malla, puntos finitos, elásticidad, no-linealidad del material.

1. INTRODUCCIÓN

Durante la última década se ha producido un importante avance en la investigación y aplicación de nuevas técnicas numéricas que, a diferencia de los métodos tradicionales como el de elementos finitos, no requieren de una subdivisión del dominio ó malla. Se ha denominado naturalmente a estás técnicas métodos sin malla o libres de malla. Estas comprenden un conjunto de métodos numéricos utilizados para resolver ecuaciones diferenciales parciales a partir de distribuciones de puntos regulares o irregulares. Definiciones más detalladas pueden encontrarse en [1] y [2].

Los métodos sin malla mas representativos son Generalized Finite Difference (GFD) [3], Diffuse Element (DE) [4], Element Free Galerkin (EFG) [5, 6], Reproducing Kerne Particle Metod (RKPM) [7, 8], Hp clouds method [1], Partition of Unity (PU) [9, 10], FinitePoints Method (FPM), Método de Puntos Finitos, [11, 2], Local Boundary Integral Equation (LBIE) [12, 13], Meshless Local Petrov-Galerkin (MLPG) [14] y Point Interpolation Method (PIM) [15, 16]. Detalles de estos y otros métodos sin malla pueden encontrarse en [17], [18], [16], [19] y [20].

El Método de Puntos Finitos (MPF) fue propuesto por Oñate et al. [11, 2] inicialmente con el propósito de resolver problemas de transporte convectivo y fluidos. Posteriormente su aplicación se extendió a transporte difusivo advectivo [21] y fluidos incompresibles [22]. En el contexto de la mecánica de sólidos el MPF ha sido aplicado exitosamente en problemas de elasticidad [23], [24], [25], [26], dinámica de sólidos [27] y recientemente en refinamiento adaptivo [28].

Por otro lado, la idea de usar soluciones elásticas para aproximar el comportamiento inelástico, tiene su origen en [29], donde se obtuvo los esfuerzos y deformaciones elastoplásticas en puntos de concentración de esfuerzos. En [30] se usó un análisis elástico con el método de Elementos Finitos (FEM) para estimar cargas límites, en [31] se modificó y mejoró este método llamándolo Generalized local stress and strain (GLOSS). En [32] se desarrolló un método para análisis inelástico de estanques de presión usando un numero finito de franjas llamado Variable material properties (VPM). Siguiendo esta línea en [33] se extendió esta idea hacia el FEM para obtener soluciones inelásticas.

Recientemente, en el contexto de los métodos sin malla, se utilizó exitosamente el EFG para realizar un análisis pseudo-elástico de no-linealidad del material [34] y posteriormente en [35] se empleó el mismo concepto con una formulación débil del PIM.

En este trabajo se presenta una metodología basada en el método de Puntos Finitos para el análisis de no-

linealidad del material. Para determinar la distribución de esfuerzos y deformaciones se utiliza la teoría de deformación total de Hencky y un enfoque pseudo-elástico. Dicha aproximación introduce el concepto de propiedades efectivas del material las cuales son consideradas como variables de campo. Estos parámetros se obtienen en forma iterativa mediante un procedimiento de corrección aplicado sobre la curva experimental de tensión uniaxial del material.

Para verificar la validez de la metodología propuesta, se compara un problema ejemplo con los resultados obtenidos mediante el software comercial de elementos finitos ADINA.

2. EL MÉTODO DE PUNTOS FINITOS

Se presentan a continuación las principales expresiones de la técnica de interpolación por mínimos cuadrados utilizadas en el MPF. Un estudio más extenso de esta técnica, sus propiedades y características respecto de las aproximaciones utilizadas en otros métodos sin malla, ha sido desarrollada en [24].

Sea IΩ el subdominio de interpolación, llamado usualmente nube de puntos en los métodos sin malla, de

una función )(xu y )( js con nj ,...,2,1= una colección de n puntos con coordenadas Ijx Ω∈ .

La función incógnita u puede ser aproximada en el interior IΩ de por

donde α es un vector de coeficientes de ponderación y )(xp un vector denominado base de interpolación el cual contiene típicamente monomios que aseguran una base completa en el espacio de coordenadas. Como ejemplo para el caso 2D se tiene

La función incógnita )(xu puede ser evaluada en los n puntos pertenecientes a la nube IΩ , obteniendo

donde los valores )( j

hj xuu = son las incógnitas, pero los valores buscados u en el punto )(, jj xûûj =

son los valores aproximados y )( jj xpp = . En una aproximación mediante FEM, el número de puntos en el subdominio se escoge de forma que

nm = . En este caso C es una matriz cuadrada y el procedimiento conduce a las funciones de forma estándar del método de elementos finitos [36].

Si nm > la aproximación utilizada no se puede adaptar a todos los valores de hju . El problema puede ser

resuelto, determinando los valores de û que minimicen la suma de la distancia al cuadrado o error en cada punto, ponderado por una función )(xω , es decir:

Esto corresponde a una aproximación por mínimos cuadrados ponderados Weigthed least square (WLS).

Se debe notar que si se elige )(xω se obtiene una aproximación por mínimos cuadrados estándar Least square (LSQ).

La función de ponderación )(xω utilizada en el MPF corresponde a la función de Gauss normalizada. Mayores antecedentes acerca de las principales características de esta función, como también de otras utilizadas en el contexto de los métodos sin malla, pueden ser consultados en [11, 2, 37, 24].

Figura 1. Aproximación por mínimos cuadrados ponderados (WLS).

Tomando mínimo en Ec. 5 respecto de α , se obtiene

La aproximación final del MPF se obtiene reemplazando α de Ec. 6 en Ec. 1 obteniendo

donde

son las funciones de forma.

Se debe notar que debido al carácter de mínimos cuadrados de la aproximación, hjj ûjûxu ≠≅ )()( , es

decir, los valores locales de la función aproximada, no coinciden con los valores nodales de la función incógnita, ver Fig. 1. De todas formas û es una aproximación válida con la cual se busca satisfacer la ecuación diferencial y condiciones de contorno, siendo h

ju simplemente parámetros desconocidos. La aproximación mediante mínimos cuadrados ponderada descrita anteriormente, depende en gran medida

de la forma y manera de aplicar la función de ponderación )(xω . La forma más simple consiste en definirla

como una función fija en cada uno de los subdominios IΩ [11, 2, 37], entonces

A partir de la minimización de la suma de la distancia al cuadrado, se obtiene

Las expresiones para las matrices A y B coinciden con Ec. 7 considerando )()( jIj xx ωω = .

De acuerdo con Ec. 1, la función aproximada )(xû se define para cada subdominio de interpolación IΩ ,

por lo que la aproximación para un punto I que pertenezca a dos nubes IΩ y JΩ , respectivamente, no

tiene un único valor )( kj

ij Φ≠Φ . En el MPF esta disyuntiva se resuelve utilizando un procedimiento de

colocación puntual. 3. ESFUERZO-DEFORMACIÓN BASADO EN LA TEÓRIA DE DEFORMACIÓN TOTAL

De acuerdo a [32] la relación esfuerzo-deformación puede expresarse como

donde el tensor de deformación total ijε puede ser descompuesto en una componente elástica y una plástica

Usando la ley de Hook para materiales isotrópicos, el tensor de deformaciones elásticas se relaciona con el

esfuerzo por

Por otro lado, la teoría de la deformación total de Hencky [38] establece una relación entre el tensor de

deformación plástica y la parte desviadora del tensor de esfuerzos, dada por

donde

es la parte desviadora del tensor de esfuerzos y ψ es una función escalar que se obtiene de la siguiente forma

donde

son la deformación plástica y el esfuerzo equivalente respectivamente.

Reemplazando la Ec. 14 y 15 en 13 se obtiene

Esta expresión puede reescribirse como

donde effE es el módulo de Young efectivo y effν es la relación de Poisson efectiva, los cuales son función

de E , ν y ψ . Para obtener los parámetros efectivos del material se debe comparar la Ec. 19 con 20 obteniéndose

4. FORMA DISCRETA DE LAS ECUACIONES DE EQUILIBRIO PSEUDO-ELÁSTICO

Considere un problema gobernado por la siguiente ecuación diferencial.

con las condiciones de contorno

Para un caso 2D, L es un operador que define la ecuación diferencial, N contiene los cosenos directores en la dirección normal al contorno, )( yxxy ττσ = es el vector de esfuerzos, u es el vector de

desplazamientos, tb, y u son las fuerzas de cuerpo, tracciones externas y desplazamientos prescritos respectivamente. Estas variables se definen a partir de

Para obtener un sistema equivalente en términos de los desplazamientos, se debe usar la relación esfuerzo-

deformación de la siguiente forma

donde D representa la matriz simétrica constitutiva de acuerdo a Ec. 20, dada por

donde effE y effν son el módulo de Young efectivo y la relación de Poisson efectiva, definidos en 21 y 22 respectivamente.

Reemplazando la Ec. 26 en 23, 24 y 25 y usando el procedimiento de colocación puntual y la aproximación final definida en Ec. 8 se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones discretas

En un problema elástico lineal, la expresión entre paréntesis en Ec. 28a se anula, debido a que la matriz D

es constante. Para cada nodo I del dominio, el sistema de ecuaciones 28 pude ser expresado como

donde la matriz IK está compuesta por n submatrices )22( xMatK i

I ∈ y )12( xVecf I ∈

Dicha matriz IK se escoge de acuerdo a

5. DETERMINACIÓN DE LOS PARÁMETROS EFECTIVOS DEL MATERIAL

En este trabajo se ha utilizado el método de proyección vertical propuesto en [32] para determinar los parámetros efectivos del material, effE y effν .

En primer lugar, se obtiene una solución elástica, ver Fig. 2. Esto definirá el estado equivalente de esfuerzo-deformación en cada punto, aeqeq );( εσ . El valor de deformación

aeqε se fija y se proyecta en la

curva de tensión del material. Luego se debe calcular el estado de esfuerzo aeqσ correspondiente al nuevo

punto proyectado en la curva. El valor actualizado de effE para cada punto se obtiene mediante la razón entre el esfuerzo y deformación equivalente, es decir,

el correspondiente valor actualizado de effν se debe calcular usando la Ec. 22.

Este procedimiento se debe repetir hasta que el estado de esfuerzo-deformación de cada punto coincida con la curva uniaxial de esfuerzo del material.

Figura 2. Método de proyección vertical.

Para un material con una ley de endurecimiento descrita por el modelo de Ramberg-Osgood [39] se tiene

donde el esfuerzo equivalente

aeqσ usado en Ec. 30 y Fig. 2 puede obtenerse mediante un solver no-lineal

basado en el método de Newton [35]. Los valores de effE y effν de acuerdo a Ec. 30 y 22 respectivamente, pueden expresarse de la siguiente forma

donde E/00 σε = es la deformación correspondiente al inicio de la fluencia, ROα es un parámetro de

ajuste y ROn es el exponente de endurecimiento. Ambos parámetros ROα y ROn son asignados antes del análisis. 6. EJEMPLO NUMÉRICO Para demostrar la validez de la metodología propuesta, se ha resuelto un ejemplo numérico consistente en un cilindro de pared gruesa, 5/ int =RRext , sujeto a una presión interna 0P . La geometría y las condiciones de borde del modelo se muestran en la Fig. 3. Se ha supuesto una condición de deformación plana. Debido a la simetría del problema, solo se analiza un cuarto de la geometría de este. En esta sección se presentan los resultados obtenidos para diferentes valores de presión interna.

Figura 3. Modelo del cilindro de pared gruesa bajo presión interna, N=281 puntos.

Los parámetros del material se muestran en la tabla 1 Las figuras 4 a la 6 muestran la distribución normalizada de esfuerzo y deformación obtenida mediante el

presente método, además, dichos resultados se comparan con los entregados por el software ADINA. La Fig. 7 presenta la variación de los parámetros efectivos.

Tabla 1. Parámetros del material

Figura 4. Distribución normalizada de a) esfuerzos , b) deformaciones, 1/ 00 =σP .

Figura 5. Distribución normalizada de a) esfuerzos , b) deformaciones, 5,1/ 00 =σP .

Figura 6. Distribución normalizada de a) esfuerzos , b) deformaciones, 2/ 00 =σP .

Se observa en las figuras 4 a la 6 que el presente método concuerda en buena forma con los resultados obtenidos por el software ADINA.

También se observa que los resultados para 2/ 00 =σP en los nodos cercanos a la superficie interior se desvían levemente de los resultados del software ADINA. Esto ocurre ya que se han incluido una cantidad insuficiente de nodos para reproducir el comportamiento altamente no-lineal a ese estado de esfuerzo.

Ademas, se observa que la zona plástica se incrementa conforme la relación 00 /σP aumenta, este comportamiento también puede observarse en la figura 7.

Figura 7. Variación de los parámetros efectivos.

7. CONCLUSIONES

En este trabajo se ha presentado una metodología basada en el método de Puntos Finitos para el análisis de no-linealidad del material. Para determinar la distribución de esfuerzos y deformaciones se ha utilizado la teoría de deformación total de Hencky y un enfoque pseudo-elástico.

Se ha introducido el concepto de propiedades efectivas del material, las cuales son consideradas como variables de campo, para obtener una solución pseudo-elástica.

Se ha analizado exitosamente un cilindro de pared gruesa usando el modelo de Ramberg-Osgood para la definición del material, los resultados obtenidos con el presente método se ajustan en buena forma a los entregados por el software ADINA. 8. NOMENCLATURA

Agradecimientos Los autores agradecen el auspicio de la Dirección General de Investigación y Postgrado de la Universidad Técnica Federico Santa María a través del proyecto de investigación USM-250301 y al Centro Internacional de Métodos Numéricos en Ingeniería y su red de Aulas CIMNE. Referencias [1] C. Duarte and J.T. Oden. An h-p adaptive method using clouds. Computer Methods in Applied Mechanics

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