Ünite 5 Üstel ve logarİtmİk fonksİyonlar

Amalar

Bu niteyi altktan sonra; stel ve logaritmik fonksiyonlar tanyacak, stel ve logaritmik fonksiyonlarn grafiklerini izebilecek, stel ve logaritmik fonksiyonlar yardmyla zlebilen prob-

lemleri reneceksiniz.

indekiler

Giri 141 stel Fonksiyonlar 141 ex Fonksiyonu 146 Logaritmik Fonksiyonlar 147 Deerlendirme Sorular 152

alma nerileri

nite 1 de ele aldmz sl saylar ve logaritma ve nite 3 deaklanan fonksiyon kavramlarn rendikten sonra bu niteyialnz

Yannzda mutlaka hesap makinesi bulundurunuz

NTE

5stel ve LogaritmikFonksiyonlar

YazarProf.Dr. Vakf CAFEROV

A N A D O L U N V E R S T E S

Farkl tabanl stel ve logaritmik fonksiyonlar yazp, bu fonksi-yonlarn grafiklerini izmeye alnz.

A I K R E T M F A K L T E S

1. Giristel ve logaritmik fonksiyonlar cebirsel olmayan fonksiyonlardr. Bu fonksiyon-larda bamsz deiken bir saynn kuvvetinde veya bir tabana gre logaritma ia-reti altnda olur. Bu nitede bu fonksiyonlarn genel tanmlar, grafikleri ve bazzellikleri verilmitir.

2. stel FonksiyonlarBirinci nitede herhangi pozitif gerel a saysnn rasyonel veya irrasyonel kuvvet-lerini tanmlamtk. Buna gre a pozitif gerel say ve a 1 olmak zere

f : IR IR, f(x) = ax

fonksiyonundan szetmek mmkndr. Bu tr fonksiyonlara (genel) stel fonksi-yonlar denir. Burada a 1 alyoruz, nk a = 1 ise her x iin 1x = 1 olduundanstel fonksiyon sabit fonksiyona dnr.

f(x) = ax fonksiyonunun tanm kmesi gerel saylar kmesidir. a y deitirerekfarkl stel fonksiyonlar elde ederiz. rnein,

fonksiyonlar birer stel fonksiyonlardr.

zm:

Bileik faiz, nfus artmas, radioaktiv maddenin ktlesinin zamana bamll vb.problemler stel fonksiyonlarla ifade edilir.

S T E L V E L O G A R T M K F O N K S Y O N L A R 141

f(x) = 2x , g(x) = 3x , h(x) = 5 x ,

k(x) = 32

x , l(x) = 1

3x , p(x) = 1

50x , q(x) = 2

3x

rnek: f(x) = 2x fonksiyonu iin f(0), f(1), f(3), f 12

, f -13

, f 2 , f - 3 deerlerini bulunuz.

f(0) = 20 = 1 , f(1) = 21 = 2 , f(3) = 23 = 8 , f 1

2 = 2

12 = 2 1,414 ,

f -1

3 = 2

- 13 = 1

21/3 = 1

23 1

1,26 0,79 , f 2 = 2 2 2,665 ,

f - 3 = 2- 3 = 1

2 3 1

21,73 1

3,317 0,301 .


stel fonksiyonlarn grafikleri hakknda bir fikir sahibi olmak iin f(x) = 3x vestel fonksiyonlarnn grafiklerini deerler tablosu oluturarak izelim.

olduundan tablo ve grafik aadaki gibidir:

x -2 -1 -1/2 0 1/2 1 2

y = f(x) = 3x 0,11 0,33 0,58 1 1,73 3 9

olduundan tablo ve grafik aadaki gibi olur:

x -2 -1 -1/2 0 1/2 1 2

9 3 1,73 1 0,58 0,33 0,11

S T E L V E L O G A R T M K F O N K S Y O N L A R142

3-2 = 1

9 0,11 ; 3-1 = 1

3 0,33 ; 3

- 12 = 1

3 0,58 ; 30 = 1 ; 3

12 = 3 1,73 ;

31= 3 ; 32 = 9

13

-2 = 32 = 9 ; 1

3-1

= 3 ; 13

-12 = 3 1,73 ; 1

30 = 1 ; 1

3

12 = 1

3 0,58;

13

1 0,33 ; 1

32 = 1

9 0,11

f(x) = 13

x

ekil 5.1

y=f(x)= 13

x

f(x) = 13

x iin,


ekillerden de grld gibi bu grafiklerin birisi, dierinin y-eksenine gre simet-

riidir. Bunun sebebini, gibi yazdmzda daha iyi anlayabiliriz.

a > 1 iin f(x) = ax in grafii f(x) = 3x fonksiyonunun grafiine,0 < a < 1 iin f(x) = ax in grafii ise, fonksiyonunun grafiine benzerdir.

Grld gibi hem a > 1 ve hem de 0 < a < 1 iin y = ax fonksiyonun grafiininasimptotu vardr. Bu asimptot x-eksenidir.

imdi stel fonksiyonlarn baz zelliklerini verelim:

1). a > 0 olduundan, her x iin ax > 0 olur. Dolaysyla stel fonksiyon daimapozitif deerler alr. Geometrik olarak bu, stel fonksiyonun grafiinin her za-man x-ekseni zerinde olduunu ifade eder.


f(x) = 13

x

13

x = 3-x

ekil 5.2

ekil 5.3 ekil 5.4


2). a0 = 1 olduundan stel fonksiyon grafii y-eksenini daima (0, 1) nokta-snda keser.

3). ax1 = ax2 ise x1 = x2 olduundan dolay f(x) = ax fonksiyonu bire-birfonksiyondur. Geometrik olarak bu onun ifadesidir ki x-eksenine paralelher bir doru, y = ax fonksiyonunun grafiini en fazla bir noktada keser.

4). x1 ve x2 saylar x1 < x2 koulunu salasn. O zaman eer a > 1 ise ax1 < ax2salanr, eer 0 < a < 1 ise ax1 > ax2 salanr.

spat: a > 1 olsun. Kuvvetlerin zelliklerine gre ax2 = a(x2 - x1 + x1) = ax2 - x1 . ax1yazarz. x1 < x2 olduundan x2 - x1 > 0 olur. Birden byk saynn pozitif kuvvetide birden byk olduundan ax2 - x1 > 1 olur ve dolaysyla ax2 = ax2 - x1 . ax1> 1.ax1 = ax1 ve ax2 > ax1 elde edilir.

Benzer yolla 0 < a < 1 iken ax1 > ax2 olduu ispatlanr.

5). a > 1 olsun. Eer x < 0 ise 0 < ax < 1 , eer x > 0 ise ax > 1 olur.Bu zellik 4). zellikten kar. x < 0 ise ax < a0 ve a0 = 1 olduundan ax < 1elde edilir. Eer x > 0 ise bu eitlii 0 < x gibi yazarak yine 4). zellie gre a0 < axveya 1 < ax elde edilir.

6). 0 < a < 1 olsun. Bu durumda eer x < 0 ise ax > 1 , eer x > 0 ise 0 < ax < 1salanr.

y = f(x) fonksiyonu verilsin. Eer x1 < x2 koulunu salayan tm x1 ve x2iin f(x1) f(x2) eitsizlii salanyorsa bu fonksiyona monoton artan fonksiyon,eer f(x1) < f(x2) ise bu fonksiyona kesin artan fonksiyon denir.

Eer x1 < x2 koulunu salayan tm x1 ve x2 ler iin f(x1) f(x2) ise bu fonksiyo-na monoton azalan fonksiyon, eer f(x1) > f(x2) ise bu fonksiyona kesin azalanfonksiyon denir.

O zaman 4). zellie gre aadakileri syleyebiliriz:

Eer a > 1 ise f(x) = ax fonksiyonu kesin artandr.

Eer 0 < a < 1 ise f(x) = ax fonksiyonu kesin azalandr.

rnek: f(x) = 3x+1 fonksiyonunun grafiini iziniz.

zm: Bu grafik bir ka yolla izilebilir. rnein, y=3x in grafiini 1 birim solakaydrmakla y = 3x+1 in grafii elde edilebilir. stlerin zelliklerinden yararla-narak bu grafii baka yolla da elde edebiliriz. 3x+1 = 3x . 31 = 3 . 3x olduundany = 3x fonksiyonunun grafii zerindeki tm noktalarn ordinatlarn 3 ilearparsak y = 3x+1 in grafiini elde ederiz.



rnek: y = 2 - 3x fonksiyonunun grafiini iziniz.

zm: y = 3x in grafiinin x-eksenine gre simetriini alrsak, y = - 3x fonksi-yonunun grafiini elde ederiz, sonra bu grafii 2 birim yukar kaydrrsak y = 2 - 3xfonksiyonunun grafiini elde ederiz.


ekil 5.5

ekil 5.6


3. ex Fonksiyonu

Hesap makinesi yardm ile n doal say olmak zere, saysn gittike

byyen n ler iin hesaplarsak bu deerlerin n arttka belli bir deere "istenildii

kadar yakn olabileceini" grebiliriz. rnein,

n yi artrdka bu deerlerin istenildii kadar yakn olduu sayya e says denil-mektedir. e says irrasyonel say olup, yaklak deeri e = 2,71828182845904... dir.

e nin daha kesin tanm limit kavram ile verilir ve bu saynn irrasyonel olduu is-patlanr. e saysnn matematikte ok nemli yeri vardr.

Eer stel fonksiyonun tanmnda a = e alrsak f(x) = ex fonksiyonu elde edilir.Bu fonksiyona eksponansiyel fonksiyon da denir. Genellikle stel fonksiyon de-nilip taban belirtilmezse ex fonksiyonu anlalr.

Herhangi bir x IR iin ex deeri gnmzde hesap makineleri yardm ile bu-lunabilir.

y = ex ve y = e-x fonksiyonlarnn grafikleri aadaki gibidir.


1 + 12

2 = 2,25 , 1 + 1

33 = 2,370... , 1 + 1

55 = 2,488... , 1 + 1

1010

= 2,594... , 1 + 1

1212

= 2,613... , 1 + 120

20 = 2,653... , 1 + 1

100100

= 2,705... , 1 + 1

365365

= 2,714... , 1 + 11000

1000 = 2,717... , 1 + 1

87608760

= 2,718126... , 1 + 1

1000010000

= 2,718145... , 1 + 1100000

100000 = 2,718268...

1 + 1nn

ekil 5.7 ekil 5.8


rnek: Bir ehrin nfusu yaklak olarak N(t) = 350 000. e0,04 (t-1980) formul ile veril-mitir. Burada t deikeni yl gstermektedir. 2000 ve 2010 yllarnda nfusun yak-lak olarak ne kadar olacan hesaplaynz.

zm: t = 2000 yazarsak

N(2000) = 350 000 . e0,04 . (2000-1980) = 350 000 . e0,04.20 = 350 000 . e0,8 = 350 000 . 2,225... 778939 ,

t = 2010 yazarsak

N(2010)= 350 000 . e0,04 . (2010-1980) = 350 000 . e1,2 = 350 000 . 3,320... 1162041

buluruz.

4. Logaritmik Fonksiyonlar1. nitede a ve b pozitif gerel saylar ve a 1 olmak zere logab ("a tabanna gre bnin logaritmas") saysn tanmlamtk. Hatrlayalm ki logab yle bir c saysnaeittir ki ac kuvveti b ye eit olsun. Buradan alogab = b eitlii elde edilmiti. logabnin tanmnda b yerine x koyarsak f(x) = logax fonksiyonunu elde ederiz. Bu fonksi-yona a tabanl logaritmik fonksiyon denir. Logaritmik fonksiyonun tanm k-mesi tm pozitif gerel saylardr. Logaritmik fonksiyon y = ax stel fonksiyonu-nun ters fonksiyonu olarak da tanmlanabilir. Biz stel fonksiyonun bire-bir oldu-unu yukarda sylemitik. Buna gre y = ax eitliinden x i bulursak x = lo-gay elde ederiz. Ters fonksiyonun tanmnda akladmz gibi burada x yeriney, y yerine x yazarsak y = ax in ters fonksiyonu olan y = logax logaritmik fonksi-yonunu elde ederiz.

Verilmi y = f(x) fonksiyonu ile onun ters fonksiyonu y = f-1 (x) in grafikleri, y = xdorusuna gre simetrik olduundan y = logax fonksiyonun grafiini elde etmekiin, y = ax in grafiinin bu doruya gre simetriini almak gerekmektedir.

rnek :

zm :


y = log3 x , y = log13 x fonksiyonlarnn grafiklerini iziniz.

Bu grafikler y = 3x ve y = 13

x fonksiyonlarnn grafiklerinin y = x

dorusuna gre simetriidirler.


ekillerinden de grld gibi eer a > 1 ise logax fonksiyonu kesin artan,eer 0 < a < 1 ise logax fonksiyonu kesin azalandr. Her iki durumda da y-ekseniasimptottur.

rnek:

zm:

Logaritmik fonksiyonun aadaki zellikleri vardr.

1). y = ax fonksiyonu bire-bir olduundan y = loga x logaritmik fonksiyonuda birebirdir. Baka deyile eer loga x1 = loga x2 ise o zaman x1 = x2 dir.

2). loga 1 = 0, loga a = 1.

3). loga (x1 . x2) = loga x1 + loga x2 , (x1 > 0, x2 > 0) .

4). (x1 > 0, x2 > 0) .


f(x) = log2x ise f 2 , f 1

2, f 1

32, f 2 , f 163 deerlerini bulunuz.

f(2) = log2 2 = 1, f 12

= log2 12 = log2 2

-1 = -1 log2 2 = -1 , f 1

32 = log2 132

= log2 2-5 = - 5 , f 2 = log2 2 = log2 2

12 = 1

2 ,

f 163 = log2 16

3 = log2 243 = log2 2

43 = 4

3 .

loga x1x2 = loga x1 - loga x2 ,

ekil 5.9 ekil 5.10


5. loga xr = rloga x , burada x > 0 ve r keyfi gerel saylardr. zel olarak,eer

6) a > 1 iin f(x) = loga x fonksiyonu kesin artan,0 < a < 1 iin ise kesin azalan fonksiyondur.

spat

a > 1 olduunu varsayalm ve x1 < x2 olsun. loga x1 < loga x2 olduunu gster-memiz gerekiyor. Olmayana ergi yntemini uygulayalm. Yani loga x1 < loga x2eitsizliinin salanmadn varsayalm. O zaman iki durum szkonusu olabilir:loga x1 = loga x2 veya loga x1 > loga x2. Birinci durum iin loga x1 = loga x2 eitliin-den x1 = x2 kar, bu ise x1 < x2 ile eliir. Eer ikinci durum szkonusuise a > 1 iin y = ax fonksiyonu kesin artan olduundan loga x1 > loga x2 ise aloga x1 > a loga x2 olmaldr. te yandan a loga x1 = x1 , a loga x2 = x2 olduundan bura-dan x1 > x2 elde ediyoruz. Bu ise yine x1 < x2 ile eliiyor. Buna gre varsaymmzyanltr ve x1 < x2 ise loga x1 < loga x2 olmaldr.

Benzer yolla 0 < a < 1 iin f(x) = logax fonksiyonunun kesin azalan olduu gste-rilebilir.

7) a > 1 olsun. Bu durumda 0 < x < 1 deerleri iin f(x) = loga x < 0 ve x > 1deerleri iin f(x) = loga x > 0 olur. Eer 0 < a < 1 ise, bu durumda 0 < x 0, ve x > 1 deerleri iin f(x) = loga x < 0 olur.

Bu zelliin ispat 6). zellikten kar. rnein 0 < a < 1 olsun. f(x) = loga xfonksiyonu kesin azalan olduundan x < 1 ise f(x) > f(1) veya loga x > loga 1olmaldr. Buradan, loga 1 = 0 olduundan loga x > 0 elde edilir. Eer x > 1 iseyine kesin azalanlktan loga x < loga 1 olup buradan da loga x < 0 elde edilir.

loga x ifadesinde a = e olursa loge x yerine ln x yazldn ve bu loga-ritmaya doal logaritma denildiini biliyoruz. Buna gre y = loge x fonksi-yonu y = lnx gibi yazlr. Bu fonksiyon kesin artan olup, 0 < x < 1 iin negatif,x > 1 iin ise pozitif deerler alr.

rnek : 1. y = lnx2. y = ln(x - 2) + 1 fonksiyonlarnn grafiklerini iziniz.

zm : 1. y = ln x fonksiyonunun grafii, y = ex in grafiinin y = x dorusunagre simetriidir.


r = 1n ve r = -1 al rsak, x

1n = xn , x-1 = 1x olduklarndan loga x

n = 1n loga x, loga 1x = - loga x elde edilebilir .


2. Fonksiyonun tanm kmesi x > 2 deerleridir. Eer y = ln x in grafiini 2 birimkadar saa ve 1 birim kadar yukar kaydrrsak y = ln (x - 2) + 1 in grafiini elde ede-riz.

rnek:

zm : ln(3e4) = ln3 + ln(e4) = ln3 + 4 lne 1,0986 + 4.1 = 5, 0986 ,

= ln9 - ln(e2) = ln(32) - lne2 = 2 ln3 - 2 lne 2. 1,0986 - 2.1 = 0,1972 ,

ln(e4) = 4 lne = 4 . 1 = 4 .

rnek : 4x = 5 denklemini znz.

zm : Logaritmann tanmna gre, x = log 4 5 dir. Burada taban deitirme for-mlnden ve hesap makinesinden yararlanrsak

elde ederiz.

rnek : 3x = 5x+2 denklemini znz.

zm : 5x+2 = 5x . 52 = 25 . 5x gibi yazlabildiinden denklemi 3x = 25 . 5x gibiyazarz. Buradan

bulunur. Taban deitirme formlnden


x = ln 5ln 4

1,609431,38629

1,161

ln3 1,0986 olduuna gre ln(3e4) , ln 9e2

, ln(e4) katr?

ln 9e2

3x5x

= 25, 35

x = 25, x = log3

5 25

ekil 5.11 ekil 5.12


bulunur.

rnek:

zm:

bulunur. Bulunan deerin denklemi saladn grmek zor deil. Denklemin -zm x = -5/3 dr.

2. Logaritmann zelliklerinden

log x(x - 3) = 1 veya x(x - 3) = 101 , x2 - 3x - 10 = 0 ,

sonuncu denklemi zersek, x1 = -2 , x2 = 5 bulunur. x = -2 deeri zm ola-maz, nk bu deerde denklemin sol tarafndaki fonksiyonlar tanmszdr. Bunagre tek zm x = 5 dir.

1. 2x = 52. 3x = 4x-23. log4x + log4 (x-6) = 2 denklemlerini znz.

Cevaplarnz

rnek: (Bileik faiz). A ana paras yllk yzde p faizi zerinden bankaya yatrlrsa,n yl sonra bu parann ulat miktar

M = A (1+p)n

forml ile hesaplanr (Bu forml sizler de zorlanmadan karabilirsiniz). A = 50milyon TL, yllk yzde 70 faizle bankaya yatrlyor.


x = ln 25ln 3

5

= ln 52

ln 3 - ln 5 = 2 ln 5

ln 3 - ln 5 2 . 1,60943

1,0986 - 1,60943 = 3,21886

- 0,51083 - 6,301

1. x - 32x + 1

= 21

x - 3 = 2 (2x + 1)

x - 3 = 4x + 2

4x - x = -3 -2

3x = -5

x = - 5

3

1. log2 x - 32x + 1

= 1 2. log x + log (x - 3) = 1 denklemlerini zn

?1) log25 2) 2 log4

log4 - log3 3) 8 olmaldr


1. n = 4 yl sonra bu para hangi miktara ular?2. Ka yl sonra bu para 1 milyar TL yi geer?

zm: 1. A = 50.106 , n = 4 , p = 0,7 olduundan

M = 50.106 . (1+0,7)4 = 50.106 . (1,7)4 = 417.605.000 TL

bulunur.

2. Bankadaki parann 1 milyar TL yi amas iin ka yln gemesini bulmamz ge-rekmektedir. Yani n en az ka olmaldr ki 50.106 (1,7)n says 109 saysndan b-yk olsun. Buna gre

50.106 . (1,7)n = 109

denklemini n ye gre zelim.

olduundan cevap olarak n = 6 almamz gerekiyor.

Deerlendirme Sorular1. f(x) = 3x iin f(x+2) - 6 f(x+1) + 9 f(x) = ?

A. 3xB. - 3xC. 1D. 0E. 1/3

2.

A. IRB. [0, 1]C. (- , 1]D. [-1, 1]E. (- , 0]


(1,7) n = 103

50 (1,7) n = 20 ,

n = log1,720 =

log 20log (1,7)

= log 2 + log 10log 17 - log 10

0,301 + 11,23 - 1

= 1,3010,23

5,56

f: IR IR , f(x) = ln 11 + x2

fonksiyonunun grnt kmesi nedir?


3.

A. 2x

B. 8xC. 64xD. 16xE. 4x

4. f(x) = log (1 - 6x) + log (2x + 5) fonksiyonunun tanm kmesi nedir?A. (-, 1/6)B. (-5/2, 1/6)C. (-5/2, )D. IRE. (0, )

5.

A. (0, 1/10]B. (- , 1/10)C. (0, )D. [0, 1/10)E. IR

6. Yllk %80 bileik faiz oranyla bankaya yatrlan 50 milyon TL, 6 yl sonraka TL olur?A. 0,5 milyarB. 1 milyarC. 1,5 milyarD. 1 700 611 200E. 2 100 610 300

7.

A. {0}B. {1}C. {0, 2}D. {0, -2}E. {0, 2, -2}

8. 3x = 7 -x + 4 denkleminin zm yaklak olarak aadakilerden hangisidir?A. 1,58B. 1,92C. 2,55D. 2,62E. 2,93


f(x) = -1 - log x fonksiyonunun tanm kmesi nedir

12

x3 - x = 2 -6x denkleminin zm kmesi nedir?

f(x) = 2 6x . 23x fonksiyonunun f(x) = ax biiminde yazlm aadakilerden hangisidir?


9. log2 (x2 + 2) = log2 (-6x) - 1 denkleminin zm kmesi aadakilerden han-gisidir?A. {-1}B. {-3}C. {-1, 1}D. {-2, 1}E. {-1, -2}

10. Bir ehrin nfusu yaklak olarak N(t) = 450 000 e0,025 (t - 1990) forml ile ve-rilmitir (burada t yl gstermektedir). Ka yl sonra ehrin nfusu 1990 dakinfusunun katn geer?A. 25B. 30C. 34D. 38E. 44

Deerlendirme Sorularnn Yantlar1. D 2. E 3. C 4. B 5. A 6. D 7. E 8. C 9. E 10. E


Ünite 5 Üstel ve logarİtmİk fonksİyonlar

Documents