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Árvores
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Árvores
• Grafo Acíclico: não possui ciclos
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Árvores
• Grafo Acíclico: não possui ciclos
• Uma árvore é um grafo conexo acíclico
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Árvores
• Grafo Acíclico: não possui ciclos
• Uma árvore é um grafo conexo acíclico
Todas as árvores com 6 vértices
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Floresta
Um grafo acíclico é também chamado de floresta.
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Teorema:
Um grafo T é uma árvore
sss
existir um único caminho entre cada
par de vértices de T
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Prova
• () Por contradição!!!
– T é uma árvore• v e w dois vértices quaisquer de T
– não existe caminho entre v e w ou– P1e P2: dois caminhos-(u,v) distintos
» Existem necessariamente dois vértices t1 e t2 P1 e P2 tais que entre t1 e t2, P1 e P2 são distintos
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Prova
• () Também por contradição!!!– existe um único caminho entre cada par de
vértices: T é conexo– Sup. T não é acíclico:
• existe um ciclo C em T• seja {v,w} uma aresta de C:
– Dois caminhos entre v e w em T (contradição)
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Teorema:
Se T é uma árvore então m=n-1
Prova:
• Por indução em n!!!!
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Folha de uma árvore
• Uma folha de uma árvore é um vértice v tal que d(v) = 1
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Teorema
Toda árvore possui
pelo menos duas folhas, n > 1.
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Teorema:
Um grafo conexo é uma árvore
sss
toda aresta é uma ponte
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Teorema:
O centro de uma árvore
possui um ou dois vértices.
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Árvore enraizada
• Uma árvore no qual um vértice é destacado dos outros (raíz) é chamada de árvore com raíz ou enraizada.• Nível de uma árvore enraizada: um vértice v
i é dito estar no nível i da árvore se v
i está
a uma distância i da raiz.• Altura: nível máximo da árvore
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Teorema:
Toda árvore é um grafo bipartido.
Exercício!!!
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Árvore binária
• Uma árvore estritamente binária é uma classe especial de árvore enraizada
• Cada vértice possui exatamente 2 filhos, ou seja, existe apenas um vértice com grau 2 (raíz) e os outros vértices possuem grau 1 ou 3
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Árvore binária
• Propriedades:
– a) o número de vértices é ímpar– b) o número de folhas é (n+1)/2– c) a altura mínima de uma árvore
estritamente binária com n vértices é log
2 (n+1) - 1
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Subgrafo gerador
• Relembrando: um grafo H é subgrafo de G se V(H) V(G) e E(H) E(G). Se V(H) = V(G) então H é subgrafo gerador ou de espalhamento de G.
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Árvore Geradora
• Uma árvore geradora é um subgrafo gerador de G que é uma árvore.
• Uma árvore geradora em um grafo G é um subgrafo minimal que conecta todos os vértices de G;
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Teorema:
Todo grafo conexo possui uma árvore geradora
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Corolário:
Se G é conexo, então m n-1
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Teorema:
Seja T uma árvore geradora de um grafo conexo G
e seja a uma aresta de G, a T. Então T+ a contém um único ciclo.
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Prova:
• Como T é acíclico, cada ciclo de T+a contém a.
C é um ciclo de T+e sse C-e é um caminho em T ligando os extremos de e.
Pelo teorema, T tem um único caminho desse tipo, logo T+e contém um único ciclo.
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Exercício
Seja G um grafo conexo e seja e uma aresta de G.
A aresta e pertence a toda árvore geradora de G se e
somente se e é ponte em G
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Algoritmos
• Para construção de uma árvore geradora;
• Para construção de uma árvore geradora mínima.
CC/EC/Mestrado
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Exemplo
CC/EC/Mestrado
1
2 3
47
56
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Busca em Profundidadeentrada: G = (V,E), Lista de Adjacência de G: A(v), v V
1. i ← 1;
2. F ← ;
3. para-todo v V faça
4. indice(v) ← 0;
5. fim-para-todo
6. enquanto existir u, indice(u) = 0 faça
7. PBP(u);
8. fim-enquanto
saída: F
PBP(v)
{
1. indice(v) ← i;
2. i ← i+1;
3. para-todo v´ A(v) faça
4. se indice(v´) = 0 então
5. F ← F U {{v,v´}};
6. PBP(v´);
7. fim-se
8. fim-para-todo
}
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Complexidade
• Para cada v V, PBP(v) é chamado apenas uma vez quando o vértice ainda não foi visitado (indice(v) = 0)
• Tempo gasto por PBP(v): proporcional a d(v)• Tempo gasto por todas as chamadas de PBP(v):
proporcional a m• Linhas 3 – 8: O(n)• Construção de F: O(m)• Complexidade: O(max {n,m})
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Árvores geradoras em um grafo valorado
• O peso de uma árvore geradora T de G é definido como a soma dos valores de todas as arestas de T.
• Diferentes árvores geradoras de T podem ter diferentes pesos.
• Árvore Geradora mínima: a árvore geradora de G de menor peso.
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Árvore geradora mínima
• Aplicações:– Em problemas de interligação (comunicação, redes de luz, esgotos, etc.)
– Em problemas de construção de redes de menor custo (malhas
rodoviárias, redes de computadores)
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Exemplo
• Suponha que n cidades devem ser conectadas por uma rede de estradas. Existe um custo cij
associado à construção de uma estrada entre as cidades i e j. O problema então se resume em
determinar a rede com menor custo que conecte todas as cidades. Essa rede será uma árvore
geradora, caso contrário, é sempre possível retirar uma aresta e obter um caminho mais barato entre
duas cidades
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Uma árvore geradora T
de um grafo conexo valorado G é mínima
sss
não existe qualquer outra árvore geradora de G, a uma distância 1 de T,
cujo peso é menor que o peso de T.
Distância entre Ti e Tj de G: número de arestas de G presentes em Ti mas não presentes em Tj.
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UFESTeoria dos Grafos
Exemplo
CC/EC/Mestrado
1
2 3
47
56
3
4
75
626
5
4
89
7
106
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Algoritmo de Primentrada: G = (V,E), Lista de Adjacência de G: A(v), v V, matriz de pesos
1. T ← ;
2. V´ ← {u};
3. para-todo v V – V´ faça
4. L(v) ← peso ({u,v});
5. fim-para-todo
6. enquanto V´ V faça
7. ache um vértice w tal que L(w) = min {L(v)| v V-V´};
8. u = o vértice de V´, ligado a w, representando a aresta com o menor custo;
9. e = {u,w};
10. T ← T U {e};
11. V´← V´ U {w};
12. para-todo v V – V´ faça
13. se peso({v,w}) < L(v) então
14. L(v) ← p({v,w});
15. fim-se
16. fim-para-todo
17. fim-enquanto
saída: T
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Complexidade
• Linhas 6 - 16: n-1 vezes
• Linhas 7- 8: n-1 vezes
• Linhas 11 – 15: n-1 vezes
• Complexidade: O(n2)
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UFES
Exemplo de aplicação
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Teorema:
O algoritmo de Prim acha
uma árvore geradora mínima
de um grafo conexo G
não orientado.
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UFES
Ideia
A árvore geradora mínima é construída iterativamente e é mínima para cada
conjunto V'. Cada nova aresta selecionada é a de menor valor, com um dos extremos em V' e o outro em V – V'.
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Algoritmo de Kruskal
entrada: G = (V,E), Lista de Adjacência de G: A(v), v V,
matriz de pesos
1. ordenar as arestas e de G pelo valor de seus pesos
2. T ← ;
3. para-todo i = 1, ..., |E| faça
4. se T U {e} é acíclico então
5. T ← T U {e};
6. fim-se
7. fim-para-todo;
saída: T
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Complexidade
• Os custos relevantes neste algoritmo são o custo da ordenação das arestas (passo 1) e a verificação se a aresta forma um ciclo (passo 4)
• Iterativamente o algoritmo forma componentes conexas acíclicas. Então, computar a linha 4 significa verificar se a próxima aresta não liga vértices de um mesmo conjunto.
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Complexidade
• Para a implementação da linha 4 podem ser usadas estruturas de dados para conjuntos disjuntos
Usando essa forma de implementação, o algoritmo fica limitado pela complexidade de ordenar a lista de arestas, pois a operação de verificar se é acíclico fica mais barata. Assim teremos O(m*log m). Se |E| < |V|2, teremos O(m*log n)
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O algoritmo de Kruskal acha
uma árvore geradora mínima
de um grafo conexo G
não orientado.
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UFES
Ideia• Seja G = (V,E) o grafo conexo processado pelo algoritmo.
Como G é conexo, G possui uma árvore geradora.
Inicialmente T é vazio => T é mínimo
Tendo T k arestas, o algoritmo seleciona a aresta de menor peso no conjunto de arestas não visitadas. Seja ak+1 essa aresta. Há quatro casos:
a) T já contém n-1 arestas. Nesse caso, a solução T que por indução é uma árvore mínima, é retornada.
b) A aresta ak+1 liga dois vértices de T que são no mesmo componente. Nesse caso, ak+1 é rejeitada e T não muda.
c) Um dos dois vértices ligados por ak+1 não pertence a T.
d) A aresta ak+1 liga dois vértices de T. Nesse caso, são dois vértices de componentes diferentes.
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Exercícios
1) Prove que uma aresta pendente (isto é, uma aresta que liga um vértice de grau 1) em um grafo conexo G é contida em toda árvore geradora de G.
2) Prove que duas cores são suficientes para colorir os vértices de uma árvore de tal maneira que nenhum vértice seja adjacente a um vértice da mesma cor.
3) Um grafo pode ter várias árvores geradoras diferentes. Onde essa possibilidade aparece no algoritmos de Kruskal e Prim?
4) aplique o algoritmo de Kruskal no grafo do slide 36. A árvore obtida é a mesma?
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Exercícios
Indique se é Verdadeiro ou Falso:
a)Os algoritmos de Kruskal e Prim sempre retornam a mesma árvore geradora de um grafo conexo onde todas as arestas têm pesos diferentes.
b) Supondo que um grafo possui exatamente duas arestas com o mesmo peso. O algoritmo de Prim retorna a mesma árvore geradora independentemente de qual aresta foi selecionada?