0BER EINE KOMBINATORISCH-GEOMETRISCHE FRAGE VON HADWIGER UND DEBRUNNER

VON

G. WEGNER

ABSTRACT

The problem of the partition-numbers Y~(p, q), considered by Hadwiger and Debrunner for the family.~= ~ of convex bodies, is extended to simpllcial complexes and arbitrary families assuming only the validity of Helly's theorem. We obtain results similar to those of Hadwiger and Debrunner. Further we show the existence of all partition-numbers for the family.~'= H ~ C of homothets of a convex body and we get new informations on the partition-numbers for the family of parallel rectangles.

1. Von Hadwiger und Debrunner wurde in [4] 1957 folgende Frage unter- sucht: Existiert zu gegebcnen natiirlichen Zahlen p, q und n mit p _~ q ( ~ n + 1) eine kleinste natiirliche Zahl k ("Stichzahl") derart, dab folgende Aussage richtig ist: Hat eine endliche Familie ~ konvexer K6rper im R ~ die Eigenschaft, dab sich unter je p Mitgliedern wenigstens q befinden, die einen nicht leeren Durchschnitt aufweisen, so gibt es k Punkte derart, dab jedes Mit- glied yon ~ mindestens einen dieser Punkte enth~Ut. Auf die yon Hadwiger und Debrunner erzielten Ergebnisse kommen wit noch zuriick. In ['5] (bzw. in [8]) wird das analoge Problem fiir Familien achsenparalleler Quader im R ~ behandelt und in E7] die entsprechende Frage fiir Familien yon Translaten bzw. yon Homotheten eines konvexen K6rpers C im R n aufgeworfen (~ c T~C bzw.

c HnC). In dieser Note wollen wit vor allem zeigen, dab die Existenz solcher Stichzahlen fiir Werte p und q, die sich nicht zu stark unterscheiden, rein kom- binatodsch mit Hilfe des Satzes von Helly nachgewiesen werden kann (Satz 1). Andererseits liefert der Satz yon Helly allein nicht die Existenz aller Stichzahlen fiir p > q > n + 1 (siehe (11) und (12)), wogegen diese Zahlen jedenfalls beim zuletzt genannten Problem existieren (sogar schon fiir q > 2, siehe Satz 3). Im letzten Abschnitt zeigen wit unter Verwendung eines graphentheoretischen Hilfs- satzes, wie man aus oberen Schranken fiir die Stichzahlen zu q = 2, p ~ 2 solche fiir Stichzahlen zu q > 2, p > q gewinnen kann und werden dabei zu einer besseren Kenntnis der Stichzahlen im Falle parallel liegender Rechtecke in der Ebene gelangen.

2. Eine k-Zerlegung einer endlichen Familie ~ yon Teilmengen einer Grund- menge sei eine Zerlegung yon ~ in k Teilfamilien derart, dab die Mengen jeder Teilfamilie einen nicht leeren Durchschnitt besitzen, j(~) bezeichne die kleinste

Received January 9, 1966.

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natiirliche Zahl k, mit der eine k-Zerlegung yon (r m6glich ist. Ferner sagen wir, dab ff die Eigensehaft H(p, q) hat (wobei p > q sei) und sehreiben hierfiir

~ I I (p, q), wenn ff mindestens p Mitglieder enth~lt und sich unter je p Mit- gliedern q finden lassen, deren Durchschnitt nicht leer ist. Ist schlieBlich ~- eine gegebene Familie yon Teilmengen einer Grundmenge, so sei J~(p, q) die kleinste natiirliehe Zahl k derart, dab fiir jede endliche Teilfamilie fr yon ~ mit der Eigenschaft H(p, q) stets j(ff) < k gilt; existiert keine solche Zahl, so werde J~(p, q)= oo gesetzt. Mit anderen Worten: Es sei

J~(p, q): = sup {j(ff) I ~ --- ~- und ff 6 rl(p, q)).

Fiir die Familien ~" = c~ n der konvexen K6rper und ~" = ~n der achsen- parallelen Quader im R ~ erhielten Hadwiger und Debrunner folgende Ergeb- nisse:

(1) J~cn(p,q) = p - q + 1 f i i r n + l _-<q<p, ( n - 1 )p+ 1 < n ( q - 1).

(2) J~,(p,q) = p - q + 1 fiJr 2 < q < p _ _ < 2 q - 2 . ( 1 )

J~n(p, q) <= ( P - q + n } fiir 2 < q < p. (3) \ ] n

Jeder Familie ~ yon Mengen ist in eindeutiger Weise ein abstrakter simplizialer Komplex N ( f f ) - der Nerv dieser F a m i l i e - zugeordnet, welcher c~ als Eck- punktmenge hat und genau diejenigen, yon diesen Ecken definierten Simplexe enth/ilt, deren Ecken als Mengen einen nicht leeren Durchschnitt haben. Es liegt nun nahe, solche "(p, q)-Probleme" rein kombinatorisch zu formulieren. Wit betrachten also endliche, abstrakte, simpliziale Komplexe, im folgenden kurz Komplexe genannt. Einen Unterkomplex L eines Komplexes K nennen wir Abschnittskomplex yon K, wenn L jedes Simplex yon K enth/ilt, dessen Ecken zu L geh/Sren. Entsprechend der obigen Definition verstehen wir unter einer k-Zerlegung eines Komplexes eine Zerlegung der Eckpunktmenge yon K in k Teilmengen derart, dab jeder yon einer solchen Teilmenge aufgespannte Ab- schnittskomplex von K vollst/indig, d.h. ein Simplex ist. j (K) bezeichne die kleinstm/Sgliche Zahl k, zu der es eine k-Zerlegung yon K gibt. Wir sagen im Hinblick aufden Satz yon Helly, dab K die Eigenschaft H(n) besitzt (in Zeichen: K ~ H(n)), wobei neine natiirliche Zahl sei, wenn fiir q > n jedes q-dimensionale Simplex, dessen s~imtliche Randsimplexe zu K geh/Sren, ebenfalls K angeh/Srt. SchlieBlich bedeute K e H(p, q), dab K mindestens p Ecken hat und jeder Ab- schnittskomplex yon K mit mindestens p Ecken wenigstens ein (q - 1)-dimen- sionales Simplex ent.h~ilt. Nun definieren wit

J(p, q, n): = sup {j(K) I K e H(p, q) N H(n)}.

(1) Genaugenomrnen wird dies in [5] nut fiir den Fall n = 2 formuliert; der angegebene Beweis ist jedoch ohne weiteres auf h6here Dimensionen iibertragbar.

1965] OBER EINE FRAGE VON HADWIGER UND DEBRUNNER 189

Ein Komplex K e I f (n) ist durch sein n-Geriist, im Fal len = I also durch sein 1-Geriist eindeutig bestimmt. Ein Komplex K e H(1) ist genau dann vollst~ndig, wenn sein 1-Geriist ein vollst~ndiger Graph ist. Auch bei Graphen werden wir yon der Eigenschaft Fl(p, q) und yon k-Zerlegungen sprechen, wobei bier sinn- gem~B vollst~ndige Abschnittsgraphen an die Stelle der vollst~ndigen Abschnitts-

komplexe treten. Die Eigenschaft H(n) hat jedenfalls

(4) J(p, p, n) = I fiir p _~ n + I

zur Folge. Weiterhin gilt trivialerweise

(5) J ( p , q , n ) = oo fiir n > l , 2__<q_~n,

(6) J(p, q, n) < J(p - 1, q - 1, n) f'far p >= q > n,

(7) p - q + 1 < J(p, q, n) fiir p >= q,

(8) J(p, q, n) < J(p, q, n + I) fiir p ~ q.

Wie bei den Zahlen J~.(p, q) (siehe (1)) erh~ilt man auch fiir J(p, q, n) in der (p, q)-Ebene noch einen (allerdings etwas kleineren) Winkelbereieh, in dem in (7) das Gleichheitszeichen steht:

_ _ < n + l SATZ 1. Flit n + l <<_ q <- p = ( q - l ) gilt J ( p , q , n ) = p - q + l.

tl

ZUSATZ. Ferner gilt f i i r n + 2 ~ q < p stets

(9) J(p, q, n) < max {J(p - n - 1, q - n, n), p - q + 2},

im Falle n = 1 sogar

(10) J(p, q, 1) <_ max {J(p - 2, q - 1, 1), p - q + 1}.

Wir beweisen Satz 1 durch vollst~indige Induktion nach k = p - q + 1. Fiir k = 1 folgt die Behauptung aus (4). Sei nun k > 1, also p > q und damit q > 2n + 1 und sei K ein Komplex mit den Eigenschaften H(n) und H(p, q).

Fall 1: Ist sogar K r dann ist j ( K ) - < J ( p - n - 1 ,

q - n , n ) . Aus p < ( ( n + l ) / n ) ( q - l ) und q > 2 n + l folgt n + l < q - n -< p - n - 1 < ((n + 1) /n) (q-n - 1) und damit nach Induktionsannahme

j ( r ) < p - q.

Fall 2: Hat K die Eigenschaft II(p - n - 1, q - n) nicht, so gibt es p - n - 1 Ecken in K derart, dab der yon diesen Ecken aufgespannte Abschnittskomplex K1 kein ( q - n - 1)-dimensionales Simplex enthiilt. Zufolge der Eigenschaft H(p, q) ist dann der yon allen iibrigen Ecken aufgespannte Abschnittskomplex K z vollst~indig und K 1 enth[ilt wenigstens ein (q - n - 2)-dimensionales Simplex S. In K2, S und den restlichen Ecken (einzeln genommen) haben wir dann eine

! 90 G. WEGNER [December

( p - q + 2)-Zerlegung, womit die erste H~lfte des Zusatzes bewiesen ist. Im Falle n = 1(2) k6nnen wir also in K 1 q - 2 Ecken finden, die im 1-Geriist yon KI

einen vollst/indigen Graphen G aufspannen. Seien xl , ...,x~_~ die restlichen Ecken yon K1. Eine ( p - q + 1)-Zerlegung erhalten wir nun wie folgt: Die erste Klasse enthalte Xl und s/imtliche Ecken yon K2, die zu xx benachbart, d.h. mit xt dutch eine Kante verbunden sind. Die r-re Klasse (2 =< r _<_ p - q) enthalte xr und s/imtliche zu x, benachbarten Ecken yon K2, die nicht schon in einer der vorhergehenden Klassen enthalten sind. Die nicht in diesen p - q Klassen enthaltenen Ecken yon K2 sind wegen K e II(p, q) zu jeder der Ecken yon G benachbart. Wir k6nnen also alle iibfigen Ecken einschliel31ich der Ecken

yon G zu einer einzigen Klasse zusammenfassen und haben damit eine (p - q + 1)- Zerlegung, womit die zweite H/ilfte des Zusatzes und auch Satz 1 flit n = 1 bewiesen ist. Bei n > 1 unterscheiden wit zwei Ffille:

/ / a ) Kx enth/ilt zwei (q - n - 2)-dimensionale Simplexe St und $2, die h6chstens q / - n - 3 Ecken gemeinsam haben. Bilden wir dann aus den Ecken yon K2, den Ecken yon $1 und den nicht zu S~ gehOrenden Ecken von $2 je eine Klasse, so bleiben h6chstens p - q - 2 Ecken iibrig und wir haben j (K) < 3 + p - q - 2

= p - q + l . b) S~imtliche ( q - n - 2)-dimensionalen Simplexe yon K~ haben q - n - 2

Ecken gemeinsam. In diesem Fall k6nnen wir diese q - n - 2 Eeken zusammen mit denen von Kz zu einer Klasse A vereinigen. Es bleiben dann p - q + 1 Ecken Xx, ' " , xp-~+l yon K~ iibrig und wir wollen annehmen, dab keine zwei hiervon benachbart sind, da wir anderenfalls sofort eine (p - q + 1)-Zerlegung h/itten. Wir behaupten, dab man dann noch wenigstens eine dieser Ecken zur Klasse A hinzunehmen kann. W/ire dies nicht der Fall, so g/ibe es zu jeder der Ecken x, n Ecken aus A derart, dal3 das yon x, und diesen n Ecken definierte n-Simplex nicht zu K gehiSrt. Dies sind insgesamt h~Schstens n(p - q + 1) < q - 1 Ecken aus A. Zusammen mit den Ecken x~, ..., x~_q+ ~ und gegebenenfalls noch weiteren Ecken aus A h/itten wir dann p Ecken, die im Wiederspruch zur Eigen- schaft II(p, q) in K kein (q - 1)-dimensionales Simplex aufspannen.

Im Falle eines Graphen G ist die Aussage "G besitzt eine k-Zerlegung"/iqui- valent rnit der Aussage "der Komplement/irgraph G ist k-f/irbbar", und G e II(p, q) bedeutet, dab sich in d unter je p Ecken wenigstens q unabh/ingige

befinden. Wir erhalten damit folgendes

KOROLLAR. Sind p und q natiirliche Zahlen mit 2 < q < p < 2 q - 2 und ist G

ein Graph mit mindestens p Ecken und der Eigenschajt, dab sich unter je p

Ecken wenigstens q unabhdngige befinden, so ist die chromatische Zahl yon G

hdchstens gleich p - q + 1.

(z) Es sei vermerkt, dass dieser Bewcis fiir n = 1 im Grunde nichts anderes ist als die kombi- natorischo Formulierung des in [5] Nr. 81 gegcbenen Beweises zu Ja,~(P,q) = P -- q + 1 fiir 2<=q<=p<=2q--2.

19651 LtBER EINE FRAGE VON HADWIGER UND DEBRUNNER 191

Mit Hilfe des Zusatzes k6nnte man aus oberen Sehranken ftir J(p, n + 1, n) besser als mit (6) solehe ftir J(p, q, n) mit q > n + 1 gewinnen, allein es ist

(11) J(n + 2, n + 1, n) = oo for n -- 1, 2, ...

und damit natiirlich auch J(p, n + 1, n) = oo f'tir p > n + 2. Wir betrachten zun~iehst den Fall n ~ 2 und zeigen, dab es zu jedem k einen Komplex K t r n II(n + 2, n + 1) gibt, der keine k-Zerlegung gestattet. Die Idee zu nachfolgendem Beispiel verdanke ich Herrn L. Danzer. Die Eckpunktmenge yon Kt sei die Menge At der natiirlichen Zahlen 1,2, . . . ,n 2t+1. Den Komplex Kt definieren wir durch Angabe seines n-Geriistes: Das durch n + 1 Zahlen x~ < x2 < "" < x,+~ aus At delinierte n-Simplex geh6re genau dann zu Kt,

wenn entweder 1

x l , x2 < n(n - 1) (x3 + "-" + x , + 0

oder wenn 1

x~,x2 > (x3 + "" + x ,+~) n(n 1)

gilt. Fiir beliebige n + 2 Zalden x~ < x2 < ... < xn+2 aus At gilt entweder

1 x2 _-__ t---------~ (x , + -.. + x ,+~)

)ln( n -

und damit (x~, x2, x4, ' . ' , x,+2) e K~ oder

1 x2 > (x4 + .." + xn+2)

n(n - 1)

und damit (x2, x3, x4, "", xn+2)~ K~. K hat also die Eigenschaft II(n + 2, n + 1). Fiir k = 1 besagt die Behauptung, dab K1 nicht vollst~indig ist. In der Tat enth[ilt

_ _ _ _ n 3 K1 beispielsweise nicht das yon den Ecken 1, n 3 n + 1, n 3 n + 2, ..., delinierte n-Simplex. Sei nun die Behauptung fiir K~_ 1 schon bewiesen und nehmen wir an, wit h~itten eine k-Zerlegung Ak = BI L) ... U Bk Yon K~. Da Kh- 1 Abschnittskomplex yon K~ ist und nach Induktionsannahme keine (k - 1)- Zcrlegung gestattet, ist B~ ~ A~_ 1 # ~ fiir x = 1, ..., k. Andererseits tiberlegt man sich leicht, dab ein vollst~indiger Abschnittskomplex yon Kt, der eine Ecke inAt_ 1 hat, 'von den n2t(n - 1) Ecken n 2k + 1, n2k+ 2, . . . ,n 2~+1 nicht mehr

als n - 1 Ecken enthalten kann und dies fiihrt zu einem Widerspruch. Kk ge- stattet also keine k -Ze r l egung . - Im Fal len = 1 brauchen wir uns nur daran zu erinnern, dab es zu jedem k dreiecksfreie Graphen gibt, die nicht k-f~irbbar sind (J. Mycielski [3]; weitere Beispiele gibt es yon J. B. Kelly-L. M. Kelly und anderen). Der Komplement~irgraph eines solchen dreiecksfreien, nicht k- f/irbbaren Graphen hat die Eigenschaft 1-I(3, 2) und gestattet keine k-Zerlegung.

192 G. WEGNER [Dec ember

Da ein Graph mit der Eigenschaft 17(3, 2) und mindestens q(q + 1)/2 Ecken auch die Eigenschaft l'I(q(q + l)/2, q) hat (siehe [1] Erd/~s-Szekeres), folgt aus J(3, 2, 1) = oo und (8) schliel31ich

(12) J(p, q, n) = oo fiir p > q(q + 1) > 1 . 2 ' n =

In den nachstehenden Tabellen sind die nunmehr bekannten Werte von J(p, q, n) fiir die F/ille n = 1 und n = 2 fiir p < 10 angegeben.

n = l

q----2 3

4

5

6

7

8

9

lO i

p

31415[6171819110 1

112 1 2 3 ] ,

] 1 2 3 4

1 2 3 4 5

1 2 3 4

[ 1 2 3

1 2

1

q = 2 3

.... I1

101

oo

1 2

1 2 1 2 3

1 2 T 'T

L - r

3. Fiir eine Mengenfamilie o~" gilt genau dann J~(n + 1, n + 1 ) = 1, wenn die Nerven der endlichen Teilfamilien yon ~" die Eigenschaft H(n) haben. Analog zu Satz 1 haben wir nattirlich eine entsprechende Aussage ftir die Zahlen J~(p, q) einer solchen Familie ~ und hier gewinnt der Zusatz an Bedeutung:

SATZ 2. Fiir eine Familie ~ mit J~=(n + 1, n + 1) = 1 gilt

J ~ ( p , q ) < p - q + l = • r n + l < q < p < = = = - n + l n

(q - 1).

ZUSATZ. Ferner ist

(13) J~(p, q) <= max {J~(p - n - 1, q - n), p - q + 2} fiir n + 2 ~_ q < p, im Fal len = 1 sogar

(14) J ~ ( p , q ) < m a x { J ~ ( p - 2 , q - 1 ) , p - q + l } fiir 3 < q < p .

Dies hat zum Beispiel die Gfiltigkeit yon J~.(p, q ) = p - q + 1 ftir 2 =< q < p __< 2q - . 2 unabh~ingig von n zur Konsequenz(3) und mit (14)erhalten wir aus

(3) Dagegen sind die Zahlen Je,-(P, 2)sicher nicht von n unabh~ingig. Der Komplement~irgraph des in [3] yon J. Mycielski angegebenen, dreiecksfreien, nicht 3-f/irbbarcn Graphen ist 1-Geriist des Nerven einer Familie achsenparalleler Quader im R3 und damit folgt J~3(3, 2) ---- 4, wogegen J~2(3, 2) = 3 ist.

1965] t0BER EINE FRAGE VON HADWIGER UND DEBRUNNER 193

J~"(P'2) < ( p - 2 + n

die f'tir q > 2 gegeniiber (3) verbesserte Abseh~itzung

max/(, 2q 2,n) / n , p - q + l fiir 2 < q _< p.

Insbesondere folgt hieraus, dab in der Tabelle fiir die Zahlen N(p, q): = J , : (p, q) auf Seite 49 yon [5] (bzw. auf Seite 33 yon [8]) N(5, 3 ) = 3, N(7, 4 ) = 4, N(9, 5) = 5 wegen N(3, 2) = 3 und N(10, 5) = 6 wegen N(4, 2) < 6 stehex~ muB. Wir kommen auf die Zahlen N(p, q) noeh einmal zurtick.

Im Hinblick auf die Frage naeh der Endlichkeit der Zahlen J~.(p, q) fiir ( n - 1)p+ 1 > n(q - 1) ist damit kein Fortsehritt erzielt. Wir haben lediglich gezeigt, dab die in [4] gefundenen Zahlenwerte ftir J~(p, q) weitgehend allein durch den Satz yon Helly bestimmt sind, w~ihrend der Satz yon Helly allein beispiels- weise die Endliehkeit yon J~(4, 3) - - sofern dieser Wert tiberhaupt endlich ist nicht liefert. Es w~ire interessant, Komplexe K zu betrachten mit der gegeniiber H(n) stiirkeren Eigenschaft, dab fiir q ~ n fiir die q-ten Homologiegruppen H~(K, Z2) = 0 gilt, und dann die analog zu J(p, q, n) mit dieser Eigenschaft an Stelle yon H(n) definierten Zahlen zu untersuchen.

Wir wollen anmerken, wie man wenigstens die Endlichkeit der Zahlen J~(p, q) fiir Familien yon der Form ~- = H'C (und damit erst recht fiir solche der Form ,~" = T"C) nachweisen kann.

SATZ 3. Fiir einen konvexen Ki~rper gilt

Jn~c(P, q) <-- ~q(HnC) + (P - q) Y (C) fiir 2 <= q <= p.

Dabei ist y~(H'C) = Jn.c(q, q) die q-te Gallaizahl von HnC und ~(C) die kleinste Zahl k mit folgender Eigenschaft: Ist ~ ={c l l i El} eine endliche Familie yon Translaten yon C derart, dag Ct N C O ~ ~ fiir alle i ~ I gilt, so besitzt ~ eine k-Zerlegung. Absch~itzungen sowohl fiir y~(H~C) als auch fiir ~(C) finder man in [7].

Der Beweis ergibt sich durch vollst[indige Induktion: Fiir p = q ist nichts zu beweisen. Sei nun ~ c H'C eine Familie mit der Eigenschaft II(p, q) und p > q.

besteht aus Mengen der Gestalt C t = at + 2tC, wobei al, ..., aN Punkte des R* und 21, "..,AN positive, reelle Zahlen find. O.B.d,A. k6nnen wir 2~ ~_ 1 fiir i = 1,..., N und 21 = 1 annehmen. Die Teilfamilie ~1: = {ctl Ct n C1 = ~ } yon ~ hat die Eigenschaft I I ( p - 1, q), es ist also J(~l) < Jn,c(P- 1, q) < yq(H'C) + (p - 1 - q)y, (C) nach Induktionsannahme. Fiir die Restfamilie ~2 = ~ \ ~ l gilt J(~2) < ~(C), denn wegen 2 t __ 1 = 21 enth~ilt jedes C~ mit Ct t~ C1 # I2I sogar ein Translat yon C, welches C1 trifft. Damit folgt die Be- hauptung aus j(fq) ~_ J(~l) + J(~2).

194 O. WEOHER [December

4. Wir wenden uns nun speziell Familien ~" mit der Eigenschaft J#(2, 2) = 1 zu, wo wir nur die 1-Gerfiste der Nerven, also Graphen zu betrachten brauchen. Wir beweisen zun~chst folgenden

HILFSSATZ. Sei G ein bipartiter Graph mit den beiden unabhdngigen Eck- punktmengen X und Y, wobei card(X)= r <= card(Y)=s sei. Hat G die Eigenschaft II(s + 1, 2), so besitzt G eine Kopplung yon X in Y (es ist also j(G) = s).

Der Beweis ergibt sich leicht durch Induktion nach r mit Hilfe des Kopplungs- satzes ("Heiratsproblem"; siehe [6] Theorem 7.3.3, oder [2]). Im Fal le r = 1 besteht X nur aus einer Ecke und zufolge der Eigenschaft II(s + 1, 2) muB diese Ecke zu irgendeiner Ecke aus Y benachbart sein. Sei nun die Behauptung for alle p < r - 1 bereits bewiesen und sei card (X) = r und s > r. Ffir jede Teilmenge A yon X definieren wit Y(A) als die Menge derjenigen Ecken aus Y, die zu wenig- stens einer Ecke aus A benachbart sind. Dann gilt card (Y(A)) > card (A) f'tir A ~ X nach Induktionsannahrne und ftir A = X nach Voraussetzung, denn w~ire card (Y(X)) < card (X), dann h~itten wir in X u (Y \ Y(X)) entgegen der Eigen- schaft H(s + 1, 2) eine Menge yon mindestens s + 1 paarweise nicht benach- barten Ecken. Dies ist gerade die Voraussetzung des Kopplungssatzes, womit die Behauptung bewiesen ist.

Mit diesem Hilfssatz k6nnen wir zeigen, dab

q(q + 1) (16) N(p, q) = p - q + 1 f'tir 3 __< q __< p ~ 2 3

gilt, was f '~ q ~ 4 (und n = 2) eine Versch[irfung yon (2) ist. Wir haben n~imlich folgende~

SATZ 4. Ist ~" eine Familie mit J,(p, 2) ~ ( P) fiir p = 2,3,..., dann gilt flir q > 3 :

\ l . , ]

(a) J , ( p , q ) < p - q + fiir q<p<_ - ( q + l ) - 3 ; 2

(b) J,(p, q)~_ ( q + k + 2 1) - k - 2 f i i r p = (q+2 2) - 5 + k ( q - 1),

k = 0,1,2, .- . .

Auch hiet fiihren wit den Beweis mit vollst~ndiger Induktion. Im Falle q = 3 ist (a) trivial und (b) besagt: Fiir p = 2(k + 2) + 1 = 2m + 1 (m = 2, 3,...) ist

J#(p, 3 ) < ( m + l ) - 2 + 1 .

Sei ff ~ ~" und f f r + 1,3). Entweder hat ~ auch die Eigenschaft rl(m + 1, 2), dann ist

1965] OBER EINE FRAGE VON HADWIGER UND DEBRUNNER 195

= 2 '

oder es gibt in ff m + 1 disjunkte Mengen; im letzteren Fall hat die aus allen iibrigen Mitgliedern yon ~ bestehende Restfamilie die Eigenschaft II(m, 2) und damit ist

= 2 +1 .

Sei nun die Behauptung far alle q' =< q - 1 bewiesen und sei q _> 4. (a) folgt mit Hilfe yon (14) aus der Induktionsa~ahme far (b)(*): Far

ist

und damit gilt fiir

J.(p',q-1) ~( ~ ) - 2

P=P'+2= ( q + l ) - 3 2

Nun sei

2 - 5 + k ( q - 1)

und ff ~_ ~" babe die Eigenschaft II(p, q). Fall 1 : ff enth~It ein System yon 2q - 1 + k disjunkten Mengen. Die aus den

fibrigen Mitgliedem yon ff bestehende Resffamilie hat dann die Eigenschaft II(p', q - 1), wobei

2 - 5 + k ( q - l ) - 2 q - k + l = 2

Hieraus folgt im Falle k = 0

j(~)=<p'-(q-l)+1+(2q-l)= ( q +2 I)_2

und im Falle k > 0

j(ff)<_(q+k-l_ 2 ) - k - l + ( 2 q - l + k ) f ( q + : § - k - 2 + R

mit R = 1 - k _ 0, wie behauptet.

(4) Hicr und auch sp~ter machen wir davon Gebrauch, dass man die Abschitzungen (b) erg~lnzen daft mittels des Schlusses "wen6 y~(p,q) <_ m, dann Y~(p--a,q) ~ m -- s". Man ilborlegt sich leicht an Hand des Bcweisgs, dass dies hi& zulL~ig ist (f'tir,~ffiffi ~ 2 ist digs trivial.

196 G. WEGNER [December

Fall 2: In ~ gibt es 2q + k - r, aber nicht 2q + k - r + 1 disjunkte Mengen,

wobei 2 < r < q sei. Die nach Abzug eines Systems yon 2q + k - r disjunkten

Mengen verbleibende Restfamilie ~ ' hat die Eigenschaft I l (p - 2q - k + r, q - 1).

Fall 2.1: Sei zun~ichst q = 4 (und damit p = 10 + 3k). Ist

so haben wir

] ( +51-k-2+R + 8 + k - r = 2

mit R = 1 - k - r < 0 ftir r = 2, 3 und R = - 1 ftir r = 4. Ha t ~ ' die Eigenschaft

nieht, so gibt es in i f ' ein System yon

disjunkten Mengen und es bleibt nach For tnahme dieser Mengen eine Familie

t~brig. Ft~r das Mengensystem ff \ if" gilt nun auf Grund des Hilfssatzes j(.~ \~" )

-- 8 + k - r u n d damit erhalten wir

[ I j(f~) < k + l + + 8 + k - r = 2

2

mit R = - 1 - k < 0 fiir r = 2 und R = 3 - r < 0 fiir r = 3,4.

Fall 2.2: Im Falle q > 5 wollen wir zun~ichst 2_< r < q - 3 voraussetzen.

Ist fg' E II(q + k - 2, 2), so haben wir

mit R = 5 - q - k - r < 0. Andernfalls gibt es in ~ ' q + k - 2 disjunkte Mit-

glieder, naeh deren For tnahme man eine Familie if" e I I ( p " , q - 2) erh~ilt, wobei

u('s) Wie tiblich bezeichne [xl die gr~sste ganze Zahl ~ x.

19651 OBER EINE FRAGE VON HADWIGER UND DEBRUNNER 197

ist. Wie oben folgt j(fr \ ~") = 2q + k - r u n d durch Anwenduag der Induktions-

annahme auf f~" erhalten wir

mit R = 4 - q - k < 0. Im Falle q - 2 < r < q untersuchen wir, ob

~ ' e I I (q + k - 1, 2) ist. Ist dies der Fall, so folgt

= 2 + 2 q + k - r = 2 - k - 2 + R

mit R = 3 - r < 0. Andernfalls findet man in ~ ' q + k - 1 disjunkte Mengen

und die wie oben gebildete Restfamilie ~" hat die Eigenschaft II(p~,q -2) mit

Nun folgt wie vorhin

2 ) - k - 2 + R

mit R = 4 - q < 0 . Fall 3: Gibt es keine q + k disjunkten Mengen in ~, so ist f~e H(q + k,2)

und wir haben

mit R = 2 - q < 0, womit der Satz bewiesen ist. Es ist klar, dag dies hier angewandte Absch~itzungsverfahren auch mit anderen

Schranken fiir J~(p ,2) durchfiihrbar ist (selbst wenn Js~(2 ,2) r 1 ist, wobei dann jedoch (13) an Stelle yon (14) verwendet werden mug und die optimale Schranke p - q + l nicht mehr erreicht wird). Im Hinblick auf die Zahlen N(p, q) brauchte man also zun~ichst bessere Schranken ftir N(p,2). Als Absch~itzung

nach unten hat man nur die aus N(3, 2) = 3 resultierende Ungleichung

N(p,2) ~ ~ (p - 1)

(k Familien aus 1I(3,2) bilden insgesamt eine Familie aus II(2k + 1,2)!) und

meines Wissens ist bislang kein Beispiel einer Familie ~ achsenparalleler Recht-

ecke mit der Eigenschaft II(p, 2) undj(ff) > 2p - 3 b~'kannt. W~ire N(p, 2) < 2 p - 3

far alle p richtig(6), so h~tte dies eine interessante Konsequenz, denn es gilt der

(6) Fiir p = 2 und p = 3 ist dies der Fall. Der Verfasser konnte dies aueh noch ftir p = 4 verifizieren, woraus - wie Beispiele ze igen- N ( 4 , 2 ) = 5 folgt.

198 G. WEGNER

SATZ 5. Ist ~ eine Familie mit J~(p,2) _< 2p - 3 fiir p = 2,3,..-, dann gilt

J ~(p, q) <= p - q + 1/f ir 5 <= q <- p.

Beweis. Wir zeigen J~(p,4)__< p - 2, woraus dann die Behauptung mit (14) folgt. Sei ~ _~ ~" eine endliche Familie mit der Eigenschaft II(p, 4). Es gibt eine Zahl r mit 3 - r _< p - 1 derart, dab ~ p - r, aber nicht p - r + 1 disjunkte Mengen enth[ilt. Wir betrachten wieder die nach Entfernung von p - r disjunkten Mengen iibrigbleibende Familie ~ ' , welche die Eigenschaft II(r,3) hat, und untersfheiden 2 F/ille.

Fall 1: p - r > [ r - - ~ l - ] . I s t & ' 6 I I ( [ r 2 - - - - ~ l ] , 2 ) , s o h a b e n w i r

j(ff)__<2 ~ - 3 + p - r < = p - 2 ,

andernfalls gibt es in &' ['(r + 1)/2] disjunkte Mengen und es folgt unter Anwendung des Hilfssatzes

j ( f f ) < 2 r - ~ - 3 + p - r < p - 3 .

Fall 2: Ist p - r < [ r~_~l ] , so ist & ~ I I ( [ ~ - ~ - ] , 2 ) u n d es folgt

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L'Enseignement Math. 2, Genf. (1959). 6. O. Ore, Theory of Graphs., Am. Math. Soc. Coll. Publ. 38(1962). 7. L. Danzer, B. Grtinbaum and V. Klee, Helly's Theorem and its Relatives, Proc. of

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