Ç OK D EĞİŞK EN LİFON K SİYON LAR IN

TAN IM I

Ç OK D EĞİŞK EN LİFON K SİYON LAR IN

LİM İTİ

Ç OK D EĞİŞK EN LİFON K SİYON LAR D A

TÜ R EV(K ISM İ TÜ R EV)

Ç OK D EĞİŞK EN LİFON K SİYON LAR

(M U LTIVAR IAB LE FU N C TION S)

ÇOK DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLAR (MULTIVARIABLE FUNCTIONS)

Birçok fonksiyon birden fazla değişkene

bağlıdır. V=r2h, yarıçapı ve yüksekliği belli

silindirin hacmini verir ki, r ve h ye bağlı iki

bağımsız değişkenli bir fonksiyondur.

f(x,y)=x2+y2 fonksiyonu ise P(x,y) noktasında

z=x2+y2 paraboloidinin yüksekliğini verir. Yine

Yeryüzünün, x-enlemi ve y-boylamının

bulunduğu bir noktadaki T sıcaklığı, T=f(x,y)

ile ifade edilir.

Tanım: D, (x,y) gerçel sayı çiftlerinin

oluşturduğu bir küme olsun. f, D üzerinde

tanımlı iki değişkenli fonksiyonu, D deki

her (x,y) çifti için tekbir

w=f(x,y)

ile ifade edilir. D ye f nin tanım bölgesi denir.

Fonksiyon Tanım Böl. Değer Böl.

2xyw 2xy

xy

1w

[0,)

[-1,1]

(- ,0)U(0, )xy1

w=sinxy Tüm DüzlemIR2

2xyw Fonksiyonunun tanım bölgesi:

x

y

2xy

Fonksiyon Tanım Böl. Değer Böl.

222 zyxw

4zyxw 222

222 zyx

1w

IR3 [0,)

[0,)4zyx 222

(x,y,z)(0,0,0)

sonuncunun tanım bölgesi ise:

4

4

4

4zyx 222

Limit: f(x,y) fonksiyonunun, (x,y) , (xo,yo)

noktasına yaklaşırken limitinin var olabilmesi

için, bu noktaya tüm yönlerden yaklaştığımızda

sonucun aynı olması gerekir. Bunu (x,y) den

geçen eğimi m olan doğru boyunca yaklaşarak

sağlayabiliriz.

1x

xy)y,x(fz

fonksiyonunun (2,1) deki

limitini araştırınız.

21x

xlim

1x

xylimlim

2x1y2x

i)

212

y2lim

1x

xylimlim

1y2x1y

ii)

limitleri eşit olduğundan limit olabilir.

Ayrıca (2,1) den geçen ve eğimi m olan tüm

doğrular boyunca noktaya yaklaşımı inceleyelim:

y-1= m(x-2) den y= mx-2m+1 fonksiyonda yazılırsa :

21x

)1m2mx(xlim

2x

dir. O halde (2,1) de fonksiyonun limiti vardır

ve değeri 2 dir.

KISMİ TÜREVLERKISMİ TÜREVLER(PARTIAL DERIVATIVES)(PARTIAL DERIVATIVES)

z=f(x,y) gibi iki değişkenli bir fonksiyonunun,

hem x hem de y bağımsız değişkenlerine göre

türevleri söz konusudur ve bunlar, kısmi

türevler olarak adlandırılırlar.

Tanım: z=f(x,y) iki değişkenli fonksiyonunun,

bir (xo,yo) noktasında x e göre kısmi türevi

x

)y,x(f)y,xx(flim)y,x(f

dx

d

x

f oooo

0xxxo

)y,x(ooo

limitinin var olmasıdır.

Benzer biçimde y ye göre kısmi türevi

y

)y,x(f)yy,x(flim)y,x(f

dy

d

y

f oooo

0yyyo

)y,x(ooo

limitinin var olmasıdır. Sırasıyla x ve y göre

kısmi türevler

x

zzf

x

fxx

, , , y

zzf

y

fyy

, , ,

biçimlerinden biri ile gösterebiliriz.

Örnekler:

22 yx)y,x(fz

isey

f

x

f

, türevlerinin hesaplayınız.

1)

2) )]y8y(xsin[)y,x(f 243

3) 2y3)xln(sin)y,x(f

İNTERNET ADRESLERİİNTERNET ADRESLERİ http://www.sosmath.com/calculus/http://www.sosmath.com/calculus/

İ Y İ G Ü N L E Rİ Y İ G Ü N L E R