uitwerkingen - informaticawebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/1gym_uitw.pdf · wiskunde...

W i s k u n d evoor de eerste klas van het gymnasium

UITWERKINGEN

AUTEUR: JOHANNES SUPIT

COSMICUS MONTESSORI LYCEUM

AMSTERDAM, 2010

Inhoudsopgave

1 Getallen 11.1 Van de een naar de nul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 De Getallenlijn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3 Rekenen met pijlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3.1 Het optellen van pijlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.3.2 Het aftrekken van pijlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.3.3 De vermenigvuldiging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.3.4 Optellen en vermenigvuldigen van breuken . . . . . . . . . . . . . 211.3.5 De deling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.3.6 De volgorde van berekeningen en haakjes . . . . . . . . . . . . . . 291.3.7 Rekenen met samengestelde breuken . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.3.8 Machtsverheffen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.4 Algoritmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.4.1 Vermenigvuldigen van natuurlijke getallen . . . . . . . . . . . . . 321.4.2 Vermenigvuldigen van decimale gebroken getallen (komma-

getallen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.4.3 Delingen van natuurlijke getallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.4.4 Deling met decimale, gebroken uitkomst . . . . . . . . . . . . . . . 331.4.5 Delen van decimale gebroken getallen . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.4.6 Decimale getallen, breuken en benaderen . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.5 Getaltheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.5.1 Natuurlijke, gehele en rationele getallen . . . . . . . . . . . . . . . 401.5.2 Deelbaarheid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.5.3 Priemgetallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.5.4 Som, verschil, product, quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421.5.5 Deficiente, excessieve en volmaakte getallen . . . . . . . . . . . . . 461.5.6 De grootste gemene deler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471.5.7 Het kleinste gemene veelvoud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471.5.8 Nog eens machten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481.5.9 Toepassing van GGD en KGV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

1.6 Gemengde opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

i

ii INHOUDSOPGAVE

2 Meetkundige constructies 512.1 Inleiding: Bouwstenen van de meetkunde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.2 Gelijkzijdige driehoeken en regelmatige zeshoeken . . . . . . . . . . . . . 542.3 Loodlijnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.4 Hoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752.5 Regelmatige veelhoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872.6 Pseudoconstructies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

3 Algebra 973.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983.2 Basiskennis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

3.2.1 De getallenlijn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983.2.2 Symbolen, tekens en getallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983.2.3 Afspraken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013.2.4 Eigenschappen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

3.3 Variabelen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1033.3.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1033.3.2 Vermenigvuldigen met variabelen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1033.3.3 Optellen met variabelen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1033.3.4 Delen met variabelen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1043.3.5 Machten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1113.3.6 Alles door elkaar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

4 Meten en berekenen 1194.1 Hoeken meten en tekenen met de geodriehoek . . . . . . . . . . . . . . . . 1204.2 Bijzondere driehoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1284.3 Bijzondere vierhoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1354.4 Spiegelen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1374.5 Symmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1394.6 Berekening met hoeken en oppervlakten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

5 Het Assenstelsel 1495.1 Het Assenstelsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1505.2 Lijnsymmetrie en puntsymmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1605.3 Het verband tussen x en y in een formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

5.3.1 Verbanden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1645.3.2 Tabellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

5.4 Grafieken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1665.5 Gemengde opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

6 Algebra vervolg 1936.1 Herhaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1946.2 Haakjes wegwerken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1976.3 Alles door elkaar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2006.4 Toepassingen van de algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

6.4.1 Snelrekentrucs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

INHOUDSOPGAVE iii

6.4.2 Merkwaardige uitkomsten? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2046.4.3 Delingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2056.4.4 Rekenraadsels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

6.5 Gemengde opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

Hoofdstuk 1

Getallen

2 Getallen

1.1 Van de een naar de nul

Opgave 1 a) CCLXIV + LXXVII

Schrijf CCLXIV als CCLXIIII, dan

CCLXIV + LXXVII = CCLXIIII + LXXVII =CCLLXXXVIIIIII = CCLLXXXXI = CCCXLI

of:

CC L X IIII

L XX V II +CC LL XXX V IIIIII = CCCXLI

In decimalen:

CCLXIV staat voor 100 + 100 + 50 + 10 + (5 − 1) = 264 (1.1)

LXXVII staat voor 50 + 10 + 10 + 5 + 1 + 1 = 77

Dus 264 + 77 = 341, in Romeinse cijfers: CCCXLI.

b) CDLXXVI +MCCXLIII

Schrijf CDLXXVI als CCCCLXXVI en MCCXLIII als MCCXXXXIII,dan

CDLXXVI +MCCXLIII = CCCCLXXVI +MCCXXXXIII =MCCCCCCLXXXXXXVIIII = MDCLLXIX = MDCCXIX

of:

CCCC L XX V I

M CC XXXX III +M CCCCCC L XXXXXX V IIII = MDCCXIX

In decimalen:

CDLXXVI staat voor (1.2)(500 − 100)+ 50 + 10 + 10 + 5 + 1 = 476 (1.3)

MCCXLIII staat voor (1.4)1000 + 100 + 100 + (50 − 10)+ 1 + 1 + 1 = 1243

Dus 476 + 1243 = 1719, in Romeinse cijfers: MDCCXIX.

Van de een naar de nul 3

c) MDCXXVIII −CCCXLI

Schrijf MDCXXVIII = MCCCCCCXXVIII = MCCCCCLXXXXXXXVIIIen CCCXLI = CCCXXXXI, dan

MDCXXVIII −CCCXLI =MCCCCCLXXXXXXXVIII −CCCXXXXI = MCCLXXXVII

of:

M CCCCC L XXXXXXX V III

CCC XXXX I −M CC L XXX V II = MCCLXXXVII

In decimalen:

MDCXXVIII staat voor (1.5)1000 + 500 + 100 + 10 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1 = 1628 (1.6)

CCCXLI staat voor 100 + 100 + 100 + (50 − 10)+ 1 = 341

Dus: 1628 − 341 = 1287, in Romeinse cijfers MCCLXXXVII.

d) X ×CLXXXIV = X ×CLXXXIIII =C⋯ ⋅ C´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶10 keer

L⋯ ⋅ L´¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¶10 keer

X⋯ ⋅ X´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶3× 10=30 keer

I⋯ ⋅ I´¹¹¹¹¸¹¹¹¹¶4× 10=40 keer

= MDCCCXXXX = MDCCCXL

In decimalen:

X staat voor 10 (1.7)

CLXXXIV staat voor 100 + 50 + 10 + 10 + 10 + (5 − 1) = 184

Dus: 10 × 184 = 1840, in Romeinse cijfers MDCCCXL.

Opgave 2 a) 103 = 3 × 1 + 0 × 10 + 1 × 100 = 3 × 1 + 0 × 101 + 3 × 102

b) 9.010 = 0 × 1 + 1 × 10 + 0 × 100 + 9 × 1.000

= 0 × 1 + 1 × 101 + 0 × 102 + 9 × 103

c) 23.431.007 = 7 × 1 + 0 × 10 + 0 × 100 + 1 × 1.000 + 3 × 10.000 +4 × 100.000 + 3 × 1.000.000 + 2 × 10.000.000

= 7 × 1 + 0 × 101 + 0 × 102 + 1 × 103 + 3 × 104 +4 × 105 + 3 × 106 + 2 × 107

4 Getallen

Opgave 3

VIJFTALLIG DECIMAAL BINAIR OCTAAL HEXADECIMAAL

(10-tallig) (2-tallig) (8-tallig) (16-tallig)

0 0 0 0 0

1 1 1 1 1

2 2 10 2 2

3 3 11 3 3

4 4 100 4 4

10 5 101 5 5

11 6 110 6 6

12 7 111 7 7

13 8 1000 10 8

14 9 1001 11 9

20 10 1010 12 A

21 11 1011 13 B

22 12 1100 14 C

23 13 1101 15 D

24 14 1110 16 E

30 15 1111 17 F

31 16 10000 20 10

32 17 10001 21 11

33 18 10010 22 12

34 19 10011 23 13

40 20 10100 24 14

41 21 10101 25 15

42 22 10110 26 16

43 23 10111 27 17

44 24 11000 30 18

100 25 11001 31 19

101 26 11010 32 1A

102 27 11011 33 1B

103 28 11100 34 1C

104 29 11101 35 1D

110 30 11110 36 1E

111 31 11111 37 1F

112 32 100000 40 20


Opgave 4 ● 10101 (bin) = 1 × 1 + 0 × 21 + 1 × 22 + 0 × 23 + 1 × 24

= 1 + 0 + 4 + 0 + 16 = 21

● 100001 (bin) = 1 × 1 + 0 × 21 + 0 × 22 + 0 × 23 + 0 × 24 + 1 × 25

= 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 32 = 33

● 11111 (bin) = 1 × 1 + 1 × 21 + 1 × 22 + 1 × 23 + 1 × 24

= 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31

Opgave 5 21 = 2 23 = 8 25 = 32 27 = 128 29 = 512

22 = 4 24 = 16 26 = 64 28 = 256 210 = 1024

Opgave 6 a) 1000 binair = 0 × 1 + 0 × 21 + 0 × 22 + 1 × 23 = 8

b) 11 binair = 1 × 1 + 1 × 21 = 3

c) 1100110 binair = 0 × 1 + 1 × 21 + 1 × 22 + 0 × 23 +0 × 24 + 1 × 25 + 1 × 26

= 0 + 2 + 4 + 0 + 0 + 32 + 64 = 102

d) 10 1011

binair, eerst de breuk: 1011

binair = 23

decimaal, en dus

10 1011

binair = 2 23

decimaal.

Opgave 7 a) 21 = 16 + 4 + 1 = 24 + 22 + 1

= 1 × 24 + 0 × 23 + 1 × 22 + 0 × 21 + 1 × 1

= 10101 binair

b) 100 = 64 + 32 + 4 = 26 + 25 + 22

= 1 × 26 + 1 × 25 + 0 × 24 + 0 × 23 + 1 × 22 + 0 × 21 + 0 × 1

= 1100100 binair

256 = 1 × 28 + 0 × 27 + 0 × 26 + 0 × 25 +0 × 24 + 0 × 23 + 0 × 22 + 0 × 21 + 0 × 1

= 100000000 binair

6 Getallen

Opgave 8 a) • 11 = 8 + 2 + 1 = 23 + 21 + 1

11 = 1 × 23 + 0 × 22 + 1 × 21 + 1 × 1

11 = 1011 binair

• 22 = 16 + 4 + 2 = 24 + 22 + 21

22 = 1 × 24 + 0 × 23 + 1 × 22 + 1 × 21 + 0 × 1

22 = 10110 binair

• 44 = 32 + 8 + 4 = 25 + 23 + 22

44 = 1 × 25 + 0 × 24 + 1 × 23 + 1 × 22 + 0 × 21 + 0 × 1

44 = 101100 binair

• 88 = 64 + 16 + 8 = 26 + 24 + 23

88 = 1 × 26 + 0 × 25 + 1 × 24 + 1 × 23 + 0 × 22 + 0 × 21

88 = + 0 × 1

88 = 1011000 binair

b) Een binair getal is even als het op een nul eindigt. Het getal isdan de som van de getallen 21 , 22 , 23 , . . . Aangezien dit allemaaleven getallen zijn, is de som van deze getallen dus ook even.

c) Een binair getal is deelbaar door acht als de laatste drie cijfersvan dat getal gelijk zijn aan nul. Het getal is dan de som van degetallen 23 = 8, 24 = 16, 25 = 32, . . ., die stuk voor stuk deelbaarzijn door acht.

Opgave 9 a) • 11 + 11 = 110

• 1011 + 11111 = 101010

b) • 11 binair = 1 × 1 + 1 × 21 = 3 decimaal, dus

3 + 3 = 6 = 4 + 2 = 22 + 21

= 1 × 22 + 1 × 21 + 0 × 1 = 110 binair

• 1011 binair = 1 × 1 + 1 × 21 + 0 × 22 + 1 × 23

= 1 + 2 + 8 = 11 decimaal.

11111 binair = 1 × 1 + 1 × 21 + 1 × 22 + 1 × 23 + 1 × 24

= 1 + 2 + 4 + 8 + 8 + 16 = 31 decimaal,

dus 11 + 31 = 42 = 32 + 8 + 2 = 25 + 23 + 21

= 1 × 25 + 0 × 24 + 1 × 23 + 1 × 22 +0 × 21 + 0 × 1 = 101010 binair


Opgave 10 a) • 11 ● 1011

11 × 11111 ×11 1011

110 + 10110

1001 101100

1011000

10110000 +101010101

b) • 11 binair is gelijk aan 3 decimaal, dus

3 × 3 = 9 = 8 + 1 = 23 + 1

= 1 × 23 + 0 × 22 + 0 × 21 + 1 × 1

= 1001 binair

• 1011 binair is gelijk aan 11 decimaal, en 11111 binair is ge-lijk aan 31 decimaal (zie vorige opgave), dus

11 × 31 = 341 = 256 + 64 + 16 + 4 + 1

= 28 + 26 + 24 + 22 + 1

= 1 × 28 + 0 × 27 + 1 × 26 + 0 × 25 + 1 × 24 +0 × 23 + 1 × 22 + 0 × 21 + 1 × 1

= 101010101 binair

Opgave 11 a) 110 binair = 6 octaal = 6 hexadecimaal

b) 11011 binair

• Het octale equivalent:

1. Verdeel het getal van rechts naar links in groepjesvan drie: 11∣011

2. Schrijf van ieder groepje het octale equivalent op:

11 = 3

011 = 3

3. 11011 binair = 33 octaal

• Het hexadecimale equivalent:

1. Verdeel het getal van rechts naar links in groepjesvan vier: 1∣1011

8 Getallen

2. Schrijf van ieder groepje het hexadecimale equiva-lent op:

1 = 1

1011 = B

3. 11011 binair = 1B hexadecimaal

c) 1010110 binair

• Het octale equivalent:

1. Verdeel het getal van rechts naar links in groepjesvan drie: 1∣010∣110

2. Schrijf van ieder groepje het octale equivalent opg:

1 = 1

010 = 2

110 = 6

3. 1010110 binair = 126 octaal

• Het hexadecimale equivalent:

1. Verdeel het getal van rechts naar links in groepjesvan vier: 101∣0110

2. Schrijf van ieder groepje het hexadecimale equiva-lent op:

101 = 5

0110 = 6

3. 1010110 binair = 56 hexadecimaal

Opgave 12 a) 21dec = 2 × 81 + 5 × 1 = 25oct

b) 100dec = 1 × 64 + 4 × 8 + 4 × 1

= 1 × 82 + 4 × 81 + 4 × 1 = 144oct

c) 256dec = 4 × 64 = 4 × 82 + 0 × 81 + 0 × 1 = 400oct

Opgave 13 a) 10 + 110 = 121.

Controle: 10 (octaal) = 1 × 81 + 0 × 1 (decimaal) = 8 en

110 (octaal) = 1 × 82 + 1 × 81 + 0 × 1 (decimaal) = 72.


De som (in decimalen) is dus:

8 + 72 = 80 = 1 × 82 + 2 × 81 + 0 × 1 = 121 (octaal).Dus het klopt.

b) 10

110 ×100

1000 +1100

Controle: Het product (in decimalen) van 8 en 72 is gelijk aan8 × 72 = 576 = 512 + 64

= 1 × 83 + 1 × 82 + 0 × 8 + 0 × 1

= 1100 (octaal).Dus het klopt.

10 Getallen

1.2 De Getallenlijn

Opgave 15 a) Teken een rechte lijn van 0 tot 1:

0 1

Verdeel het stuk van 0 tot 1 in drie gelijke delen en duid de positie

van 23

aan:

0 123

Verwijder de verticale lijnen die niet benoemd zijn:

0 123

Verdeel het stuk van 0 tot 1 in vier gelijke delen en duid de positie

van 34

aan:

0 123

34

Verwijder de verticale lijnen die niet benoemd zijn:

0 123

34

Verdeel het stuk van 0 tot 1 in vijf gelijke delen en duid de positie

van 45

aan; verwijder daarna de verticale lijnen die niet benoemd

zijn:

0 123

34

45

De Getallenlijn 11

0 123

34

45

Verdeel het stuk van 0 tot 1 in acht gelijke delen en duid de positie

van 58


zijn:

0 123

34

45

58

0 123

34

45

58

Verdeel het stuk van 0 tot 1 in negen gelijke delen en duid de

positie van 69

aan; verwijder daarna de verticale lijnen die niet

benoemd zijn:

0 123

34

45

58

69

0 123

34

45

58

69

Verdeel het stuk van 0 tot 1 in tien gelijke delen en duid de positie

van 810


zijn:

0 123

34

45

58

69

810

12 Getallen

0 123

34

45

58

69

810

Verdeel het stuk van 0 tot 1 in twaalf gelijke delen en duid de

positie van 912


benoemd zijn:

0 123

34

45

58

69

810

912

0 123

34

45

58

69

810

912

Verdeel het stuk van 0 tot 1 in vijftien gelijke delen en duid de

positie van 1215


benoemd zijn:

0 123

34

45

58

69

810

912

1215

0 123

34

45

58

69

810

912

1215

Verdeel het stuk van 0 tot 1 in twintig gelijke delen en duid de

positie van 1620


benoemd zijn:

De Getallenlijn 13

0 123

34

45

58

69

810

912

12151620

0 123

34

45

58

69

810

912

12151620

Verdeel het stuk van 0 tot 1 in vier-en-twintig gelijke delen en

duid de positie van 1824

aan; verwijder daarna de verticale lijnen

die niet benoemd zijn:

0 123

34

45

58

69

810

912

12151620

1824

0 123

34

45

58

69

810

912

12151620

1824

Uit de laatste figuur zien we dat de volgende getallen dezelfdepositie hebben op de getallenlijn:

● 58

● 23

en 69

● 34

, 912

en 1824

● 45

, 810

, 1215

en 1620

14 Getallen

b) Op dezelfde manier als hierboven verkrijgen we het onder-staande figuur.

0 = 02

1 = 22

01

11

21

12

We zien dan dat de volgende getallen dezelfde positie hebbenop de getallenlijn:

● 0, 01

en 02

● 12

● 1, 11

en 22

● 21

Opgave 16 a) Teken een rechte lijn tussen 0 en 1. Verdeel het stuk tussen 0 en 1

in twaalf gelijke delen en duid de positie van 112

aan:

0 1

112

Verdeel nu het stuk tussen 0 en 1 in acht gelijke delen en duid de

positie van 38

aan:

0 1

112

38

De Getallenlijn 15

b) Schrijf de getallen − 63

en − 74

eerst als samengestelde breuken,

dus − 63

= −2 03

= −2 en − 74

= −1 34. Teken nu een rechte lijn

tussen −1 en −2. Verdeel het stuk tussen −1 en −2 in vier gelijke

delen en duid de positie van − 74

aan:

−1−2

−63

−74

c) Schrijf 3920

= 1 1920

en 5930

= 1 2930

. Beide getallen liggen dus tussen

1 en 2. Teken nu een rechte lijn tussen 1 en 2. Verdeel het stuk

tussen 1 en 2 in twintig gelijke delen en duid de positie van 3920

=1 19

20aan:

1 2

3920

Verdeel het stuk tussen 1 en 2 in dertig gelijke stukken en duid de

positie van 5930

= 1 2930

aan:

1 2

3920

5930

d) Teken een rechte lijn tussen 0 en −1. Verdeel het stuk tussen 0 en

−1 in vijf-en-twintig gelijke delen en duid de positie van − 1225

aan:

16 Getallen

0−1

−1225

Verdeel het stuk tussen 0 en −1 in vijf-en-dertig gelijke delen en

duid de positie van − 1835

aan.

0−1

−1225

−1835

Opgave 17 In deze opgave volgen we dezelfde werkwijze als in de voor-gaande opgaven. We krijgen dan de volgende figuren:

a)0

−11

12

−12

35

−23

34

47

b)2 3

52

73

83

114

135

145

257

c)−1−2−12

5

−2310

−3715

−5825

Rekenen met pijlen 17

1.3 Rekenen met pijlen

1.3.1 Het optellen van pijlen

Opgave 18 a) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9

= 3 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9

= 6 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9

= 10 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9

= 15 + 6 + 7 + 8 + 9

= 21 + 7 + 8 + 9

= 28 + 8 + 9

= 36 + 9

= 45

b) 13 + 862 + 138 + 987 = 875 + 138 + 987

= 1013 + 987

= 2000

Opgave 19 a)0 1 2 3 4 5

1 + 2 = 3

b)0−1−2−3−4−5

0 + −5 = −5

c)0−1−2−3−4−5

−3 + −2 = −5

d)−1 0 1

3

−1 + 43

= 13

18 Getallen

Opgave 20 a) −12 + 3 = −9 want de eerste pijl gaat van 0 naar −12

en de tweede van −12 naar −9

b) −3 + 12 = 9 want de eerste pijl gaat van 0 naar −3

en de tweede van −3 naar 12

c) −3 + −12 = −15 want de eerste pijl gaat van 0 naar −3


Opgave 21 a) 8 = 10 + −2

b) − 35

= −5 + 4 25

c) − 35

= 5 + −5 35

d) −2 + −4 = −4 + −2 = −6

Opgave 22 a) −3 + 5 + −2 = 2 + −2 = 0

b) 11 + −11 + − 12

= 0 + − 12

= − 12

c) −1 + −1 + 1 + −1 = −2 + 1 + −1 = −1 + −1 = −2

d) 1 + −5 + 56+ − 1

6= −4 + 5

6+ − 1

6= −4 + 4

6= −4 + 2

3= −3 1

3

1.3.2 Het aftrekken van pijlen

Opgave 23 a) 1 − 2 = 1 + −2 = −1

−2 −1 0 1 2

b) 0 − −5 = 0 + 5 = 5

0 1 2 3 4 5


c) −3 − −2 = −3 + 2 = −1

−3 −2 −1 0 1

b) −1 − 43

= −1 + − 43

= − 73(= −2 1

3)

0−1−2− 73

Opgave 24 a) 5 − 11 = −6 want de eerste pijl gaat van 0 naar 5

en de tweede van 5 naar −6

b) −11 − 5 = −16 want de eerste pijl gaat van 0 naar −11


c) −5 − −11 = 6 want de eerste pijl gaat van 0 naar −5

en de tweede van −5 naar 6

Opgave 25 a) 8 = 10 − 2

b) − 35

= −5 − −4 25

= −5 − − 225

c) − 35

= 5 − 5 35

= 5 − 285

d) −2 + −4 = −4 − 2 = −6

Opgave 26 a) −3 − 5 + −2 = −3 + −5 + −2 = −8 + −2 = −10

b) 11 − −11 + − 12

= 11 + 11 + − 12

= 22 + − 12

= 21 12

c) −1 + −1 − 1 − −1 = −1 + −1 + −1 + 1

= −2 + −1 + 1 = −3 + 1 = −2

d) 1 − −5 − 56− 1

6= 1 + 5 + − 5

6+ − 1

6

= 6 + − 56+ − 1

6= 5 1

6+ − 1

6= 5

20 Getallen

1.3.3 De vermenigvuldiging

Opgave 27 a)0 1 22

343

2 × 23= 4

3

b)0−1−2−3−4−5

5 × −1 = −5

c)0−1−2−3−4−5

−1 × 5 = −5

d)0 1 2 3 4 5 6 7 8

−2 × −4 = 8

e)0 11

747

14× 4

7= 1

7

f)0−1−2−3−4−5−6−7−8−9−10

− 15× 10 = −2


Opgave 28 a) −7 × 3 = −21 want het tegengestelde van de pijl van 0 naar 3

wordt 7 keer zo lang

b) 11 × −2 = −22 want de pijl van 0 naar −2


c) −5 × −6 = 30 want het tegengestelde van de pijl van 0 naar −6


Opgave 29 a) − 791

+ 12− 84

91= − 7

91+ 1

2+ − 84

91= 1

2+ − 91

91= 1

2+ −1 = − 1

2

b) −25 × 8 × − 15

= 8 × 5 = 40

c) 11 × −20 × −5 × −4 = 11 × 100 × −4 = 1100 × −4 = −4400

d) 15× 7 × 1

11× 15 × 22 = 1

5× 7 × 15 × 2 = 7 × 3 × 2 = 42

e) 12× 20 × 81 × 1

10× 1

9= 10 × 81 × 1

10× 1

9

= 81 × 1 × 19

= 1 × 9 = 9

1.3.4 Optellen en vermenigvuldigen van breuken

Opgave 30 a) 6 = 61= 360

60c) 1 1

5= 6

5= 72

60e) 0 = 0

60

b) − 1115

= − 4460

d) 0, 35 = 3, 510

= 2160

f) −1, 1 = − 1110

= − 6660

Opgave 31 a) 7 17= 50

7c) 4, 3 = 43

10e) 9, 75 = 975

100= 39

4

b) −4 310

= − 4310

d) −8 23= − 26

3f) −2, 111 = − 2111

1000

Opgave 32 a) 1554

= 518

c) 427000

= 3500

e) −3, 15 = − 315100

= − 6320

b) −1, 4 = − 1410

= − 75

d) 14701875

= 98125

f) 22222

= 11111

22 Getallen

Opgave 33 a) 13+ 3

7= 7

21+ 9

21= 16

21

b) 2 34+ 3 3

8= 11

4+ 27

8= 22

8+ 27

8= 49

8= 6 1

8

c) 12 16+ 1 1

14= 73

6+ 15

14= 511

42+ 45

42= 556

42= 278

21= 13 5

21

d) 43+ 17

3= 21

3= 7

e) 143+ 3

14= 196

42+ 9

42= 205

42= 4 37

42

f) 8 23+ 1 5

9= 26

3+ 14

9= 78

9+ 14

9= 92

9= 10 2

9

Opgave 34 a) −12 34+ 11

7= − 51

4+ 8

7= − 357

28+ 32

28= − 325

28= −11 17

28

b) 1234

− 1 18

= 1234

− 98

= 1234

+ − 98

= 2468

+ − 98

= 2378

= 29 58

c) − 127− 13

14= − 12

7+ − 13

14= − 24

14+ − 13

14= − 37

14= −2 9

14

d) − 173− − 1

7= − 17

3+ 1

7= − 119

21+ 3

21= − 116

21= −5 11

21

e) 154+ − 5

6= 45

12+ − 10

12= 35

12= 2 11

12

f) −3 27+ 1 3

5= − 23

7+ 8

5= − 115

35+ 56

35= − 59

35= −1 24

35

Opgave 35 a) 1173

− − 1174

= 1173

+ 1174

= 46812

+ 35112

= 81912

= 2734

= 68 14

b) − 1272

+ 38+ 1

9= − 12

72+ 27

72+ 8

72= 16

72= 23

72

c) − 116

+ 18− − 1

32= − 1

16+ 1

8+ 1

32= − 2

32+ 4

32+ 1

32= 3

32

d) 1217

− − 12

= 1217

+ 12

= 2434

+ 1734

= 4134

= 1 734

e) − 36+ 1

2= − 1

2+ 1

2= 0


f) 185+ 18

25= 90

25+ 18

25= 108

25= 4 8

25

Opgave 36 a) − 23+ 11

4− − 3

8= − 2

3+ 5

4+ 3

8= − 16

24+ 30

24+ 9

24= 23

24

b) 12− − 2

8+ − 1

3= 1

2+ 2

8+ − 1

3= 12

24+ 6

24+ − 8

24= 10

24= 5

12

c) 16+ 1

3− 2

6− 2

12= 2

12+ 4

12− 4

12− 2

12= 0

12= 0

d) 12 110

+ 3 15− 1 2

15= 121

10+ 16

5− 17

15

= 36330

+ 9630

− 3430

= 42530

= 856

= 14 16

e) 89+ 9

8− 8

8+ 9

9= 64

72+ 81

72− 72

72+ 72

72= 145

72= 2 1

72

f) 611

− 116+ 5

11= 36

66− 121

66+ 30

66= − 55

66= − 5

6

Opgave 37 a) 1, 6 + 2 23

= 1610

+ 83

= 4830

+ 8030

= 12830

= 6415

= 4 415

b) 0, 25 − 13+ 0, 5 = 25

100− 1

3+ 5

10= 75

300− 100

300+ 150

300= 125

300= 5

12

of ook:

0, 25 − 13+ 0, 5 = 1

4− 1

3+ 1

2= 3

12− 4

12+ 6

12= 5

12

c) −3 25+ 0, 25 = − 17

5+ 25

100= − 340

100+ 25

100= − 315

100= − 63

20= −3 3

20

of ook:

−3 25+ 0, 25 = − 17

5+ 1

4= − 68

20+ 5

20= − 63

20= −3 3

20

d) −2 67− 0, 5 = − 20

7− 5

10= − 200

70+ − 35

70= − 235

70= − 47

14= −3 5

14

of ook:

−2 67− 0, 5 = − 20

7− 1

2= − 40

14− 7

14= − 47

14= −3 5

14

e) 0, 11 + −1 4950

= 11100

+ − 9950

= 11100

+ − 198100

= − 187100

= −1 87100

24 Getallen

f) 2, 125 + 5 38

= 21251000

+ 438

= 21251000

+ 53751000

= 75001000

= 152

= 7 12

of ook:

2, 125 + 5 38

= 2 18+ 5 3

8= 17

8+ 43

8= 60

8= 15

2= 7 1

2

Opgave 38 a) 39= 1

3c) 27

63= 3

7e) 35

42= 5

6g) 99

121= 9

11

b) 1632

= 12

d) 128256

= 12

f) 6072

= 56

h) 1751

= 13

Opgave 39 a) 13× 2

4= 1

3× 1

2= 1

6

b) 17× 7

3= 1

1× 1

3= 1

3

c) 47× 3

21= 4

7× 1

7= 4

49

d) 1 17× 3 2

7= 8

7× 23

7= 184

49= 3 37

49

e) 12 13× 2 1

4= 37

3× 9

4= 37

1× 3

4= 111

4= 27 3

4

f) 3 15× 1 1

16= 16

5× 17

16= 1

5× 17

1= 17

5= 3 2

5

Opgave 40 a) 2 17× − 3

4= 15

7× − 3

4= −( 15

7× 3

4) = − 45

28= −1 17

28

b) 3 15× − 3

2= 16

5× − 3

2= −( 16

5× 3

2) = −( 8

5× 3

1) = − 24

5= −4 4

5

c) −2 13× −3 1

7= 2 1

3× 3 1

7= 7

3× 22

7= 1

3× 22

1= 22

3= 7 1

3

d) −12 17× 7 = − 85

7× 7

1= − 85

1× 1

1= −85

e) −17 × 317

= − 171× 3

17= − 1

1× 3

1= −3

f) −13 × −2 613

= 13 × 2 613

= 131× 32

13= 1

1× 32

1= 32


Opgave 41 a) − 23× − 5

6= 2

3× 5

6= 1

3× 5

3= 5

9

b) 59× − 3

4= −( 5

9× 3

4) = −( 5

3× 1

4) = − 5

12

c) −1 12× −2 1

3= 1 1

2× 2 1

3= 3

2× 7

3= 1

2× 7

1= 7

2= 3 1

2

d) 100101

× −0, 101 = 100101

× − 1011000

= −( 100101

× 1011000) = −( 1

1× 1

10) = − 1

10

e) −1 34× 4 = − 7

4× 4

1= − 7

1× 1

1= −7

f) 2 23× 0, 75 = 8

3× 75

100= 2

1× 25

25= 2

1× 1

1= 2

Opgave 42 a) 3 27× − 12

23= 23

7× − 12

23= −( 23

7× 12

23)

= − 23 × 127 × 23

= − 1 × 127 × 1

= − 127

= −1 57

b) −7 13× − 21

6= 22

3× 21

6= 22 × 21

3 × 6= 11 × 7

1 × 3= 77

3= 25 2

3

c) 1524

× 35

= 15 × 324 × 5

= 3 × 18 × 1

= 38

d) 1719

× −7 35

= 1719

× − 385

= −( 1719

× 385)

= − 17 × 3819 × 5

= − 17 × 21 × 5

= − 345

= −6 45

e) −6 25× − 3

16= − 32

5× − 3

16= 32

5× 3

16= 32 × 3

5 × 16= 2 × 3

5 × 1= 6

5= 1 1

5

f) −3 314

× 89

= − 4514

× 89

= − 45 × 814 × 9

= − 5 × 47 × 1

= − 207

= −2 67

Opgave 43 a) 12 13× − 18

37= −( 37

3× 18

37) = − 37 × 18

3 × 37= − 1 × 6

1 × 1= − 6

1= −6

b) 7 17× 12

25= 50

7× 12

25= 50 × 12

7 × 25= 2 × 12

7 × 1= 24

7= 3 3

7

c) −123 13× 3

369= − 370

3× 3

369= − 370 × 3

3 × 369= − 370 × 1

1 × 369= − 370

369= −1 1

396

26 Getallen

d) 12 19× −4 1

2= 109

9× − 9

2= −( 109

9× 9

2)

= − 109 × 99 × 2

= − 109 × 11 × 2

= − 1092

= −54 12

e) 17 13× 2 1

13= 52

3× 27

13= 52 × 27

3 × 13= 4 × 9

1 × 1= 36

1= 36

f) −5 111

× 4 18

= − 5611

× 338

= − 56 × 3311 × 8

= − 7 × 31 × 1

= − 211

= −21

Opgave 44 a) 17 34× −2 3

71= 71

4× − 145

71= −( 71 × 145

4 × 71) = − 1 × 145

4 × 1= − 145

4= −36 1

4

b) −7 19× 1 3

32= − 64

9× 35

32= − 64 × 35

9 × 32= − 2 × 35

9 × 1= − 70

9= −7 7

9

c) −12 13× − 6

37= − 37

3× − 6

37= 37

3× 6

37= 37 × 6

3 × 37= 1 × 2

1 × 1= 2

1= 2

d) 3 127

× 1118

= 8227

× 1118

= 82 × 1127 × 18

= 41 × 1127 × 9

= 451243

= 1 208243

e) 6 27× 3 7

3= 44

7× 16

3= 44 × 16

7 × 3= 704

21= 33 11

21

f) −7 16× 2 4

5= − 43

6× 14

5= − 43 × 14

6 × 5= − 43 × 7

3 × 5= − 301

15= −20 1

15

Opgave 45 a) 8 18× 856

901× 1802

856= 65

8× 856

901× 1802

856= 65

8× 1

1× 2

1= 65

4= 16 1

4

b) 7 13× 12 × 1

22= 22

3× 12

1× 1

22= 1

1× 4

1× 1

1= 4


1.3.5 De deling

Opgave 46 a) 12 ∶ 36 = 1236

= 13

k) 12 ∶ 12

= 12 × 2 = 24

b) 12 ∶ 24 = 1224

= 112

l) 12 ∶ 14

= 12 × 4 = 48

c) 12 ∶ 12 = 1212

= 1 m) 12 ∶ 1100

= 12 × 100 = 1.200

d) 12 ∶ 6 = 126

= 2 n) 12 ∶ 11.000.000

= 12 × 1.000.000

= 12.000.000

e) 12 ∶ 5 = 125

o) 12 ∶ 0 = 120

is onbepaald.

f) 12 ∶ 4 = 124

= 3 p) 12 ∶ −2 = − 122

= −6

g) 12 ∶ 3 = 123

= 4 q) −12 ∶ −2 = 122

= 6

h) 12 ∶ 2 = 122

= 6 r) 112

∶ 2 = 112

× 12

= 124

i) 12 ∶ 1 = 121

= 12 s) 112

∶ 12

= 112

× 2 = 16

j) 12 ∶ 34

= 12 × 43

= 483

t) 112

∶ 34

= 112

× 43

= 436

= 19

Opgave 47 a) 3 ∶ 7 = 37

d) −18 ∶ −54 = 1854

= 13

b) −8 ∶ 5 = − 85

e) −99 ∶ 1 = − 991

= −99

c) 0 ∶ −100 = − 0100

= 0 f) −2 ∶ 0 = − 20

is onbepaald.

Opgave 48 a) 12∶ 3

4= 1

2× 4

3= 4

6= 2

3

b) 37∶ 3

14= 3

7× 14

3= 42

21= 2

28 Getallen

c) 78∶ 1

2= 7

8× 2

1= 14

8= 7

4= 1 3

4

d) 19∶ 3

18= 1

9× 18

3= 18

27= 2

3

e) 1115

∶ 35

= 1115

× 53

= 5545

= 119

= 1 29

f) − 14∶ 1

9= − 1

4× 9

1= − 9

4= −2 1

4

Opgave 49 a) 1 18∶ 1

2= 9

8∶ 1

2= 9

8× 2

1= 18

8= 9

4= 2 1

4

b) 25∶ − 2

3= 2

5× − 3

2= −( 2

5× 3

2) = − 6

10= − 3

5

c) − 35∶ − 3

7= 3

5× 7

3= 21

15= 7

5= 1 2

5

d) 2 23∶ 1 3

7= 8

3∶ 10

7= 8

3× 7

10= 56

30= 28

15= 1 13

15

e) −1 45∶ 5

7= − 9

5∶ 5

7= − 9

5× 7

5= − 63

25= −2 13

15

f) 3 14∶ 1 1

9= 13

4∶ 10

9= 13

4× 9

10= 117

40= 2 37

40

Opgave 50 a) 5 ∶ 12

= 5 × 2 = 10

b) 12∶ 5 = 1

2× 1

5= 1

10

c) 3 ∶ 0, 6 = 31∶ 6

10= 3

1∶ 3

5= 3

1× 5

3= 15

3= 5

d) − 35∶ −2 1

2= − 3

5∶ − 5

2= 3

5× 2

5= 6

25

e) 1 19∶ −3 1

3= 10

9∶ − 10

3= −( 10

9× 3

10) = − 30

90= − 1

3

f) −2, 7 ∶ −1 27

= − 2710

∶ − 97

= 2710

× 79

= 18990

= 2110

= 2 110


1.3.6 De volgorde van berekeningen en haakjes

1.3.7 Rekenen met samengestelde breuken

Opgave 51 Eerst de vermenigvuldiging uitrekenen: 2 + 3 × 5 = 2 + 15 = 17 ≠25, dus de tweede berekening is juist.

Opgave 52 a) 9 × 3 − (5 − 1) = 9 × 3 − 4 = 27 − 4 = 23

b) 7 + 5 × −6 = 7 + −30 = −23

c) (7 + 5) × −6 = 12 × −6 = −72

d) −3 + 5 − 45 ∶ 9 = −3 + 5 − 5 = −3

Opgave 53 a) −3 × −4 + 5 − 45 ∶ −5 = 12 + 5 − −9 = 12 + 14 = 26

b) −3 × (−4 + 5)− 45 ∶ −5 = −3 × 1 − −9 = 6

c) −3 × −4 + (5 − 45) ∶ −5 = 12 + −40 ∶ −5 = 12 + 8 = 20

d) −3 × (−4 + 5− 45) ∶ −5 = −3 × −44 ∶ −5 = −3 × 445

= − 1325

= −26 25

Opgave 54 a) −(27 − 9) + 21 = −18 + 21 = 3

b) −27 − (9 + 21) = −27 − 30 = −57

c) (−13 + 5 − 19) ∶ 9 = −27 ∶ 9 = −3

d) −(13 + 5) − 18 ∶ 9 = −18 − 2 = −20

Opgave 55 a) (2 × 3 − 7 × −4) × −5 = (6 − −28) × −5 = 34 × −5 = −170

b) −2 × 3 − (7 × −4 − 3) = −6 − (−28 − 3) = −6 − −31 = 25

c) −2 × (3 − 7) − 4 × −3 = −2 × −4 − 4 × −3 = 8 − −12 = 20

d) −(2 × 3 − 7) + 4 × 2 = −(6 − 7) + 8 = 1 + 8 = 9

e) −2 × 3 − 7 × (4 + 3 × −1) = −6 − 7 × (4 + −3) = −6 − 7 × 1 = −13

f) −2 × (3 − (4 × 5 + 1) − 7) = −2 × (3 − (20 + 1) − 7)= −2 × (3 − 21 − 7) = −2 × −25 = 50

30 Getallen

1.3.8 Machtsverheffen

Opgave 56 a) 34 = 3 × 3 × 3 × 3 = 81

b) (1 12)2 = ( 3

2)2 = 3

2× 3

2= 32

22 = 94

c) 23 × 54 = 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 5 × 5 = 8 × 625 = 5000

d) (−1)101 == 1³¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹·¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹µ−1 × −1 ×⋯

= 1³¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹·¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹µ−1 × −1´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶100 keer

× − 1 = 1 × 1 × . . . × 1´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶50 keer

× − 1 = −1

e) 109 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 1.000.000.000

f) 4 × 103 = 4 × 10 × 10 × 10 = 4 × 1000 = 4000

Opgave 57 a) 24 × 25 = 29 c) 212 × 2 = 213

b) 36 × 37 = 313 d) 23 × 24 = 27

Opgave 58 a) 25 ∶ 24 = 2 c) 27 ∶ 23 = 24

b) 26 ∶ 2 = 25 d) 33 ∶ 3 = 32

Opgave 59 a) ( 13)2 = 1

3× 1

3= 12

32 = 19

b) ( 27)3 = 2

7× 2

7× 2

7= 23

73 = 8343

c) ( 15)3 = 1

5× 1

5× 1

5= 13

53 = 1125

d) ( ( 23)2 )3 = ( 2

3× 2

3)3 = ( 22

32 )3 = ( 49)3 = 4

9× 4

9× 4

9= 43

93 = 64729

Opgave 60 a) ( ( (−2)2 )2 )2 = ( (−2 × −2)2 )2 = (42)2 = 162 = 256

b) (−3)3 = −3 × −3 × −3 = −27


c) ( (−3)2 )3 = (−3 × −3)3 = 93 = 729

d) ( ( − 13)2 )3 = ( − 1

3× − 1

3)3 = ( 12

32 )3 = ( 19)3

= 19× 1

9× 1

9= 13

93 = 1729

Opgave 61 a) 110000

= 14

104 , dus ( 110)4 = 1

10000

b) 1681

= 24

34 , dus ( 23)4 = 16

81

c) 1256

= 18

28 , dus ( 12)8 = 1

256

32 Getallen

1.4 Algoritmes

1.4.1 Vermenigvuldigen van natuurlijke getallen

Opgave 62 a) 123 b) 203

73 × 14 ×369 812

8610 + 2030 +8979 2842

c) 1201 d) 99

250 × 99 ×0 891

60050 8910 +240200 + 9801

300250

1.4.2 Vermenigvuldigen van decimale gebroken getallen (komma-getallen)

Opgave 63 a) 1, 1 b) 2, 5

1, 11 × 12, 01 ×11 25

110 5000

1100 + 25000 +1, 221 30, 025

c) 3, 8 d) 0, 99

10, 02 × 0, 99 ×76 891

38000 + 8910 +38, 076 0, 9801

Algoritmes 33

1.4.3 Delingen van natuurlijke getallen

1.4.4 Deling met decimale, gebroken uitkomst

1.4.5 Delen van decimale gebroken getallen

1.4.6 Decimale getallen, breuken en benaderen

Opgave 64 a) 1 ∶ 6 = 16

of:

6 /1,00000 . . . /0, 16666 . . .

6

40

36

40

36

40

36

40⋮Dus 1 ∶ 6 = 1, /6 (als repeterend breuk).

b) 13 ∶ 9 = 139

of:

9 /13, 0000. . . /1, 4444 . . .

9

4 0

3 6

4 0

3 6

40

36

40⋮Dus 13 ∶ 9 = 1, /4 (als repeterend breuk).

34 Getallen

c) 100 ∶ 7 = 1007

of:

7 /100,000000 . . . /14, 285714 . . .

7

30

28

2 0

1 4

60

56

40

35

50

49

10

7

30⋮Zo doorgaande vindt men 100 ∶ 7 = 14, /2/8/5/7/1/4 (als repeterendbreuk).

d) 98 ∶ 50 = 9850

= 4925

of:

50 /98 ,00/1, 96

50

4 8 0

4 5 0

3 0 0

3 0 0

0

Dus 98 ∶ 50 = 1, 96 (in decimalen).

Algoritmes 35

Opgave 65 a) 1 ∶ 6 ≈⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

0, 2 in een decimaal0, 17 in twee decimalen0, 167 in drie decimalen

b) 13 ∶ 9 ≈⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩


c) 100 ∶ 7 ≈⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩


d) 98 ∶ 50 ≈⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩


Opgave 66 a) 13683 ∶ 0, 3 = 136830 ∶ 3, dus

3 /136830 /45610

12

16

15

18

18

30

30

0

b) 11 /1,353 /0, 123

1 1

25

22

33

33

0

36 Getallen

Opgave 67 a) Stel breuk = 0, /2, dan

10 × breuk = 2, 222222...

10× breuk = 0, 222222... −19 × breuk = 2

dus breuk = 29

b) Stel breuk = 0, /6, dan

10 × breuk = 6, 666666...

10× breuk = 0, 666666... −19 × breuk = 6

dus breuk = 69= 2

3

c) Stel breuk = 0, /0/9, dan

100 × breuk = 9, 090909...

100× breuk = 0, 090909... −199 × breuk = 9

dus breuk = 999

= 111

d) Stel breuk = 1, 1/1/2, dan

1000 × breuk = 1112, 121212...

1010 × breuk = 1111, 121212... −1990 × breuk = 1101

dus breuk = 1101990

= 367330

Algoritmes 37

Alles door elkaar

Opgave 69 a) −7 + 4 = −3 want de eerste pijl gaat van 0 naar −7


b) −7 + −6 = −13 want de eerste pijl gaat van 0 naar −7

en de tweede pijl gaat van −7 naar −13

c) 5 − −3 = 8 want de eerste pijl gaat van 0 naar 5

en de tweede pijl gaat van 5 naar 8

Opgave 70 a) −5 × 2 = −10 want het tegengestelde van de pijl van 0 naar 2


b) 5 × −3 = −15 want de pijl van 0 naar −3


c) −5 × −4 = 20 want het tegengestelde van de pijl van 0 naar −4


Opgave 71 a) 711

+ 722

= 1422

+ 722

= 2122

b) 211

− 722

= 422

− 722

= − 322

c) 211

× 722

= 2 × 711 × 22

= 1 × 711 × 11

= 7121

d) 1 14× 2 1

5= 5

4× 11

5= 5 × 11

4 × 5= 1 × 11

4 × 1= 11

4= 2 3

4

e) −1 45× 5

7= − 9

5× 5

7= − 9 × 5

5 × 7= − 9 × 1

1 × 7= − 9

7= −1 2

7

f) −1 45− 5

7= − 9

5− 5

7= − 63

35− 25

35= − 88

35= −2 18

35

g) 25∶ − 3

7= 2

5× − 7

3= −( 2

5× 7

3) = − 14

15

h) 2 23∶ 1 3

7= 8

3∶ 10

7= 8

3× 7

10= 8 × 7

3 × 10= 4 × 7

3 × 5= 28

15= 1 13

15

Opgave 72 a) (9 − 5) × 4 = 4 × 4 = 16

b) 9 × −2 + 5 × 4 = −18 + 20 = 2

38 Getallen

c) (9 + 5) × 4 = 14 × 4 = 56

d) −9 ∶ 3 × (−7 + 4) = −9 ∶ 3 × −3 = 9

Opgave 73 a) 20 − 2 × 8 + 4 = 20 − 16 + 4 = 4 + 4 = 8

b) − 13+ 1

2= − 2

6+ 3

6= 1

6

c) −1 512

− 718

= − 1712

− 718

= − 5136

− 1436

= − 6536

= −1 2936

d) 3 − (2 − 4 × 3) = 3 − (2 − 12) = 3 − −10 = 13

e) −3 × 5 + 3 × 5 = −15 + 15 = 0

f) (3 − 5) + (3 − 5) = −2 + −2 = −4

g) 3 − 5 × 3 − 5 = 3 − 15 − 5 = −17

h) 12 ∶ 0 + 1 is onbepaald, want 12 ∶ 0 is onbepaald.

i) −8 × 88 + 8

= −6416

= −4

j) 3 × 6 ∶ 9 ∶ 7 − 1 = 3 × 6 × 19× 1

7− 1

= 31× 6

1× 1

9× 1

7− 1

= 1863

− 1 = 1863

− 6363

= − 4563

= − 57

Opgave 74 a) −1 29+ 3 4

21= −11

9+ 67

21= −77

63+ 201

63= 124

63= 1 61

63

b) 7 + 9 × −3 = 7 + −27 = −20

c) −1 − 3 ∶ 11 = −1 − 311

= − 1111

− 311

= − 1411

= −1 311

d) −3 × 8 − 13 × −2 = −24 − −26 = 2

e) 2 ∶ (12 − 4 × 3) = 2 ∶ (12 − 12) = 2 ∶ 0 is onbepaald.

Algoritmes 39

f) (−18 + 9) ∶ 18 − 9 = −9 ∶ 18 − 9 = − 12− 9 = − 1

2− 18

2= − 19

2=

−9 12

g) (−55 + 6 × 50) ∶ −5 = (−55 + 300) ∶ −5 = 245 ∶ −5 = −49

h) 5 × −21−7− (−4 − 8) × 3 = 5 × 3 − −12 × 3 = 15 − −36 = 51

40 Getallen

1.5 Getaltheorie

1.5.1 Natuurlijke, gehele en rationele getallen

1.5.2 Deelbaarheid

1.5.3 Priemgetallen

Opgave 75 143 = 11 × 13 , de delers van 143 zijn dus 1, 11, 13 en 143, 143 is dusgeen priemgetal. De delers van 149 zijn 1 en zichzelf, 149 is dus eenpriemgetal.

De zeef van Eratosthenes

Opgave 76 ● zeef de getallen die deelbaar zijn door 2 uit het vierkant:

2 3 10 5 10 7 10 9 10

11 10 13 15 17 19

21 23 25 27 29

31 33 35 37 39

41 43 45 47 49

51 53 55 57 59

61 63 65 67 69

71 73 75 77 79

81 83 85 87 89

91 93 95 97 99

● zeef de getallen die deelbaar zijn door 3 uit het vierkant:

2 3 10 5 10 7 10 10

11 10 13 17 19

23 25 29

31 35 37

41 43 47 49

53 55 59

61 65 67

71 73 77 79

83 85 89

91 95 97

Getaltheorie 41


2 3 10 5 10 7 10 10

11 10 13 17 19

23 29

31 10 37

41 43 47 49

53 59

61 67

71 73 77 79

83 89

91 97


2 3 10 5 10 7 10 10

11 10 13 17 19

23 29

31 10 37

41 43 47

53 59

61 67

71 73 79

83 89

97

De priemgetallen onder 100 zijn dus: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 en 97.

Opgave 77 De getallen die deelbaar zijn door 4 zijn ook deelbaar door 2 en dezezijn al uit het vierkant gezeefd.

Opgave 78 De getallen die deelbaar zijn door 11 zijn, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88,en 99. Deze getallen zijn deelbaar door respectievelijk 2, 3, 2, 5, 2,7, 2 en 3 en zijn dus al uit het vierkant gezeefd.

42 Getallen

Opgave 79 Bij het zeven van de veelvouden van een priemgetal uit het vierkantzijn zeker alle veelvouden die kleiner zijn dan het kwadraat van datpriemgetal gezeefd. Nu is 900 = 30 × 30, het kleinste priemgetal on-der 30 is 29, dit is dus het grootste priemgetal waarmee gezeefd moetworden.

1.5.4 Som, verschil, product, quotient

Opgave 80 a) Voorbeelden:

• 9 = 1 + 2 + 6

• 9 = 3 + 5 + 1

• 9 = 4 + 2 + 3

c) Voorbeelden:

• 24 = 2 × 3 × 4

• 24 = 3 × 8 × 1

• 24 = 1 × 4 × 6

b) Voorbeelden:

• 14 = 15 − 1

• 14 = 196 − 82

• 14 = 2381 − 2367

d) Voorbeelden:

• 4 = 123

• 4 = 1004

• 4 = 3388847

Opgave 81 90 = 7 + 83 = 11 + 79 = 17 + 73 = 19 + 71 = 23 + 67 = 29 + 61

= 31 + 59 = 37 + 53 = 43 + 47

92 = 3 + 89 = 13 + 79 = 19 + 73 = 31 + 61

94 = 5 + 89 = 11 + 83 = 23 + 71 = 41 + 53

96 = 7 + 89 = 13 + 83 = 17 + 79 = 23 + 73 = 29 + 67 = 43 + 53

98 = 19 + 79 = 29 + 59 = 37 + 61

100 = 3 + 97 = 11 + 89 = 17 + 83 = 29 + 71 = 41 + 59 = 47 + 53

Het vermoeden van Goldbach klopt voor de even getallenvan 90 t/m 100.

Opgave 82 a) 12 = 22 × 3 c) 82 = 2 × 41 e) 351 = 33 × 13

b) 75 = 3 × 52 d) 83 is een priemgetal. f) 936 = 23 × 32 × 13

Getaltheorie 43

Opgave 83 a) 12 = 22 × 3

De delers van 12 zijn:

– Het getal 1.

– De twee priemfactoren: 2 en 3.

– Delers opgebouwd uit twee priemfactoren:2 × 2 = 4 en 2 × 3 = 6.

– Het getal 12 zelf.

Conclusie: de delers van 12 zijn: 1, 2, 3, 4, 6 en 12.Op systematische wijze:

12

1 12

2 6

3 4

b) 75 = 3 × 52


– Het getal 1.


– Delers opgebouwd uit twee priemfactoren: 3 × 3 = 9 en3 × 5 = 15.


Conclusie: de delers van 75 zijn: 1, 3, 5, 9, 15 en 75.Op systematische wijze:

75

1 75

3 25

5 15

44 Getallen

c) 82 = 2 × 41


– Het getal 1.



Conclusie: de delers van 82 zijn: 1, 2, 41 en 82.Op systematische wijze:

82

1 82

2 41

d) Omdat 83 zelf een priemgetal is, zijn 1 en 83 de delers van 83.

e) 351 = 33 × 13


– Het getal 1.


– Delers opgebouwd uit twee priemfactoren: 3 × 3 = 9 en3 × 13 = 39.

– Delers opgebouwd uit drie priemfactoren: 3 × 3 × 3 = 27en 3 × 3 × 13 = 117.


Conclusie: de delers van 351 zijn: 1, 3, 9, 13, 27, 39, 117 en 351.Op systematische wijze:

351

1 351

3 117

9 39

13 27

Getaltheorie 45

f) 936 = 23 × 32 × 13


– Het getal 1.

– De drie priemfactoren: 2, 3 en 13.

– Delers opgebouwd uit twee priemfactoren: 2 × 2 = 4, 2 ×3 = 6, 2 × 13 = 26, 3 × 3 = 9 en 3 × 13 = 39.

– Delers opgebouwd uit drie priemfactoren: 2 × 2 × 2 = 8,2 × 2 × 3 = 12, 2 × 2 × 13 = 52, 2 × 3 × 3 = 18, 2 × 3 ×13 = 78 en 3 × 3 × 13 = 117.

– Delers opgebouwd uit vier priemfactoren: 2 × 2 × 2 × 3 =24, 2 × 2 × 2 × 13 = 104, 2 × 2 × 3 × 3 = 36, 2 × 2 × 3 ×13 = 156 en 2 × 3 × 3 × 13 = 234.

– Delers opgebouwd uit vijf priemfactoren: 2 × 2 × 2 × 3 ×3 = 72, 2 × 2 × 2 × 3 × 13 = 312 en 2 × 2 × 3 × 3 × 13 =468.


Conclusie: de delers van 936 zijn: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 13, 24,26, 36, 39, 52, 72, 78, 104, 117, 156, 234, 312, 468 en 936.Op systematische wijze:

936

1 936

2 468

3 312

4 234

6 156

8 117

9 104

12 78

13 72

18 52

24 39

26 36

46 Getallen

1.5.5 Deficiente, excessieve en volmaakte getallen

Opgave 84 ● 20 = 22 × 5, de delers van 20 zijn dus 1, 2, 4, 5 en 10, en de somder delers is 1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 22. Omdat 22 groter is dan 20is 20 een excessief getal.

● 21 = 3 × 7, de delers van 21 zijn dus 1, 3 en 7, en de som derdelers is 1 + 3 + 7 = 11. Omdat 11 kleiner is dan 21 is 21 eendeficient getal.


● Omdat 23 een priemgetal is, is de som der delers gelijk aan 1 endus is 23 een deficient getal.

● 24 = 23 × 3, de delers van 24 zijn dus 1, 2, 3, 4, 6, 8 en 12, ende som der delers is 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12 = 36. Omdat 36groter is dan 24 is 24 een excessief getal.

● 25 = 52, de delers van 25 zijn dus 1 en 5, en de som der delers is1 + 5 = 6. Omdat 6 kleiner is dan 25 is 25 een deficient getal.


● 27 = 33, de delers van 27 zijn dus 1, 3 en 9, en de som der delersis 1 + 3 + 9 = 13. Omdat 13 kleiner is dan 27 is 27 een deficientgetal.

● 28 = 22 × 7, de delers van 28 zijn dus 1, 2, 4, 7 en 14, en desom der delers is 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. Het getal 28 is dusvolmaakt.

● Omdat 29 een priemgetal is, is de som der delers gelijk aan 1 endus is 29 een deficient getal.

● 30 = 2 × 3 × 5, de delers van 30 zijn dus 1, 2, 3, 5, 6, 10 en 15,en de som der delers is 1 + 2 + 3 + 5 + 6 + 10 + 15 = 42. Omdat42 groter is dan 30 is 30 een excessief getal.

Getaltheorie 47

1.5.6 De grootste gemene deler

Opgave 85 a) 8 = 2 × 2 × 2 en 28 = 2 × 2 × 7, ggd van 8 en 28 is dus 2 × 2 = 4.

b) 15 = 3 × 5 en 25 = 5 × 5, ggd van 15 en 25 is dus 5.

c) 6 = 2 × 3 en 27 = 3 × 3 × 3, ggd van 6 en 27 is dus 3.

d) Ggd van 1021 en 1021 is natuurlijk 1021 zelf.

Opgave 86 a) 84 = 2 × 2 × 3 × 7 en 192 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 , ggdvan 84 en 192 is dus 2 × 2 × 3 = 12.

b) 21 = 1 × 3 × 7 en 40 = 1 × 2 × 2 × 2 × 5, ggd van 21 en 40 isdus 1.

c) 140 = 2 × 2 × 5 × 7 en 392 = 2 × 2 × 2 × 7 × 7, ggd van 140en 392 is dus 2 × 2 × 7 = 28

d) 42 = 2 × 3 × 7 , 105 = 3 × 5 × 7 en 231 = 3 × 7 × 11, ggdvan 42, 105 en 231 is dus 3 × 7 = 21.

1.5.7 Het kleinste gemene veelvoud

Opgave 87 Deel 1320 door 60. Het resultaat is het product van het kleinste aantalpriemfactoren van 264 dat niet in de priemfactoren van 60 zit. Ditgeldt andersom ook, dus 1320 is het kgv van 60 en 264.

Opgave 88 a) 6 = 2 × 3 en 27 = 3 × 3 × 3 , kgv van 6 en 27 is dus 2 × 3 ×3 × 3 = 54.

b) 21 = 3 × 7 en 40 = 2 × 2 × 2 × 5 omdat 21 en 40 geen gemeen-schappelijke delers hebben is het kgv simpelweg het product vandeze twee getallen, dus 21 × 40 = 840.

c) 140 = 2 × 2 × 5 × 7 en 392 = 2 × 2 × 2 × 7 × 7 , kgv van 140en 392 is dus 2 × 2 × 2 × 5 × 7 × 7 = 1960

d) 42 = 2 × 3 × 7 , 105 = 3 × 5 × 7 en 231 = 3 × 7 × 11 , kgvvan 42, 105 en 231 is dus 2 × 3 × 7 × 5 × 11 = 2310

48 Getallen

Opgave 89 De dag waarop Zus en Jet voor het eerst weer samen thuis zijn is hetkgv van 14 en 30. Nu is 14 = 2 × 7 en 30 = 2 × 3 × 5 , kgv is dus2 × 3 × 5 × 7 = 210, dit is dus de dag waarop Zus en Jet voor heteerst weer samen thuis zijn.

1.5.8 Nog eens machten

Opgave 90 30 = 1 31 = 3 32 = 9 33 = 27 34 = 81 35 = 243

Opgave 91 21 = 2 23 = 8 25 = 32 27 = 128 29 = 512

22 = 4 24 = 16 26 = 64 28 = 256 210 = 1024

Opgave 92 12 = 1 52 = 25 92 = 81 132 = 169 172 = 289

22 = 4 62 = 36 102 = 100 142 = 196 182 = 324

32 = 9 72 = 49 112 = 121 152 = 225 192 = 361

42 = 16 82 = 64 122 = 144 162 = 156 202 = 400

1.5.9 Toepassing van GGD en KGV

Opgave 93 a) 63147

= 3 × 3 × 73 × 7 × 7

= 37

b) 225625

= 3 × 3 × 5 × 55 × 5 × 5 × 5

= 3 × 35 × 5

= 925

c) 12102200

= 2 × 5 × 11 × 112 × 2 × 2 × 5 × 5 × 11

= 112 × 2 × 5

= 1120

d) 324144

= 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 32 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3

= 3 × 32 × 2

= 94

e) 10241536

= 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 22 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3

= 23

f) 14852475

= 3 × 3 × 3 × 5 × 113 × 3 × 5 × 5 × 11

= 35

Getaltheorie 49

Opgave 94 a) Het kgv van 21 en 40 is 840 (zie Opgave 88b), dus

221

+ 340

= 80840

+ 63840

= 143840

b) Het kgv van 6 en 27 is 54 (zie opg. 88a), dus

56+ 10

27= 45

54+ 20

54= 65

54

50 Getallen

1.6 Gemengde opgaven

Opgave 96 a) googol + googol = 10100 + 10100 = 2 × 10100

b) 2 googol × 100 = 2 × 10100 × 100 = 2 × 10100 × 102 = 2 × 10102

c) googol ∶ 2000 = 10100 ∶ (103 × 2) = 10100 ∶ 103 ∶ 2 = 1097 ∶ 2

d) 10010 = (102)10 = 1020

e) 100100 = (102)100 = 10200

f) het kwadraat van googol = (10100)2 = 10200

Hoofdstuk 2

Meetkundige constructies

52 Meetkundige constructies

2.1 Inleiding: Bouwstenen van de meetkunde

Opgave 1

l

m

n

A B C

E

F

D

a) Snijpunt van l en m: C

Snijpunt van l en n: B

Snijpunt van m en n: D

b) BC: wel getekendEC: wel getekendBE: niet getekendFA: wel getekendFC: niet getekendBD: wel getekend

c) Driehoeken die wel getekend zijn: △BCD, △ABF en △DEF.

d) Vier notaties voor vierhoek ABDE die niet correct zijn:ADBE, AEBD, ADEB en ABED.

e) ∠ABD: wel getekend∠DBA: wel getekend∠BAD: niet getekend∠ACD: wel getekend∠DCB: wel getekend∠AFB: wel getekend∠DEA: wel getekend

f) ∠AEC = ∠CEA. ∠E is geen goede notatie omdat hiermee ookeen van de hoeken ∠DEF of ∠AEF bedoeld kan worden.

Inleiding: Bouwstenen van de meetkunde 53

Opgave 2 Enkele voorbeelden:—— : ⊙(C, AC)—— : ⊙(A, AB)—— : ⊙(A, BC)

A

B

C

A

B

C

A

B

C


2.2 Gelijkzijdige driehoeken en regelmatige zeshoeken

Opgave 3

A B

C

D

M

Figuur 2.1: Lijnstuk AB en de constructie van het midden M van AB.

Opgave 4 a) Het gaat vooral mis bij twee cirkels met een te kleine straal,want dan kan het gebeuren dat de cirkels geen snijpunten hebbenwaardoor het midden van het gegeven lijnstuk niet te bepalen is.Twee cirkels met een te grote straal kunnen een probleem vor-men als de cirkels zodanig groot zijn dat de snijpunten van detwee cirkels niet meer zichtbaar zijn of buiten de schrift vallen,waardoor het bepalen van het midden van het lijnstuk niet meermogelijk is.Het beste is om twee cirkels te tekenen met een straal iets kleinerdan de lengte van het gegeven lijnstuk. De cirkels zullen elkaarzeker in twee punten snijden en het midden van het lijnstuk kandan makkelijk bepaald worden.

b) Zie volgende bladzijde.

Gelijkzijdige driehoeken en regelmatige zeshoeken 55

Voorbeelden:

C DM

E FM

G H

M


Opgave 5 a)

A B

C

D

Figuur 2.2: Lijnstuk AB en de constructie van degelijkzijdige driehoeken △ABC en △ABD.

b)

P Q

R

Figuur 2.3: Lijnstuk PQ en de constructie van degelijkzijdige driehoek △PQR. Hierbij zijn alleenkleine stukjes van de cirkels⊙(P, PQ) en⊙(Q, PQ) getekend.


Opgave 6 De constructie van het midden van een lijnstuk AB

● Neem het lijnstuk AB over.

● Teken ⊙(A, r) en ⊙(B, r), met straal r iets kleiner dan delengte van AB ⇒ snijpunten C en D.

● Teken CD ⇒ M is het snijpunt van CD met AB.

● M is het midden van het lijnstuk AB.

Opgave 7 a) Voorbeeld:

A B

C

Figuur 2.4: Lijnstuk AB en de constructie van degelijkbenige driehoek △ABC

b) Zie volgende bladzijde.


b) Voorbeeld:

P Q

R

Figuur 2.5: Lijnstuk PQ en de constructie van degelijkbenige driehoek PQR. Hierbij zijn alleenkleine stukjes van de cirkels⊙(P, r) en⊙(Q, r)getekend.

c) In de figuren hieronder worden alleen stukjes van cirkels⊙(A, AC) en ⊙(B, BC) getekend. We zijn immers alleengeınteresseerd in snijpunt C van deze twee cirkels.

A B

CA B

C

Figuur 2.6: Constructies van △ABC met gegeven zijden AB,BC en AC


d) Voorbeeld:

P Q

Q R

P R

De drie gegeven zijden PQ, QR en PR

P Q

R P Q

R

Figuur 2.7: Constructies van △PQR met gegeven zijden PQ,QR en PR

e) Stel dat we beginnen met een zijde AB. In de volgende twee ge-vallen is het dan niet mogelijk om een driehoek te tekenen:

● Als de totale lengte van de zijden BC en AC gelijk is aan delengte van AB. Voorbeeld:

A B

A

B C

C

Als men een driehoek probeert te construeren met de driebovenstaande zijden dan ziet het er bijvoorbeeld als volgtuit:


A B

● Als de totale lengte van de zijden BC en AC kleiner is dande lengte van AB. Voorbeeld:

A B

A

B C

C

Een poging om een driehoek te construeren met de drie bo-venstaande zijden kan er dan als volgt uitzien:

A B


Opgave 8 (Voorbeelduitwerking)a)

M

A

B

C

D

E

F

Figuur 2.8: Cirkel⊙(M, r) en de straal MA 6 keer afgepastop de cirkel

b)

M

A

B

C

D

E

F

c)

M

A

B

C

D

E

F

Er zijn 12 gelijkzijdige driehoeken.


Opgave 9 De constructie van de regelmatige zeshoek

● Teken ⊙(M, r).● Kies een willekeurig punt A op de cirkel.

● Pas zes keer de straal MA af op de cirkel ⇒ snijpuntenB, C, D, E en F.

● De punten A, B, C, D, E en F vormen samen een regelmatigezeshoek.

Opgave 10 a) Er zijn een heleboel vierhoeken die men kan tekenen met de viergegeven zijden. Hieronder worden drie voorbeelden gegeven.


b) Als de totale lengte van de drie gegeven zijden kleiner of gelijk isaan de lengte van de vierde gegeven zijde is het niet mogelijk ommet deze vier gegeven zijden een vierhoek te tekenen.

c) Om een niet-regelmatige zeshoek met zes gelijke zijden te con-strueren begint men eerst met het tekenen van de eerste vier zij-den (wel aan elkaar vast). Daarna gebruikt men de passer om delaatste twee zijden te tekenen. Let wel goed op de keuze van dehoeken waarmee twee zijden aan elkaar vast worden getekend!

Hieronder wordt een voorbeeld gegeven.

● Begin met de eerste vier zijden.

● Teken (delen) van twee cirkels, een met het beginpunt vande figuur als middelpunt en een met het eindpunt van de fi-guur als middelpunt, maar beiden met stralen gelijk aan delengte van de zijde. Men krijgt dan twee snijpunten. Ver-bind nu het begin- en het eindpunt van de figuur met eenvan de twee snijpunten.

De verkregen figuren zijn niet-regelmatige zeshoeken met zes ge-lijke zijden. Op de volgende bladzijde worden de twee figurenzonder de hulpcirkels afgebeeld.


Figuur 2.9: Twee voorbeelden van niet-regelmatigezeshoeken met zes gelijke zijden

Loodlijnen 65

2.3 Loodlijnen

Opgave 11 (Voorbeelduitwerking)

● Teken een lijn l en A niet op l.

A

l

● Teken een cirkel met middelpunt A met een straal die iets groter is dan deafstand van A tot l. Deze cirkel snijdt l in de punten B en C. Construeer nu hetmidden van lijnstuk BC (zie Opgave 3 voor deze constructie). De lijn door hetmidden van BC en A is de gevraagde loodlijn!

A

lB

C

● Laten we de hulpcirkels en hulplijnen weg, dan ziet de loodlijn vanuit A op ler als volgt uit:

A

l


Opgave 12 a), b) (Voorbeelduitwerking)

De constructie van het oprichten van een loodlijn vanuit A op l:

● Teken l en een punt A op l.

● Teken ⊙(A, r)met een straal r zodanig dat de cirkel twee snijpuntenheeft met l. Noem de twee snijpunten B en C.

● Construeer nu het midden van BC.

● De lijn door het midden van BC is het gevraagde loodlijn door A op l.

Zie de figuur hieronder voor een illustratie van de bovenstaande constructie:

A lB

C

Laten we de hulpcirkels en de hulplijnen weg, dan ziet de loodlijn op l opgerichtvanuit A er als volgt uit:

A

Loodlijnen 67

Opgave 13 a) ● Voor de constructie van het neerlaten van loodlijn m vanuitA op l, zie Opgave 11.

● Voor de constructie van het oprichten van loodlijn n vanuitB op l, zie Opgave 12.

Passen we deze constructies toe dan krijgen we de volgende(soortgelijks) figuur:

l

A

B

m

n

b) Tekenen we alleen lijn l en de loodlijnen m en n dan krijgen we devolgende figuur:

l

A

B

m

n

De loodlijnen m en n staan beide loodrecht op l, dus zijn ze even-wijdig. Dit noteren we als m ∣∣n.


Opgave 14 a) Kijk naar de constructie voor het bepalen van het midden vaneen lijnstuk AB (zie Opgave 3). De lijn door de snijpunten vande twee cirkels ⊙(A, r) en ⊙(B, r) is de middelloodlijn van AB!Hieronder wordt een voorbeeld gegeven.

A B

Figuur 2.10: Lijnstuk AB en de constructie van demiddelloodlijn van AB.

b)

C D

Figuur 2.11: Lijnstuk CD, met CD tweemaal zo lang als AB,en de constructie van de middelloodlijn vanCD.

Om de middelloodlijn van een lijnstuk te construeren is het besteom een straal te kiezen die net iets korter is dan de lengte van hetlijnstuk zelf. De twee cirkels die getekend worden zullen elkaarin twee punten snijden. De lijn door deze twee snijpunten is dande middelloodlijn van het lijnstuk.

Loodlijnen 69

Opgave 15 De constructie van de middelloodlijn van lijnstuk PQ:

● Teken PQ.

● Teken ⊙(P, r) en ⊙(Q, r)met een straal r iets kleiner dan delengte van PQ Ô⇒ snijpunten R en S.

● De lijn door R en S is de gevraagde middelloodlijn van PQ.

Opgave 16 a), b)Volg de constructie in de vorige opgave om de middelloodlijnen vande zijden van △ABC en △DEF te tekenen. Bij het juist toepassen vande constructie krijgt men de volgende twee figuren:

A B

C

M

(a) △ABC, demiddelloodlijnen van dezijden van △ABC en deomgeschreven cirkel van△ABC.

D E

F

M

(b) △DEF, de middelloodlijnen van de zijden van△DEF en de omgeschreven cirkel van △DEF.

Figuur 2.12


Opgave 17 Voor de constructie van het neerlaten van een loodlijn vanuit eenhoekpunt op de zijde tegenover dat hoekpunt, zie Opgave 11.

A B

C

S

(a) △ABC en de driehoogtelijnen van△ABC.

D E

F

S

(b) △DEF en de drie hoogtelijnen van△DEF.

Figuur 2.13

Opgave 18 a)

A B

C

Z

(a) △ABC, de driezwaartelijnen van△ABC en hetzwaartepunt Z.

D E

F

Z

(b) △DEF, de drie zwaartelijnen van△DEF en het zwaartepunt Z.

Figuur 2.14

Loodlijnen 71

b) Een zwaartelijn en het zwaartepunt van een driehoek verdelendie driehoek in twee, resp. drie gelijke stukken. Dit kan men hetgemakkelijkst zien bij een gelijkzijdige driehoek, maar dit geldt inhet algemeen voor alle driehoeken. Een zwaartelijn en het zwaar-tepunt van een driehoek brengen een driehoek als het ware in’evenwicht’.

Opgave 19 Constructie van evenwijdige lijnen (voorbeelduitwerking).

● Teken een lijn l en een punt A dat niet op l ligt.

Al

● Construeer de loodlijn m vanuit A op l (zie boek p. 73 voor deze constructie).

Al

m

(a) Constructie van het neerlatenvan loodlijn m vanuit A op l.

Al

m

(b) Lijn l en de loodlijn m vanuitA op l.

● Richt dan de loodlijn k op m vanuit het punt A op (zie Opgave 12 voor dezeconstructie). Deze lijn k is de gevraagde lijn, oftewel k ∣∣ l.

Al

mk

(a) Constructie van het oprichten vanloodlijn k vanuit A op m

Al

mk

(b) Lijn k is evenwijdig op lijn l,oftewel k ∣∣ l.


Opgave 20 Constructie van een rechthoek (voorbeelduitwerking).

● Begin met een willekeurig punt A en een lijn l door A.

l

A

● Construeer de loodlijn m op l vanuit A (zie p. 73 voor deze constructie).

l

A

m

(a) Constructie van hetoprichten van deloodlijn m op l vanuit A.

l

A

m

(b) Lijn l en de loodlijn mvanuit A op l.

● Neem een willekeurig punt B op m en richt een loodlijn k op vanuit B (zieOpgave 12 voor deze constructie).

l

A

mB

k

(a) Constructie van het oprichtenvan de loodlijn k vanuit Bop m

l

A

mB

k

(b) De loodlijn k vanuit B op m

Loodlijnen 73

● Neem een willekeurig punt C op k en richt een loodlijn n op vanuit C.Deze loodlijn snijdt l in het punt D. De vierhoek ABCD die nu ontstaan isheet een rechthoek, want hij heeft vier rechte hoeken!

l

A

mB

k

C

n

D

(a) Constructie van het oprichtenvan de loodlijn n vanuit C op k

l

A

mB

k

C

n

D

(b) Rechthoek ABCD

Opgave 21 Constructie van een vierkant (voorbeelduitwerking).a) ● Begin met een willekeurig punt P en een lijn l door P.

P

l

● Teken ⊙(P, r)met een straal r gelijk aan de gewenste lengtevan de zijden van de vierkant. Dit levert twee snijpuntenmet l op. Noem ze T en S.

P

l

ST

● Teken de middelloodlijn m van TS. Noem het snijpunt metde eerste cirkel Q.

P

m

l

ST

Q


● Teken⊙(Q, r) en⊙(S, r). Dit levert twee snijpunten op, het puntP (maar die was er al) en een ander punt, noem dit punt R. Tekennu de loodlijn k op m door Q en R en de loodlijn n op l door R enS. De vierhoek PQRS is het gezochte vierkant!

P

m

Q

S

n

R

l

k

(a) Constructie van de vierkant PQRS

P

m

QR

S

n

l

k

(b) Vierkant PQRS.

b) De constructie van een vierkant:

● Teken een punt P en een lijn l door P.

● Teken ⊙(P, r) met straal r gelijk aan de gewenste lengtevan de zijden van de vierkant Ô⇒ snijpunten T en S.

● Teken de middelloodlijn m van TS Ô⇒ snijpunt Qmet de eerste cirkel.

● Teken ⊙(Q, r) en ⊙(S, r) Ô⇒ snijpunten P (was er al)en R.

● PQRS is het gezochte vierkant.

Hoeken 75

2.4 Hoeken


gestrekte hoek rechte hoek scherpe hoek stompe hoek

b) w I II III IV

scherpe hoek stompe hoek rechte hoek gestrekte hoek

Opgave 23 Constructie van de bissectrice van hoek.

a) Neem de hoek ∠A over van het boek en teken een deel van decirkel om A. Noem de snijpunten met de benen van ∠A: punt Ben punt C.

A B

C

b) Laat dezelfde afstand tussen de passerpoten staan. Teken eendeel van de cirkels om B en C. Deze cirkels snijden elkaar in Amaar ook in een tweede punt dat we D noemen.

A B

C D


c) De halve lijn die in A begint en door D loopt is nu de bisectricevan ∠A.

A B

C D

(a) ∠A en de constructie van debissectrice van ∠A.

A

(b) ∠A en de bissectrice van∠A.

De straal van de cirkel bij de constructie van de bissectrice van∠A is vrij te kiezen. Wel moet de cirkel twee snijpunten hebbenmet de benen van ∠A.


● Teken een stompe hoek ∠B.

B

● Teken een deel van de cirkel om ∠B. Noem de snijpunten metde benen van ∠B: punt C en punt D.

B C

D

● Laat dezelfde afstand tussen de passerpoten staan. Teken eendeel van de cirkels om C en D. Deze cirkels snijden elkaar in Bmaar ook in een tweede punt dat we E noemen.

Hoeken 77

B C

DE

● De halve lijn die in B begint en door E loopt is nu de bissectricevan ∠B.

B C

DE

(a) ∠B en de constructie van debissectrice van ∠B.

B

(b) ∠B en de bissectrice van ∠B.

Opgave 25 De constructie van de bissectrice van een hoek:

● Teken ∠A.

● Teken ⊙(A, r) Ô⇒ snijpunten B en C met de benen van ∠A.

● Teken ⊙(B, r) en ⊙(C, r) Ô⇒ snijpunten A (was er al) en D.

● De halve lijn die in D begint en door D loopt is debissectrice van ∠A.


a) Teken een cirkel met middelpunt M en een punt P buiten de cir-kel.

P

M

Er zijn twee raaklijnen van de cirkel die door P gaan.


Construeer het midden N van PM (Figuur 2.15a, zie Opgave 3voor deze constructie). Teken ⊙(N, MN). Noem de snijpuntenvan de cirkels S en T. Teken PS en PT. De lijnen PS en PT zijn deraaklijnen van de cirkel door P (Figuur 2.15b).

P

MN

(a)

P

M

N

S

T

(b)

Figuur 2.15

Hieronder worden de cirkel met middelpunt M, het punt P en deraaklijnen PS en PT van de cirkel door P afgebeeld.

P

M

S

T

Hoeken 79


a) Teken een lijn P en een punt P dat niet op de lijn ligt.

l

P

b) Construeer de loodlijn vanuit P op l (Figuur 2.16a, zie p. 73 voordeze constructie). Noem het punt waar l en de loodlijn elkaarsnijden S. Teken⊙(P, PS), dit is de cirkel om P die l raakt (Figuur2.16b).

l

P

S

(a)

l

P

S

(b)

Figuur 2.16

Hieronder worden lijn l, het punt P en de cirkel om P die l raaktafgebeeld.

l

P

S


Opgave 28 a), b), c) Hieronder worden enkele voorbeelden gegeven vanscherphoekige driehoeken, de drie bissectrices en deingeschreven cirkels van deze driehoeken (zie Opgave 25voor de constructie van de bissectrices).

A B

C

M

A B

C

M

A B

C

M

A B

C

M

A B

C

M

Hoeken 81

d) Hieronder volgen enkele voorbeelden van stomphoekige drie-hoeken, de drie bissectrices en de ingeschreven cirkels van dezedriehoeken.

A B

C

M

A B

C

M

A B

C

M

A B

C

M

A B

C

M


Opgave 27 De constructie van het overbrengen van een hoek.

a) ● Neem de gegeven hoek ∠A en de halve lijn l over.

A P

l

● Teken ⊙(A, r) ⇒ snijpunten B en C met de benen van ∠A(Figuur 2.17a).Teken ⊙(P, r) ⇒ snijpunt Q met l (Figuur 2.17b).

A

B

C

(a)

P

l

Q

(b)

Figuur 2.17

● Teken ⊙(Q, BC) ⇒ snijpunten R en S met ⊙(P, r).Teken de halve lijn PR (Figuur 2.18a) of PS (Figuur 2.18b).Nu is ∠A overgebracht op l.

P

l

Q

R

S

(a)

P

l

Q

R

S

(b)

Figuur 2.18

Hoeken 83

b) De constructie van het overbrengen van een stompe hoek ∠B opeen halve lijn l (voorbeelduitwerking).

● Teken een stompe hoek ∠B en een halve lijn l.

B P

l

● Teken ⊙(B, r) ⇒ snijpunten C en D met de benen van ∠B(Figuur 2.19(a)).Teken ⊙(P, r) ⇒ snijpunt Q met l (Figuur 2.19(b)).

B P

l

C

D Q

(a) (b)

Figuur 2.19

● Teken ⊙(Q, CD) ⇒ snijpunten R en S met ⊙(P, r).Teken de halve lijn PR (Figuur 2.20a) of PS (Figuur 2.20b).Nu is ∠B overgebracht op l.

P

l

QR

S

(a)

P

l

QR

S

(b)

Figuur 2.20


Opgave 30 a) Construeer een regelmatige zeshoek (zie Opgave 8). Verbind dehoekpunten met het midden van de cirkel (Figuur 2.21a). Decirkel waarmee de zeshoek is getekend kunnen tevens gebruiktworden om de bissectrices te construeren van de hoeken in hetmidden (Figuur 2.21b). Teken de twaalfhoek (Figuur 2.21c en Fi-guur 2.21d).

(a) (b)

(c) De constructie van de twaalfhoek (d) De twaalfhoek

Figuur 2.21

b) De cirkels die gebruikt worden bij de constructie van de zeshoekzijn een inspiratiebron voor leuke plaatjes. De mogelijkheden zijnoneindig. Op de volgende twee pagina’s worden enkele voor-beelden van zulke plaatjes afgebeeld.

Regelmatige veelhoeken 87

2.5 Regelmatige veelhoeken

Opgave 31 a)A BP

1 1

AP ∶ PB = 1 ∶ 1PB ∶ AB = 1 ∶ 2

b)A BP

1 2

AP ∶ PB = 1 ∶ 2PB ∶ AB = 2 ∶ 3 = 1 ∶ 1, 5

c)A BP

2 3

AP ∶ PB = 2 ∶ 3 = 1 ∶ 1, 5PB ∶ AB = 3 ∶ 5 = 1 ∶ 1, 7

d)A BP

3 5

AP ∶ PB = 3 ∶ 5 = 1 ∶ 1, 7PB ∶ AB = 5 ∶ 8 = 1 ∶ 1, 6

e)A BP

5 8

AP ∶ PB = 5 ∶ 8 = 1 ∶ 1, 6PB ∶ AB = 8 ∶ 13 = 1 ∶ 1, 625

f)A BP

8 13

AP ∶ PB = 8 ∶ 13 = 1 ∶ 1, 625PB ∶ AB = 13 ∶ 21 = 1 ∶ 1, 615

g)A BP

13 21

AP ∶ PB = 13 ∶ 21 = 1 ∶ 1, 615PB ∶ AB = 21 ∶ 34 = 1 ∶ 1, 619


h)A BP

21 55

AP ∶ PB = 21 ∶ 34 = 1 ∶ 1, 619

PB ∶ AB = 34 ∶ 55 = 1 ∶ 1, 618


a) Het figuur ziet er dan als volgt uit (merk op dat we alleen delenvan de cirkels ⊙(C, AC) en ⊙(B, BD) hebben getekend, immerswe zijn alleen geınteresseerd in de snijpunten van deze cirkelsmet driehoek △ABC.

A B

C

D

P

Figuur 2.22: De constructie van de gulden snede

b)

P Q

RS

Figuur 2.23: De guldensnederechthoek. Hier is PQ gelijkaan AB en QR gelijk aan PB van onderdeel a).


c)

P Q

RS

K

L

M NE

F

G HI

J

Figuur 2.24: De guldensnedespiraal

Opgave 33 a),b)

AB

CDEF

G HI

J

KLM

N

O P Q

R

Figuur 2.25: De guldensnedespiraal

c) De lengte van elke zijde is de som van de lengten van de tweevoorgaande zijden. De lengten van de zijden van de volgende 5vierkanten zijn dus 34, 55, 89, 144 en 233.

d) Bekijk Figuur 2.25. Kijken we naar de rechthoeken CEGH, EGI J,enz, dan zien we:

Rechthoek CEGH: CE ∶ EG = 2 ∶ 3 = 1 ∶ 1.5Rechthoek EGI J: EG ∶ GI = 3 ∶ 5 = 1 ∶ 1.667Rechthoek GIKL: GI ∶ IK = 5 ∶ 8 = 1 ∶ 1.6Rechthoek IKMN: IK ∶ KM = 8 ∶ 13 = 1 ∶ 1.625Rechthoek KMOP: KM ∶ MO = 13 ∶ 21 = 1 ∶ 1.615Rechthoek MOQR: MO ∶ OQ = 21 ∶ 34 = 1 ∶ 1.619

We zien dat naarmate de rechthoeken groter worden, ze inder-daad steeds meer een guldensnede-rechthoek benaderen.


Opgave 34 De constructie van de tienhoek (voorbeelduitwerking).

a) Begin met een cirkel met middelpunt M en straal r. Teken eendiameter AB (Figuur 2.26a). Construeer daarna de diameter CDloodrecht op AB (Figuur 2.26b).

A

B

M

(a)

MA

B

C

D

(b)

Figuur 2.26

b) Construeer het midden Nvan MD door een deel van⊙(D, MD) te tekenen zodatdeze de eerste cirkel in tweepunten snijdt. Teken een lijndoor de snijpunten. Het snij-punt van deze lijn met MD ishet midden N. Teken nu BN.Zie de figuur hiernaast.

M

A

B

C

D

N

c) Pas de guldensnede constructietoe op △MBN. Teken (een deelvan) ⊙(N, MN). Het snijpuntmet BN noemen we K. Snijd nu⊙(B, BK)met BM om het punt Lte verkrijgen dat BM in guldensnede verhouding verdeelt. Ziede figuur hiernaast.

M

A

B

C

D

N

K

L


d) De lengte BL is nu de zijdevan de tienhoek. Dit kunnenwe controleren door dezelengte vanuit B tien keer afte passen op de eerste cirkel,eerst vijf keer de ene kanten dan vijf keer de anderekant. Op deze manier komenwe, als het constructie goedis uitgevoerd, beide keren oppunt A. Zie de figuur hier-naast.

M

A

B

C

D

L

e) Teken de tienhoek (Figuur 2.27a). Een vijfhoek kan men constru-eren door om de beurt een hoekpunt van de tienhoek te nemen(Figuur 2.27b).

(a) (b)

Figuur 2.27: De tienhoek (a) en de vijfhoek (b)

Opgave 35 De constructie van de regelmatige tienhoek

● Teken ⊙(M, r).● Teken een diameter AB. Construeer daarna een tweede

diameter CD loodrecht op AB.

● Construeer het midden N van MD. Teken BN.

● Pas de guldensnede constructie toe op △MBN:

– Teken ⊙(N, NM) ⇒ snijpunt K met BN.

– Teken ⊙(B, BK) ⇒ snijpunt L met BM.

● BL is nu de zijde van de tienhoek. Pas BL vanaf B tien keer afop ⊙(M, r).

● Teken de tienhoek.


Opgave 36 De constructie van de vijfhoek.

a) Zie voor het begin van de con-structie onderdelen a) en b) vande vorige opgave. Teken nu hetsnijpunt O van⊙(N, BN), zie defiguur hiernaast.

b)

MA

B

C

D

N

O

We laten zien dat OM net zolang is als BL (van Opgave 34).Teken hiertoe ⊙(C, CM). Tekendaarna een diameter PQ doorC, evenwijdig aan AB en bepaalhet midden R van CQ. OmdatCR = MN, CM = BM en MR =BN zijn de driehoeken △CMRen △MBN exact dezelfde. Pasnu de gulden snede construc-tie toe op deze twee driehoeken(zie Opgave 32). Men ziet dandat OM = BL, zie de tekeninghiernaast.

MA

B

C

D

N

OP

QR

L

c) AO is nu de zijde van de vijfhoek! Pas A vanaf A vijf keer af op deeerste cirkel. Noem de punten P, Q, R en S (Figuur 2.28a). Tekende regelmatige vijfhoek APQRS en teken (in een andere kleur) hetpentagram AQSPR (Figuur 2.28b).

d)e)

MA

O

P Q

R

S

(a)

MA

P Q

R

S(b)

Figuur 2.28


We laten zien dat de lijnstukken van het pentagram elkaar in gul-den snedeverhouding snijden. Bekijk hiertoe Figuur 2.29. Hieris als voorbeeld de lijnstukken AQ en PS genomen. Het snijpuntvan AQ en PS noemen we T. Teken nu ⊙(A, AB) en teken eendiameter loodrecht op AQ die door A gaat. Het bovenste snijpuntvan deze diameter met⊙(A, AB) noemen we C. Nu is AC = 1

2 AQ.Pas nu de gulden snede constructie op de rechthoekige driehoek△CAQ. Uit deze constructie ziet men dat de lijnen AQ en PS (endus de lijnstukken van het pentagram) elkaar in gulden snedeverhouding snijden.

M

A

P Q

R

S

B

C

T

Figuur 2.29

Opgave 37 De constructie van de regelmatige vijfhoek

● Teken ⊙(M, r).● Teken een diameter AB. Construeer daarna een tweede

diameter CD loodrecht op AB.

● Construeer het midden N van MD.

● Teken ⊙(N, BN) ⇒ snijpunt O met MC.

● AO is nu de zijde van de vijfhoek. Pas AO vanaf A vijf keeraf op ⊙(M, r).

● Teken de vijfhoek.


2.6 Pseudoconstructies

Opgave 38 De constructie van het midden van een lijnstuk, uitsluitend met depasser.

De eerste twee onderdelen van de constructie zijn al in het boekgeıllustreerd, dus gaan we verder met de derde onderdeel.

● Teken ⊙(A, AB) en ⊙(C, AC) ⇒ snijpunten D en E.

A B C

D

E

● Teken⊙(D, AD) en⊙(E, AE) ⇒ snijpunten A (was er al), en M,waarbij M het gezochte midden van AB is!

A B C

D

E

M

Pseudoconstructies 95

Opgave 40 Pseudoconstructie van de zevenhoek.

a), b)Voor de toelichting van de constructie van Figuur 2.30, zie boekp. 89 - 90.

M

R

P

Q

r

rA B

C

D

Figuur 2.30

c), d)AR is de zijde van de zevenhoek. Pas AR zeven keer af op decirkel vanuit A (Figuur 2.31a). Teken nu de zevenhoek (Figuur2.31b).

M

R

A

(a) (b)

Figuur 2.31

Hoofdstuk 3

Algebra

98 Algebra

3.1 Inleiding

3.2 Basiskennis

3.2.1 De getallenlijn

3.2.2 Symbolen, tekens en getallen

Opgave 1 a) −5 > −6, want −5 staat op de getallenlijn rechts van −6.

b) 1130

< 512

, want 1130

staat op de getallenlijn links van 512

.

Toelichting:

Maak eerst de noemers van beide getallen gelijknamig. De

kgv van 30 en 12 is 60, dus 1130

= 2260

en 512

= 2560

. Nu is het

duidelijk dat 1130

= 2260

< 2560

= 512

.

c) 3115

> 2513

, want 3115

staat op de getallenlijn rechts van 2513

.

Toelichting: 3115

= 2 115

> 1 1213

= 2513

.

d) −1 78> − 31

16, want −1 7

8staat op de getallenlijn rechts van − 31

16.

Toelichting:

Omdat −1 78

= − 158

= − 3016

, staat dit getal op de getallenlijn

dus rechts van − 3116

.

e) 220100

< 229

, want 220100

staat op de getallenlijn links van 229

.

Toelichting:

220100

= 115

. Maak nu de noemers van 115

en 229

gelijknamig.

De kgv van 5 en 9 is 45, dus 220100

= 115

= 9945

< 11045

= 229

.

f) 3 712

= 8624

, want 3 712

= 4312

= 4312

× 11= 43

12× 2

2= 86

24.

Basiskennis 99

Opgave 2 a) −4812

= − 12 × 412

= − 41= −4 e 17−1

= − 171

= −17

b) 27−3= − 3 × 9

3= − 9

1= −9 f) 44

10= 2 × 22

2 × 5= 22

5= 4 2

5

c) 81−36= − 9 × 9

9 × 4= − 9

4g) −150−75

= 75 × 275

= 21= 2

d) 50−5= − 5 × 10

5= − 10

1= −10 h) 80−16

= − 16 × 516

= − 51= −5

Opgave 3 a) 35+ 1

10= 6

10+ 1

10= 7

10

b) 59− 7

9= − 2

9

c) 37− 3

14= 6

14− 3

14= 3

14

d) − 18+ 1 2

8= − 1

8+ 10

8= 9

8

e) − 912

− 129

= − 912

− 43= − 9

12− 16

12= − 25

12= −2 1

12

f) − 26− 5

6= − 7

6= −1 1

6

g) −3−17+ 3

17= 3

17+ 3

17= 6

17

h) 7−6+ 2 1

3= − 7

6+ 7

3= − 7

6+ 14

6= 7

6= 1 1

6

Opgave 4 a) 58× 3

7= 15

56

b) − 29× 7

5= − 14

45

c) − 92× − 5

4= 45

8= 5 5

8

d) 5 × 23= 5

1× 2

3= 10

3= 3 1

3

100 Algebra

e) −4 16× 1

7= − 25

6× 1

7= − 25

42

f) 2 56× 1 2

9= 17

6× 11

9= 187

54= 3 25

54

g) 38× −2 1

12= −( 3

8× 25

12) = − 75

96= − 25

32

h) 3 23× −1 5

9= −( 11

3× 14

9) = − 154

27= −5 19

27

Opgave 5 a) 34∶ 5

2= 3

4× 2

5= 3

2× 1

5= 3

10

b) − 65∶ 1

3= − 6

5× 3

1= − 18

5= −3 3

5

c) 13∶ 2

5= 1

3× 5

2= 5

6

d) −3 15∶ − 1

5= 16

5∶ 1

5= 16

5× 5

1= 16

1× 1

1= 16

e) 23∶ 1

4= 2

3× 4

1= 8

3= 2 2

3

f) 3 12∶ −2 1

3= −( 7

2∶ 7

3) = −( 7

2× 3

7) = −( 1

2× 3

1) = − 3

2= −1 1

2

g) 6 ∶ 14= 6 × 4 = 24

h) −1 ∶ 1 12= −1 ∶ 3

2= −1 × 2

3= − 2

3

Opgave 6 a) 23 = 8 e) ( 27

)3 = 23

73 = 8343

b) 36 = 729 f) (−3)5 = −243

c) ( 15

)4 = 14

54 = 1625

g) −( 3 35

)2 = −( 185

)2 = − 182

52 = − 32425

= −12 2425

d) 63 = 216 h) ( −1 12

)3 = ( − 32

)3 = ( −1 × 32

)3

= (−1)3 × ( 32)3 = −1 × 33

23 = − 278

= −3 38

Basiskennis 101

3.2.3 Afspraken

3.2.4 Eigenschappen

Opgave 7 a) 2 × 3 − 6 × −2 = 6 − −12 = 6 + 12 = 18

b) −3 × 2 + 2 × 3 = −6 + 6 = 0

c) −8 − 4 × 2 = −8 − 8 = −16

d) 12 − 3 × 4 + 17 = 12 − 12 + 17 = 0 + 17 = 17

e) −20 + 12 ∶ 2 × 3 = −20 + 6 × 3 = −20 + 18 = −2

f) 22 ∶ 2 + 3 × 3 = 11 + 9 = 20

g) 13 − 3 × 2 ∶ 4 = 13 − 6 ∶ 4 = 13 − 6 × 14= 13 − 6

4

= 13 − 32= 26

2− 3

2= 23

2= 11 1

2

h) 33 ∶ 3 × 11 − 1 = 11 × 11 − 1 = 121 − 1 = 120

Opgave 8 a) 12 − (3 + 3) ∶ 2 = 12 − 6 ∶ 2 = 12 − 3 = 9

b) (11 − 1) ∶ 5 + 2 = 10 ∶ 5 + 2 = 2 + 2 = 4

c) 22 ∶ (13 − 2) × 2 = 22 ∶ 11 × 2 = 2 × 2 = 4

d) 17 − 5 × (2 + 1) = 17 − 5 × 3 = 17 − 15 = 2

e) 16 ∶ (5 + 3) × (3 + 2) = 16 ∶ 8 × 5 = 2 × 5 = 10

f) (1 − 1) × (12 + 17) × (2 + 3) = 0 × 29 × 5 = 0

g) (3 − 3) ∶ 12 − 2 = 0 ∶ 12 − 2 = 0 − 2 = −2

h) (17 − 12) ∶ (3 + 2) + 2 = 5 ∶ 5 + 2 = 1 + 2 = 3

Opgave 9 a) (3 23− 1

2)2 = ( 11

3− 1

2)2 = ( 22

6− 3

6)2 = ( 19

6)2 = 192

62 = 36136

= 10 136

b) 11 ∶ 13− (−34 + 14) = 11 × 3 − (81 + 14) = 33 − 95 = −62

102 Algebra

c) (3 × 5)2 − ( 12× 5)2 = 152 − ( 5

2)2 = 225 − 52

22

= 225 − 254

= 9004

− 254

= 8754

= 218 34

d) 3 × 52 − 12× 52 = 3 × 25 − 1

2× 25

= 75 − 252

= 1502

− 252

= 1252

= 62 12

e) ( 115

− 110

) ∶ 25= ( 2

30− 3

30) ∶ 2

5= − 1

30× 5

2= − 1

6× 1

2= − 1

12

f) 1 25× ( 2

7+ (2 − 1 4

7)) = 7

5× ( 2

7+ (2 − 11

7))

= 75× ( 2

7+ ( 14

7− 11

7))

= 75× ( 2

7+ 3

7) = 7

5× 5

7= 1

1× 1

1= 1

g) (−1)9 ∶ ( 37× 2 1

3)10 = −1 ∶ ( 3

7× 7

3)10 = −1 ∶ ( 1

1× 1

1)10

= −1 ∶ (1)10 = −1 ∶ 1 = −1

h) (− 325

× 75 )3 + 10 × 27 = (− 31× 3 )3 + 270

= (−9)3 + 270 = −729 + 270 = −459

Variabelen 103

3.3 Variabelen

3.3.1 Inleiding

3.3.2 Vermenigvuldigen met variabelen

Opgave 10 a) 2x ⋅ 3y = 6xy d) 22x ⋅ 12y ⋅ 2a = 528axy

b) a ⋅ 12b = 12ab e) x ⋅ y ⋅ 2z ⋅ 12 ⋅ 11 = 264xyz

c) 18c ⋅ 3b ⋅ 21c = 1134bc2 f) 2z ⋅ 12 ⋅ 3x = 72xz

3.3.3 Optellen met variabelen

Opgave 11 a) 2x + 3x = 5x d) 3a − 2b + 3a = 6a − 2b

b) 13y + 12y = 25y e) 7t − 3t + 4t − 7s = 8t − 7s

c) 2y − 7y + 5x = −5y + 5x f) 12k − 3 j − 11k = k − 3 j

Opgave 12 a) 3b − 2a + 2b − 2a = 5b − 4a

b) 2k − 3 + 12l − 3k + 1 = 12l − k − 2

c) 3x − 3y + 33 − 12 − x = 2x − 3y + 21

d) 12 − 3t + 2x − 3 = 9 − 3t + 2x

e) 2a − 3b + 4c + 2b − a + 12 = a − b + 4c + 12

f) 22x − 33y + 12 − x − y = 21x − 34y + 12

Opgave 13 a) 2a − 3b + 3 − b + 12 = 2a − 4b + 15

b) x − y + 2 − 3 − 2x = −x − y − 1

c) 2i − 3 j + i + 2 j + 1 = 3i − j + 1

104 Algebra

d) x + 2y − 17x + 12 = 2y − 16x + 12

e) 87x + 53y − 98x + 1 = 53y − 11x + 1

f) 78 + 17x − 97 − 119x = −19 − 102x

Opgave 14 a) 2a ⋅ b − 3b ⋅ 2a = 2ab − 6ab = −4ab

b) xy − 2x ⋅ 78y = xy − 156xy = −155xy

c) 12 + 13x ⋅ y − 3y ⋅ 17x = 12 + 13xy − 51xy = 12 − 38xy

d) 2x ⋅ 13y + 2x = 26xy + 2x

e) 7x − 3xy ⋅ 12z = 7x − 36xyz

f) 2ab − 3a + 2b ⋅ a = 2ab − 3a + 2ab = 4ab − 3a

Opgave 15 a) 13a ⋅ 12b + 27 − a ⋅ 7b − 17 = 156ab + 27 − 7ab − 17 = 149ab + 10

b) 118a ⋅ 3b − ac + 12 ⋅ ab = 354ab − ac + 12ab = 366ab − ac

c) 17xy − 12z ⋅ 3x − 3y ⋅ 14x = 17xy − 36xz − 42xy = −25xy − 36xz

d) 2 ⋅ 3b − 6ab = 6b − 6ab

e) 12a ⋅ 2b − 3b ⋅ 7a = 24ab − 21ab = 3ab

f) x ⋅ 13yz − 12xz ⋅ 2y = 13xyz − 24xyz = −11xyz

3.3.4 Delen met variabelenDelingen met variabelen vermenigvuldigen

Opgave 16 a) a9⋅ 7b= 7a

9bc) − 8

x⋅ − y

3= 8y

3xe) 2a

b⋅ c3d

= 2ac3bd

b) 5x⋅ −3 = − 15

xd) 5p

q⋅ − a

b= − 5ap

bqf) 4 ⋅ a

b= 4a

b

Variabelen 105

Opgave 17 a) 6a11b

⋅ 17= 6a

77bd) − 3x

y⋅ − p

12q= 3px

12qy= px

4qy

b) − 3ab⋅ x

y= − 3ax

bye) x

y⋅ 2 1

5= x

y⋅ 11

5= 11x

5y

c) b ⋅ a7= ab

7f) a

2b⋅ p2q⋅ x2y

= apx8bqy

Delingen met variabelen vereenvoudigen

Opgave 18 a) 24a6

= 6 ⋅ 4a6

= /6 ⋅ 4a/6 = 4a1

= 4a

b) 16abc6

= 2 ⋅ 8abc2 ⋅ 3 = /2 ⋅ 8abc/2 ⋅ 3 = 8abc

3

c) − p7p

= − /p7/p = − 1

7

d) 6a12a

= 6a2 ⋅ 6a

= /6 /a2 ⋅ /6 /a = 1

2

e) 18abc3a

= 6 ⋅ 3abc3a

= 6 ⋅ /3 /a bc/3 /a = 6bc1

= 6bc

f) 24ab12a

= 2 ⋅ 12ab12a

= 2 ⋅��12 /a b��12 /a = 2b

1= 2b

Opgave 19 a) −28xyz14z

= − 2 ⋅ 14xyz14z

= − 2 ⋅��14 xy /z��14 /z = − 2xy

1= −2xy

b) −12pq3p

= − 4 ⋅ 3pq3p

= − 4 ⋅ /3 /p q/3 /p = − 4q1

= −4q

c) −−30pq−6q= − 5 ⋅ 6pq

6q= − 5 ⋅ /6 p /q/6 /q = − 5p

1= −5p

d) 22ac−11c= − 2 ⋅ 11ac

11c= − 2 ⋅��11 a /c

��11 /c = − 2a1

= −2a

e) 32a8ab

= 4 ⋅ 8a8ab

= 4 ⋅ /8 /a/8 /a b= 4

b

f) 12pq6qr

= 2 ⋅ 6pq6qr

= 2 ⋅ /6 p /q/6 /q r= 2q

r

106 Algebra

Opgave 20 a) 3 ⋅ 23

= /3 ⋅ 2/3 = 21= 2 d) a + b

a( kan niet verder worden

vereenvoudigd )b) 3 + 2

3= 5

3e) 2 + 3

2 + 3= 5

5= 1

c) − ab2b

= − a/b2/b = − a

2f) a + b

a + b= 1

Opgave 21 a) 2x + yx + y

( kan niet verder wordenvereenvoudigd )

b) − 33ab3b

= − 11 ⋅ 3ab3b

= − 11 ⋅ /3 a /b/3 /b = − 11a1

= −11a

c) axybyz

= ax /yb /y z

= axbz

d) −5ap10px

= − 5ap2 ⋅ 5px

= − /5 a /p2 ⋅ /5 /p x

= − a2x

e) y + xx + y

= x + yx + y

= 1

f) 9abxy−3ayz= − 3 ⋅ 3abxy

3ayz= − 3 ⋅ /3 /a bx /y/3 /a /y z

= − 3bxz

Wegdelen voor het vermenigvuldigen

Opgave 22 a) xy⋅ y

z= x/y ⋅ /yz = x

zd) 3p

q⋅ −q = −( 3p

q⋅ q

1) = −( 3p

/q ⋅ /q1) = −3p

b) x2y

⋅ y2x

= /x2 /y ⋅ /y2 /x = 1

4e) 2a

b⋅ b

3a= 2 /a/b ⋅ /b

3 /a = 23

c) abc⋅ d

abd= /a/b

c⋅ /d/a/b/d = 1

cf) 3a

b⋅ 2b

a= 3 /a/b ⋅ 2 /b/a = 6

Opgave 23 a) abc⋅ 2c

5a= /a b/c ⋅ 2 /c

5 /a = 2b5

b) 6x ⋅ 2y3x

= 2 ⋅ 3x1

⋅ 2y3x

= 2 ⋅ /3/x1

⋅ 2y/3/x = 4y

c) − x2y

⋅ − 1x= /x

2y⋅ 1/x = 1

2y

Variabelen 107

d) pqp⋅ − 4

2q= −( pq

p⋅ 2 ⋅ 2

2q) = −( /p /q/p ⋅ /2 ⋅ 2/2 /q ) = −2

e) − abc⋅ 1

a= − /a

bc⋅ 1/a = − 1

bc

f) − p2q⋅ 6q

p= − p

2q⋅ 3 ⋅ 2q

p= − /p/2/q ⋅ 3 ⋅ /2/q/p = −3

Opgave 24 a) − 12pqb

⋅ − ab3p

= 4 ⋅ 3pqb

⋅ ab3p

= 4 ⋅ /3/p q/b ⋅ a /b/3/p = 4aq

b) ab33

⋅ − 11ac

= −( ab3 ⋅ 11

⋅ 11ac) = −( /a b

3 ⋅ ��11⋅��11/a c) = − b

3c

c) −12 ⋅ ac3b⋅ b

4c= − 3 ⋅ 4

1⋅ ac

3b⋅ b

4c= − /3 ⋅ /4

1⋅ a /c/3 /b ⋅ /b/4/c = −a

d) 21a ⋅ 3bc7abc

= 3 ⋅ 7a1

⋅ 3bc7abc

= 3 ⋅ /7/a1

⋅ 3 /b/c/7/a/b/c = 9

e) 17xz6

⋅ 12a34x

= 17xz6

⋅ 6 ⋅ 2a2 ⋅ 17x

= ��17 /x z/6 ⋅ /6 ⋅ /2 a/2 ⋅��17 /x = az

f) ax7y

⋅ 14 = ax7y

⋅ 7 ⋅ 21

= ax/7 y⋅ /7 ⋅ 2

1= 2ax

y


z⋅ z

x= /x/y ⋅ /y/z ⋅ /z/x = 1

b) a ⋅ xy⋅ y

a= a

1⋅ x

y⋅ y

a= /a

1⋅ x/y ⋅ /y/a = x

c) 2q⋅ b

6⋅ 12q

b= 2

q⋅ b

6⋅ 2 ⋅ 6q

b= 2/q ⋅ /b/6 ⋅ 2 ⋅ /6/q/b = 4

d) y6b⋅ 2

y⋅ 3ab = y

2 ⋅ 3b⋅ 2

y⋅ 3ab

1= /y/2 ⋅ /3/b ⋅ /2/y ⋅ /3 a /b

1= a

e) 12ac ⋅ bd6⋅ 1

24bc= 12ac

1⋅ bd

6⋅ 1

2 ⋅ 12bc= ��12 a /c

1⋅ /b d

6⋅ 1

2 ⋅��12 /b /c = ad12

f) 5p3q

⋅ pq ⋅ 7p= 5p

3q⋅ pq

1⋅ 7

p= 5p

3 /q ⋅ /p/q1 ⋅ 7/p = 35p3

108 Algebra

Breuken/delingen met variabelen

Opgave 26 a) 712

∶ 512

= 712

⋅ 125

= 7��12

⋅��125

= 75

b) 2a∶ 3

a= 2

a⋅ a

3= 2/a ⋅ /a3 = 2

3

c) ac∶ b

d= a

c⋅ d

b= ad

bc

d) − pq∶ r

q= − p

q⋅ q

r= − p

/q ⋅ /qr = − pr

e) cd∶ p

2= c

d⋅ 2

p= 2c

dp

f) 2x3y

∶ x12

= 2x3y

⋅ 12x

= 2x3y

⋅ 3 ⋅ 4x

= 2 /x/3 y⋅ /3 ⋅ 4/x = 8

y

Opgave 27 a) 2ab∶ b

3a= 2a

b⋅ 3a

b= 6a2

b2

b) 3abc

∶ 2ac

= 3abc⋅ c

2a= 3 /a b/c ⋅ /c

2 /a = 3b2

c) 2pq ∶ 6p3

= 2pq1

⋅ 36p

= 2pq1

⋅ 33 ⋅ 2p

= /2 /p q1

⋅ /3/3 ⋅ /2 /p = q

d) ab ∶ abc

= ab1⋅ c

ab= /a/b

1⋅ c/a/b = c

e) 2xyz

∶ 7xy = 2xyz

⋅ 17xy

= 2 /x /yz

⋅ 17 /x /y = 2

7z

f) 5 ∶ ab5c

= 51⋅ 5c

ab= 25c

ab

Opgave 28 a) 2x3y

∶ − x12

= −( 2x3y

⋅ 3 ⋅ 4x) = −( 2 /x/3 y

⋅ /3 ⋅ 4/x ) = − 8y

b) 2a∶ 3

a= 2

a⋅ a

3= 2/a ⋅ /a3 = 2

3

c) − 3a5b

∶ 2a3b

= − 3a5b⋅ 3b

2a= − 3 /a

5 /b ⋅ 3 /b2 /a = − 9

10

d) ab∶ c = a

b⋅ 1

c= a

bc

Variabelen 109

e) 7ab ∶ 14bx3y

= 7ab1⋅ 3y

14bx= 7ab

1⋅ 3y

2 ⋅ 7bx= /7 a /b

1⋅ 3y

2 ⋅ /7 /b x= 3ay

2x

f) 100xyz

∶ 1000xz

= 100xyz

⋅ xz1000

= 100xyz

⋅ xz100 ⋅ 10

= ��100/x y /z ⋅ /x /z��100 ⋅ 10

= 110y

Optellen en aftrekken van gelijknamige breuken/delingen met variabelen

Opgave 29 a) 23a

+ 33a

= 53a

d) 2xz− x

z= x

z

b) 23ab

− 33ab

= − 13ab

e) 12xz

− 12z

= 12x − 12z

c) xy+ z

y= x + z

yf) 12z

xy− 11z

xy= z

xy

Opgave 30 a) 3ac+ 2a

c= 5a

cd) − q

4r− q

4r= − 2q

4r= − q

2r

b) − 4y3z

− 2y3z

= − 6y3z

= − 2yz

e) − 2a3b

+ 8a3b

= 6a3b

= 2ab

c) − x2y

+ 3x2y

= 2x2y

= xy

f) b2c

− b2c

= 02c

= 0

Optellen en aftrekken van ongelijknamige breuken/delingen

Opgave 31 a) 4a+ 5

2a= 8

2a+ 5

2a= 13

2ad) − 1

3a+ 2

a= − 1

3a+ 6

3a= 5

3a

b) 2a− 1

5a= 10

5a− 1

5a= 9

5ae) − 7

2x− 1

x= − 7

2x− 2

2x= − 9

2x

c) 32a

− 4a= 3

2a− 8

2a= − 5

2af) 3

2p− 4

4p= 3

2p− 2

2p= 1

2p

Opgave 32 a) 13+ 1

4= 4

12+ 3

12= 7

12d) x

y− 3

z= xz

yz− 3y

yz= xz − 3y

yz

b) 1a+ 1

b= b

ab+ a

ab= b + a

abe) 5

a− 2

ab= 5b

ab− 2

ab= 5b − 2

ab

c) abc

+ 1b= a

bc+ c

bc= a + c

bcf) 2p

x− 3q

y= 2py

xy− 3qx

xy= 2py − 3qx

xy

110 Algebra

Opgave 33 a) 1 + 1x= x

x+ 1

x= x + 1

xd) b − 2

5= 5b

5− 2

5= 5b − 2

5

b) 2 − 1y= 2y

y− 1

y= 2y − 1

ye) x − 2

y= xy

y− 2

y= xy − 2

y

c) a + 13= 3a

3+ 1

3= 3a + 1

3f) a − 1

2b= 2ab

2b− 1

2b= 2ab − 1

2b

Opgave 34 a) bx+ c

y= by

xy+ cx

xy= by + cx

xy

b) ax+ 1

2= 2a

2x+ x

2x= 2a + x

2x

c) 1ab

− ca= 1

ab− bc

ab= 1 − bc

ab

d) 12ab

+ 2c= 12ac

bc+ 2b

bc= 12ac + 2b

bc

e) 17ab3

− 317

= 289ab51

− 951

= 289ab − 951

f) 12xy

− 12a = 12xy

− 12ayy

= 12x − 12ayy

Gelijknamig maken door vereenvoudigen

Opgave 35 a) 12xxy

− 11y

= 12 /x/x y− 11

y= 12

y− 11

y= 1

y

b) 1a+ 3bc

abc= 1

a+ 3 /b/c

a /b/c = 1a+ 3

a= 4

a

c) 12 − 13aa

= 12 − 13 /a/a = 12 − 131

= 12 − 13 = −1

d) 2aab

+ 3cbc

− dbd

= 2 /a/a b+ 3 /c

b /c − /db /d = 2

b+ 3

b− 1

b= 4

b

e) 22abb

− 21a = 22a /b/b − 21a = 22a1

− 21a = 22a − 21a = a

f) −21ac + 22abcb

= −21ac + 22a /b c/b = −21ac + 22ac1

= −21ac + 22ac = ac

Variabelen 111

Opgave 36 a) ab2b

+ a2ab

= ab2b

+ /a2 /a b

= ab2b

+ 12b

= ab + 12b

b) a2abc

− 26bc

= /a2 /a bc

− 26bc

= 12bc

− 26bc

= 36bc

− 26bc

= 16bc

c) q2pq

− 4q2q

= q2pq

− 2 ⋅ 2q2q

= /q2p /q − 2 ⋅ /2/q/2/q = 1

2p− 2

1= 1

2p− 4p

2p= 1 − 4p

2p

d) bbc

+ cac

= /b/b c+ c

ac= 1

c+ c

ac= a

ac+ c

ac= a + c

ac

e) xxy

+ zyz

= /x/x y+ /z

y /z = 1y+ 1

y= 2

y

f) − 5c3bc

− 3aab

= − 5 /c3b /c − 3 /a/a b

= − 53b

− 3b= − 5

3b− 9

3b= − 14

3b

3.3.5 Machten

Opgave 37 a) a3 + 2a3 = 3a3 d) x3 y2 − 22x3 y2 = −21x3 y2

b) 2x2 − 3x2 = −x2 e) 2x − 3x + 2x2 − 3x2 = −x − x2

c) 2xy3 − 3xy3 = −xy3 f) 2x3 − 2x2 + 3x3 = 5x3 − 2x2

Opgave 38 a) 10a2b + 3a2b = 13a2b

b) 2d2 − 12

d2 = 42

d2 − 12

d2 = 32

d2

c) c5 − 5c5 = −4c5

d) 3a2 + 3p − 5a2 + 6p = −2a2 + 9p

e) 4 13

y2z3 − 3 14

y2z3 = 133

y2z3 − 134

y2z3

= 5212

y2z3 − 3912

y2z3 = 1312

y2z3

f) 3a2b + 2ab2 + 7a2b + 4ab2 = 10a2b + 6ab2

112 Algebra

Vermenigvuldigen van machten

Opgave 39 a) p3 ⋅ p2 = p3+2 = p5 d) 25 ⋅ 24 = 25+4 = 29 = 512

b) q4 ⋅ q6 = q4+6 = q10 e) a6 ⋅ a6 = a6+6 = a12

c) y2 ⋅ y7 = y2+7 = y9 f) q8 ⋅ q = q8+1 = q9

Opgave 40 a) a4 ⋅ a ⋅ a5 = a4+1+5 = a10 d) 103 ⋅ 106 = 103+6 = 109

b) b2 ⋅ b7 ⋅ b3 = b2+7+3 = b12 e) d ⋅ d ⋅ d9 = d1+1+9 = d11

c) z ⋅ z = z1+1 = z2 f) 2 ⋅ 24 = 21+4 = 25 = 32

Opgave 41 a) x2 ⋅ 2x5 = 2x7 d) 12

b ⋅ 4b2 = 2b3

b) 2x2 ⋅ 3x = 6x3 e) 5y ⋅ −3y2 = −15y3

c) −2a7 ⋅ 7a2 = −14a9 f) −c ⋅ − 35

c3 = 35

c4

Opgave 42 a) xy ⋅ y = xy2 d) 2ab3 ⋅ 3a2b = 6a3b4

b) xy ⋅ x3 y = x4 y2 e) xyz2 ⋅ x2z = x3 yz3

c) x3 ⋅ 2x2 y = 2x5 y f) 2xyz ⋅ 3xy ⋅ 4z2 = 24x2 y2z3

Delen van machten

Opgave 43 a) 26

22 = 26−2 = 24 c) a3

a= a3−1 = a2 e) x8

x5 = x8−5 = x3

b) 53

52 = 53−2 = 5 d) s3

s2 = s3−2 = s f) x25

x24 = x25−24 = x

Opgave 44 a) 8a5

4a2 = 2 ⋅ 4a5

4a2 = 2 ⋅ /4 a/5 3

/4 /a/2 = 2a3

b) a15

a15 = /a�15

/a�15 = 1

Variabelen 113

c) 12x5

6x2 = 2 ⋅ 6x5

6x2 = 2 ⋅ /6 x/5 3

/6 /x/2 = 2x3

d) −10y7

5y3 = − 2 ⋅ 5y7

5y3 = − 2 ⋅ /5 y/7 4

/5 /y/3 = −2y4

e) 18z6

9z6 = 2 ⋅ 9z6

9z6 = 2 ⋅ /9 /z/6/9 /z/6 = 2

f) −12p6

−4p5 = 3 ⋅ 4p6

4p5 = 3 ⋅ /4 p/6 1

/4 /p/5 = 3p

Opgave 45 a) p5q3

p2q3 = p/5 3/q/3/p/2 /q/3 = p3

b) a8b7

a4b3 = a/8 4b/7 4

/a/4 /b/3 = a4b4

c) 16pq4

8pq2 = 8 ⋅ 2pq4

8pq2 = /8 ⋅ 2 /p q/4 2

/8 /p /q/2 = 2q2

d) 7x2 y2

7xy= /7 x/2 1 y/2 1

/7 /x /y = xy

e) a4b7

a4b4 = /a/4 b/7 3

/a/4 /b/4 = b3

f) 24a10b5

8a3b= 3 ⋅ 8a10b5

8a3b= = 3 ⋅ /8 a10 7b/5 4

/8 /a/3 /b = 3a7b4

Machten van machten

Opgave 46 a) (24)2 = 24⋅2 = 28 d) (a3)8 = a3⋅8 = a24

b) (103)5 = 103⋅5 = 1015 e) ((b2)2)3 = (b2⋅2)3 = b2⋅2⋅3 = b12

c) (x4)2 = x4⋅2 = x8 f) ((x4)2)3 = (x4⋅2)3 = x4⋅2⋅3 = x24

Machten van producten

Opgave 47 a) (5 ⋅ 3)2 = 52 ⋅ 32 = 25 ⋅ 9 = 225

b) (23 ⋅ 5)3 = (23)3 ⋅ 53 = 29 ⋅ 53 = 512 ⋅ 125 = 64000

114 Algebra

c) (xy)2 = x2 y2

d) (ab3)2 = a2 ⋅ (b3)2 = a2b6

e) (p2q)3 = (p2)3 ⋅ q3 = p6q3

f) (y3z4)6 = (y3)6 ⋅ (z4)6 = y18z24

Opgave 48 a) (3a2b2)4 = 34 ⋅ (a2)4 ⋅ (b2)4 = 81a8b8

b) (xyz)13 = x13 y13z13

c) (2x2 y3)2 = 22 ⋅ (x2)2 ⋅ (y3)2 = 4x4 y6

d) (3x3 y2)3 = 33 ⋅ (x3)3 ⋅ (y2)3 = 27x9 y6

e) (2x2 y)2 ⋅ (xz2)3 = 22 ⋅ (x2)2 ⋅ y2 ⋅ x3 ⋅ (z2)3 = 4 ⋅ x4 ⋅ x3 ⋅ y2 ⋅ z6 = 4x7 y2z6

f) 2(ab2)3(ab)2 = 2 ⋅ a3 ⋅ (b2)3 ⋅ a2 ⋅ b2 = 2 ⋅ a3 ⋅ a2 ⋅ b6 ⋅ b2 = 2a5b8

Breuken en machten

Opgave 49 a) ( 23)2 = 22

32 = 49

d) ( a3

b)2 = (a3)2

b2 = a6

b2

b) ( ab)2 = a2

b2 e) ( a7

b3 )5 = (a7)5(b3)5 = a35

b15

c) ( x2

y)4 = (x2)4

y4 = x8

y4 f) ( 2x3

y6 )2 = (2x3)2(y6)2 = 22 ⋅ (x3)2y12 = 4x6

y12

Opgave 50 a) ( a2bc3 )2 = (a2b)2(c3)2 = (a2)2b2

c6 = a4b2

c6

b) ( 2xy2

4x2 y)3 = ( 2xy2

2 ⋅ 2x2 y)3 = ( /2 /x y/2 1

2 ⋅ /2 x/2 1 /y )3 = ( y2x)3 = y3

(2x)3 = y3

23 ⋅ x3 = y3

8x3

c) 12( x2

y)3 = 12

1⋅ (x2)3

y3 = 12x6

y3

d) x2

y3 ⋅ yx2 = /x/2

y/3 2 ⋅ /y/x/2 = 1y2

Variabelen 115

e) ( x5

z2 )2 ⋅ ( 1x)5 = (x5)2(z2)2 ⋅ 1

x5 = (x5)/2 1

z4 ⋅ 1�x5 = x5

z4

f) ( 2x3

y)2 ⋅ ( 1

x)5 ⋅ y = (2x3)2

y2 ⋅ 1x5 ⋅ y

1= 4x6

y2 ⋅ 1x5 ⋅ y

1= 4x/6 1

y/2 1 ⋅ 1/x/5 ⋅ /y1 = 4xy

3.3.6 Alles door elkaar

Opgave 51 a) −3b − 4b = −7b

b) 3x2 + x − x2 = 2x2 + x

c) ab+ 1

2b= 2a

2b+ 1

2b= 2a + 1

2b

d) 30pr−12pqr= − 5 ⋅ 6pr

2 ⋅ 6pqr= − 5 ⋅ /6 /p /r

2 ⋅ /6 /p q /r = − 52q

e) − xac

+ 2ab

= − bxabc

+ 2cabc

= 2c − bxabc

f) − 2a⋅ ab

c= − 2/a ⋅ /a b

c= − 2b

c

Opgave 52 a) − 38⋅ −2 2

3= 3

8⋅ 8

3= /3/8 ⋅ /8/3 = 1

b) abc

∶ 1b= a

bc⋅ b

1= a/b c

⋅ /b1= a

c

c) (−7pq)2 = (−7)2 p2q2 = 49p2q2

d) (2z)3 + z3 = 23z3 + z3 = 8z3 + z3 = 9z3

e) a ∶ 1b= a ⋅ b

1= ab

1= ab

f) a ⋅ 1b= a

b

116 Algebra


z⋅ z

x= /x/y ⋅ /y/z ⋅ /z/x = 1

b) −1 34∶ x

4= − 7

4∶ x

4= − 7

4⋅ 4

x= − 7/4 ⋅ /4x = − 7

x

c) 2ab3 ⋅ 3a2b = 6a3b4

d) (−5p6q)3(−pq)2 = (−5)3 ⋅ (p6)3 ⋅ q3

(−p)2 ⋅ q2 = −125p18q3

p2q2

= − 125p18q3

p2q2 = − 125p�18 16 q/3 1

/p/2 /q/2 = −125p16q

e) 8x5 + 2x5

5x3 = 10x5

5x3 = 2 ⋅ 5x5

5x3 = 2 ⋅ /5 x/5 2

/5 /x/3 = 2x2

f) (−a)8 − (a2)4 = a8 − a8 = 0

Opgave 54 a) 13x2 y + 7x2 y = 20x2 y

b) a8 ∶ a3 = a8

a3 = a/8 5

/a/3 = a5

c) (xy)9 + xy9 = x9 y9 + xy9

d) 2y− 3

xy= 2x

xy− 3

xy= 2x − 3

xy

e) −15pqr−5p− 6q ⋅ −5r = 3 ⋅ 5pqr

5p+ 30qr

= 3 ⋅ /5 /p qr/5 /p + 30qr = 3qr + 30qr = 33qr

f) 5p3q

⋅ − 4x5y

= −( 5p3q

⋅ 4x5y) = −( /5 p

3q⋅ 4x/5 y) = − 4px

3qy

Opgave 55 a) −5a ⋅ 2b10x

+ 2xab

= − 10ab10x

+ 2xab

= −��10 ab��10 x

+ 2xab

= − abx+ 2x

ab= − a2b2

abx+ 2x2

abx= −a2b2 + 2x2

abx

b) −20p5q4

−5p2q3 = 4 ⋅ 5p5q4

5p2q3 = 4 ⋅ /5 p/5 3q/4 1

/5 /p/2 /q/3 = 4p3q

Variabelen 117

c) − 5x12y

∶ − 2x5

= 5x12y

⋅ 52x

= 5 /x12y

⋅ 52 /x = 25

24y

d) 35ab60bc

+ x2 ⋅ 3yz4cy

= 7 ⋅ 5ab12 ⋅ 5bc

+ 3x2 yz4cy

= 7 ⋅ /5 a /b12 ⋅ /5 /b c

+ 3x2 /y z4c /y

= 7a12c

+ 3x2z4c

= 7a12c

+ 9x2z12c

= 7a + 9x2z12c

e) 17m2 − 8m2 = 9m2

f) (3x3)2(−2xy2)3 = 32 ⋅ (x3)2 ⋅ (−2)3 ⋅ x3 ⋅ (y2)3= 9 ⋅ x6 ⋅ −8 ⋅ x3 ⋅ y6 = −72x9 y6

Opgave 56 a) −x2y

⋅ − 2yx

= − x2y

⋅ − 2yx

= x2y

⋅ 2yx

= /x/2 /y ⋅ /2 /y/x = 1

b) −x2y

∶ − 2yx

= − x2y

⋅ − x2y

= x2y

⋅ x2y

= x2

4y

c) (p3)8 ⋅ pq2 = p24 ⋅ pq2 = p25q2

d) ( xy)3 − ( 2

3z)2 = x3

y3 − 22

(3z)2 = x3

y3 − 49z2 = 9x3z2

9y3z2 − 4y3

9y3z2 = 9x3z2 − 4y3

9y3z2

e) (a3b)2 ∶ ba= (a3)2 b2 ⋅ a

b= a6b2 ⋅ a

b= a6b/2 1 ⋅ a/b = a7b

f) ( pq3

(pq)3 )3 = ( pq3

p3q3 )3 = ( /p /q/3p/3 2 /q/3 )3 = ( 1

p2 )3 = 13

(p2)3 = 1p6

118 Algebra

Hoofdstuk 4

Meten en berekenen

120 Meten en berekenen

4.1 Hoeken meten en tekenen met de geodriehoek

Opgave 1

A

B

C

D

∠A = 104○ ∠B = 85○ ∠C = 169○ ∠D = 60○


60◦

120◦180◦

b) Voorbeelden:

23 ◦ 167 ◦

55◦125◦

Hoeken meten en tekenen met de geodriehoek 121

Opgave 3 Voorbeelden:

a)80◦

50◦ 50◦

b)

25◦ 75◦

80◦

c)

57◦ 102◦

21◦

d) De som van de drie hoeken in de voorgaande driehoeken issteeds 180○.

e) De som van de drie hoeken van een driehoek is altijd gelijk aan180○. Aangezien de som van twee stompe hoeken groter is dan180○ is het dus niet mogelijk om een driehoek te tekenen met tweestompe hoeken.


a) b) c)

Een scherpe hoek enhaar bissectrice.

Een stomphoekigedriehoek met de driebissectrices.

Een scherphoekigedriehoek met de driebissectrices.

d) De bissectrices van een driehoek snijden elkaar in een punt. Ditpunt is tevens het middelpunt van de ingeschreven cirkel van dedriehoek.


Opgave 5 a)

A B

C

10

60◦ 45◦

75◦

b) ∠C = 75○.

Opgave 6 a)

K L

M

6

3135◦

b) Omdat een van de hoeken van △KLM groter is dan 90○

(∠L = 135○) wordt △KLM ook wel een stomphoekige driehoekgenoemd.


Opgave 7 a) Om de bissectrice van een willekeurige hoek met passer en liniaalte construeren, zie Hoofdstuk 2, Opgave 23 - 25.

b) Voorbeelduitwerking:

● Begin met twee snijdende lijnen (Figuur 4.1a). Teken een cir-kel met het snijpunt van de twee lijnen als middelpunt en metstraal r zodanig dat de cirkel de twee lijnen in vier puntensnijdt (Figuur 4.1b).

(a) (b)

Figuur 4.1

● Laat dezelfde afstand r tussen de passerpoten staan. Tekennu vier cirkels, elk met straal r en met een van de vier snij-punten van de eerste cirkel met de twee lijnen als middelpun-ten. Men krijgt dan vier snijpunten. Verbind nu elk tweetalsnijpunten die tegenover elkaar liggen, zie Figuur 4.2a. Debissectrices zijn dan getekend. In Figuur 4.2b zijn alleen detwee snijdende lijnen en de bissectrices van de 4 hoeken bijhet snijpunt getekend.

(a) (b)

Figuur 4.2


Om met behulp van passer en geodriehoek een driehoek, zeg △ABC met zijden a,b en c te tekenen gaat men als volgt te werk:

● Teken lijnstuk AB met lengte a.

● Teken (delen) van cirkels ⊙(A, b) en ⊙(B, c)⇒ snijpunt C.

● Verbind A met C en B met C. De gevraagde driehoek is getekend.

Opgave 8 a)

4

6 5

b)

A B

C

6

810


c)

P Q

R

5

4 3

Opgave 9 a) - b)

A B

CD

S ∠ASB = 90○

.c) Vierkant ABCD is een regelmatige vierhoek. De hoekpunten A, B,

C en D liggen op een cirkel met S als middelpunt. Er moet dusgelden: ∠ASB =∠BSC =∠CSD =∠DSA = 360○ ∶ 4 = 90○.Men kan dit ook op de volgende manier laten zien. Omdat∠ASC = 180○ geldt

∠BSC = 180○ −∠ASB = 180○ − 90○ = 90○ =∠ASB.

Ook is ∠BSD = 180○ en dus

∠CSD = 180○ −∠BSC = 180○ − 90○ = 90○ =∠BSC.

Tot slot is ook ∠CSA = 180○ en dus

∠DSA = 180○ −∠CSD = 180○ − 90○ = 90○ =∠CSD.

Conclusie: ∠ASB =∠BSC =∠CSD =∠DSA.


Opgave 10 a) Voor de constructie van de zeshoekABCDEF, zie Hoofdstuk 2, Opgave 8.Het gevraagde figuur wordt hiernaastafgebeeld.

M

B

C

D

E

F

A

b) ∠AMC =∠CME =∠EMA = 120○.

M

B

C

D

E

F

A

c) Driehoek △ABC is een gelijkzijdige en dus een regelmatigedriehoek waarvan de hoekpunten op de cirkel met middelpuntM liggen. Er moet dus gelden: ∠AMC = ∠CME = ∠EMA = 360○ ∶3 = 120○.

d) ∠BMA = 360○ ∶ 6 = 60○.B

C

D

E

F

A

M


Opgave 11 a)

M

A

B

CD

E

b)

M

A

B

CD

E

c)

αα

Een regelmatige zevenhoek, Een regelmatige achthoek,met ∠α = 360○ ∶ 7. met ∠α = 360○ ∶ 8 = 45○.

α α

Een regelmatige negenhoek, Een regelmatige tienhoek,met ∠α = 360○ ∶ 9 = 40○. met ∠α = 360○ ∶ 10 = 36○.


4.2 Bijzondere driehoeken

Opgave 12 a)

A B

Cb)

P Q

R

∗

∗ c)

K L

M

benen: AC en BC benen: QP en RP benen: KL en ML

basis: AB basis: QR basis: KM

tophoek: ∠ACB tophoek: ∠QPR tophoek: ∠KLM

basishoeken: basishoeken: basishoeken:∠CAB en ∠CBA ∠PQR en ∠PRQ ∠LMK en ∠LKM

Opgave 13

5

5 5

Opgave 14 a), b)

4

35

Bijzondere driehoeken 129

c) De geodriehoek is een gelijkzijdige driehoek met de volgendeeigenschappen:

▸ Tophoek: 90○

▸ Basishoeken: 45○

▸ Lengte van de basis: 15 cm

▸ Lengten van de benen: ±10.6 cm

Opgave 15 a)

A B

C

6

10

9

Z

Figuur 4.3: Driehoek △ABC met de zwaartelijnen AP, BQ,CR en het zwaartepunt Z.

b) Het snijpunt Z van de zwaartelijnen van △ABC wordt ook welhet zwaartepunt genoemd.


Opgave 16 a) - d)

A B

C

6

10

9

M

Figuur 4.4: Driehoek △ABC met de middelloodlijnen AB, BC, AC, hetsnijpunt M van de drie middelloodlijnen en deomgeschreven cirkel van △ABC met M als middelpunt.


Opgave 17 a) - d)

A B

C

6

10

9

T

S

Figuur 4.5: Driehoek △ABC met de drie bissectrices, het snijpunt Svan de drie bissectrices en de ingeschreven cirkel van dedriehoek met S als middelpunt.


Opgave 18 a)

A B

C

6

10

9

Hk

l

m

Figuur 4.6: Driehoek △ABC met de drie hoogtelijnen k, l, m en hethoogtepunt H.


b) Om het hoogtepunt van driehoek △KLM te tekenen verlengenwe de zijden KL en KM, zie de figuur hieronder.

L

M

5

610

K

H

Figuur 4.7: Driehoek △KLM met de drie hoogtelijnen en het hoogtepunt H.


Opgave 19 a) - e)

AB

C

20

18

15H

Z

M

=ho

ogte

lijne

n=

zwaa

rtel

ijnen

=m

idde

llood

lijne

n=

rech

teva

nE

uler

H=

hoog

tepu

ntZ

=zw

aart

epun

tM

=sn

ijpun

tm

idde

llood

lijne

n

Bijzondere vierhoeken 135

4.3 Bijzondere vierhoeken

Opgave 20 ▸ Een trapezium is een vierhoek waarvan een paar overstaandezijden evenwijdig zijn.

▸ Een koordenvierhoek is een vierhoek waarvan de hoekpunten opeen cirkel liggen.

▸ Een rechthoek is een parallellogram met vier rechte hoeken.

▸ Een vierkant is een rechthoek met vier gelijke zijden.

▸ Een vlieger is een vierhoek met twee paar gelijke zijden waarvande overstaande zijden niet evenwijdig zijn.

▸ Een ruit is een vierhoek met twee paar evenwijdige , gelijkezijden.

Opgave 21 a) Rechthoek, vierkant.

b) Vierkant.

c) Vlieger, ruit, vierkant.

d) Parallellogram, vlieger, ruit, rechthoek, vierkant.

e) Ruit, vierkant.

Opgave 22 a) Voorbeeld: b)

67◦101◦

102◦

De hoeken samen zijn De som van de hoeken van67○ + 101○ + 90○ + 102○= 360○. een vierhoek is 2 × 180○ =

360○.


c) ∠B = 360○ − (∠A +∠C +∠D)

= 360○ − (20○ + 20○ + 80○)

= 360○ − 120○

= 240○

A

B

C

D

80◦

20◦20◦

d) ▸ Een ruit heeft een paar overstaande hoeken die even grooten scherp zijn en een paar overstaande hoeken die ook evengroot, maar stomp zijn.

▸ Een vlieger heeft een paar overstaande hoeken die evengroot en stomp zijn en twee scherpe hoeken die niet evengroot zijn.

▸ Net als een ruit heeft een parallellogram een paar over-staande hoeken die even groot en scherp zijn en een paaroverstaande hoeken die ook even groot, maar stomp zijn.

e) Voorbeeld:

86◦

94◦79◦

101◦

De twee sommen van deoverstaande hoeken zijn:

● 94○ + 86○ = 180○

● 79○ + 101○ = 180○

Spiegelen 137

4.4 Spiegelen

Opgave 23

l

MA

B

C

A′

B′

C′

Figuur 4.8: △ABC en haar spiegelbeeld △A′B′C′.

Opgave 24

k

A

B

C

D

A′

B′

C′

D′

Figuur 4.9: Ruit ABCD en haar spiegelbeeld A′B′C′D′.


Opgave 25

p

K = K′

M = M′

L

N

N′

L′

Figuur 4.10: Parallellogram KLMN en haar spiegelbeeld K′L′M′N′.

Opgave 26

mA = A′

B = B′

C = C′

D = D′

Figuur 4.11: Ruit ABCD en haar spiegelbeeld A′B′C′D′.

Symmetrie 139

4.5 Symmetrie

Opgave 27 Ja, de lijn door B en D is ook eensymmetrieas van de ruit ABCD,zie de figuur hiernaast.

A

B

C

D

Opgave 28 In de onderstaande figuren zijn de symmetrieassen steeds met roodgekleurd.

● Bijzondere driehoeken:

– Gelijkbenige driehoek.Symmetrisch, aantal symmetrieassen: 1

– Gelijkzijdige driehoek:Symmetrisch, aantal symmetrieassen: 3


● Bijzondere vierhoeken.Symmetrische bijzondere vierhoeken zijn:

– Vlieger:Aantal symmetrieassen: 1

– Ruit:Aantal symmetrieassen: 2

– Rechthoek:Aantal symmetrieassen: 2

Symmetrie 141

– Vierkant:Aantal symmetrieassen: 4

– Trapezium (onder de voorwaarde dat een paar over-staande zijden evenwijdig zijn en een paar over-staande zijden omgekeerd evenwijdig zijn):Aantal symmetrieassen: 1

– Koordenvierhoek (onder dezelfde voorwaarde alshierboven):Aantal symmetrieassen: 1

Opgave 29 a) Hoofdletters die een symmetrieas hebben: A B C D E MT U V W Y.

b) Hoofdletters die twee symmetrieassen hebben: H I O X.


c) Hoofdletters die puntsymmetrisch zijn en twee symmetrieassenhebben: H I O X.

d) Hoofdletters die puntsymmetrisch zijn en geen symmetrieassenhebben: S Z.

e) Hoofdletters die asymmetrisch zijn: F G J K L P Q R.

f) Nee, er bestaat geen hoofdletters die puntsymmetrisch zijn enmaar een symmetrieas hebben.

Opgave 30 a) Ja, een gelijkzijdige driehoek is lijnsymmetrisch.

b) Nee, een gelijkzijdige driehoek is niet puntsymmetrisch.

c) Ja, een gelijkzijdige driehoek is draaisymmetrisch. De draaihoekis 120○.

Opgave 31 De onderstaande voorbeelden zijn allen gebasseerd op de regel-matige vijfhoek. De draaihoek is dus steeds 72○.

a) Voorbeelden van twee figuren die niet lijnsymmetrisch en nietpuntsymmetrisch zijn, maar wel draaisymmetrisch.

b) Voorbeelden van twee figuren die wel lijnsymmetrisch en nietpuntsymmetrisch zijn, maar wel draaisymmetrisch.

Berekening met hoeken en oppervlakten 143

4.6 Berekening met hoeken en oppervlakten

Opgave 32 ∠C = 180○− ∠A −∠B (hoekensom 180○)

= 180○− 20○ − 60○

= 100○A B

C

20◦ 60◦

Opgave 33 Gegeven: ∠A = 30○, ∠B = 50○

BD is bissectrice van ∠BTe berekenen: ∠D2

In △ABD geldt:

∠D1 = 180○ −∠A− (∠B ÷ 2) (hoekensom 180○)

= 180○ − 30○ − 25○

= 125○

En dus ∠D2 = 180○ −∠D1 (gestrekte hoek)

= 180○ − 125○

= 55○

A B

C

30◦

D1

2

Opgave 34 Gegeven: ∠A = 40○, ∠D1 = 85○, ∠B = 30○

a) Te berekenen: ∠C1 en ∠C2

In △ADC geldt:

∠C1 = 180○ −∠A −∠D1 (hoekensom 180○)

= 180○ − 40○ − 85○ = 55○

∠D2 = 180○ −∠D1 (gestrekte hoek)

= 180○ − 85○ = 95○

In △BCD geldt:

∠C2 = 180○ −∠B −∠D2 (hoekensom 180○)

= 180○ − 30○ − 95○ = 55○

A B

C

40◦ 30◦

D1 2

1 2

b) Omdat ∠C1 =∠C2 is CD de bissectrice van ∠C12.


Opgave 35 Gegeven: ∠A = 50○, ∠C = 90○

AD is bissectrice van ∠ABE is bissectrice van ∠BTe berekenen: ∠S1 en ∠S2

In △ABC geldt:

∠B = 180○ −∠A −∠C (hoekensom 180○)

= 180○ − 50○ − 90○ = 40○

In △ABS geldt:

∠S2 = 180○ −∠A2 −∠B1 (hoekensom 180○)

= 180○− (∠A ÷ 2) − (∠B ÷ 2) (bissectrices)

= 180○ − 25○ − 20○ = 135○

En dus

∠S1 = 180○∠S2 (gestrekte hoek)

= 180○ − 135○ = 45○

A B

C

S1 2

3

12 1

2

E D1

2 12

Opgave 36 Gegeven AC = BC, ∠A = 80○

Te berekenen: ∠C

△ABC is een gelijkbenige driehoek met benenAC en BC en basishoeken ∠A en ∠C, dus ∠A =∠B = 80○. Hieruit volgt

∠C = 180○ −∠A −∠B (hoekensom 180○)

= 180○ − 2 × 80○ = 20○

A B

C

80◦

Opgave 37 Gegeven AC = BC, ∠C = 40○

Te berekenen: ∠A

△ABC is een gelijkbenige driehoek metbenen AC en BC en basishoeken ∠A en∠C, dus ∠A =∠B. Hieruit volgt

∠A = (180○ −∠C) ÷ 2

= (180○ − 40○) ÷ 2 = 70○A B

C

40◦


Opgave 38 Gegeven AC = BC = ABTe berekenen: ∠A

△ABC is een gelijkzijdige driehoek, dus∠A = ∠B = ∠C. De som van de drie hoe-ken is 180○, zodat

∠A = 180○ ÷ 3 = 60○A B

C

Opgave 39 Gegeven ∠A = 36○, AB = AC, BC = BDTe berekenen: ∠D2

Omdat AB = AC is △BCA een ge-lijkzijdige driehoek met basishoe-ken ∠B en ∠C.Omdat BC = BD is △CDB ge-lijkzijdig met basishoeken ∠C en∠D1, dus ∠C =∠D1.

A B

C

36◦

D2

1

In driehoek △BCA geldt:

∠C =∠D1= (180○ −∠A) ÷ 2 (hoekensom 180○)

= (180○ − 36○) ÷ 2 = 72○

En dus ∠D2 = 180○ −∠D1 (gestrekte hoek)

= 180○ − 72○ = 108○

Opgave 40 Gegeven ∠A = 40○, ∠B = 70○, ∠D = 90○

CE is bissectrice van ∠CTe berekenen: ∠S4 en ∠E2

In △ABC geldt:

∠C = 180○ −∠A −∠B (hoekensom 180○)

= 180○ − 40○ − 70○ = 70○

∠C1 =∠C2 =∠C ÷ 2 (bissectrices)

= 70○ ÷ 2 = 35○

In driehoek △CDS geldt:

A B

C

40◦

D

E1 2 2

1

1 2

S12

34


∠S2 =∠S4 (overstaande hoeken)

= 180○ −∠D −∠C1 (hoekensom 180○)

= 180○ − 90○ − 35○ = 55○

In driehoek ∠BEC geldt:

∠E2 = 180○ −∠B −∠C2 (hoekensom 180○)

= 180○ − 70○ − 35○ = 75○

Opgave 41 Gegeven: ∠A = 52○, ∠B = 44○

AD is bissectrice van ∠ABE is bissectrice van ∠BCF is bissectrice van ∠CTe berekenen:Alle hoeken in de figuur.

In △ABC geldt: A B

C

DE

21 1

2

21

12

1 23

456

S

F1 2

12

∠C = 180○ −∠A −∠B (hoekensom 180○)

= 180○ − 52○ − 44○ = 84○

∠A1 =∠A2 =∠A ÷ 2 = 52○ ÷ 2 = 26○ (bissectrices)

∠B1 =∠B2 =∠B ÷ 2 = 44○ ÷ 2 = 22○ (bissectrices)

∠C1 =∠C2 =∠C ÷ 2 = 84○ ÷ 2 = 42○ (bissectrices)

In driehoek △ABE geldt:

∠E1 = 180○ −∠A −∠B2 (hoekensom 180○)

= 180○ − 52○ − 22○ = 106○

∠E2 = 180○ −∠E1 = 180○ − 106○ = 74○ (gestrekte hoek)

In driehoek △CES geldt:


= 180○ −∠C1 −∠E2 (hoekensom 180○)

= 180○ − 42○ − 74○ = 64○

In driehoek △AES geldt:


= 180○ −∠A1 −∠E1 (hoekensom 180○)

= 180○ − 26○ − 106○ = 48○


∠S2 =∠S5 (gestrekte hoek)

= 180○ −∠S1 −∠S6= 180○ − 64○ − 48○ = 68○

In driehoek △AFC geldt:

∠F1 = 180○ −∠A −∠C1 (hoekensom 180○)

= 180○ − 52○ − 42○ = 86○

∠F2 = 180○ −∠F1 = 180○ − 86○ = 94○ (gestrekte hoek)

In △ABD geldt:

∠D1 = 180○ −∠A2 −∠B (hoekensom 180○)

= 180○ − 26○ − 44○ = 110○

∠D2 = 180○ −∠D1 = 180○ − 110○ = 70○ (gestrekte hoek)

Hoofdstuk 5

Het Assenstelsel

150 Het Assenstelsel

5.1 Het Assenstelsel

Opgave 1 a) - d)

Ox

y

−3 −2 −1 1 2

2

1

−1 y = −1

x = 2x = −3

Opgave 2 a) Alle punten waarvan de x−coordinaat 0 zijn liggen op de lijnx = 0, oftewel de y−as.

b) Op y = 0 liggen alle punten waarvan de y−coordinaat 0 zijn. Ditis ook wel de x−as.

Het Assenstelsel 151

Opgave 3 a), b), d)

Ox

y

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7

6

5

4

3

2

1

−1

−2

−3

−4

−5

A

B

C

D

E

F

G

H

x = 7

y = −5

c) Voorbeelden: (−5,−5), (1,−5), (7,−5)e) Voorbeelden: (7,−3), (7, 1), (7, 5)


Opgave 4 a) - c)

Ox

y

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1 A B

CD

E

F

G

H

c) Omdat de punten E, F, G en H op de middens liggen van de zij-den waarop ze liggen geldt: EF = FG = GH = HE. Bovendienzijn de diagonalen EG en FH aan elkaar gelijk, dus moet EFGHwel een vierkant zijn.

Opgave 5 a) (7, 8)b) (−2,−18)c) (5,−21)d) (17,−3)


Opgave 6 a) B(5, 8)b) A(2, 11)c) E(9, 0)d) C(0,−4)e) B(5, 8) en D(11, 8)f) A(2, 11) en G(2, 5)

Opgave 7 a), b) C(5, 8), D(1, 7)

Ox

y

1 2 3 4 5 6 7 8 9

9

8

7

6

5

4

3

2

1

A

B

C

D


Opgave 8 a), b)

Ox

y

1 2 3 4 5 6 7 8 9

5

4

3

2

1

−1

−2

−3

−4

−5

x = 3

y = 2

x > 3

y < 2 x > 3y < 2


Opgave 9

Ox

y

−3 −2 −1 1 2 3

3

2

1

−1

−2

−3

y = x

Opgave 10

Ox

y

−3 −2 −1 1 2 3

3

2

1

−1

−2

−3

y = −x


Opgave 11 a) R(5, 10)

Ox

y

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

P

Q

R

S

b) (3, 7), (4, 6), (4, 7), (4, 8), (5, 7), (5, 8), (5, 9), (6, 8)c) (3, 6), (5, 6), (6, 7), (6, 9), (4, 9), (3, 8)

Opgave 12 a) (1, 5), (2, 5), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (2, 7), (1, 7), (1, 6)b) (−4, 6), (2, 0), (8, 6), (2, 12)


Opgave 13 a), b)

Ox

y

1 2

2

1

A

B

1−6

1−2

−112

−13

Opgave 14 a)

O x

y x = 2 x = 3 12

y = −1

y = 4

1 2 3 4

4

3

2

1

−1

b) (3, 0), (3, 1), (3, 2), (3, 3)


Opgave 15 a) De coordinaten van de roosterpunten op de lijn x = 6 hebben alle-maal x−coordinaat 6.

b) De coordinaten van de roosterpunten rechts van de lijn x = 6 heb-ben allemaal x−coordinaat 7.

c) De coordinaten van alle punten rechts van de lijn x = 6 hebbenallemaal x−coordinaat groter dan 6.

Opgave 16 a), d)

OP

x

y

−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

4

3

2

1

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

−8

A

B

C

Q

R

S


b) De twee overstaande zijden OA en BC zijn evenwijdig, dit geldtook voor de andere twee overstaande zijden OC en AB. Aande noodzakelijke en voldoende voorwaarden voor een paralle-logram zijn dus voldaan.

c) P(0, 0), Q(−3, 1), R(− 52

,−7), S( 12

,−8)e) (2 1

2, 1 3

4)

f) (−1 14

,−3 12)


5.2 Lijnsymmetrie en puntsymmetrie

Opgave 17 a)

Ox

y

−1 1 2 3 4 5

4

3

2

1

A B

C

b) Lijn x = 2 is de symmetrie-as van △ABC.

Opgave 18 A(−3, 0) en C(3, 0) zijn elkaars spiegelbeeld, y−as is de spiegelas.

B(0,−2) en D(0, 2) zijn elkaars spiegelbeeld, x−as is de spiegelas.

Opgave 19

Ox

y

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4

2

1

−1

−2

−3

A

B

C

A′

B′

C′

Lijnsymmetrie en puntsymmetrie 161

Ox

y

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4

2

1

−1

−2

−3

A

B

C = C′

A′

B′

y = x

Ox

y

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4

2

1

−1

−2

−3

−4

−5

A

B

C = C′

A′

B′

y = −2


Opgave 20 a) - d)

Ox

y

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

5

4

3

2

1

−1

−2

−3

−4

−5

B

C

A = A′

B′

C′ = C′′

B′′

A′′

d) De oorspronkelijke driehoek, i.e. △ABC.

Lijnsymmetrie en puntsymmetrie 163

Opgave 21 a), b)

Ox

y

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4

4

3

2

1

−1

−2

−3

−4

l : y = 3

k : y = −3


5.3 Het verband tussen x en y in een formule

5.3.1 Verbanden

5.3.2 Tabellen

Opgave 22 a) y = 2x + 1

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21

b) y = −2x + 2

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y 2 0 −2 −4 −8 −10 −12 −14 −16 −18 −20

c) y = −x − 1

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y −1 −2 −3 −4 −5 −6 −7 −8 −9 −10 −11

Opgave 23 a) y = 3x + 2

x −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

y −13 −10 −7 −4 −1 2 5 8 11 14 17

b) y = −3x − 3

x −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

y 12 9 6 3 0 −3 −6 −9 −12 −15 −18

c) y = −x

x −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

y 5 4 3 2 1 0 −1 −2 −3 −4 −5

Opgave 24 De formule is steeds van de vorm y = ax + b, met a en b nognader (uit de gegevens in de tabel) te bepalen.

Het verband tussen x en y in een formule 165

a) Als x met 1 toeneemt dan neemt y steeds met 2 toe, dus a = 2. Ditkunnen we als volgt laten zien. Neem twee willekeurige opeen-volgende getallen voor x, zeg x = 1 en x = 2. Uit de tabel zien wedan dat 3 = a ⋅ 1 + b en 5 = a ⋅ 2 + b. Nemen we het verschil tus-sen deze twee getallen dan vinden we a = 2. Dit betekent dus datbij x = 0 hoort y = 3 − 2 = 1. Vullen we x = 0 en y = 1 in de formuley = ax + b in dan krijgen we 1 = a ⋅ 0 + b = 0 + b, dus b = 1. Deformule die hoort bij tabel deze tabel is dus y = 2x + 1.

b) We volgen dezelfde redenering als hierboven. Als x met 1 toe-neemt neemt y steeds toe met 3, dus a = 3. Bij x = 0 hoort dusy = 3− 3 = 0, zodat b = 0. De formule die hoort bij deze tabel is dusy = 3x.


5.4 Grafieken

Opgave 25 a) (1) y = 2x − 3

x −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

y −11 −9 −7 −5 −3 −1 1 3 5

(2) y = x

x −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

y −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

(3) y = −0, 5x − 1

x −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

y 1 0, 5 0 −0, 5 −1 −1, 5 −2 −2, 5 −3

b)

Ox

y

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4

5

4

3

2

1

−1

−2

−3

−4

−5

y = −0, 5x− 1

y=

2x−

3

y =x

Grafieken 167

Opgave 26 De formule is van de vorm y = ax + b.Omdat de grafiek door x = 0 en y = 0gaat is b = 0, dus y = ax. Teken eenrechte lijn door x = 1 en een rechte lijndoor y = 3, zie de figuur hiernaast. Degrafiek gaat dus door het punt (1, 3).Invullen in y = ax geeft 3 = a ⋅ 1, zodata = 3. De formule die bij deze grafiekhoort is dus y = 3x. O

x

y

−2 −1 1 2 3

3

1

2

−1

−2

Opgave 27 a) Omdat de grafiek door het oor-sprong gaat is de formule vande vorm y = ax (zie hierboven).Te ken nu een rechte lijn doorx = 2 en een rechte lijn door y =1. Men ziet dan dat de grafiekdoor punt (2, 1) gaat, zie de fi-guur hiernaast. Invullen in y = axgeeft 1 = a ⋅ 2, zodat a = 1

2 . De for-mule die bij deze grafiek hoort is

dus y = 12

x.

Ox

y

−2 −1 1 2 3 4

3

1

2

−1

−2

b) Ook hier is de formule van devorm y = ax. Bij elke x is y steedsde negatieve van x. Dit kan mencontroleren door rechte lijnen tetekenen door, bv. x = 1 en y = −1,zie hiernaast. De formule die bijdeze grafiek hoort is dus y = −x. O

x

y

−2 −1 1 2 3

3

1

2

−1

−2


Opgave 28 y = 6x + 120

a)x −20 −10 0 10 20

y 0 60 120 180 240b)

O

x

y

−20 20

240

220

200

180

160

140

120

100

80

60

40

20

y=

6x+

120

Opgave 29 y = 58

x − 5

a)x −16 −8 0 8 16

y −15 −10 −5 0 5

b)

Ox

y

−15 −10 −5 5 10 15

5

−5−10−15

y = − x − 5

85

Grafieken 169

Opgave 30 a) p = − 23

q + 4

q −9 −6 −3 0 3 6 9

p 10 8 6 4 2 0 −2

Oq

p

−9 −6 −3 3 6 9

9

6

3

−3

p = − 23 q+ 4

b) y = 3x + 180

x −60 −30 0 30 60

y 0 90 180 270 360

Ox

y

−60 60

360

300

240

180

120

60

−60

−120

y=

3x+

180


Opgave 31 a), b)

Ox

y

−3 −2 −1 1 2 3

3

2

1

−1

−2

−3

x > y

y=

x

Opgave 32 a) – c)

O x

y

−2 −1 1 2 3 4

4

3

2

1

−1

−2

x + y < 5

x +y=

5

Grafieken 171

Opgave 33 a), b)

Ox

y

−3 −2 −1 1 2 3

3

2

1

−1

−2

−3

y > 2x

y=

2xOpgave 34 a) y = x2 x −3 −2 −1 0 1 2 3

y 9 4 1 0 1 4 9

b), c)

O x

y

−3 −2 −1 1 2 3

9

8

7

6

5

4

3

2

1

y = x2


Opgave 35 y = x2 + 3

a) Vul x = −4 in in de formule, dan y = (−4)2 + 3 = 16 + 3 = 19.

b) Vul x = 4 in in de formule, dan y = 42 + 3 = 16 + 3 = 19.

c) Beiden geven hetzelfde antwoord.

Opgave 36 a) y = x2 − 1

x −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

y 15 8 3 0 −1 3 8 15

b), c)

Ox

y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

−1

y = x2 − 1

Grafieken 173

Opgave 37 a) y = 12

x2 + 1

x −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

y 9 5 12

3 1 12

1 1 12

3 5 12

9

b), c)

Ox

y

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4

9

8

7

6

5

4

3

2

1

y = 12 x2 + 1


Opgave 38 a) y = −x2 + 2

x −3 −2 −1 0 1 2 3

y −7 −2 1 2 1 −2 −7

b)

Ox

y

−3 −2 −1 1 2 3

2

1

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

y = −x2 + 2

Grafieken 175

Opgave 38 a) y = −(x − 4)2x −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

y 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25

b)

Ox

y

−2 2 4 6 8

26

24

22

20

18

16

14

12

10

8

6

4

2

y = (x− 4)2



Opgave 40 a) – c)

Ox

y

−3 −2 −1 1 2 3

3

2

1

−1

−2

−3

A B

C

l :y =

xk : y = −x

d) (i) y > −2, (ii) x < 2 (iii) x > y

Opgave 41 a), c), d)

Ox

y

−3 −2 −1 1 2 3

3

2

1

−1

−2

−3

l :y =

x−1

l′ :y =

x +1

b)x −2 −1 0 1 2

y −1 0 1 2 3

Gemengde opgaven 177

Opgave 42 a) – d) M(4, 0), E(−1, 2)

Ox

y

−2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

3

2

1

−1

−2

−3

A B

CDE

F P Q

RS

M

Opgave 43 a) y = −5 ⋅ 52 = −5 ⋅ 25 = −125

b) y = (4 − 11)2 = (−7)2 = 49

c) y = (−8)2 − 11 = 64 − 11 = 53

Opgave 44 a) De kortste route langs roosterlijnen van (3, 4) naar (10, 10) is 13.En van (2, 11) naar (7, 5) is 11. (Er zijn meerdere kortste routes).

O 12

12

(3,4)

(10,10)

O 12

12 (2,11)

(7,5)


b) (3, 5), (6, 2), (9, 5), (6, 8), zie defiguur hiernaast.

O 12

12

(6,5)(3,5) (9,5)

(6,8)

(6,2)

c) Oppervlakte van een hokje is 1 en van het hele rooster is 12 × 12 =144.

d) Omtrek van de rechthoek is 2 ×4 + 2× 7 = 22 en oppervlakte vande rechthoek is 4 × 7 = 28.

O 12

12

e)

O 12

12

f) De rechthoek met lengte 4 en breedte 3 heeft de kleinste omtrek.De omtrek is 14.

Opgave 45 a) 1 m = 11000

km. In een uur zitten 60 × 60 = 3600 seconden. Dus:

30 m/s = 0, 03 km/s = (0, 03 × 3600) km/u = 108 km/u.


b) 100 meter = 0, 1 kilometer en 10 seconden = 103600

= 1360

uur. De

snelheid in km/u is dus 0, 1 ∶ 1360

= 110

⋅ 360 = 36 km/u.

c) 1 m/s = 0, 001 km/s = (0, 001 × 3600) km/u = 3, 6 km/u.

d) x 1 10 20 30

y 3, 6 36 72 108

1 m/s = 3, 6 km/u, de formule is dus y = 3, 6x.

e) 342 m/s = (342 × 3, 6) km/u = 1231, 2 km/u.

f)

O

x (m/s)

y (km/u)

10 20 30

100

90

80

70

60

50

40

30

20

10

y = 3, 6x

g) Uit de grafiek is af te lezen dat 100 km/u ongeveer 28 m/s is.


Opgave 46 a) y = −3x + 6

x −2 −1 0 1 2 3 4 5

y 12 9 6 3 0 −3 −6 −9

b)

Ox

y

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

−8

−9

y = −3x + 6

Opgave 47 F = 95

C + 32

a)C 0 10 20 30 100

F 32 50 68 86 212


b)

OC

F

20 40 60 80 100

200

180

160

140

120

100

80

60

40

20

F = 95 C + 32

c) 131 = 95

C + 32, dus 131 − 32 = 95

C, zodat C = 59× (131 − 32) =

55 graden Celcius.

d) F = 95

C + 32, dus F − 32 = 95

C en dus C = 59(F − 32).

Opgave 48 a) A(6,−7) en F(6, 0)b) C(0, 11) en G(−19, 11)c) B(−51, 7), C(0, 11) en G(−19, 11)d) E(24,−14)e) D(63, 63)f) (57, 28)


Opgave 49 a) A = 4 12∶ 3 = 9

2⋅ 1

3= 3

2= 1 1

2, dus het onweer is 1 1

3km van je

verwijderd.

b)t 3 6 12 15

A 1 2 4 5

c) A is waar, elke seconde neemt de afstand met 1 ∶ 3 kilometer toe,dus neemt elke 3 seconde de afstand met 1 kilometer toe.

d)

Ot

A

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

5

4

3

2

1

A = t : 3

Opgave 50 a)

b)nummer figuur 1 2 3 4 5 6 7

aantal lucifers 3 5 7 9 11 13 15

c) Het verschil in aantal lucifers tussen twee opeenvolgende figurenis steeds 2. Er zijn 15 lucifers nodig voor figuur 7, dus zijn er15 + 2× 2 = 19 lucifes nodig voor figuur 9, en zijn er 19 + 3× 2 =25 lucifers nodig voor figuur 12. Voor figuur 0 is 3 − 2 = 1 lucifernodig.

d) 99 + 2 = 101

e) Noem het nummer van de figuur n en het aantal lucifers dat no-dig is voor die figuur L. Voor n = 0 hebben we L = 1. Als n met 1toeneemt dan neemt L steeds met 2 toe, dus L = 2n + 1.


Opgave 51 y = 4x + 7

a) y = 4 × −2 + 7 = −1 f)

b) y = 4 × −1 + 7 = 3

c) 11 = 4x + 7, dus 4 = 4xen dus x = 1.

d) 7 = 4x + 7, dus 0 = 4xen dus x = 0.

e)

x −3 −2 −1 0 1 2 3y −5 −1 3 7 11 15 19

Ox

y

−3 −2 −1 1 2 3

y = 4x + 7

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

−1

−2

−3

−4

−5

Opgave 52 y = x2 − 4

a)x −5 −2 −1 0 1

23 6

y 21 0 −3 −4 − 1516

5 32

b) 21 = x2 − 4 ⇒ x2 = 25. De twee getallen die voldoen aanx2 = 25 zijn x = −5 en x = 5.


Opgave 53 y = (x + 2)2a) y = (−11 + 2)2 = (−9)2 = 81

b) 49 = (x + 2)2 ⇒ (−7)2 = (x + 2)2 of 72 = (x + 2)2, dus moetgelden −7 = x + 2 of 7 = x + 2, en dus x = −9 of x = 5.

c)x −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3

y 9 4 1 0 1 4 9 16 25

Opgave 54 y = 2x − 5

a)x −1 0 1 2 3 4 5

y −7 −5 −3 −1 1 3 5

b)

Ox

y

−1 1 2 3 4 5

5

4

3

2

1

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

y = 2x− 5


Opgave 55 a)

b)nummer figuur 1 2 3 4 5 6 7

aantal lucifers 4 7 10 13 16 19 22

c) Figuur nummer 5: l = 3 ⋅ 5 + 1 = 16.Figuur nummer 6: l = 3 ⋅ 6 + 1 = 19.Figuur nummer 7: l = 3 ⋅ 7 + 1 = 22. De formule klopt.

d) Figuur nummer 50 bestaat uit l = 3 ⋅ 50 + 1 = 151 lucifers.Figuur nummer 1000 bestaat uit l = 3 ⋅ 1000 + 1 = 3001 lucifers.

e) De formule is alleen geldig voorn = 1, 2, . . . De grafiek bestaat dusuit stipjes en is geen rechte lijn(er is natuurlijk geen figuur met

nummer 2 47

).

On

l

1 2 3 4 5 6 7

22

21

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1


Opgave 56 a), b), c) Vierhoek ABCD is een ruit.

Ox

y

−3 −2 −1 1 2 3

2

1

−1

−2

A

B

C

D

Opgave 57 a), b) x −3 −2 −1 0 1 2 3

y = x2 9 4 1 0 1 4 9

y = −2x 6 4 2 0 −2 −4 −6

c) Snijpunten zijn:

(−2, 4) en (0, 0).

Ox

y

−4 −3 −2 −1 1 2 3

9

8

7

6

5

4

3

2

1

−1

−2

−3

−4

−5

−6

y = −2x

y = x2


Opgave 58 a) De grafiek die bij de formule y = x2 + 1 is een dalparabool.

b)x −3 −2 −1 0 1 2 3

y = x2 + 1 10 5 2 1 2 5 10

y = −x + 3 6 5 4 3 2 1 0

c) d) Snijpunten zijn:

(−2, 5) en (1, 2).

Ox

y

−3 −2 −1 1 2 3

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1y = −x + 3

y = x2 + 1

Opgave 59 a)b)

c) Vierhoek ABCD is een parallel-logram.

Ox

y

−1 1

3

2

1

−1

−2

−3

A

D

C

B


Opgave 60 y = 4(x + 7)a) y = 4 ⋅ (4 + 7) = 4 ⋅ 11 = 44

b) y = 4 ⋅ (−5 + 7) = 4 ⋅ 2 = 8

c) 36 = 4 ⋅ (x + 7) ⇒ 4 ⋅ 9 = 4 ⋅ (x + 7), dus 9 = x + 7, en dus x = 2.

d) 12 = 4 ⋅ (x + 7) ⇒ 4 ⋅ 3 = 4 ⋅ (x + 7), dus 3 = x + 7, en dusx = −4.

Opgave 61 De formule xy = 30 kan geschreven worden als y = 30x

of als x = 30y

.

We zien direct dat de formule niet geldig is voor x = 0 en/of y = 0.Een tabel en de bijbehorende figuur worden hieronder gegeven.

x −30 −15 −5 −1 1 5 15 30y −1 −2 −6 −30 30 6 2 1

O x

y

−30 −25 −20 −15 −10 −5

5 10 15 20 25 30

30

25

20

15

10

5

−5

−10

−15

−20

−25

−30


Opgave 62 a) x 1 2 3 5 10 11 12 13 14 15 20 25

y −1 −4 −9 −25 −100 −121 −144 −169 −196 −225 −400 −625

b) Bij elke x is y steeds het negatieve van het kwadraat van x, deformule die bij deze tabel hoort is dus y = −x2.

Opgave 63 a) – c) Voor de constructie van het oprichten van een loodlijn, zieHoofdstuk 2 Opgave 13.

Ox

y

−2 −1 1 2 3 4 5 6

6

5

4

3

2

1

−1−2

l ∶ y = 12x

m

M

B

A

C

d) OABC is een vlieger. Een vlieger is een vierhoek mettwee paar gelijke zijden waarvan de overstaande zijden nietevenwijdig zijn.

Opgave 64 a) – d) ● Voor de constructie van de bissectrice b van ∠ASB, zieHoofdstuk 2 Opgave 25.

● Om het parallellogram ASBD te construeren construeertmen eerst een lijn door A evenwijdig aan m en dan eenlijn door B evenwijdig aan l. Het snijpunt van deze tweelijnen is dan het punt D. Om evenwijdige lijnen te con-strueren, zie Hoofdstuk 2 Opgave 19.

● OTAC is een trapezium. Een trapezium is een vierhoekwaarvan een paar overstaande lijnen evenwijdig zijn.


A

BC

D

S

T

b

l

m

k

∗∗

Ox

y

−2 −1 1 2 3 4 5

6

5

4

2

1

−1

Opgave 65 a) – c)

● Een ruit is een vierhoekmet twee paar evenwijdige,gelijke zijden.

● Om de ruit OABC te constru-eren laat men eerst een lood-lijn neer vanuit C op lijn l.Noem het snijpunt van dezetwee lijnen S. Spiegel O endaarna C in het punt S. Menkrijgt dan de punten A, resp.B. De ruit OABC kan dan ge-tekend worden, zie de figuurhiernaast.

● Voor de constructie van hetneerlaten van een loodlijn,zie Hoofdstuk 2 Opgave 11.

Ox

y

−1 1 2 3

6

5

4

3

2

1

−1

B

A

C

l


Opgave 66 a) – f)

x + y = 11

y = x

x = 8

y = 3

Ox

y

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

g) De mogelijkheden voor deze groep zijn de roosterpunten die zichof binnen in het gearceerde gebied of op de rand van het gear-ceerde gebied op de lijn x + y = 11 bevinden. Dit zijn dus depunten (5, 4), (6, 4), (6, 5) en (7, 4).

Hoofdstuk 6

Algebra vervolg

194 Algebra vervolg

6.1 Herhaling

Opgave 1 a) −2a − 5a = −7a

b) 3a2 + a − a2 = 2a2 + a

c) 2ab+ 1

2b= 4a

2b+ 1

2b= 4a + 1

2b

d) 60pr−24pqr= − 5 ⋅ 12pr

2 ⋅ 12pqr= − 5 ⋅��12 /p /r

2 ⋅��12 /p q /r = − 52q

e) − yac

+ 4ab

= −yac

+ 4ab

= −byabc

+ 4cabc

= −by + 4cabc

= 4c − byabc

f) − 42a⋅ ab

c= − 2 ⋅ 2

2a⋅ ab

c= − 2 ⋅ /2/2 /a ⋅ /a b

c= − 2b

c

Opgave 2 a) − 38⋅ −2 2

3= 3

8⋅ 8

3= /3/8 ⋅ /8/3 = 1

b) abc

∶ 2b= a

bc⋅ b

2= a/b c

⋅ /b2= a

2c

c) (−5qr)2 = (−5)2 ⋅ q2r2 = 25q2r2

d) (6z)3 + z3 = 63 ⋅ z3 + z3 = 216z3 + z3 = 217z3

e) 2a ∶ 1b= 2a ⋅ b

1= 2ab

f) a ⋅ 1b= a

b

Opgave 3 a) ab⋅ b

c⋅ c

a= /a/b ⋅ /b/c ⋅ /c/a = 1

b) −1 34∶ a

4= − 7

4∶ a

4= − 7

4⋅ 4

a= − 7/4 ⋅ /4a = − 7

a

c) 2xy3 ⋅ 3x2 y = 6x3 y4

d) (−5a6b)3(−ab)2 = (−5)3(a6)3b3

(−a)2b2 = −125a18b3

a2b2 = − 125a�18 16b/3 1

/a/2 /b/2 = −125a16b

Herhaling 195

e) 6x7 + 4x7

3x4 = 10x7

3x4 = 10x/7 3

3 /x/4 = 10x3

3

f) (−x)6 − (x2)3 = x6 − x6 = 0

Opgave 4 a) 15x2 y + 9x2 y = 24x2 y

b) a6 ∶ a2 = a6

a2 = a/6 4

/a/2 = a4 (of ook: a6 ∶ a2 = a6− 2 = a4)

c) (ab)7 + ab7 = a7b7 + ab7

d) 2r− 3

qr= 2q

qr− 3

qr= 2q − 3

qr

e) −15pqr−5p− 6q ⋅ −5r = 3 ⋅ 5pqr

5p+ 30qr = 3 ⋅ /5 /p qr/5 /p + 30qr = 3qr + 30qr = 33qr

f) 7p4q

⋅ − 5x21y

= −( 7p4q

⋅ 5x21y) = − 35px

84qy

Opgave 5 a) −5a ⋅ 2b10y

+ 2ab

= − 10ab10y

+ 2ab

= −��10 ab��10 y

+ 2ab

= − aby+ 2

ab= −ab

y+ 2

ab= −(ab)2

aby+ 2y

aby

= −a2b2 + 2yaby

= 2y − a2b2

aby

b) −40p5q4

−10p2q3 = 4 ⋅ 10p5q4

10p2q3 = 4 ⋅��10 p/5 3 q/4 1

��10 /p/2 /q/3 = 4p3q

c) − 5m12n

∶ − 2m5

= 5m12n

⋅ 52m

= 5�m12n

⋅ 52�m

= 2524n

d) 24ab48bc

+ x2 ⋅ 2yz3cy

= 24ab2 ⋅ 24bc

+ 2x2 yz3cy

= ��24 a /b2 ⋅��24 /b c

+ 2x2 /y z3c/y

= a2c

+ 2x2z3c

= 3a6c

+ 4x2z6c

= 3a + 4x2z6c

e) 15m2n2 − 87mn2 ( kan niet verder wordenvereenvoudigd )

f) (3x5)4(−2xy4)5 = 34 ⋅ (x5)4 ⋅ (−2)5 ⋅ x5 ⋅ (y4)5= 81 ⋅ −32 ⋅ x20 ⋅ x5 ⋅ y20 = −2592 x25 y20

196 Algebra vervolg

Opgave 6 a) −2x3y

⋅ − 3y2x

= − 2x3y

⋅ − 3y2x

= /2 /x/3 /y ⋅ /3 /y/2 /x = 1

b) −x2y

∶ − 2yx

= − x2y

⋅ − x2y

= x2

4y2

c) (a3)8 ⋅ ab2 = a24 ⋅ ab2 = a25b2

d) ( xy)4 − ( 2

y)5 ⋅ y = x4

y4 − 25

y5 ⋅ y1= x4

y4 − 32y/5 4 ⋅ /y1 = x4

y4 − 32y4 = x4 − 32

y4

e) (x3 y)2 ∶ xy= (x3)2 y2 ⋅ y

x= x6 y2

1⋅ y

x= x/6 5 y2

1⋅ y/x = x5 y3

f) ( pq3

(pq)3 )3 = ( pq3

p3q3 )3 = ( /p /q/3p/3 2/q/3 )3 = ( 1

p2 )3 = 13

(p2)3 = 1p6

Haakjes wegwerken 197

6.2 Haakjes wegwerken

Opgave 7 a) 2 ⋅ (60 + 4) = 2 ⋅ 60 + 2 ⋅ 4 = 128 d) 3 ⋅ (5 − a) = 15 − 3a

b) 2 ⋅ (x + 4) = 2x + 8 e) −2 ⋅ (z + 9) = −2z − 18

c) 6 ⋅ (y − 2) = 6y − 12 f) (−y + 7) ⋅ 6 = −6y + 42

Opgave 8 a) (x + 2)(x + 3) = x2 + 3x + 2x + 6 = x2 + 5x + 6

b) (b − 1)(b − 4) = b2 − 4b − b + 4 = b2 − 5b + 4

c) (3 − c)(c + 10) = 3c + 30 − c2 − 10c = −c2 − 7c + 30

d) (y + 1)(y + 18) = y2 + 18y + y + 18 = y2 + 19y + 18

e) (a − 2)(a + 8) = a2 + 8a − 2a − 16 = a2 + 6a − 16

f) (z − 9)(z − 4) = z2 − 4z − 9z + 36 = z2 − 13z + 36

Opgave 9 a) a(b + c) = ab + ac d) −x(x + z) = −x2 − xz

b) x(x − y) = x2 − xy e) −2y(2y + z) = −4y2 − 2yz

c) −x(a − b) = −ax + bx f) 3a(a − 2b) = 3a2 − 6ab

Opgave 10 a) (2b + 1)(b + 3) = 2b2 + 6b + b + 3 = 2b2 + 7b + 3

b) (3x + 5)(2x + 2) = 6x2 + 6x + 10x + 10 = 6x2 + 16x + 10

c) (2a + 3)(a − 7) = 2a2 − 14a + 3a − 21 = 2a2 − 11a − 21

d) (1 − 2y)(y + 9) = y + 9 − 2y2 − 18y = −2y2 − 17y + 9

e) −(6x + 4)(2 − x) = −(12x − 6x2 + 8 − 4x)= −(−6x2 + 8x + 8) = 6x2 − 8x − 8

f) 5(a + 3)(a − 2) = 5(a2 − 2a + 3a − 6)= 5(a2 + a − 6) = 5a2 + 5a − 30

198 Algebra vervolg

Opgave 11 a) −(−2x − 3y) = 2x + 3y

b) −3a(17x − 2y) = −51ax + 6ay

c) (a + b)(a + c) = a2 + ac + ab + bc

d) (x − y)(x + y) = x2 + xy − xy − y2 = x2 − y2

e) (2x − y)(x − 2y) = 2x2 − 4xy − xy + 2y2 = 2x2 − 5xy + 2y2

f) (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

Opgave 12 a) (2x − 3y)(3x − 2y) = 6x2 − 4xy − 9xy + 6y2 = 6x2 − 13xy + 6y2

b) (12x − 3y)(12x − 2y) = 144x2 − 24xy − 36xy + 6y2

= 144x2 − 60xy + 6y2

c) 2x − 3x(y − 2) = 2x − 3xy + 6x = 8x − 3xy

d) −21x + (2 + x)(y − 10x) = −21x + 2y − 20x + xy − 10x2

= −10x2 − 41x + xy + 2y

e) (2a2 + 3a)(a + 4) = 2a3 + 8a2 + 3a2 + 12a = 2a3 + 11a2 + 12a

f) (x2 + 3)(x − 2) = x3 − 2x2 + 3x − 6

Merkwaardige producten

Opgave 13 a) (y + 3)2 = y2 + 6y + 9 d) (z − 1)2 = z2 − 2z + 1

b) (x + 2)(x − 2) = x2 − 4 e) (x − 8)(x + 8) = x2 − 64

c) (z + 1)2 = z2 + 2z + 1 f) (b + 10)2 = b2 + 20b + 100

Opgave 14 a) (a + 12)(a − 12) = a2 − 144

b) (−x − 4)2 = x2 + 8x + 16

Haakjes wegwerken 199

c) −(2c + 1)2 = −(4c2 + 4c + 1) = −4c2 − 4c − 1

d) (p + 19)2 = p2 + 38p + 361

e) (x − 12)(x + 1

2) = x2 − 1

4

f) (b − 34)2 = b2 − 3

2b + 9

16

Opgave 15 a) (2x + y)2 = 4x2 + 4xy + y2

b) (2x − 3y)2 = 4x2 − 12xy + 9y2

c) (12x + 10y)2 = 144x2 + 240xy + 100y2

d) −(x + y)2 = −(x2 + 2xy + y2) = −x2 − 2xy − y2

e) (2x + y)(2x − y) = 4x2 − y2

f) (ab − c)(ab + c) = a2b2 − c2

200 Algebra vervolg

6.3 Alles door elkaar

Opgave 16 a) 3(2x + 5) = 6x + 15 d) (a − b)2 = a2 − 2ab + b2

b) (b − 4)2 = b2 − 8b + 16 e) (3p + 6)2 = 9p2 + 36p + 36

c) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 f) (4a − 3)2 = 16a2 − 24a + 9

Opgave 17 a) −5(a2 + 2a) = −5a2 − 10a d) (x − 7)(4x − 3) = 4x2 − 31x + 21

b) −(5a2 + 2a) = −5a2 − 2a e) (4a + 5)2 = 16a2 + 40a + 25

c) −7x(2x − 4) = −14x2 + 28x f) (2x − 4)2 = 4x2 − 16x + 16

Opgave 18 a) (a + 2)(a + 3) + 2a = a2 + 5a + 6 + 2a = a2 + 7a + 6

b) (a − 1)(a − 2) − a + 4 = a2 − 3a + 2 − a + 4 = a2 − 4a + 6

c) (a − 3)(a + 5) − a2 + 3 = a2 + 2a − 15 − a2 + 3 = 2a − 12

d) (a + 1)(a − 4) − a2 + a = a2 − 3a − 4 − a2 + a = −2a − 4

Opgave 19 a) (a + 5)2 − 18 = a2 + 10a + 25 − 18 = a2 + 10a + 7

b) (a − 8b)(a + 8b) − a2 = a2 − 64b2 − a2 = −64b2

c) 7x2 + (3x − 4)(3x + 4) = 7x2 + 9x2 − 16 = 16x2 − 16

d) x2 + (x − y)2 = x2 + x2 − 2xy + y2 = 2x2 − 2xy + y2

Opgave 20 a) (4a + 13)(4a − 1

3) = 16a2 − 1

9

b) (2x − y)(2x + y) = 4x2 − y2

c) ( 25

x + 4)( 25

x − 4) = 425

x2 − 16

Alles door elkaar 201

d) (7y − 23)(7y + 2

3) = 49y2 − 4

9

Opgave 21 a) (a + 35)(a − 3

5) = a2 − 9

25

b) (12

p + 2)(12

p − 4) = 14

p2 − p − 8

c) (6a − 13)(6a − 1

3) = 36a2 − 4a + 1

9

d) (8x − 34

y)(8x + 34

y) = 64x2 − 916

y2

Opgave 22 a) (x − 2y)(2x + y) + xy = 2x2 − 3xy − 2y2 + xy = 2x2 − 2xy − 2y2

b) (a + b)2 − 2b2 = a2 + 2ab + b2 − 2b2 = a2 + 2ab − b2

c) (x − y)2 + y(x − y) = x2 − 2xy + y2 + xy − y2 = x2 − xy

d) p + (1 + q)(1 − p) − q = p + 1 − p + q − pq − q = 1 − pq

Opgave 23 a) (p + 1)(2p − 3) − 2(p2 − 3) = 2p2 − p − 3 − 2p2 + 6 = −p + 3

b) (4y − 3)(4y + 3) − 3(2y + 4) = 16y2 − 9 − 6y − 12

= 16y2 − 6y − 21

c) (2x − 1)2 + 4(x − 3) = 4x2 − 4x + 1 + 4x − 12 = 4x2 − 11

d) (3y + 2)2 + (2y − 3)2 = 9y2 + 12y + 4 + 4y2 − 12y + 9 = 13y2 + 13

Opgave 24 a) −3(2a + 6)(2a − 6) = −3(4a2 − 36) = −12a2 + 108

b) 2(a − 3)2 = 2(a2 − 6a + 9) = 2a2 − 12a + 18

c) 14(2b + 8)2 = 1

4(4b2 + 32b + 64) = b2 + 8b + 16

d) 5(2a2 − 3)(4a2 + a) = 5(8a4 + 2a3 − 12a2 − 3a)= 40a4 + 10a3 − 60a2 − 15a

202 Algebra vervolg

Opgave 25 a) 3a(a − 2) − (3a − 1)2 = 3a2 − 6a − (9a2 − 6a + 1)= 3a2 − 6a − 9a2 + 6a − 1

= −6a2 − 1

b) (2p + 1)2 − (2p − 1)2 = 4p2 + 4p + 1 − (4p2 − 4p + 1)= 4p2 + 4p + 1 − 4p2 + 4p − 1

= 8p

c) (x − 3y)2 − (3x + y)2 = x2 − 6xy + 9y2 − (9x2 + 6xy + y2)= x2 − 6xy + 9y2 − 9x2 − 6xy − y2

= −8x2 − 12xy + 8y2

d) (3p + 5)2 − (5p − 3)2 = 9p2 + 30p + 25 − (25p2 − 30p + 9)= 9p2 + 30p + 25 − 25p2 + 30p − 9

= −16p2 + 60p + 16

Opgave 26 a) (a + 2)(a − 2)(a2 + 4) = (a2 − 4)(a2 + 4) = a4 − 16

b) (x2 + 9)(x − 3)(x + 3) = (x2 + 9)(x2 − 9) = x4 − 81

c) (a + 1)(a − 1)(a2 − 1) = (a2 − 1)(a2 − 1) = a4 − 2a2 + 1

d) (p4 − 4)(p2 + 2)(p2 − 2) = (p4 − 4)(p4 − 4) = p8 − 8p4 + 16

Toepassingen van de algebra 203

6.4 Toepassingen van de algebra

6.4.1 Snelrekentrucs

Opgave 27 a) 122 = (10 + 2)2 = 102 + 40 + 22 = 100 + 40 + 4 = 144

b) 182 = (20 − 2) = 202 − 80 + 22 = 400 − 80 + 4 = 324

c) 58 ⋅ 62 = (60 − 2)(60 + 2) = 602 − 22 = 3600 − 4 = 3596

d) 57 ⋅ 63 = (60 − 3)(60 + 3) = 602 − 32 = 3600 − 9 = 3591

Opgave 28 a) 782 = (80 − 2)2 = 802 − 320 + 4 = 6400 − 320 + 4 = 6084

b) 36 ⋅ 24 = (30 + 6)(30 − 6) = 302 − 62 = 900 − 36 = 864

c) 932 = (100 − 7)2 = 1002 − 1400 + 72 = 10000 − 1400 + 49 = 8649

d) 82 ⋅ 98 = (90 − 8)(90 + 8) = 902 − 82 = 8100 − 64 = 8036

Opgave 29 a) 112 = 10 ⋅ 12 + 1 = 121

b) 212 = 20 ⋅ 22 + 1 = 441

c) 992 = 98 ⋅ 100 + 1 = 9801

d) 9992 = 998 ⋅ 1000 + 1 = 998001

Snel berekenen van kwadraten die op een 5 eindigen

Opgave 30 a) 152 = 10 ⋅ 20 + 25 = 225

b) 252 = 20 ⋅ 30 + 25 = 625

c) 752 = 70 ⋅ 80 + 25 = 5625

d) 9952 = 990 ⋅ 1000 + 25 = 990025

Snel vermenigvuldigen van twee getallen tussen 10 en 20

Opgave 31 a) 17 ⋅ 14 = 10(17 + 4) + 7 ⋅ 4 = 210 + 28 = 238

204 Algebra vervolg

b) 17 ⋅ 17 = 10(17 + 7) + 7 ⋅ 7 = 240 + 49 = 289

c) 13 ⋅ 14 = 10(13 + 4) + 3 ⋅ 4 = 170 + 12 = 182

d) 18 ⋅ 19 = 10(18 + 9) + 8 ⋅ 9 = 270 + 72 = 342


● 26 ⋅ 24 = 20 ⋅ 30 + 4 ⋅ 6 = 600 + 24 = 624

● 98 ⋅ 92 = 90 ⋅ 100 + 8 ⋅ 2 = 9000 + 16 = 9016

● 45 ⋅ 45 = 40 ⋅ 50 + 5 ⋅ 5 = 2000 + 25 = 2025

● 81 ⋅ 89 = 80 ⋅ 90 + 1 ⋅ 9 = 7200 + 9 = 7209

6.4.2 Merkwaardige uitkomsten?

Opgave 33 In de onderstaande tabel staat k voor dat geheel getal waarvoor geldty = 6 ⋅ k.

N 1 2 3 4 5 6 7

y 0 6 24 60 120 210 336

6 ⋅ k (= y) 6 ⋅ 0 6 ⋅ 1 6 ⋅ 4 6 ⋅ 10 6 ⋅ 20 6 ⋅ 35 6 ⋅ 56

Opgave 34 a) N(N + 1)(N − 1) = N(N2 − 1) = N3 − N

b) Bekijk de rij getallen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, enz. Elk tweede ge-tal is altijd deelbaar door 2 en elk derde getal is altijd deelbaardoor 3, dus zit in elke groep drie opeenvolgende getallen altijdeen veelvoud van 2 en een veelvoud van 3. De priemfactoront-binding van het product van deze drie getallen zal altijd de fac-toren 2 en 3 bevatten. Hieruit volgt dus dat het product van drieopeenvolgende getallen altijd deelbaar is door 6.

c) In onderdeel b) hebben we verklaard dat het product van drieopeenvolgende getallen, i.e. N(N + 1)(N − 1) altijd deelbaar isdoor 6. Maar in onderdeel a) hebben we herleid dat dit productgelijk is aan N3 − N, dus moet N3 − N ook altijd deelbaar zijn door6. Hiermee is de bewering dus bewezen.

Opgave 35 (n + 1)(n + 2) − n(n + 3) = n2 + 3n + 2 − (n2 + 3n)= n2 + 3n + 2 − n2 − 3n = 2


Opgave 36 ● n(n + 2) + 1 = n2 + 2n + 1

● (n + 1)2 = n2 + 2n + 1

dus n(n + 2) + 1 = (n + 1)2

6.4.3 Delingen

Opgave 37 a) 2784 is niet deelbaar door 9, want 2 + 7 + 8 + 4 = 21 is niet deel-baar door 9. Controle:

9 / 2784 / 309

27

84

81

3

Dus 2784 ÷ 9 = 309 39= 309 1

3

b) 1631 is niet deelbaar door 9, want 1 + 6 + 3 + 1 = 11 is niet deel-baar door 9. Controle:

9 / 1631 / 181

9

73

72

11

9

2

Dus 1631 ÷ 9 = 181 29

c) Er zijn oneindig mogelijkheden te bedenken.

206 Algebra vervolg

6.4.4 Rekenraadsels

In de volgende twee uitwerkingen staat n steeds voor het begingetal.

Opgave 38 a), b)

Opdrachten Uitvoering

1. Neem een getal in gedachten. n

2. Tel daar 12 bij op. n + 12

3. Vermenigvuldig de uitkomst met 2. 2(n + 12) =2n + 24

4. Trek van het vorige antwoord 4 af. 2n + 24 − 4 =2n + 20

5. Trek er tenslotte het dubbele van het begingetal af. 2n + 20 − 2n =20

Het antwoord is steeds 20.

Opgave 39 RAAD EEN KWADRAAT

a), b)

Opdrachten Uitvoering

1. Neem een natuurlijk getal en kwadrateer het. n2

2. Kwadrateer ook het eerstvolgende natuurlijke getal. (n + 1)2 =n2 + 2n + 1

3. Bereken het verschil. n2 + 2n + 1 − n2 =2n + 1

4. Trek van het vorige antwoord 1 af. 2n + 1 − 1 = 2n

5. Deel dit tenslotte door 2. 2n ÷ 2 = n

6. Het eindantwoord is steeds het eerste natuurlijke getal.

Opgave 40 512 ∶ 51 − 50 = 1; 1 + 25 = 26 → honderdtallen (2600).(51 − 50)2 = 12 = 1 → eenheden. Dus 512 = 2600 + 1 = 2601.

522 ∶ 52 − 50 = 2; 2 + 25 = 27 → honderdtallen (2700).(52 − 50)2 = 22 = 4 → eenheden. Dus 522 = 2700 + 4 = 2704.









602 ∶ 60 − 50 = 10; 10 + 25 = 35 → honderdtallen (3500).(60 − 50)2 = 102 = 100 → eenheden. Dus 602 = 3500+100 = 3600.













208 Algebra vervolg



Opgave 41 262 ∶ 50 − 26 = 24; 25 − 24 = 1 → honderdtallen (100).(50 − 26)2 = 242 = 576 → eenheden. Dus 262 = 100 + 576 = 676.

272 ∶ 50 − 27 = 23; 25 − 23 = 2 → honderdtallen (200).(50 − 27)2 = 232 = 529 → eenheden. Dus 272 = 200 + 529 = 729.








352 ∶ 50 − 35 = 15; 25 − 15 = 10 → honderdtallen (00).(50 − 35)2 = 152 = 225 → eenheden. Dus 352 = 1000+225 = 1225.
















Snel vermenigvuldigen van twee getallen in de buurt van 100.

Opgave 42 Enkele voorbeelden:

● 97 × 94 ∶97 3 (3 = 100 − 97)

94 6 (6 = 100 − 94)

91 18 (91 = 97 − 6 = 94 − 3, 18 = 3 ⋅ 6)

● 106 × 102 ∶106 6 (6 = 106 − 100)

102 2 (2 = 102 − 100)

108 12 (108 = 102 + 6 = 102 + 6, 12 = 6 ⋅ 2)

● 91 × 95 ∶91 9 (9 = 100 − 91)

95 5 (5 = 100 − 95)

86 45 (86 = 91 − 5 = 95 − 9, 45 = 9 ⋅ 5)

210 Algebra vervolg


Opgave 43 ZAKGELD

Stel = 1 zak geld, het probleem kan dan vertaald worden in:

+ + 12× + e 1, 25 =

2 12× + e 1, 25 =

52× + e 1, 25 = e 26, 75

Dus

52× = e 26, 75 − e 1, 25 = e 25, 5 = e 51

2,

zodat

= e 512

: 52

= e 512× 2

5= e 51

5= e 10, 20

Mauro krijgt dus e 10, 20 zakgeld per maand.


Opgave 44 LEEFTIJD EN SCHOENMAAT

L staat voor iemands leeftijd en S staat voor zijn schoenmaat.

Voorschrift Uitvoering

1. Vermenigvuldig je leeftijd (in gehelen) met 4. 4L

2. Tel bij het vorige antwoord 10 op. 4L + 10

3. Vermenigvuldig het vorige antwoord met 25. 25(4L + 10) =100L + 250

4. Trek van het vorige antwoord het aantal dagen vaneen ’gewoon jaar’af.

100L + 250 − 365 =100L − 115

5. Tel bij het vorige antwoord je schoenmaat (in gehe-len) op.

100L − 115 + S

6. Tel tenslotte bij het vorige antwoord 115 op. 100L− 115+ S+ 115

7. Je eindantwoord is nu een getal van 3 (als L eeneencijferig getal is) of 4 (als L een tweecijferig getalis) cijfers waarvan de laatste twee precies je schoen-maat zijn en de overige cijfers precies je leeftijd.

= 100L + S

Opgave 45 CIJFERS EN GETALLEN 1

De cijfers van het begingetal noemen we a, b en c. Het begingetal isdus ⟨abc⟩ = a × 100 + b × 10 + c.


1. Schrijf een getal van drie cijfers op. ⟨abc⟩ =a × 100 + b × 10 + c

2. Verplaats het eerste cijfer van het getal naar achterenen de rest naar voren.

⟨bca⟩ =b × 100 + c × 10 + a

3. Verplaats het eerste cijfer van het nieuwe getal weernaar achteren en de rest naar voren.

⟨cab⟩ =c × 100 + a × 10 + b

4. Tel de drie getallen nu op. ⟨abc⟩+ ⟨bca⟩+ ⟨cab⟩= (a + b + c)× 100+(a + b + c)× 10+(a + b + c)× 1

= 111(a + b + c)5. De som is nu altijd deelbaar door 37. 111(a + b + c) ∶ 37

= 3(a + b + c)

212 Algebra vervolg

Opgave 46 ZWERM SPREEUWEN

Noem Z het aantal vogels dat deze zwerm bevat. Volgens de tweedejongen geldt:

Z + Z + 12

Z + 14

Z + 1 = (6.1)

44

Z + 44

Z + 24

Z + 14

Z + 1 = (6.2)

114

Z + 1 = 100

Dus 114

Z = 99, zodat Z = 99 ∶ 114

= 99 × 411

= 36. Deze zwerm bevat

dus 36 vogels.



1. Schrijf een getal van drie cijfers op. ⟨abc⟩ =a × 100 + b × 10 + c

2. Tel de cijfers van het getal bij elkaar op. a + b + c

3. Trek de uitkomst van 2. af van het getal. ⟨abc⟩− (a + b + c)= a× 100 + b× 10 + c

− a − b − c

= a × 99 + b × 9

4. De uitkomst is nu altijd deelbaar door 9. (a × 99 + b × 9) ∶ 9

= a × 11 + b



1. Schrijf een getal van drie cijfers op, zeg ⟨abc⟩ meta > c.

⟨abc⟩ =a × 100 + b × 10 + c

2. Doe: ⟨abc⟩ − ⟨cba⟩. a×100 + b×10 + c−c × 100 − b × 10 − a

= 99a − 99c

3. De uitkomst zit altijd in de tafel van 99 (99a − 99c) ∶ 99

= a − c



In deze uitwerking nemen we aan dat a > c.

1. Schrijf een getal van drie cijfers op.

⟨abc⟩ = a × 100 + b × 10 + c

2. Verwissel het eerste en het derde cijfer van het getal.

⟨cba⟩ = c × 100 + b × 10 + a

3. Trek de kleinste uitkomst van de grootste af.

⟨abc⟩ − ⟨cba⟩ = a × 100 + b × 10 + c − c × 100 − b × 10 − a (6.3)

(let op dat a > c, voor de eenheden moetenwe dus 10 aanhalen van de tientallen)

= a × 100 + (b − 1)× 10 + (10 + c) − c × 100 − b × 10 − a(6.4)

(nu is b > b − 1, voor de tientallen moeten wedus 100 aanhalen van de honderdtallen)

= (a − 1)× 100 + (10 + b − 1)× 10 + (10 + c) − (6.5)

c × 100 − b × 10 − a

= (a − c − 1)× 100 + 9 × 10 + (10 + c − a)4. Verwissel het eerste en het derde cijfer van de uitkomst.

(10 + c − a)× 100 + 9 × 10 + (a − c − 1)5. Tel de uitkomsten van 3 en 4 bij elkaar op.

(a − c − 1)× 100 + 9 × 10 + (10 + c − a) +(10 + c − a)× 100 + 9 × 10 + (a − c − 1)(6.6)

= 9 × 100 + 18 × 10 + 9 (6.7)

= 900 + 180 + 9 (6.8)

= 1089

De uitkomst is altijd 1089.

uitwerkingen - informaticawebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/1gym_uitw.pdf · wiskunde...

Documents