8º CONGRESO IBEROAMERICANO DE INGENIERIA MECANICA Cusco, 23 al 25 de Octubre de 2007

ESFUERZOS DE CONTACTO EN ENGRANAJES EXTERIORES DE DIENTES RECTOS CON DEFECTOS, SOPORTADOS MEDIANTE RODAMIENTOS.

A. Fernández del Rincón*, Fernando Viaderoº, R. Sancibriánº, P. García Fernándezº, A. de Juanº

*ºArea de Ingeniería Mecánica, E.T.S.I.I.T. Avda. Los Castros s/n 39005 Santander (Spain)

*fernandra@unican.es: RESUMEN Este artículo describe un modelo bidimensional para el análisis de los esfuerzos y deformaciones en contacto en una transmisión mediante engranajes cilíndricos rectos apoyados en rodamientos. Conocida la posición de los centros de cada rueda así como la geometría de los perfiles, incluyendo errores y posibles rebajes, se determinan los puntos de contacto. Posteriormente se calculan los esfuerzos y las correspondientes deformaciones considerando que éstas se componen de dos términos, uno denominado global, obtenido mediante un modelo de elementos finitos, y otro local, a partir de una formulación analítica considerando contacto hertziano. Con este procedimiento se evita el refinado del modelo de elementos finitos para cada posición angular reduciendo el coste computacional a la vez que se mejoran los resultados. El modelo admite la posibilidad de contacto en ambos flancos simultáneamente así como la incorporación de defectos de diverso tipo. Además se incluye el comportamiento de los apoyos considerando la variación de su rigidez como consecuencia de la oscilación en el número de elementos rodantes soportando la carga. Finalmente se presenta un ejemplo numérico en el que se ha utilizando esta metodología y se presta especial atención al efecto que la presencia de defectos tiene en el error de transmisión. PALABRAS CLAVE: Engranajes, Error de Transmisión, Rodamientos, Defectos, Rigidez de Engrane.

INTRODUCCION

Las transmisiones mediante engranajes son uno de los componentes mecánicos fundamentales en multitud de máquinas y equipos. Las aplicaciones van desde la industria aerospacial, el sector del transporte o la maquinaria agrícola. El objetivo de estos sistemas es permitir la transmisión del movimiento entre ejes mediante el contacto de distintos elementos denominados dientes. Estos dientes tienen una forma característica que permite que la transmisión se lleve a cabo de forma suave y sin variaciones en la relación de velocidades angulares de entrada y salida (relación de transmisión). Sin embargo en la práctica existen errores constructivos tanto en cuanto a que los perfiles tallados no se corresponden exactamente con evolventes (errores de perfil) como en que la separación entre los mismos no es la misma para todos los dientes (errores de paso). Además los dientes no pueden considerarse rígidos por lo que al contactar se verán sometidos a una deformación que modificará el comportamiento real de los mismos. Estos errores dan lugar al denominado error de transmisión (ET), término atribuido originalmente a Harris [1] y que se define como la diferencia entre la posición que el eje de salida debería ocupar si las ruedas estuvieran perfectamente talladas y la posición que realmente ocupa. De acuerdo con esta definición, para determinar el ET de modo práctico deberíamos medir las sucesivas posiciones angulares del eje de entrada, calcular donde debería encontrarse el eje de salida y restar este valor de la posición que realmente ocupa este. La medida del ET de este modo vendría expresada en segundos de arco. Con el objetivo de facilitar la interpretación y manipulación de esta magnitud se multiplica el error angular (en radianes) por el radio de la circunferencia base de forma que el ET pasará a expresarse en micras de desplazamiento en función de la posición angular, [2]. El error de transmisión es un elemento fundamental en el estudio del comportamiento dinámico de transmisiones mediante engranajes siendo un concepto básico en la resolución y el análisis de diversos aspectos relativos a este tipo de sistemas como son la generación de superficies de contacto, optimización de los perfiles de los dientes, las interacciones no lineales consecuencia de la pérdida de contacto, el ruido y las vibraciones, la fricción, las cargas dinámicas, el desgaste, las tensiones de flexión y superficiales, el mantenimiento en condición, la eficiencia, etc.

Sin embargo, a pesar de que el concepto error de transmisión es muy común en el ámbito de las transmisiones mediante engranajes, es necesario adoptar cierta precaución a la hora de interpretar su significado. En la práctica el error de transmisión puede estar vinculado a: la geometría de las ruedas, la deformación de distintos elementos y al comportamiento dinámico. El error de transmisión es característico de una pareja de ruedas y será consecuencia de la combinación de los diversos aspectos. Incluso aquellos errores vinculados exclusivamente a cada una de las ruedas consideradas individualmente deberán combinarse cuando estas se ponen en funcionamiento. El interés en la determinación del error de transmisión y en su reducción, en la medida de lo posible, se debe a su intima relación con el comportamiento dinámico y acústico de la transmisión [1]. En función de cual sea el origen del mismo se pueden distinguir los siguientes errores de transmisión: Error de transmisión de fabricación o Manufacturing Transmission Error (MTE) en literatura inglesa; Error de transmisión estático (bajo carga) o Loaded static Transmission Error (LTE) y Error de transmisión dinámico o Dynamic Transmission Error (DTE).

En este trabajo el interés se centra en la determinación del LTE y en un aspecto íntimamente relacionado con este como es la obtención de los esfuerzos de contacto. Existen diversas alternativas para estimar estos esfuerzos, desde formulaciones analíticas simplificadas [3] hasta complejos modelos de elementos finitos con elementos de contacto [4] con aplicación de técnicas de mallado adaptativo [5]. La implementación práctica de estos modelos en el caso de análisis dinámicos restringe notablemente las posibilidades pues hay que alcanzar un equilibrio entre la precisión y el esfuerzo computacional exigido. La mayor parte de los modelos dinámicos son del tipo multicuerpo ó de parámetros concentrados de forma que la estimación de los esfuerzos de contacto se basa en el conocimiento de la rigidez de engrane que se determina previamente mediante la obtención del cociente entre el par aplicado y la rotación relativa entre las ruedas es decir el LTE. El cambio periódico en el número de parejas de dientes en contacto da lugar a una rigidez de engrane periódica que actuará como una excitación paramétrica del sistema y condicionará su comportamiento dinámico. Los modelos disponibles en la literatura implementan de diversas formas este concepto en función del objetivo perseguido por el análisis. Las propuestas van desde aquellos modelos que adoptan un valor de rigidez constante promedio a lo largo del ciclo de engrane [6][7], a formulaciones más precisas que consideran un valor variable en función de la posición angular [8][9]. En un gran número de casos, los modelos dinámicos se elaboran a partir de una estimación previa de la rigidez de engrane a través de un análisis cuasiestático previo llevado a cabo mediante un modelo de elementos finitos [10][11]. Este modo de proceder requiere la elaboración de un nuevo mallado para cada posición de contacto con el consiguiente esfuerzo computacional. En el caso de que el interés se centre exclusivamente en las vibraciones de torsión y en el comportamiento dinámico global, esta metodología puede resultar aceptable. Por el contrario si se considera que los centros de las ruedas pueden desplazarse de su posición teórica como consecuencia de la deformación de los apoyos, tanto la distancia de operación, la relación de contacto y el ángulo de presión serán distintos por lo que la utilización de la técnica anterior es inviable pues en este caso el número de posiciones de análisis se incrementará notablemente. Para solucionar este

problema han surgido diversas alternativas como la utilización de redes neuronales artificiales [12] o el desarrollo de modelos híbridos combinando elementos finitos y formulaciones analíticas [14][13].

En este artículo se describe un modelo bidimensional para el análisis de los esfuerzos y deformaciones en contacto en una transmisión mediante engranajes cilíndricos rectos incluyendo la interacción con las deformaciones debidas a los rodamientos. Estos últimos presentarán un comportamiento similar al de los engranajes en cuanto a que su rigidez variará en función del número de elementos rodantes que soportan la carga en cada instante. A pesar de que los análisis y el tipo de modelo presentado en este trabajo se limitan al caso cuasiestático, el principal propósito de este modelo es permitir la introducción de fenómenos adicionales como el rozamiento y los errores de perfil prestando especial atención a la presencia de defectos como grietas o picaduras superficiales de cara a su posterior inclusión en un modelo dinámico. Este tipo de análisis requerirá un conocimiento preciso de los esfuerzos de contacto [15] que permita el desarrollo de nuevas herramientas y estrategias de mantenimiento predictivo basadas en la medida de vibraciones.

Este articulo esta estructurado de la siguiente forma: después de la introducción en la que se han indicado los motivos y antecedentes del trabajo propuesto, se describirá el procedimiento seguido para formular los esfuerzos de contacto correspondientes a cada uno de los componentes principales de una transmisión como son los engranajes y los rodamientos. A continuación se formularán los procedimientos de introducción de los errores de perfil y de los defectos. Finalmente se presenta un ejemplo en el que se aplicará el modelo propuesto a una transmisión analizando el LTE obtenido cuando se introducen defectos de diverso tipo. El artículo concluye con una serie de comentarios acerca de los resultados obtenidos.

ESFUERZOS DE CONTACTO EN LOS DIENTES

La obtención de los esfuerzos de contacto entre los dientes de una pareja de engranajes exige la resolución de diversos problemas: definición de la geometría de las ruedas, localización de los puntos de contacto, determinación de la deformación en los puntos de contacto y de la magnitud de los esfuerzos correspondientes.

El último apartado requiere el establecimiento de una relación entre los esfuerzos actuantes y las deformaciones de los dientes para lo cual es imprescindible disponer de una buena descripción de la geometría del cuerpo del engranaje. En este caso la generación de los perfiles de los dientes se basa en la utilización de una cremallera tipo siguiendo el enfoque vectorial propuesto por Litvin [16] teniendo en cuenta la posibilidad de desplazamientos de la herramienta así como de las condiciones de socavamiento que pudieran producirse. Además se va a añadir un cierto redondeo en la punta de la cabeza de los dientes para evitar singularidades en el punto de contacto siguiendo la propuesta de Andersson y Vedmar [13].

Con el objetivo de incorporar la no-linealidad consecuencia de la posibilidad de separación de los dientes y contacto en el flanco opuesto, el modelo localiza una serie de puntos de contacto potencial sobre cada uno de los perfiles activos en cada instante. La localización de estos puntos así como la obtención de la correspondiente distancia de separación medida en la dirección de la línea de transmisión (δi) se ha llevado a cabo considerando la formulación analítica de la evolvente y del arco de redondeo introducido en la punta de los dientes. De este modo se evita la aplicación de procedimientos numéricos de búsqueda de los puntos situados a la mínima distancia que incrementarían al esfuerzo computacional destinado a esta tarea. Los valores positivos de la distancia de separación (δi) señalan la existencia de contacto en los citados puntos mientras que valores negativos indican la ausencia de contacto. Dado que el perfil del diente en el que se pueden producir contactos está constituido por dos tramos, el algoritmo de búsqueda de los puntos de contacto considera dos escenarios distintos: contacto evolvente – arco circular y contacto evolvente – evolvente. El número total de puntos de contacto potencial será función de la relación de contacto (ε) y puede obtenerse a partir de la expresión:

( )2 ( ) 1N Ceil ε= + (1)

Donde Ceil(x) es una función que redondea x hacia el entero inmediatamente superior. El algoritmo de búsqueda permite considerar el contacto simultáneo de ambos flancos del mismo diente. En la Fig.

1 se observan los puntos de contacto potencial en el caso de una transmisión con una relación de contacto (ε) entre 1 y 2 por lo que existirán como máximo dos parejas de dientes en contacto. Como se puede apreciar los puntos 2, 5 y 4 se corresponden con contactos del tipo evolvente – evolvente mientras que 1, 3 y 6 son contactos del tipo evolvente – arco de redondeo. Para facilitar la interpretación solamente se han mostrado las líneas normales correspondientes a los contactos en los flancos situados a la derecha de la rueda inferior que en adelante se denominarán contactos directos. Por el contrario los contactos situados a la izquierda se denominarán contactos inversos. También se puede observar que los contactos del tipo evolvente – arco de redondeo proporcionarán fuerzas con una dirección de actuación distinta a la de la línea de transmisión, es decir, el modelo admite contacto fuera de la línea de transmisión. Este aspecto afecta fundamentalmente a la transición entre el contacto en el número mínimo de parejas al contacto en

14

2

536

el número máximo (para el caso mostrado entre 1 y 2 parejas) y por lo tanto al reparto de la carga entre las distintas parejas de dientes. Esta transición condiciona la forma que adopte el LTE mientras que el reparto de carga entre las distintas parejas determinará a su vez los esfuerzos de fricción asociados a cada una de ellas. Las circunferencias de menor radio que aparecen en la Fig. 1 (en ambas ruedas) representan la circunferencia base equivalente en el caso de contacto en el arco de redondeo. Esta representación únicamente persigue la aplicación posterior del mismo procedimiento de determinación de la distancia de separación entre los puntos de contacto independientemente del tipo de contacto de que se trate.

1 425 36

Fig. 1: Localización de los puntos de contacto potencial

La obtención de los esfuerzos de contacto se lleva a cabo siguiendo el planteamiento de Anderson y Vedmar [13] considerando que las deformaciones elásticas debidas al contacto pueden dividirse en dos contribuciones distintas: deformaciones locales de tipo Hertziano en las proximidades de los puntos de contacto y deformaciones globales también denominadas estructurales que incluirán el resto (flexión, rotación del cuerpo de la rueda, cortante). Las primeras se representarán mediante una formulación analítica mientras que las segundas se obtendrán mediante un modelo de elementos finitos.

Las deformaciones locales se van formular aplicando la propuesta de Weber-Banashek para problemas bidimensionales. De acuerdo con estos autores, la deformación entre un punto situado en la superficie de un diente y un punto localizado a una profundidad h se obtiene mediante la expresión:

( )2 2 2 22 1( ) 1 1 1

1Lh h h hu q q Ln

E L L L L

ν νπ ν

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟= + + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

(2)

Donde q es la carga por unidad de longitud y 2L es la extensión de la distribución de presiones en las

proximidades de aplicación de la carga que puede obtenerse en función de la carga y de las características geométricas y de los materiales de los cuerpos en contacto.

La deformación global se obtiene mediante un modelo de elementos finitos bidimensional considerando condiciones de deformación plana. Dado que el punto de contacto se desplazará a lo largo del perfil del diente si no se consideraran separadamente los fenómenos locales y globales, sería necesario elaborar un modelo de elementos finitos con un mallado lo suficientemente denso en las proximidades del contacto como para poder representar adecuadamente el comportamiento local. Además si se consideraran simultáneamente ambas ruedas, el modelo debería incorporar elementos de contacto específicos requiriendo una cierta concordancia entre ambas mallas o bien la definición de relaciones funcionales entre los desplazamientos de los puntos localizados en las proximidades del contacto. En este caso como el comportamiento local se define mediante una formulación analítica, el modelo de elementos finitos únicamente tiene el cometido de proporcionar el comportamiento global teniendo en cuenta la flexión y cortante de los dientes, la torsión del cuerpo de la rueda y la influencia que una pareja de dientes en contacto puede tener en el contacto de las parejas adyacentes. Para ello se elabora un modelo distinto para cada una de las ruedas en el que solamente aparecen un número limitado de dientes que será función de la relación de contacto Fig. 2. Dicho modelo incluye el contorno del agujero (no representado en la Fig. 2) en donde se introducirá el eje de

forma que los nodos situados en dicho contorno se considerarán empotrados mientras que las cargas serán aplicadas sobre el flanco izquierdo del diente situado sobre el eje vertical que se denominará flanco activo. Sobre cada uno de los nodos situados en dicho flanco se aplica de forma sucesiva una carga unitaria Fi en la dirección normal al flanco obteniendo el desplazamiento de los nodos situados en el resto de los flancos de los dientes. Este desplazamiento representa la flexibilidad y se designará como (βi,j). Este modo de proceder no es válido cuando se desea obtener la flexibilidad del propio punto de aplicación de la carga dado que en este caso el campo de desplazamientos estará distorsionado por el carácter puntual de la carga. Para evitar este error se define un modelo parcial de elementos finitos que solamente abarca el flanco activo hasta una profundidad h que poseerá el mismo mallado que el modelo original. El cometido de este modelo es corregir el modelo original eliminando la distorsión local, para lo cual se aplicará una carga unitaria en sentido opuesto considerando que los nodos que representan la unión con el resto del diente están empotrados. El desplazamiento resultante deberá restarse del obtenido con el modelo completo proporcionando la flexibilidad correspondiente (βi,i). El número de nodos que aparezcan en el flanco activo (na) y en cada uno de los restantes flancos (nr) dependerá de la precisión deseada debiendo resolver un total de na sistemas de ecuaciones correspondientes al modelo total y na correspondientes al modelo parcial.

Fig. 2: Modelo de elementos finitos total y parcial. Localización de las cargas y de los desplazamientos

Una vez conocidas las flexibilidades se almacenarán en forma de matriz de modo que a partir de las mismas sea posible obtener el desplazamiento estructural del nodo j que en el caso de considerar la existencia de n contactos activos se obtiene mediante la expresión:

,

n

Ej i j ii

u Fβ= ∑ (3)

El desplazamiento global del nodo j se obtendrá sumando las componentes local y global correspondientes a

ambas ruedas de forma que considerando de nuevo n contactos activos adoptará la forma: { } { }1 1( ) ( ) ( ,..., ) ( ,..., );Piñon Rueda Piñon Rueda

Tj Lj j Lj j Ej n Ej nu u F u F u F F u F F= + + + (4)

Una vez conocidas las distancias de separación entre los puntos de contacto en función de la posición de cada una

de las ruedas (definida por la posición del centro de la rueda (rpiñón ó rrueda) y el ángulo girado (θpiñón ó θrueda) con respecto de una referencia solidaria al bastidor de la transmisión), es posible obtener las fuerzas de contacto planteando las condiciones de compatibilidad de desplazamientos y de complementariedad para evitar la existencia de esfuerzos de contacto de tracción (negativos) que no representarían la situación real. Las condiciones anteriores dan lugar a un sistema de ecuaciones no-lineales de dimensión igual al número de contactos activos, cada una de las cuales tiene la forma:

{ } { } { }{ }{ } { }( ) { }( )( , , , ) ( , , ) , , ;i p p r r Tj p p r r ip p p ir r rr r u r r F e r e rδ θ θ θ θ θ θ= + +

r r r r r r (5)

Sujeto a la condición 0; 1,..., ;iF i n≥ =

En donde eip y eir son los errores de perfil del piñón y de la rueda correspondientes al i-esimo punto de contacto. A pesar de que en el inicio, solamente se consideran como activos aquellos contactos que presenten solapamiento ó interferencia física (δi>0), durante el proceso de obtención de los esfuerzos, al considerar la deformación de los dientes, es posible que algunos de estos contactos finalmente no estén activos o bien que aparezcan otros inicialmente no considerados.

,i jβiFiF

ESFUERZOS DE CONTACTO EN LOS RODAMIENTOS

La obtención de los esfuerzos de contacto en los elementos rodantes de un rodamiento es un problema similar al descrito en el caso de los engranajes. En este caso, existe una fluctuación en el número de elementos en contacto lo que da lugar a una rigidez variable con la posición angular. Dicha rigidez variable estará fuertemente condicionada por la magnitud de la carga transmitida de forma que al aumentar esta, se incrementa el periodo de tiempo en el que el número de elementos cargados es máximo, y por lo tanto se alcanza el mayor valor de rigidez. En algunos casos, incluso es posible, que se produzca un incremento del número de elementos cargados. La mayor parte de los modelos incluyen este tipo de elementos considerando una matriz de rigidez que represente su comportamiento en las proximidades del punto de trabajo [11][13][14]. Sin embargo la incorporación de los fenómenos descritos anteriormente requiere la adopción de un modelo más complejo [17]. Afortunadamente, la descripción geométrica de los rodamientos es mucho más simple que la correspondiente a los engranajes lo que facilita considerablemente la formulación de su comportamiento. En este caso se va a considerar un modelo plano teniendo en cuenta las siguientes hipótesis:

• Las pistas interior y exterior se consideran rígidamente unidas al eje y al bastidor respectivamente. • Todos los elementos que componen el rodamiento son rígidos, de forma que la única posibilidad de

deformación esta relacionada con los contactos entre elementos rodantes y las pistas interior y exterior. • Dichos contactos admiten la aplicación de la teoría de Hertz. • La jaula ó elemento separador no presenta holguras de forma que la separación angular entre elementos

rodantes es constante (θb = 2π/nb). • A pesar de la existencia del lubricante, se considera que bajo carga el movimiento relativo entre los

elementos rodantes y las pistas es una rodadura pura sin deslizamiento.

Fig. 3 Modelo de rodamiento y dimensiones representativas

La última hipótesis permite relacionar la velocidad de la jaula con la velocidad del eje y por lo tanto las posiciones angulares de cada uno de los elementos rodantes en función de la posición angular del eje y los radios de la pista interior r, y exterior R mediante la expresión:

jaula eje

rr R

θ θ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟+⎝ ⎠ (6)

La consideración de un contacto de tipo Hertziano conduce a una relación no lineal entre la fuerza aplicada en

elemento rodante identificado por su posición angular θi y la deformación radial δθi que puede obtenerse a partir de la posición del centro del eje (x,y) y de la holgura radial del rodamiento c mediante la expresión:

cos sen ;

i i ix y cθδ θ θ= + − (7) Imponiendo la condición de complementariedad de forma que solo exista contacto en aquellos casos en los que la

deformación radial sea positiva, la fuerza resultante proyectando en las direcciones horizontal (x) y vertical (y) será:

( )1 1

1 0( ) cos ; ( ) sen ;

0 0

b bi

i i i i i

i

n np p

x B i y B ii i

F k H F k H H θθ θ θ θ θ

θ

δδ δ θ δ δ θ δ

δ= =

⎧ ≥⎪= = ⎨<⎪⎩

∑ ∑ (8)

Siendo kB la rigidez de contacto obtenida componiendo en serie las rigideces de contacto con la pista interior y exterior.

rR

θi

c/2

c/2

XY

i

θb

SIMULACIÓN DE DEFECTOS

La inclusión de defectos de diverso tipo es un aspecto de especial interés en el ámbito del mantenimiento predictivo basado en la medida de vibraciones. La mayor parte de los autores abordan este aspecto en base a modelos simples que representen la forma que adopta la señal vibratoria en el caso de una transmisión mediante engranajes. Estos modelos suelen considerar la existencia de una respuesta en frecuencia dominada por los armónicos de la frecuencia de engrane los cuales presentarán a su vez bandas laterales consecuencia de la modulación debida a la velocidad de rotación del eje. En realidad la frecuencia de engrane tiene su origen en la rigidez de contacto variable que afectará al comportamiento dinámico de la transmisión. La presencia de un defecto localizado modificará la forma de la rigidez de contacto de forma diversa en función de su localización, tipo y magnitud. La elaboración de nuevas estrategias de mantenimiento y la mejora de la predicción del desarrollo futuro del defecto requiere la utilización de modelos teóricos más avanzados que los meramente relativos a la forma de la señal. Estos modelos deberán estar relacionados con el sistema físico real para que sean representativos del mismo y proporcionen un mejor conocimiento acerca del comportamiento en presencia de defectos.

El modelo descrito ha incorporado la presencia de tres tipos de defectos distintos: • Errores en el tallado de los perfiles • Presencia de una grieta • Presencia de una picadura en el diente

Los errores de tallado de los perfiles se han incorporado como una modificación de los solapamientos correspondientes a cada uno de los puntos de contacto potenciales. Se ha considerado que los errores de perfil son idénticos para todos los dientes. Este mismo procedimiento puede ser utilizado para la inclusión de modificaciones en los perfiles como el rebaje en la punta o en la raíz.

-30 -20 -10 0 10 2015

20

25

30

35

Fig. 4 Modelo MEF incluyendo una grieta.

La presencia de una grieta estará directamente relacionada con el comportamiento global de la rueda por lo que para incluir este defecto se ha elaborado un modelo MEF específico que incorpore este fenómeno. Dicho modelo considera una grieta simplificada localizada en la base del diente con una orientación y tamaño determinados. En la Fig. 4 se presenta un modelo representativo en donde se aprecia la presencia de este defecto así como la deformación (exagerada) que presenta el diente cuando se aplica una carga en el flanco. Evidentemente, la presencia de la grieta afecta no solamente al propio diente sino que también a los adyacentes modificando las flexibilidades (βij) que se utilizan en la ecuación (3).

Por su parte, la presencia de una picadura afectará al comportamiento local por lo que para su implementación simplemente se modificará la longitud de contacto del diente en dirección axial alterando el valor de la carga por unidad de longitud q que aparece en la ecuación (2).

EJEMPLO DE APLICACIÓN

A continuación se va a aplicar el modelo descrito anteriormente en la simulación de una transmisión mediante una pareja de engranajes cilíndricos de dientes rectos definida por los parámetros que se muestran en la Tabla 1. Ambas ruedas están soportadas mediante sendas parejas de rodamientos idénticos dispuestos de forma que todos los elementos rodantes se encuentran en fase.

Únicamente se considera la rigidez de las ruedas y rodamientos asumiendo que los ejes son infinitamente rígidos tanto a flexión como a torsión. La estimación del error de transmisión se lleva a cabo considerando que la rueda conductora (en adelante rueda 1) posee una orientación angular conocida (θ1) y esta sujeta a un par exterior

determinado Text.. El problema se reduce a localizar la posición del centro de esta rueda (x1, y1) así como la posición y orientación de la otra rueda (x2, y2, θ2) de forma que se verifique que

1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2( , , , , , ) ( , , , , , ) ;Rodamientos Contacto ExteriorF x y x y F x y x y Fθ θ θ θ+ =

r r r (9)

Donde { } { } { }1 1 2 2 1 1 1 2 2, ,0, , ; , , , , ; 0,0, ,0,0 ;

T T TRodamientos Rx Ry Rx Ry Contacto Cx Cy C Cx Cy Exterior ExteriorF F F F F F F F T F F F T= = =r r r

Tabla 1 Parámetros que definen la transmisión

Parámetro Valor Parámetro Valor Numero de dientes, Z1=Z2 23 Redondeo de la punta del diente 0.05 m Módulo, m 3 (mm) Ancho de cara 15 (mm) Módulo Elástico, E 210 (GPa) Radio del eje 9 (mm) Módulo de Poisson 0.3 Rigidez bolas, kB 7.055 109 N/m3/2 Angulo de presión 20 (degree) Número de bolas, n 9 Addendum de la cremallera 1.25 m Holgura Radial, c 20 (µm) Dedendum de la cremallera 1 m Radio Exterior, R 14.13 (mm) Redondeo de la punta de la cremallera 0.25 m

La resolución del sistema de ecuaciones resultante se llevará a cabo mediante un procedimiento iterativo debido a

su carácter no lineal como consecuencia de la presencia de las no linealidades vinculadas a los rodamientos y a los esfuerzos de engrane. Una vez conocidas las posiciones angulares de ambas ruedas (θ1 es dato y θ2 se obtiene al resolver (9)), es posible obtener el LTE correspondiente a una posición y una carga determinadas mediante la expresión:

11 2 1

2

( , ) ;zLTE Tz

θ θ θ= − (10)

A partir del LTE es posible deducir la rigidez torsional KT (ó lineal si fuera necesario). Es preciso aclarar que

debido a la flexibilidad de los apoyos, la posición del centro de las ruedas será distinta en función de la magnitud del par aplicado. Este hecho implica que la distancia de trabajo entre ruedas sufrirá una variación y por lo tanto se modificará el juego entre dientes por lo que la interpretación del LTE obtenido mediante el procedimiento anterior debe de hacerse con cierta precaución. Este mismo problema puede encontrarse en el caso de una transmisión real en la que el error de transmisión se obtenga mediante la medición de la posición angular del eje de salida.

A continuación se presentan los resultados obtenidos para el ejemplo propuesto. En la Fig. 5 se presenta el LTE correspondiente a la ausencia de defectos (en adelante denominado LTE base) para diversos niveles de carga (cubriendo el rango desde 10 Nm hasta 190 Nm). En dicha figura es posible apreciar como el incremento de carga modifica la forma del LTE resultante tanto en cuanto a su magnitud como en cuanto a la ampliación del segmento correspondiente al contacto entre 2 parejas de dientes (menor LTE).

En la Fig. 6 a) se presenta el LTE correspondiente a la introducción de una grieta de 1 mm de longitud en la base del diente con la posición y orientación que se muestran en la Fig. 4 (posición radial (32.2875 mm) orientación angular (30º respecto a la horizontal)). Para apreciar mejor el efecto de la grieta, en la Fig. 6 b) se muestra la diferencia entre el LTE correspondiente a la grieta y el LTE correspondiente a la situación sin defecto. La presencia tiene un efecto distinto en función de la posición de engrane. En realidad es posible distinguir tres tramos. En un primer momento perfil del diente con defecto (grieta) inicia el contacto de forma que este se produce en el punto correspondiente al máximo radio de contacto por lo que la pérdida de rigidez debido a la presencia de la grieta (mayor LTE) es más significativa disminuyendo su importancia a medida que el punto de contacto va desplazándose sobre el perfil y por lo tanto se reduce el radio de actuación de la carga. En el momento en el que el diente defectuoso soporta toda la carga, el LTE sufre un incremento brusco apreciándose de nuevo la menor intensidad de este incremento conforme se va reduciendo el radio del punto de contacto. Finalmente cuando se inicia el contacto de una nueva pareja, el diente defectuoso presentará un menor radio para el punto de contacto por lo que la modificación del LTE será sensiblemente inferior a los tramos anteriores.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8-5

-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5x 10-3

Angulo Rueda1 (Radianes)

LTE

bas

e (R

adia

nes)

10 Nm30 Nm50 Nm70 Nm90 Nm110 Nm130 Nm150 Nm170 Nm190 Nm

Fig. 5 LTE sin defectos (LTE base)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8-5

-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5x 10

-3

Angulo Rueda1 (Radianes)

LTE

Con

Grie

ta (R

adia

nes)

10 Nm30 Nm50 Nm70 Nm90 Nm110 Nm130 Nm150 Nm170 Nm190 Nm

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8-1

0

1

2

3

4

5

6

7x 10

-5

Angulo Rueda1 (Radianes)

LTE

base

-LTE

grie

ta (R

adia

nes)

Fig. 6 a) LTE con grieta; b) Diferencia entre el LTE base y el LTE con grieta

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-1.74

-1.735

-1.73

-1.725

-1.72

-1.715x 10

-3

Angulo Rueda1 (Radianes)

LTE

(Rad

iane

s)

Con pitting 10 NmBase 10 Nm

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-4.75

-4.7

-4.65

-4.6

-4.55

-4.5

-4.45

-4.4x 10

-3

Angulo Rueda1 (Radianes)

LTE

(Rad

iane

s)

Con Pitting 190 Nm

Base 190 Nm

Fig. 7 LTE con pitting a) 10 Nm ; b) 190 Nm.

La introducción de una picadura (pitting) únicamente afectará al tramo del diente en el que exista contacto en esa zona por lo que solamente se ha representado un ciclo de engrane. En este caso el defecto está localizado entre los radios de contacto de 35.1329 mm y 34.8329 mm poseyendo una anchura máxima de 3 mm en la dirección axial (con una variación parabólica en el rango de radios de contacto indicado). Dada la dificultad de visualizar este fenómeno cuando se consideran los distintos niveles de carga, en la Fig. 7 solamente se presentan los resultados correspondientes a los valores extremos de la carga aplicada (10 Nm y 190 Nm) tanto para el LTE base como para el LTE con picadura.

La inclusión de los errores de perfil se ha formulado mediante un modelo que representa la desviación e(s) del perfil real con respecto al perfil ideal de acuerdo con la expresión

0 0

0 0

( ) ( )( ) sen(2 );

( ) 2 ( )f

Ha rf f

fs s s se s f f

s s s sπ

− −= +

− − (11)

En donde s representa el radio de curvatura de la involuta, s0 el radio de curvatura inferior y sf el radio de

curvatura superior (exterior del diente). El error se considera que adopta forma senoidal con fr ciclos a lo largo delperfil. Los parámetros que definen la magnitud del error son fHa y ff que se corresponden con las magnitudes identificadas en la Fig. 8 b). En dicha figura también aparecen identificados los valores adoptados en el ejemplo. Los valores de error de perfil positivos indican que el radio de curvatura del punto de la evolvente teórica se verá incrementado, resultando reducido en caso contrario.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3x 10

-3

s

Erro

r de

Per

fil (m

m)

s0 sf

fffHa

Fig. 8 Definición del error de perfil a) identificación del valor s; b) forma de error adoptada (fHa = 0.0020 mm, ff = 0.0030, sf= 18.8476, s0= 1.9326, fr= 1.8 Hz)

La introducción del error de perfil modifica completamente el LTE frente al caso de perfil ideal sin defectos. En la Fig. 9 se presentan las situaciones extremas correspondientes al mínimo (Fig. 9 a) 10 Nm) y máximo par aplicado (Fig. 9 b) 190 Nm). Cuando los niveles de carga son reducidos el efecto del error de perfil es más notable mientras que el incremento de la carga reduce en cierta medida las diferencias. En ambos casos el LTE será menor debido a que como el error considerado es básicamente positivo (ver Fig. 8) pues se produce una reducción de la holgura entre perfiles, adelantandose el contacto.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8-1.74

-1.72

-1.7

-1.68

-1.66

-1.64

-1.62x 10-3

Angulo Rueda1 (Radianes)

LTE

(Rad

iane

s)

LTE con error 10 Nm

LTE base 10 Nm

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8-4.75

-4.7

-4.65

-4.6

-4.55

-4.5

-4.45

-4.4

-4.35

-4.3x 10

-3

Angulo Rueda1 (Radianes)

LTE

(Rad

iane

s)

LTE con error 10 Nm

LTE base 10 Nm

Fig. 9 LTE con errores de perfil a) 10 Nm; b) 190 Nm

CONCLUSIONES

En este trabajo se ha presentado un procedimiento para la determinación del error de transmisión bajo carga (LTE) de una transmisión mediante engranajes cilíndricos rectos soportados mediante rodamientos de bolas. El modelo propuesto incorpora la deformación de los engranajes así como la de los apoyos. La deformación de los engranajes distingue entre las denominadas deformaciones estructurales debidas mayoritariamente a la flexión del

s

diente y las deformaciones de contacto de carácter local. Mediante esta división la no-linealidad queda vinculada exclusivamente con el modelo de contacto local, mientras que el comportamiento estructural será lineal. De este modo es posible reducir el esfuerzo computacional frente a la utilización de modelos de elementos finitos convencionales con elementos de contacto, los cuales deben resolver simultáneamente ambos problemas. El modelo considera la interacción entre las diversas parejas de dientes en contacto de forma que la variación de la carga se manifiesta en una modificación significativa de la relación de contacto. Por otro lado el procedimiento permite una mejor representación del modo en que se transfiere la carga al modificar el número de parejas en contacto.

La formulación propuesta ha sido convenientemente adaptada de forma que sea posible la inclusión de diversos tipos de defectos como, los errores de perfil, la presencia de una grieta o de una picadura. Cada uno de estos fenómenos ha sido analizado para una transmisión sometida a diversos niveles de carga observando la incidencia que cada uno de estos defectos tiene en el LTE de la transmisión.

El compromiso adoptado entre la precisión y el esfuerzo computacional necesario para porporcionar una solución permiten que el modelo propuesto sirva de base para el estudio de otros aspectos vinculados con las transmisiones mediante engranajes como el desgaste, el comportamiento dinámico, la optimización, la eficiencia, el ruido y especialmente el mantenimiento predictivo en base a la medida de vibraciones mecánicas.

AGRADECIMIENTOS

Este trabajo ha sido desarrollado en el marco de los proyectos DPI1003-1854 y DPI2006-14348 financiados por el Ministerio Español de Educación y Ciencia.

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UNIDADES Y NOMENCLATURA KT Rigidez Torsional (Nm/Radian) δi Distancia entre puntos potenciales de contacto medida sobre la normal a los perfiles (m) ε Relación de contacto (adimensional) ET Error de transmisión (µm o rads) LTE Error de transmisión bajo carga (µm o rads) DTE Error de transmisión dinámico (µm o rads) MTE Error de transmisión de fabricación (cinemático) (µm o rads) h Distancia entre la superficie y la interfase en el interior del cuerpo (m) L Ancho de la rueda βij Desplazamiento del contacto j cuando se aplica una carga unitaria en el contacto i (m) N Nº de puntos de contacto potencial uE,Lj Desplazamiento (Estructural / Local) del punto j del flanco en dirección normal al mismo (m) q Carga por unidad de longitud (F/m) L Semi-extensión distribución de presiones de contacto (m) ν Coeficiente de Poisson material ruedas E Módulo elástico material ruedas (MPa) Fi Carga unitaria normal al flanco del diente aplicada en nodo activo “i” na Número de nodos en flanco activo nr Número de nodos en resto de flancos nr Número de nodos en resto de flancos {rpiñón} Vector de posición del centro del piñón {rrueda} Vector de posición del centro de la rueda θpiñón Ángulo girado por el piñón θrueda Ángulo girado por la rueda eip,r Error de perfil del piñón / rueda (m) θb Separación angular entre elementos rodantes del rodamiento (radianes) θeje Ángulo girado por el eje (radianes) r Radio pista interior del rodamiento (mm) R Radio pista exterior del rodamiento (mm) θi Posición angular del elemento rodante “i” (radianes) Fθi Fuerza resultante sobre elemento rodante “i” (N) kB Rigidez total del rodamiento (N/m) δθi Deformación radial del elemento rodante “i” (m) c Holgura radial del rodamiento (m) nb Número de elementos rodantes. e(s) Error de perfil en función del radio de curvatura (mm) fHa Amplitud de la componente variable del error de perfil (mm) ff Pendiente del error de perfil (mm) fr Frecuencia que define la forma del error de perfil (Hz) s Radio de curvatura del punto de contacto (mm)