ÜÇgenlerde benzerlİk
DESCRIPTION
www.muratguner.net. ÜÇGENLERDE BENZERLİK. HER GENÇ GEOMETRİ ÖĞRENEBİLİR. MURAT GÜNER İSTANBUL- 2004. www.muratguner.net. www.muratguner.net. www.muratguner.net. TIPKISININ AYNISI. A. D. c. b. f. e. a. B. C. d. E. F. www.muratguner.net. 1- BENZER ÜÇGENLER. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
HER GENÇ GEOMETRİ ÖĞRENEBİLİR
www.muratguner.net
MURAT GÜNERİSTANBUL- 2004
www.muratguner.net
www.muratguner.net
www.muratguner.net
1- BENZER ÜÇGENLER
Karşılıklı açıları eş ve karşılıklı kenarları orantılı olan üçgenlere benzer benzer üçgenlerüçgenler denir.
A
B C
bc
a
D
E F
ef
d
m ( A ) =
m ( D )
m ( B ) =
m ( E )
m ( C ) =
m ( F )
ABC ve DEF üçgenleri için
f
c
e
b
d
a
oranı yazılabilir.
Buradan ABC üçgeni DEF üçgeni benzerdir
denir ve
biçiminde gösterilir.
ABC DEF
www.muratguner.net
k f
c
e
b
d
a
eşitliğinde verilen k sayısına , benzerlik oranı veya benzerlik katsayısı denir.
k = 1 olan benzer üçgenlerde karşılıklı kenarlar eşit olduğundan , bu üçgenlere eş üçgenler denir.
ABC DEF benzerliği yazılırken eş açıların sıralanmasına dikkat edilir.
ABC DEF
k l EF l l BC l
l DF l l AC l
l DE l l AB l
Hayalleri olanlar asla uyuyamaz.
www.muratguner.net
ÖRNEK
A
B C5
D
F5E
ABC üçgeni ile DEF üçgeni karşılıklı açıları eş olduğundan benzerdir.
( l BC l = l EF l = 5 cm )
A ve D eş açıların gördüğü kenarlarda eşit olduğundan aynı zamanda eş üçgendir.
www.muratguner.net
ÖRNEK
ÇÖZÜM
A B
C
D EŞekilde [ DE ] // [ AB ] I AC I = I CE I I DE I = 2m + 3 I AB I = m + 5 ise m kaçtır?
2m + 3
m + 5
c
c
a
a
b
b
ABC EDC 32m
5m
l EC l
l ACl
m + 5 = 2m + 3
2 = m
www.muratguner.net
ÖRNEK
ÇÖZÜM
BAC CED l ED l
l ACl
l CD l
l BC l
l CE l
lBA l
l ED l
l ACl
x
x
l CE l
4
l CE l = 4
lACl = lDEl = 4+2 = 6 A( ADC )=
[ DC ] [ BC ] ,[ DE ] [ AC ][ AB ] [ AC ], I AE I = 2 cm , I AB I = 4 cm ve I DC I = I BC I ise A( ADC ) = ?
A
B
C
D
E2
4
ab
b
x
x
6.62
= 18
4
6
a
www.muratguner.net
ÖRNEK
ÇÖZÜM
Şekilde [ BE ] [ AD ] = { C } I AC I = I CE I I BC I = I CD I ve I EDI =8 cm ise I AB I = ?
A
B
C
D
E
8a a8
I ABI = 8 cm
www.muratguner.net
ÖRNEK
ÇÖZÜM
A B
C
D
E
Şekilde I AB I = I AC I I CD I = I EBI I AE I = x + 2I AD I = 2x –1 ise x kaçtır?
x+2
2x -
1
a
a
x + 2 = 2x –1
3 = x
Eş üçgenler
www.muratguner.net
ÖRNEKA
B C
D
E 65°
Şekilde [ AD ] // [ BC ] I AE I = I BC I I AD I = I AC I m( DEC )= 65° ise ABC açısının ölçüsü kaç derecedir? ÇÖZÜM
a
a
A
B C
A D
E
a
a
180°– 65° = 115°
180°– 65° = 115°
www.muratguner.net
ÖRNEK
Şekilde I AB I = I BE I I BC I = I BD I I AD I = 12 cm m( ABE ) = m( DBC )= 60° ise I EC I =?
60°
60°
A
B C
DE
ÇÖZÜM
60°+ c A
B
D
60° + c
C
E
B
c
1212
www.muratguner.net
2- AÇI – AÇI BENZERLİK TEOREMİ
A
B C
bc
a
D
E F
ef
d
Karşılıklı ikişer açıları eş üçgenler benzerdir.benzerdir.
m ( A ) =
m ( D )
m ( C ) =
m ( F )
ABC DEF
İkişer açıları eş olduğundan üçüncü açıları da eş olur.Bu iki üçgen benzer üçgenlerdir.
m ( B ) =
m ( E ) ve
olur. f
c
e
b
d
a
www.muratguner.net
ÇÖZÜM
ÖRNEK
70 5060
50
A
B C FE
D
Şekildeki üçgenlerin benzerliği nasıl yazılır?7070
6060
BAC DFE
( A.A.A )60 50 70 60 50 70
ABC FDE
( A.A.A )50 60 70 50 60 70
FDE ABC
( A.A.A )50 60 70 50 60 70
EDF CBA
( A.A.A )70 60 50 70 60 50…
…
……
www.muratguner.net
ÖRNEK
ÇÖZÜM
1999
ABC DEF ise
A
B CD
EF
40 30
+ 40 = 60 + 50
A
B CD
EF
40 30
ABC DEF ise kaç derecedir?
Şekilde verilenlere göre
m ( A ) = m ( A ) =
m ( D ) m ( D )
m ( B ) = m ( B ) =
m ( E ) m ( E )
m ( C ) = m ( C ) =
m ( F ) m ( F )
= 70
40
50
50
60
www.muratguner.net
ÖRNEKA
B CDx
3
5
E
4
BAC dik üçgen [ ED ] [ BC]
l AE l = 3 cm , l EC l = 5 cm l DC l = 4 cm
x = ?
A
B CDx
3
5
E
4
ÇÖZÜMBAC EDC
l DC l l AC l
l EC l l BC l
l ED l l BA l
4 53
5 4 x
2 5
4 x
x = 6
( A.A.A )
www.muratguner.net
ÖRNEK
ÇÖZÜM
A
B CD
E
x
5
3
2
m ( BAC ) = m ( BDE ) ise x = ?
5
A
B CD
E
x
3
2
BAC EDC
l DC l l AC l
l EC l l BC l
2 5
3 x
2 15
x
( A.A.A )
Başarı tatlıdır ama çoğunlukla ter kokar
www.muratguner.net
ÖRNEK
ÇÖZÜM
ABC CDE
2
6
4
x
2
24x x = 12
( A.A.A )
Şekilde verilenlere göre x = ?
A
B C D
E
6
x
4
2
www.muratguner.net
ÖRNEK
ÇÖZÜM
B
D
C
A
F
E
9
4
x
Şekilde CDEF bir kare old. göre x = ?
θ
β
θ
βx
x
x
AED EBF
9
x
x
4
6x
( A.A.A )
www.muratguner.net
ÖRNEK
ÇÖZÜM
BD
C
A
E
x
4
3
2
Şekilde verilenlere göre x = ?
θ
θβ
ABC DBE
( A.A.A )
l BE l
l BC l
l DB l
l ABl
3
4
24
3 x
cm 5x
www.muratguner.net
15
16
4
xB
D
C
A
E
1998ÖRNEK
ÇÖZÜM
Şekildeki l BE l = x = ?l BE l = x = ?
15
16
4
xB
D
C
A
ABC EBD
4
25
x
20
E x = 16 / 5
25 ( 3- 4- 5 )
www.muratguner.net
1993ÖRNEK
24
10
B
D
C
A
E
Şekildeki l BC l = x = ?l BC l = x = ?
x
8
ÇÖZÜM
ABC EBD
x
10
24
8
30x
www.muratguner.net
2000ÖRNEK
ÇÖZÜM
A
BO
D
C
Şekildeki [ BO ] çaplı çember ,O merkezli ve [ BC ] çaplı çembere B noktasında içten teğettir.AB doğrusu her iki çembere B noktasında teğet AC doğrusu da içteki çembere D noktasında teğet olduğuna göre
? l ACl
l ABl
yy
y x
ABC NDC
3r
l ACl
r
l ABl
N
3
1
3r
r
l ACl
l ABl
r r 2r
www.muratguner.net
1993ÖRNEK
ÇÖZÜM
θ
x
A B
CD
E
Şekilde ABCD bir dik yamuk ,
m( ABC ) = m(CDE )
l BC l = 15 cm , l AB l = 16 cm l CD l = 8 cm old.göre l BE l = x = ? 16
8
15
θ
ABC DCE
8
16
x 15
x
2
x 15
x
x2x0 3
10x
www.muratguner.net
ÖĞRENCİ HATALARI
3- KENAR – AÇI – KENAR BENZERLİK TEOREMİ
A
B C
bc
a
D
E F
ef
d
İki üçgenin karşılıklı ikişer kenarı orantılı ve bu kenarların oluşturduğu karşılıklı açılar eş ise üçgenler benzerdir.benzerdir.
m ( A ) =
m ( D )
ABC DEF
l DF l
l ACl
l DE l
l ABl
www.muratguner.net
ÖRNEK
ÇÖZÜM
A
B CD
E
4
2
x
3 5
2
7
Şekilde verilenlere göre x = ?
A
B C
6 x
8 B D
E
4
3
2
7
4 8
3 6
eşitliği sağlandığından
CAB EDB
2 7
x
4
8
3
6 x = 7
( K. A. K )
www.muratguner.net
ÖRNEKB
D
A
C
[ AB ] // [ CD ] , l AB l = 2 cm l AC l = 3 cml BC l = 4 cml CD l = 8 cm old. göre l BDl = x = ?
2
34
8
x
ÇÖZÜM
m( ABC ) = m( BCD ) =
( İç ters açılar )
CBA DCB
x
3
8
4
4
2
BA
C
2
3 4
( K. A. K )
6x
C D8
x
B
C
4
www.muratguner.net
4- KENAR – KENAR – KENAR BENZER TEOREMİ
A
B C
bc
a
D
E F
ef
d
İki üçgenin karşılıklı bütün kenarları orantılı ise bu iki üçgen benzerdir.benzerdir.
ABC DEF
f
c
e
b
d
a
Kenarları orantılı olan ABC ve DEF Kenarları orantılı olan ABC ve DEF benzer üçgenlerinde orantılı kenarları benzer üçgenlerinde orantılı kenarları gören açılar eştir.gören açılar eştir.
m ( A ) = m ( A ) =
m ( D ) m ( D )
m ( B ) = m ( B ) =
m ( E ) m ( E )
m ( C ) = m ( C ) =
m ( F ) m ( F )
www.muratguner.net
5- TEMEL BENZERLİK TEOREMİ
Bir üçgenin kenarlarından birine çizilen paralel doğru , kestiği diğer kenarlar üzeride orantılı parçalar ayırır.
B
D
C
A
E
ABC ADE
( [ DE ] // [ BC ] )
l BC l
l DE l
l ACl
l AEl
l ABl
l ADl
l EC l
l AEl
l DB l
l ADl
VEYAVEYA
www.muratguner.net
ÖRNEK
ÇÖZÜM
[ DE ] // [ BC ] ise l BC l = x = ?
B
D
A
E
C
5
6
x
2
l BC l
l ABl
l DE l
l ADl
x
25
6
5
5
42 x
[ DE ] // [ BC ] olduğundan
( T.B.T )
www.muratguner.net
ÖRNEK
ÇÖZÜM
1991
43
8
x
B
D C
K
A
Şekilde ABCD bir yamuk olduğuna göre x = ?
l ABl
l BB l
l DC l
l KC l
8
3 x
4
x 3x
[ DC ] // [ AB ] olduğundan
( T.B.T )
www.muratguner.net
ÖRNEK
ÇÖZÜM
1995
B
D
C
E
A
F 2
4
5
3
?l DC l
lDA l
Ka 5 – a
52
a2
34
4
l DC l
lEK l
( T.B.T )
2a
4k7k
l ACl
5
4k
2
10kl ACl
10k
7
3
7k
3k
l DC l
lDA l
( T.B.T )
www.muratguner.net
ÖRNEK
ÇÖZÜM
m( DEB ) = m( EBC ) =
( İç ters açılar )
B
A
C
D E
x
[ DE ] // [ BC ] , [ BE ] açıortay olduğuna göre l BC l = x kaç cm dir?3
2
Buna göre l DE l = 2 cm
2
( İkizkenar Üçgen )
[ DE ] // [ BC ] olduğundan
x
23
2
3
3
10 x
( T.B.T )
www.muratguner.net
ÖRNEK
ÇÖZÜM
1992
B D C
F
A
E
x
26
3
Şekildeki ABC üçgeninde D , E ve F noktaları kenarlar üzerinde olup AEDF bir paralel kenardır. Buna göre l EC l = x l EC l = x = ?= ?
ABC FBD
2 x
63
2
3
x = 4
26
www.muratguner.net
ÖRNEK
ÇÖZÜM
1997
20
15
x
3
x = 4
x
B D C
F
A
E 20
12
4
Şekildeki ABC üçgeninde D , E ve F noktaları kenarlar üzerinde olup AEDF bir paralelkenarının çevresi kaç cm dir?
3
yx
y
y 4
15
y
12
15y = 48 + 12y
2( x + y ) = 2( 4 +16 ) = 40
3y = 48
y = 16
www.muratguner.net
ÖRNEK
ÇÖZÜM
1996
Şekildeki ABC üçgeninde D , E ve F noktaları kenarlar üzerinde olup BFED bir eşkenar dörtgendir. Buna göre l EC l = x = ?l EC l = x = ?
B D C
F
A
E16
25
15
15
25
y
y25
15
16
y
x
8
75 y
15
16
8 75
x
8
75.
15
16 x
10x
y
y
yy x
25 – y
www.muratguner.net
2005ÖRNEK
ÇÖZÜM
45– 2
1
– 3
O
A ( x , y )y
xx
y = x – 3
33 x – 3
2x62x 3x
2x
1
2
8x
538y +
13yx
A noktasının koordinatları
toplamı kaçtır?
www.muratguner.net
ÖRNEK
ÇÖZÜM
60
O
135
2
Soru Sayısı
Zaman ( Saat )
2.Öğrenci1.Öğrenci
5
Yanda grafikte iki öğrencinin zamana göre çözdükleri soru sayıları verilmiştir.Şekle göre kaçıncı saatte çözdükleri soru sayıları eşitlenir?
b
3 a
60b
a
b
b
5a
75
5
a
60aab3bab 20ab
20a
5a
15
1 7515a20a
15a 20t
tt
www.muratguner.net
2002ÖRNEK
ÇÖZÜM
BKE BLD
l LD l
3a
2
a 6l LD l
ALD ABC
x
12
l LD l
3 42x
x
12
6
3
B
D
C
A
E
L
H
K
F
Şekildeki ; l AL l = l LH l = l HK l = l KB l [ LD ] // [ HF ] // [ KE ] // [ BC ]l KE l = 2 cm ise l BC l = x = ?
2
xa
a
a
a
www.muratguner.net
ÖRNEK
ÇÖZÜMB
D
A
K
C
E
L
[ DA ] // [ EK ] , [ KL ] // [ BC ]l DE l = 2 cm , l EB l= 3 cm , l KL l = 4 cmold. göre l BC l = ?
3
2
4
[ DA ] // [ EK ] olduğundan
2
3
lKA l
lBK l
l ED l
l BE l
2a
3a
3a
2a
( T.B.T )
[ KL ] // [ BC ] olduğundan
l BC l
3a2a
4
2a
l BC l
5a
4
2a cm 10l BC l
www.muratguner.net
ÖRNEK
ÇÖZÜM
[ DF ] // [ BE ] l FE l
l AFl
1
2
l BD l
l ADl
( T.B.T )
2 l FE l
4
[ DE ] // [ BC ]
A
B C
D E
F4
x
[ DF ] // [ BE ] , [ DE ] // [ BC ]l AF l = 4 cm , l AD l= 2l BD l old. göre l EC l = ?
y
2y
l EC l
l AEl
l BD l
l ADl
( T.B.T )
x
24
y
2y cm 3x
2
www.muratguner.net
6- TALES TEOREMİ
Paralel doğrular kendilerini kesen doğruları aynı oranda bölerler.
d1
d2
d3C
B
A D
E
F
l EF l
l DE l
l BC l
l ABl
d1 // d2 // d3 doğruları için
l DF l
l DE l
l ACl
l ABl
VEVE
www.muratguner.net
ÖRNEK
ÇÖZÜM
d1
d2
d3C
B
A D
E
F
2
3 x
d1 // d2 // d 3 ,
l DF l = 10 cm l AB l = 2 cm l BCl = 3 cm olduğuna göre x = ?
l EF l
l DE l
l BC l
l ABl
x
x10
3
2
3x302x
305x 6x
www.muratguner.net
ÖRNEK
ÇÖZÜM
d1
d2
d3C
B
A D
E
F
3
x
d1 // d2 // d 3 ,
l AD l = 3 cm l DE l = 6 cm l l BE l = 5 cm l CF l = 8 cm olduğuna göre x = ?
5
8
6
C
B
A D
E
F
3
x
6 5
x 6
2
6
x615
9x 3 2
3 5
www.muratguner.net
ÖRNEK
ÇÖZÜM
2
5
8
x
4
C
B
A D
E
F
[ AD ] // [ BE ] // [ CF ]
l AD l = 5 cm l BE l = 8 cm l l AB l = 2 cm l BC l = 4 cm l CF l = 8 cm olduğuna göre x = ?
5
x – 5
2
5
4
C
B
A D
E
F5
3
5x
42
3
2
18102x
41x
www.muratguner.net
7- BENZERLİK ÖZELLİKLERİ
A
B C
bc
a
D
E F
ef
d
k f
c
e
b
d
a ABC DEF
Benzer üçgenlerde orantılı kenarlara ait yüksekliklerin oranı benzerlikler oranına eşittir.
h
h
h
h
h
h k
f
c
e
b
d
a
f
c
e
b
d
a
hahd
www.muratguner.net
1999ÖRNEK
ÇÖZÜM
B
D
C
A
E F
G
H
DEFG karesinin köşeleri ,şekildeki ABC üçgeninin kenarları üzerindedir. l AH l = 8 cm ve l BC l = 12 cm olduğuna göre l DE l = x = ? l DE l = x = ?
xx xx
8 –
x8 –
x
x -8
8 k ( Yükseklikler
oranı benzerlik sabitine eşittir. )
96 – 12x = 8x 96 = 20x x = 4,8
ABC ADG
x
12
l ADl
l ABl
www.muratguner.net
ÖRNEK
ÇÖZÜM
ABC EDC
k l EC l
l ACl
l CD l
l BC l
l ED l
l ABl
A
B C D
E
m( ABC ) = m(CDE )
l AK l = 5 cm l LE l = 3 cm l BD l = 16cm olduğuna göre l BC l = ?K
L
θ
θ
l LE l
l AK l
3
5
5al BC l 3al CD l +8al BD l
168a 2a
cm 105.2l BC l
www.muratguner.net
A
B C
bc
a
D
E F
ef
d
k f
c
e
b
d
a ABC DEF
Benzer üçgenlerde orantılı kenarlara ait kenarortayların oranı benzerlikler oranına eşittir.
V
V
V
V
V
Vk
f
c
e
b
d
a
f
c
e
b
d
a
VaVd
ll ll ll ll
www.muratguner.net
A
B C
bc
a
D
E F
ef
d
k f
c
e
b
d
a ABC DEF
Benzer üçgenlerde orantılı kenarlara ait açıortayların oranı benzerlikler oranına eşittir.
n
n
n
n
n
n k
f
c
e
b
d
a
F
C
E
B
D
A
nAnD
www.muratguner.net
A
B C
bc
a
D
E F
ef
d
k f
c
e
b
d
a ABC DEF
Benzer üçgenlerin çevrelerinin oranı benzerlikler oranına eşittir.
) DEF ( Ç
) ABC( Ç k
f
c
e
b
d
a fe d
cb a
www.muratguner.net
A
B C
bc
a
D
E F
ef
d
k f
c
e
b
d
a ABC DEF
Benzer üçgenlerin alanlarının oranı benzerlik oranının karesine eşittir.
2k ) DEF ( A
) ABC( A
www.muratguner.net
ÖRNEK
ÇÖZÜM
ABC EBD
θ
θ
kl BD l
l BC l
l ED l
l ACl
l EB l
l ABl 2
3
6
2k ) EBD ( A
) ABC( A 42 ) EBD ( A
) ABC( A 2
CB
A
D
E
6
3
m ( ACB ) = m ( BDE )l AC l = 6 cm l DE l = 3 cm
? ) EBD ( A
) ABC( A
www.muratguner.net
ÖRNEK
ÇÖZÜM
B C
D
A
E2
3
[ DE ] // [ BC ] l AD l = 2 cml DB l = 3 cm old. göre
? ) DECB ( A
) ABC( A
ADE ABC
5
2
32
2
l ABl
l ADl
2
5
2
) ABCA(
) ADE A(
25
4
4S
21S
21
25
) DECB A(
) ABC A(
www.muratguner.net
2000ÖRNEK
ÇÖZÜM
1
B
D C
A
4 ABCD bir dikdörtgen , l AD l = 3 cm l DC l = 4 cm , l CF l = 2 cm l AE l > l EB l olduğuna göre3
2F
?) AED( A
) EBF A(
E x4 – xθ
β
θβ
BFE AED
k 3
x
x4
1
3x4x 2
034xx2 3 xveya 1x ?!
2k) AED( A
) EBF A(
9
1
) AED( A
) EBF A(
www.muratguner.net
ÖRNEK
ÇÖZÜM
B
A
C
[ DE ] // [ BC ]l AD l = 4 cm , l DB l = 3 cmA( DECB ) = 33cm2
olduğuna göre A ( ADE ) = ?
D E
4
3 33cm2
ADE ABC
k 7
4 2k
) ABC( A
) ADE A(
49
16
16cm2
49S
16S
A( DECB ) = 49S – 16S = 33S = 33 S= 1 cm2
A ( ADE ) = 16 cm2
www.muratguner.net
ÖRNEK
ÇÖZÜM
1995
B
A
C
[ EF ] // [ BC ]A( EBCF ) = A( AEF ) olduğuna göre
E F
?l EB l
l AEl
AEF ABC
k l EB l
l AEl 2k
) ABC( A
) AEF A(
S
S
2S
S
2
1k2
2
1k
www.muratguner.net
1996ÖRNEK
ÇÖZÜM
ABCD bir yamuk [ EF ] orta tabandır. Şekildeki AEK üçgeninin alanı 4 cm2,
CKF üçgeninin alanı 8 cm2 olduğuna göre , ABCD yamuğunun alanı kaç
cm2dir? BA
CD
FEK4
8
AEKADC
k 2
1
4
1
) ADC( A
4 16 ) ADCA(
CFKCBA
k 2
1
4
1
)CBA ( A
8 32 )CBA A(
A( ABCD ) = 32 + 16 = 48 cm2
www.muratguner.net
Ağırlık merkezinden çizilen paralel doğru kenarları bir birime iki birim oranında böler.
[ DE ] // [ BC ]B
K
A
L
C
2c
Gac
2a2b
b
www.muratguner.net
ÖRNEK
ÇÖZÜM
ABC bir üçgen G ağırlık merkezi [ KL ] // [ BC ] old. göreAKL üçgeninin çevresi kaç cm dir?
B
K
A
L
C
G
12
5 6
Ağırlık merkezinden kenara paralel çizildiğinden
l AK l = 2.5 = 10 cm
l AL l = 2.6 = 12 cm
10 12
12
15
l KL l
10
( T.B.T )
cm 8l KL l
Ç ( AKL) = 10 + 12 + 8 = 30 cm
www.muratguner.net
A B
C
ED
ABC EDC
l EC l
l ACl
l DC l
l BC l
l ED l
l ABl
[ AB ] // [ DE ]
www.muratguner.net
ÖRNEK
ÇÖZÜM
A B
C
D E
[ DE ] // [ AB ]
l AC l = 4 cml BD l = 5 cm l CE l = 3 cm olduğuna göre l BC l =?
3
4
x
x 5
4
3x
5 –
x
4x3x15
7
15 x
7
20
7
15 5 BC
www.muratguner.net
ÖRNEK
ÇÖZÜM
CB
A
D E
F
4
x
[ DE ] // [ BC ]
3l DF l = l FC l l AD l = 4 cm olduğuna göre l DB l = x = ?
l DF l = a l FC l = 3a
3b
b
l BC l
l DE l
3
1
l FC l
l DF l
( KELEBEK BENZERLİĞİ )
3b
x 4
b
4 ( T. B.T )
cm 8x
a
3a
b
3b
www.muratguner.net
2001ÖRNEK
ÇÖZÜM
B D C
A E
F
Şekilde l AB l = l AC l A , F , C noktaları ve E , F , D noktaları doğrudaştır.Buna göre
?l BD l
l DC l
3
2
l FD l
l EF l
AEF CDF
3
2
l DC l
l AEl
( Kelebek Benzerliği )
2x
3x
3y
2y
K
l AE l = l KD l = 2y ( Dikdörtgen )
2y
l BK l = l KC l = 5y ( İkizkenar üçgende yükseklik tabanı iki eş parçaya ayırır. )
5y
7
3
7y
3y
l BD l
l DC l
www.muratguner.net
ÇÖZÜM
2004ÖRNEK
H A B
F
D C
E
ABCD ve HAFE birer kare l HA l = 4 cm l AB l = 12 cmolduğuna göre taralı alanların toplamı kaç cm2 dir?
4 12
K
4
12
FEK CDK
12
4
l KD l
l KE l
( Kelebek Benzerliği )
3
1 2l KE l
6l KD l
2
6
42
4.2) FKE A(
362
6.12) EDC A(
+
Toplam alan: 40 cm2
www.muratguner.net
ÖRNEK
ÇÖZÜM
2004
ABCD bir paralelkenar l DE l = 2 cm , l EC l = 1 cm dir.
Taralı bölgenin alanı aa cm2
olduğuna göre ABCD paralelkenarının alanı kaç cm2 dir ?B
D C
F
A
E2 1
3
DEF BAF
( Kelebek Benzerliği )
3
2
l FB l
l DF l 2kl KE l
3kl KD l
2k
3kaa
3a3a22
2
5aa
2
3a) FKE A( 5a
2
5a2.) ABCDA(
www.muratguner.net
ÖRNEK 2004
ÇÖZÜM
C
A
E
F
B
D
G
[ AB ] // [ GD ]2l AE l = 6l EF l = 3l FC l olduğuna göre ,
?l FG l
l DF l
x
2x
3x
y
3y y
ACB FCG
( T.B.T )
3
1
6x
2x
l ABl
l FG l
l ACl
l FC l
DEF BEA
( Kelebek Benzerliği )
3
1
l ABl
l DF l
lEA l
l EF l yl DF l
1l FG l
l DF l
www.muratguner.net
2003ÖRNEK
ÇÖZÜM
B
D C
F
A
E
10
9
ABCD bir dikdörtgenl DE l = l EC l , l BC l = 9 cm l BF l = 10 cm olduğuna göre l AB l kaç cm dir?
a a
x = 2a
DEF BAF
( Kelebek Benzerliği )
2
1
2a
a
l FB l
l DF l 5l DF l
55
l AB l = l DC l = 12 ( 3k- 4k- 5k )
www.muratguner.net
2002ÖRNEK
ÇÖZÜM
ABCD bir kare l AE l = l EF l = l FB l , l BG l = l CG l A , H , G doğrusal D , H , F , doğrusal olduğuna göre
D
A B
C
FE
G
?l HF l
l DH l
H
D
A B
C
FE
GH
x x x
y
y
K3x 3xDKH FAH
( Kelebek Benzerliği )
2x
6x
l HF l
l DH l
3l HF l
l DH l
www.muratguner.net
2000ÖRNEK
ÇÖZÜM
D
A B
C
E Fx
[ DC ] // [ EF ] // [ AB ]l DC l = 6 cml AB l = 4 cm olduğuna göre x = ?
4
6
ABE CDE
l ED l
l BE l
6
4
l DC l
l ABl
( Kelebek Benzerliği )
2yl EB l 3yl ED l
2y
3y
BCD BFE
( T.B.T )
6
x
5y
2y
5
12 x
www.muratguner.net
1996ÖRNEK
ÇÖZÜM
[ AB ] // [ TE ]l EF l = l FT l , l BD l = 24 cm l FC l = 10 cmolduğuna göre l DF l = x =? D
A
B C
E
F
T
x1024
θ
θ
ACB TCF
( T.B.T )
a
l ABl
10
34 x
DAB DEF
( Kelebek Benzerliği )
a
l ABl
x
24
a
a
x
24
10
34 x
24034xx2
6x
www.muratguner.net
Kenarları eşit aralıklı paralellerle bölünmüş olan üçgenlerde alanlar 1 , 3 , 5 , 7 , ….. gibi orantılı olarak artar.
Paralel kenarlar da 1,2,3,4,5,….gibi orantılı artar.
3S
S
a
2a
3a
5S
www.muratguner.net
ÖRNEK
ÇÖZÜM
B
D
C
L
A
E
K
[ DE ] // [ KL ] // [ BC ]l AD l = 2l DK l = 2l KB l A( DELK ) = 20 cm2 olduğuna göre A(ABC ) kaç cm2 dir?
B
D
C
L
A
E
K
l DK l = x l AD l = 2x M N
x
x
x
x
S
3S
7S
5S
[ MN ] // [ DE ] // [ KL ]
A( DELK ) = 5S = 20 S = 4
A( ABC ) = 16S = 64 cm2
www.muratguner.net
CB
AD
E
F
yz
x
mn
z
1
y
1
x
1
[ AB ] // [ EF ] // [ DC ] ise benzerlik özelliklerinden
n.zy.m
www.muratguner.net
ÖRNEK
ÇÖZÜM
D
A
B C
E
F
x
12
6
[ AB ] // [ EF ] // [ DC ]l DC l = 6 cm , l AB l = 12 cml AB l = 4 cm olduğuna göre x = ?
6
1
12
1
x
1
12
3
x
1
4
1
x
1 4x
FORMÜL KULLANMADAN SİZ YAPINIZ.
1.yol
2.yol
www.muratguner.net
ÖRNEK
ÇÖZÜM
1995A
K L
B
8 km6 km
7 km
Şekildeki A ve B şehirleri y yolunun aynı tarafında bulunmaktadırlar.A şehrinden y yolu üzerinde bir NN noktasına uğrayarak B şehrine giden en kısa l AN l + l BN ll AN l + l BN l yolu kaç km dir? y
K L
A
B
8 6
y N
xx
yy
1.YOL1.YOL
P
7 – a a
6 ( 7 – a ) = 8a a = 3
xx2 2 = 8= 82 + 2 + 4422
4 3
yy2 2 = 6= 62 + 2 + 3322
x =
y =
5 4
5 3+
x + y = 5 7
www.muratguner.net
ÖRNEK 19991999
K L
A
B
86
7
y
66
N
B'C
xx
yy
yy
ÖRNEK
ÇÖZÜM
19951995A
K L
B
8 km6 km
7 km
Şekildeki A ve B şehirleri y yolunun aynı tarafında bulunmaktadırlar.A şehrinden y yolu üzerinde bir NN noktasına uğrayarak B şehrine giden en kısa l AN l + l BN ll AN l + l BN l yolu kaç km dir? y
l AB' l2 = ( 8 + 6 )2 + 72
l AB' l2 = 142 + 72
l AB' l2 = 72( 22 + 1 )
l AB' l2 = 72 . 5
5 7l AB'l
www.muratguner.net
B D C
F
A
Ec b
xy
Şekilde ABC bir dik üçgen AFDE bir dikdörtgen olmak üzere ;
1 b
y
c
x
www.muratguner.net